Teoria general de resistencia de materiales actualizada 2009 copia

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Teoria de Resestencia de Materiales de la facultad de ingeniería de Obera

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Teoria general de resistencia de materiales actualizada 2009 copia

  1. 1. RESISTENCIA DE MATERIALES CLASES TEÓRICAS
  2. 2. CUERPO DOCENTE <ul><li>Titular: Ing. Álvaro M. Corró </li></ul><ul><li>COMISIÓN Nº 1 </li></ul><ul><li>Alumnos de Ingeniería Electromecánica e Ing. Industrial </li></ul><ul><li>Ing. Carmen R. Godoy </li></ul><ul><li>Ing. María C. Dekun </li></ul>
  3. 3. <ul><li>COMISIÓN Nº 2 </li></ul><ul><li>Alumnos de Ingeniería Civil </li></ul><ul><li>Ing. Adrián Hippler </li></ul><ul><li>Ing. Francisco Stevenson </li></ul>
  4. 4. HORARIOS <ul><li>TEORÍAS : </li></ul><ul><li>Martes de 14.00 hs a 18 .00 hs </li></ul><ul><li>PRÁCTICAS </li></ul><ul><li>Comisión Nº 1: Jueves de 14.00 a 18.00 </li></ul><ul><li>Comisión Nº 2: Viernes de 14.00 a 18.00 </li></ul>
  5. 5. CLASES DE CONSULTA <ul><li>Ordinarios: </li></ul><ul><li>Martes, Jueves y Viernes: </li></ul><ul><li>de 18.00 a 20.00 </li></ul><ul><li>Extraordinarios: </li></ul><ul><li>A definir </li></ul><ul><li>BIBLIOGRAFÍA </li></ul><ul><li>AULA VIRTUAL </li></ul>
  6. 6. “ La teoría no es el conocimiento; permite el conocimiento. Una teoría no es una llegada, es la posibilidad de una partida. Una teoría no es una solución; es la posibilidad de tratar un problema. Dicho de otro modo, una teoría sólo cumple su papel cognitivo, solo adquiere vida, con el pleno empleo de la actividad mental del sujeto” .E. Morin (1984)
  7. 9. INTRODUCCIÓN A LA TEORÍA DE LA ELASTICIDAD
  8. 10. <ul><li>ESTADOS DE TENSION </li></ul><ul><li>1.1 CONCEPTOS GENERALES </li></ul><ul><li>No existe el sólido indeformable, todos los cuerpos se deforman en mayor o menor medida bajo el efecto de las cargas exteriores o interiores. </li></ul><ul><li>Si los cuerpos fueran indeformables, las ecuaciones de la estática no alcanzarían para resolver, por ejemplo aquellos problemas que fueran hiperestáticos </li></ul><ul><li>1.2 DEFINICION DE CUERPOS DEFORMABLES </li></ul><ul><li>Definimos al cuerpo deformable, como aquel cuerpo que posee ciertas propiedades y cumple con una serie de hipótesis respecto de dichas propiedades, todas ellas verificadas experimentalmente. </li></ul><ul><li>1.2.1 CONTINUIDAD: La masa del sólido es continua, quiere decir que analizamos un cuerpo en un entorno donde la masa es la misma </li></ul><ul><li>1.2.2. HOMOGENEIDAD: Las propiedades de un elemento infinitesimal dV son las mismas en todo el sólido. </li></ul><ul><li>1.2.3. ISOTROPÍA: El sólido presenta las mismas propiedades en todas las direcciones </li></ul><ul><li>1.2.4. ELASTICIDAD: Para ciertos materiales, si las fuerzas que lo deforman no exceden ciertos limites, la deformación desaparece cuando se suprimen las fuerzas que actúan. </li></ul>
  9. 11. 1.3 FUERZAS <ul><li>1.3.1 Fuerzas de Masa : Son aquellas que se encuentran distribuidas a lo largo de todo el volumen del sólido ( por ejemplo: inerciales, gravitatorias, térmicas, magnéticas, etc.) </li></ul><ul><li>1.3.2. Fuerzas de Superficie : Provienen de interacciones entre sistemas o de acciones exteriores, pueden ser: </li></ul><ul><li>1.3.2.1 Concentradas: son las fuerzas que actúan en un punto </li></ul><ul><li>1.3.2.2 Distribuidas: son las fuerzas que actúan a lo largo de una superficie ( por ejemplo: pesos, presiones hidrostáticas, viento, encamisados, etc.) </li></ul>
  10. 12. 1.4 ESTUDIO DE TENSIONES EN UN SÓLIDO DEFORMABLE 1.4.1 Concepto de tensión en un punto : Se considera un sólido en equilibrio bajo la acción de las fuerzas p i π p i pi pi pi pi pi pi Ri Rd A S
  11. 13. <ul><li>El sólido, obviamente, es continuo, homogéneo e isótropo. </li></ul><ul><li>Se corta el sólido con un plano π y nos determina una sección “s” dentro de la cual se encuentra un punto A. </li></ul><ul><li>Luego separamos la parte derecha delimitada por el plano π , con lo cual se rompe el equilibrio al cual estaba sometido el sólido. </li></ul><ul><li>Para restituir el equilibrio, debemos colocar en el baricentro de la sección del lado izquierdo, una resultante Rd y un par Md, que reemplacen las acciones ejercidas por las Pi del lado derecho suprimidas. </li></ul>G Md Rd A pi pi pi Tengamos en cuenta que las acciones no se ejercen de una parte del sólido a la otra como acciones concentradas, sino que los son punto a punto de la parte derecha hacia la parte izquierda. Considerando ahora el punto “A”, y un en el, un entorno de superficie Δ F, sobre dicho elemento se transmite de un lado al otro, una fuerza Δ P. Si para el cociente Δ P/ Δ F hacemos tender Δ F -> 0, al límite de dicho cociente, cuando Δ F-> 0, lo denominaremos TENSIÓN EN EL PUNTO A . lim ( Δ P/ Δ F) = dP / dF = ρ Δ F-> 0
  12. 14. <ul><li>y se miden en unidades de fuerza por unidades de longitud kg/cm 2 , N/m 2 , MPa, etc. </li></ul><ul><li>(1 Pa pascal = 1 N/m 2 ). </li></ul><ul><li>La tensión ρ es una magnitud vectorial, pues tiene dirección, sentido e intensidad, por lo que se la representa por medio de vectores. </li></ul><ul><li>1.4.2 Régimen de tensiones en un punto : Si por el punto A pasamos otros planos distintos del π ,o sea con distintas orientaciones, el valor de ρ cambiará, ya sea en intensidad, dirección o sentido. </li></ul><ul><li>Por lo tanto por un punto interior de un sólido como pasan infinitos planos, y por lo tanto a dicho punto A, corresponderán infinitas tensiones ρ , según el plano que se considere. </li></ul><ul><li>A esto se lo conoce como “ESTADO DE TENSIONES EN UN PUNTO” o “ R REGIMEN DE TENSIONES” </li></ul>A Existen al menos 3 estados posibles de tensión 1.4.2.1 Estado Espacial o Triple de Tensiones : Es el estado de tensiones que se produce cuando al variar el plano, la tensión ρ , varía en dirección sentido e intensidad., teniendo el vector tensión cualquier orientación en el espacio. ρ ρ ’ ρ ’’
  13. 15. <ul><li>1.4.2.2 Estado Plano o Doble de Tensiones : Es el estado de tensiones que se produce cuando al variar el plano, la tensión ρ , varía en dirección sentido e intensidad, pero el vector tensión se mantiene paralelo a un plano determinado </li></ul><ul><li>1.4.2.3 Estado Simple o Uniaxial : Si al considerar los infinitos planos que pasan por un punto, las correspondientes tensiones se mantienen todas paralelas a una dirección. </li></ul><ul><li>1.4.3. Tensiones Normales y Tangenciales : Surgen de las descomposición del vector ρ en dos componentes ortogonales, una perpendicular al plano, denominada Tensión Normal σ , y otra contenida en el plano de la sección denominada Tensión Tangencial ζ . </li></ul><ul><li>Por lo tanto dichas componentes tendrán como valores </li></ul><ul><li>analíticos las siguientes expresiones algebraicas: </li></ul><ul><li>σ = ρ cos φ </li></ul><ul><li>ζ = ρ sen φ </li></ul><ul><li>ρ = ( σ 2 + ζ 2 ) 1/2 </li></ul>A σ Φ ρ ζ
  14. 16. A Ξ 0 z x y e Ξ ρ γ α β <ul><li>1.4.4. Convención de Signos </li></ul><ul><li>Hacemos coincidir una terna de ejes coordenados por el punto A, y consideramos un plano π que pase por dicho punto. </li></ul><ul><li>A los efectos de facilitar la interpretación del gráfico, el plano se dibuja desplazado. La dirección del plano π , queda definida en el espacio por la ubicación de su normal exterior “e” , que forma con los ejes coordenados los ángulos α β y γ , siendo sus cosenos directores </li></ul><ul><li>l = cos α ; m = cos β y n = cos γ </li></ul><ul><li>que por cuestiones de trigonometría cumplen con la relación l 2 + m 2 + n 2 = 1 </li></ul>
  15. 17. <ul><li>Consideramos ahora un cubo elemental de aristas unitarias, cuyas caras coinciden con los 3 planos coordenados, y definimos </li></ul><ul><li>a) Una cara es positiva cuando lo es su normal exterior. La normal exterior es positiva cuando lo es su proyección sobre el eje al que le es paralelo. </li></ul><ul><li>0 ≡ C </li></ul><ul><li>Las tensiones normales σ se sub indican con el eje respecto al cual son paralelos. </li></ul><ul><li>Las tensiones tangenciales en cambio, se sub. indican con 2 índices, el primero referido al eje normal a la cara donde actúa la tensión, y el otro referido al eje al cual es paralelo la tensión. </li></ul><ul><li>La cara EFGH es positiva por serlo su normal exterior en la dirección x, y las tensiones son positivas por serlo sus proyecciones sobre los ejes a los cuales son paralelos. Para caras negativas ABCD, las tensiones son positivas en este caso por ser negativas sus proyecciones a los ejes a los cuales son paralelos. </li></ul>z x y ζ xz σ x ζ xy ζ xz σ x ζ xy E F ζ G H A B D <ul><li>CARAS POSITIVAS </li></ul><ul><li>EFGH </li></ul><ul><li>ABEF </li></ul><ul><li>BDFH </li></ul><ul><li>CARAS NEGATIVAS </li></ul><ul><li>AECG </li></ul><ul><li>ABCD </li></ul><ul><li>DCGH </li></ul>
  16. 18. Signo de las tensiones : <ul><li>Las tensiones normales σ son positivas cuando son de tracción, y negativas cuando son de compresión. </li></ul><ul><li>Las tensiones tangenciales ζ en cambio son mas , menos, como se verá más adelante. </li></ul>
  17. 19. <ul><li>1.4.5. REPRESENTACIÓN CARTESIANA DEL ESTADO DE TENSIÓN </li></ul><ul><li>Si tenemos un sistema de ejes cartesianos ortogonales y tres tensiones t i , asociadas, actuando en los planos cartesianos octogonales, cada tensión t i se puede descomponer en una tensión normal σ y dos tensiones tangenciales ζ según la dirección de los ejes. </li></ul><ul><li>ť 1 = σ x i + ζ xy j + ζ xz k </li></ul><ul><li>ť 2 = ζ xy i + σ y j + ζ yz k </li></ul><ul><li>ť 3 = ζ zx i + ζ zy j + σ z k </li></ul><ul><li>donde i, j y k son versores. </li></ul><ul><li>También podemos </li></ul><ul><li>expresar las ecuaciones anteriores </li></ul><ul><li>en forma tensorial </li></ul><ul><li>ť 1 = t 11 i + t 12 j + t 13 k </li></ul><ul><li>ť 2 = t 21 i + t 22 j + t 23 k </li></ul><ul><li>ť 3 = t 31 i + t 32 j + t 33 k </li></ul>z x y t 1 ζ xz σ x ζ xz t 3 ζ zx σ x ζ xz t 2 σ y ζ xy ζ yz
  18. 20. <ul><li>1.4.6 . EQUILIBRIO DEL CUBO ELEMENTAL SUJETO A TENSIONES </li></ul><ul><li>Para analizar el equilibrio del cubo elemental, sujeto a tensiones, hacemos coincidir en el punto A una terna de ejes coordenados ortogonales y pasamos tres planos ortogonales por dicho punto. </li></ul><ul><li>Luego a una distancia dx, dy, y dz, colocamos un punto B. </li></ul><ul><li>Debemos hacer la salvedad que suponemos que las funciones que definen las variaciones de tensiones σ y ζ , son continuas y derivables para poder obtener una solución matemática </li></ul><ul><li>En la cara dy; dz que pasa por A, actúa σ x , ζ xy ; ζ xz . </li></ul><ul><li>En la cara paralela que pasa por B actuarán </li></ul><ul><li>σ x + ( ∂ σ x / ∂ x ) dx ; ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂x ) dx ; ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂x ) dx ; </li></ul><ul><li>o sea la función incrementada </li></ul><ul><li>Idéntico razonamiento aplicamos en las otras dos caras. </li></ul>
  19. 22. <ul><li>Pero además supondremos que el cubo elemental se encuentra sometido a Fuerzas de Masa, que se suponen aplicadas en el baricentro . Llamamos X, Y y Z a las componentes de dicha fuerza de masa por unidad de volumen aplicadas en la dirección de los ejes. </li></ul><ul><li>Para lograr el equilibrio del cubo elemental, plantearemos </li></ul><ul><li>a) 3 ecuaciones de proyección sobre los 3 ejes coordenados </li></ul><ul><li>b) 3 ecuaciones de nulidad de momento respecto de dichos ejes. </li></ul><ul><li>CONCEPTO A RECORDAR: TENSIÓN X ÁREA = FUERZA </li></ul>
  20. 23. <ul><li>Ecuaciones ded proyección sobre los efes coordenados </li></ul><ul><li>Sobre el eje “x” </li></ul><ul><li>[ σ x + ( ∂ σ x / ∂ x ) ] dy dz - σ x dy dz + [ ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂y ) dy ] dz dx] – </li></ul><ul><li>ζ xy dz dx +[ ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂z ) dz] dx dy - ζ xz dx dy + X dx dy dz = 0 </li></ul><ul><li>Sobre el eje “y” </li></ul><ul><li>[ σ y + ( ∂ σ y / ∂ y ) ] dx dz - σ y dx dz + [ ζ xy + ( ∂ ζ xy /∂x ) dx ] dz dy] – </li></ul><ul><li>ζ xy dy dz +[ ζ zy + ( ∂ ζ zy /∂z ) dz] dx dy - ζ zy dx dy + Y dx dy dz = 0 </li></ul><ul><li>Sobre el eje “z” </li></ul><ul><li>[ σ z + ( ∂ σ z / ∂ z ) ] dy dx - σ z dy dx + [ ζ xz + ( ∂ ζ xz /∂x ) dx ] dz dy] - ζ xz dz dy +[ ζ xz + ( ∂ ζ yz /∂y ) dy] dx dz - ζ yz dx dz + Z dx dy dz = 0 </li></ul><ul><li>Si simplificamos los términos iguales en cada una de las tres ecuaciones, y dividimos por dx, dy y dz llegamos a las Ecuaciones de Equilibrio, quedándonos un sistema de tres ecuaciones con nueve incógnitas, que en realidad se demuestran que son seis. </li></ul>
  21. 24. <ul><li>∂ σ x / ∂ x + ( ∂ ζ xy /∂y ) + ( ∂ ζ xz /∂z ) + X = 0 </li></ul><ul><li>( ∂ ζ xy /∂x ) + ( ∂ σ y / ∂ y ) +( ∂ ζ zy /∂z ) + Y = 0 </li></ul><ul><li>( ∂ ζ xz /∂x ) + ( ∂ ζ yz /∂y ) + ( ∂ σ z / ∂ z ) + Z = 0 </li></ul><ul><li>Para resolver dichas seis incógnitas, planteamos 3 ecuaciones de momento respecto de tres ejes ortogonales, paralelos a los coordenados y que pasen por el baricentro del cubo elemental . </li></ul><ul><li>Por lo tanto de todos los momentos posibles, serán nulos los momentos correspondientes a aquellas fuerzas que corten o sean paralelas al eje considerado quedándonos por lo tanto para el eje X: </li></ul><ul><li>ζ yz ( dy/2) dz dx + [ ζ yz +( ∂ ζ yz /∂y ) dy] dx (dy/2) dz - ζ yz dx (dz/2) dy - [ ζ zy +( ∂ ζ yz /∂z )dz] dx dy (dz/2) = 0 </li></ul>x
  22. 25. <ul><li>Aplicando desarrollo y sumas llegamos a : </li></ul><ul><li>ζ yz dz dy dx + ( ∂ ζ yz /∂y ) dx (dy 2 /2) dz - ζ yz dz dy dx + ( ∂ ζ zy /∂z ) dx (dz 2 /2) dy = 0 </li></ul><ul><li>Despreciando los infinitésimos de orden superior, nos queda </li></ul><ul><li>ζ yz dz dy dx - ζ yz dz dy dx = 0 </li></ul><ul><li>Haciendo las mismas ecuaciones para los otros dos pares de ejes llegamos a: </li></ul><ul><li>ζ yz = ζ zy </li></ul><ul><li>ζ xz = ζ zx </li></ul><ul><li>ζ xy = ζ yx </li></ul><ul><li>Que constituye la expresión matemática del Teorema de Cauchy , que se enuncia de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>Dados dos planos, que definen una arista en su intersección, las componentes normales a dicha arista, de las tensiones tangenciales ζ que actúan en dichos planos, son de igual intensidad y concurren o se alejan de la arista. </li></ul>
  23. 26. <ul><li>El hecho de tener signos contrarios, aparte de una consideración matemática, se da en el hecho de que los momentos respecto de un mismo eje de las tensiones tangenciales de sub índices cambiados deben ser de sentido contrario, a los efectos de mantener el equilibrio del cubo elemental. </li></ul><ul><li>Luego, para conocer el estado tensional de un punto de un sólido sometido a cualquier estado de cargas, debemos conocer el Tensor de Tensiones a partir de sus seis componentes. </li></ul><ul><li>∂ σ x / ∂ x + ( ∂ ζ xy /∂y ) + ( ∂ ζ xz /∂z ) + X = 0 </li></ul><ul><li>( ∂ ζ xy /∂x ) + ( ∂ σ y / ∂ y ) + ( ∂ ζ yz /∂z ) + Y = 0 </li></ul><ul><li>( ∂ ζ xz /∂x ) + ( ∂ ζ yz /∂y ) + ( ∂ σ z / ∂ z ) + Z = 0 </li></ul><ul><li>SOLUCIONES: </li></ul><ul><li>a) Teoría Matemática de la Elasticidad: Plantea 3 ecuaciones complementarias de deformación </li></ul><ul><li>b) Resistencia de Materiales: Utiliza hipótesis suficientemente válidas, verificadas experimentalmente. </li></ul>
  24. 27. . ESTADO TRIPLE O ESPACIAL
  25. 28. <ul><li>1.5.1. Se parte de analizar el equilibrio de tensiones en un punto material A, por el cual se hace coincidir una terna de ejes coordenados, que delimitan 3 planos ortogonales, más un cuarto plano oblicuo que pasa por A y que en el gráfico se lo dibuja desplazado a los efectos de una mejor interpretación </li></ul>
  26. 29. <ul><li>Supondremos conocida la dirección del plano inclinado, a partir de conocer la ubicación en el espacio de su normal exterior. </li></ul><ul><li>Esto es, que el plano queda definido por el conocimiento de los cosenos directores, l , m y n que la normal exterior al plano, forma con cada uno de los ejes coordenados ortogonales. </li></ul><ul><li>Nos queda entonces un tetraedro elemental, cuyo equilibrio es el objeto de nuestro análisis. </li></ul><ul><li>Admitiremos que el área inclinada, tiene una superficie unitaria. </li></ul><ul><li>Área BCD = 1 </li></ul><ul><li>Por lo tanto, las caras ortogonales ACD, ABD Y ABC, tendrán como áreas, el valor de los cosenos directores l , m y n . </li></ul><ul><li>Nuestro estudio se basa en que conociendo las tensiones normales σ x , σ y , σ z y tangenciales ζ xy , ζ xz , ζ yz , en cada una de las caras elementales, hallemos el valor de la tensión resultante ρ y sus componentes σ y ζ en la cara inclinada. </li></ul>
  27. 30. <ul><li>Se plantea el equilibrio a partir de la sumatoria de proyecciones de fuerzas </li></ul><ul><li>ρ x . 1 = σ x l + ζ xy m + ζ xz n </li></ul><ul><li>ρ y . 1 = ζ xy l + σ y m + ζ yz n </li></ul><ul><li>ρ z . 1 = ζ xz l + ζ yz m + σ z n </li></ul><ul><li>y teniendo en cuenta que ρ = ( ρ x 2 + ρ y 2 + ρ z 2 ) ½ </li></ul><ul><li>Elevamos las ecuaciones A al cuadrado y reemplazamos en B y teniendo en cuenta que φ es el ángulo entre σ y ρ nos queda </li></ul><ul><li>ρ = [ ( σ x 2 + ζ xy 2 + ζ xz 2 ) l 2 + ( σ y 2 + ζ xy 2 + ζ yz 2 ) m 2 + ( σ z 2 + ζ xz 2 + ζ yz 2 ) n 2 +2 ( σ x ζ xy + σ y ζ xy + ζ xz ζ yz ) l m + 2 ( σ x ζ xz + σ z ζ xz + ζ xy ζ yz ) l n + 2 ( σ y ζ zy + σ z ζ xz + ζ xz ζ yz ) m n] ½ </li></ul><ul><li>σ = ρ cos φ ; ζ = ρ sen φ donde el valor ρ ya lo obtuvimos </li></ul>A B
  28. 31. <ul><li>Luego al ángulo ente ρ y los eje coordenados, los llamamos α ρ , β ρ y γ ρ </li></ul><ul><li>Y como conocemos los cosenos directores de la normal exterior con el plano considerado, l, m. n </li></ul><ul><li>Podemos entonces plantear : </li></ul><ul><li>cos α ρ = ρ x / ρ </li></ul><ul><li>cos β ρ = ρ y / ρ </li></ul><ul><li>cos γ ρ = ρ z / ρ </li></ul><ul><li>como sabemos además que e Ξ σ forma con los ejes coordenados los cosenos directores l, m y n, y que por trigonometría se define </li></ul><ul><li>cos φ = l cos α ρ + m cos β ρ + n cos γ ρ = l ( ρ x / ρ ) + m ( ρ y / ρ ) + n ( ρ z / ρ ) </li></ul><ul><li>O sea que hallamos el cos φ y con él, los valores de σ y ζ que era el motivo de nuestro estudio </li></ul>
  29. 32. Supongamos ahora que deseamos expresar σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales. Para ello debemos recordar de Estática, el Teorema de Varignon, que nos decía que la sumatoria de los momentos de las componentes de un sistema, eran equivalentes al momento de la resultante. Entonces, proyectamos ρ sobre la dirección de σ e igualamos la suma de proyecciones de ρ x , ρ y y ρ z nos queda: σ = ρ cos φ = ρ x l + ρ y m + ρ z n Que reemplazando con los valores de la ecuación A nos queda σ = σ x l 2 + σ Y m 2 + σ Z n 2 + 2 ( ζ xy l m + ζ xz l n + ζ yz m n ) ζ = ( ρ 2 - σ 2 ) ½. De esta manera, hemos hallado σ y ζ en función de las tensiones que actúan en las caras ortogonales.
  30. 33. 1.5.2 TENSIONES Y PLANOS PRINCIPALES <ul><li>Al cambiar la orientación de un plano, varían las tensiones aplicadas al mismo. </li></ul><ul><li>La tensión σ máxima se alcanzará cuando ρ coincida con σ (y con e), siendo nulas en ese caso, las tensiones tangenciales ζ . </li></ul><ul><li>El plano que contenga a ese valor de ρ se llama PLANO PRINCIPAL, y por el teorema de Cauchy, no es un solo plano, sino 2, ortogonales entre si, en los cuales las tensiones normales σ adquieren su valor máximo y mínimo respectivamente. </li></ul><ul><li>Estos valores son importantes porque al ser los máximos, serán los valores que utilizaremos en los cálculos de dimensionamiento y/o verificación. </li></ul><ul><li>Por lo tanto, en los planos principales, actuarán las tensiones principales, en las direcciones principales </li></ul>
  31. 34. Para el caso de las tensiones principales, las expresiones A, se convierten entonces en: ρ x . 1 = σ i l ρ y . 1 = σ i m ρ z . 1 = σ i n Por ser nulas las tensiones tangenciales. Si igualamos este sistema de ecuaciones, con la parte derecha de las ecuaciones A, que eran los datos del problema y que representaban las tensiones en las caras ortogonales, nos quedará: σ i l = σ x l + ζ xy m + ζ xz n σ i m = ζ xy l + σ y m + ζ yz n σ i n = ζ xz l + ζ yz m + σ z n Operando matemáticamente obtendremos (ecuaciones 1) ( σ x - σ i ) l + ζ xy m + ζ xz n = 0 ζ xy l + ( σ y - σ i ) m + ζ yz n = 0 ζ xz l + ζ yz m + ( σ z - σ i ) n = 0
  32. 35. <ul><li>O sea un sistema de 3 ecuaciones homogéneas entre las incógnitas l , m , n que definen la dirección del plano principal que corresponde a σ i en función de las tensiones normales y tangenciales que ocurren en las tres cara ortogonales. </li></ul><ul><li>Una solución, es la trivial, o sea l = m = n = 0. </li></ul><ul><li>Para que ello no ocurra, es condición necesaria y suficiente que el determinante de los coeficientes sea nulo </li></ul><ul><li>( σ i - σ x ) ζ xy ζ xz </li></ul><ul><li>ζ xy ( σ y - σ i ) ζ yz = 0 </li></ul><ul><li>ζ xz ζ yz ( σ z - σ i ) </li></ul>
  33. 36. Desarrollando el determinante, llegamos a una ecuación cúbica, llamada ECUACIÓN CARACTERÍSTICA DE LAS TENSIONES PRINCIPALES. σ i 3 - σ I 2 ( σ X + σ y + σ z ) + σ i ( σ X . σ y + σ z σ X + σ y σ z – ζ xy 2 - ζ xz 2 - ζ yz 2 ) – ( σ X . σ y . σ z + 2 ζ xy . ζ xz . ζ yz - ζ xy 2 . σ z - - ζ xz 2 . σ y - ζ zy 2 . σ x ) = 0 Esta ecuación posee 3 raíces que son σ 1 ; σ 2 ; σ 3 , que son las tres tensiones principales que actúan en los tres planos principales y que existen si y solo si las 3 σ i son reales. Siempre supondremos σ 1 > σ 2 > σ 3 Que una raíz es siempre real, es obvio por predominar el término cúbico sobre el resto de la ecuación. A ese valor lo llamaremos σ 3
  34. 37. <ul><li>Para ver si σ 1 y σ 2 son reales , tomamos una terna de ejes x’, y’ y z’ , y </li></ul><ul><li>hacemos coincidir el eje z’ con la dirección de σ 3 . </li></ul><ul><li>O sea que σ 3 = σ z’ de lo que resulta que ζ z’y’ = ζ z’x’ = 0 </li></ul><ul><li>Entonces las ecuaciones 1 , se transforman en </li></ul><ul><li>( σ x’ - σ i ) l + ζ y’x’ m = 0 </li></ul><ul><li>ζ x’y’ l + ( σ y’ - σ i ) m = 0 </li></ul><ul><li>( σ z’ - σ i ) n = 0 </li></ul><ul><li>Para que la solución sea no nula, bastará que el determinante de los coeficientes sea nulo </li></ul><ul><li>( σ x’ - σ i ) ζ y’x’ 0 </li></ul><ul><li>ζ x’y’ ( σ y’ - σ i ) 0 = 0 </li></ul><ul><li>0 0 ( σ z’ - σ i ) </li></ul><ul><li>Desarrollando el determinante, llegamos a </li></ul>
  35. 38. <ul><li>σ i 2 - σ i ( σ x’ + σ y’ )+ ( σ x’ σ y’ - ζ y’x’ 2 ) = 0 </li></ul><ul><li>σ 1;2 = ( σ x + σ y )/2 ± √ [ ( σ x - σ y )/2 ] 2 + ζ xy 2 </li></ul><ul><li>CASOS POSIBLES DE LAS RAICES </li></ul><ul><li>Las tres raíces son diferentes σ 1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 </li></ul><ul><li>Existen 3 raíces principales, ortogonales </li></ul><ul><li>entre si, existiendo tensiones tangenciales </li></ul><ul><li>en los demás planos </li></ul><ul><li>b) Hay dos raíces iguales y una es diferente σ 1 = σ 2 ≠ σ 3 </li></ul><ul><li>Las tensiones correspondientes a planos normales al plano </li></ul><ul><li>donde actúa σ 3 , resultan iguales entre si e iguales </li></ul><ul><li>a σ 1 = σ 2 siendo entonces la dirección de σ 3 </li></ul><ul><li>la dirección del haz de planos </li></ul><ul><li>c) Las tres raíces son iguales σ 1 = σ 2 = σ 3 </li></ul><ul><li>Las tensiones en los infinitos planos que pasan por el punto, son iguales entre si, no existiendo tensiones tangenciales en ningún plano. Se denomina estado hidrostático </li></ul>y σ 2 σ 1 x σ 3 z Eje del haz de planos z σ 2 σ 1 y x σ 3
  36. 39. 1.5.3. DETERMMINACION DE LAS DIRECCIONES PRINCIPALES <ul><li>De la ecuación característica, obtuvimos σ 1 ; σ 2 ; σ 3 . </li></ul><ul><li>Ahora hallaremos las direcciones en las que actúan dichas tensiones principales, o sea, las normales exteriores a los planos principales. </li></ul><ul><li>Para ello necesitaremos conocer los valores de l, m y n para cada una de las 3 direcciones principales </li></ul><ul><li>Partimos de la dirección principal 1, planteando el sistema de ecuaciones </li></ul><ul><li>( σ x – σ 1 ) l 1 + ζ xy m 1 + ζ xz n 1 = 0 </li></ul><ul><li>ζ xy l 1 + ( σ y – σ 1 ) m 1 + ζ yz n 1 = 0 </li></ul><ul><li>ζ xz l 1 + ζ yz m 1 +( σ z – σ 1 ) n 1 = 0 </li></ul>
  37. 40. El determinante de este sistema de ecuaciones, esta dado por: ( σ x – σ 1 ) ζ xy ζ xz ζ xy ( σ y – σ 1 ) ζ yz = 0 ζ xz ζ yz ( σ z – σ 1 ) Si ahora llamamos Δ 1 ; Δ 2 Δ 3 , a los 3 menores complementarios de la primera fila, tendremos σ y – σ 1 ζ yz Δ 1 ζ yz σ z – σ 1 ζ yx ζ yz Δ 2 ζ xz σ z – σ 1 ζ xy σ y – σ 1 Δ 3 ζ xz ζ yz
  38. 41. Luego, desarrollamos el determinante por la primera fila ( σ x – σ 1 ) Δ 1 + ζ xy Δ 2 + + ζ xz Δ 3 = 0 dividiendo miembro a miembro, y comparando con ( σ x – σ 1 ) l 1 + ζ xy m 1 + ζ xz n 1 = 0 que era la primera de las ecuaciones, llegamos a determinar K, una constante no nula cuyo valor vendrá determinado por l 1 m 1 n 1 K = = = Δ 1 Δ 2 Δ 3 Entonces l 1 = K Δ 1 ; m 1 = K Δ 2 ; n 1 = K Δ 3 y como sabemos que l 1 2 + m 1 2 + n 1 2 = 1 Nos quedará entonces (K Δ 1 ) 2 + (K Δ 2 ) 2 + ( K Δ 3 ) 2 = 1
  39. 42. <ul><li>Finalmente podremos escribir que </li></ul><ul><li>1 </li></ul><ul><li>K = </li></ul><ul><li>± [ ( Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½ </li></ul><ul><li>A partir de ahora, estamos en condiciones de hallar los cosenos directores </li></ul><ul><li>para la dirección principal 1 </li></ul>
  40. 43. Δ 1 l 1 = ± [ ( Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½ Δ 2 m 1 = ± [ ( Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½ Δ 3 n 1 = ± [ ( Δ 1 ) 2 + ( Δ 2 ) 2 + ( Δ 3 ) 2 ]½ Ahora repetimos todo el proceso matemático reemplazando alternativamente σ 1 por σ 2 y luego por σ 3 para hallar los cosenos directores de las direcciones principales 2 y 3. 1.5.4. DETERMINACIÓN DEL VALOR DE LAS TENSIONES EN UN PUNTO EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES Si los ejes ortogonales coinciden con las tres direcciones principales, tendremos que:
  41. 44. <ul><li>σ x = σ 1 </li></ul><ul><li>σ y = σ 2 ζ xy = ζ xz = ζ zy = 0 </li></ul><ul><li>σ z = σ 3 </li></ul><ul><li>La ecuación A , se convierte entonces en </li></ul><ul><li>ρ x = σ 1 l </li></ul><ul><li>ρ y = σ 2 m </li></ul><ul><li>ρ z = σ 3 n </li></ul><ul><li>por lo tanto: ρ = ±( σ 1 2 l 2 + σ 2 2 m 2 + σ 3 2 n 2 ) ½ </li></ul><ul><li>y σ = ρ cos φ = σ 1 l 2 + σ 2 m 2 + σ 3 n 2 Ecuación de σ </li></ul><ul><li>ζ = ( ρ 2 - σ 2 ) ½. Esta expresión, reemplazando por los valores de σ y ρ hallados anteriormente, y teniendo en cuenta que la suma de los cuadrados de los cosenos es igual a la unidad, de puede escribir de la siguiente manera, expresando n en función de l y de m </li></ul><ul><li>ζ = ( σ 1 2 – σ 3 2 ) l 2 + ( σ 2 2 – σ 3 2 ) m 2 + σ 3 2 - [( σ 1 – σ 3 ) l 2 + ( σ 2 – σ 3 ) m 2 + σ 3 ] ½ Ecuación de ζ </li></ul>
  42. 45. 1.5.5 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS <ul><li>Derivando la expresión anterior de ζ en función de las variables independientes l y m, obtenemos los valores máximos y mínimos de ζ </li></ul><ul><li>Se obtiene un sistema de ecuaciones, con tres soluciones posibles </li></ul><ul><li>Para el caso en que las tres tensiones principales son distintas, σ 1 ≠ σ 2 ≠ σ 3 las soluciones posibles son l = m = 0 ; n = ± 1 </li></ul><ul><li>Reemplazando estos valores en las ecuaciones de σ y ζ obtenemos que </li></ul><ul><li>σ = σ 3 y ζ = 0 </li></ul><ul><li>Es decir una cara principal. </li></ul><ul><li>Si en vez de poner n en función de l y m hubiéramos hecho cualquiera de las otras 2 combinaciones posibles, llegaríamos a idénticos resultados. </li></ul><ul><li>Finalmente, cuando las tres tensiones principales son diferentes, las tensiones tangenciales máximas actúan en planos a 45º de los planos que contienen las tensiones normales máximas y su valor está dado por </li></ul><ul><li>ζ 1 = ± (( σ 2 – σ 3 )/2) ; ζ 2 = ± (( σ 3 – σ 1 )/2) ζ 3 = ± (( σ 1 – σ 2 )/2) </li></ul><ul><li>Ahora bien, en los planos de tensiones normales máximas, no existían tensiones tangenciales. No ocurre lo mismo en los planos donde las tensiones tangenciales son máximas. </li></ul>
  43. 46. Para esos planos existe un valor de tensión normal asociada, llamada comúnmente σ m y cuyo valor es: Para el plano donde actúa ζ 1 ; σ m = ( σ 2 + σ 3 )/2; Para el plano donde actúa ζ 2 ; σ m = ( σ 1 + σ 3 )/2; Para el plano donde actúa ζ 3 ; σ m = ( σ 2 + σ 1 )/2; b) Para el caso que dos tensiones principales sean iguales y una diferente σ 3 = σ 2 ≠ σ 1 La solución a este caso ocurre así mismo en planos a 45º de los planos que contienen a las direcciones principales y su valor viene dado por ζ máx = ± ( σ 1 – σ 3 )/2 = ( σ 1 – σ 2 )/2 c) Para el caso de tres tensiones principales iguales σ 3 = σ 2 = σ 1 ya habíamos dicho que las tensiones tangenciales son nulas 1.5.6. INVARIANTES DE TENSIÓN Partimos de la ecuación característica de tensiones σ i 3 - σ I 2 ( σ X + σ y + σ z ) + σ i ( σ X . σ y + σ z σ X + σ y σ z – ζ xy 2 - ζ xz 2 - ζ yz 2 ) - ( σ X . σ y . σ z + 2 ζ xy . ζ xz . ζ yz - ζ xy 2 . σ z - ζ xz 2 . σ y - ζ zy 2 . σ x ) = 0
  44. 47. <ul><li>El concepto es que no importa la terna de ejes coordenados que se adopte, las tensiones principales deben ser siempre las mismas. </li></ul><ul><li>Lo que es lo mismo que decir que los coeficientes de la ecuación característica deben ser constantes de allí que </li></ul><ul><li>J 1 = σ X + σ y + σ z </li></ul><ul><li>J 2 = σ X . σ y + σ z σ X + σ y σ z – ζ xy 2 - ζ xz 2 - ζ yz 2 </li></ul><ul><li>J 3 = σ X . σ y . σ z + 2 ζ xy . ζ xz . ζ yz - ζ xy 2 . σ z - ζ xz 2 . σ y - ζ zy 2 . σ x </li></ul><ul><li>Que son los llamados Invariantes de Tensión. </li></ul><ul><li>Si entre todas las posibles ternas de ejes existentes , adoptamos la que corresponde a las direcciones principales , los invariantes de tensión quedan de la siguiente manera: </li></ul><ul><li>J 1 = σ 1 + σ 2 + σ 3 </li></ul><ul><li>J 2 = σ 1 . σ 2 + σ 3 σ 1 + σ 3 σ 2 </li></ul><ul><li>J 3 = σ 1 . σ 2 . σ 3 </li></ul><ul><li>De ambas ecuaciones llegamos a la importante conclusión siguiente: </li></ul><ul><li>La suma de las tensiones principales es igual a la suma de las tensiones normales correspondientes a tres caras </li></ul><ul><li>J 1 = σ X + σ y + σ z = σ 1 + σ 2 + σ 3 </li></ul>
  45. 48. 1.6 CIRCUNFERENCIA DE MOHR PARA EL ESTADO TRIPLE O ESPACIAL <ul><li>Es una representación gráfica del estado espacial de tensiones. </li></ul><ul><li>Dicho de otro modo, representamos un estado espacial en un estado plano en el papel. </li></ul><ul><li>Para su análisis partiremos de las expresiones obtenidas al inicio del estado triple de tensiones </li></ul><ul><li>ρ 2 = σ 1 2 l 2 + σ 2 2 m 2 + σ 3 2 n 2 </li></ul><ul><li>σ = σ 1 l 2 + σ 2 m 2 + σ 3 n 2 </li></ul><ul><li>1 = l 2 + m 2 + n 2 </li></ul>
  46. 49. Nuestro objetivo es resolver la orientación del plano que contiene a σ y ζ , partiendo del conocimiento de las tensiones principales. O sea que las incógnitas serán l 2 , m 2 y n 2 . Si llamamos Δ al discriminante del sistema anterior tenemos σ 1 2 σ 2 2 σ 3 2 σ 1 σ 2 σ 3 = σ 1 2 ( σ 2 - σ 3 ) – σ 2 2 ( σ 1 - σ 3 ) – σ 3 2 ( σ 1 – σ 2 ) 1 1 1 Resolviendo los determinantes de las direcciones llegamos a obtener una familia de circunferencias en el plano σ ; ζ , cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia igual a ½ ( σ 2 + σ 3 ) y donde l es un parámetro que varia entre los extremos que puede tomar la función coseno, es decir 0 o 1 Idéntica situación se produce para los cosenos directores m y n obteniendo en total 6 circunferencias .
  47. 50. CIRCUNFERENCIA CORRESPONDIENTE AL PARAMETRO Centro circunferencias l : ( σ 2 + σ 3 ) /2 l = 0 -> radio ( σ 2 - σ 3 ) /2 l = 1 -> radio σ 1 - ( σ 2 + σ 3 ) /2 Centro circunferencias m : ( σ 1 + σ 3 ) /2 m = 0 -> radio ( σ 1 - σ 3 ) /2 m = 1 -> radio σ 2 - ( σ 1 + σ 3 ) /2 Centro circunferencias n : ( σ 1 + σ 2 ) /2 n = 0 -> radio ( σ 1 – σ 2 ) /2 n = 1 -> radio σ 3 - ( σ 1 + σ 2 ) /2
  48. 51. <ul><li>El punto representativo de las tensiones σ ; ζ xy debe caer dentro del triángulo curvilíneo sombreado , dado que su contorno representa los valores límites para los distintos estados tensiónales. </li></ul><ul><li>Sobre dicho punto, deben cortarse las tres circunferencias correspondientes al plano elegido. Las tres circunferencias se denominan CIRCUNFERENCIAS PRINCIPALES </li></ul><ul><li>Con la construcción de Mohr, hallamos la ubicación que tiene un plano en el espacio para un valor de σ ; ζ xy dado, </li></ul><ul><li>o viceversa, si conocemos la ubicación de dicho plano, por conocer l,m y n, hallar σ ; ζ xy </li></ul>
  49. 52. <ul><li>Determinación analítica y gráfica del Punto “P” </li></ul><ul><li>Conocemos α , β y γ . Y el valor de las tensiones principales </li></ul><ul><li>O sea los ángulos que forma la normal exterior con los ejes coordenados ortogonales. </li></ul><ul><li>Una forma de hallar analíticamente el punto “P” es a haciendo el cálculo de los radios de las tres circunferencias principales, a partir de los valores conocidos de l, m y n. </li></ul><ul><li>R 1;2 = { [( σ 1 - σ 2 )/2 ] 2 + n 2 ( σ 3 - σ 1 ) ( σ 3 - σ 2 ) } ½ . </li></ul><ul><li>R 1;3 = { [( σ 1 - σ 3 )/2 ] 2 + m 2 ( σ 2 - σ 3 ) ( σ 2 - σ 1 ) } ½ . </li></ul><ul><li>R 2;3 = { [( σ 2 - σ 3 )/2 ] 2 + l 2 ( σ 1 - σ 2 ) ( σ 1 - σ 3 ) } ½ . </li></ul><ul><li>Estas tres circunferencias se cortan sobre el punto “P”, quedando determinado un triángulo rectángulo, de hipotenusa ρ y catetos σ ; ζ . </li></ul>
  50. 53. <ul><li>El procedimiento constructivo es el siguiente: </li></ul><ul><li>a) dibujamos las tres circunferencias principales a partir del valor de las tensiones principales </li></ul><ul><li>b) Con centro en C 1 , y radio R 2;3 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las circunferencias de radio C 2 , C 3 , </li></ul><ul><li>c) Con centro en C 2 , y radio R 1;3 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las circunferencias de radio C 1 , C 3 , </li></ul><ul><li>d) Con centro en C 3 , y radio R 1;2 trazamos un arco de circunferencia hasta que cortar las circunferencias de radio C 1 , C 2 , </li></ul>
  51. 54. <ul><li>Donde los tres arcos de circunferencia se cortan, queda determinado el punto “P” </li></ul><ul><li>Pero para no tener que calcular los radios R 1;2 R 1;3 R 2;3 , se realiza un procedimiento gráfico consistente en levantar en vertical los ejes x, y, z a partir de los puntos correspondientes s los valores de las tensiones principales. Como los datos son l, m y n, podemos entonces saber el valor de los ángulos α , β y γ . </li></ul><ul><li>Trazamos por el punto C una recta que forme con el eje x un ángulo α , hasta que corte a las circunferencias de centro C 2 y C 3 y determine los puntos E y E’. </li></ul><ul><li>Con centro en la otra circunferencia C 1 y radio C 1 ; E trazamos un arco de circunferencia entre E y E’. </li></ul>
  52. 55. <ul><li>Luego repetimos el procedimiento con el ángulo γ a partir del eje z, hasta determinar los puntos F y F’. Como corta a las circunferencias de centro C 1 y C 2 con centro en la otra circunferencia C 3 y radio C 3 ; F trazamos un arco de circunferencia entre F y F’. </li></ul><ul><li>La intersección de estos dos arcos de circunferencia, ya me determina el punto “P”. </li></ul>
  53. 56. <ul><li>Si ahora nos fijamos en las circunferencias fundamentales, vemos que para cada una de ellas existe una tensión tangencial máxima relativa de valores </li></ul><ul><li>ζ ’ = ( σ 2 - σ 3 )/2; </li></ul><ul><li>ζ ’’ = ( σ 1 - σ 2 )/2; </li></ul><ul><li>ζ ’’’ = ( σ 1 - σ 3 )/2; esta es la mayor y se la llama ζ MÁX , y es independiente de σ 2 ,y ocurre en planos a 45º de los planos principales </li></ul><ul><li>ζ </li></ul>z x p’’’ p’’ p’ γ α O σ 3 σ 2 σ 1 σ
  54. 57. <ul><li>1.6 EL ESTADO DOBLE O PLANO </li></ul><ul><li>1.6.1 Definición: Es el estado para el cual al variar el plano considerado, la tensión resultante se mantiene paralela a un plano determinado, convirtiéndose la dirección principal perpendicular al plano ortogonal, en el eje del haz de planos. </li></ul><ul><li>Supongamos que ese plano sea el (x; y) </li></ul><ul><li>Se plantea el equilibrio a partir de la sumatoria de proyecciones de fuerzas </li></ul><ul><li>ρ x . 1 = σ x l + ζ xy m </li></ul><ul><li>ρ y . 1 = ζ xy l + σ y m </li></ul><ul><li>y recordando que ρ = ( ρ x 2 + ρ y 2 ) ½ </li></ul><ul><li>ζ xz = ζ zx = ζ zy = ζ yz = 0 </li></ul><ul><li>nos queda </li></ul><ul><li>σ = l ρ x + m ρ y </li></ul><ul><li>Que reemplazando con los valores de la ecuación superior nos queda </li></ul><ul><li>σ = σ x l 2 + σ y m 2 + 2 ζ xy l m </li></ul><ul><li>y ζ = ( ρ 2 - σ 2 ) ½. </li></ul><ul><li>Para el análisis gráfico del equilibrio, en vez de un tetraedro elemental como habíamos visto para el estado triple, ahora trabajamos con un prisma triangular de espesor unitario. </li></ul><ul><li>Por razones de comodidad, trabajamos con sen α en vez del cos β , ya que matemáticamente es lo mismo. </li></ul><ul><li>Entonces podemos escribir </li></ul><ul><li>σ = σ x cos 2 α + σ y sen 2 α + 2 ζ xy sen α cos α = σ x cos 2 α + σ y sen 2 α + ζ xy sen 2 α </li></ul>
  55. 58. <ul><li>Signo de las tensiones: Las normales si son de tracción son positivas y si son de compresión son negativas. Las tangenciales, consideramos positivas aquellas que produzcan un momento positivo con respecto a un punto ubicado en el interior del prisma, y negativas las contrarias. En nuestra figura, son positivas σ ; σ x ; ; σ y ; ζ xy ; ζ ; en cambio ζ yx negativas . </li></ul>
  56. 59. <ul><li>Si consideramos que ζ es la proyección de ρ sobre el plano de la sección, y como la proyección de ρ se puede reemplazar por la proyección de sus componentes, nos quedará que </li></ul><ul><li>ζ = ( ρ 2 - σ 2 ) ½. ; y además sabemos que ρ es la suma de sus componentes ρ x + ρ y . </li></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><li>ζ = ( ρ y cos α - ρ x sen α ) </li></ul><ul><li>y como </li></ul><ul><li>ρ x = σ x l + ζ xy m </li></ul><ul><li>ρ y = ζ xy l + σ y m </li></ul><ul><li>ζ = ζ xy cos 2 α - ζ xy sen 2 α + σ y sen α cos α - σ x sen α cos α </li></ul><ul><li>ζ = ζ xy cos 2 α - σ x - σ y sen 2 α </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>Obtuvimos así, las expresiones de σ y ζ que ocurren en un plano que forma un ángulo α con el plano donde actúa σ x . </li></ul>
  57. 60. 1.6.2.Tensiones y planos principales <ul><li>Se obtienen derivando la expresión de σ respecto del ángulo α , e igualando la expresión a 0. </li></ul><ul><li>d σ /d α = - 2 σ x cos α sen α + 2 σ y sen α cos α + 2 ζ xy cos 2 α = 0 </li></ul><ul><li>Con está expresión, hallamos α 1 que es el ángulo del plano que cumple con la condición de la derivada de arriba. </li></ul><ul><li>Luego de trabajar algebraicamente, llegamos a la dirección de los planos principales </li></ul><ul><li>tg 2 α 1 = 2 ζ xy / σ x - σ y </li></ul><ul><li>Al igual que en el estado triple, hay dos valores que satisfacen esta ecuación, por lo que no será solo un plano principal, sino dos que difieren en 90º, y que se denominan, planos principales. </li></ul><ul><li>También habríamos llegado al mismo par de valores de α si en la ecuación </li></ul>
  58. 61. <ul><li>ζ = ζ xy cos 2 α - σ x - σ y sen 2 α la igualáramos a 0 y despejáramos el valor de tg 2 α </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>Valor de las tensiones principales ( cuando las tangenciales son nulas) </li></ul><ul><li>ρ x = σ i l </li></ul><ul><li>ρ y = σ i m </li></ul><ul><li>Reemplazando </li></ul><ul><li>σ i l = σ x l + ζ xy m </li></ul><ul><li>σ i m = ζ xy l + σ y m </li></ul><ul><li>( σ x - σ i ) l + ζ xy m = 0 </li></ul><ul><li>ζ xy l + ( σ y - σ i ) m = 0 </li></ul><ul><li>Si el determinante tiene una solución nula, la solución pueda ser distinta de la trivial, o sea </li></ul><ul><li>( σ x - σ i ) ζ xy = 0 </li></ul><ul><li>ζ xy ( σ y - σ i ) </li></ul><ul><li>( σ x - σ i ) ( σ y - σ i ) l - ζ xy 2 = 0 </li></ul><ul><li>Ecuación de 2º grado que nos da los dos valores de las tensiones principales </li></ul><ul><li>σ 1; 2 = ( σ x + σ y ) ± [( σ x - σ y ) 2 + ζ xy 2 ] ½ . </li></ul><ul><li>2 2 </li></ul>
  59. 62. <ul><li>1.6.3 TENSIONES TANGENCIALES MÁXIMAS </li></ul><ul><li>Partimos de derivar la expresión de ζ respecto de α . </li></ul><ul><li>d ζ / d α = - 2 ζ xy sen 2 α - ( σ x - σ y ) cos 2 α </li></ul><ul><li>Nos da para un valor determinado de α 2 , </li></ul><ul><li>- 2 ζ xy sen 2 α 2 = ( σ x - σ y ) cos 2 α 2 . </li></ul><ul><li>tg 2 α 2 = σ x – σ y / 2 ζ xy </li></ul><ul><li>Al igual que en el caso de las tensiones principales, hay dos valores que satisfacen esta ecuación, por lo que no será solo un plano principal, sino dos que difieren en 90º, y en los cuale sse obtendrá el valor del esfuerzo de corte máximo. </li></ul><ul><li>Si en la expresión de </li></ul><ul><li>ζ = ζ xy cos 2 α - σ x - σ y sen 2 α </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>Reemplazamos α por α 2 , obtenemos el valor de la tensión tangencial máxima. </li></ul><ul><li>ζ MÁX = [( σ x - σ y ) 2 + ζ xy 2 ] ½ . </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>Consideraciones </li></ul><ul><li>Comparando las expresiones de α 1 y α 2 vemos que tg α 1 .tg α 2 = -1 </li></ul><ul><li>Lo que nos dice que los planos que contienen a las tensiones tangenciales máximas, están a 45º de los planos que contienen a las tensiones principales </li></ul>
  60. 63. <ul><li>6.1.4 EXPRESION DE LAS TENSIONES EN FUNCIÓN DE LAS TENSIONES PRINCIPALES </li></ul><ul><li>Es para el caso en que el par de planos cualquiera, los hacemos coincidir con los planos principales, con lo que se anulan las tensiones tangenciales, y las ecuaciones iniciales nos quedan de la siguiente forma </li></ul><ul><li>σ = σ 1 cos 2 α + σ 2 sen 2 α </li></ul><ul><li>ζ = σ 2 - σ 1 sen 2 α </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>y la expresión de las tensiones tangenciales máximas ζ MÁX = ± ( σ 1 - σ 2 )/2 </li></ul>σ X σ 1 σ m σ m σ 2 σ y ζ 1 ζ 2 α 2 α 1 π /4
  61. 64. <ul><li>6.1.5 CIRCULO DE MOHR PARA EL ESTADO PLANO. </li></ul><ul><li>Representamos los valores principales y el plano rotado 2 α </li></ul><ul><li>OT’ = σ α ; TT’ = ζ α ; ON = σ 2 ; OM = σ 1 ; </li></ul>ζ ζ MÁX ≡ R Q ( σ X ; ζ ) R 0 σ 2 C σ 1 σ y σ x ζ xy P = POLO DE MOHR 2 θ C 2 θ p σ m = ( σ x + σ y ) / 2 2 α ζ α σ α T’ T N M TRAZA DEL PLANO QUE FORMA UN ANGULO α CON EL ESTADO INICIAL α θ p DIRECCIÓN PPAL 1
  62. 65. <ul><li>Correlato de las ecuaciones de ejes girados para el estado plano </li></ul><ul><li>σ = σ x cos 2 α + σ y sen 2 α + 2 ζ xy sen 2 α </li></ul><ul><li>ζ = ζ xy cos 2 α - σ x - σ y sen 2 α </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>Pero cos 2 α = (1 + cos 2 α )/2 y sen 2 α = (1 - cos 2 α )/2 entonces podemos escribir las ecuaciones de arriba, como </li></ul><ul><li>σ = ( σ x + σ y ) / 2 + [ ( σ x - σ y ) / 2 ]cos 2 α + ζ xy sen 2 α = OT’ </li></ul><ul><li>ζ = [ ( σ x - σ y ) / 2 ] sen 2 α + ζ xy cos 2 α = TT’ </li></ul><ul><li>Sumando miembro a miembro estas últimas ecuaciones, y elevándolas al cuadrado, obtenemos </li></ul><ul><li>[ σ - ( σ x + σ y ) / 2 ] 2 + ζ 2 = [ ( σ x - σ y ) / 2 ] 2 + ζ 2 xy </li></ul><ul><li>que es la ecuación de una circunferencia en función de los valores σ x ; σ y y ζ xy , cuyo centro se encuentra sobre el eje σ a una distancia ( σ x + σ y ) / 2 = σ m y cuyo radio vale </li></ul><ul><li>[ [ ( σ x - σ y ) / 2 ] 2 + ζ 2 xy ] ½ = R = CQ </li></ul>
  63. 66. <ul><li>7.ESTADO DE DEFORMACION DEL SÓLIDO CONTINUO </li></ul><ul><li>7.1 CONCEPTOS GENERALES: Como no existen los sólidos indeformables, la distancia entre 2 puntos o la orientación de dos planos varían. </li></ul><ul><li>El cuerpo se deforma, a través de tres procesos: </li></ul><ul><li>A) corrimiento </li></ul><ul><li>B) rotación </li></ul><ul><li>C) deformación propiamente dicha </li></ul><ul><li>Las 2 primeras no nos interesan por ser de incumbencia de la física, así que solamente nos ocuparemos de la deformación. </li></ul><ul><li>7.2 DEFORMACIONES EN EL ENTORNO DE UN PUNTO </li></ul><ul><li>Se considera un punto arbitrario A, de coordenadas, X A ,Y A ,Z A , que luego de la deformación, ocupa el lugar A’ cuyas coordenadas son </li></ul><ul><li>X’ A = X A + u </li></ul><ul><li>Y’ A = Y A ,+ v </li></ul><ul><li>Z’ A = Z A , + w donde u, v y w son las funciones del corrimiento “ a ” en función de los 3 ejes x, y , z </li></ul><ul><li>u = u (x, y, z) </li></ul><ul><li>v = v (x, y, z) </li></ul><ul><li>w = w (x, y, z) </li></ul><ul><li>Para hallar relaciones matemáticas que nos vinculen las deformaciones, se considera un segundo punto B, infinitamente próximo a A, y a una distancia ds, cuyos componentes serán dx, dy, dz </li></ul><ul><li>X B = X A + dx </li></ul><ul><li>Y B = Y A + dy </li></ul><ul><li>Z B = Z A + dz </li></ul>
  64. 68. <ul><li>A su vez el punto B tendrá su corrimiento a partir de las funciones </li></ul><ul><li>u* = u + du = u (x + dx; y + dy; z +dz) </li></ul><ul><li>v* = v + dv = v (x + dx; y + dy; z +dz) </li></ul><ul><li>w* = w + dw = w (x + dx; y + dy; z +dz) </li></ul><ul><li>Si suponemos que estas funciones son continuas y derivables, podemos desarrollarlas en serie de Taylor, limitando el desarrollo a los términos de primer orden. </li></ul><ul><li>Luego del desarrollo matemático, llegamos a las siguientes conclusiones para todo entorno infinitésimo al punto A </li></ul><ul><li>a) un plano se transforma en otro plano </li></ul><ul><li>b) la intersección de 2 planos forma una recta, por lo que toda recta se transformará en otra recta. </li></ul><ul><li>c) dos planos paralelos, o dos rectas paralelas, lo seguirán siendo despues de la deformación </li></ul><ul><li>7.3. DEFOMRACIONES LINEALES ESPECIFICAS Y DISTORSIONES </li></ul><ul><li>Como consecuencia de las tensiones que lo solicitan, un cubo de lados dx, dy , dz , se desplaza y se deforma, es decir varían las longitudes de sus aristas y el ángulo relativo entre ellas </li></ul><ul><li>ε = Deformación específica unitaria ( cambios de longitud) </li></ul><ul><li>γ = Distorsión angular ( variación de ángulos) </li></ul><ul><li>Se parte del análisis de las variaciones de una cara del cubo, y se extrapolan los resultados a todo el cubo. </li></ul>
  65. 69. <ul><li>Partimos de la proyección del cubo sobre el plano xy, haciendo coincidir el vértice A con el origen de coordenadas. </li></ul><ul><li>Debido a que el cubo se encuentra sometido a tensiones normales y tangenciales, las aristas varían de longitud y se modifican los valores entre los ángulos originalmente rectos </li></ul><ul><li>Para facilitar el estudio, se estudia la proyección del cubo en cada una de las caras. </li></ul>
  66. 70. <ul><li>. </li></ul>
  67. 71. <ul><li>VECTORES CORRIMIENTO </li></ul><ul><li>AA’, BB’, CC’ Y DD’ </li></ul><ul><li>Proyectamos esos vectores sobre los ejes coordenados, recordando que las funciones que definen los corrimientos son continuas y derivables. </li></ul><ul><li>AA’ -> ( u ; v) </li></ul><ul><li>BB’ -> u* = u + (∂u / ∂x) dx </li></ul><ul><li>v* = v + (∂v / ∂x) dx </li></ul><ul><li>DD’ -> u** = u + (∂u / ∂y) dy </li></ul><ul><li>v** = v + (∂v / ∂y) dy </li></ul><ul><li>Por definición, las deformaciones específicas son iguales a la relación entre el incremento de la longitud y la longitud inicial </li></ul><ul><li>Para la dirección x: </li></ul><ul><li>ε X = u + (∂u / ∂x) dx - u = ∂u / ∂x entonces ε y = ∂v / ∂y y ε Z = ∂w / ∂z </li></ul><ul><li>dx </li></ul><ul><li>Respecto de las distorsiones, se sub indican por dos índices, respecto del plano en el cual actúan. </li></ul><ul><li>γ XY = B’Ô’ B’’ +D’ Ô’ D’’ y como son ángulos infinitesimales </li></ul><ul><li>tg B’Ô’ B’’ = v + (∂v / ∂x) dx - v = ∂v / ∂x </li></ul><ul><li>dx </li></ul><ul><li>tg D’Ô’ D’’ = u + (∂u / ∂y) dy - u = ∂u / ∂y </li></ul><ul><li>dy </li></ul>
  68. 72. <ul><li>luego tg B’Ô B’’ ≈ B’Ô B’’ = α 1 = ∂v / ∂x </li></ul><ul><li>tg D’Ô D’’ ≈ D’Ô D’’ = α 2 = ∂u / ∂y </li></ul><ul><li>Entonces la distorsión total será </li></ul><ul><li>γ XY = α 1 + α 2 = ∂v / ∂x + ∂u / ∂y y por anlogía </li></ul><ul><li>γ XZ = = ∂w / ∂x + ∂u / ∂z </li></ul><ul><li>γ ZY = = ∂v / ∂z + ∂w / ∂y </li></ul><ul><li>DEFINICIÓN: las distorsiones se definen como la suma de las derivadas parciales cruzadas del corrimiento correspondiente a un eje con respecto al otro. </li></ul><ul><li>Otra forma de analizar este punto, es considerar que: </li></ul><ul><li>α 1 = γ XY / 2 + θ Z y α 2 = γ XY / 2 - θ Z </li></ul><ul><li>Esto es que los lados del cuadrado elemental giran en sentidos opuestos γ XY /2 , o que todo el cuadrado gira en un sentido θ Z </li></ul>= + α 2 γ XY / 2 θ Z α 1 γ XY /2 θ Z
  69. 73. <ul><li>Luego </li></ul><ul><li>α 1 - θ Z = α 2 + θ Z sumando m. a m. </li></ul><ul><li>θ Z = ( α 1 - α 2 )/2 pero ya habíamos visto que </li></ul><ul><li>α 1 = ∂v / ∂x </li></ul><ul><li>α 2 = ∂u / ∂y </li></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><li>θ Z = ½ (∂v / ∂x - ∂u / ∂y) y por extrapolación </li></ul><ul><li>θ y = ½ (∂u / ∂z - ∂w / ∂x) </li></ul><ul><li>θ x = ½ (∂w / ∂y - ∂v / ∂z) </li></ul><ul><li>Si ahora remplazamos los valores de ε X ; ε y ; ε z y de θ Z ; θ Y ; θ x en la ecuación del desarrollo en serie de Taylor enunciada precedentemente, llegamos a </li></ul><ul><li>du = (∂u / ∂x) dx + ( ∂u / ∂y) dy + ( ∂u / ∂z) dz </li></ul><ul><li>dv = (∂v / ∂x) dx + ( ∂v / ∂y) dy + ( ∂v / ∂z) dz </li></ul><ul><li>dw = (∂w / ∂x) dx + ( ∂w / ∂y) dy + ( ∂w / ∂z) dz </li></ul><ul><li>Que nos da la expresión del corrimiento en función de los ejes coordenados y expresado como tensor nos da el TENSOR DEFORMACIÒN. </li></ul><ul><li>(∂u / ∂x) ( ∂u / ∂y) ( ∂u / ∂z) </li></ul><ul><li>T = (∂v / ∂x) ( ∂v / ∂y) ( ∂v / ∂z) </li></ul><ul><li>(∂w / ∂x) ( ∂w / ∂y) ( ∂w / ∂z) </li></ul>
  70. 74. <ul><li>Este Tensor deformación, se descompone en un tensor deformación propiamente dicho y en un tensor rotación, el cual no es de interés para nuestro curso </li></ul><ul><li>ε X γ XY /2 γ X z /2 0 - θ Z θ y </li></ul><ul><li>Tdef γ XY /2 ε y γ zY /2 + T rot θ z 0 - θ x </li></ul><ul><li>γ XY /2 γ XY /2 ε z - θ Y θx 0 </li></ul><ul><li>Existirán al menos 3 direcciones en las cuales las distorsiones angulares son nulas, </li></ul><ul><li>γ XY = γ ZY = γ XZ = 0 y que nos definen las direcciones principales, donde actúan </li></ul><ul><li>ε 1 ≥ ε 2 ≥ ε 3 . </li></ul><ul><li>en forma perpendicular a los planos principales. </li></ul><ul><li>Se las denomina deformaciones principalesy el tensor queda de la siguiente manera </li></ul><ul><li>ε 1 0 0 </li></ul><ul><li>Tdef 0 ε 2 0 </li></ul><ul><li>0 0 ε 3 </li></ul>
  71. 75. <ul><li>ESTADO DE DEFORMACIÓN EN EL ENTORNO DE UN PUNTO </li></ul><ul><li>Partimos del análisis de un estado plano, lo cual implica que una deformación principal es nula, o sea un prisma elemental de espesor unitario y lados dx, dy y diagonal ds que forma un ángulo α </li></ul>α y x N’ N O εy dy dy (1+ ε y )dy N’’ P’ γ XY ds γ XY P M M’ M’’ dx ε x dx (1+ ε y ) γ xy dy ( 1 + ε x ) dx ds’
  72. 76. <ul><li>Los datos conocidos, son las deformaciones ε x ; ε y y las distorsiones γ xy ,y nos interesa hallar ε α , en la dirección de α . </li></ul><ul><li>(OP’) 2 = ( P’M’’) 2 + (OM’’) 2 pero </li></ul><ul><li>(OP’) 2 = (ds + ε α ds) 2 = ( 1 + 2 ε α )ds 2 . </li></ul><ul><li>despreciando los infinitésimos de orden superior </li></ul><ul><li>Análogamente </li></ul><ul><li>P’M’’ = ( 1 + ε y ) 2 dy 2 = ( 1 +2 ε y ) dy 2 </li></ul><ul><li>OM’’ = ( 1 + ε x ) 2 dx 2 + 2 ( 1 + ε x ) ( 1 + ε y ) γ xy dx dy + ( 1 + ε y ) 2 γ 2 xy dy 2 </li></ul><ul><li>Y también </li></ul><ul><li>OM’’ = ( 1 +2 ε x ) 2 dx 2 + 2 γ xy dx dy </li></ul><ul><li>Pero: </li></ul><ul><li>dx = ds cos α </li></ul><ul><li>dy = ds sen α </li></ul>
  73. 77. <ul><li>Haciendo los reemplazos correspondientes </li></ul><ul><li>ε α = ε x cos 2 α + ε y sen 2 α + γ xy sen α cos α </li></ul><ul><li>O lo que es lo mismo </li></ul><ul><li>ε α = ε x cos 2 α + ε y sen 2 α + ½ γ xy sen 2 α </li></ul><ul><li>Expresión de la deformación específica unitaria en función de conocer los valores de las deformaciones específicas unitarias y las distorsiones angulares en cada una de las caras. </li></ul><ul><li>Variación de la distorsión angular γ α : </li></ul><ul><li>Se trabaja con una distorsión pura, de valor </li></ul><ul><li>γ α ’ = γ xy cos2 α </li></ul><ul><li>Que se superpone a uno de deformación lineal pura, de valor </li></ul>
  74. 78. <ul><li>γ α ’’ = - ( ε x - ε y ) sen 2 α </li></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><li>γ α = γ α ’ + γ α ’’ = γ xy cos2 α - ( ε x - ε y ) sen 2 α </li></ul><ul><li>γ α = ( ε y - ε x ) sen 2 α + ( γ xy ) cos 2 α </li></ul><ul><li>Distorsión angular en un plano cualquiera </li></ul><ul><li>Deformaciones específicas y distorsiones máximas y mínimas </li></ul><ul><li>Se derivan las expresiones halladas respecto de α y se igualan a 0 </li></ul><ul><li>ε α = ε x cos 2 α + ε y sen 2 α + ½ γ xy sen 2 α </li></ul><ul><li>nos queda </li></ul><ul><li>tg 2 α 1 = γ xy / ( ε x - ε y ) </li></ul><ul><li>para </li></ul><ul><li>α 1 = ángulo entre las direcciones conocidas y las direcciones principales </li></ul>
  75. 79. <ul><li>Reemplazando y sustituyendo obtenemos </li></ul><ul><li>ε 1;2 = ( ε x + ε y )/2 ± √ [ ( ε x - ε y )/2 ] 2 + γ xy 2 </li></ul><ul><li>Ahora derivamos respecto de α e igualamos a 0 la otra expresión </li></ul><ul><li>γ α = ( ε y - ε x ) sen 2 α + ( γ xy ) cos 2 α </li></ul><ul><li>Y hallamos </li></ul><ul><li>tg 2 α 2 = ( ε y - ε x ) / γ xy </li></ul><ul><li>que nos conduce a </li></ul><ul><li>γ MÁX = ± √ [ ( ε x - ε y )/2 ] 2 + γ xy 2 </li></ul>
  76. 80. Circunferencia de deformaciones <ul><li>Se plantea igual que para el estado plano de tensiones, dada la similitud de las expresiones. </li></ul><ul><li>La única diferencia está en que en la circunferencia de deformaciones representamos en ordenadas, en vez de llevar los valores de ζ xy se grafica </li></ul><ul><li>γ xy / 2. </li></ul><ul><li>Respecto de los signos en el círculo de Mohr, se tomará como convención que las deformaciones específicas unitarias si aumentan la longitud del elemento son positivas y si lo acortan, son negativas. </li></ul><ul><li>En cuanto a las distorsiones angulares, supondremos positivas las distorsiones que correspondan a una disminución del valor del ángulo de 90° que formen las dos caras orientadas según loe ejes x e y. </li></ul>
  77. 81. RELACION ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES <ul><li>Se parte del análisis de los dos tensores vistos en los capítulos anteriores, El tensor de tensiones y el tensor de deformaciones, orientados en las direcciones principales </li></ul><ul><li>σ 1 0 0 </li></ul><ul><li>T 0 σ 2 0 </li></ul><ul><li>0 0 σ 3 </li></ul><ul><li>ε 1 0 0 </li></ul><ul><li>Tdef 0 ε 2 0 </li></ul><ul><li>0 0 ε 3 </li></ul>
  78. 82. <ul><li>Las funciones que definen las coordenadas del tensor deformación, dependen del valor de las funciones expresadas por el tensor de tensiones </li></ul><ul><li>T def = F ( T ) </li></ul><ul><li>Para F una función que vincula ambos estados a partir de </li></ul><ul><li>ε 1 = F 1 ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) </li></ul><ul><li>ε 2 = F 2 ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) </li></ul><ul><li>ε 3 = F 3 ( σ 1 , σ 2 , σ 3 ) </li></ul><ul><li>F 1 , F 2 , y F 3 , representan las funciones para cada tipo de material e independientes de las direcciones de las tensiones principales. </li></ul><ul><li>Se resuelven estas funciones con hipótesis simplificativas verificadas experimentalmente </li></ul>
  79. 83. Ley de HOOKE <ul><li>Es la ecuación básica de la Resistencia de Materiales </li></ul><ul><li>ε = α . σ </li></ul><ul><li>α = coeficiente de proporcionalidad </li></ul><ul><li>El coeficiente α corresponde a un valor de deformación específica unitaria, ε que se corresponde a un valor de tensión normal σ unitaria. </li></ul><ul><li>Su valor depende de las características del material que se trabaje. </li></ul><ul><li>Por ser muy pequeño su valor, se trabaja con la inversa α = 1 / E </li></ul><ul><li>ε = σ E = Módulo de Young o </li></ul><ul><li>E Módulo de elasticidad longitudinal </li></ul>
  80. 84. <ul><li>Es la primera constante elástica y la más importante </li></ul><ul><li>Para el caso de distorsiones puras, la ley de Hooke se transforma en </li></ul><ul><li>γ = ζ G = Módulo de elasticidad transversal ( 2° constante elástica) </li></ul><ul><li>G </li></ul><ul><li>La 3° constante elástica es μ coeficiente de Poisson, que relaciona las deformaciones específicas unitarias longitudinales con las transversales. </li></ul><ul><li>“ Toda deformación específica en una dirección, produce otra de signo contrario, en planos normales, cualquiera sea el estado de tensión”. </li></ul><ul><li>ε t </li></ul><ul><li>= μ </li></ul><ul><li>ε l </li></ul>
  81. 85. <ul><li>La 4° constante elástica, es la Deformación Volumétrica </li></ul><ul><li>Un cubo de aristas de longitud unitaria, se deforma en forma positiva en las tres direcciones, o sea que </li></ul><ul><li>ε = Δ L = ε x ; ε y ; ε z </li></ul><ul><li>L </li></ul>z ε z 1 1 ε x x 0 1 ε y y
  82. 86. <ul><li>V o = 1 </li></ul><ul><li>V f = ( 1 + ε x ) ( 1 + ε y ) ( 1 + ε z ) </li></ul><ul><li>ΔV = V f - V o = ( 1 + ε x ) ( 1 + ε y ) ( 1 + ε z ) - 1 </li></ul><ul><li>ΔV = 1 + ε x + ε y + ε z + ε x ε y + ε z ε x + ε y ε z + ε x ε y ε z – 1 </li></ul><ul><li>Despreciando infinitésimos de orden superior </li></ul><ul><li>ΔV = ε x + ε y + ε z </li></ul><ul><li>Haciendo ΔV / V </li></ul><ul><li>ε V = ε x + ε y + ε z = ε 1 + ε 2 + ε 3 </li></ul><ul><li>Por comparación con las ecuaciones de los invariantes de tensión </li></ul><ul><li>Las cuatro constantes elásticas dependen exclusivamente del material que se trate, y se relacionan entre si, no son independientes unas de otras, </li></ul>
  83. 87. <ul><li>LEY DE HOOKE GENERALIZADA </li></ul><ul><li>Partimos del cubo elemental de aristas unitarias </li></ul><ul><li>Producto de las tensiones experimentará </li></ul><ul><li>alargamientos específicos unitarios </li></ul><ul><li>ε x ε y ε z . </li></ul><ul><li>Por acción del coeficiente de </li></ul><ul><li>Poisson, las deformaciones </li></ul><ul><li>en x no se deben solo a las </li></ul><ul><li>tensiones σ x ; sino también a </li></ul><ul><li>las σ y y σ z </li></ul>z σ z σ x x σ y y
  84. 88. <ul><li>ε x = σ x - μ ( σ y + σ z ) </li></ul><ul><li>E E </li></ul><ul><li>ε Y = σ Y - μ ( σ X + σ z ) </li></ul><ul><li>E E </li></ul><ul><li>ε Z = σ Z - μ ( σ y + σ Y ) </li></ul><ul><li>E E </li></ul><ul><li>O sacando factor común 1/ E </li></ul><ul><li>ε x = 1 [ σ x - μ ( σ y + σ z )] </li></ul><ul><li>E </li></ul><ul><li>ε Y = 1 [ σ Y - μ ( σ X + σ z )] </li></ul><ul><li>E </li></ul><ul><li>ε Z = 1 [ σ Z - μ ( σ y + σ Y )] </li></ul><ul><li>E </li></ul>
  85. 89. RELACIÓN ENTRE ε G μ <ul><li>Se analiza en un estado plano </li></ul>+ y σ y C’ ζ C ε y ζ σ x - x σ x B ε X B’ A’ ε X A + X o ζ D ζ ε y D’ -y σ y
  86. 90. <ul><li>Ampliando </li></ul>+ y C’ ε y C B ε X B’ A’ ε X A -x o + x ζ D ε y D’ -y π /4 - γ / 2 <ul><li>γ /2 </li></ul>
  87. 91. <ul><li>Estado inicial: σ x = - σ y </li></ul><ul><li>Las semi diagonales OA = OB = OC = OD = 1 </li></ul><ul><li>y las caras a 45° de los ejes x e y </li></ul><ul><li>Sobre ellas actúan tensiones ζ = σ x = σ y </li></ul><ul><li>Luego de la deformación, el prisma pasa a A’ B’ C’ D’ </li></ul><ul><li>Los corrimientos serán: </li></ul><ul><li>AA’ = BB’ = ε x </li></ul><ul><li>CC’ = DD’ = ε y </li></ul><ul><li>Las distorsiones vendrán dadas por </li></ul><ul><li>A’C’O = ( π / 4 ) – ( γ / 2 ) </li></ul><ul><li>Pero tg [ ( π / 4 ) – ( γ / 2 )] = 1 + ε x </li></ul><ul><li>1 + ε y </li></ul>
  88. 92. <ul><li>Luego </li></ul><ul><li>tg ( π / 4 ) – tg( γ / 2 ) = 1 + ε x </li></ul><ul><li>1 + tg ( π / 4 ) tg( γ / 2 ) 1 + ε y </li></ul><ul><li>Pero tg ( π / 4 ) = 1 y tg( γ / 2 ) ~ ( γ / 2 ) </li></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><li>1 - ( γ / 2 ) = 1 + ε x </li></ul><ul><li>1 + ( γ / 2 ) 1 + ε y </li></ul><ul><li>y teniendo en cuenta de las ecuaciones generales </li></ul><ul><li>ε x = 1 [ σ x - μ σ y ] </li></ul><ul><li>E </li></ul><ul><li>ε Y = 1 [ σ Y - μ σ X ] </li></ul><ul><li>E </li></ul><ul><li>y como σ x = - σ y </li></ul><ul><li>Podemos escribir </li></ul>
  89. 93. <ul><li>ε x = σ x [ 1 + μ ] </li></ul><ul><li>E </li></ul><ul><li>ε Y = σ y [ 1 + μ ] </li></ul><ul><li>E </li></ul><ul><li>Como se planteó σ x < 0 y σ y > 0 tendremos ε x < 0 y ε y > 0 </li></ul><ul><li>Volviendo al desarrollo y analizando en </li></ul><ul><li>1 - ( γ / 2 ) = 1 + ( - ε x ) -> γ / 2 = ε x </li></ul><ul><li>1 + ( γ / 2 ) 1 + ε y </li></ul><ul><li>Obtenemos </li></ul><ul><li>ε x = σ x [ 1 + μ ] = γ / 2 y reemplazando en </li></ul><ul><li>E </li></ul><ul><li>ζ = σ x = σ y </li></ul><ul><li>ζ = ζ [ 1 + μ ] </li></ul><ul><li>2 G E </li></ul><ul><li>finalmente </li></ul>
  90. 94. <ul><li>E </li></ul><ul><li>G = </li></ul><ul><li>2 ( 1 + μ ) </li></ul>
  91. 95. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES <ul><li>Objetivo: </li></ul><ul><li>Desarrollar ensayos que nos permitan determinar el comportamiento del material, a la vez que hallar los valores de las constantes elásticas. </li></ul><ul><li>Se somete el material a un estado de tensión simple, válido para todos sus puntos. </li></ul><ul><li>ENSAYO DE TRACCIÓN SIMPLE: </li></ul><ul><li>Probeta circular de acero, de medidas normalizadas </li></ul><ul><li>Se mide la tracción que se ejerce </li></ul><ul><li>Se verifica el alargamiento producido </li></ul><ul><li>Se gráfica el ensayo de tensión deformación </li></ul><ul><li>Se determina E </li></ul><ul><li>TIPOS DE MATERIALES: </li></ul><ul><li>Dúctiles , Frágiles, Plásticos </li></ul>
  92. 96. <ul><li>Material Dúctil </li></ul><ul><li>Se distinguen 3 zonas: </li></ul><ul><li>a) Elástica : Zona recta donde se verifica la validez de la ley de Hooke, y que sirve para su determinación. tg α = σ / ε = E hasta el valor σ P </li></ul><ul><li>Termina en un valor de elasticidad, σ E donde a pesar de no verificarse la linealidad entre tensiones y deformaciones, se observa que al descargar el material, el mismo vuelve a su estado inicial, no existiendo deformaciones residuales. Es en general nuestra área de trabajo. </li></ul><ul><li>b) Fluencia: Se caracteriza por un aumento de deformaciones en ausencia de un incremento de tensiones, y oscila entre un valor máximo / mínimo denominados σ fl </li></ul><ul><li>superior e inferior </li></ul><ul><li>La velocidad de la aplicación de la carga, el tipo de cabeza de la probeta y las variaciones de sección por error en el maquinado, las condiciones superficiales, la existencia de rayaduras y picaduras, influyen sobre estos valores. </li></ul><ul><li>c) Plástico : Zona de grandes deformaciones, hasta alcanzar la rotura mecánica σ R primero y la física después. </li></ul><ul><li>Al alcanzarse el valor, σ R se produce la estricción del material, se reduce la sección del material ante el aumento de carga, aumentando entonces las tensiones </li></ul>
  93. 97. <ul><li>Endurecimiento mecánico: Al descargar el material una vez superado el límite de fluencia, el material queda deformado, y al volver a cargarlo, desaparece el período de fluencia y se incrementa el valor de σ p ( de 2200 a 4000 kg/cm 2 ). </li></ul><ul><li>El material se endurece y se transforma en un material frágil sin período de fluencia. </li></ul><ul><li>Cuando descargamos el material, la deformación acumulada se reduce ante el retiro de la carga y al volver a cargarlo recorre la misma recta ya que el material es el mismo. </li></ul><ul><li>En la práctica existen 2 procesos mediante le cual se consigue el endurecimiento mecánico: </li></ul><ul><li>a) Laminación en frío, aplicable a planchuelas, flejes o perfiles </li></ul><ul><li>b) Trafilado : para el endurecimiento de alambres y barras circulares </li></ul><ul><li>Estos materiales, así como los aceros duros o de alto contenido de carbono se caracterizan por </li></ul><ul><li>Limite de proporcionalidad y de elasticidad más elevados que para los aceros duros </li></ul><ul><li>No poseen límite de fluencia </li></ul><ul><li>La deformación de rotura, se reduce considerablemente. </li></ul>
  94. 98. <ul><li>4800 kg / cm 2 </li></ul><ul><li>σ R </li></ul><ul><li>σ P 4000 kg / cm 2 </li></ul><ul><li>12 a 15 % </li></ul><ul><li>Límites aparentes de fluencia </li></ul><ul><li>Existen dos métodos basados ambos en deformaciones </li></ul><ul><li>Limite Johnson: </li></ul><ul><li>Se define como el valor de la tensión normal σ para el cual en el punto correspondiente del diagrama , la pendiente de la tangente a la curva es un 50 % menor que la tangente al origen </li></ul>
  95. 99. <ul><li>Límite 0,2 %: Se utiliza para determinar el límite de fluencia consistente en establecer el valor de la tensión para la cual la deformación específica permanente o residual que queda al descargar el material, tiene un valor determinado, que para los aceros se acepta universalmente en 0,2 %. </li></ul>
  96. 100. CARACTERÍSTICAS MECÁNICAS DE LOS MATERIALES <ul><li>Rigidez: capacidad de los materiales para oponerse a las deformaciones. </li></ul><ul><li>Se lo mide a partir del valor de su módulo de elasticidad. A mayor E menor deformable es el material </li></ul><ul><li>Ductibilidad: Capacidad del material de deformarse en el período plástico. A mayor capacidad de deformarse antes de romperse, más dúctil es el material. </li></ul><ul><li>Resiliencia: Capacidad de un material para restituir la energía almacenada durante la deformación elástica. Se mide en unidades de energía por unidad de volumen. </li></ul><ul><li>Gráficamente queda representada por el área del triangulo encerrado por la recta de la ley de Hooke y el eje de abscisas. </li></ul><ul><li>u = σ 2 e / 2 E </li></ul>
  97. 101. <ul><li>Tenacidad: Capacidad de un material de almacenar energía en el período anelástico, hasta alcanzar la rotura. </li></ul><ul><li>Su valor viene dado por el total del área encerrada por el diagrama tensión deformación y el eje de abscisas hasta la deformación de rotura. </li></ul><ul><li>Dureza: Capacidad de un material para resistir acciones mecánicas del tipo abrasión, punzonado, incisión y corte. Se la determina experimentalmente a partir del ensayo de dureza de Brinell o el de Rockwell. </li></ul><ul><li>Ejemplos: </li></ul><ul><li>Las máquinas herramientas necesitan ser duras para evitar el desgaste prematuro, y rígidas, para evitar fallas de precisión en el maquinado </li></ul><ul><li>La ductibilidad es necesaria para piezas sujetas a aumentos bruscos de tensión, piezas sujetas a tensiones secundarias no previstas o a piezas que presentan concentración de tensiones. }el material al estar en condiciones de deformarse ante la aparición de estas tensiones, evita la falla. </li></ul><ul><li>La resiliencia es útil para aquellas partes mecánicas sujetas a cargas de impacto o dinámicas. Resortes, Pistones, Bielas etc. </li></ul><ul><li>La tenacidad de un material es un índice de si una carga dinámica puede ser absorvida con seguridad, Se analiza en la fabricación de rieles, engranajes, ejes etc </li></ul>
  98. 102. COEFEICIENTE DE SEGURIDAD <ul><li>Dimensionar una estructura, es darle medidas a la sección transversal de modo tal que las tensiones de cualquier índole no superen los valores máximos admisibles. </li></ul><ul><li>Estos valores admisibles nos garantizan que las tensiones y las deformaciones quedaran acotadas por debajo de ciertos valores límites. </li></ul><ul><li>Para materiales dúctiles, el límite de tensiones es el valor de fluencia o el de elasticidad, en función de la importancia del proyecto. </li></ul><ul><li>La utilización del coeficiente de seguridad , se da en base a los siguientes ítems: </li></ul><ul><li>Materiales no absolutamente homogéneos </li></ul><ul><li>Desconocimiento exacto de las propiedades mecánicas </li></ul><ul><li>Exactitud en el cálculo de las cargas </li></ul><ul><li>Procedimientos de cálculo con aproximaciones e idealizaciones </li></ul><ul><li>Factores que afectan el coeficiente de seguridad: </li></ul><ul><li>Se basan en la ignorancia y en la incertidumbre </li></ul><ul><li>Ignorancia: de nuestro conocimiento, de los procedimientos de cálculo, hipótesis supuestas de reacción de las estructuras frente a un estado de cargas determinado, errores de cálculo </li></ul>
  99. 103. <ul><li>Incertidumbre: se refiere a las variables imposibles de establecer con exactitud tales como la evaluación de las cargas actuantes, el conocimiento exacto de la calidad de los materiales, las suposiciones planteadas. </li></ul><ul><li>El avance de ciencia de los materiales, y los modelos asistidos por computadora, han logrado realizar obras con mayor esbeltez y sin embargo con igual factor de seguridad. </li></ul><ul><li>En los materiales dúctiles en régimen elástico </li></ul><ul><li>ν = σ fl / σ ADM </li></ul><ul><li>Otro aspecto a tener en cuenta en un proyecto, es el destino y la permanencia de la obra, y los defectos propios en la ejecución de la obra. </li></ul>
  100. 104. DIMENSIONAMIENTO DE ELEMENTOS ESTRUCTURALES <ul><li>Los esfuerzos característicos son cuatro </li></ul><ul><li>ESFUERZO NORMAL O AXIL </li></ul><ul><li>MOMENTO TORSOR </li></ul><ul><li>MOMENTO FLEXOR </li></ul><ul><li>ESFUERZO DE CORTE </li></ul><ul><li>Todos surgen solos o combinados de considerar la reducción al baricentro de la mitad derecha de las fuerzas actuantes, representadas por una combinación de fuerza y/ o momento </li></ul>
  101. 105. <ul><li>1 </li></ul><ul><li>Mf 2 </li></ul><ul><li>Q </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>1 </li></ul><ul><li>EL EQUILIBRIO INTERNO EN UN SÓLIDO DE ALMA LLENA: </li></ul><ul><li>Se refiere al equilibrio entre las acciones exteriores o de masa y las reacciones en el interior del sólido </li></ul><ul><li>N Mt </li></ul>
  102. 106. <ul><li>ζ xz </li></ul><ul><li>dF </li></ul><ul><li>σ x </li></ul><ul><li>ζ x y </li></ul><ul><li>G </li></ul><ul><li>x </li></ul><ul><li>z </li></ul><ul><li>y </li></ul><ul><li>Q </li></ul><ul><li>N </li></ul>Mf Mt
  103. 107. <ul><li>Se plantea el equilibrio de fuerzas </li></ul><ul><li>En el eje x = dN = σ dF </li></ul><ul><li>En el eje y = dQy = ζ xy dF </li></ul><ul><li>En el eje z = dQz = ζ xz dF </li></ul><ul><li>O sea para todo el area </li></ul><ul><li>N = ʃ F σ dF </li></ul><ul><li>Qy = ʃ F ζ xy dF </li></ul><ul><li>Qz = ʃ F ζ xz dF </li></ul><ul><li>y de momentos </li></ul><ul><li>Mt = Mx = ʃ F ( ζ xy . z + ζ xz . y ) dF </li></ul><ul><li>My = ʃ F σ . z dF </li></ul><ul><li>Mz = ʃ F σ . y dF </li></ul>
  104. 108. ESTADOS DE TENSIÓN <ul><li>Defina las 4 características del sólido ideal </li></ul><ul><li>¿Qué diferencia hay entre fuerzas de superficie y de masa? ejemplifique </li></ul><ul><li>Defina el concepto de tensión en un punto </li></ul><ul><li>¿A qué se denomina régimen de tensión en un punto? </li></ul><ul><li>¿Qué son las tensiones normales y tangenciales? Como se las sub indica y cual es la convención de signos para cada una de ellas. </li></ul><ul><li>Defina el teorema de Cauchy y demuéstrelo a partir del equilibrio del cubo elemental sujeto a tensiones </li></ul><ul><li>Estado triple de tensiones: planteo del equilibrio del tetraedro elemental, determinar las expresiones de ρ , σ y ζ . </li></ul><ul><li>Tensiones y planos principales. Planteo de la ecuación característica para el estado triple de tensiones. </li></ul><ul><li>Determinación de las tensiones y direcciones principales </li></ul><ul><li>Tensiones tangenciales máximas para el estado triple </li></ul><ul><li>Defina y plantee, el concepto de invariantes de tensión </li></ul><ul><li>Círculo de Mohr para el estado triple: justificación, construcción y resolución </li></ul>
  105. 109. ESTADOS DE DEFORMACIÓN <ul><li>13) Defina el concepto de deformación específica unitaria y de distorsión angular </li></ul><ul><li>14) Deformaciones específicas y distorsiones máximas y mínimas </li></ul><ul><li>15) Planteo y resolución de la circunferencia de deformaciones </li></ul><ul><li>RELACIONES ENTRE TENSIONES Y DEFORMACIONES </li></ul><ul><li>Defina la ley de Hooke, justifique su validez y plantee el valor y significado de las 4 constantes elásticas. </li></ul><ul><li>Ley de Hooke Generalizada: enunciado y justificación </li></ul><ul><li>Relación entre E, G y μ : Demostración analítica </li></ul>
  106. 110. PROPIEDADES MECÁNICAS DE LOS MATERIALES <ul><li>19) Diagrama tensión deformación: Gráfico, explicación, tipos de materiales y sus gráficos, límite Johnson, límite 0,2 </li></ul><ul><li>20) Características mecánicas de los materiales : Enunciado, gráficos, ejemplos. Coeficiente de seguridad: definición, factores que lo afectan </li></ul><ul><li>21) Planteo de las ecuaciones de equilibrio, para un sólido de alma llena. </li></ul>
  107. 111. SOLICITACIÓN AXIL TRACCIÓN Y COMPRESIÓN SIMPLE <ul><li>DEFINICIÓN: Cuando al reducir al baricentro de la sección de todas las fuerzas actuantes a un lado, obtenemos únicamente una fuerza normal al plano de la sección. Esta situación se repite para todas las secciones del sólido. </li></ul>P N≡P P S
  108. 112. <ul><li>PLANTEANDO LAS ECUACIONES DE EQUILIBRIO, OBTENEMOS </li></ul><ul><li>N = ʃ F σ dF </li></ul><ul><li>0 = ʃ F ζ xy dF </li></ul><ul><li>0 = ʃ F ζ xz dF </li></ul><ul><li>0 = ʃ F ( ζ xy . z + ζ xz . y ) dF </li></ul><ul><li>0 = ʃ F σ . z dF </li></ul><ul><li>6) 0 = ʃ F σ . y dF </li></ul>
  109. 113. <ul><li>HIPÓTESIS: </li></ul><ul><li>a) Ley de Hooke </li></ul><ul><li>Principio de Saint Venant: </li></ul><ul><li>Si se reemplazan las fuerzas que actúan sobre una zona reducida de la superficie de un sólido elástico por otro sistema estáticamente equivalente actuando en la misma zona, este cambio origina una modificación sustancial en el estado de tensión local, pero no influye en el estado de tensión en secciones ubicadas a una distancia que, en comparación con las dimensiones lineales de la zona de carga, sea grande.” </li></ul><ul><li>En la zona extrema solo hay tensiones en el baricentro, resultando los demás puntos libres de tensiones. A medida que nos alejamos, la distribución de tensiones se va modificando hasta una distancia equivalente a la máxima dimensión lineal del área extrema. </li></ul>
  110. 114. <ul><li>A partir de esa distancia, admitiremos que la distribución de tensiones no varía y por lo tanto se acepta que las secciones normales se mantienen planas y paralelas a si mismas luego de la deformación. </li></ul><ul><li>Luego: si las secciones se mantienen planas y paralelas existen dos posibilidades </li></ul><ul><li>Que las distorsiones angulares son nulas </li></ul><ul><li>γ = 0 implica que ζ es 0 </li></ul><ul><li>Con lo cual se anularían las ecuaciones 2) 3) y 4) </li></ul><ul><li>b) Que las distorsiones angulares son constantes y del mismo signo </li></ul><ul><li>γ = cte implica que ζ es cte </li></ul><ul><li>Ello implicaría que </li></ul><ul><li>0 = ζ xy ʃ F dF </li></ul><ul><li>0 = ζ xz ʃ F dF </li></ul><ul><li>Como ζ xy es constante y no puede ser 0, implica que </li></ul><ul><li>0 = ʃ F dF o sea área = 0 lo cual es una incongruencia </li></ul>
  111. 115. <ul><li>Por lo tanto se define que las ζ xz = ζ xy = 0 ya que la sección no puede ser nula. </li></ul><ul><li>Nos falta demostrar la nulidad de las ecuaciones 5) y 6) </li></ul><ul><li>Producto de la deformación la longitud L se incrementa un Δ L. </li></ul><ul><li>FIBRA: sobre una superficie se considera un elemento dF, que al ir desplazándose la sección, genera un cilindro elemental de base dF y altura igual a la longitud del sólido. </li></ul><ul><li>Para el caso la fibra a-a sufrirá una deformación específica de valor </li></ul><ul><li>ε a = Δ L / L y para todas las fibras ε es constante </li></ul>s s’ s’’ a a P P s s’ s’’ L Δ L
  112. 116. <ul><li>σ = ε E = cte </li></ul><ul><li>Entonces la 1) </li></ul><ul><li>N = σ ʃ F dF -> σ = N/ F ecuación fundamental de la solicitación axil </li></ul><ul><li>Por ser σ constante, al reemplazar en las ecuaciones 5 y 6 obtenemos </li></ul><ul><li>5) 0 = σ ʃ F z dF </li></ul><ul><li>0 = σ ʃ F y dF </li></ul><ul><li>Que son los momentos estáticos del área de la sección con respecto a los ejes y y z . </li></ul><ul><li>Como estos ejes son baricéntricos, su momento estático es nulo, lo que satisface las ecuaciones anteriores. </li></ul><ul><li>De la ecuación fundamental observamos: </li></ul><ul><li>Que las tensiones son de valor constante para todos los puntos de la sección. </li></ul><ul><li>Permite realizar el dimensionamiento de una sección </li></ul><ul><li>F nec ≥ N / σ adm </li></ul><ul><li>c) Permite verificar una sección. </li></ul><ul><li>σ adm ≥ N / F = σ </li></ul>
  113. 117. <ul><li>DEFORMACIONES EN LA SOLICITACIÓN AXIL </li></ul><ul><li>El alargamiento o acortamiento de una barra sometida a solicitación axil viene dado por </li></ul><ul><li>ε = Δ L = σ . </li></ul><ul><li>L E </li></ul><ul><li>Pero σ = N / F </li></ul><ul><li>Δ L = N </li></ul><ul><li>L EF </li></ul><ul><li>Δ L = N . L </li></ul><ul><li>E . F </li></ul><ul><li>La deformación específica unitaria longitudinal será entonces: </li></ul><ul><li>ε l = N . y la transversal ε t = - μ N . </li></ul><ul><li>E F E F </li></ul>
  114. 118. <ul><li>REGIMEN DE TENSIONES PARA UN PUNTO DE UN SÓLIDO SOMETIDO A SOLICITACIÓN AXIAL </li></ul><ul><li>σ α = σ X cos 2 α </li></ul><ul><li>ζ α = σ X sen 2 α </li></ul><ul><li>2 </li></ul><ul><li>Por ser un estado uniaxial </li></ul><ul><li>σ α = σ x = σ 1 </li></ul><ul><li>σ 2 = 0 </li></ul><ul><li>ζ máx,mín = ± σ X en planos a 45° y 135 ° respectivamente </li></ul><ul><li>2 </li></ul>
  115. 119. INFLUENCIA DEL PESO PROPIO EN SOLICITACIÓN AXIL <ul><li>Se parte del análisis de una barra de sección constante F </li></ul><ul><li>suspendida del extremo superior, de longitud l y sometida </li></ul><ul><li>a la acción de una fuerza P. Se considera que γ es el peso </li></ul><ul><li>específico del material. </li></ul><ul><li>A una distancia “x”, la fuerza valdrá </li></ul><ul><li>N = P + γ F x </li></ul><ul><li>y la tensión correspondiente </li></ul><ul><li>σ x = N = P + γ x </li></ul><ul><li>F F </li></ul><ul><li>Para x = 0 ; σ x = σ o </li></ul><ul><li>σ o = P / F entonces </li></ul><ul><li>σ x = σ o + γ x que será máxima para x = l </li></ul><ul><li>σ máx = σ o + γ l </li></ul><ul><li>l </li></ul><ul><li>N x </li></ul><ul><li>P </li></ul>
  116. 120. <ul><li>Dimensionamiento </li></ul><ul><li>F = P . </li></ul><ul><li>σ MÁX - γ l </li></ul><ul><li>y como σ adm ≥ σ MÁX </li></ul><ul><li>F = P . </li></ul><ul><li>σ adm - γ l </li></ul><ul><li>Nos dice que el límite máximo de la columna de sección constante es </li></ul><ul><li>σ adm = γ l -> l máx = σ adm / γ </li></ul><ul><li>Por ejemplo, si la barra fuera de acero, σ adm = 2400 kg/cm 2 ; γ = 7850 kg/ m 3 </li></ul><ul><li>l máx = 3057,32 m </li></ul>
  117. 121. DEFORMACIÓN DE UN SÓLIDO DE SECCCIÓN CONSTANTE TENIENDO EN CUENTA EL EFECTO DEL PESO PROPIO <ul><li>Analizamos la misma barra de sección constante </li></ul><ul><li>La longitud inicial del elemento es dx, y esta a x </li></ul><ul><li>de distancia del extremo libre. Actúa también </li></ul><ul><li>una fuerza P. </li></ul><ul><li>El alargamiento de ese elemento diferencial vendrá </li></ul><ul><li>dado por </li></ul><ul><li>d Δ x = σ dx </li></ul><ul><li>E </li></ul><ul><li>de la expresión </li></ul><ul><li>σ X = P + γ F x </li></ul><ul><li>F </li></ul><ul><li>d Δ x = ( P + γ Fx) dx </li></ul><ul><li>E F </li></ul><ul><li>dx </li></ul><ul><li>x </li></ul><ul><li>P </li></ul>
  118. 122. <ul><li>Integrando entre 0 y l para toda la longitud de la barra </li></ul><ul><li>Δ l = 1 ʃ o l (P + γ F x) dx </li></ul><ul><li>EF </li></ul><ul><li>Δ l = 1 (P l + ½ γ F l 2 ) </li></ul><ul><li>EF </li></ul><ul><li>o sea </li></ul><ul><li>Δ l = P l + l γ F l </li></ul><ul><li>EF EF 2 </li></ul><ul><li>“ El efecto del peso propio en la deformación, equivale a colocar en el extremo libre, una carga puntual de valor la mitad del peso propio </li></ul>
  119. 123. TENSIONES EN TUBOS DE PARED DELGADA <ul><li>PLANTEO: Un tubo de longitud indefinida </li></ul><ul><li>por lo que se supone un estado plano de </li></ul><ul><li>deformación. ε l = 0 </li></ul><ul><li>Radio interior r i y espesor e </li></ul><ul><li>Sujeto a una presión interior p i </li></ul><ul><li>Tensiones radiales σ r y circunferenciales σ t </li></ul><ul><li>Ambas tensiones varían a lo largo del espesor </li></ul><ul><li>σ r varía entre p i en el interior y 0 en el exterior </li></ul><ul><li>σ t también varía, pero por ser el espesor delgado </li></ul><ul><li>consideramos que es constante. </li></ul><ul><li>POSTULADO: por ser σ t >>> σ r despreciamos esta </li></ul><ul><li>última. </li></ul><ul><li>Se analiza partiendo de un tubo, cortado por dos planos normales </li></ul><ul><li>separados una distancia unitaria </li></ul>pi t i e r i σ r σ t
  120. 124. <ul><li>Fuerzas actuantes </li></ul><ul><li>Y = σ t e 1 </li></ul><ul><li>Que se deben equilibrar </li></ul><ul><li>con la R resultante </li></ul><ul><li>de las acciones de </li></ul><ul><li>las p i </li></ul><ul><li>Para un área </li></ul><ul><li>ds . 1, actuará la </li></ul><ul><li>fuerza elemental </li></ul><ul><li>dP = p i ds 1 </li></ul><ul><li>Las componentes según </li></ul><ul><li>los ejes serán: </li></ul><ul><li>dP z = dP sen α = p i sen α ds </li></ul><ul><li>dP y = dP cos α = p i cos α ds </li></ul><ul><li>Y como ds = r i d α </li></ul>R - α + α dP cos α dP dP sen α e r i ds α d α p i 1 2 1 2 Y Y y z
  121. 125. <ul><li>dP z = dP sen α = p i r i sen α d α </li></ul><ul><li>dP y = dP cos α = p i r i cos α d α </li></ul><ul><li>Para el equilibrio, debemos igualar al suma de proyecciones sobre ambos ejes a 0 </li></ul><ul><li>π/2 </li></ul><ul><li>ʃ p i r i sen α d α = 0 ( proyecciones sobre el eje z) </li></ul><ul><li>- π/2 </li></ul><ul><li>Ecuación que matemáticamente se satisface por ser la integral nula </li></ul><ul><li>π/2 </li></ul><ul><li>ʃ p i r i cos α d α = 2 Y ( proyecciones sobre el eje y) </li></ul><ul><li>- π/2 </li></ul><ul><li>Como p i y r i son constantes </li></ul><ul><li>π/2 </li></ul><ul><li>p i r i ʃ cos α d α = 2 Y </li></ul><ul><li>- π/2 </li></ul>
  122. 126. <ul><li>Integrando y simplificando </li></ul><ul><li>π /2 </li></ul><ul><li>Y = p i r i sen α ] 0 = p i r i </li></ul><ul><li>Y = σ t e = p i r i </li></ul><ul><li>σ t = p i r i </li></ul><ul><li>e </li></ul><ul><li>Se verifica que el máximo valor de las σ r era p i lo que las hace mucho más chicas que las σ t ya que el valor r i / e es un valor muy grande </li></ul><ul><li>Esta fórmula sirve para a) verificación y b) para dimensionamiento </li></ul><ul><li>a) </li></ul><ul><li>σ t = p i r i << σ adm </li></ul><ul><li>e </li></ul><ul><li>b) Dado el radio y la presión, calcular el espesor </li></ul><ul><li>e ≥ p i r i </li></ul><ul><li>σ adm </li></ul>
  123. 127. Deformación radial y circunferencial en un conducto de pared delgada <ul><li>Partiendo de la ley de Hooke </li></ul><ul><li>ε t = σ / E = p i r i valor de la deformación específica circunferencial </li></ul><ul><li>E e </li></ul><ul><li>y el aumento de la longitud de la circunferencia </li></ul><ul><li>Δ s = 2 π r i ε t </li></ul><ul><li>pero este aumento de la longitud de la circunferencia implica también un incremento en el radio de valor </li></ul><ul><li>Δ r i = Δ s = r i ε t </li></ul><ul><li>2 π </li></ul><ul><li>y la correspondiente deformación específica radial </li></ul><ul><li>ε r = Δ r i = ε t </li></ul><ul><li>r i </li></ul>
  124. 128. <ul><li>Conclusión: Las deformaciones específicas radial y tangencial en un tubo de pared delgada son de igual valor y signo , ( a pesar σ t >>> σ r ) Se consideran positivoas cuando son originadas por una presión interior y negativas si son a causa de una presión exterior. </li></ul><ul><li>Tensiones en conductos cerrados </li></ul><ul><li>Planteo para un conducto cerrado sometido a presión interior. </li></ul><ul><li>Las fórmulas anteriores son válidas para secciones alejadas de las tapas, según el principio de Saint Venant. </li></ul><ul><li>En las zonas cercanas a las tapas, estas impiden las deformaciones específicas, por lo cual no se pueden aplicar las fórmulas deducidas. </li></ul><ul><li>También se producen momentos flectores que originan tensiones de flexión, que escapan al alcance de esta materia. </li></ul><ul><li>La existencia de tapas, origina la aparición de tensiones longitudinales σ l pues la presión interna también actúa sobre la unión de las tapas con el tubo, en un plano perpendicular a dicha sección. </li></ul>
  125. 129. <ul><li>Si se analiza la fuerza sobre las tapas: R = p i π r i 2 </li></ul><ul><li>repartida sobre un área de valor: F = 2 π r i e </li></ul><ul><li>σ l = p i π r i 2 </li></ul><ul><li>2 π r i e </li></ul><ul><li>Simplificando: σ l = p i r i = σ t </li></ul><ul><li>2 e 2 </li></ul><ul><li>CONCLUSIÓN: Los tubos de pared delgada, se dimensionan con los valores de las tensiones circunferenciales ( o tangenciales) </li></ul>e s p i s s s σ l σ l
  126. 130. <ul><li>Un tubo cerrado esa en síntesis sometido a un estado triple de tensiones, todas ellas principales </li></ul><ul><li>σ t ≥ σ l ≥ σ r </li></ul><ul><li>Aceptando que σ r es despreciable se analizan las tensiones tangenciales máximas para el estado plano </li></ul><ul><li>ζ MÁX = ( σ 1 - σ 2 ) = ( σ t - σ l ) </li></ul><ul><li>2 2 </li></ul><ul><li>Reemplazando los valores </li></ul><ul><li>ζ MÁX = ± ½ [ p i r i - p i r i ] </li></ul><ul><li>e 2 e </li></ul><ul><li>ζ MÁX = ± p i r i </li></ul><ul><li>4e </li></ul><ul><li>y el correspondiente valor de tensión σ m = 3 p i r i </li></ul><ul><li>4e </li></ul><ul><li>En planos ubicados a 45° y 135° respecto de los planos donde actúan σ t y σ l </li></ul>
  127. 131. SOLICITACIÓN AXIL <ul><li>22) Definición, planteo de las ecuaciones características, hipótesis, solución del problema </li></ul><ul><li>23) Deformaciones en solicitación axil </li></ul><ul><li>24) Planteo y resolución del problema de la consideración del peso propio en solicitación axil. </li></ul><ul><li>25) Deformación de un sólido de sección constante teniendo en cuenta el efecto del peso propio. </li></ul><ul><li>26) Tubos de pared delgada: Planteo del problema, determinación de las tensiones circunferenciales, deformación radial y circunferencial, tensiones en conductos cerrados </li></ul>
  128. 132. SOLICITACIÓN POR TORSIÓN <ul><li>DEFINICIÓN: Una sección está solicitada por torsión cuando al reducir al baricentro de la sección considerada, la resultante de los sistemas de fuerzas actuantes sobre el sólido prismático, solo se obtiene un par momento, contenido en el plano de la sección, y cuyo vector representativo es perpendicular a esta </li></ul>Mt
  129. 133. ECUACIONES CARACTERÍSTICAS <ul><li>0 = ʃ F σ dF </li></ul><ul><li>0 = ʃ F ζ xy dF </li></ul><ul><li>0 = ʃ F ζ xz dF </li></ul><ul><li>Mt = ʃ F ( ζ xy . z + ζ xz . y ) dF </li></ul><ul><li>0 = ʃ F σ . z dF </li></ul><ul><li>6) 0 = ʃ F σ . y dF </li></ul>
  130. 134. HIPÓTESIS: <ul><li>Ley de Hooke </li></ul><ul><li>Hipótesis de Coulomb : verificada experimentalmente dice que </li></ul><ul><li>1) Las secciones normales al eje e la pieza, permanecen planas y paralela a si mismas luego de la deformación por torsión. </li></ul><ul><li>2) Luego de la deformación las secciones mantienen su forma </li></ul><ul><li>VALIDO PARA </li></ul><ul><li>SECCIONES CIRCULARES MACIZAS </li></ul><ul><li>SECCIONES CIRCULARES HUECAS </li></ul><ul><li>SECCIONES TUBULARES DE PARED DELGADA SIMPLEMENTE CONEXA </li></ul><ul><li>SECCIONES TUBULARES DE PARED DELGADA MULTIPLEMENTE CONEXA </li></ul>
  131. 135. <ul><li>Análisis de las ecuaciones características. </li></ul><ul><li>Suponemos primero que por acción de la torsión existen tensiones normales σ </li></ul><ul><li>σ x ǂ 0 </li></ul><ul><li>Entonces estas tensiones normales σ x deben ser de valor variable , ya que si fueran constantes, de la primera ecuación al sacarla de la integral, nos quedaría una integral de área nula, lo cual es imposible físicamente. </li></ul><ul><li>Si σ x fueran variables tendría que ser simétrica respecto de la sección y tendría que tener cambio de signo, para que la integral resulte nula. </li></ul><ul><li>Pero si σ x es variable, implica por Hooke que es también variable y no cumpliría con la primea de las ecuaciones de la hipótesis de Coulomb. </li></ul><ul><li>CONCLUSIÓN: σ x = 0 </li></ul><ul><li>Ecuaciones 1) 5) y 6) nulas </li></ul>
  132. 136. <ul><li>TORSIÓN EN SECCIÓN CIRCULAR LLENA </li></ul><ul><li>Solo existen tensiones tangenciales que deben </li></ul><ul><li>satisfacer las ecuaciones 2) 3) y 4). </li></ul><ul><li>Para que esto se verifique, en las </li></ul><ul><li>ecuaciones 2) y 3) es necesario que las </li></ul><ul><li>tensiones tangenciales sean de distribución </li></ul><ul><li>antimétrica a lo largo de un diámetro. </li></ul><ul><li>Si no fueran antimétricas, no se satisfarían las ecuaciones </li></ul><ul><li>y 3) </li></ul><ul><li>La segunda cuestión referida a las tensiones tangenciales </li></ul><ul><li>tiene que ver con su dirección. </li></ul><ul><li>La misma es normal al diámetro considerado </li></ul><ul><li>Si así no fuera, se incumpliría con la hipótesis de Coulomb </li></ul><ul><li>Referida al alabeo de la sección </li></ul>z Mt O y ζ xz z R ζ xy ζ y
  133. 137. <ul><li>Por ejemplo si suponemos, razonando por el absurdo, que las tensiones no son normales al diámetro </li></ul>
  134. 138. <ul><li>En el punto B actúa una tensión que tiene cualquier dirección y por lo tanto lo descomponemos en una dirección perpendicular al radio ζ xy y otra en la dirección de este. ζ xz </li></ul><ul><li>Esta última originará tensiones de igual magnitud y sentido contrario en la cara exterior de la sección, por virtud del teorema de Cauchy. </li></ul><ul><li>Pero por hipótesis, esa cara esta libre de tensiones, de resulta de lo cual </li></ul><ul><li>ζ xz = ζ z xy = 0 </li></ul><ul><li>Luego </li></ul><ul><li>ζ xy debe ser normal al radio como única alternativa en el punto B, y en todos los demás puntos sucesivos considerados </li></ul><ul><li>Esto también se puede analizar teniendo en cuenta que si existiera ζ xz diferente de 0, aparecerían distorsiones de valor </li></ul><ul><li>γ xz = ζ xz / G </li></ul><ul><li>La condición demostrada de antimetría, implicaría que las tensiones luego de pasar por 0 en el centro, deberían cambiar de signo produciendo entonces el alabeo de la sección, </li></ul><ul><li>lo que es contrario a la hipótesis de Coulomb </li></ul>
  135. 139. <ul><li>SINTESÍS: </li></ul><ul><li>Solo existen tensiones tangenciales </li></ul><ul><li>Su distribución a lo largo de un diámetro es antimétrica. </li></ul><ul><li>Su dirección es normal al radio </li></ul>
  136. 140. <ul><li>RELACIÓN ENTRE MOMENTO TORSOR ( SOLICITACIÓN) Y LAS TENSIONES TANGENCIALES </li></ul>
  137. 141. <ul><li>El planteo es analizar dos secciones consecutivas de una sección circular maciza separadas por 1 metro de distancia, sobre las cuales actúan los Mt iguales y opuestos </li></ul><ul><li>Por acción de estas solicitaciones, las secciones giran entre sí manteniéndose planas y paralelas. Supondremos fija la inferior, y que la superior es la que gira, por lo que la rotación relativa entre ambas secciones, se transformará en la rotación absoluta θ que se designará ÁNGULO ESPECÍFICO DE TORISÓN. </li></ul><ul><li>Análisis: </li></ul><ul><li>El punto A ubicado a r del centro pasará a A’ lo mismo para el punto B a una distancia R que pasa a B’ </li></ul><ul><li>Por otro lado, la fibra AAo pasa a la posición A’Ao generando el ángulo infinitesimal γ r . </li></ul><ul><li>Idéntica situación ocurre con la fibra BBo que pasa a la posición B’Bo y genera el ángulo </li></ul><ul><li>γ denominado ÁNGULO DE DISTORICIÓN. </li></ul><ul><li>Luego por ser infinitésimos los giros y los corrimientos </li></ul><ul><li>AA’ = r θ ~ γ r . 1 entonces θ = γ r / r </li></ul>
  138. 142. <ul><li>Con igual razonamiento </li></ul><ul><li>BB’ = R θ ~ γ r . 1 entonces θ = γ / R </li></ul><ul><li>Por lo tanto </li></ul><ul><li>γ r / γ = r / R y como = γ = ζ / G </li></ul><ul><li>ζ r / ζ MÁX = r / R entonces </li></ul><ul><li>ζ r = r ζ MÁX </li></ul><ul><li>R </li></ul><ul><li>Físicamente representa la ecuación de una recta, por lo que ahora sabemos que la variación de las tensiones tangenciales a lo largo de un diámetro es lineal, formada por una recta de pendiente ζ MÁX / R </li></ul>
  139. 143. <ul><li>Ley de variación de tensiones en </li></ul><ul><li>Solicitación por Torsión </li></ul><ul><li>Cuando la distancia considerada del centro es unitaria, la tensión que actúa es ζ * </li></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><li>ζ r = r ζ * </li></ul><ul><li>De las ecuaciones de equilibrio, nos había quedado </li></ul><ul><li>Mt = ʃ F ( ζ xy . z + ζ xz . y ) dF = ʃ F ζ r r dF = ζ * ʃ F r 2 dF </li></ul><ul><li>n </li></ul>ζ máx R ζ r Mt Mt o o ζ r r r dF ζ MÁX
  140. 144. <ul><li>O también </li></ul><ul><li>Mt = ζ * Jp Momento de Inercia Polar del área respecto del centro </li></ul><ul><li>Mt = ζ r Jp </li></ul><ul><li>r </li></ul><ul><li>ζ r = Mt r </li></ul><ul><li>Jp </li></ul><ul><li>Máxima para r = R </li></ul><ul><li>ζ MÁX = Mt R Ecuación fundamental de las tensiones tangenciales </li></ul><ul><li>Jp en solicitación por torsión </li></ul>
  141. 145. <ul><li>Si la sección es circular maciza Jp = π d 4 / 32 </li></ul><ul><li>ζ MÁX = 32 Mt R = 16 Mt </li></ul><ul><li>π d 4 π d 3 </li></ul><ul><li>Verificación de secciones: </li></ul><ul><li>ζ ADM ≥ 16 Mt </li></ul><ul><li>π d 3 </li></ul><ul><li>Dimensionamiento de secciones: </li></ul><ul><li>3 </li></ul><ul><li>D ≥ √ 16 Mt </li></ul><ul><li>π ζ ADM </li></ul><ul><li>Deformaciones en Torsión: </li></ul><ul><li>Se refiere a la rotación relativa entre secciones, o sea el valor del ángulo de torsión, cuya definición viene dada por el producto entre la longitud y el ángulo de torsión específica. </li></ul><ul><li>Θ = θ l </li></ul>
  142. 146. <ul><li>Pero </li></ul><ul><li>θ = γ máx / R = ζ MÁX </li></ul><ul><li>R G </li></ul><ul><li>y </li></ul><ul><li>ζ MÁX = Mt R </li></ul><ul><li>Jp </li></ul><ul><li>Entonces </li></ul><ul><li>Θ = 32 Mt l ÁNGULO DE TORSIÓN </li></ul><ul><li>π D 4 G </li></ul><ul><li>θ = 32 Mt = Mt ÁNGULO ESPECÍFICO DE TORSIÓN </li></ul><ul><li>π D 4 G G Jp </li></ul>
  143. 147. <ul><li>VALOR DE LA TENSIONES PRINCIPALES </li></ul><ul><li>Como solo existen tensiones tangenciales, existe un estado de resbalamiento puro. </li></ul><ul><li>σ x = σ z = 0 </li></ul><ul><li>ζ xz = ζ zx </li></ul><ul><li>Ls tensiones principales son iguales en valor absoluto y de signo contrario e iguales en valor a las tensiones tangenciales </li></ul><ul><li>ζ xy = ζ yx = σ 1 = - σ 2 en planos a 45° </li></ul>
  144. 149. <ul><li>LA SECCIÓN ANULAR: </li></ul><ul><li>Valen las mismas fórmula

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