SlideShare a Scribd company logo
1 of 5
Download to read offline
Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com 
BÀN VÊ HAI DNG TOÁN CA GII TÍCH TO HP 
 
-------- 
LÊ NGÔ NHẬT HUY (Bến Tre) 
Giải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên 
trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức Newton, 
trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau: 
I/ CÔNG THỨC TỔ HỢP, NHỊ THỨC 
NEWTON. 
* Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên 
ta có các công thức sau: 
1) Công thức hoán vị: 
P = n!= n(n -1)(n - 2).......3.2.1. n 
( n giai thừa, n  1). 
2) Công thức chỉnh hợp: 
Ak 
n £ £ 
(1 ) 
! 
n 
- 
( )! 
k n 
n k 
= 
3) Công thức Tổ hợp: 
n £ £ 
(0 ) 
! 
n 
- 
!( )! 
k n 
k n k 
Ck 
= 
* Một số tính chất số Tổ hợp: 
k 
n C C C C C C - 
n k 
n 
+ k 
- 1 = k 
, 
k 
+ k 
= n 
n 
n 
n 
1 
- 
- 
+ - 
1 
1 1 
*Khai triển nhị thức Newton: 
( ) 
n 
= + n =Σ k n k k 
(I) 
P a b a b C a - b 
( , ) . . 
0 
n 
k 
= 
+ Có n + 1 số hạng trong khai triển. 
+ Tổng các số mũ của a và b trong mỗi 
số hạng bằng số mũ của nhị thức. 
4) Các công thức biến đổi với số mũ. 
( ) 
n 
n m a 
n m 
- + 
= = = 
1) . , 2) a n m , 3) a n . a m a 
n m 
, 
m 
m 
a 
 
- 
= n n m 
=  
, 5) . 
a a 
1 
4) 
n 
n 
a a a 
a 
 
 
II/ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP 
 Phương trình tổ hợp là phương trình 
(PT) có ẩn số nằm trong các công thức tổ 
hợp, chỉnh hợp, hoán vị. 
Ví dụ 1: Giải phương trình : 
1 2 3 7 
2 x x x C +C +C = x (1) 
Lời giải: 
Điều kiện: xÎN; x ³ 3 . Sử dụng công thức tổ 
hợp, ta có: 
( 1 ) Û 
x 
! 
+ 
x 
! 
x 
! 
7 
1! ( x 
- 
1 ) ! 
2! ( x 
- 
2 ) + 
= 
x 
! 
3! ( x 
- 
3 ) ! 
2 
( )( ) x 
Û x ( x - 1) x x - 1 x 
- 2 
x 
+ + = 
7 
2 
6 
2 
( ) ( )( ) 
Û + - + - - = 
6 3 1 1 2 21 
x x x x x x x 
( ) 
 
   
 
= 
0 
= - 
= 
Û - = Û - = Û 
4 
4 
3 2 
16 0 16 0 
x 
x 
x 
x x x x 
Đối chiếu nghiệm với ĐK đề bài ta có PT (1) 
có nghiệm là x = 4. 
Ví dụ 2: Giải phương trình: 
2 
C 3 - C 2 = . 
A 2 
(2) 
x - 1 x - 1 3 x - 2 
Lời giải: 
Đk: x ³ 4, xÎN .Sử dụng công thức tổ hợp, 
ta có: 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
= - 
- 
- - 
1 ! 
- 
Û - 
1 ! 
- 
2 
. 
3 
x 
2! 3 ! 
x 
3! 4 ! 
x 
x 
x 
x 
( )( ) ( ) ( ) 
(2) 
Û - - - - = 2 
- 
. 3 
3 
= 
1 
x 
 
= 
 
2 
1 3 
x x x 
6 
Û - + = Û 
9 
2 
11 18 0 
2 ! 
4 ! 
2 
x 
x x 
x 
So với ĐK đầu bài PT (2) chỉ có duy nhất một 
nghiệm x = 9. 
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 1
Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học  Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com 
Ví dụ 3: Giải phương trình: 
+ - + - = + + (3) 
A 3 C - 1 C - 3 x 2 
P 
x x x 1 1 6 2 x 3 x 3 159 
Lời giải: 
Đk : x ³ 3, xÎN . 
! 
- - 
+ + 
x 
x 
x 
(3) Û = x 
2 + + 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 3 6! 159 
3 1 ! 
- 
2! 3 ! 
2 1 ! 
- 
2! 1 ! 
3 ! 
- 
x 
x 
x 
3 
( )( ) ( ) ( )( ) 
2 13 15 1764 0 
Û - - + + - - - = 2 
+ 
1 2 3 879 
x x x x x x x x 
2 
1 2 1 
Û x 3 - x 2 
+ x 
- = 
Đến đây bằng cách nhập PT này vào máy 
tính ta tìm được một nghiệm x = 12 .Sử 
dụng sơ đồ Horner tách PT trên ta được: 
(x -12)(2x2 +11x +147)= 0 Û x =12 
 
vô nghiêm 
Từ ĐK x ³ 3, xÎN nên PT (3) chỉ có duy 
nhất một nghiệm x = 12. 
Ví dụ 4: Giải phương trình (ẩn n): 
C 6 + 3 C 7 + 3 C 8 + C 9 = 2 C 8 
(4) 
n n n n n + 2 Lời giải: 
Đk: n ³ 9,nÎN ,theo tính chất số Tổ hợp 
+ - 1 
= , ta có 
C k 
C k 
C k 
n n 
n 
1 
+ 
( ) 
+ + + = + + + + + 
6 7 8 9 6 7 7 8 8 9 
C C C C C C C C C C 
n n n n n n n n n n 
+ + + + + + = + + = + = 
9 
3 
9 
2 
8 
2 
3 3 2 
9 
1 
8 
1 
7 
1 
2 
C C C C C C 
n n n n n n 
Vậy, theo giả thiết tương đương với: 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
= + 
2 2 ! 
- 
n 
8! 6 ! 
3 ! 
= Û + + + 
- 
n 
9! 6 ! 
n 
n 
Û + = Û = 
2 15 
9 
3 
2 8 
2 
9 
3 
n 
n 
C Cn n 
Từ điều kiện đầu bài ta có PT (4) có duy 
nhất một nghiệm là n = 15. 
 Lưu ý: 
Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau: 
+ Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với 
số tổ hợp thì 0 £ k £ n , ví dụ: 8 
n+3 C thì đk của 
n là: n + 3 ³ 8Û n ³ 5 . 
+Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp 
chứa ẩn thì phải chọn đk cho ẩn tổng quát 
và bao hàm nhất, ví dụ: 7 
C 9 
+ C thì đk là: 
n +1 n + 2 
   
+ 1 ³ 9 Û ³ 
8 
2 7 5 
n n 
+ ³ Û ³ 
n n 
Û n ³ 8 . 
+ Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh 
hợp, tổ hợp, hoặc tính chất số tổ hợp (nếu 
được) để biến đổi, rút gọn và giải PT. 
+ Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài 
toán để kết luận. 
III/ NHỊ THỨC NEWTON. 
Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này 
là : Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa 
thức, ta xét cụ thể các ví dụ sau: 
Ví dụ 1: Khai triển ( )5 x - y thành tổng các 
đơn thức. 
Lời giải: 
Theo công thức Nhị thức Newton ta có: 
( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) 
- = + - = - + - + - + 
1 4 
5 
0 5 0 
5 
5 5 
x y x y C x y C x y C x y 
+ - + - + - 
( ) ( ) ( ) . 5 0 5 
C x y C x y C x y 
5 
4 4 
5 
3 2 3 
5 
2 3 2 
5 
= x5 - 5x4 y +10x3 y 2 -10x2 y3 + 5xy4 - y5 . 
Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong 
6 
khai triển ( ) 
1 
  =  -  ¹ 
  
A x 2x , (x 0) 
2 
x 
. 
Lời giải: 
Với ; 6 
= 2 ; = - 1 
n = 
2 a x b , Từ (I) ta có: 
x 
( ) 6 
= Σ 
( ) 
 - 
Σ Σ ( ) 
  
k k 
. 2 . 
 
6 
A x C x 
6 
0 
1 
2 
6 
6 
k k k k 
k 
k 
x 
= k k - k k k 
= - 
.2 .( 1) . . .2 . 1 . 
C x x C x 
= 
- - 
= 
- 
- - - 
= 
0 
6 6 3 
6 
0 
6 6 2 
6 
k 
k 
Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao 
cho 6 - 3k = 0Û k = 2 
Vậy số hạng cần tìm là 2 .26 2.( 1)2 240 
6 C - - = 
Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa x8 trong khai 
12 
triển ( ) 
=    + 5 
 ¹ 
  
1 
B x x , (x 0) 
3 
x 
. 
Lời giải: 
5 
Ta có 1 ; 2 
, 12 
= = x- 3 b = x 5 
= x n = 
x 
3 a 
Từ (I) ta có: 
( ) Σ ( ) 12 
Σ 
B x Ck x k x C k 
x 
k 
12 . . . 
= 
- + 
12 
= 
 
 
5 
- - =   
 
  
 
= 
0 
72 11 
2 
12 
0 
2 
3 12 
k 
k 
k 
- 72 + 11 k 
= Û = 
Tìm k sao cho 8 8 
2 
k 
12 C = . 
Vậy số hạng cần tìm là : 8 495 
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 2
Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học  Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com 
Ví dụ 4: Xét khai triển 
C(x, y) = (x3 + xy)15 .Tìm hệ số chứa x21y12 . 
Lời giải: 
Ở đây, ta có a = x3 , b = xy, n = 15 
Từ (I) ta có 
( ) Σ ( ) 15 
Σ 
C x y Ck x k xy k C x y 
Đến đây, ta tìm k sao cho 
k k k 
15 , . .( ) . . 
= 
- 
15 
- = = 
= 
0 
45 2 
15 
0 
3 15 
k 
k 
12 
- = 
45 2 21 
12 
Û = 
   
= 
k 
k 
k 
. 
Vậy hệ số chứa x21 y12 là 12 455 
15 C = . 
Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa x7 trong khai 
triển ( ) 2 ( ) 2 
=    -  , ¹ 0, 
ÎN 
  
n 
D x x x n 
x 
, biết n 
thỏa mãn hệ thức sau: 3 2 3 
1 4 2 n n n C C A + + = . 
Lời giải: 
Đk: n ³ 2; nÎN. 
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương 
đương : 
( ) 
! 
! 
2. 
1 ! 
= 
+ 
+ 
n 
n 
n 
( - 
) ( ) ( ) 
.( 1) 1 2 2 22 11 
6 
3! 2 ! 
4 
3 ! 
- 
2! 2 ! 
4. 
- 
n 
n 
n 
Û n + + = n - Û n = Û n 
= 
= 2 = - 2 
, = - x-1 n = 
Ta có 2. , 11 
x 
a x b 
Từ (I) ta có 
( 11 
11 
D x ) =Σ Ck ( x 2 ) 11 - k . ( - 2 x - 1 
) k =Σ C . ( - 
2 )k . x22 - 
3 
k 
11 = k 
= 
k 
k 
0 
11 
0 
Tìm k sao cho 22 - 3k = 7 Û k = 5 
Vậy số hạng cần tìm là : C 5 .( - 2) 5 
= - 
14784 11 Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong 
khai triển ( ) 3 2 n 
  
=  +  
  
E x x 
x 
, biết rằng n 
thỏa mãn hệ thức: 9 8 ( ) 
3 2 2 , 0, . n n C + C + x n =  ÎN 
Lời giải: 
Đk: n ³ 6; nÎ N . 
Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương 
đương : 
( ) 
( ) 
( ) 
( ) 
Û + 3 
= 
15 
2 
8! 
9! 
2 ! 
= + 
- 
n 
8! 6 ! 
2. 
3 ! 
+ 
- 
n 
9! 6 ! 
n 
Û n 
= 
n 
n 
2 
- 
1 
x n 
1 
Ta có 2. , 15 
=3 = , = = 2 
= 
a x x 3 
b 
x 
Từ (I) ta có: 
( ) 15 
Σ Σ 
E x Ck x x C k k 
x Ta 
k k 
15 . 2. .2 . 
= 
- 
15 
= 
- - 
 
=   
 
15 1 
 
  
 
 
  
 
 
  
 
= 
0 
30 5 
6 
15 
0 
2 
1 
3 
k 
k 
k 
30 - 5 k 
= Û = 
tìm k sao cho 0 6 
6 
k 
15 C = . 
Vậy số hạng cần tìm là: 6 .26 320320 
Ví dụ 7: Khi khai triển nhị thức Newton 
( ) (1 )n G x = + ax ta được số hạng thứ hai là 24x ; 
số hạng thứ ba là 252x2 . Hãy tìm a và n. 
(a Î R; n Î N*). 
Lời giải: 
Ta có: a = 1, b = ax . Từ (I) ta có 
n n 
( ) 
=Σ =Σ 
k n k k k k k 
n n 
G x C - ax C a x 
( ) .1 . . . 
= = 
0 0 
k k 
*Theo đề bài số hạng thứ hai là 24x nên: 
   
k k k 
n 
= 
*Theo đề bài số hạng thứ ba là 252x2 nên: 
= 
= ⇒ 
1 
k 
. . 24 C1 a 
. 24 (1) 
C a x x 
n 
   
k k k 
n 
= 
*Từ PT(1) và PT(2) ta có hệ phương trình 
sau: 
= 
= ⇒ 
2 
2 
k 
. . 252 2 2 
. 252 (2) 
C a 
C a x x 
n 
 
  
= 
. 252 (2) 
1 
C a 
. 24 (1) 
2 2 
= 
C a 
n 
n 
24 
PT (1) 1 
Û a   
= thay vào (2) ta được: 
C 
n 2 ( )  
2 
= Û C 
( ) 
= =  
! 
n 
1 2 2 
n 
C 
n 
( ) 
252 
- 
2! 2 ! 
7 
= 
n 
n n 
16 
 
  
 
Û 
n 
C 
C 
PT C 
n 
Û = Û 
Û - = 
2 
1 
7 
252 
24 
2 
n 
16 
Û = Û = 
2 16 8 
7 
16 
7 
16 
24 
2 
2 . 
2 
n 
2 
1 
n n 
n 
24 
* Với n = 8 thay vào (1) 3 
= = 
C 
1 
8 
a 
Vậy a = 3, n = 8 . 
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 3
Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học  Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com 
Ví dụ 8: 
Khi khai triểnH(x) = (a + x)6 (b + x)3 (*) ta 
được hệ số chứa x7 là -9 ; không có số hạng 
chứa x8 . Hãy tìm a và b. (a,bÎ R). 
Lời giải: 
Ta có nhận xét: (*) là tích của hai nhị thức: 
nhị thức bậc 6 và nhị thức bậc 3. Vậy để tạo 
ra số hạng x7 thì phải tồn tại trong nhị thức 
bậc 6 các biến x4 , x5 , x6 nhân với các biến số 
tương ứng trong nhị thức bậc 3 là x3 , x2 , x . 
*Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có: 
6 
Σ= 
Ck a - 
k xk số hạng chứa x4 , x5 , x6 tương 
0 
6 
6 . . 
k 
ứng với k lần lượt là 4, 5,6. 6 0 
⇒C 4 .a 2 
, C 5 
.a, C .a 
6 6 
6 
*Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có: 
3 
Σ= 
Ck b - 
k xk số hạng chứa x3 , x2 , x tương ứng 
0 
3 
3 . . 
k 
với k lần lượt là 3, 2, 1. 1 2 
⇒C 3 .b 0 
, C 2 
.b, C .b 
3 3 
3 
*Hệ số chứa x7 là - 9 vậy: 
C 4 
.C 3 .a 2 
+ C 5 
.C 2 
.ab + C 6 
.C 1 .b 2 
= - 9 (1) 
6 3 
6 
3 
6 
3 
(với quy ước a0 = 1) 
*Tương tự trên, đối với x8 ta cũng có: 
6 
6 C C b + C C a = 
. . . 3. 0 (2) 
3 
5 
6 
2 
3 
Từ PT (1) và PT (2) ta có hệ phương trình 
sau: 
+ + = - 
1 2 
3 
6 
6 
2 
3 
5 
6 
3 2 
3 
. . . . . 9 
4 
6 
C C a C C ab C C b 
+ = 
3 
3 
5 
6 
2 
3 
. . . . 0 
6 
6 
C C b C C a 
+ + = - 
2 2 2 2 
15 a 18 ab 3 b 
9 
+ = 
3 6 0 
( ) ( ) 
+ + = - 
5 a 6 ab b 
3 
= - 
2 
b a 
2 2 2 
   
= 
1 
= - 
Û 
   
   
   
Û 
 
  
Û 
b a 
Û + - + - = - 
5 a 6 a 2 a 2 a 
3 
= - 
a 
2 
b a 
2 
b a 
Vậy có hai kết quả là: 
a = 1, b = -2 và a = -1, b = 2 
= Lưu Σý: Để tính hệ số của số hạng xa (α 
là một số hữu tỉ cho trước) trongkhai triển 
nhị thức Newton của P(x) = ( f (x))n ta làm 
như sau: 
n 
+ Biểu diễn P ( x ) = 
a x 
g ( k 
) 
k k 
0 
+ Số hạng chứa α tương ứng với g(k) =a 
+ Giải phương trình g(k) =a ta tìm được k. 
+ Nếu k ÎN, k £ n, hệ số phải tìm là k a . 
Nếu k ÏN hoặc k  n thì trong khai triển không 
có số hạng chứa xa hệ số cần tìm bằng 0. 
* Một số đề bài không cho bậc n của đa thức 
P(x) , ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc 
đó ta giải PT chứa ẩn n, F(n) = 0 để tìm bậc 
của P(x) , sau đó ta thực hiện các bước như 
trên. 
IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. 
1)Giải các phương trình sau: 
) + -1 + n-2 = 79 
a C n 
C n 
C Đs: n = 12 
n n 
n 
b ) A 3 - A 2 = 12 Đs: n = 4 
n n ) n 
+ 
7( 3) Đs: n = 12 
n 3 
1 
4 - = + + 
c C + C n 
n n 
1 1 7 
) 
d - = 
Đs: x = 8  x = 3. 
C 1 C 2 
+ 6. 
C 
1 
x x 1 
x + 
4 
2) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển 
n 
  
3 - 1  
x biết rằng n thỏa mãn hệ 
x 
2 
thức:C 4 = 13 C 2 , nÎN ,Đs: n = 15; k = 7; -6435. 
n n 3) Cho khai triển nhị thức 
 
12 3 
x 
 - 
3 
 
 
 
x 
a)Tìm số hạng chứa x4 . Đs: 
55 
k = 4; . 
9 
b)Tìm số hạng không chứa x Đs: k = 6; 924 . 
4) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
n 
 
3 1 
. , biết rằng n thỏa mãn hệ thức: 
x x   
15 28 
x 
 
 
  
 
+ 
C + C -1 + Cn-2 = 79, (x ¹ 0, nÎN). 
n 
n 
Đs: 792 
n n 
n 
5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển 
n 
 
1 
 + 4 
. , biết rằng n thỏa mãn hệ thức: 
x x  
x 
 
2 1 44, ( 0, ). n n C -C = x  nÎN Đs: n = 11, k=3,165. 
6) a)Tìm hệ số chứa x3 trong khai triển và rút 
gọn của đa thức: ( )3 ( )4 ( )7 P(x) = 2x +1 - 3x +1 + x +1 
Đs: - 65 
b)Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển và rút 
gọn của đa thức: ( )10 ( )12 Q(x) = 2 + x + 2 - x 
Đs: -1740 
7) Xét khai triển (1- x + x2 - x3 )6 thành đa 
thức 18 
P(x) = a + a x + a x 2 
+ a x 3 
+ ..... + a x . 
0 1 2 3 
18 
Tìm hệ số 9 a .Đs: -580 
----HẾT---- 
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 4
Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học  Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com 
Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 5

More Related Content

What's hot

Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_tích phân từng phần-pages-45-58
Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_tích phân từng phần-pages-45-58Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_tích phân từng phần-pages-45-58
Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_tích phân từng phần-pages-45-58lovestem
 
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thứcDùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa
 
Tóan Trần Hưng Đạo DH
Tóan Trần Hưng Đạo DHTóan Trần Hưng Đạo DH
Tóan Trần Hưng Đạo DHVan-Duyet Le
 
Toanvao10 2011
Toanvao10 2011Toanvao10 2011
Toanvao10 2011Duy Duy
 
De cuong on tap toan 9 ky ii chuan qh (sửa)
De cuong on tap toan 9 ky ii chuan qh (sửa)De cuong on tap toan 9 ky ii chuan qh (sửa)
De cuong on tap toan 9 ky ii chuan qh (sửa)Nắng Vàng Cỏ Xanh
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thứcThế Giới Tinh Hoa
 
Bất đẳng thức suy luận và khám phá phạm văn thuận lê vĩ
Bất đẳng thức suy luận và khám phá   phạm văn thuận lê vĩBất đẳng thức suy luận và khám phá   phạm văn thuận lê vĩ
Bất đẳng thức suy luận và khám phá phạm văn thuận lê vĩThế Giới Tinh Hoa
 
Tích phân-2-Nguyên hàm tích phân-pages-19-28
Tích phân-2-Nguyên hàm tích phân-pages-19-28Tích phân-2-Nguyên hàm tích phân-pages-19-28
Tích phân-2-Nguyên hàm tích phân-pages-19-28lovestem
 
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013Phan Sanh
 
Ung dung v iet
Ung dung v ietUng dung v iet
Ung dung v ietcongly2007
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Oanh MJ
 
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGPham Dung
 
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênDuong BUn
 
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78lovestem
 
Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114
Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114
Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114lovestem
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Sao Băng Lạnh Giá
 
De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012Summer Song
 

What's hot (20)

Bdt thuần nhất
Bdt thuần nhấtBdt thuần nhất
Bdt thuần nhất
 
Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_tích phân từng phần-pages-45-58
Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_tích phân từng phần-pages-45-58Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_tích phân từng phần-pages-45-58
Tích phân-4-Phương pháp nguyên hàm_tích phân từng phần-pages-45-58
 
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thứcDùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
Dùng dãy số chứng minh bất đẳng thức
 
Tóan Trần Hưng Đạo DH
Tóan Trần Hưng Đạo DHTóan Trần Hưng Đạo DH
Tóan Trần Hưng Đạo DH
 
Bdt võ quốc bá cẩn
Bdt  võ quốc bá cẩnBdt  võ quốc bá cẩn
Bdt võ quốc bá cẩn
 
Toanvao10 2011
Toanvao10 2011Toanvao10 2011
Toanvao10 2011
 
De cuong on tap toan 9 ky ii chuan qh (sửa)
De cuong on tap toan 9 ky ii chuan qh (sửa)De cuong on tap toan 9 ky ii chuan qh (sửa)
De cuong on tap toan 9 ky ii chuan qh (sửa)
 
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
19 phương phap chứng minh bất đẳng thức
 
Bất đẳng thức suy luận và khám phá phạm văn thuận lê vĩ
Bất đẳng thức suy luận và khám phá   phạm văn thuận lê vĩBất đẳng thức suy luận và khám phá   phạm văn thuận lê vĩ
Bất đẳng thức suy luận và khám phá phạm văn thuận lê vĩ
 
Tích phân-2-Nguyên hàm tích phân-pages-19-28
Tích phân-2-Nguyên hàm tích phân-pages-19-28Tích phân-2-Nguyên hàm tích phân-pages-19-28
Tích phân-2-Nguyên hàm tích phân-pages-19-28
 
Tuyển tập 300 bài bdt
Tuyển tập 300 bài bdtTuyển tập 300 bài bdt
Tuyển tập 300 bài bdt
 
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
De thi va dap an thi hsg cum lg mon toan 11 nam 2013
 
Ung dung v iet
Ung dung v ietUng dung v iet
Ung dung v iet
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 2)
 
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNGTÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
TÍCH PHÂN VÀ CÁC ỨNG DỤNG
 
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyênBài tập phương trình nghiệm nguyên
Bài tập phương trình nghiệm nguyên
 
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
Tích phân-5-Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng-pages-60-78
 
Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114
Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114
Tích phân-7-Câu hỏi thực tế-pages-90-114
 
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
Chứng minh bất đẳng thức bằng phương pháp chọn điểm rơi. (1)
 
De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012De tot nghiep_2012
De tot nghiep_2012
 

Similar to Pt to-hop-nhi-thuc-newton

07 nguyen ham luong giac p4
07 nguyen ham luong giac p407 nguyen ham luong giac p4
07 nguyen ham luong giac p4Huynh ICT
 
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenTam Vu Minh
 
Chukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquoc
Chukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquocChukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquoc
Chukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquocMarco Reus Le
 
04 nguyen ham cua ham huu ti p2
04 nguyen ham cua ham huu ti p204 nguyen ham cua ham huu ti p2
04 nguyen ham cua ham huu ti p2Huynh ICT
 
Bai giang nguyen ham tich phan 2015 q1
Bai giang nguyen ham   tich phan 2015 q1Bai giang nguyen ham   tich phan 2015 q1
Bai giang nguyen ham tich phan 2015 q1Hien Nguyen
 
[DeThiThu.Net]LienHop-PTVoTy-NVCuong.pdf
[DeThiThu.Net]LienHop-PTVoTy-NVCuong.pdf[DeThiThu.Net]LienHop-PTVoTy-NVCuong.pdf
[DeThiThu.Net]LienHop-PTVoTy-NVCuong.pdfCuongKhtn1
 
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyenTam Vu Minh
 
07 nguyen ham luong giac p2
07 nguyen ham luong giac p207 nguyen ham luong giac p2
07 nguyen ham luong giac p2Huynh ICT
 
De thi thu dh thpt nam sach hai duong
De thi thu dh thpt nam sach hai duongDe thi thu dh thpt nam sach hai duong
De thi thu dh thpt nam sach hai duongVui Lên Bạn Nhé
 
04 nguyen ham cua ham huu ti p1
04 nguyen ham cua ham huu ti p104 nguyen ham cua ham huu ti p1
04 nguyen ham cua ham huu ti p1Huynh ICT
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Oanh MJ
 
Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ
Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũPhương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ
Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũLinh Nguyễn
 
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHBỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHDANAMATH
 
Toan pt.de038.2012
Toan pt.de038.2012Toan pt.de038.2012
Toan pt.de038.2012BẢO Hí
 
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
1.3 bien luan_pt_bang_do_thivanthuan1982
 
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
1.3 bien luan_pt_bang_do_thivanthuan1982
 

Similar to Pt to-hop-nhi-thuc-newton (20)

07 nguyen ham luong giac p4
07 nguyen ham luong giac p407 nguyen ham luong giac p4
07 nguyen ham luong giac p4
 
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyenChuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
Chuyen%20de%20phuong%20trinh%20nghiem%20nguyen
 
Chukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquoc
Chukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquocChukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquoc
Chukienthuc.com cach-tinh-tich-phan-vhquoc
 
04 nguyen ham cua ham huu ti p2
04 nguyen ham cua ham huu ti p204 nguyen ham cua ham huu ti p2
04 nguyen ham cua ham huu ti p2
 
Bai giang nguyen ham tich phan 2015 q1
Bai giang nguyen ham   tich phan 2015 q1Bai giang nguyen ham   tich phan 2015 q1
Bai giang nguyen ham tich phan 2015 q1
 
[DeThiThu.Net]LienHop-PTVoTy-NVCuong.pdf
[DeThiThu.Net]LienHop-PTVoTy-NVCuong.pdf[DeThiThu.Net]LienHop-PTVoTy-NVCuong.pdf
[DeThiThu.Net]LienHop-PTVoTy-NVCuong.pdf
 
Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10
Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10
Ôn tập phương trình nghiệm nguyên trong toán THCS ôn thi vào lớp 10
 
5
55
5
 
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
[Www.toan trunghoccoso.toancapba.net] phuong trinh nghiem nguyen
 
07 nguyen ham luong giac p2
07 nguyen ham luong giac p207 nguyen ham luong giac p2
07 nguyen ham luong giac p2
 
De thi thu dh thpt nam sach hai duong
De thi thu dh thpt nam sach hai duongDe thi thu dh thpt nam sach hai duong
De thi thu dh thpt nam sach hai duong
 
04 nguyen ham cua ham huu ti p1
04 nguyen ham cua ham huu ti p104 nguyen ham cua ham huu ti p1
04 nguyen ham cua ham huu ti p1
 
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
Tích phân hàm phân thức hữu tỷ (part 1)
 
Tỷ lệ thức
Tỷ lệ thứcTỷ lệ thức
Tỷ lệ thức
 
Tx la t hi c
Tx la t hi cTx la t hi c
Tx la t hi c
 
Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ
Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũPhương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ
Phương pháp giải phương trình, bất phương trình mũ
 
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATHBỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
BỘ ĐỀ THI QUỐC GIA DANAMATH
 
Toan pt.de038.2012
Toan pt.de038.2012Toan pt.de038.2012
Toan pt.de038.2012
 
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
 
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
1.3 bien luan_pt_bang_do_thi
 

More from Vui Lên Bạn Nhé

3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/Vui Lên Bạn Nhé
 
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/Vui Lên Bạn Nhé
 
Đề Toán 2015 Yên Lạc - VP lần 1
Đề Toán 2015 Yên Lạc - VP lần 1Đề Toán 2015 Yên Lạc - VP lần 1
Đề Toán 2015 Yên Lạc - VP lần 1Vui Lên Bạn Nhé
 
Đề số 5 toán 2015 LTĐH Đà Nẵng
Đề số 5 toán 2015 LTĐH Đà NẵngĐề số 5 toán 2015 LTĐH Đà Nẵng
Đề số 5 toán 2015 LTĐH Đà NẵngVui Lên Bạn Nhé
 
Đề số 1 2015 của Vũ Văn Bắc
Đề số 1 2015 của Vũ Văn BắcĐề số 1 2015 của Vũ Văn Bắc
Đề số 1 2015 của Vũ Văn BắcVui Lên Bạn Nhé
 
Đề số 12 Thầy Phạm Tuấn Khải
Đề số 12 Thầy Phạm Tuấn KhảiĐề số 12 Thầy Phạm Tuấn Khải
Đề số 12 Thầy Phạm Tuấn KhảiVui Lên Bạn Nhé
 
Lý thuyết phân dạng BT hóa 11 kỳ 2
Lý thuyết phân dạng BT hóa 11 kỳ 2Lý thuyết phân dạng BT hóa 11 kỳ 2
Lý thuyết phân dạng BT hóa 11 kỳ 2Vui Lên Bạn Nhé
 
3 Đề thi thử 2015 + đáp án
3 Đề thi thử 2015 + đáp án3 Đề thi thử 2015 + đáp án
3 Đề thi thử 2015 + đáp ánVui Lên Bạn Nhé
 
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 2015 CỦA ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 2015 CỦA ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 2015 CỦA ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 2015 CỦA ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIVui Lên Bạn Nhé
 
Phuong phap chuyen vi chung minh bdt
Phuong phap chuyen vi chung minh bdtPhuong phap chuyen vi chung minh bdt
Phuong phap chuyen vi chung minh bdtVui Lên Bạn Nhé
 
3 đề thi thử toán 2015 + đáp án (Bình Thuận)
3 đề thi thử toán 2015 + đáp án (Bình Thuận)3 đề thi thử toán 2015 + đáp án (Bình Thuận)
3 đề thi thử toán 2015 + đáp án (Bình Thuận)Vui Lên Bạn Nhé
 
Đề thi thử ĐH môn toán lần 1_2015 trường chuyên TB
Đề thi thử ĐH môn toán lần 1_2015 trường chuyên TBĐề thi thử ĐH môn toán lần 1_2015 trường chuyên TB
Đề thi thử ĐH môn toán lần 1_2015 trường chuyên TBVui Lên Bạn Nhé
 
Mot so bai tap hoa moi va hay mua thi thu 2011
Mot so bai tap hoa moi va hay mua thi thu 2011 Mot so bai tap hoa moi va hay mua thi thu 2011
Mot so bai tap hoa moi va hay mua thi thu 2011 Vui Lên Bạn Nhé
 
Algebraic techniques in combinatorics
Algebraic techniques in combinatoricsAlgebraic techniques in combinatorics
Algebraic techniques in combinatoricsVui Lên Bạn Nhé
 
Algebraic inequalities old and new methods
Algebraic inequalities old and new methodsAlgebraic inequalities old and new methods
Algebraic inequalities old and new methodsVui Lên Bạn Nhé
 

More from Vui Lên Bạn Nhé (20)

3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
 
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
3 Đề thi thử môn toán 2015 from http://toanphothong.com/
 
Đề Toán 2015 Yên Lạc - VP lần 1
Đề Toán 2015 Yên Lạc - VP lần 1Đề Toán 2015 Yên Lạc - VP lần 1
Đề Toán 2015 Yên Lạc - VP lần 1
 
Đề số 5 toán 2015 LTĐH Đà Nẵng
Đề số 5 toán 2015 LTĐH Đà NẵngĐề số 5 toán 2015 LTĐH Đà Nẵng
Đề số 5 toán 2015 LTĐH Đà Nẵng
 
Đề số 1 2015 của Vũ Văn Bắc
Đề số 1 2015 của Vũ Văn BắcĐề số 1 2015 của Vũ Văn Bắc
Đề số 1 2015 của Vũ Văn Bắc
 
Đề số 12 Thầy Phạm Tuấn Khải
Đề số 12 Thầy Phạm Tuấn KhảiĐề số 12 Thầy Phạm Tuấn Khải
Đề số 12 Thầy Phạm Tuấn Khải
 
Giao trinh guitar
Giao trinh guitarGiao trinh guitar
Giao trinh guitar
 
Giao trinh hoc guitar
Giao trinh hoc guitarGiao trinh hoc guitar
Giao trinh hoc guitar
 
Lý thuyết phân dạng BT hóa 11 kỳ 2
Lý thuyết phân dạng BT hóa 11 kỳ 2Lý thuyết phân dạng BT hóa 11 kỳ 2
Lý thuyết phân dạng BT hóa 11 kỳ 2
 
3 Đề thi thử 2015 + đáp án
3 Đề thi thử 2015 + đáp án3 Đề thi thử 2015 + đáp án
3 Đề thi thử 2015 + đáp án
 
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 2015 CỦA ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 2015 CỦA ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘIĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 2015 CỦA ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
ĐỀ THI THỬ MÔN TOÁN 2015 CỦA ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
 
Phuong phap chuyen vi chung minh bdt
Phuong phap chuyen vi chung minh bdtPhuong phap chuyen vi chung minh bdt
Phuong phap chuyen vi chung minh bdt
 
3 đề thi thử toán 2015 + đáp án (Bình Thuận)
3 đề thi thử toán 2015 + đáp án (Bình Thuận)3 đề thi thử toán 2015 + đáp án (Bình Thuận)
3 đề thi thử toán 2015 + đáp án (Bình Thuận)
 
Đề thi thử ĐH môn toán lần 1_2015 trường chuyên TB
Đề thi thử ĐH môn toán lần 1_2015 trường chuyên TBĐề thi thử ĐH môn toán lần 1_2015 trường chuyên TB
Đề thi thử ĐH môn toán lần 1_2015 trường chuyên TB
 
Mot so bai tap hoa moi va hay mua thi thu 2011
Mot so bai tap hoa moi va hay mua thi thu 2011 Mot so bai tap hoa moi va hay mua thi thu 2011
Mot so bai tap hoa moi va hay mua thi thu 2011
 
Algebraic techniques in combinatorics
Algebraic techniques in combinatoricsAlgebraic techniques in combinatorics
Algebraic techniques in combinatorics
 
Algebraic inequalities old and new methods
Algebraic inequalities old and new methodsAlgebraic inequalities old and new methods
Algebraic inequalities old and new methods
 
ăn chay: Rau cải rổ xào
ăn chay: Rau cải rổ xàoăn chay: Rau cải rổ xào
ăn chay: Rau cải rổ xào
 
Một số món chay 1
Một số món chay 1Một số món chay 1
Một số món chay 1
 
ăn chay: Miến xào giò chay
ăn chay: Miến xào giò chayăn chay: Miến xào giò chay
ăn chay: Miến xào giò chay
 

Recently uploaded

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...Nguyen Thanh Tu Collection
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxngothevinhs6lite
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...Nguyen Thanh Tu Collection
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...Nguyen Thanh Tu Collection
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...Nguyen Thanh Tu Collection
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxNguynHn870045
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...Nguyen Thanh Tu Collection
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...Nguyen Thanh Tu Collection
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptLinhPham480
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...Nguyen Thanh Tu Collection
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...Nguyen Thanh Tu Collection
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...Nguyen Thanh Tu Collection
 

Recently uploaded (17)

CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN 7 + 8 CHƯƠNG TRÌNH GDPT M...
 
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptxDay tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
Day tieng Viet cho nguoi nuoc ngoai.pptx
 
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
14 CHUYÊN ĐỀ BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI KHOA HỌC TỰ NHIÊN VẬT LÝ 8 - NĂM 2024 (4...
 
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
ĐỀ KIỂM TRA THEO UNIT TIẾNG ANH GLOBAL SUCCESS 11 - HK2 (BẢN HS-GV) (3 TESTS ...
 
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
BÀI TẬP – BÀI GIẢI HÓA HỮU CƠ – TẬP 1 DÙNG BỒI DƯỠNG HỌC SINH GIỎI TỈNH VÀ QU...
 
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
40 ĐỀ THI THỬ TUYỂN SINH VÀO LỚP 10 MÔN TIẾNG ANH NĂM HỌC 2024 - 2025 SỞ GIÁO...
 
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
BÀI TẬP BỔ TRỢ TIẾNG ANH LỚP 8 CẢ NĂM CÓ TEST ÔN TẬP ĐỊNH KÌ + NÂNG CAO - FRI...
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ THI THAM KHẢO KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤ...
 
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptxIELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
IELTS READING - Earth’s lakes are under threat.pptx
 
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ MINH HỌA KÌ THI TỐT NGHIỆP THPT NĂM 2024 TỪ BỘ GIÁO DỤC MÔN...
 
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
40 ĐỀ LUYỆN THI ĐÁNH GIÁ NĂNG LỰC ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH NĂM ...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY MÔN VẬT LÝ 11 CẢ NĂM (SÁCH KẾT NỐI TRI THỨC) THEO CÔ...
 
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
CHUYÊN ĐỀ DẠY THÊM HÓA HỌC LỚP 11 CHUNG 3 BỘ SÁCH NĂM 2024 HỆ THỐNG BÀI TẬP B...
 
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.pptlịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
lịch sử đảng cộng sản việt nam chương 1.ppt
 
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
TỔNG HỢP HƠN 100 ĐỀ THI THỬ TỐT NGHIỆP THPT TOÁN 2024 - TỪ CÁC TRƯỜNG, TRƯỜNG...
 
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
GIÁO ÁN KẾ HOẠCH BÀI DẠY SINH HỌC 10 CHÂN TRỜI SÁNG TẠO - CẢ NĂM THEO CÔNG VĂ...
 
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
SÁNG KIẾN PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC TỰ LÀM MÔ HÌNH KHI TÌM HIỂU KIẾN THỨC “THẠCH QU...
 

Pt to-hop-nhi-thuc-newton

  • 1. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học & Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com BÀN VÊ HAI DNG TOÁN CA GII TÍCH TO HP -------- LÊ NGÔ NHẬT HUY (Bến Tre) Giải tích Tổ hợp là một mảng Toán khó trong Đại Số, do độ rộng của dạng Toán này nên trong chuyên đề chỉ đề cập hai vấn đề chính: Phương trình Tổ hợp và Nhị thức Newton, trước khi vào nội dung chính, ta nhắc lại các công thức sau: I/ CÔNG THỨC TỔ HỢP, NHỊ THỨC NEWTON. * Với n và k thuộc tập hợp các số tự nhiên ta có các công thức sau: 1) Công thức hoán vị: P = n!= n(n -1)(n - 2).......3.2.1. n ( n giai thừa, n 1). 2) Công thức chỉnh hợp: Ak n £ £ (1 ) ! n - ( )! k n n k = 3) Công thức Tổ hợp: n £ £ (0 ) ! n - !( )! k n k n k Ck = * Một số tính chất số Tổ hợp: k n C C C C C C - n k n + k - 1 = k , k + k = n n n n 1 - - + - 1 1 1 *Khai triển nhị thức Newton: ( ) n = + n =Σ k n k k (I) P a b a b C a - b ( , ) . . 0 n k = + Có n + 1 số hạng trong khai triển. + Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng số mũ của nhị thức. 4) Các công thức biến đổi với số mũ. ( ) n n m a n m - + = = = 1) . , 2) a n m , 3) a n . a m a n m , m m a  - = n n m =  , 5) . a a 1 4) n n a a a a   II/ PHƯƠNG TRÌNH TỔ HỢP Phương trình tổ hợp là phương trình (PT) có ẩn số nằm trong các công thức tổ hợp, chỉnh hợp, hoán vị. Ví dụ 1: Giải phương trình : 1 2 3 7 2 x x x C +C +C = x (1) Lời giải: Điều kiện: xÎN; x ³ 3 . Sử dụng công thức tổ hợp, ta có: ( 1 ) Û x ! + x ! x ! 7 1! ( x - 1 ) ! 2! ( x - 2 ) + = x ! 3! ( x - 3 ) ! 2 ( )( ) x Û x ( x - 1) x x - 1 x - 2 x + + = 7 2 6 2 ( ) ( )( ) Û + - + - - = 6 3 1 1 2 21 x x x x x x x ( )      = 0 = - = Û - = Û - = Û 4 4 3 2 16 0 16 0 x x x x x x x Đối chiếu nghiệm với ĐK đề bài ta có PT (1) có nghiệm là x = 4. Ví dụ 2: Giải phương trình: 2 C 3 - C 2 = . A 2 (2) x - 1 x - 1 3 x - 2 Lời giải: Đk: x ³ 4, xÎN .Sử dụng công thức tổ hợp, ta có: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = - - - - 1 ! - Û - 1 ! - 2 . 3 x 2! 3 ! x 3! 4 ! x x x x ( )( ) ( ) ( ) (2) Û - - - - = 2 - . 3 3 = 1 x  =  2 1 3 x x x 6 Û - + = Û 9 2 11 18 0 2 ! 4 ! 2 x x x x So với ĐK đầu bài PT (2) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 9. Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 1
  • 2. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Ví dụ 3: Giải phương trình: + - + - = + + (3) A 3 C - 1 C - 3 x 2 P x x x 1 1 6 2 x 3 x 3 159 Lời giải: Đk : x ³ 3, xÎN . ! - - + + x x x (3) Û = x 2 + + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 6! 159 3 1 ! - 2! 3 ! 2 1 ! - 2! 1 ! 3 ! - x x x 3 ( )( ) ( ) ( )( ) 2 13 15 1764 0 Û - - + + - - - = 2 + 1 2 3 879 x x x x x x x x 2 1 2 1 Û x 3 - x 2 + x - = Đến đây bằng cách nhập PT này vào máy tính ta tìm được một nghiệm x = 12 .Sử dụng sơ đồ Horner tách PT trên ta được: (x -12)(2x2 +11x +147)= 0 Û x =12 vô nghiêm Từ ĐK x ³ 3, xÎN nên PT (3) chỉ có duy nhất một nghiệm x = 12. Ví dụ 4: Giải phương trình (ẩn n): C 6 + 3 C 7 + 3 C 8 + C 9 = 2 C 8 (4) n n n n n + 2 Lời giải: Đk: n ³ 9,nÎN ,theo tính chất số Tổ hợp + - 1 = , ta có C k C k C k n n n 1 + ( ) + + + = + + + + + 6 7 8 9 6 7 7 8 8 9 C C C C C C C C C C n n n n n n n n n n + + + + + + = + + = + = 9 3 9 2 8 2 3 3 2 9 1 8 1 7 1 2 C C C C C C n n n n n n Vậy, theo giả thiết tương đương với: ( ) ( ) ( ) ( ) = + 2 2 ! - n 8! 6 ! 3 ! = Û + + + - n 9! 6 ! n n Û + = Û = 2 15 9 3 2 8 2 9 3 n n C Cn n Từ điều kiện đầu bài ta có PT (4) có duy nhất một nghiệm là n = 15. Lưu ý: Khi giải PT tổ hợp ta làm như sau: + Đặt đk cho ẩn số, với một chú ý đối với số tổ hợp thì 0 £ k £ n , ví dụ: 8 n+3 C thì đk của n là: n + 3 ³ 8Û n ³ 5 . +Trong trường hợp có nhiều số tổ hợp chứa ẩn thì phải chọn đk cho ẩn tổng quát và bao hàm nhất, ví dụ: 7 C 9 + C thì đk là: n +1 n + 2    + 1 ³ 9 Û ³ 8 2 7 5 n n + ³ Û ³ n n Û n ³ 8 . + Sử dụng các công thức về hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp, hoặc tính chất số tổ hợp (nếu được) để biến đổi, rút gọn và giải PT. + Đối chiếu nghiệm tìm được với đk của bài toán để kết luận. III/ NHỊ THỨC NEWTON. Hai vấn đề chính thường gặp đối với dạng này là : Khai triển nhị thức và tìm hệ số của đa thức, ta xét cụ thể các ví dụ sau: Ví dụ 1: Khai triển ( )5 x - y thành tổng các đơn thức. Lời giải: Theo công thức Nhị thức Newton ta có: ( ) [ ( )] ( ) ( ) ( ) - = + - = - + - + - + 1 4 5 0 5 0 5 5 5 x y x y C x y C x y C x y + - + - + - ( ) ( ) ( ) . 5 0 5 C x y C x y C x y 5 4 4 5 3 2 3 5 2 3 2 5 = x5 - 5x4 y +10x3 y 2 -10x2 y3 + 5xy4 - y5 . Ví dụ 2: Tìm số hạng không chứa x trong 6 khai triển ( ) 1   =  -  ¹   A x 2x , (x 0) 2 x . Lời giải: Với ; 6 = 2 ; = - 1 n = 2 a x b , Từ (I) ta có: x ( ) 6 = Σ ( )  - Σ Σ ( )   k k . 2 .  6 A x C x 6 0 1 2 6 6 k k k k k k x = k k - k k k = - .2 .( 1) . . .2 . 1 . C x x C x = - - = - - - - = 0 6 6 3 6 0 6 6 2 6 k k Do là số hạng không chứa x nên ta tìm k sao cho 6 - 3k = 0Û k = 2 Vậy số hạng cần tìm là 2 .26 2.( 1)2 240 6 C - - = Ví dụ 3: Tìm số hạng chứa x8 trong khai 12 triển ( ) =    + 5  ¹   1 B x x , (x 0) 3 x . Lời giải: 5 Ta có 1 ; 2 , 12 = = x- 3 b = x 5 = x n = x 3 a Từ (I) ta có: ( ) Σ ( ) 12 Σ B x Ck x k x C k x k 12 . . . = - + 12 =   5 - - =       = 0 72 11 2 12 0 2 3 12 k k k - 72 + 11 k = Û = Tìm k sao cho 8 8 2 k 12 C = . Vậy số hạng cần tìm là : 8 495 Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 2
  • 3. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Ví dụ 4: Xét khai triển C(x, y) = (x3 + xy)15 .Tìm hệ số chứa x21y12 . Lời giải: Ở đây, ta có a = x3 , b = xy, n = 15 Từ (I) ta có ( ) Σ ( ) 15 Σ C x y Ck x k xy k C x y Đến đây, ta tìm k sao cho k k k 15 , . .( ) . . = - 15 - = = = 0 45 2 15 0 3 15 k k 12 - = 45 2 21 12 Û =    = k k k . Vậy hệ số chứa x21 y12 là 12 455 15 C = . Ví dụ 5: Tìm hệ số chứa x7 trong khai triển ( ) 2 ( ) 2 =    -  , ¹ 0, ÎN   n D x x x n x , biết n thỏa mãn hệ thức sau: 3 2 3 1 4 2 n n n C C A + + = . Lời giải: Đk: n ³ 2; nÎN. Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương : ( ) ! ! 2. 1 ! = + + n n n ( - ) ( ) ( ) .( 1) 1 2 2 22 11 6 3! 2 ! 4 3 ! - 2! 2 ! 4. - n n n Û n + + = n - Û n = Û n = = 2 = - 2 , = - x-1 n = Ta có 2. , 11 x a x b Từ (I) ta có ( 11 11 D x ) =Σ Ck ( x 2 ) 11 - k . ( - 2 x - 1 ) k =Σ C . ( - 2 )k . x22 - 3 k 11 = k = k k 0 11 0 Tìm k sao cho 22 - 3k = 7 Û k = 5 Vậy số hạng cần tìm là : C 5 .( - 2) 5 = - 14784 11 Ví dụ 6: Tìm số hạng không chứa x trong khai triển ( ) 3 2 n   =  +    E x x x , biết rằng n thỏa mãn hệ thức: 9 8 ( ) 3 2 2 , 0, . n n C + C + x n = ÎN Lời giải: Đk: n ³ 6; nÎ N . Theo công thức tổ hợp thì hệ thức tương đương : ( ) ( ) ( ) ( ) Û + 3 = 15 2 8! 9! 2 ! = + - n 8! 6 ! 2. 3 ! + - n 9! 6 ! n Û n = n n 2 - 1 x n 1 Ta có 2. , 15 =3 = , = = 2 = a x x 3 b x Từ (I) ta có: ( ) 15 Σ Σ E x Ck x x C k k x Ta k k 15 . 2. .2 . = - 15 = - -  =    15 1             = 0 30 5 6 15 0 2 1 3 k k k 30 - 5 k = Û = tìm k sao cho 0 6 6 k 15 C = . Vậy số hạng cần tìm là: 6 .26 320320 Ví dụ 7: Khi khai triển nhị thức Newton ( ) (1 )n G x = + ax ta được số hạng thứ hai là 24x ; số hạng thứ ba là 252x2 . Hãy tìm a và n. (a Î R; n Î N*). Lời giải: Ta có: a = 1, b = ax . Từ (I) ta có n n ( ) =Σ =Σ k n k k k k k n n G x C - ax C a x ( ) .1 . . . = = 0 0 k k *Theo đề bài số hạng thứ hai là 24x nên:    k k k n = *Theo đề bài số hạng thứ ba là 252x2 nên: = = ⇒ 1 k . . 24 C1 a . 24 (1) C a x x n    k k k n = *Từ PT(1) và PT(2) ta có hệ phương trình sau: = = ⇒ 2 2 k . . 252 2 2 . 252 (2) C a C a x x n    = . 252 (2) 1 C a . 24 (1) 2 2 = C a n n 24 PT (1) 1 Û a   = thay vào (2) ta được: C n 2 ( )  2 = Û C ( ) = =  ! n 1 2 2 n C n ( ) 252 - 2! 2 ! 7 = n n n 16     Û n C C PT C n Û = Û Û - = 2 1 7 252 24 2 n 16 Û = Û = 2 16 8 7 16 7 16 24 2 2 . 2 n 2 1 n n n 24 * Với n = 8 thay vào (1) 3 = = C 1 8 a Vậy a = 3, n = 8 . Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 3
  • 4. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Ví dụ 8: Khi khai triểnH(x) = (a + x)6 (b + x)3 (*) ta được hệ số chứa x7 là -9 ; không có số hạng chứa x8 . Hãy tìm a và b. (a,bÎ R). Lời giải: Ta có nhận xét: (*) là tích của hai nhị thức: nhị thức bậc 6 và nhị thức bậc 3. Vậy để tạo ra số hạng x7 thì phải tồn tại trong nhị thức bậc 6 các biến x4 , x5 , x6 nhân với các biến số tương ứng trong nhị thức bậc 3 là x3 , x2 , x . *Vậy trong nhị thức bậc 6 ta có: 6 Σ= Ck a - k xk số hạng chứa x4 , x5 , x6 tương 0 6 6 . . k ứng với k lần lượt là 4, 5,6. 6 0 ⇒C 4 .a 2 , C 5 .a, C .a 6 6 6 *Vậy trong nhị thức bậc 3 ta có: 3 Σ= Ck b - k xk số hạng chứa x3 , x2 , x tương ứng 0 3 3 . . k với k lần lượt là 3, 2, 1. 1 2 ⇒C 3 .b 0 , C 2 .b, C .b 3 3 3 *Hệ số chứa x7 là - 9 vậy: C 4 .C 3 .a 2 + C 5 .C 2 .ab + C 6 .C 1 .b 2 = - 9 (1) 6 3 6 3 6 3 (với quy ước a0 = 1) *Tương tự trên, đối với x8 ta cũng có: 6 6 C C b + C C a = . . . 3. 0 (2) 3 5 6 2 3 Từ PT (1) và PT (2) ta có hệ phương trình sau: + + = - 1 2 3 6 6 2 3 5 6 3 2 3 . . . . . 9 4 6 C C a C C ab C C b + = 3 3 5 6 2 3 . . . . 0 6 6 C C b C C a + + = - 2 2 2 2 15 a 18 ab 3 b 9 + = 3 6 0 ( ) ( ) + + = - 5 a 6 ab b 3 = - 2 b a 2 2 2    = 1 = - Û          Û    Û b a Û + - + - = - 5 a 6 a 2 a 2 a 3 = - a 2 b a 2 b a Vậy có hai kết quả là: a = 1, b = -2 và a = -1, b = 2 = Lưu Σý: Để tính hệ số của số hạng xa (α là một số hữu tỉ cho trước) trongkhai triển nhị thức Newton của P(x) = ( f (x))n ta làm như sau: n + Biểu diễn P ( x ) = a x g ( k ) k k 0 + Số hạng chứa α tương ứng với g(k) =a + Giải phương trình g(k) =a ta tìm được k. + Nếu k ÎN, k £ n, hệ số phải tìm là k a . Nếu k ÏN hoặc k n thì trong khai triển không có số hạng chứa xa hệ số cần tìm bằng 0. * Một số đề bài không cho bậc n của đa thức P(x) , ẩn n sẽ được cho trong một hệ thức, lúc đó ta giải PT chứa ẩn n, F(n) = 0 để tìm bậc của P(x) , sau đó ta thực hiện các bước như trên. IV/ BÀI TẬP VẬN DỤNG. 1)Giải các phương trình sau: ) + -1 + n-2 = 79 a C n C n C Đs: n = 12 n n n b ) A 3 - A 2 = 12 Đs: n = 4 n n ) n + 7( 3) Đs: n = 12 n 3 1 4 - = + + c C + C n n n 1 1 7 ) d - = Đs: x = 8 x = 3. C 1 C 2 + 6. C 1 x x 1 x + 4 2) Tìm số hạng chứa x10 trong khai triển n   3 - 1  x biết rằng n thỏa mãn hệ x 2 thức:C 4 = 13 C 2 , nÎN ,Đs: n = 15; k = 7; -6435. n n 3) Cho khai triển nhị thức  12 3 x  - 3    x a)Tìm số hạng chứa x4 . Đs: 55 k = 4; . 9 b)Tìm số hạng không chứa x Đs: k = 6; 924 . 4) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển n  3 1 . , biết rằng n thỏa mãn hệ thức: x x   15 28 x      + C + C -1 + Cn-2 = 79, (x ¹ 0, nÎN). n n Đs: 792 n n n 5) Tìm số hạng không chứa x trong khai triển n  1  + 4 . , biết rằng n thỏa mãn hệ thức: x x  x  2 1 44, ( 0, ). n n C -C = x nÎN Đs: n = 11, k=3,165. 6) a)Tìm hệ số chứa x3 trong khai triển và rút gọn của đa thức: ( )3 ( )4 ( )7 P(x) = 2x +1 - 3x +1 + x +1 Đs: - 65 b)Tìm hệ số chứa x9 trong khai triển và rút gọn của đa thức: ( )10 ( )12 Q(x) = 2 + x + 2 - x Đs: -1740 7) Xét khai triển (1- x + x2 - x3 )6 thành đa thức 18 P(x) = a + a x + a x 2 + a x 3 + ..... + a x . 0 1 2 3 18 Tìm hệ số 9 a .Đs: -580 ----HẾT---- Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 4
  • 5. Bàn về hai dạng Toán của Giải Tích Tổ Hợp (Bài viết được đăng trên đặc san Toán học Tuổi trẻ số 9 tháng 11 năm 2013) www.MATHVN.com Tác giả: Lê Ngô Nhật Huy - www.MATHVN.com Trang 5