Your SlideShare is downloading. ×
×
Saving this for later? Get the SlideShare app to save on your phone or tablet. Read anywhere, anytime – even offline.
Text the download link to your phone
Standard text messaging rates apply

Asignacion

700

Published on

Published in: Education
0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
700
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
24
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

Report content
Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
No notes for slide

Transcript

  • 1. PROGRAMACIÓN DINÁMICA DETERMINISTA “ASIGNACION DE RECURSOS” Willfredo Valbuena Amado1,2, Cod. 273208, wvalbuenaa@unal.edu.co Universidad Nacional de Colombia. Bogotá D. C., Colombia Resumen: Los problemas de asignación de recursos, en los que se debe asignar una cantidad limitada de recursos entre varias actividades, se pueden resolver con frecuencia con programación dinámica. Abstrac: The problems of allocation of resources, in which a limited amount of resources between several activities is due to assign, can be solved frequently with dynamic programming Keywords: Programación, Dinámica, Deterministica, Asignación, Recursos.1. INTRODUCCIONLa programación dinámica (PD) determina la solución óptima de un problema den variables descomponiéndola en n etapas, con cada etapa incluyendo unsubproblema de una sola variable. La ventaja en el aspecto de los cálculos esque optimizaremos una sola variable, en vez de subproblemas de n variables. Laprincipal contribución de la PD es el principio de optimalidad, un marco dereferencia para descomponer el problema en etapas.La programación dinámica es una técnica que se puede aplicar para resolvermuchos problemas de optimización. La mayor parte de las veces, laprogramación dinámica obtiene soluciones con un avance en reversa, desde elfinal de un problema hacia el principio con lo que un problema grande yengorroso se convierte en una serie de problemas más pequeños y mástratables.1.1 NATURALEZA RECURSIVA DE LOS CÁLCULOS EN LA PDLos cálculos en la PD se hacen recursivamente, en el sentido de la soluciónóptima de un subproblema se utiliza como una entrada para el siguientesubproblema. Para el momento en que resolvamos el último subproblema,tendremos a mano la solución óptima para todo el problema. La forma en la cualse hacen los cálculos recursivos depende de la forma en la cual descomponemosel problema original. En particular, los subproblemas por lo común se unen pormedio de algunas restricciones comunes. A medida que avanzamos de unsubproblema a otro, debemos dar razón de la variabilidad de estas restricciones.
  • 2. 2. CARACTERÍSTICAS DE LAS APLICACIONES DE PROGRAMACIÓN DINÁMICAA continuación veremos una explicación sobre las características que soncomunes en la mayor parte de las aplicaciones de la programación dinámica.2.1 CARACTERÍSTICA 1El problema se puede dividir en etapas; cada etapa requiere una decisión. Enmuchos problemas de programación dinámica, la etapa es la cantidad de tiempoque pasa desde el inicio del problema, en ciertos casos no se necesitandecisiones en cada etapa.2.2 CARACTERÍSTICA 2Cada etapa tiene un número de estados asociados con ella. Por estado seentiende la información que se necesita en cualquier etapa para tomar unadecisión óptima.2.3 CARACTERÍSTICA 3La decisión tomada en cualquier etapa indica cómo se transforma el estado en laetapa actual en elestado en la siguiente etapa. En muchos problemas, una decisión no determinacon certeza el estado de la siguiente etapa; en lugar de ello, la decisión actualsólo determina la distribución de probabilidad del estado en la etapa siguiente.2.4 CARACTERÍSTICA 4Dado el estado actual, la decisión óptima para cada una de las etapas restantesno debe depender de estados previamente alcanzados o de decisionespreviamente tomadas. A esta idea se le conoce como principio de optimalidad.2.5 CARACTERÍSTICA 5Si los estados del problema se han clasificado en uno de T etapas, debe haberuna fórmula recursiva que relacione el costo o recompensa durante las etapas t,t+1,…, T con el costo o recompensa de las etapas t +1, t +2,…, T En esencia, lafórmula recursiva formaliza el procedimiento de marcha atrás.2.6 Algunas Aplicaciones De La Programación Dinámica Determinística • Modelo De La Ruta Más Corta • Modelo De Volumen-Carga “Mochila” • Modelo Del Numero De Empleados • Modelo De Reemplazo De Equipos • Modelo De Asignación De Recursos • Modelo De Inventarios
  • 3. 3. PROBLEMAS DE ASIGNACIÓN DE RECURSOSLos problemas de asignación de recursos, en los que se debe asignar unacantidad limitada de recursos entre varias actividades, se pueden resolver confrecuencia con programación dinámica. Recuerde que hemos resuelto esosproblemas mediante programación lineal. Para usar programación lineal paraasignar recursos, se deben hacer tres hipótesis:3.1. Hipótesis 1 La cantidad de recursos asignados a una actividad puede ser cualquier número no negativo.3.2. Hipótesis 2 El beneficio obtenido de cada actividad es proporcional a la cantidad de recursos asignados a la actividad.3.3. Hipótesis 3 El beneficio obtenido con más de una actividad es la suma de los beneficios obtenidos con las actividades individuales.Aún si no son válidas las hipótesis 1 y 2, la programación dinámica se puedeusar para resolver con eficiencia los problemas de asignación de recursoscuando es válida la hipótesis 3 y cuando la cantidad de recursos asignados acada actividad es elemento de un conjunto finito.3.4 PROBLEMA GENERAL DE ASIGNACION DE RECURSOSSuponga que tenemos w unidades de un recurso disponible, y T actividades a lasque puede asignar este recurso. Si la actividad t se realiza en un nivel xt(suponemos que xt debe de ser un número no negativo), entonces la actividad tusa gt(xt) unidades del recurso, y se obtiene el beneficio rt(xt). El problema dedeterminar la asignación de recursos que maximiza el beneficio total, sujeto a ladisponibilidad de recurso puede formular como: ௧ୀ் ‫ ݔܽܯ‬෍ ‫ݎ‬௧ ሺ‫ݔ‬௧ ሻ ௧ୀଵ ௧ୀ் ܵ. ܽ ෍ ݃௧ ሺ‫ݔ‬௧ ሻ ൑ ‫ݓ‬ ௧ୀଵ (1)Donde xt debe de ser el elemento de {0,1,2….}. Para resolver (1) conprogramación dinámica definimos a ft(d) como el beneficio máximo que se puede
  • 4. obtener de las actividades t, t+1, …..,T. podemos generalizar las formulasrecursivas escribiendo. ்݂ାଵ ሺ݀ሻ ൌ 0 para toda ݀ ݂௧ ሺ݀ ሻ ൌ ݉ܽ‫ݔ‬௫೟ ሼ‫ݎ‬௧ ሺ‫ݔ‬௧ ሻ ൅ ݂௧ାଵ ൫݀ െ ݃௧ ሺ‫ݔ‬௧ ሻ൯ሽ (2)Donde xt debe de ser entero no negativo que cumple con gt(xt) ≤ d. Sea xt(d)cualquier valor de xt que alcance ft(d). Para usar la Ecs. (2) para determinar unaasignación optima de recursos a las actividades 1,2,…T comenzamos pordeterminar todas las fT(.) y las xT(.).3.5 EJEMPLO:Finco tiene 6000 dólares para invertir, y hay disponible tres inversiones. Si seinvierte dólares dj dólares (en miles) en la inversión j, entonces se obtiene unvalor presente neto, igual a rj (dj ), donde la rj(dj ) como sigue: ‫ݎ‬ଵ ሺ݀ଵ ሻ ൌ 7݀ଵ ൅ 2 ሺ݀ଵ ൐ 0ሻ ‫ݎ‬ଶ ሺ݀ଶ ሻ ൌ 3݀ଶ ൅ 7 ሺ݀ଶ ൐ 0ሻ ‫ݎ‬ଷ ሺ݀ଷ ሻ ൌ 4݀ଷ ൅ 5 ሺ݀ଷ ൐ 0ሻ ‫ݎ‬ଵ ሺ0ሻ ൌ ‫ݎ‬ଶ ሺ0ሻ ൌ ‫ݎ‬ଷ ሺ0ሻ ൌ 0La cantidad colocada en cada inversión debe ser un múltiplo exacto de 1000dólares. Para maximizar el valor presente neto que se obtiene en las inversiones,¿cómo debe asignar Finco los 6000 dólares?Solución El interés de cada inversión no es proporcional a la cantidad invertida.Por ejemplo, 16= r1 (2) 2rj (1) =18. Entonces, no se puede usar la programaciónlineal para determinar una solución óptica a este problema. Matemáticamente, sepuede expresar el problema de Finco como sigue: ݉ܽ‫ ݔ‬ሼ‫ݎ‬ଵ ሺ݀ଵ ሻ ൅ ‫ݎ‬ଶ ሺ݀ଶ ሻ ൅ ‫ݎ‬ଷ ሺ݀ଷ ሻሽ ‫݀ ܽ .ݏ‬ଵ ൅ ݀ଶ ൅ ݀ଷ ൌ 6 ݀௝ entero no negativo ሺ݆ ൌ 1,2,3. ሻ
  • 5. Naturalmente, si las rj (dj ) fueran lineales, tendríamos un problema como los dela mochila.Para formular el problema de Finco como de programación dinámica,comenzaremos identificándola etapa. La etapa se debe escoger de tal modo quecuando quede una etapa el problema sea fácil de resolver. Entonces, en vistade que se ha resuelto el problema para el caso en el que queda una etapa, debesr fácil resolverlo cuando queden dos etapas, y así sucesivamente. Es evidenteque sería fácil resolver un problema en el cual solo de dispusiera una de unainversión, por lo que definiremos la etapa t como representativa de un caso en elque los fondos se deban asignara las inversiones t , t + 1,……,3.Para una etapa dada, ¿Qué debemos conocer para determinar la cantidad ópticapor invertir? Simplemente cuánto dinero queda disponible para las inversiones t,t+1,…,3. Así, definiremos el estado en cualquier etapa como la cantidad dedinero, en miles, disponible para inversiones t, t+1,…,3. Como nunca podremostener más de 6000 dólares disponible, los estados disponibles en cualquier etapason 0,1,2,3,4,5 y 6. Definiremos ft (dt) como el valor presente neto máximo(VPN) que se puede obtener invirtiendo dt miles de dólares en la inversiones t,t+1,…,3. También definiremos a xt (dt ) como la cantidad que se debe invertir en tara alcanzar ft (dt). Iniciamos avanzando hacia atrás y calculamosf3(0),f3(1),…,f3(6), y a continuación determinamos f2(0),f2(1),…,f2(6). Como sedispone de 6000 dólares para invertir en 1,2,3, terminamos los cálculos al llegarf1(6). Entonces volvemos sobre nuestros pasos y determinamos la cantidad quese debería asignar a cada inversión.Cálculos De La Etapa 3. Primero determinamos f3(0),f3(1),…,f3(6). Vemos quef3(d3) se logra invirtiendo todo el dinero disponible (d3) en la inversión 3. ݂ଷ ሺ0ሻ ൌ 0 ‫ݔ‬ଷ ሺ0ሻ ൌ 0 ݂ଷ ሺ1ሻ ൌ 9 ‫ݔ‬ଷ ሺ1ሻ ൌ 1 ݂ଷ ሺ2ሻ ൌ 13 ‫ݔ‬ଷ ሺ2ሻ ൌ 2 ݂ଷ ሺ3ሻ ൌ 17 ‫ݔ‬ଷ ሺ3ሻ ൌ 3 ݂ଷ ሺ4ሻ ൌ 21 ‫ݔ‬ଷ ሺ4ሻ ൌ 4 ݂ଷ ሺ5ሻ ൌ 25 ‫ݔ‬ଷ ሺ5ሻ ൌ 5 ݂ଷ ሺ6ሻ ൌ 29 ‫ݔ‬ଷ ሺ6ሻ ൌ 6Cálculos De La Etapa 2. Para determinar f2(0),f2(1),…,f2(6). Vemos todas lascantidades posibles que se puedan colocar en la inversión 2. Para determinar
  • 6. f2(d2), sea x2 la cantidad invertida en 2. Entonces, se obtendrá un VPN de r2(x2)de la inversión 2, y un VPN igual a f3(d2-x2) de la inversión 3. Recuerde elprincipio de optimalidad. Como x2 se debe de escoger para minimizar el valorpresente neto ganado con las inversiones 2 y 3 escribimos. ݂ଶ ሺ݀ଶ ሻ ൌ ݉ܽ‫ݔ‬௫మ ሼ‫ݎ‬ଶ ሺ‫ݔ‬ଶ ሻ ൅ ݂ଷ ሺ݀ଶ െ ‫ݔ‬ଶ ሻሽ (3)En la que x2 debe ser elemento de {0,1,…,d2}. Los cálculos paraf2(0),f2(1),…,f2(6) y x2(0), x2(1),…, x2(6) se presentan en la tabla siguiente. VPN DE d2 x2 r2(x2) f3(d2-x2) INVERSIONES 2,3 0 0 0 0 0 1 0 0 9 9 1 1 10 0 10* 2 0 0 13 13 2 1 10 9 19* 2 2 13 0 13 3 0 0 17 17 3 1 10 13 23* 3 2 13 9 22 3 3 16 0 16 4 0 0 21 21 4 1 10 17 27* 4 2 13 13 26 4 3 16 9 25 4 4 19 0 19 5 0 0 25 25 5 1 10 21 31* 5 2 13 17 30 5 3 16 13 29 5 4 19 9 28 5 5 22 0 22 6 0 0 29 29 6 1 10 25 35* 6 2 13 21 34 6 3 16 17 33 6 4 19 13 32 6 5 22 9 31 6 6 25 0 25
  • 7. Cálculos De La Etapa 1. Según la Ec. (3), escribimos ݂ଵ ሺ6ሻ ൌ ݉ܽ‫ݔ‬௫భ ሼ‫ݎ‬ଵ ሺ‫ݔ‬ଵ ሻ ൅ ݂ଶ ሺ6 െ ‫ݔ‬ଵ ሻሽ VPN DE d1 x1 r1(x1) f2(6-x1) INVERSIONES 1,3 6 0 0 35 35 6 1 9 31 40 6 2 16 27 43 6 3 23 23 46 6 4 30 19 49* 6 5 37 10 47 6 6 44 0 44Determinación De La Asignación Óptima De Recursos. Como x1(6)*=49, lamayor ganancia en la etapa 1 Finco invierte 4000 dólares en la inversión 1, estodeja 2000 para las inversiones 2 y 3. Por lo tanto se buscar en la tabla lainversión de 2 en la etapa 2 con el mayor beneficio que es x2(2)*=19, 1000dólares en la inversión 2 por lo tanto quedan 1000 para la inversión 3; x1(1) = 1;por lo tanto Finco puede alcanzar un valor presente máximo de 49000 dólaresinvirtiendo 4000 en la inversión 1 y 1000 dólares en la inversión 2 y 3.Representación En Forma De RedEste problema tiene un representación como red equivalente a determinar la rutamás larga de (1,6) a (4,0); por ejemplo el arco que uno a los nodos (2,4) y (3,1)tiene una longitud r2(3) = 16000 dólares que corresponde al invertir 3000 dólaresen la inversión 2. Nótese que todos los pares de nodos en las etapas adyacentesestán unidos con arcos. Por ejemplo, no hay que una los nodos (2,4) y (3,5).Después de todo si usted tiene solo tiene 4000 dólares disponibles para invertiren 2 y 3 ¿Cómo es posible tener 5000 dólares para la inversión 3? Según loscálculos, vemos que la ruta más larga desde (1,6) a (4,0) es la (1,6)-(2,2)-(3,1)-(4,0)
  • 8. 2,6 3,6 3,5 2,5 3,4 2,41,6 3,3 2,3 4,06 3,2 2,2 2,1 3,1 2,0 3,0 4. BIBLIOGRAFIA 1. Introducción a La Investigación De Operaciones, Sexta Edición, Hamdy a. Taha, 1997 2. Investigación de operaciones, Wayne L. Winston

×