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Estimación de reservas

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  • 1. Estimación de Reservas R. Oyarzun IntroducciónA lo largo de estos capítulos hemos estudiado el porqué y cómo se prospectan losyacimientos minerales. En éste entraremos a analizar lo que ocurre una vez que hemosencontrado un depósito mineral. Aquí estudiaremos los aspectos más básicos de una delas labores más complejas y de mayor riesgo económico en las que puede verseimplicado un geólogo: la estimación de reservas (cubicación).Las muestras a partir de las cuales se estiman las reservas de un yacimiento representanuna fracción mínima de éste. Por ejemplo, en la evaluación del pequeño pórfidocuprífero de Copper Flat (Nuevo Mexico, USA), se recuperaron a partir de una malladensa de sondeos, unas 200 TM (toneladas métricas) de testigos. De esas toneladas seutilizó una fracción solamente para análisis químicos, y con este material sedefinieron: 60 x106 TM de mineral. 150 x 106 TM de estéril.Comprendamos de esta manera el grado de dificultad que se encuentra implícito en estetipo de trabajos. Si el geólogo se pasa (sobreestima), la compañía puede empezar unostrabajos mineros que no serán rentables. Si se queda corto (subestima), la compañíapuede tomar la decisión de abandonar un prospecto que era rentable. En estasoperaciones pueden haber cientos, si no miles de millones de Euros en juego.Existen reglas claras para "afinar la puntería" ? desgraciadamente no, y solo podríamosmencionar dos herramientas indiscutibles: Entender la geología del prospecto, ya que sin una compresión adecuada de ésta, puede dar lo mismo el grado de refinamiento matemático que se emplee, que las probabilidades de cometer un grave error serán altas. Recuerde: las reservas las estima un geólogo, no un ordenador ni un paquete de software. Somos geólogos, no "aprietabotones". Por ejemplo, antes de aprender a utilizar el sistema Navstar (navegación vía satelital), un oficial de la marina tiene que aprender a utilizar el sextante para determinar la posición de su barco. Entender el modelo de yacimiento que estamos aplicando, siendo lo suficientemente flexibles como para modificar nuestra perspectiva si los datos no se ajustan al modelo. Recuerde OlympicDam (capítulo anterior).
  • 2. Analicemos el siguiente ejemplo. En negro observará las intersecciones entre lossondeos y la masa mineral. Arriba tenemos la interpretación de la morfología delos cuerpos por parte del geólogo, y abajo la forma real de éstos. La diferencia entonelaje es evidente, con el caso superior correspondiendo a una sobreestimación.Se podría evitar ésto ? sí, por ejemplo, con un buen control de la geología ensuperficie. Note que las dos situaciones se corresponden a su vez, a marcosgeológicos notablemente diferentes. Importante: 1) sin sondeos no se puede evaluarun prospecto; 2) sin un control geológico riguroso, no se debe empezar a sondear.Cabe destacar que los depósitos minerales eran evaluados, y sus reservas estimadas,mucho antes de que aparecieran los ordenadores y los métodos geoestadísticos. Semedían áreas, se estimaban volúmenes y tonelajes, y las leyes se promediabanutilizando papel y lápices, regla de cálculo o calculadoras mecánicas. Esos resultados noeran peores (y en algunos casos eran considerablemente mejores) que algunasestimaciones modernas por geoestadística con pobre control geológico.Antes de continuar, necesitamos definir de la manera más precisa posible tres términosrelacionados con la estimación de reservas. Se trata de los contactos de tipo geológico,mineralógico, y económico. Para evaluar un recurso tenemos que pensar en términos deestos tres conceptos:
  • 3. Contacto geológico: los límites litológicos y/o estructurales de una determinada unidad. Contacto mineralógico: definido por la extensión de la masa mineral (recurso "geológico"); puede o no coincidir con los contactos geológico (puede ir más allá de una determinada litología) y económico (a partir de un punto las leyes pueden ser subeconómicas). Contacto económico: los límites del material a partir del cual se pueden obtener ganancias (cut off grade). Contactos de tipo geológico, mineralógico, y económico.La estimación de reservas es mucho más que una mera proyección espacial (3D) de lasleyes (por ejemplo, % Cu, g/t Au, etc). Para determinar el verdadero valor de unyacimiento necesitaremos además determinar y proyectar los siguientes parámetros: Peso específico de la roca mineralizada. Potencia de la roca mineralizada. Tipo de mena (mineralogía). Estimación del grado de recuperación metalúrgica. Contenido en humedad. Competencia de la roca – RQD.A partir de este punto, nos concentraremos en los aspectos estadísticos básicos de laproyección de datos de leyes. Metodología clásicaEn esencia, una estimación de reservas consiste en definir un volumen, al cual se leaplica una ley y una densidad (peso específico): T = A x P x PE
  • 4. Donde:T: es el tonelaje del sector del depósito bajo evaluación.A: el área; visualización 2D del sector del depósito bajo evaluación; normalmente unasección vertical en cuerpos mineralizados irregulares.P: la potencia; distancia horizontal aplicada a dicha sección.PE: el peso específico de la roca mineralizada.Si al resultado le aplicamos una ley concreta (e.g., 2.3 % Cu), entonces tendremostoneladas con una ley específica (e.g., 2500 toneladas a 2.3 %Cu).En el caso de la determinación de laley media de un sondeo tendremos:Si dson los tramos del sondeo (medidos en metros) y l las leyes de dichos tramos,entonces la ley media del sondeo será:Leymedia = Σli x di / ΣdiEn el caso de la determinación de la ley media de una sección de un depósitotendremos:Leymedia = ΣlDDHi x Ai / Σ AiEsta metodología es particularmente útil en la estimación del tonelaje de cuerposmineralizados irregulares.
  • 5. Ejemplo de una sección. Primero calcularemos las leyes medias de los sondeos(DDH). A continuación aplicaremos esa ley al área que resulta de aplicar ladistancia media entre los sondeos (áreas definidas por las líneas de segmento).Calcularemos las áreas mediante planimetría, y determinaremos la ley final de lasección como: Leysección = ΣlDDHi x Ai / Σ Ai.Y para obtener un volumen al que aplicarle las leyes y pesos específicos, así tendremos:Una vez determinadas las leyes de cada sección, lo que debemos hacer es calcularlos volúmenes. En el ejemplo que muestra la figura, el volumen de rocamineralizada será igual a: (A1 + A2) x 0.5D, siendo D la distancia entre lassecciones A1 y A2.Otro sistema es el denominado método de los polígonos. Este método ha sido utilizadopor la industria minera durante décadas. Es un método simple, las matemáticas son
  • 6. fáciles, y las estimaciones pueden ser realizadas de manera rápida. Se empleaprincipalmente en cuerpos tabulares (e.g., filones). Lo sondeos se dirigen normalmentea 90º con respecto a la masa tabular bajo evaluación. Para la construcción de lospolígonos se pueden emplear dos procedimientos: Bisectores perpendiculares. Bisectores angulares.Métodos de los bisectores perpendiculares y bisectores angulares. Los pequeñoscírculos representan las posiciones de los sondeos, el círculo negro, indica el sondeocentral. En el primer caso (a), el polígono será construido trazandoperpendiculares a las líneas de segmento (bisectores perpendiculares), que unen lossondeos periféricos con el sondeo central. Dicha perpendicular pasará por el puntomedio de las líneas de unión. En el segundo caso (b) el polígono se construyeintersectando las bisectrices de los ángulos que se forman al unir los distintospuntos (bisectores angulares). A cada polígono se le asignará una potencia (espesorde la masa mineralizada económica: Th) y una ley (G). La ley se determinará de lasiguiente manera (a): LeyABCDE = Ley1 x 0.5 + Ley2 x 0.1 + Ley3 x 0.1 + Ley4 x 0.1 +Ley5 x 0.1 + Ley6 x 0.1, donde 1 es el sondeo central, y 2-6 los periféricos.
  • 7. Ejemplo real de aplicación del método de los polígonos (cuerpo mineralizadoestratoligado aurífero de Hemlo, Canadá). El depósito tiene una orientación E-W,buzando 65ºN. El cuerpo ha sido proyectado en una sección vertical. Note losdistintos fondos, en blanco (polígonos), reservas probadas; en puntos reservasprobables; en blanco (bordeando los zonas de puntos), reservas indicadas(posibles).Hasta aquí los aspectos más básicos de la estimación de reservas. Para continuarnecesitamos incorporar tres conceptos claves para entender la estimación de reservas ensu perspectiva económica real: La dilución de leyes. El coeficiente de extracción. La recuperación de metal.Resulta prácticamente imposible extraer solo el material económico en una mina, de talmanera que durante el proceso de la voladura de roca, quedará siempre incluido materialestéril (lo cual lleva a la dilución de leyes). Las causas son las siguientes: Sobrevoladura: material que está fuera de los límites económicos del cuerpo mineralizado queda incluido en el material extraído.
  • 8. Dilución interna: material subeconómico que se encuentra incluido dentro del cuerpo económico y que no puede ser segregado. Dilución de reemplazo o contacto: si el contacto estéril/mineral es muy irregular (y esto suele bastante normal), el resultado será que un volumen equivalente de material estéril substituirá al material económico. Aunque la voladura de roca es un arte que en ocasiones roza la perfección, tampoco se le pueden pedir milagros.Ejemplo de dilución de reemplazo. La línea continua marca el contacto económico-mineralógico, la de segmento, lo que por ingeniería se puede obtener (contactopromedio). Observe como en el material que se va a arrancar, entran zonas demineralización subeconómica o estéril (waste), y como a su vez, zonas de mineraleconómico (ore) queda afuera.Las minas operan con valores establecidos de dilución, que deben ser aplicados a lasdeterminaciones de tonelaje realizadas por los geólogos (diálogo ingeniero de minas –geólogo).A esto hay que sumarle el concepto de mineral extraíble. Es prácticamente imposibleextraer el 100 % del material económico de una mina. En el caso de una minasubterránea es fácil de entender esta situación, pero tengamos en cuenta, que en ciertamedida lo mismo se aplica a las minas a cielo abierto. Si queremos que la mina nocolapse, obviamente no se podrá extraer de ella todo el material que queremos.Por ejemplo, a lo mejor solo el 80% del material será susceptible de ser extraído si sedesea mantener límites adecuados de seguridad. Así, y siguiendo este ejemplo, parauna reserva "geológica" de 10.000 TM de mineral al 2.3 % Cu, con un factor deextracción del 80 %, y una dilución del 10 % tendremos:10.000 x 0.8 = 8.000 TM al 2.3 % CuSi aplicamos a esta cifra una dilución del 10 % tendremos:
  • 9. 8.000 x 1.1 = 8.800 TMy la ley diluida será de:Leyfinal = (8.000 x 2.3 %)/8.800 = 2.09 % CuCon lo cual tendremos al final de nuestras cuentas: 8.800 TM al 2.09 % Cu. Recuerde,bajo un punto de vista exclusivamente geológico, las reservas eran inicialmente de10.000 TM al 2.3 % Cu.Esto en lo que se refiere a la parte "minera" del problema. Pero a ésto tenemos queagregarle la problemática de la recuperación metalúrgica del metal en cuestión.Sigamos con el mismo ejemplo.Una tonelada de material de mina al 2.09 % Cu contiene 20.9 kilos de cobre. Si estematerial da unos 65 kilos de concentrado al 30 % Cu, entonces tendremos:65 kg x 0.30 = 19.5 kgy la recuperación metalúrgica será entonces de:19.5/20.9 = 0.93 (93 %)Como podemos apreciar, los valores que obtenemos de la estimación de reservasconstituyen solo una primera aproximación al tema más importante a considerar, estoes, la viabilidad económica de recurso mineral. Por eso, el que un recurso sea o noexplotable va mucho más allá de una estimación de cuantas toneladas y con quéleyes.Además, si recordamos lo estudiado en capítulos anteriores, también debemosconsiderar aspectos tan variados como son el panorama de la economía mundial(ciclo de crecimiento, ciclo recesivo ?), el tecnológico (requerirán las nuevastecnologías el metal o mineral en cuestión ?), el ambiental (será permitido extraer yprocesar el recurso en un determinado sitio ?), y por qué no, el político (que sistema degobierno impera en una región, peligro de golpes de Estado, guerrillas? ). Todos estosaspectos están además relacionados entre sí de una manera u otra. Métodos geoestadísticos: una introducción al temaSupongamos que tenemos un conjunto de datos (1: fichero Excel) de leyes repartidas enun espacio XY, y asignamos a cada muestra un símbolo con un tamaño proporcional asu valor:
  • 10. A la izquierda representación de las muestras del conjunto 1, el tamaño de lospuntos es proporcional al valor de cada una; a la derecha una representación 3Dde la distribución.Para este conjunto de datos la media es 0.93 y la desviación estándar igual a 1.20(valores redondeados). A continuación realizaremos lo siguiente, consideraremos unnuevo conjunto de datos (2: fichero Excel), equivalente al anterior en cuanto a númerode muestras y posición de los puntos de muestreo, pero donde los valores de lasmuestras han cambiado de posición:
  • 11. A la izquierda representación de las muestras del conjunto 2, el tamaño de lospuntos es proporcional al valor de cada una; a la derecha una representación 3Dde la distribución.Si realizamos los cálculos estadísticos correspondientes, descubriremos que la medianuevamente es 0.93 y la desviación estándar igual a 1.20. En otras palabras, losconjuntos 1 y 2 son “estadísticamente equivalentes”. Sin embargo, resulta evidente, bajocualquier punto de vista, que la distribución espacial XY de los valores essubstancialmente diferente en cada caso: en el primero existe una cierta dispersión delos valores, mientras que en el segundo, estos se agrupan de acuerdo a dos trends dedirección NW bien definidos. De alguna manera podríamos intuir que en el primer casola distribución de los valores es más bien aleatoria mientras que en el segundodistinguimos una marcada “anisotropía”.
  • 12. Resulta claro que la estadística “clásica” no resulta una herramienta útil para tratar casosde esta naturaleza, los cuales por otra parte, son comunes en geología, ya que notrabajamos con datos abstractos, sino que estos tienen una distribución en el espacio. Esdecir, para cada muestra, con coordenadas XY, existe al menos un valor Z. Este últimopuede corresponder a una concentración de cobre y/o zinc en un punto XiYi, o bien a unvalor de emisión de gases de mercurio, o cualquier otro ejemplo que se nos venga a lamente.La pregunta es entonces ¿ como poder relacionar los valores con sus posiciones en elespacio ? y más importante aun ¿ como relacionar dichos valores entre sí ? Este es elrequisito básico para poder interpolar datos y obtener una información gráfica sobre lastendencias mostradas por las variables (kriging).Esto se obtiene mediante la herramienta más básica de la geoestadística, el variograma,una función matemática que nos permite estudiar las diferencias entre muestras y ladireccionalidad (anisotropía) de los valores.Realicemos la siguiente abstracción mental, si la distancia h entre dos muestras es iguala 0, la diferencia entre los valores de estas será nula (y la varianza = 0). Si ambasmuestras están muy cerca, existirá una diferencia, pero esta, expresada como lavarianza, será muy pequeña. Sin embargo, a medida que las muestras estén másalejadas, llegará un momento en el cual deje de haber una “relación” entre las muestras.¿ Como podemos determinar esto ? mediante la construcción matemática de unvariograma experimental y su ulterior modelización.En términos muy simples podemos definir el variograma como la media de loscuadrados de las diferencias entre pares de muestras separados por una distancia h: γ (h) = 1/2nΣ [Z(xi) - Z(xi + h)]2Donde:h= distancia entre los pares.n = número de pares.
  • 13. Z(xi) = la localización y valor de la muestra.Ejemplo clásico de un variograma experimental ajustado al llamado “modeloesférico”. La varianza crece sistemáticamente hasta “a” (rango o alcance) distanciaa partir de la cual las muestras empiezan a ser independientes unas de otras. El“sill”muestra la zona de la curva donde los valores ya no se correlacionan.
  • 14. A diferencia del caso anterior, donde la curva empieza en el origen del sistema XY(varianza 0), aquí observamos el denominado efecto pepita (Nugget), el que se debea fluctuaciones aleatorias de la variable o a errores en el muestreo.¿ Perocomo se construye un variograma experimental ? ¿ dedonde salen los puntos enun gráfico de esta naturaleza ?Isobel Clark en su obra ya clásica PracticalGeostatistics (1979) nos propone el siguienteejemplo. Imaginemos una malla cuadrada donde se han tomado una serie de muestrascon determinados valores, y digamos que la distancia entre muestras es de 100’.El primer punto de nuestra función γ (h) vendrá dado por γ (100), esto es, la media delos cuadrados de las diferencias entre todos los pares de muestras separados por unadistancia de 100 m:
  • 15. De esta manera obtenemos el primer punto para la construcción del variogramaexperimental, donde en el eje Y (γ (h)) tendremos un valor de 1.46 y en el X (h) otro de100. Para conseguir el segundo punto γ(200) haremos lo siguiente (y asísucesivamente):
  • 16. Estos puntos aparecerán en el variograma experimental de la siguiente manera:
  • 17. Y así continuaríamos con γ(300), γ(400), γ(500), etc. Podríamos continuar de estamanera hasta 800’, la máxima distancia muestreada, pero en general, se suele ir(particularmente si los cálculos son “a mano”), hasta la mitad de la distancia, esto es,400’.En este caso estamos realizando un variograma experimental E-W, pero como ya hemosdiscutido previamente, la distribución de los valores en el espacio puede variar según ladirección en que nos movamos (anisotropía). De ahí que sea importante realizar estasoperaciones en al menos tres direcciones en un plano XY: N-S, E-W, y NW-SE, paracomprobar el grado de anisotropía del sistema.El uso de paquetes informáticos modernos permite realizar estas operaciones con muchafacilidad en ordenadores tipo PC (entorno Windows©), y un número de ellos, entrega“por default” el denominado variograma omnidireccional, esto es, un “promedio” de losdistintos posibles variogramas que se pueden realizar para diferentes direcciones.Aunque algunos programas como Surfer8© determinan además el grado y dirección dela anisotropía, conviene no obstante cerciorase geológicamente de la validez delvariograma omnidireccional, esto es, determinar si la anisotropía (o ausencia de esta)detectada tiene o no sentido. En otras palabras, un programa será tan bueno o tan malocomo quien lo utilice. Cabe destacar no obstante, que programas como Surfer8©permiten además realizar variogramas experimentales en direcciones concretas fijadaspor el operador.De cualquier manera, todo esto es “algo más” que pasar los datos (XYZ) a un archivoExcel y pedirle al programa que nos proyecte los datos de la función γ (h). Una vez queaparezcan los datos en el gráfico (variograma experimental), deberemos seleccionar elmodelo que mejor se ajuste a nuestros datos.Ya hemos visto al comienzo la representación del denominado modelo esférico (conefecto pepita: nugget). Aunque este suele ajustarse bastante bien a muchos casos enminería o geoquímica, conviene que conozcamos otros modelos:
  • 18. Otros modelos de variograma.Esta fase del trabajo es muy importante, ya que el trabajo de kriging dependetotaomente de: 1) del modelo a utilizar; y 2) del grado y direccionalidad de laanisotropía. En otras palabras, el kriging será tan bueno o tan malo como el ajusteprevio que hayamos realizado en el variograma.Pero ¿qué es krigingexactamente ? al comienzo de esta sección lo definimos como unmétodo de interpolación, aunque como veremos, el kriging aplicado a la estimación deleyes y reservas (o a tendencias geoquímicas en trabajos ambientales), es mucho másque esto.Consideremos el siguiente problema, tenemos varios puntos de muestreo, con susrespectivos valores, y deseamos estimar el valor del punto A:
  • 19. Se nos ofrecen múltiples posibilidades, empezando por decidir que el punto 1 tendrá“más influencia” que, digamos, el punto 5. Sin embargo ¿ cuánta más influencia deberíatener ? Aquí entramos en el problema de la ponderación y los métodos matemáticosclásicos de interpolación (inversos de la distancia, inversos de los cuadrados de ladistancia, etc). Si recordamos el caso de la estimación de leyes mediante el método delos polígonos, dijimos que un procedimiento común era asignar el 50 % del valor finalal punto central y otro 50 % a los puntos situados en la periferia. En el ejemplo de abajoesto sería 50 % al sondeo del centro y 50 % a los cinco restantes (10 % a cada uno).Como en todas las cosas de la vida “si funciona no lo cambies” (o en inglés:neverchange a winninggame), pero ¿ y qué pasa si nuestra estimación de leyes no estásiendo la mejor posible o es claramente mala ? Ahora es cuando deberíamos recurrir alos métodos geoestadísticos, y en particular al variograma, nuestra herramienta básica.Existen dos razones principales para hacer esto: 1) el variograma de nos da una medidadel “alcance” (range) de las muestra, esto es, nos dice hasta adonde en el espacio losvalores de estas son “significativos”; y 2) nos da una idea de la variabilidad de losvalores en el espacio, esto es, si el sistema es fuertemente anisotrópico, las muestraspueden tener una mejor correlación en una dirección que en otra. En otras palabras, el“alcance” será dependiente de la dirección. Si nuestro caso corresponde a un pórfidocuprífero, el comportamiento (dado el tipo geométrico de mineralización) será más bienisotrópico, pero si el ejemplo corresponde a un filón, intuitivamente podemos pensarque la anisotropía en el sistema será mayor. Por ejemplo, esperaremos una mayorcontinuidad a lo largo de la dirección del filón que de su buzamiento. Por otra parte, lacaída de las leyes será bastante abrupta cuando salgamos de la estructura mineralizada.Volvamos al ejemplo de arriba introduciendo las distancias entre los puntos:
  • 20. ¿ Cómo determinamos entonces la ley en el punto A ?Ahora es cuando todo empieza a tener más sentido: necesitamos el variograma paradeterminar “que” muestras pueden tener una influencia “real” en la estimación de la ley(o cualquier otra variable que estemos considerando), ya que el “alcance” (Rango a) nosda una idea de hasta que distancia existe una relación entre las muestras. Por ejemplo, siel alcance determinado por la modelización del variograma fuera de a = 100 m, lamuestra 5 tendría que ser descartada (está a unos 134 m de distancia del punto A).A efectos prácticos, todos los cálculos son realizados hoy en día por programasespecializados, algunos de los cuales pueden ser muy caros (miles de euros). Opcionesrelativamente económicas son programas como Surfer8© o EcoSSe©, que comocontrapartida no permiten el diseño y estudio de bloques (donde realizar la estimación:block kriging en el sentido “minero” del término), aunque se puede realizar una buenamodelización de variogramas experimentales y desarrollar kriging puntual. De estamanera se pueden obtener mapas donde la interpolación de valores en el espacio XYestá controlada por la función γ (h). Volvamos a uno de los ejemplos del principio(datos 2) trabajando con Surfer8©:
  • 21. Representación de los datos del conjunto 2. Esta vez hemos puesto sobre cada punto, el valor real Z (fichero Excel).Con estos valores y sus respectivas posiciones en el espacio XY desarrollamos elvariograma experimental, y a partir de este, buscamos el modelo que mejor se ajuste a ladistribución.
  • 22. Sin modelizar no tenemos ningún efecto de anisotropía (ver circulo perfecto a laderecha). La primera función que decide el programa en este caso es una de tipo lineal,la que no se ajusta adecuadamente a la distribución de puntos.
  • 23. Pero dado que observamos que existe una tendencia de los puntos hacia el origendel sistema, con un desarrollo de sill hacia la derecha, modelizamos a unvariograma esférico (el ejemplo no es “perfecto”, pero …), y ahí empezamosdetectar la fuerte anisotropía del sistema (ver elipse y su orientación:direccionalidad de los datos).En este caso, vemos que los datos muestran una tendencia hacia el origen (X = 0; Y =0), por lo cual descartamos la presencia del efecto pepita (nugget). Dado que los datoscrecen hasta un determinado punto (alcance = 11.6) y a partir de ahí no existe un claroincremento, podemos modelizar el variograma al tipo esférico, y determinar laanisotropía del sistema. Con el modelo, el grado de anisotropía (anisotropy ratio = 2), yla dirección de la misma (32.51º →N57.49º), podemos pasar a los cálculos de krigingpuntual introduciendo estos datos en el programa:
  • 24. En la ventana de kriging, seleccionamos opciones avanzadas (izquierda), y una vez en estas, seleccionamos desde pantalla el variogramamodelizado.El resultado final que se obtiene es un mapa de interpolación donde nuestros valores Z,se ajustan a los parámetros introducidos:
  • 25. Mapa obtenido para el conjunto de datos 2, con los siguientes parámetros: modelo de variograma: esférico; anisotropy ratio: 2; dirección N57.49º (32.51º).Lo importante es que ahora podemos estimar el valor de Z en cualquiera de los nodos dela red:
  • 26. Archivo GRD donde podemos estimar el valor de Z en cualquiera de los nodosgenerados por el programa. Por ejemplo, el punto rojo arriba a la izquierda tiene unvalor estimado de 0.139. BibliografíaAnnels, A.E. 1991. Mineral deposit evaluation: a practical approach. Chapman & Hall,London, 435 pp.Clark, I. 1979. Practical geostatistics.Applied Science Publishers LTD, Essex, 129 pp.Clark, I. & Harper, W.V. 2001.Practical geostatistics 2000.Ecosse North America Llc.,Columbus, 342 pp.McKinstry, H.E. 1970. Geología de minas. Omega S.A., Barcelona, 671 ppStone, J.G. &Dunn, P.G. 1993. Ore reserve estimates in the real world. Society ofEconomic Geologists, Special Publication no. 3, 150 pp.