1. INDUCTANCIA
Tome un tramo de alambre de cobre y enróllelo alrededor de un lápiz para que forme una bobina. Si
coloca esa bobina en un circuito, ¿se comporta en forma diferente que un trozo recto de alambre? Es
sorprendente, pero la respuesta es sí. En un automóvil común impulsado con gasolina, una bobina de esta
clase es la que
hace posible que una batería de 12 volts provea miles de volts a las bujías,lo que a la vez posibilita que éstas
se enciendan y pongan en marcha al motor. Otras bobinas de este tipo se usan para mantener encendidas las
lámparas de luzfluorescente.En ciertas ciudades se colocan grandes bobinas bajo las calles para controlar la
operación de los semáforos. En todas estas aplicaciones, y muchas más.
Una corriente variable en una bobina induce una fem en otra bobina adyacente. El acoplamiento
entre ellas queda descrito por su inductancia mutua.Una corriente variable en una bobina también induce una
fem en esa misma bobina, la cual recibe el nombre de inductor, y la relación de la corriente con la fem está
descrita por la inductancia (también llamada autoinductancia) de la bobina. Si una bobina inicialmente
conduce corriente, cuando ésta disminuye, hay una liberación de energía; este principio se utiliza en los
sistemas de encendido de los automóviles. Veremos que esta energía liberada estaba almacenada en el
campo magnético generado por la corriente que inicialmente circulaba por la bobina, y estudiaremos ciertas
aplicaciones prácticas de la energía del campo magnético.
Inductancia mutua
En la interacción magnética entre dos alambres que transportan corrientes
estables;la corriente en uno de los alambres genera un campo magnético que
ejerce una fuerza sobre la corriente en el otro alambre. Pero cuando hay una
corriente variable en uno de los circuitos, surge una interacción adicional.
Considere dos bobinas de alambre cerca una de la otra, como se ilustra en la
figura 1. Una corriente que circula por la bobina 1 produce un campo
magnético B y, por lo tanto, un flujo magnético a través de la bobina 2. Si la
corriente en la bobina 1 cambia, el flujo a través de la bobina 2 también
cambia;de acuerdo con la ley de Faraday, esto induce una fem en la bobina 2.
De este modo, un cambio en la corriente de un circuito puede inducir otra
corriente en un segundo circuito.
Una corriente que circula por la bobina 1 produce un campo magnético y, por
lo tanto, un flujo magnético a través de la bobina 2. Si la corriente en la bobina
1 cambia, el flujo a través de la bobina 2 también cambia; de acuerdo con la
ley de Faraday, esto induce una fem en la bobina 2. De este modo, un cambio
en la corriente de un circuito puede inducir otra corriente en un segundo
circuito.
Analicemos con más detalle la situación que aparece en la figura 1.
Para representar las cantidades que varían con el tiempo usaremos letras minúsculas. En la figura 1, una
corriente i1 establece un campo magnético (indicado por las líneas de color azul), y algunas de estas líneas de
campo pasan a través de la bobina 2. Denotaremos con ΦB2 el flujo magnético a través de cada espira de la
bobina 2, causado por la corriente i1 en la bobina 1. (Si el flujo es diferente a través de las distintas espiras de
la bobina, entonces ΦB2 denota el flujo medio.) El campo magnético es proporcional a i1, de manera que ΦB2
también es proporcional a i1. Cuando i1 cambia, ΦB2 cambia; este flujo cambiante induce una fem ε2 en la
bobina 2, dada por
Podríamos representar la proporcionalidad entre ϕB2 e i1 en la forma ΦB2 = (constante) i1, pero, en vez de ello,
es más conveniente incluir el número de espiras N2 en la relación. Al introducir una constante de
proporcionalidad M21, llamada inductancia mutua de las dos bobinas, escribimos
Donde ΦB2 es el flujo a través de una sola espira de la bobina 2. De ahí que,
2. y la ecuación (1) se rescribe como
Es decir, un cambio en la corriente i1 en la bobina 1 induce una fem en la bobina 2,que es directamente
proporcional a la tasa de cambio de i1 (figura 2).También se podría escribir la definición de la inductancia
mutua,ecuación (2), como
Si las bobinas están en el vacío, el flujo ΦB2 a través de cada espira de la
bobina 2 es directamente proporcional a la corriente i1. Entonces, la
inductancia mutua M21 es una constante que sólo depende de la geometría
de las dos bobinas (el tamaño, la forma, el número de espiras y la
orientación de cada una, así como la separación entre ellas). Si está
presente un material magnético, M21 también depende de las propiedades
magnéticas de éste.Si el material tiene propiedades magnéticas no lineales,
es decir, si la permeabilidad relativa Km no es constante y la magnetización
no es proporcional al campo magnético, entonces ΦB2 deja de ser
directamente proporcional a i1. En ese caso, la inductancia mutua también
depende del valor de i1.
En este análisis supondremos que cualquier material magnético que esté
presente tiene una Km constante, por lo que el flujo es directamente
proporcional a la corriente y M21 sólo depende de la geometría.
Podría volverse a hacer el análisis para el caso opuesto, en el que
una corriente cambiante i2 en la bobina 2 causa un flujo cambiante ΦB1 y una
fem ε1 en la bobina 1.
Esperaríamos que la constante correspondiente M12 fuera diferente de M21
porque, en general, las dos bobinas no son idénticas y el flujo a través de
ellas no es el mismo.
Sin embargo, M12 siempre es igual a M21, aun cuando las dos bobinas no
sean simétricas.A este valor común lo llamamos simplemente inductancia
mutua, y lo denotamos con el símbolo M, sin subíndices; este valor
caracteriza por completo la interacción de la fem inducida de las dos bobinas. De esta forma, podemos
escribir
Donde la inductancia mutua M es
Los signos negativos en la ecuación (4) son un reflejo de la ley de Lenz. La primera ecuación dice que un
cambio en la corriente en la bobina 1 provoca un cambio en el flujo magnético a través de la bobina 2, lo que
induce una fem en esta última que se opone al cambio del flujo; en la segunda ecuación las dos bobinas
intercambian su papel.
CUIDADO - Sólo una corriente variable en el tiempo induce una fem Note que sólo una corriente variableen el tiempo en
una bobina puede inducir una femy, por lo tanto, una corriente en una segunda bobina. Las ecuaciones (4) demuestran que
la fem inducida en cada bobina es directamente proporcional a la tasa de cambio de la corriente en la otra bobina, no al
valor de la corriente. Una corriente estable en una bobina, sin importar su intensidad, no puede inducir una corriente en una
bobina cercana. ❚
3. La unidad del SI para la inductancia mutua se llama henry (1 H), en honor del físico estadounidense Joseph
Henry (1797-1878), uno de los descubridores de la inducción electromagnética. Según la ecuación (5), un
henry es igual a un weber por ampere. Otras unidades equivalentes obtenidas con la ecuación (4) son un
volt-segundo por ampere, un ohm-segundo, o un joule
Así como el farad es una unidad muy grande de capacitancia, el henry es una unidad muy grande de
inductancia mutua. Los valores comunes de la inductancia mutua son del orden del milihenry (mH) o
microhenry (mH).
Desventajas y usos de la inductancia mutua
La inductancia mutua puede ser inconveniente en los circuitos eléctricos,pues las variaciones de corriente en
un circuito inducen fem no deseadas en otros circuitos cercanos. Para minimizar estos efectos, los sistemas
de circuitos múltiples deben diseñarse de manera que M sea tan pequeña como se pueda; por ejemplo, dos
bobinas podrían colocarse muy alejadas o con sus planos perpendiculares.
Felizmente,la inductancia mutua también tiene muchas aplicaciones útiles.Un transformador, usado
en los circuitos de corriente alterna para subir o bajar voltajes, no tiene diferencias fundamentales con las dos
bobinas ilustradas en la figura 1.
Una corriente alterna variable en el tiempo en una bobina del transformador produce una fem variable en la
otra bobina; el valor de M, que depende de la geometría de las bobinas, determina la amplitud de la fem
inducida en la segunda bobina y, por lo tanto, la amplitud del voltaje de salida.
Autoinductancia e inductores
En nuestro análisis de la inductancia mutua consideramos dos circuitos separados e independientes: la
corriente en un circuito crea un campo magnético que da origen a un flujo a través del segundo circuito. Si
cambia la corriente en el primer circuito, el flujo en el segundo circuito cambia y en éste se induce una fem.
Ocurre un efecto importante relacionado incluso cuando se considera un solo circuito aislado. Cuando en el
circuito está presente una corriente, se establece un campo magnético que crea un flujo magnético a través
del mismo circuito; este flujo cambia cuando la corriente cambia. Así, cualquier circuito que conduzca una
corriente variable tiene una fem inducida en él por la variación en su propio campo magnético.
Esa clase de fem se denomina fem autoinducida. Según la ley de Lenz, una fem autoinducida siempre se
opone al cambio en la corriente que causó la fem, y de ese modo hace más
difícil que haya variaciones en la corriente. Por esta razón, las fem
autoinducidas son de gran importancia siempre que hay una corriente
variable.
Puede haber fem autoinducidas en cualquier circuito, ya que siempre hay
algún flujo magnético a través de la espira cerrada de un circuito que
conduce corriente.
Pero el efecto se intensifica considerablemente si el circuito incluye una
bobina con N espiras de alambre (figura 4).Como resultado de la corriente i,
hay un flujo magnético medio ΦB a través de cada vuelta de la bobina. En
analogía con la ecuación (5), definimos la autoinductancia L del circuito
como.
Cuando no hay riesgo de confusión con la inductancia mutua, la autoinductancia se llama simplemente
inductancia. Al comparar las ecuaciones (5) y (6) se observa que las unidades de autoinductancia son las
mismas que las de la inductancia mutua; la unidad del SI para la autoinductancia es el henry.
Si la corriente i en el circuito cambia, también lo hace el flujo ΦB; al reacomodar la ecuación (6) y obtener la
derivada con respecto al tiempo, la relación entre las tasas de cambio es
4. De acuerdo con la ley de Faraday para una bobina con N espiras,ecuación (4),la
fem autoinducida es por lo que se deduce que
El signo menos en la ecuación (7) es un reflejo de la ley de Lenz; nos dice que la fem autoinducida en un
circuito se opone a cualquier cambio en la corriente en ese circuito. (Más adelante, en esta sección,
estudiaremos con más profundidad el significado de este signo menos.)
La ecuación (7) también establece que la autoinductancia de un circuito es la magnitud de la fem autoinducida
por unidad de tasa de cambio de la corriente. Esta relación hace posible medir una autoinductancia
desconocida en forma relativamente sencilla: cambie la corriente en el circuito con una tasa di/dt conocida,
mida la fem inducida y obtenga el cociente para determinar el valor de L.
Los inductores como elementos de un circuito
Un elemento de circuito diseñado para tener una inductancia particular se llama inductor, o bobina de
autoinducción. El símbolo habitual para un inductor en un circuito es
Al igual que los resistores ycapacitores,los inductores se encuentran entre los elementos indispensables de
los circuitos electrónicos modernos.Su finalidad es oponerse a cualquier variación en la corriente a travé s del
circuito. Un inductor en un circuito de corriente directa ayuda a mantener una corriente estable a pesar de las
fluctuaciones en la fem aplicada; en un circuito de corriente alterna, un inductor tiende a suprimir las
variaciones de la corriente que ocurran más rápido de lo deseado.
Estudiaremos con más detalle el comportamiento y las aplicaciones de los inductores en los circuitos.
Para entender el comportamiento de los circuitos que contienen inductores es necesario desarrollar
un principio general análogo a la ley de Kirchhoff de las malla. Para aplicar esa ley se recorre una malla
conductora midiendo las diferencias de potencial a través de elementos sucesivos del circuito conforme se
avanza. La suma algebraica de estas diferencias alrededor de cualquier malla cerrada debe ser igual a cero
porque el campo eléctrico producido por las cargas distribuidas alrededor del circuito es conservativo.
denotamos un campo conservativo con
Cuando en el circuito hay un inductor,la situación cambia.El campo
eléctrico inducido magnéticamente dentro de las bobinas del inductor no es
conservativo; lo denotaremos con Necesitamos pensar con mucho
cuidado sobre los papeles que tienen los diferentes campos. Supongamos
que tratamos con un inductor cuyas bobinas tienen resistencia insignificante.
Entonces,para hacer que una carga se desplace a través de las bobinas se
requiere un campo eléctrico tan pequeño que sea despreciable, por lo que el
campo eléctrico total dentro de las bobinas debe ser igual a cero, aun
cuando ninguno de los campos individuales valga cero.Como es diferente
de cero, sabemos que debe haber acumulaciones de carga en las terminales
del inductor y las superficies de sus conductores para que se produzca este
campo.
Considere el circuito que se ilustra en la figura 5; la caja contiene
una combinación de baterías y resistores variables que nos permiten controlar la corriente i en el circuito. De
acuerdo con la ley de Faraday, ecuación
la integral de línea de alrededor del circuito es el negativo de la tasa
de cambio del flujo a través del circuito, que a la vez está dada por la ecuación (7). Al combinar estas dos
relaciones se obtiene
5. donde se integra en el sentido horario alrededor del circuito (el sentido supuesto para la corriente). Pero es
diferente de cero sólo dentro del inductor. Por lo tanto, la integral de alrededor de todo el circuito se
remplaza por su integral sólo de a a b a través del inductor; es decir,
A continuación,como =0 en cada punto dentro de las bobinas del inductor,esta ecuación se rescribe
como
Pero esta integral es simplemente el potencial Vab del punto a con respecto a b,por lo que al final se obtiene
Se concluye que hay una diferencia de potencial genuina entre las terminales del inductor, asociada con las
fuerzas conservativas electrostáticas,a pesar del hecho de que el campo eléctrico asociado con el efecto de
inducción magnética es no conservativo. Así, está justificado usar la ley de Kirchhoff de las mallas para
analizar circuitos que incluyan inductores.La ecuación (8) da la diferencia de potencial a través de un inductor
en un circuito.
CUIDADO : La fem autoinducida se opone a los cambios enla corriente Note que la fem autoinducida no se opone a la
corriente i en sí, sino a cualquier cambio (di/dt) en la corriente.
Así, el comportamiento de un inductor en un circuito es muy diferente del de un resistor. En la figura 6 se comparan los
comportamientos de un resistor y un inductor, y se resumen las relaciones de signos. ❚
6. Aplicaciones de los inductores
Como un inductor se opone a los cambios en la corriente, desempeña
un papel importante en los equipos que emplean luzfluorescente (figura
7), en los que la corriente fluye de los conductores al gas que llena el
tubo, con lo que el gas se ioniza y brilla.Sin embargo,un gas ionizado o
plasma es un conductor marcadamente no
óhmico: cuanto mayor es la corriente, tanto más alto es el grado de
ionización que alcanza el plasma y menor su resistencia. Si se aplicara
al plasma un voltaje suficientemente grande, la corriente aumentaría
tanto que dañaría los circuitos afuera del tubo fluorescente. Para evitar
este problema,se conecta un inductor o bobina de inductancia en serie
con el tubo con la finalidad de impedir que la corriente aumente más de
lo debido.
La bobina de inductancia también hace posible que el tubo
fluorescente funcione con el voltaje alterno provisto por el cableado de
una vivienda. Este voltaje oscila en forma sinusoidal con una frecuencia
de 60 Hz, por lo que vale cero momentáneamente 120 veces por
segundo. Si no hubiera una bobina de inductancia, el plasma en el tubo
fluorescente se desionizaría con rapidez cuando el voltaje se redujera a
cero
y el tubo se apagaría. Con la bobina de inductancia, una fem autoinducida sostiene la corriente y mantiene
encendido el tubo. Las bobinas de inductancia también se emplean con este propósito en el alumbrado
público (las luminarias obtienen su luzde un vapor brillante de mercurio o átomos de sodio) y en las luces de
neón.(En las lámparas fluorescentes compactas,la bobina de inductancia se sustituye por un esquema más
complicado de regulación de corriente, que utiliza transistores.)
La autoinductancia de un circuito depende de su tamaño,forma y número de espiras.Para N espiras
muy cercanas,siempre es proporcional a N².También depende de las propiedades magnéticas del material
encerrado por el circuito.En los ejemplos que siguen se supondrá que el circuito sólo encierra vacío (o aire, el
cual, desde el punto de vista del magnetismo es en esencia un vacío). Sin embargo, si el flujo está
concentrado en una región que contenga un material magnético con permeabilidad m, en la expresión para B
hay que sustituir (la permeabilidad del vacío) por . Si el material es diamagnético o paramagnético,
esta sustitución hace muy poca diferencia, puesto que Km tiene un valor muy cercano a 1.
Sin embargo, si el material es ferromagnético, la diferencia tiene importancia crucial.
Un solenoide devanado en torno a un núcleo de hierro dulce con Km = 5000 tiene una inductancia
aproximadamente 5000 veces más grande que la del mismo solenoide con un núcleo de aire. Los inductores
de núcleo ferromagnético se usan mucho en varias aplicaciones de electrónica y generación de electricidad.
Una complicación adicional es que con los materiales ferromagnéticos, la magnetización en general
no es una función lineal de la corriente magnetizadora,en especial cuando está próxima la saturación. Como
resultado,la inductancia no es constante,sino que depende de la corriente en forma bastante complicada. En
nuestro análisis ignoraremos esta dificultad y supondremos siempre que la inductancia es constante.
Ésta es una suposición razonable aun para un material ferromagnético si la magnetización permanece muy
por debajo del nivel de saturación.
Como los automóviles contienen acero —un material ferromagnético—, conducir un vehículo sobre
una bobina causa un incremento apreciable en la inductancia de esta última. Este efecto se aprovecha e n los
sensores de los semáforos,que usan una bobina grande portadora de corriente,la cual está enterrada bajo la
superficie del pavimento cerca de una intersección de avenidas.Los circuitos conectados a la bobina detectan
el cambio de inductancia cuando un vehículo pasa por arriba, y cuando un número programado de autos ha
pasado sobre la bobina, la luz del semáforo cambia a verde para permitir que crucen la intersección.
