Números complexos

7,971 views
7,743 views

Published on

Trabalho de Matemática - 3.01

Thiellen
Renato
Jadson
Bruno

Published in: Education
0 Comments
3 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
7,971
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
2
Actions
Shares
0
Downloads
184
Comments
0
Likes
3
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Números complexos

  1. 1. NÚMEROS COMPLEXOS
  2. 2. HISTÓRIA Os números complexos apareceram no século XVI ao longo das descobertas de procedimentos gerais para resolução de equações algébricas de terceiro e quarto grau. No século XVII os complexos são usados de maneira tímida para facilitar os cálculos. No século XVIII são mais usados, a medida que se descobre que os complexos permitem a conexão de vários resultados dispersos da Matemática no conjunto dos números reais.
  3. 3. HISTÓRIA No século XIX, aparece a representação geométrica dos números complexos, motivada pela necessidade em Geometria, Topografia e Física, de se trabalhar com o conceito de vetor no plano. Os números complexos passam a ser aplicados em várias áreas do conhecimento humano, dentro e fora da Matemática.
  4. 4. Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto C , uma extensão do conjunto dos números reais R , onde existe um elemento que representa a raiz quadrada de número -1 , a assim chamada unidade imaginária. Cada número complexo z pode ser representado na forma: z= a+bi onde a e b são números reais conhecidos como parte real e parte imaginária de z e i denota a unidade imaginária: i 2 = -1 . DEFINIÇÕES
  5. 5. O conjunto dos números complexos constitui uma estrutura algébrica denominada corpo . Este corpo é algebricamente fechado. Os números complexos encontram aplicação em numerosos problemas da matemática, física e engenharia, sobretudo na solução de equações algébricas e equações diferenciais. DEFINIÇÕES
  6. 6. O conjunto dos números complexos é fechado sobre as operações de adição e multiplicação, além de possuir a propriedade de que todo elemento não-nulo do conjunto possui um inverso multiplicativo. Sejam z e w dois números complexos dados por z= (a,b) e w= (c,d) então definem-se as relações e operações elementares como veremos: OPERAÇÕES ELEMENTARES
  7. 7. OPERAÇÕES ELEMENTARES <ul><li>CONJUGADO </li></ul><ul><li> onde denota o conjugado de z . Outra notação usada para o conjugado de z e z * . </li></ul><ul><li>PRODUTO DE UM COMPLEXO POR SEU CONJUGADO </li></ul><ul><li>Como i 2 = -1 , temos que o produto de um Número Complexo a + bi pelo seu Conjugado a - bi se dá </li></ul><ul><li>por: </li></ul>
  8. 8. <ul><li>INVERSO MULTIPLICATIVO (para ): </li></ul><ul><li>As operações de subtração e divisão são efetuadas transformando em adição com o oposto aditivo e em multiplicação com o inverso multiplicativo. Algumas operações são mais fáceis de ser realizadas na forma polar: </li></ul>OPERAÇÕES ELEMENTARES
  9. 9. OPERAÇÕES ELEMENTARES <ul><li>INVERSO MULTIPLICATIVO (para ): </li></ul><ul><li>CONJUGADO </li></ul><ul><li>O produto de um número complexo pelo seu conjugado é: </li></ul>
  10. 10. OPERAÇÕES ELEMENTARES <ul><li>IGUALDADE ENTRE NÚMEROS COMPLEXOS </li></ul><ul><li>Dois números complexos são iguais se, e somente se, apresentam simultaneamente iguais a parte real e a parte imaginária. Assim, se z 1 =a+bi e z 2 =c+di , temos que: </li></ul><ul><li>z 1 =z 2 <==> a=c e b=d </li></ul>
  11. 11. <ul><li>OPOSTO </li></ul><ul><li>O oposto de qualquer número real é o seu simétrico: o oposto de 10 é -10, o oposto de -5 é +5. O oposto de um número complexo respeita essa mesma condição, pois o oposto do número complexo z será -z . </li></ul><ul><li>Por exemplo: Dado o número complexo z = 8 - 6i , o seu oposto será: -z = - 8 + 6i . </li></ul>OPERAÇÕES ELEMENTARES
  12. 12. <ul><li>INVERSO DE UM NÚMERO COMPLEXO </li></ul><ul><li>Sendo z = a + b i (0), o seu inverso é </li></ul><ul><li>z -1 = (a - b i ) / (a 2 + b 2 )   </li></ul><ul><li>Na representação trigonométrica, o inverso de </li></ul><ul><li>z = rcis q é z -1 = r -1 cis(-q). </li></ul>OPERAÇÕES ELEMENTARES
  13. 13. CURIOSIDADES <ul><li>O primeiro estudo dos complexos: Bombelli Rafael Bombelli gastou 74 páginas de sua L'Algebra para estudar as leis algébricas que regiam o cálculo com as quantidades a + b -1 . Em particular, mostrou que </li></ul><ul><li>as 4 operações aritméticas sobre números complexos produzem números desse tipo. </li></ul><ul><li>a soma de um real e um imaginário puro não pode se reduzir a um só nome. </li></ul>
  14. 14. CURIOSIDADES <ul><li>Investigação do fechamento dos complexos </li></ul><ul><li>Embora Bombelli já tivesse se preocupado em provar o fechamento das operações aritméticas com números complexos, em 1680, encontramos ninguém menos do que Leibniz questionando-se se seria real ou não o resultado de (a + ib) + (a - ib). Lambert, em 1750, mostrou que i ,  i i etc, todos tem a forma a + ib . </li></ul>
  15. 15. <ul><li>A aceitação dos números complexos </li></ul><ul><li>Talvez possamos dizer que os principais matemáticos responsáveis por essa aceitação foram: </li></ul><ul><li>Lambert e Euler que estudaram o fechamento dos números complexos sob operações algébricas e transcendentes. </li></ul><ul><li>Wessel que introduziu ( 1 797 ) a moderna representação geométrica, que foi depois popularizada por Mourey e Gauss c. 1 830. </li></ul>CURIOSIDADES
  16. 16. <ul><li>Gauss que divulgou e muito usou essa representação e provou que os números complexos são necessários e suficientes para a Álgebra. </li></ul><ul><li>Ohm e Cauchy que esclareceram a multivocidade das operações algébricas e transcendentes sobre os complexos. </li></ul>CURIOSIDADES
  17. 17. A terminologia desconfiada inicial ( n. sofísticos- 1570, n. imaginários- 1650 ) acabou cedendo lugar à mais natural denominação atual: números complexos, em 1830. Já nos anos de 1800 os números complexos encontraram grande uso no estudo da Mecânica de Fluídos, da Eletricidade e outros fenômenos em meios contínuos. Hoje, são absolutamente necessários em inúmeros campos da Ciência e Tecnologia, e em tudo que possibilitemos a sua utilização. FINALIZANDO...
  18. 18. COLÉGIO CEEP SEVERINO VIEIRA PROFESSORA: ISABEL EQUIPE / 3.01 THIELEN JADSON RENATO BRUNO

×