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  • 1. Parte II: Análisis Numérico 15. Raíces de ecuaciones5.1 Métodos cerrados
  • 2. Parte II: Análisis Numérico 25.1.1 Métodos GráficosUn método simple para obtener una aproximación a la raíz de laecuación f(x)=0, consiste en graficar la función y observar donde cruzael eje x.Ejemplo: Utilizar gráficas por computadora para localizar las raíces def(x) = x3 + x2 -3·x+5Solución. Utilizando MATLAB,<< x=0:0.01:5;<< y=x.^3+x.^2-3*x+5;<< plot(x,y);<< grid on;
  • 3. Parte II: Análisis Numérico 3La gráfica muestra la existencia de varias raíces, incluyendo quizásuna doble raíz alrededor de x=4.2-4 -3 -2 -1 0 1 2 3-40-30-20-10010203040xy
  • 4. Parte II: Análisis Numérico 4Reduciendo la escala horizontal se obtiene:» x=4.1:0.001:4.4;» y=sin(10*x)+cos(3*x);» plot(x,y);» grid on;En efecto, hay dos raíces diferentes entre x=4.23 y x=4.26
  • 5. Parte II: Análisis Numérico 55.1.2 El método de bisecciónEn general, si f(x) es real y continua en el intervalo que va desde xlhasta xu y f(xl) y f(xu) tienen signos opuestos, es decirf(xl) f(xu) < 0entonces hay al menos una raíz real entre xl y xuEl método de bisección, conocido también como de corte binario, departición de intervalos o de Bolzano, es un tipo de búsquedaincremental en el que el intervalo se divide siempre a la mitad. Si elvalor de la función cambia de signo, sobre un intervalo, se evalúa elvalor de la función en el punto medio. La posición de la raíz sedetermina situándola en el punto medio del subintervalo, dentro delcual ocurre un cambio de signo. El proceso se repite hasta obteneruna mejor aproximación.
  • 6. Parte II: Análisis Numérico 6Paso 1: Elija valores iniciales inferior, xl , y superior, xu , que encierrenla raíz, de forma que la función cambie de signo en elintervalo. Esto se verifica comprobando que f(xl) f(xu) < 0Paso 2: Una aproximación de la raíz xl se determina mediante:Paso 3: Realice las siguientes evaluaciones para determinar en quesubintervalo está la raíz:a. Si f(xl) f(xr) < 0 , entonces la raíz se encuentra dentro delsubintervalo inferior o izquierdo. Por tanto, haga xu = xr yvuelva al paso 2.b. Si f(xl) f(xr) > 0, entonces la raíz se encuentra dentro delsubintervalo superior o derecho. Por lo tanto, , haga xl = xr yvuelva al paso 2.c. Si f(xl) f(xr) = 0, entonces la raíz es igual a xr; termina el cálculo2ulrxxx+=
  • 7. Parte II: Análisis Numérico 7Ejemplo BisecciónPlanteamiento del problema. Emplee el método debisección para resolver la ecuación f(x)=(667.38/x)*(1-exp(-0.146843 x))-40Solución.Primera iteración: xl = 12; xu = 16xr = (12+16) / 2 = 14f(12) f(14) = (6.067)(1.569) = 9.517 > 0No hay cambio de signo entre el límiteinferior y el punto medio. Enconsecuencia la raíz debe estarlocalizada entre 14 y 16.Segunda iteración: xl = 14; xu = 16xr = (14+16) / 2 = 15f(14) f(15) = (1.569)(-0.425) = -0.666 < 0
  • 8. Parte II: Análisis Numérico 8Tercera iteración: xl = 14; xu = 15xr = (14+15) / 2 = 14.512 1614 1514 16
  • 9. Parte II: Análisis Numérico 9Criterios de paro y estimaciones de erroresUn criterio objetivo de definir cuándo un método numérico debeterminar, es estimar el error de forma tal que no se necesite elconocimiento previo de la raíz. Como se estudió previamente, sepuede calcular el error relativo porcentual εa de la siguiente maneraCuando εa es menor que un valor previamente fijado εs, termina elcálculo.nuevoranteriorrnuevoraxxx −=ε
  • 10. Parte II: Análisis Numérico 10Ejemplo Estimación del error en la bisecciónPlanteamiento del problema. Continuar con el ejemploanterior hasta que el error aproximado sea menor que elcriterio de terminación εs = 0.5%.Solución. Tomando las dos primeras iteraciones,15; 14|εa| = | (15-14) / 15 | = 0.0667 ≡ 6.667%=nuevorx =anteriorrxIteración xl xu xr εa (%) εt (%)1 12 16 14 5.2792 14 16 15 6.667 1.4873 14 15 14.5 3.448 1.8964 14.5 15 14.75 1.695 0.2045 14.75 15 14.875 0.840 0.6416 14.75 14.875 14.8125 0.422 0.219
  • 11. Parte II: Análisis Numérico 11FUNCTION Bisect(xl, xu, es, imax, xr, iter, ea)iter = 0Doxrold = xrxr = (xl + xu) / 2iter = iter + 1IF xr ≠ 0 THENea = ABS((xr – xrold)/ xr)*100END IFtest = f(x1)*f(xr)IF test < 0 THENxu = xrELSE IF test > 0 THENxl = xrELSEea = 0END IFIF ea < es OR iter ≥ imax EXITEND DOBisect = xrEND Bisect
  • 12. Parte II: Análisis Numérico 125.1.3 Método de la falsa posiciónUna técnica alternativa al método de bisección, consiste en unir f(xl) yf(xu) con una línea recta. La intersección de esta línea con el eje de lasx representa una mejor aproximación de la raíz. El hecho de que seremplace la curva por una línea recta da una falsa posición de la raíz;de aquí el nombre de método de la falsa posición, o en latín regulafalsi. También se la conoce como método de interpolación lineal.
  • 13. Parte II: Análisis Numérico 13f(x)xf(xl)f(xu)xl xuxrUsando triángulos semejantes:en la cual se despeja xrÉsta es la ecuación de la falsaposición. El valor de xr calculadoreemplazará, después, acualquiera de los dos valoresiniciales xl o xuurulrlxxxfxxxf−=−)()()()())((ululuurxfxfxxxfxx−−−=
  • 14. Parte II: Análisis Numérico 14Ejemplo Falsa posiciónPlanteamiento del problema. Con el método de la falsaposición determine la raíz de la ecuación f(x)=(667.38/x)*(1-exp(- 0.146843 x))-40SoluciónPrimera iteración: xl=12 f(xl)=6.0699xu=16 f(xu)=-2.2688xr=16-(-2.2688(12-16) / …… (6.0669-(-2.2688)) = 14.9113Segunda iteración: f(xl) f(xr) = -1.5426 < 0xl=12 f(xl)= 6.0699xu=14.9113 f(xu)= -0.2543xr=14.9113-(-0.2543(12-14.9113) / …… (6.0669-(-0.2543)) = 14.7942
  • 15. Parte II: Análisis Numérico 15Ejemplo Un caso en el que la bisección es preferible a la falsaposiciónPlanteamiento del problema. Con los métodos de biseccióny falsa posición, localice la raíz de f(x) = x10-1Solución.Usando bisección,Iteración xl xu xr εa(%) εr(%)1 0 1.3 0.65 100.0 352 0.65 1.3 0.975 33.3 2.53 0.975 1.3 1.1375 14.3 13.84 0.975 1.375 1.05625 7.7 5.65 0.975 1.05625 1.015625 4.0 1.6
  • 16. Parte II: Análisis Numérico 16Con el método de falsa posiciónIteración xl xu xr εa(%) εt(%)1 0 1.3 0.09430 90.62 0.0943 1.3 0.18176 48.1 81.83 0.18176 1.3 0.26287 30.9 73.74 0.26287 1.3 0.33811 22.3 66.25 0.33811 1.3 0.40788 17.1 59.2
  • 17. Parte II: Análisis Numérico 17f(x)5101510x
  • 18. Parte II: Análisis Numérico 18Falsa posición modificadaUna forma de disminuir la naturaleza unilateral de la falsa posiciónconsiste en obtener un algoritmo que detecte cuando se estanca unode los límites del intervalo. Si ocurre esto, se divide a la mitad el valorde la función en el punto de estancamiento. A éste método se le llamamétodo de la falsa posición modificado.
  • 19. Parte II: Análisis Numérico 19FUNCTION ModFalsePos(xl, xu, es, imax, xr)iter = 0fl = f(xl)fu = f(xu)DOxrold = xrxr = xu-fu*(xl - xu)/(fl - fu)fr = f(xr)iter = iter+1IF xr<>0 THENea = Abs((xr-xrold)/xr)*100END IFtest = fl * frIF test < 0 THENxu = xrfu = f(xu)iu = 0il = il+1IF il ≥ 2 THEN fl = fl / 2ELSE IF test > 0 THENxl = xrfl = f(xl)il = 0iu = iu+1IF iu ≥ 2 THEN fu = fu/2ELSEea = 0END IFIF ea < es OR iter ≥ imax THEN EXITEND DOModFalsePos = xrEND ModFalsePos
  • 20. Parte II: Análisis Numérico 20EjerciciosEjercicio 5.1 Determine las raíces reales de f(x) = -0.4x2 + 2.2x + 4.7:a. Gráficamenteb. Usando el método de bisección para determinar la raíz más grande.Emplee como valores iniciales xl=5 y xu=10. Calcule el errorestimado εa y el error verdadero εt para cada iteración.Ejercicio 5.2 Calcule la raíz real positiva de f(x)=x4-8x3-36x2+462x1010 utilizando el método de la falsa posición. Use una gráfica paraescoger el valor inicial y realice el cálculo con εs = 1.0 %
  • 21. Parte II: Análisis Numérico 21Ejercicio 5.3 La concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua secalcula con la ecuacióndonde Osf = concentración de saturación de oxígeno disuelto en agua a 1 atm(mg/L) y Ta = Temperatura absoluta (K). Recuerde que Ta = T + 273.15, dondeT = temperatura (ºC). De acuerdo con ésta ecuación, la saturación disminuyecon el incremento de la temperatura. Para aguas naturales típicas en climastemplados, la ecuación sirve para determinar rangos de concentración deoxígeno desde 14.621 mg/L a 0ºC hasta 6.949 mg/L a 35ºC. Dado un valorde concentración de oxígeno, ésta fórmula y el método de bisección son útilespara resolver la temperatura en ºC.Si los valores iniciales se fijan en 0 y 35ºC, desarrolle y pruebe un programa debisección para determinar T como una función de una concentración deoxígeno dada. Pruebe el programa para Osf=8, 10 y 14 mg/L. Compruebe susresultados41131027510621949.810243800.110642308.610575701.134411.139lnaaaasfTTTTO×−×+×−×+−=
  • 22. Parte II: Análisis Numérico 225.2 Métodos abiertos
  • 23. Parte II: Análisis Numérico 235.2.1 Iteración simple de punto fijoLos métodos abiertos utilizan una fórmula para predecir la raíz. Estafórmula puede desarrollarse como una iteración simple de punto fijo(También llamada iteración de un punto o sustitución sucesiva ométodo de punto fijo), al reordenar la ecuación f(x)=0 de tal modo quex esté del lado izquierdo de la ecuación:x=g(x)Por ejemplo, x2-2x+3 = 0, se reordena para obtenerMientras que sen(x)=0, puede transformarse sumando x a ambos ladospara obtenerx=sen(x)+x232+=xx
  • 24. Parte II: Análisis Numérico 24De ésta manera, dado un valor inicial para la raíz xi , la ecuaciónanterior puede usarse para obtener una nueva aproximación xi+1,expresada por la fórmula iterativaxi+1=g(xi)El error aproximado se calcula usando el error normalizado:%10011++ −=iiiaxxxε
  • 25. Parte II: Análisis Numérico 25Ejemplo Iteración simple de punto fijoPlanteamiento del problema. Use una iteración simple depunto fijo para localizar la raíz de f(x) = e-x - xSolución.xi+1=e-xii xi εa % ετ %1 1 100.0 76.32 0.367879 171.8 35.13 0.692201 46.9 22.14 0.500473 38.3 11.85 0.606244 17.4 6.896 0.545396 11.2 3.837 0.579612 5.90 2.208 0.560115 3.48 1.249 0.571143 1.93 0.70510 0.564479 1.11 0.399
  • 26. Parte II: Análisis Numérico 26ConvergenciaEl error relativo porcentual verdadero en cada iteración del ejemploanterior, es proporcional (por un factor de 0.5 a 0.6) al error de laiteración anterior. Esta propiedad se conoce como convergencia lineal.
  • 27. Parte II: Análisis Numérico 27f(x)f(x)RaízRaízf(x) = e--xx - xf1(x) = xf2(x) = e--xxUn método gráfico alternativoconsiste en separar la ecuación endos partes, de esta maneraf1(x)=f2(x)Entonces las dos ecuacionesy1 = f1(x) y y2 = f2(x)se grafican por separado. Así, losvalores de x correspondientes aLas intersecciones de estas dosfunciones representan las raícesde f(x)=0
  • 28. Parte II: Análisis Numérico 28y1 = xy2= g(x)x0x1x2yyxxy1 = xy2= g(x)x0yyxxy1 = xy2= g(x)x0yyxxy1 = xy2= g(x)x0yyxx
  • 29. Parte II: Análisis Numérico 29FUNCTION Fixpt(x0, es, imax)xr = x0iter = 0DOxrold = xrxr = g(xrold)iter = iter+1IF xr ≠ 0 THENEND IFIF ea < es OR iter ≥ imax EXITEND DOFixpt = xrEND fixpt100xrxroldxrea ⋅−=
  • 30. Parte II: Análisis Numérico 305.2.2 Método de Newton-RaphsonA partir de la expansión en seriesde Taylor, se tiene:que se reordena para obtenerla cual se conoce como fórmulaDe Newton Raphson10)()(+−−=iiiixxxfxf)()(1iiiixfxfxx −=+f(x)f(x)xx00f(xf(xii))xxiixxii+1+1Pendiente = fPendiente = f ’’(x(xii))
  • 31. Parte II: Análisis Numérico 31Ejemplo Método de Newton-RaphsonPlanteamiento del problema. Utilice el método de NewtonRaphson para calcular la raíz de f(x)=e-x – x empleandocomo valor inicial x0 = 0Solución. La primer derivada de la función esf ’(x)=-e-x -1que se sustituye para obtener11−−−−= −−+ iixixiiexexxi xi εt (%)0 0 1001 0.500000000 11.82 0.566311003 0.1473 0.567143165 0.00002204 0.567143290 < 10-8
  • 32. Parte II: Análisis Numérico 32Algoritmo1. Se debe incluir una rutina de graficación en el programa2. Al final de los cálculos, se necesitará sustituir siempre la raíz finalcalculada en la función original, para determinar si el resultado seacerca a cero. Esta prueba protege el desarrollo del programacontra aquellos casos en los que se presenta convergencia lentau oscilatoria, la cual puede llevar a valores pequeños de εa,mientras que la solución aún está muy lejos de una raíz.3. El programa deberá incluir siempre un límite máximo permitidodel número de iteraciones para estar prevenidos contrasoluciones oscilantes, de lenta convergencia o divergentes quepodrían persistir en forma interminable.4. El programa deberá alertar al usuario para que tome en cuenta laposibilidad de que f ‘(x) sea igual a cero en cualquier momentodurante el cálculo.
  • 33. Parte II: Análisis Numérico 335.2.3 El método de la secanteUn problema potencial en la implementación del método de NewtonRaphson es la evaluación de la derivada. En casos complejos, laderivada se puede aproximar mediante una diferencia finita divididahacia atrásSustituyendo en la ecuaciónde Newton - Raphsoniiiiixxxfxfxf−−≡−−11 )()()(xix i-1f(x i)f(x i-1))()())((111iiiiiiixfxfxxxfxx−−−=−−+
  • 34. Parte II: Análisis Numérico 34Ejemplo El método de la secantePlanteamiento del problema. Con el método de la secante,calcule la raíz de f(x)=e-x –x. Comience los cálculos inicialescon los valores x-1=0 y x0 = 1.0.Solución.Primera iteración:x-1=0 f(x-1)=1x0 =1 f(x0)=-0.63212x1=1-((-0.63212)(0-1)/(1-(-0.63212)))=0.61270Segunda iteraciónx0=1 f(x0)=-0.63212x1 =0.61270 f(x1)=-0.07081x2=0.61270-((-0.0708)(1-0.61270)/(-0.63212- …… (0.07081))) = 0.56384
  • 35. Parte II: Análisis Numérico 35Método de la secante modificadaEn lugar de considerar dos valores arbitrarios para aproximar laderivada, un método alternativo considera un cambiofraccionario de la variable independiente para estimar f’(x),donde d es un pequeño cambio fraccionario. Ésta aproximaciónse sustituya en la ecuación de la secante para obtener lasiguiente expresión iterativa:iiiixxfxxfxfδδ )()()(−+≅)()()(1iiiiiiixfxxfxfxxx−+−=+δδ
  • 36. Parte II: Análisis Numérico 36EjerciciosEjercicio 5.4 Evaluar las raíces de las siguientes ecuacionestrascendentesa. sin x - 2exp(-x2) = 0b. ax - ax = 0 para a = 2, e, or 3c. ln(1 + x2) – x1/2= 0d. e-x/(1 + cos x) - 1 = 0
  • 37. Parte II: Análisis Numérico 37Ejercicio 5.5 Para el flujo turbulento de un fluido a través de un tuboliso, es posible establecer la siguiente relación entre el factor defricción cf y el número de Reynolds Re:Calcular cf para Re = 104, 105 y 106.
  • 38. Parte II: Análisis Numérico 38Ejercicio 5.6 Desarrolle una función para calcular el volumenespecífico de un gas puro, dada la temperatura y la presiónusando la ecuación de estado de Soave-Redlich-KwongLas constantes a y b son obtenidas de las ecuaciones
  • 39. Parte II: Análisis Numérico 39donde Pc y Tc son la presión crítica y temperatura críticarespectivamente. La variable α es una función empírica de laTemperaturaEl valor de S es una función del factor acéntrico ωLas propiedades físicas del n-butano son
  • 40. Parte II: Análisis Numérico 40y la constante de los gases R esCalcule el volumen específico del vapor de n-butano a 500 K y en unrango de presiones de 1 a 40 atm. Compare los resultadosgráficamente con aquellos que se obtienen de la ley de los gasesideales. ¿Qué conclusión obtiene de ésta comparación gráfica?
  • 41. Parte II: Análisis Numérico 41Ejercicio 5.7 Repita el ejercicio 5.6 usando las ecuaciones de estadode Benedict-Webb-Rubin (BWR) y Patel-Teja (PT). Comparegráficamente los resultados con los obtenidos en el ejercicio 3.La ecuación de estado de Benedict-Webb-Rubin (BWR) esdonde A0, B0, C0, a, b, c, α, y γ son constante. Donde P está enatmósferas, V está en litros por mol, y T está en kelvin, Los valores delas constantes para el n-butano son:
  • 42. Parte II: Análisis Numérico 42La ecuación de estado de Patel-Teja esDonde a es función de la temperatura, y, b y c son constantesdonde
  • 43. Parte II: Análisis Numérico 43y Ωb es la más pequeña de las raíces positivas del polinomio cúbicoF y ζc son funciones del factor acéntrico
  • 44. Parte II: Análisis Numérico 44Ejercicio 5.8 La ecuación de Underwood para destilaciónmulticomponente está dada pordonde F = tasa de flujo molar de la alimentaciónn = numero de componentes en la alimentaciónzjF = fracción molar de cada componente en la alimentaciónq = calidad de la alimentaciónαj = volatilidad relativa de cada componente en condicionespromedio de la columnaφ = raíz de la ecuación
  • 45. Parte II: Análisis Numérico 45Underwood ha demostrado que (n-1) de la raíces de la ecuación seencuentran entre los valores de las volatilidades relativas como seMuestraEvalúe las n-1 raíces de ésta ecuación para el caso mostrado en laTablaF=100 mol/hq=1 (líquido saturado)

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