• Like

Loading…

Flash Player 9 (or above) is needed to view presentations.
We have detected that you do not have it on your computer. To install it, go here.

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
1,900
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
150
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO1. ESTRUTURAS LÓGICASLÓGICA DE ARGUMENTAÇÃODIAGRAMAS LÓGICOS ............................................................ 032. ÁLGEBRA LINEAR ................................................................ 133. PROBABILIDADES ................................................................ 274. COMBINAÇÕES ..................................................................... 295. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES ............................................ 32 Raciocínio Lógico 1
  • 2. PESQUISA E EDIÇÃO: FLÁVIO NASCIMENTO (Graduado em Administração deEmpresas e Bacharelando em Direito pela Faculdades Toledo de Araçatuba – SP)BIBLIOGRAFIA:Alencar F, Edgard de. Iniciacao a Logica Matematica. Editora Nobel , São PauloJacob Daghlian – Lógica e álgebra de Boole – 4º ed. – São Paulo: Atlas, 1995.Coleção Schaum – Álgebra Moderna – Ed. McGraw-Hill2 Raciocínio Lógico
  • 3. 1. ESTRUTURAS LÓGICAS, LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO, ESTRUTURAS LÓGICASIniciaremos com os primeiros passos da Lógica:PROPOSIÇÕESTemos vários tipos de sentenças:DeclarativasInterrogativasExclamativasImperativasVALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕESO valor lógico de uma proposição r é a verdade(ou verdadeiro) se r é verdadeira.Escreve-se v(r) = V, isto é, o valor lógico de r é V.O valor lógico de uma proposição s é a falsidade(ou falso) se s é falsa.Escreve-se v(s) = F, isto é, o valor lógico de s é F.Os valores “verdadeiro” (V) e “falso(F) são chamados de valores lógicos”.LEIS DO PENSAMENTOVejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar.PRINCÍPIO DA IDENTIDADE. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira.PRINCÍPIO DE NÃO-CONTRADIÇÃO. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa.PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa.SENTENÇAS ABERTAS Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis, teremos umasentença aberta.CONECTIVOSChama-se conectivo a algumas palavras ou frases que em lógica são usadas para formarem proposiçõescompostas.Veja alguns conectivos:A negação não cujo símbolo é ~.A desjunção ou cujo símbolo é v.A conjunção e cujo símbolo é ^O condicional se,....., então, cujo símbolo é -->.O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é <->.PROPOSIÇÕES SIMPLESUma proposição é simples quando declara ou afirma algo sem o uso de nenhum dos conectivos e, ou, se...., entãoe se , e somente se.PROPOSIÇÕES COMPOSTASUma proposição é composta quando formada por mais de uma proposição simples. Raciocínio Lógico 3
  • 4. 1 - INTRODUÇÃO A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração.Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de GeorgeBoole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricaspara representar proposições e suas inter-relações. As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramosda eletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidascomo proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes:Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo outra alternativa.Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa.Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valorlógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ... De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um númeroreal" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógicodefinido (verdadeiro ou falso).Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógicoV ou F. Poderia ser também 1 ou 0.p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V )q: " 3 + 5 = 2 " ( F )r: " 7 + 5 = 12" ( V)s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) . 180º " ( V )t: " O Sol é um planeta" ( F )w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F )2 - SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA ∼ não ∧ e ∨ ou → se ... então ↔ se e somente se | tal que ⇒ implica ⇔ equivalente ∃ existe ∃| existe um e somente um ∀ qualquer que seja3 - O MODIFICADOR NEGAÇÃODada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se " não p " ).Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V )~p: Três pontos não determinam um único plano ( F )Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p .4 Raciocínio Lógico
  • 5. 4 - OPERAÇÕES LÓGICAS As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos ∧ , ∨ , → e ↔ , dandoorigem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples,poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p∧ q , p∨ q , p→ q , p↔ q (Os significados dossímbolos estão indicados na tabela anterior).Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir.Conjunção: p∧ q (lê-se "p e q " ).Disjunção: p∨ q (lê-se "p ou q ") .Condicional: p→ q (lê-se "se p então q " ).Bi-condicional: p↔ q ( "p se e somente se q") . Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valoreslógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela aseguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada: p q p∧q p∨q p→ q p↔q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais.Ex.: Dadas as proposições simples:p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0)q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1)Temos:p∧ q tem valor lógico F (ou 0)p∨ q tem valor lógico V (ou 1)p→ q tem valor lógico V (ou 1)p↔ q tem valor lógico F (ou 0). Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, nãoobstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase! Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0),não podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuito elétrico desligado e um (1)pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, carosamigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores! Seria demais imaginar que a proposição p∧ q pode ser associada a um circuito série e a proposição p∨ q aum circuito em paralelo? Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo! Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico deuma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem. Raciocínio Lógico 5
  • 6. p q p∧ q p∨ q p→ q p↔ q 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou Vvalor lógico falso = 0 ou FPodemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima paraa conjunção, disjunção e equivalência, ou seja: a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras. A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas. A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos. Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimentodas regras ali contidas: p q p→ q V V V V F F F V V F F VO raciocínio a seguir, será a base da nossa análise: Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outraproposição q, consideraremos que p→ q é verdadeira.Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima:1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira paraoutra também verdadeira. Logo, p→ q é verdadeira.2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se auma proposição falsa. Logo, neste caso, p→ q é falsa.3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a umaproposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo:Sejam as proposições:p: 10 = 5 (valor lógico F)q: 15 = 15 (valor lógico V)Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira).Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5= 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a qVERDADEIRA. Logo, p→ q é verdadeira4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a umaproposição também falsa. Senão vejamos:Sejam as proposições:p: 10 = 5 (valor lógico F)q: 19 = 9 (valor lógico F) Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a qtambém FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4.6 Raciocínio Lógico
  • 7. Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é aproposição q dada. Logo, p→ q é verdadeira (V).Exercícios:1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r:(p∧ ∼ q) → q ?Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V .r: (V ∧ V) → F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V → F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0.2) Qual das afirmações abaixo é falsa?a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4.b) a soma de dois números pares é um número par e 72 = 49.c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado.d) se 102 = 100 então todo número inteiro é natural.e) 2 = 32 - 7 ou a Terra é plana. Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores,concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 102 = 100 é V e "todo número inteiro énatural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural) . Portanto, temos V → F , quesabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima).Resumo da Teoria1 - Tautologias e ContradiçõesConsidere a proposição composta s: (p∧ q) → (p∨ q) onde p e q são proposições simpleslógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s :Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: p q p∧ q p∨ q (p∧ q) → (p∨ q) V V V V V V F F V V F V F V V F F F F VObserve que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s ésempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA.Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposiçãocomposta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planetaplano" é uma proposição logicamente verdadeira.Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela ésempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO.Ex.: A proposição composta t: p ∧ ~p é uma contradição, senão vejamos: p ~p p∧ ~p V F F F V FNOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2nlinhas.Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p∧ q) ∨ r Raciocínio Lógico 7
  • 8. Teremos: p q r (p∧ q) (p∧ q) ∨ r V V V V V V V F V V V F V F V V F F F F F V V F V F V F F F F F V F V F F F F FObserve que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição.Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmenteconstruindo as respectivas tabelas verdades:Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, sãoTAUTOLOGIAS:1) (p∧ q) → p2) p → (p∨ q)3) [p∧ (p→ q)] → q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens")4) [(p→ q) ∧ ~q] → ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens")Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmentesão tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V.NOTAS:a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência.b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa,ou seja, uma contradição.2 - Álgebra das proposiçõesSejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. Sãoválidas as seguintes propriedades:a) Leis idempotentesp∧ p = pp∨ p = pb) Leis comutativasp∧ q = q∧ pp∨ q = q∨ pc) Leis de identidadep∧v=pp∧f=fp∨v=vp∨f=pd) Leis complementares~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação)p ∧ ~p = fp ∨ ~p = v~v = f~f = ve)Leis associativas(p∧ q)∧ r = p∧ (q∧ r)(p∨ q)∨ r = p∨ (q∨ r)8 Raciocínio Lógico
  • 9. f) Leis distributivasp∧ (q∨ r) = (p∧ q) ∨ (p∧ r)p∨ (q∧ r) = (p∨ q) ∧ (p∨ r)g) Leis de Augustus de Morgan~(p∧ q) = ~p ∨ ~q~(p∨ q) = ~p ∧ ~qh) Negação da condicional~(p→ q) = p∧ ~qTodas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades.Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h):Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p→ q) e de p∧ ~q :Tabela1: p q p→ q ~(p→ q) V V V F V F F V F V V F F F V FTabela 2: p q ~q p∧ ~q V V F F V F V V F V F F F F V FObservando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambasapresentam a seqüência F V F F , o que significa que ~(p→ q) = p∧ ~q .Exs.:1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"?Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo".2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado" ?Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado".3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ?Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e nãoaprendo"Dado um conjunto de proposições P1, P2 , P3 , ... , Pn , Q (simples ou compostas) chama-se ARGUMENTO àproposição composta S : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q .As proposições P1, P2 , P3 , ... , Pn são denominadas PREMISSAS e a proposição Q é denominada CONCLUSÃO.Costuma-se representar um argumento, também da forma simplificada:P1, P2 , P3 , ... , Pn ∴ Q , onde o símbolo ∴ significa "logo" ou "de onde se deduz " .O argumento S : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q será VÁLIDO se e somente se a proposição compostas : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q for uma TAUTOLOGIA, ou seja, a última coluna da sua TABELA VERDADE sócontiver o valor lógico verdadeiro (V). Caso contrário, o argumento não será válido e será denominado FALÁCIA.Consideremos o seguinte exemplo de argumento:Se chove então faz frio.Não chove,Logo, não faz frio. Raciocínio Lógico 9
  • 10. Este argumento é válido? Vejamos:Sejam as proposições:p: " chove "q: " faz frio "Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q).Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica indicada acima:s: [(p → q) ∧ ~p] → ~qPara saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposiçãocompostas: [(p → q) ∧ ~p] → ~q.Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores:p q ~p ~q p→ q [(p → q) s ∧ ~pV V F F V F VV F F V F F VF V V F V V FF F V V V V VComo a proposição compostas: [(p → q) ∧ ~p] → ~q não é uma Tautologia (apareceu um F na terceira linha da última coluna), concluímos que oargumento dado não é válido. O argumento é, portanto, uma FALÁCIA.Vamos agora considerar o seguinte argumento:Se chove então faz frio.Não faz frio.Logo, não chove.Este argumento é válido? Vejamos:Sejam as proposições:p: " chove "q: " faz frio "Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q).Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica:s: [(p → q) ∧ ~q] → ~pPara saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposiçãocompostas: [(p → q) ∧ ~q] → ~p .Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores:p q ~p ~q p→q [(p → q) ∧ ~q sV V F F V F VV F F V F F VF V V F V F VF F V V V V VComo a proposição compostas: [(p → q) ∧ ~q] → ~p é uma Tautologia (só aparece V na última coluna), concluímos que o argumento dado éválido.Este tipo de problema se complica um pouco quando o número de premissas aumenta, pois com duas premissas,10 Raciocínio Lógico
  • 11. a tabela verdade conterá 22 = 4 linhas, com três premissas, a tabela verdade conterá 23 = 8 linhas e assimsucessivamente. Com quatro premissas, a tabela verdade conterá 24 = 16 linhas; imagine 10 premissas!A tabela verdade conteria 210 = 1024 linhas. Aí, só os computadores resolveriam ...Considere outro exemplo, agora com 3 premissas:Se o jardim não é florido então o gato mia.Se o jardim é florido então o passarinho não canta.O passarinho canta.Logo, o jardim é florido e o gato mia.Sejam as proposições:p: " o jardim não é florido"q: " o gato mia"r: " o pássaro canta"Poderemos escrever o argumento na seguinte forma simbólica:s : [(p → q) ∧ (~ p → ~ r) ∧ r ] → ( ~ p ∧ q )Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores:p q r ~ r ~p ∧ q p → q ~p ~p → ~ r [(p → q) ∧ (~p → ∼ r) ∧ s (~r)V V V F F V F V F VV V F V F V F V V FV F V F F F F V F VV F F V F F F V F VF V V F V V V F F VF V F V V V V V V VF F V F F V V F F VF F F V F V V V V FComo o argumento s não é uma Tautologia (apareceu F na última coluna) , o argumento não é válido.Notas:1 – o entendimento da tabela verdade acima, requer muita atenção.2 – neste tipo de exercício, não devemos usar a intuição, somente. A construção da tabela verdade é umanecessidade imperiosa, embora possa parecer muito trabalhosa.3 – recomendamos enfaticamente, imprimir o arquivo e analisar criteriosamente a tabela verdade.Agora resolva estes:1 - Se o jardim não é florido então o gato mia.O gato não mia.Logo, o jardim é florido.Resposta: o argumento é válido.2 - Se o jardim não é florido então o gato não mia.O jardim é florido.Logo, o gato mia.Resposta: o argumento não é válido. Raciocínio Lógico 11
  • 12. 2. ÁLGEBRA LINEAR NUMEROS COMPLEXOS No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudodas raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses,Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoriados Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade.Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1.Pode-se escrever então:i = √-1 .Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo dasraízes quadradas de números negativos .Ex: √-16 = √16 . √-1 = 4.i = 4iPotências de i :i0 = 1i1 = ii2 = -1i3 = i2 . i = -ii4 = (i2)2 = (-1)2 = 1i5 = i4 . i = 1.i = ii6 = i5 . i = i . i = i2 = -1i7 = i6 . i = -i , etc.Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir doexpoente zero.Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4.Assim , podemos resumir:i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4).Exemplo: Calcule i2001Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo:z = a + bi , onde i = √-1 é a unidade imaginária .Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3)w = -3 -5i (a = -3 e b = -5)u = 100i ( a = 0 e b = 100)NOTAS:a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z .b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária.Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) .c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i .d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real .Ex: z = 5 = 5 + 0i .e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é umsubconjunto do conjunto dos números complexos.f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) .Exercícios Resolvidos:1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro.12 Raciocínio Lógico
  • 13. Solução: Para que o complexo z seja um imaginário puro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 -5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3.2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 .Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena sermemorizada).Substituindo na expressão dada, vem:(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64.Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64.3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 .Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece sermemorizada).Substituindo na expressão dada, vem:z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100.Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária ézero.CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXODado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro númerocomplexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z .z = a + bi = a - biEx: z = 3 + 5i ; = 3 - 5iObs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados .Assim é que z = a + bi = (a,b).Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquernúmero complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal ea parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical échamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss.O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z.DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIARegra : Para dividir um número complexo z por outro w 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelocomplexo conjugado do denominador .Ex: = = = 0,8 + 0,1 iAgora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios:1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i1802 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z .3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é:4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser:5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: Raciocínio Lógico 13
  • 14. 6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é:7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0.8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.2409) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a.10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a.11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0.12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é:a)-3ib)1-ic) 5/2 + (5/2)id) 5/2 - (3/2)ie) ½ - (3/2)i13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se:a) -1+2ib) 1+2ic) 1 - 2id) 3 - 4ie) 3 + 4i14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente:a) 1 e 10b) 5 e 10c) 7 e 9d) 5 e 9e) 0 e -915 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de zé:a) 13b) 7c) 13d) 7e) 516 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a:a) 16b) 161c) 32d) 32ie) 32+16i17 - UCSal - Sabendo que (1+i)2 = 2i, então o valor da expressãoy = (1+i)48 - (1+i)49 é:a) 1 + ib) -1 + ic) 224 . id) 248 . ie) -224 . iGABARITO:1) -3 - i 7) 3 13) D2) -3 + 18i 8) 1 + 2i 14) A3) 4 + 3i 9) 50 15) A4) 3/2 10) 32i 16) A5) -2 + 18i 11) -1 - i 17) E6) i 12) B14 Raciocínio Lógico
  • 15. MATRIZES e DETERMINANTEMatriz de ordem m x n :Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais(ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem mpor n)Exemplos:A = ( 1 0 2 -4 5) → Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5)B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1.Notas:1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n.Exemplo:A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 .2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna jda matriz.Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a31 = 4 , a3,2 = 5 , etc.3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ≠ j .Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é:A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é:4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa.Exemplo:A matriz At é a matriz transposta da matriz A .Notas:4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica.4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica.É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas .4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At =  0 (matriz nula) . Raciocínio Lógico 15
  • 16. Produto de matrizesPara que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número delinhas de B.Amxn x Bnxq = CmxqObserve que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q .Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo:Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segundamatriz, obtido da seguinte forma:L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos:L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a:Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto Pde ordem 3x3.Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ≠ B x ADETERMINANTESEntenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada ,calculado de acordo com regras específicas .É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante.Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem.Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir:O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma :det (A) =  A = ad - bcExemplo:Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, odeterminante da matriz dada é igual à unidade.16 Raciocínio Lógico
  • 17. Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS).SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor nauniversidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833.Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira:1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante.2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivopara os resultados à direita.3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada.Exemplo: .2 3 5 .1 7 4Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77.Principais propriedades dos determinantesP1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes.P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ).P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo.Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA.P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal.P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo.P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado(ou dividido) por esse número.P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela,multiplicada por um número real qualquer.P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) .Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestascondições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1.Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ;logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A).Notas:1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃOINVERSÍVEL .2) se det A ≠ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL .P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal.P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k ∈ R então det(k.A) = kn . det AExemplos:1) Qual o determinante associado à matriz? Raciocínio Lógico 17
  • 18. Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando oselementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO.2) Calcule o determinante:Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA ⇒ DETERMINANTE NULO , conforme propriedadeP3 acima. Logo, D = 0.3) Calcule o determinante:Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90Exercícios propostos:1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se odeterminante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:*a) 1/5b) 5c) 1/40d) 1/20e) 202) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ≠ j .Se det (3A) = 1296 , então n é igual a:Resp: n = 43) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , ondeaij = i + j se i ≥ j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A?Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 724) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante damatriz 5 A é igual a:Resp: zero1 - Definições:1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante quese obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz.Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir :18 Raciocínio Lógico
  • 19. Podemos escrever:D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que seobtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja:Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício!1.2 - Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij .Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a:cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = - 10.2 - Teorema de Laplace O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer(linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemosas regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema parao cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem dodeterminante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo dequatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhaseletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros. Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna)que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários.Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês.3 - Cálculo da inversa de uma matriz.a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidade deordem n.b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator.Símbolo: cof A .c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz:Onde: A-1 = matriz inversa de A;det A = determinante da matriz A;(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A .Exercícios propostos1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante éigual a:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) –4Resp: a2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz:Resp: 15 Raciocínio Lógico 19
  • 20. 3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ≥ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma doselementos da diagonal secundária.Resp: 124 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A.Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a:a) 1/5 b) 5 c) 1/40 d) 1/20 e) 20 Resp: a5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elementoc12 da matriz C = A.B é:a)12 b) 11 c) 10 d) 9 e) inexistente Resp: eFUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2x2 inversível que satisfaz 2A = A2, então o determinante de Aserá:a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4SOLUÇÃO:Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero.Se 2 A = A2, então os seus determinantes são iguais, ou seja:det(2 A) = det(A2)Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.A) onde k é umnúmero inteiro positivo, será igual a kn . det(A).Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem:det(2 A) = 22.det(A)Sabemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja:det(A.B) = det(A).det(B).Então, det(A2) = det(A . A) = det(A).det(A)Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A2), as expressões obtidas anteriormente, vem:22.det(A) = det(A).det(A)4.det(A) – [det(A)]2 = 0Colocando det(A) em evidencia, fica:det(A).[4 – det(A)] = 0Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é nãonulo e, portanto, a solução det(A) = 0 não serve.Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E. SISTEMAS LINEARES1 - Equação linearEntenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos.a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente.Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea.Exemplos de equações lineares:2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7)3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5)2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17)-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1)20 Raciocínio Lógico
  • 21. 2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo).Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea.2 - A solução de uma equação linearJá estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações deprimeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 22, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duasincógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito depares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado(4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], ... , etc.Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas.Seja por exemplo: x + y + z = 5As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); ... , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva aafirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), ... , ou seja, existem infinitassoluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada.De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de trêsvariáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas; ... .Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas.Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , ... , rn) é solução da equação lineara1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, isto significa que a igualdade é satisfeita parax1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , ... , xn = rn e poderemos escrever:a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + ... + an.rn = b.Exercícios resolvidos:1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p?Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p,6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14.2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado(α , β , γ ) é solução.Solução: Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β . Portanto, a solução genérica será oterno ordenado (α , β , 14 - 5α + 2β ).Observe que arbitrando-se os valores para α e β , a terceira variável ficará determinada em função dessesvalores. Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremosγ = 14 - 5α + 2β = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamospois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado(α , β , 14 - 5α + 2β ) a solução genérica.3 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1?Resp : S = φ4 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação3x + 4y - 5z + 2t = 10.Resp : -171 - Sistema linearÉ um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo:a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3..................................................................................................................................am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn Raciocínio Lógico 21
  • 22. Exemplo:3x + 2y - 5z = -84x - 3y + 2z = 47x + 2y - 3z = 20x + 0y + z = 3Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis).Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1, b2, ... , bn são ostermos independentes.A ênupla (α 1, α 2 , α 3 , ... , α n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todasas m equações.Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema:x + y + 2z = 73x + 2y - z = 11x + 2z = 43x - y - z = 2pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1.Notas:1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções.Exemplo: Os sistemas lineares 2x + 3y = 12 S1: 3x - 2y = 5 5x - 2y = 11 S2: 6x + y = 20são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique!2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ouCOMPATÍVEL.3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL.4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO.5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele éINDETERMINADO.6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou sejab1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO.Exemplo:x + y + 2z = 02x - 3y + 5z = 05x - 2y + z = 0Exercícios Resolvidos1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina)Se os sistemas x+y=1 S1: x - 2y = -5 ax - by = 5 S2: ay - bx = -1são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a:a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10Solução:Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1:22 Raciocínio Lógico
  • 23. x+y=1x - 2y = -5Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 ∴ y = 2.Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 ∴ x = -1.O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}.Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em S2os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem:a(-1) - b(2) = 5 ⇒ - a - 2b = 5a(2) - b (-1) = -1 ⇒ 2 a + b = -1Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica:-2 a - 4b = 10Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho),fica: -3b = 9 ∴ b = - 3Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação emazul), teremos:2 a + (-3) = -1 ∴ a = 1.Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10.Portanto a alternativa correta é a letra E.2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo,2x - my = 103x + 5y = 8, seja impossível.Solução:Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação:x = (10 + my) / 2Substituindo o valor de x na segunda equação, vem:3[(10+my) / 2] + 5y = 8Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem:3(10+my) + 10y = 1630 + 3my + 10y = 16(3m + 10)y = -14y = -14 / (3m + 10)Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominadorigual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO.Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possuasolução.Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas:a) 2x + 5y .- ..z = 10.............3y + 2z = ..9.....................3z = 15b) 3x - 4y = 13.....6x - 8y = 26c) 2x + 5y = 6....8x + 20y = 18Resp:a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)}b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções.c) sistema impossível. Não admite soluções.MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS OU MÉTODO DO ESCALONAMENTOKarl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855.O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido comoescalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber:T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer dosistema. Raciocínio Lógico 23
  • 24. Exemplo: os sistemas de equações lineares2x + 3y = 105x - 2y = 65x - 2y = 62x + 3y = 10são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos aordem de apresentação das equações.T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma dasequações do sistema, por um número real não nulo.Exemplo: os sistemas de equações lineares3x + 2y - z = 52x + y + z = 7x - 2y + 3z = 13x + 2y - z = 52x + y + z = 73x - 6y + 9z = 3são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3.T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtidaa partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2.Exemplo: os sistemas15x - 3y = 225x + 2y = 3215x - 3y = 22...... - 9y = - 74são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foisubstituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ).Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento.Seja o sistema de equações lineares:. x + 3y - 2z = 3 .Equação 12x . - .y + z = 12 Equação 24x + 3y - 5z = 6 .Equação 3SOLUÇÃO:1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem:2x .-...y + z = 12x ..+ 3y - 2z = 34x + 3y - 5z = 62 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultadoobtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem:2x - ..y + z = 12.....- 7y + 5z = 64x + 3y - 5z = 63 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 esubstituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem:2x - ..y + ..z = ...12.....- 7y + 5z = ....6........5y - 7z = - 184 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem:2x -.....y + ....z =....12.....- 35y +25z =... 30.......35y - 49z = -1265 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem:2x - .....y + ....z = ..1224 Raciocínio Lógico
  • 25. .....- 35y + 25z = ..30...............- 24z = - 966 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4.Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas:Teremos: - 35y + 25(4) = 30 ∴ y = 2.Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica:2x - 2 + 4 = 12 ∴ x = 5.Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjuntosolução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) :S = { (5, 2, 4) }Verificação:Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos:5 + 3(2) - 2(4) = 32(5) - (2) + (4) = 124(5) + 3(2) - 5(4) = 6o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado.Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivoera escrever o sistema na formaax + by + cz = k1dy + ez = k2fz = k3de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é ocaminho comum para qualquer sistema.É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos:a) f ≠ 0 , o sistema é possível e determinado.b) f = 0 e k3 ≠ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemosc) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = φ .d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções.Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não serrecomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente.Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeiraincógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira eassim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima.A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados.Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento:Sistema I : Resp: S = { (3, 5) }4x - 2y = 22x + 3y = 21Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) }2 a + 5b + .3c = ...205 a + 3b - 10c = - 39...a + ....b + ....c = ......5Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) }..x + .y .- ..z = ...0..x - 2y + 5z = 214x + .y + 4z = 31Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas.Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752. Raciocínio Lógico 25
  • 26. Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica:a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3....................................................= .......................................................= ...an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bnonde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentesb1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn.Seja ∆ o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas.Seja ∆ xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes daincógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn.A regra de Cramer diz que:Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujodenominador é o determinante ∆ dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante ∆ xi, ou seja:xi = ∆ xi / ∆Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer:x + 3y - 2z = 32x - y + z = 124x + 3y - 5z = 6Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Pararetornar, clique em VOLTAR no seu browser.Teremos:26 Raciocínio Lógico
  • 27. Portanto, pela regra de Cramer, teremos:x1 = ∆ x1 / ∆ = 120 / 24 = 5x2 = ∆ x2 / ∆ = 48 / 24 = 2x3 = ∆ x3 / ∆ = 96 / 24 = 4Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }.Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. Éconveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser.Agora, resolva este:2 x + 5y + 3z = 205 x + 3y - 10z = - 39x+y+z=5Resp: S = { (-1, 2, 4) } 3. PROBABILIDADES A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é omotivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidadepermite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório.Experimento Aleatório É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ouseja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, aabordagem envolve cálculo de experimento aleatório.Espaço Amostral É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa oespaço amostral, é S.Exemplo:Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos:S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6}Escreva explicitamente os seguintes eventos:A={caras e m número par aparece},B={um número primo aparece},C={coroas e um número ímpar aparecem}.Idem, o evento em que:a) A ou B ocorrem;b) B e C ocorrem;c) Somente B ocorre.Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivosResolução:Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par:A={K2, K4, K6};Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5}Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}.(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5}(b) B e C = B 1 C = {R3,R5}(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; Raciocínio Lógico 27
  • 28. B 1A 1C = {K3,K5,R2} c cA e C são mutuamente exclusivos, porque A 1C=iConceito de probabilidadeSe num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer umevento A é:Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número pasra pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50%Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidadesiguais de ocorrência.Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre:Propriedades Importantes1. Se A e A’ são eventos complementares, então:P( A ) + P( A ) = 12. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1(probabilidade do evento certo).0≤P(S) ≤1Probabilidade Condicional Antes da realização de um experimento, é necessário, que já tenha alguma informação sobre o eventoque se deseja observar.Nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a s sua probabilidade deocorrência alterada.Fórmula de Probabilidade CondicionalP(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1).Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1;P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2;P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1.Exemplo:Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e semreposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul?Resolução:Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos:A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29Assim:P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/8728 Raciocínio Lógico
  • 29. Eventos independentesDizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles nãodepende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido.Fórmula da probabilidade dos eventos independentes:P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En)Exemplo:Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo asorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta?Resolução:Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segundaretirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, aprobabilidade de sair vermelha na primeira retirada ´e 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí,usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9.Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B),porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi repostana urna.Probabilidade de ocorrer a união de eventosFórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos:P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2)De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2).Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2).Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos:P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En)Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco?Considerando os eventos:A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos:n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ouum Rei?Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos:A: sair 8 e P(A) = 8/52B: sair um rei e P(B) = 4/52Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei aomesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. 4. COMBINAÇÕES Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar quelevou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557),conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o númerode elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições.FATORIALSeja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo:n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ≥ 2. Raciocínio Lógico 29
  • 30. Para n = 0 , teremos : 0! = 1.Para n = 1 , teremos : 1! = 1Exemplos:a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720b) 4! = 4.3.2.1 = 24c) observe que 6! = 6.5.4!d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1e) 10! = 10.9.8.7.6.5!f ) 10! = 10.9.8!PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFCSe determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneirasdiferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras deocorrer o acontecimento é dado por:T = k1. k2 . k3 . ... . knExemplo:O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado?Solução:Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ.Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluirque: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a:26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, osistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes paracodificar todos os veículos. Perceberam?PERMUTAÇÕES SIMPLES1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos eque diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos.Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA.2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto éPn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 .Exemplos:a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cincolugares.P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 1203 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou nãosignificado na linguagem comum.Exemplo:Os possíveis anagramas da palavra REI são:REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER.PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOSSe entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementosrepetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por:30 Raciocínio Lógico
  • 31. Exemplo:Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento)Solução:Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T,duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever:k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200Resposta: 151200 anagramas.ARRANJOS SIMPLES1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementosdistintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos.Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos:a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb.b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba.2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguintefórmula:Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique)Exemplo:Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüênciade 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) paraconseguir abri-lo?Solução:As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para aterceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos aomesmo resultado:10.9.8 = 720.Observe que 720 = A10,3COMBINAÇÕES SIMPLES1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntosformados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações sãodiferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados.Exemplo:No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar:a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd.b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd.c) combinações de taxa 4: abcd.2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos aseguinte fórmula: Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por:Exemplo:Uma prova consta de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas elepoderá escolher as 10 questões?Solução:Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema decombinação de 15 elementos com taxa 10.Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a:C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003 Raciocínio Lógico 31
  • 32. Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes:01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantoscoquetéis diferentes podem ser preparados?Resp: 12002 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos comvértices nos 9 pontos marcados?Resp: 8403 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabemdirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem?Resp: 48Exercício resolvido: Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto?Solução:Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechadaPara a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente.Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC:N = 2.2.2.2.2.2 = 64Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o númeroprocurado é igual a 64 - 1 = 63.Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis. 5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕESFatorial de um número: n!=n.(n-1).(n- 2) 3 2Definições especiais: 0!= 1 100!+101! 1) Calcule o valor da expressão . 99! 100!+101! 100.99!+101.100.99! = = 100 + 101.100 = 100 + 10100 = 10200 99! 99! ( x + 1)! 2) Resolva a equação = 56. ( x − 1)! ( x + 1)! ( x + 1)( x)( x − 1)! = 56 ⇒ = 56 ⇒ ( x + 1)( x) = 56 ⇒ x 2 + x = 56 ⇒ ( x − 1)! ( x − 1)! − 1 ± 225 − 1 ± 15 x = 7 ⇒ x 2 + x − 56 = 0 ⇒ x = ⇒ x= ⇒ 2 2 x = -8 Resposta : x = 7, pois não existe fatorial de um número negativo. 3) Quatro times de futebol (Grêmio, Santos, São Paulo e Flamengo) disputam o torneio dos campeões do mundo. Quantas são as possibilidades para os três primeiros lugares? R : Existem 4 possibilidades para o 1º lugar, sobrando 3 possibilidades para o 2º lugar e 2 possibilidades para o 3º lugar → 4.3.2 = 24 possibilidades.32 Raciocínio Lógico
  • 33. ARRANJO SIMPLES n! An , p = (n − p)! A6, 2 + A4,3 − A5, 24) Calcule . A9, 2 + A8,1 6! 4! 5! + −A6, 2 + A4,3 − A5, 2 (6 − 2)! (4 − 3)! (5 − 2)! 30 + 24 − 20 34 17 = = = = A9, 2 + A8,1 9! 8! 72 + 8 80 40 + (9 − 2)! (8 − 1)!5) Quantos números de 3 algarismos distintos podemos formar com o algarismos dosistema decimal (0,1,2,3,4,5,6,7,8,9) sem os repetir, de modo que :a) COMECEM COM 1. R : O número pode possuir três algarismos, sendo que para o primeiro existe apenas 1possibilidade (1) e para os outros dois ainda existem 9 números disponíveis : 9! 9! 9.8.7! 1. A9, 2 = = = = 9.8 = 72 números. (9 − 2)! 7! 7!b) COMECEM COM 2 E TERMINEM COM 5. R : Para o primeiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (2), e para o terceiro tambémexiste apenas 1 possibilidade (5). Para o segundo ainda existem 8 possibilidades : 8! 8! 8.7! 1.1. A8,1 = = = = 8 números. (8 − 1)! 7! 7!c) SEJAM DIVISÍVEIS POR 5. R : Para um número ser divisível 5, ele deve terminar com 0 ou com 5. Primeiramentevamos calcular o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 :→ Para o terceiro algarismo existe apenas 1 possibilidade (0), e para os dois primeiros aindaexistem 9 números disponíveis. Portanto o número de divisíveis por 5 que terminam com 0 é : 9! 9! 9.8.7! 1. A9, 2 = = = = 9.8 = 72 números. (9 − 2)! 7! 7!→ Agora calculamos quantos divisíveis por 5 terminam com 5 : para o terceiro algarismoexiste apenas uma possibilidade (5). Para o primeiro algarismo existem ainda 8 possibilidades,pois o número não pode começar com 0 (senão seria um número de 2 algarismos). E para osegundo algarismo também existem 8 possibilidades (o segundo algarismo pode ser 0). 8! 8! 8! 8! 8.7! 8.7! 1. A8,1 . A8,1 = . = . = . = 8.8 = 64 números. (8 − 1)! (8 − 1)! 7! 7! 7! 7!Resposta : O número de divisíveis por 5 é 72 + 64 = 136 números.6) Quantos são os números compreendidos entre 2000 e 3000 formados por algarismosdistintos escolhidos entre 1,2,3,4,5,6,7,8 e 9? R : O número deve ter quatro algarismos (pois está entre 2000 e 3000). Para o primeiroalgarismo existe apenas uma possibilidade (2), e para os outros três ainda existem 8 númerosdisponíveis, então : 8! 8! 8.7.6.5! 1. A8,3 = = = = 8.7.6 = 336 números. (8 − 3)! 5! 5! Raciocínio Lógico 33
  • 34. PERMUTAÇÃO SIMPLESÉ um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos. Pn = n!7) Quantos números de 5 algarismos distintos podem ser formados por 1,2,3,5 e 8?P5 = 5!= 5.4.3.2.1 = 120 números.8) Quantos anagramas da palavra EDITORA :a) COMEÇAM POR A. Para a primeira letra existe apenas uma possibilidade (A), e para as outras 6 letrasexistem 6 possibilidades. Então o total é :1.P6 = 1.6!= 6.5.4.3.2.1 = 720 anagramas.b) COMEÇAM POR A e terminam com E. Para a primeira letra existe 1 possibilidade (A), e para última também só existe 1 (E),e para as outras 5 letras existem 5 possibilidades. Então o total é :1.1.P5 = 1.1.5!= 5.4.3.2.1 = 120 anagramas.8) Calcule de quantas maneiras podem ser dipostas 4 damas e 4 cavalheiros, numa fila, deforma que não fiquem juntos dois cavalheiros e duas damas. R :Existem duas maneiras de fazer isso : C - D - C - D - C - D - C - D ou D - C - D - C - D - C - D - CColocando um cavalheiro na primeira posição temos como número total de maneiras :P4 .P4 = 4!.4!= 24.24 = 576 maneiras.Colocando uma dama na primeira posição temos também :P4 .P4 = 4!.4!= 24.24 = 576 maneiras.Portanto o total é 576 + 576 = 1152 maneiras.34 Raciocínio Lógico
  • 35. COMBINAÇÃO SIMPLES É o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementoscomponentes. n! Cn, p = p!(n − p)!9) Resolver a equação C m,3 − C m , 2 = 0. m! m! − =03!(m − 3)! 2!(m − 2)!m.(m − 1).(m − 2).(m − 3)! m.(m − 1).(m − 2)! − =0 3!(m − 3)! 2!(m − 2)!m.(m − 1).(m − 2) m.(m − 1) − =0 3! 2!m 3 − 2m 2 − m 2 + 2m m 2 − m − =0 6 2m 3 − 3m 2 + 2m − 3m 2 + 3m = 0 ⇒ m 3 − 6m 2 + 5m = 0 6 6 ± 16 m = 5m 2 − 6m + 5 = 0 ⇒ m = ⇒  2 m = 1Resposta : m = 5.obs : m = 1 não é a resposta porque não pode haver C1,3 .10) Com 10 espécies de frutas, quantos tipos de salada, contendo 6 espécies diferentespodem ser feitas? 10! 10.9.8.7.6! 5040 5040C10,6 = = = = = 210 tipos de saladas. 6!.(10 − 6)! 6!.4! 4! 2411) Numa reunião com 7 rapazes e 6 moças, quantas comissões podemos formar com 3rapazes e 4 moças?RAPAZES - C 7 ,3MOÇAS - C 6, 4O resultado é o produto C 7 ,3 .C 6, 4 . 7! 6! 7.6.5.4! 6.5.4! 210 30 . = . = . = 35.15 = 525 comissões.3!(7 − 3)! 4!(6 − 4)! 3!.4! 4!.2! 3! 2 Raciocínio Lógico 35
  • 36. SIMULADO DE RACIOCÍNIO LÓGICO1) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. b) se João é alto, então João é alto e Guilherme éSabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, gordoportanto, necessariamente que c) se João é alto ou Guilherme é gordo, entãoa) todo C é B Guilherme é gordob) todo C é A d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João éc) algum A é C alto e Guilherme é gordod) nada que não seja C é A e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme ée) algum A não é C gordo2) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P 7) Sabe-se que a ocorrência de B é condiçãosão conjuntos não vazios): necessária para a ocorrência de C e condiçãoPremissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também,contido em P" que a ocorrência de D é condição necessária ePremissa 2: "X não está contido em P" suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando CPode-se, então, concluir que, necessariamente ocorre,a) Y está contido em Z a) D ocorre e B não ocorreb) X está contido em Z b) D não ocorre ou A não ocorrec) Y está contido em Z ou em P c) B e A ocorremd) X não está contido nem em P nem em Y d) nem B nem D ocorreme) X não está contido nem em Y e nem em Z e) B não ocorre ou A não ocorre3) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e 8) Se Frederico é francês, então Alberto não édesejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio émesma fila. O número de maneiras pelas quais eles espanhol. Se Pedro não é português, então Fredericopodem distribuir-se nos assentos de modo que as é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura éduas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é italiana. Logo:igual a a) Pedro é português e Frederico é francêsa) 2 b) Pedro é português e Alberto é alemãob) 4 c) Pedro não é português e Alberto é alemãoc) 24 d) Egídio é espanhol ou Frederico é francêsd) 48 e) Se Alberto é alemão, Frederico é francêse) 120 9) Se Luís estuda História, então Pedro estuda4) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorgematriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não estuda Medicina. Ora, Luís estuda História ou Helenaestão matriculados nem em Inglês nem em Francês. estuda Filosofia. Logo, segue-se necessariamenteSeleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A que:probabilidade de que o estudante selecionado esteja a) Pedro estuda Matemática ou Jorge estuda Medicinamatriculado em pelo menos uma dessas disciplinas b) Pedro estuda Matemática e Jorge estuda Medicina(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a c) Se Luís não estuda História, então Jorge nãoa) 30/200 estuda Medicinab) 130/200 d) Helena estuda Filosofia e Pedro estuda Matemáticac) 150/200 e) Pedro estuda Matemática ou Helena não estudad) 160/200 Filosofiae) 190/200 10) Maria tem três carros:5) Uma herança constituída de barras de ouro foi um Gol, um Corsa e um Fiesta.totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Um dos carros é branco, o outro é preto, e o outro éCamile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade azul.das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter Sabe-se que:recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que 1) ou o Gol é branco, ou o Fiesta é branco,sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante 2) ou o Gol é preto, ou o Corsa é azul,da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o 3) ou o Fiesta é azul, ou o Corsa é azul,número de barras de ouro que Ana recebeu foi: 4) ou o Corsa é preto, ou o Fiesta é preto. Portanto,a) 1 as cores do Gol, do Corsa e do Fiesta são,b) 2 respectivamente,c) 3 a) branco, preto, azuld) 4 b) preto, azul, brancoe) 5 c) azul, branco, preto d) preto, branco, azul6) Chama-se tautologia a toda proposição que é e) branco, azul, pretosempre verdadeira, independentemente daverdade dos termos que a compõem. Um exemplo detautologia é:a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme égordo36 Raciocínio Lógico
  • 37. GABARITO1) C 4) D 7) C 10) E2) B 5) E 8) B3) D 6) A 9) ASIMULADO 0201. O economista José Júlio Senna estima que em aberto por meio de uma senha. Cada senha é1998 o déficit em conta corrente do país será de US$ constituída por 3 algarismos distintos. Nessas40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução condições, o número máximo de tentativas paradas importações, esse déficit diminuirá em US$ 12 abrir os cadeados ébilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagar a) 518.400US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições, b) 1.440mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões em c) 720investimentos diretos e US$ 15 bilhões para fi- d) 120nanciar as importações, ainda faltarão para o país e) 54equilibrar suas contas uma quantia em dólares iguala 06. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possívela) 1 bilhão obter como resultado quase todos os númerosb) 13 bilhões inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33c) 25 bilhões = (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).d) 29 bilhões O maior número que NÃO pode ser obtido dessae) 32 bilhões maneira é a) 13002. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com b) 96menos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que c) 29pelo menos duas dessas pessoas d) 27a) nasceram num mesmo ano. e) 22b) nasceram num mesmo mês.c) nasceram num mesmo dia da semana. 07. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas.d) nasceram numa mesma hora do dia. Qual é a probabilidade de resultar exatamente 2e) têm 50 anos de idade. caras e 2 coroas? a) 25%03. Com 1.260 kg de matéria prima uma fábrica b) 37,5%pode produzir 1.200 unidades diárias de certo artigo c) 42%durante 7 dias. Nessas condições, com 3.780 kg de d) 44,5%matéria prima, por quantos dias será possível e) 50%sustentar uma produção de 1.800 unidades diáriasdesse artigo? 08. Numa loja de roupas, um terno tinha um preçoa) 14 tão alto que ninguém se interessava em comprá-lo.b) 12 O gerente da loja anunciou um des-conto de 10% noc) 10 preço, mas sem resultado. Por isso, ofereceu novod) 9 desconto de 10%, o que baixou o preço para R$e) 7 648,00. O preço inicial desse terno era superior ao preço final em04. Alberto recebeu R$ 3.600,00, mas desse a) R$ 162,00dinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. b) R$ 152,00Bruno deve receber 50% do que restar após ser c) R$ 132,45descontada a parte de Carlos e este deve receber d) R$ 71,2820% do que restar após ser descontada a parte de e) R$ 64,00Bruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devemreceber, respectivamente, 09. Numa ilha há apenas dois tipos de pessoas: asa) 1.800 e 720 reais. que sempre falam a verdade e as que sempreb) 1.800 e 360 reais. mentem. Um explorador contrata um ilhéu chamadoc) 1.600 e 400 reais. X para servir-lhe de intérprete. Ambos encontramd) 1.440 e 720 reais. outro ilhéu, chamado Y, e o explorador lhe perguntae) 1.440 e 288 reais. se ele fala a verdade. Ele responde na sua língua e o intérprete diz - Ele disse que sim, mas ele pertence05. Para entrar na sala da diretoria de uma empresa ao grupo dos mentirosos. Dessa situação é corretoé preciso abrir dois cadeados. Cada cadeado é concluir que Raciocínio Lógico 37
  • 38. a) Y fala a verdade. d) Juarezb) a resposta de Y foi NÃO. e) Tarsoc) ambos falam a verdade.d) ambos mentem. 15. Três rapazes e duas moças vão ao cinema ee) X fala a verdade. desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles podem10. Se 1 hectare corresponde à área de um distribuir-se nos assentos de modo que as duasquadrado com 100 m de lado, então expressando-se moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é iguala área de 3,6 hectares em quilômetros quadrados aobtém-se a) 2a) 3.600 b) 4b) 36 c) 24c) 0,36 d) 48d) 0,036 e) 120e) 0,0036 16. De um grupo de 200 estudantes, 80 estão11. Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 nãoSabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, estão matriculados nem em Inglês nem em Francês.portanto, necessariamente que Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. Aa) todo C é B probabilidade de que o estudante selecionado estejab) todo C é A matriculado em pelo menos uma dessas disciplinasc) algum A é C (isto é, em Inglês ou em Francês) é igual ad) nada que não seja C é A a) 30/200e) algum A não é C b) 130/200 c) 150/20012. Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z d) 160/200e P são conjuntos não vazios): e) 190/200Premissa 1: X está contido em Y e em Z, ou X está 17. Uma herança constituída de barras de ouro foicontido em P totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metadePremissa 2: X não está contido em P das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana terPode-se, então, concluir que, necessariamente recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile oa) Y está contido em Z restante da herança, igual a uma barra e meia.b) X está contido em Z Assim, o número de barras de ouro que Ana recebeuc) Y está contido em Z ou em P foi:d) X não está contido nem em P nem em Y a) 1e) X não está contido nem em Y e nem em Z b) 2 c) 313. Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o d) 4jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, e) 5o passarinho canta. Logo:a) jardim é florido e o gato mia 18. Chama-se tautologia a toda proposição que éb) jardim é florido e o gato não mia sempre verdadeira, independentemente da verdadec) jardim não é florido e o gato mia dos termos que a compõem. Um exemplo ded) jardim não é florido e o gato não mia tautologia é:e) se o passarinho canta, então o gato não mia a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é gordo14. Um crime foi cometido por uma e apenas uma b) se João é alto, então João é alto e Guilherme épessoa de um grupo de cinco suspeitos: Armando, gordoCelso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados sobre quem c) se João é alto ou Guilherme é gordo, entãoera o culpado, cada um deles respondeu: Guilherme é gordoArmando: Sou inocente d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então JoãoCelso: Edu é o culpado é alto e Guilherme é gordoEdu: Tarso é o culpado e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme éJuarez: Armando disse a verdade gordoTarso: Celso mentiuSabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e 19. Sabe-se que a ocorrência de B é condiçãoque todos os outros disseram a verdade, pode-se necessária para a ocorrência de C e condiçãoconcluir que o culpado é: suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também,a) Armando que a ocorrência de D é condição necessária eb) Celso suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando Cc) Edu ocorre, 38
  • 39. a) D ocorre e B não ocorre a) se Pedro é pedreiro, então Paulo é paulistab) D não ocorre ou A não ocorre b) se Paulo é paulista, então Pedro é pedreiroc) B e A ocorrem c) se Pedro não é pedreiro, então Paulo é paulistad) nem B nem D ocorrem d) se Pedro é pedreiro, então Paulo não é paulistae) B não ocorre ou A não ocorre e) se Pedro não é pedreiro, então Paulo não é paulista.20. Dizer que Pedro não é pedreiro ou Paulo épaulista é, do ponto de vista lógico, o mesmo quedizer que:GABARITO01-C | 02-E | 03-A | 04-C | 05-B | 06-D | 07-B | 08-B | 09-E | 10-D11-C | 12-B | 13-C | 14-E | 15-D | 16-D | 17-E | 18-A | 19-C | 20-ASIMULADO 0301. Com a promulgação de uma nova lei, um 03. Em uma viagem de automóvel, dois amigosdeterminado concurso deixou de ser realizado por partem com seus carros de um mesmo ponto nameio de provas, passando a análise curricular a ser o cidade de São Paulo. O destino final é Maceió, emúnico material para aprovação dos candidatos. Neste Alagoas, e o trajeto a ser percorrido também é ocaso, todos os candidatos seriam aceitos, caso mesmo para os dois. Durante a viagem eles fazempreenchessem e entregas-sem a ficha de inscrição e dez paradas em postos de gasolina parativessem curso superior, a não ser que não tivessem reabastecimento dos tanques de gasolina. Na décimanascido no Brasil e/ou tivessem idade superior a 35 parada, ou seja, a última antes de atingirem oanos. objetivo comum, a média de consumo dos doisJosé preencheu e entregou a ficha de inscrição e carros é exatamente a mesma. Considerando quepossuía curso superior, mas não passou no amanhã os dois sairão ao mesmo tempo econcurso. percorrerão o último trecho da viagem até o mesmoConsiderando o texto acima e suas restrições, qual ponto na cidade de Maceió, podemos afirmar que:das alternativas abaixo, caso verdadeira, criaria uma I - Um poderá chegar antes do outro e, mesmocontradição com a desclassificação de José ? assim manterão a mesma média de consumo.a) José tem menos de 35 anos e preencheu a ficha II - Os dois poderão chegar ao mesmo tempo e, de inscrição corretamente. mesmo assim manterão a mesma média deb) José tem mais de 35 anos, mas nasceu no Brasil. consumo.c) José tem menos de 35 anos e curso superior III - O tempo de viagem e o consumo de completo. combustível entre a paradas pode ter sido diferented) José tem menos de 35 anos e nasceu no Brasil. para os dois carros. a) Somente a hipótese (I) está correta.02. Uma rede de concessionárias vende somente b) Somente a hipótese (II) está correta.carros com motor 1.0 e 2.0. Todas as lojas da rede c) Somente a hipótese (III) está correta.vendem carros com a opção dos dois motores, d) As hipóteses (I), (II) e (III) estão corretas.oferecendo, também, uma ampla gama de opcionais.Quando comprados na loja matriz, carros com motor 04. Vislumbrando uma oportunidade na empresa em1.0 possuem somente ar-condicionado, e carros com que trabalha, o Sr. Joaquim convidou seu chefe paramotor 2.0 têm sempre ar-condicionado e direção jantar em sua casa. Ele preparou, junto com suahidráulica. O Sr. Asdrubal comprou um carro com ar- esposa, o jantar perfeito que seria servido em umacondicionado e direção hidráulica em uma loja da mesa retangular de seis lugares - dois lugares derede. cada um dos lados opostos da mesa e as duasConsiderando-se verdadeiras as condições do texto cabeceiras, as quais ficariam vazias. No dia doacima, qual das alternativas abaixo precisa ser jantar, o Sr. Joaquim é surpreendido pela presençaverdadeira quanto ao carro comprado pelo Sr. da filha de seu chefe junto com ele e a esposa,Asdrubal? sendo que a mesa que havia preparado esperavaa) Caso seja um carro com motor 2.0, a compra apenas quatro pessoas. Rapidamente a esposa do não foi realizada na loja matriz da rede. Sr. Joaquim reorganizou o arranjo e acomodou maisb) Caso tenha sido comprado na loja matriz, é um um prato à mesa e, ao sentarem, ao em vez de as carro com motor 2.0. duas cabeceiras ficarem vazias, uma foi ocupadac) É um carro com motor 2.0 e o Sr. Asdrubal não pelo Sr. Joaquim e a outra pelo seu chefe. o comprou na loja matriz. Considerando-se que o lugar vago não ficou perto dod) Sr. Antônio comprou, com certeza, um carro Sr. Joaquim, perto de quem, com certeza, estava o com motor 2.0. lugar vago? a) Perto do chefe do Sr. Joaquim. 39
  • 40. b) Perto da esposa do chefe do Sr. Joaquim. considerarmos um passeio com várias bifurcações,c) Perto da filha do chefe do Sr. Joaquim. o(s) único(s) que pode(m) ter votado esquerda ed) Perto da esposa do Sr. Joaquim. direita respectivamente, nas duas últimas bifurcações, é ou são:05. Uma companhia de ônibus realiza viagens entre a) Antônio.as cidades de Corumbá e Bonito. Dois ônibus saem b) Benedito.simultaneamente, um de cada cidade, para c) Caetano.percorrerem o mesmo trajeto em sentido oposto. O d) Antônio e Caetano.ônibus 165 sai de Corumbá e percorre o trajeto auma velocidade de 120 km/h. Enquanto isso, o 175 09. Em um concurso para fiscal de rendas, dentre ossai de Bonito e faz a sua viagem a 90 km/h. 50 candidatos de uma sala de provas, 42 sãoConsiderando que nenhum dos dois realizou casados. Levando em consideração que as únicasnenhuma parada no trajeto, podemos afirmar que: respostas à pergunta estado civil são casado ouI - Quando os dois se cruzarem na estrada, o ônibus solteiro, qual o número mínimo de candidatos175 estará mais perto de Bonito do que o 165. dessa sala a que deveríamos fazer essa perguntaII - Quando os dois se cruzarem na estrada, o para obtermos, com certeza, dois representantes doônibus 165 terá andado mais tempo do que o 175. grupo de solteiros ou do grupo de casados?a) Somente a hipótese (I) está errada. a) 03b) Somente a hipótese (II) está errada. b) 09c) Ambas as hipóteses estão erradas. c) 21d) Nenhuma das hipóteses está errada. d) 2606. Stanislaw Ponte Preta disse que a prosperidade 10. Em uma viagem ecológica foram realizadas trêsde alguns homens públicos do Brasil é uma prova caminhadas. Todos aqueles que participaram dasevidente de que eles vêm lutando pelo progresso do três caminhadas tinham um espírito realmentenosso subdesenvolvimento.. Considerando que a ecológico, assim como todos os que tinham umprosperidade em questão está associada à espírito realmente ecológico participaram das trêscorrupção, podemos afirmar que esta declaração caminhadas. Nesse sentido, podemos concluir que:está intimamente ligada a todas as alternativas a) Carlos participou de duas das três caminhadas,abaixo, EXCETO: mas pode ter um espírito realmente ecológico.a) nível de corrupção de alguns homens públicos b) Como Pedro não participou de nenhuma das três pode ser medido pelo padrão de vida que levam. caminhadas ele, é antiecológico.b) A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do c) Aqueles que não participaram das três Brasil está indiretamente relacionada à caminhadas não têm um espírito realmente corrupção dos políticos em questão. ecológico.c) A luta pelo progresso do subdesenvolvimento do d) Apesar de ter participado das três caminhadas, Brasil está diretamente relacionada à corrupção Renata tem um espírito realmente ecológico. dos políticos em questão.d) progresso de nosso subdesenvolvimento pode 11. O economista José Júlio Senna estima que em ser muito bom para alguns políticos. 1998 o déficit em conta corrente do país será de US$ 40 bilhões, mas, no próximo ano, devido à redução07. Em uma empresa, o cargo de chefia só pode ser das importações, esse déficit diminuirá em US$ 12preenchido por uma pessoa que seja pós-graduada bilhões. No entanto, em 1999, o país deverá pagarem administração de empresas. José ocupa um US$ 29 bilhões em amortizações. Nessas condições,cargo de chefia, mas João não. Partindo desse mesmo supondo que entrem US$ 17 bilhões emprincípio, podemos afirmar que: investimentos diretos e US$ 15 bilhões paraa) José é pós-graduado em administração de financiar as importações, ainda faltarão para o país empresas e João também pode ser. equilibrar suas contas uma quantia em dólares igualb) José é pós-graduado em administração de a: empresas, mas João, não. a) 32 bilhõesc) José é pós-graduado em administração de b) 29 bilhões empresas e João também. c) 25 bilhõesd) José pode ser pós-graduado em administração d) 13 bilhões de empresas, mas João, não. e) 1 bilhão08. Três amigos - Antônio, Benedito e Caetano - 12. Considere o seguinte texto de jornal:adoram passear juntos. O problema é que eles O ministro X anunciou um corte de verbas de 2,43nunca se entendem quanto ao caminho que deve ser bilhões de dólares, o que corresponde a umaseguido. Sempre que Antônio quer ir para a economia equivalente a 0,3% do PIB.esquerda, Benedito diz que prefere a direita. Já Dessa informação deduz-se que o PIB do país,entre Antônio e Caetano, um sempre quer ir para a expresso em dólares, éesquerda, mas nunca os dois juntos. Fica ainda mais a) 890 000 000 000complicado, pois Benedito e Caetano também nunca b) 810 000 000 000querem ir para a direita ao mesmo tempo. Se c) 128 600 000 000 40
  • 41. d) 810 000 000 17. Quatro pessoas querem trocar presentes. Oe) 128 600 000 nome de cada pessoa é escrito em um papelzinho e colocado numa caixa. Depois, cada uma das pessoas13. Numa sala estão 100 pessoas, todas elas com sorteia um papelzinho para saber quem ela irámenos de 80 anos de idade. É FALSO afirmar que presentear. A chance de as quatro pessoaspelo menos duas dessas pessoas sortearem seus próprios nomes é dea) têm 50 anos de idade. a) 1 em 3b) nasceram num mesmo ano. b) 2 em 7c) nasceram num mesmo mês. c) 1 em 4d) nasceram num mesmo dia da semana. d) 1 em 8e) nasceram numa mesma hora do dia. e) 1 em 1614. São lançadas 4 moedas distintas e não viciadas. 18. Somando-se parcelas iguais a 5 ou a 8 é possívelQual é a probabilidade de resultar exatamente 2 obter como resultado quase todos os númeroscaras e 2 coroas? inteiros positivos. Exemplos: 32 = 8 + 8 + 8 + 8; 33a) 50% = (5 + 8) + (5 + 5 + 5 + 5).b) 44,5% O maior número que NÃO pode ser obtido dessac) 42% maneira éd) 37,5% a) 22e) 25% b) 27 c) 2915. Com 1 260 kg de matéria prima uma fábrica d) 96pode produzir 1 200 unidades diárias de certo artigo e) 130durante 7 dias. Nessas condições, com 3 780 kg dematéria prima, por quantos dias será possível 19. Se 1 hectare corresponde à área de umsustentar uma produção de 1 800 unidades diárias quadrado com 100 m de lado, então expressando-sedesse artigo? a área de 3,6 hectares em quilômetros quadradosa) 7 obtém-seb) 9 a) 0,0036c) 10 b) 0,036d) 12 c) 0,36e) 14 d) 36 e) 360016. Alberto recebeu R$ 3 600,00, mas dessedinheiro deve pagar comissões a Bruno e a Carlos. 20. Um atleta faz um treinamento cuja primeiraBruno deve receber 50% do que restar após ser parte consiste em sair de casa e correr em linha retadescontada a parte de Carlos e este deve receber até certo local à velocidade de 12 km/h. Depois, sem20% do que restar após ser descontada a parte de intervalo, ele retorna andando a 8 km/h. Se o tempoBruno. Nessas condições, Bruno e Carlos devem gasto nesse treinamento foi exatamente 3 horas, oreceber, respectivamente, tempo em que ele correu superou o tempo em quea) 1 440 e 288 reais. caminhou emb) 1 440 e 720 reais. a) 15 minutos.c) 1 600 e 400 reais. b) 22 minutos.d) 1 800 e 360 reais. c) 25 minutos.e) 1 800 e 720 reais. d) 30 minutos. e) 36 minutos.GABARITO01-D | 02-B | 03-D | 04-A | 05-C | 06-B | 07-A | 08-B | 09-A | 10-C11-D | 12-E | 13-E | 14-A | 15-C | 16-B | 17-D | 18-B | 19-B | 20-DSIMULADO 0401 (ESAF/AFTN/96) - Três amigas, Tânia, Janete e meio e a que está sentada à direita são,Angélica, estão sentadas lado a lado em um teatro. respectivamente:Tânia sempre fala a verdade; Janete às vezes fala a a) Janete, Tânia e Angélicaverdade; Angélica nunca fala a verdade. A que está b) Janete, Angélica e Tâniasentada à esquerda diz: "Tânia é quem está sentada c) Angélica, Janete e Tâniano meio". A que está sentada no meio diz: "Eu sou d) Angélica, Tânia e JaneteJanete". Finalmente, a que está sentada à direita e) Tânia, Angélica e Janetediz: "Angélica é quem está sentada no meio". A queestá sentada à esquerda, a que está sentada no 41
  • 42. 02 (ESAF/AFTN/96) - José quer ir ao cinema assistir meio-campista que às vezes fala a verdade e àsao filme "Fogo contra Fogo" , mas não tem certeza vezes mente. Na saída do estádio, dirigindo-se a umse o mesmo está sendo exibido. Seus amigos, Maria, torcedor que não sabia o resultado do jogo queLuís e Júlio têm opiniões discordantes sobre se o terminara, um deles declarou "Foi empate", ofilme está ou não em cartaz. Se Maria estiver certa, segundo disse "Não foi empate" e o terceiro falouentão Júlio está enganado. Se Júlio estiver "Nós perdemos". O torcedor reconheceu somente oenganado, então Luís está enganado. Se Luís estiver meio-campista mas pôde deduzir o resultado do jogoenganado, então o filme não está sendo exibido. com certeza. A declaração do meio-campista e oOra, ou o filme "Fogo contra Fogo" está sendo resultado do jogo foram, respectivamente:exibido, ou José não irá ao cinema. Verificou-se que a) "Foi empate"/ o XFC venceuMaria está certa. Logo: b) "Não foi empate"/ empateo filme "Fogo contra Fogo" está sendo exibido c) "Nós perdemos / o XFC perdeua) Luís e Júlio não estão enganados d) "Não foi empate" / o XFC perdeub) Júlio está enganado, mas não Luís e) "Foi empate" / empatec) Luís está engando, mas não Júliod) José não irá ao cinema 07 (ESAF/AFTN/96) - Em um laboratório de experiências veterinárias foi observado que o tempo03 (ESAF/AFTN/96) - De todos os empregados de requerido para um coelho percorrer um labirinto, nauma grande empresa, 30% optaram por realizar um enésima tentativa, era dado pela função C(n) =curso de especialização. Essa empresa tem sua (3+12/n) minutos. Com relação a essa experiênciamatriz localizada na capital. Possui, também, dua pode-se afirmar, então, que um coelho:filiais, uma em Ouro Preto e outra em Montes Claros. a) consegue percorrer o labirinto em menos de trêsNa matriz trabalham 45% dos empregados e na filial minutosde Ouro Preto trabalham 20% dos empregados. b) gasta cinco minutos e quarenta segundos parasabendo-se que 20% dos empregados da capital percorrer o labirinto na quinta tentativaoptaram pela realização do curso e que 35% dos c) gasta oito minutos para percorrer o labirinto naempregados da filial de Ouro Preto também o terceira tentativafizeram, então a percentagem dos empregados da d) percorre o labirinto em quatro minutos nafilial de Montes Claros que não optaram pelo curso é décima tentativaigual a: e) percorre o labirinto numa das tentativas, em trêsa) 60% minutos e trinta segundosb) 40%c) 35% 08 (ESAF/AFTN/96) - O salário mensal de umd) 21% vendedor é constituído de uma parte fixa igual a R$e) 14% 2.300,00 e mais uma comissão de 3% sobre o total de vendas que exceder a R$ 10.000,00. Calcula-se04 (ESAF/AFTN/96) - Se Nestor disse a verdade, em 10% o percentual de descontos diversos queJúlia e Raul mentiram. Se Raul mentiu, Lauro falou a incidem sobre seu salário bruto. Em dois mesesverdade. Se Lauro falou a verdade, há um leão feroz consecutivos, o vendedor recebeu, líquido,nesta sala. Ora, não há um leão feroz nesta sala. respectivamente, R$ 4.500,00 e R$ 5.310,00. ComLogo: esses dados, pode-se afirmar que suas vendas noa) Nestor e Júlia disseram a verdade segundo mês foram superiores às do primeiro mêsb) Nestor e Lauro mentiram em:c) Raul e Lauro mentiram a) 18%d) Raul mentiu ou Lauro disse a verdade b) 20%e) Raul e Júlia mentiram c) 30% d) 33%05 (ESAF/AFTN/96) - Os carros de Artur, Bernardo e) 41%e Cesar são, não necessariamente nesta ordem, umaBrasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é 09 (ESAF/AFTN/96) - Em determinado país existemcinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de dois tipos de poços de petróleo, Pa e Pb. Sabe-seartur é cinza; o carro de Cesar é o Santana; o carro que oito poços Pa mais seis poços Pb produzem emde Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores dez dias tantos barris quanto seis poços Pa mais dezda Brasília, da Parati e do Santana são, poços Pb produzem em oito dias. A produção dorespectivamente: poço Pa, portanto, é:a) cinza, verde e azul a) 60,0% da produção do poço Pbb) azul, cinza e verde b) 60,0% maior do que a produção do poço Pbc) azul, verde e cinza c) 62,5% da produção do poço Pbd) cinza, azul e verde d) 62,5% maior do que a produção do poço Pbe) verde, azul e cinza e) 75,0% da produção do poço Pb06 (ESAF/AFTN/96) - Sabe-se que na equipe do X 10 (ESAF/AFTN/96) - Uma ferrovia será construídaFutebol Clube (XFC) há um atacante que sempre para ligar duas cidades C1 eC2, sendo que estamente, um zagueiro que sempre fala a verdade e um última localiza-se a vinte quilômetros ao sul de C1. 42
  • 43. No entanto, entre essas duas cidades, existe umagrande lagoa que impede a construção da ferroviaem linha reta. Para contornar a lagoa, a estrada 0 0deverá ser feita em dois trechos, passando pela C=cidade C3, que está a dezesseis quilômetros a leste 3/7 -29/4e dezoito quilômetros ao sul de C1. O comprimento,em quilômetros, do trecho entre a cidade C3 e acidade C2 é igual a: e seja x a soma dos elementos da segunda coluna da matriz transposta de Y. Se a matriz Y é dada por Y =a) 2/Ö5 (AB) + C, então o valor de x é:b) Ö5/2c) 4/Ö5 a) - 7/8d) 2Ö5 b) 4/7e) 4Ö5 c) 0 d) 111 (ESAF/AFTN/98) - Considere as afirmações: A) se e) 2Patrícia é uma boa amiga, Vítor diz a verdade; B) seVítor diz a verdade, Helena não é uma boa amiga; 15 (ESAF/AFTN/98) - Há três suspeitos de um crime:C) se Helena não é uma boa amiga, Patrícia é uma o cozinheiro, a governanta e o mordomo. Sabe-seboa amiga. A análise do encadeamento lógico dessas que o crime foi efetivamente cometido por um outrês afirmações permite concluir que elas: por mais de um deles, já que podem ter agidoa) implicam necessariamente que Patrícia é uma boa individualmente ou não. Sabe-se, ainda, que: A) seamiga o cozinheiro é inocente, então a governanta éb) são consistentes entre si, quer Patrícia seja uma culpada; B) ou o mordomo é culpado ou aboa amiga, quer Patrícia não seja uma boa amiga governanta é culpada, mas não os dois; C) oc) implicam necessariamente que Vítor diz a verdade mordomo não é inocente. Logo:e que Helena não é uma boa amigad) são equivalentes a dizer que Patrícia é uma boa a) a governanta e o mordomo são os culpadosamiga b) somente o cozinheiro é inocentee) são inconsistentes entre si c) somente a governanta é culpada d) somente o mordomo é culpado12 (ESAF/AFTN/98) - Indique qual das opções e) o cozinheiro e o mordomo são os culpadosabaixo é verdadeira.a) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e 16 (ESAF/AFTN/98) - Em uma cidade, 10% dasque x2 + 5x = 0 pessoas possuem carro importado. Dez pessoasb) Para todo número real y, tem-se que y < 3 e que dessa cidade são selecionadas, ao acaso e comy>2 reposição. A probabilidade de que exatamente 7 dasc) Para todo número real positivo x, tem-se que x2 > pessoas selecionadas possuam carro importado é:xd) Para algum número real k, tem-se que k > 5 e a) 120 (0,1)7 (0,9)3que k2 – 5k = 0 b) (0,1)3 (0,9)7e) Para algum número real x, tem-se que x < 4 e c) 120 (0,1)7 (0,9)que x > 5 d) 120 (0,1) (0,9)7 e) (0,1)7 (0,9)313 (ESAF/AFTN/98) - O valor de y para o qual aexpressão trigonométrica: 17 (ESAF/AFTN/98) - Uma empresa possui 20(cosx + senx)2 + y senx cosx - 1 = 0 funcionários, dos quais 10 são homens e 10 sãorepresenta uma identidade é: mulheres. Desse modo, o número de comissões de 5a) 0 pessoas que se pode formar com 3 homens e 2b) -2 mulheres é:c) -1 a) 1650d) 2 b) 165e) 1 c) 5830 d) 540014 (ESAF/AFTN/98) - Sejam as matrizes e) 5600 0 1 18 (ESAF/AFTN/98) - Sejam três retas: a reta R1 queA= é a bissetriz do primeiro quadrante; a reta R2 que é1 0 a bissetriz do quarto quadrante e a reta R3 que é dada pela equação x = 1. A área, em cm2, do triângulo cujos lados coincidem com essas três retas 3/5 -7/8 é:B= a) 1,5 4/7 25/4 b) 0,5 43
  • 44. c) 1d) 2 20- Um trapézio ABCD possui base maior igual a 20e) 2,5 cm, base menor igual a 8 cm e altura igual a 15 cm. Assim, a altura, em cm, do triângulo limitado pela19 (ESAF/AFTN/98) - Em um triângulo retângulo, um base menor e o prolongamento dos lados nãodos catetos forma com a hipotenusa um ângulo de paralelos do trapézio é igual a:450. Sendo a área do triângulo igual a 8 cm2, então a) 7a soma das medidas dos catetos é igual a: b) 5a) 8 cm2 c) 17b) 4 cm d) 10c) 8 cm e) 12d) 16 cm2e) 16 cmGABARITO01-B 02-E 03-A 04-B 05-D 06-A 07-E 08-C 09-C 10-D11-B 12-A 13-B 14-C 15-E 16-A 17-D 18-C 19-C 20-D 44