Por que aprender Geometria Analítica

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A Geometria Analítica estabelece relações entre
a álgebra e a geometria por meio de equações
e inequações. Isso permite transformar questões
de geometria em questões de análise e vice-
versa.
..................................................
..................................................
A Geometria Analítica, por meio de representações
cartesianas, pode ser usada para indicar a
temperatura do corpo, as oscilações da Bolsa de
Valores, efeitos da natureza etc.
–GEOMETRIAANALÍTICA

Manual de Matemática
474
Capítulo 1
INTRODUÇÃO À GEOMETRIA ANALÍTICA
A Geometria Analítica é o estudo da geometria euclidiana por meio do mé-
todo das coordenadas.
Podemos dar significado algébrico às figuras geométricas, como reta, cir-
cunferência, elipse, hipérbole, parábola, pelas equações matemáticas expres-
sas nas variáveis x e y, analisando essas equações por meio de gráficos.
Estudo do Ponto
Sistema Cartesiano
Duas retas orientadas, uma horizontal x ( )OX , chamada eixo das abscissas,
e outra vertical y ( )OX , eixo das ordenadas, são denominadas sistema
cartesiano ortogonal.
• O ponto 0 é a intersecção das retas x
e y, chamado origem.
• O par ordenado (x, y) é chamado
coordenada do ponto A.
Os dois eixos dividem o plano em quatro quadrantes.
y
x
2º 1º
3º 4º

475
Exemplo:
Represente no plano cartesiano os pontos:
A (2, 3), B(–1, 2), C (3, –2), D (4, 0) e E (0, –3).
DistânciaentreDoisPontos
Dados dois pontos, A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
), definimos dA, B
a distância entre A e
B, como mostra a figura:
A
B
C
y
yB
yA
yB – yA
xB – xA
xA xB x

476
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ABC, temos:
2 2 2
AB AC BC
2 2
B A B A
d d d ou
d(AB) (x x ) (y y )
= +
= − + −
Exemplos:
1) Calcule a distância entre os pontos A(–2, 3) e B(1, –3). Represente os
pontos no plano cartesiano.
Solução:
2 2
B A B A
2 2
d(A, B) (x x ) (y y )
d(A, B) (1 2) ( 3 3)
d(A, B) 9 36
d(A, B) 45
d(A, B) 3 5
= − + −
= + + − −
= +
=
=
1
1
2
3
–2 –1
–1
–2
–3
x
y
B
A
2) (UFES) Sendo A(3, 1), B(–2, 2) e C(4, –4) os vértices de um triângulo, ele é:
a) eqüilátero. d) retângulo e não isósceles.
b) retângulo e isósceles. e) n.d.a.
c) isósceles e não retângulo.
Solução:
Calculando as distâncias d(A, B), d(B, C) e d(A, C), podemos classificar o
triângulo.
2 2
d(A, B) (3 2) (1 2)
d(A, B) 25 1
d(A, B) 26
= + + −
= +
=

477
2 2
d(B, C) (4 2) ( 4 2)
d(B, C) 36 36
d(B, C) 72
d(B, C) 6 2
= + + − −
= +
=
=
2 2
d(A, C) (4 3) ( 4 1)
d(A, C) 1 25
d(A, C) 26
= − + − −
= +
=
Como d(A, B) = d(A, C), o triângulo é isósceles.
Vamos verificar se o triângulo é retângulo, aplicando o teorema de Pitágoras.
( ) ( ) ( )
2 2 2
72 26 26= +
72 = 26 + 26
72 = 52 (F)
Portanto, o triângulo não é retângulo.
Resposta: c
PontoMédio
Sendo A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
) e M(xM
, yM
), o ponto que divide AB ao meio é
chamado ponto médio.
A
M
B
y
yB
yA
yM
xA xB xxM

478
M(xM
, yM
) é o ponto médio do segmento AB .
A B A B
M M
x x y y
x e y
2 2
+ +
= =
Exemplos:
1) Determine as coordenadas de M, ponto médio de A(4, 3) e
B(2, –1).
Solução:
Substituindo os dados na fórmula:
A B A B
M M
M M
M M
x x y y
x y
2 2
4 2 3 1
x y
2 2
x 3 y 1
+ +
= =
+ −
= =
= =
Portanto, M(3, 1).
2) Sendo M(6, –1) o ponto médio de AB e A(0, 3), determine as coordena-
das de B.
Solução:
Aplicando a fórmula:
A B A B
M M
B B
B B
B
x x y y
x y
2 2
0 x 3 y
6 1
2 2
x 12 2 3 y
y 5
+ +
= =
+ +
= − =
= − = +
= −
B(12, –5)
3) Dados os pontos A(–1, 4), B(0, 2) e C(4, 6), determine o comprimento da
mediana referente ao vértice A.
Solução:
Obs.:
Mediana é o segmento que vai de um vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto.

479
Sendo o triângulo ABC:
A
M CB
Devemos calcular o comprimento AM.
Calculando o ponto médio de BC .
B C B C
M M
M M
M M
x x y y
x y
2 2
0 4 2 6
x y
2 2
x 2 y 4
+ +
= =
+ +
= =
= =
M(2, 4)
A mediana é dada pela d(A, M). Assim:
2 2
d(A, M) ( 1 2) (4 4)
d(A, M) 9
d(A, M) 3
= − − + −
=
=
BaricentrodeumTriângulo
Baricentro é o ponto de intersecção das três medianas do triângulo.
A
Ma
Mc Mb
CB
G
Sendo G(xG
, yG
), podemos definir
A B C
G
A B C
G
x x x
x e
3
y y y
y
3
+ +
=
+ +
=

480
Exemplo:
Seja o triângulo cujos vértices são: A(3, 1), B(–1, 2) e o baricentro G(6, –8).
Determine o vértice C.
Solução:
A B C A B C
G G
C C
C C
C C
x x x y y y
x y
3 3
3 1 x 1 2 y
6 8
3 3
18 2 x 24 3 y
x 16 y 27
+ + + +
= =
− + + +
= − =
= + − = +
= = −
Portanto, C(16, –27).
Condição de Alinhamento de Três Pontos
Para que três pontos A(xA
, yA
), B(xB
, yB
) e C(xC
, yC
) sejam alinhados ou
colineares, é necessário que:
A A
B B
C C
x y 1
D x y 1 0
x y 1
= =
Obs.:
Se D ≠ 0, os pontos formam vértices de um triângulo.
Exemplos:
1) Verifique se os pontos A(–2, 6), B(4, 8) e C(1, 7) estão alinhados.
Solução:
D =
− −2 6 1
4 8 1
1 7 1
2
4
1
6
8
7
D = –16 + 6 + 28 – 8 +14 – 24
D = 0

481
Como D = 0, os pontos estão alinhados.
2) Determine o valor de m para que os pontos A(3, –1), B(4, 2) e C(m, –2)
sejam vértices de um triângulo.
Solução:
A condição para que os pontos A, B e C sejam vértices de um triângulo
é D ≠ 0.
D
m m
=
–
–
–
–
≠
3 1 1
4 2 1
2 1
3
4
1
2
2
0
6 – m – 8 – 2m + 6 + 4 ≠ 0
–3m ≠ –8
3m ≠ 8
8
m
3
≠
Área de um Triângulo
Sendo os pontos A(xA
, yA
), B(xB
, yB
) e C(xC
, yC
) vértices de um triângulo,
podemos calcular a área do triângulo pela fórmula:
Exemplos:
1) Calcule a área do triângulo formado pelos pontos
A(2, 0), B(–1, 3) e C(4, 5).
Solução:
Calculando o determinante:
D = − −
2 0 1
1 3 1
4 5 1
2
1
4
0
3
5

482
D = 6 + 0 – 5 – 12 – 10 – 0
D = – 21
2) Determine o valor de a, sendo A(3, 1), B(2a, –1) e C(–2, –3) e a área do
triângulo determinada pelos pontos ABC é igual a 6.
Solução:
D a a= −
− − −
−
−
3 1 1
2 1 1
2 3 1
3
2
2
1
1
3
D = – 3 – 2 – 6a – 2a + 9 – 2
D = – 8a + 2
1
A D
2
1
6 8a 2
2
8a 2 12
8a 2 12 8a 2 12
8a 10 8a 14
8a 148a 10
14 7
10 a a
a 8 4
8
5
a
4
=
= − +
− + =
− + = − + = −
− = − = −
== −
− = ⇒ =
=
−
=

483
A Reta
Equação Geral da Reta
Dados os pontos A(xA
, yA
) e B(xB
, yB
) e um ponto qualquer P(xP
, yP
) que
pertença à reta r( AB ).
Sabendo que A,B e P são colineares, então:
A A
B B
P P
x y 1
x y 1 0
x y 1
=
A equação geral da reta que passa pelos pontos A e B é dada pela equação
ax + by + c = 0.
Exemplo:
Determine a equação geral da reta que passa pelos pontos
A(4, –2) e B(3, 6).
Solução:
Substituindo em:
D
x y x y
=
− −
=
4 2 1
3 6 1
1
4
3
2
6 0
24 – 2x + 3y – 6x – 4y + 6 = 0
–8x – y + 30 = 0
8x + y – 30 = 0
Portanto, 8x + y – 30 = 0 é a equação geral da reta que passa pelo ponto
A e B.
Intersecção de Retas
Para calcularmos a intersecção de duas retas concorrentes, devemos resol-
ver o sistema formado pelas equações dessas retas.

484
Exemplo:
Determine o ponto de intersecção da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e
B(–4, 2) e s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
Solução:
Calculando a equação da reta r formada pelos pontos A(0, 3) e B(–4, 2):
0 3 1
4 2 1
1
0
4
3
2 0− − =
x y x y
0 + 3x – 4y – 2x + 12 = 0
x – 4y + 12 = 0
reta s formada pelos pontos C(–1, 2) e D(5, –2).
−5 2
− −
− =
1 2 1
1
1
1
5
2
2 0
x y x y
2 + 2x + 5y + 2x + y – 10 = 0
4x + 6y – 8 = 0
Formando um sistema, temos:
x 4y 12 0 ( 4)
4x 6y 8 0
4x
− + = −

+ − =
− 16y 48 0
4x
+ − =
6y 8 0
22y 56
56 28
y y
22 11


+ − =
=
= ⇒ =
Substituindo y =
28
11
em x – 4y + 12 = 0, temos:
x – 4y + 12 = 0
x – 4 . 28
11
+12 = 0

485
x –
112
11
+12 = 0
x =
112
11
– 12
x =
20
11
−
O ponto de intersecção é
20 28
,
11 11
− 
 
 
.
EquaçãoReduzida
Dada a equação geral ax + by + c = 0 da reta, podemos colocá-la na
forma reduzida, isolando o valor de y.
= + →
↓
y mx b coeficiente linear
coeficiente angular
Em que m é o coeficiente angular da reta e b é a ordenada do ponto em que
a reta corta o eixo y.
Coeficiente Angular
É a tangente do ângulo α formado pela reta r com o eixo das abscissas,
medido sempre no sentido anti-horário.
y
r
α
x
B A
B A
y y
m tg ou m
x x
−
= α =
−

486
y
r
α
x
y
r α
x
m > 0 m < 0
y
r
x
y
x
r
m = 0 m não é definido
Exemplos:
1) Determine o coeficiente angular da reta formada pelos pontos A(–2, 6) e
B(1, 4).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:
B A
B A
y y
m
x x
−
=
−
4 6
m
1 2
2
m
3
−
=
+
−
=
2) Dê a equação reduzida da reta 3x + 6y – 4 = 0
Solução:
Isolando o valor de y, temos:

487
3x + 6y – 4 = 0
6y = –3x + 4
3x 4
y
6 6
1x 2
y
2 3
−
= +
−
= +
em que
1
m
2
= − (coeficiente angular) e
2
b
3
= (coeficiente linear).
3) Escreva a equação reduzida determinada pelos pontos A(5, –2) e
B(0, –3).
Quando olhamos uma montanha, observamos que podemos aplicar
a definição de coeficiente angular.
Qual será a inclinação da montanha?
Ela será dada pela tangente do ângulo formado pelo solo e a
montanha.

488
Solução:
Como a reta é formada por dois pontos, devemos calcular o determinante.
–15 – 2x + 3x – 5y = 0
x – 5y – 15 = 0
–5y = –x + 15
5y = x – 15
1
y x 3
5
= −
EquaçãoSegmentária
A equação segmentária da reta r é dada pela fórmula
x y
1
p q
+ = , em que p
é onde a reta corta o eixo x(p, o) e q é onde a reta corta o eixo y(o, q).
y
r
x
(0, q)
(p, 0)
Exemplo:
Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos A(–3, 0)
e B(0, 4).

489
Solução:
x y
1
p q
x y x y
1 ou 1
3 4 3 4
+ =
−
+ = + =
−
Equação da reta que passa pelo ponto P(xp
, yp
) e tem
coeficiente angular m
Determine a equação da reta r, dados o ponto P(–2, 3) e o coeficiente angu-
lar
1
m
2
= − .
Solução:
Seja P(xp
, yp
) um ponto qualquer da reta.
Então p
p p
p
y y
m y y m(x x )
x x
−
= ⇒ − = −
−
(equação da reta)
y – yp
= m(x – xp
)
y – 3 =
1
2
−
(x + 2)
2y – 6 = –x – 2
x + 2y – 4 = 0 (equação da reta)
PosiçõesRelativasentreDuasRetas
Retas Paralelas
Duas retas são paralelas se, e somente se, os coeficientes angulares forem
iguais.
y
s
α
x
r
α
mr
= ms

490
Retas Concorrentes
Duas retas são concorrentes se, e somente se, os coeficientes angulares
forem diferentes.
y
s
α
x
r
β
mr
≠ ms
Retas Perpendiculares
Duas retas são perpendiculares se, e somente se, mr
. ms
= – 1 forem
coeficientes angulares inversos e contrários.
y
s
x
r
mr
. ms
= – 1
Exemplos:
1) Verifique se as retas (r): 3x – y + 2 = 0 e (s): –9x + 3y – 1 = 0 são
paralelas.

491
Solução:
Determinando a equação reduzida das retas r e s, temos:
3x – y + 2 = 0
–y = –3x – 2
y = 3x + 2 ⇒ mr
= 3
–9x + 3y – 1 = 0
3y = 9x + 1
y = 3x +
1
3
⇒ ms
= 3
Como mr
= ms
, as retas são paralelas.
2) Determine K, para que as retas l1
: (K + 2)x + y + 2 = 0 e
l2
: 3x + ky – 1 = 0 sejam perpendiculares.
Solução:
Reduzindo as retas l1
e l2
, temos:
(l1
) (K + 2)x + y + 2 = 0
y = –(K+2)x – 2 1
m (K 2)= − +l
(l2
) 3x + Ky – 1 = 0
Ky = –3x + 1
2
3 1 3
y m
K k K
− −
= + =l
Como as retas l1
e l2
são perpendiculares, 21m m⋅l l =-1
–(K+2) . 3
K
−
=–1
3K+6=–K
3K+K=–6
4K=–6
K=
6
4
−
=
3
2
−

492
3) Determine a equação da reta (s), paralela à reta (r) x – 2y + 3 = 0 e que
passa pelo ponto A(–1, 2).
Solução:
Sendo a equação x – 2y + 3 = 0, devemos colocar na forma reduzida:
x – 2y + 3 = 0
–2y = – x – 3
2y = x + 3 ⇒ r
1
m
2
=
1x 3
y
2 2
= +
Como as retas r e s são paralelas, mr
= ms
=
1
2
.
y – yA
= ms
(x – xA
)
y – 2 =
1
2
(x + 1)
2y – 4 = x + 1
–x + 2y – 5 = 0
x – 2y + 5 = 0
Ângulo entre Duas Retas
Dadas duas retas r e s concorrentes e não perpendiculares entre si:
y
s
x
r
θ1
θ2
θ
Definimos:
r s
r s
m m
tg
1 m m
−
θ=
+ ⋅
Exemplo:
Determine o ângulo formado pelas retas:
(r) 2x – y + 1 = 0 e (s) 3x + y – 2 = 0.

493
Solução:
Reduzindo as equações, temos:
(r) 2x – y + 1 = 0 (s) 3x + y – 2 = 0
–y = –2x – 1 y = –3x+2
y = 2x +1 ms
= –3
mr
= 2
DistânciaentrePontoeReta
A distância entre a reta (r) ax + by + c = 0 e o ponto P(xp
, yp
) é dada pela
fórmula:
p p
P, r 2 2
ax by c
d
a b
+ +
=
+
Exemplos:
1) Determine a distância entre a reta (r) 3x + 2y – 1 = 0 e o ponto P(–1, 1).
Solução:
Aplicando a fórmula, temos:

494
2) Determine a distância entre as retas (r) 2x + y – 3 = 0 e (s) 4x – 3y + 1 = 0
Solução:
Devemos achar um ponto em r ou em s para podermos calcular a distância.
Tomando a reta r, determinamos o ponto:
p/x = 0
2 . 0 + y – 3 = 0
y = 3 P(0, 3)
Temos P(0, 3) e a reta (s) 4x – 3y + 1 = 0.
3) Calcule a altura do triângulo ABC, relativo ao vértice A, dados os pontos
A (5, –1), B(2, 0) e C(–3, 3).
Solução:
Determinamos inicialmente a equação da reta r, suporte do lado BC do
triângulo.
B
A
CH
h
r
6 – 3 y – 3x – 2y = 0
–3x – 5y + 6 = 0

495
Determinamos a distância entre o vértice A e a reta r.
Circunferência
Definição
CircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferênciaCircunferência é o conjunto de pontos do plano eqüidistante de C (centro da
circunferência).
r
r
r
r
r
C
A distância de C a qualquer ponto
da circunferência é chamada raio.
Equação da Circunferência
C
y
y
b
a
r
P(x, y)
x x
C(a, b) é o centro da circunferência e P(x, y) pertence à circunferência.

496
A equação reduzida da circunferência é dada pela fórmula:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
Se o centro da circunferência for a origem C(0, 0), a equação é dada por
x2
+ y2
= r2
.
Equação Geral da Circunferência
Desenvolvendo a equação reduzida de raio r e centro C(a, b), chegamos à
equação geral da circunferência:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
x2
– 2ax + a2
+ y2
– 2by + b2
– r2
= 0
2 2 2 2 2
F
x y 2ax 2by a b r 0+ − − + + − =
Para que a equação represente uma circunferência, é necessário que:
• o coeficiente de x2
e y2
seja igual a 1;
• não exista termo na variável x y;
• o raio 2 2
r a b F= + − , sendo r >0.
Exemplos:
1) Determine o raio e o centro da circunferência cuja equação reduzida é:
(x – 2)2
+ (x + 1)2
= 9.
Solução:
Comparando as equações:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
e (x – 2)2
+ (x + 1)2
= 9,obtemos:
a = 2, b = –1 e r = 3
C(2, –1) e r = 3
2) Determine a equação reduzida da circunferência que tem raio igual a 5 e
C(–3, 4).
Solução:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x + 3)2
+ (y – 4)2
= 52
(x + 3)2
+ (y – 4)2
= 25

497
3) Determine a equação da circunferência com centro C(–2, 1) que passa
pelo ponto P(3, 0).
Solução:
O ponto P pertence à circunferência.
r
C
P
2 2
d(C, P) r
r ( 2 3) (1 0)
r 25 1
r 26
=
= − − + −
= +
=
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2
(x + 2)2
+ (y – 1)2
= ( )
2
26
(x + 2)2
+ (y – 1)2
= 26
4) Ache a equação da circunferência cujas extremidades do diâmetro são
os pontos A (4, 2) e B(–2, 6).
Solução:
C(a, b) é o ponto médio de AB .
4 2 2 6
a b
2 2
a 1 b 4
− +
= =
= =
C(1, 4)
r é dado por r = d(C, A).
2 2
r (1 4) (4 2)
r 9 4
r 13
= − + −
= +
=
A equação será (x – 1)2
+ (y – 4)2
= 13.
5) Determine a equação geral da circunferência com centro em
C(–1, 3) e r = 4.
Solução:
(x – a)2
+ (y – b)2
= r2

498
Substituindo C(–1, 3) e r = 4 na equação reduzida:
(x+1)2
+ (y – 3)2
= 42
x2
+ 2x + 1 + y2
– 6y + 9 – 16 = 0
x2
+ y2
+ 2x – 6y – 6 = 0
6) Determine o centro e o raio da circunferência cuja equação geral é
x2
+ y2
– 4x – 10y – 7 = 0.
Solução:
Comparando as equações,
x2
+ y2
– 2ax – 2by + a2
+ b2
– r2
= 0 e
x2
+ y2
– 4x – 10y – 7 = 0, temos:
–2a = –4 –2b = –10
2a = 4 2b = 10
a = 2 b = 5 ⇒ C(2, 5)
a2
+ b2
– r2
= –7
22
+ 52
– r2
= –7
–r2
= –7 – 29
r2
= 36
r=6
PosiçõesRelativasentreCircunferênciaePonto
Observe a circunferência e os pontos:
C
y
P3
P1
P2
x
Se d(P1
, C) < r, P é interno.
Se d(P2
, C) = r, P ∈ à circunferência.
Se d(P3
, C) >r, P é externo.

499
Exemplos:
1) Determine a posição dos pontos P(1, –1), Q(3, 4) em relação à circunfe-
rência x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0.
Solução:
x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0
Substituindo P(1, –1), x = 1 e y = –1 na equação,
12
+(–1)2
–2 . 1+4(–1)–10=0
–14 < 0 P é interior à circunferência.
x2
+ y2
– 2x + 4y – 10 = 0 Q(3,4)
32
+ 42
– 2 . 3 + 4 . 4 – 10 = 0
25> 0 Q é exterior à circunferência.
2) Determine o valor de a, para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferên-
cia x2
+ y2
+ 3x – 6y – a = 0.
Solução:
Para que o ponto B(1, 2) pertença à circunferência, devemos ter:
12
+ 22
+ 3 . 1 – 6 . 2 +a = 0
a = 4
PosiçõesRelativasentreRetaeCircunferência
Observe as retas a, b e c e a circunferência a seguir:
C
y
x
a
b
c • a é secante à circunferência, pois a
intercepta em dois pontos d(C, a) < r.
• b é tangente à circunferência, pois
b a intercepta em um ponto d(C, b) = r.
• c é exterior à circunferência, pois
não tem ponto em comum com a
circunferência d(C, c) > r.

500
Exemplos:
1) Qual a posição da reta (r) 2x – 4y + 3 = 0 em relação à circunferência
x2
+ y2
– 6x – 2y + 1= 0?
Solução:
Inicialmente determinamos o centro e o raio da circunferência:
x2
+ y2
– 6x – 2y + 1= 0
–2a = –6 –2b = –2
2a = 6 2b = 2
a = 3 b = 1
C(3, 1)
a2
+ b2
– r2
= 1
32
+ 12
– r2
= 1
–r2
= –9
r2
= 9
r= 3
Calculando a distância de C à reta r, temos:
Como d(C,r) < r, a reta é secante à circunferência.
2) (MACK – SP) A reta s: y = kx é tangente à circunferência
x2
+ (y – 2)2
= 4.
Determine k.
Solução:
x2
+ (y – 2)2
= 4 C(0, 2) e r = 2
Kx – y = 0
Se a reta é tangente à
circunferência, d(C, s) = r.

501
2
2
2
2
2
2
2
2
K 1
2 K 1 2
K 1 1
K 1 1
K 1 1
K 0 K 0
=
+
+ =
+ =
+ =
+ =
= ⇒ =
Posições Relativas de Duas Circunferências
Dados r1
e r2
, os raios das circunferências de centros C1
e C2
e d, a distância
entre os centros, podemos identificar as posições relativas entre duas circun-
ferências:
d
C1
r1 r2
C2
As circunferências são
exteriores:
d > r1
+ r2
d
C1
r1 r2
C2
tangentes exteriores:
d = r1
+ r2
d
C1
r1 r2
C2
secantes:
d < r1
+ r2

502
dC1r1
r2
C2
tangentes interiores:
d = |r1
– r2
|
d
C1 r1
r2
C2
As circunferências são interiores:
d < |r1
– r2
|
Exemplo:
Verifique a posição relativa entre as circunferências
(x – 2)2
+ (y +1)2
= 25 e (x – 3)2
+ (y +2)2
= 9:
(x – 2)2
+ (y +1)2
= 25
C(2, –1) e r1
= 5
(x – 3)2
+ (y +2)2
= 9
C(3, –2) e r2
= 3
2 2
d (3 2) ( 2 1)
d 2
= − + − +
=
|r1
– r2
|=|5 – 3|=|2|=2
r1
+ r2
= 5 + 3 = 8
Portanto, d < |r1
– r2
| e as circunferências são interiores.
Estudo das Cônicas
As figuras parábola, hipérbole e elipse recebem o nome de cônicas, pois
são obtidas pela intersecção de um plano e um cone.
Elipse Hipérbole Parábola

503
Elipse
Elipse é o conjunto dos pontos de um plano, em que a soma das distâncias
de F1
e F2
seja sempre igual a 2a.
a a
aa
c c
b
b
B1
B2
F2F1
A1 A2
Elementos:
A1
, A2
, B1
e B2
são os vértices
a é o semi-eixo maior
b é o semi-eixo menor
c é a semidistância focal
F1
e F2
são os focos
1 2F F = 2c (distância focal)
1 2A A = 2a (eixo maior)
1 2B B = 2b (eixo menor)
AMATEMÁTICA E A ASTRONOMIA
ESTÃO INTERAGINDO
Podemos observar que a elipse
está presente na trajetória das
órbitas dos planetas em torno do
Sol, e o Sol está posicionado num
dos focos da elipse.
Todos os planetas, com exce-
ção de Plutão, descrevem elipses.
Sol
Planeta
trajetória elíptica

504
Equações
• Elipse com o centro na origem e eixo maior horizontal:
P(x, y)
A1 A2
F1 (–c, 0) F2 (c, 0) x
y
2 2
2 2
x y
1
a b
+ =
• Elipse com o centro na origem e eixo maior vertical:
F1
B1 B2
A1
F2
A2
x
y
2 2
2 2
y x
1
a b
+ =
• Elipse de centro fora da origem C(x0
, y0
) e eixo maior horizontal:
P
F1
B1
F2
B2
A2
A1
x0
y0
x
y
c c
C
2 2
0 0
2 2
1 0 0
2 0 0
(x x ) (y y )
1,
a b
em que F(x c, y ) e
F (x c, y )
− −
+ =
−
+

505
• Elipse de centro fora da origem C(x0
, y0
) e eixo maior vertical:
F1
A1
B1
x0
y0
F2
B2
A2
x
y
C
c
c
Relação Fundamental
a2
= b2
+ c2
Excentricidade
Definimos como excentricidade o quociente entre a semidistância focal e
o semi-eixo maior.
c
e=
a
, em que 0 < e < 1.
Exemplos:
1) Determine a equação da elipse de centro na origem e eixo maior horizon-
tal, sendo 2a = 12 e 2c = 6.
Solução:
2a = 12 2c = 6
a = 6 c = 3
Aplicando a relação fundamental a2
= b2
+ c2
.
62
= b2
+ 32
b2
= 27
b 27 b 3 3= ⇒ =
Se o eixo maior é horizontal, a equação é do tipo
2 2
2 2
x y
1
a b
+ = .
2 2
x y
1
36 27
+ =

506
2) Determine o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, os focos e a
excentricidade de cada uma das elipses abaixo:
a) x2
+ 5y2
= 20
Solução:
Dividindo a equação por 20, temos:
2 2
2 2
x 5y 20
20 20 20
x y
1
20 4
+ =
+ =
a2
= 20
a =
a = eixo maior: 4 5
b2
= 4
b= 2 eixo menor: 2b=4
a2
= b2
+ c2
20 = 4 + c2
c2
= 16
c= ±4
distância focal: 2c = 8
focos F1
(4, 0) e F2
(–4, 0) – eixo maior horizontal.
b)
2 2
(y 4) (x 2)
1
9 4
− +
+ =
Solução:
A elipse é de centro fora de origem C(–2, 4) e eixo maior vertical.
2 2
0 0
2 2
(y y ) (x x )
1
a b
− −
+ =

507
a2
= 9
a 9=
a = 3 eixo maior: 2a = 6
b2
= 4
b = 2 eixo menor: 2b = 4
a2
= b2
+ c2
9 = 4 + c2
c2
= 5
c 5= ± distância focal: 2c 2 5=
Os focos têm coordenadas F1
(x0
, y0
+ c) e F2
(x0
, y0
– c). Substitutivo:
F1
(–2, 4 + 5 ) e F2
(–2, 4 – 5 ).
c 5
e e
a 3
= ⇒ =
Hipérbole
Definimos como hipérbole o conjunto dos pontos do plano, tais que o módulo
da diferença das distâncias desses pontos a F1
e F2
seja sempre igual a 2a.

508
Elementos:
A1
e A2
são os vértices
F1
e F2
são os focos
a é o semi-eixo real
b é o semi-eixo imaginário
c é a semidistância focal
1 2F F = 2c (distância focal)
1 2A A = 2a (eixo real)
1 2B B = 2b (eixo imaginário)
Equações
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo x:
F1 A1 A2
F2
a a
x
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
• Hipérbole com centro na origem e focos no eixo y:
F1
A1
A2
F2
a
c
x 2 2
2 2
y x
1
a b
− =

509
• Hipérbole de centro C(x0
, y0
) e eixo real horizontal:
F1
y0
x0
F2
x
y
2 2
0 0
2 2
(x x ) (y y )
1
a b
− −
− =
• Hipérbole de centro C(x0
, y0
) e eixo real vertical:
F1
F2
x
y
2 2
0 0
2 2
(y y ) (x x )
1
a b
− −
− =
Relação Fundamental
c2
= a2
+ b2
Excentricidade
c
e
a
= , com e > 1

510
Hipérbole Eqüilátera
Define-se como hipérbole eqüilátera a hipérbole que possui os semi-eixos
real e imaginário iguais, ou seja, a = b.
Equações das Assíntotas da Hipérbole
Define-se como assíntota as retas que contêm as diagonais do retângulo
de lados 2a e 2b.
F1 F2 x
y
b
a a
b
Equações
• Eixo real horizontal e centro na origem:
b
y x
a
= ±
• Eixo real vertical e centro na origem:
a
y x
b
= ±
• Eixo real horizontal e C(x0
, y0
):
0 0
b
y y (x x )
a
− = ± −
• Eixo real vertical e C(x0
, y0
):
0 0
a
y y (x x )
b
− = ± −

511
Exemplos:
1) Determine a equação da hipérbole abaixo:
F1
F2
A2
A1
x
y
4
2
–2
–4
Solução:
Temos:
a = 2 e c = 4
Pela relação fundamental, temos:
c2
= a2
+ b2
16 = 4 + b2
b2
= 12
Logo:
2 2 2 2
2 2
y x y x
1 1
a b 4 12
− = ⇒ − =
2) Determine a equação da hipérbole de eixo real 2a = 4 horizontal, com
centro na origem e eixo imaginário 2b = 8.
Solução:
2a = 4 (eixo real) 2b = 8 (eixo imaginário)
a = 2 b = 4

512
Equação:
2 2 2 2
2 2
x y x y
1 1
a b 4 16
− = ⇒ − =
3) Determine a excentricidade, as assíntotas e a equação da hipérbole de
eixo real horizontal medindo 8, centro na origem e foco F1
(–5, 0).
Solução:
2 2
2 2
x y
1
a b
− =
2a = 8
a = 4 e c = 5
c2
= a2
+ b2
25 = 16 + b2
b2
= 25 – 16
b2
= 9
2 2
x y
1
16 9
− =
Excentricidade:
c
e
a
5
e
4
=
=
As assíntotas são:
b 3
y x y x
a 4
= ± ⇒ = ±
Parábola
Definimos como parábola o lugar geométrico dos pontos eqüidistantes da
reta d(diretriz) e do ponto F(foco).

513
y0
x0 x
d
D
P
eixo de
simetria
F
y
V
p
2
p
2
• F é o foco.
• d é a diretriz.
• V é o vértice.
• a distância p entre o foco F e a diretriz d é o parâmetro.
• V é o ponto médio do DF .
Equação
• Eixo de simetria paralelo ao eixo x:
x0
y0
x
y d
0
F
P(x, y)
p
2
Concavidade para a direita:
(y – y0
)2
= 2p(x – x0
)
Se V (0, 0):
(y – 0)2
= 2p(x – 0)
y2
= 2px

514
Concavidade voltada para a esquerda:
(y – y0
)2
= – 2p(x – x0
)
Se V(0, 0):
y2
= –2px
• Eixo de simetria paralelo ao eixo y:
x0
y0
x
y
0
F
eixodesimetria
• Concavidade voltada para cima:
(x – x0
)2
= 2p(y – y0
)
Se V(0, 0):
x2
= 2py
• Concavidade voltada para baixo:
(x – x0
)2
= – 2p(y – y0
)
Se V(0, 0):
x2
= –2py
Exemplo:
Dada a parábola de equação y2
= 12x, determine:
a) o vértice;

515
b) o foco;
c) a diretriz.
a) vértice
y2
= 12x tem vértice na origem e concavidade voltada para a direita.
V(0, 0):
b) foco
A parábola é do tipo y2
= 2px.
2p = 12 Então,
p
3
2
=
p = 6
p
F , 0 F(3, 0)
2
 
= 
 
c) diretriz
p
D , 0
2
 
− 
 
D(–3, 0) e a equação é x = –3.
EXERCÍCIOS PROPOSTOS
Geometria Analítica (ponto e reta)
1) Determine as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, F e G.
10
1
2
3
–4 –3 –2 –1
–1
–2
2 3 4 x
y
A
B
C
D
E
F
G

516
A EVOLUÇÃO DO ZERO
Desde os indianos até os árabes, a
forma do zero mudou de um ponto para
um círculo.
O símbolo maia mais famoso para o
zero era uma elipse com forma de olho.
MATEMÁTICA DO ABAJUR
Quando acendemos a luz de um abajur, podemos
mostrar que a hipérbole aparece a partir da luz que o
abajur projeta na parede.
2) Calcule a distância entre os pontos M(–3, 1) e N(5, –14).
3) Determine o ponto Q(0, a) eqüidistante dos pontos A(2, 0) e B(2, 4).
4) Classifique o triângulo cujos vértices são os pontos A(–2, 5), B(4, –3) e
C(–2, –6). Calcule seu perímetro.
5) Calcule o ponto médio do segmento AB nos seguintes casos:
a) A(2, 0) e B(–4, 3) b) A(3, 2) e B(1, –2)
6) Dados A(2, 4), B(0, –6) e C(1, 3), vértices do triângulo ABC, determine a
mediana CM do triângulo.
7) Sabendo-se que as diagonais de um paralelogramo ABCD se intercep-
tam num ponto M(1, 4), que é o ponto médio das diagonais, determine as
coordenadas dos vértices C e D, sendo A(1, 2) e B(3, 4).
8) Determine as coordenadas do baricentro do triângulo cujos vértices são
A(1, –1), B(3, 2) e C(4, –2).

517
9) Verifique se os pontos A, B e C estão alinhados nos seguintes casos:
a) A(0, 2), B(3, 0) e C(6, 0) b) A(2, 3), B(2, –4) e C(2, –1)
10) Determine o valor de a para que os pontos A(1, 3), B(2, a) e C(0, 1)
formem vértices de um triângulo.
11) Determine o coeficiente angular dos seguintes pontos:
a) A(2, 4) e B(–2, –4) b) A(–1, 3) e B(0, –1)
12) Determine a equação da reta que passa pelo ponto A(3, –4) e tem
coeficiente angular igual a
1
3
.
13) Determine a equação segmentária da reta que passa pelos pontos
A(–2, 0) e B(0, 6).
14) A reta s passa pelos pontos A(2, –3) e B(–4, 1). Determine:
a) a equação geral;
b) a equação reduzida;
c) a equação segmentária.
15) Determine a área do triângulo definido pelos pontos A(–1, 0), B(3, 1) e
C(0, –2).
16) (CESGRANRIO – RJ) As retas de equações y = 3x – 1 e y = mx + n são
paralelas. Então:
a) –m = –3n c) n = –1 e) m=3
b) n = 3m d)
1
m
3
= −
17) Determine o valor de K para que as retas (r) 2x + y – 4 = 0 e (s)
(K – 1)x –2y + 8 = 0 sejam concorrentes.
18) Determine a equação da reta s que passa pelo ponto A(3, –2) e é per-
pendicular a r, de equação 4x –y + 3 = 0.
19) (FUVEST – SP) No plano cartesiano são dados os pontos A(–1, 2), B(1,
3) e C(2, –1). Determine a equação:

518
a) da reta AB;
b) da reta que passa por C e é perpendicular a AB .
20) Calcule o ângulo formado pelas retas 5x – 2y = 0 e – 10x + 4y – 5 = 0.
21) (UFPR) A distância entre as retas paralelas 4x – 3y – 4 = 0 e 4x – 3y –
14 = 0 é igual a:
a) 2 b) 4 c) 5 d) 10 e) 18
22) (PUC – SP) Qual a distância da origem à reta de equação 3x – 4y = 10?
a) 2 b)
3
2
c) 10 d) 1 e) 2
23) Determine a distância do ponto P à reta r, sendo P(4, –3) e (r) x – y + 1 = 0.
Geometria Analítica (circunferência e elipse)
24) Escreva a equação reduzida da circunferência de centro C e raio r nos
seguintes casos:
a) C(1, –2) e r = 3 c)
1
C 2,
3
 
 
 
e r = 1
b) C(0, 4) e r = 5 d) C(0, 0) e r 3 3=
25) Escreva a equação geral da circunferência de centro C e raio r nos casos:
a) C(–1, 1) e r 2= b) C(–2, 2) e r = 2 c)
1 5
C 1, e r
2 2
− 
= 
 
26) Determine a posição relativa de cada ponto em relação à circunferência
x2
+ y2
– 6x – 2y – 3 = 0.
a) A(1, –2) b) B(–1, 0)
27)(CESCEM–SP)Oraiodacircunferênciax2
+y2
–4x+6y–3=0éiguala:
a) 2 b) 3 c) 3 d) 4 e) 16
28) Represente graficamente no plano as seguintes desigualdades:
a) (x – 2)2
+ (y – 3)2
≥ 1 b) x2
+ y2
< 81

519
29) (FEI – SP) O ponto ( )1, 2 em relação à circunferência
x2
+ y2
– 4x – 4y + 4 = 0:
a) está situado no centro.
b) é interno à circunferência e fora do centro.
c) está situado na curva.
d) é externo à circunferência, mas está na reta y 2x− .
e) n.d.a.
30) Identifique a posição da reta r em relação à circunferência, em cada
caso:
a) x – y = 2
x2
+ y2
– 8x + 4y + 18 = 0
b) x – y + 1 = 0
x2
+ y2
– 10y + 15 = 0
c) x + 2y + 1 = 0
(x – 3)2
+ (y – 4)2
= 25
31) Determine a equação da elipse nos seguintes casos:
a) a = 5 e b = 2, C(0, 0), de eixo maior horizontal
b) a = 4 e b = 3, C(0, 0), de eixo maior vertical
c) a = 6,
1
e
2
= C(0, 0), de eixo maior horizontal
32) Calcule a excentricidade da elipse de eixo maior 8 e eixo menor 6.
33) Determine o centro, o eixo maior, o eixo menor, a distância focal, as
coordenadas dos focos e a excentricidade das elipses.
a)
2 2
y x
1
25 16
+ = b)
2 2
(x 6) x
1
25 16
−
+ =
34) Determine o foco e a diretriz das parábolas abaixo:
a) y2
= 12x b) x2
= 8y

520
Respostas
1) A (1, 2), B (–3, 0), C (–4, 3), D (0, –2), E(0, 0), F(–1, –2) e G(4, 0)
2) 17 3) Q(0, 2) 4) Triângulo Escaleno
P 21 3 5= +
5) a)
3
M 1,
2
 
− 
 
b) M(2,0) 6) CM = 4
7) C(1, 6) e D(–1, 4) 8)
8 1
G ,
3 3
− 
 
 
9) a) não estão alinhados b) estão alinhados
10) a 5 11) a) m = 2 b) m = –4
12) x – 3y – 15 = 0 13)
x y
1
2 6
+ =
−
14) a) 2x + 3y + 5 = 0 b)
2 5
y x
3 3
−
= − c)
x y
1
5 5
2 3
+ =
− −
15)
9
A u
2
= 16) e 17) K ≠ –3
18) x + 4y + 5 = 0
19) a) x – 2y + 5 =0 b) 2x + y – 3 = 0
20) 0° 21) a 22) e 23) 4 2
24) a) (x – 1)2
+ (y +2)2
= 9 c)
2
2 1
(x 2) y 1
3
 
− + − = 
 
b) x2
+ (y – 4)2
= 5 d) x2
+ y2
= 27
25) a) x2
+ y2
+ 2x – 2y= 0 c) 2x2
+ 2y2
– 4x + 2y = 0
b) x2
+ y2
+ 4x – 4y + 4 = 0

521
26) a) pertence à circunferência b) externo à circunferência
27) d
28) a) b)
C
y
x2
1
2
3 r = 1
–9 9
y
x
r
29) b
30) a) r é exterior à circunferência.
b) r é secante à circunferência.
c) r é exterior à circunferência.
31) a) + =
2 2
x y
1
25 4
b)
2 2
x y
1
9 16
+ = c) + =
2 10
y x
8
20 2
32)
7
4
33) a) C (0, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal 6, F1
(0, –3), F2
(0, 3)
3
e
5
= e
b) C (6, 0), eixo maior = 10, eixo menor = 8,
distância focal = 6, F1
(3, 0), F2
(9, 0) e
3
e
5
= .
34) a) F(3, 0), x = –3 b) F(0, 2) y = –2

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