Hidraulica de-tuberias-y-canales

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Hidraulica de-tuberias-y-canales

  1. 1. i HIDRAULICA DE TUBERIAS Y CANALES
  2. 2. ii
  3. 3. iii Arturo Rocha Felices HIDRAULICA DE TUBERIAS Y CANALES
  4. 4. xi CAPITULO I INTRODUCCION 1.1 Objetivo del libro 1.2 Esquema del contenido general 1.3 Diferencias entre canales y tuberías 1.4 Tipos de flujo 1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía 1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal 1.7 Efecto de la viscosidad 1.8 Efecto de la gravedad 1.9 Concepto de distribución de velocidades 1.10 Coeficiente de Coriolis 1.11 Coeficiente de Boussinesq 1.12 Discusión de los valores de α y β 1.13 Relación entre los coeficientes α y β 1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β 1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal Problemas propuestos 1 1 3 4 7 9 11 15 15 21 23 24 25 27 32 38 CONTENIDO Presentación v Prólogo vii Palabras Preliminares del Autor ix Indice de Figuras xvi Indice de Tablas xxi Lista de Símbolos Principales xxiii
  5. 5. xii 43 46 52 55 62 69 72 75 76 79 82 87 91 94 95 98 101 103 104 109 CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME 2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías 2.2 Relación entre el corte y la inclinación 2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminar 2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminar 2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso 2.6 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos lisos 2.7 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente rugoso 2.8 Obtención de las ecuaciones de la velocidad media en conductos rugosos 2.9 Obtención de la ecuación de Chezy 2.10 Concepto de rugosidad. Conductos hidráulicamente lisos e hidráulicamente rugosos 2.11 Transformación de las ecuaciones de Karman - Prandtl Problemas propuestos CAPITULO III LA RESISTENCIA DE SUPERFICIE EN EL MOVIMIENTO UNIFORME 3.1 Ecuación de Darcy 3.2 Significado del coeficiente f de Darcy ( en tuberías circulares) 3.3 Tuberías hidráulicamente lisas 3.4 Tuberías hidráulicamente rugosas. Transición. Gráfico de Nikuradse 3.5 Introducción del coeficiente f de Darcy en las ecuaciones de distribución de velocidades 3.6 Transición entre contornos lisos y rugosos. Fórmula de Colebrook - White 3.7 Dimensionamiento de conductos. Conceptos fundamentales. Errores 3.8 Tuberías de sección no circular
  6. 6. xiii 3.9 Ley exponencial de distribución de velocidades 3.10 Concepto de capa límite 3.11 Espesor de la capa límite 3.12 Desarrollo de la capa límite 3.13 La separación. Expansión de un conducto Problemas propuestos CAPITULO IV DISEÑO DE TUBERIAS 4.1 Concepto de pérdida de carga. Línea de energía y línea piezométrica 4.2 Abaco de Moody. Tuberías comerciales. Cálculo 4.3 Pérdidas de carga locales (flujo turbulento) 4.4 Sobre la consideración de las pérdidas de carga locales 4.5 Pérdidas de carga locales (flujo laminar) 4.6 Sistemas hidráulicos equivalentes 4.7 Tuberías en serie 4.8 Tubería sobre la línea de gradiente. Sifón. Cavitación 4.9 Tubería con boquilla convergente final 4.10 Máquinas hidráulicas. Suministro por bombeo Problemas propuestos CAPITULO V DISEÑO DE CONDUCCIONES Y REDES 5.1 Tuberías en paralelo 5.2 El problema de los tres reservorios 5.3 Bombeo de un reservorio a otros dos 5.4 Tuberías con dos o más ramales de descarga independiente 5.5 Conducto que da servicio (filtrante) 5.6 Cambio de la rugosidad con el tiempo 5.7 Fórmula de Hazen y Williams 5.8 Diseño de una conducción 5.9 Diámetro más económico 5.10 Redes de tuberías. Método de Hardy Cross Problemas propuestos Problemas complementarios 111 121 123 125 126 130 135 138 150 163 166 168 170 174 177 180 186 193 199 205 210 211 215 218 223 228 229 237 249
  7. 7. xiv CAPITULO VI CALCULO DE CANALES 6.1 Condiciones normales 6.2 Fórmulas antiguas 6.3 Fórmula de Manning 6.4 Discusión de los valores del coeficiente de rugosidad n a emplearse en la fórmula de Manning 6.5 Determinación de la sección transversal 6.6 Sección de máxima eficiencia hidráulica (M. E. H.) 6.7 Concepto de borde libre 6.8 Cálculo de canales de sección compuesta 6.9 Escurrimiento en tubo parcialmente lleno Problemas propuestos CAPITULO VII ENERGIA ESPECIFICA Y MOMENTA 7.1 Energía específica 7.2 Energía específica a gasto constante 7.3 Sección rectangular 7.4 Sección parabólica 7.5 Sección triangular 7.6 Sección trapecial 7.7 Sección circular y otras secciones 7.8 Flujo crítico normal. Pendiente crítica 7.9 Pendiente crítica mínima (pendiente límite, LS ) 7.10 Transiciones 7.11 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la energía específica 7.12 Fuerza Específica (Momenta) 7.13 Salto hidráulico 7.14 Descarga por una compuerta de fondo Problemas propuestos CAPITULO VIII MOVIMIENTO GRADUALMENTE VARIADO 8.1 Introducción 8.2 Definiciones fundamentales 257 260 265 271 272 281 288 292 296 317 323 325 335 347 350 353 361 365 369 371 377 378 382 387 389 395 399
  8. 8. xv 8.3 Ecuación general del movimiento gradualmente variado 8.4 Discusión de la ecuación del eje hidráulico 8.5 Análisis de los seis casos del movimiento gradualmente variado 8.6 Cambios de pendiente (perfiles de continuidad) 8.7 Curva de remanso Problemas propuestos CAPITULO IX VERTEDEROS 9.1 Objeto de los vertederos. Tipos 9.2 Vertederos rectangulares. Fórmula teórica de descarga 9.3 Fórmula de Francis 9.4 Otras fórmulas para vertederos rectangulares 9.5 Vertederos triangulares 9.6 Vertederos trapeciales. Vertedero tipo Cipolletti 9.7 Condiciones para la instalación y operación de vertederos 9.8 Vertederos en pared gruesa (o de cresta ancha) 9.9 Vertederos laterales 9.10 Errores en el cálculo del gasto como consecuencia de un error en la medición de la carga 9.11 Vaciamiento de un depósito por un vertedero 9.12 Vertedero sumergido Problemas propuestos Tablas Generales Referencias Bibliográficas 401 407 409 418 423 451 455 466 469 471 478 483 485 487 490 492 493 497 502 507 513
  9. 9. xvi INDICE DE FIGURAS Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías 3 Figura 1.2 Esquema de un piezómetro 4 Figura 1.3 Tipos de flujo 5 Figura 1.4 Movimientos variados 6 Figura 1.5 Teorema de Bernoulli 8 Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal 10 Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho 10 Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios fluidos 13 Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para diferentes gases y líquidos 14 Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para varios tipos de aceite 14 Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal 16 Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería 17 Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento 17 Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar 18 Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) 18 Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial 19 Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 19 Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo 20 Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos 20 Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss 28 Figura 1.19 Ecuación de la energía 33 Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (mediciones) 35
  10. 10. xvii Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal 44 Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería 45 Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 46 Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal 48 Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería 49 Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería 51 Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar 53 Figura 2.8 Subcapa laminar 65 Figura 2.9 Relación entre parámetros adimensionales para el cálculo de la distribución de velocidades 67 Figura 2.10 Flujo a través de un anillo 71 Figura 2.11 Distribución de velocidades en un contorno rugoso 73 Figura 2.12 Coeficiente C de Chezy 78 Figura 2.13 Aspereza del contorno 80 Figura 2.14 Rugosidad artificial de Nikuradse 80 Figura 3.1 Equilibrio de fuerzas en una tubería 91 Figura 3.2 Coeficiente f de Darcy en tuberías lisas 98 Figura 3.3 Coeficiente f de Darcy en tuberías rugosas 99 Figura 3.4 Gráfico de Nikuradse 100 Figura 3.5 Flujo paralelo 122 Figura 3.6 Generación de una capa límite 122 Figura 3.7 Definición del espesor de la capa límite 123 Figura 3.8 Espesor de la capa límite 124 Figura 3.9 Capa límite laminar y turbulenta 126 Figura 3.10 Variación del gradiente de presiones 127 Figura 3.11 Fenómeno de la separación 127 Figura 3.12 Desarrollo de la capa límite en una expansión 128 Figura 3.13 Aparición de contracorrientes 128 Figura 4.1 Ecuación de la energía en una tubería 135 Figura 4.2 Abaco de Moody 140
  11. 11. xviii Figura 4.3 Pérdida de carga local 150 Figura 4.4 Gráfico de Gibson (ensanchamiento gradual) 155 Figura 4.5 Contracción brusca 157 Figura 4.6 Tuberías en serie (dos tramos) 170 Figura 4.7 Tuberías en serie (tres tramos) 171 Figura 4.8 Esquema de un sifón 175 Figura 4.9 Tubería con boquilla convergente final 178 Figura 4.10 Presencia de una bomba 180 Figura 4.11 Esquema genérico de un suministro por bombeo 181 Figura 5.1 Sistema de tuberías en paralelo 193 Figura 5.2 Línea piezométrica en un sistema en paralelo 194 Figura 5.3 Varias tuberías en paralelo 194 Figura 5.4 Tubería ramificada 196 Figura 5.5 Tres reservorios 199 Figura 5.6 Tres reservorios (caso particular) 200 Figura 5.7 Cuatro reservorios 202 Figura 5.8 Bombeo de un reservorio a otros dos 206 Figura 5.9 Tuberías con ramales de descarga independiente 210 Figura 5.10 Conducto que da servicio 211 Figura 5.11 Cálculo de un conducto filtrante 214 Figura 5.12 Diseño de una conducción 223 Figura 5.13 Determinación del diámetro en una conducción 224 Figura 5.14 Línea piezométrica para la línea de conducción del ejemplo 5.8 227 Figura 5.15 Esquema típico de una red de tuberías 230 Figura 6.1 Comparación de varias secciones transversales que se caracterizan por tener todas un radio hidráulico de 1 m 274 Figura 6.2 Curvas para determinar el tirante normal (Ven Te Chow) 278 Figura 6.3 Borde libre recomendado por el Bureau of Reclamation 290 Figura 6.4 Tabla orientativa para el cálculo del borde libre en canales 291 Figura 6.5 Cálculo de un tubo parcialmente lleno 297 Figura 6.6 Características geométricas en una sección circular 301
  12. 12. xix Figura 6.7 Elementos hidráulicos proporcionales en una sección circular 302 Figura 7.1 Interpretación gráfica de la Energía Específica 324 Figura 7.2 Gráfico de la Energía Específica a gasto constante 326 Figura 7.2a Variación de la energía específica y el tirante 334 Figura 7.3 Distribución de la Energía Específica en un canal rectangular 336 Figura 7.4 Diagrama adimensional de la Energía Específica en canal rectangular 339 Figura 7.5 Curva de descarga para Energía Específica constante 342 Figura 7.6 Gráfico para el ejemplo 7.3 344 Figura 7.7 Distribución de la Energía Específica en un canal parabólico 348 Figura 7.8 Distribución de la Energía Específica en un canal triangular 351 Figura 7.9 Cálculo del tirante crítico (Ven Te Chow) 358 Figura 7.10 Gráfico para el cálculo de secciones críticas 363 Figura 7.11 Grada positiva en un río 373 Figura 7.12 Grada negativa en un río 373 Figura 7.13 Grada positiva en un torrente 374 Figura 7.14 Grada negativa en un torrente 374 Figura 7.15 Valor máximo de la grada positiva 375 Figura 7.16 Curva Energía Específica - Tirante para diferentes caudales 375 Figura 7.17 Interpretación de la caída libre desde el punto de vista de la Energía Específica 378 Figura 7.18 Gráfica para la deducción de la ecuación de la Fuerza Específica 378 Figura 7.19 Fuerza Específica 380 Figura 7.20 Salto hidráulico 382 Figura 8.1 Distribución de presiones en diferentes tipos de flujo 396 Figura 8.2 Presión en un punto de la corriente 397 Figura 8.3 Corriente peraltada y corriente deprimida 399 Figura 8.4 Ríos y torrentes 400 Figura 8.5 Pendientes suaves y fuertes 400 Figura 8.6 Movimiento gradualmente variado 402
  13. 13. xx Figura 8.7 Intersección del eje hidráulico con cyy = 408 Figura 8.8 Esquema para el cálculo de la curva de remanso 426 Figura 8.9 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante maxy determinado por la condición de entrega al lago. 427 Figura 8.10 Para el cálculo de la curva de remanso se parte del tirante miny determinado por la grada. 427 Figura 9.1 Descarga sobre un vertedero rectangular en pared delgada 456 Figura 9.2 Red de corriente característica de una napa vertiente libre ( HP >>> ) 457 Figura 9.3 Se aprecia tres casos de napa deprimida 459 Figura 9.4 Detalle de las características geométricas de la napa vertiente en un vertedero en pared delgada, convenientemente aireada. Esta figura es un detalle de la Figura 9.1 460 Figura 9.5 Vertederos en pared gruesa, según dibujo de Balloffet 461 Figura 9.6 Diferentes formas de vertederos 463 Figura 9.7 Vertedero con paramento inclinado (a y b) y vertedero entrante (c) 464 Figura 9.8 Vertedero que forma un ángulo con la dirección de la corriente 464 Figura 9.9 Otros tipos de vertederos 465 Figura 9.10 Esquema para la deducción de la fórmula de descarga en un vertedero rectangular 466 Figura 9.11 Gráfico para la determinación de LK 473 Figura 9.12 Coeficiente de descarga en un vertedero trapecial 474 Figura 9.13 Coeficientes de descarga en vertederos triangulares 481 Figura 9.14 Vertedero tipo Cipolletti 485 Figura 9.15 Valores orientativos de las mínimas distancias a tenerse en cuenta para instalar un vertedero rectangular con contracciones. 486 Figura 9.16 Perfil característico de un vertedero en pared gruesa 488 Figura 9.17 Vertedero lateral 491 Figura 9.18 Vaciamiento de un depósito por medio de un vertedero 493 Figura 9.19 Esquema típico de un vertedero sumergido 497 Figura 9.20 Flujo ondulado que puede presentarse aguas abajo de un vertedero sumergido 498
  14. 14. xxi INDICE DE TABLAS Tabla 1.1 Valores aproximados de α y β (Kolupaila) 25 Tabla 1.2 Factores adimensionales para las ecuaciones de Strauss 30 Tabla 2.1 Valores de la rugosidad absoluta k 74 Tabla 4.1 Valores de f para el agua 144 Tabla 4.2 Coeficientes de Weisbach para contracciones bruscas 158 Tabla 4.3 Pérdidas de carga locales 160 Tabla 5.1 Intensidad de aumento de la rugosidad 216 Tabla 5.2 Coeficientes de Hazen y Williams 219 Tabla 5.3 Cálculos del ejemplo 5.9 236 Tabla 6.1 Valores de la rugosidad absoluta k 259 Tabla 6.2 Valores del coeficiente n de Kutter que generalmente se usa en los diseños 262 Tabla 6.3 Valores del coeficiente m de rugosidad a usarse en la fórmula de Kutter para pendientes mayores que 0,0005 263 Tabla 6.4 Valores del coeficiente G de rugosidad a utilizarse en la fórmula de Bazin 264 Tabla 6.5 Tabla de Cowan para determinar la influencia de diversos factores sobre el coeficiente n 273 Tabla 6.6 Secciones circulares parcialmente llenas 304 Tabla 6.7 Propiedades hidrálicas de conductos circulares 309 Tabla 6.8 Propiedades hidráulicas de conductos en herradura 311 Tabla 6.9 Sección trapecial de máxima eficiencia hidráulica 313 Tabla 6.10 Secciones de máxima eficiencia hidráulica 315 Tabla 6.11 Elementos geométricos de diversas secciones 316 Tabla 7.1 Ejemplo 7.3 ( q = 1 m3 /s/m) 345
  15. 15. xxii Tabla 7.2 Secciones críticas ( gVyE cc 22 += ) 360 Tabla 8.1 Resumen de la discusión de los seis casos del movimiento gradualmente variado 416 Tabla 8.2 Función de flujo variado para pendientes positivas y negativas 436 Tabla 9.1 Coordenadas características de una napa vertiente libre 458 Tabla 9.2 Coeficientes en vertederos triangulares 481 Tabla 9.3 Coeficientes en vertederos de cresta ancha 490 Tabla 9.4 Ejemplo 9.2 496 Tabla 9.5 Valores de N para usarse en la fórmula 9-41 499
  16. 16. xxiii LISTA DE SIMBOLOS PRINCIPALES A Area de la sección transversal SA Area de la sección transversal de salida a Rugosidad absoluta a Altura de una grada B Ancho de fondo b Ancho b Longitud de la cresta de un vertedero ..lb Borde libre C Coeficiente de Chezy HC Coeficiente de Hazen y Williams c Coeficiente de descarga en vertederos cc Coeficiente de contracción vc Coeficiente de velocidad D Diámetro de la tubería d Tirante hidráulico E Energía e Constante de los logaritmos neperianos F Número de Froude fF Fuerza debida a la fricción f Coeficiente de Darcy G Coeficiente de rugosidad de Bazin H Carga de agua H Energía total con respecto a un plano de referencia bombaH Energía suministrada por una bomba SH Altura de succión iH Altura de impulsión fh Pérdida de carga o energía
  17. 17. xxiv ih Altura del salto hidráulico loch Pérdida de carga local rozh Pérdida de carga por rozamiento vorth Pérdida de carga por la formación de vórtices Vh Energía de velocidad o cinética K Coeficiente de pérdida de carga K Factor de capacidad nK Factor de capacidad para condiciones normales k Rugosidad absoluta 0k Rugosidad inicial (al ponerse en servicio el conducto) tk Rugosidad después de transcurrido el tiempo t L Longitud de un vertedero eL Longitud equivalente L. E. Línea de energía L. P. Línea piezométrica o de gradiente hidráulica M Exponente hidráulico para el cálculo de las condiciones críticas m Relación de máxima eficiencia hidráulica m Coeficiente de rugosidad para la fórmula de Kutter N Exponente hidráulico para el cálculo del movimiento uniforme N Coeficiente de reducción de carga en un vertedero sumergido n Coeficiente de Kutter n Parámetro característico de la curva de distribución de velocidades P Umbral de un vertedero P Perímetro P Fuerza hidrostática p Presión vp Presión absoluta de vaporización Pot Potencia Q Caudal o gasto nQ Gasto para un flujo normal
  18. 18. xxv cQ Gasto crítico q Caudal o gasto específico R Radio hidráulico Re Número de Reynolds r , or Radio de la tubería S Pendiente S Pendiente media cS Pendiente crítica ES Pendiente de la línea de energía LS Pendiente límite WS Pendiente de la superficie libre 0S Pendiente del fondo T Ancho superficial T Temperatura V Velocidad media cV Velocidad crítica hV Velocidad a la distancia h del contorno maxV Velocidad máxima *V Velocidad de corte W Peso w Velocidad de caida de una partícula y Tirante y Eje de coordenadas cy Tirante crítico ny Tirante normal y Profundidad del centro de gravedad Z Factor de sección cZ Factor de sección para flujo crítico z Elevación con respecto a un plano de referencia
  19. 19. xxvi α Coeficiente de Coriolis 1α Velocidad de aumento de la rugosidad β Coeficiente de Boussinesq δ Espesor de la subcapa laminar Lδ Espesor de la capa límite laminar Tδ Espesor de la capa límite turbulenta κ Constante de Karman ρ Densidad del fluido γ Peso específico η Eficiencia de la bomba µ Viscosidad dinámica o absoluta ν Viscosidad cinemática τ Esfuerzo de corte 0τ Esfuerzo de corte sobre el fondo o el contorno hτ Esfuerzo de corte a la distancia h del contorno 0τ Esfuerzo medio de corte sobre el fondo θ Angulo E∆ Variación de energía p∆ Diferencia de presiones
  20. 20. xxvii
  21. 21. 1 IntroducciónCapítulo I 1.1 Objetivo del libro El objetivo de este libro es proporcionar al lector los conocimientos fundamentales de Hidráulica y Mecánica de los Fluidos que se requieren para el diseño de tuberías y canales y para otras aplicaciones de Hidráulica General. En este libro se presenta el modo de predecir el escurrimiento y los fenómenos de corriente para ciertas condiciones dadas. De otro lado, se ofrece también los conocimientos básicos para el estudio posterior de Hidráulica Fluvial, Irrigación, Drenaje, Abastecimientos de Agua, Hidroelectricidad, etc. El desarrollo de los temas se apoya en conceptos básicos de Mecánica de Fluidos adquiridos anteriormente en los siguientes temas: Hidrostática, Cinemática de los Fluidos, Ecuaciones de Euler, Navier-Stokes y Bernoulli, Semejanza Hidráulica y Análisis Dimensional. En la Hidráulica de tuberías y canales trabajaremos con fluidos reales como agua, aceite o petróleo. Al tener estos fluidos viscosidad habrá que admitir la existencia de tensiones tangenciales en el interior de la masa fluida y tendremos que apartarnos de la Hidrodinámica clásica. 1.2 Esquema del contenido general Este libro consta de nueve capítulos cuyo contenido sintético es el siguiente Capítulo I: Introducción. Objetivos. Tipos de flujo. Efecto de la gravedad y de la viscosidad. Concepto de distribución de velocidades. Coeficientes de Coriolis y Boussinesq. Comparación entre tuberías y canales. CAPITULO I INTRODUCCION
  22. 22. 2 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Capítulo II. Movimiento uniforme. Ecuaciones de distribución de velocidades para el flujo laminar y turbulento. Conceptos de rugosidad, contorno liso y subcapa laminar. Fórmulas de la velocidad media. Ecuación de Chezy. Capítulo III. La resistencia en el movimiento uniforme. Ecuación de Darcy, Ecuación de Blasius. Ecuaciones de resistencia de Karman-Prandtl. Gráfico de Nikuradse. Ley exponencial de distribución de velocidades. Errores. Concepto de capa límite. El fenómeno de separación. Capítulo IV. Diseño de tuberías. Abaco de Moody. Cálculo de la pérdida de carga, diámetro y gasto. Cambio de la rugosidad con el tiempo. Pérdidas de cargas locales. Tubería equivalente, Tubería en serie. Sifón. Bombeo. Capítulo V. Diseño de conducciones y redes. Tuberías en paralelo. Fórmula de Hazen y Williams. Problema de los tres reservorios. Conducto que da servicio. Otros sistemas indeterminados. Redes. Método de Hardy Cross. Capítulo VI. Cálculo de canales. Flujo normal. Fórmulas de Ganguillet-Kutter, Bazin y Manning. Discusión del coeficiente n. Cálculo de la sección de un canal. Sección de máxima eficiencia hidráulica. Conceptos de borde libre. Rugosidad compuesta. Sección circular parcialmente llena. Capítulo VII. Energía específica y Momenta. Significado de la energía específica. Régimen crítico: ríos y torrentes. Cálculo de velocidad crítica. Ecuación de la cantidad de movimiento. Concepto de momenta. Salto hidráulico. Su uso como disipador de energía. Capítulo VIII. Movimiento gradualmente variado. Hipótesis general para su estudio. Ecuación del eje hidráulico. Pendiente suave y pendiente fuerte. Discusión de la ecuación del eje hidráulico y presentación de los seis casos del movimiento gradualmente variado. Cálculo de la curva de remanso. Capítulo IX. Vertederos. Su objeto y uso. Tipos. Su objeto y uso. Tipos. Fórmula General. Vertederos rectangulares, triangulares y trapeciales. Vertedero de cresta ancha. Vertedero Sumergido.
  23. 23. 3 IntroducciónCapítulo I 1.3 Diferencias entre canales y tuberías Son varias las diferencias que pueden establecerse entre el flujo en un canal y en una tubería. El canal tiene una superficie libre que está en contacto con la atmósfera. En la tubería el líquido está confinado. Es un conducto cerrado. Hay presión ejercida por el fluido sobre el contorno. (Figura 1.1). La diferencia entre un canal y una tubería no está, pues, en la forma de la sección transversal, sino en el comportamiento hidráulico. Superficie libre TUBERIA CANAL Figura 1.1 Diferencia entre canales y tuberías En las tuberías la presión ejercida por el fluido en cada punto está representada gráficamente por la altura que alcanza el líquido en un pequeño tubo (piezómetro) conectado a la tubería, tal como puede verse en la Figura 1.2 en la que p es la presión y γ es el peso específico del fluido. La altura que alcanza el fluido en el piezómetro, referida a un plano horizontal, se denomina cota piezométrica. zcapiezométriCota = γ p zh += (1-1) γ p h = (1-2) En los canales por lo general el flujo es agua, en cambio en las tuberías puede tratarse de cualquier fluido (líquido o gaseoso). El flujo en un conducto cerrado, que pueda tener la forma de una tubería, no es necesariamente un escurrimiento a presión. Tal sería el caso de un túnel o un conducto de desagüe en el que, por estar parcialmente lleno, haya una superficie libre (Figura 1.15c). Al haber contacto con la atmósfera, a través de la superficie libre, el conducto es hidráulicamente un canal.
  24. 24. 4 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Piezómetro Plano de referencia h z Figura 1.2 Esquema de un piezómetro En lo que respecta a tuberías la forma más común es la circular, pero no es la única. Hay tuberías de diferentes formas: sección cuadrada, rectangular, etc. Otra de las diferencias entre ambos conductos está en la calidad de paredes; es decir en el grado de rugosidad del contorno. Las tuberías suelen ser de acero, hierro fundido, asbesto cemento, policloruro de vinilo, polietileno o poliester reforzado con fibra de vidrio, materiales cuyos grados de aspereza no son muy diferentes. En cambio los canales pueden tener superficies lisas como las anteriores o muy rugosas como aquellos con revestimiento de albañilería de piedra. En general se puede decir que los problemas en canales son más complejos que los problemas en tuberías. En una tubería dada la sección transversal es rígida y determinada. Un aumento en el gasto conlleva un aumento en la velocidad. En cambio en un canal hay una superficie libre. Un aumento en el gasto representa una variación en la sección. La sección de una tubería es en la mayor parte de los casos circular. Un canal puede ser de ordinario rectangular, trapecial, semicircular o de forma cualquiera. A pesar de las diferencias que han sido expuestas entre tuberías y canales es posible estudiar en conjunto su funcionamiento hidráulico. 1.4 Tipos de flujo Se denomina movimiento permanente a aquél que, en una sección determinada, no presenta variaciones de sus características hidráulicas con respecto al tiempo. Es decir, que en una
  25. 25. 5 IntroducciónCapítulo I sección dada el gasto, presión, velocidad, etc. permanecen constantes a lo largo del tiempo. Se dice que durante dicho intervalo el movimiento es permanente. El movimiento permanente es fácil de comprender, pero difícil de encontrar en la naturaleza. Si observamos un río durante varias horas, quizá tengamos la impresión que su caudal no cambia, pero en realidad hora a hora, minuto a minuto se están produciendo variaciones -aumentos o disminuciones- en el gasto y por lo tanto en la velocidad y en todas las características hidráulicas. Hay impermanencia. Podemos encontrar movimiento permanente en la descarga de una tubería que se alimenta de un estanque cuyo nivel permanece constante (Figura 1.3). Nivel de la superficie libre Q Figura 1.3 Tipos de flujo Se denomina movimiento impermanente a aquel que, en una sección determinada, presenta variaciones de sus características hidráulicas a lo largo del tiempo. Así por ejemplo, si observamos la descarga de una tubería, como la de la Figura 1.3, en la que ahora suponemos que el nivel de la superficie libre es variable (un nivel descendente correspondería a un caso real) se tendría que el gasto, presión, velocidad, etc. en una sección cualquiera de la tubería también serán variables con respecto al tiempo: se dice entonces que el flujo no es permanente. Es impermanente. Es variable. Hay otros casos de movimiento no permanente que podrían presentarse. Por ejemplo, en una tubería en la que bruscamente cerramos una válvula situada en su extremo se producirá una onda de sobrepresión que se propaga hacia aguas arriba. En una sección cualquiera habrá impermanencia porque las condiciones hidráulicas son variables con el tiempo. Este fenómeno de sobreelevación súbita de la presión se denomina golpe de ariete. Se dice que un tramo de canal o tubería tiene movimiento uniforme cuando las características hidráulicas son las mismas -es decir, son constantes- para cualquier sección de dicho
  26. 26. 6 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales tramo. Así por ejemplo, una tubería de sección transversal constante que se alimenta de un estanque en el que el nivel se mantiene invariable, se dice que tiene movimiento uniforme porque en todas las secciones transversales son constantes la presión, velocidad, área, etc. El movimiento es variado cuando en un tramo cambia la sección transversal, velocidad, presión o cualquier otra característica hidráulica. Si la variación se produce en una pequeña longitud se dice que el movimiento es rápidamente variado. Ejemplo típico sería la presencia de una grada en un canal. Sobre la grada hay fuerte curvatura de las líneas de corriente y rápida variación de la velocidad: es un movimiento rápidamente variado, M. R. V. (Ver Figura 1.4). Se llama movimiento gradualmente variado a aquel en el que la variación de las características hidráulicas se produce suavemente, lentamente a lo largo de una gran longitud. De acá su nombre de gradual. Si tenemos un canal con movimiento uniforme en el que hay una grada o caída habrá una cierta extensión en la que se desarrolla un movimiento que es una especie de transición o empalme entre el movimiento uniforme, que hay en el canal fuera de la zona de influencia de la grada, y el movimiento rápidamente variado que, como se señaló anteriormente, se produce sobre la grada. Ese tramo de transición o empalme es un movimiento gradualmente variado M. G. V. (Figura 1.4) M. uniforme M. G. V. M. R. V. y Figura 1.4 Movimientos variados En el ejemplo de la Figura 1.4, el movimiento deja de ser uniforme cuando hay un cambio en el tirante y , por pequeño que sea este cambio. A partir de ese cambio el movimiento es gradualmente variado. No se puede establecer con precisión la sección en la cual un movimiento deja de ser gradualmente variado para convertirse en rápidamente variado (M. R. V.).
  27. 27. 7 IntroducciónCapítulo I Hay muchos movimientos que estrictamente considerados son impermanentes o variados, pero que desde el punto de vista del ingeniero, interesado en la solución de un problema práctico y real, se pueden considerar como permanentes y uniformes. El movimiento rápidamente variado se estudiará para algunos casos específicos. Nuestro estudio incidirá preferentemente en el movimiento permanente y uniforme. Es éste el más frecuente en los problemas de ingeniería. Resumiendo los conceptos anteriores señalamos que la no uniformidad es la variación del régimen de corriente con respecto al espacio y que la variabilidad es el cambio del régimen de corriente con respecto al tiempo. Debe tenerse presente que en cualquier caso en el que se hable de cambio de velocidad, éste puede ser tanto en magnitud como en dirección. En los ejemplos anteriores caudal o gasto Q significa el volumen de fluido que pasa en la unidad de tiempo por una sección determinada. Sus dimensiones son L3 T-1 . Cuando se calcula el gasto por unidad de ancho se llama gasto específico. Sus dimensiones son L2 T-1 . Para los fluidos compresibles la ley de conservación de la materia exige que la cantidad de fluido que pasa por cada sección en la unidad de tiempo sea constante constanteAV =ρ siendo ρ la densidad del fluido, A el área de la sección transversal y V la velocidad media de la corriente. En el flujo incompresible la densidad es constante y la ecuación de continuidad es constanteQVAVA === 2211 (1-3) A la relación entre el gasto y el área de una sección se le denomina velocidad media A Q V = (1-4) 1.5 Teorema de Bernoulli. Ecuación de la energía La forma más conocida del teorema de Bernoulli es constantez p g V =++ γ2 2 (1-5)
  28. 28. 8 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales La suma de los tres términos es constante a lo largo de una línea de corriente en un movimiento permanente e irrotacional (para un fluido ideal). Cada uno de los tres términos tiene las dimensiones de una energía por unidad de peso del fluido. V 2 g2 1 2 V2 p γ 1 2 p γ 1z z2 E g2 Línea de corriente Plano de referencia 1 2 Figura 1.5 Teorema de Bernoulli Al primer término gV 22 , se le conoce con el nombre de energía de velocidad o energía cinética y representa la altura desde la que debe caer libremente un cuerpo, que parte del reposo, para adquirir la velocidad V . Los otros dos términos son la altura de presión y la elevación. Su suma representa la energía potencial y constituye la cota piezométrica. El teorema de Bernoulli significa que para una línea de corriente la suma de la energía cinética y la potencial es constante. En una tubería o en un canal cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli. Su representación gráfica a lo largo de una línea de corriente es la siguiente En un fluido ideal, (es decir sin viscosidad), la energía E en 1 es igual a la energía en 2. Para un fluido real habría una pérdida de energía entre 1 y 2. En realidad no es energía perdida, sino transformada en calor debido a la fricción. La ecuación de la energía para un fluido real es entonces 212 2 2 2 1 1 2 1 22 − +++=++ fhz p g V z p g V γγ (1-6)
  29. 29. 9 IntroducciónCapítulo I o bien, 2121 − += fhEE (1-7) V es la velocidad de la corriente, p la presión, z la elevación con respecto a un plano horizontal de referencia (los subíndices 1 y 2 corresponden a cada una de las dos secciones consideradas), γ es el peso específico del fluido, g la aceleración de la gravedad. E es la energía total, 21−fh es la disipación (pérdida) de energía entre las secciones 1 y 2. En un flujo paralelo se tendrá que la energía potencial (presión más elevación) es constante para toda la sección transversal. La diferencia de energía entre una línea de corriente y otra se debe a la variación de la velocidad. En un flujo paralelo la distribución de presiones es hidrostática. 1.6 Propiedades geométricas de la sección transversal Hemos señalado que hidráulicamente se denomina canal al contorno en el que el escurrimiento tiene una superficie libre en contacto con la atmósfera. Los canales pueden ser fundamentalmente de dos tipos: naturales y artificiales. Los canales naturales son los ríos, torrentes, arroyos, etc. Tienen sección transversal irregular y variable y su estudio corresponde a la hidráulica fluvial. El fondo esta constituido por partículas sólidas en movimiento (arenas, limos, piedras, etc), y se le denomina lecho móvil. Ver Figura 1.15d. Los canales artificiales son construidos por el hombre. Tienen sección transversal regular. Si su alineamiento es recto se denomina canal prismático. Las tuberías son conductos a presión que pueden tener cualquier sección transversal. Radio hidráulico ( R ). Es la relación que existe entre el área transversal y el perímetro mojado de un conducto hidráulico. P A R = (1-8) Para una tubería de sección circular se tiene 4 D R = (1-9)
  30. 30. 10 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales es decir, que el radio hidráulico es la cuarta parte del diámetro, lo que puede obtenerse fácilmente a partir de la definición general de la ecuación 1-8. En un canal se debe tener en cuenta que sólo interviene el perímetro mojado, tal como se muestra en la Figura 1.6 A T P (Perímetro mojado) y Figura 1.6 Parámetros de la sección transversal de un canal Tirante hidráulico ( d ) Es la relación que existe en un canal entre el área de la sección A y el ancho superficial T . T A d = (1-10) Tirante ( y ) Es la distancia vertical del punto más bajo del fondo del canal hasta la superficie libre. Radio hidráulico en un canal muy ancho Cuando el ancho b de un canal o río es mucho mayor que el tirante, se dice que es un canal muy ancho. Esto permite hacer un cálculo más rápido y fácil del radio hidráulico. Figura 1.7 Radio hidráulico en un canal muy ancho byA = ybP 2+= b y y yb by R 212 + = + = y b
  31. 31. 11 IntroducciónCapítulo I En un canal muy ancho b y es muy pequeño y se puede considerar yR = (1-12) Es decir, que en un canal muy ancho el radio hidráulico es igual al tirante. 1.7 Efecto de la viscosidad El efecto de la mayor o menor viscosidad del fluido sobre las condiciones del escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Reynolds. El número de Reynolds ( Re ) tiene por expresión ν VL =Re (1-13) siendo V : velocidad media del escurrimiento L : longitud característica ν : viscosidad cinemática que es igual a la relación que existe entre la viscosidad dinámica o absoluta ( µ ) y la densidad del fluido ( ρ ) En una tubería se considera generalmente como longitud característica el diámetro de la tubería ν VD =Re Algunos autores, especialmente europeos, consideran como longitud característica el radio hidráulico ν VR =Re y otros consideran como longitud característica el radio r de la tubería. En los canales se considera el radio hidráulico para la definición del número de Reynolds. La elección de la longitud característica es, pues, un asunto convencional. Cuando se menciona el número de Reynolds debe señalarse la forma en la que queda definido, o sea que se debe señalar cual es la longitud característica.
  32. 32. 12 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales El número de Reynolds representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas viscosas. Se dice que el flujo es laminar cuando las fuerzas viscosas son más fuertes que las de inercia. Caso contrario el flujo se denomina turbulento. El número de Reynolds que separa los escurrimientos laminares de los turbulentos se llama crítico y para una tubería cuyo número de Reynolds se define según el diámetro tiene un valor aproximado de 2 300. Si tuviéramos una tubería con flujo turbulento en la que paulatinamente se va disminuyendo la velocidad llegará un momento en el que el flujo se hace laminar. Esto ocurre con un número de Reynolds de 2 300. Si tuviéramos el caso inverso, una tubería con flujo laminar en la que progresivamente se va aumentando la velocidad, llegará un momento en el que el flujo se haga turbulento. Para este caso no hay un límite definido; puede ocurrir para un número de Reynolds de 5 000, 10 000, o más, dependiendo de la naturaleza de las perturbaciones exteriores. En un canal el número de Reynolds crítico está alrededor de 600, que corresponde aproximadamente a la cuarta parte del señalado para las tuberías. La explicación está en la ecuación 1-9. El flujo laminar se presenta con más frecuencia en los fluidos muy viscosos (aceite, petróleo). En el agua (que tiene pequeña viscosidad) es poco frecuente, salvo en el flujo a través de medios porosos. El movimiento turbulento es el más frecuente en los problemas de ingeniería. La viscosidad absoluta µ o coeficiente de viscosidad dinámica, mide la relación entre un esfuerzo y una velocidad de deformación. Sus dimensiones son ML-1 T-1 en el sistema absoluto y FL-2 T en el sistema gravitacional. En el sistema M. F. S. se mide en kg.s/m2 . En el sistema C. G. S. (absoluto) se mide en gr-masa, centímetros y segundos. La unidad es el poise scm masagr1 poise1 − − = La viscosidad cinemática ν es la relación entre la viscosidad absoluta µ y la densidad ρ . Sus dimensiones son L2 T-1 . Su unidad es el stoke scm1stoke1 2 = En la Figura 1.8, se muestra para diferentes fluidos la variación de la viscosidad con la temperatura. Las Figuras 1.8a, 1.8b y 1.8c han sido tomados del libro de Rouse, Hidráulica, Editorial Dossat.
  33. 33. 13 IntroducciónCapítulo I Figura 1.8a Viscosidad cinemática en función de la temperatura para varios fluidos (p.e. es el peso específico relativo) Glicerina Fuel Oil (p.e. = 0,97) Fuel Oil (p.e. = 0,94) SAE 30 Helio Hidrógeno SAE 10 Petróleo crudo (p.e. = 0,93) Metano Aire y oxígeno Amoníaco Anhidrido carbónico Salmuera (20% NaCl) Petróleo crudo (p.e. = 0,86) Benceno Kerosene Alcohol etílico Agua Tetracloruro de carbono Gasolina (p.e. = 0,68) Mercurio 10 -7 10 -3 10 -4 10 -5 10 -6 10 -7 10 -6 10 -5 10 -4 10 -3 8 6 4 2 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 6 8 6 2 4 8 6 2 4 8 6 2 4 8 0 o o 50 o 100 50 o 0 o 100 o 2 s m ν T ºC
  34. 34. 14 ArturoRochaHidráulicadetuberíasycanales Figura 1.8b Viscosidad dinámica en función de la temperatura para diferentes gases y líquidos Figura 1.8c Viscosidad dinámica en función de la temperatura para varios tipos de aceite 10 -4 10 -5 10 -6 10 -6 10 -5 10 -4 8 6 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 4 2 6 2 4 8 6 2 4 8 6 8 0 o o 50 o 100 50 o 0 o 100 o 2 kg - s m µ 5 5 5 5 SAE 10 Petróleo crudo (p.e. = 0,86)Mercurio Kerosene Salmuera (20% NaCl) Alcohol etílico Tetracloruro de carbono Agua Benceno Gasolina (p.e. = 0,68) Helio Oxígeno Anhidrido carbónico Aire Metano (Gas natural) Amoníaco Hidrógeno T ºC 10 -1 10 -2 10 -3 10 -3 10 -2 10 -1 8 6 4 2 6 8 4 2 6 8 4 2 4 2 6 2 4 8 6 2 4 8 6 8 0 o o 50 o 100 50 o 0 o 100 o 5 5 5 5 Fuel - Oil (p.e. = 0,97) Glicerina Fuel - Oil (p.e. = 0,94) SAE 30 SAE 30 Petróleo crudo (p.e. = 0,93) Petróleo crudo (p.e. = 0,93) m µ kg - s 2 T ºC
  35. 35. 15 IntroducciónCapítulo I 1.8 Efecto de la gravedad El efecto de la mayor o menor influencia de las fuerzas gravitacionales sobre las condiciones del escurrimiento se expresa por el parámetro adimensional denominado número de Froude. El número de Froude ( F ) tiene por expresión gL V F = (1-14) siendo V : velocidad media g : aceleración de la gravedad L : longitud característica El número de Froude se utiliza en canales y generalmente se considera como longitud característica el tirante hidráulico d Por lo tanto gd V F = (1-15) Siempre que el escurrimiento se produzca con superficie libre, es decir que alguna zona de la corriente no esta delimitada por el contorno, habrá influencia de la gravedad sobre todo el escurrimiento. El número de Froude representa la relación entre las fuerzas de inercia y las fuerzas gravitacionales. Los valores altos del número de Froude corresponden a pequeña influencia de la gravedad. Los autores franceses llaman a este parámetro adimensional número de Reech-Froude. 1.9 Concepto de distribución de velocidades En los canales y en las tuberías el flujo es esencialmente tridimensional. Para cada punto de la corriente, el vector velocidad tiene componentes en las tres direcciones. Para analizar la variación de velocidades en la sección tendremos en cuenta la forma de la sección transversal, pues la naturaleza y características geométricas del contorno definen básicamente la curva de distribución de velocidades.
  36. 36. 16 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales En las tuberías el caso más simple corresponde a la sección circular. La influencia del contorno es simétrica y perfectamente definida. En los canales el caso más simple corresponde a un canal de ancho infinito. Sólo hay influencia del fondo. Empezaremos por analizar este último caso. El flujo es bidimensional. En cada punto de la sección hay una velocidad particular ( hV ). La velocidad es máxima en la superficie. En el fondo la velocidad es mínima. El esquema característico de la distribución de velocidades es el siguiente Denominamos hV a la velocidad que existe a la distancia h del contorno (en este caso del fondo). La curva que expresa la relación entre hV y h se llama curva de distribución de velocidades. En los siguientes capítulos estableceremos su ecuación. En un canal de ancho infinito la velocidad máxima está en la superficie. Pero en un canal rectangular angosto hay fuerte influencia de los lados y la velocidad máxima aparece debajo de la superficie. Mientras más angosto es el canal mayor es la influencia de los lados y la velocidad máxima está más profunda con respecto a la superficie. Valores usuales para ubicar la velocidad máxima son los comprendidos entre y95,0 y y75,0 . Ver Figura 1.15b. En una tubería la velocidad es máxima en el eje y mínima en el contorno, tal como se muestra en el esquema de la Figura 1.10. Para 2Dh = se obtiene la velocidad máxima. Se observa que los ejemplos de las Figuras 1.9 y 1.10 tienen algo en común: la velocidad es cero en el contorno. Esto se debe a que hemos considerado fluidos reales (con viscosidad). Figura 1.9 Distribución de velocidades en un canal V y h h
  37. 37. 17 IntroducciónCapítulo I La distribución de velocidades depende, entre otros factores, del grado de turbulencia. Otros factores determinantes son el grado de aspereza (rugosidad) del contorno y el alineamiento del canal. Para números de Reynolds elevados se dice que existe turbulencia plenamente desarrollada y la distribución de velocidades tiende a hacerse uniforme, salvo en la zona próxima al contorno donde los esfuerzos viscosos y el gradiente de velocidades son muy grandes. Así por ejemplo, en una tubería cuyo número de Reynolds fuera del orden de 1 ó 2 millones podría tenerse la siguiente distribución de velocidades En cambio, en un escurrimiento laminar el gradiente de velocidades es muy grande en toda la sección transversal y se tendrá una curva de distribución de velocidades de tipo parabólico (ver Figura 1.12). Para un fluido ideal, sin viscosidad, cuyo número de Reynolds sea infinito, la distribución de velocidades sería uniforme (Ver Figura 1.13). Para números de Reynolds muy altos, como el de la Figura 1.11, la distribución de velocidades de un fluido real puede calcularse sin cometer mayor error, como si fuera un fluido ideal salvo en la zona próxima a las paredes. h = D 2 D Figura 1.10 Distribución de velocidades en una tubería Figura 1.11 Distribución de velocidades en una tubería con flujo turbulento D
  38. 38. 18 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Debe tenerse presente que a partir de un cierto valor del número de Reynolds se obtiene turbulencia plenamente desarrollada. Un aumento en el número de Reynolds no conlleva un aumento del grado de turbulencia. En la Figura 1.9 se presentó la distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho. Este es un caso particular. Tratándose de canales el caso más frecuente es el de las secciones trapeciales o rectangulares, en las que no puede dejarse de considerar la influencia de las paredes, en las que la velocidad debe también ser nula. Se tendrá entonces una distribución transversal de velocidades. Para ilustrar la distribución de velocidades en la sección transversal se indica en el esquema de la Figura 1.14 la sección de un canal en el que se ha dibujado las curvas que unen los puntos de igual velocidad (isotacas). Esta velocidad se ha relacionado con la velocidad media. Así la curva que tiene el número 2 significa que todos sus puntos tienen una velocidad que es el doble de la velocidad media. En la Figura 1.15 se presentan con carácter ilustrativo las distribuciones de velocidad típicas para diferentes secciones transversales. El alineamiento del conducto y la simetría de la sección también son factores determinantes de la curva de distribución de velocidades. D Figura 1.12 Distribución de velocidades en una tubería con flujo laminar Figura 1.13 Distribución de velocidades en una tubería (fluido ideal) D
  39. 39. 19 IntroducciónCapítulo I Figura 1.14 Isotacas en un canal de sección trapecial Figura 1.15 Distribución de velocidades en diferentes secciones transversales 2,0 1,5 1,0 0,5 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 (a) Canal circular poco profundo (d) Canal natural (río) (b) Canal rectangular angosto (c) Canal circular parcialmente lleno 1,5 1,0 0,5 2,0
  40. 40. 20 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales La asimetría de la sección transversal produce corrientes secundarias, que se llaman así por no seguir la dirección general de la corriente. Si el movimiento principal es a lo largo del conducto, entonces la corriente secundaria producida por una curvatura del alineamiento se desarrolla en un plano normal y representa una circulación que al superponerse al flujo principal da lugar a un movimiento espiral o "en tornillo". Analicemos el caso que corresponde al cambio de dirección (codo) en una tubería. La resistencia viscosa reduce la velocidad en el contorno dando como resultado que allí la energía sea menor que en las capas adyacentes. Debido a la fuerte caída de presión que se produce en el contorno exterior hay un flujo secundario que se dirige hacia el exterior y que debe ser compensado por otro que se dirija hacia el interior. La aspereza (rugosidad) de las paredes y su influencia sobre la distribución de velocidades será analizada en el capítulo siguiente. Damos una idea de su significado a través de la Figura 1.17 en la cual se presentan para una misma tubería dos distribuciones de velocidad, según que el contorno sea liso o rugoso. Figura 1.16 Distribución de velocidades en un codo Figura 1.17 Distribución de velocidades en contornos lisos y rugosos A A SECCION A - A Liso Rugoso D
  41. 41. 21 IntroducciónCapítulo I A partir de la ecuación de distribución de velocidades se calcula el gasto dAVQ h∫= (1-16) 1.10 Coeficiente de Coriolis El teorema de Bernoulli fue establecido para una línea de corriente. La ecuación 1-5 establece que la suma de Bernoulli es constante a lo largo de una línea de corriente. Esto significa que cada línea de corriente tiene un valor propio para la suma de Bernoulli. Para cada línea de corriente, en una sección determinada, el valor de la velocidad es hV y la energía cinética correspondiente es gVh 2 2 . Pero, al ingeniero no le interesa trabajar con líneas de corriente aisladas, sino con la totalidad del escurrimiento. Consideremos un flujo paralelo. En el flujo paralelo hay una distribución hidrostática de presiones y por lo tanto la suma z p + γ , o sea la cota piezométrica, es idéntica para todas las líneas de corriente y la variación que hay entre la suma de Bernoulli para las diferentes líneas de corriente se debe al gradiente de velocidades. Para extender el teorema de Bernoulli a toda la sección transversal, habría que tomar el promedio de los valores de gVh 2 2 . Como esto es difícil de hacer en la práctica, pues se tendría que considerar un número infinito, o muy grande, de filetes, se busca una equivalencia, o una aproximación, mediante el cálculo de la energía que corresponde a la velocidad media. Evidentemente que esto no es exacto, por cuanto no es lo mismo el promedio de los cuadrados, que el cuadrado del promedio. De acá que el valor de la energía para toda la sección transversal, obtenido con la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra α y que recibe el nombre de coeficiente de Coriolis ó coeficiente de energía. Para calcular el valor de α pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV , que tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ . La energía en general se expresa por QHγ Ahora bien, para dicho tubo de corriente se puede aplicar la ecuación de continuidad 1-3 dAVdQ h=
  42. 42. 22 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales y el valor de la energía cinética es g V H h 2 2 = para el tubo de corriente la energía resulta g V dAV h h 2 2 γ que equivale a dAVh 3 2 ρ y la energía de toda la sección transversal se obtiene integrando la expresión anterior ∫ dAVh 3 2 ρ Si hiciéramos un cálculo aproximado de la energía de toda la sección, considerando la velocidad media se tendría AV 3 2 ρ para que este valor aproximado sea igual al correcto debe multiplicarse por un factor o coeficiente de corrección al que se denomina α ∫= dAVAV h 33 22 ρρ α de donde, AV dAVh 3 3 ∫=α (1-17) que es la expresión del coeficiente de energía o de Coriolis. Obsérvese que α representa la relación que existe, para una sección dada, entre la energía real y la que se obtendría considerando una distribución uniforme de velocidades. dQ H
  43. 43. 23 IntroducciónCapítulo I Para canales prismáticos se tiene usualmente 36,103,1 << α (1-18) 1.11 Coeficiente de Boussinesq El cálculo de la cantidad de movimiento (momentum) de una corriente también se ve afectado por la distribución de velocidades. El valor de la cantidad de movimiento obtenido para toda la sección transversal a partir de la velocidad media, debe corregirse por medio de un coeficiente que generalmente se designa con la letra β y que recibe el nombre de coeficiente de Boussinesq o coeficiente de la cantidad de movimiento. Para calcular el valor de β pensemos en un tubo de corriente cuya velocidad es hV que tiene una sección transversal dA y por el que pasa un fluido cuyo peso específico es γ . Sabemos que en general la cantidad de movimiento se expresa por QVρ y para el tubo de corriente es dAVh 2 ρ La cantidad de movimiento de toda la sección transversal se obtendrá por integración de la ecuación anterior ∫ dAVh 2 ρ Si hiciéramos un cálculo aproximado de la cantidad de movimiento total a partir de la velocidad media se tendría AV 2 ρ para que este valor aproximado sea igual al verdadero debe multiplicarse por un factor o coeficiente de corrección al que se denomina β ∫= dAVAV hρβρ 2 luego, AV dAVh 2 2 ∫=β (1-19)
  44. 44. 24 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales que es la expresión del coeficiente de cantidad de movimiento o de Boussinesq. El producto QVβρ representa el caudal o flujo de la cantidad de movimiento en una sección dada. Para canales prismáticos se tiene usualmente 12,101,1 << β (1-20) 1.12 Discusión de los valores de α y β De acuerdo a lo expuesto anteriormente el coeficiente α se usará en los cálculos en los que intervenga la energía y el coeficiente β en los cálculos en los que intervenga la cantidad de movimiento. Así por ejemplo, si extendemos la ecuación de la energía a toda la sección transversal considerando como velocidad la velocidad media se obtiene 212 2 2 2 21 1 2 1 1 22 − +++=++ fhz p g V z p g V γ α γ α (1-21) Cada sección transversal en función de su distribución de velocidades tiene un valor de α . Es evidente que el uso de los coeficientes α y β depende de la exactitud con la que se estén haciendo los cálculos. Ambos son siempre mayores que la unidad. En muchos casos se justifica, considerar 1== βα (1-22) Obsérvese que para la Figura 1.13 se cumple exactamente esta condición. A medida que el grado de turbulencia es mayor, o sea para números de Reynolds altos, la distribución de velocidades se hace más uniforme y es más cierta la suposición 1== βα . En lo sucesivo y salvo que se indique lo contrario se considerará la ecuación 1-22. Siempre se tendrá que βα > puesto que en la expresión de α VVh interviene al cubo y en la expresión de β interviene al cuadrado. En el flujo laminar, dado el fuerte gradiente de velocidades, los valores de α y β son grandes. Se demuestra fácilmente que en una tubería con escurrimiento laminar
  45. 45. 25 IntroducciónCapítulo I 2=α 3 4 =β (1-23) Para un canal muy ancho con fondo rugoso, se han obtenido las siguientes expresiones para los valores de α y β 32 231 εεα −+= (1-24) 2 1 εβ += (1-25) siendo 1−= V Vmax ε (1-26) expresión en la que maxV es el valor de la velocidad máxima. Como hemos señalado anteriormente los valores de α y β dependen del tipo de curva de distribución de velocidades, específicamente de la relación que existe entre la velocidad máxima y la media tal como se expresa en las ecuaciones 1-24, 1-25 y 1-26. Según estudios hechos por Kolupaila se pueden considerar los siguientes valores aproximados de α y β TABLA 1.1 VALORES APROXIMADOS DE α Y β (KOLUPAILA) α β Tipo de cauce Min. Prom. Max. Min. Prom. Max. Canales y acueductos 1,10 1,15 1,20 1,03 1,05 1,07 Ríos y torrentes 1,15 1,30 1,50 1,05 1,10 1,17 Ríos con áreas de inundación 1,50 1,75 2,00 1,17 1,25 1,33 1.13 Relación entre los coeficientes α y β Considerando que la velocidad puntual hV correspondiente a la distancia h del contorno, se puede expresar en función de la velocidad media de la siguiente manera
  46. 46. 26 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales VVVh ∆+= (1-27) siendo V∆ el exceso o defecto de la velocidad puntual sobre la media. Debe cumplirse que ∫ =∆ 0VdA (1-28) Para que esta última expresión sea evidente, consideremos que ∫= dAVQ h Si reemplazamos el valor de la velocidad puntual se obtiene ∫ ∆+= dAVVQ )( ∫∆+= VdAVAQ de donde se concluye que la integral es nula. Para calcular el valor de α evaluaremos la integral dA V V A h 3 1 ∫       que es la ecuación 1-17. dA V V A dA V VV A dA V V A h 333 1 111 ∫∫∫       ∆ +=      ∆+ =      dA V V V V V V A ∫               ∆ +      ∆ +      ∆ += 32 331 1 α dA V V A dA V V A dA V V A ∫∫∫       ∆ +      ∆ +      ∆ += 32 133 1α Ahora vamos a analizar el segundo miembro. La primera integral no puede ser nula y es siempre positiva. La segunda integral es siempre nula en virtud de la ecuación 1-28. La tercera integral es generalmente muy pequeña y se desprecia, pues las diferencias con
  47. 47. 27 IntroducciónCapítulo I respecto a la velocidad media están al cubo y tienden a compensarse entre los valores positivos y negativos. Luego dA V V A ∫       ∆ += 2 3 1α (1-29) Para calcular el valor β hacemos un desarrollo similar y evaluamos la integral que se obtiene de la ecuación 1-19 dA V V A dA V V A dA V V A h ∫∫∫       ∆ +      ∆ +=      22 12 1 1 La primera integral del segundo miembro es evidentemente nula. Luego, dA V V A ∫       ∆ += 2 1 1β (1-30) Eliminando la integral común a las ecuaciones 1-29 y 1-30 se obtiene la relación entre α y β ( )131 −=− βα (1-31) Expresión que evidentemente es aproximada. 1.14 Otros estudios sobre los coeficientes α y β Strauss estudió el efecto de la forma de la sección transversal sobre los coeficientes α y β . Consideró que la distribución vertical de velocidades se expresa por una ecuación del tipo n h khV 1 = (1-32) expresión en la que k y n son parámetros característicos de la curva. h es la distancia al contorno. Esta ecuación expresa todas las distribuciones posibles de velocidad para valores de n comprendidos entre 1 e infinito, de modo que para cualquier distribución
  48. 48. 28 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales real de velocidades se puede encontrar un valor apropiado de n. El valor de k no tiene ninguna influencia sobre los valores de α y β . Combinando la ecuación 1-32 con un desarrollo basado en la consideración de tres factores adimensionales descriptivos de la forma de la sección transversal Strauss obtuvo las ecuaciones genéricas de α y β (ecuaciones 1-33 y 1-34) Los factores adimensionales son H H1 =ξ 1B B =η 1 2 B B =ω definidos de acuerdo al esquema de la Figura 1.18, que muestra la mitad de una sección transversal cualquiera de un canal. Obsérvese que se incluye la posibilidad de que el talud esta formado por dos pendientes diferentes. H1 H B 1B B2 Figura 1.18 Esquema de definición para las ecuaciones de Strauss Según la sección transversal se determinan los valores de ξ , η y ω con ayuda de la Tabla 1.2. Las conclusiones a las que llega Strauss son las siguientes 1. Para canales triangulares y rectangulares los valores de α y β son independientes del tamaño de la sección. Su valor es una función exclusiva de la distribución de velocidades. 2. Para canales trapeciales los valores de α y β están influenciados además de la distribución de velocidades, por la relación η entre el ancho en el fondo B y el ancho superficial 1B .
  49. 49. 29 IntroducciónCapítuloI ( ) ( ) ( ) 3 121211 24 222 323233 32 2 1 119924 21 3 2 3 11132                 +−−−+        −+−++ −++−−+                 +−−−+        −+−++ = ++++ ++++ n n n n n n n n n n n n n n n n nn nnn nn nn ξ ξ ξηξξωξ ωξηξωξηξξηξ ξ ξηξξωξ α Ecuación (1-33) ( ) ( ) ( ) 2 121211 22 22 2222222 22 2 1 114622 21 2 2 2 11132                 +−−++        −+−++ −++−−+                 +−−++        −+−++ = ++++ ++++ n n n n n n n n n n n n n n n n nn nnn nn nn ξ ξ ξηξξωξ ωξηξωξηξξηξ ξ ξηξξωξ β Ecuación (1-34)
  50. 50. 30 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales TABLA 1.2 FACTORES ADIMENSIONALES PARA LAS ECUACIONES DE STRAUSS θ Factores adimensionales FORMASECCION 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 01 =H ; 21 BB = ; 1BB = 01 =H ; 0=B ; 21 BB = 01 =H ; 21 BB = ; 1BB < HH <1 ; 1BB < ; 21 BB = HH <1 ; 1BB = ; 12 BB > HH <1 ; 0=B ; 21 BB = HH <1 ; 0=B ; 21 BB < HH <1 ; 1BB < ; 21 BB < '3022ºtg==ηξ ; 21 BB = θξ tg> ; θη tg= ; 21 BB = H H1 =ξ 1B B =η 1 2 B B =ω 0 1 1 0 0 1 0 10 <<η 1 10 << ξ 10 <<η 1 10 << ξ 1 1>ω 10 << ξ 0 1 10 << ξ 0 1>ω 10 << ξ 10 <<η 1>ω 0,4142 0,4142 1 1414,0 << ξ 0,4142 0,4142 Rectángulo Triángulo Trapecio Trapecio + Rectángulo Trapecio + Trapecio Triángulo + Rectángulo Triángulo + Trapecio Trapecio + Trapecio Semicírculo (sustituye al semioctógano) Semicírculo + Rectángulo
  51. 51. 31 IntroducciónCapítulo I 3. Para canales de sección combinada (doble trapecio, trapecio más rectángulo, etc), los valores de α y β dependen de la forma de la sección expresada a través de los parámetros ξ , η y ω y de la distribución de velocidades en función de n. 4. De las secciones estudiadas se encuentra que los menores valores de α se presentan para secciones rectangulares y los mayores para la sección triangular. 5. Teniendo en cuenta que en canales la distribución de velocidades es tal que puede describirse con la ecuación 1-32, para valores de n comprendidos entre 2 y 4, se tiene que los valores de α están comprendidos entre 1,12 y 1,50. 6. Valores experimentales para α obtenidos en el río Danubio llegan a 1,34 y en canales con pequeña pendiente a 1,85. Papasov y Botcheva estudiaron los valores de α y β en ríos de Bulgaria de fondo móvil y determinaron sus valores para diversas descargas y pendientes. Aunque el estudio de los lechos móviles corresponde a la Hidráulica Fluvial, damos una breve noticia sobre estas investigaciones. Los autores llegan a la conclusión que las deformaciones del fondo al alterar la distribución de velocidades modifican los valores usuales de α y β . Después de estudiar tres ríos búlgaros llegan a 97,4 056,01       += V Vmax α 82,4 047,01       += V V xma β Ferrer y Fuentes estudiaron la variación del coeficiente β de Boussinesq en un canal de gasto variable realizando experiencias en un canal de laboratorio en la Universidad de Chile. Llegaron a la conclusión que para este caso b yc 29,01+=β expresión en la que cy es el tirante crítico para el gasto total y b es el ancho del canal.
  52. 52. 32 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 1.15 Comparación del escurrimiento en una tubería y un canal Como una ilustración de la extensión del teorema de Bernoulli a toda la corriente, se presenta comparativamente en la Figura 1.19 el escurrimiento en una tubería y un canal. Se ha considerado que fh es la energía perdida en el tramo considerado, con lo que en realidad estamos usando la ecuación de la energía. El teorema de Bernoulli sólo es aplicable para un fluido ideal. Se ha considerado que el coeficiente de Coriolis es 1. En la Figura 1.19, L. E. significa línea de energía y L. P. línea piezométrica o de gradiente hidráulica. Ejemplo 1.1 Calcular el radio hidráulico y el tirante hidráulico para un canal de sección trapecial cuyo ancho en la base es de 3 m. El tirante es de 0,80 m y el talud 0,5. (El talud es la inclinación de los lados). Solución. 0,5 1 = 3 mb = 0,80 my T Ancho superficial 80,340,0200,3 =×+=T m Perímetro mojado 79,4894,0200,3 =×+=P m Area 72,2=A m2 Radio hidráulico 57,079,472,2 === PAR m Tirante hidráulico 72,080,372,2 === TAd m Ejemplo 1.2 Obtener los coeficientes α y β para un canal rectangular muy ancho, aceptando una distribución vertical de velocidades dada por la siguiente ecuación n h khV 1 = k es una constante, h es la distancia al contorno (ecuación 1-32).
  53. 53. 33 IntroducciónCapítulo I 2V 2 p γ 2 2z L. E. hf L. P. 2 V g 1 2 p γ 1 1z L. P. 2 V1 z1 p γ V2 2 2z L. E. hf = y y1 y2 p = 0 Plano de referencia Plano de referencia 2g 2g 2g 1 2 Figura 1.19 Ecuación de la energía (a) Tubería (b) Canal Ecuación de la energía: fh g V z p g V z p +++=++ 22 2 2 2 2 2 1 1 1 γγ
  54. 54. 34 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Solución. Si aceptamos un ancho unitario se tendrá para el gasto específico la expresión dhVdq h = reemplazando la velocidad, dhkhdq n 1 = El gasto es ∫= dhVq h ∫= y n dhhkq 0 1 La velocidad media se obtiene dividiendo el gasto entre el área, y dhhk y q V y n ∫== 0 1 Reemplazando en la ecuación 1-17 y y dhhk dhhk AV dhV y n y n h 3 0 1 0 3 3 3 3           == ∫ ∫∫α 21 1 31 3 3 1 1 1 1 3 1 +      +−+             + + = nn y n nα De donde, ( ) ( )nn n + + = 3 1 2 3 α Haciendo un desarrollo similar se obtiene ( ) ( )nn n + + = 2 1 2 β
  55. 55. 35 IntroducciónCapítulo I Ejemplo 1.3 La distribución vertical de velocidades en un canal muy ancho es la siguiente h (m) hV (m/s) 0,05 0,10 0,30 0,50 0,70 0,90 1,06 1,24 1,52 1,65 1,73 1,80 El tirante es y = 0,95 m. Calcular a) el gasto específico q b) la velocidad media V c) gráficamente la distancia h del fondo a la que la velocidad es igual a la velocidad media. d) el coeficiente α de Coriolis e) el coeficiente β de Boussinesq f) los valores de α y β aplicando las ecuaciones 1-24 y 1-25 y comparar con los resultados anteriores. g) el número de Reynolds (T = 18 °C) Solución. En primer lugar dibujaremos en un papel milimetrado la curva de distribución de velocidades Figura 1.20 Distribución vertical de velocidades (medición) 1,52 0,125 0,075 0,20 1,06 1,24 h 0,20 0,20 0,15 1,73 1,65 (m) 1,80 V (m/s) 0,95 m
  56. 56. 36 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales El gasto se obtiene aplicando la siguiente expresión ∑ = = ∆= yh h h hVq 0 En el momento de dibujar la curva es necesario extrapolar ligeramente los valores recordando dos conceptos fundamentales: en un canal muy ancho la velocidad máxima esta en la superficie y la velocidad mínima siempre está en el fondo. Dividimos luego la vertical en 6 partes, para cada una de las cuales suponemos un valor constante de la velocidad. Mientras mayor sea el número de partes, mayor será la exactitud; pero a su vez para que tenga sentido real la división en un número elevado de partes debe haber datos numerosos. Las partes no tienen que ser necesariamente iguales. a) Según la figura 15080120073120065120052112502410750061 ,,,,,,,,,,,,q ×+×+×+×+×+×= 48,1=q m3 /s/m b) 56,1 95,0 48,1 ==== y q A q V m/s c) De la Figura 1.20 se obtiene h = 0,35 m d) Para calcular α hacemos el siguiente cuadro hV 3 hV A AVh .3 1,06 1,24 1,52 1,65 1,73 1,80 1,19 1,91 3,51 4,49 5,18 5,83 0,075 0,125 0,200 0,200 0,200 0,150 0,089 0,238 0,702 0,898 1,036 0,875 ∑ AVh 3 = 3,838 06,1 95,056,1 838,3 3 = × =α α = 1,06
  57. 57. 37 IntroducciónCapítulo I e) Para el cálculo de β hacemos un cuadro similar hV 2 hV A AVh .2 1,06 1,24 1,52 1,65 1,73 1,80 1,12 1,54 2,31 2,72 2,99 3,24 0,075 0,125 0,200 0,200 0,200 0,150 0,084 0,192 0,462 0,545 0,599 0,486 ∑ AVh 2 = 2,368 024,1 95,056,1 368,2 2 = × =β β = 1,02 f) para la aplicación de las fórmulas aproximadas, empezaremos por calcular el valor de ε para lo que obtenemos del gráfico que, aproximadamente, la velocidad máxima es 1,80 m/s. 15,01 56,1 80,1 1 =−=−= V Vmax ε 15,0=ε 0225,02 =ε 003375,03 =ε 061,1231 32 =−+= εεα 06,1=α 0225,11 2 =+= εβ 02,1=α g) 18=T ºC; 6 10− =ν m2 /s 6 6 10482,1 10 95,056,1 Re ×= × == − ν VR
  58. 58. 38 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales PROBLEMAS PROPUESTOS (Capítulo I) 1. Demostrar a partir de la Figura 1.18 que el gasto teórico en un canal se puede expresar por 2 1 2 2 1 )(2       − −∆ = A A hyg AQ f En donde 1A y 2A representan las áreas de las secciones transversales respectivas. La diferencia de cotas piezométricas es y∆ . La pérdida de energía entre 1 y 2 es fh . 2. Calcular el valor de β si α = 1,2 3. Demostrar que suponiendo una distribución lineal de velocidades en un canal se obtiene α = 2 β = 4/3 4. Demostrar que en una tubería de diámetro D con régimen laminar, cuya ecuación de distribución de velocidades es       −= 44 2 hDhgS Vh ν siendo h la distancia al contorno, ν la viscosidad cinemática del fluido y S la pendiente de la línea de energía; se cumple que α = 2 β = 4/3 5. Demostrar que en una tubería cuyo radio es r y cuya distribución de velocidades es 7 1 231       = r h VVh , se cumple que α = 1,07. Hallar el valor de β .
  59. 59. 39 IntroducciónCapítulo I 6. Genéricamente la distribución de velocidades en una tubería de radio r se expresa por n maxh r h VV 1       = A medida que aumenta el número de Reynolds aumentan los valores de n . ¿Qué ocurrirá con los valores de α ? 7. Un líquido fluye entre paredes paralelas. La ley de distribución de velocidades es n maxh d h VV       −= 1 La separación entre las placas es 2 d . La velocidad V está medida a la distancia h del eje. Calcular los valores de α y β 8. Resolver el problema anterior para una tubería con la misma ley de distribución de velocidades. 9. En una tubería de radio or , por la que circula aceite, la distribución de velocidades es         −= 2 2 1 o maxh r r VV r es la distancia del eje a la que la velocidad es hV Hallar los valores de α y β 10. En una tubería AB fluye aceite. El diámetro se contrae gradualmente de 0,45 m en A a 0,30 m en B. En B se bifurca. La tubería BC tiene 0,15 m de diámetro y la tubería BD 0,25 m de diámetro. C y D descargan a la atmósfera. La velocidad media en A es 1,80 m/s y la velocidad media en D es 3,60 m/s. Calcular el gasto en C y D y las velocidades en B y C. 11. En una tubería de 6" de diámetro fluye aceite de densidad relativa 0,8. La viscosidad es 1 poise. El gasto es de 200 l/s. Calcular el número de Reynolds. 12. Describir como varía el coeficiente de Coriolis con el número de Reynolds. 13. Una tubería horizontal AB de 0,40 m de diámetro conduce 300 l/s de agua (T = 20°C). La presión en el punto A es de 5 Kg/cm2 y en el punto B es de 3,5 Kg/cm2 . La longitud de la tubería es de 850 m. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds.
  60. 60. 40 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 14. Una tubería horizontal de 8" de diámetro y 500 m de largo conduce 100 l/s de aceite de viscosidad 1 poise y peso específico relativo 0,8. La presión en el punto inicial es de 4 Kg/cm2 y en el punto final de 3 Kg/cm2 . Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular el número de Reynolds. 15. Una tubería AB de 0,80 m de diámetro conduce 1 m3 /s de agua. La elevación del punto inicial A es 25,8 m y su presión es de 5 Kg/cm2 . La elevación del punto final B es 20,2 m y su presión es de 2 Kg/cm2 . La longitud de la tubería es de 1 Km. La temperatura es de 20 °C. Dibujar la línea piezométrica y la línea de energía. Calcular la presión de la tubería en el punto medio de la distancia AB. 16. Una tubería tiene en su primer tramo 6" de diámetro y una velocidad de 3 m/s. El segundo tramo tiene 8" de diámetro. Calcular el gasto y la velocidad en el segundo tramo. 17. Demostrar que en un estanque la energía por unidad de masa es constante para cualquier punto. 18. Calcular para el ejemplo 1.3 cuál es la celeridad de una pequeña onda superficial que se forme en el canal. ¿Podrá esta onda remontar la corriente?. Calcular el número de Froude e interpretar los resultados (La celeridad ó velocidad relativa es gy ). 19. Un tubo cónico vertical tiene entre sus extremos 1 y 2 una pérdida de carga fh , igual a ( ) g VV hf 2 250 2 21 − = , 1V es la velocidad en el punto 1, es igual a 6 m/s. La velocidad en el punto 2 es 2 m/s. La longitud del tubo es de 8 m. La presión en el punto 2 equivale a 10 m de agua. Calcular la presión en Kg/cm2 en el punto 1. 20. Se tiene una línea de conducción cuya sección inicial tiene un diámetro de 8" y una presión de 2 Kg/cm2 . La sección final tiene un diámetro de 6", una presión de 1 Kg/cm2 y está 1,20 m por encima de la sección inicial. Calcular la pérdida de energía fh , entre ambas secciones. El fluido es petróleo crudo de peso específico relativo 0,93 y la temperatura es de 25°C. 8"6" 8 m 2 1 D1 D2
  61. 61. 41 IntroducciónCapítulo I 21. Una tubería vertical de sección variable conduce agua. El diámetro en la parte superior es de 12 cm y en la parte inferior de 6 cm. La longitud es de 10 m. Cuando el gasto es de 80 l/s la diferencia de presión entre los manómetros instalados en las secciones 1 y 2 es de 2,5 Kg/cm2 . Determinar cual es el gasto que debería pasar en esta tubería para que la diferencia de presiones entre 1 y 2 sea cero. Considerar que la perdida de carga fh entre 1 y 2 es proporcional a la velocidad. 22. Las Figuras 1.10, 1.11, 1.12 y 1.13 presentan diferentes distribuciones de velocidad. Ordenarlas según valores crecientes del coeficiente de Boussinesq. 23. Hacer un esquema que muestre la distribución vertical de velocidades en el eje del canal cuya sección se muestra en la Figura 1.14. 24. Demostrar que para un canal triangular cuya distribución de velocidades está dada por la ecuación 1-32 se cumple que )992(4 )132( 24 32 ++ ++ = nnn nn α calcular el valor de α para n = 2. Comparar con las ecuaciones de Strauss. 25. Calcular el gasto en el sistema mostrado en la figura. El diámetro de la tubería es de 4". Las pérdidas de energía en el sistema equivalen a gV 24 2 . 10 m 2 1 6 cm 12 cm H = 10 m
  62. 62. 42 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 26. Una tubería se estrecha de 12" en la sección 1 a 6" en la sección 2. La diferencia de presión entre ambas secciones equivale a 20 cm de mercurio. La pérdida de energía entre 1 y 2 es de gV 2150 2 1, . Calcular el gasto. ¿Cuál sería el gasto si se desprecian las pérdidas de carga? 27. La sección transversal de una tubería circular se ha dividido en 10 áreas iguales por medio de círculos concéntricos. Se ha medido las velocidades medias en cada área, empezando por la velocidad en el centro. Los resultados en m/s son: 1,71; 1,70; 1,68; 1,64; 1,58; 1,49; 1,38; 1,23; 1,02; 0,77. Calcular los valores de α y β . Si el diámetro fuese de 0,80 m calcular el caudal.
  63. 63. 43 Movimiento UniformeCapítulo II 2.1 El movimiento uniforme en canales y tuberías El movimiento uniforme es el que se presenta más frecuentemente tanto en los cálculos de tuberías como en los de canales. En el capítulo anterior hemos señalado que cada punto de la corriente tiene su propia velocidad. Esto significa que existe una distribución de velocidades en la sección transversal. En este capítulo se establecerán las ecuaciones de distribución de velocidades y se obtendrá por integración las expresiones correspondientes a la velocidad media. En un canal con movimiento uniforme la profundidad y , el área A , la velocidad media V y el gasto Q son constantes en todas las secciones y la línea de energía, la superficie libre y el fondo son líneas paralelas, de modo que sus pendientes son iguales (Figura 2.1) SSSS WE === 0 (2-1) ES es la pendiente de la línea de energía WS es la pendiente de la superficie libre 0S es la pendiente del fondo Una de las condiciones para que se desarrolle un movimiento uniforme en un canal es que la pendiente no sea excesivamente grande. CAPITULO II MOVIMIENTO UNIFORME
  64. 64. 44 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales En la práctica es muy difícil encontrar un movimiento que sea estrictamente uniforme. En muchos casos el flujo en canales y ríos se considera, desde el punto de vista del ingeniero, como uniforme. 2 V g2 SE y Sw So Figura 2.1 Movimiento uniforme en un canal Si la pendiente de un canal es muy fuerte aparecen ondulaciones superficiales y el movimiento deja de ser uniforme. En algunos casos las altas velocidades dan lugar a que el agua atrape y arrastre partículas de aire, que constituyen el aire incorporado y que alteran la uniformidad del escurrimiento. En una tubería con movimiento uniforme el área, la velocidad y gasto son constantes en todas las secciones y la línea de energía es paralela a la línea piezométrica (obsérvese que estas líneas no son paralelas al eje de la tubería) (Figura 2.1). A la línea piezométrica se le denomina también línea de gradiente hidráulica y se designa como WS . θ es el ángulo formado por el eje de la tubería y el plano horizontal de referencia, p es la presión, γ el peso específico del fluido, z la elevación con respecto al plano horizontal de referencia. E es la energía total. Los subíndices se refieren a cada una de las dos secciones. En una tubería se denomina ES , pendiente de la línea de energía, a la relación entre la diferencia de energía entre dos secciones y la distancia entre las mismas, medida a lo largo de la tubería. L h L EE S f E 2121 − = − = (2-2)
  65. 65. 45 Movimiento UniformeCapítulo II p γ 2 2z hf 2 V g 2 p γ 1 1z S = SE Sw 2 g V 2 L θ 1-2 E2 1E 1 2 1 2 Plano de referencia 1 2 Figura 2.2 Movimiento uniforme en una tubería En el movimiento uniforme, por ser la velocidad constante, se considera como diferencia de energía la correspondiente a la diferencia entre las cotas piezométricas. La línea de energía y la línea piezométrica son paralelas. SSS WE == L z p z p S       +−      + = 2 2 1 1 γγ (2-3) El fluido en movimiento ejerce fricción sobre el contorno. Para la obtención de las ecuaciones de distribución de velocidades se buscará, en primer lugar, establecer una relación entre el esfuerzo de corte y la inclinación de la línea de energía. Luego, una relación entre la velocidad y el esfuerzo de corte, para obtener finalmente, eliminando el corte, una función que relacione la velocidad con la inclinación de la línea de energía. En este desarrollo se sigue el método presentado por el Profesor Thijsse, en Delft (Holanda). Todo el desarrollo de este capítulo se refiere al movimiento permanente y uniforme. En este capítulo se considera que el coeficiente α de Coriolis es igual a 1.
  66. 66. 46 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 2.2 Relación entre el corte y la inclinación a) Canal muy ancho En la Figura 2.3 se representa el perfil longitudinal de un canal muy ancho con movimiento uniforme. Recordemos que en el movimiento uniforme las tres pendientes son iguales y se designan con la letra S (ecuación 2-1). F es la componente del peso, de la parte achurada, en la dirección del escurrimiento, h es la distancia variable entre el fondo y la parte inferior de la porción achurada, cuya longitud es s∆ . Como es un canal muy ancho consideramos el escurrimiento por unidad de ancho (medido perpendicularmente al plano del dibujo). Para el elemento fluido achurado se tiene que su volumen es shy ∆− )( y su peso es shyg ∆− )(ρ El producto de la densidad ρ por la aceleración g de la gravedad es igual al peso específico γ . Figura 2.3 Esfuerzo de corte en un canal muy ancho 2 V g2 SE y Sw So θ ∆ s h τh F
  67. 67. 47 Movimiento UniformeCapítulo II La componente del peso en la dirección del escurrimiento es shyg ∆− )(ρ θsen Como el ángulo θ , formado por el fondo y un plano horizontal de referencia, es pequeño se considera que Ssen =θ luego, shyg ∆− )(ρ S En el movimiento uniforme no hay aceleración. La distribución de presiones es hidrostática. Las fuerzas debidas a la presión se compensan y la componente del peso en la dirección del escurrimiento debe ser equilibrada por el corte total, que es el producto del esfuerzo unitario de corte hτ por el área en que actúa sShygsh ∆−=∆ )(ρτ De donde, la relación entre el corte y la inclinación es Shyh )( −= γτ (2-4) El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para h=0 Syo γτ = (2-5) Como en un canal muy ancho el tirante es igual al radio hidráulico SRo γτ = (2-6) Se llega así a la conclusión que el esfuerzo de corte sobre el fondo es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la pendiente (de la línea de energía). b) Canal de cualquier sección transversal El caso anterior es hipotético pues corresponde a un canal de ancho infinito. En la práctica los canales son rectangulares, trapeciales, circulares, etc. Todas estas formas diversas se esquematizan en la Figura 2.4. Se muestra en la figura dos secciones de un canal, ubicadas a una distancia s∆ . Para las mismas condiciones anteriores se tiene que la componente del peso de la masa fluida, en la dirección del escurrimiento es sSAg ∆ρ
  68. 68. 48 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales ρ es la densidad del fluido, g la aceleración de la gravedad, A la sección transversal, S la pendiente. Esta fuerza debe ser equilibrada por el corte total (en este caso el esfuerzo de corte sobre el fondo no es constante), que tiene por expresión sdP P ∆     ∫ 0τ P es el perímetro mojado, 0τ es el esfuerzo de corte sobre el fondo. o bien, aproximadamente sP ∆0τ Igualando la componente del peso y el corte total se obtiene S P A gρτ =0 o bien, RSγτ =0 (2-7) Observamos que las ecuaciones 2-6 y 2-7 son iguales. Esto significa que el esfuerzo medio de corte sobre el fondo en un canal es igual al producto del peso específico del fluido, por el radio hidráulico y por la inclinación de la línea de energía. Figura 2.4 Esfuerzo de corte en un canal de cualquier sección transversal A ∆s τo P
  69. 69. 49 Movimiento UniformeCapítulo II c) Tubería de sección circular En la Figura 2.5 se muestra un corte longitudinal en una tubería de sección circular de diámetro D . Consideremos el cilindro coaxial mostrado en la figura. θ es el ángulo que forma el eje de la tubería con la horizontal. La fuerza debida al corte (fricción) es igual a la fuerza debida a la diferencia de presiones. La fuerza debida al corte es sh D h ∆      − 2 2πτ expresión en la que hτ es el esfuerzo de corte a la distancia h del contorno (en este caso, de la pared de la tubería). La fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso es ∆s senθh D h D pp 22 21 22 )(       −+      −− πγπ Figura 2.5 Esfuerzo de corte en una tubería p γ 2 p γ 1 SE Sw 2 g V 2 θ D s∆ 1p p2 h h
  70. 70. 50 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales operando,       ∆+−      − s senθ pp h D γγ γπ 21 2 2 pero, 21 zz∆s senθ −= luego,             +−      +      − 2 2 1 1 2 2 z p z p h D γγ γπ teniendo en cuenta que, Ssz p z p ∆=      +−      + 2 2 1 1 γγ se obtiene para la fuerza debida a la diferencia de presiones y al peso Ssh D ∆      − 2 2 γπ que debe ser igual a la fuerza de corte, Ssh D sh D h ∆      −=∆      − 2 22 2 γππτ de donde, la relación entre el corte y la inclinación es S hD h       −= 24 γτ (2-8) El esfuerzo de corte sobre el fondo se obtiene para 0=h S D o 4 γτ = pero la expresión 4D representa el radio hidráulico de la tubería circular. Luego, RSo γτ = (2-9)
  71. 71. 51 Movimiento UniformeCapítulo II Para una tubería de cualquier sección transversal se obtiene mediante consideraciones análogas RSγτ =0 En resumen, tanto para canales como para tuberías el corte medio sobre el fondo es RSγτ =0 (2-10) Obsérvese que esta ecuación es válida tanto para el flujo laminar como para el turbulento. Examinemos brevemente la distribución transversal del esfuerzo de corte. La distribución del esfuerzo de corte en un canal es lineal: máximo en el fondo y nulo en la superficie. En una tubería el esfuerzo de corte es máximo en las paredes y nulo en el centro y corresponde a la ecuación 2-11 en la que r es el radio de la tubería. Figura 2.6 Distribución del esfuerzo de corte (a) en un canal y (b) en una tubería D hτ h τo oτ h τo hτ (a) (b)
  72. 72. 52 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales La ecuación de distribución de corte es       −= r h oh 1ττ (2-11) que se obtiene combinando las expresiones 2-8 y 2-9. Se observa que si 2Drh == (eje de la tubería), entonces .0=hτ Si 0=h se tiene que 0ττ =h (contorno). 2.3 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para un canal muy ancho con movimiento laminar En un canal como el presentado en la Figura 2.7 se tiene que a una distancia h del contorno existe un valor de la velocidad ( hV ) y un valor del corte ( hτ ). La relación entre hV y hτ depende de que el flujo sea laminar o turbulento. Para el flujo laminar la relación entre el esfuerzo de corte y la velocidad es muy conocida y corresponde a la definición de viscosidad. dh dVh h µτ = (2-12) Combinando esta ecuación con la 2-4, dh dV Shy h µγ =− )( dividiendo por ρ , dh dV Shyg h ν=− )( separando variables, ( )dhhy gS dVh −= ν e integrando, se obtiene K h yh gS Vh +      −= 2 2 ν
  73. 73. 53 Movimiento UniformeCapítulo II Expresión en la que hV es la velocidad a la distancia h del fondo, S es la pendiente de la línea de energía, ν es la viscosidad cinemática, y es el tirante, K es una constante de integración. El valor de la constante de integración se obtiene para la condición que la velocidad es nula en el contorno ( 0=h ; 0=hV ; 0=K ), luego,       −= 2 2 h yh gS Vh ν (2-13) que es la ecuación de distribución de velocidades en un canal muy ancho con flujo laminar. Es una curva parabólica. La velocidad máxima corresponde a la superficie ( yh = ) 2 2 y gS Vmax ν = (2-14) La velocidad media se puede obtener a partir del gasto, calculado por integración de la ecuación de distribución de velocidades. Sin embargo, como la curva de distribución es parabólica se puede obtener la velocidad media por simple aplicación de las propiedades geométricas de la parábola. Según la Figura 2.7 yVq max 3 2 = Figura 2.7 Distribución de velocidades en un canal con movimiento laminar V y max Parábola h hV dh dq
  74. 74. 54 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Puesto que el área de la parábola es igual a los 2/3 del rectángulo circunscrito. q es el gasto específico (por unidad de ancho). Pero también se tiene que, Vyq = Luego, maxVV 3 2 = 2 23 2 y gS V ν = ν3 2 gSy V = (2-15) Que es la fórmula para el cálculo de la velocidad media en un canal con flujo laminar y que evidentemente equivale a ν3 2 gSR V = (2-15) Obsérvese que en el movimiento laminar la velocidad es proporcional a la primera potencia de la pendiente. En la Figura 2.7 se observa que la velocidad superficial corresponde a la condición 0= dh dVh Evidentemente que también puede hacerse el cálculo por integración. ∫ = = = yh h hdhVq 0 calculado q se obtiene por división entre el área y , el valor de la velocidad media, que es el de la ecuación 2-15.
  75. 75. 55 Movimiento UniformeCapítulo II 2.4 Ecuaciones de distribución de velocidades y de la velocidad media para una tubería con movimiento laminar Combinado las ecuaciones 2-8 y 2-12 se obtiene S hD dh dVh       −= 24 γµ de donde, luego de separar variables e integrar, se llega a K hDhgS Vh +      −= 44 2 ν El valor de la constante de integración se obtiene para las condiciones del contorno ( 0=h ; 0=hV ; 0=K ). Luego,       −= 44 2 hDhgS Vh ν (2-16) que es la ecuación de distribución de velocidades para una tubería con movimiento laminar. La velocidad máxima se presenta en el eje y corresponde a 4Dh = 16 2 DgS Vmax ν = (2-17) La velocidad media puede obtenerse por integración de la ecuación 2-16, pero en este caso aplicamos la propiedad geométrica que dice que el volumen de un paraboloide es la mitad del cilindro circunscrito. Luego, maxVV 2 1 = En una tubería con flujo laminar la velocidad media es igual a la mitad de la velocidad máxima; es decir, 32 2 DgS V ν = (2-18)
  76. 76. 56 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales que es la conocida ecuación de Hagen - Poiseuille. Si expresamos esta ecuación en función del radio hidráulico, tenemos 2 2 R gS V ν = (2-19) expresión que es muy parecida a la ecuación 2-15, que fue establecida para un canal. En un caso el denominador es 2 y en otro 3. Podríamos concluir que cualquier otra sección transversal intermedia entre los dos casos extremos estudiados (canal muy ancho y tubería circular) debe tener en el denominador un valor comprendido entre 2 y 3. ν)32( 2 á gSR V = La velocidad media también podría haberse obtenido por la integración de la ecuación 2-16 ∫ = =       −= 2/ 0 2 2 Dh h h dhh D VQ π de donde, ν π 128 4 SDg Q = y, 4/2 D Q A Q V π == obteniéndose el valor de la ecuación 2-18 Mediante sencillas transformaciones de la ecuación 2-18 se obtiene que la diferencia de cotas piezométricas separadas por la longitud L a lo largo de la tubería es 2 32 D VL γ µ (2-19a) Ejemplo 2.1 Se bombea petróleo crudo en una tubería horizontal de 6 cm de diámetro. El gasto es de 25 litros por minuto. Se ha verificado que entre dos manómetros colocados en la tubería a una distancia de 1 000 m hay una diferencia de presión de 0,103 Kg/cm2 . Calcular la viscosidad del petróleo. Determinar aproximadamente y con ayuda de la Figura 1.8 cual sería la variación en el gasto si la temperatura disminuye a 0 ºC. Considerar que la diferencia de presiones permanece constante.
  77. 77. 57 Movimiento UniformeCapítulo II Solución. Por ser una tubería horizontal en la que supondremos un régimen laminar, 221 32 D VL pp µ =− (2-19a) 1p y 2p son las presiones en las dos secciones de la tubería. 21 pp − = 0,103 kg/cm2 = 1030 kg/m2 Q = 25 l/min = 0,000417 m3 /s 4 2 D A π = = 0,00283 m2 A Q V = = 0,147 m/s Luego, 4 1036 0001147032 0301 − × ×× = ,µ De donde, µ = 7,9 x 10-4 kg-s/m2 Ahora debemos verificar el número de Reynolds para comprobar que el flujo es laminar. La viscosidad dinámica que hemos obtenido corresponde, según la Figura 1.8, a un petróleo crudo cuya densidad relativa es 0,86. Luego, ν = 9 x 10-6 m2 /s 980 109 0601470 Re 6 = × × == − ,,VD ν El flujo es, pues, efectivamente laminar y corresponde a una temperatura de 20 ºC (aprox.) Si la temperatura disminuye a 0 ºC, entonces µ = 1,6 x 10-3 kg-s/m2 Aplicando nuevamente la ecuación 2-19a 4 3 1036 0001106132 0301 − − × ×××× = , V Se obtiene, V = 0,0724 m/s que es la nueva velocidad media al disminuir la temperatura (y aumentar la viscosidad).
  78. 78. 58 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales El nuevo gasto es Q = 12,3 l/min La reducción es de 12,7 l/min, que representa el 50,8 % Ejemplo 2.2 Demostrar que en un canal con flujo laminar se puede calcular la velocidad media promediando las velocidades a 0,2 y 0,8 del tirante. Solución. Partimos de la ecuación 2-13, que nos da la distribución de velocidades en un canal con flujo laminar       −= 2 2 h yh gS Vh ν Luego aplicamos esta ecuación a los dos tirantes mencionados 2 2 2 8,0 48,0 2 64,0 8,0 y gSy y gS V νν =      −= 2 2,0 18,0 y gS V ν = El promedio de estos dos valores es 2 33,0 y gS ν , expresión que es prácticamente igual a la ecuación 2-15 que nos da la velocidad media en un canal con flujo laminar 2 3 y gS V ν = Ejemplo 2.3 Se bombea aceite a razón de 14 l/s en una tubería de 10 cm de diámetro. La densidad relativa del aceite es 0,92 y la viscosidad es 0,01 kg-s/m2 . ¿Cuál será la diferencia entre las lecturas de los manómetros de los puntos A y B mostrados en la figura?. ¿Cuál es la velocidad máxima que se presenta en la tubería? 0,8 y 0,2 y 300 m A B 3 m
  79. 79. 59 Movimiento UniformeCapítulo II Solución. Supongamos que el flujo es laminar (ecuación 2-19) ν2 2 gSR V = Para aplicar esta ecuación tenemos los siguientes datos A Q V = = 1,78 m/s ν = 1,07 x 10-4 m2 /s Luego, ν VD =Re = 1 664 con lo que se confirma que el flujo es laminar. Despejamos ahora la pendiente S 2 2 R V S γ µ = = 0,0619 o bien, L hf = 0,0619 fh = 0,0619 x 300 = 18,57 m La diferencia de cotas piezométricas es, pues, de 18,57 m. Como la diferencia de elevaciones es de 3 m se concluye que la diferencia de presiones debe equivaler a 15,57 m Luego, p∆ = 920 x 15,57 x 10-4 = 1,43 kg/cm2 La velocidad máxima, según la ecuación 2-17, es 16 2 DgS Vmax ν = maxV = 3,55 m/s Valor que efectivamente corresponde al doble de la velocidad media (como debe ser en el régimen laminar). Ejemplo 2.4 Demostrar que en una tubería circular con flujo laminar se cumple que, dx dp r dr dV r dr d h µ 1 =      expresión en la que hV es la velocidad a la distancia r del eje x , µ es la viscosidad dinámica y dx dp es el gradiente de presiones.
  80. 80. 60 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales Luego, integrando la expresión anterior, demostrar que si se desarrolla un flujo laminar en el espacio comprendido entre dos tuberías concéntricas de radios 1r y 2r , entonces la velocidad máxima se presenta al radio r a a rr ln2 12 1 − = 1 2 r r a = Solución. Consideremos un elemento anular de espesor dr , ubicado al radio r y cuya velocidad es hV . Consideremos también, longitudinalmente, una distancia x∆ , en cuyos extremos hay presiones 1p y 2p cuya diferencia es p∆ . Se cumple así que, dx dp xp ∆=∆ La fuerza debida a la diferencia de presiones es igual al área del anillo por la diferencia de presiones dx dp xrdr ∆π2 (1) La fuerza de corte sobre el anillo es igual a su área por el esfuerzo de corte hxr τπ ∆2 o bien, dr dV xr h µπ ∆2 Como el flujo es laminar se ha introducido la ec. 2-12. La variación de la fuerza de corte con el radio r es       ∆ dr dV r dr d x h µπ2 1 rr2r1 dr r r2 ∆ x r1 r2
  81. 81. 61 Movimiento UniformeCapítulo II y la fuerza total sobre el anillo se obtiene multiplicando esta expresión por dr dr dr dV r dr d x h       ∆πµ2 (2) Las ecuaciones 1 y 2 deben ser iguales dr dr dV r dr d x dx dp xrdr h       ∆=∆ πµπ 22 de donde, dx dp r dr dV r dr d h µ 1 =      Integrando dos veces la ecuación obtenida se encuentra la velocidad hV A dx dpr dr dV r h += µ2 2 r A dx dpr dr dVh += µ2 BrA dx dpr Vh ++= ln 4 2 µ Por condición de contorno se obtiene dos ecuaciones Si 1rr = , entonces 0=hV Si 2rr = , entonces 0=hV dx dpr BrA µ4 ln 2 1 1 −=+ dx dpr BrA µ4 ln 2 2 2 −=+ de donde, dx dprr rrA µ4 )ln(ln 2 2 2 1 12 − =− 1 2 2 2 2 1 ln 1 4 r rdx dprr A µ − = La velocidad es máxima cuando 0= dr dVh
  82. 82. 62 Arturo RochaHidráulica de tuberías y canales 0 2 =+= r A dx dpr dr dVh µ 0 ln 1 42 1 2 2 2 2 1 2 = − + r rdx dprr dx dpr µµ 1 2 2 1 2 2 2 12 ln 1 1 2 r rr rr r       −= obteniéndose finalmente a a rr ln2 12 1 − = siendo 1 2 r r a = 2.5 Ecuación general de distribución de velocidades para el movimiento turbulento en un contorno hidráulicamente liso El desarrollo que se presenta a continuación corresponde al expuesto por el profesor Thijsse, en Delft. La determinación de la distribución de velocidades en el flujo laminar se hace, como lo hemos visto, recurriendo únicamente a consideraciones teóricas. Para hallar las ecuaciones correspondientes en el movimiento turbulento habrá que recurrir además a información experimental. Así pues, las ecuaciones de distribución de velocidades en el flujo turbulento se calculan en base a estudios teóricos y experimentales de algunos investigadores hidráulicos, entre los que los más importantes son Prandtl, von Karman y Nikuradse. Para obtener la ecuación de distribución de velocidades debemos establecer previamente una relación entre el corte y la velocidad. Partiendo de la expresión de Reynolds, que nos da la tensión tangencial adicional presente en el flujo turbulento y que es ''Vuh ρτ = 'u y 'V son las fluctuaciones de la velocidad en un punto (flujo bidimensional), ρ es la densidad del fluido. Prandtl introduce una longitud característica L , a la que llama longitud de mezcla. Esta longitud representa la distancia media que tiene que recorrer una partícula para transferir o
  83. 83. 63 Movimiento UniformeCapítulo II perder su exceso de cantidad de movimiento. Este concepto de longitud de mezcla es análogo al de recorrido libre medio de la teoría cinética de los gases. Prandtl consideró que 'u es proporcional a dh dVh o o o dh dV Lu h =' 'V es proporcional a dh dVh o o o dh dV LV h =' y por lo tanto, 2 2       = dh dV L h h ρτ (2-20) expresión para el flujo turbulento, que consideramos correspondiente a la ecuación 2-12, que es para el flujo laminar. De la ecuación 2-20 obtenemos dh dV L hh = ρ τ (2-21) Examinaremos a continuación lo que ocurre en un canal y en una tubería. a) Canal muy ancho Debemos establecer para este caso una relación entre L y la profundidad. La condición es que la longitud de mezcla debe ser cero tanto en el fondo como en la superficie. Esto puede expresarse por medio de 2 1 1       −= y h hL κ (2-22) κ es la constante de Karman, para la que aceptamos el valor de 0,4 (sin sólidos en suspensión). Reemplazando este valor de la longitud de mezcla en la ecuación 2-21, obtenemos dh dV y h h hh 2 1 1       −= κ ρ τ

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