BSE: Matematika Bisnis dan Manajemen (3)

9,183 views
8,959 views

Published on

0 Comments
2 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
9,183
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
66
Actions
Shares
0
Downloads
133
Comments
0
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

BSE: Matematika Bisnis dan Manajemen (3)

  1. 1. Bandung Arry Sanjoyo dkk MATEMATIKA BISNIS DAN MANAJEMEN SMK JILID 3 Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah Departemen Pendidikan Nasional
  2. 2. Hak Cipta pada Departemen Pendidikan NasionalDilindungi Undang-undangMATEMATIKABISNIS DANMANAJEMENUntuk SMKJILID 3Penulis : Bandung Arry Sanjoyo Sri Suprapti Nur Asyiah Dian Winda SEditor : Erna AprilianiUkuran Buku : 17,6 x 25 cm SAN SANJOYO, Bandung Arry m Matematika Bisnis dan Manajemen untuk SMK Jilid 3 /oleh Bandung Arry Sanjoyo, Sri Suprapti, Nur Asyiah, Dian Winda S ---- Jakarta : Direktorat Pembinaan Sekolah Menengah Kejuruan, Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan Menengah, Departemen Pendidikan Nasional, 2008. xii, 162 hlm ISBN : 978-602-8320-73-3 ISBN : 978-602-8320-76-4Diterbitkan olehDirektorat Pembinaan Sekolah Menengah KejuruanDirektorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasar dan MenengahDepartemen Pendidikan NasionalTahun 2008
  3. 3. KATA SAMBUTANPuji syukur kami panjatkan kehadirat Allah SWT, berkat rahmat dankarunia Nya, Pemerintah, dalam hal ini, Direktorat Pembinaan SekolahMenengah Kejuruan Direktorat Jenderal Manajemen Pendidikan Dasardan Menengah Departemen Pendidikan Nasional, telah melaksanakankegiatan penulisan buku kejuruan sebagai bentuk dari kegiatanpembelian hak cipta buku teks pelajaran kejuruan bagi siswa SMK.Karena buku-buku pelajaran kejuruan sangat sulit di dapatkan di pasaran.Buku teks pelajaran ini telah melalui proses penilaian oleh Badan StandarNasional Pendidikan sebagai buku teks pelajaran untuk SMK dan telahdinyatakan memenuhi syarat kelayakan untuk digunakan dalam prosespembelajaran melalui Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 45Tahun 2008 tanggal 15 Agustus 2008.Kami menyampaikan penghargaan yang setinggi-tingginya kepadaseluruh penulis yang telah berkenan mengalihkan hak cipta karyanyakepada Departemen Pendidikan Nasional untuk digunakan secara luasoleh para pendidik dan peserta didik SMK.Buku teks pelajaran yang telah dialihkan hak ciptanya kepadaDepartemen Pendidikan Nasional ini, dapat diunduh (download),digandakan, dicetak, dialihmediakan, atau difotokopi oleh masyarakat.Namun untuk penggandaan yang bersifat komersial harga penjualannyaharus memenuhi ketentuan yang ditetapkan oleh Pemerintah. Denganditayangkan soft copy ini diharapkan akan lebih memudahkan bagimasyarakat khsusnya para pendidik dan peserta didik SMK di seluruhIndonesia maupun sekolah Indonesia yang berada d luar negeri untuk imengakses dan memanfaatkannya sebagai sumber belajar.Kami berharap, semua pihak dapat mendukung kebijakan ini. Kepadapara peserta didik kami ucapkan selamat belajar dan semoga dapatmemanfaatkan buku ini sebaik-baiknya. Kami menyadari bahwa buku inimasih perlu ditingkatkan mutunya. Oleh karena itu, saran dan kritiksangat kami harapkan. Jakarta, 17 Agustus 2008 Direktur Pembinaan SMK
  4. 4. iv
  5. 5. KATA PENGANTARMatematika merupakan suatu alat untuk berkomunikasi di bidangilmu pengetahuan dan teknologi. Dengan matematika kita dapatmengungkapkan gejala – gejala alam, sosial, dan teknik dengansuatu ungkapan rumusan matematika yang tidak memuatmakna ganda. Bahkan dengan berbantuan matematika kitadapat menyelesaikan permasalahan sosial, ekonomi,manajemen, dan teknik dengan penyelesaian yang akurat danoptimal. Fakta menunjukkan bahwa beberapa pemenang nobeluntuk bidang ekonomi atau teknik berasal dari matematikawan.Oleh karena itu, mempelajari dan menguasai matematika dariusia sekolah dasar maupun lanjut merupakan suatu kebutuhan.Buku ini disusun dengan memperhatikan konsep berfikirmatematis dan selalu mengaitkannya dalam kehidupan sehari-hari, khususnya pada permasalahan ekonomi, bisnis, danmanajemen. Pada setiap konsep kecil yang dituangkan dalamsuatu sub bab selalu dikaitkan dengan permasalahan sehari –hari. Juga pada setiap bab diawali dengan kalimat motivasi,pembuka dan perangsang bagi pembaca untuk mengerti dariawal, kira-kira akan dipakai seperti apa dan dimana.Belajar matematika tidak cukup hanya dengan mengerti konsepsaja. Harus disertai dengan banyak latihan olah pikir serupadengan contoh – contoh yang diberikan. Untuk itu, pada setiapakhir sub bab diberikan banyak soal – soal sebagai latihan dalam v
  6. 6. menguasai konsep dan miningkatkan ketrampilan olah pikir danpenyelesaian permasalahan.Susunan materi di buku ini berpedoman pada silabus dan GBPPyang telah disusun oleh Depdiknas untuk matematika tingkatSMK bidang Bisnis dan Perkantoran. Sehingga rujukan yangdipakai banyak menggunakan buku matematika untuk SMK danSMA/MA. Namun demikian juga memperhatikan beberapa bukumatematika untuk perguruan tinggi maupun buku aplikasimatematika. Dengan harapan bahwa konsep dan aplikasimatematika tidak terabaikan, juga tingkatan penyampaian materisangat memperhatikan usia sekolah SMK.Banyak kata motivasi dan kalimat definitif diambil dari bukurujukan yang dipakai. Untuk suatu topik gagasan, sering diambildari gabungan beberapa buku yang kemudian diungkapkankedalam suatu kalimat yang sekiranya akan mudah dimengertioleh siswa SMK.Penulis sangat menyadari bahwa buku ini masih jauh darikesempurnaan. Oleh karena itu, kritik dan saran untuk perbaikansangat diharapkan oleh penulis. Penulis.vi
  7. 7. DAFTAR ISI HalamanKATA SAMBUTAN iiiKATA PENGANTAR vDAFTAR ISI viiJILID 11. SISTEM BILANGAN REAL 1 1.1. BILANGAN REAL DAN OPERATOR PADA REAL 2 1.1.1. Bilangan Real 2 1.1.2. Operasi Pada Bilangan Real 14 1.2. Perbandingan, Skala dan Persen 22 1.2.1. Perbandingan 22 1.2.2. Skala 26 1.2.3. Persen 27 1.3. Operasi Pada Bilangan Berpangkat Bulat 31 1.3.1. Pangkat Bilangan Positif 31 1.3.2. Pangkat Bilangan Negatif 34 1.3.3. Penerapan Operasional Bilangan Berpangkat 39 1.4. Bilangan Dalam Bentuk Akar (Irrasional) 47 1.4.0. Operasi Aljabar Pada Bilangan Berbentuk Akar 49 1.4.0. Merasionalkan Penyebut 51 1.4. Bilangan Berpangkat Rasional 56 1.4. Logaritma 63 1.6.0. Pengertian Logaritma 63 1.6.0. Menghitung Logaritma 65 1.6.0. Sifat-Sifat Logaritma 73 1.6.0. vii
  8. 8. 2. PERSAMAAN DAN PERTIDAKSAMAAN 83 2.1. Persamaan Linear 84 2.2. Persamaan Kuadrat 96 2.2.1. Menyelesaikan Persamaan Kuadrat 99 2.2.2. Mencari Hubungan Akar-akar Persamaan Kuadrat 114 2.2.3. Hubungan Antara Akar-akar Persamaan Kuadrat 121 Lainnya 2.2.4. Menerapkan Persamaan Kuadrat 128 2.3. Sistem Persamaan Linear 139 2.3.1. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Dua Peubah 141 2.3.2. Penyelesaian Sistem Persamaan Linear Tiga Peubah 149 2.1. Sistem Persamaan Linear dan Kuadrat Dua Peubah 154 2.2. Pertidaksamaan 158 2.5.9. Pertidaksamaan Linear Satu Peubah 161 2.5.10. Pertidaksamaan Kuadrat 164 2.5.11. Pertidaksamaan Pecah Rasional 167 2.5.12. Menerapkan Pertidaksamaan Kuadrat 1703. FUNGSI 177 2.1. Fungsi dan Relasi 178 2.6.3. Jenis-jenis Fungsi 183 2.2. Fungsi Linear 187 2.7.1. Menggambar Grafik Fungsi Linear 188 2.7.2. Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Sebuah Titik 191 Dengan Gradien Diketahui 2.7.3. Penentuan Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Dua 192 Titik 2.7.4. Kedudukan Dua Buah Garis Lurus 193 2.7.5. Invers Fungsi Linear 194 2.1. Fungsi Kuadrat 198 2.8.1. Bentuk Umum Parabola 201viii
  9. 9. 2.8.2. Menentukan Puncak Persamaan Sumbu Simetri 203 Dan Koordinat Fokus Suatu Parabola 2.3. Aplikasi Untuk Ekonomi 212JILID 24. PROGRAM LINEAR 218 3.1. Keramik 219 3.1.1. Pertidaksamaan Linear Dan Daerah 219 Penyelesaiannya 3.1.2. Sistem Pertidaksamaan Linear dan Daerah 228 Penyelesaiannya 3.1. Nilai Optimum Dari Daerah Penyelesaian Sistem 248 Pertidaksamaan Linear 3.2. Penyelesaian Program Linear Dengan 263 Menggunakan Garis Selidik5. LOGIKA MATEMATIKA 272 4.1. Pernyataan dan Kalimat Terbuka 274 4.1.1. Proposisi 274 4.1.2. Kalimat Terbuka 276 4.2. Penghubung Atau Konektif (Connective) 279 4.2.1. Negasi 279 4.2.2. Konjungsi 280 4.2.3. Disjungsi 282 4.2.4. Implikasi (Proposisi Bersyarat) 284 4.2.5. Bimplikasi 287 4.2.6. Tabel Kebenaran 292 4.3. Kuantor Universal Dan Kuantor Eksistensial 296 4.3.1. Negasi Dari Pesyaratan Berkuantor 296 4.3.2. Hubungan Invers, Konvers, dan Kontraposisi 299 4.3.3. Dua Buah Pernyataan Majemuk Yang Ekuivalen 301 4.4. Silogisme, Modus, Ponens, dan Modus Tollens 306 4.4.1. Silogisme 307 ix
  10. 10. 4.4.2. Modus Ponens 309 4.4.3. Modus Tollens 3116. FUNGSI 316 6.1. Fungsi dan Relasi 317 6.1.1. Jenis-Jenis Fungsi 322 6.2. Fungsi Liner 327 6.2.6. Menggambar Grafik Fungsi Liner 328 6.2.7. Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Sebuah Titik 331 Dengan Gradien Diketahui 6.2.8. Penentuan Persamaan Garis Lurus Yang Melalui Dua 332 Titik 6.3. Fungsi Kuadrat 339 6.3.1. Bentuk Umum Parabola 341 6.3.2. Menentukan Puncak, Persamaan Sumbu Simetri dan 343 Koordinat Fokus Suatu Parabola 6.4. Aplikasi Untuk Ekonomi 3547. BARISAN DAN DERET 361 7.1. Barisan dan Deret Bilangan 361 7.1.1. Notasi Sigma 362 7.2. Barisan dan Deret Aritmatika 377 7.3. Barisan dan Deret Geometri 386JILID 38. GEOMETRI BIDANG 397 8.1. Sudut 397 8.2. Keliling Bidang Datar 402 8.3. Luas 407 8.4. Luas Bidang Datar Dibawah Garis Lengkung 414 8.5. Transformasi Geometri 420 8.6. Komposisi Transformasi 436x
  11. 11. 9. Peluang 447 9.1. Pengertian Dasar 447 9.2. Kaidah Pencacahan 45010. STATISTIKA 477 10.1. Pengertian Dasar 477 10.2. Penyajian Data 481 10.3. Ukuran Statistik Bagi Data 49811. MATEMATIKA KEUANGAN 11.1. Bunga Tunggal dan Bunga Majemuk 519 11.2. Diskonto 527 11.3. Bunga Majemuk 528 11.4. Nilai Tunai, Nilai Akhir, dan Hari Valuta 530 11.5. Rente (Rentetan Modal) 534 11.6. Anuitas 543 11.7. Metode Saldo Menurun 552 xi
  12. 12. xii
  13. 13. Bab 8 GEOMETRI BIDANGP ada bab ini akan dibahas bentuk-bentuk bidang dalam ruang dimensi dua, keliling serta luasan dari bidang tersebut, bentuk ini banyak kaitannya dengan kegiatan ekonomi (bisnis danmanajemen) terutama menyangkut luasan dari bidang. Selain itudikenalkan dua besaran sudut yaitu derajat dan radian serta hubunganantara kedua satuan ukuran ini.8.1 SudutMisalkan kita menggambar dua garis lurus AB dan AC yangberpotongan di titik A (lihat gambar 8.1), kedua garis ini membentuksudut dengan titik sudut A dan dinamakan sudut A dilambangkandengan: ∠ BAC atau dapat juga ditulis sebagai ∠ CAB. Garis AB danAC dinamakan kaki sudut dari sudut BAC. Untuk mengukur besarnya∠ BAC digunakan aturan berlawanan dengan arah jarum jam yangputar kanan, berarti sudut bernilai positip jika arah putar sudut kiri dan 397
  14. 14. 398 Bab 8: Geometri Bidangbernilai negative jika arah putar sudut ke kanan, besar sudutdinyatakan dalam derajat. Jadi besar ∠ BAC dinyatakan dengan θ 0. C θ A B Gambar 8.1.1 Garis AB dan garis AC membentuk ∠ BACAda beberapa nama sudut berdasarkan besar sudut yang dibentuk, padaGambar 8.1.1 ∠ BAC dinamakan sudut lancip karena besar sudut Akurang dari 900 , jika besar sudut adalah 900 maka dinamakan sudutsiku-siku dan jika besar sudut lebih dari 900 dinamakan sudut tumpul.HUBUNGAN SATUAN PANJANG DENGAN DERAJATDua macam satuan yang biasa digunakan untuk menentukan u kuransudut yaitu radian dan derajad. Pada bagian ini akan dibahas pengertianradian dan hubungan antara derajat dengan radian. Buatlah sebuahlingkaran dengan pusat O dan jari-jari r seperti Gambar 8.1.2. Gambar 8.1.2 Besar ∠ AOB = 1 radianMisal AB sebuah busur pada lingkaran yang panjangnya sama dengan
  15. 15. Bab 8: Geometri Bidang 399jari-jari lingkaran r. Besar sudut pusat AOB yang menghadap busur ABsebagai satu radian. Karena keliling lingkaran sama dengan 2π r (nilaiπ ≈ 3,14 ), ini berarti bahwa besar sudut pusat adalah: 2π radian.Besar sudut lingkaran dengan satu putaran adalah 3600 sehingga 110 = . Satuan yang lebih kecil dari derajat adalah menit dan 360 0detik, 10 = 60 dan 1 = 60" . Jadi: 2π radian = 360 0 atau 1π radian = 180 0persamaan tersebut adalah persamaan dasar antara radian dan derajat,oleh karena itu: 180 0 1 radian = ≈ 57 017 45" π π 10 = radian = 0,01745 radian 180CONTOH 8.1.1Berapa besar sudut dalam radian jika diketahui besar sudut dalanderajat adalah 450 ?Jawab. πKarena 10 = radian = 0,01745 radian , 180 π πMaka 45 0 = 45 radian = radian ≈ 0,78525 radian 180 4
  16. 16. 400 Bab 8: Geometri BidangCONTOH 8.1.2Berapa derajat jika besar sudut: 1,25 radian ?Jawab 180 0Karena 1 radian = ≈ 57 017 45" , π 180 0Maka 1,25 radian = 1,25 × ≈ 710 37 11" πCONTOH 8.1.3 2Nyatakan besar sudut: π dalam derajat ! 3JawabKarena 1π radian = 180 0 , 2 2maka π = × 180 0 = 120 0 3 3CONTOH 8.1.4Nyatakan besar sudut 540 0 dalam bentuk π radianJawabKarena 1π radian = 180 0 , 540 0Maka 540 0 = × π radian = 3π radian 180 0
  17. 17. Bab 8: Geometri Bidang 401Latihan Soal 8 -11. Konversikan besaran sudut dalam derajat ke dalam radian a. 320 45’ c. 480 15’ 30” b. 1280 21’ 35” d. 4500 45’ 45”2. Konversikan besaran sudut dalam radian ke dalam derajat a. 6,28 radian c. 9 radian b. 0,314 radian d. 11 radian3. Ubahlah ke dalam satuan π radian a. 7200 c. 3150 b. 4500 d. 40504. Ubahlah ke dalam satuan derajat 5 11 a. π c. π 6 4 3 7 b. π d. π 4 35. Ubahlah ke dalam satuan π radian a. - 900 b. -60o c. - 300 d. -1800
  18. 18. 402 Bab 8: Geometri Bidang8.2 KELILING BIDANG DATARKeliling suatu bangun datar yang tertutup merupakan jumlah panjangsisi-sisinya, dapat juga dikatakan bahwa keliling suatu bangun dataradalah jarak yang ditempuh bila suatu bangun dikitari sampai kembalike tempat semula.PERSEGI DAN PERSEGI PANJANGBangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segiempat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dimana mempunyai ukuranpanjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus daripersegi panjang yaitu ukuran panjang dan lebar adalah sama. Sepertiterlihat pada Gambar 8.8.2.4. l s p s Persegi Panjang Persegi Gambar 8.8.2.4 Persegi dan Persegi PanjangKeliling dari persegi panjang adalah jarak yang ditempuh jika mengitarisisi-sisinya dan kembali pada titik awal. Untuk persegi panjang,kelilingnya (K) adalah dua kali panjang (p) ditambah dua kali lebar (l)dan dinyatakan dengan: K = 2 p + 2l = 2( p + l )Untuk persegi, karena panjang sisi-sisiya sama (s) maka kelilingpersegi dinyatakan dengan: K = 2 s + 2s = 4s
  19. 19. Bab 8: Geometri Bidang 403CONTOH 8.8.2.4Hitung keliling persegi panjang dengan panjang 20 satuan dan lebar 15satuan !JawabKeliling persegi panjang tersebut adalah: K = 2( p + l ) = 2(20 + 15 ) = 70 satuanCONTOH 8.2.2Hitung keliling persegi dengan panjang sisi-sisinya 20 satuan !JawabKeliling persegi tersebut adalah: K = 4 s = 4 × 20 = 80 satuanJAJARAN GENJANG, LAYANG – LAYANG DAN TRAPESIUMBentuk-bentuk segi empat yang lain adalah: Jajaran genjang, Layang-layang dan Trapesium. Jajaran genjang mempunyai dua pasang sisiyang saling sejajar, layang-layang dua pasang sisinya sama panjangsedangkan trapesium hanya memiliki sepasang sisi yang sejajar. Bentukbangun datar ini diperlihatkan pada Gambar 8.2.2 l l m l p p n l p p k l Jajaran Genjang Layang - Layang Trapesium
  20. 20. 404 Bab 8: Geometri Bidang Gambar 8.2.2 Bangun datar Jajaran Genjang, Layang-Layang dan TrapesiumKeliling dari bangun segi empat ini dengan menghitung jarak yangditempuh, jika mengitari bangun segi empat ini dan kembali ke titikasal. Dengan demikian keliling untuk masing masing banun segi empatini adalah : * Jajaran genjang: K = 2( p + l ) * Layang-layang : K = 2( p + l ) * Trapesium : K = k + l + m+ nSEGITIGAPerhatikan Gambar 8.2.3, terlihat pada gambar bahwa persegi panjangyang ditarik sebuah garis yang melalui salah satu diagonalnya makaakan terbentuk bidang datar yang berbentuk segitiga. S2 S1 S3 Gambar 8.2.3 SegitigaKeliling segitiga dinyatakan dengan menjumlahkan ketiga sisinya: K = S1 + S 2 + S 3Terdapat 3 jenis segitiga yaitu: * Segitiga siku-siku: salah satu sudutnya siku-siku * Segitiga sama kaki: mempunyai dua sisi yang sama panjang * Segitiga sama sisi: ketiga sisinya sama panjang
  21. 21. Bab 8: Geometri Bidang 405LINGKARANBentuk-bentuk benda yang berupa lingkaran sering anda jumpaidalam kehidupan sehari- hari. Perhatikan bentuk roda kendaraan,jam tangan yang bulat, medali, uang logam merupakan contohbenda-benda yang berbentuk lingkaran. Bentuk Lingkarandiperoleh dengan menentukan tempat kedudukan atau himpunansemua titik-titik yang berjarak tetap terhadap sebuah titik(Gambar 8.2.4). Titik tetap (x o,yo) tersebut dikatakan Pusatlingkaran dan jarak r tersebut dikatakan jari-jari lingkaran. Gambar 8.2.4Keliling sebuah lingkaran sama dengan dua kali π dikalikan denganjari-jarinya, atau ditulis: K = 2π r
  22. 22. 406 Bab 8: Geometri BidangLatihan Soal 8-21. Tentukan keliling dari bangun datar dibawah ini: a. Persegi Panjang dengan panjang = 6 cm, lebar = 3 cm b. Persegi dengan sisi = 4 cm c. Jajajaran genjang panjang = 12 cm, lebar = 8 cm d. Lingkaran dengan jari-jari = 5 cm2. Sebuah jendela berbentuk persegi panjang dengan panjang = 2,4 m dan lebar 1,8 m. Diatas jendela diberi lengkungan setengah lingkaran. b. Tentukan keliling jendela c. Jika harga bahan Rp. 42.500,-/m dan ongkos pembuatan jendela Rp. 55.000,-. Tentukan harga jendela tersebut.3. Sebuah pagar berbentuk seperti gambar dibawah ini, bagian atas pagar diberi hiasan segi tiga sama sisi. 0,5 m 3m 5m Jika harga bahan Rp. 35.000,-/m, ongkos pembuatan Rp. 225.000,- tentukan harga pagar.4. Sebuah taman berbentuk persegi panjang dengan panjang 15 m dan lebar 10 m, keliling taman diberi pagar seperti pada soal 3. Berapa beaya yang dibutukhan untuk memberi pagar taman tersebut.
  23. 23. Bab 8: Geometri Bidang 4078.3 LuasLuas daerah suatu bangun datar, yang selanjutnya disebut luas adalahukuran yang menunjukkan besarmya permukaan untuk menutupbangun datar tersebut. Luas suatu bangun datar dinyatakan dengan L,yang mana rumus-rumus luas bangun datar yang sudah pernah kitapelajari kita ulas kembali.PERSEGI DAN PERSEGI PANJANGBangun datar yang berbentuk persegi panjang adalah bangun datar segiempat dengan sudut siku disetiap sudutnya, dimana mempunyai ukuranpanjang dan lebar. Sedangkan persegi adalah keadaan khusus daripersegi panjang yai u ukuran panjang dan lebar adalah sama. Seperti tterlihat pada Gambar 8.1.2. Luas dari persegi panjang adalahbanyaknya besaran turunan yang dapat menutupi permukaan persegipanjang. Kalau panjang dari persegi panjang adalah p satuan dan lebardari persegi panjang adalah l satuan, maka luas persegi panjangtersebut adalah: L = p×lSedangkan luas dari persegi adalah sisi (s) dikalikan dengan sisi (s) dandinyatakan dengan: L = s × s = s2CONTOH 8.3.1Tentukan luas dari persegi panja ng dengan panjang 8 cm & lebar 4 cmJawabL = p × l = 8 cm × 4 cm = 32 cm 2
  24. 24. 408 Bab 8: Geometri BidangCONTOH 8.3.2Tentukan luas dari persegi dengan panjang sisi 4 mJawabL = s × s = 4 m × 4 m = 16 m 2SEGITIGAPerhatikan Gambar 8.3.1. Terlihat pada gambar bahwa Luas segi tigaABC sama dengan ½ luas persegi panjang ADCF ditambah ½ luaspersegi panjang DBFC maka luas segi tiga ABC sama dengan ½ luaspersegi panjang ADCE dan DBFC. Sehingga luas segitiga dapatdirumuskan sebagai berikut : E C F 1 L= ⋅ ( AB) ⋅ (CD ) 2 A D B Gambar 8.3.1Jika panjang alas (AB) segi tiga ABC adalah a dan Panjang dari garistinggi CD adalah t, maka luas segitiga ABC dapat ditulis: 1 L= ⋅a ⋅t 2CONTOH 8.3.3Tentukan luas segitiga yang panjang al snya 8 cm dan tinggi 4 cm aJawabL = 1 2 ⋅ a ⋅ t = 1 2 ⋅ 8 cm ⋅ 4 cm = 16 cm 2
  25. 25. Bab 8: Geometri Bidang 409JAJARAN GENJANGUntuk mendapatkan luas jajaran genjang perhatikan Gambar 8.3.2.Buat garis tinggi dari sepasang sisi yang sejajar, potong bentuk segitigasebelah kanan kemudian tempelkan ke segitiga sebelah kiri, bentukbangun menjadi persegi panjang.Misalkan panjang alas jajaran genjangdiketahui a dan tingginya t t t a aGambar 8.3.2Jajaran genjang dan Persegi panjang yang dibentuk daripotongan Segitiga Jajaran genjangJadi luas jajajaran genjang dinyatakan dengan: L = a ⋅tCONTOH 8.3.4Tentukan luas jajaran genjang yang panjang alas 8 cm dan tinggi 4 cmJawabL = a ⋅ t = 8 cm ⋅ 4 cm = 32 cm 2
  26. 26. 410 Bab 8: Geometri BidangLAYANG – LAYANGLuas layang-layang dicari dengan membuat garis diagonal diagonalnya -kemudian memotong salah satu diagonalnya. Dari potongan ini terdapatdua segitiga yang panjang alas sama dengan diagonal dan tinggi darikedua segitiga sama dengan panjang diagonal yang lain seperti terlihatpada Gambar 8.3.3. t1 d2 d2 d1 t2 Gambar 8.3.3 Layang-layang dipotong menjadi dua segitigaLuas segitiga potongan atas adalah : L∆atas = 1 ⋅ d 2 ⋅ t 1 2Luas segitiga potongan bawah adalah : L∆bawah = 1 ⋅ d 2 ⋅ t 2 2Luas layang-layang: ( ) ( L∆atas + L∆bawah = 1 2 ⋅ d 2 ⋅ t1 + 1 2 ⋅ d 2 ⋅ t 2 ) = 1 ⋅ d 2 ⋅ (t1 + t 2 ) 2Sedangkan d 1 = t1 + t 2Jadi luas layang-layang: L = 12 × d1 × d 2
  27. 27. Bab 8: Geometri Bidang 411CONTOH 8.3.5Tentukan luas layang-layang yang panjang diagonalnya 10 cm dantinggi 6 cmJawabL = 1 2 ⋅ d 1 ⋅ d 2 = 1 2 ⋅10 ⋅ 6 = 30 cm 2TRAPESIUMPerhatikan Gambar 8.3.4. Penghitungan luas trapesium denganmembuat dua garis tinggi dari alas trapesium, bidang dipotongmengikuti garis tinggi, dengan demikian ada dua bidang datarberbentuk segitiga dan satu berbentuk persegi panjang. b t L2 L1 L3 c d a Gambar 8.3.4 Trapesium dan Tiga PotonganLuas trapesium adalah jumlahan dari L1 + L2 + L1 1 L1 = ⋅c ⋅t 2 L2 = b ⋅ t 1 L3 = ⋅ d ⋅t 2 ⋅ c ⋅ t + (b ⋅ t ) + ⋅ d ⋅ t 1 1 Ltrap = 2 2
  28. 28. 412 Bab 8: Geometri Bidang 1 1  = t ⋅ c + b + d 2 2   1 1  = t ⋅ c + b + d − c − d  , panjang a = c + b + d  2 2   = t ⋅a − 1 (c + d )  , panjang c + d = a − b   2  ⋅ t ⋅ (a + b ) 1 Ltrap = 2CONTOH 8.3.6Tentukan luas trapesium dengan tinggi 4 cm, alas 6 cm dan 5 cm.Jawab ⋅ t ⋅ (a + b ) = ⋅ 4 ⋅ (6 + 5) = 22 cm 2 1 1Ltrap = 2 2
  29. 29. Bab 8: Geometri Bidang 413Latihan Soal 8-31. Tentukan luas dari bangun datar dibawah ini: a. Persegi dengan sisi 3 cm b. Persegi panjang dengan panjang 5 cm, lebar 2 cm c. Segi tiga dengan alas 8 cm dan tinggi 7 cm d. Lingkaran dengan jari-jari 6 cm2. Tentukan luas tanah pada gambar dibawah ini 1m 3m 6m 8m3. Paving dengan ukuran 4 x 8 cm digunakan untuk menutup halaman sekolah yang berukuran 8 x 10 m a. Berapa banyak paving yang dibutuhkan b. Jika harga paving Rp. 2.500,-/buah berapa harga paving seluruhnya. c. Ongkos pemasangan paving Rp. 25.000,-/m2 Berapa beaya yang dibutuhkan d. Agar lebih bagus digunakan paving merah sebanyak 12 m2 dengan harga Rp. 2750,-/buah, berapa harga paving seluruhnya4. Sebuah teras dari cor berbentuk persegi panjang dan diatasnya diberi setengah lingkaran seperti gambar dibawah, dengan ketebalan 5 cm tiap meter persegi membutuhkan semen 6 kg, harga semen yang berisi 50 kg Rp. 48.000,- 2m a. Berapa luas teras b. Berapa kg semen yang dibutuhkan 2m c. Berapa biaya untuk membeli semen 4m
  30. 30. 414 Bab 8: Geometri Bidang8.4 Luas Bidang Datar Dibawah Garis LengkungPrinsip untuk mendapatkan l as bidang datar dibawah garis lengkung udengan membagi bidang tersebut menjadi potongan-potongan yangberbentuk persegi panjang atau trapesium, hasil yang didapatmerupakan pendekatan luas dari bidang datar tersebut. Terdapat duacara untuk mendapatkan pendekatan luas bidang datar yaitu: * Aturan titik tengah * Aturan trapesoidaATURAN TITIK TENGAHPerhatikan Gambar 8.4.1 Luas bidang datar dibawah garis le ngkungdari titik A sampai dengan titik B dibagi menjadi n potongan yangberbentuk persegi panjang dengan lebar yang sama. p3 p2 p4 p1 pn A B l l l l l Gambar 8.4.1 Luas dibawah garis lengkung dari titik A sampai titik B dipotong sebanyak n persegi panjangLuas potongan persegi panjang adalah panjang kali lebar, dengandemikian luas bidang datar adalah jumlah dari potongan-potongan luaspersegi panjang dan ditulis:
  31. 31. Bab 8: Geometri Bidang 415 L ≈ L1 + L2 + L3 + . .. + Ln ≈ ( p1 × l ) + ( p 2 × l ) + ( p3 × l ) + . .. + ( p n × l ) n ≈ ∑ p ×l i iATURAN TRAPESOIDAPendekatan luas dengan aturan trapesoida, potongan dibawah garislengkung berbentuk trapesium seperti terlihat pada Gambar 8.4.2.Lebar potongan merupakan tinggi trapesium, sehingga luas satu potongtrapesium adalah: × l × ( p1 + p 2 ) 1 L1 = 2 p4 p3 p5 p2 pn-1 p1 pn L1 L2 L3 L4 Ln-1 A B l l l l l Gambar 8.4.2 Luas dibawah garis lengkung dari titik A sampai titik B dipotong sebanyak (n-1) TrapesiumLuas seluruh dataran dibawah garis lengkung adalah:L ≈ L1 + L2 + L3 + .. . + Ln−1 1  1  ≈  × l × ( p1 + p2 ) +  × l × ( p 2 + p 3 ) + ... + 2  2  1   2 × l × ( pn + p n−1 )  
  32. 32. 416 Bab 8: Geometri Bidang × l × ( p1 + 2 p 2 + 2 p 3 + ... + 2 p n−1 + p n ) 1L ≈ 2 × l × [( p1 + pn ) + 2( p 2 + p 3 + ... + pn −1 )] 1L≈ 2Perhatikan rumusan luas aturan trapesoida panjang awal ditambahakhir, panjang ditengah dijumlahkan kemudian dikalikan dengan dua.CONTOH 8.4.1Tentukan pendekatan luas pada gambar dibawah dengan menggunakanaturan titik tengah dan trapesoida untuk n = 10, panjang AB = 20 cmdan ukuran panjang (dalam cm)P1 P2 P3 P4 P5 P6 P7 P8 P9 P10 P117,6 8,2 9,8 10 9,6 8,4 8 8,2 8,8 8,6 7,4 p4 p3 p5 p9 p 10 p2 p6 p7 p8 p1 p 11 A BJawab. 20 cmn = 10, panjang AB = 20 cm, lebar potongan: l = = 2 cm 10
  33. 33. Bab 8: Geometri Bidang 417* Aturan Titik TengahLebih dahulu menentukan panjang rata-rata setiap potongan luasanuntuk potongan ke satu panjang rata-rata adalah: p1 + p 2 7,6 + 8,2p1 = = = 7,9 cm 2 2Dengan cara yang sama didapat rata-rata panjang semua potongansebagai berikut: p1 p2 p3 p4 p5 p6 p7 p8 p9 p107,9 9 9,9 9,8 9 8,2 8,1 8,5 8,7 8Jadi pendekatan luas bidang datar adalah:L ≈ 2 × (7,9 + 9 + 9,9 + 9,8 + 9 + 8,2 + 8,1 + 8,5 + 8,7 + 8 ) ≈ 2 × 87 = 174 cm 2* Aturan TrapesoidaPenghitungan pendekatan luas dengan aturan trapesoida adalah sebagaiberikut: × 2 × (7,6 + 7, 4 + 2 × (8,2 + 9,8 + 10 + 9,6 + 8,4 + 8 + 8,2 + 8,8 + 8,6 )) 1L≈ 2 ≈ 1× 174, 2 = 174, 2 cm 2Hasil pendekatan luas sedikit berbeda hal ini disebabkan pendekatanluas dengan aturan titik tengah potongan bidang datar berbentukpersegi panjang, sedangkan bentuk potongan mendekati bentuktrapesium. Jadi pendekatan luas yang paling baik adalah aturantrapesium.
  34. 34. 418 Bab 8: Geometri BidangLatihan Soal 8-41. Tentukan luas daerah gambar dibawah ini, yang mempunyai data pengukuran seperti pada tabel yang diberikan: 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 li 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Pi 5 6 7 5,5 4,5 6,5 6 5,3 5,5 5,2 6 12. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh y = , 1 ≤ x ≤ 5 dan x sumbu x, ambil n = 10. Tentukan luas daerah dengan mengunakan a. Aturan titik tengah b. Aturan trapesoida3. Gambar dibawah ini adalah sebuah jendela dengan data pengukuran, dipasang kaca dengan harga kaca Rp. 21.000,-/m2 . Tentukan harga kaca yang dibutuhkan dengan menggunakan a. Aturan titik tengah b. Aturan trapesoida
  35. 35. Bab 8: Geometri Bidang 419Data pengukuran (cm): t 90 92 95 97 100 101 100 97 95 92 90h 0 7 14 21 28 35 42 49 56 63 704. Gambar dibawah ini adalah sebuah jendela mobil dengan data pengukuran, dipasang kaca dengan harga kaca Rp. 43.000,-/m2 . Tentukan harga kaca yang dibutuhkan dengan menggunakan a. Aturan titik tengah b. Aturan trapesoidaData pengukuran (cm): t 0 19 24 27 30 34 37 40 38 35 0h 0 6 12 18 24 30 36 42 48 54 605. Hitung luas daerah dibawah kurva y=x2 yang dibatasi oleh garis x=0 , x=1 dan sumbu X dengan pendekatan trapezium jika n=10.(Sertai gambar)
  36. 36. 420 Bab 8: Geometri Bidang8.5 Transformasi GeometriTransformasi geometri adalah pemindahan obyek bidang datar daritempat asal ketempat yang lain. Terdapat empat bentuk transformasigeometri yaitu: * Translasi (pergeseran) * Rotasi (putaran) * Refleksi (pencerminan) * Dilatasi (Perbesaran atau perkecilan)TRANSLASITranslasi atau pergeseran adalah bentuk transformasi untuk memindah-kan suatu obyek pada bidang datar dengan jarak dan arah tertentu.Panjang jarak dan arah pada translasi dinyatakan oleh vektor AB atau apasangan berurutan   . b  Suatu translasi dari R 2 (ruang dimensi dua) ke R 2 didefinisikan olehpemetaan: T : R 2 → R2 aTitik P( x, y ) ditranslasikan oleh T =   b  artinya titik P( x, y ) dipetakan ke titik P ( x , y ) sehingga berlakuhubungan: x= x + a y= y + b
  37. 37. Bab 8: Geometri Bidang 421Hubungan ini mengandung pengertian: 1. Jika a > 0 maka arah pergeseran kekanan dan jika a < 0 arah pergeseran kekiri. 2. Jika b > 0 maka arah pergeseran keatas dan jika b < 0 arah pergeseran kebawah.Secara geometri diperlihatkan pada Gambar 8.5.1 y y P ( x , y ) P( x, y ) y +b y P( x, y ) y +b y P ( x , y ) x x x x+a x x+a a > 0, b > 0 a > 0, b < 0 Gambar 8.5.1 Translasi Titik P( x, y ) ke P (x , y )CONTOH 8.5.1  2Tentukan bayangan titik P(2,−5) dan Q(− 3,1) oleh translasi T    3  JawabUntuk titik P: P(2,−5) → P (2 + 2, − 5 + 3) = P (4, − 2 )Untuk titik Q: Q(− 3,1) → Q (− 3 + 2,1 + 3) = P (− 1, 4)
  38. 38. 422 Bab 8: Geometri BidangCONTOH 8.5.2Tentukan hasil translasi dari persamaan parabola y = x 2 oleh translasi  − 1T   , Gambarkan grafik sebelum dan sesudah translasi. 3  Jawab.Persamaan translasi adalah: x = x − 1 → x = x +1 y = y + 3 → y = y −3Substitusikan persamaan translasi ke persamaan parabola didapat: y = x2 ↔ y −3 = ( x +1)2 ↔ y = (x )2 + 2 x +1 + 3 ↔ y = (x )2 + 2 x + 4Grafik parabola asal dan hasil translasi diperlihatkan pada gambar 8.5.2 y y = ( x)2 + 2x +4 y = x2 x -1 y = x 2 + 2x +1 Gambar 8.5.2 Grafik Parabola dan hasil Translasi
  39. 39. Bab 8: Geometri Bidang 423Pertama kita gambarkan grafik y = x 2 , grafik ini digeser ke-kiri sejauhsatu satuan (gambar garis putus-putus), kemudian dilanjutkan digeserke-atas sejauh tiga satuan (gambar garis tebal).CONTOH 8.5.3 aBayangan titik (a − 2b, a + b ) oleh translasi   adalah titik (8,1) b  Tentukan bayangan titik (2b, a + 1) oleh translasi yang sama.Jawab.Bentuk translasi sebagai berikut:  a − 2b   a   8    a + b  + b  = 1            a − 2b + a = 8 → 2 a − 2b = 8 …….. …….. (1) a + b +b =1 → a + 2b = 1 …………….. (2)Dari persamaan (1) dan (2) didapat a = 3 dan b = −1 ,Oleh krena itu titik (2b, a + 1) = (− 2, 4) .Bayangan titik (− 2, 4) oleh translasi 3  − 1 adalah:    x   − 2  3   1   =   +  =    y   4   − 1  3          a  3 Jadi, bayangan titik (− 2, 4) oleh tranlasi   =   adalah (1, 3) b − 1    
  40. 40. 424 Bab 8: Geometri BidangROTASIRotasi adalah bentuk transformasi geometri untuk memindahkan obyekdengan cara pemutaran. Untuk melakukan rotasi diperlukan titik pusat,besar sudut dan arah sudut rotasi. Arah putaran sudut positif ber-lawanan dengan jarum jam, sebaliknya untuk arah sudut yang negatifputaran searah dengan jarum jam. Gambar 8.5.3 memperlihatkanbangun segitiga dirotasikan dengan pusat titik O(0, 0 ) , sudut putarsebesar θ searah jarum jam. θ O Gambar 8.5.3 Segitiga dirotasi pusat O sebesar θ searah jarum jamMisalkan titik P( x, y ) diputar dengan titik pusat O(0, 0 ) dengan sudutputar sebesar θ berlawanan arah jarum jam, untuk mendapatkan titikhasil rotasi yaitu titik P ( x , y ) perhatikan Gambar 8.5.4. y P ( x , y ) y r P( x, y ) y θ r α x O x x Gambar 8.5.4 Rotasi titik P( x, y ) ke P ( x , y )
  41. 41. Bab 8: Geometri Bidang 425OP = OP’ = r, ∠XOP = α , ∠POP = θx = r cos α , y = r sin αx = r cos (α + θ ) = r (cos α cos θ − sin α sin θ ) = r cos α cos θ − r sin α sin θ = x cos θ − y sin θy = r sin (α + θ ) = r (sin α cos θ + cos α sin θ ) = r sin α cos θ + r cos α sin θ = y cos θ + x sin θ = x sin θ + y cos θJadi, x = x cos θ − y sin θ y = x sin θ + y cos θDalam bentuk matriks persamaan diatas dapat dinyatakan sebagaiberikut:  x   cos θ − sin θ  x   =  y   sin θ      cos θ  y     cos θ − sin θ Bentuk matriks    disebut matriks rotasi R[O, θ ] .  sin θ cos θ  
  42. 42. 426 Bab 8: Geometri BidangCONTOH 8.5.4Diberikan titik-titik A(2, 4 ) , B(− 3, 5) dan C (0, − 3) diputar dengansudut seperempat putaran berlawanan arah jarum jam, pusat sumbusumbu putar O. Tentukan bayangannya !.Jawab.Persamaan rotasi dengan ∠θ = 90 0 dengan pusat sumbu O adalah: x   cos 90 0 − sin 90 0  2 − 3 0  = y   sin 90 0 cos 90 0  4 5 − 3        0 − 1 2 − 3 0  =  1 0  4 5 − 3       − 4 − 5 3 =  2 − 3 0   Jadi,A (− 4, 2) , B (− 5, − 3) dan C (3, 0 )Sekarang kita bahas jika titik pusat putar bukan O(0, 0 ) , misalP(a, b ) . Penyelesaian masalah ini sama dengan mentranslasikanO(0, 0 ) ke titik P(a, b ) , sehingga didapat persamaan: x −a = (x − a ) cos θ − ( y − b )sin θ y −b = ( x − a ) sin θ + ( y − b) cos θatau dalam bentuk matriks:  x −a   cos θ − sin θ  x − a    y −b  =  sin θ        cos θ  y − b   
  43. 43. Bab 8: Geometri Bidang 427CONTOH 8.5.5Tentukan bayangan dari persamaan parabola y = x 2 diputar dengansudut putar sebesar 90 0 berlawanan arah jarum jam, titik pusat (2, 0)Jawab.Pusat rotasi (2, 0) , besar sudut putar 90 0 berlawanan arah jarum jam,persamaan rotasi: x −2 = (x − 2) cos 90 0 − ( y − 0) sin 90 0 y −0 = (x − 2 )sin 90 0 + ( y − 0 ) cos 90 0↔ x = 2 + ( x − 2 ) 0 − ( y )1 y = 0 + (x − 2)1 + ( y ) 0↔ x= 2 − y y= x − 2↔ y = 2 − x x = y +2Substitusikan ke persamaan parabola y = x 2 didapat persamaanbayangan: (2 − x ) = ( y +2 )2atau x = − ( y ) − 4 y − 2 2Jadi bayangan dari persamaan parabola y = x 2 yang diputar dengansudut putar sebesar 90 0 berlawanan arah jarum jam, titik pusat (2, 0) 2adalah x = − y − 4 y − 2 .
  44. 44. 428 Bab 8: Geometri BidangREFLEKSI (PENCERMINAN)Refleksi (pencerminan) adalah bentuk transformasi geometri yangmemindahkan obyek menjadi bayangan seperti di depan cermin. Misalsuatu segitiga dicerminkan terhadap garis l , hasil dari pencerminandiperlihatkan pada Gambar 8.5.5. l B B ∨ ∨ 〈〈 〈〈 A A ∧ ∧ C C Gambar 8.5.5 Segitiga ABC dicerminkan terhadap lPencerminan titik terhadap sumbu cermin, jarak titik asal ke sumbucermin sama dengan jarak titik bayangan ke sumbu cermin.Pada koordinat Kartesius, titik P( x, y ) dicerminkan terhadap sumbu xdan sumbu y hasil dari pencerminan diperlihatkan pada Gambar 8.5.6. y P " (− x, y ) P( x, y ) x P ( x, − y ) Gambar 8.5.6 Pencerminan P( x, y ) terhadap sumbu koordinat
  45. 45. Bab 8: Geometri Bidang 429Titik P( x, y ) dicerminkan terhadap sumbu x menghasikan P ( x, − y ) ,bentuk persamaan hasil pencerminan ini adalah: x= x ↔ x=1x + 0 y y = − y ↔ y = 0 x −1 yDinyatakan dalam bentuk persamaan matriks:  x 1 0  x   =  y   0 − 1  y         1 0 Matriks    disebut matriks pencerminan terhadap sumbu x.   0 −1Dengan cara yang sama dapat dicari bentuk-bentuk matrikspencerminan pada sumbu-sumbu cermin yang lain, untuk memudahkanmempelajari pencerminan bentuk-bentuk matriks pencerminan ditulisdalam tabel 8.5.1 Tabel 8.5.1 Matriks Transformasi Pencerminan Transformasi Bentuk Matriks Pemetaan 1 0 Pencerminan terhadap   0 −1  ( x, y ) → ( x, − y )sumbu x    −1 0Pencerminan terhadap   0 1 ( x, y ) → (− x, y )sumbu y    −1 0 Pencerminan terhadap   0 − 1  ( x, y ) → (− x,− y )Pusat sumbu O(0, 0 )    0 1Pencerminan terhadap   1 0  ( x, y ) → ( y, x )garis y = x    0 − 1Pencerminan terhadap   −1 0   ( x, y ) → (− y, − x )garis y = −x  
  46. 46. 430 Bab 8: Geometri BidangSelanjutnya, pengembangan pencerminan dengan mengganti sumbucerminnya. Hasil pencerminan terhadap beberapa sumbu cermin adalahsebagai berikut: * Sumbu cermin garis x = h P( x, y ) hasil pencerminan (bayangan) adalah: P (2 h − x, y ) * Sumbu cermin garis y = k P( x, y ) hasil pencerminan (bayangan) adalah: P ( x, 2 k − y ) * Sumbu cermin garis y = mx , bentuk matriks pencerminan: 1 1− m 2 2m  M y = mx =   m2 + 1  2m  m 2 − 1 CONTOH 8.5.6Diberikan titik-titik A(2, 4 ) , B(− 3, 5) dan C (0, − 3) .Tentukan bayangannya jika jika dicerminkan terhadap garis y = xJawab.  0 1Matriks pencerminan terhadap garis y = x adalah:      1 0Persamaan matriks untuk titik-titik A(2, 4 ) , B(− 3, 5) dan C (0, − 3) x   0 1  2 − 3 0   4 5 3 = y    1 0  4 5 3 =    2 −3 0       Jadi hasil pencerminan didapat: A (4, 2) , B(5, − 3) dan C (− 3, 0 )
  47. 47. Bab 8: Geometri Bidang 431CONTOH 8.5.7Tentukan bayangan titik (− 3, 7 ) jika dicerminkan terhadap garis2x − y + 3 = 0Jawab.Ubah persamaan garis 2 x − y + 3 = 0 menjadi y = 2 x + 3 .  0Garis y = 2 x + 3 diperoleh dari garis y = 2 x ditranslasi oleh T    3  Bayangan (− 3, 7 ) dapat dicari dengan langkah-langkah sebagaiberikut:  0 1. Translasikan titik (− 3, 7 ) dengan T   diperoleh: (− 3, 4 )  3   2. Tentukan matriks pencerminan garis y = 2 x 1 1 − 2 2 2.2  1  − 3 4  M y=2 x =  =   2 2 + 1  2.2  2 2 − 1 5  4 3     3. Cerminkan titik (− 3, 4 ) terhadap garis y = 2 x dengan menggunakan matriks pada 2. diperoleh:  x  1  − 3 4   − 3  5  =   y  5  4 3  4  =     → ( x, y ) = (5, 0 )  0         0 4. Translasikan titik (5, 0 ) dengan T   diperoleh (5, 3)  3  Jadi hasil refleksi (− 3, 7 ) terhadap garis 2 x − y + 3 = 0 adalah: (5, 3)
  48. 48. 432 Bab 8: Geometri BidangDILATASIDilatasi adalah bentuk transformasi geometri yang memperbesar ataumemperkecil obyek tanpa mengubah bentuk obyek tersebut. Untukmelakukan dilatasi diperlukan pusat dilatasi dan faktor pengali atauskala. Jika skala > 1 maka bentuk obyek diperbesar, sebaliknya jikaskal < 1 maka obyek diperkecil.Perhatikan Gambar 8.5.7, suatu titik P( x, y ) dilakukan dilatasi denganpusat O(0, 0 ) dengan skala a. P " (x", y") y y" P( x, y ) y P ( x , y ) y x O x x x" Gambar 8.5.7 Dilatasi titik P( x, y ) a < 1 menghasikan P ( x , y) , a > 1 menghasikan P"( x", y")Persamaan dilatasi dengan pusat O(0, 0 ) dan k skala dinyatakan dalambentuk: x = k x y= k yPersamaan matriksnya adalah:
  49. 49. Bab 8: Geometri Bidang 433  x   k 0  x  =  y   0 k      y        k 0Matriks    disebut matriks dilatasi D[O, k ]  0 k Untuk dilatasi dengan pusat P(a , b ) dengan skala k dan ditulisD[P, k ] bentuk persamaannya adalah: x = a + k (x − a) y = b + k ( y − b)Persamaan dalam bentuk matriks adalah:  x   a   k 0  x − a  =  y   + b 0 k     y − b         CONTOH 8.5.8Tentukan bayangan titik (6, 8) oleh dilatasi: a. D[O, 2]  1 b. D O ,   2Jawab a. Titik (6, 8) dilatasi D[O, 2] , gunakan persaman matriks dilatasi didapat:  x   2 0  6 12   =  y    0 2  8 =     16         Jadi, hasil dilatasi (12,16 )
  50. 50. 434 Bab 8: Geometri Bidang  1 b. Titik (6, 8) dilatasi D O ,  , gunakan persaman matriks  2  dilatasi didapat: 1   x   0   6  3  =  y  2   =     0 1   8  4       2 Jadi, hasil dilatasi (3, 4 )CONTOH 8.5.9Tentukan bayangan dari persegi ABCD dengan titik sudut A(2, 2 ) ,B(− 2, 2 ) , C (− 2, − 2 ) dan D(2, − 2 ) jika dilakukan dilatasi denganpusat titik C dengan skala 2Jawab.Bentuk dilatasi adalah: D[C, 2]Persamaan matriks dilatasi untuk titik-titik: A(2, 2 ) , B(− 2, 2 ) ,C (− 2, − 2 ) dan D(2, − 2 ) adalah: x   − 2  2 0  2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2 2 + 2  = y    +  − 2  0 2  2 + 2 2 + 2 − 2 + 2 − 2 + 2          − 2  2 0  4 0 0 4  =  +    0 2  4 4 0 0     − 2    6 − 2 −2 6  =    6 6 −2 − 2Titik-titik hasil dilatasi: A (6, 6 ) , B (− 2, 6 ) , C (− 2, − 2 ) danD (6, − 2) .
  51. 51. Bab 8: Geometri Bidang 435Latihan Soal 8-51. Diberikan koordinat titik segi tiga (0,0), (2,0) dan (2,3). Tentukan koordinat titik segi tiga jika dikenakan transformasi:  1 a. Translasi: T =    4    − 3 b. Translasi: T =    2    c. Rotasi titik pusat O dengan θ = 60 0 d. Rotasi titik pusat O dengan θ = 240 0 e. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan sumbu y f. Refleksi (pencerminan) terhadap garis y = x , y = -x dan x = 2 g. Dilatasi dengan titik pusat O dan faktor skala: 3 dan 1/2 m2. Titik A(2,-4) dengan translasi T =   menjadi A’(-1,2) tentukan n   m dan n3. Diberikan persamaan parabola y = x 2 + 1 , tentukan persamaan yang sesuai dan sket grafik jika ditransformasikan dengan: 1 a. Translasi: T =    − 1   b. Rotasi titik pusat O dengan θ = 90 0 c. Rotasi titik pusat P(0,1) dengan θ = 180 0 d. Refleksi (pencerminan) terhadap titik O, sumbu x dan sumbu y4. Tentukan matriks refleksi terhadap garis x = h dan y = k
  52. 52. 436 Bab 8: Geometri Bidang8.6 KOMPOSISI TRANSFORMASIKita dapat melakukan beberapa transformasi, misal pertama suatuobyek ditranslasi dengan T1 kemudian dilanjutkan translasi yang keduadengan T2 yang dinyatakan dengan (T2 o T1 ) ( x, y ) , bentuk inidinamakan komposisi dua translasi. Bentuk komposisi transformasiyang lain dengan menggabungkan bentuk-bentuk transformasi yangtelah dipelajari pada subbab 8.5.KOMPOSISI TRANSLASI a cMisal diberikan translasi T1 =   dan T2 =   , komposisi dua b d     translasi T1 dan T2 dinyatakan: a  c   a + c  (T2 o T1 ) =   + =        b   d  b + d   c  a  c + a  (T1 o T2 ) =   + =       d  b d +bKarena jumlah bilangan bersifat komutatif, maka: (T2 o T1 ) = (T1 o T2 )Catatan* (T2 o T1 ) artinya obyek ditranslasi oleh T1 dilanjutkan dengan T2* (T1 o T2 ) artinya obyek ditranslasi oleh T2 dilanjutkan dengan T1Walaupun memberi hasil yang sama tetapi penekanan pada urutanpengerjaan translasi.
  53. 53. Bab 8: Geometri Bidang 437KOMPOSISI ROTASIMisalkan titik P( x, y ) dilakukan rotasi oleh R1 [O,θ 1 ] kemudiandilanjutkan dengan R1 [O,θ 2 ] , komposisi rotasi dari R1 dilanjutkandengan R2 dinyatakan:  cos θ 1 − sin θ 1   cos θ 2 − sin θ 2   x ( R2 o R1 ) ( x, y ) =   sin θ     1 cos θ1   sin θ 2  cos θ 2   y     cos θ 1 cos θ 2 − sin θ1 sin θ 2 − cos θ 1 sin θ 2 − sin θ1 cos θ 2   x =     sin θ 1 cos θ 2 + cos θ 1 sin θ 2 − sin θ1 sin θ 2 + cos θ1 cos θ 2   y     cos(θ1 + θ 2 ) − sin (θ1 + θ 2 )  x =       sin (θ1 + θ 2 ) cos(θ1 + θ 2 )   y Jadi, merotasikan suatu obyek menggunakan komposisi rotasi berartimerotasikan obyek tersebut dengan jumlah sudut masing-masing rotasi.Secara geometri diperlihatkan pada gambar 8.6.1 P" P θ2 θ1 P O Gambar 8.6.1 Komposisi Rotasi
  54. 54. 438 Bab 8: Geometri BidangTitik P dirotasikan pusat O besar sudut θ 1 didapat P dilanjutkanrotasi pusat O besar sudut θ 2 didapat P " atau dapat dilakukandengan pusat O dengan besar sudut rotasi θ 1 + θ 2 .KOMPOSISI REFLEKSI (PENCERMINAN)Misalkan titik P( x, y ) dilakukan refleksi terhadap garis x = kkemudian dilanjutkan dengan x = h , komposisi refleksi dari M 1dilanjutkan dengan M 2 dinyatakan:(M 2 o M1 ) ( x, y ) = M 2 ([M 1 ]( x, y )) = M 2 (2k − x , y ) = (2h − (2 k − x ), y ) = (2(h − k ) + x, y )Secara geometri hasil dari komposisi (M 2 o M 1 ) ( x, y ) terhadap garisx = k dilanjutkan dengan x = h diperlihatkan pada gambar 8.6.2. y P( x, y ) P (2 k − x, y ) P" (2(h − k ) + x , y ) x x=k x=h Gambar 8.6.2 Komposisi Refleksi terhadap dua garis sejajar
  55. 55. Bab 8: Geometri Bidang 439Bagaimana jika titik P( x, y ) direfleksikan terhadap sumbu koordinat,untuk itu perhatikan gambar 8.6.3 dibawah ini. Titik P( x, y )direfleksikan terhadap sumbu y menghasilkan P ( x, y ) dilanjutkanterhadap sumbu x menghasilkan P" ( x, y ) . Bagaimana jika P( x, y )direfleksikan terhadap sumbu x dilanjutkan sumbu y, dicoba sendirisebagai latihan. y P ( x, y ) P( x, y ) x P"(− x,− y ) Gambar 8.6.3 Refleksi terhadap sumbu y dilanjutkan sumbu xKOMPOSISI LEBIH DARI DUA TRANSFORMASISetelah kita mengerti komposisi dua transformasi, untuk mempelajarikomposisi lebih dari dua transformasi sangatlah mudah. Hal pentinguntuk diingat adalah operasi transformasi mana yang lebih dahuludikerjakan dan bentuk serta operasi dari matrik transformasi. Untuklebih jelasnya perhatikan contoh dibawah ini.
  56. 56. 440 Bab 8: Geometri BidangCONTOH 8.6.1  − 1Titik P(2, 3) ditranslasikan terhadap T =   , dilanjutkan rotasi 1  dengan titik pusat O dengan θ = 90 0 , selanjutnya direfleksikanterhadap sumbu x.JawabUrutan dan hasil transformasi adalah:  − 1 M sumbu x o R[O, 900 ] o T    (2,3) =  1   [ ] = M sumbu x o R[O , 900 ] o T   (2,3) 2  − 1   = [M sumbu x ]   − 1  2  o R[O , 900 ]    +         2   3   1 [ ] = M sumbu x o R[O, 900 ]    5    0 − 1  1   [ = M sumbu x o   ]       1 0   5   [ = M sumbu x o   1  ]  − 5    1 0   − 5 =       0 − 1  1   − 5 =     − 1Jadi titik P(2, 3) hasil dari tiga transformasi berurutan: (− 5,−1)
  57. 57. Bab 8: Geometri Bidang 441Latihan Soal 8-61. Carilah nilai p dan q dalam masing-masing persamaan berikut ini  3   p   − 1 a.  +  =   4  q   6         p   4 1  b.  −  =    3   q   4        p   1   2  p  c.  − +   =    2   q   3  q         2. Carilah peta dari titik dan transformasi yang ditentukan dibawah ini a. Titik (2, - 4) oleh pencerminan berturutan terhadap garis x = 3 kemudian terhadap garis x = 7 b. Titik (-3, 2) oleh pencerminan berturutan terhadap garis y = −1 kemudian terhadap garis y = 5 c. Jika (5, 1) → (1, 1) oleh pencerminan berturutan terhadap x = 4 , kemudian x = h , carilah h3. Misalkan refleksi terhadap sumbu x adalah X dan refleksi terhdapa garis y = x adalah M a. Berilah transformasi tunggal yang ekuivalen dengan M o X , dan tulislah peta dari P(a, b ) b. Tulislah matriks A dan yang berka itan dengan X dan M, dan periksa apakah BA merupakan matriks yang berkaitan dengan MoX c. Periksa apakah AB = BA
  58. 58. 442 Bab 8: Geometri Bidang4. Carilah matriks yang berkaitan dengan pencerminan terhadap sumbu y dilanjutkan dengan setengah putaran terhadap pusat. Periksa hasilnya secara geometri.  3 − 45. Perlihatkan bahwa matriks  4  memberikan transformasi  3   yang sama dengan dilatasi [O, 5] dilanjutkan dengan rotasi sebesar 3 suatu sudut lancip θ terhadap pusat, dimana tan θ = . Apakah 4 transformasi-transformasi dalam komposisi tersebut bersifat komutatif ?.8.7 PENERAPAN GEOMETRI DIMENSI DUAPenerapan dalam kehidupan sehari-hari perlu diperhatikan kondisi yangada di Lapangan, penghitungan yang eksak harus dibulatkan keatas.Contoh pada pemasangan keramik untuk lantai rumah kurang 3 buah,kita tidak bisa membeli keramik hanya 3 buah tetapi harus satu dos,demikian juga dalam perhitungan yang lain.CONTOH 8.7.1Perhatikan denah rumah dibawah ini ukuran dalam m, lantai rumahakan dipasang keramik yang berukuran 30 x 30 cm. Satu dos berisi 10buah keramik, harga satu dos keramik Rp. 42.000,-. Ongkospemasangan Rp. 25.000,- per m2 . Tentukan Beaya yang dibutuhkan !.
  59. 59. Bab 8: Geometri Bidang 443 10 4 2 3 3JawabLuas lantai adalah: (10 × 10 ) m 2 − (2 × 4 ) m 2 = 92 m 21 dos keramik luasnya adalah: (30 × 30) cm 2 ×10 = 9000 cm 2 92 m 2Kebutuhan keramik: = 102, 222 dos, dibulatkan 103 dos. 0,9 m 2Beaya yang dibutuhkan: 1. Pembelian keramik: 103 x Rp. 42.000,- = Rp. 4.326.000,- 2. Ongkos Pemasangan: 92 x Rp. 25.000,- = Rp. 2.300.000,-Total beaya yang dibutuhkan = Rp. 6.626.000,-Contoh 8.7.2Sebuah taman yang berukuran 15 m x 10 m diberi pagar yangberbentuk seperti gambar dibawah ini. Bahan pagar dibuat dari besidengan harga Rp. 27.000,-/m. Tentukan harga bahan yang dibutuhkan.
  60. 60. 444 Bab 8: Geometri Bidang 0,5 m 3m 5mPanjang besi Ø Vertikal (warna biru) = 3 m x 10 = 30 m Ø Horisontal (warna merah muda) = 5 m x 2 = 10 m Ø Segitiga = 3 x 0,5 m x 9 = 13,5 m Ø Lingkaran = 9 x 2 x 3,14 x 0,5 m = 28, 26 mJumlah = 81,76 mUkuran pagar taman = 15 m x 10 mBahan yang dibutuhkan untuk panjang taman: 3 x 81,76 m = 245,28 mBahan yang dibutuhkan untuk lebar taman : 2 x 81,76 m = 163,52 mTotal bahan yang dibutuhkan = 408,8 mHarga bahan Rp. 27.000,-Harga bahan seluruhnya adalah:Rp. 27.000,- x 408,8 m = Rp. 11.037.600,-
  61. 61. Bab 8: Geometri Bidang 445Latihan Soal 8-71. Tepi-tepi jalan pada gambar dibawah ini dibangun trotoar terbuat dari paving berukuran 10 cm x 4 cm, harga paving Rp. 60.000,-/m2 , ongkos pemasangan Rp. 24.000,-/m2 . Tentukan total beaya yang dibutuhkan 1 km Trotoar 3m 0,8 km Trotoar 3m 1 km2. Anggaran yang tersedia untuk pembangunan jaringan pipa air sebesar Rp. 50.000.000,-, pipa yang digunakan berukuran 1 dim dengan panjang 6 m, harga satu lonjor pipa Rp. 42.000,-, harga sambungan pipa Rp. 5.000,-/buah. Ongkos pemasangan pipa setiap 10 lonjor Rp. 45.000,-. Berapa m panjang pipa air yang terpasang.3. Dinding sebuah hotel dengan luas 15.600 m2 dilakukan pengecatan, 2 1 galon cat berisi 5 kg cukup digunakan untuk mengecat 15 m . Berapa galon cat yang dibutuhkan.4. Lantai sebuah lobi hotel berukuran 10 m x 8 m akan dipasang keramik berukuran 40 cm x 40 cm, 1 dos keramik berisi 6 keramik, berapa dos keramik yang dibutuhkan.
  62. 62. 446 Bab 8: Geometri Bidang
  63. 63. Bab 9 PELUANG itung peluang mula- mula dikenal pada abad ke-17 yangH bermula dari permainan sebuah dadu yang dilempar. Peluang (kemungkinan) dari permukaan dadu yangtampak ketika dilempar, diamati dan dihitung, perhitungan inilahyang disebut ilmu hitung peluang yang kemudian sangatbarmanfaat bagi ilmu yang lain,misalnya pada matematikamelahirkan ilmu statistic.9.1 PENGERTIAN DASARRuang Sampel adalah himpunan semua kemungkinan hasil suatupercobaan, biasanya dilambangkan dengan S. Kejadian adalah suatuhimpunan bagian dari ruang sampel. Kejadian dapat terdiri dari satutitik sampel yang disebut kejadian sederhana, sedangkan kejadianmajemuk adalah gabungan beberapa kejadian sederhana. Ruang nol 447
  64. 64. 448 Bab 9: Peluangadalah himpunan bagian ruang sampel yang tidak mengandung satupunanggota. Titik sampel adalah setiap elemen dari ruang sampel.CONTOH 9.1.1Pada percobaan pelemparan sebuah dadu, kemungkinan hasilpercobaannya adalah:Jika ditinjau dari angka yang muncul maka ruang sampelnya adalah S = { , 2,3,4,5,6} 1Jika ditinjau dari keadaan angkanya maka ruang sampelnya adalah S = {genap, gasal}CONTOH 9.1.2Pada percobaan pengambilan sebuah kartu bridge, kemungkinan hasilpercobaannya adalahJika ditinjau dari jenis kartu maka ruang sampelnya adalah S = {? , ? , ? ,? }Jika ditinjau dari warna kartu maka ruang sampelnya adalah S = {Merah, Hitam}Irisan Dua kejadian ( A I B ) adalah kejadian yang mengandung semuaunsur persekutuan kejadian A dan B. Kejadian saling terpisah (salingasing) adalah dua kejadian yang tidak memiliki unsur persekutuan,A I B = φ . Gabungan dua kejadian ( A ∪ B ) adalah kejadian yangmencakup semua unsur atau anggota A atau B atau keduanya.Komplemen suatu kejadian (A ) adalah himpunan semua anggota Syang bukan anggota A.
  65. 65. Bab 9: Peluang 449CONTOH 9.1.3Percobaan pelemparan 2 buah mata dadu, kemungkinan hasilpercobaannya adalahS = {(1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(1,6),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(2,5),(2,6) (3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(3,5),(3,6),(4,1),(4,2),(4,3),(4,4),(4,5),(4,6) (5,1),(5,2),(5,3),(5,4),(5,5),(5,6),(6,1),(6,2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6)}Jika A adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu samadengan 1 maka A = { }, kejadian mustahilJika B adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu samadengan 7 maka B = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(5,1)}Jika C adalah kejadian munculnya dadu dengan jumlah mata dadu samadengan 11 maka C = {(5,6),(6,5)}Jika D adalah kejadian munculnya mata dadu pertama adalah 5 maka D = {(5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}Irisan kejadian A dan B adalah A∩ B = { }Irisan kejadian B dan C adalah B ∩C = { }Irisan kejadian C dan D adalah C ∩ D = { ( 5,6)}Gabungan kejadian A dan B adalah A ∪ B = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(5,1)} = B
  66. 66. 450 Bab 9: PeluangGabungan kejadian B dan C adalah B ∪ C = {(1,6),(2,5),(3,4),(4,3),(5,2),(5,1) ,(5,6),(6,5)}Gabungan kejadian C dan D adalah C ∪ D = {(5,6),(6,5), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5)}9.2 KAIDAH PENCACAHANUntuk menentukan jumlah titik sampel yang ada dalam ruang sampeldiperlukan prinsip dasar menghitung, diantaranya ka idah penggandaan,permutasi dan kombinasi. Ada dua aturan dasar untuk menghitungjumlah anggota dari suatu himpunan, 1. Aturan penjumlahan, yaitu jika ada n1 benda yang berbeda dihimpunan pertama dan n2 benda dihimpunan kedua dan kedua himpunan saling asing (tidak beririsan), maka total anggota dikedua himpunan adalah n1 +n2 . 2. Aturan perkalian, akan dijelaskan dalam dalil 1 dan dalil 2.CONTOH 9.2.1 :Ekskul Basket” SMK mempunyai anggota 65 orang siswa dan “EkskulKarate” mempunyai anggota 45 orang siswa, jika tidak ada siswa yangmerangkap kedua ekskul, maka jumlah anggota kedua ekskul adalah65 + 45 = 110.9.2.1 FAKTORIALHasil kali dari bilangan-bilangan bulat positif dari 1 sampai dengan n,yaitu 1.2.3.4…(n-2). (n-1).n
  67. 67. Bab 9: Peluang 451sering digunakan dalam matematika yang diberi notasi n! (dibaca nfaktorial). n! = n.(n-1).(n-2)…. 3.2.1 1! = 1 0! = 1CONTOH 9.2.2 4! = 4.3.2.1 = 24 6! = 6.5! = 6.5.4.3.2.1 = 7209.2.2 PRINSIP DASAR MENGHITUNG DENGAN DIAGRAM POHONDalam percobaan sederhana, sebuah diagram pohon dapat digunakandalam perhitungan ruang sampel. Misalnya pada percobaan pelemparansebuah uang 3 kali. Himpunan hasil yang mungkin dapat diperoleh olehseluruh garis yang ditunjukkan dalam diagram pohon berikut, Lemparan Lemparan Lemparan Pertama Kedua Ketiga G G A G G A A G G A A G A A
  68. 68. 452 Bab 9: PeluangKarena dalam setiap percobaan ada 2 kemungkinan hasil suatupercobaan dari 3 kali percobaan, maka dalam ruang sample adasebanyak 23 = 8 buah titik sampel. Jadi S = {GGG, GGA, GAG, GAA,AGG, AGA, AAG, AAA}.CONTOH 9.2.4Jika dari kota A menuju kota B ada 3 jalan yaitu (p,q,r) sedangkan darikota B ke kota C ada 2 jalan yaitu (a,b) maka dari kota A ke kota Cdapat melalui 3 x 2 = 6 jalan yang berbeda, yaituS = {(p,a),(p,b),(q,a),(q,b),(r,a),(r,b)}DALIL 1 KAIDAH PENGGANDAANBila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara dan bila untuk setiapcara tersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara maka keduaoperasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n1 .n2 cara.CONTOH 9.2.3Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik sampeldalam ruang sampelnya ?Penyelesaian :Jika sepasang dadu dilemparkan satu kali maka d adu pertama akanmuncul 6 cara sedangkan dadu kedua .akan muncul 6 cara jugaDengan demikian, sepasang dadu tersebut dapat terjadi dalam (6)(6) =36 cara.
  69. 69. Bab 9: Peluang 453DALIL 2 KAIDAH PENGGANDAAN UMUMBila suatu operasi dapat dilakukan dalam n1 cara bila untuk setiap caratersebut operasi kedua dapat dilakukan dalam n2 cara, bila untuk setiappasangan dua cara yang pertama dapat dilakukan dalam n3 cara padaoperasi ke tiga, demikian seterusnya, maka k operasi dalam urutan -tersebut dapat dilakukan dalam n1 n2 n3 …nk cara.CONTOH 9.2.5Berapa macam menu makan siang yang terdiri atas sayur, lauk danbuah yang dapat dipilih dari 4 macam sayur, 3 macam lauk dan 5macam buah ?Penyelesaian :Banyak macam menu makan siang ada sebanyak (4)(3)(5) = 60 macam.CONTOH 9.2.6Diketahui empat angka 1,2,5,8, tentukan banyak semua bilangan yangdapat dibuat dari angka tersebut yang terdiri dari a. 2 angka b. 2 angka tetapi tidak boleh ada yang sama.Penyelesaian :a. Untuk mempermudah sediakan dua kotak yang akan diisi jumlah kemungkinan tiap tahap, yaitu letak angka puluhan dan angka satuan 4 4 = 16 Kotak pertama adalah posisi angka puluhan, dimana ada 4 kemungkinan, kotak kedua posisi angka satuan juga ada 4 kemungkinan, jadi jumlah kemungkinannya adalah 4 x 4 = 16.
  70. 70. 454 Bab 9: Peluangb. Dengan cara yang sama dengan penyelesaian soal a, tetapi karena tidak boleh sama angkanya maka kalau angka puluhan sudah muncul kemungkinan angka satuannya berkurang satu dan jumlah kemungkinannya adalah 4 x 3 = 12.9. 2.3 PERMUTASIDEFINISI 9.2.1Permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhanatau sebagian dari sekumpulan benda. Susunan pada permutasimemperhatikan urutannya.DALIL 3 . Banyaknya permutasi n benda yang berbeda ada n!CONTOH 9.2.7Jika ada 3 huruf a, b dan c, ada berapa cara dapat dibuat susunan ketigahuruf tadi secara berbeda.Penyelesaian :Susunan yang dapat dibuat ada sebanyak 3! = 6, yaitu abc, acb, bac,bca, cab dan cba.Permutasi Sebagian adalah bila diantara unsur yang berlainan akandiberikan urutan untuk r unsur (r = n) yang berlainan dinyatakan dalamdalil 4.DALIL 4 :. Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari nbenda yang berbeda
  71. 71. Bab 9: Peluang 455 n! nP r = (n − r )!CONTOH 9.2.8Dua kupon diambil dari 5 kupon untuk menentukan hadiah pertama dankedua. Hitung banyak titik sampel dalam ruang sampelnya.Penyelesaian :Jika 1,2,3,4,5 menyatakan no. kupon, (1,2) adalah hadiah pertamauntuk kupon no. 1 dan hadiah kedua untuk kupon no. 2, makakemungkinan yang mendapat hadiah adalah sebagai berikut : 1,2 2,1 3,1 4,1 5,1 1,3 2,3 3,2 4,2 5,2 1,4 2,4 3,4 4,3 5,3 1,5 2,5 3,5 4,5 5,4Banyak titik sampel adalah 5! P2 = = ( 4 )( 5 ) = 20 5 (5 − 2 )!CONTOH 9.2.9Empat orang masuk kedalam bus dan terdapat 10 tempat duduk.Tentukan banyak semua kemungkinan posisi empat orang tersebut akanduduk.Penyelesaian ;Masalah ini adalah merupakan permutasi empat tempat duduk terisidari 10 tempat duduk kosong yang tersedia, yaitu sebanyak
  72. 72. 456 Bab 9: Peluang 10 ! 10 ! P4 = = 10 (10 − 4 )! 6 ! 1 . 2 . 3 . 4 ... 10 = 1 .2 . 3 . 4 .5 .6 = ( 7 )( 8 )( 9 )( 10 ) = 5040CONTOH 9.2.10Petugas ruang baca sekolah bermaksud untuk mengatur rak bukusehingga buku bahasa yang sama akan berjajar berdekatan. Jika tempatyang tersedia untuk 12 buku untuk 5 buku berbeda dalam bahasaInggris, 4 buku berbeda dalam bahasa Arab dan 3 buku berbeda dalambahasa Jepang, tentukan banyak kemungkinan susunan buku tersebut.Penyelesaian :Pertama kali dapat ditentukan bahwa terdapat 3 unsur bahasa, yaituInggris, Arab dan jepang. Kemudian, jika susunan bahasa telahditentukan, masing-masing buku dengan bahasa sama akanberpermutasi antara mereka sendiri. Karena permutasi antar bahasa danpermutasi antar buku saling bebas, maka jumlah permutasi diperolehdengan mengalikan semuanya. Permutasi bahasa ada 3!, permutasibahasa Inggris 5!, bahasa Arab 4! Dan bahasa Jepang 3! Maka jumlahsemua kemungkinannya adalah : 3! 5! 4! 3! = 103.680 susunanDALIL 5 :. Banyaknya permutasi n benda yang berbeda yang disusundalam suatu lingkaran adalah (n − 1)!
  73. 73. Bab 9: Peluang 457CONTOH 9.2.11Jika kita mempunyai 4 permata dan ingin dibuat gelang, ada berapacara kita dapat menempatkan permata tadi dalam gelang yang berbeda.PenyelesaianBanyak cara menempatkan permata adalah (4 − 1 )! = 3! = 6DALIL 6 : PERMUTASI UNTUK UNSUR YANG SAMABanyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n 1 diantaranyaberjenis pertama, n 2 berjenis kedua, ..... nk berjenis k adalah n! n 1 ! n 2 ! ..... n k !CONTOH 9.2.15 :Berapa banyak susunan yang berbeda bila ingin membuat serangkaianlampu hias untuk pohon natal dari 3 lampu merah, 4 lampu kuning dan2 lampu biru.Penyelesaian :Banyaknya lampu merah ada 3 ⇒ n ( M )= 3Banyaknya lampu kuning ada 4 ⇒ n ( K )= 4Banyaknya lampu biru ada 2 ⇒ n ( B )= 2Banyaknya semua lampu ada 9 ⇒ n ( L ) = 2Jadi Banyak susunan yang berbeda ada n ( L) ! 9! = = 1260 n ( M )! n( K )! n ( B ) ! 3 ! 4 ! 2 !
  74. 74. 458 Bab 9: PeluangDALIL 7 : Banyaknya cara menyekat sekumpulan n benda ke dalam rsel, dengan n1 unsur dalam sel pertama, n2 unsur dalam sel kedua,dan demikian seterusnya, adalah  n  n!   n n ..... n  =   1 2 r  n 1 ! n 2 ! ..... n r !sedangkan n 1 + n 2 + ..... + n r = nCONTOH 9.2.12Berapa banyak cara 7 orang dapat menginap dalam 1 kamar tripel dan 2kamar dobel?Penyelesaian : Banyak kemungkinan sekatan ada  7  7!   3 ,2 , 2 =  = 210   3! 2! 2 !9.2.4 KOMBINASIDidala m permutasi urutan dari suatu susunan diperhatikan, misalsusunan abc dan bac dipandang berbeda. Didalam kombinasi duasusunan tersebut dipandang sama. Misalkan Anggota Tim OlimpiadeMatematika SMK “ Harapan “ terdiri dari Rudi, Herman dan Oktasama artinya jika kita menyebutkan Anggota Tim OlimpiadeMatematika SMK “ Harapan “ terdiri dari Herman, Okta danRudi.Susunan Rudi, Herman dan Okta dengan susunan Herman , Oktadan Rudi dipandang sama.
  75. 75. Bab 9: Peluang 459Suatu kombinasi r unsur yang diambil dari n unsur yang berla inanadalah suatu pilihan dari r unsur tanpa memperhatikan urutannya (r =n), dinyatakan dalam dalil 8.DALIL 8 . Banyaknya kombinasi r benda dari n benda yang berbedaadalah  n  n!   =  r    r ! (n − r )!CONTOH 9.2.13Club Catur “ Harapan “ akan mengirimkan 2 orang pemain catur dari10 pemain caturnya dalam suatu turnamen catur nasional. Berapabanyak kemungkinan susunan 2 orang pemain catur yang dikirimtersebutPenyelesaian :Masalah pemilihan 2 pemain catur termasuk dalam masalah kombinasi,karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya, sehingga untuk soalini adalah kombinasi 2 dari 10 orang, yaitu  10  10 !   2  =    2!8! 10 . 9 . 8 ! = 1 . 2 .8 ! = 45
  76. 76. 460 Bab 9: PeluangCONTOH 9.2.14Diketahui klub Tenis yang terdiri 15 putra dan 10 putria. tentukan banyak kemungkinan pengiriman delegasi yang terdiri dari 5 orangb. tentukan banyaknya kemungkinan pengiriman delegasi terdiri dari 3 putra dan 2 putriPenyelesaian :a. Masalah pemilihan delegasi termasuk dalam masalah kombinasi, karena tanpa memperhatikan urutan anggotanya, sehingga untuk soal ini adalah kombinasi 5 dari 25 orang, yaitu  25  25 !   5  =    5 ! 20 ! 21 . 22 . 23 . 24 . 25 = 1 .2 . 3 .4 . 5 = 53130a. Dalam hal ada dua pemilihan putra dan putri, untuk pemilihan putra adalah masalah kombinasi 3 unsur dari 15, yaitu  15  15 !   3  = 3 ! 12 !    13 . 14 . 15 = 1 .2 . 3 = 455 Sedangkan untuk pemilihan putri adalah kombinasi 2 unsur dari 10 unsur, yaitu
  77. 77. Bab 9: Peluang 461  10  10 !   2  =   2 ! 8! 9 . 10 = 1 .2 = 45Karena keduanya tidak berhubungan, maka kombinasi total adalahmerupakan hasil kali antara keduanya, yaitu (455)(45) = 20.475SOAL LATIHAN 9-2Selesaikan soal-soal latihan dibawah ini.1. Diketahui angka 1,3,5,7,9. Tentukan, a. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut. b. Banyak bilangan terdiri dari 2 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama.2. Diketahui angka 0,1,2,4,5,6,8. Tentukan, a. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut. b. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi tidak mempunyai angka yang sama. c. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut tetapi bernilai ganjil. d. Banyak bilangan terdiri dari 3 angka yang dapat dibuat dari angka tersebut yang habis dibagi 5.

×