Apostila com limites e derivada

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Apostila com limites e derivada

  1. 1. C´lculo I a Notas de aulasAndr´ Arbex Hallack e Setembro/2009
  2. 2. ´Indice1 N´meros reais u 1 1.1 N´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1 1.2 Rela¸˜o de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3 1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Fun¸˜es co 13 2.1 Defini¸˜o e elementos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca a 13 2.2 Constru¸˜o de fun¸˜es a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca co 18 2.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Invers˜o de fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a co 27 2.5 Fun¸˜es exponenciais e logar´ co ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6 Fun¸˜es trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co e 33 2.7 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 47 3.1 Motiva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 47 3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Teoremas para (ajudar no) c´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 53 3.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 i
  3. 3. 4 Derivada 69 4.1 A defini¸˜o da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 69 4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4 Regras de deriva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 75 4.5 Deriva¸˜o impl´ ca ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 Aplica¸˜es da Derivada co 93 5.1 Acr´scimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 93 5.2 A Derivada como raz˜o de varia¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ca 99 5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.5 Concavidade e pontos de inflex˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 a 5.6 Aplica¸˜es em problemas de m´ximos e/ou m´ co a ınimos . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 Aplica¸˜es em esbo¸os de gr´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 co c a 5.8 Apˆndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 e 5.9 Apˆndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 e 5.10 Apˆndice C : Formas indeterminadas e e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.11 Apˆndice D: Aproxima¸˜es via e co Polinˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 oReferˆncias e 147
  4. 4. Cap´ ıtulo 1N´ meros reais u1.1 N´ meros reais u Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos n´meros reais, os uquais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”: Vejamos agora alguns conjuntos de n´meros reais nessa identifica¸˜o: u ca IN = { 1, 2, 3, . . . } (n´meros naturais) ⊂ IR u ∩ Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (n´meros inteiros) ⊂ IR u ∩ Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q = 0 } (n´meros racionais) ⊂ IR u Temos ainda n´meros reais que n˜o s˜o racionais. S˜o os chamados n´meros irracionais. u a a a u Alguns exemplos:(A) Consideremos um triˆngulo retˆngulo cujos catetos medem 1: a aDo Teorema de Pit´goras, temos a2 = b2 + c2 = 2 . a √ √Portanto a = 2 (e 2 n˜o ´ racional). a e 1
  5. 5. 2 CAP´ ITULO 1(B) Outro n´mero irracional famoso: u FATO: A raz˜o entre o comprimento e o diˆmetro de qualquer circunferˆncia ´ constante. a a e e Essa raz˜o ´ um n´mero chamado π . a e u Assim, se C ´ qualquer circunferˆncia, l o seu comprimento e r seu raio, temos: e e l =π 2r π ´ um n´mero irracional ( π ≈ 3, 141592 ) e u Obs.: Existem muito mais n´meros irracionais do que racionais ! uOpera¸˜es b´sicas em IR co a Existem em IR duas opera¸˜es b´sicas: co a ¸˜ ADICAO: a ∈ IR, b ∈ IR −→ a + b ∈ IR (soma) ¸˜ MULTIPLICACAO: a ∈ IR, b ∈ IR −→ a · b ∈ IR (produto) Essas opera¸˜es possuem as seguintes propriedades: coCOMUTATIVIDADE: a+b = b+a quaisquer que sejam a, b ∈ IR. a·b = b·aASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR. a · (b · c) = (a · b) · c ˆEXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+0 = a para todo a ∈ IR. a·1 = a ˆEXISTENCIA DE INVERSOS:Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .Todo a = 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .
  6. 6. N´meros reais u 3 Obs.: O n´mero 0 ´ o unico elemento neutro para a adi¸˜o e o n´mero 1 ´ o unico elemento u e ´ ca u e ´neutro para a multiplica¸˜o. ca Conseq¨ˆncias: (das propriedades) ue 1) Duas novas opera¸˜es: co Subtra¸˜o: Dados a, b ∈ IR, definimos: a − b = a + (−b) ; ca a Divis˜o: Dados a, b ∈ IR, com b = 0, definimos: a = a · b−1 . b 2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR . 3) Se a · b = 0 , ent˜o a = 0 ou b = 0 . a 4) Cada a ∈ IR possui um unico inverso aditivo −a ∈ IR. ´ Cada a = 0 em IR possui um unico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR . ´ 5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR. 1 6) a−1 = para todo a = 0 em IR. a 7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b . 8) Se a2 = b2 ent˜o a = ±b . a Exerc´ ıcio: Tente provar as consequˆncias de 2) a 8) acima. e1.2 Rela¸˜o de ordem em IR ca Podemos decompor a reta IR como uma uni˜o disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} : a IR+ ´ o conjunto dos n´meros reais POSITIVOS; e u IR− ´ o conjunto dos n´meros reais NEGATIVOS. e u De modo que: • Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas: ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−
  7. 7. 4 CAP´ ITULO 1 • a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ; • A soma de dois n´meros positivos ´ um n´mero positivo. u e u O produto de dois n´meros positivos ´ um n´mero positivo. u e u Exerc´ıcio: Prove que: a) A soma de dois n´meros negativos ´ um n´mero negativo; u e u b) O produto de dois n´meros negativos ´ um n´mero positivo; u e u c) O produto de um n´mero positivo por um n´mero negativo ´ um n´mero negativo. u u e u Dados n´meros reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a ´ menor do que u eb (ou b ´ maior do que a ) quando b − a ∈ IR+ , ou seja, b − a ´ um n´mero positivo: e e u Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a ´ menor ou igual a b quando a < b ou a = b . e Propriedades da rela¸˜o de ordem: ca ( Exerc´ ıcio: Tente prov´-las ! ) a 1) Para todo a = 0 em IR, tem-se a2 > 0 . 2) Se a < b e b < c ent˜o a < c . a 3) Se a, b ∈ IR ent˜o a = b ou a < b ou a > b . a 4) Se a < b ent˜o a + c < b + c para todo c ∈ IR. a 5) Se a < b , temos: c>0 ⇒ a·c < b·c c<0 ⇒ a·c > b·c 6) Se a < b e a < b ent˜o a + a < b + b . a 7) Se 0 < a < b e 0 < a < b ent˜o 0 < a · a < b · b . a 1 8) Se a > 0 ent˜o a >0. a 1 1 9) Se 0 < a < b ent˜o 0 < a < . b a
  8. 8. N´meros reais u 5 Intervalos: Dados n´meros reais a < b , definimos: u (a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b } [a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b } (a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b } [a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b } (a, +∞) = { x ∈ IR ; x > a } [a, +∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a } (−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b } (−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b } (−∞, +∞) = IR • Aten¸˜o: +∞ e −∞ n˜o s˜o n´ meros reais ! S˜o apenas s´ ca a a u a ımbolos ! Exemplo: Encontre os n´meros reais que satisfa¸am as desigualdades abaixo e fa¸a a u c crepresenta¸ao gr´fica na reta real: c˜ a (a) 2 + 3x < 5x + 8 (b) 4 < 3x − 2 ≤ 10
  9. 9. 6 CAP´ ITULO 1 7 (c) > 2, x = 0 x x (d) < 4, x = 3 x−3 (e) (x + 1)(x + 5) > 0 Conjuntos limitados: Um subconjunto X ⊂ IR ´ dito LIMITADO quando existem n´meros reais a e b tais e uque, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR . Um conjunto ´ dito ILIMITADO quando ele n˜o ´ limitado. (Exemplos) e a e Observa¸˜es: co (A) Todo conjunto finito ´ limitado. e ˜ (B) CUIDADO ! NAO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO ! Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
  10. 10. N´meros reais u 7 ˜ ´ (C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos n´meros naturais NAO E limitado. u Conseq¨ˆncias importantes deste fato: ue (C.1) Propriedade arquimediana: Dados n´meros reais a e b , com a > 0 , ´ poss´ obter u e ıvelum n´mero natural n ∈ IN tal que n · a > b . u ⇓ (C.2) Densidade dos racionais: Dados dois n´meros reais a e b quaisquer, com a < b , ´ u eposs´ obter um n´mero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q = 0) tal que a < r < b ıvel u(por menor que seja a distˆncia entre a e b ). a A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer n´mero real x u(mesmo irracional), ´ poss´ obter uma seq¨ˆncia de n´meros RACIONAIS que se aproximam e ıvel ue ude x tanto quanto quisermos !!! Exemplos: 1) π = 3, 141592 . . . 31 314 3141 31415 3 3, 1 = 3, 14 = 3, 141 = 3, 1415 = ... −→ π 10 100 1000 10000 2) Tome um n´mero racional r1 > 0 e considere: u 1 3 2 r2 = r1 + ∈ Q (r2 > 0 , r2 > 3 ) 2 r1 ↓ 1 3 2 r3 = r2 + ∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r3 > 3 ) 2 r2 ↓ 1 3 2 r4 = r3 + ∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r4 > 3 ) 2 r3 ↓ . . . ↓ 1 3 2 rn+1 = rn + ∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , rn+1 > 3 ) 2 rn ↓ . . . Esta seq¨ˆncia de racionais (r1 , r2 , r3 , . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo uen´mero real. Qual ? u Tente generalizar esse processo !
  11. 11. 8 CAP´ ITULO 11.3 Valor absoluto ´ Dado qualquer n´mero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MODULO uDE x ) da seguinte forma: x se x ≥ 0 |x| = −x se x < 0 Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um n´mero real x ´ a distˆncia de x at´ u e a eo 0 (zero). (Exemplos) Obs.: S˜o imediatos da defini¸˜o: a ca |x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ; |x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 . Propriedades: 1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x, −x} (o maior dos dois valores). 2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 . 3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR . 1 1 Exerc´ ıcio: Se b = 0 em IR, mostre que = . b |b| a |a| Conclua que se a, b ∈ IR com b = 0 ent˜o a = . b |b|
  12. 12. N´meros reais u 9 4) |a + b| ≤ |a| + |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR . ıcio: Mostre que |a − b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR . Exerc´ 5) Seja c > 0 : |x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c |x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c Exemplos: 1) Resolva as seguintes equa¸˜es: co (a) |3x + 2| = 5 (b) |2x − 1| = |4x + 3| (c) |5x + 4| = −3
  13. 13. 10 CAP´ ITULO 1 (d) |x| + 2 |x − 2| = 1 + 4x 2) Encontre os n´meros reais que satisfa¸am as seguintes desigualdades: u c (a) |x − 5| < 4
  14. 14. N´meros reais u 11 3 − 2x (b) ≤ 4 , x = −2 2+x (c) |3x + 2| > 5
  15. 15. 12 CAP´ ITULO 11.4 Exerc´ ıcios P´ginas 10 e 11 da referˆncia bibliogr´fica [1]. a e a
  16. 16. Cap´ ıtulo 2Fun¸oes c˜2.1 Defini¸˜o e elementos b´sicos ca aDefini¸˜o 2.1. Uma fun¸˜o f : X → Y ´ constitu´ de: ca ca e ıda ´(a) Um conjunto X, n˜o-vazio, chamado o DOMINIO da fun¸˜o (onde a fun¸˜o est´ definida) a ca ca a a ´(b) Um conjunto Y , n˜o-vazio, chamado o CONTRA-DOMINIO da fun¸˜o (onde f “toma os cavalores”)(c) Uma correspondˆncia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X e ´um UNICO elemento f (x) = y ∈ Y . Obs.: Estaremos interessados em estudar fun¸˜es tais que X e Y s˜o conjuntos de n´meros co a ureais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante. • Imagem: Dada uma fun¸˜o f : X → Y , sua IMAGEM ´ o conjunto ca e Im (f ) = f (X) = { y = f (x) ; x ∈ X } ⊂ Y • Os elementos do dom´ ´ ınio s˜o representados por uma VARIAVEL INDEPENDENTE. a ´ Os elementos da imagem s˜o representados por uma VARIAVEL DEPENDENTE. a a ´ • Gr´fico: O GRAFICO de uma fun¸˜o f : X → Y ´ o conjunto dos pontos (x, y) do ca ePlano Cartesiano tais que y = f (x) , com x ∈ X . • Fun¸˜es limitadas: Uma fun¸˜o f : X → Y ´ dita LIMITADA quando sua imagem co ca ef (X) ´ um conjunto limitado. Em geral, ´ dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f (A) ´ um e e econjunto limitado. 13
  17. 17. 14 CAP´ ITULO 2 • Fun¸˜es crescentes ou decrescentes: Uma fun¸˜o f : X → Y ´ dita ... co ca e ... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) . ... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) .(Obs.: o mesmo tipo de defini¸˜o se aplica tamb´m a subconjuntos do dom´ - por exemplo, ca e ıniopodemos dizer que uma certa fun¸˜o ´ crescente ou decrescente em um determinado intervalo ca edentro do dom´ ınio). Exemplos: (A) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = −x2 + 4 . (B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4 . ˜ ¸˜ Obs.: Note que as fun¸˜es f1 e f2 acima SAO FUNCOES DISTINTAS. Apesar de possu´ co ıremo mesmo contra-dom´ ınio e a mesma maneira de associar x → y = f (x) , elas tˆm dom´ e ıniosdiferentes (veja a defini¸˜o de fun¸˜o). Como consequˆncia, possuem caracter´ ca ca e ısticas diferentes(f2 ´ limitada, decrescente, enquanto que f1 n˜o ´ limitada, n˜o ´ decrescente e nem crescente). e a e a e
  18. 18. Fun¸˜es co 15 (C) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = |x| . (D) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| . √ (E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5 (x) = 1 − x2 . (F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x → y tais que x2 + y 2 = 1 .
  19. 19. 16 CAP´ ITULO 2  1 1    x se x>  4 (G) f7 : IR → IR dada por f7 (x) =   1 −3 se x≤   4 (H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8 (x) = x . (I) f9 : IR → IR dada por f9 (x) = −2x + 1 . √ (J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = − x .
  20. 20. Fun¸˜es co 17 • M´ximos e m´ a ınimos: Dizemos que uma fun¸˜o f : X → Y assume VALOR ca ´MAXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f (c) ≥ f (x) para todo ´x ∈ X . Neste caso f (c) ´ chamado VALOR MAXIMO ABSOLUTO DE f . e Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f (c) ≥ f (x) para todo a e ´x ∈ (a, b) ∩ X , ent˜o c ´ dito um PONTO DE MAXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f (c) ´´ um VALOR MAXIMO RELATIVO DE f .e De modo an´logo, definimos tamb´m M´ a e INIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E M´ INIMOSRELATIVOS (LOCAIS). (Ilustra¸˜o) ca Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| . Observa¸˜es: co(i) Todo m´ximo (m´ a ınimo) absoluto ´ m´ximo (m´ e a ınimo) local. ca ˜(ii) Uma fun¸˜o PODE NAO ASSUMIR valores m´ximos ou m´ a ınimos. Exerc´ ıcio: Para cada uma das fun¸˜es dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de- cotermine seus pontos e valores m´ximos e m´ a ınimos, se existirem.
  21. 21. 18 CAP´ ITULO 22.2 Constru¸˜o de fun¸˜es a partir de outras ca coVia opera¸˜es aritm´ticas: co e Sejam f : X → IR e g : Y → IR fun¸˜es tais que X ∩ Y = φ . co A partir de f e g vamos construir novas fun¸˜es (f + g), (f − g), (f · g) : co (f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f (x) − g(x) (f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f (x) · g(x) Exemplos: √ (A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) = 4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada √por g(x) = x2 − 1 : (B) Consideremos agora a fun¸˜o indentidade f : IR → IR dada por f (x) = x e fun¸oes ca c˜constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc (x) = c (cada c ´ um n´mero real qualquer, e ufixado). Utilizando a fun¸˜o identidade e fun¸˜es constantes, podemos construir (atrav´s das opera¸˜es ca co e code adi¸˜o e multiplica¸˜o) um importante tipo de fun¸˜o p : IR → IR chamada FUNCAO ca ca ca ¸˜POLINOMIAL e dada por: p(x) = an xn + an− xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 para todo x ∈ IR an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ IR , an = 0(essa ´ dita uma fun¸˜o polinomial de grau n) e ca (Exemplos)
  22. 22. Fun¸˜es co 19 Obs.: Alguns tipos especiais de fun¸˜es polinomiais: co 1) Fun¸oes constantes: f : IR → IR com f (x) = c ∀ x ∈ IR , sendo c ∈ IR fixo. c˜ S˜o as fun¸˜es polinomiais de grau 0 (zero). a co (Exemplos) 2) Fun¸oes polinomiais de grau 1: f : IR → IR com f (x) = ax + b , a, b ∈ IR e a = 0 . c˜ Seus gr´ficos s˜o retas, n˜o paralelas aos eixos coordenados. a a a Se a > 0, f ´ crescente. Se a < 0, f ´ decrescente. e e (Exemplos) 3) Fun¸oes quadr´ticas: f : IR → IR com f (x) = ax2 + bx + c , a, b, c ∈ IR e a = 0 . c˜ a S˜o as fun¸˜es polinomiais de grau 2. a co Seus gr´ficos s˜o par´bolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade a a avoltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0. a a e ´ A interse¸˜o da par´bola (gr´fico) com o eixo de simetria ´ o VERTICE da par´bola, tem ca a −b −∆coordenadas , , sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o m´ximo ou m´ a ınimo absoluto 2a 4ada fun¸˜o, de acordo com a concavidade do gr´fico (sinal de a). ca a (Exemplos)
  23. 23. 20 CAP´ ITULO 2 Se quisermos agora utilizar a opera¸˜o de divis˜o para construir o quociente de duas fun¸oes ca a c˜dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “divis˜es por 0 (zero)”. o Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = { x ∈ Y ; g(x) = 0 } , podemosdefinir: f (x) (f /g) : (X ∩ Y ) − Z → IR pondo (f /g)(x) = g(x) Exemplos: √ (A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) = 4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada √por g(x) = x2 − 1 : ¸˜ (B) Chamamos de FUNCOES RACIONAIS as fun¸˜es dadas pelo quociente de fun¸oes co c˜polinomiais: p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 } ⇓ p(x) (p/q) : IR − Z → IR dada por (p/q)(x) = q(x) (Exemplos)
  24. 24. Fun¸˜es co 21Via composi¸˜o de fun¸˜es: ca co Sejam f : X → IR e g : Y → Z fun¸˜es tais que f (X) ⊂ Y co (a imagem de f est´ acontida no dom´ ınio de g). A cada elemento de X associamos um unico elemento de Z, aplicando inicialmente a fun¸˜o ´ caf e depois a fun¸˜o g. ca Podemos pensar ent˜o em uma fun¸˜o de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X a caum unico elemento g(f (x)) ∈ Z : ´ (g ◦ f ) : X −→ Z x −→ g(f (x)) Essa nova fun¸˜o g ◦ f : X → Z ´ chamada a fun¸˜o COMPOSTA de g com f . ca e ca Exemplos: √ (a) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = x2 + 5 e g : [0, +∞) → IR ´ dada por g(x) = e e x ,obtenha g ◦ f e f ◦ g , se poss´ıvel. (b) Seja h : IR → IR dada por h(x) = (5x2 − 2x + 1)5 . Obtenha fun¸˜es f e g tais que coh=g◦f .
  25. 25. 22 CAP´ ITULO 22.3 Exerc´ ıcios 1) Sejam f : IR → IR dada por f (x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 eh = f /g . Obtenha: 5h(−1) − 2h(0) + 3h(5) (a) O Dom´ ınio de h ; (b) ; (c) f ◦ h ; 7 (d) h2 (5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h ◦ h)(5) . 2) Para cada uma das fun¸˜es dadas abaixo, fa¸a um esbo¸o do gr´fico da fun¸˜o e obtenha: co c c a cao conjunto imagem da fun¸˜o, se a fun¸˜o ´ ou n˜o limitada, m´ximos e m´ ca ca e a a ınimos (absolutosou locais), intervalos do dom´ ınio onde a fun¸˜o ´ crescente ou decrescente e identifique ainda ca equais s˜o polinomiais ou racionais: a (a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x2 + 8x + 14 (b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4x − 1 (c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = (x − 2)2 (d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = −(x + 2)2 (e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = x3 (f) f6 : IR → IR dada por f6 (x) = 4 − x3 (g) f7 : (−5, 3] → IR dada por f7 (x) = |x| 1 (h) f8 : IR − {2} → IR dada por f8 (x) = x−2 −2 (i) f9 : [−4, 7] → IR dada por f9 (x) = x+5 √ (j) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = 2x 3) Exprimir como fun¸˜o de x (n˜o se esque¸a do dom´ ca a c ınio e do contra-dom´ ınio): (a) A ´rea de um cubo de aresta x. a (b) A ´rea total de uma caixa de volume V , sabendo que a base ´ um quadrado de lado x. a e (c) O comprimento l de uma corda de um c´ ırculo de raio 4 cm, sendo x a distˆncia da acorda ao centro do c´ ırculo. 4) Exprimir a fun¸˜o l obtida na Letra (c) do Exerc´ 3) acima como a composta de duas ca ıciofun¸˜es. co
  26. 26. Fun¸˜es co 23 5) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = x + 3 e g(x) = 5 − 2x . Fa¸a um esbo¸o dos c cgr´ficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gr´ficos, os valores a ade x para os quais f (x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequa¸˜o. ca 6) X ⊂ IR ´ dito sim´trico em rela¸˜o ` origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X . e e ca aExemplos: (−6, 6), [−13, 13], {−12} ∪ (−7, 7) ∪ {12} , IR , etc.Y = (−5, 3] n˜o ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem, pois −4 ∈ Y mas 4 ∈ Y . a e e ca a Seja f : X → IR uma fun¸˜o tal que X ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem. ca e e ca a A fun¸˜o f ´ dita... ca e ... PAR quando f (−x) = f (x) para todo x ∈ X . √ 1Exemplos: − x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) , (x ∈ IR) , etc. 1 + x2 ... ´ IMPAR quando f (−x) = −f (x) para todo x ∈ X . xExemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) , (x ∈ IR) , etc. 1 + x2 Alguma observa¸˜es e propriedades interessantes: co(1) O produto/quociente de duas fun¸˜es pares (ou duas ´ co ımpares) ´ uma fun¸˜o PAR (prove); e ca(2) O produto/quociente de uma fun¸˜o par por uma fun¸˜o ´ ca ca ımpar (ou vice-versa) ´ uma e ´fun¸˜o IMPAR (prove); ca(3) O gr´fico de uma fun¸˜o par ´ sim´trico em rela¸˜o ao eixo Oy das ordenadas (ilustre); a ca e e ca(4) O gr´fico de uma fun¸˜o ´ a ca ımpar ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem O(0, 0) (ilustre); e e ca a ´ o(5) E ´bvio que existem fun¸˜es que n˜o s˜o pares nem s˜o ´ co a a a ımpares (dˆ exemplos); e(6) Toda fun¸˜o f : X → IR (X sim´trico em rela¸˜o ao 0) pode ser escrita como a soma de ca e cauma fun¸˜o par com uma fun¸˜o ´ ca ca ımpar (desafio = tente provar). 3x − 5 2y + 5 7) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = e g(y) = . 2 3 (a) Obtenha (g ◦ f )(x) e (f ◦ g)(y) . (b) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gr´ficos de f e g ? c c a a (c) Seja f : [1, 3] → [−5, 3] dada por f (x) = 4 − x2 .Obtenha uma fun¸˜o g : [−5, 3] → [1, 3] que cumpre as condi¸˜es da Letra (a) e fa¸a esbo¸os ca co c cdos gr´ficos de f e g. a
  27. 27. 24 CAP´ ITULO 2 8) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x2 + 4x − 3 . (a) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico de f . c c a f (0 + h) − f (0) (b) Dado h = 0, calcule m0 (h) = e dˆ uma interpreta¸˜o geom´trica e ca e hpara m0 (h) . (c) Qual o significado de m0 (h) quando h se aproxima de 0 ? (d) Sabemos que o gr´fico de f ´ uma par´bola. Se V = (a, b) ´ o v´rtice dessa par´bola, a e a e e aobtenha suas coordenadas a e b. (e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do v´rtice) e, dado h = 0, tente adivi- e f (a + h) − f (a)nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma (h) = quando hh se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas). 9) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = ax2 + bx + c , com a = 0 , USE O EXERC´ e ICIOANTERIOR para deduzir as coordenadas do v´rtice da par´bola que ´ o gr´fico da fun¸˜o f . e a e a ca 10) Um grupo de amigos trabalha no per´ ıodo de f´rias vendendo salgadinhos nas praias. eO aluguel do trailler e todos os equipamentos necess´rios para a produ¸˜o custam R$ 2000,00 a capor mˆs. O custo do material de cada salgadinho ´ de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal e ecomo fun¸˜o do n´mero de salgadinhos elaborados. ca u 11) Um fabricante produz pe¸as para computadores pelo pre¸o de R$ 2,00 cada uma. c cCalcula-se que, se cada pe¸a for vendida por x reais, os consumidores comprar˜o por mˆs c a e(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como fun¸˜o do pre¸o. Obter ca co pre¸o ´timo de venda. c o 12) O pre¸o de uma corrida de t´xi ´ constitu´ de uma parte fixa, chamada bandeirada, c a e ıdoe de uma parte vari´vel, que depende do n´mero de quilˆmetros rodados. Em uma cidade X a u oa bandeirada ´ R$ 10,00 e o pre¸o do quilˆmetro rodado ´ R$ 0,50. e c o e (a) Determine a fun¸˜o que representa o pre¸o da corrida. ca c (b) Se algu´m pegar um t´xi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de e adistˆncia, quanto pagar´ pela corrida ? a a 13) Um avi˜o com 120 lugares ´ fretado para uma excurs˜o. A companhia exige de cada a e apassageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o n´mero de upassageiros que torna m´xima a receita da companhia ? a
  28. 28. Fun¸˜es co 25 14) Uma ind´stria comercializa um certo produto e tem fun¸˜o custo total em mil reais, u ca 2dada por CT (q) = q + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A fun¸˜o receita catotal em mil reais ´ dada por R(q) = 120q . e (a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades. (b) Em que valor de q acontecer´ lucro m´ximo ? a aRespostas: −263 8x + 4 1) (a) IR − {7} (b) (c) f ◦ h : IR − {7} → IR dada por (f ◦ h)(x) = 98 x−7 11(d) h2 (5) = 49 (e) (h ◦ h)(5) = 7 2) (a) Im (f1 ) = [−2, +∞) , f1 n˜o ´ limitada, x = −4 ´ ponto de m´ a e e ınimo absoluto.f1 ´ decrescente em (−∞, −4] e crescente em [−4, +∞) . f1 ´ polinomial. e e (b) Im (f2 ) = (−∞, 3] , f2 n˜o ´ limitada, x = 2 ´ ponto de m´ximo absoluto. f2 ´ a e e a ecrescente em (−∞, 2] e decrescente em [2, +∞) . f2 ´ polinomial. e (c) Im (f3 ) = [0, +∞) , f3 n˜o ´ limitada, x = 2 ´ ponto de m´ a e e ınimo absoluto. f3 ´ edecrescente em (−∞, 2] e crescente em [2, +∞) . f3 ´ polinomial. e (d) Im (f4 ) = [−∞, 0] , f4 n˜o ´ limitada, x = −2 ´ ponto de m´ximo absoluto. f4 ´ a e e a ecrescente em (−∞, −2] e decrescente em [−2, +∞) . f4 ´ polinomial. e (e) Im (f5 ) = IR , f5 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´ a e a a ınimos. f5 ´ crescente e(em todo seu dom´ ınio). f5 ´ polinomial. e (f) Im (f6 ) = IR , f6 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´ a e a a ınimos. f6 ´ decrescente e(em todo seu dom´ ınio). f6 ´ polinomial. e (g) Im (f7 ) = [0, 5] , f7 ´ limitada, x = 0 ´ ponto de m´ e e ınimo absoluto, x = 3 ´ ponto ede m´ximo local. f7 ´ decrescente em (−5, 0] e crescente em [0, 3] . a e (h) Im (f8 ) = IR − {0} , f8 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´ a e a a ınimos. f8 ´ edecrescente em (−∞, 2) e crescente em (2, +∞) . f8 ´ racional. e (i) Im (f9 ) = [−2, −1/6] , f9 ´ limitada, x = −4 ´ ponto de m´ e e ınimo absoluto, x = 7 ´ eponto de m´ximo absoluto. f9 ´ crescente (em todo seu dom´ a e ınio). f9 ´ racional. e (j) Im (f10 ) = [0, +∞) , f10 n˜o ´ limitada, x = 0 ´ ponto de m´ximo absoluto. f10 ´ a e e a ecrescente (em todo seu dom´ ınio). 3) (a) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 6x2 ; 4V (b) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 2x2 + ; x
  29. 29. 26 CAP´ ITULO 2 √ (c) l : [0, 4] → IR dada por l(x) = 2 16 − x2 . 4) l = g ◦ f , com f : [0, 4] → IR dada por f (x) = 16 − x2 e g : [0, +∞) → IR dada por √g(x) = 2 x . 2 5) S = −∞ , 3 7) (a) (g ◦ f )(x) = x e (f ◦ g)(y) = y (b) Os gr´ficos de f e g s˜o sim´tricos em rela¸˜o ` reta y = x . a a e ca a √ (c) g[−5, 3] → [1, 3] dada por g(y) = 4 − y . 8) (b) m0 (h) = −h + 4 ´ o coeficiente angular da reta secante ao gr´fico de f , passando e apelos pontos (0, f (0)) e (h, f (h)). (c) Como h varia, o ponto (h, f (h)) varia sobre o gr´fico de f , enquanto que o ponto a(0, f (0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima dareta tangente ao gr´fico de f no ponto (0, f (0)) e m0 (h) se aproxima do coeficiente angular adessa tangente. (d) a = 2 e b = 1 , ou seja, V (2, 1) ´ o v´rtice da par´bola. e e a (e) ma (h) = −h tende a 0 quando h tende a 0. x 10) C : IN ∪ {0} → IR dada por C(x) = 2000 + (x ´ o n´mero de salgadinhos e u 10elaborados) 11) l : [0, 600] → IR dada por l(x) = −x2 + 602x − 1200 . Pre¸o ´timo de venda: c ox = 301 . x 12) (a) P : [0, +∞) dada por P (x) = 10 + . 2 (b) R$ 14,00. 13) 105 passageiros. 14) L : [0, +∞) → IR dada por L(q) = −q 2 + 100q − 475 . (a) L(80) = R$1.125.000,00 ; (b) Em q = 50 acontecer´ lucro m´ximo. a a
  30. 30. Fun¸˜es co 272.4 Invers˜o de fun¸oes a c˜ Seja f : X → Y uma fun¸˜o. A cada x ∈ X est´ associado um unico f (x) ∈ Y . ca a ´ Nos interessa a situa¸˜o em que a associa¸˜o inversa f (x) → x ´ uma fun¸˜o de Y em X. ca ca e ca Para isso, f dever´ possuir duas caracter´ a ısticas: • f (X) = Y (a imagem de f ´ todo o conjunto Y ); e • x1 = x2 em X ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) em Y . Uma fun¸˜o f : X → Y ´ chamada SOBREJETORA quando f (X) = Y , ou seja, a ca eimagem de f ´ todo o contradom´ e ınio Y . Uma fun¸˜o f : X → Y ´ chamada INJETORA quando elementos distintos do dom´ ca e ıniotˆm sempre imagens distintas, ou seja, x1 = x2 em X ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) em Y . e Exemplos: (a) (b)
  31. 31. 28 CAP´ ITULO 2 (c) Uma fun¸˜o f : X → Y ´ INVERT´ ca e IVEL quando ela ´ sobrejetora e injetora ao mesmo e ¸˜tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNCAO g : Y → X que associa y → g(y) etal que g(f (x)) = x ∀ x ∈ X e f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y . ¸˜ g ´ dita A INVERSA DA FUNCAO f e escrevemos g = f −1 . e Exemplo:
  32. 32. Fun¸˜es co 29 Exerc´ ıcio: Para cada uma das fun¸˜es dadas posteriormente, fa¸a o que se pede: co c c c ´ a) Fa¸a um esbo¸o do GRAFICO da fun¸˜o. ca b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a fun¸˜o dada ´ LIMITADA ou n˜o. ca e a c) Em que partes de seu dom´ ınio a fun¸˜o ´ CRESCENTE ou DECRESCENTE ? ca e d) Determine pontos e valores MAXIMOS ou M´ ´ INIMOS (quando existirem). e) A fun¸˜o ´ INJETORA ? Justifique. ca e f) A fun¸˜o ´ SOBREJETORA ? Justifique. ca e g) Se a fun¸˜o dada for INVERT´ ca IVEL, determine sua INVERSA e fa¸a um esbo¸o do c c ´GRAFICO DA FUNCAO ¸ ˜ INVERSA. 1) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 . 2) g1 : IR → [0, +∞) dada por g1 (x) = |3x − 1| . 3) h1 : IR → IR dada por h1 (x) = −x2 + 9 . 4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1 (x) = 2x . x2 se x < 1 5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1 (x) = . −x + 2 se x ≥ 1 6) r1 : [0, +∞) → [0, +∞) dada por r1 (x) = |x2 − 3x| . 7) s1 : IR → IR dada por s1 (x) = x2 + 2 . 8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1 (x) = x2 + 2 . 9) v1 : IR+ → IR+ dada por v1 (x) = x2 . 10) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = − |x| . x 11) g2 : IR → IR dada por g2 (x) = − +1. 3
  33. 33. 30 CAP´ ITULO 2 x 12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2 (x) = − +1. 3 √ 13) p2 : [0, +∞) → (−∞, 0] dada por p2 (x) = − 2x . 1 se 1 ≤ x ≤ 3 14) q2 : IR → IR dada por q2 (x) = . 0 se x < 1 ou x > 3 15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2 .s1 . 1/x se x = 0 16) s2 : IR → IR dada por s2 (x) = . 0 se x = 0 −π se x < −1 17) v2 : (−∞, −1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2 (x) = . x2 se x ≥ 0 √ 18) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3 (x) = 1 − 1 − x2 .2.5 Fun¸˜es exponenciais e logar´ co ıtmicasRevis˜o: a a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes). 1 a = 0 ⇒ a0 = 1 e a−n = (n = 1, 2, 3, . . .) . an √ n PAR e a ≥ 0 : b = n a ⇔ bn = a , b ≥ 0 . √ n ´ IMPAR e a ∈ IR : b = n a ⇔ bn = a . Definimos potˆncias RACIONAIS de n´meros reais positivos do seguinte modo: e u √ a > 0 , p, q inteiros , q = 0 ⇒ ap/q = q ap Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1 +r2 e ar > 0 . Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional). Para isso consideremos a > 0 . √ Se x ´ racional, j´ temos ap/q = e a q ap .
  34. 34. Fun¸˜es co 31 Se x ´ IRRACIONAL, sabemos que ´ poss´ obter uma seq¨ˆncia de racionais r1 , r2 , r3 , . . . e e ıvel ueque se aproxima de x tanto quanto quisermos: r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , . . . −→ x FATO: A seq¨ˆncia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um n´mero real, o qual DEFINI- ue u xMOS como a . Temos ent˜o a nossa fun¸˜o exponencial de base a: a ca • Fixado a > 0 em IR, a fun¸˜o fa : IR → IR+ dada por fa (x) = ax para todo x ∈ IR ca ¸˜´ chamada FUNCAO EXPONENCIAL DE BASE a.e Propriedades: ax · ay = ax+y , (ax )y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1 Gr´fico: a CRECENTE se a>1 Crescimento ou decrescimento: fa (x) = ax ´ e DECRESCENTE se a<1 Inversa: Se a = 1 ent˜o a fa : IR → IR+ ´ SOBREJETORA e INJETORA, ad- e x → axmitindo portanto uma fun¸˜o inversa ca fa : IR+ → IR −1 . −1 y → fa (y) fa ´ chamada FUNCAO LOGAR´ −1 e ¸˜ −1 ITMICA DE BASE a e escrevemos fa (y) = loga y . Temos ent˜o: y = ax ⇔ x = loga y . a −1 fa fa x −→ ax = y −→ x = loga y = loga ax −1 fa fa y −→ x = loga y −→ y = ax = aloga y
  35. 35. 32 CAP´ ITULO 2 • Fixado a > 0 , a = 1 em IR, temos a fun¸˜o fa : IR+ → IR dada por fa (y) = loga y . ca −1 −1 Propriedades: loga (x · y) = loga x + loga y , loga (xy ) = y · loga x , loga 1 = 0 Gr´fico: aUm n´ mero especial: u 1 1 1 1 Consideremos a soma 1 + 1 + + + + + . . . . Mostra-se que esta soma converge 2! 3! 4! 5!(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um n´mero real conhecido por uCONSTANTE DE EULER e denotado por e . 1 1 1 1 Assim, podemos escrever e = 1 + 1 + + + + + . . . . 2! 3! 4! 5! ´ a E f´cil ver que 2 < e < 3 : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 < 1+1+ + + + + ... < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 + ... = 3 2! 3! 4! 5! 2 2 2 2 O n´mero real e acima definido ir´ desempenhar um importante papel ao longo do nosso u acurso de C´lculo I, no que se refere `s fun¸˜es exponencial e logar´ a a co ıtmica, na base e : fe : IR → IR+ dada por fe (x) = ex (fun¸˜o exponencial de base e) e sua inversa ca −1 + −1fe : IR → IR dada por fe (x) = loge x (fun¸˜o logar´ ca ıtmica de base e). Escrevemos tamb´m loge x = log x = ln x . e Obs.: Outro modo de obter o n´mero e : u 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1+ , 1+ , 1+ , 1+ , 1+ , . . . −→ e 1 2 3 4 5
  36. 36. Fun¸˜es co 332.6 Fun¸˜es trigonom´tricas co e • Medidas de ˆngulos em radianos: a Um ˆngulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferˆncia (centrada a eno v´rtice do ˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunferˆncia considerada: e a e Assim, um ˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo ar o raio da circunferˆncia considerada: e θ l = ⇒ l =θ·r 1 r Desta forma, ´ f´cil ver que a medida de “uma volta” em radianos ´ 2π rad : e a e 2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad • Rela¸˜es trigonom´tricas nos triˆngulos retˆngulos: co e a a π Consideremos 0 < θ < e um ˆngulo de θ rad em um triˆngulo retˆngulo: a a a 2 b c sen θ b sen θ = cos θ = tg θ = = cos2 θ + sen 2 θ = 1 a a cos θ c
  37. 37. 34 CAP´ ITULO 2 • O c´ ırculo trigonom´trico: e Rela¸˜es: co cos2 θ + sen 2 θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2 θ , csc2 θ = 1 + ctg 2 θ 1 1 1 ctg θ = ( sen θ = 0) , sec θ = (cos θ = 0) , csc θ = ( sen θ = 0) tg θ cos θ sen θ ˆ • Angulos not´veis: a θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π √ √ 1 2 3 sen θ 0 2 2 2 1 0 −1 0 √ √ 3 2 1 cos θ 1 2 2 2 0 −1 0 1 √ 3 √ tg θ 0 3 1 3 0 0 • F´rmulas de transforma¸˜o: o ca A partir das f´rmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferen¸a de dois ˆngulos, o c apodemos deduzir (veja exerc´ıcios mais ` frente) outras importantes f´rmulas de transforma¸˜o, a o caas quais tˆm utilidade no c´lculo de certas integrais trigonom´tricas. e a e   cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b  sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a
  38. 38. Fun¸˜es co 35 • Fun¸˜es trigonom´tricas: co e Fun¸˜o SENO: ca sen : IR −→ IR x −→ sen x Gr´fico: a Im ( sen ) = [−1, 1] sen (−x) = − sen x (´ uma fun¸˜o ´ e ca IMPAR) e ca ´ sen (x + 2π) = sen x (´ uma fun¸˜o PERIODICA de per´ ıodo T = 2π) A fun¸˜o SENO ´ ... ca e... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k ´ IMPAR, k ∈ Z ´ Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z) Assume o VALOR M´ INIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z) 1 Se sen x = 0 , ent˜o temos csc x = a . Assim, n˜o ´ dif´ ver que a fun¸˜o a e ıcil ca sen xcsc : IR − {kπ , k ∈ Z} → IR , que associa x → csc x = 1/ sen x tem gr´fico: a
  39. 39. 36 CAP´ ITULO 2 ˜ ´ ˜ ´ A fun¸˜o SENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas a quando restringimos seu ca ınio ınio, temos uma nova fun¸˜o f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1] , a qualdom´ e seu contra-dom´ ca x −→ sen x´ BIJETORAe e tem portanto inversa f −1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2] y −→ f −1 (y) = arc sen y Exerc´ ıcio: Fa¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a fun¸˜o SENO, para as fun¸˜es c ca coCOSSENO e TANGENTE.2.7 Exerc´ ıcios 1) Sabendo que f : IR → IR ´ uma fun¸˜o polinomial do 1o grau, que f (−1) = 2 e cae f (2) = 3 , determine f (x) para cada x ∈ IR (uma fun¸˜o polinomial do 1o grau est´ ca atotalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma retaest´ totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos). a 2) Sabendo que g : IR → IR ´ uma fun¸˜o polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 , e cag(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma fun¸˜o polinomial do ca o2 grau est´ totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos = auma par´bola est´ totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos). a a
  40. 40. Fun¸˜es co 37 3) (Polinˆmios de Lagrange) Sejam x1 , x2 , x3 n´meros reais distintos e y1 , y2 , y3 o un´meros reais n˜o necessariamente distintos. O unico polinˆmio p(x) do 2o grau tal que u a ´ op(x1 ) = y1 , p(x2 ) = y2 e p(x3 ) = y3 ´ dado por e (x − x2 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x2 ) p(x) = y1 · + y2 · + y3 · (x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x3 − x1 )(x3 − x2 ) (a) Usando o resultado acima, refa¸a o exerc´ anterior. c ıcio (b) Generalize o resultado acima e obtenha a fun¸˜o polinomial do 3o grau que assume em ca−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0, −2 , respectivamente. 4) Sejam X ⊂ IR um conjunto sim´trico em rela¸˜o ` origem 0 e f : X → IR uma fun¸˜o. e ca a ca 1 (a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) = [f (x) + f (−x)] ´ uma fun¸˜o par e que e ca 2 1h : X → IR dada por h(x) = [f (x) − f (−x)] ´ ´e ımpar (veja Exerc´ 6 da p´g. 23). ıcio a 2 (b) Obtenha a soma g +h e tente fazer agora (se vocˆ ainda n˜o fez) o item 6) do Exerc´ e a ıcio6 da p´g. 23. a x−1 (c) Seja f : IR − {−1, 1} → IR a fun¸˜o dada por f (x) = ca . Mostre que f n˜o ´ par a e x+1e n˜o ´ ´ a e ımpar. Escreva f como a soma de uma fun¸˜o par com uma fun¸˜o ´ ca ca ımpar. 5) Prove que cada uma das fun¸˜es abaixo ´ invert´ (bijetora) e obtenha a inversa: co e ıvel (a) f : IR → IR dada por f (x) = 3x + 4 ; 1 (b) g : IR − {a} → IR − {0} dada por g(x) = (a ∈ IR) ; x−a x+a (c) h : IR − {a} → IR − {1} dada por g(x) = (a ∈ IR) ; x−a √ (d) r : [1, +∞) → [0, +∞) dada por r(x) = x − 1 . x 6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) = . Prove que g ´ invert´ e ıvel 1 − |x|(ou seja, bijetora) e obtenha g −1 . 15 7) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = 2x , mostre que f (x + 3) − f (x − 1) = e . 2f (x) 1−x 8) Dada φ : (−1, 1) → IR dada por φ(x) = ln , verifique a igualdade: 1+x a+b φ(a) + φ(b) = φ 1 + ab
  41. 41. 38 CAP´ ITULO 2 9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o r´dio, o urˆnio a aou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar ataxa de decaimento da massa desses materiais ´ utilizando o conceito de meia-vida. e A meia-vida de um material radioativo ´ definida como o tempo necess´rio para que sua e amassa seja reduzida ` metade. a Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massapresente num instante qualquer t, podemos estimar M pela fun¸˜o exponencial dada por ca M = M0 e−Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material. A equa¸˜o acima ´ conhecida como modelo de decaimento exponencial. ca e Sabendo que a meia-vida do carbono-14 ´ de aproximadamente 5730 anos, determinar: e (a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material; (b) A quantidade de massa presente ap´s dois per´ o ıodos de meia-vida, se no instante t = 0a massa era M0 ; (c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presen¸a do carbono-14 neste c´ 80% da quantidade original.e 10) Uma certa substˆncia radioativa decai exponencialmente e, ap´s 100 anos, ainda restam a o60% da quantidade inicial. (a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substˆncia. a (b) Determinar a sua meia-vida. (c) Determinar o tempo necess´rio para que reste somente 15% de uma dada massa inicial. a 11) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos das seguintes fun¸˜es: c c a co (a) f : IR → IR dada por f (x) = 2x ; (b) g : IR → IR dada por g(x) = e−x ; (c) h : IR → IR dada por h(x) = −ex ; (d) s : IR − {0} → IR dada por s(x) = ln |x| ; (e) l : (−∞, 0) → IR dada por l(x) = ln(−x) ; (f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |ln x| ; (g) n : (−1, +∞) → IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .
  42. 42. Fun¸˜es co 39 ca e ´ 12) Uma fun¸˜o f : X → IR ´ dita PERIODICA quando existe um n´mero T > 0 u(chamado o per´ıodo de f ) tal que f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu gr´fico ase repete a cada intervalo de comprimento T . As fun¸oes trigonom´tricas constituem exemplos cl´ssicos de fun¸˜es peri´dicas: c˜ e a co o (a) Mostre que as fun¸˜es fn : IR → IR dadas por fn (x) = sen nx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) s˜o co atodas ´ ımpares e peri´dicas de per´ o ıodo T = 2π . (b) Mostre que as fun¸˜es gn : IR → IR dadas por gn (x) = cos nx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .) cos˜o todas pares e peri´dicas de per´ a o ıodo T = 2π . 13) (F´rmulas de Transforma¸˜o) Prove as seguintes identidades trigonom´tricas: o ca e  sen 2 a = 1 − cos 2a     2  cos2 a = 1 + cos 2a    2   cos a · cos b = 1 1  · cos(a + b) + · cos(a − b) 2 2        1 1  sen a · sen b = · cos(a − b) − · cos(a + b)    2 2     sen a · cos b = 1 · sen (a + b) + 1    · sen (a − b) 2 2 14) Seja f : IR − {x ∈ IR ; cos x = 0 } → IR dada por f (θ) = tg θ . Verifique: 2f (θ) f (2θ) = 1 − [f (θ)]2 15) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos das seguintes fun¸˜es: c c a co (a) f : IR → IR dada por f (x) = sen 3x ; (b) g : IR → IR dada por g(x) = 2 cos 2x ; (c) h : IR → IR dada por h(x) = 1 + sen x ; (d) s : IR → IR dada por s(x) = | sen x| ; (e) l : IR → IR dada por l(x) = sen (x − (π/2)) . 16) Seja f : [1, 100] → IR dada por f (x) = arc sen [log10 (x/10)] . Obtenha f (1), f (100) √e f ( 10 ) .
  43. 43. 40 CAP´ ITULO 2 17) (Fun¸˜es Hiperb´licas) Definimos as fun¸˜es hiperb´licas b´sicas: co o co o a ex − e−x • Fun¸˜o Seno Hiperb´lico: senh : IR → IR dada por senh x = ca o 2 e + e−x x • Fun¸˜o Cosseno Hiperb´lico: cosh : IR → IR dada por cosh x = ca o 2 (a) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico das fun¸˜es senh e cosh. c c a co (b) Prove que cosh2 x − senh 2 x = 1 para todo x ∈ IR . (c) Prove que cosh x ≥ 1 para todo x ∈ IR . Definimos ainda: senh x tgh : IR → IR dada por tgh x = cosh x cosh x ctgh : IR − {0} → IR dada por ctgh x = senh x 1 sech : IR → IR dada por sech x = cosh x 1 csch : IR − {0} → IR dada por csch x = senh x (d) Obtenha (prove) rela¸˜es entre as fun¸˜es tgh e sech e entre ctgh e csch . co co 18) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 2 senh x − 3 tgh x . Obtenha f (2) , f (−1) e f (0) .Respostas de exerc´ ıcios: • Exerc´ da p´gina 17: ıcio a (A) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f1 (0) = 4 . a af1 n˜o possui nenhum ponto de m´ a ınimo. (B) M´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor m´ximo absoluto f2 (1) = 3 . a aM´ ınimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor m´ınimo absoluto f2 (3) = −5 . (C) M´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ ınimo absoluto f3 (0) = 0 . (D) M´ximo local em x = 0 onde assume o valor m´ximo local f4 (0) = 4 . M´ a a ınimoabsoluto (e local) no conjunto {−2, 2} , onde assume o valor m´ ınimo absoluto f4 (2) = 0 . (E) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f5 (0) = a a1 . M´ınimo absoluto (e local) no conjunto {−1, 1} , onde assume o valor m´ ınimo absoluto
  44. 44. Fun¸˜es co 41f5 (−1) = 0 . (F) f6 n˜o ´ fun¸˜o. a e ca (G) M´ximo local no conjunto (−∞, 1/4) , onde assume o valor m´ximo local f7 (−2) = a a−3 . M´ ınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, 1/4] , onde assume o valor m´ ınimo absolutof7 (−4) = −3 . (H) M´ximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor m´ximo absoluto f8 (2) = 2 . a af8 n˜o possui nenhum ponto de m´ a ınimo. (I) f9 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. (J) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f10 (0) = 0 . a af10 n˜o possui nenhum ponto de m´ a ınimo. • Exerc´ da p´gina 29: ıcio a 1) Im (f1 ) = IR . f1 n˜o ´ limitada. f1 ´ crescente em todo o seu dom´ a e e ınio. f1n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. f1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e −1 −1 y+1inversa f1 : IR → IR dada por f1 (y) = . 3 2) Im (g1 ) = [0, +∞) . g1 n˜o ´ limitada. g1 ´ decrescente em (−∞, 1/3] e crescente a e eem [1/3, +∞) . g1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assumevalor m´ınimo absoluto 0. g1 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo. g1 ´ sobrejetora mas a a en˜o ´ injetora e por isso n˜o ´ invert´ a e a e ıvel. 3) Im (h1 ) = (−∞, 9] . h1 n˜o ´ limitada. h1 ´ crescente em (−∞, 0] e decrescente a e eem [0, +∞) . h1 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor am´ximo absoluto 9. h1 n˜o possui nenhum ponto de m´ a a ınimo. h1 n˜o ´ injetora e n˜o ´ a e a esobrejetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e ıvel. 4) Im (p1 ) = (0, 6] . p1 ´ limitada. p1 ´ crescente (em todo o seu dom´ e e ınio). p1 possuiponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo 6. p1 n˜o possui a a a −1nenhum ponto de m´ ınimo. p1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo inversa p1 : (0, 6] → (0, 3] e −1 wdada por p1 (w) = . 2 5) Im (q1 ) = [−3, +∞) . q1 n˜o ´ limitada. q1 ´ crescente em [0, 1] e decrescente a e eem (−∞, 0] e em [1, 5] . q1 possui ponto de m´ximo local em x = 1 onde assume valor am´ximo local 1. q1 possui ponto de m´ a ınimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valorm´ınimo absoluto −3 e possui ponto de m´ ınimo local em x = 0 onde assume valor m´ ınimolocal 0. q1 n˜o ´ injetora e n˜o ´ sobrejetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e a e a e ıvel. 6) Im (r1 ) = [0, +∞) . r1 n˜o ´ limitada. r1 ´ crescente em [0, 3/2] e em [3, +∞) a e ee decrescente em [3/2, 3] . r1 possui ponto de m´ximo local em x = 3/2 onde assume a
  45. 45. 42 CAP´ ITULO 2valor m´ximo local 9/4. r1 possui ponto de m´ a ınimo absoluto (e local) no conjunto {0, 3}onde assume valor m´ınimo absoluto 0. r1 ´ sobrejetora mas n˜o ´ injetora e por isso n˜o ´ e a e a einvert´ ıvel. 7) Im (s1 ) = [2, +∞) . s1 n˜o ´ limitada. s1 ´ decrescente em (−∞, 0] e crescente a e eem [0, +∞) . s1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valorm´ınimo absoluto 2. s1 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo. s1 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ a a a e a einjetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e ıvel. 8) Im (u1 ) = [2, 11] . u1 ´ limitada. u1 ´ decrescente em [−2, 0] e crescente em [0, 3] . e eu1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor m´ınimo absoluto2. u1 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo a aabsoluto 9 e possui ponto de m´ximo local em x = −2 onde assume valor m´ximo local 6. a au1 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e a e a e ıvel. 9) Im (v1 ) = IR+ . v1 n˜o ´ limitada. v1 ´ crescente em todo o seu dom´ a e e ınio. v1n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. v1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e −1 + + −1 √inversa v1 : IR → IR dada por v1 (z) = z . 10) Im (f2 ) = (−∞, 0] . f2 n˜o ´ limitada. f2 ´ crescente em (−∞, 0] e decrescente a e eem [0, +∞) . f2 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor am´ximo absoluto 0. f2 n˜o possui nenhum ponto de m´ a a ınimo. f2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ a e a einjetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e ıvel. 11) Im (g2 ) = IR . g2 n˜o ´ limitada. g2 ´ decrescente em todo o seu dom´ a e e ınio. g2n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. g2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e −1 −1inversa g2 : IR → IR dada por g2 (y) = −3y + 3 . 12) Im (h2 ) = (−∞, 2) . h2 n˜o ´ limitada. h2 ´ decrescente em todo o seu dom´ a e e ınio.h2 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. h2 ´ injetora mas n˜o ´ sobrejetora e a ee por isso n˜o ´ invert´ a e ıvel. 13) Im (p2 ) = (−∞, 0] . p2 n˜o ´ limitada. p2 ´ decrescente em todo o seu dom´ a e e ınio. p2possui nenhum ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo a aabsoluto 0. p2 n˜o possui nenhum ponto de m´ a ınimo. p2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e 2 tinversa p−1 : (−∞, 0] → [0, +∞) dada por p−1 (t) = 2 2 . 2 14) Im (q2 ) = {0, 1} . q2 ´ limitada. q2 n˜o ´ crescente ou decrescente em intervalo e a ealgum. q2 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor am´ximo absoluto 1. q2 possui ponto de m´ a ınimo local no conjunto (1, 3) onde assume valorm´ınimo local 1. q2 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] ondeassume valor m´ ınimo absoluto 0. q2 possui ponto de m´ximo local no conjunto IR − [1, 3] aonde assume valor m´ximo local 0. q2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ a a e a e a e

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