Les algorithmes d’approximation

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  • 1. Les algorithmes d’approximation
    Elaboré Par:
    Ismail Wael
    Cours pour 3SI
  • 2. Introduction
    En générale les fonctions mathématiques donne un résultat exacte.
    Exemple:
    f(x)=2x-2
    Pour f(x)=0 x=1
    Dans certains cas la valeur de x est impossible (ou presque) à déterminer.
    Exemple:
    f(x)=x3+x2+1
    Ci-dessous la courbe de la fonction f(x).
    X=1 donc la valeur de x pour la quelle f(x) s’annule est connue et est déterminé
    2
  • 3. Introduction
    f(x)= x3+x2+1
    x
    Valeur de x pour
    La quelle f(x)=0
    La valeur est illisible sur le repère,
    Elle est aussi indéterminée
    Mathématiquement.
    La solution est de dégager une valeur
    Approchée de x ou approximative.
    3
  • 4. Les problèmes d’optimisation
    Le plus court chemin:
    Une personne veut se déplacer du point A vers la point B sachant que le déplacement à la nage se fait à la vitesse de 3 m/s tandis que la marche se fait à la vitesse de 5 m/s.
    Quel chemin cette personne doit elle parcourir pour pouvoir arriver en un minimum de temps?
    36m
    B
    rivière
    12m
    A
    4
  • 5. Considérons le problème comme suit:
    De A à D est la distance nagé et de D à B est le chemin parcouru au sol, il reste à savoir la distance CD donc (x)
    Calculer la distance AD en fonction de x:
    AD2=AC2+X2
    AD=
    D= Ds+De avec Dsdistance au sol et De  distance dans l’eau
    36m
    D
    C
    x
    B
    12m
    A
    5
  • 6. Les problèmes d’optimisation
    36m
    D
    C
    x
    B
    12m
    A
    De= AD=
    Ds=36-x
    D= +36-x
    V=D/T
    T=D/V
    T=
    6
  • 7. Les problèmes d’optimisation
    f(x)
    f(x) optimale
    7
  • 8. Algorithme de la fonction valeur_opt
    0)fonction valeur_opt(pas:réel):réel
    1)t0
    2)x5
    3)xmin0
    4)tmin
    5)Répeter
    t
    xx+pas
    si (tmin>t)alors
    tmint
    xminx
    finsi
    Jusqu’à (x>10)
    6)valeur_optxmin
    7)Fin valeur_opt
    8
  • 9. Application
    Une compagnie loue, à des groupes de 15 personnes ou plus, des bus d'excursion dont la capacité est de 80 personnes. Si un groupe compte exactement 15 personnes, chacune d'elles doit payer 90 dinars. Pour les groupes plus nombreux, le tarif par personne est réduit de n dinars lorsque n personnes s'ajoutent aux premières.
    On se propose de déterminer l'effectif d'un groupe pour que la location d'un bus rapporte un revenu maximal.
    En déduire le réel x0 de l'intervalle [0..65] en le quel la fonction f atteint son maximum local.
    9
  • 10. Réponse
    le bus contient au maximum 80 personnes
    Chaque personne supérieur au groupe de 15 entraine une réduction de 1 D par personne.
    Si le groupe est constitué de 20 personne:
    Montant_loc=20*85=1700 D
    20=15+5 85=90-5
    L’inconnu est le nombre de personne à rajouter au groupe (x) pour avoir un montant de location maximal:
    En fonction de x la formule devient:
    Monatant_max=(15+x)*(90-x)
    10
  • 11. Montant de la location(f(x))
    Nombre de personne (x)
    11
  • 12. Les algorithmes d’approximation
    A
    C
    B
    Diviser l’espace en surfaces Calculables.
    La surface totale hachurée (ST) est la somme des surfaces A,B et C.
    ST=A+B+C
    On sait que ST=25 alors
    25=A+B+C A+B+C-25=0
    12
  • 13. Les algorithmes d’approximation
    A=((2.5)2 *3,14)/2=9.812
    B=25-5x
    C=((5-2x)/2)2 *3,14)/2 =9.812-1.57x2
    A+B+C-25=0
    9.812+25-5x+ 9.812-1.57x2 -25=0
    -1.57x2 -5x+19.624=0
    13
  • 14. Algorithmes d’approximation
    14
  • 15. algorithmes d’approximation
    On veut écrire un programme qui permet de chercher et d'afficher le zéro de cette fonction (f(x) = 0) avec une précision epsilon donnée.
    On utilise la méthode de recherche par dichotomie:
    • On divise l'intervalle [a, b] par 2
    • Soit m le milieu de cet intervalle. Si f(m) et f(a) sont de même signe, le zéro recherché est
    dans [m, b], sinon il est dans [a, m].
    • Répéter les étapes précédentes jusqu'à (b-a) devient inférieure ou égale à epsilon, dans ce cas, la valeur de m correspond à la valeur approchée de la solution de l'équation f(x)=0.
    15
  • 16. principe
    f(x) = -1.57x2 -5x+19.624, avec x ∈[0,5/2]
    On a f(0) = 19.624, f(5/2) = -2.6885
    d’où :
    f(a).f(b) = f(0).f(5/2) <0
    Donc on peut appliquer la méthode dichotomique sur [0,5/2]
    Pour ce la :
    • Diviser [0,2.5] par 2 m = (0+2.5)/2 = 1.25
    • f(1.25) = 11.412
    • f(m).f(0) = 11.412* 19,624 >0 (sont de même signe)
    Le zéro est dans [m, b]= [1.25, 2.5]

    16
  • 17. ANALYSE
    Résultat = Afficher le zéro de f
    Données = a, b, eps
    Traitement =
    Saisie (a,b,eps)
    Écrire ("Le zéro de f est = ", zéro (a, b, eps))
    Analyse de la fonction zéro
    Résultat = m
    Traitement =
    Zéro m
    m  (a+b)/2
    Tant Que (b-a) >eps et f(m) <>0 Faire
    Si f(a)*f(m)>0 Alors
    a  m
    Sinon b  m
    Fin Si
    m(a+b)/2
    Fin Tant Que
    17
  • 18. Algorithme de la fonction zéro
    0) Fonction zéro (a, b, eps : réel) : réel
    1) m  (a+b)/2
    2) Tant Que (b-a) >eps et f(m) <>0 Faire
    Si f(a)*f(m)>0 Alors
    a  m
    Sinon b m, Fin Si
    m(a+b)/2
    Fin Tant Que
    3) Zérom
    4) Fin zéro
    18
  • 19. Algorithme de la fonction f
    0) Fonction f (x : réel) : réel
    1) f  -1.57x2 -5x+19.624
    2) Fin f
    En pascal
    19