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Apostila com limites e derivada
 

Apostila com limites e derivada

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    Apostila com limites e derivada Apostila com limites e derivada Document Transcript

    • C´lculo I a Notas de aulasAndr´ Arbex Hallack e Setembro/2009
    • ´Indice1 N´meros reais u 1 1.1 N´meros reais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . u 1 1.2 Rela¸˜o de ordem em IR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 3 1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 Fun¸˜es co 13 2.1 Defini¸˜o e elementos b´sicos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca a 13 2.2 Constru¸˜o de fun¸˜es a partir de outras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca co 18 2.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Invers˜o de fun¸˜es . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a co 27 2.5 Fun¸˜es exponenciais e logar´ co ıtmicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.6 Fun¸˜es trigonom´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co e 33 2.7 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363 Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 47 3.1 Motiva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 47 3.2 Limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.3 Teoremas para (ajudar no) c´lculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a 53 3.4 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 3.5 Continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 3.6 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65 i
    • 4 Derivada 69 4.1 A defini¸˜o da Derivada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 69 4.2 Derivadas e continuidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.3 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 4.4 Regras de deriva¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ca 75 4.5 Deriva¸˜o impl´ ca ıcita . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 4.6 Exerc´ ıcios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 845 Aplica¸˜es da Derivada co 93 5.1 Acr´scimos e diferenciais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 93 5.2 A Derivada como raz˜o de varia¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . a ca 99 5.3 Taxas relacionadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107 5.4 Alguns resultados importantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 5.5 Concavidade e pontos de inflex˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117 a 5.6 Aplica¸˜es em problemas de m´ximos e/ou m´ co a ınimos . . . . . . . . . . . . . . . 120 5.7 Aplica¸˜es em esbo¸os de gr´ficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 co c a 5.8 Apˆndice A : Limites no infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 e 5.9 Apˆndice B : Limites infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128 e 5.10 Apˆndice C : Formas indeterminadas e e a Regra de L’Hopital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 5.11 Apˆndice D: Aproxima¸˜es via e co Polinˆmios de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 oReferˆncias e 147
    • Cap´ ıtulo 1N´ meros reais u1.1 N´ meros reais u Ao longo deste curso iremos trabalhar sobretudo com o conjunto IR dos n´meros reais, os uquais identificamos geometricamente com os pontos de uma reta (orientada), a “reta real”: Vejamos agora alguns conjuntos de n´meros reais nessa identifica¸˜o: u ca IN = { 1, 2, 3, . . . } (n´meros naturais) ⊂ IR u ∩ Z = { . . . , −2, −1, 0, 1, 2, 3, . . . } (n´meros inteiros) ⊂ IR u ∩ Q = { p/q ; p, q ∈ Z , q = 0 } (n´meros racionais) ⊂ IR u Temos ainda n´meros reais que n˜o s˜o racionais. S˜o os chamados n´meros irracionais. u a a a u Alguns exemplos:(A) Consideremos um triˆngulo retˆngulo cujos catetos medem 1: a aDo Teorema de Pit´goras, temos a2 = b2 + c2 = 2 . a √ √Portanto a = 2 (e 2 n˜o ´ racional). a e 1
    • 2 CAP´ ITULO 1(B) Outro n´mero irracional famoso: u FATO: A raz˜o entre o comprimento e o diˆmetro de qualquer circunferˆncia ´ constante. a a e e Essa raz˜o ´ um n´mero chamado π . a e u Assim, se C ´ qualquer circunferˆncia, l o seu comprimento e r seu raio, temos: e e l =π 2r π ´ um n´mero irracional ( π ≈ 3, 141592 ) e u Obs.: Existem muito mais n´meros irracionais do que racionais ! uOpera¸˜es b´sicas em IR co a Existem em IR duas opera¸˜es b´sicas: co a ¸˜ ADICAO: a ∈ IR, b ∈ IR −→ a + b ∈ IR (soma) ¸˜ MULTIPLICACAO: a ∈ IR, b ∈ IR −→ a · b ∈ IR (produto) Essas opera¸˜es possuem as seguintes propriedades: coCOMUTATIVIDADE: a+b = b+a quaisquer que sejam a, b ∈ IR. a·b = b·aASSOCIATIVIDADE: a + (b + c) = (a + b) + c quaisquer que sejam a, b e c ∈ IR. a · (b · c) = (a · b) · c ˆEXISTENCIA DE ELEMENTOS NEUTROS: a+0 = a para todo a ∈ IR. a·1 = a ˆEXISTENCIA DE INVERSOS:Todo a ∈ IR possui um INVERSO ADITIVO (−a) ∈ IR tal que a + (−a) = 0 .Todo a = 0 em IR possui um INVERSO MULTIPLICATIVO a−1 ∈ IR tal que a · a−1 = 1 .DISTRIBUTIVIDADE: a · (b + c) = (a · b) + (a · c) para todos a, b e c ∈ IR .
    • N´meros reais u 3 Obs.: O n´mero 0 ´ o unico elemento neutro para a adi¸˜o e o n´mero 1 ´ o unico elemento u e ´ ca u e ´neutro para a multiplica¸˜o. ca Conseq¨ˆncias: (das propriedades) ue 1) Duas novas opera¸˜es: co Subtra¸˜o: Dados a, b ∈ IR, definimos: a − b = a + (−b) ; ca a Divis˜o: Dados a, b ∈ IR, com b = 0, definimos: a = a · b−1 . b 2) a · 0 = 0 para todo a ∈ IR . 3) Se a · b = 0 , ent˜o a = 0 ou b = 0 . a 4) Cada a ∈ IR possui um unico inverso aditivo −a ∈ IR. ´ Cada a = 0 em IR possui um unico inverso multiplicativo a−1 ∈ IR . ´ 5) −a = (−1) · a para todo a ∈ IR. 1 6) a−1 = para todo a = 0 em IR. a 7) Para todos a, b ∈ IR , temos: a · (−b) = (−a) · b = −(a · b) e (−a) · (−b) = a · b . 8) Se a2 = b2 ent˜o a = ±b . a Exerc´ ıcio: Tente provar as consequˆncias de 2) a 8) acima. e1.2 Rela¸˜o de ordem em IR ca Podemos decompor a reta IR como uma uni˜o disjunta IR = IR+ ∪ IR− ∪ { 0} : a IR+ ´ o conjunto dos n´meros reais POSITIVOS; e u IR− ´ o conjunto dos n´meros reais NEGATIVOS. e u De modo que: • Dado a ∈ IR, ocorre uma, e apenas uma, das seguintes alternativas: ou a ∈ IR+ ou a = 0 ou a ∈ IR−
    • 4 CAP´ ITULO 1 • a ∈ IR+ ⇔ −a ∈ IR− ; • A soma de dois n´meros positivos ´ um n´mero positivo. u e u O produto de dois n´meros positivos ´ um n´mero positivo. u e u Exerc´ıcio: Prove que: a) A soma de dois n´meros negativos ´ um n´mero negativo; u e u b) O produto de dois n´meros negativos ´ um n´mero positivo; u e u c) O produto de um n´mero positivo por um n´mero negativo ´ um n´mero negativo. u u e u Dados n´meros reais a e b, escrevemos a < b (ou b > a ) e dizemos que a ´ menor do que u eb (ou b ´ maior do que a ) quando b − a ∈ IR+ , ou seja, b − a ´ um n´mero positivo: e e u Obs.: Escrevemos a ≤ b e dizemos que a ´ menor ou igual a b quando a < b ou a = b . e Propriedades da rela¸˜o de ordem: ca ( Exerc´ ıcio: Tente prov´-las ! ) a 1) Para todo a = 0 em IR, tem-se a2 > 0 . 2) Se a < b e b < c ent˜o a < c . a 3) Se a, b ∈ IR ent˜o a = b ou a < b ou a > b . a 4) Se a < b ent˜o a + c < b + c para todo c ∈ IR. a 5) Se a < b , temos: c>0 ⇒ a·c < b·c c<0 ⇒ a·c > b·c 6) Se a < b e a < b ent˜o a + a < b + b . a 7) Se 0 < a < b e 0 < a < b ent˜o 0 < a · a < b · b . a 1 8) Se a > 0 ent˜o a >0. a 1 1 9) Se 0 < a < b ent˜o 0 < a < . b a
    • N´meros reais u 5 Intervalos: Dados n´meros reais a < b , definimos: u (a, b) = { x ∈ IR ; a < x < b } [a, b] = { x ∈ IR ; a ≤ x ≤ b } (a, b] = { x ∈ IR ; a < x ≤ b } [a, b) = { x ∈ IR ; a ≤ x < b } (a, +∞) = { x ∈ IR ; x > a } [a, +∞) = { x ∈ IR ; x ≥ a } (−∞, b) = { x ∈ IR ; x < b } (−∞, b] = { x ∈ IR ; x ≤ b } (−∞, +∞) = IR • Aten¸˜o: +∞ e −∞ n˜o s˜o n´ meros reais ! S˜o apenas s´ ca a a u a ımbolos ! Exemplo: Encontre os n´meros reais que satisfa¸am as desigualdades abaixo e fa¸a a u c crepresenta¸ao gr´fica na reta real: c˜ a (a) 2 + 3x < 5x + 8 (b) 4 < 3x − 2 ≤ 10
    • 6 CAP´ ITULO 1 7 (c) > 2, x = 0 x x (d) < 4, x = 3 x−3 (e) (x + 1)(x + 5) > 0 Conjuntos limitados: Um subconjunto X ⊂ IR ´ dito LIMITADO quando existem n´meros reais a e b tais e uque, para todo x ∈ X tem-se a ≤ x ≤ b . Isto significa que X ⊂ [a, b] , com a, b ∈ IR . Um conjunto ´ dito ILIMITADO quando ele n˜o ´ limitado. (Exemplos) e a e Observa¸˜es: co (A) Todo conjunto finito ´ limitado. e ˜ (B) CUIDADO ! NAO CONFUNDA ILIMITADO COM INFINITO ! Podemos ter conjuntos infinitos que sejam limitados.
    • N´meros reais u 7 ˜ ´ (C) FATO: O conjunto IN = { 1, 2, 3, 4, . . .} dos n´meros naturais NAO E limitado. u Conseq¨ˆncias importantes deste fato: ue (C.1) Propriedade arquimediana: Dados n´meros reais a e b , com a > 0 , ´ poss´ obter u e ıvelum n´mero natural n ∈ IN tal que n · a > b . u ⇓ (C.2) Densidade dos racionais: Dados dois n´meros reais a e b quaisquer, com a < b , ´ u eposs´ obter um n´mero RACIONAL r = p/q ∈ Q (p, q ∈ Z, q = 0) tal que a < r < b ıvel u(por menor que seja a distˆncia entre a e b ). a A “densidade dos racionais” nos permite concluir que, dado qualquer n´mero real x u(mesmo irracional), ´ poss´ obter uma seq¨ˆncia de n´meros RACIONAIS que se aproximam e ıvel ue ude x tanto quanto quisermos !!! Exemplos: 1) π = 3, 141592 . . . 31 314 3141 31415 3 3, 1 = 3, 14 = 3, 141 = 3, 1415 = ... −→ π 10 100 1000 10000 2) Tome um n´mero racional r1 > 0 e considere: u 1 3 2 r2 = r1 + ∈ Q (r2 > 0 , r2 > 3 ) 2 r1 ↓ 1 3 2 r3 = r2 + ∈ Q (r2 ≥ r3 > 0 , r3 > 3 ) 2 r2 ↓ 1 3 2 r4 = r3 + ∈ Q (r2 ≥ r3 ≥ r4 > 0 , r4 > 3 ) 2 r3 ↓ . . . ↓ 1 3 2 rn+1 = rn + ∈ Q (rn ≥ rn+1 > 0 , rn+1 > 3 ) 2 rn ↓ . . . Esta seq¨ˆncia de racionais (r1 , r2 , r3 , . . . ) se aproxima (cada vez mais) de um certo uen´mero real. Qual ? u Tente generalizar esse processo !
    • 8 CAP´ ITULO 11.3 Valor absoluto ´ Dado qualquer n´mero real x , definimos o VALOR ABSOLUTO DE x (ou MODULO uDE x ) da seguinte forma: x se x ≥ 0 |x| = −x se x < 0 Geometricamente (na Reta), o valor absoluto de um n´mero real x ´ a distˆncia de x at´ u e a eo 0 (zero). (Exemplos) Obs.: S˜o imediatos da defini¸˜o: a ca |x| ≥ 0 para todo x ∈ IR ; |x| = 0 se, e somente se (⇔), x = 0 . Propriedades: 1) Para todo x ∈ IR temos |x| = max {x, −x} (o maior dos dois valores). 2) Para todo x ∈ IR temos |x|2 = x2 . 3) |a · b| = |a| · |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR . 1 1 Exerc´ ıcio: Se b = 0 em IR, mostre que = . b |b| a |a| Conclua que se a, b ∈ IR com b = 0 ent˜o a = . b |b|
    • N´meros reais u 9 4) |a + b| ≤ |a| + |b| quaisquer que sejam a, b ∈ IR . ıcio: Mostre que |a − b| ≥ | |a| − |b| | ≥ |a| − |b| , para todos a, b ∈ IR . Exerc´ 5) Seja c > 0 : |x| ≤ c ⇔ −c ≤ x ≤ c |x| ≥ c ⇔ x ≤ −c ou x ≥ c Exemplos: 1) Resolva as seguintes equa¸˜es: co (a) |3x + 2| = 5 (b) |2x − 1| = |4x + 3| (c) |5x + 4| = −3
    • 10 CAP´ ITULO 1 (d) |x| + 2 |x − 2| = 1 + 4x 2) Encontre os n´meros reais que satisfa¸am as seguintes desigualdades: u c (a) |x − 5| < 4
    • N´meros reais u 11 3 − 2x (b) ≤ 4 , x = −2 2+x (c) |3x + 2| > 5
    • 12 CAP´ ITULO 11.4 Exerc´ ıcios P´ginas 10 e 11 da referˆncia bibliogr´fica [1]. a e a
    • Cap´ ıtulo 2Fun¸oes c˜2.1 Defini¸˜o e elementos b´sicos ca aDefini¸˜o 2.1. Uma fun¸˜o f : X → Y ´ constitu´ de: ca ca e ıda ´(a) Um conjunto X, n˜o-vazio, chamado o DOMINIO da fun¸˜o (onde a fun¸˜o est´ definida) a ca ca a a ´(b) Um conjunto Y , n˜o-vazio, chamado o CONTRA-DOMINIO da fun¸˜o (onde f “toma os cavalores”)(c) Uma correspondˆncia que associa, de modo bem determinado, a CADA elemento x ∈ X e ´um UNICO elemento f (x) = y ∈ Y . Obs.: Estaremos interessados em estudar fun¸˜es tais que X e Y s˜o conjuntos de n´meros co a ureais. Por isso vamos sempre considerar este caso de agora em diante. • Imagem: Dada uma fun¸˜o f : X → Y , sua IMAGEM ´ o conjunto ca e Im (f ) = f (X) = { y = f (x) ; x ∈ X } ⊂ Y • Os elementos do dom´ ´ ınio s˜o representados por uma VARIAVEL INDEPENDENTE. a ´ Os elementos da imagem s˜o representados por uma VARIAVEL DEPENDENTE. a a ´ • Gr´fico: O GRAFICO de uma fun¸˜o f : X → Y ´ o conjunto dos pontos (x, y) do ca ePlano Cartesiano tais que y = f (x) , com x ∈ X . • Fun¸˜es limitadas: Uma fun¸˜o f : X → Y ´ dita LIMITADA quando sua imagem co ca ef (X) ´ um conjunto limitado. Em geral, ´ dita LIMITADA EM A ⊂ X quando f (A) ´ um e e econjunto limitado. 13
    • 14 CAP´ ITULO 2 • Fun¸˜es crescentes ou decrescentes: Uma fun¸˜o f : X → Y ´ dita ... co ca e ... CRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) < f (x2 ) . ... DECRESCENTE quando x1 < x2 em X ⇒ f (x1 ) > f (x2 ) .(Obs.: o mesmo tipo de defini¸˜o se aplica tamb´m a subconjuntos do dom´ - por exemplo, ca e ıniopodemos dizer que uma certa fun¸˜o ´ crescente ou decrescente em um determinado intervalo ca edentro do dom´ ınio). Exemplos: (A) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = −x2 + 4 . (B) f2 : [1, 3] → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4 . ˜ ¸˜ Obs.: Note que as fun¸˜es f1 e f2 acima SAO FUNCOES DISTINTAS. Apesar de possu´ co ıremo mesmo contra-dom´ ınio e a mesma maneira de associar x → y = f (x) , elas tˆm dom´ e ıniosdiferentes (veja a defini¸˜o de fun¸˜o). Como consequˆncia, possuem caracter´ ca ca e ısticas diferentes(f2 ´ limitada, decrescente, enquanto que f1 n˜o ´ limitada, n˜o ´ decrescente e nem crescente). e a e a e
    • Fun¸˜es co 15 (C) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = |x| . (D) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| . √ (E) f5 : [−1, 1] → [0, +∞) dada por f5 (x) = 1 − x2 . (F) f6 : [−1, 1] → IR que associa x → y tais que x2 + y 2 = 1 .
    • 16 CAP´ ITULO 2  1 1    x se x>  4 (G) f7 : IR → IR dada por f7 (x) =   1 −3 se x≤   4 (H) f8 : (−∞, 0) ∪ (1, 2] → IR dada por f8 (x) = x . (I) f9 : IR → IR dada por f9 (x) = −2x + 1 . √ (J) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = − x .
    • Fun¸˜es co 17 • M´ximos e m´ a ınimos: Dizemos que uma fun¸˜o f : X → Y assume VALOR ca ´MAXIMO ABSOLUTO (ou GLOBAL) em um ponto c ∈ X quando f (c) ≥ f (x) para todo ´x ∈ X . Neste caso f (c) ´ chamado VALOR MAXIMO ABSOLUTO DE f . e Quando existir um intervalo (a, b) contendo c ∈ X tal que f (c) ≥ f (x) para todo a e ´x ∈ (a, b) ∩ X , ent˜o c ´ dito um PONTO DE MAXIMO RELATIVO (ou LOCAL) e f (c) ´´ um VALOR MAXIMO RELATIVO DE f .e De modo an´logo, definimos tamb´m M´ a e INIMOS ABSOLUTOS (GLOBAIS) E M´ INIMOSRELATIVOS (LOCAIS). (Ilustra¸˜o) ca Exemplo: f4 : IR → IR dada por f4 (x) = |−x2 + 4| . Observa¸˜es: co(i) Todo m´ximo (m´ a ınimo) absoluto ´ m´ximo (m´ e a ınimo) local. ca ˜(ii) Uma fun¸˜o PODE NAO ASSUMIR valores m´ximos ou m´ a ınimos. Exerc´ ıcio: Para cada uma das fun¸˜es dos exemplos anteriores (Exemplos (A)-(J)), de- cotermine seus pontos e valores m´ximos e m´ a ınimos, se existirem.
    • 18 CAP´ ITULO 22.2 Constru¸˜o de fun¸˜es a partir de outras ca coVia opera¸˜es aritm´ticas: co e Sejam f : X → IR e g : Y → IR fun¸˜es tais que X ∩ Y = φ . co A partir de f e g vamos construir novas fun¸˜es (f + g), (f − g), (f · g) : co (f + g) : X ∩ Y → IR dada por (f + g)(x) = f (x) + g(x) (f − g) : X ∩ Y → IR dada por (f − g)(x) = f (x) − g(x) (f · g) : X ∩ Y → IR dada por (f · g)(x) = f (x) · g(x) Exemplos: √ (A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) = 4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada √por g(x) = x2 − 1 : (B) Consideremos agora a fun¸˜o indentidade f : IR → IR dada por f (x) = x e fun¸oes ca c˜constantes do tipo gc : IR → IR dadas por gc (x) = c (cada c ´ um n´mero real qualquer, e ufixado). Utilizando a fun¸˜o identidade e fun¸˜es constantes, podemos construir (atrav´s das opera¸˜es ca co e code adi¸˜o e multiplica¸˜o) um importante tipo de fun¸˜o p : IR → IR chamada FUNCAO ca ca ca ¸˜POLINOMIAL e dada por: p(x) = an xn + an− xn−1 + . . . + a2 x2 + a1 x + a0 para todo x ∈ IR an , an−1 , . . . , a2 , a1 , a0 ∈ IR , an = 0(essa ´ dita uma fun¸˜o polinomial de grau n) e ca (Exemplos)
    • Fun¸˜es co 19 Obs.: Alguns tipos especiais de fun¸˜es polinomiais: co 1) Fun¸oes constantes: f : IR → IR com f (x) = c ∀ x ∈ IR , sendo c ∈ IR fixo. c˜ S˜o as fun¸˜es polinomiais de grau 0 (zero). a co (Exemplos) 2) Fun¸oes polinomiais de grau 1: f : IR → IR com f (x) = ax + b , a, b ∈ IR e a = 0 . c˜ Seus gr´ficos s˜o retas, n˜o paralelas aos eixos coordenados. a a a Se a > 0, f ´ crescente. Se a < 0, f ´ decrescente. e e (Exemplos) 3) Fun¸oes quadr´ticas: f : IR → IR com f (x) = ax2 + bx + c , a, b, c ∈ IR e a = 0 . c˜ a S˜o as fun¸˜es polinomiais de grau 2. a co Seus gr´ficos s˜o par´bolas com eixos de simetria paralelos ao eixo Oy e com concavidade a a avoltada para cima se a > 0 ou voltada para baixo se a < 0. a a e ´ A interse¸˜o da par´bola (gr´fico) com o eixo de simetria ´ o VERTICE da par´bola, tem ca a −b −∆coordenadas , , sendo ∆ = b2 − 4ac , e representa o m´ximo ou m´ a ınimo absoluto 2a 4ada fun¸˜o, de acordo com a concavidade do gr´fico (sinal de a). ca a (Exemplos)
    • 20 CAP´ ITULO 2 Se quisermos agora utilizar a opera¸˜o de divis˜o para construir o quociente de duas fun¸oes ca a c˜dadas, temos que tomar o cuidado para evitar “divis˜es por 0 (zero)”. o Assim, dadas f : X → IR e g : Y → IR , sendo Z = { x ∈ Y ; g(x) = 0 } , podemosdefinir: f (x) (f /g) : (X ∩ Y ) − Z → IR pondo (f /g)(x) = g(x) Exemplos: √ (A) Sejam f : (−∞, 4] → IR dada por f (x) = 4 − x e g : (−∞, −1] ∪ [1, +∞) dada √por g(x) = x2 − 1 : ¸˜ (B) Chamamos de FUNCOES RACIONAIS as fun¸˜es dadas pelo quociente de fun¸oes co c˜polinomiais: p, q : IR → IR (polinomiais) , Z = { x ∈ IR ; q(x) = 0 } ⇓ p(x) (p/q) : IR − Z → IR dada por (p/q)(x) = q(x) (Exemplos)
    • Fun¸˜es co 21Via composi¸˜o de fun¸˜es: ca co Sejam f : X → IR e g : Y → Z fun¸˜es tais que f (X) ⊂ Y co (a imagem de f est´ acontida no dom´ ınio de g). A cada elemento de X associamos um unico elemento de Z, aplicando inicialmente a fun¸˜o ´ caf e depois a fun¸˜o g. ca Podemos pensar ent˜o em uma fun¸˜o de X em Z que associa a cada elemento x ∈ X a caum unico elemento g(f (x)) ∈ Z : ´ (g ◦ f ) : X −→ Z x −→ g(f (x)) Essa nova fun¸˜o g ◦ f : X → Z ´ chamada a fun¸˜o COMPOSTA de g com f . ca e ca Exemplos: √ (a) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = x2 + 5 e g : [0, +∞) → IR ´ dada por g(x) = e e x ,obtenha g ◦ f e f ◦ g , se poss´ıvel. (b) Seja h : IR → IR dada por h(x) = (5x2 − 2x + 1)5 . Obtenha fun¸˜es f e g tais que coh=g◦f .
    • 22 CAP´ ITULO 22.3 Exerc´ ıcios 1) Sejam f : IR → IR dada por f (x) = 3x − 1 , g : IR → IR dada por g(x) = x − 7 eh = f /g . Obtenha: 5h(−1) − 2h(0) + 3h(5) (a) O Dom´ ınio de h ; (b) ; (c) f ◦ h ; 7 (d) h2 (5) = [h(5)]2 = h(5).h(5) ; (e) h[h(5)] = (h ◦ h)(5) . 2) Para cada uma das fun¸˜es dadas abaixo, fa¸a um esbo¸o do gr´fico da fun¸˜o e obtenha: co c c a cao conjunto imagem da fun¸˜o, se a fun¸˜o ´ ou n˜o limitada, m´ximos e m´ ca ca e a a ınimos (absolutosou locais), intervalos do dom´ ınio onde a fun¸˜o ´ crescente ou decrescente e identifique ainda ca equais s˜o polinomiais ou racionais: a (a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x2 + 8x + 14 (b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 + 4x − 1 (c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = (x − 2)2 (d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = −(x + 2)2 (e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = x3 (f) f6 : IR → IR dada por f6 (x) = 4 − x3 (g) f7 : (−5, 3] → IR dada por f7 (x) = |x| 1 (h) f8 : IR − {2} → IR dada por f8 (x) = x−2 −2 (i) f9 : [−4, 7] → IR dada por f9 (x) = x+5 √ (j) f10 : [0, +∞) → IR dada por f10 (x) = 2x 3) Exprimir como fun¸˜o de x (n˜o se esque¸a do dom´ ca a c ınio e do contra-dom´ ınio): (a) A ´rea de um cubo de aresta x. a (b) A ´rea total de uma caixa de volume V , sabendo que a base ´ um quadrado de lado x. a e (c) O comprimento l de uma corda de um c´ ırculo de raio 4 cm, sendo x a distˆncia da acorda ao centro do c´ ırculo. 4) Exprimir a fun¸˜o l obtida na Letra (c) do Exerc´ 3) acima como a composta de duas ca ıciofun¸˜es. co
    • Fun¸˜es co 23 5) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = x + 3 e g(x) = 5 − 2x . Fa¸a um esbo¸o dos c cgr´ficos de f e g no mesmo Plano Cartesiano e tente deduzir, a partir dos gr´ficos, os valores a ade x para os quais f (x) < g(x) . Resolva algebricamente a inequa¸˜o. ca 6) X ⊂ IR ´ dito sim´trico em rela¸˜o ` origem 0 quando x ∈ X ⇔ −x ∈ X . e e ca aExemplos: (−6, 6), [−13, 13], {−12} ∪ (−7, 7) ∪ {12} , IR , etc.Y = (−5, 3] n˜o ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem, pois −4 ∈ Y mas 4 ∈ Y . a e e ca a Seja f : X → IR uma fun¸˜o tal que X ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem. ca e e ca a A fun¸˜o f ´ dita... ca e ... PAR quando f (−x) = f (x) para todo x ∈ X . √ 1Exemplos: − x4 − 16 (−2 ≤ x ≤ 2) , −3x6 + x2 − 5 (x ∈ IR) , (x ∈ IR) , etc. 1 + x2 ... ´ IMPAR quando f (−x) = −f (x) para todo x ∈ X . xExemplos: x3 + 2x (x ∈ IR) , (x ∈ IR) , etc. 1 + x2 Alguma observa¸˜es e propriedades interessantes: co(1) O produto/quociente de duas fun¸˜es pares (ou duas ´ co ımpares) ´ uma fun¸˜o PAR (prove); e ca(2) O produto/quociente de uma fun¸˜o par por uma fun¸˜o ´ ca ca ımpar (ou vice-versa) ´ uma e ´fun¸˜o IMPAR (prove); ca(3) O gr´fico de uma fun¸˜o par ´ sim´trico em rela¸˜o ao eixo Oy das ordenadas (ilustre); a ca e e ca(4) O gr´fico de uma fun¸˜o ´ a ca ımpar ´ sim´trico em rela¸˜o ` origem O(0, 0) (ilustre); e e ca a ´ o(5) E ´bvio que existem fun¸˜es que n˜o s˜o pares nem s˜o ´ co a a a ımpares (dˆ exemplos); e(6) Toda fun¸˜o f : X → IR (X sim´trico em rela¸˜o ao 0) pode ser escrita como a soma de ca e cauma fun¸˜o par com uma fun¸˜o ´ ca ca ımpar (desafio = tente provar). 3x − 5 2y + 5 7) Sejam f, g : IR → IR dadas por f (x) = e g(y) = . 2 3 (a) Obtenha (g ◦ f )(x) e (f ◦ g)(y) . (b) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos de f e g. O que se pode concluir sobre os gr´ficos de f e g ? c c a a (c) Seja f : [1, 3] → [−5, 3] dada por f (x) = 4 − x2 .Obtenha uma fun¸˜o g : [−5, 3] → [1, 3] que cumpre as condi¸˜es da Letra (a) e fa¸a esbo¸os ca co c cdos gr´ficos de f e g. a
    • 24 CAP´ ITULO 2 8) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x2 + 4x − 3 . (a) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico de f . c c a f (0 + h) − f (0) (b) Dado h = 0, calcule m0 (h) = e dˆ uma interpreta¸˜o geom´trica e ca e hpara m0 (h) . (c) Qual o significado de m0 (h) quando h se aproxima de 0 ? (d) Sabemos que o gr´fico de f ´ uma par´bola. Se V = (a, b) ´ o v´rtice dessa par´bola, a e a e e aobtenha suas coordenadas a e b. (e) Fixando a obtido na Letra (d) acima (abscissa do v´rtice) e, dado h = 0, tente adivi- e f (a + h) − f (a)nhar, SEM FAZER NENHUMA CONTA, o que ocorre com ma (h) = quando hh se aproxima de 0. Finalmente, confira sua resposta (fazendo as contas). 9) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = ax2 + bx + c , com a = 0 , USE O EXERC´ e ICIOANTERIOR para deduzir as coordenadas do v´rtice da par´bola que ´ o gr´fico da fun¸˜o f . e a e a ca 10) Um grupo de amigos trabalha no per´ ıodo de f´rias vendendo salgadinhos nas praias. eO aluguel do trailler e todos os equipamentos necess´rios para a produ¸˜o custam R$ 2000,00 a capor mˆs. O custo do material de cada salgadinho ´ de R$ 0,10. Expressar o custo total mensal e ecomo fun¸˜o do n´mero de salgadinhos elaborados. ca u 11) Um fabricante produz pe¸as para computadores pelo pre¸o de R$ 2,00 cada uma. c cCalcula-se que, se cada pe¸a for vendida por x reais, os consumidores comprar˜o por mˆs c a e(600 − x) unidades. Expressar o lucro mensal do do fabricante como fun¸˜o do pre¸o. Obter ca co pre¸o ´timo de venda. c o 12) O pre¸o de uma corrida de t´xi ´ constitu´ de uma parte fixa, chamada bandeirada, c a e ıdoe de uma parte vari´vel, que depende do n´mero de quilˆmetros rodados. Em uma cidade X a u oa bandeirada ´ R$ 10,00 e o pre¸o do quilˆmetro rodado ´ R$ 0,50. e c o e (a) Determine a fun¸˜o que representa o pre¸o da corrida. ca c (b) Se algu´m pegar um t´xi no centro da cidade e se deslocar para sua casa a 8 km de e adistˆncia, quanto pagar´ pela corrida ? a a 13) Um avi˜o com 120 lugares ´ fretado para uma excurs˜o. A companhia exige de cada a e apassageiro R$ 900,00 mais uma taxa de R$ 10,00 para cada lugar vago. Qual o n´mero de upassageiros que torna m´xima a receita da companhia ? a
    • Fun¸˜es co 25 14) Uma ind´stria comercializa um certo produto e tem fun¸˜o custo total em mil reais, u ca 2dada por CT (q) = q + 20q + 475 , sendo q ≥ 0 a quantidade do produto. A fun¸˜o receita catotal em mil reais ´ dada por R(q) = 120q . e (a) Determinar o lucro para a venda de 80 unidades. (b) Em que valor de q acontecer´ lucro m´ximo ? a aRespostas: −263 8x + 4 1) (a) IR − {7} (b) (c) f ◦ h : IR − {7} → IR dada por (f ◦ h)(x) = 98 x−7 11(d) h2 (5) = 49 (e) (h ◦ h)(5) = 7 2) (a) Im (f1 ) = [−2, +∞) , f1 n˜o ´ limitada, x = −4 ´ ponto de m´ a e e ınimo absoluto.f1 ´ decrescente em (−∞, −4] e crescente em [−4, +∞) . f1 ´ polinomial. e e (b) Im (f2 ) = (−∞, 3] , f2 n˜o ´ limitada, x = 2 ´ ponto de m´ximo absoluto. f2 ´ a e e a ecrescente em (−∞, 2] e decrescente em [2, +∞) . f2 ´ polinomial. e (c) Im (f3 ) = [0, +∞) , f3 n˜o ´ limitada, x = 2 ´ ponto de m´ a e e ınimo absoluto. f3 ´ edecrescente em (−∞, 2] e crescente em [2, +∞) . f3 ´ polinomial. e (d) Im (f4 ) = [−∞, 0] , f4 n˜o ´ limitada, x = −2 ´ ponto de m´ximo absoluto. f4 ´ a e e a ecrescente em (−∞, −2] e decrescente em [−2, +∞) . f4 ´ polinomial. e (e) Im (f5 ) = IR , f5 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´ a e a a ınimos. f5 ´ crescente e(em todo seu dom´ ınio). f5 ´ polinomial. e (f) Im (f6 ) = IR , f6 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´ a e a a ınimos. f6 ´ decrescente e(em todo seu dom´ ınio). f6 ´ polinomial. e (g) Im (f7 ) = [0, 5] , f7 ´ limitada, x = 0 ´ ponto de m´ e e ınimo absoluto, x = 3 ´ ponto ede m´ximo local. f7 ´ decrescente em (−5, 0] e crescente em [0, 3] . a e (h) Im (f8 ) = IR − {0} , f8 n˜o ´ limitada e n˜o possui m´ximos ou m´ a e a a ınimos. f8 ´ edecrescente em (−∞, 2) e crescente em (2, +∞) . f8 ´ racional. e (i) Im (f9 ) = [−2, −1/6] , f9 ´ limitada, x = −4 ´ ponto de m´ e e ınimo absoluto, x = 7 ´ eponto de m´ximo absoluto. f9 ´ crescente (em todo seu dom´ a e ınio). f9 ´ racional. e (j) Im (f10 ) = [0, +∞) , f10 n˜o ´ limitada, x = 0 ´ ponto de m´ximo absoluto. f10 ´ a e e a ecrescente (em todo seu dom´ ınio). 3) (a) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 6x2 ; 4V (b) A : (0, +∞) → IR dada por A(x) = 2x2 + ; x
    • 26 CAP´ ITULO 2 √ (c) l : [0, 4] → IR dada por l(x) = 2 16 − x2 . 4) l = g ◦ f , com f : [0, 4] → IR dada por f (x) = 16 − x2 e g : [0, +∞) → IR dada por √g(x) = 2 x . 2 5) S = −∞ , 3 7) (a) (g ◦ f )(x) = x e (f ◦ g)(y) = y (b) Os gr´ficos de f e g s˜o sim´tricos em rela¸˜o ` reta y = x . a a e ca a √ (c) g[−5, 3] → [1, 3] dada por g(y) = 4 − y . 8) (b) m0 (h) = −h + 4 ´ o coeficiente angular da reta secante ao gr´fico de f , passando e apelos pontos (0, f (0)) e (h, f (h)). (c) Como h varia, o ponto (h, f (h)) varia sobre o gr´fico de f , enquanto que o ponto a(0, f (0)) permanece fixo. Assim, quando h se aproxima de 0, a reta secante se aproxima dareta tangente ao gr´fico de f no ponto (0, f (0)) e m0 (h) se aproxima do coeficiente angular adessa tangente. (d) a = 2 e b = 1 , ou seja, V (2, 1) ´ o v´rtice da par´bola. e e a (e) ma (h) = −h tende a 0 quando h tende a 0. x 10) C : IN ∪ {0} → IR dada por C(x) = 2000 + (x ´ o n´mero de salgadinhos e u 10elaborados) 11) l : [0, 600] → IR dada por l(x) = −x2 + 602x − 1200 . Pre¸o ´timo de venda: c ox = 301 . x 12) (a) P : [0, +∞) dada por P (x) = 10 + . 2 (b) R$ 14,00. 13) 105 passageiros. 14) L : [0, +∞) → IR dada por L(q) = −q 2 + 100q − 475 . (a) L(80) = R$1.125.000,00 ; (b) Em q = 50 acontecer´ lucro m´ximo. a a
    • Fun¸˜es co 272.4 Invers˜o de fun¸oes a c˜ Seja f : X → Y uma fun¸˜o. A cada x ∈ X est´ associado um unico f (x) ∈ Y . ca a ´ Nos interessa a situa¸˜o em que a associa¸˜o inversa f (x) → x ´ uma fun¸˜o de Y em X. ca ca e ca Para isso, f dever´ possuir duas caracter´ a ısticas: • f (X) = Y (a imagem de f ´ todo o conjunto Y ); e • x1 = x2 em X ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) em Y . Uma fun¸˜o f : X → Y ´ chamada SOBREJETORA quando f (X) = Y , ou seja, a ca eimagem de f ´ todo o contradom´ e ınio Y . Uma fun¸˜o f : X → Y ´ chamada INJETORA quando elementos distintos do dom´ ca e ıniotˆm sempre imagens distintas, ou seja, x1 = x2 em X ⇒ f (x1 ) = f (x2 ) em Y . e Exemplos: (a) (b)
    • 28 CAP´ ITULO 2 (c) Uma fun¸˜o f : X → Y ´ INVERT´ ca e IVEL quando ela ´ sobrejetora e injetora ao mesmo e ¸˜tempo (BIJETORA). Neste caso existe uma FUNCAO g : Y → X que associa y → g(y) etal que g(f (x)) = x ∀ x ∈ X e f (g(y)) = y ∀ y ∈ Y . ¸˜ g ´ dita A INVERSA DA FUNCAO f e escrevemos g = f −1 . e Exemplo:
    • Fun¸˜es co 29 Exerc´ ıcio: Para cada uma das fun¸˜es dadas posteriormente, fa¸a o que se pede: co c c c ´ a) Fa¸a um esbo¸o do GRAFICO da fun¸˜o. ca b) Obtenha o conjunto IMAGEM e responda se a fun¸˜o dada ´ LIMITADA ou n˜o. ca e a c) Em que partes de seu dom´ ınio a fun¸˜o ´ CRESCENTE ou DECRESCENTE ? ca e d) Determine pontos e valores MAXIMOS ou M´ ´ INIMOS (quando existirem). e) A fun¸˜o ´ INJETORA ? Justifique. ca e f) A fun¸˜o ´ SOBREJETORA ? Justifique. ca e g) Se a fun¸˜o dada for INVERT´ ca IVEL, determine sua INVERSA e fa¸a um esbo¸o do c c ´GRAFICO DA FUNCAO ¸ ˜ INVERSA. 1) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 . 2) g1 : IR → [0, +∞) dada por g1 (x) = |3x − 1| . 3) h1 : IR → IR dada por h1 (x) = −x2 + 9 . 4) p1 : (0, 3] → (0, 6] dada por p1 (x) = 2x . x2 se x < 1 5) q1 : (−∞, 5] → IR dada por q1 (x) = . −x + 2 se x ≥ 1 6) r1 : [0, +∞) → [0, +∞) dada por r1 (x) = |x2 − 3x| . 7) s1 : IR → IR dada por s1 (x) = x2 + 2 . 8) u1 : [−2, 3] → IR dada por u1 (x) = x2 + 2 . 9) v1 : IR+ → IR+ dada por v1 (x) = x2 . 10) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = − |x| . x 11) g2 : IR → IR dada por g2 (x) = − +1. 3
    • 30 CAP´ ITULO 2 x 12) h2 : (−3, +∞) → IR dada por h2 (x) = − +1. 3 √ 13) p2 : [0, +∞) → (−∞, 0] dada por p2 (x) = − 2x . 1 se 1 ≤ x ≤ 3 14) q2 : IR → IR dada por q2 (x) = . 0 se x < 1 ou x > 3 15) r2 : IR → IR dada por r2 = q2 .s1 . 1/x se x = 0 16) s2 : IR → IR dada por s2 (x) = . 0 se x = 0 −π se x < −1 17) v2 : (−∞, −1) ∪ [0, +∞) → IR dada por v2 (x) = . x2 se x ≥ 0 √ 18) f3 : (−1, 1] → IR dada por f3 (x) = 1 − 1 − x2 .2.5 Fun¸˜es exponenciais e logar´ co ıtmicasRevis˜o: a a ∈ IR , n = 1, 2, 3, . . . ⇒ an = a · a · a · . . . · a (n vezes). 1 a = 0 ⇒ a0 = 1 e a−n = (n = 1, 2, 3, . . .) . an √ n PAR e a ≥ 0 : b = n a ⇔ bn = a , b ≥ 0 . √ n ´ IMPAR e a ∈ IR : b = n a ⇔ bn = a . Definimos potˆncias RACIONAIS de n´meros reais positivos do seguinte modo: e u √ a > 0 , p, q inteiros , q = 0 ⇒ ap/q = q ap Temos, neste caso: ar1 · ar2 = ar1 +r2 e ar > 0 . Nos interessa agora definir ax , com x ∈ IR (qualquer, mesmo irracional). Para isso consideremos a > 0 . √ Se x ´ racional, j´ temos ap/q = e a q ap .
    • Fun¸˜es co 31 Se x ´ IRRACIONAL, sabemos que ´ poss´ obter uma seq¨ˆncia de racionais r1 , r2 , r3 , . . . e e ıvel ueque se aproxima de x tanto quanto quisermos: r1 , r2 , r3 , r4 , r5 , . . . −→ x FATO: A seq¨ˆncia ar1 , ar2 , ar3 , . . . se aproxima de um n´mero real, o qual DEFINI- ue u xMOS como a . Temos ent˜o a nossa fun¸˜o exponencial de base a: a ca • Fixado a > 0 em IR, a fun¸˜o fa : IR → IR+ dada por fa (x) = ax para todo x ∈ IR ca ¸˜´ chamada FUNCAO EXPONENCIAL DE BASE a.e Propriedades: ax · ay = ax+y , (ax )y = ax·y , (a · b)x = ax · bx , a0 = 1 Gr´fico: a CRECENTE se a>1 Crescimento ou decrescimento: fa (x) = ax ´ e DECRESCENTE se a<1 Inversa: Se a = 1 ent˜o a fa : IR → IR+ ´ SOBREJETORA e INJETORA, ad- e x → axmitindo portanto uma fun¸˜o inversa ca fa : IR+ → IR −1 . −1 y → fa (y) fa ´ chamada FUNCAO LOGAR´ −1 e ¸˜ −1 ITMICA DE BASE a e escrevemos fa (y) = loga y . Temos ent˜o: y = ax ⇔ x = loga y . a −1 fa fa x −→ ax = y −→ x = loga y = loga ax −1 fa fa y −→ x = loga y −→ y = ax = aloga y
    • 32 CAP´ ITULO 2 • Fixado a > 0 , a = 1 em IR, temos a fun¸˜o fa : IR+ → IR dada por fa (y) = loga y . ca −1 −1 Propriedades: loga (x · y) = loga x + loga y , loga (xy ) = y · loga x , loga 1 = 0 Gr´fico: aUm n´ mero especial: u 1 1 1 1 Consideremos a soma 1 + 1 + + + + + . . . . Mostra-se que esta soma converge 2! 3! 4! 5!(“se aproxima cada vez mais e tanto quanto desejarmos”) para um n´mero real conhecido por uCONSTANTE DE EULER e denotado por e . 1 1 1 1 Assim, podemos escrever e = 1 + 1 + + + + + . . . . 2! 3! 4! 5! ´ a E f´cil ver que 2 < e < 3 : 1 1 1 1 1 1 1 1 2 < 1+1+ + + + + ... < 1 + 1 + + 2 + 3 + 4 + ... = 3 2! 3! 4! 5! 2 2 2 2 O n´mero real e acima definido ir´ desempenhar um importante papel ao longo do nosso u acurso de C´lculo I, no que se refere `s fun¸˜es exponencial e logar´ a a co ıtmica, na base e : fe : IR → IR+ dada por fe (x) = ex (fun¸˜o exponencial de base e) e sua inversa ca −1 + −1fe : IR → IR dada por fe (x) = loge x (fun¸˜o logar´ ca ıtmica de base e). Escrevemos tamb´m loge x = log x = ln x . e Obs.: Outro modo de obter o n´mero e : u 1 2 3 4 5 1 1 1 1 1 1+ , 1+ , 1+ , 1+ , 1+ , . . . −→ e 1 2 3 4 5
    • Fun¸˜es co 332.6 Fun¸˜es trigonom´tricas co e • Medidas de ˆngulos em radianos: a Um ˆngulo mede 1 RADIANO quando corresponde a um arco de circunferˆncia (centrada a eno v´rtice do ˆngulo) de comprimento igual ao raio da circunferˆncia considerada: e a e Assim, um ˆngulo que mede θ rad corresponde a um arco de comprimento θ · r , sendo ar o raio da circunferˆncia considerada: e θ l = ⇒ l =θ·r 1 r Desta forma, ´ f´cil ver que a medida de “uma volta” em radianos ´ 2π rad : e a e 2πr = θ · r ⇒ θ = 2π rad • Rela¸˜es trigonom´tricas nos triˆngulos retˆngulos: co e a a π Consideremos 0 < θ < e um ˆngulo de θ rad em um triˆngulo retˆngulo: a a a 2 b c sen θ b sen θ = cos θ = tg θ = = cos2 θ + sen 2 θ = 1 a a cos θ c
    • 34 CAP´ ITULO 2 • O c´ ırculo trigonom´trico: e Rela¸˜es: co cos2 θ + sen 2 θ = 1 , sec2 θ = 1 + tg 2 θ , csc2 θ = 1 + ctg 2 θ 1 1 1 ctg θ = ( sen θ = 0) , sec θ = (cos θ = 0) , csc θ = ( sen θ = 0) tg θ cos θ sen θ ˆ • Angulos not´veis: a θ (rad) 0 π/6 π/4 π/3 π/2 π 3π/2 2π √ √ 1 2 3 sen θ 0 2 2 2 1 0 −1 0 √ √ 3 2 1 cos θ 1 2 2 2 0 −1 0 1 √ 3 √ tg θ 0 3 1 3 0 0 • F´rmulas de transforma¸˜o: o ca A partir das f´rmulas abaixo, para cosseno e seno da soma e da diferen¸a de dois ˆngulos, o c apodemos deduzir (veja exerc´ıcios mais ` frente) outras importantes f´rmulas de transforma¸˜o, a o caas quais tˆm utilidade no c´lculo de certas integrais trigonom´tricas. e a e   cos(a + b) = cos a · cos b − sen a · sen b cos(a − b) = cos a · cos b + sen a · sen b  sen (a + b) = sen a · cos b + sen b · cos a sen (a − b) = sen a · cos b − sen b · cos a
    • Fun¸˜es co 35 • Fun¸˜es trigonom´tricas: co e Fun¸˜o SENO: ca sen : IR −→ IR x −→ sen x Gr´fico: a Im ( sen ) = [−1, 1] sen (−x) = − sen x (´ uma fun¸˜o ´ e ca IMPAR) e ca ´ sen (x + 2π) = sen x (´ uma fun¸˜o PERIODICA de per´ ıodo T = 2π) A fun¸˜o SENO ´ ... ca e... CRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k PAR, k ∈ Z... DECRESCENTE em [kπ − π/2 , kπ + π/2] , k ´ IMPAR, k ∈ Z ´ Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ + π/2 (k ∈ Z) Assume o VALOR M´ INIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + 3π/2 (k ∈ Z) 1 Se sen x = 0 , ent˜o temos csc x = a . Assim, n˜o ´ dif´ ver que a fun¸˜o a e ıcil ca sen xcsc : IR − {kπ , k ∈ Z} → IR , que associa x → csc x = 1/ sen x tem gr´fico: a
    • 36 CAP´ ITULO 2 ˜ ´ ˜ ´ A fun¸˜o SENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas a quando restringimos seu ca ınio ınio, temos uma nova fun¸˜o f : [−π/2, π/2] −→ [−1, 1] , a qualdom´ e seu contra-dom´ ca x −→ sen x´ BIJETORAe e tem portanto inversa f −1 : [−1, 1] −→ [−π/2, π/2] y −→ f −1 (y) = arc sen y Exerc´ ıcio: Fa¸a um estudo semelhante ao que fizemos com a fun¸˜o SENO, para as fun¸˜es c ca coCOSSENO e TANGENTE.2.7 Exerc´ ıcios 1) Sabendo que f : IR → IR ´ uma fun¸˜o polinomial do 1o grau, que f (−1) = 2 e cae f (2) = 3 , determine f (x) para cada x ∈ IR (uma fun¸˜o polinomial do 1o grau est´ ca atotalmente determinada quando conhecemos seus valores em 2 pontos distintos = uma retaest´ totalmente determinada quando conhecemos 2 de seus pontos). a 2) Sabendo que g : IR → IR ´ uma fun¸˜o polinomial do 2o grau, que g(1) = 3 , e cag(−1) = −1 e g(2) = 6 , determine g(x) para cada x ∈ IR (uma fun¸˜o polinomial do ca o2 grau est´ totalmente determinada quando conhecemos seus valores em 3 pontos distintos = auma par´bola est´ totalmente determinada quando conhecemos 3 de seus pontos). a a
    • Fun¸˜es co 37 3) (Polinˆmios de Lagrange) Sejam x1 , x2 , x3 n´meros reais distintos e y1 , y2 , y3 o un´meros reais n˜o necessariamente distintos. O unico polinˆmio p(x) do 2o grau tal que u a ´ op(x1 ) = y1 , p(x2 ) = y2 e p(x3 ) = y3 ´ dado por e (x − x2 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x3 ) (x − x1 )(x − x2 ) p(x) = y1 · + y2 · + y3 · (x1 − x2 )(x1 − x3 ) (x2 − x1 )(x2 − x3 ) (x3 − x1 )(x3 − x2 ) (a) Usando o resultado acima, refa¸a o exerc´ anterior. c ıcio (b) Generalize o resultado acima e obtenha a fun¸˜o polinomial do 3o grau que assume em ca−1, 0, 1, 4 os valores 1, 0, 0, −2 , respectivamente. 4) Sejam X ⊂ IR um conjunto sim´trico em rela¸˜o ` origem 0 e f : X → IR uma fun¸˜o. e ca a ca 1 (a) Mostre que g : X → IR dada por g(x) = [f (x) + f (−x)] ´ uma fun¸˜o par e que e ca 2 1h : X → IR dada por h(x) = [f (x) − f (−x)] ´ ´e ımpar (veja Exerc´ 6 da p´g. 23). ıcio a 2 (b) Obtenha a soma g +h e tente fazer agora (se vocˆ ainda n˜o fez) o item 6) do Exerc´ e a ıcio6 da p´g. 23. a x−1 (c) Seja f : IR − {−1, 1} → IR a fun¸˜o dada por f (x) = ca . Mostre que f n˜o ´ par a e x+1e n˜o ´ ´ a e ımpar. Escreva f como a soma de uma fun¸˜o par com uma fun¸˜o ´ ca ca ımpar. 5) Prove que cada uma das fun¸˜es abaixo ´ invert´ (bijetora) e obtenha a inversa: co e ıvel (a) f : IR → IR dada por f (x) = 3x + 4 ; 1 (b) g : IR − {a} → IR − {0} dada por g(x) = (a ∈ IR) ; x−a x+a (c) h : IR − {a} → IR − {1} dada por g(x) = (a ∈ IR) ; x−a √ (d) r : [1, +∞) → [0, +∞) dada por r(x) = x − 1 . x 6) (Desafio) Seja g : (−1, 1) → IR dada por g(x) = . Prove que g ´ invert´ e ıvel 1 − |x|(ou seja, bijetora) e obtenha g −1 . 15 7) Se f : IR → IR ´ dada por f (x) = 2x , mostre que f (x + 3) − f (x − 1) = e . 2f (x) 1−x 8) Dada φ : (−1, 1) → IR dada por φ(x) = ln , verifique a igualdade: 1+x a+b φ(a) + φ(b) = φ 1 + ab
    • 38 CAP´ ITULO 2 9) (Decaimento exponencial) A massa de materiais radioativos, tais como o r´dio, o urˆnio a aou o carbono-14, se desintegra com o passar do tempo. Uma maneira usual de expressar ataxa de decaimento da massa desses materiais ´ utilizando o conceito de meia-vida. e A meia-vida de um material radioativo ´ definida como o tempo necess´rio para que sua e amassa seja reduzida ` metade. a Denotando por M0 a massa inicial (correspondente ao instante t = 0) e por M a massapresente num instante qualquer t, podemos estimar M pela fun¸˜o exponencial dada por ca M = M0 e−Kt sendo t > 0 e K > 0 uma constante que depende do material. A equa¸˜o acima ´ conhecida como modelo de decaimento exponencial. ca e Sabendo que a meia-vida do carbono-14 ´ de aproximadamente 5730 anos, determinar: e (a) A constante K, do modelo de decaimento exponencial para esse material; (b) A quantidade de massa presente ap´s dois per´ o ıodos de meia-vida, se no instante t = 0a massa era M0 ; (c) A idade estimada de um organismo morto, sabendo que a presen¸a do carbono-14 neste c´ 80% da quantidade original.e 10) Uma certa substˆncia radioativa decai exponencialmente e, ap´s 100 anos, ainda restam a o60% da quantidade inicial. (a) Obtenha o modelo de decaimento exponencial para esta substˆncia. a (b) Determinar a sua meia-vida. (c) Determinar o tempo necess´rio para que reste somente 15% de uma dada massa inicial. a 11) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos das seguintes fun¸˜es: c c a co (a) f : IR → IR dada por f (x) = 2x ; (b) g : IR → IR dada por g(x) = e−x ; (c) h : IR → IR dada por h(x) = −ex ; (d) s : IR − {0} → IR dada por s(x) = ln |x| ; (e) l : (−∞, 0) → IR dada por l(x) = ln(−x) ; (f) m : IR+ → IR dada por m(x) = |ln x| ; (g) n : (−1, +∞) → IR dada por n(x) = − ln(1 + x) .
    • Fun¸˜es co 39 ca e ´ 12) Uma fun¸˜o f : X → IR ´ dita PERIODICA quando existe um n´mero T > 0 u(chamado o per´ıodo de f ) tal que f (x + T ) = f (x) para todo x ∈ X . Neste caso, seu gr´fico ase repete a cada intervalo de comprimento T . As fun¸oes trigonom´tricas constituem exemplos cl´ssicos de fun¸˜es peri´dicas: c˜ e a co o (a) Mostre que as fun¸˜es fn : IR → IR dadas por fn (x) = sen nx (n = 1, 2, 3, 4, . . .) s˜o co atodas ´ ımpares e peri´dicas de per´ o ıodo T = 2π . (b) Mostre que as fun¸˜es gn : IR → IR dadas por gn (x) = cos nx (n = 0, 1, 2, 3, 4, . . .) cos˜o todas pares e peri´dicas de per´ a o ıodo T = 2π . 13) (F´rmulas de Transforma¸˜o) Prove as seguintes identidades trigonom´tricas: o ca e  sen 2 a = 1 − cos 2a     2  cos2 a = 1 + cos 2a    2   cos a · cos b = 1 1  · cos(a + b) + · cos(a − b) 2 2        1 1  sen a · sen b = · cos(a − b) − · cos(a + b)    2 2     sen a · cos b = 1 · sen (a + b) + 1    · sen (a − b) 2 2 14) Seja f : IR − {x ∈ IR ; cos x = 0 } → IR dada por f (θ) = tg θ . Verifique: 2f (θ) f (2θ) = 1 − [f (θ)]2 15) Fa¸a esbo¸os dos gr´ficos das seguintes fun¸˜es: c c a co (a) f : IR → IR dada por f (x) = sen 3x ; (b) g : IR → IR dada por g(x) = 2 cos 2x ; (c) h : IR → IR dada por h(x) = 1 + sen x ; (d) s : IR → IR dada por s(x) = | sen x| ; (e) l : IR → IR dada por l(x) = sen (x − (π/2)) . 16) Seja f : [1, 100] → IR dada por f (x) = arc sen [log10 (x/10)] . Obtenha f (1), f (100) √e f ( 10 ) .
    • 40 CAP´ ITULO 2 17) (Fun¸˜es Hiperb´licas) Definimos as fun¸˜es hiperb´licas b´sicas: co o co o a ex − e−x • Fun¸˜o Seno Hiperb´lico: senh : IR → IR dada por senh x = ca o 2 e + e−x x • Fun¸˜o Cosseno Hiperb´lico: cosh : IR → IR dada por cosh x = ca o 2 (a) Fa¸a um esbo¸o do gr´fico das fun¸˜es senh e cosh. c c a co (b) Prove que cosh2 x − senh 2 x = 1 para todo x ∈ IR . (c) Prove que cosh x ≥ 1 para todo x ∈ IR . Definimos ainda: senh x tgh : IR → IR dada por tgh x = cosh x cosh x ctgh : IR − {0} → IR dada por ctgh x = senh x 1 sech : IR → IR dada por sech x = cosh x 1 csch : IR − {0} → IR dada por csch x = senh x (d) Obtenha (prove) rela¸˜es entre as fun¸˜es tgh e sech e entre ctgh e csch . co co 18) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 2 senh x − 3 tgh x . Obtenha f (2) , f (−1) e f (0) .Respostas de exerc´ ıcios: • Exerc´ da p´gina 17: ıcio a (A) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f1 (0) = 4 . a af1 n˜o possui nenhum ponto de m´ a ınimo. (B) M´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume o valor m´ximo absoluto f2 (1) = 3 . a aM´ ınimo absoluto (e local) em x = 3 onde assume o valor m´ınimo absoluto f2 (3) = −5 . (C) M´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ ınimo absoluto f3 (0) = 0 . (D) M´ximo local em x = 0 onde assume o valor m´ximo local f4 (0) = 4 . M´ a a ınimoabsoluto (e local) no conjunto {−2, 2} , onde assume o valor m´ ınimo absoluto f4 (2) = 0 . (E) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f5 (0) = a a1 . M´ınimo absoluto (e local) no conjunto {−1, 1} , onde assume o valor m´ ınimo absoluto
    • Fun¸˜es co 41f5 (−1) = 0 . (F) f6 n˜o ´ fun¸˜o. a e ca (G) M´ximo local no conjunto (−∞, 1/4) , onde assume o valor m´ximo local f7 (−2) = a a−3 . M´ ınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, 1/4] , onde assume o valor m´ ınimo absolutof7 (−4) = −3 . (H) M´ximo absoluto (e local) em x = 2 onde assume o valor m´ximo absoluto f8 (2) = 2 . a af8 n˜o possui nenhum ponto de m´ a ınimo. (I) f9 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. (J) M´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo absoluto f10 (0) = 0 . a af10 n˜o possui nenhum ponto de m´ a ınimo. • Exerc´ da p´gina 29: ıcio a 1) Im (f1 ) = IR . f1 n˜o ´ limitada. f1 ´ crescente em todo o seu dom´ a e e ınio. f1n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. f1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e −1 −1 y+1inversa f1 : IR → IR dada por f1 (y) = . 3 2) Im (g1 ) = [0, +∞) . g1 n˜o ´ limitada. g1 ´ decrescente em (−∞, 1/3] e crescente a e eem [1/3, +∞) . g1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 1/3 onde assumevalor m´ınimo absoluto 0. g1 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo. g1 ´ sobrejetora mas a a en˜o ´ injetora e por isso n˜o ´ invert´ a e a e ıvel. 3) Im (h1 ) = (−∞, 9] . h1 n˜o ´ limitada. h1 ´ crescente em (−∞, 0] e decrescente a e eem [0, +∞) . h1 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor am´ximo absoluto 9. h1 n˜o possui nenhum ponto de m´ a a ınimo. h1 n˜o ´ injetora e n˜o ´ a e a esobrejetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e ıvel. 4) Im (p1 ) = (0, 6] . p1 ´ limitada. p1 ´ crescente (em todo o seu dom´ e e ınio). p1 possuiponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo 6. p1 n˜o possui a a a −1nenhum ponto de m´ ınimo. p1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo inversa p1 : (0, 6] → (0, 3] e −1 wdada por p1 (w) = . 2 5) Im (q1 ) = [−3, +∞) . q1 n˜o ´ limitada. q1 ´ crescente em [0, 1] e decrescente a e eem (−∞, 0] e em [1, 5] . q1 possui ponto de m´ximo local em x = 1 onde assume valor am´ximo local 1. q1 possui ponto de m´ a ınimo absoluto (e local) em x = 5 onde assume valorm´ınimo absoluto −3 e possui ponto de m´ ınimo local em x = 0 onde assume valor m´ ınimolocal 0. q1 n˜o ´ injetora e n˜o ´ sobrejetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e a e a e ıvel. 6) Im (r1 ) = [0, +∞) . r1 n˜o ´ limitada. r1 ´ crescente em [0, 3/2] e em [3, +∞) a e ee decrescente em [3/2, 3] . r1 possui ponto de m´ximo local em x = 3/2 onde assume a
    • 42 CAP´ ITULO 2valor m´ximo local 9/4. r1 possui ponto de m´ a ınimo absoluto (e local) no conjunto {0, 3}onde assume valor m´ınimo absoluto 0. r1 ´ sobrejetora mas n˜o ´ injetora e por isso n˜o ´ e a e a einvert´ ıvel. 7) Im (s1 ) = [2, +∞) . s1 n˜o ´ limitada. s1 ´ decrescente em (−∞, 0] e crescente a e eem [0, +∞) . s1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valorm´ınimo absoluto 2. s1 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo. s1 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ a a a e a einjetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e ıvel. 8) Im (u1 ) = [2, 11] . u1 ´ limitada. u1 ´ decrescente em [−2, 0] e crescente em [0, 3] . e eu1 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor m´ınimo absoluto2. u1 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo a aabsoluto 9 e possui ponto de m´ximo local em x = −2 onde assume valor m´ximo local 6. a au1 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e a e a e ıvel. 9) Im (v1 ) = IR+ . v1 n˜o ´ limitada. v1 ´ crescente em todo o seu dom´ a e e ınio. v1n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. v1 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e −1 + + −1 √inversa v1 : IR → IR dada por v1 (z) = z . 10) Im (f2 ) = (−∞, 0] . f2 n˜o ´ limitada. f2 ´ crescente em (−∞, 0] e decrescente a e eem [0, +∞) . f2 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor am´ximo absoluto 0. f2 n˜o possui nenhum ponto de m´ a a ınimo. f2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ a e a einjetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e ıvel. 11) Im (g2 ) = IR . g2 n˜o ´ limitada. g2 ´ decrescente em todo o seu dom´ a e e ınio. g2n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. g2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e −1 −1inversa g2 : IR → IR dada por g2 (y) = −3y + 3 . 12) Im (h2 ) = (−∞, 2) . h2 n˜o ´ limitada. h2 ´ decrescente em todo o seu dom´ a e e ınio.h2 n˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. h2 ´ injetora mas n˜o ´ sobrejetora e a ee por isso n˜o ´ invert´ a e ıvel. 13) Im (p2 ) = (−∞, 0] . p2 n˜o ´ limitada. p2 ´ decrescente em todo o seu dom´ a e e ınio. p2possui nenhum ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 0 onde assume o valor m´ximo a aabsoluto 0. p2 n˜o possui nenhum ponto de m´ a ınimo. p2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e 2 tinversa p−1 : (−∞, 0] → [0, +∞) dada por p−1 (t) = 2 2 . 2 14) Im (q2 ) = {0, 1} . q2 ´ limitada. q2 n˜o ´ crescente ou decrescente em intervalo e a ealgum. q2 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) no conjunto [1, 3] onde assume valor am´ximo absoluto 1. q2 possui ponto de m´ a ınimo local no conjunto (1, 3) onde assume valorm´ınimo local 1. q2 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] ondeassume valor m´ ınimo absoluto 0. q2 possui ponto de m´ximo local no conjunto IR − [1, 3] aonde assume valor m´ximo local 0. q2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ a a e a e a e
    • Fun¸˜es co 43invert´ ıvel. 15) Im (r2 ) = {0} ∪ [3, 11] . r2 ´ limitada. r2 ´ crescente em [1, 3] . r2 possui ponto e ede m´ximo absoluto (e local) em x = 3 onde assume valor m´ximo absoluto 11. r2 possui a a ınimo absoluto (e local) no conjunto IR − [1, 3] onde assume valor m´ponto de m´ ınimo absoluto0. r2 possui ponto de m´ximo local no conjunto IR − [1, 3] onde assume valor m´ximo local a a0. r2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e a e a e ıvel. 16) Im (s2 ) = IR . s2 n˜o ´ limitada. s2 ´ decrescente em (−∞, 0] e em [0, +∞) . s2 a e en˜o possui nenhum ponto de m´ximo ou de m´ a a ınimo. s2 ´ injetora e sobrejetora, possuindo e −1inversa s2 = s2 . 17) Im (v2 ) = {−π} ∪ [0, +∞) . v2 n˜o ´ limitada. v2 ´ crescente em [0, +∞) . a e ev2 possui ponto de m´ximo local em (−∞, −1) onde assume valor m´ximo local −π. v2 a apossui ponto de m´ınimo absoluto (e local) no conjunto (−∞, −1) onde assume valor m´ınimoabsoluto −π. v2 possui ponto de m´ ınimo local em x = 0 onde assume valor m´ ınimo local 0.v2 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e a e a e ıvel. 18) Im (f3 ) = [0, 1] . f3 ´ limitada. f3 ´ crescente em (−1, 0] e decrescente em [0, 1] . e ef3 possui ponto de m´ximo absoluto (e local) em x = 1 onde assume valor m´ximo absoluto a a1. f3 possui ponto de m´ ınimo absoluto (e local) em x = 0 onde assume valor m´ ınimoabsoluto 0. f3 n˜o ´ sobrejetora e n˜o ´ injetora, e por isso n˜o ´ invert´ a e a e a e ıvel. • Exerc´ da p´gina 36 (antes da Se¸˜o 2.7): ıcio a ca Fun¸˜o COSSENO: ca cos : IR −→ IR (Gr´fico) a x −→ cos x Im (cos) = [−1, 1] cos(−x) = cos x (´ uma fun¸˜o PAR) e ca e ca ´ cos(x + 2π) = cos x (´ uma fun¸˜o PERIODICA de per´ ıodo T = 2π) A fun¸˜o COSSENO ´ ... ca e... CRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k ´ IMPAR, k ∈ Z... DECRESCENTE em [kπ, (k + 1)π] , k PAR, k ∈ Z ´ Assume o VALOR MAXIMO ABSOLUTO 1 em x = 2kπ (k ∈ Z) Assume o VALOR M´ INIMO ABSOLUTO −1 em x = 2kπ + π (k ∈ Z)
    • 44 CAP´ ITULO 2 1 Se cos x = 0 , ent˜o definimos sec x = a . cos x Assim, sec : IR − {kπ + π/2 , k ∈ Z} → IR associa x → sec x = 1/ cos x . (Gr´fico) a ˜ ´ ˜ ´ A fun¸˜o COSSENO NAO E injetora e NAO E sobrejetora, mas a quando restringimos seu cadom´ ınio, temos uma nova fun¸˜o g : [0, π] −→ [−1, 1] , a qual ´ BI- ınio e seu contra-dom´ ca e x −→ cos x −1JETORA (Gr´fico) e tem portanto inversa g : [−1, 1] −→ [0, π] a (Gr´fico) a y −→ g −1 (y) = arc cos y Fun¸˜o TANGENTE: ca tg : IR − {x ∈ IR ; cos x = 0 } −→ IR sen x (Gr´fico) a x −→ tg x = cos x Im ( tg ) = IR tg (−x) = − tg x (´ uma fun¸˜o ´ e ca IMPAR) e ca ´ tg (x + π) = tg x (´ uma fun¸˜o PERIODICA de per´ ıodo T = π) A fun¸˜o TANGENTE ´ ... ca e... CRESCENTE em [kπ − π/2, kπ + π/2] , k ∈ Z NAO ASSUME VALOR MAXIMO OU M´ ˜ ´ INIMO EM NENHUM PONTO. 1 cos x Se tg x = 0 , ent˜o definimos ctg x = a = . tg x sen x cos x Assim, ctg : IR − {x ∈ IR ; sen x = 0 } → IR associa x → ctg x = 1/ tg x = . sen x(Gr´fico) a ´ ˜ ´ A fun¸˜o TANGENTE E SOBREJETORA e NAO E injetora, mas a quando restringimos ca ınio temos uma nova fun¸˜o h : (−π/2, π/2) −→ IRseu dom´ ca , a qual ´ BIJETORA e x −→ tg x(Gr´fico) e tem portanto inversa a h−1 : IR −→ (−π/2, π/2) (Gr´fico) a y −→ h−1 (y) = arc tg y
    • Fun¸˜es co 45 • Exerc´ıcios da Se¸˜o 2.7: ca x+7 1) f (x) = . 3 x2 2 2) g(x) = + 2x + . 3 3 −4x3 + 15x2 − 11x 3) (b) h : IR → IR dada por h(x) = . 30 x2 + 1 2x 4) (b) g + h = f (c) f (x) = + . x2 − 1 1 − x2 y−4 5) (a) f −1 : IR → IR dada por f −1 (y) = . 3 1 + aw (b) g −1 : IR − {0} → IR − {a} dada por g −1 (w) = . w a + az (c) h−1 : IR − {1} → IR − {a} dada por h−1 (z) = . z−1 (d) r−1 : [0, +∞) → [1, +∞) dada por r−1 (x) = x2 + 1 . log 2 [− log(0, 8)] · 5730 9) (a) K = (b) M0 /2 (c) t = ≈ 1846 anos. 5730 log 2 log 0, 6 ·t −100. log 2 10) (a) M = M0 · e 100 (b) t1/2 = ≈ 135, 6915448856724 anos. log 0, 6 100. log 0, 15 (c) t = ≈ 371, 3830897713448167 anos. log 0, 6 √ 16) f (1) = −π/2 , f (100) = π/2 , f ( 10 ) = −π/6 . 17) (d) 1 − tgh 2 x = sech 2 x e 1 − ctgh 2 x = − csch 2 x . e8 − 3e6 + 3e2 − 1 1 − 3e + 3e3 − e4 18) f (2) = , f (−1) = , f (0) = 0 . e6 + e2 e3 + e
    • 46 CAP´ ITULO 2
    • Cap´ ıtulo 3Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca3.1 Motiva¸˜o ca Seja dada uma fun¸˜o f : X → Y (X, Y ⊂ IR) . ca Para cada x ∈ X , a melhor maneira de se aproximar f numa vizinhan¸a de x por uma cfun¸˜o cujo gr´fico ´ uma reta ´ atrav´s da reta tangente ao gr´fico de f no ponto (x, f (x)) , ca a e e e ase houver esta tangente. Conseq¨ˆncia: Podemos relacionar uma s´rie de informa¸˜es sobre o comportamento de ue e cof com o coeficiente angular mt da reta tangente ao gr´fico de f em cada ponto (onde existir). a Por exemplo:(A) f crescente em um intervalo ⇔ mt > 0 neste intervalo. 47
    • 48 CAP´ ITULO 3(B) f decrescente em um intervalo ⇔ mt < 0 neste intervalo. f assumindo m´ximo ou m´ a ınimo local(C) ⇒ mt = 0 no ponto de m´ximo ou m´ a ınimo. no interior de um intervalo Concavidade do gr´fico de f a(D) ⇒ mt crescente neste intervalo. voltada para cima, em um intervalo Concavidade do gr´fico de f a(E) ⇒ mt decrescente neste intervalo. voltada para baixo, em um intervaloObtendo “mt ” (coeficiente angular da reta tangente) Dada f : X → Y (X, Y ⊂ IR) , seja a ∈ I(intervalo aberto) ⊂ X. Queremos obter ocoeficiente angular mta da reta ta , tangente ao gr´fico de f no ponto (a, f (a)) : a
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 49 ¸˜ Para fazermos isso, vamos utilizar “APROXIMACOES POR RETAS SECANTES”: Para cada x = a (em I), temos uma reta secante sa (que depende do ponto x),secante ao gr´fico de f , passando pelos pontos (a, f (a)) e (x, f (x)) : a Temos ent˜o uma fun¸˜o a ca msa : I − {a} → IR f (x) − f (a) x → msa (x) = x−a Nos interessa investigar o comportamento de msa (x) (coeficiente angular das secantes)quando x se aproxima de a , sem assumir o valor a ( x → a ). O esperado ´ que, quando x → a , msa (x) se aproxime tanto quanto quisermos de algum en´mero real e teremos u msa (x) → mta ∈ IR , quando x → a Neste caso, dizemos que a fun¸˜o f ´ deriv´vel no ponto a, existe a reta tangente ao gr´fico ca e a ade f no ponto (a, f (a)) e seu coeficiente angular mta ´ chamado a derivada de f no ponto ea (escrevemos f (a) ). ´ Obs.: E fundamental, para fazermos x → a , que possamos aproximar o ponto a por umaseq¨ˆncia de pontos do dom´ ue ınio X de f , diferentes de a. Exemplo:
    • 50 CAP´ ITULO 3 Precisamos portanto sistematizar o todo este processo, ou seja, Dada uma fun¸˜o g : X → Y e um ponto a que pode ser aproximado por capontos x ∈ X , x = a queremos estudar o comportamento de g(x) quando x → a(x se aproxima de a por valores diferentes de a) e saber se g(x) → L ∈ IR quandox→a.3.2 Limites Dada uma fun¸˜o f : X → IR , nos interessa conhecer o comportamento de f (x) quando cax se aproxima de a , x = a . Para isso, a n˜o precisa pertencer ao dom´ a ınio de f , mas deve ser aproximado por pontosdo dom´ ınio:Defini¸˜o 3.1. (Ponto de acumula¸˜o): Um ponto a ´ chamado um PONTO DE ACUMULACAO ca ca e ¸˜do conjunto X quando podemos encontrar pontos de X, diferentes de a, t˜o pr´ximos de a a oquanto quisermos, ou seja, a pode ser aproximado por pontos de X diferentes de a. Denotamos por X o conjunto dos pontos de acumula¸˜o de X. ca Exemplos:(A) A = [−1, 3)(B) B = (0, 2) ∪ (2, 3)(C) C = [1, 2] ∪ (3, 5) ∪ {7}
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 51 Consideremos agora, por exemplo, a fun¸˜o f : IR − {1} → IR dada por ca 3x2 − 2x − 1 f (x) = x−1 a ınio de f , mas ´ ponto de acumula¸˜o de IR − {1} . Podemos 1 n˜o pertence ao dom´ e caent˜o observar o comportamento de f (x) quando x → 1 (x se aproxima de 1, x = 1) a Temos: x 0 0, 9 0, 99 0, 999 0, 9999 x 2 1, 1 1, 01 1, 001 1, 0001 f (x) 1 3, 7 3, 97 3, 997 3, 9997 f (x) 7 4, 3 4, 03 4, 003 4, 0003 Observemos que f (x) se aproxima cada vez mais de 4 ` medida que x → 1 . a Dizemos ent˜o que 4 ´ o limite de f (x) quando x tende a 1 (x → 1) e escrevemos: a e 3x2 − 2x − 1 lim = 4. x→1 x−1A defini¸˜o de limite caDefini¸˜o 3.2. Sejam f : X → IR uma fun¸˜o e a ∈ X ca ca (a ´ ponto de acumula¸˜o do e cadom´ ınio - n˜o precisa pertencer a X). a Dizemos que um n´mero real L ´ o LIMITE de f (x) quando x tende a a , e escrevemos u e lim f (x) = L x→aquando ... ... podemos obter f (x) t˜o pr´ximo de L quanto a odesejarmos, sempre que x se aproxima de a, por va-lores (no dom´nio de f ) diferentes de a . ı TRADUZINDO ... para cada > 0 dado, ´ poss´ obter um e ıvelδ > 0 (em geral dependendo do ) tal que :se x ∈ X e 0 < |x − a| < δ ent˜o |f (x) − L| < . a
    • 52 CAP´ ITULO 3Alguns limites fundamentais • Fixemos c ∈ IR e seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = c ∀ x ∈ IR (fun¸˜o constante). ca Para cada a ∈ IR temos: lim f1 (x) = lim c = c x→a x→a • Seja f2 : IR → IR dada por f2 (x) = x ∀ x ∈ IR (fun¸˜o identidade). ca Para cada a ∈ IR temos: lim f2 (x) = lim x = a x→a x→a • Seja f3 : IR → IR dada por f3 (x) = sen x ∀ x ∈ IR . Temos: lim sen x = 0 x→0 • Seja f4 : IR → IR dada por f4 (x) = cos x ∀ x ∈ IR . Temos: lim cos x = 1 x→0 sen x • Seja f5 : IR − { 0} → IR dada por f5 (x) = ∀x=0. x Temos: sen x lim =1 x→0 x cos x − 1 • Seja f6 : IR − { 0} → IR dada por f6 (x) = ∀x=0. x Temos: cos x − 1 lim =0 x→0 x ex − 1 • Seja f7 : IR − { 0} → IR dada por f7 (x) = ∀x=0. x Temos: ex − 1 lim =1 x→0 x
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 533.3 Teoremas para (ajudar no) c´lculo de limites aTeorema 3.1. Sejam f : X → IR e a ∈ X . Temos: lim f (x) = L ⇔ lim (f (x) − L) = 0 ⇔ lim |f (x) − L| = 0 x→a x→a x→a Em particular, considerando L = 0 , temos: lim f (x) = 0 ⇔ lim |f (x)| = 0 . x→a x→a Exemplo: Sabemos que lim x = 0 . Ent˜o segue que lim |x| = 0 . a x→0 x→0Teorema 3.2. (Sandu´che) Sejam f , g , h fun¸˜es tais que f (x) ≤ g(x) ≤ h(x) para todo ı cox = a em um intervalo aberto contendo a . Se lim f (x) = L = lim h(x) , ent˜o lim g(x) = L . a x→a x→a x→a Exemplo: Vamos mostrar que lim sen x = 0 . x→0
    • 54 CAP´ ITULO 3Teorema 3.3. Sejam f , g : X → IR , a ∈ X e lim f (x) = L , lim g(x) = M . Ent˜o: a x→a x→a lim [f (x) ± g(x)] = L ± M ; x→a lim f (x) · g(x) = L · M ; x→a f (x) L lim = se M = 0 ; x→a g(x) M n √ n e´ se n ´ IMPAR e L ´ qualquer real e lim f (x) = L x→a se n ´ PAR e L > 0 e Exemplos:(A) Seja p : IR → IR dada por p(x) = cn xn + cn−1 xn−1 + . . . + c1 x + c0 ,com cn , cn−1 , . . . , c1 , c0 ∈ IR (constantes) e cn = 0 ( p ´ uma fun¸˜o polinomial de grau n). e ca
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 55(B) Fun¸˜es racionais (quocientes de fun¸˜es polinomiais) co co(C) lim cos x = 1 x→0
    • 56 CAP´ ITULO 3 sen x(D) lim =1 x→0 x cos x − 1(E) lim =0 x→0 x
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 57Teorema 3.4. Se lim f (x) = 0 e g ´ limitada num intervalo aberto contendo o ponto a e x→a(sem precisar estar definida em a), ent˜o lim f (x) · g(x) = 0 . a x→a (Exemplo)Teorema 3.5. (Troca de vari´veis) Se lim f (u) = L , lim u(x) = b (x → a ⇒ u → b) e a u→b x→ax = a ⇒ u = b , ent˜o a lim f (u(x)) = lim f (u) = L x→a u→b Exemplos: sen 4x(A) lim x→0 4x sen 3x(B) lim x→0 x 5x − 1(C) lim x→0 x
    • 58 CAP´ ITULO 33.4 Exerc´ ıcios f (x) (A) Prove que se lim f (x) = L = 0 e lim g(x) = 0 ent˜o a (n˜o existe) lim a . x→a x→a x→a g(x) f (x) f (x) Sugest˜o: Suponha que exista lim a = M e considere lim f (x) = lim · g(x) . x→a g(x) x→a x→a g(x) (B) Calcule os limites abaixo, justificando: √ √ x2 − 9 3 + 2x x+2− 21) lim 2) lim 3) lim Sugest˜o: racionalize o numerador a x→3 x − 3 x→1/2 5 − x x→0 x x−24) lim Sugest˜o: use que (an − bn ) = (a − b).(an−1 + an−2 b + . . . + abn−2 + bn−1 ) a x→2 x4 − 16 x+3 |x| x2 + 5x + 6 15) lim 6) lim √ 7) lim 8) lim √ x→−3 (1/x) + (1/3) x→0 x4 + 7 x→−3 x2 − x − 12 u→1 5−u √ 3 1 4− 16 + h 3 2 + 5x − 3x3 y3 + 89) lim x sen √ 10) lim 11) lim 12) lim x→0 3 x h→0 h x→3 x2 − 1 y→−2 y+2 1 − cos t x2 − x − 2 3x2 − 17x + 20 sen 3w13) lim 14) lim 2 15) lim 2 − 25x + 36 16) lim t→0 sen t x→2 (x − 2) x→4 4x w→0 sen 5w √3 h+1−1 1 + tg x sen 2 2t sen x17) lim 18) lim 19) lim 20) lim h→0 h x→0 sen x t→0 t2 x→π x − π x 1 − cos x 3x − 1 3x221) lim 22) lim 23) lim 24) lim x→0 cos x x→0 x2 x→0 x x→0 1 − cos2 (x/2) √ x5 − (1/ 2)5 (x − 1)(x + 2) x2 − 925) lim√ √ 26) lim 27) lim x→1/ 2 x − (1/ 2) x→−2 x2 + 4x + 4 x→3 x−3 e7y − 1 (1 − sec x). ctg x. cos x28) lim 29) lim y→0 sen y x→0 x √ x2 − 6x + 9 π 3 − πx x − π/230) lim 31) lim√ √ 32) lim x→3 (x + 1)(x − 3) x→ 3 x3 − 3 3 x→π/2 cos x sen 3 x 3 1 − e2y33) lim 34) lim x→0 5x(1 − cos x) y→0 y √ 3x − 3 2 sen πy x2 − 135) lim √ 36) lim 37) lim x→ 2 x6 − 8 y→0 y x→1 (1 − x)3
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 59 1 + cos x ex + sen 2 x − 138) lim 39) lim x→−π x+π x→0 x 3 x−3 x3 + 2x2 + x e sen x − 140) lim 41) lim 42) lim x→3 27 − x3 x→−1 x+1 x→0 2x sen 7y + cos πy − 1 1 − cos x43) lim 44) lim √ y→0 y x→0 5 · x · sen x √ x3 − 3 3 e2y − 145) lim √ √ 46) lim x→ 3 4x − 4 3 y→0 sen (3y) x3 + x2 − x − 1 1 − sen x47) lim 48) lim x→−1 x3 − x x→π/2 x − (π/2)Teoremas adicionais sobre limitesTeorema 3.6. (Unicidade do limite) Sejam f : X → IR e a ∈ X . O lim f (x) , quando existe, ´ unico. e´ x→aTeorema 3.7. Sejam f : X → IR e a ∈ X . Se existe L = lim f (x) ent˜o a fun¸˜o f ´ a ca e x→aLIMITADA num intervalo aberto contendo o ponto a. 1 Exemplo: Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) = ∀x=0. x e ca ınio IR − {0} . 0 ´ ponto de acumula¸˜o do dom´ ˜ 1 Podemos afirmar que NAO EXISTE o lim , pois f n˜o ´ limitada em nenhum a e x→0 xintervalo aberto contendo 0 .Teorema 3.8. Sejam f : X → IR , a ∈ X e L = lim f (x) . x→a Se L > M ent˜o f (x) > M para todo x = a do dom´ a ınio em um intervalo abertocontendo o ponto a . Em particular, se lim f (x) > 0 ent˜o f (x) > 0 para todo x = a do dom´ a ınio em um x→aintervalo aberto contendo a . Obs.: Analogamente, vale resultado semelhante caso lim f (x) = L < M . x→a
    • 60 CAP´ ITULO 3Teorema 3.9. (Limites laterais) Sejam f : X → IR e a ∈ X . Se a pode ser aproximado tanto por pontos de X maiores que a quanto por pontos de Xmenores do que a, podemos investigar ambos os limites laterais de f : lim f (x) x→a+(limite de f (x) quando x tende a a PELA DIREITA, isto ´, por valores x ∈ X, com x > a) e lim f (x) x→a−(limite de f (x) quando x tende a a PELA ESQUERDA, isto ´, por valores x < a em X) e Temos, neste caso, que existe L = lim f (x) se, e somente se, existem e s˜o iguais a L a x→aambos os limites laterais, ou seja: lim f (x) = lim− f (x) . x→a+ x→a |x| Exemplos: (a) Seja f : IR − {0} → IR dada por f (x) = . x (b) ´ Obs.: OS TEOREMAS ANTERIORES VALEM TAMBEM PARA LIMITES LATERAIS, ¸˜COM AS DEVIDAS ADAPTACOES !
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 61Exerc´ ıcios: 1) Sejam f, g : IR → IR dadas por: x3 + 3 se x ≤ 1 x2 se x ≤ 1 f (x) = g(x) = x+1 se x > 1 2 se x > 1 Fa¸a um estudo sobre os limites: c lim f (x) lim g(x) lim (f.g)(x) x→1 x→1 x→1 f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) 2) Mostre que lim = lim (se existirem) x→a x−a h→0 h 3) Para cada fun¸˜o f : X → IR dada a seguir e cada a ∈ X ∩ X (a ´ ponto do dom´ ca e ınio eponto de acumula¸˜o do dom´ ca ınio), tamb´m fornecido, obtenha e mta = coeficiente angular da reta tangente ao gr´fico de f no ponto (a, f (a)). a (a) f1 : IR → IR dada por f1 (x) = 3x − 1 e a = −5 . (b) f2 : IR → IR dada por f2 (x) = −x2 e a = 3 . (c) f3 : IR → IR dada por f3 (x) = sen x e a = π/6 . (d) f4 : IR → IR dada por f4 (x) = cos x e a = π/6 . (e) f5 : IR → IR dada por f5 (x) = ex e a = 2 . √ (f) f6 : (0, +∞) → IR dada por f6 (x) = 1/x e a = 2. Fa¸a ainda um esbo¸o e confira se a resposta encontrada faz sentido com o esbo¸o. c c c Sugest˜es: o Aproxime mta pelos coeficientes angulares msa (x) das secantes por (a, f (a)) e (x, f (x)),fazendo x → a. Para as letras (c),(d) e (e), use tamb´m o exerc´ anterior. e ıcio Pode tentar tamb´m fazer antes o Exerc´ 4) (veja o enunciado abaixo) e assim este e- e ıcioxerc´ se torna um caso particular. ıcio 4) Para cada fun¸˜o f : X → IR do exerc´ anterior, tente generalizar o resultado, obtendo ca ıciomta para um a ∈ X qualquer !
    • 62 CAP´ ITULO 33.5 ContinuidadeDefini¸˜o 3.3. Consideremos uma fun¸˜o f : X → IR tal que X ⊂ X ca ca (todo ponto dodom´ ınio ´ ponto de acumula¸˜o). e ca ´ ´ Dado um ponto a , dizemos que f E CONTINUA NO PONTO a quando as seguintescondi¸˜es s˜o satisfeitas: co a 1) Existe f (a) (ou seja, a ∈ X); 2) Existe lim f (x) ; x→a 3) lim f (x) = f (a) . x→a Se f n˜o ´ cont´nua em um ponto a pertencente a seu dom´ a e ı ´ ınio, dizemos que f E ´DESCONTINUA EM a, ou que f TEM UMA DESCONTINUIDADE EM a. e ¸˜ ´ Dizemos que f : X → IR ´ uma FUNCAO CONTINUA EM X quando ela ´ cont´ e ınua emtodos os pontos de seu dom´nio. ı Exemplos: (e contra-exemplos)(A) Toda fun¸ao polinomial ´ cont´ c˜ e ınua !(B) Seno e cosseno, no ponto 0 :(C) Contra-exemplo: uma descontinuidade REMOV´ IVEL:(D) Contra-exemplo: uma descontinuidade ESSENCIAL:
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 63Continuidade e opera¸˜es entre fun¸˜es co coTeorema 3.10. Sejam f, g : X → IR , X ⊂ X e a ∈ X . Se f e g s˜o cont´nuas no ponto a ∈ X , ent˜o: a ı a(f ± g) s˜o cont´nuas em a ; a ı(f · g) ´ uma fun¸˜o cont´nua em a ; e ca ı(f /g) ´ cont´nua em a se g(a) = 0 . e ıTeorema 3.11. (Composi¸˜o) Sejam f : X → IR (X ⊂ X ) e g : Y → IR (Y ⊂ Y ) de caforma que a composta g ◦ f : X → IR est´ bem definida a Se f ´ cont´nua em a ∈ X e g ´ cont´ e ı e ınua em b = f (a) ∈ Y ent˜o a composta ag ◦ f : X → IR ´ cont´nua no ponto a ∈ X . e ıFun¸˜es cont´ co ınuas em intervalos • Quando estudamos problemas sobre m´ximos e m´ a ınimos, podemos ter fun¸˜es que n˜o co aassumem valores m´ximos e/ou m´ a ınimos. Por exemplo: f : IR → IR dada por f (x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM M´ ˜ ´ INIMO ! g : (−1, 2) → IR dada por g(x) = x NAO ASSUME MAXIMO NEM M´ ˜ ´ INIMO !
    • 64 CAP´ ITULO 3 Existe uma situa¸˜o (envolvendo continuidade) na qual estes problemas n˜o ocorrem: ca aTeorema 3.12. (MAX-MIN) Se f : [a, b] → IR ´ uma fun¸˜o cont´ e ca ınua (em todos os pontosdo intervalo limitado e fechado [a, b]), ent˜o f assume valores m´ximo e m´ a a ınimo absolutosneste intervalo [a, b] , ou seja, existem pontos cM e cm em [a, b] tais que f (cM ) ≥ f (x) para todo x ∈ [a, b] f (cm ) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b] • Outra boa propriedade das fun¸˜es cont´ co ınuas ´ a “PROPRIEDADE DO VALOR IN- e ´TERMEDIARIO”:Teorema 3.13. (Teorema do valor intermedi´rio) Se f : X → IR ´ cont´ a e ınua no intervalo[a, b] ⊂ X e f (a) = f (b) , ent˜o f assume todos os valores entre f (a) e f (b) , ou mellhor, adado qualquer d entre f (a) e f (b) , existe x entre a e b tal que f (x) = d . (Ilustra¸˜o) ca (Exemplo)
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 653.6 Exerc´ ıcios √ 1) Seja f : [0, +∞) → IR dada por f (x) = x . √ √(i) Mostre que lim x = 0 (Sugest˜o: Considere apenas o limite lateral lim x - pois 0 a x→0 x→0 + √ √s´ pode ser aproximado “pela direita” - e para isto, compare x com x para 0 < x < 1 ) o 3(ii) Conclua que f ´ cont´ e ınua (em todos os pontos de seu dom´ ınio). √ x(iii) Mostre que lim (racionalize). x→0 x √(iv) Generalize para g : [0, ∞) → IR dada por g(x) = n x , n = 2, 4, 6, 8, . . . 2) Dadas f : X → IR abaixo, discuta a sua CONTINUIDADE (onde f ´ cont´ e ınua ou n˜o), ajustificando: √ (a) f : (−∞, 16] → IR dada por f (x) = 16 − x . 1 (b) f : [0, +∞) → IR dada por f (0) = 0 e f (x) = se x = 0 . x2  x+1   3  x +1 se x = −1 (c) f : IR → IR dada por f (x) = .   3 se x = −1  x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0 3) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x + 2 se x ≥ 0 (a) Discuta a CONTINUIDADE de f . (b) A equa¸˜o f (x) = 0 tem uma raiz entre −2 e −1. JUSTIFIQUE. ca x3 − x − 3 se x < 2 4) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 5−x se x ≥ 2 (a) Onde f ´ cont´ e ınua ? (JUSTIFIQUE). (Considere os casos: a < 2, a = 2 e a > 2) (b) Em quais dos intervalos [−2, 0], [0, 1], [1, 3], [3, 6] podemos GARANTIR que existex tal que f (x) = 0 ? JUSTIFIQUE.
    • 66 CAP´ ITULO 3 2x + 1 se x ≤ 3 5) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x2 + 8x − 8 se x > 3 (a) Responda se f ´ cont´ e ınua em a = 3 . (JUSTIFIQUE). (b) Sabendo que f ´ crescente em (−∞, 7/2] e descrescente em [10, +∞) , podemos eafirmar que existe xM ∈ [7/2, 10] tal que f (xM ) ≥ f (x) para todo x ∈ IR ? (JUSTIFIQUE) x+1 se x < −1 6) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 1 + sen (x + 1) se x ≥ −1 ınua em a = −1 . (JUSTIFIQUE). (a) Responda se f ´ cont´ e (b) Responda: Se [a, b] ⊂ IR , ´ poss´ afirmar que dado d entre f (a) e f (b), existe c entre e ıvela e b com f (c) = d ? JUSTIFIQUE a resposta. sen [π(x − 1)] 7) (a) Seja f : IR → IR uma fun¸˜o tal que f (x) = ca ∀ x = 1 . f pode ser x−1cont´ ınua em x = 1 ? Se puder, qual o valor de f (1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Sen˜o, JUSTIFIQUE. a |x − 1| (b) Seja g : IR → IR uma fun¸˜o tal que g(x) = ca ∀ x = 1 . g pode ser cont´ ınua x−1em x = 1 ? Se puder, qual o valor de g(1) para que isso ocorra (JUSTIFIQUE). Se n˜o,aJUSTIFIQUE.Respostas de exerc´ ıcios: • Exerc´ (B) da Se¸˜o 3.4: ıcio ca √ 8 2 1 1 1 1 1) 6 2) 3) 4) 5) −9 6) 0 7) 8) 9) 0 10) − 9 4 32 7 2 8 3 1 11) −2 12) 12 13) 0 14) (n˜o existe) a 15) 1 16) 17) 18) 5 3 1 19) 4 20) −1 21) 0 22) 23) ln 3 24) 12 25) 5/4 26) 2 √ π 27) 6 28) 7 29) −1/2 30) 0 31) − 32) −1 9 √ 2 √ 3 2 √ 33) 34) − 2 35) 36) π 37) 38) 0 5 16 1 1 39) 1 40) − 41) 0 42) 43) 7 3 2
    • Limite de uma fun¸˜o e Continuidade ca 67 1 9 2 44) √ 45) 46) 47) 0 48) 0 2 5 4 3 • Exerc´ ıcios da p´gina 61: a 1) lim f (x) , lim g(x) , lim (f.g)(x) = 4 x→1 x→1 x→1 2) Fa¸a a mudan¸a de vari´veis x − a = h e aplique o Teorema sobre limites de fun¸˜es c c a cocompostas ! 3) (a) f1 (−5) = mt−5 = 3 (b) f2 (3) = mt3 = −6 √ 3 (c) f3 (π/6) = mtπ/6 = 2 1 (d) f4 (π/6) = mtπ/6 =− 2 (e) f5 (2) = mt2 = e2 √ 1 (f) f6 ( 2) = mt√2 = − 2 4) (a) f1 (a) = 3 (b) f2 (a) = −2a (c) f3 (a) = cos a (d) f4 (a) = − sen a (e) f5 (a) = ea 1 (f) f6 (a) = − a2 • Exerc´ ıcios da Se¸˜o 3.6: ca 2) Cont´ ınua em... √ a) ... (−∞, 16] . Em a = 16 temos: lim− 16 − x = 0 = f (16) x→16 b) ... (0, +∞) . Em a = 0 temos: lim f (x) x→0+ c) ... IR − {−1} . Em a = −1 temos: ∃ lim f (x) = 1/3 = f (−1) x→−1
    • 68 CAP´ ITULO 3 3) (a) f ´ cont´ e ınua em todo a = 0 e n˜o ´ cont´ a e ınua em a = 0 . ca e ınua no intervalo [−2, −1] e f (−2) < 0 < f (−1) , temos (b) Como a fun¸˜o f ´ cont´ ´ent˜o pelo TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO que existe x entre −2 e −1 tal que af (x) = 0 . 4) ınua em todo a ∈ IR . (a) f ´ cont´ e (b) Nos intervalos [1, 3] e [3, 6] : nestes intervalos a fun¸˜o ´ cont´ ca e ınua e “muda de sinal”. ´O TEOREMA DO VALOR INTERMEDIARIO nos garante que sob estas condi¸˜es a fun¸˜o co caassume o valor 0 (zero) nestes intervalos. 5) (a) f ´ cont´ e ınua em a = 3 (verificados tamb´m os limites laterais). e (b) SIM! f ´ cont´ e ınua no intervalo LIMITADO e FECHADO [7/2, 10] e portanto assume a´ım´ximo absoluto em um ponto xM deste intervalo. Mostra-se ent˜o (com as outras hip´teses) a a oque f (xM ) ≥ f (x) ∀ x ∈ IR . 6) ınua em a = −1 ( (a) f n˜o ´ cont´ a e lim f (x) ). x→−1 ˜ (b) NAO PODEMOS! Contra-exemplo: considere f no intervalo [−2, −1] . Temos:−1 = f (−2) < 1/2 < f (−1) = 1 mas n˜o existe nenhum c ∈ [−2, −1] tal que f (c) = 1/2 . a 7) (a) SIM! f (1) = π para que f seja cont´ ınua em x = 1 . ˜ (b) NAO ! g n˜o pode ser cont´ a ınua em x = 1 , qualquer que seja o valor de g(1) .
    • Cap´ ıtulo 4Derivada4.1 A defini¸˜o da Derivada caDefini¸˜o 4.1. Consideremos uma fun¸˜o f : X → IR , com X ⊂ X ca ca (todo ponto dodom´ ınio ´ ponto de acumula¸˜o do dom´ e ca ınio). ´ Dizemos que f ´ DERIVAVEL em a ∈ X quando existe o limite e f (x) − f (a) f (a + h) − f (a) f (a) = lim = lim x→a x−a h→0 h O n´mero f (a) ∈ IR ´ chamado A DERIVADA DE f NO PONTO a. u e Observa¸˜es: co• Em nossas aplica¸˜es, o dom´ X ser´ quase sempre um intervalo (e j´ teremos X ⊂ X ); co ınio a a• Outras nota¸˜es para f (a) : co df df dy f (a) = Dx f (a) = (a) = ou ainda f (a) = y (a) = (a) , se y = f (x) dx dx x=a dx• Podemos considerar a fun¸˜o f : x → f (x) definida em todos os pontos x ∈ X onde ca ¸˜existir f (x) . f ´ chamada a FUNCAO DERIVADA DE f . e 69
    • 70 CAP´ ITULO 4Interpreta¸˜o geom´trica ca e J´ vimos, como motiva¸˜o para o estudo de limites, que se f : X → IR ´ deriv´vel em a ca e aa ∈ X , ent˜o f (a) representa o coeficiente angular mta da reta tangente ao gr´fico a ade f no ponto (a, f (a)) : Vimos tamb´m que o conhecimento de f (a) = mta para os pontos a ∈ X pode nos etrazer uma s´rie de informa¸˜es sobre o comportamento da fun¸˜o f . e co caPrimeiros exemplos:(A) Fixemos c ∈ IR (constante) e seja f : IR → IR dada por f (x) = c ∀ x ∈ IR .
    • Derivada 71(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 ∀ x ∈ IR . Vamos calcular g (2) , por exemplo: Exerc´ ıcio:(i) Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x3 ent˜o g (x) = 3x2 ∀ x ∈ IR . a(ii) Generalize (i) e mostre que se f (x) = xn (n = 1, 2, 3, . . .) ent˜o f (x) = nxn−1 . a(C) Seja f : IR → IR dada por f (x) = sen x . ıcio: Obtenha a derivada de g : IR → IR dada por g(x) = cos x . Exerc´(D) Seja u : IR → IR dada por u(t) = et (fun¸˜o exponencial na base e). ca
    • 72 CAP´ ITULO 4(E) Seja f : IR → IR dada por f (x) = |x| . 1(F) Seja g : IR − {0} → IR dada por g(x) = 4 = x−4 . x Exerc´ıcio: Generalize o exemplo acima e mostre que se g(x) = x−n (n = 1, 2, 3, . . .)ent˜o g (x) = −nx−n−1 ∀x = 0 . a(G) Fixemos a > 0 . Seja u : IR → IR dada por u(t) = at (fun¸˜o exponencial na base a). ca
    • Derivada 734.2 Derivadas e continuidade e ´ a e ´Teorema 4.1. Se f : X → IR ´ DERIVAVEL em a ∈ X , ent˜o f ´ CONTINUA em a. De fato: f (x) − f (a) Se f ´ deriv´vel em a ∈ X , ent˜o existe o limite lim e a a = f (a) . x→a x−a Existe f (a) (pois a ∈ X). f (x) − f (a) Se x = a , temos: f (x) − f (a) = · (x − a) . x−a f (x) − f (a) Como lim = f (a) e lim (x − a) = 0 , segue que x→a x−a x→a f (x) − f (a) lim f (x) − f (a) = lim · lim (x − a) = f (a) · 0 = 0 x→a x→a x−a x→a Logo lim f (x) = f (a) e portanto f ´ cont´ e ınua no ponto a . x→a Algumas conseq¨ˆncias: ue • S˜o cont´ a ınuas em todos os pontos de seus dom´ ınios as fun¸˜es: co 1 f : IR − {0} → IR dada por f (x) = n (n = 1, 2, 3. . . .) , x g1 : IR → IR dada por g1 (x) = sen x , g2 : IR → IR dada por g2 (x) = cos x , u : IR → IR dada por u(t) = at (a > 0) , pois s˜o todas deriv´veis em todos os pontos de a aseus dom´ ınios. • Se uma determinada fun¸˜o ´ descont´ ca e ınuaem algum ponto de seu dom´ ınio, ent˜o ela n˜o ´ a a ederiv´vel neste ponto de descontinuidade. a • CUIDADO! N˜o podemos garantir a rec´ a ıproca do teorema anterior, ou seja, podemoster uma fun¸˜o que ´ cont´ ca e ınua mas n˜o ´ deriv´vel em determinados pontos. a e aExemplo: f (x) = |x| ´ cont´ e ınua no ponto 0 ( lim |x| = 0 = f (0) ), mas j´ vimos que f (0) . a x→0
    • 74 CAP´ ITULO 44.3 Exerc´ ıcios 1 1) (a) Seja f (x) = ∀x = 0 . Obtenha, via defini¸˜o, f (1) . ca x3 (b) Seja f (x) = sen x ∀x ∈ IR . Obtenha (via defini¸˜o) f (2π/3) . ca (c) Se g(x) = 5x ∀x ∈ IR , mostre (via defini¸˜o) que g (x) = 5x . ln 5 ∀x ∈ IR . ca √ (d) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 3 · 3 x ∀ x ∈ IR 1 Mostre, via defini¸˜o, que ca (n˜o existe) f (0) e que f (a) = √ a 3 ∀a=0. a2 2) (Derivadas Laterais) Quando f : X → IR , a ´ ponto de acumula¸˜o BILATERAL e cade X e f ´ definida de modos diferentes ` direita e ` esquerda de a, a existˆncia do limite e a a eque define a derivada no ponto a ´ verificada observando-se a existˆncia e a igualdade dos e elimites laterais correspondentes (veja Teorema 3.9), chamados DERIVADAS LATERAIS DE ` `f (A DIREITA OU A ESQUERDA) NO PONTO a: f (x) − f (a) f (x) − f (a) f+ (a) = lim+ e f− (a) = lim− x→a x−a x→a x−a x5 + x3 + 2x2 + 3 se x < 0 (a) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x + 2 se x ≥ 0 f ´ deriv´vel em x = 0 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f (0). Se n˜o for, justifique. e a a 6x − 2 se x ≤ 1 (b) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 5−x se x > 1 f ´ deriv´vel em a = 1 ? Se for, PROVE e obtenha f (1). Se n˜o, justifique. e a a 2x + 1 se x ≤ 3 (c) Seja f : IR → IR dada por f (x) = −x2 + 8x − 8 se x > 3 f ´ deriv´vel em a = 3 ? Se for, PROVE e obtenha f (3). Se n˜o for, justifique. e a a x3 − x − 3 se x < 2 (d) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 7 − x2 se x ≥ 2 f ´ deriv´vel em a = 2 ? Se for, PROVE e obtenha a derivada f (2). Se n˜o for, justifique. e a a x+1 se x < −1 (e) Seja f : IR → IR dada por f (x) = 1 + sen (x + 1) se x ≥ −1 f ´ deriv´vel em a = −1 ? Se for, PROVE e obtenha f (−1). Se n˜o, justifique. e a a
    • Derivada 754.4 Regras de deriva¸˜o caTeorema 4.2. Se f , g : X → IR s˜o deriv´veis em a ∈ X , ent˜o: a a a (a) Para cada constante c ∈ IR , (cf ) : X → IR ´ deriv´vel em a e (cf ) (a) = c · f (a) ; e a (b) f ± g s˜o deriv´veis em a e (f ± g) (a) = f (a) ± g (a) ; a a (c) (f · g) ´ deriv´vel em a e (f · g) (a) = f (a).g(a) + f (a).g (a) ; e a f (a).g(a) − f (a).g (a) (d) (f /g) ´ deriv´vel em a se g(a) = 0 e (f /g) (a) = e a . [g(a)]2 Exemplos:(A) Para cada fun¸˜o f dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada) ca 1) f : IR → IR dada por f (x) = 6x3 − 3x2 − x + 7 . 6t − 10 2) f : IR → IR dada por f (t) = . t2 + 5 3) f : IR − Z → IR , Z = {x ∈ IR ; cos x = 0} , dada por f (x) = tg x . d d d Exerc´ ıcio: Obtenha ctg x , sec x , csc x dx dx dx 4) f : IR → IR dada por f (u) = eu (u3 + 3 cos u) .
    • 76 CAP´ ITULO 4 5) f : IR → IR dada por f (t) = sen 2t . 1 6) f : IR − {0} → IR dada por f (x) = = x−n (n = 1, 2, 3, . . .) . xn(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = 4 − x2 . 1) Obtenha as equa¸˜es das retas tangentes ao gr´fico de g e que passam pelos pontos: co aA(1, 3) , B(1, 7) , e C(1, 2) . 2) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de g e que ´ paralela ` reta y = 2x . ca a e a
    • Derivada 77 3) Obtenha a equa¸˜o da reta normal ao gr´fico de g no ponto A(1, 3) . ca a 4) Em que ponto a tangente ao gr´fico ´ “horizontal”? (tem coeficiente angular 0) a e 5) Onde o coeficiente angular da tangente ´ positivo ? e 6) Onde o coeficiente angular da tangente ´ negativo ? eA Regra da Cadeia - Derivadas de fun¸˜es compostas coTeorema 4.3. (Regra da Cadeia) Sejam u : X → IR e g : Y → IR tais que u(X) ⊂ Y e acomposta (g ◦ u) : X → IR est´ bem definida: a Dado a ∈ X , se u ´ deriv´vel em a (existe u (a)) e g ´ deriv´vel em b = u(a) (existe e a e ag (b) = g (u(a)) ), ent˜o a composta (g ◦ u) : X → IR ´ deriv´vel em a ∈ X em temos ainda: a e a (g ◦ u) (a) = g (b) · u (a) = g (u(a)) · u (a) Quanto ` fun¸˜o derivada (g◦u) : x → (g◦u) (x) , escrevemos (g◦u) (x) = g (u(x))·u (x) a capara todo x onde existirem as derivadas.
    • 78 CAP´ ITULO 4 Exemplos: Para cada fun¸˜o f : IR → IR dada abaixo, obtenha f (onde existir a derivada): ca(A) f dada por f (x) = cos(x3 + 1) .(B) f dada por f (t) = (4t3 − t2 + 3t − 2)2 .(C) f dada por f (x) = (5x2 − 2x + 1)−3 .(D) f dada por f (w) = (2w2 − 3w + 1)(3w + 2)4 .(E) f dada por f (t) = ekt , k = 0 (constante).
    • Derivada 79(F) f dada por f (t) = sen 2t .(G) f dada por f (t) = cos5 t . 2(H) f dada por f (x) = e(x ) .(I) f dada por f (w) = (ew − sen w)2 . 3(J) f dada por f (t) = eπ cos(2t ) .
    • 80 CAP´ ITULO 4Derivadas de fun¸˜es inversas co ´Teorema 4.4. Seja f : I (intervalo) → J (intervalo) uma fun¸˜o INVERTIVEL (bijetora = ca ´injetora e sobrejetora) e CONTINUA (em todos os pontos de seu dom´ ınio I). Sua inversa g : J → I ´ cont´nua em todos os pontos de J. e ı Mais ainda: Se f ´ deriv´vel em a ∈ I e f (a) = 0 , ent˜o g ´ deriv´vel em b = f (a) e podemos e a a e aobter g (b) atrav´s da Regra da Cadeia. e Exemplos:(A) Derivada da fun¸˜o logar´ ca ıtmica na base e: ıcio: Fixado a > 0 , a = 1 , obtenha g (x) se g : (0, +∞) → IR ´ dada por Exerc´ e g(x) = loga x 1 Resposta: g(x) = loga x , x ∈ (0, +∞) ⇒ g (x) = ∀x>0. x ln a
    • Derivada 81(B) Ra´ ızes:(C) Fun¸˜es trigonom´tricas e suas inversas: co e Exerc´ ıcio:(a) Se g : [−1, 1] → [0, π] ´ dada por g(x) = arc cos x , mostre que e 1 g (x) = − √ ∀ x ∈ (−1, 1) 1 − x2
    • 82 CAP´ ITULO 4(b) Se h : IR → (−π/2, π/2) ´ dada por h(x) = arc tg x , mostre que e 1 h (x) = ∀ x ∈ IR 1 + x24.5 Deriva¸˜o impl´ ca ıcita √ Seja f : [−1, 1] → IR a fun¸˜o dada por f (x) = ca 1 − x2 para todo x ∈ [−1, 1] . Pondo y = f (x) , temos: √ y = 1 − x2 ⇓ y 2 = 1 − x2 , y ≥ 0 ⇓ (∗) x2 + y 2 = 1 (y ≥ 0) A equa¸˜o (*) acima estabelece uma rela¸˜o entre x e y = f (x) . Juntamente com a ca ca ca ca ´restri¸˜o y ≥ 0 ela define bem a fun¸˜o f . Por isso dizemos que f ESTA IMPLICITAMENTEDEFINIDA POR (*). Tendo em mente que y = f (x) , ou seja, y ´ fun¸˜o de x , ´ f´cil ver que a equa¸˜o (*) e ca e a ca 2 2estabelece a igualdade entre x + f (x) e a fun¸˜o constante e igual a 1. Podemos pensar ca ¸˜ `portanto em DERIVAR EM RELACAO A VARIAVEL x. ´ Vamos fazer isso, admitindo que y = f (x) ´ deriv´vel e tomando o cuidado de lembrar e aque y = f (x) , ou seja, y 2 ´ uma composi¸˜o de fun¸˜es e DEVEMOS USAR A REGRA e ca coDA CADEIA: x2 + y 2 = 1 ⇓ 2x + 2yy = 0 ⇓ x (∗∗) y =− (y = 0) y √ Lembrando que y = f (x) = 1 − x2 , temos: x f (x) = y = − √ , x ∈ (−1, 1) 1 − x2
    • Derivada 83 Poss´ ıveis vantagens da deriva¸˜o impl´ ca ıcita: • Derivar a equa¸˜o (*) que define f implicitamente pode ser mais simples do que tentar caobter a derivada atrav´s da express˜o expl´ e a ıcita de f . • Uma equa¸˜o em x e y pode definir implicitamente v´rias fun¸˜es e, caso isto ocorra, ca a coa deriva¸˜o impl´ ca ıcita serviria para todas elas. Exemplos:(A) Admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = ln x ´ deriv´vel, obtenha f (x) por e aderiva¸˜o impl´ ca ıcita.(B) Fixado qualquer α ∈ IR e admitindo que f : (0, +∞) → IR dada por f (x) = xα sejaderiv´vel, use logar´ a ıtmos para obter f (x) por deriva¸˜o impl´ ca ıcita. x2 √(C) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ` curva ca a + y 2 = 1 no ponto (1, − 3 /2) . 4
    • 84 CAP´ ITULO 4(D) Seja g : (0, +∞) → IR dada por g(x) = loga x (a > 0, a = 1) . Admitindo que g ´ ederiv´vel, obtenha g (x) via deriva¸˜o impl´ a ca ıcita. x(E) Se y = 3 , obtenha y (x) por deriva¸˜o impl´ ca ıcita. x3 +14.6 Exerc´ ıcios (A) O objetivo deste exerc´ ´ observar a naturalidade da medida de ˆngulos em radianos, ıcio e ano seguinte sentido: alguns c´lculos podem ser mais simples quando utilizamos radianos ao ainv´s de graus como unidades de medida. e Quando lidamos com as fun¸˜es trigonom´tricas, por exemplo, quase todos os resultados co edecorrem do seguinte limite: sen x lim = 1 (Limite Trigonom´trico Fundamental) e x→0 x Ajuste a demonstra¸˜o que fizemos em aula para o limite acima, considerando desta vez a camedida dos ˆngulos em GRAUS. a d sen x Calcule tamb´m e quando x ´ medido em graus. e dx
    • Derivada 85 (B) Para cada fun¸˜o dada abaixo (por quest˜es de economia, cometemos um abuso ao ca oomitir os dom´ınios e contra-dom´ ınios), calcule sua derivada, indicando onde existe: 2w1) f (x) = 10x2 + 9x − 4 2) h(x) = (2x2 − 4x + 1)(6x − 5) 3) f (w) = 3 w −7 3 1 −5 3t + 4 9z 3 + 2z4) f (x) = 5) g(x) = (8x−7) 6) s(t) = 7) h(z) = 1 + x + x2 + x3 6t − 7 6z + 1 2x + 3 5 2 √ 38) H(x) = √ 9) f (x) = 5 1/x 10) f (x) = 6x2 − +√ 3 11) f (w) = 3w2 4x2 + 9 x x2 612) f (t) = (t6 − t−6 ) 13) f (x) = xm/n m, n = 0 ∈ Z 14) h(s) = ln(5s2 + 1)3 x215) f (x) = x ln x 16) g(x) = 17) f (u) = ue−u 18) h(s) = s2 e−2s 19) f (x) = ex ln x ln x ew + 120) g(w) = ln 21) f (x) = ecos 2x 22) g(x) = x sen x 23) h(x) = ln tg x ew − 1 arc tg x e2x24) f (w) = ln cos2 3w 25) f (x) = 26) f (x) = x2 + 1 arc sen 5x (C) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de y = 2x3 + 4x2 − 5x − 3 no ponto ca aP (−1, 4). (D) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de y = 3x2 + 4x − 6 e tal que: ca a(i) Essa tangente seja paralela ` reta 5x − 2y − 1 = 0 ; a(ii) Seja tangente ao gr´fico no ponto P (1, 1) . a 4 (E) Obtenha a equa¸˜o da reta que passa por P (3, 1) e ´ tangente ao gr´fico de y = ca e a . x (F) Obtenha a equa¸˜o da reta normal ao gr´fico de f (x) = (x − 1)4 no ponto P (2, 1) . ca a (G) Determine as equa¸˜es da tangente e da normal ao gr´fico de y = 8 sen 3 x no ponto co aP (π/6, 1) . (H) Obtenha a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f : IR → (−2π, 2π) dada por ca af (x) = 4. arc tg x no ponto A(1, π) . (I) Considere f : IR → IR dada por f (x) = e−2x . (i) Qual a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 1) ? ca a (ii) Qual a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f e que tem coeficiente angular −1/2 ? ca a
    • 86 CAP´ ITULO 4 arc tg x (J) Considere f : IR → IR dada por f (x) = . π (i) Qual a equa¸˜o da reta tangente ao gr´fico de f e que passa pelo ponto A(0, 0) ? ca a √ (ii) Qual a equa¸˜o da reta normal ao gr´fico de f no ponto B( 3 , 1/3) ? ca a (K) Seja f : IR → IR dada por f (x) = e(2x−1) ∀ x ∈ IR . Obtenha, se existir, a equa¸˜o cada reta tangente ao gr´fico de f e que passa pelo ponto A(1, 0) a (L) (i) A reta 3y + 8x + 1 = 0 ´ NORMAL ao gr´fico de uma certa fun¸˜o f : IR → IR e a cano ponto A(1, −3) (pertencente ao gr´fico de f ). Obtenha (JUSTIFICANDO) f (1) . a (ii) Qual o valor de b para que a reta y = 2bx + e seja TANGENTE ao gr´fico dea (x2 +6x+1)g(x) = e no ponto B(0, e) (pertencente ao gr´fico de g) ? (JUSTIFIQUE) a (M) Para cada fun¸˜o dada abaixo (estamos cometendo um abuso ao omitir os dom´ ca ıniose contra-dom´ ınios), calcule sua derivada, indique onde existe e forne¸a ainda o que se cpede: 1) f (x) = (3x − 1).(2x + 1)5 . √ 2) g(w) = 3 3w − 1 = (3w − 1)1/3 . Obtenha ainda, em particular, g (3). π 3) h(s) = π. sec s = . Obtenha ainda, em particular, h (0). cos s 2 −t) 4) f (t) = e(3t . Obtenha ainda, em particular, f (1/3). 5) f (x) = ln( sen 4 2x) . 2x2 6) f (x) = . Obtenha ainda, em particular, f (2). (x − 4)2 ctg s cos s 7) h(s) = √ = √ . Obtenha ainda, em particular, h (π/4). 2 2 · sen s 2 +2t) 8) g(t) = (2t − 1)3 · e(t . Obtenha ainda, em particular, g (0). 9) f (w) = ln (5w2 + 2 + cos w) . Obtenha ainda, em particular, f (0). √ 10) g(y) = arc tg ( y − 1 ) . x3 11) f (x) = . Responda: Para quais valores de x temos f (x) = 0 ? e2x 2 +3s) 12) h(s) = sen (3s2 − s) + 2(s . Obtenha ainda, em particular, h (0).
    • Derivada 87 13) g(w) = tg w · ln(3 − w2 ) . Obtenha ainda, em particular, g (0). s(t)2 14) v(t) = (existe s (t) ∀ t ∈ IR). Se s(1) = 1 e s (1) = 2, obtenha v (1) . 3t 15) u(y) = 4 2y 2 + 5 + 4 cos y = (2y 2 + 5 + 4 cos y)1/4 . 3 s2 16) h(s) = . Obtenha ainda, em particular, h (1). 1 + s2 17) v(t) = ln 2 · log 1 (3t2 + 1) . v (1) ´ positivo, negativo ou zero ? Obtenha v (1) para e 2justificar. 2 x2 18) f (x) = x · ln x − . Responda: Para quais valores de x temos f (x) = x ? 2 1 19) g(w) = csc2 w = . Obtenha ainda, em particular, g (π/4). sen 2 w 1 √ 20) u(y) = tg arc tg . Obtenha ainda, em particular, u ( 3 ) . y 21) f (x) = x · (ln 5 − 1 + ln x) . Obtenha ainda, em particular, f (2) . 22) h(θ) = ( tg θ + 1)2 . Obtenha ainda, em particular, h (π/3). 2 3) 3(3w −w 23) g(w) = ln(w2 − w) + . Obtenha ainda, em particular, g (2). ln 3 sen [s(t)] 24) v(t) = (existe s (t) ∀ t ∈ IR). Se s(2) = π/2 e s (2) = e, obtenha v (2) . t √ 25) u(y) = 3 · 3 arc tg y . Obtenha ainda u (1) e responda se u (1) ´ maior ou menor eque 1 (mostre as contas).Respostas de exerc´ ıcios: d • Segundo exerc´ da p´gina 71: ıcio a cos x = − sen x dx • Exerc´ ıcios da Se¸˜o 4.3: ca 2) (a) f n˜o pode ser deriv´vel em x = 0 pois f n˜o ´ cont´ a a a e ınua neste ponto. (b) f n˜o ´ deriv´vel em a = 1 (apesar de ser cont´ a e a ınua neste ponto), pois temos quef+ (1) = −1 = 6 = f− (1) .
    • 88 CAP´ ITULO 4 f (x) − f (3) (c) ∃ f (3) = lim = 2 ( f ´ deriv´vel em a = 3 ). e a x→3 x−3 (d) f n˜o ´ deriv´vel em a = 2 (apesar de ser cont´ a e a ınua neste ponto), pois temos quef+ (2) = −4 = 11 = f− (2) . (e) f n˜o ´ deriv´vel em a = −1 pois n˜o ´ cont´ a e a a e ınua neste ponto. • Exerc´ da p´gina 75: ıcio a d ctg x = − csc2 x para todo x tal que sen x = 0 dx d sec x = sec x. tg x para todo x tal que cos x = 0 dx d csc x = − csc x. ctg x para todo x tal que sen x = 0 dx • Exerc´ ıcios da Se¸˜o 4.6: ca sen x π d sen x π cos x (A) lim = e = (se x ´ dado em GRAUS). e x→0 x 180 dx 180 (B) 1) f (x) = 20x + 9 ∀ x ∈ IR 2) h (x) = 36x2 − 68x + 26 ∀ x ∈ IR −4w3 − 14 √ 3 (3x2 + 2x + 1) 3) f (w) = 3 − 7)2 ∀w= 7 4) f (x) = − ∀ x = −1 (w (1 + x + x2 + x3 )2 7 135(3t + 4)2 7 5) g (x) = −40(8x − 7)−6 ∀ x = 6) s (t) = − 4 ∀t= 8 (6t − 7) 6 108z 3 + 27z 2 + 2 1 18 − 12x 7) h (z) = ∀z=− 8) H (x) = ∀ x ∈ IR (6z + 1)2 6 (4x2 + 9)3 1 5 4 9) f (x) = − √ ∀x=0 10) f (x) = 12x + 2 − √3 ∀x=0 5x x 5 x 3x x2 2 11) f (w) = √ 3 ∀w=0 12) f (t) = 6(t6 − t−6 )5 .(6t5 + 6t−7 ) ∀ t = 0 9w m m −1 ∀ x > 0 se n ´ par e 30s 13) f (x) = ·xn 14) h (s) = ∀ s ∈ IR n ∀ x = 0 se n ´ ´ e ımpar 5s2 + 1 2x ln x − x 15) f (x) = ln x + 1 ∀ x > 0 16) g (x) = ∀x>0 (ln x)2 17) f (u) = (1 − u) · e−u ∀ u ∈ IR 18) h (s) = (s − s2 ) · 2e−2s ∀ s ∈ IR
    • Derivada 89 −2ew 19) f (x) = xx (ln x + 1) ∀ x > 0 20) g (w) = ∀w=0 e2w − 1 sen x 21) f (x) = −2ecos 2x · sen 2x ∀ x ∈ IR 22) g (x) = x sen x cos x ln x + ∀x>0 x 1 23) h (x) = se tg x > 0 24) f (w) = −6 tg 3w se cos 3w = 0 sen x cos x 1 − 2x arc tg x 25) f (x) = ∀ x ∈ IR (x2 + 1)2 √ 2e2x · arc sen 5x · 1 − 25x2 − 5e2x 1 1 26) f (x) = √ ∀x∈ − , 1 − 25x2 · ( arc sen 5x)2 5 5 (C) y = −7x − 3 5 99 (D) (i) y = x− (ii) y = 10x − 9 2 16 −1 4 (E) y = −x + 4 ou y = x+ 9 3 x 3 (F) y = − + 4 2 √ √ π 3 (G) tangente: y = 3 3 x + 1− 2 √ √ 3 π 3 normal: y = − x+ 1+ 9 54 (H) y = 2x + (π − 2) 1 1 + ln 4 (I) (i) y = −2x + 1 (ii) y = − x+ 2 4 √ 1 12π 3 + 1 (J) (i) y = x (ii) y = −4π x + π 3 (K) y = 2e2 x − 2e2 . 3 (L) (i) f (1) = (ii) b = 3e . 8
    • 90 CAP´ ITULO 4 (M) 1) f (x) = (2x + 1)4 (36x − 7) ∀ x ∈ IR 1 2) g (w) = ∀ w = 1/3 e g (3) = 1/4 3 (3w − 1)2 3) h (s) = π. tg s. sec s se cos s = 0 e h (0) = 0 2 −t 4) f (t) = e3t · (6t − 1) ∀ t ∈ IR e f (1/3) = 1 5) f (x) = 8 ctg 2x se sen 2x = 0 −16x 6) f (x) = ∀x=4 e f (2) = 4 (x − 4)3 csc2 s √ 7) h (s) = − √ se sen s = 0 e h (π/4) = − 2 2 2 +2t 8) g (t) = (2t − 1)2 · et · [6 + (2t − 1)(2t + 2)] ∀ t ∈ IR e g (0) = 4 10w − sen w 9) f (w) = ∀ w ∈ IR e f (0) = 0 5w2 + 2 + cos w 1 10) g (y) = √ se y > 1 2y y − 1 x2 (3 − 2x) 11) f (x) = ∀ x ∈ IR . f (x) = 0 quando x = 0 ou x = 3/2 . e2x 2 +3s) 12) h (s) = cos(3s2 − s).(6s − 1) + 2(s . ln 2.(2s + 3) ∀ s ∈ IR . h (0) = 3 ln 2 − 1 . ln(3 − w2 ) 2w tg w √ √ 13) g (w) = − ∀ cos w = 0 e − 3<w< 3 . g (0) = ln 3 . cos2 w 3 − w2 2t · s(t) · s (t) − s(t)2 14) v (t) = ∀ t = 0 . v (1) = 1 . 3t2 y − sen y 15) u (y) = ∀ y ∈ IR . 4 (2y 2 + 5 + 4 cos y)3 √ 3 2 3 (1 + s2 )2 4 16) h (s) = √ ∀ s = 0 . h (1) = . 3(1 + s2 )2 . 3 s 6 −6t 3 17) v (t) = 2+1 ∀ t ∈ IR . v (1) = − < 0 . 3t 2 √ 18) f (x) = 2x ln x ∀ x > 0 . x = f (x) quando x = e .
    • Derivada 91 −2 cos w 19) g (w) = ∀ sen w = 0 . g (π/4) = −4 . sen 3 w 1 √ 1 20) u (y) = − 2 ∀ y = 0 . u ( 3) = − . y 3 21) f (x) = ln x + ln 5 ∀ x > 0 . f (2) = ln 10 . √ 22) h (θ) = 2( tg θ + 1). sec2 θ ∀ cos θ = 0 . h (π/3) = 8( 3 + 1) . 2w − 1 2 3 3 23) g (w) = 2−w + (6w − 3w2 ) · 3(3w −w ) ∀ w < 0 ou w > 1 . g (2) = . w 2 cos[s(t)] · s (t) · t − sen [s(t)] 1 24) v (t) = ∀ t = 0 . v (2) = − . t2 4 1 1 3 2 25) u (y) = · ∀ y = 0 . u (1) = < 1. 3 ( arc tg y)2 1 + y2 π2
    • 92 CAP´ ITULO 4
    • Cap´ ıtulo 5Aplica¸˜es da Derivada co5.1 Acr´scimos e diferenciais e Consideremos uma fun¸˜o f : X → IR deriv´vel em pontos x ∈ X . Podemos escrever: ca a f (x + ∆x) − f (x) f (x) = lim (para cada x onde f for deriv´vel) a ∆x→0 ∆x e ´ ∆x ´ chamado ACRESCIMO DE x e representa a varia¸˜o na vari´vel independente x. ca a Pondo y = f (x) como vari´vel dependente, temos que ∆y = f (x + ∆x) − f (x) representa a ¸˜ ¸˜a VARIACAO DA FUNCAO f (devida ao acr´scimo ∆x ) e e ∆y f (x) = lim ∆x→0 ∆x Os limites acima significam que, quando ∆x se aproxima cada vez mais de 0 (por valoresdiferentes de 0), ∆y/∆x se aproxima cada vez mais de f (x) . Ent˜o podemos dizer que ∆y/∆x ´ uma boa aproxima¸˜o para f (x) quando ∆x ´ a e ca epequeno (e diferente de 0) e podemos escrever ∆y ≈ f (x) quando ∆x ´ pequeno e ∆x ou ent˜o, de modo equivalente, a (∗) f (x + ∆x) − f (x) = ∆y ≈ f (x) · ∆x quando ∆x ´ pequeno e A rela¸˜o (*) acima nos diz que podemos obter boas aproxima¸˜es para a varia¸˜o da ca co cafun¸˜o, ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , atrav´s de f (x) · ∆x , com ∆x pequeno !!! ca e 93
    • 94 CAP´ ITULO 5 Por exemplo, vamos obter uma aproxima¸˜o para (0, 98)4 ca Portanto, f (x) · ∆x (que depende dos valores de x e ∆x considerados) desempenha esseimportante papel de ser uma boa aproxima¸˜o para a varia¸˜o da fun¸˜o f quando ∆x ´ ca ca ca epequeno. f (x) · ∆x ser´ denotado por dy e chamado A DIFERENCIAL DE y (varia de acordo acom x e ∆x). Escrevemos tamb´m dx = ∆x para a chamada diferencial de x. e dy = f (x) · ∆x dx = ∆x Geometricamente, temos:
    • Aplica¸˜es da Derivada co 95 Exemplos:(A) Use diferenciais para obter aproxima¸˜es para: co 2 √(a) 3 · (2, 001) − 5 · (2, 001) + 3 (b) 4 82(B) A medida de um lado de um cubo ´ encontrada como sendo 15 cm, com uma possibilidade ede erro de 0,001 cm. Usando diferenciais, encontre o erro m´ximo no c´lculo do volume do a acubo.
    • 96 CAP´ ITULO 5(C) A Lei da Gravita¸˜o de Newton afirma que a for¸a F de atra¸˜o entre duas part´ ca c ca ıculas de g · m1 · m2massas m1 e m2 ´ dada por F = e onde g ´ uma constante e s ´ a distˆncia entre e e a s2as part´ ıculas. Se s = 20 cm , use diferenciais para obter (aproximadamente) uma varia¸˜o de cas que aumente F em 10% . `(D) A medida em que a areia escoa de um recipiente, vai se formando uma pilha cˆnica cuja oaltura ´ sempre igual ao raio. Se, em dado instante, o raio ´ de 10 cm, use diferenciais para e eaproximar a varia¸˜o do raio que ocasiona um aumento de 2 cm3 no volume da pilha. ca
    • Aplica¸˜es da Derivada co 97Exerc´ ıcios: 1) Use diferenciais para obter valores aproximados para: (2, 01)4 − 3(2, 01)3 + 4(2, 01)2 − 5 ,√ √ √ √ 13 65 , 37 , 3 0, 00098 , 0, 042 , 5(0, 99)3/5 − 3(0, 99)1/5 + 7 , √ . 4 15 2) Considerando ln 2 ≈ 0, 6931, use diferenciais para aproximar ln(2, 01) . 3) Use diferenciais para obter uma aproxima¸˜o para ctg 46◦ . ca 4) Use diferenciais para obter o aumento aproximado da ´rea de uma esfera, quando o raio avaria de 2 a 2, 02 p´s. e 5) Os lados oposto e adjacente a um ˆngulo θ de um triˆngulo retˆngulo acusam medidas a a ade 10 p´s e 8 p´s, respectivamente, com erro poss´ de 1,5 polegada na medida de 10 p´s. e e ıvel eUse a diferencial de uma fun¸˜o trigonom´trica inversa para obter uma aproxima¸˜o do erro ca e cano valor calculado de θ . (Obs.: 1 p´ = 12 polegadas) e 6) A altura de um cone circular reto ´ duas vezes o raio da base. A medida encontrada da ealtura ´ de 12 cm, com uma possibilidade de erro de 0,005 cm. Encontre o erro aproximado eno c´lculo do volume do cone. a 7) Se l (em metros) ´ o comprimento de um fio de ferro quando est´ a t graus de temper- e a 0,00001. tatura, ent˜o l = 60e a . Use diferenciais para encontrar o aumento aproximado em lquando t cresce, de 0 a 10 graus. 8) Em um ponto situado a 20’ (p´s) da base de um mastro, o ˆngulo de eleva¸˜o do topo e a ca ◦ ◦do mastro ´ de 60 , com erro poss´ de 0, 25 . Obtenha, com aux´ de diferenciais, uma e ıvel ılioaproxima¸˜o do erro no c´lculo da altura do mastro. ca a 9) Uma caixa de metal na forma de um cubo vai ter um volume interno de 64 cm3 . Os seislados da caixa v˜o ser feitos de metal com 1/4 cm de espessura. Se o pre¸o do metal que vai a c 3ser usado na fabrica¸˜o da caixa ´ de R$ 0,80 por cm , use diferenciais para encontrar o pre¸o ca e caproximado de todo o metal necess´rio. a 10) A resistˆncia el´trica R de um fio ´ proporcional ao seu comprimento l e inversamente e e eproporcional ao quadrado de seu diˆmetro d. Suponha que a resistˆncia de um fio, de compri- a emento dado (fixo), seja calculada a partir do diˆmetro com uma possibilidade de erro de 2% a ∆dna medida do diˆmetro a · 100 = 2 . Encontre a poss´ porcentagem de erro no c´lculo ıvel a ddo valor da resistˆncia. e
    • 98 CAP´ ITULO 5 11) Para medir a altitude de um pico (ponto A, mais elevado e inacess´ ıvel) em rela¸˜o ao caseu n´ ıvel, um explorador (ponto B) utilizou dois equipamentos. Usou inicialmente um sofisti- √cado aparelho baseado num feixe de laser e obteve 17 km como medida da distˆncia de B ao aponto A . Por´m, para medir o ˆngulo θ da linha BA com o horizonte foi utilizado um outro e aaparelho, n˜o t˜o preciso, e obtida a leitura de θ = π/3 rad, com possibilidade de erro igual a a a∆θ = ±0, 01 rad.(a) Obtenha a equa¸˜o que expressa o desn´ h(θ) entre A e B, como fun¸˜o do ˆngulo θ. ca ıvel ca a(b) Baseado na leitura de θ = π/3 rad, qual o desn´ h(θ) calculado pelo explorador ? ıvel(USE DIFERENCIAIS para obter um resultado aproximado).(c) Utilizando diferenciais, obtenha uma aproxima¸˜o para o erro h(θ + ∆θ) − h(θ) no c´lculo ca ado desn´ıvel. ¸˜ 12) a) Usando diferenciais, obtenha uma aproxima¸˜o para a VARIACAO ca 5 5da ´rea de uma esfera quando seu raio aumenta de a cm para + 0, 005 cm. π π b) Usando diferenciais, responda: Qual o aumento ∆r do raio que, aplicado ` esfera de araio r = 15 cm provoca um aumento aproximado de 10% em seu volume? 4 3Obs.: Se uma esfera tem raio r cm, sua ´rea ´ 4πr2 cm2 e seu volume ´ a e e πr cm3 3 13) Ao encomendar uma pizza gigante, com 50 cm de diˆmetro, vocˆ recebe a oferta a ede pagar 10% a mais por um acr´scimo de 3 cm no diˆmetro. Sem calcular ´reas, USE e a aDIFERENCIAIS para responder, JUSTIFICANDO, se aceita ou n˜o a oferta. a(Sugest˜o: Calcule aproximadamente o aumento percentual na ´rea devido ao acr´scimo a a e∆d = 3 cm) Para qual diˆmetro (aproximadamente) essa oferta de 3cm a mais no diˆmetro com um a aaumento de 10% no pre¸o seria justa para ambas as partes (vocˆ e o vendedor) ? c e 14) Pretende-se construir uma ponte sobre um riacho. No ponto onde ser´ constu´ a a ıdaponte, o riacho tem 3 m de largura e as margens s˜o desniveladas. Mede-se ent˜o o ˆngulo de a a ainclina¸˜o que a ponte ter´ e obtem-se a medida de 30 , com possibilidade de erro de 1o . Use ca a odiferenciais para obter uma aproxima¸˜o do erro no c´lculo do comprimento da ponte. ca a 15) Um empres´rio fabrica tanques com a forma de cones “invertidos” nos quais a altura ´ a esempre igual ao diˆmetro da base. Sem calcular volumes, USE DIFERENCIAIS para obter a(JUSTIFICANDO) o aumento percentual aproximado na capacidade (volume) dos tanques seo raio da base ´ aumentado em 3, 333 . . . % . e
    • Aplica¸˜es da Derivada co 995.2 A Derivada como raz˜o de varia¸˜o a ca Varia¸˜o m´dia: ca e Sejam f : X → IR e y = f (x) . A vari´vel y representa uma quantidade de “alguma grandeza” (distˆncia, volume, ´rea, a a aetc.) que depende da vari´vel independente x, a qual por sua vez representa tamb´m uma a equantidade de alguma grandeza. J´ vimos que ∆y = f (x1 + ∆x) − f (x1 ) ´ a varia¸˜o da fun¸˜o, correspondente a uma a e ca cavaria¸˜o de x1 a x1 + ∆x (∆x ´ o chamado acr´scimo em x). ca e e ∆y f (x1 + ∆x) − f (x1 ) Ent˜o a = ¸˜ ´ ´ a chamada VARIACAO MEDIA de y por unidade e ∆x ∆xde varia¸˜o de x, quando x varia de x1 a x1 + ∆x. ca Exemplo: Seja S (em cent´ ımetros quadrados) a ´rea de um cubo de aresta x (cent´ a ımetros).Encontre a raz˜o de varia¸˜o m´dia da ´rea por unidade de varia¸˜o no comprimento da aresta a ca e a caquando x varia de ... (a) ... 3 a 3, 2 cm (b) ... 3 a 3, 1 cm Varia¸˜o instantˆnea: ca a ∆y Quando fazemos ∆x → 0 no quociente ∆y/∆x lim , o limite (quando existir) ∆x→0 ∆x ˜ ¸˜ ˆser´ a RAZAO (TAXA) DE VARIACAO INSTANTANEA de y por unidade de varia¸˜o de x a caem (no INSTANTE em que) x = x1 . ∆y f (x1 + ∆x) − f (x1 ) Mas lim = lim = f (x1 ) (se existir o limite). ∆x→0 ∆x ∆x→0 ∆x Portanto a derivada f (x1 ) representa a raz˜o (taxa) de varia¸˜o instantˆnea de y = f (x) a ca apor unidade de varia¸˜o de x no instante em que x = x1 . ca
    • 100 CAP´ ITULO 5 Exemplo: Considerando o exemplo anterior, qual a raz˜o de varia¸˜o da ´rea do cubo por a ca avaria¸˜o de cent´ ca ımetro no comprimento da aresta quando x = 3 ? a ¸˜ Definimos ainda a taxa (raz˜o) de VARIACAO RELATIVA de y por unidade de varia¸˜o ca f (x1 )de x em x1 como sendo (propor¸˜o da varia¸˜o instantˆnea em rela¸˜o ` quantidade ca ca a ca a f (x1 ) ¸˜f (x1 ) em x = x1 ). Multiplicando por 100, temos a taxa de VARIACAO PERCENTUAL, f (x1 )dada por · 100 . f (x1 ) Exemplos:(A) Um cilindro reto, de base circular, tem altura constante igual a 10 cm. Se V cm3 ´ o evolume desse cilindro e r cm o raio de sua base, encontre: (a) A raz˜o de varia¸˜o m´dia do volume por unidade de varia¸˜o do raio, quando r varia a ca e cade 5 a 5, 1 cm. (b) A raz˜o de varia¸˜o instantˆnea do volume , por unidade de varia¸˜o do raio, quando a ca a car = 5 e quando r = 5, 1 cm. (c) As taxas de varia¸˜o relativas do volume, por unidade de varia¸˜o do raio, quando r = 5 ca cae quando r = 5, 1.
    • Aplica¸˜es da Derivada co 101(B) O lucro de um dep´sito de retalhos ´ de 100y reais quando x reais s˜o gastos diariamente o e a 2em propaganda e y = 2500 + 36x − 0, 2x . Use a derivada para determinar se seria vantajosoque o or¸amento di´rio de propaganda aumentasse, nos seguintes casos: c a(a) O or¸amento atual ´ de 60 reais di´rios; c e a (b) O or¸amento atual ´ de 100 reais di´rios. c e a(C) Em um circuito el´trico, se E ´ a for¸a eletromotriz, R ohms ´ a resistˆncia e I amperes e e c e e´ a corrente, a Lei de Ohm afirma que IR = E .e Admitindo que E seja constante, mostre que R decresce em uma raz˜o que ´ proporcional a eao inverso do quadrado de I. Se E = 100 volts, qual a taxa de varia¸˜o de I por unidade de varia¸˜o de R quando ca caR = 20 ohms ?(D) A Lei de Boyle para os gases afirma que p · V = c , onde p ´ a press˜o, V ´ o volume e e a ec uma constante. Suponhamos que no instante t (minutos), a press˜o seja dada por 20 + 2t au.p., com 0 ≤ t ≤ 10 . Se em t = 0 o volume ´ de 60 cm3 , determine a taxa de varia¸˜o do e cavolume por unidade de varia¸˜o do tempo quando t = 5. ca
    • 102 CAP´ ITULO 5Um caso particular: interpreta¸˜o cinem´tica da Derivada ca a Suponhamos agora que s = s(t) represente a posi¸˜o de um objeto ao longo de uma linha careta, como fun¸˜o do tempo t: ca Se em t1 o objeto estava em s(t1 ) e em t1 + ∆t estava em s(t1 + ∆t) , a varia¸˜o total da caposi¸˜o do objeto entre os instantes t1 e t1 + ∆t ´ dada por ca e ∆s = s(t1 + ∆t) − s(t1 )A taxa de varia¸˜o m´dia de s por unidade de varia¸˜o de tempo, entre o t1 e t1 + ∆t ´ ca e ca e s(t1 + ∆t) − s(t1 ) ∆t e ´ Essa ´ a VELOCIDADE MEDIA com que o objeto se movimentou de s(t1 ) at´ s(t1 + ∆t) eentre os instantes t1 e t1 + ∆t. A raz˜o de varia¸˜o instantˆnea da posi¸˜o s do objeto por unidade de varia¸˜o do tempo, a ca a ca cano instante t1 ´ dada por e s(t1 + ∆t) − s(t1 ) s (t1 ) = lim ∆t→0 ∆t ˆ Essa ´ a VELOCIDADE INSTANTANEA do objeto no instante t = t1 . e Se s (t1 ) > 0 ent˜o a taxa de varia¸˜o em t1 ´ positiva, ou seja, s est´ aumentando em t1 , a ca e aou melhor, o objeto est´ se movimentando no sentido adotado como positivo. a Se s (t1 ) < 0 , o movimento em t1 ´ contr´rio ao sentido positivo. e a Se s (t1 ) = 0 ent˜o o objeto est´ parado no instante t1 . a a Exemplos:(A) Um foguete ´ lan¸ado verticalmente para cima e est´ a s m do solo t s ap´s ter sido lan¸ado e c a o c 2(t ≥ 0), sendo s(t) = 160t − 5t (o sentido positivo ´ para cima). Determine: e (a) A velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e t = 4 s. e (b) A velocidade instantˆnea nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2 s. a (c) Em t = 20 s, o foguete est´ subindo ou caindo ? a
    • Aplica¸˜es da Derivada co 103 (d) Quanto tempo leva o foguete para alcan¸ar a sua altura m´xima ? c a (e) Qual a altura m´xima atingida pelo foguete ? a(B) Uma pedra ´ solta de um edif´ de 80 m de altura e a equa¸˜o do movimento ´ dada por e ıcio ca e 2s(t) = −5t (t em segundos, t ≥ 0, orienta¸˜o positiva para cima). ca (a) Qual a velocidade da pedra 1 segundo ap´s ser lan¸ada ? o c (b) Quanto tempo leva a pedra para alcan¸ar o solo ? c (c) Qual a velocidade (instantˆnea) da pedra ao atingir o solo ? a (d) Qual a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e o choque com o solo ? e
    • 104 CAP´ ITULO 5 Obs.: Assim como definimos a velocidade como varia¸˜o da posi¸˜o por unidade de varia¸˜o ca ca cado tempo, definimos a ACELERACAO¸ ˜ como sendo a varia¸˜o da velocidade (olhando v = v(t)) capor unidade de varia¸˜o do tempo. ca ca ıneo ´ dada por s(t) = 2t3 − 15t2 + 48t − 10 ,(C) A posi¸˜o s de um objeto em movimento retil´ ecom t medido em segundos e s(t) em metros. Determine a acelera¸˜o quando a velocidade ´ ca e 2de 12 m/s. Determine a velocidade quando a acelera¸˜o ´ de 10 m/s . ca e(D) Um bombardeiro est´ voando paralelo ao ch˜o a uma altitude de 2 km e a uma veloci- a adade constante de 4, 5 km/min. A que raz˜o varia a distˆncia entre o bombardeiro e o alvo a aexatamente 20 segundos ap´s o bombardeiro passar sobre o alvo ? o
    • Aplica¸˜es da Derivada co 105Exerc´ ıcios: 1) O volume de um bal˜o esf´rico (em p´s c´bicos) t horas ap´s 13:00 ´ dado pela equa¸˜o a e e u o e ca 4 3V (t) = π(9−2t) , com 0 ≤ t ≤ 4. Qual a varia¸˜o m´dia do volume por unidade de varia¸˜o ca e ca 3de tempo entre t = 0 e t = 4 ? Qual a taxa de varia¸˜o do volume por unidade de varia¸˜o de ca catempo `s 16:00 ? a 2) Suponha que, t segundos ap´s ter come¸ado a correr, o pulso de um indiv´ o c ıduo tenha sua 2taxa dada por P (t) = 56 + 2t − t (batimentos por minuto), com 0 ≤ t ≤ 7 . Determine avaria¸˜o m´dia de P por unidade de varia¸˜o de t quando t varia de 2 a 4 segundos. Obtenha ca e caa taxa de varia¸˜o de P por unidade de varia¸˜o de t em t = 2, t = 3, t = 4. ca ca 3) O iluminamento I (em u.i. - “unidades de iluminamento” ) de uma fonte de luz ´ ediretamente proporcional ` intensidade S da fonte e inversamente proporcional ao quadrado ada distˆncia d da fonte. Se, para uma certa fonte, I = 120 u.i. a uma distˆncia de 2 p´s, a a edetermine a taxa de varia¸˜o de I por unidade de varia¸˜o de d, quando d = 20 p´s. ca ca e 4) A rela¸˜o entre a temperatura F , na escala Fahrenheit, e a temperatura C, na escala caCelsius, ´ dada por C = 5/9(F − 32). Qual a taxa de varia¸˜o de F em rela¸˜o a C ? e ca ca 5) Deve-se construir uma caixa aberta com uma folha retangular de cartolina de 40 cm delargura e 60 cm de comprimento, cortando-se um quadrado de s cm de lado em cada cantoe dobrando-se a cartolina. Expresse o volume V da caixa em fun¸˜o de s e determine a taxa cade varia¸˜o de V em rela¸˜o a s. Se queremos obter uma caixa com o maior volume poss´ ca ca ıvel,responda se ´ conveniente ou n˜o aumentar s quando: s = 5cm ou s = 10cm. e a ¸˜ Obs.: Lembremos que a ACELERACAO de um objeto em movimento retil´ ıneo ´ a taxa ede varia¸˜o da velocidade v por unidade de varia¸˜o do tempo t. ca ca 6) Para cada uma das situa¸˜es abaixo, define-se a posi¸˜o s de um objeto em movimento co caretil´ ıneo como fun¸˜o do tempo t. Determine a velocidade e acelera¸˜o em cada instante ca cat e tente descrever o movimento (posi¸˜o inicial, velocidade inicial, dire¸˜es do movimento, ca coquando a velocidade aumenta, diminui, etc.) durante os intervalos de tempo indicados:(a) s(t) = 3t2 −12t+1 , t ∈ [0, 5] (b) s(t) = t+4/t , t ∈ [1, 4] (c) s(t) = 24+6t−t3 , t ∈ [−2, 3] 1 − e−3t(d) s(t) = , t ∈ [0, 2] (e) s(t) = 3 cos πt , t ∈ [0, 2] (f) s(t) = t2 −4 ln(t+1) , t ∈ [0, 4] 3 7) Lan¸a-se um objeto verticalmente para cima, sendo a altura atingida s p´s ap´s t segs c e odada por s(t) = 144t − 16t2 . Obtenha a velocidade e a acelera¸˜o iniciais e no instante t = 3 cas (descreva o que ocorre). Qual a altura m´xima atingida ? Quando o objeto atinge o solo ? a
    • 106 CAP´ ITULO 5 8) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸˜o s(t) = ca[ln(1 + t)] − t/4 (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) = posi¸˜o ao longo de um eixo caorientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e et = 2. (b) Obtenha a velocidade nos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 2. (c) Em queinstante o objeto p´ra ? Em que posi¸˜o isto ocorre ? Qual a acelera¸˜o neste instante ? a ca ca 9) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito 10 ln(2t + 1)pela equa¸˜o s(t) = ca (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸˜o ao longo ca (2t + 1)de um eixo orientado, medida em metros).(a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e t = 3. (b) Obtenha a velocidade enos instantes t = 0 (velocidade inicial) e t = 3. (c) Em que instante o objeto est´ parado ? a(d) Descreva o deslocamento do objeto, quando t varia de 0 at´ t → +∞ . e 10) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸˜o ca 2t2s(t) = t (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸˜o ao longo de um eixo orientado, ca emedida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e t = 2, a evelocidade no instante t = 1 e responda qual delas ´ a maior (mostre as contas). (b) O que eocorre com s(t) quando t → +∞ ? (c) Qual a maior distˆncia da posi¸˜o inicial que ´ atingida a ca epelo objeto ? 11) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸˜o cas(t) = t · ln(1 + 2t) (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸˜o ao longo de um eixo caorientado, medida em metros). e3 − 1(a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e t = e . (b) Obtenha a 2 e3 − 1velocidade nos instantes t = 0 e t = . (c) Obtenha a acelera¸˜o no instante t = 0 . ca 2(d) O que ocorre com a velocidade e com a acelera¸˜o quando t → +∞ ? ca 12) Um objeto deslocando-se em linha reta tem seu movimento descrito pela equa¸˜o ca 2s(t) = 3 − e−t (t medido em segundos, t ≥ 0, s = s(t) =posi¸˜o ao longo de um eixo caorientado, medida em metros). (a) Obtenha a velocidade m´dia entre os instantes t = 0 e et = 2, a velocidade no instante t = 1 e responda qual delas ´ a maior (mostre as contas). e(b) O que ocorre com a velocidade instantˆnea v(t) quando t → +∞ ? (c) O que ocorre acom s(t) quando t → +∞ ? Qual a maior distˆncia da posi¸˜o inicial que ´ atingida pelo a ca eobjeto (se existir)? Obs.: Para 9) (d), 10) (b), 11) (d) e 12) (b), (c) use as Se¸˜es 5.8, 5.9 e 5.10 co
    • Aplica¸˜es da Derivada co 1075.3 Taxas relacionadas Em alguns problemas, podemos ter v´rias grandezas relacionadas atrav´s de equa¸˜es. a e co Exemplos:(A) Uma escada com 5 m de comprimento est´ inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua abase, apoiada no ch˜o, est´ sendo empurrada na dire¸˜o da parede a uma velocidade de 0,5 a a cam/s. Qual a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando abase est´ a 4 m da parede ? a(B) Infla-se um bal˜o esf´rico de tal modo que seu volume aumenta ` raz˜o de 5 dm3 /min. A a e a aque raz˜o o diˆmetro do bal˜o cresce quando o diˆmetro ´ de 12 dm ? a a a a e
    • 108 CAP´ ITULO 5(C) Um tanque de ´gua com a forma de cone invertido e altura igual ao diˆmetro est´ sendo a a a 3enchido ` raz˜o de 3 m /s. Qual a velocidade com que o n´ de ´gua sobe, quando a parte a a ıvel acheia com ´gua tem 2 m de altura ? a(D) Um farol, situado a 1000 m de uma costa (praticamente) reta est´ girando com uma avelocidade de 3 rpm (rota¸˜es por minuto). Qual a velocidade da luz do farol na regi˜o co acosteira quando o ˆngulo entre o feixe de luz e a perpendicular do farol ` praia ´ de π/4 rad ? a a e
    • Aplica¸˜es da Derivada co 109Exerc´ ıcios: 1) Um papagaio de papel est´ voando a uma altura de 40m. Um garoto est´ empinando a ao papagaio de tal modo que este se move horizontalmente a uma raz˜o de 3m/seg. Se a linha aest´ esticada, com que raz˜o deve o garoto dar linha quando o comprimento da corda solta ´ a a e50m ? 2) Um carro que viaja ` raz˜o de 30m/seg aproxima-se de um cruzamento. Quando o a acarro est´ a 120m do cruzamento, um caminh˜o que viaja a 40m/seg atravessa o cruzamento. a aO carro e o caminh˜o est˜o em estradas que formam ˆngulos retos uma com a outra. Com a a aque rapidez separam-se o carro e o caminh˜o 2 segundos depois que o caminh˜o passou pelo a acruzamento ? 3) De um orif´ em um recipiente vaza areia, que forma um monte cˆnico cuja altura ´ ıcio o esempre igual ao raio da base. Se a altura aumenta ` raz˜o de 6 pol/min, determine a taxa de a avazamento da areia quando a altura da pilha ´ 10 pols. e 4) Uma lˆmpada colocada em um poste est´ a 5m de altura. Se um homem de 2m de altura a acaminha afastando-se da lˆmpada ` raz˜o de 1m/seg, com que rapidez se move a extremidade a a ade sua sombra no instante em que ele est´ a 4m do poste ? Com que rapidez se alonga sua asombra neste instante ? Qual velocidade ´ a maior, a da extremidade da sombra ou a de ealongamento da sombra ? O que ocorre em outros instantes ? 5) A Lei de Boyle para os gases afirma que p.v = c, onde p ´ a press˜o, v ´ o volume e c e a euma constante. Em certo instante, o volume ´ de 75 pols , a press˜o 30 lbs/pol2 e a press˜o e 3 a a 2decresce ` raz˜o de 2 lbs/pol por minuto. Qual a taxa de varia¸˜o do volume neste instante ? a a ca 6) Um ponto P (x, y) se move sobre o gr´fico da equa¸˜o y = ln(x3 ) (x > 0) e sua abscissa a cax varia ` raz˜o de 0,5 unidade por segundo. A ordenada y tamb´m varia a uma raz˜o fixa ? a a e aQual a taxa de varia¸˜o da ordenada no ponto (e, 3) ? ca 7) Quando duas resistˆncias el´tricas R1 e R2 s˜o ligadas em paralelo, a resistˆncia total e e a eR ´ dada por 1/R = (1/R1 ) + (1/R2 ). Se R1 e R2 aumentam ` raz˜o de 0,01 ohms/s e 0,02 e a aohms/s, respect., qual a taxa de varia¸˜o de R no instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90 caohms ? 8) Uma vara de metal tem a forma de um cilindro circular reto. Ao ser aquecida, seucomprimento aumenta ` taxa de 0,005 cm/min e seu diˆmetro cresce ` raz˜o de 0,002 cm/min. a a a aQual a taxa de varia¸˜o do volume quando o comprimento ´ 40 cm e o diˆmetro ´ 3 cm ? ca e a e
    • 110 CAP´ ITULO 5 9) Uma escada com 6 m de comprimento est´ apoiada em um dique inclinado a 60◦ em arela¸˜o ` horizontal. Se a base da escada est´ sendo movida horizontalmente na dire¸˜o do ca a a cadique ` raz˜o de 1 m/s, com que rapidez move-se a parte superior da escada (apoiada no a adique), quando a base estiver a 4 m do dique ? 10) Um avi˜o voa a uma altura constante de 5000 p´s ao longo de uma reta que o levar´ a e adiretamente a um ponto acima de um observador no solo. Se, em dado instante, o observadornota que o ˆngulo de eleva¸˜o do avi˜o ´ de 60◦ e aumenta ` raz˜o de 1◦ por segundo, deter- a ca a e a amine a velocidade do avi˜o neste instante. a 11) Um triˆngulo is´sceles tem os dois lados iguais com 6 pols cada um. Se o ˆngulo entre a o a ◦os lados iguais varia ` raz˜o de 2 por min, com que velocidade varia a ´rea do triˆngulo a a a a ◦quando θ = 30 ? 12) A luz de um farol localizado a 1/8 de milha do ponto mais pr´ximo P de uma estrada oretil´ ınea est´ sobre um carro que percorre a estrada com a velocidade de 50 milhas por hora, ase afastando de P. Determine a taxa de rota¸˜o do farol no instante em que o carro est´ a 1/4 ca ade milha do farol. 13) Uma escada de 5 m de altura est´ apoiada numa parede vertical. Se a parte inferior ada escada ´ puxada horizontalmente para fora da parede de tal forma que o topo da escada eescorrega ` raz˜o de 3 m/s, com que velocidade est´ variando a medida do ˆngulo entre a a a a aescada e o solo quando a parte inferior da escada est´ a 3 m da parede ? a 14) Um homem num cais est´ puxando um bote ` raz˜o de 2 m/s por meio de uma corda a a a(esta ´ a velocidade com que puxa a corda). As m˜os do homem est˜o a 30 cm do n´ do e a a ıvelponto onde a corda est´ presa no bote. com que velocidade varia a medida do ˆngulo de a adeflex˜o da corda (entre a corda e o movimento do bote) quando o comprimento da corda ´ a ede 50 cm ? 15) Um quadro de 40 cm de altura est´ colocado numa parede, com sua base a 30 cm aacima do n´ dos olhos de um observador. Se o observador se aproximar da parede ` raz˜o ıvel a ade 4 m/s, com que velocidade varia a medida do ˆngulo subtendido pelo quadro a seus olhos, aquando o observador estiver a 1 m da parede ?
    • Aplica¸˜es da Derivada co 111 16) Despeja-se ´gua num recipiente de forma cˆnica ` raz˜o de 8 cm3 /min. O cone tem a o a a20 cm de profundidade e 10 cm de diˆmetro em sua parte superior. Com que velocidade deve aaumentar a profundidade da ´gua no recipiente quando a ´gua estiver a 16 cm do fundo ? a aSuponhamos agora que se tenha a informa¸˜o adicional de que existe um furo no fundo, pelo caqual a ´gua escoa, e que a ´gua est´ subindo ` raz˜o de 1/8π cm/min neste instante (quando a a a a aa ´gua est´ a 16 cm do fundo). Com que velocidade a ´gua est´ escoando ? a a a a 17) Uma escada de 5 m de comprimento est´ apoiada em uma parede vertical. Sua base, que aest´ apoiada no ch˜o, est´ sendo empurrada na dire¸˜o da parede a uma velocidade constante a a a cade 1 m/s. (a) Mostre que a velocidade com que o topo da escada se desloca n˜o ´ constante. a e(b) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando a base est´ a 3 m da parede a? (c) Qual a velocidade com que o topo da escada se desloca quando o ˆngulo da escada com ao ch˜o ´ de π/4 rad ? a e 18) A luz de um farol que gira ` taxa de 1,5 rpm (rota¸˜es por minuto) est´ iluminando a co a(acompanhando) um carro que passa numa estrada retil´ ınea. (Obs.: O farol est´ distante da aestrada) No momento em que o ˆngulo do feixe de luz do farol com a perpendicular do farol ` estrada a a´ de π/3 rad, a distˆncia do farol ao carro ´ de 250 m = 1/4 km. Obtenha a velocidade doe a ecarro neste instante, em km/h. A velocidade de rota¸˜o do farol ´ constante. Responda se a velocidade do carro tamb´m ca e e´ constante e justifique.e 19) Uma escada de 4 m est´ apoiada numa parede vertical. Se a base da escada (apoiada ano ch˜o) ´ empurrada na dire¸˜o da parede ` raz˜o (constante) de 2 m/s, com que velocidade a e ca a aest´ variando a medida do ˆngulo (agudo) entre a escada e a parede vertical quando a base da a aescada est´ a 2 m da parede ? A velocidade de varia¸˜o deste ˆngulo ´ constante ? (Justifique) a ca a e 20) Dois ciclistas partem de um mesmo ponto `s 8 horas da manh˜, um viajando para a aleste, a 15 km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora. (a) Como estar´ variando a distˆncia entre eles quando for meio-dia ? a a (b) Como estar´ variando a ´rea do triˆngulo formado pelo ponto de partida e as posi¸˜es a a a codos ciclistas ao meio-dia ? 21) Um homem num cais est´ puxando um bote ` raz˜o de 1 m/s por meio de uma corda a a a(esta ´ a velocidade do bote). As m˜os do homem est˜o a 1 m acima do n´ do ponto onde a e a a ıvelcorda est´ presa no bote. Com que velocidade varia a medida do ˆngulo de deflex˜o da corda a a a √(entre a corda e o movimento do bote) quando o bote est´ a 3 m de distˆncia (“medidos na a ahorizontal”) do homem ?
    • 112 CAP´ ITULO 55.4 Alguns resultados importantesPontos cr´ ıticos, m´ximos e m´ a ınimos: ca e ´Defini¸˜o 5.1. Um ponto c ∈ X ´ um PONTO CRITICO de f : X → IR quando f (c) = 0ou n˜o existe f (c) . a Exemplos:(A) Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x .(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 .(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = ex .(D) Seja s : IR → IR dada por s(x) = cos x . √(E) Seja f2 : IR → IR dada por f2 (x) = (x + 5)2 3 x − 4 .
    • Aplica¸˜es da Derivada co 113Teorema 5.1. Seja f : X → IR uma fun¸˜o. Se c ´ um ponto de m´ximo ou m´ ca e a ınimo localde f e c ∈ I (intervalo aberto) ⊂ X ent˜o c ´ um ponto cr´ a e ıtico de f , ou seja, f (c) = 0 ou f (c) . Consequˆncia importante do Teorema 5.1: Se f : [a, b] → IR ´ uma fun¸˜o cont´ e e ca ınua,sabemos (ver Teorema 3.12) que f assume m´ximo e m´ a ınimo absolutos neste intervalo, ou seja,existem cM e cm em [a, b] tais que f (cM ) ≥ f (x) e f (cm ) ≤ f (x) para todo x ∈ [a, b] . O Teorema 5.1 nos diz que os candidatos a cM e cm s˜o os pontos cr´ a ıticos de f em (a, b)juntamente com os extremos a e b do intervalo [a, b] . Exemplos:(A) f : [−3, 5] → IR dada por f (x) = x3 − 12x .
    • 114 CAP´ ITULO 5(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 . Obs.: Este exemplo mostra que n˜o vale a rec´ a ıproca do Teorema 5.1(C) (Aplica¸˜o) Um fabricante de caixas de papel˜o deseja fazer caixas abertas de peda¸os ca a cquadrados de 12 dm de lado, cortando quadrados iguais nos quatro cantos e dobrando os lados.Encontre o comprimento do lado do quadrado que se deve cortar para obter uma caixa cujovolume seja m´ximo. a
    • Aplica¸˜es da Derivada co 115O Teorema do Valor M´dio para Derivadas: eTeorema 5.2. (Rolle) Se f ´ cont´nua em um intervalo limitado e fechado [a, b] , deriv´vel e ı ano intervalo aberto correspondente (a, b) e f (a) = f (b) , ent˜o existe (pelo menos um) ac ∈ (a, b) tal que f (c) = 0 . ⇓Teorema 5.3. (Teorema do Valor M´dio, de Lagrange) Se f ´ cont´ e e ınua em um intervalolimitado e fechado [a, b] e deriv´vel no intervalo aberto correspondente (a, b) ent˜o existe a a f (b) − f (a)(pelo menos um) c ∈ (a, b) tal que f (b)−f (a) = f (c)·(b−a) , ou seja, f (c) = . b−a Principais conseq¨ˆncias do Teorema do Valor M´dio: ue eTeorema 5.4. (Sobre crescimento e decrescimento) Seja f cont´ ınua em um intervalo limitadoe fechado [a, b] e deriv´vel no intervalo aberto correspondente (a, b) . a (i) Se f (x) > 0 para todo x em (a, b), ent˜o f ´ CRESCENTE em [a, b] . a e (ii) Se f (x) < 0 para todo x em (a, b), ent˜o f ´ DECRESCENTE em [a, b] . a e
    • 116 CAP´ ITULO 5Teorema 5.5. (Teste da Derivada Primeira) Seja f uma fun¸˜o cont´ ca ınua em [a, b] e deriv´vel a ıtico c ∈ (a, b) .em (a, b), exceto possivelmente em um ponto cr´(i) Se f (x) > 0 ∀ x ∈ (a, c) e f (x) < 0 ∀ x ∈ (c, b) , ent˜o c ´ ponto de m´ximo local de f . a e a(ii) Se f (x) < 0 ∀ x ∈ (a, c) e f (x) > 0 ∀ x ∈ (c, b) , ent˜o c ´ ponto de m´ a e ınimo local de f .(iii) Se f (x) > 0 ∀ x = c em (a, b) ou se f (x) < 0 ∀ x = c em (a, b) ent˜o c n˜o ´ nem a a em´ximo nem m´nimo local de f . a ı Exemplos:(A) Seja g : IR → IR dada por g(x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR . Obtenha m´ximos ou m´ a ınimoslocais de g e onde g ´ crescente ou decrescente. e
    • Aplica¸˜es da Derivada co 117(B) Seja f : IR → IR dada por f (x) = x4 − 4x2 ∀ x ∈ IR .(C) Seja h : IR → IR dada por h(x) = x1/3 (8 − x) ∀ x ∈ IR . √(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = (x + 5)2 3 x − 4 ∀ x ∈ IR .5.5 Concavidade e pontos de inflex˜o a Derivadas de ordem superior: Consideremos, POR EXEMPLO, f : IR → IR dada por f (x) = 2x3 − 5x2 + x + 2 . Para todo x ∈ IR existe f (x) = 6x2 − 10x + 1 . Podemos considerar portanto a fun¸˜o f : IR → IR dada por f (x) = 6x2 − 10x + 1 ca f (x) − f (a)e indagar se ela ´ deriv´vel ou n˜o, ou seja, se existe lim e a a = f (a) para cada x→a x−aa ∈ IR (existindo, f (a) ´ chamada a derivada segunda de f em a). e Como f (neste exemplo) ´ polinomial, sabemos que existe, ∀ x ∈ IR, f (x) = 12x − 10 ee temos portanto uma nova fun¸˜o f : IR → IR dada por f (x) = 12x − 10 ∀ x ∈ IR (f ´ ca ea fun¸˜o derivada segunda de f . ca Podemos pensar (novamente) em derivar f e assim por diante... (Exemplos) Obs.: (A) J´ interpretamos f como taxa de varia¸˜o instantˆnea de y = f (x) por unidade a ca ade varia¸˜o de x. ca Como f ´ a derivada de f , ent˜o f ´ a taxa de varia¸˜o instantˆnea de f (x) por unidade e a e ca ade varia¸˜o de x. ca Em resumo: f mede a varia¸˜o de f ; ca f mede a varia¸˜o de f ; ca f mede a varia¸˜o de f e assim por diante ... ca (B) Vimos tamb´m que se s = s(t) representa a posi¸˜o s de um objeto ao longo de uma e calinha reta, como fun¸˜o do tempo t, chamamos de VELOCIDADE (INSTANTANEA) a taxa ca ˆde varia¸˜o instantˆnea de s por unidade de varia¸˜o de t, ou seja, v(t) = s (t) . ca a ca Derivando novamente, temos a varia¸˜o da velocidade v (t) = s (t) (derivada segunda de ca ¸˜s), a qual chamamos de ACELERACAO no instante t.
    • 118 CAP´ ITULO 5 Testes de concavidade:Teorema 5.6. (Sobre concavidade) Seja f deriv´vel em um intervalo aberto contendo c . a (i) Se existe f (c) > 0 ent˜o no ponto ponto (c, f (c)) o gr´fico de f tem a concavidade a avoltada para cima. (ii) Se existe f (c) < 0 ent˜o no ponto ponto (c, f (c)) o gr´fico de f tem a concavidade a avoltada para baixo. Exemplos:(A) Seja f : IR → IR dada por f (x) = x3 ∀ x ∈ IR .(B) Seja g : IR → IR dada por g(x) = ex ∀ x ∈ IR .
    • Aplica¸˜es da Derivada co 119(C) Seja h : (0, +∞) → IR dada por h(x) = ln x ∀ x > 0 .(D) Seja u : IR → IR dada por u(x) = sen x ∀ x ∈ IR .(E) Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x ∀ x ∈ IR .Defini¸˜o 5.2. (Ponto de inflex˜o) Um ponto (c, f (c)) do gr´fico de uma fun¸˜o f , f cont´nua ca a a ca ıem c, ´ chamado um PONTO DE INFLEXAO e ˜ quando neste ponto a concavidade “mudade sentido” , ou seja, existe um intervalo aberto (a, b) contendo c tal que uma das seguintessitua¸˜es ocorre: co (i) f (x) > 0 se x ∈ (a, c) e f (x) < 0 se x ∈ (c, b) ; (ii) f (x) < 0 se x ∈ (a, c) e f (x) > 0 se x ∈ (c, b) .
    • 120 CAP´ ITULO 5Teorema 5.7. (Teste da Derivada Segunda) Se f ´ deriv´vel em um intervalo aberto contendo e ac e f (c) = 0, temos: (i) Se f (c) < 0 ent˜o f tem m´ximo local em c ; a a (ii) Se f (c) > 0 ent˜o f tem m´nimo local em c . a ı Obs.: Se f (c) = 0 nada podemos concluir (tente o Teste da Derivada Primeira). Exemplo: Seja f1 : IR → IR dada por f1 (x) = x3 − 12x . Resumindo: • f mede a varia¸˜o de f ; Sinal de f : crescimento e decrescimento de f ; caTeste da Derivada Primeira: m´ximos e/ou m´ a ınimos. • f mede a varia¸˜o de f ; Sinal de f : concavidade do gr´fico de f ; ca aTeste da Derivada Segunda: m´ximos e/ou m´ a ınimos.5.6 Aplica¸˜es em problemas de m´ximos e/ou m´ co a ınimos(A) Determine as dimens˜es do retˆngulo de ´rea m´xima que pode ser inscrito num triˆngulo o a a a aequil´tero de lado a, com dois dos v´rtices sobre um dos lados do triˆngulo. a e a
    • Aplica¸˜es da Derivada co 121(B) Os pontos A e B s˜o opostos um ao outro nas margens de um rio reto com 3 km de alargura. O ponto C est´ na mesma margem que B, mas a 6 km de B, rio abaixo. Uma com- apanhia telefˆnica deseja estender um cabo de A at´ C. Se o custo por km do cabo ´ 25% mais o e ecaro sob a ´gua do que em terra, que linha de cabo seria menos cara para a companhia ? a(C) Um cartaz de 20 p´s de altura est´ localizado no topo de um edif´ de tal modo que e a ıcioseu bordo inferior est´ a 60 p´s acima do n´ a e ıvel do olho de um observador. Use fun¸˜escotrigonom´tricas inversas para determinar a que distˆncia de um ponto diretamente abaixo e ado cartaz o observador deve se colocar para maximizar o ˆngulo entre as linhas de vis˜o do a atopo e da base do cartaz.
    • 122 CAP´ ITULO 5Exerc´ ıcios: 1) Se uma caixa de base quadrada, aberta no topo, deve ter um volume de 4 p´s c´bicos, e udetermine as dimens˜es que exigem a menor quantidade de material (desprezar a espessura e oaperda de material). Refa¸a o problema considerando o caso de uma caixa coberta. c 2) Determine as dimens˜es do cone circular reto de volume m´ximo que pode ser inscrito o anuma esfera de raio a. 3) Uma longa folha retangular de metal, de 12 polegadas de largura, vai ser utilizada paraformar uma calha, dobrando-se em ˆngulo reto duas bordas (de mesma medida). Quantas apolegadas devem ser dobradas de forma que a capacidade da calha seja m´xima ? Refa¸a o a cproblema considerando que os lados da calha devam fazer um ˆngulo de 2π/3 rad com a base. a 4) Encontre as dimens˜es do retˆngulo de maior ´rea que tem 200 cm de per´ o a a ımetro. 5) Determine o ponto do gr´fico de y = x3 mais pr´ximo do ponto (4, 0). a o 6) Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a US$20,00 por unidade para pedidosde menos de 50 unidades. No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (at´ 600), o pre¸o unit´rio e c atem um desconto igual a US$0,02 vezes o n´mero de encomendas. Qual volume de encomendas uproporciona maior receita para o fabricante ? ` 7) As 13:00 horas um navio A est´ a 30 milhas ao sul do navio B e navegando rumo norte aa 15 mph (milhas por hora). Se o navio B est´ navegando rumo oeste a 10 mph, determine o ainstante em que a distˆncia entre os dois navios ´ m´ a e ınima. 8) Uma ilha est´ num ponto A, a 6 km do ponto B mais pr´ximo numa praia reta. Um a oarmaz´m est´ num ponto C a 9 km de B na praia. Se um homem pode remar ` raz˜o de 4 e a a akm/h e caminhar ` raz˜o de 5 km/h, onde ele deveria desembarcar para ir da ilha ao armaz´m a a eno menor tempo poss´ ? ıvel 9) Encontre as dimens˜es do cilindro circular reto de maior volume que pode ser inscrito onum cone circular reto com altura 12 cm e raio da base 6 cm. 10) Jos´ comprou uma TV nova, de tela plana, para assistir ` Copa do Mundo. A TV tem e auma altura de 0,5 m e vai ser colocada a 4 m de distˆncia dos olhos de Jos´, quando ele estiver a esentado confortavelmente em seu sof´, xingando aqueles milion´rios que est˜o jogando vezes a a ao que deveriam para ganhar a Copa ( → 0). Sabendo que os olhos de Jos´, ao sentar-se, est˜o e aa 1,5 m de altura do solo e num n´ entre os bordos inferior e superior da TV, a que altura ıveldo solo deve ser colocada a TV para que o ˆngulo de vis˜o de Jos´ seja m´ximo ? a a e a
    • Aplica¸˜es da Derivada co 123 11) Um oleoduto deve ligar dois pontos A e B, distantes 3 milhas e situados nas margensopostas e um rio retil´ ıneo de 1 milha de largura. Parte do oleoduto ser´ constru´ sob a ´gua, a ıda ade A at´ um ponto C na margem oposta, e o restante ` superf´ e a ıcie, de C at´ B. Se o custo de econstru¸˜o do oleoduto sob a ´gua ´ quatro vezes o custo da constru¸˜o ` superf´ ca a e ca a ıcie, determinea localiza¸˜o de C que minimize o custo de constru¸˜o. ca ca 12) O propriet´rio de um pomar estima que, plantando 24 ´rvores por are, cada ´rvore a a aproduzir´ 600 ma¸˜s por ano. Para cada ´rvore adicional plantada por are, haver´ uma a ca a aredu¸˜o de 12 ma¸˜s por p´ por ano. Quantas ´rvores deve plantar por are para maximizar o ca ca e an´mero de ma¸˜s (por are por ano) ? u ca 13) Um piloto de testes da F´rmula 1 percorre um circuito el´ o ıptico plano, de forma quesua posi¸˜o, ap´s t vezes 10-segundos, ´ dada por s(t) = (x(t), y(t)) = (2 cos t, sen t) (fa¸a um ca o e cesbo¸o da trajet´ria percorrida pelo piloto). O vetor velocidade (tangencial), num instante t c o´ dado por v(t) = s (t) = (−2. sen t, cos t) (tente fazer um esbo¸o). A velocidade (tangencial)e cescalar ´ dada pelo m´dulo do vetor velocidade: |v(t)|. Supondo que o deve completar pelo e omenos uma volta no circuito, calcule os pontos onde o piloto alcan¸a as velocidades m´ximas c a 2e m´ınimas. (Sugest˜o: maximizar e minimizar |v(t)| ) a 14) Dado um cilindro circular reto de altura h cm e raio das bases r cm, sua ´rea total ´ a e 2 2 2 3S = (2πr + 2πrh) cm e seu volume ´ V = πr h cm . DENTRE TODOS OS CILINDROS e ´ 2DE AREA TOTAL S = 12π cm , obtenha as dimens˜es (r e h) daquele que tem o maior ovolume poss´ e forne¸a o maior volume que pode ser obtido. ıvel c 15) Quando duas resistˆncias el´tricas R1 e R2 s˜o ligadas em paralelo, a e e a 1 1 1resistˆncia total R ´ dada por e e = + . R R1 R2 Se R1 > 0, R2 > 0 e R1 + R2 = 50 ohms, obtenha (JUSTIFICANDO) R1 e R2 tais que Rseja m´xima. (Sugest˜o: Exprima R como fun¸˜o de uma unica vari´vel para ent˜o resolver o a a ca ´ a aproblema) E se fossem pedidos R1 e R2 tais que R seja m´ ınima ? Justifique a resposta. 16) Um fazendeiro disp˜e de 1km de cerca. Uma parte da cerca ser´ utilizada para cercar o auma ´rea circular e o restante para cercar uma ´rea quadrada. Ele tamb´m pode utilizar toda a a ea cerca para cercar uma unica ´rea (circular ou quadrada). Como ele deve proceder para que: ´ a(a) A ´rea total cercada seja a menor poss´ a ıvel; (b) A ´rea total cercada seja a maior poss´ a ıvel. 17) Obtenha o raio das bases e a altura do CILINDRO CIRCULAR RETO de VOLUME ´ 3MAXIMO que pode ser inscrito numa esfera de raio m. 2
    • 124 CAP´ ITULO 55.7 Aplica¸˜es em esbo¸os de gr´ficos co c a Dada uma fun¸˜o f : X → IR , nos interessa utilizar nossos estudos sobre derivadas para cafazer um esbo¸o do gr´fico de f . c a Algumas dicas: 1) Obter a derivada primeira f e os pontos cr´ıticos (onde f se anula ou n˜o existe); a 2) Estudando o sinal de f , obter informa¸˜es sobre o crescimento/decrescimento de f ; co 3) Obter a derivada segunda f e estudar o seu sinal para obter informa¸˜es sobre a coconcavidade do gr´fico de f ; a 4) Usar o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrirm´ximos ou m´ a ınimos locais; 5) Obter alguns pontos do gr´fico para ajudar no esbo¸o (pontos de m´ximo ou m´ a c a ınimo,pontos de interse¸˜o com os eixos coordenados, etc.); ca 6) Observar o comportamento de f (x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) -busca de ass´ ıntotas horizontais (*); 7) Observar quando f (x) → ±∞ - busca de ass´ ıntotas verticais (*). (*) Veremos estes dois ultimos ´ ´ ıtens com mais detalhes nas pr´ximas aulas. o Exemplo: Seja f : IR → IR dada por f (x) = 5x3 − x5 .
    • Aplica¸˜es da Derivada co 1255.8 Apˆndice A : Limites no infinito eNo¸˜o b´sica: ca a Dada f : X → IR, nos interessa investigar (se poss´ ıvel) o comportamento de f (x) quandox → ±∞ . Dizemos que um n´mero real L ´ o limite de f (x) quando x → +∞ e escrevemos u e lim f (x) = L x→+∞quando f (x) se aproxima tanto quanto quisermos de L ` medida que x cresce indefinidamente, aou seja, quando x → +∞ . Neste caso, a reta y = L ´ chamada uma ASS´ e INTOTA HORIZONTAL do gr´fico de f . a Analogamente, escrevemos lim f (x) = M ∈ IR quando f (x) se aproxima tanto x→−∞quanto quisermos de M ` medida que x → −∞ . a Neste caso tamb´m y = M ´ ass´ e e ıntota horizontal do gr´fico de f . a Exemplos: 1(A) f : [2, +∞) → IR dada por f (x) = . x
    • 126 CAP´ ITULO 5   4+ 1 se x ≤ −1(B) g : (−∞, 3) → IR dada por g(x) = x  6 se −1 < x < 3(C) u : IR → IR dada por u(x) = sen x .Teoremas sobre limites no infinito: Valem os mesmos teoremas vistos no estudo de limites, com as devidas adapta¸˜es. co Por exemplo: Se lim f (x) = L e lim g(x) = M , ent˜o podemos comcluir que a x→+∞ x→+∞ lim f (x) ± g(x) = L ± M , lim f (x) · g(x) = L · M , lim f (x)/g(x) = L/M se M = 0x→+∞ x→+∞ x→+∞(analogamente para x → −∞ )Alguns limites b´sicos no infinito: a 1) lim c = c x→±∞ c 2) Se k ∈ Q, k > 0 e c = 0 ent˜o a lim = 0 (se fizerem sentido) x→±∞ xk x 1 ln x 3) lim 1+ =e 4) lim =0 x→+∞ x x→+∞ x 1 1 5) lim ex = 0 6) lim =0 7) lim =0 x→−∞ x→+∞ ex x→+∞ ln x
    • Aplica¸˜es da Derivada co 127 Exemplos: −5x3 + 2x(A) lim 3 x→+∞ x − 4x2 + 3 3x − 4(B) lim x→−∞ 5x2 √ 5x2 − 6(C) lim x→+∞ 4x + 3 sen x(D) lim x→−∞ x(E) (Exerc´ıcio) Use seus conhecimentos sobre derivadas para mostrar que ex > x sempreque x ≥ 1 (Sugest˜o: Mostre que f (x) = ex − x ´ crescente em [1, +∞) e f (1) > 0 ) e a e 1conclua que lim x = 0 . x→+∞ e 2 2 1 1(F) (Exerc´ ıcio) Mostre que lim e−x = 0 (Sugest˜o: Mostre que 0 < e−x = a x2 < x x→+∞ e equando x → +∞ e aplique o Sandu´ ıche).
    • 128 CAP´ ITULO 55.9 Apˆndice B : Limites infinitos e Dada f : X → IR e a ∈ X , vamos estudar agora, para aux´ no esbo¸o do gr´fico de f , ılio c a ca ˜a situa¸˜o na qual NAO EXISTE o lim f (x) (f n˜o pode ser cont´ a ınua em a) e, AINDA x→aASSIM, f (x) tem um comportamento especial quando x se aproxima de a (e x = a). Escrevemos lim f (x) = +∞ quando f (x) → +∞ ` medida que x → a (x = a) . a x→a Neste caso, a reta x = a ´ chamada uma ASS´ e INTOTA VERTICAL do gr´fico de f : a Analogamente, lim f (x) = −∞ quando f (x) → −∞ ` medida que x → a (x = a) . a x→a Neste caso tamb´m dizemos que x = a ´ uma ass´ e e ıntota vertical do gr´fico de f : a Observa¸˜es: co1) Temos conceitos semelhantes quando analisamos os limites laterais lim+ f (x) ou lim− f (x) . x→a x→a ˜2) CUIDADO: A rigor, nestes casos, o limite lim f (x) NAO EXISTE (n˜o ´ um n´mero a e u x→areal). Apenas escrevemos lim f (x) = ±∞ para descrever um comportamento especial de x→af (x) quando x se aproxima de a.
    • Aplica¸˜es da Derivada co 129 Exemplos: 1(A) lim = +∞ x→−3 (x + 3)2 1(B) lim = +∞ + x→2 (x − 2)3 1 lim = −∞ x→2 − (x − 2)3(C) Em geral: 1 Se n ´ PAR: lim e = +∞ (x − a)n x→a 1 1 Se n ´ ´ e IMPAR: lim+ = +∞ e lim− = −∞ x→a (x − a)n x→a (x − a)n(D) lim ln x = −∞ + x→0(E) lim tg θ = +∞ θ→π/2−Proposi¸˜o 5.1. (Para ajudar no c´lculo de alguns limites infinitos) ca a Sejam lim f (x) = +∞ , lim g(x) = c ∈ IR , lim h(x) = −∞ . Temos: x→a x→a x→a1) lim [f (x) + g(x)] = +∞ , lim [h(x) + g(x)] = −∞ . x→a x→a g(x) g(x)2) lim = 0 , lim =0. x→a f (x) x→a h(x) f (x)3) c > 0 ⇒ lim f (x) · g(x) = +∞ , lim h(x) · g(x) = −∞ , lim = +∞ , x→a x→a x→a g(x) h(x)lim = −∞ .x→a g(x) f (x) h(x)c < 0 ⇒ lim f (x) · g(x) = −∞ , lim h(x) · g(x) = +∞ , lim = −∞ , lim = +∞ x→a x→a x→a g(x) x→a g(x) Obs.: Valem resultados an´logos para limites laterais. a
    • 130 CAP´ ITULO 5 Exemplos: 2x2(A) f (x) = x2 − 9(B) lim sen x tg x x→−π/2+ √ x4 + 2(C) lim x→0+ ln x
    • Aplica¸˜es da Derivada co 131 Observa¸˜o: De modo inteiramente an´logo ao que fizemos para lim f (x) = ±∞ , ca a x→apodemos ter LIMITES INFINITOS NO INFINITO e resultados como a proposi¸˜o anterior cacontinuam v´lidos! (apenas n˜o temos mais as ass´ a a ıntotas verticais nestes casos)(D) lim x = +∞ , lim x = −∞ x→+∞ x→−∞(E) lim ex = +∞ (F) lim ln x = +∞ x→+∞ x→+∞(G) lim −5x4 + 3x + 2 x→+∞ Observa¸˜o: As conclus˜es que n˜o podemos (e as que podemos) tirar quando lidamos ca o acom limites infinitos: Devemos sempre tomar cuidado com opera¸˜es entre fun¸˜es que tˆm LIMITES INFINI- co co e ¸˜TOS, pois podem surgir as chamadas INDETERMINACOES, que s˜o as formas cujos com- a ˜ PODEMOS PREVER A PRIORI.portamentos NAO ¸˜ Destacamos aqui as PRINCIPAIS INDETERMINACOES: 0 ∞ , , 0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ , ∞ − ∞ 0 ∞ Em qualquer um destes casos, devemos trabalhar com as fun¸˜es dadas de modo que co ¸˜possamos ELIMINAR AS INDETERMINACOES. (EXEMPLOS)
    • 132 CAP´ ITULO 55.10 Apˆndice C : Formas indeterminadas e e a Regra de L’Hopital 0 ∞ As formas , , 0 · ∞ , 00 , ∞0 , 1∞ , ∞ − ∞ s˜o todas consideradas a 0 ∞ ¸˜INDETERMINACOES. Al´m de tentarmos trabalhar com as express˜es que geram as indetermina¸˜es visando e o co ´ELIMINA-LAS, veremos a seguir alguns m´todos para atacar estes problemas. e 0 ∞C.1) Indetermina¸˜es do tipo co ou : 0 ∞ Uma ferramenta muito util ´ a ... ´ e Regra de L’Hopital: f (x) 0 ∞ Suponhamos que tome a forma indeterminada ou quando x → c ou g(x) 0 ∞ f (x)x → ±∞ . Se tem limite (ou tende a ±∞ ) quando x → c (ou x → ±∞ ), ent˜o a g (x) f (x) f (x) lim = lim g(x) g (x) Exemplos: 3 − 2x − 3 cos x(A) lim x→0 5x ln x(B) lim x→+∞ x
    • Aplica¸˜es da Derivada co 133 e2x(C) lim x→+∞ x2 Obs.: CUIDADO! N˜o saia aplicando a Regra de L’Hopital antes de verificar que realmente ase tem uma indetermina¸˜o do tipo 0/0 ou ∞/∞ . caC.2) Indetermina¸˜es do tipo 0 · ∞ : co f (x) g(x) Escrevendo-se f (x) · g(x) = ou f (x) · g(x) = recai-se numa forma do tipo 1/g(x) 1/f (x)0/0 ou ∞/∞ . Exemplos:(A) lim x · ln x + x→0 π(B) lim arc tg x − ·x x→+∞ 2
    • 134 CAP´ ITULO 5C.3) Indetermina¸˜es do tipo 00 , ∞0 ou 1∞ : co O roteiro abaixo pode ser util nestes casos: ´0) Seja f (x)g(x) a express˜o que gera a indetermina¸˜o; a ca1) Tome y = f (x)g(x) ; ıtmos: ln y = ln f (x)g(x) = g(x) · ln f (x) (e recaia em casos j´ vistos);2) Tome logar´ a3) Determine lim ln y (se existir);4) Se lim ln y = L ent˜o lim y = eL . (Aten¸˜o: N˜o pare em 3) a ca a Exemplos:(A) lim x1/x x→+∞ x 1(B) lim 1+ x→+∞ x(C) lim x1/ ln x x→+∞
    • Aplica¸˜es da Derivada co 135C.4) Indetermina¸˜es do tipo ∞ − ∞ : co Trabalhe com a express˜o para cair em casos conhecidos ! a Exemplos:(A) lim (sec x − tg x) x→π/2− 1 1(B) lim − + x→0 ex −1 xExerc´ ıcio: APLICANDO RESULTADOS SOBRE DERIVADAS, fa¸a um esbo¸o do gr´fico de cada c c afun¸˜o f dada a seguir: ca Roteiro:a. Obtenha a derivada primeira f e os pontos cr´ıticos de f .b. Estudando o sinal de f , obtenha informa¸˜es sobre o crescimento/decrescimento de f . coc. Obtenha a derivada segunda f e estude seu sinal para obter informa¸˜es sobre a concavidade codo gr´fico de f . ad. Use o Teste da Derivada Primeira ou o Teste da Derivada Segunda para descobrir m´ximos aou m´ınimos locais.e. Obtenha alguns pontos do gr´fico de f para ajudar no esbo¸o (pontos de m´ximo ou m´ a c a ınimo,pontos de interse¸˜o com os eixos coordenados, etc.). caf. Observar o comportamento de f (x) quando x → +∞ ou x → −∞ (se for o caso) - buscade ass´ ıntotas horizontais.g. Observar quando f (x) → ±∞ - busca de ass´ ıntotas verticais.
    • 136 CAP´ ITULO 51) f (x) = 4 − x2 2) f (x) = x33) f (x) = x3 − 9x 4) f (x) = x4 − 6x2 √ x25) f (x) = 1 − 3 x 6) f (x) = 1 + x2 √7) f (x) = 10x3 (x − 1)2 8) f (x) = 3 x (8 − x) √9) f (x) = (x + 5)2 3 x − 4 10) f (x) = x2/3 (x2 − 8) 3 111) f (x) = x3 + (x = 0) 12) f (x) = (x = 0, 3) x x(x − 3)2 2x2 3x213) f (x) = (x = ±1) 14) f (x) = (x = 9) 1 − x2 (x − 9)215) f (x) = ex 16) f (x) = e−x 17) f (x) = ex − x 218) f (x) = e−x 19) f (x) = ln x (x > 0) x ln x20) f (x) = e1/x (x = 0) 21) f (x) = 22) f (x) = (x > 0) ex x ex + e−x ex − e−x ex − e−x23) cosh x = senh x = tgh x = 24) f (x) = arc tg x 2 2 ex + e−x25) f (x) = e−x sen x (x ∈ [0, 4π] )26) f (x) = 2 cos x + sen 2x (x ∈ [0, 2π] ) 2x2 3x27) f : IR − {4} → IR dada por f (x) = 28) f : IR → IR dada por f (x) = (x − 4)2 ex x2 x229) f : IR → IR dada por f (x) = x 30) f : IR − {±2} → IR dada por f (x) = e 4 − x2 −3x31) f : IR − {1} → IR , f (x) = . 32) f : IR − {0} → IR , f (x) = x · ln(x2 ) . (1 − x)2 ex √ 333) f : IR − {0} → IR dada por f (x) = 34) f : IR → IR dada por f (x) = 1 − x2 x3 2x235) f : IR → IR dada por f (x) = ∀ x ∈ IR . 1 + x2
    • Aplica¸˜es da Derivada co 1375.11 Apˆndice D: Aproxima¸˜es via e co Polinˆmios de Taylor o Recordando... Quando estudamos acr´scimos e diferenciais, vimos que se f : X → IR ´ deriv´vel em e e a f (x + ∆x) − f (x)x ∈ X, ou seja, se existe f (x) = lim , ent˜o a varia¸˜o da fun¸˜o y = f (x), a ca ca ∆x→0 ∆xdada por ∆y = f (x + ∆x) − f (x) , pode ser aproximada por f (x) · ∆x quando ∆x est´ apr´ximo de 0: o ∆y = f (x + ∆x) − f (x) ≈ f (x) · ∆x = dy quando ∆x → 0 Isto ´ o mesmo que e f (x + ∆x) ≈ f (x) + f (x) · ∆x . Geometricamente: A id´ia ´ aproximar o gr´fico de f por uma reta numa vizinhan¸a em torno de x. A reta que e e a cmelhor cumpre esse papel ´ a reta tangente ao gr´fico de f em (x, f (x)), cujo coeficiente e aangular ´ f (x) . Quando fazemos essa aproxima¸˜o, cometemos um erro r = r(∆x) . e ca Quanto menor ´ |∆x| , ou seja, quanto mais pr´ximos est˜o ∆x e 0, melhor a aproxima¸˜o e o a caobtida e menor ´ o erro cometido. e Pergunta: Podemos melhorar este processo e obter aproxima¸˜es cada vez melhores ? co Resposta: SIM ! (sob certas condi¸˜es) co
    • 138 CAP´ ITULO 5 Um passo adiante: Se f : I (intervalo aberto) → IR ´ duas vezes deriv´vel em um ponto x ∈ I ent˜o, se e a ax + ∆x ∈ I , temos f (x) f (x + ∆x) ≈ f (x) + f (x) · ∆x + · (∆x)2 (∆x pequeno) 2! Da mesma forma que antes, quanto menor |∆x| , melhor ´ a aproxima¸˜o. e ca Por´m, desta vez estamos aproximando f (em torno de x) por um polinˆmio do 2o grau, ou e oseja, geometricamente, o gr´fico de f ´ aproximado por um arco de par´bola e a expectativa a e a´ que isto funcione melhor como aproxima¸˜o do que uma reta:e ca Generalizando: Se f : I (intervalo aberto) → IR ´ n−vezes deriv´vel em um ponto x ∈ I ent˜o, se e a ax + ∆x ∈ I , temos: f (x) f (x) f (n) (x) f (x + ∆x) ≈ f (x) + f (x) · ∆x + · (∆x)2 + · (∆x)3 + . . . + · (∆x)n 2! 3! n!e quanto menor |∆x|, melhor ´ a aproxima¸˜o. e ca Obs.: 1) Como o ponto x ∈ I, onde a fun¸˜o ´ n−vezes deriv´vel, est´ fixo e ∆x varia (∆x → 0), ca e a avamos adotar uma NOVA NOTACAO: ¸˜ f : I → IR n−vezes deriv´vel em um ponto a ∈ I . Se a + h ∈ I , temos: a f (a) 2 f (a) 3 f (n) (a) n f (a + h) ≈ f (a) + f (a) · h + ·h + · h + ... + ·h 2! 3! n!e quanto menor |h| , melhor ´ a aproxima¸˜o. e ca
    • Aplica¸˜es da Derivada co 139 e a ˆ 2) Se f : I → IR ´ n−vezes deriv´vel em um ponto a ∈ I , definimos o POLINOMIO DE ¸˜TAYLOR DE GRAU n DA FUNCAO f NO PONTO a: Pn,f (a) (h) = a0 + a1 · h + a2 · h2 + . . . + an · hn f (a) f (n) (a)sendo a0 = f (a) , a1 = f (a) , a2 = , . . . , an = , ou seja, 2! n! f (i) (a) ai = i = 1, 2, . . . , n i! Neste caso temos: f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h) Exemplos: (A) f (x) = ex , a = 0 , n = 5 . (B) g(x) = sen x , a = 0 , n = 7 . (C) h(x) = cos x , a = 0 , n = 10 (Exerc´ ıcio)
    • 140 CAP´ ITULO 5 Buscando estimativas: A F´rmula de Taylor: oTeorema 5.8. (F´rmula de Taylor) o Se uma fun¸˜o f ´ n + 1 vezes deriv´vel em um intervalo aberto I contendo x = a ent˜o, ca e a ase a + h ∈ I, temos: f (a) 2 f (n) (a) n f (n+1) (z) n+1 f (a + h) = f (a) + f (a) · h + · h + ... + ·h + ·h 2! n! (n + 1)!com z = z(n, h) entre a e a + h. • Continuamos tendo f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h) quando h est´ pr´ximo de 0. a o f (n+1) (z) n+1 • Rn (h) = ·h ´ o erro cometido na aproxima¸˜o f (a + h) ≈ Pn,f (a) (h) e ca (n + 1)!(quanto menor |h|, menor o erro). • A F´rmula de Taylor nos permite, al´m de aproximar f (a + h) por Pn,f (a) (h) , tentar o eobter estimativas para o erro cometido. (Exemplo)
    • Aplica¸˜es da Derivada co 141 Indo um pouco mais al´m: A S´rie de Taylor: e e Uma fun¸˜o f : I (intervalo aberto) → IR ´ chamada ANAL´ ca e ITICA quando para cada a ∈ Iadmite o desenvolvimento em S´rie de Taylor numa vizinhan¸a em torno de a: e c f (a) 2 f (a) 3 f (a + h) = f (a) + f (a) · h + ·h + · h + ... 2! 3! Quando a + h est´ pr´ximo de a (o quanto, depende de f e sua S´rie) a soma ` direita, a o e a ´chamada a SERIE DE TAYLOR DE f EM TORNO DE a converge para o valor (exato de)f (a + h), ou seja, se aproxima tanto quanto desejarmos de f (a + h). Obs.: 1) Uma fun¸˜o anal´ ca ıtica pode ser derivada tantas vezes quanto desejarmos. 2) As fun¸˜es cl´ssicas p(x) = a0 +a1 x+. . .+an xn , ex , sen x, cos x, ln x s˜o todas anal´ co a a ıticas. Exemplos: (A) f : IR → IR dada por f (x) = ex em torno de a = 0 . (B) g : IR → IR dada por g(x) = sen x em torno de a = 0 . Exerc´ ıcio: Obtenha a S´rie de Taylor de f (x) = ln x em torno do ponto a = 1 . e
    • 142 CAP´ ITULO 5Respostas de exerc´ ıcios • Exerc´ ıcios das p´ginas 97 e 98: a √ √ 1) a) Express˜o ≈ 3, 12 b) 3 65 ≈ 4 + 1/48 = 193/48 a c) 37 ≈ 6 + 1/12 = 73/12 √ 1 2 √ 3 1122d) 3 0, 00098 ≈ − e) 0, 042 ≈ 0, 205 f) Express˜o ≈ 9− a = = 8, 976 10 3 · 103 125 125 1 65g) √ 4 ≈ 15 128 π 8π 2) ln(2, 01) ≈ 0, 6981 3) ctg 46◦ ≈ 1 − 4) S(2, 02) − S(2) ≈ p´s2 e 90 25 1 9π 4π 5) ∆θ ≈ ± rad 6) ∆V ≈ ± cm3 7) ∆l ≈ 0, 6 cm 8) ∆h ≈ ± pols 164 50 3 9) ≈ R$19,20 10) Erro ±2% em d ⇒ Erro no c´lculo de R ≈ a 4% √ 25 11) (a) h(θ) = 17 · sen θ km (b) h(π/3) ≈ = 3, 571... km 7 √ 17 1 (c) h(θ + ∆θ) − h(θ) ≈ ± km (com θ = π/3 , ∆θ = ± ) 200 100 12) (a) S(r + ∆r) − S(r) ≈ S (r) · ∆r = 1/5 cm2 (b) ∆r = 0, 5 cm. 13) Aceito a oferta, pois 3 cm a mais no diˆmetro gera um aumento aproximado de 12% ana ´rea da pizza. d = 60 cm para que a oferta seja justa para ambos. a 14) ∆l ≈ ± π/90 m. 15) 10% (aumento percentual aproximado no volume) • Exerc´ ıcios das p´ginas 105 e 106: a ∆V 728π 1) =− p´s3 /hora ; e V (3) = −72π p´s3 /hora. e ∆t 3 ∆P 2) = 11 bpm/s ; P (2) = 7 bpm/s ; P (3) = 11 bpm/s ; P (4) = 15 bpm/s. ∆t 9 ◦ ◦ 3) I (20) = −0, 12 u.i./p´ e 4) F (C) = F/ C 5 5) V (s) = 4s3 − 200s2 + 2400s ; V (s) = 12s2 − 400s + 2400 ; V (5) = 700 cm3 /cm ⇒ ´ conveniente aumentar s quando s = 5; e 3 V (10) = −400 cm /cm ⇒ n˜o ´ conveniente aumentar s quando s = 10. a e
    • Aplica¸˜es da Derivada co 143 6) (a) s(0) = 1 ; v(t) = s (t) = 6t − 12 ⇒ v(0) = −12 ; a(t) = v (t) = 6 ;v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = −11 ; v(5) = 18 ; s(5) = 16 . (b) s(1) = s(4) = 5 ; v(t) = 1 − 4/t2 ; v(1) = −3 ; v(4) = 3/4 ; a(t) = 8/t3 ;v(t) = 0 ⇒ t = 2 ⇒ s(2) = 4 . (c) s(−2) = 20 ; s(3) = 15 ; v(t) = 6 − 3t2 ; v(−2) = −6 ; v(3) = −21 ; a(t) = −6t ; √ √ √v(t) = 0 ⇒ t = ± 2 ⇒ s(− 2) ≈ 18, 3 , s( 2) ≈ 29, 7 . (d) s(0) = 0 ; s(2) ≈ o, 33 ; v(t) = e−3t > 0 ; v(0) = 1 ; v(2) ≈ 0, 0025 ; a(t) = −3e−3t . (e) s(0) = s(2) = 3 ; v(t) = −3π sen (πt) ; v(0) = v(2) = 0 ; a(t) = −3π 2 cos(πt) ;v(1) = 0 ; s(1) = −3 . 4 (f) s(0) = 0 ; s(4) ≈ 9, 5 ; v(t) = 2t − ; v(0) = −4 ; v(4) = 7, 2 ; t+1 4a(t) = 2 + ; v(t) = 0 ⇒ t = 1 ⇒ s(1) = 1 − 4 ln 2 . (t + 1)2 7) v(0) = 144 p´s/s ; a(0) = −32 (p´s/s)/s ; v(3) = 48 p´s/s ; a(3) = −32 (p´s/s)/s ; e e e eEm t = 3s, o objeto est´ a 288 p´s de altura, subindo e perdendo velocidade ; a eAltura m´xima: 324 p´s (em t = 9/2s) ; Atinge o solo em t = 9 segundos. a e 1 1 3 1 8) (a) vm [0, 2] = ln 3 − m/s (b) v(0) = m/s ; v(2) = m/s 2 2 4 12 3 1 (c) v = 0 em t = 3 s : s(3) = ln 4 − m e a(3) = − (m/s)/s 4 16 10 ln 7 20 − 20 ln 7 9) (a) vm [0, 3] = m/s (b) v(0) = 20 m/s ; v(3) = m/s 21 49 e−1 (c) v = 0 em t = s (d) s(0) = 0 m , v(0) = 20 m/s (inicialmente) ; 2 e−1 10s = m (objeto parado) ; lim s(t) = 0 (se aproxima da posi¸˜o 0 qdo t → +∞). ca 2 e t→+∞ 4 2 10) (a) vm [0, 2] = 2 m/s, v(1) = m/s e v(1) > vm [0, 2] . (b) lim s(t) = 0 . e e t→+∞ 8(c) A maior distˆncia ´ atingida em t = 2 (justifique) e s(2) = 2 m. a e e e3 − 1 e3 − 1 4e3 − 1 11) (a) vm [0, ] = 3 m/s (b) v(0) = 0 m/s ; v( )= m/s 2 2 e3 (c) a(0) = 4 (m/s)/s. (d) lim v(t) = +∞ e lim a(t) = 0 . t→+∞ t→+∞
    • 144 CAP´ ITULO 5 e4 − 1 2 12) (a) vm [0, 2] = 4 m/s e v(1) = m/s. vm [0, 2] < v(1) . 2e e (b) lim v(t) = 0 . (c) lim s(t) = 3 . A maior distˆncia do objeto ` posi¸˜o inicial a a ca t→+∞ t→+∞ ˜ ´NAO E ATINGIDA em momento algum, pois s(t) < 3 ∀ t e lim s(t) = 3 . t→+∞ • Exerc´ ıcios das p´ginas 109, 110 e 111: a 9 1) m/s 2) 14 m/s 3) 600π pol3 /min 5 5 2 4) Extremidade: m/s ; Alonga: m/s (menor). Outros inst.: mantˆm velocidades e 3 3 3 11 5) 5 pol3 /min 6) u/s 7) Ω/s 2e 1600 √ 21π 2+ 6 8) cm3 /min 9) m/s 160 4 √ 1000π π 3 5 10) − p´s/s e 11) pol2 /min 12) 100 rad/hora = rpm 27 10 6π 13) -1 rad/s 14) 3 rad/s 1 15) ≈ 0, 778 rad/s 16) cm/min , 6cm3 /min (escoando) 2π 17) x(t) = dist. da base da escada ` parede ; y(t) = dist. do topo at´ o ch˜o a e a x 3 (a) y = (b) quando x = 3 m : y = m/s (c) quando θ = π/4 rad : y = 1 m/s y 4 18) x(t) = dist. do carro a (perp. ∩ estrada) ; θ(t) = ˆngulo feixe-perpendicular a 45π sec2 θ Quando θ = π/3 rad : x = 90π km/h ; x n˜o ´ constante a e x = 2 19) A velocidade de varia¸˜o do ˆngulo n˜o ´ constante (depende de θ ) e temos ca a a e √ 3θ =− rad/s quando x = 2 m. 3 20) (a) d = 25 km/h ao meio-dia. (b) S = 1200 km2 /h ao meio-dia. 1 √ 21) θ = rad/s quando x = 3 m. 4
    • Aplica¸˜es da Derivada co 145 • Exerc´ ıcios das p´ginas 122 e 123: a √ 3 1) Aberta: b = 2 p´s, a = 1 p´; Coberta: b = a = e e 4 p´s e √ 4a 2a 2 2) h = , r= 3 3 ˆ ˆ 3) Angulo reto: d = 3 pols ; Angulo 2π/3 : d = 4 pols 4) a = b = 50 cm 5) P (1, 1) 6) 500 unidades 7) t = 18/13 horas ap´s 13:00 o 8) a 8 km de B, entre B e C 9) h = r = 4 cm 10) a 1,25m do solo 1 11) a √ milhas de B, entre B e C 12) 37 ´rvores por are a 15 13) M´xima em: s(π/2) e s(3π/2) ; M´ a ınima em: s(0) e s(π) 6 − r2 14) h = (rela¸˜o entre h e r nos cilindros de ´rea total 12π cm2 ) ca a r √ √ ⇒ V = V (r) = π(6r − r3 ) , 0 < r < 6 ⇒ Ponto cr´ ıtico: r = 2 . Analisando o crescimento/decresc. do volume, temos que o volume ´ m´ximo quando e a √ √ √ √r = 2 e h = 2 2 e temos V ( 2 ) = 4π 2 cm2 . e ´ 15) R ´ MAXIMA quando R1 = 25 ohms e R2 = 25 ohms. R NAO ASSUME M´ ˜ INIMO. 4 16) (a) A ´rea total cercada ´ a menor poss´ quando y = a e ıvel ´ o per´ e ımetro da ´rea a 4+π πquadrada e x = ´ o per´ e ımetro da ´rea circular. a 4+π (b) A ´rea total cercada ´ a maior poss´ quando toda a cerca ´ utilizada para cercar a e ıvel euma unica ´rea circular. ´ a √ √ 3 6 17) h = m e r= m para que o volume do cilindro seja m´ximo. a 2 2
    • 146 CAP´ ITULO 5
    • Referˆncias e [1] Flemming, Diva M. e Goncalves, Mirian B., C´lculo A. Prentice Hall Brasil. (*) ¸ a [2] Swokowski, Earl W., C´lculo com geometria anal´ a ıtica, vol. 1. Makron Books. [3] Leithold, Louis, C´lculo com geometria anal´ a ıtica. Makron Books. [4] Simmons, George F., C´lculo com geometria anal´ a ıtica. Makron Books. [5] Stewart, J., C´lculo, vol. 1. Thomson Learning. a [6] Munem, Mustafa e Foulis, David J., C´lculo. Editora Guanabara Dois. a [7] Guidorizzi, Hamilton Luiz, Um curso de c´lculo, vol. 1. Editora LTC. a [8] Anton, H., C´lculo, um novo horizonte, vol. 1. Bookman. a(*) Principal referˆncia e 147