Trabalho 3.01 potência de i

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Trabalho de matemática - 3.01

Potência de i

> Componentes: Ticiane Carvalho,Silvana Patrícia, Juliana Martins, Paulo Figueiredo, Luís Henrique, Emerson Paraíso.

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Trabalho 3.01 potência de i

  1. 1. Potência de i
  2. 2. Potência de i • No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade
  3. 3. Cardano
  4. 4. Bombelli
  5. 5. • Unidade imaginária: • define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se escrever então: i = Ö-1 . Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das raízes quadradas de números negativos .
  6. 6. Os números complexos são identificados por z = a + bi, onde a é a parte real e b a parte imaginária. A letra i acompanha a parte imaginária e dependo do valor de sua potência ela irá assumir um valor que irá facilitar vários cálculos. i 0 = 1, pois todo número ou letra elevando à zero é um. i 1 = i, pois todo número elevado a 1 é ele mesmo. i 2 = -1, a partir dessa potência que as outras irão derivar, veja: i 3 = i2 . i = -1 . i = - i i 4 = i2 . i2 = -1 . (-1) = 1 i 5 = i4 . i = 1 . i = i i 6 = i4 . i2 = 1 . (-1) = -1. i 7 = i4 . i3 = 1 . (-i) = - i. E assim por diante. Para descobrir, por exemplo, qual era o valor da potência i243, basta observar o seguinte: nas potências acima elas repetem-se de 4 em 4, então basta dividirmos 243 por 4, o resto será 3 então i243 será o mesmo que i3, portanto i243 = - i. Podemos concluir que in = ir, onde r é o resto da divisão.
  7. 7. • Potências de i : i0 = 1 i1 = i i2 = -1 i3 = i2 . i = -i i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1 i5 = i4 . i = 1.i = i i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1 i7 = i6 . i = -i , etc. • Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta elevá-lo ao resto da divisão do expoente por 4. Assim , podemos resumir: • i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4). • Exemplo: Calcule i2001 Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i .
  8. 8. Equipe • Alunos 3.01 • Silvana Patrícia • Juliana Martins • Ticiane Carvalho • Paulo Figueiredo • Luis Henrique • Emerson Paraíso

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