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L2006

  1. 1. Exercices pour la sp´cialit´ math´matiques de la s´rie L e e e eLa publication d’une « banque d’exercices pouvant servir d’exemples pour la confection de sujetsde baccalaur´at pour la sp´cialit´ math´matiques de la s´rie L », s’inscrit dans l’´volution des e e e e e eprogrammes de cette s´rie et prend en compte la nouvelle d´finition de l’´preuve, appliqu´e depuis e e e e ◦ ◦la session 2005 (note de service n 2004-121 du 15-07-2004, parue au B.O. n 30 du 29 juillet2004). Les nouveaux programmes, mis en place en premi`re ` la rentr´e 2005 et en terminale ` la e a e arentr´e 2006, sont caract´ris´s par une place importante accord´e ` l’arithm´tique, la confirmation e e e e a ed’un programme de g´om´trie dans l’espace (perspective parall`le et perspective centrale), le e e ed´veloppement de comp´tences transversales autour de la logique et de l’algorithmique. Dans e ela continuit´ de l’enseignement de math´matiques et informatique de premi`re L, l’usage d’un e e etableur-grapheur est pr´conis´ tout au long du programme. e eIl a sembl´ n´cessaire de pr´parer les enseignants et les ´l`ves ` l’´volution des sujets cons´cutive ` e e e ee a e e aces modifications. Le groupe des math´matiques de l’inspection g´n´rale de l’´ducation nationale e e e ea donc demand´ ` des professeurs de toutes les acad´mies, qui ont travaill´ en ´troite collabora- ea e e etion avec les IA-IPR de math´matiques, de proposer des exemples. De leur travail sont issus les eexercices propos´s ici : que tous ceux qui ont collabor´ ` cette entreprise en soient remerci´s ! e ea eTout d’abord une remarque de bon sens : pour une part importante, les exercices pos´s au bacca- elaur´at les ann´es pr´c´dentes ou dans d’autres s´ries sont compatibles avec la nouvelle d´finition e e e e e ed’´preuve (notation de 3 ` 10 points) et ont un contenu conforme aux nouveaux programmes. e aCes exercices « classiques » figurent dans des annales et constituent naturellement des exemplespour la confection des sujets. Ils n’apparaissent donc qu’en nombre restreint dans la pr´sente liste eo` nous avons souhait´ pr´senter plutˆt des exercices novateurs soit par la forme (r´f´rence ` un u e e o ee amod`le, questionnaire ` choix multiple, valorisation du graphique, . . .), soit par le fond (en raison e ades nouveaux programmes).Les ´nonc´s figurant dans cette « banque d’exercices » ont ´t´ ´labor´s avec soin. N´anmoins, ils e e eee e en’ont pas suivi la proc´dure habituelle des sujets de baccalaur´at (essais, validation en commission e ede choix de sujets, signature par un universitaire et par un inspecteur g´n´ral sous la responsabilit´ e e ed’un recteur) : ils n’ont donc pas toujours la forme des ´nonc´s entrant dans la composition d’un e esujet de baccalaur´at. Nous avons inclu dans la liste quelques exercices « ´toil´s » destin´s a servir e e e e `d’exemples dans un processus de formation (travail dirig´ en classe, devoir ` la maison). Ils ne e acorrespondent pas aux objectifs fix´s pour une ´valuation au baccalaur´at. e e e Le groupe des mathmatiques de elinspection gnrale de lducation nationale e e e
  2. 2. page 2 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 1Pour chacune des cinq propositions suivantes, dire, en justifiant la r´ponse, si elle est vraie ou si eelle est fausse. 1. Pour tous entiers a et r, si a ≡ r (mod 5) alors a + 10 ≡ r (mod 5) . 2. Pour tous entiers a et r, si a ≡ r (mod 5) alors 2 × a ≡ 2 × r (mod 5) . 3. Pour tout entier n, le produit n × (n + 1) est pair. 4. Il existe un entier pair multiple ` la fois de 3, 17 et 23. a 5. Il existe un entier impair multiple ` la fois de 3, 4 et 5. a Exercice n◦ 2Toutes les publications en s´rie, comme les journaux et les p´riodiques, sont identifi´s par un e e enum´ro ISSN (International Standard Serial Number). En France, ce num´ro est attribu´ par le e e eCentre national d’enregistrement des publications en s´rie. eL’ISSN comporte huit caract`res r´partis en deux groupes de quatre, ces groupes ´tant s´par´s e e e e epar un tiret.Par exemple, ISSN 0999 − 2138 est associ´ au titre « Ouest-France Rennes ». eLes sept premiers caract`res sont des chiffres qui caract´risent la publication. Le dernier caract`re, e e e esitu´ en 8 position, sert de cl´ de contrˆle et est pris dans la liste 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, X e e o(qui repr´sente le nombre 10). ePour d´terminer la cl´ d’un num´ro ISSN dont les sept premiers chiffres sont a b c d e f g, on e e ecalcule le nombre N = 8a + 7b + 6c + 5d + 4e + 3f + 2g, puis on d´termine le reste r de la division eeuclidienne de N par 11.La cl´ de contrˆle est alors d´termin´e ` partir de r ` l’aide du tableau de correspondance suivant : e o e e a a r 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 cl´ e 0 X 9 8 7 6 5 4 3 2 1Refaisons le calcul de la cl´ de contrˆle pour Ouest-France Rennes. e oDans ce cas, N = 8 × 0 + 7 × 9 + 6 × 9 + 5 × 9 + 4 × 2 + 3 × 1 + 2 × 3 = 179. Or 179 = 11 × 16 + 3.D’o` : r = 3. La cl´ vaut donc 8 et le dernier caract`re est bien le chiffre 8. u e e 1. Combien peut-on r´f´rencer de journaux ou p´riodiques avec ce syst`me ? ee e e 2. (a) Compl´ter par sa cl´ de contrˆle, repr´sent´e par e e o e e , le num´ro ISSN 1032 − 105 . e (b) V´rifier que le num´ro ISSN 0385 − 210 e e a la mˆme cl´ que le pr´c´dent. e e e e 30 mars 2006
  3. 3. Exercices pour la s´rie L e page 3 3. Le troisi`me chiffre du num´ro ISSN d’un journal est illisible. On le note c. Le num´ro se e e e pr´sente sous la forme ISSN 24c6 − 3014. e (a) Montrer que : 88 + 6c ≡ 7 (mod 11) . (b) Quel est le chiffre manquant c ? 4. Une erreur fr´quente lorsqu’on saisit les sept premiers chiffres d’un num´ro ISSN est de e e permuter deux chiffres qui se suivent. Si on tape a c b d−ef g au lieu de a b c d−ef g, l’erreur est-elle d´tect´e par la cl´ de contrˆle ? e e e o Exercice n◦ 3Soit N un entier naturel non nul.On consid`re l’algorithme suivant : e1. Initialiser en donnant ` A et ` I la valeur de N . a a2. Tant que I 2, r´it´rer la proc´dure suivante e e e Donner ` I la valeur I − 1 a Donner ` A la valeur A × I a3. Donner ` A la valeur A − 1. a4. Afficher A. 1. Pour tout entier naturel N on note AN le nombre affich´ ` l’´tape 4 de cet algorithme. ea e (a) Calculer A1 , A2 , A3 et A4 . (b) V´rifier que A5 = 119. e (c) Calculer A10 . 2. Pour chacune des propositions suivantes, dire si elle est vraie ou fausse en justifiant la r´ponse donn´e : e e (a) « AN est un nombre premier pour certaines valeurs de N . » (b) « AN est un nombre premier pour n’importe quelle valeur de N . » (c) « Quel que soit l’entier naturel non nul N , si N est premier, alors AN est premier. » (d) « Il existe AN premier tel que N n’est pas premier. » ´ 3. Etudier la parit´ des nombres AN . e 30 mars 2006
  4. 4. page 4 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 4Le code ISBN (International Standard Book Number, Num´ro international normalis´ du livre) e epermet d’identifier chaque livre de mani`re unique dans le monde entier. Il sert notamment ede num´ro de r´f´rence dans des bases de donn´es informatiques (biblioth`ques, ´diteurs). Il e ee e e ecomprend dix chiffres r´partis en quatre groupes s´par´s par des tirets. e e eExemples : ISBN 2 − 266 − 02612 − 7 ISBN 2 − 86623 − 490 − 1Le premier groupe correspond au pays de l’´diteur (2 pour la France), le deuxi`me groupe est e ele num´ro de l’´diteur, le troisi`me celui du livre, enfin le dernier chiffre est une cl´ qui sert ` e e e e av´rifier qu’on n’a pas effectu´ d’erreur de saisie en rentrant le code dans un ordinateur. Cette cl´ e e eest calcul´e de la mani`re suivante : e e`A partir des neuf premiers chiffres a1 , a2 , a3 ,. . . a9 (sans tenir compte des tirets), on calcule lasomme : S = a1 + 2 × a2 + 3 × a3 + 4 × a4 + 5 × a5 + 6 × a6 + 7 × a7 + 8 × a8 + 9 × a9 , puis oncalcule le reste de la division euclidienne de S par 11. Ce reste est la cl´. eIl s’agit d’un entier compris entre 0 et 10 inclus ; s’il vaut 10 on l’´crit alors avec le chiffre romain eX.Exemple : un livre am´ricain est cod´ par les chiffres 0 − 19 − 857505 − •. La somme S vaut dans e ece cas 208 ; or 208 = 11 × 18 + 10. Le reste est ´gal ` 10, donc la cl´ sera X. On obtient alors le e a ecode : ISBN 0 − 19 − 857505 − X. 1. Compl´ter les codes suivants par leur cl´ : e e ISBN 0 − 7136 − 6020 − • ISBN 2 − 7427 − 0008 − • ISBN 0 − 691 − 05729 − • 2. Un biblioth´caire saisit le code ISBN 2 − 70 − 031999 − 7. Le logiciel lui indique alors qu’il e a commis une erreur. (a) Comment le logiciel a-t-il d´tect´ l’erreur ? e e (b) Le biblioth´caire s’aper¸oit alors qu’il a interverti les deux chiffres du num´ro de e c e l’´diteur ; il saisit donc le code ISBN 2 − 07 − 031999 − 7. Ce code est-il coh´rent avec e e la cl´ de contrˆle ? e o 3. Le biblioth´caire re¸oit un nouveau message d’erreur en rentrant le code ISBN 2 − 85368 − e c 313 − 2. Corriger son erreur, sachant qu’elle porte seulement sur le chiffre de gauche. 4. D´crire en langage naturel l’algorithme (le programme) qui permet de d´tecter les ´ventuelles e e e erreurs de saisie grˆce ` la cl´ de contrˆle. a a e o 5. Les propositions suivantes sont-elles justes ou bien fausses ? (justifier rapidement) : (a) « Si la somme S est un multiple de 11, alors la cl´ est 0. » e (b) « Si la somme S est un multiple de 10, alors la cl´ est X. » e (c) « Toutes les erreurs de saisie sont d´tectables. » e (d) « Si deux codes poss`dent la mˆme cl´, alors les sommes S correspondantes sont e e e congrues modulo 11. » 30 mars 2006
  5. 5. Exercices pour la s´rie L e page 5 ´ 6. Ecrire la r´ciproque de la derni`re proposition puis pr´ciser si cette derni`re est juste ou e e e e fausse. 7. On voudrait savoir si intervertir deux chiffres entraˆ toujours une modification de la cl´, ıne e ce qui permet de d´celer l’erreur. e On suppose par exemple qu’au lieu de saisir les neuf chiffres d’un code ISBN a1 a2 a3 a4 a5 a6 a7 a8 a9 , le biblioth´caire saisisse a1 a3 a2 a4 a5 a6 a7 a8 a9 . On consid`re les sommes S et S correspondant e e respectivement au code exact et au code erron´. e (a) Calculer S − S en fonction des chiffres a2 et a3 . (b) Quelles sont les valeurs possibles pour S − S ? (c) Est-ce que S et S peuvent ˆtre congrues modulo 11 ? e (d) Que peut-on en conclure ? Exercice n◦ 5On dit qu’un nombre est un palindrome dans un syst`me de num´ration s’il peut ˆtre lu de gauche e e ea` droite ou de droite ` gauche en gardant la mˆme valeur. Par exemple, 34543 est un palindrome a edans le syst`me de num´ration d´cimale. e e e 1. Le nombre 3773 est un palindrome. Quelle est son ´criture en base cinq ? Est-ce un palin- e drome en base cinq ? 2. (a) Le nombre (2002)cinq est un palindrome en base cinq. Est-ce un palindrome dans le syst`me de num´ration d´cimale ? e e e (b) Tous les nombres de quatre chiffres qui sont des palindromes en base cinq sont-ils des palindromes dans le syst`me de num´ration d´cimale ? e e e 3. On consid`re un nombre de quatre chiffres qui est un palindrome dans le syst`me de e e e e ´ num´ration d´cimale. Il s’´crit abba. Etudier la divisibilit´ par 11 de ce nombre. e e Exercice n◦ 6 1. On consid`re l’algorithme n◦ 1 suivant : e Entr´e e : n un entier naturel Initialisation : donner ` u la valeur initiale n a Traitement : | Tant que u 11 affecter ` u la valeur u − 11 a Sortie : afficher u (a) Faire fonctionner cet algorithme pour n = 35 puis pour n = 55. (b) Soit un entier naturel n quelconque. En imaginant que l’on fasse fonctionner cet al- gorithme avec n, quel lien existe-t-il entre n et le nombre entier naturel u obtenu en sortie ? 30 mars 2006
  6. 6. page 6 Exercices pour la s´rie L e 2. On consid`re l’algorithme n◦ 2 suivant : e Entr´e e : a un ´l´ment de {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e e b un ´l´ment de {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} e e Traitement : affecter ` u la valeur a + 10b a affecter ` v la valeur b + 10a a affecter ` m la valeur v + 100u a Sortie : afficher m (a) Faire fonctionner cet algorithme pour a = 1 et b = 2, a = 2 et b = 1 . ´ (b) Ecrire en base 10 le nombre m donn´ en sortie par cet algorithme pour deux nombres e a et b quelconques mis en entr´e dans cet ordre. e ` 3. A partir de deux nombres a et b quelconques, ´l´ments de l’ensemble {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}, ee l’algorithme n◦ 2 donne en sortie un nombre m. On donne ce nombre m comme entr´e ` e a ◦ l’algorithme n 1. En ´crivant m en fonction de a et de b, expliquer pourquoi on obtient e toujours 0 comme r´sultat. e Exercice n◦ 7On consid`re l’algorithme suivant : e Entr´e e : X entier naturel, Y entier naturel non nul tel que X Y , n entier naturel Initialisation : L liste vide ; Donner ` x et ` r la valeur de X, donner ` y la valeur de Y ; a a a Traitement : Pour i=1 jusqu’` n a Donner ` x la valeur de 10 × r a Calculer le quotient entier de x par y et l’affecter ` q a Calculer le reste de la division euclidienne de x par y et l’affecter ` r a Ajouter le contenu de q ` la liste L a Sortie : Afficher L 1. (a) Qu’obtient-on dans la liste L lorsque l’on fait fonctionner cet algorithme avec en entr´es e X = 2, Y = 11 et n = 6 ? X (b) Interpr´ter le contenu de la liste L relativement au quotient · e Y 2. On s’int´resse dans cette question au cas o` X = 5 et Y = 14. e u On souhaite programmer cet algorithme avec un tableur afin d’obtenir des r´sultats ana- e logues aux suivants : 30 mars 2006
  7. 7. Exercices pour la s´rie L e page 7 A B C D E 1 2 n x y q r 3 5 14 5 4 1 50 14 3 8 5 2 80 14 5 10 6 3 100 14 7 2 7 4 20 14 1 6 8 5 60 14 4 4 9 6 40 14 2 12 10 7 120 14 8 8 11 8 80 14 5 10 12 9 100 14 7 2 13 10 20 14 1 6 14 11 60 14 4 4 15 12 40 14 2 12 La valeur de X a ´t´ saisie en cellule B3 et celle de Y en cellule C3. ee (a) Dans quelle plage de cellules retrouve-t-on le contenu de la liste L ? (b) Quelles formules saisir en cellule D3 et E3 si l’on souhaite pouvoir les recopier respec- tivement dans les plages de cellules « D4:D15 » et « E4:E15 » ? (c) Quelle formule saisir en cellule B4 ? (d) Si l’on recopie dans la plage de cellules « A16:E16 » les formules saisies dans la plage de cellules « A15:E15 », quels contenus va-t-on obtenir ? ` (e) A quelle valeur de n suffit-il de s’arrˆter pour ˆtre en mesure de pr´voir la suite de e e e tous les contenus des colonnes B, D et E ? Pourquoi ? 3. On a programm´ sur tableur l’algorithme donn´ en d´but d’exercice et obtenu le r´sultat e e e e suivant. Malheureusement lors de la capture d’´cran les contenus de certaines cellules ont e ´t´ effac´s. Il manque en particulier des valeurs de X et Y . ee e A B C D E 1 2 n x y q r 3 5 23 4 1 230 2 32 5 2 320 3 23 6 3 230 2 32 7 4 320 3 23 X (a) Quelle ´criture d´cimale illimit´e du quotient e e e peut-on donner grˆce aux informations a Y donn´es par cette capture ? e (b) Retrouver X et Y . 30 mars 2006
  8. 8. page 8 Exercices pour la s´rie L eRemarque Les fonctions utilis´es peuvent ˆtre : e e– la fonction partie enti`re not´e ENT qui, ` tout nombre r´el x associe l’unique entier relatif n e e a e tel que n x n + 1 ;– la fonction MOD : MOD(nombre, diviseur) qui donne le reste de la division euclidienne du nombre par le diviseur. Exercice n◦ 8 1. D´composer 105840 en un produit de facteurs premiers. e 2. Quel est le plus petit entier naturel non nul k dont le produit par 105840 est le cube d’un entier naturel n ? Pr´ciser la valeur de n. e Exercice n◦ 9 L’ˆge du capitaine aLe capitaine a fait naufrage. Tout ce que l’on a retrouv´ sur lui est sa carte de s´curit´ sociale. e e eOn parvient ` d´chiffrer son num´ro INSEE, sauf le deuxi`me chiffre a et le troisi`me chiffre b a e e e equi sont illisibles : 1 a b 12 71 153 044 Cl´ 67 eLes deux chiffres a et b qui manquent sont, dans cet ordre, les deux derniers chiffres de l’ann´e ede naissance du capitaine. On se propose d’utiliser la cl´ du num´ro INSEE pour retrouver cette e eann´e de naissance. e 1. (a) La cl´ K d’un num´ro INSEE est calcul´e de la mani`re suivante : K = 97 − R o` R e e e e u est le reste de la division euclidienne par 97 de l’entier N constitu´ par les 13 premiers e chiffres du num´ro INSEE. e D´montrer que la cl´ K d’un num´ro INSEE est telle que N + K est divisible par 97. e e e (b) D´duire de la question (a) que, pour le num´ro INSEE du capitaine, on a : N ≡ 30 e e (mod 97) . 2. On ´crit 1ab1271153044 = 1ab × 1010 + A , o` A = 1271153044. e u (a) Calculer le reste de la division euclidienne de A par 97. (b) Justifier la congruence suivante : 102 ≡ 3 (mod 97) . (c) En d´duire que l’on a : 1010 ≡ 49 (mod 97) . e 3. (a) D´duire des r´sultats ´tablis aux questions 1. et 2. que l’on a : 1ab×49 ≡ 73 (mod 97). e e e (b) V´rifier que l’on a : 49 × 2 ≡ 1 (mod 97) . e (c) D´terminer l’ann´e de naissance du capitaine. e e 30 mars 2006
  9. 9. Exercices pour la s´rie L e page 9 Exercice n◦ 10 1. On d´signe par n un nombre entier naturel quelconque. On suppose que n est congru ` 5 e a modulo 7. (a) D´terminer un nombre entier naturel p tel que n3 ≡ p (mod 7). e (b) En d´duire que le nombre entier n3 + 1 est divisible par 7. e 2. Soit m un nombre entier naturel quelconque. Prouver que si m est congru ` 4 modulo 7 a alors le nombre entier m3 − 1 est divisible par 7. 3. On consid`re le nombre entier A = 19993 + 20073 . e (a) Justifier que 1999 ≡ 4 (mod 7). (b) D´terminer le plus petit nombre entier naturel p tel que 2007 ≡ p (mod 7). e (c) En d´duire, sans calculer A, que le nombre entier naturel A est divisible par 7. e Exercice n◦ 11 1. Justifier que 123 ≡ 0 (mod 3). 2. Parmi les assertions suivantes indiquer celles qui sont vraies et celles qui sont fausses (les r´ponses doivent ˆtre justifi´es) : e e e (a) 1232005 est divisible par 3. (b) 1242006 − 1 est divisible par 3. (c) 1252007 − 1 est divisible par 3. 30 mars 2006
  10. 10. page 10 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 12 52 1. On pose A = · 143 ´ (a) Ecrire A sous forme d’une fraction irr´ductible. e (b) A est-il un nombre d´cimal ? e 2. On pose B = 38, 63636363 . . . ´ (a) Ecrire B sous la forme d’une fraction irr´ductible. e (b) B est-il un nombre d´cimal ? e 3. Montrer que A + B est un nombre entier. Exercice n◦ 13 3Soit (un ) la suite arithm´tique de premier terme u0 = 0 et de raison e · 11 1. Calculer, sous forme de fractions irr´ductibles, u1 , u2 et u3 . e 2. Exprimer un en fonction de n. 3. Donner l’´criture fractionnaire et l’´criture d´cimale illimit´ de u36 . e e e e 4. On pose S = 0, 545454 . . . On consid`re la suite de nombres (an ) d´finie de la mani`re e e e suivante : a1 = 0, 54 et, pour tout n de N∗ , an+1 = 10−2 an . (a) D´terminer la nature de la suite (an ). e (b) Calculer a1 + a2 + a3 . (c) On pose Sn = a1 + a2 + · · · + an , pour tout entier naturel non nul n. Montrer que 54 Sn = 1 − (10−2 )n . 99 (d) En d´duire la limite de la somme Sn lorsque n tend vers l’infini. D´terminer deux e e p entiers p et q tels que S = · q 5. S est-il un terme de la suite (un ) ? Si oui, quel est son rang dans la suite ? 30 mars 2006
  11. 11. Exercices pour la s´rie L e page 11 Exercice n◦ 14Dans cet exercice, sont envisag´es deux mani`res diff´rentes de d´montrer la propri´t´ (P) : e e e e ee « Pour tout entier n 4 on a 2n n2 ».Premi`re m´thode e e ln x 1. Soit f la fonction d´finie sur l’intervalle [1; +∞[ par f (x) = e · x La courbe (C) ci-dessous est la courbe repr´sentative de la fonction f dans un rep`re ortho- e e gonal. y j C O x i 2. (a) Apr`s avoir calcul´ f (x), o` f d´signe la d´riv´e de f , pr´ciser les variations de f sur e e u e e e e l’intervalle [1; +∞[. ln n ln 4 (b) En d´duire que pour tout entier n 4, on a e · n 4 ln 4 ln 2 (c) Comparer et · 4 2 (d) En d´duire que la propri´t´ (P) est vraie. e eeDeuxi`me m´thode e e 1. V´rifier que, pour tout entier n, on a e 2n2 − (n + 1)2 = (n − 1)2 − 2. 2. En d´duire que, pour tout entier n e 4, on a 2n2 (n + 1)2 . 3. En utilisant un raisonnement par r´currence, d´montrer que la propri´t´ (P) est vraie. e e ee 30 mars 2006
  12. 12. page 12 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 15Dans un campus universitaire, ` l’issue d’une comp´tition d’athl´tisme, 1250 athl`tes subissent a e e eun test antidopage. Le test n’est pas sˆr ` 100 %, certains athl`tes peuvent ˆtre dop´s et avoir u a e e ecependant un test n´gatif et, de mˆme, des athl`tes non dop´s peuvent avoir un test positif. Le e e e etableau ci-dessous donne la r´partition des 1250 athl`tes en fonction du r´sultat du test et de e e el’´tat r´el de l’athl`te : e e e Test n´gatif e Test positif Athl`te non dop´ e e 1188 12 Athl`te dop´ e e 1 49Si A et B sont deux ´v´nements, on notera A l’´v´nement contraire de A, P (A) la probabilit´ de e e e e el’´v´nement A, PB (A) la probabilit´ conditionnelle de A sachant B. e e e 1. On choisit au hasard un athl`te.eD´terminer la probabilit´ des ´v´nements suivants : e e e e S : « L’athl`te est non dop´ » e e T : « Le test est positif » S ∩ T : « L’athl`te est non dop´ et le test est positif ». e e 2. On choisit au hasard un athl`te non dop´. Quelle est la probabilit´ qu’il ait un test positif ? e e e 3. Les ´v´nements « Le test est positif » et « L’athl`te est dop´ » sont-ils ind´pendants ? e e e e e 4. Sachant que le test est positif, quelle est la probabilit´ que l’athl`te soit non dop´ ? e e e Exercice n◦ 16Dans une population donn´e, la proportion de personnes atteintes d’une certaine maladie est enot´e x, o` 0 x 1. On dispose d’un test de d´pistage de cette maladie et on voudrait ´tudier e u e ela fiabilit´ de ce test. eLa probabilit´ qu’une personne atteinte de cette maladie ait un test positif est 0,98 et la probabilit´ e equ’une personne non atteinte de cette maladie ait un test positif est 0,01.On choisit au hasard une personne de la population et on la soumet au test. On note Ml’´v´nement : « La personne est atteinte de cette maladie » et T l’´v´nement : « Le test est e e e epositif ». 1. Exprimer les probabilit´s p(M ∩ T ) et p(M ∩ T ) en fonction de x. e En d´duire la probabilit´ p(T ) en fonction de x. e e 98x 2. Montrer que la probabilit´ conditionnelle de M sachant T est e · 97x + 1 3. On consid`re que le test est fiable lorsque la probabilit´ qu’une personne ayant un test e e positif soit atteinte de cette maladie est sup´rieure ` 0,95. e a (a) Le test est-il fiable si la proportion x des personnes atteintes de cette maladie est 0,05 ? ` (b) A partir de quelle proportion x le test est-il fiable ? Interpr´ter ce r´sultat. e e 30 mars 2006
  13. 13. Exercices pour la s´rie L e page 13 Exercice n◦ 17On d´place un pion sur une suite de cases num´rot´es de 1 ` 18 de la fa¸on suivante : on jette e e e a cun d´ ´quilibr´ et on avance le pion du nombre indiqu´ sur le d´. Par exemple, au d´but du jeu, ee e e e eon jette le d´ et on tire le deux, on pose le pion sur la case 2 ; puis on rejette le d´ et on tire le e equatre, on pose le pion sur la case 6 : le pion est donc pass´ par les cases 2 et 6. eLe joueur lance trois fois le d´ et son gain est ´gal au num´ro de la derni`re case atteinte, sauf e e e es’il passe par la case 3 : alors, il est ´limin´. e e 1. Quelle est la probabilit´ pour que le joueur passe par la case 1 ? e ´ 2. (a) Ecrire les deux trajets permettant de passer par la case 2. 7 (b) Montrer que la probabilit´ que le joueur passe par la case 2 est e · 36 ´ 3. (a) Ecrire les quatre trajets permettant de passer par la case 3. (b) Calculer la probabilit´ que le joueur soit ´limin´. e e e (c) On a r´alis´ 10 000 fois la simulation de ce jeu. Dans 1682 cas le joueur passe par la e e case 1 et dans 2259 cas, il passe par la case 3. Ces r´sultats sont-ils vraisemblables ? e Exercice n◦ 18On jette un d´ ´quilibr´ et on s’arrˆte lorsqu’on a tir´ un six. ee e e e 1. Calculer la probabilit´ d’obtenir 6 au premier coup. e 5 2. Montrer que la probabilit´ de n’obtenir un 6 qu’au deuxi`me coup est e e · 36 3. Calculer la probabilit´ de n’obtenir un 6 qu’au troisi`me coup (on donnera le r´sultat sous e e e forme de fraction irr´ductible et une valeur approch´e ` 10−4 pr`s). e e a e 4. L’affirmation « lorsqu’on jette un d´ ´quilibr´, on est certain d’obtenir un 6 dans les six e e e premiers coups » est-elle exacte ? Exercice n◦ 19Une urne A contient 2 boules rouges et 3 boules vertes.Une urne B contient 1 boule rouge et 4 boules vertes.On lance un d´ ´quilibr´ dont les faces sont num´rot´es de 1 ` 6. ee e e e aLes ´tapes du jeu se d´composent de la fa¸on suivante : e e c– le joueur lance le d´ ; e– si le d´ indique un « 6 », le joueur choisit au hasard une boule dans l’urne A ; e– sinon, il choisit au hasard une boule dans l’urne B. 1. Dessiner un arbre de probabilit´s analysant le jeu d´crit ci-dessus. e e 2. Quelle est la probabilit´ d’obtenir une boule rouge ? e 3. Quelle est la probabilit´ d’avoir lanc´ un « 6 » si la boule obtenue est verte ? e e 30 mars 2006
  14. 14. page 14 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 20Dans un lyc´e donn´, cinq options sportives sont propos´es aux ´l`ves : e e e ee Natation – Gymnastique – Athl´tisme – Basket-ball – Volley-ball. eAu d´but de l’ann´e scolaire, un ´l`ve doit choisir deux de ces options. e e ee 1. (a) Donner tous les choix possibles. (b) Combien de choix cet ´l`ve a-t-il s’il ne peut s’inscrire ` plus d’un sport collectif ee a (basket-ball ou volley-ball) ? 2. En 2005-2006, 36 % des ´l`ves de ce lyc´e ont choisi la natation, 48 % des ´l`ves ont choisi le ee e ee volley-ball et un tiers des ´l`ves ayant choisi la natation ont ´galement choisi le volley-ball. ee e D’autre part, 46 % des ´l`ves de ce lyc´e sont des filles. ee e On choisit au hasard un ´l`ve E de ce lyc´e et on d´finit les ´v´nements suivants : ee e e e e – F : l’´l`ve E est une fille ; ee – N : l’´l`ve E a choisi la natation ; ee – V : l’´l`ve E a choisi le volley-ball. ee (a) Pr´ciser les probabilit´s suivantes : P (F ), P (N ), P (V ) et PN (V ). e e (b) D´finir par une phrase les ´v´nements N ∩ V et N ∪ V . e e e (c) Calculer P (N ∩ V ) et P (N ∪ V ). (d) Sachant que l’´l`ve E a choisi le volley-ball, quelle est la probabilit´ qu’il ait ´galement ee e e choisi la natation. 3. On admet que les ´v´nements F et N sont ind´pendants. Sachant que l’´l`ve E est une fille, e e e ee qu’elle est la probabilit´ qu’elle ait choisi la natation ? e Exercice n◦ 21Dans une classe de 32 ´l`ves, 12 ´l`ves lisent de la po´sie romantique, 15 lisent de la po´sie ee ee e econtemporaine et 8 lisent les deux types de po´sie. Le professeur de lettres choisit au hasard un e´l`ve :eePour chacune des quatre propositions suivantes, num´rot´es de A ` D, indiquer si elle est vraie e e a(V) ou fausse (F).On ne demande pas de justification. 3 1. La probabilit´ que cet ´l`ve lise de la po´sie romantique est e ee e · 8 2. La probabilit´ que cet ´l`ve lise de la po´sie romantique ou contemporaine (ou les deux) est e ee e 19 · 32 5 3. La probabilit´ que cet ´l`ve ne lise ni po´sie romantique, ni po´sie contemporaine est e ee e e · 32 4. La probabilit´ que cet ´l`ve lise de la po´sie romantique sachant qu’il lit de la po´sie contem- e ee e e 1 poraine est · 4 30 mars 2006
  15. 15. Exercices pour la s´rie L e page 15 Exercice n◦ 22Une des ´preuves propos´es aux candidats pour un emploi dans un cabinet d’architecture avait e el’intitul´ suivant : « Repr´senter, en perspective centrale, un carrelage 4 carreaux par 4 carreaux ». e eLes dessins des quatre candidats, num´rot´s de 1 ` 4, sont reproduits en annexe 1. Les appr´ciations e e a equi leur ont ´t´ attribu´es par le jury sont, dans le d´sordre, les phrases a, b, c et d ci-dessous : ee e e (a) On demandait un dessin en perspective centrale ! (b) O` est le point de fuite principal ? u (c) Bien. (d) Erreur : le centre du carrelage est mal plac´. e 1. En compl´tant au besoin les dessins des candidats par des traits de construction, associer ` e a ◦ chacun d’eux (dessins n 1, 2, 3 et 4), l’appr´ciation (a, b, c ou d) qui lui correspond. e 2. La figure 5 (Annexe 2) est la repr´sentation en perspective centrale d’un cube dont la face e avant est situ´e dans un plan frontal. Compl´ter la figure par un carrelage r´gulier 2 × 2 sur e e e chacune des trois faces visibles. (On laissera apparents les traits de construction).Note : Sur les 5 figures, (h) repr´sente la ligne d’horizon. e Annexe 1 (h) (h) Dessin 1 Dessin 2 30 mars 2006
  16. 16. page 16 Exercices pour la s´rie L e (h) (h) Dessin 3 Dessin 4 Annexe 2 (h) Figure 5 30 mars 2006
  17. 17. Exercices pour la s´rie L e page 17 Exercice n◦ 23 H G E F L D C O A M M BLe dessin ci-dessus repr´sente en perspective parall`le l’int´rieur d’une salle dont la largeur, la e e elongueur et la hauteur ont mˆme mesure α. Le sol ABCD de cette salle est constitu´ de neuf dalles e ecarr´es de dimension identique. Au centre O de cette salle est plac´ un lampadaire dont la hauteur e emesure les deux tiers de α.Sur le dessin donn´ en annexe cette salle est repr´sent´e en perspective centrale, le mur ABFE e e e´tant dans un plan frontal. Les points a, b, c, d, m et m repr´sentent respectivement A, B, C, D, Me eet M . 1. (a) Construire la ligne d’horizon. (b) Construire les repr´sentations dans cette perspective centrale des droites parall`les ` e e a (BD) passant respectivement par M et M . (c) Construire la repr´sentation des neuf dalles qui recouvrent le sol de la salle. e 2. (a) Construire le point o qui repr´sente le point O. e (b) Construire le point l qui repr´sente le sommet L du lampadaire. eNote : On laissera apparents les traits de construction. 30 mars 2006
  18. 18. page 18 Exercices pour la s´rie L e Annexe : 30 mars 2006
  19. 19. Exercices pour la s´rie L e page 19 Exercice n◦ 24La figure F1 est une repr´sentation de trois carr´s accol´s ABCD, CDGH et BCIJ. La figure F2 est e e eune repr´sentation en perspective centrale du carr´ ABCD. e e 1. Sur la figure F2 (a) Tracer la ligne de fuite du plan (ABCD). (b) Placer le point de fuite de la droite (BD) et celui de la droite (AC). 2. Terminer la repr´sentation en perspective centrale des trois carr´s accol´s. e e e Figure F1 Figure F2 30 mars 2006
  20. 20. page 20 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 25On consid`re deux cubes ABCDEFGH et EFGHIJKL, de mˆme taille, pos´s sur le sol. Le cube EFGHIJKL e e eest plac´ derri`re le cube ABCDEFGH. La face ABCD est dans un plan frontal. e e 1. Sur la figure 1 terminer la repr´sentation des deux cubes en perspective parall`le. e e 2. Sur la figure 2 on a repr´sent´ en perspective centrale les sommets A B C D et E et la ligne e e d’horizon (h). (a) Placer le point de fuite principal. (b) Placer les deux points de distance. (c) Terminer la repr´sentation du cube ABCDEFGH. e (d) Repr´senter le cube EFGHIJKL et proposer un ´l´ment de contrˆle. e ee oNote : on laissera apparents les traits de construction. Figure 1 (h) Figure 2 30 mars 2006
  21. 21. Exercices pour la s´rie L e page 21 Exercice n◦ 26Dans un gymnase, on consid`re une cage de but de hand-ball, ´clair´e par un projecteur. On e e es’int´resse ` l’ombre projet´e sur le sol de cette cage de but. e a eLa situation est sch´matis´e par la figure ci-dessous, qui devra ˆtre reproduite et compl´t´e au e e e eefur et ` mesure. aOn laissera apparents les traits de construction.Le plan (Oxy) repr´sente le sol du gymnase. Les plans (Oxz) et (Oyz) repr´sentent deux murs e ed’angle de celui-ci ; ils se coupent ` la verticale selon l’axe (Oz). aLe projecteur P est sur (Oz).La cage de but est repr´sent´e par les trois segments [AB], [BC], [CD]. Les points A et D sont dans le e eplan (Oxy). Les droites (AB), (CD) et (Oz) sont parall`les, ainsi que les droites (BC), (AD) et (Oy). eLes ombres projet´es sur le sol des points A, B, C, D sont repr´sent´es respectivement par les points e e eA, B, C, D. 1. (a) Que dire des points A et D ? (b) Construire le point B . 2. On note la parall`le ` la droite (AD) passant par le point B . e a (a) Les affirmations suivantes sont-elles vraies ? – La droite ∆ est contenue dans le plan (Oxy). – Le point d’intersection des droites ∆ et (PC) est le point C . Justifier. (b) Prouver que les points O, D et C sont align´s. e 30 mars 2006
  22. 22. page 22 Exercices pour la s´rie L e 3. On consid`re un ballon, plac´ dans les mains du gardien, au centre de la cage de but. e e Il est repr´sent´ par le point M, centre du rectangle ABCD. e e Son ombre projet´e sur le sol est repr´sent´e par le point M . e e e Construire M et M . Exercice n◦ 27 Figure 1La figure 1 ci-dessus repr´sente le dessin en perspective parall`le d’une terrasse rectangulaire e ehorizontale MNPQ bord´e sur sa gauche par un mur TMRSWQUV. Le plan (TMRS) est frontal. eLa figure 2 ci-dessous repr´sente le d´but du dessin en perspective centrale de cette mˆme terrasse. e e eElle est couverte de dalles, l’une d’entre elles abcd est repr´sent´e. e eLes images des points R, S, T, . . . sont d´sign´es par les lettres minuscules correspondantes sur le e edessin en perspective centrale.Note : Pour tous les dessins demand´s, on laissera apparents les traits de construction. e 1. Construire le point de fuite principal ω et la ligne d’horizon δ. 2. Construire la repr´sentation du mur. e 30 mars 2006
  23. 23. Exercices pour la s´rie L e page 23 q p s r d c t m a b n Figure 2 3. Le motif du pavement de la terrasse est repr´sent´ ci-contre en vraie grandeur e e (figure 3) : Figure 3 (a) Construire sur le dessin la repr´sentation en perspective centrale de la dalle BEFC. e (b) Construire la droite (dh) sur le dessin en perspective centrale, puis repr´senter la dalle e DCHK. 4. (a) Repr´senter sur le dessin en perspective centrale le centre O de la terrasse MNPQ. e (b) En O est fix´ un piquet vertical de sommet le point X et de mˆme hauteur que le mur. e e Construire le segment [ox] qui repr´sente le piquet [OX], en pr´cisant les ´tapes de la e e e construction. 30 mars 2006
  24. 24. page 24 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 28L’objectif de cet exercice est de compl´ter la repr´sentation en perspective centrale d’une table e edonn´e en annexe. eCette table est constitu´e d’un plateau carr´, de quatre pieds parall´l´pip´diques de base carr´e. e e ee e eLe plateau est d´cor´ d’un motif. e eLes sch´mas ci-dessous, dont l’un est cod´, repr´sentent deux vues de la table. e e e Vue de dessus Vue de profil 1. Construire sur le dessin donn´ en annexe, deux points de fuite et la ligne d’horizon. e 2. Compl´ter la repr´sentation en construisant l’image du quatri`me pied. On laissera appa- e e e rents les traits de construction, aucune autre justification n’est attendue. 3. Construire les images des milieux des cˆt´s de la face de dessus. Expliquer la d´marche. oe e 4. Repr´senter le motif du plateau. e ANNEXE : Repr´sentation en perspective centrale e 30 mars 2006
  25. 25. Exercices pour la s´rie L e page 25 30 mars 2006
  26. 26. page 26 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 29Sur le dessin annexe, on donne une repr´sentation en perspective centrale d’un cube ABCDEFGH. eOn a plac´ sur la ligne d’horizon le point de fuite principal ω et les points de distance d1 et d2 . eLes faces AEFB et DHGC sont parall`les au plan du tableau ; en d’autres termes les plans (AEFB) et e(DHGC) sont des plans frontaux. On appelle I, J, K, L les milieux respectifs des segments [AB], [BC],[CD], [DA]. Le but de l’exercice est de repr´senter sur la feuille annexe le cube plac´ ` l’int´rieur e ea edu cube ABCDEFGH et dont la face inf´rieure est IJKL. ePar convention, les points repr´sentant A, B, . . . sur le dessin en perspective centrale sont not´s e epar les lettres minuscules a, b, . . . correspondantes. 1. Construire les points i et k qui repr´sentent I et K. e 2. Construire les points j et l qui repr´sentent les points J et L. e 1 3. Donner sans justification la nature du quadrilat`re IJKL et justifier que IJ = BE. e 2 4. I d´signe le sommet du cube IJKLI J K L situ´ « juste au-dessus » de I ; en d’autres termes e e la droite (II ) est orthogonale au plan (IJKL). Expliquer comment construire le point i qui repr´sente le point I . e 5. Achever la construction de la repr´sentation du cube IJKLI J K L . e ANNEXE ω d2 d1 h g e f d c a b 30 mars 2006
  27. 27. Exercices pour la s´rie L e page 27 Exercice n◦ 30 1. Compl´ter la figure ci-dessus, en respectant l’algorithme de construction suivant : e Tracer les droites (AC) et (BD) Tant que la distance CD est sup´rieure ` 1 cm, e a construire le milieu I du segment [CD] tracer le point E d’intersection des droites (AC) et (BI) tracer le point F d’intersection des droites (BD) et (AI) remplacer A par C, C par E, B par D et D par F. 2. Un observateur se trouve sur sur une route horizontale bord´e de poteaux r´guli`rement e e e espac´s et de mˆme hauteur. e e Les poteaux [AB], [CD], [EF ], . . .situ´s sur le cˆt´ gauche de la route viennent d’ˆtre e oe e repr´sent´s en perspective centrale ; les poteaux repr´sent´s par [AB] et [GH] sont situ´s dans e e e e e un plan frontal. Repr´senter le bord droit de la route et les poteaux faisant face ` ceux qui d´j` trac´s. e a ea e 3. En supposant que la route mesure 6 m`tres de large, estimer : la hauteur des poteaux, la e taille de l’observateur et la distance qui le s´pare du cˆt´ droit de la route. e oe 4. Dans la repr´sentation ci-dessous, en supposant que l’œil du peintre est situ´ ` 1,70 m du e ea sol, estimer la distance entre les deux poteaux situ´s au premier plan, puis leur hauteur. e 30 mars 2006
  28. 28. page 28 Exercices pour la s´rie L e Exercice n◦ 31 J Figure 1On a repr´sent´ ci-dessus une maison en perspective parall`le. e e eLes murs forment un pav´ droit ABCDEFGH dont les faces ADHE et BCGF sont horizontales et consti- etuent respectivement le sol et le plafond de la maison.L’arˆte [AB] est verticale. eLe toit est un prisme BKCFLG ; sa base CBK est un triangle isoc`le en K dont la hauteur [KJ] est etelle que KJ = BA. Il a donc mˆme hauteur que les murs. eNotation : Dans cet exercice, un point de l’espace est not´ avec une lettre majuscule et son image edans la perspective centrale, si elle existe, est not´e avec une minuscule (ainsi : a est l’image de eA, b est l’image de B, . . .).Sur la figure 2 sont d´j` repr´sent´s, en perspective centrale, les points de fuites respectifs w et w ea e edes droites (AE) et (AD) ainsi que les images a, b, c, d, e, f des points A, B, C, D, E, F.En laissant apparents les traits de construction, achever la construction de l’image de la maison. Figure 2 30 mars 2006
  29. 29. Exercices pour la s´rie L e page 29 Exercice n◦ 32On se donne un cube ABCDA B C D dont les faces ABCD et A B C D sont parall`les de telle fa¸on que e cles droites (AA ), (BB ), (CC ) et (DD ) soient parall`les. On d´sire repr´senter ce cube en perspec- e e etive centrale, la droite (AA ) se trouvant dans un plan frontal. On appelle cette repr´sentation eabcda b c d .Sur le dessin donn´ en annexe la ligne d’horizon L ainsi que les quatre points a, b, c et a sont econstruits.Dans les constructions demand´es, on laissera apparents les traits de construction ; aucune justi- efication suppl´mentaire n’est attendue. e 1. Achever la construction de la repr´sentation de ce cube. e 2. Soit J le milieu de [AB]. Construire j, image de J. ANNEXE 30 mars 2006

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