Version 2012

1. Clasificación das Superficies
Topoloxía de Superficies
Xosé M. Masa
Curso 2011-12
DEPARTAMENTO DE XEOMETRÍA E TOPOLOXÍA
USC

2. Paso 2: supresión de arestas toroidais
-1
....aa ....
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

3. Paso 2: supresión de arestas toroidais
-1
....aa ....
a a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

4. Paso 2: supresión de arestas toroidais
-1
....aa ....
a a
a a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

5. Paso 2: supresión de arestas toroidais
-1
....aa ....
a a
a a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

6. Paso 2: supresión de arestas toroidais
-1
....aa ....
a a
a a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

7. Paso 2: supresión de arestas toroidais
-1
....aa ....
a a
a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

8. Paso 2: supresión de arestas toroidais
-1
....aa ....
a a
a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

9. Paso 2: supresión de arestas toroidais
-1
....aa ....
a a
a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

10. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
As seguintes situacións non se poden dar:
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

11. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
As seguintes situacións non se poden dar:
a
a
Q
P
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

12. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
As seguintes situacións non se poden dar:
P
a
a a
a
Q
P Q
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

13. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
As seguintes situacións non se poden dar:
P
a
a a
a
Q (Paso 2)
P Q
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

14. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
P
b a
Q
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

15. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
P
b a
Q
P
b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

16. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
P P
b a b a
Q Q
P P
b b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

17. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
P P
b a b a
Q Q
c
P P
b b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

18. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
P P
b a b a
Q Q
c
P P
b b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

19. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
P
b a
Q Q
c
P P
b b
a
c Q
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

20. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
P
b a
Q Q
c
P P
b b
a
c Q
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

21. Paso 3:Reducción dos vértices a un só
P
b a
Q Q
c
P P
b b
a
c Q
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

22. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

23. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

24. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a c a
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

25. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
c a c a
a a c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

26. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a c a
a a c
a c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

27. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a c a
a a c
a c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

28. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a c a
a a c
a c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

29. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a c a
a a c
a c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

30. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a c a
a a c
a c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

31. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a c a
a a c
c a c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

32. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a c a
a a c
c a c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

33. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a a
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

34. Paso 4: Normalización dos pares de torsión
...a...a...
a a
c c
...cc...
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

35. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

36. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
a a
b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

37. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a
b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

38. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b b
c c
a a a a
b b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

39. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c c
a a a a
b b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

40. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a a
b b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

41. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a a
b b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

42. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a a
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

43. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a a
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

44. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a a
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

45. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a a
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

46. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a a
d
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

47. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a a
d
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

48. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a
d
d
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

49. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a
d
d
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

50. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a a
d
d
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

51. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a d
d
b
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

52. Paso 5: Normalización de pares toroidais
...a...b...a-1...b-1...
b
c
a a d
d
b
c
-1 -1
...cdc d ...
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

53. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

54. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

55. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
d
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

56. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
d c
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

57. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
d c
c c
a b
d
c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

58. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
d c
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

59. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
d c
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

60. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d a
d c
b
c c d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

61. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d a
d c
b
c c d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

62. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d a
d c
b
c c d
d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

63. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
d c
c c
d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

64. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
c
c c
d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

65. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
c
c c d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

66. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
c
c c d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

67. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
c
c c d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

68. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
c c d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

69. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a b
a b
a b
d
c c d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

70. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a
d a b b
a b
a b
d
a d
b
c c d
a b
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

71. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a
d b
a b
a b
a d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

72. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a
d b
a b
a b
a d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

73. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a
d b
a b e
a b
a d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

74. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
a
d b
a b e
a b
a d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

75. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
b
a b e
a b
d
a d
b
c c
e
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

76. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
b
a b e
a b
d
a d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

77. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
b
a b e
a b
a d
b
c c a d
e
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

78. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
b
a b e
a b
a d
b
c c a d
e
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

79. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
b
a b e
a b
d
b
a
c c
e
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

80. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
b
a b e
a b
a d
b
c c e d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

81. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
b
a b e
a b
d
b
c c e d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

82. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e b
a b e
a b
d d
b
c c e d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

83. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e b
a b
a b
d d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

84. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e b
a b
a b
d d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

85. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e b
a b
a b f
d d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

86. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e b
a b
a b f
d d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

87. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e b
a b
a b f
d d
b
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

88. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e
a b
a b f
d
b
c c
b
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

89. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e
a b
a b f
d
b
c c
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

90. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e
a b
a b f
d
b
c c b
f f
d d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

91. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e
a b
a b f
d
b
c c b
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

92. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e
a b
a b f
d
b
c c b
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

93. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e
a b
a b f
d
c c b
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

94. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e
a b
a b f
d
c b
c
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

95. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e
a b
a b f
d
c c
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

96. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e e
a b e f
a b f
f
d
d d
c c
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

97. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e e
a b e f
a b f
f
d
d d
c c
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

98. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
e e
a b e f
a b f
f
d
d
c c
f
d
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

99. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d d
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

100. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d d
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

101. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d g
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

102. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d g
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

103. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d g
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

104. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d g
c c
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

105. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d g
c c
d
g
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

106. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d g
c c
d
g
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

107. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d g
c c g
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

108. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
d g
c c g
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

109. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
g
c c g
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

110. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
g
c c g
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

111. Paso 6: Conversión de arestas toroidais en arestas de
...aba-1b-1...cc...
e
a b e f
a b
f
g
c c g
...eeffgg...
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas

112. Topoloxía de Superficies
Xosé M. Masa Clasificación das Superficies Compactas