2. Definición
La unidad imaginaria j se define como la solución positiva
de la ecuación j2
+ 1 = 0.
Es decir,
1−=j
De la definición se tiene que,
j2
= –1
j3
= j j2
= –j
j4
= j2
j2
= (–1) (–1) = 1
etcétera
3. Un número imaginario puro es el producto de un número real y
la unidad imaginaria.
Por ejemplo: j5, – j3.5, j7 x 10–5
.
Un número complejo es la suma de un número imaginario
puro y un número real.
En general será de la forma A = a + jb.
Utilizaremos el tipo negrita para los números complejos, al
escribirlos a mano se usará una barra sobre la letra.
En el número A = a + jb, a es la parte real de A y b es la parte
imaginaria de A.
Estas se designan por a = Re[A] y b = Im[A].
4. Un número real es un número complejo cuya parte
imaginaria es cero.
Los número complejos se
pueden representar en el plano
utilizando el eje horizontal para
la parte real y el vertical para la
parte imaginaria.
A esta representación se le
llama diagrama de Argand.
En la figura se representan los
números complejos A = 3 – j2 y
B = –4 + j3.
5. Definición de igualdad
Dos número complejos son iguales si y solo si las partes reales
son iguales y las partes imaginarias son iguales. Es decir,
Si A = a + jb y B= c + jd
A = B
implica
a = c y b = d
6. Operaciones con complejos
Suma: (a + jb) + (c + jd) = (a + c) + j(b + d)
Resta: (a + jb) – (c + jd) = (a – c) + j(b –
d)
Multiplicación: (a + jb)(c + jd) = (ac – bd) + j(bc + ad)
7. El conjugado de un número complejo A = a + jb se define
como A* = a – jb.
Con esta definición podemos calcular el cociente de dos
complejos A = a + jb y B= c + jd como
A/B = (AB*)/(BB*)
División: (a + jb)/(c + jd) = ((ac + bd) + j(bc – ad))/(c2
+ d2
)
8. Tarea #1
Sean A = –4 + j5, B = 3 – j2, C = –6 – j5; determine
a) C – B
b) –3B* +5C
c) j5
C2
(A + B)*
d) B Re[A] + A Re[B]
e) (A + B)/(C – B)
9. Identidad de Euler
Las funciones sen θ, cos θ y ez
, se pueden desarrollar en
series de potencias como:
...
!5!4!3!2!1
1
...
!6!4!2
1cos
...
!7!5!3
sen
5432
642
753
zzzzz
ez
+++++=
+
θ
−
θ
+
θ
−=θ
+
θ
−
θ
+
θ
−θ=θ
haciendo z = jθ, se obtiene
...
!4!3!2!1
1
432
θ
+
θ
−
θ
−
θ
+=θ
jje j
10. comparando con las series para seno y coseno se concluye
que
e jθ
= cos θ + jsen θ
es fácil mostrar que
cos θ = ½(e jθ
+ e– jθ
)
sen θ = −j ½(e jθ
– e– jθ
)
11. Forma exponencial
Multiplicamos e jθ
= cos θ + jsen θ por C
Ce jθ
= Ccos θ + jCsen θ
La segunda parte de la igualdad representa un número
complejo A = a + jb.
Es fácil ver que
a2
+ b2
= C2
o 22
baC ++=
También b/a = tan θ o θ = tan–1
b/a
También A = Ce jθ
12. Tarea #2
Exprese los siguientes números complejos en forma exponencial utilizando
un ángulo en el intervalo de –180° a 180°
a) –18.5 – j26
b) 17.9 – j12.2
c) –21.6 + j31.2
Exprese cada uno de los números complejos en forma rectangular
a) 61.2e–j111.1°
b) –36.2ej108°
c) 5e–j2.5
ojo el ángulo está en radianes
13. La forma polar
La forma compleja A = Ce jθ
se puede abreviar como A= C∠θ.
Por ejemplo el número A = –2 + j5 puede escribirse como
5.39∠111.8º.
La multiplicación y división de complejos es más simple
utilizando la forma polar.
Sea A = Ce jθ
= C∠θ y B = De jφ
= D∠φ, entonces
(A)(B) = (C∠θ)(D∠φ) = CD ∠θ+φ
(A)/(B) = (C∠θ)/(D∠φ) = C/D ∠θ−φ
14. Relación entre las 3 formas
La siguiente fórmula resume las tres formas de complejos
)/(tan
]Im[]Re[
122
)/(tan22 1
abba
ebaCejjba abjj
−
θ
∠+=
+==+=+=
−
AAA
15. Tarea #3
Exprese el resultados de cada una de esta manipulaciones de
números complejos en forma polar, utilizando seis cifras
significativas, solo por disfrutar del cálculo:
a) (3.44∠25°*8.04∠–46°)/4.5∠56°
b) [2 – (1∠–41°)]/(0.3∠41°)
c) 50/(2.87∠83.6°+5.16∠63.2°)
d) 4∠18° – 6∠–75° + 5∠28°
16. Comandos de Matlab para complejos
complex(a,b) – regresa el complejo a
+jb
imag(c) – regresa Im[c]
conj(c) – regresa c*
angle(c) – regresa el angulo de fase
abs(c) – regresa la magnitud de c
real(c) – regresa Re[c]
isreal(c) – regresa 1 si la parte
imaginaria de c es 0
17. Ejemplos
Tarea #1
A = 4 + 5j, B = 3 – 2j, C = -6 – 5j;
% a) C - B
C - B
% b) -3B* +5C
-3*conj(B) + 5 * C
% c) j5
C2
(A + B)*
j^5*C^2*conj(A + B)
% d) B Re[A] + A Re[B]
B*real(A) + A*real(B)
% e) (A + B)/(C - B)
(A + B)/(C - B)
Resultados
-9.0000 - 3.0000i
-39.0000 -31.0000i
-3.8700e+002 +2.5700e+002i
24.0000 + 7.0000i
-0.8000 - 0.0667i
19. Tarea #4
1. Resuelva los siguientes problemas en Matlab
a) Z + 2j = 3/Z
b) Z = 2*ln(2 – 3j)
c) sen Z = 3
d) tan Z = 2j
2. Escriba una función en Matlab que acepte un complejo y lo
despliegue en forma polar.
3. Utilice la función que definió para mostrar los resultados del
problema 1 en forma polar.
