APLICACIONES DE LA DERIVADAANA COLO HERRERA   HECTOR PATRITTI
PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS              TECNOLÓGICOS DEL C.E.T.P.       APLICACIONES DE LADERIVADA...
DERECHOS RESERVADOS POR LOS AUTORESEsta publicación no puede ser reproducida en todo o en parte, ni archivada o trasmitida...
Aplicaciones de la Derivada                                            CONTENIDO                                          ...
Aplicaciones de la Derivada                              PROLOGO Ana Coló Herrera                1      Héctor Patritti
Aplicaciones de la Derivada – Prólogo -                                     AL ESTUDIANTE     La presente publicación tien...
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Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - Resoluciones                                           2     dR 2         dR   ...
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - Resoluciones                                         h           H             ...
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - Resolucionesc) El razonamiento hecho en la parte a) del ejercicio nos conduce a...
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Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – ResolucionesDe acuerdo a las notaciones elegidas tendremos                     ...
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Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones                             dxTeniendo en cuenta que          =v  ...
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resolucionesd) Como x = v.t , sustituyendo en (1) obtienes:                    ...
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones                                                                   ...
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones                       dVDeseamos calcular         , siendo h , R y...
Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – ResolucionesSustituyendo t por su valor 3 y operando resulta:                  ...
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  1. 1. APLICACIONES DE LA DERIVADAANA COLO HERRERA HECTOR PATRITTI
  2. 2. PARA LOS CURSOS DE MATEMATICA DE LOS BACHILLERATOS TECNOLÓGICOS DEL C.E.T.P. APLICACIONES DE LADERIVADA Ejercicios resueltosPROF. ANA COLO HERRERA PROF. HECTOR PATRITTI
  3. 3. DERECHOS RESERVADOS POR LOS AUTORESEsta publicación no puede ser reproducida en todo o en parte, ni archivada o trasmitida porningún medio electrónico , mecánico , de grabación, de fotocopia, de microfilmación o en otraforma, sin el previo conocimiento de los autores.Publicación inscrita en la Biblioteca Nacional el 5 de enero del 2004 en el Libro No.29 con elNo.232 habiéndose realizado los aportes legales correspondientes según Art.7 de la ley No.9739 sobre derechos de autor.Email: anacolo@adinet.com.uy hpatritti@yahoo.com.arTelefax: 7120680 Montevideo -Uruguay
  4. 4. Aplicaciones de la Derivada CONTENIDO PáginasPrólogo ........................................................................... 1 - 4Areas , Perímetros y Volúmenes .................................. 5Fórmulas Trigonométricas .............................................. 6 - 7Tabla de Derivadas ........................................................ 8 - 9Selección de definiciones y teoremas ............................. 11 - 14Capítulo 11–1 Introducción ....................................................... 17 - 231 – 2 Enunciados de ejercicios .................................... 25 - 391 – 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 41 - 79Capítulo 22–1 Introducción ........................................................ 83 - 882 – 2 Enunciados de ejercicios ..................................... 89 - 1242 – 3 Resoluciones de ejercicios .................................. 125 - 219ApéndiceUnidades y equivalencias ............................................... 223Ejercicios sugeridos ....................................................... 227Bibliografía ..................................................................... 229Ana Coló Herrera Héctor Patritti
  5. 5. Aplicaciones de la Derivada PROLOGO Ana Coló Herrera 1 Héctor Patritti
  6. 6. Aplicaciones de la Derivada – Prólogo - AL ESTUDIANTE La presente publicación tiene por objetivo poner a tu disposición una ampliaserie de ejercicios , con sus correspondientes resoluciones , relativos a la aplicacióndel concepto de Derivada a problemas de las distintas disciplinas que involucran losBachilleratos Tecnológicos en sus diferentes orientaciones. Partimos de la base de que estás familiarizado con los conceptos teóricoscorrespondientes a Funciones de Variable Real que tu docente del curso hadesarrollado respecto al concepto de Derivada. Al comienzo de la publicación encontrarás un resumen de los conocimientosque deberás tener presentes para resolver los problemas propuestos así como unatabla de derivadas. Al final de la publicación te sugerimos aquellos ejercicios que entendemosadecuados según el Bachillerato que estás cursando, sin que ello signifiquenaturalmente , que los restantes carezcan de interés para tí. Esperamos que si aún no lo estás , llegues a convencerte de la importanciarelevante que el concepto de Derivada tiene en la resolución de problemas relativosa la tecnología en sus distintas disciplinas. La publicación está dividida en dos Capítulos.El Capítulo1 se refiere a la derivada como índice matemático que expresa la tasa devariación instantánea o rapidez de variación instantánea de una función y consta deveinticuatro ejercicios.El Capítulo 2 está dedicado a problemas de Optimización y consta de sesentaejercicios. Los enunciados de algunos de estos ejercicios corresponden a conocidosproblemas que seguramente encontrarás en distintos textos de Matemática pero quehan sido modificados y/o adaptados por los autores a los cursos de los BachilleratosTecnológicos.Otros son creación de los autores.El enunciado del ejercicio No. 54 corresponde al ejercicio No.18 , página 317 dellibro “Cálculo” de James Stewart que ha sido incluído por considerar que se trata deuna interesante muestra de aplicación de los conceptos que estamos manejando Ana Coló Herrera 3 Héctor Patritti
  7. 7. Aplicaciones de la Derivada –Prólogo -en una disciplina aparentemente alejada de la que tú has elegidoLas resoluciones de todos los ejercicios propuestos en la publicación son deexclusiva responsabilidad de los autores. Deseamos hacerte una precisión respecto de la notación utilizada en laresolución de los ejercicios.De las distintas notaciones que suelen utilizarse para la “función derivada primera”de una función f de variable real x , a saber f´ , fx , df , hemos adoptado la notación dxde Leibnitz df que entendemos la más adecuada pues explicita claramente la dxvariable respecto de la cual se efectúa la derivación , hecho este que en los problemastécnicos es absolutamente relevante.df será entonces la notación para la función derivada primera. de la función fdxrespecto de la variable x .df (x o ) será el valor de la función derivada primera en el punto xo.dxd 2f será la notación para la “función derivada segunda” de la función f respecto dedx 2la variable x .d 2f 2 (x o ) será el valor de la función derivada segunda en el punto xo.dx Previo al Capítulo 1 encontrarás un resumen de fórmulas de perímetros , áreasy volúmenes , un resumen de fórmulas trigonométricas , y una tabla de derivadas.También una selección de definiciones y teoremas que has visto en el curso teórico yque deberás tener presentes para resolver los ejercicios del Capítulo 1.Si este material que ponemos a tu disposición resulta de utilidad en tu formaciónmatemática habremos alcanzado nuestro objetivo. LOS AUTORES Ana Coló Herrera 4 Héctor Patritti
  8. 8. Aplicaciones de la Derivada - Perímetros , Areas y VolúmenesTriángulo a c p=a+b+c b.h h A= 2 bRectángulo a b p =2a + 2b A = a.bHexágono L p = 6L p.a a A= 2Círculo Long. Cfa.= 2πR 2 R A=πRSector circular Long. Arco = Rθ 1 2 θ R A= R θ 2 Esfera Cilindro Cono h h R R R 2 2 1 2A = 4πR Atotal = 2πR + 2πRh V= πR h 3 4 3 2V= πR V=π R h 3 Ana Coló Herrera 5 Héctor Patritti
  9. 9. Aplicaciones de la Derivada TRIGONOMETRIAUnidades de medida de ángulos Grados Radianes 1800 Equivalencia: 3600 = 2π rad. 1 rad = ≅ 570 17m πLongitud de un arco de circunferencia de radio R que subtiende unángulo central θ s = Rθ θ en radianesValores de líneas trigonométricas de algunos ángulos especiales. θ Grados 0 30 45 60 90 120 180 270 360 π π π π 2π 3π θ Radianes 0 π 2π 6 4 3 2 3 2 1 2 3 3 sen θ 0 1 0 -1 0 2 2 2 2 3 2 1 1 cos θ 1 0 - -1 0 1 2 2 2 2 3 tg θ 0 1 3 ∃ / - 3 0 ∃ / 0 3Angulos suplementarios θ+ϕ=π sen θ = sen (π−θ) cos θ = - cos (π−θ) tg θ = - tg (π−θ) πAngulos complementarios θ+ϕ= 2 π π sen θ = cos ( -θ) tg θ = cotg ( -θ) 2 2Angulos opuestos Sen (- θ) = - sen θ cos ( - θ ) = cos θ tg (- θ ) = - tg θ Ana Coló Herrera 6 Héctor Patritti
  10. 10. Aplicaciones de la Derivada πAngulos que difieren en y en π 2 π π π sen ( θ+ ) = cos θ cos ( θ+ ) = - sen θ tg ( θ+ ) = - cotg θ 2 2 2 sen (θ+π ) = - sen θ cos (θ + π ) = - cos θ tg (θ+π ) = tg θTeorema del seno senA senB senC = = A a b c c bTeorema del coseno B a C 2 2 2 a = b + c – 2 b c cos A 2 2 2 b = a + c – 2 a c cos B 2 2 2 c = a + b – 2 a b cos CFórmula fundamental 2 2 sen x + cos x = 1Fórmulas de suma y resta de ángulossen ( x + y ) = sen x cos y + cos x sen ysen ( x – y ) = sen x cos y – cos x sen ycos ( x + y ) = cos x cos y – sen x sen ycos ( x – y ) = cos x cos y + sen x sen y tgx + tgytg ( x + y ) = 1 − tgx tgy tgx - tgytg ( x – y ) = 1 + tgx tgyFórmulas del ángulo doble 2 2 2tgx sen 2x = 2 senx cosx cos 2x = cos x – sen x tg 2x = 1 − tg 2 xFórmulas del ángulo mitad 2 1 − cos2x 2 1 + cos2x sen x = cos x = 2 2 Ana Coló Herrera 7 Héctor Patritti
  11. 11. Aplicaciones de la Derivada TABLA DE DERIVADAS df df f(x) f(x) dx dx k 0 senx cosx x 1 cosx - sen x 2 |x| sg(x) x≠0 tgx 1 + tg x m m-1 1 x mx Arcsenx 1 − x2 1 1 − 1 x x2 Arccosx − 1 − x2 1 1 x Arctgx 2 x 1 + x2 3 1 x shx chx 3 3 x2 ex ex chx shx 1 2 Lx x thx 1 – th x 1 1 L|x| x Argshx x2 + 1 1 Sg(x) 0 ∀x ≠ 0 Argchx x2 − 1 1 x x a a La Argthx 1- x2 Ana Coló Herrera 8 Héctor Patritti
  12. 12. Aplicaciones de la Derivada DERIVADAS DE FUNCIONES COMPUESTAS d(fog) d(fog) (fog)(x) (fog)(x) dx dx dg dg g(x) sen g(x) cos g. dx dx dg dg k.g k cos g(x) - sen g. dx dx dg 2 dg |g| sg(g). tg g(x) ( 1 + tg g ). dx dx m m-1 dg 1 dg g mg Arcsen g(x) dx 1 − x 2 dx 1 1 dg 1 dg − Arccos g(x) − g g 2 dx 1 − x 2 dx dg 1 1 dg g Arctg g(x) 2 2 g dx 1 + g dx 3 1 dg dg g sh g(x) ch g(x). 33 g 2 dx dx g g dg dg e e ch g(x) sh g(x). dx dx 1 dg dg 2 Lg o L|g| g dx th g(x) (1 – th g) dx g 1 dg 1 dh 1 dg L − Argsh g(x) h g dx h dx 1 + g 2 dx dg 1 dg ag a g.La. Argch g(x) dx g 2 − 1 dx h h ⎡ dh h dg ⎤ 1 dg g g ⎢ Lg + ⎥ Argth g(x) ⎣ dx g dx ⎦ 1 − g 2 dx eg⎡ g dh dg ⎤ he ⎢ + h. ⎥ ⎣ dx dx ⎦ Ana Coló Herrera 9 Héctor Patritti
  13. 13. Aplicaciones de la Derivada – Resumen - SELECCIÓN DE DEFINICIONES Y TEOREMASDefinición de función derivable en un punto.Una función f de variable real x con dominio D se dice derivable en un punto xoperteneciente a D si y sólo si existe y es finito , el siguiente límite: f ( x o + h ) − f (x o ) lim h h ∈R h→0Al valor de dicho límite se le llama “ derivada de la función f en el punto xo”.Teorema 1) Derivada de suma de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo d (f + g ) T) (x o ) = df (x o ) + dg (x o ) dx dx dxTeorema 2) Derivada del producto de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo d (f.g ) T) (x o ) = g(xo) df (x o ) + f(x o ) dg (x o ) dx dx dxTeorema 3) Derivada del cociente de funciones H) Si f y g son funciones derivables en xo con g (xo ) ≠ 0 ⎛f ⎞ g(x o ). (x o ) − f (x o ). (x o ) d⎜ ⎟ df dg ⎜g⎟ T) ⎝ ⎠ (x ) = dx dx g (x o ) o 2 dxTeorema 4) Derivada de la función compuesta o regla de la cadena H) Si g es derivable en xo y f derivable en g (xo) d(f o g ) T) (x o ) = df [g(x o )]. dg (x o ) dx dg dxAna Coló Herrera 11 Héctor Patritti
  14. 14. Aplicaciones de la Derivada – Resumen -DefinicionesFunción creciente en un puntoUna función f es creciente en un punto xo si cumple:f(x) ≤ f (xo) ∀x ∈ E - o,δ x (semientorno izquierdo de centro xo y radio δ )f(x) ≥ f (xo) ∀x ∈ E + x o,δ (semientorno derecho de centro xo y radio δ )Función decreciente en un puntoUna función f es decreciente en el punto xo si cumple:f(x) ≥ f(xo) ∀x ∈ E - o,δ xf(x) ≤ f(xo) ∀x ∈ E + x o,δMáximo y mínimo relativosf(xo) es máximo relativo en xo de la función f si se cumple:f(xo) ≥ f(x) ∀x ∈ E x o,δf(xo) es mínimo relativo en xo de la función f si se cumple:f(xo) ≤ f(x) ∀x ∈ E x o,δTeorema 5) Relación entre derivabilidad y continuidad H) Si una función f es derivable en el punto xo T) f es contínua en el punto xoSobre este teorema recuerda que el recíproco no es válido, es decir, existen funcionescontínuas en un punto pero no derivables en él.Teoremas que relacionan la derivada en un punto con la variación de la función en él.Teorema 6) H) df (x 0 ) > 0 dx T) f creciente en el punto xoAna Coló Herrera 12 Héctor Patritti
  15. 15. Aplicaciones de la Derivada – ResumenTeorema 7) H) df (x 0 ) < 0 dx T) f decreciente en el punto x0Teorema 8) H) f presenta máximo o mínimo relativo en x0 ∃ df (x 0 ) dx T) df (x 0 ) = 0 dxRespecto de este teorema debes tener presente que:1ro) El recíproco no es cierto. Puedes tener una función con derivada nula en unpunto x0 y la función no presentar en él un extremo relativo. La fig. (1) te muestraesa posibilidad.2do.) Una función puede presentar extremo relativo en un punto xo y no ser derivableen él. La fig. (2) te ilustra uno de estos casos para una función contínua en x0 y lafigura (3) para una función discontínua en x0 . f(x) f(x) f(x) o x0 x o x0 x o x0 x fig. (1) fig. (2) fig. (3)Teoremas que relacionan la derivada segunda de una función con su concavidad. d 2fTeorema 9) H) (x o ) > 0 T) f presenta concavidad positiva en x0 dx 2 d 2fTeorema 10) H) (x o ) < 0 T) f presenta concavidad negativa en x0 dx 2Ana Coló Herrera 13 Héctor Patritti
  16. 16. Aplicaciones de la Derivada – Resumen Teoremas relativos a intervalos (a , b).Teoremas que relacionan la derivada 1ra. con la variación de la función. dfTeorema 11) H) >0 ∀ x ∈ (a, b) T) f creciente en (a,b) dx dfTeorema 12) H) <0 ∀ x ∈ (a, b) T) f decreciente en (a,b) dx d 2fTeorema 13) H) >0 ∀ x ∈ (a, b) T) f tiene concavidad > 0 en (a,b) dx 2 d 2fTeorema 14) H) <0 ∀ x ∈ (a, b) T) f tiene concavidad < 0 en (a,b) dx 2Ana Coló Herrera 14 Héctor Patritti
  17. 17. Aplicaciones de la Derivad CAPITULO 1 df (x0 ) dx f(x) df y – f(x0) = (x0 ) ( x – x0) dx f(x0) 0 x0 x Demanda NEWTON dT = K(A− T) Precio dt1 – 1 Introducción1 – 2 Enunciados de ejercicios1–3 Resolución de ejercicios Ana Coló Herrera 15 Héctor Patritti
  18. 18. Aplicaciones de la Derivada – Introducción – Capítulo 1 INTRODUCCION Capítulo 1 Ana Coló Herrera 17 Héctor Patritti
  19. 19. Aplicaciones de la Derivada – Introducción- Capítulo 1 INTRODUCCION En este Capítulo 1 te proponemos ejercicios tratando de que valorices laderivada de una función en un punto como indicador matemático de la rapidezinstantánea de variación o tasa instantánea de variación de una función. En distintas disciplinas como Electricidad , Electrónica , Termodinámica ,Mecánica , Economía , Biología , etc , resulta de importancia fundamental no sólosaber que determinada magnitud o cantidad varía respecto de otra , sino conocer cuánrápido se produce esa variación.Puedes imaginar numerosos ejemplos de ello que seguramente te son familiares.Pensemos , por ejemplo , en una persona que cae a un río cuyas aguas se encuentrana muy baja temperatura.Es claro que la temperatura corporal será función del tiempo que la personapermanezca en el agua y claro también es que la función será decreciente al haberpérdida de calor del cuerpo hacia el agua tendiendo el mismo a alcanzar latemperatura del agua dada la diferencia de masa entre ambos.Sin embargo en este problema resulta vital conocer la rapidez de disminución de latemperatura del cuerpo que por cierto no es lineal.La disminución podría ser más rápida al principio de la caída e ir luegoenlenteciéndose , ocurrir exactamente lo contrario , etc.De toda esa información dependerá que sepamos cuanto tiempo se tiene aúndisponible para salvar la vida de la persona , y esa información nos la darájustamente la derivada de la función en cuestión. De hecho muchas cantidades o magnitudes que conoces se definenjustamente como derivada de otra.A título de ejemplo: la rapidez instantánea de un móvil se define como la derivadade la función espacio recorrido; la aceleración como derivada de la velocidad ; lafuerza electromotriz inducida , en Electrotecnia , como la derivada del flujo delcampo magnético, todas ellas respecto de la variable tiempo (t). El ángulo dedesplazamiento del eje de una viga , como derivada de la función “elástica de laviga”; la intensidad de corriente eléctrica como la derivada de la carga eléctrica Ana Coló Herrera 19 Héctor Patritti
  20. 20. Aplicaciones de la Derivada – Introducción- Capítulo 1respecto del tiempo ; el gasto instantáneo , en Hidráulica , como derivada delvolumen respecto del tiempo, etc.Al respecto resulta importante que hayas entendido con claridad el significado de loque en el curso teórico has llamado “Interpretación geométrica de la derivada” donde dfhas demostrado que la derivada de una función f en un punto x0 ( (x o ) ) dxrepresenta el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico representativo de la [función en el punto x 0 , f (x 0 ) ]Este resultado no es una mera curiosidad geométrica sino que su alcance esrelevante.Detengámonos en este punto para ayudarte a recordar.Considera una función f de variable x. En la figura (1) tenemos parte del gráficorepresentativo de la función y sea x0 el punto del dominio que hemos elegimos paratrabajar . f(x) Q f(x0+h) f(x0) P R 0 x0 x0+h x fig. (1)Recuerda que llamamos “punto” al valor x0 y no al punto geométrico P.Incrementamos ahora nuestra variable x en un valor h arbitrario y pasamos al nuevopunto x0 + h . Ana Coló Herrera 20 Héctor Patritti
  21. 21. Aplicaciones de la Derivada – Introducción- Capítulo 1El incremento h puede ser tanto positivo como negativo. En el caso de la figura lohemos tomado positivo moviéndonos en consecuencia hacia la derecha de x0.Veamos que ha ocurrido con la función f.En el punto x0 el valor funcional es f(x0) y en el punto x0 + h es f (x0 + h ).La diferencia f (x0 + h ) - f(x0) indica en valor y signo la variación del valorfuncional provocado por el incremento h de la variable x .A esa diferencia se le llama “incremento de la función en el punto x0 correspondienteal incremento h ” En la figura (1) este incremento es la medida del segmento QR. Consideremos ahora el cociente de ambos incrementos ,vale decir : f(x o + h) − f(x o ) hA este cociente se le denomina “ cociente incremental en el punto x0”.Es importante que comprendas que este cociente incremental indica la rapidezpromedio de variación de la función en el intervalo [ x0 , x0 + h].Si disminuímos el valor del incremento h iremos obteniendo nuevas tasas promediode variación de la función , en general diferentes (excepto si la función es del tipof(x) = Kx en cuyo caso el cociente incremental dará siempre constante e igual a K).Si esa sucesión de valores del cociente incremental tiene límite finito para h 0habremos obtenido la rapidez instantánea de variación de la función en x0 .Es al valor de ese límite que hemos llamado “derivada de la función en el punto x0”Desde el punto de vista gráfico has visto que el cociente incremental es la tangentetrigonométrica del ángulo QPR de vértice P, hecho que deduces de aplicarsimplemente la definición trigonométrica de tangente en el triángulo PRQ y que tepermite afirmar que el valor del cociente incremental es la pendiente o coeficienteangular de la recta PQ.El paso al límite que has efectuado posteriormente te permite entonces concluir queel número real que has obtenido como derivada de la función f en el punto x0 no esmás que el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico en el punto P.Debes tener presente entonces que cuando calculas la derivada de una función f enun punto x0 obtienes el coeficiente angular de la recta tangente al gráfico de lafunción en el punto (x0 , f(x0)) , pero la información que has conseguido no es Ana Coló Herrera 21 Héctor Patritti
  22. 22. Aplicaciones de la Derivada – Introducción- Capítulo 1meramente una información geométrica.Esta información te permite obtener la rapidez con que está variando la función enel punto considerado.Cuanto mayor sea el valor absoluto de la derivada en el punto , más rápido varía lafunción en él , y esta información es de vital importancia en una variedad enorme deproblemas de distintas disciplinas.Ten presente que a la hora de resolver problemas de la realidad , aplicando modelosfuncionales , nuestras funciones f representarán magnitudes o cantidades que varíanen función de otras magnitudes o cantidades a las cuales representará nuestravariable x .Por ejemplo si estás estudiando la variación en el tiempo de la energía E dada por undispositivo de algún tipo , nuestra función f representará la función energía E ,nuestra variable x representará al tiempo t y nuestras f(x) representarán los valoresde E(t) . ⎡ dE ⎤ habrás obtenido con qué ⎢ dt (t 0 )⎥ ,Si calculas la derivada en algún instante t0 , ⎣ ⎦rapidez está cediendo energía el dispositivo en ese instante medida , por ejemplo , Caloríasen , si esas son las unidades con que estás trabajando , digamos , en un horaproblema de Termodinámica.Esa derivada que has calculado no es otra cosa que la “potencia” del dispositivo enese instante.Después de definir derivada en un punto has visto el concepto de función derivada.A esta nueva función , asociada a tu función original , debes concederle toda laimportancia que realmente tiene.Supongamos que has representado gráficamente cierta función f representativa decierta magnitud interviniente en un fenómeno como función de otra magnitud , porejemplo el tiempo.La sola visualización de la curva te permite obtener variada información sobre loque está ocurriendo en el fenómeno.Conocerás cuándo la magnitud en cuestión aumenta y entre qué instantes , cuándodisminuye , cuando se producen sus máximos y/o mínimos y cuales son sus valores.Pero puedes obtener aún más información cualitativa si imaginas como van variando Ana Coló Herrera 22 Héctor Patritti
  23. 23. Aplicaciones de la Derivada – Introducción- Capítulo 1las pendientes de las rectas tangentes en los distintos puntos de la curva.Podrás concluir , por ejemplo , si aumenta o disminuye la “rapidez” con que lafunción aumentaba o disminuía sus valores , podrás decidir eventualmente que tufunción aumenta cada vez más rápido hasta cierto instante a partir del cual si biensigue aumentando lo hace cada vez más lentamente ( punto de inflexión de lagráfica) o a la inversa.Tendrás entonces un panorama mucho más completo del desarrollo del fenómenocon toda la información adicional que te permite obtener la función derivada.Es claro que si obtuvieras la expresión analítica de la función derivada podríasobtener datos cuantitativos de todo lo anterior , incluso la representación gráfica dela función derivada te permitiría tener una idea rápida y más acabada de cómotranscurre el fenómeno en estudio.Esperamos que todo lo dicho te haga valorar , en su justa medida , el aprender ainterpretar gráficas obteniendo de ellas toda la información que realmente contienen.En muchos fenómenos , incluso , no es posible obtener una expresión analítica de lamagnitud a estudiar , recurriéndose entonces a instrumentos adecuados para obtenersu representación gráfica , procediéndose luego a la interpretación de la misma.Piensa , por ejemplo , en los electrocardiogramas , sismogramas , poligramas(polígrafo o detector de mentiras ) , etc. Ana Coló Herrera 23 Héctor Patritti
  24. 24. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – La Derivada como tasa de variación - Enunciados LA DERIVADA COMO TASA DE VARIACION DE UNA FUNCION ENUNCIADOS Ana Coló Herrera 25 Héctor Patritti
  25. 25. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - EnunciadosEjercicio No. 1 – Química – ( Resolución página 43 )La ley de Boyle para los gases perfectos establece que a temperatura constanteP.V=K donde P es la presión, V el volumen y K una constante.Si la presión está dada por la expresión: P(t) = 30 + 2t con P en cm de Hg , 3t en seg ; y el volumen inicial es de 60 cm , determina la razón de cambio delvolumen V con respecto al tiempo t a los 10 segundos.Ejercicio No. 2 -Contaminación - ( Resolución página 44 )Una mancha con forma de cilindro recto circular se ha formado al derramarse en el 3mar 100 m de petróleo.. R R espesorCalcula con qué rapidez aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50m cmsi el espesor disminuye a razón de 10 en el instante en que R = 50 m . hora Ejercicio No. 3 - Geometría - ( Resolución página 46 ) 2El área de un triángulo equilátero disminuye a razón de 4 cm por minuto . Calculala rapidez de variación de la longitud de sus lados cuando el área es de 200 cm2.Se supone que el triángulo se mantiene equilátero en todo instante.Ana Coló Herrera 27 Héctor Patritti
  26. 26. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - EnunciadosEjercicio No. 4 – Electrotecnia - ( Resolución página 46 )Sean dos resistencias R y R conectadas en paralelo. La resistencia equivalente R 1 2 1 1 1 cumple: = + R R1 R 2Si R 1 y R 2 aumentan a razón de 0.01 y 0.02 Ω / seg. respectivamente, calcula larazón de cambio de R cuando R1 = 30Ω y R2 = 90Ω .Ejercicio No. 5 - Hidráulica - ( Resolución página 47 )Una tolva con forma de cono recto circular invertido de radio de base R y altura Hestá siendo llenada con líquido con un gasto constante Q = 0.5 m3 por minuto.A medida que se produce el llenado el nivel del líquido en la tolva sube.Si R=2 m y H=3m: Qa)¿ Crees que ese nivel sube con velocidad constante?Justifica tu respuesta sin efectuar cálculos.b) Calcula ahora esa velocidad, verifica tu respuesta anteriore indica el valor de la velocidad cuando la altura del líquidoen la tolva es de 1,5 m. ¿Qué condición crees que debería cumplir el recipiente paraque el nivel subiera a velocidad constante? Justifica mediante cálculo en el casoque el recipiente sea un cilindro recto circular.Ejercicio No. 6 – Química - ( Resolución página 48 )Un globo esférico se llena con gas con un gasto constante Q = 100 litros /minuto.Suponiendo que la presión del gas es constante , halla la velocidad con que estáaumentando el radio R del globo en el instante en que R=0.3 m.Ana Coló Herrera 28 Héctor Patritti
  27. 27. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - EnunciadosEjercicio No. 7 – Descarga de granos – ( Resolución página 49 )La caja de un camión transportador de granos está siendo llenada con el granoproveniente de un silo a razón de 0.5 m3 / min.El grano forma un cono circular recto cuyaaltura es constantemente igual a 5/4 del radiode la base. Calcula:a) ¿A qué velocidad está subiendo el vértice del cono cuando la altura es de 1.50 m?b) ¿ Cuál es el radio de la base del cono en ese momento y a qué velocidad estávariando?Ejercicio No. 8 – Física - ( Resolución página 51 )Un cuerpo que pesa 0.5 toneladas es levantado verticalmente utilizando una eslingade acero que pasa por una polea colocada a 20 m de altura, como indica la figura.Un extremo se une directamente al cuerpo y el otro, ( punto A), es arrastrado por unvehículo que se mueve hacia la derecha con velocidad v=20 km / hora y a una alturadel piso de 1.50 m. La eslinga tiene una longitud de 50 m.. 20m V A 1.5mTe pedimos :a)¿A qué distancia del cuerpo estará el vehículo en el instante de iniciar la maniobra?b) En cierto instante t el cuerpo se halla a cierta altura h respecto del piso y elvehículo a cierta distancia x del cuerpo. Encuentra la relación entre x y h.c) ¿ Cuál es la velocidad del cuerpo en el instante en que su altura es de h= 6 m?Ana Coló Herrera 29 Héctor Patritti
  28. 28. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - EnunciadosEjercicio No. 9 - Física - ( Resolución página 52 )Un foco de luz está colocado a una altura de H metros sobre el nivel del suelo.Una persona de altura h metros pasa por la vertical del foco moviéndose a velocidadvelocidad constante u m / seg .a) Calcula la velocidad V con que se mueve el extremo A de su sombra, en funciónde H , h y u .b) ¿ Cuál es esa velocidad si el foco luminoso está situado a 4m del nivel de la calle,la persona mide 1.75 de altura y camina a una velocidad de 1 m / seg ?c) Supongamos ahora que una segunda persona camina acompañando a la anterior.Investiga si es posible que la velocidad del extremo de la sombra de esta segundapersona sea doble de la velocidad V de la primera . F H O u A VEjercicio No 10 – Física – ( Resolución página 54 )Un automóvil recorre una carretera rectilínea con movimiento uniforme cuyavelocidad tiene módulo v , mientras un reflector colocado en el punto F a distancia dde la carretera lo ilumina constantemente, para lo cual se va girando sobre un eje.Tomando tiempo t=0 cuando el móvil pasa por el punto O y suponiendo que en uninstante posterior t aquél ha recorrido una distancia x como se indica en la figura , tepreguntamos:a) ¿Cuál es la relación entre el ángulo θ y la distancia x ?Ana Coló Herrera 30 Héctor Patritti
  29. 29. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - Enunciados O x A v d θ Fb) Recordando que la velocidad angular ω de un movimiento circular es: dθ ω= dti)¿Crees que el movimiento del reflector es circular uniforme? Busca unajustificación sin realizar cálculos.ii) Encuentra la relación entre ω y x , bosqueja esa relación y verifica tu respuesta ala pregunta anterior.c) Calcula ω para x =0 y x = 50 m , siendo d = 100 m y v = 72 Km / h.d) Recordando que el movimiento del vehículo es rectilíneo uniforme y por tantox = v.t , encuentra la expresión de ω(t) .e) Siendo la aceleración angular del movimiento circular γ = dω / dt , calculaesa aceleración γ para x =0 y x = 50m.Ejercicio No. 11 – Demanda – ( Resolución página 56 )Una fábrica vende q miles de artículos fabricados cuando su precio es dep U$S /unidad.Se ha determinado que la relación entre p y q es: q 2 - 2q p − p 2 − 31 = 0Si el precio p del artículo es de 9 U$S y se incrementa a una tasa de 0,20 U$S porsemana , te pedimos :Ana Coló Herrera 31 Héctor Patritti
  30. 30. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - Enunciadosa) Calcula el número de artículos vendidos a 9 dólares.b) ¿ Con qué rapidez cambia la cantidad de unidades q , vendidas por semana cuandoel precio es de 9 U$S?Ejercicio No. 12 – Forestación – ( Resolución página 57 )Para estimar la cantidad de madera que produce el tronco de un árbol se supone queel mismo tiene la forma de cono truncado como indica la figura. Radio r h Radio Rsiendo: r el radio de la base superior; R el radio de la base inferior y h la altura.Recordando que el volumen V de un tronco de cono está dado por la expresión: V = 1 /3 .π.h.( R2+R.r+r2 ) te preguntamos:¿Cuál es la rapidez de variación del volumen V en el momento en que: r =60cm ,R = 90 cm y h = 15m , si el incremento de r es de 10 cm / año, el incremento de Res de 15 cm / año y el de h de 25 cm / año?Ejercicio No.13 – Contaminación – ( Resolución página 58 )Estudios realizados han permitido determinar que el nivel medio diario C demonóxido de carbono CO2 en el aire , en partes por millón (ppm) , en una ciudad ,está relacionado con la población p expresada en miles de habitantes por la siguienteAna Coló Herrera 32 Héctor Patritti
  31. 31. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - Enunciadosexpresión : p2 C ( p )= + 17 2El aumento de población en esa ciudad en t años se estima que está dado por larelación siguiente: p(t) = 3,1 + 0,1 t2 en miles de habitantes.¿ Con qué rapidez crees que estará variando la concentración de CO2 en esa ciudaddentro de 3 años?Ejercicio No.14 – Variación de volumen – ( Resolución página 59 )Un camión descarga arena formándose un montículo que tiene la forma de conorecto circular. La altura h va variando manteniéndose constantemente igual al radio rde la base.Cuando la altura es de 1m. ella está aumentando a razón de 25 cm / minuto.¿ Con qué rapidez está cambiando en ese instante el volumen V de arena?Ejercicio No.15 – Física – ( Resolución página 60 )Un niño sostiene el manojo de hilo de una cometa a 1,50 m del suelo. La cometa sedesplaza horizontalmente a una altura de 81,5 m. ♦Te pedimos que calcules a qué velocidad debe el niño soltar hilo en el momento enque la cometa está a 100m de él si la velocidad de la cometa es de 20 m / min.Ana Coló Herrera 33 Héctor Patritti
  32. 32. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - EnunciadosEjercicio No. 16 - Termodinámica – ( Resolución página 61 )Una bebida se saca del refrigerador a una temperatura de 100 C y se deja en unahabitación donde la temperatura es de 250 C.Según la ley de enfriamiento de Newton ( calentamiento sería en este caso el términoapropiado) la temperatura T de la bebida variará en el tiempo de acuerdo a laexpresión: -ktT(t) = 25 – A.e con A y k constantes.a) Sabiendo que al cabo de 20 minutos la temperatura de la bebida es de 150 C,calcula las constantes A y k.b) Bosqueja el gráfico de la función T para t ≥ 0 y encuentra la expresión dela rapidez instantánea de calentamiento de la bebida.c) Encuentra el instante en que esa rapidez es máxima y el instante en que ella es lamitad de la máxima.d) ¿Cuál será la temperatura de la bebida al cabo de una hora?Ejercicio No. 17 – Electricidad – ( Resolución página 64 )La carga eléctrica Q que atraviesa la sección de un conductor está dada por laexpresión: A Q(t) = − cos( ω t) ωsiendo A y ω constantes:a) Grafica Q en función de t en un período.b) Recordando que la intensidad I de la corriente indica la rapidez con que varía lacarga Q que atraviesa la sección del conductor , deduce de la gráfica de la parte a)los instantes en que I es máxima y mínima.c) Verifica con el cálculo tus respuestas a la parte anterior.d) Calcula en qué instante la intensidad I en valor absoluto es la mitad del valormáximo.Ana Coló Herrera 34 Héctor Patritti
  33. 33. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - EnunciadosEjercicio No.18 – Propagación de epidemia - ( Resolución página 66 )Un estudio realizado durante una epidemia que se propagó entre los animales delrodeo vacuno de nuestro país mostró que el número de animales afectados, t díasdespués de iniciado el brote, respondió a una expresión del tipo: N n(t) = 1 + A.e− K.tN y A constantes, A>1,donde N era el número total de animales del rodeo nacional.a) Demuestra que la máxima velocidad de propagación de la enfermedad ocurriócuando se infectó la mitad del rodeo.b) Bosqueja la función n para t ≥0 , y la función velocidad de propagación V.Ejercicio No.19 – Propagación de rumor – ( Resolución página 68 )En una población de P habitantes se desea estudiar la velocidad de propagación deun rumor.Se adopta para ello un modelo matemático que indica que el número N de personasque en un instante t han oído el rumor puede expresarse por la relación: -K.t N (t )= P (1 –e ) con: K cte., K>0, t en horas y K en ( 1 / hora )a) Si K=0,1 , calcula el tiempo transcurrido para que el 60% de la poblaciónconozca el rumor, y la velocidad de propagación del mismo en ese momento.b) Grafica N (t ) para t ≥0 e indica en qué momento la velocidad de propagación delrumor es máxima.c) Demuestra que el modelo matemático adoptado consistió en suponer que lavelocidad de propagación del rumor fue proporcional al número de personas que enun instante t todavía no lo habían oído.Ana Coló Herrera 35 Héctor Patritti
  34. 34. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - EnunciadosEjercicio.20 – Población de bacterias – ( Resolución página 70 )La población P de una colonia de bacterias con espacio y alimentos ilimitados, varíacon el tiempo de acuerdo a la expresión: P(t)= C. eK.t con C y K constantes,t en horas y K en 1 / hora.a) Si en el instante inicial t = 0 la población era de 1000 bacterias y al cabo de1 hora la misma se duplicó, determina los valores de C y K.b) Bosqueja el gráfico de la función P, halla la velocidad v de crecimiento de lapoblación en función de t y determina el instante de mínima velocidad.c) Calcula la población al cabo de 2 horas y la velocidad de crecimiento en eseinstante.d) Demuestra que el modelo matemático adoptado para el estudio del problemaconsistió en suponer que la velocidad de crecimiento de la población en un instantefue proporcional al número de bacterias en ese instante.Ejercicio No.21 – Variación de la población – (Resolución página 71)Un modelo matemático para estudiar la variación de la población mundial P hasupuesto que la misma está expresada por : 0.0278 t P (T) = 5.econ P en miles de millones de personas y t en años.En este modelo se han considerado constantes la tasa de natalidad ( nacimientos poraño ) y de mortalidad ( defunciones por año ).Tomando t= 0 en el año l987:a) Bosqueja P como función de t para t ≥0.b) Calcula la tasa de variación instantánea de la población en el año l987.c) Calcula la población prevista para el año 2005 y la tasa de variación instantánea enese año.d) ¿ En qué tiempo se duplicaría la población existente en 1987 y cuando alcanzaríalos 15.000 millones?e) ¿Crees adaptado a la realidad este modelo matemático?Ana Coló Herrera 36 Héctor Patritti
  35. 35. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - Enunciadosf) Demuestra que en este modelo la tasa instantánea de crecimiento en un instante tse ha supuesto proporcional a la población existente en ese instante, y que laconstante de proporcionalidad vale 0.0278.Ejercicio No.22 –Iluminación – ( Resolución página 72 )Un terreno circular de radio R se ilumina con un foco colocado en el punto A comoindica la figura. B X u S P ϕ V A θ O CUn móvil recorre el segmento BC con movimiento rectilíneo uniforme develocidad u mientras su sombra S proyectada sobre el muro perimetral describe unmovimiento circular de velocidad V. (u y V , módulos).En un instante t cualquiera el móvil se encuentra en un punto P, siendo x ladistancia BP y s la longitud del arco BS. Recuerda que: s = R.a) Halla la relación entre θ y ϕ y calcula θ en función de x .b) Encuentra la expresión de V como función de x.c) Tomando t=0 cuando el móvil pasa por el punto B , bosqueja la función V eindica en qué posiciones del móvil la velocidad de la sombra es máxima y mínimapara x variando entre 0 y 2R.d) Calcula la velocidad de la sombra cuando el móvil pasa por el punto medio delsegmento BO, e indica cuál es el porcentaje de esa velocidad respecto de la velocidadmáxima.Ejercicio No.23 –Electrotecnia – ( Resolución página 75 )Considera el circuito de la figura donde una tensión constante de V voltios se aplicasobre una resistencia R (Ω) cerrando instantáneamente la llave S en el instante t=0.Se establece entonces en el circuito una corriente de intensidad I en Amp. que estáexpresada por la ley de OHM:Ana Coló Herrera 37 Héctor Patritti
  36. 36. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - Enunciados S R VI (t) = V Ra) Grafica I (t ) ; ∀ t ≥ 0.b) Supongamos que ahora agregamos al circuito una bobina de autoinducciónconstante , de L Henrios, y repetimos la operación. S L V R ⎛ − t ⎞ V⎜ ⎟La corriente que circula viene expresada ahora por: I(t) = ⎜1 − e τ ⎟ R⎜ ⎟ ⎝ ⎠τ = L / R en seg , I en Amp., t en seg.Al valor (τ ) se le llama “ CONSTANTE DE TIEMPO” del circuito.c) Bosqueja el gráfico de I(t) ,∀ t ≥ 0 .Deduce , comparando los bosquejos de las partes a) y b) cual ha sido el efecto deintroducir la bobina en el circuito.d) Calcula la rapidez de variación de I(t) en t=0 y en t=τ .e) ¿Cómo actuarías sobre las constantes del circuito para , sin variar el valor final dela corriente, lograr que ella aumente sus valores más rápidamente ?Ejercicio No. 24 – Electrotecnia – ( Resolución página 78 )Considera el circuito de la figura donde un condensador cargado de capacidad C(Faradios) y tensión inicial de V (voltios) entre sus placas, se descarga sobre unaresistencia R (Ω).Ana Coló Herrera 38 Héctor Patritti
  37. 37. Aplicaciones de la Derivada - Capítulo 1 - EnunciadosAl cerrar la llave S comienza a circular una corriente de intensidad I dada por laexpresión: t V − I(t) = e τ S R R( τ = RC constante. de tiempo) Ca) Bosqueja I ( t )b) ¿ Cuál es el valor máximo de I ( t ) ?c) Calcula la rapidez de variación de I en t = 0 y t = τ.d) Encuentra qué porcentaje del valor máximo de I alcanza la corriente para t=τ.e) ¿Cómo actuarías sobre los elementos del circuito para , sin variar el valor inicialde la corriente, lograr que ella disminuyera sus valores más rápidamente?Ana Coló Herrera 39 Héctor Patritti
  38. 38. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – La Derivada como tasa de variación - Resoluciones LA DERIVADA COMO TASA DE VARIACION DE UNA FUNCION RESOLUCIONES Ana Coló Herrera 41 Héctor Patritti
  39. 39. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - ResolucioneEjercicio No.1Se te pide en este ejercicio que determines la velocidad de cambio del volumen dVrespecto del tiempo en el instante t = 10 seg , o sea , el valor de la derivada dtcalculada en t = 10.La idea será entonces expresar el volumen V en función del tiempo t.Por un lado la ley de Boyle establece que P.V = K y por otro conocemos como varíala presión con el tiempo: P(t) = 30 + 2.tBasta entonces que despejemos el volumen de la ley de Boyle y luego sustituyamosla presión por su expresión en t. Tendremos entonces: K V(t) = P(t)Sustituyendo P(t) obtenemos finalmente: K V(t) = (1) 30 + 2.tDerivemos (1) y hallemos su valor en t = 10dV =− 2K ⇒ dV (10) = − 2 Kdt (30 + 2.t )2 dt 502 3El dato de que el volumen inicial es de 60 cm nos permite calcular la constante K.En efecto, para t=0 deberá ser V= 60. KSustituyendo en (1): 60 = ⇒ K=1800 30 3dV (10) = − 3600 = −1.44 cm El signo negativo indica disminución.dt 2500 seg 3En definitiva el gas está disminuyendo su volumen a razón de 1.44 cm por seg a los10 seg. de iniciado el proceso de compresión.Veamos otra forma de resolver el ejercicio.Ana Coló Herrera 43 Héctor Patritti
  40. 40. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - ResolucionesComo la presión y el volumen son funciones de t la ley de Boyle establece: (1) p(t).V(t) = K ∀t ≥ 0Derivando ambos miembros de la igualdad (1) obtienes: d(p.V) dK = ∀t ≥ 0 dt dtEn el primer miembro tenemos la derivada de un producto y en el segundo de unaconstante, por tanto: dV dp dV V dp p +V =0 ⇒ =− (2) dt dt dt p dtComo nos interesa el instante t=10 debemos calcular , para sustituir en la relación dp(2): V(10) , p(10) y (10) . dtDe p= 30 + 2.t p(10) = 50 p(0)=30 dp dp (t ) = 2 (10) = 2 dt dt KDe Boyle: p(10).V(10) =K V(10) = 50 p(0).V(0) = K K=30.60 =1800Haciendo la sustitución de valores en (2) encontramos la solución ya conocida.dV cm3 (10) = −1.44dt segDe esta forma se resuelve el ejercicio sin explicitar V(t).Ejercicio No. 2Debes hallar en este ejercicio la velocidad con que aumenta el radio R a medida quela mancha se expande sobre la superficie del mar, en el instante en que R = 50m. Espesor h R =50 mAna Coló Herrera 44 Héctor Patritti
  41. 41. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - ResolucionesPodríamos pensar en hallar la expresión R(t) para derivarla posteriormente.Sin embargo no se te indica como dato del problema la forma en que el espesor hvaría con el tiempo por lo que no lograremos encontrar R(t).Debes encarar el ejercicio partiendo de la relación entre R y h que nos proporciona elvolumen de la mancha que sabemos se mantiene constante.Tendremos: 2 V = π.R .h ∀ t≥0 (1)Derivemos ambos miembros de la igualdad (1) respecto de (t): dV ⎛ dR dh ⎞ ⇒ = π ⎜ 2R .h + R 2 ⎟ (2) dt ⎝ dt dt ⎠ dVComo V es constante, es decir independiente de t , sabemos que: = 0 lo que nos dt dR dhpermite concluir de (2) que: 2R .h + R 2 =0 dt dt dR dR − R dhDespejando obtenemos: = . (3) dt dt 2h dt cmComo tenemos el dato de que la altura de la mancha disminuye a razón de 10 hora dh mserá : = −10− 2 dt hora VDe la relación (1) , h= πR 2 3 100 0.04Como V = 100 m , R =50 m ⇒ h = = m π .502 πSustituyendo valores en la ecuación (3) se tiene finalmente: dR 50.π m = .10− 2 = 6.25π dt 2.(0.04 ) horaLa velocidad con que aumenta el radio de la mancha cuando ese radio es de 50 m , mresulta entonces cercana a los 20 . horaAna Coló Herrera 45 Héctor Patritti
  42. 42. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - ResolucionesEjercicio No.3 3Si llamamos L al lado del triángulo equilátero, siendo su altura h = L su área A 2será: 3 2 (1) A= L L h 4con A=A(t) y L= L(t) .Se te pide la rapidez de variación de la longitud de los lados por lo que debes calculardL 2 para A = 200 cm .dtDerivando respecto de t la igualdad (1) obtenemos: dA 3 dL = .2L. (2) dt 4 dt dL dADe la expresión (2) debemos despejar y sustituir y L por sus valores dt dt 2correspondientes al instante en que A = 200 cm 3 2 dA cm 2De (1): 200 = .L ⇒ L ≅ 21.5 cm y teniendo en cuenta que = -4 4 dt min. dL −8 cm ≅ ≅ −0.21 dt 21,5. 3 minLos lados están entonces disminuyendo sus longitudes a la velocidad calculada.Ejercicio No.4 1 1 1 R1.R 2Como = + ⇒ R= siendo R , R1 y R2 funciones de t. R R1 R 2 R1 + R 2Derivando la última expresión respecto de t tendremos: ⎛ dR1 dR ⎞ ⎛ dR dR 2 ⎞ ⎜ .R 2 + R1. 2 ⎟(R1 + R 2 ) − R1.R 2 .⎜ 1 + ⎟ dR ⎝ dt = dt ⎠ ⎝ dt dt ⎠ dt (R1 + R 2 )2Operando y simplificando obtienes:Ana Coló Herrera 46 Héctor Patritti
  43. 43. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - Resoluciones 2 dR 2 dR R1 . + R 2. 1 2 dR dt dt = dt (R1 + R 2 )2 dR1 Ω dR 2 ΩSiendo: = 0.01 y = 0.02 , R1 = 30Ω , R 2 = 90Ω dt seg dt segSustituyendo valores obtienes: dR 900.2.10−2 + 8100.10−2 Ω = ≅ 68,75.10− 4 dt 1202 segLa resistencia equivalente R está entonces aumentando con la rapidez calculada.Ejercicio No. 5a) La respuesta a la pregunta es NO.Tratemos de justificarla , para lo cual supongamos dos instantes diferentes t1 y t2 dh1 dh2 h2 h1a los cuales corresponden niveles h1 y h2 respectivamente , como indica la figura.Consideremos intervalos de tiempos iguales “dt” en ambos instantes.Los volúmenes que ingresarán serán iguales por ser el gasto de entrada constante , yocuparán los volúmenes indicados.Los troncos de cono deben ir disminuyendo sus alturas “dh” a medida que h aumentay consecuentemente la velocidad de la superficie irá disminuyendo a medida que haumenta. dhEl cálculo de la parte b) nos confirmará que la velocidad v = es una función dtdecreciente con h.Ana Coló Herrera 47 Héctor Patritti
  44. 44. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - Resoluciones h H R rb) Consideremos que el líquido , en un instante t, ocupa el volumen sombreado.Calculemos ese volumen, que será el volumen ingresado al recipiente en el tiempo t.Hemos considerado t =0 en el instante en que se comienza el llenado.Tratemos de encontrar ahora la relación entre r y h . Para ello podemos valernosdel teorema de Thales o del cálculo trigonométrico. R R r R.h tg θ= = ⇒ r= H h HH r h θ π R2El volumen será entonces: V= . .h 3 siendo V y h funciones de t. 3 H 2Derivando respecto de t la expresión anterior se obtiene: dV πR 2 dh πR 2 2 dh = .3h 2 . = .h . dt 3H 2 dt H2 dt dVComo Q = de la expresión anterior concluímos: dt dh Q.H 2 v= = dt π .R 2 .h 2La velocidad resulta entonces función decreciente de h con lo que el cálculoconfirma el razonamiento de la parte anterior.Para los valores dados tendremos:dh = ( ) 0.5 32 ≅ 0.16 m = 16 cmdt π .2 .1.5 2 2 min. min.Ana Coló Herrera 48 Héctor Patritti
  45. 45. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - Resolucionesc) El razonamiento hecho en la parte a) del ejercicio nos conduce a afirmar que elrecipiente debería tener sección horizontal constante. En el caso de cilindro circular 2tendremos: V =π.R .h con R constante. dV dhDerivando respecto de (t): = π .R 2 . H dt dt dh QFinalmente: v = = ⇒ v constante. dt πR 2 2REjercicio No. 6Siendo el globo esférico de radio R su volumen V será: 4 V = .π .R 3 (1) 3Ambos , V y R son funciones del tiempo durante el inflado del globo.Como se te pide la velocidad con que varía el radio cuando su valor es de 0.3 m,deberás hallar el valor de la derivada de R respecto del tiempo para el valor de Rindicado.Comencemos entonces derivando la expresión (1). Tendremos: dV 4π dR dR = .3R 2 . = 4π .R 2 (2) dt 3 dt dtEl gasto de gas para el llenado es : dV dm3 Q= = 100 dt minSustituyendo valores en (2) obtenemos dR Q 100 25 dm = = = gas dt 4πR 2 4π .32 9π min cmEl radio aumenta entonces con una velocidad cercana a 9 en el instante en que minR =30 cm.Ana Coló Herrera 49 Héctor Patritti
  46. 46. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – ResolucionesEjercicio No. 7A medida que se produce la descarga del grano la relación entre el radio de la base yla altura se mantiene constante e igual a 4 / 5 por lo que los distintos conos sonsemejantes. El vértice del mismo sube verticalmente mientras que la circunferenciabase aumenta su radio horizontalmente.a) En esta parte se te pide que calcules la velocidad con que está subiendo el vértice. dhLlamando h a la altura del cono deberás calcular en el instante en que h = 1.5 m dt h REl volumen de grano en un instante t será : 1 V = .π .R 2 .h 3 5 4Como h = .R ⇒ R = .h Finalmente entonces: 4 5 16 V(t) = .π .h 3 (1) con h=h(t) 75Derivando la expresión (1) respecto de t obtienes: dV 16 dh = .π .h 2 . (2) dt 25 dt dV m3Siendo = Q = 0.5 Q gasto de descarga del grano, h = 1.5 m dt minsustituyendo valores en (2) y despejando tendremos: dh 25 m = ≅ 0.44 dt 8.2,25.π minEsta es la velocidad con que sube el vértice del cono de grano en el instante en queh =1.5 m.Ana Coló Herrera 50 Héctor Patritti
  47. 47. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 - Resoluciones 4b) Siendo R = .h en todo instante t , derivando esta igualdad obtenemos la 5relación entre las derivadas de R y h. dR 4 dh = dt 5 dtComo se te pide la velocidad de variación del radio en el mismo instante en que se tepidió la velocidad de variación de la altura , tendrás: dR 4 m = .0,.44 ≅ 0.35 dt 5 minEl valor correspondiente del radio es: 4 R = .1,5 = 1,20 m 5Ejercicio No. 8a) Posición inicialDeseamos calcular la distancia AB para lo cual utilizamos el teorema de Pitágorasen el triángulo ABC. C 20m B A v 1.5m d2 = d2 − d2 AB AC BC d BC = 20 − 1.5 = 18.5 m d AC = 50 − 18.5 = 31.5m d AB = 31.52 − 18.52 ≅ 25.5 mb) Posición en un instante t. C P h B X A’ V:Ana Coló Herrera 51 Héctor Patritti
  48. 48. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – ResolucionesUtilizando el teorema de Pitágoras en el triángulo A’ BC obtienes:CP = 20 – h AC = 50 – (20 –h )= 30 + h BC = 18.5 m X2 = ( 30 + h )2 – 18.52 (1)c) Las velocidades del vehículo y del cuerpo serán respectivamente: dX dh velocidad del vehículo: v= Velocidad del cuerpo: V = dt dtDerivando respecto de t la relación (1) se obtiene: dX dh 2.X. = 2(30 + h). (2) dt dtEn el instante pedido se cumple: v= 3 Km / h h=6m X= (30 + 6)2 − 18.52 ≅ 31 m dhDespejando en (2) y sustituyendo valores encontramos que: dtdh X dX (30 + 6)2 − 18.52 dX Km = . = ≅ 2.58dt 30 + h dt 30 + h dt hLa velocidad con que está subiendo el cuerpo cuando su altura es de 6m es entoncesde aproximadamente 2.58 Km / h ≅ 0.7 m / seg.Ejercicio No.9a) F OC = y OA= x H B h sombra O C v A VConsideremos que en un instante t la situación es la indicada en la figura.Deseamos calcular la velocidad V del punto A, extremo de la sombra.Ana Coló Herrera 52 Héctor Patritti
  49. 49. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – ResolucionesDe acuerdo a las notaciones elegidas tendremos dx dy V= v= dt dtUsando la semejanza de los triángulos ABC y AFO o calculando la cotangente del ∠ x x−y 1ángulo B A C concluimos que = (Recuerda que cot gθ = ) H h tg θ H.yDespejando (x): x= (1) H−hDerivemos la expresión (1) respecto de t : dx H dy = . dt H − h dtFinalmente entonces: H V= v (2) H−hComo H y h son constantes la relación anterior indica que la velocidad de la sombraes proporcional a la de la persona y por tanto constante , con lo que el punto A semueve con movimiento rectilíneo uniforme. HComo H> h > 0 >1 V > v lo que explica porqué la H−hsombra va aumentando su longitud a medida que la persona se aleja del focoluminoso. b) Siendo H = 4 m h = 1.75 m v = 1 m /seg obtenemos , sustituyendo en (2): V ≅ 1.78 m / seg.c) Para responder a la pregunta tratemos de hallar la altura h de esta segundapersona.Despejando h de la expresión (2) obtenemos: ⎛ v⎞ h = H ⎜1 − ⎟ ⎝ V⎠Aplicándola a la segunda persona será H=4 m v=1 m/seg V=2.(1.78) m/seg H ≅ 2.88 mParece obvio que la respuesta es que lo planteado no es posible.Ana Coló Herrera 53 Héctor Patritti
  50. 50. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – ResolucionesEjercicio No. 10a) Para hallar la relación pedida basta que consideres el triángulo FOA y apliquesdefinición de tangente. O x A v d θ F x ⎛x⎞ tgθ = ⇒ θ = Arctg ⎜ ⎟ (1) d ⎝d⎠b) i) Tomando intervalos iguales de tiempo Δt la distancia Δx recorrida por elvehículo deberá ser la misma por ser su movimiento rectilíneo uniforme . O Δx Δx Δx Δθ1 Δθ2 Δθ3 FHemos tomado intervalos de igual longitud Δx y hemos indicado en la figura losángulos Δθ correspondientes.Parece claro que se cumplirá: Δθ1 > Δθ 2 > Δθ 3........ lo cual nos inclinaría aafirmar que ω debe ir disminuyendo a medida que aumenta x . dθii) Como ω= derivamos la expresión (1) respecto del tiempo. dtRecordando la derivada de la función Arctg obtendremos: 1 dθ d dx d dx = . = . 2 dt 2 2 dt dt ⎛x⎞ d +x 1+ ⎜ ⎟ ⎝d⎠Ana Coló Herrera 54 Héctor Patritti
  51. 51. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones dxTeniendo en cuenta que =v obtenemos finalmente: dt v.d ω (x) = (2) d2 + x2Para bosquejar la función ω calculemos v ω(o) = lim ω(x) = 0 d x +∞Es fácil deducir de (2) que la función ω es monótona decreciente ya que alaumentar x aumenta el denominador manteniéndose constante el numerador.El bosquejo gráfico será entonces como el indicado. ω(x) v d O xLa gráfica nos confirma la impresión que habíamos obtenido en la parte i).c) Recuerda que 1m/seg = 3.6 Km / h ⇒ v = 72 Km / h = 20 m / segd = 100m . v.d v 20 radTendremos entonces en x=0 ω(0) = = = = 0.2 2 d 100 seg v v.d 20.100 rad x = 50 ω(50)= = ≅ 1,6 .10− 2 d 2 + x2 1002 + 502 segAna Coló Herrera 55 Héctor Patritti
  52. 52. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resolucionesd) Como x = v.t , sustituyendo en (1) obtienes: v.d ω (t) = (3) d 2 + v 2 .t 2e) Derivando respecto de t la expresión anterior dω ⎛ 2v 2 .t ⎞ ⎜− ⎟ γ = dt = v.d. ( ⎜ d 2 + v 2 .t 2 2 ⎟ ⎝ ⎠ ) 2v3.d.t γ =− ( d2 + v2.t 2 ) 2 Si : x = 0 ⇒ t = 0 ⇒ γ = 0 -2 rad x =50⇒ t = 2.5 seg ⇒ γ = - 2.56 . 10 seg 2El signo de menos en la aceleración angular indica que la velocidad angulardisminuye como puede deducirse de (3) observando que al aumentar t aumenta eldenominador manteniéndose constante el numerador.Ejercicio No. 11a) Como la relación entre q y p es: q 2 − 2.q. p − p 2 − 31 = 0 (1) 2si p = 9 U$S q – 6.q –112 = 0Resolviendo la ecuación obtenemos q = 14 unidades.( La otra raíz q = - 8 no tiene significado práctico ).b) Como el precio p varía en el tiempo , q será consecuentemente función del tiempo.Ana Coló Herrera 56 Héctor Patritti
  53. 53. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones dqSe te pide calcular la rapidez de variación de la demanda , o sea expresada dt miles de unidadesen cuando el precio es de 9 U$S. semanaLa tasa de variación del precio por semana es constante e igual a 0.20 U$S. dp U$SEn consecuencia = 0.20 . dt semanaDerivemos la relación (1) respecto del tiempo. dq ⎡ dq 1 dp ⎤ dp 2q. − 2⎢ . p + q. . ⎥ − 2.p. = 0 dt ⎣ dt 2. p dt ⎦ dt ⎛ q ⎞ dp (2q - 2 p ). dq =⎜ ⎟ ⎜ p − 2 p ⎟ dt dt ⎝ ⎠ .[Sustituyendo valores: (2)(14 ) − 2. 9 ]dq = ⎡ 14 − (4)(9)⎤.0.20 dt ⎢ 9 . ⎥ ⎣ ⎦ dq miles unidadesFinalmente, despejando obtienes : ≅ 0.206 dt semanaHabrá entonces un incremento de 206 unidades demandadas .Ejercicio No. 12El volumen del tronco de cono al cual asimilamos la cantidad de madera que puedeextraerse del árbol , es: 1 ( V = π .h. R 2 + R.r + r 2 3 ) (1)Ana Coló Herrera 57 Héctor Patritti
  54. 54. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – Resoluciones dVDeseamos calcular , siendo h , R y r funciones del tiempo t. dtDerivemos entonces la relación (1) que se cumple ∀ t ≥ 0.Obtenemos:dV π ⎡ dh 2dt 3 ⎣ dt ( ⎛ ⎝ ) = .⎢ . R + r.R + r 2 + h.⎜ 2R. dR dt + r. dR dt dr dr ⎞⎤ + R. + 2.r. ⎟⎥ dt dt ⎠⎦Sustituyendo los valores dados: h=4 m =400 cm , R=90 cm , r= 60 cm ,dh cm dR cm dr cm = 25 , = 15 , = 10 resulta:dt año dt año dt año dV π m3 = .2,71 ≅ 2,83 dt 3 añoEjercicio No. 13Como la concentración C es función de la población p y ésta es función del tiempot, resulta ser C función compuesta de t.Debes calcular la derivada de la concentración respecto del tiempo, para lo cualpodemos previamente hallar la función compuesta y luego derivar.Tendremos entonces: C(t) = (3,1 + 0,1.t 2 ) + 17 . 2 dC = ( ) 2. 3,1 + 01.t 2 .0,2.t dt 2. (3,1 + 0,1.t 2 )2 + 17 2Ana Coló Herrera 58 Héctor Patritti
  55. 55. Aplicaciones de la Derivada – Capítulo 1 – ResolucionesSustituyendo t por su valor 3 y operando resulta: dC (3) ≅ 0,24 p.p.m. . dt añoPuedes resolver este ejercicio sin necesidad de encontrar la función compuesta comohicimos líneas arriba. p2Para ello basta partir de la relación C(p) = + 17 (1) y tener en cuenta 2 2que p(t)=3,1+ 0,1. t (2)Derivando (1) y (2) respecto de t obtienes:dC p dp dp = (3) y = 0.2 tdt p2 dt dt 2. + 17 2 dpPara =3 : p=4 , = 0.6 . dt dC p.p.mSustituyendo estos valores en (3) reencontramos (3) = 0.24 . dt añoEjercicio No.14 2El volumen del cono de arena es: V = π.r .hComo r = h en todo instante, podemos concluir que h 3 V= π.h ∀t≥0 siendo h función de t . rSe te pide calcular la velocidad de variación del volumen V, es decir el valor dedV cuando h = 1m .dt dV dhDerivando la expresión del volumen respecto de t : = 3.π .h 2 . dt dtAna Coló Herrera 59 Héctor Patritti

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