1. Fundamentos de Investigaci´n de Operaciones
o
Investigaci´n de Operaciones 1
o
Formulaci´n de Modelos de Programac´n Lineal
o o
25 de julio de 2003
La Programaci´n Lineal (LP) es una herramienta para resolver problemas de optimizaci´n que se
o o
caracterizan por tener como funci´n objetivo y restricciones combinaciones lineales de las variables de
o
decisi´n. La principal ventaja radica en que existe un algoritmo eficiente (SIMPLEX) para resolver
o
este tipo de modelos.
1. Conceptos B´sicos
a
Consideremos el siguiente ejemplo para describir los t´rminos presentes en todo problema de LP.
e
Ejemplo 1.
Una muebler´ produce mesas y sillas de madera. Cada mesa es vendida en $27000 y requiere $10000
ıa
en materiales, adem´s, el costo de unitario por mano de obra se estima en $14000. En el caso de
a
las sillas, su precio de venta es de $21000 y los costos son de $9000 y $10000, en materiales y mano
de obra respectivamente. La fabricaci´n de cada producto requiere de dos tipos de labores: carpinter´
o ıa
y terminaciones. Una mesa requiere de 1 hora de carpinter´ y 2 horas de terminaciones. Una silla
ıa
requiere de 1 hora de carpinter´ y 1 hora de terminaciones.
ıa
Cada semana, la muebler´ puede obtener todos los materiales que desee, sin embargo, se pueden
ıa
dedicar hasta 100 horas a las terminaciones y hasta 80 horas a la carpinter´ La demanda por mesas
ıa.
no est´ limitada, mientras que la demanda semanal m´xima por sillas es de 40.
a a
La muebler´ desea maximizar sus utilidades (ingresos - costos). Formule un modelo matem´tico que
ıa a
permita maximizar las utilidades.
1.1. Variables de Decisi´n
o
Se debe comenzar definiendo las variables de decisi´n relevantes. En un modelo de programaci´n
o o
lineal las variables de decisi´n deben ser capaces de describir completamente las decisiones que puedan
o
ser tomadas y todas las variantes que existan.
Antes de definir las variables de decisi´n es importante definir las unidades involucradas en el problema.
o
En este caso, se habla de unidades de sillas y mesas, de horas de trabajo por unidad y de demanda
semanal. De acuerdo a ello, una buena opci´n para definir las variables de decisi´n consiste en asociar
o o
las variables al n´mero de unidades de sillas y mesas a producir por semana. Por lo tanto, podemos
u
definir:
x1 = n´mero de mesas producidas por semana.
u
(1.1)
x2 = n´mero de sillas producidas por semana.
u
1

2. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
1.2. Funci´n Objetivo
o
En un problema de LP, se debe tomar la decisi´n de maximizar (usualmente las utilidades)
o
o de minimizar (usualmente los costos) cierta funci´n de las variables de decisi´n. La funci´n a
o o o
maximizar o minimizar se denomina funci´n objetivo. Antes de formular el modelo matem´tico
o a
conviene resumir los datos del problema (Cuadro 1.1).
Venta Materiales Mano de Obra Carpinter´
ıa Terminaciones Dda. M´xima
a
$ $ $ hr. hr. un.
un. un. un. un. un. sem.
Mesa 27000 10000 14000 1 2 –
Silla 21000 9000 10000 1 1 40
Disponibilidad – – – 80 100 –
Cuadro 1.1: Resumen Ejemplo 1
En el ejemplo, los costos e ingresos no dependen del valor de x1 o de x2 , por lo tanto basta
concentrarse en maximizar la diferencia entre:
ingresos costos de costos por
− − (1.2)
semanales materiales mano de obra
Luego, se debe expresar los t´rminos anteriores en funci´n de las variables de decisi´n x 1 y x2 .
e o o
Supondremos que todas las sillas y mesas fabricadas son vendidas (respentando las condiciones
de mercado del enunciado). As´
ı:
ingresos ingresos ingresos
= +
semanales por mesas por sillas
$ mesas $ sillas (1.3)
= mesa semana + semana
silla
= 27000x1 + 21000x2
Similarmente:
costos por
= 10000x1 + 9000x2
materiales
(1.4)
costos por
= 14000x1 + 10000x2
mano de obra
Por lo tanto la funci´n a maximizar queda (en miles):
o
(27x1 + 21x2 ) − (10x1 + 9x2 ) − (14x1 + 10x2 ) = 3x1 + 2x2 (1.5)
Otra opci´n para construir la funci´n objetivo consiste en calcular previamente los ingresos netos
o o
o utilidades de cada uno de los productos de la muebler´ As´
ıa. ı:
utilidad por mesa = 27 − 10 − 14 = 3
(1.6)
utilidad por silla = 21 − 9 − 10 = 2
As´ el objetivo de la muebler´ es escoger los valores de x1 y x2 tal que se maximize 3x1 + 2x2 .
ı, ıa
Denotando por z el valor de la funci´n objetivo para cualquier LP, la funci´n objetivo de la muebler´
o o ıa
es:
2

3. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Maximizar z = 3x1 + 2x2 (1.7)
El coeficiente que acompa˜a a cada variable en la funci´n objetivo se denomina coeficiente en la
n o
funci´n objetivo de la variable y refleja el aporte unitario de dicha variable a la funci´n objetivo.
o o
1.3. Restricciones
En la medida que las variables x1 y x2 crecen, la funci´n objetivo aumenta su valor. Por lo tanto si
o
se pudiera escoger arbitrariamente el valor de x1 y x2 , la muebler´ podr´ hacer crecer arbitrariamente
ıa ıa
el valor de sus utilidades. Evidentemente, en la pr´ctica esto no es posible. En este ejemplo, el valor
a
de las variables est´ limitado por las siguientes tres restricciones:
a
Restricci´n 1 : m´ximo 100 horas semanales para terminaciones
o a
Restricci´n 2 : m´ximo 80 horas semanales para carpinter´
o a ıa
Restricci´n 3 : producci´n m´xima de 40 sillas semanales
o o a
Se asume que la cantidad disponible de material es ilimitada. Luego, el pr´ximo paso consiste en
o
formular matem´ticamente las restricciones anteriores en funci´n de las variables de decisi´n. Para
a o o
formular la primera restricci´n en funci´n de las variables x1 y x2 observamos que:
o o
terminaciones = terminaciones mesas
semana mesa semana
+ terminaciones sillas (1.8)
silla semana
= 2x1 + 1x2
Por lo tanto la primera restricci´n queda:
o 2x1 + x2 ≤ 100
Es importante notar que todos los valores en la expresi´n anterior son por semana, ya que las variables
o
de decisi´n se han escogido con esa referencia.
o
An´logamente la segunda restricci´n queda:
a o x1 + x2 ≤ 80
Finalmente, la tercera restricci´n s´lo limita el valor de x2 :
o o x2 ≤ 40
El valor que aparece a la derecha del signo de la desigualdad en cada restricci´n se denomina the
o
constraint’s right-hand side (rhs) o coeficiente del lado derecho de la restricci´n. Usualmente,
o
representa la cantidad disponible de cierto recurso.
1.4. Restricci´n de Signo
o
Para completar la formulaci´n del modelo es importante definir si existe alguna restricci´n de signo
o o
para cada variable de decisi´n.
o
Si una variable de decisi´n xi debe cumplir condiciones de no-negatividad, debemos agregar la re-
o
stricci´n xi ≥ 0. Si la variable de decisi´n xi puede asumir valores positivos y negativos se dice que la
o o
variable xi no tiene restricci´n de signo (srs).
o
En este ejemplo, ambas variables de decisi´n se refieren a cantidades a producir, por lo tanto son
o
no-negativas, luego: x1 ≥ 0 y x2 ≥ 0. Sin embargo, en otros ejemplos las varibles pueden ser srs, por
ejemplo en el caso de que xi se refiere al saldo de alguna cuenta.
3

4. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Combinando todas las expresiones anteriores, es posible completar el modelo matem´tico para este
a
problema de optimizaci´n:
o
Max z = 3x1 + 2x2 (Funci´n Objetivo)
o
sujeto a (st)
2x1 + x2 ≤ 100 (Restricci´n
o de terminaciones)
x1 + x 2 ≤ 80 (Restricci´n
o de carpinter´
ıa) (1.9)
x2 ≤ 40 (Restricci´n
o de demanda m´xima)
a
x1 ≥ 0 (Restricci´n
o de signo)
x2 ≥ 0 (Restricci´n
o de signo)
Se deja como ejercicio al lector determinar las modificaciones sobre el modelo anterior si:
El excedente de horas de terminaciones puede ser empleado para carpinter´ y viceversa.
ıa
La misma hip´tesis del punto anterior pero suponiendo que cada hora de terminaciones equivale
o
a dos horas de carpinter´
ıa.
La producci´n de mesas no puede exceder al 40 % del total de unidades producidas de mesas y
o
sillas.
2. Generalizaci´n
o
Repasemos en primer lugar algunos conceptos de linealidad de funciones y desigualdades.
Definici´n 1 Una funci´n f (x1 , x2 , · · · , xn ) de x1 , x2 , · · · , xn es una funci´n lineal s´ y s´lo s´ para
o o o ı o ı
un conjunto de constantes c1 , c2 , · · · , cn , se tiene: f (x1 , x2 , · · · , xn ) = c1 x1 + c2 x2 + · · · + cn xn
Definici´n 2 Para cualquier funci´n f (x1 , x2 , · · · , xn ) y cualquier n´mero b las desigualdades:
o o u
f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≤ b
f (x1 , x2 , · · · , xn ) ≥ b
son desigualdades lineales.
Definici´n 3 Un problema de programaci´n lineal (LP) es un problema de optimizaci´n para el cual
o o o
debemos tener presente lo siguiente:
1. Se maximiza (o minimiza) una funci´n lineal de las variables de decisi´n. La funci´n que es
o o o
maximizada o minimizada se denomina funci´n objetivo.
o
2. Los valores de las variables de decisi´n deben satisfacer un conjunto de restricciones. Cada
o
restricci´n debe ser una ecuaci´n o desigualdad lineal.
o o
3. Existe una restricci´n de signo asociada a cada variable. Para toda variable x i , la res- tricci´n
o o
de signo especifica si xi debe ser no-negativa (xi ≥ 0)o bien sin restricci´n de signo (srs).
o
De acuerdo a las definiciones anteriores, el ejemplo estudiado corresponde efectivamente a un LP,
pues tanto la funci´n objetivo como las restricciones son funciones lineales de x 1 y x2 . El proble-
o
ma estudiado corresponde a un problema t´ ıpico de decisi´n donde se debe obtener el programa de
o
producci´n que maximiza las utilidades sujeto a recursos limitados.
o
4

5. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
3. Consecuencias y Supuestos
El hecho que la funci´n objetivo de un PL sea una funci´n lineal de las variables de decisi´n tiene
o o o
dos implicancias:
1. La contribuci´n a la funci´n objetivo de cada variable es proporcional al valor de la variable de
o o
decisi´n.
o
2. La contribuci´n a la funci´n objetivo para toda variable es independiente de los valores de las
o o
otras variables de decisi´n.
o
An´logamente, el hecho de que cada restricci´n sea una ecuaci´n o desigualdad lineal tambi´n
a o o e
tiene dos implicancias:
1. La contribuci´n de cada variable al coeficiente del lado izquierdo de cada restricci´n es propor-
o o
cional al valor de la variable.
2. La contribuci´n de cada variable al coeficiente del lado izquierdo de cada restricci´n es indepen-
o o
diente de los valores de las otras variables.
Las primeras implicancias de la listas anteriores constituyen el Supuesto de Proporci´n en LP.
o
Las segundas implicancias de las listas anteriores constituyen el Supuesto de Adici´n en LP.
o
Para que un modelo de LP corresponda a una representaci´n adecuada de la realidad, las variables
o
de decisi´n deben satisfacer los dos supuestos anteriores. Adicionalmente, se agregan dos supuestos:
o
el supuesto de Divisibilidad y el de Certeza.
El Supuesto de Divisibilidad requiere que cada variable de decisi´n pueda tomar valores frac-
o
cionarios. En el ejemplo anterior, el supuesto se traduce en que es aceptable producir 2.4 sillas ´ 1.6
o
mesas. Evidentemente, el supuesto de divisibilidad no se satisface en el ejemplo. En este caso se puede
proceder a formular el modelo como un problema de programaci´n lineal entera (ILP), problema en el
o
cual una o m´s variables deben ser enteras. Este tipo de problema se estudiar´ m´s adelante. Cuando
a a a
no se satisface el supuesto de divisibilidad, una posibilidad es redondear la soluci´n obtenida a un
o
valor entero, sin embargo no existen garant´ que dicha soluci´n sea la mejor.
ıas o
El Supuesto de Certeza exige que cada par´metro: coeficientes de la funci´n objetivo, coeficientes
a o
del lado derecho, etc. sean conocido con certeza, es decir, no se acepta incertidumbre en sus valores.
Es claro que es muy dif´ que un problema cumpla exactamente con todos los supuestos. Sin embargo,
ıcil
un modelo puede ser util aunque difiera de la realidad si se es consistente con los requerimientos m´s
´ a
estrictos del problema y se tienen presente las limitaciones al interpretar los resultados.
4. ´
Regiones Factibles y Soluciones Optimas
Dos de los conceptos m´s fundamentales en LP son el de regi´n factible y de soluci´n ´ptima de
a o o o
un problema. Llamaremos punto a la especificaci´n de un valor para cada variable de decisi´n.
o o
Definici´n 4 La regi´n factible para un LP es el conjunto de puntos que satisfacen todas las re-
o o
stricciones (incluidas las de signo) de un problema de LP.
5

6. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Definici´n 5 En el caso de un problema de maximizaci´n, una soluci´n ´ptima del LP es un punto
o o o o
de la regi´n factible que est´ asociado al mayor valor posible de la funci´n objetivo. Similarmente,
o a o
para un problema de minimizaci´n, una soluci´n optima es un punto que est´ asociado al menor valor
o o ´ a
posible de la funci´n objetivo.
o
La mayor´ de los problemas de LP tienen s´lo una soluci´n ´ptima. Sin embargo, existen muchos
ıa o o o
problemas de LP que no poseen soluci´n ´ptima o bien poseen varios o infinitos valores ´ptimos.
o o o
5. Algunos Ejemplos
5.1. Problema de la Dieta
Una dieta diaria satisfactoria debe contener al menos 2000 [kCal], 55 [g] de prote´
ınas y 800 [mg] de
Calcio. Se pide formular un modelo que permita determinar una dieta satisfactoria de m´ ınimo costo
a partir de los alimentos indicados en el Cuadro 5.1.
$ u
Alimento Porci´n
o Energ´ [kCal]
ıa Prote´
ınas [g] Calcio [mg] Precio u L´
ımite d´a
ı
Avena 28 110 4 2 3 4
Pollo 100 205 32 12 24 3
Huevos 2 160 13 54 13 2
Leche 237 160 8 285 9 8
Pastel 170 420 4 22 20 2
Cerdo 260 260 14 80 29 2
Cuadro 5.1: Alimentos disponibles
Modelo:
En este caso resulta natural definir como variable de decisi´n xi la cantidad de alimento tipo ”i”(i =
o
1 . . . 6) a consumir. Como cada alimento tiene un costo, basta ponderar cada variable de decisi´n por
o
su respectivo coeficiente y construir la funci´n objetivo a minimizar. Las restricciones obedecen a los
o
l´
ımites diarios de consumo por alimento y a las condiciones de energ´ prote´
ıa, ınas y calcio que debe
cumplir la dieta. Por lo tanto, el modelo queda:
Min z = 3x1 + 24x2 + 13x3 + 9x4 + 20x5 + 29x6 (Funci´n Objetivo)
o
st
110x1 + 205x2 + 160x3 + 160x4 + 420x5 + 260x6 ≥ 2000 (Energ´ m´
ıa ınima)
4x1 + 32x2 + 13x3 + 8x4 + 4x5 + 14x6 ≥ 55 (Proteinas m´ınimas)
2x1 + 12x2 + 54x3 + 285x4 + 22x5 + 80x6 ≥ 800 (Calcio m´ınimo)
x1 ≤ 4 (Porci´n l´
o ımite)
x2 ≤ 3 (Porci´n l´
o ımite)
x3 ≤ 2 (Porci´n l´
o ımite)
x4 ≤ 8 (Porci´n l´
o ımite)
x5 ≤ 2 (Porci´n l´
o ımite)
x6 ≤ 2 (Porci´n l´
o ımite)
xi ≥ 0 ∀i (Restricci´n de signo)
o
6

7. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
5.2. Problema de Planificaci´n de Personal
o
Las enfermeras de un hospital llegan cada 4 horas y trabajan en turnos de 8 horas continuas. La
administraci´n ha decidido definir 6 cambios de turno al d´ para minimizar las distracciones y los
o ıa
problemas de comunicaci´n que ocurren en los cambios de turno.
o
El hospital ha realizado un an´lisis del trabajo requerido durante cada uno de los seis bloques horarios
a
del d´ Las caracter´
ıa. ısticas de cada bloque se muestran en el Cuadro 5.2.
Hora del D´
ıa Per´
ıodo N´mero m´
u ınimo de enfermeras
2 AM - 6 AM 1 25
6 AM - 10 AM 2 60
10 AM - 2 PM 3 50
2 PM - 6 PM 4 35
6 PM - 10 PM 5 55
10 PM - 2 AM 6 40
Cuadro 5.2: Caracter´
ısticas de cada Bloque Horario.
Las enfermeras que empiezan a trabajar en los per´ıodos 2, 3 y 4 ganan US$40 al d´ y aquellas
ıa,
que comienzan en los per´ıodos 1, 5 y 6 ganan US$50 al d´ ¿Cu´l es la planificaci´n de los turnos de
ıa. a o
las enfermeras que minimizan los costos por salarios?
Modelo:
En este caso podemos identificar como variable de decisi´n el n´mero de enfermeras N i que comienza
o u
a trabajar en el turno ”i”(i = 1 . . . 6). De esta forma, la funci´n objetivo queda:
o
z = 50N1 + 40N2 + 40N3 + 40N4 + 50N5 + 50N6
Evidentemente, la funci´n anterior debe ser minimizada. Para construir las restricciones es conveniente
o
recurrir a una representaci´n gr´fica de los turnos (Figura 5.1).
o a
Turno
1 2 3 4 5 6
N1
N2
N3
N4
N5
N6
Figura 5.1: Esquema de los turnos
De la gr´fica anterior se observa que en cada bloque trabajan las enfermeras que comenzaron su
a
turno en dicho bloque, pero tambi´n las que empezaron su turno en el bloque anterior. Por lo tanto,
e
las restricciones de personal m´
ınimo por turno quedan:
N1 + N 2 ≥ 60
N2 + N 3 ≥ 50
N3 + N 4 ≥ 35
N4 + N 5 ≥ 55
N5 + N 6 ≥ 40
N6 + N 1 ≥ 25
7

8. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Finalmente, el modelo se completa con las restricciones de signo:
Ni ≥ ∀ i
5.3. Problema de Planificaci´n de Producci´n
o o
La empresa Sil Computer necesita satisfacer la demanda de computadores por parte de sus clientes
(grandes corporaciones e instituciones educacionales) para los pr´ximos 4 trimestres.
o
Actualmente, Sil Computer tiene 5000 computadores en inventario. La demanda esperada para los
pr´ximos trimestres son 7000, 15000, 10000 y 8000. Sil Computer tiene el material y la capacidad de
o
producir hasta 10000 computadores cada trimestre, a un costo de US$ 2000 por computador. Emple-
ando personal de sobretiempo se puede producir hasta 2500 computadores m´s a un costo individual
a
de US$ 2200. Los computadores producidos en un trimestre pueden ser usados para satisfacer la de-
manda de ese per´ ıodo, o bien quedar en inventario para ser usados posteriormente. Cada computador
en inventario tiene un costo adicional de US$100 por per´ ıodo para reflejar los costos de almacenaje.
¿Como puede satisfacer Sil Computer su demanda a costo m´ ınimo?
Modelo:
En este caso la decisi´n a tomar corresponde a la producci´n de computadores por trimestre. Co-
o o
mo se puede fabricar computadores en horario normal y en sobretiempo es conveniente separar ambos
tipos de producci´n en variables distintas. Adem´s, se debe decidir en cada per´
o a ıodo cuantas unidades
guardar en inventario. Definamos las siguientes variables (∀ t = 1 . . . 4):
xt = producci´n en el per´
o ıodo t en horario normal
yt = producci´n en el per´
o ıodo t en sobretiempo
it = inventario al final del per´
ıodo t
De acuerdo a las variables definidas podemos formular el modelo completo considerando el balance
trimestral entre lo producido, lo proveniente del per´
ıodo anterior en inventario y la demanda del
trimestre respectivo.
Min z = 2000(x1 + x2 + x3 + x4 ) + 2200(y1 + y2 + y3 + y4 ) + 100(i1 + i2 + i3 )
st
5000 + x1 + y1 = 7000 + i1
i1 + x 2 + y2 = 15000 + i2
i2 + x 3 + y3 = 10000 + i3
i3 + x 4 + y4 = 8000
xt ≤ 10000 ∀t
yt ≤ 2500 ∀t
x t , yt , i t ≥ 0 ∀t
Para la formulaci´n anterior se ha supuesto que cada computador es completamente fabricado
o
en horario normal o en sobretiempo y que las variables pueden ser no enteras. Evidentemente este
supuesto puede no ser correcto en la situaci´n real, pero constituye una buena aproximaci´n del prob-
o o
lema.
Revisando la formulaci´n propuesta, se observa que no existe la variable i 4 ¿ Porqu´ no se incluye en
o e
el modelo ? ¿ Qu´ pasar´ si se incorporara ?
e ıa
8

9. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
5.4. Problema de Transporte
Supongamos un problema de transporte de alg´n producto desde n or´
u ıgenes hacia m destinos. En
cada origen hay una existencia de productos ei (i = 1 . . . n). En cada destino hay una demanda por dj
unidades (j = 1 . . . m). El costo unitario de env´ desde cada origen i hacia cada destino j es de c ij .
ıo
Formule un modelo de programaci´n lineal que permita definir la distribuci´n del producto de modo
o o
de minimizar los costos de transporte.
Modelo:
La decisi´n consiste simplemente en determinar el n´mero de productos que son transportados desde
o u
cada origen hacia cada destino. Luego, se emplear´n las siguientes variables:
a
xij = cantidad enviada desde origen i a destino j
De acuerdo a las variables definidas, la funci´n objetivo queda:
o
n m
M in cij xij
i=1 j=1
Las restricciones corresponden a la capacidad m´xima en cada origen y a la demanda en cada destino.
a
Adem´s, como las variables representan cantidades, deben ser positivas.
a
m
j=1 xij ≤ ei ∀ i = 1 . . . n (disponibilidad)
n
i=1 xij ≥ dj ∀ j = 1 . . . m (demanda)
xij ≥ 0 ∀i×j (restricci´n de signo)
o
El problema anterior se dice balanceado si se satisface que:
n m
ei = dj
i=1 j=1
El problema anterior admite m´ltiples variaciones como la incorporaci´n de l´
u o ımites a la capacidad
de cada ruta, incorporaci´n de costos fijos, puntos de transbordo, rutas alternativas entre otras posi-
o
bilidades. Este tipo de problema es muy vers´til y puede ser aplicado a muchas situaciones que no
a
necesariamente se refieren a transporte, adem´s posee su propio algoritmo de resoluci´n. ¿ C´mo
a o o
cambiar´ la formulaci´n si se incorporaran k puntos de transbordo, es decir, puntos intermedios sin
ıa o
demanda ni oferta, pero que pueden servir como rutas alternativas para disminuir costos de env´ ıo
desde un origen i a alg´n destino j ?
u
5.5. Problema de Mezcla
Una refiner´ de petr´leos produce dos tipos de gasolina sin plomo: regular y extra, los cuales vende
ıa o
a su cadena de estaciones de servicio en US$12 y US$14 por barril, respectivamente. Ambos tipos se
preparan del inventario de petr´leo nacional refinado y de petr´leo importado refinado que tiene la
o o
refiner´ y deben cumplir las especificaciones que se presentan en el Cuadro 5.3.
ıa
Las caracter´
ısticas del inventario de petr´leos refinados se muestran en el Cuadro 5.4.
o
Formule un modelo de programaci´n lineal que permita maximizar la ganancia semanal de la re-
o
finer´ıa.
9

10. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Presi´n m´xima
o a Octanaje Demanda m´xima
a Entregas m´ ınimas
de vapor m´ınimo [barril/semana] [barril/semana]
Regular 23 88 100.000 50.000
Extra 23 93 20.000 5.000
Cuadro 5.3: Especificaciones de las gasolinas
Presi´n
o Inventario Costo
Octanaje
de vapor [barril] [US$/barril]
Nacional 25 87 40.000 8
Importado 15 98 60.000 15
Cuadro 5.4: Caracter´
ısticas de los petr´leos
o
Modelo:
Para poder formular un modelo para el problema supondremos que no existen p´rdidas en el pro-
e
ceso de refinamiento y que tanto el octanaje como la presi´n de vapor se pueden mezclar linealmente.
o
De acuerdo al supuesto anterior debemos definir variables que nos permitan controlar que propor-
ci´n de cada tipo de petr´leo se emplear´ para fabricar cada tipo de gasolina, as´
o o a ı:
xij = cantidad de petr´leo refinado tipo i (i = 1, 2) para fabricar gasolina j (j = 1, 2)
o
Donde petr´leo refinado tipo 1 corresponde a Nacional y tipo 2 a Importado, gasolina 1 equivale a
o
Regular y gasolina 2 a Extra. Consideremos las variables anteriores en barriles, de modo de emplear
las proporciones entregadas en el enunciado.
Como se conoce el precio de venta de cada gasolina y el costo de cada petr´leo, la funci´n objeti-
o o
vo se reduce a maximizar la diferencia entre ingresos y costos, es decir, las utilidades.
M ax 12(x11 + x21 ) + 14(x12 + x22 ) − 8(x11 + x12 ) − 15(x21 + x22 )
A continuaci´n construimos las restricciones. Las restricciones respecto de inventario disponible y de-
o
manda de cada tipo de gasolina se explican por s´ solas:
ı
x11 + x12 ≤ 40000 (Inventario petr´leo tipo 1)
o
x21 + x22 ≤ 60000 (Inventario petr´leo tipo 2)
o
x11 + x21 ≥ 50000 (Demanda m´ ınima de gasolina tipo 1)
x11 + x21 ≤ 100000 (Demanda m´xima de gasolina tipo 1)
a
x12 + x22 ≥ 5000 (Demanda m´ ınima de gasolina tipo 2)
x12 + x22 ≤ 20000 (Demanda m´xima de gasolina tipo 2)
a
Las restricciones de presi´n de vapor y de octanaje m´
o ınimo deben ser normalizadas respecto de la
10

11. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
cantidad total fabricada, que no es necesariamente la cantidad m´xima o m´
a ınima posible de fabricar.
25x11 +15x21
x11 +x21 ≤ 23 (Presi´n de vapor m´xima gasolina tipo 1)
o a
25x12 +15x22
x12 +x22 ≤ 23 (Presi´n de vapor m´xima gasolina tipo 2)
o a
87x11 +98x21
x11 +x21 ≥ 88 (Octanaje m´ınimo gasolina tipo 1)
87x12 +98x22
x12 +x22 ≥ 88 (Octanaje m´ınimo gasolina tipo 2)
Finalmente, el modelo queda completo con las condiciones de signo:
xij ≥ 0 ∀i×j
5.6. Problema de Producci´n y Asignaci´n de Personal
o o
Un peque˜o taller arma dispositivos mec´nicos, ya sea como un producto terminado que entrega
n a
al mercado, o como un proceso intermedio para entregar a una gran f´brica. Trabajan 3 personas
a
en jornadas de 40 horas semanales. Dos de estos obreros no calificados reciben $0,4 por hora, y el
tercero, un obrero calificado recibe $0,6 por hora. Los tres est´n dispuestos a trabajar hasta 10 horas
a
adicionales a la semana con un salario 50 % superior durante este per´ıodo.
Los costos fijos semanales son de $800. Los gastos de operaci´n variable son de $1,0 por hora de
o
trabajo de obrero no calificado y $2,4 por hora de obrero calificado. Los dispositivos mec´nicos sin
a
acabar son vendidos a la planta a $6,5 cada uno. El taller tiene un contrato bajo el cual debe entregar
100 de estos dispositivos semanalmente a la empresa. El due˜o del taller tiene como pol´
n ıtica el producir
no m´s de 50 dispositivos a la semana por sobre el contrato.
a
Los dispositivos terminados se venden a $15 cada uno sin restricciones de mercado.
Se requieren 0,5 horas de obrero no calificado y 0,25 horas de obrero calificado para producir un
dispositivo sin acabar listo para entregar a la otra empresa. Uno de estos dispositivos puede ensam-
blarse y dejarlo terminado agreg´ndole 0,5 horas de trabajador calificado.
a
Un dispositivo listo para entregar al mercado se puede producir con 0,6 horas de obrero no califi-
cado y 0,5 horas de obrero calificado.
Plantear el modelo de Programaci´n Lineal que permita responder la consulta: ¿ C´mo y cu´nto
o o a
producir para cumpir el contrato de modo de maximizar las utilidades ?
Modelo:
En este caso, es posible establecer tres tipo de productos: intermedio (i = 1), intermedio que se
acaba (i = 2) y acabado (i = 3). Por lo tanto, se puede definir las siguientes variables:
xi = cantidad de productos tipo i fabricados i = 1, . . . 3
De acuerdo al enunciado, los dos obreros no calificados y el obrero calificado trabajan 40 horas se-
manales fijas, por lo tanto, s´lo es necesario cuantificar como variables las horas extraordinarias de
o
trabajo.
zj = horas extraordinarias de los trabajadores tipo j j = 1, 2
Donde tipo 1 corresponde a obreros no calificados y tipo 2 a obreros calificados.
11

12. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Como existe informaci´n de costos de producci´n y de precio de venta para razonable plantear el
o o
problema como uno de maximizaci´n de utilidades. Luego, debemos expresar la diferencia entre in-
o
gresos (I) y costos (C) como funci´n de las variables de decisi´n:
o o
I = 6,5 × x1 + 15 (x2 + x3 )
C = 2 × 40 × 0,4 + 0,6 × z1 + 1 × 40 × 0,6 + 0,9 × z2 +
sueldos o.n.c. sueldos o.c.
1 × (2 × 40 + z1 ) + 2,4 (1 × 40 + z2 ) + 800
gastos de operaci´n variables
o costos fijos
Luego, la funci´n objetivo queda:
o
M ax Z =I −C
De acuerdo al enunciado, existen l´
ımite inferior y superior para la demanda de productos intermedios:
x1 ≥ 100
x1 ≤ 150
Las otras restricciones tienen que ver con la disponibilidad de mano de obra para producci´n:
o
0,5 (x1 + x2 ) + 0,6 × x3 ≤ 80 + z1
z1 ≤ 20
0,25 × x1 + 0,75 × x2 + 0,5 × x3 ≤ 40 + z2
z2 ≤ 10
Finalmente, se deben incorporar la restricciones de signo:
x i , zj ≥ 0 ∀ i, j
5.7. Problema de la Aerol´
ınea
Una determinada aerol´ ınea, con centro en Santiago, est´ dise˜ando un nuevo sistema de atenci´n
a n o
a pasajeros que realicen viajes a cuatro destinos espec´
ıficos: Antofagasta, Temuco, Puerto Montt y
Punta Arenas. Para eso consta de tres tipos de aviones, los que difieren en capacidad, rendimiento
y costos, seg´n se muestra en el Cuadro 5.5. Hist´ricamente para esta ´poca se tiene una demanda
u o e
Tipo de Costo de Operaci´n por viaje en la ruta:
o
Avi´n
o Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas
1 1000 1100 1200 1500
2 800 900 1000 1000
3 600 800 800 900
Cuadro 5.5: Costos de operaci´n por viaje
o
m´ınima diaria de 90 pasajeros a Antofagasta, 100 a Temuco, 200 a Puerto Montt y de 120 pasajeros
a Punta Arenas. Adem´s, lo que la aerol´
a ınea recibe por pasajero a cada lugar es de 40 si el destino
es Antofagasta, 40 si el destino es Temuco, 45 si el destino es Puerto Montt y 70 si se viaja a Punta
Arenas.
Los datos tanto de operaci´n y de disponibilidad que actualmente tiene la aerol´
o ınea se muestran en
el Cuadro 5.6. Finalmente, se ha dispuesto (de preferencia, pero no obligatoriamente) atender m´s a
12

13. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Tipo de Avi´n
o Capacidad (pasajeros) N´mero de Aviones
u
1 50 5
2 30 8
3 20 10
Cuadro 5.6: Capacidad y disponibilidad de aviones
Tipo de N´mero m´ximo de viajes diarios a:
u a
Avi´n
o Antofagasta Temuco Puerto Montt Punta Arenas
1 3 2 2 1
2 4 3 3 2
3 5 5 4 2
Cuadro 5.7: Costos de operaci´n por viaje
o
de una ruta por cada tipo de avi´n, ante lo cual se han planteado condiciones al dise˜o del sistema
o n
de pasajeros (Cuadro 5.7). Determinar el modelo de programaci´n lineal que permita optimizar la
o
asignaci´n de los aviones a las distintas rutas.
o
Modelo:
Para plantear el problema, se debe definir variables de decisi´n que sean capaces de reflejar el tipo de
o
avi´n (i = 1, . . . 3) y el destino (j = 1, . . . 4) al que es asignada. Luego, se define:
o
xij = n´mero de aviones de tipo i asignados al destino j
u
En este problema, no se conoce el valor exacto de la demanda por pasajes ya que s´lo se conoce el
o
valor m´ınimo de la demanda por pasajes. Por lo tanto, se puede formular la funci´n objetivo de dos
o
formas: como un un problema de maximizaci´n de las utilidades obtenidas de la diferencia entre el
o
ingreso m´ınimo asociado a la demanda m´ ınima conocida y el costo de asignaci´n de los aviones (in-
o
gresos constantes), o bien simplemente como un problema de minimizaci´n de costos de asiganci´n.
o o
Intuitivamente es claro que maximizar una constante menos unas funci´n frente a minimizar la misma
o
funci´n es equivalente, por lo que cualquiera de las dos formulaciones conduce a la misma soluci´n.
o o
Luego, la funci´n objetivo queda:
o
3 4
Min cij × xij
i=1 j=1
Donde los coeficientes cij corresponden a los datos del Cuadro 5.5. Luego, se procede a plantear las
restricciones. En primer lugar se debe garantizar poder satisfacer la demanda m´ınima, por lo tanto
basta ponderar la capacidad de cada tipo de avi´n por el n´mero asignado a cada destino j:
o u
50x1j + 30x2j + 20x3j ≥ dj ∀ j = 1, . . . 4
Donde dj representa la demanda de cada destino j, es decir: 90, 100, 200 y 120 para Antofagasta,
Temuco, Puerto Montt y Punta Arenas, respectivamente.
13

14. Segundo Semestre 2003 Programaci´n Lineal
o
Por otro lado, no es posible asignar m´s aviones de los disponibles:
a
4
xij ≤ ni ∀ i = 1, . . . 3
j=1
Donde ni representa la disponibilidad del tipo de avi´n i, es decir, 5, 7 y 10.
o
Tambi´n existe una restricci´n asociada al n´mero de viajes diarios m´ximo por tipo de avi´n i a
e o u a o
cada destino j:
xij ≤ mij ∀i×j
Los coeficientes mij corresponden a los datos del Cuadro 5.7.
Finalmente, s´lo se debe agregar la restricci´n de signo:
o o
xij ≥ 0 ∀i×j
14