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Éléments de mathématiques appliquées

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📡 Vincent Isoz
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Compendium de quelques beaux théorèmes mathématiques élémentaires ainsi que de modèles de physique théorique élémentaires à connaître au 20ème siècle.

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2014 Vincent ISOZ Sciences.ch 22 janvier 2014 Sciences.ch Éléments de mathématiques appliquées 3ème édition revue et corrigée La science au cœur des savoirs, toutes disciplines confondues: des mathématiques à la médecine, de l'astrophysique à l'histoire des sciences…
Les opinions émises dans cet ouvrage n'engagent que son rédacteur Le pictogramme qui figure ci-contre mérite une explication. Son objet est d'alerter le lecteur sur la menace que représente pour l'avenir de l'écrit et de la connaissance le développement massif du brevetage et du droit à la propriété intellectuelle à tout va. Toute reproduction partielle ou totale du présent support électronique est fortement recommandée (évitez le papier quand même pour des raisons écologiques évidentes…) sans autorisation de l'auteur. Le concept de propriété intellectuelle est un crime contre l'humanité...! Pour les personnes souhaitant citer le présent document dans leurs travaux voici si besoin un exemple inspiré de la norme ISO 690/AFNOR: ISOZ Vincent, Éléments de mathématiques appliquées, Lausanne, Éd. Privées, 2012, 3ème version, (1ère version 2001, 2ème version 2005), 729 p., 1'897 nb p., PDF, 21×29.7 cm (ISBN 978-2-8399-0932-7) Nouvelle présentation Édition Privée Sciences.ch 22 Chemin de Chandieu – 1006 Lausanne – Suisse Avant d'imprimer, pensez à l'environnement Le code de la propriété intellectuelle ne s'applique en aucun cas sur le contenu de ce document quels que soient les avis divergents des différents auteurs du présent PDF. Toute représentation ou reproduction du présent document par quelque procédé que ce soit constitue un pas vers l'acquisition de la connaissance motivée par les auteurs au droit de tout à chacun d'accéder à l'information. DANGER La copie permet l'accès pour tous à la connaissance et favorise l'innovation
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: I TABLE DES MATIÈRES Introduction................................................................................................................1 Méthodes .................................................................................................................................................5 Méthode de Descartes ........................................................................................................................9 Vocabulaire .............................................................................................................................................10 Sur les sciences...................................................................................................................................10 Terminologie......................................................................................................................................12 Science et foi......................................................................................................................................14 Arithmétique...............................................................................................................17 Théorie de la démonstration...................................................................................................................17 La crise des fondements .....................................................................................................................18 Paradoxes ......................................................................................................................................21 Raisonnement hypothético-déductif...................................................................................................22 Calcul propositionnel .........................................................................................................................23 Propositions...................................................................................................................................23 Connecteurs...................................................................................................................................25 Procédures de décision..................................................................................................................31 Procédures de décisions non axiomatisées...............................................................................32 Procédures de décisions axiomatisées......................................................................................32 Quantificateurs..............................................................................................................................36 Calculs des prédicats..........................................................................................................................36 Grammaire ....................................................................................................................................37 Langages .......................................................................................................................................37 Symboles..................................................................................................................................38 Termes ................................................................................................................................39 Formules .............................................................................................................................41 Démonstrations...................................................................................................................................44 Règles de démonstration ...............................................................................................................45 Nombres (scalaires)................................................................................................................................59 Bases numériques...............................................................................................................................61 Types de nombres...............................................................................................................................63 Nombres entiers (nombres naturels) .............................................................................................63 Axiomes de Peano....................................................................................................................65 Nombres pairs, impairs, et parfaits ..........................................................................................66 Nombres premiers....................................................................................................................66 Nombres entiers relatifs ................................................................................................................67 Nombres rationnels .......................................................................................................................69 Nombres irrationnels.....................................................................................................................71 Nombres réels ...............................................................................................................................73 Nombres transfinis...................................................................................................................75 Nombres complexes......................................................................................................................78 Interprétation géométrique.......................................................................................................84 Plan de Gauss...........................................................................................................................84 Formule d'Euler........................................................................................................................86 Vecteur tournant.......................................................................................................................88 Transformations dans le plan ........................................................................................................89
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: II Nombres quaternions ....................................................................................................................94 Nombres algébriques.....................................................................................................................110 Nombres transcendants .................................................................................................................111 Nombres abstraits..........................................................................................................................112 Alphabet Grec ..........................................................................................................................112 Domaine de définition..............................................................................................................113 Opérateurs ............................................................................................................................................120 Relations binaires...............................................................................................................................120 Égalités..........................................................................................................................................121 Comparateurs ................................................................................................................................122 Relations binaires réflexives, symétriques, antisymétriques....................................................124 Classes d'équivalences ..................................................................................................................125 Lois fondamentales de l'arithmétique.................................................................................................128 Addition ........................................................................................................................................129 Soustraction...................................................................................................................................131 Multiplication................................................................................................................................133 Division.........................................................................................................................................136 Polynômes arithmétiques ...................................................................................................................141 Valeur absolue....................................................................................................................................141 Règles de calcul..................................................................................................................................143 Théorie des nombres...............................................................................................................................152 Principe du bon ordre.........................................................................................................................152 Principe d'induction............................................................................................................................153 Divisibilité..........................................................................................................................................155 Division euclidienne......................................................................................................................156 Plus grand commun diviseur (P.G.C.D)...................................................................................161 Algorithme d'Euclide ...............................................................................................................162 Plus petit commun multiple (P.P.C.M.)...................................................................................165 Théorème fondamental de l'arithmétique.................................................................................167 Congruences..................................................................................................................................168 Classes de congruences............................................................................................................171 Fractions continues........................................................................................................................174 Théorie des ensembles............................................................................................................................187 Axiomes de ZF (Zermelo-Frankel) ....................................................................................................191 Cardinaux......................................................................................................................................197 Produit cartésien............................................................................................................................199 Bornes ...........................................................................................................................................200 Opérations ensemblistes.....................................................................................................................201 Inclusion........................................................................................................................................201 Intersection....................................................................................................................................202 Réunion/Union..............................................................................................................................203 Différence......................................................................................................................................205 Différence symétrique...................................................................................................................205 Produit...........................................................................................................................................206 Complémentarité...........................................................................................................................206 Fonctions et applications....................................................................................................................208 Loi de composition........................................................................................................................209 Loi interne/externe...................................................................................................................209 Image et noyau..............................................................................................................................209
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: III Fonction surjective........................................................................................................................210 Fonction injective..........................................................................................................................211 Fonction bijective..........................................................................................................................212 Fonction composée........................................................................................................................213 Théorème de Cantor-Bernstein .....................................................................................................213 Structures............................................................................................................................................216 Magma ..........................................................................................................................................218 Monoïdes.......................................................................................................................................218 Groupes.........................................................................................................................................221 Groupe abélien.........................................................................................................................221 Groupe cyclique.......................................................................................................................221 Anneaux ........................................................................................................................................226 Anneau abélien (commutatif)...................................................................................................227 Anneau intègre.........................................................................................................................227 Anneau factoriel.......................................................................................................................227 Sous-anneau .............................................................................................................................229 Corps ............................................................................................................................................229 Corps commutatif.....................................................................................................................229 Espaces vectoriels .........................................................................................................................231 Sous-espaces vectoriels............................................................................................................233 Algèbres ........................................................................................................................................233 Homomorphismes ..............................................................................................................................234 Homomorphisme de magma .........................................................................................................234 Homomorphisme de monoïde.......................................................................................................234 Homomorphisme d'anneau............................................................................................................234 Homomorphisme de groupe..........................................................................................................235 Homomorphisme de corps ............................................................................................................236 Isomorphisme................................................................................................................................237 Endomorphisme ............................................................................................................................237 Automorphisme.............................................................................................................................237 Idéal...............................................................................................................................................237 Probabilités ............................................................................................................................................246 Univers des événements.....................................................................................................................246 Axiomatique de Kolmogorov.............................................................................................................248 Événements disjoints.....................................................................................................................248 Événements équiprobables............................................................................................................249 Événements conjoints....................................................................................................................250 Probabilités conditionnelles ...............................................................................................................254 Formule des probabilités composées ............................................................................................256 Formules de Bayes........................................................................................................................257 Espérance conditionnelle ..............................................................................................................259 Réseaux bayésiens.........................................................................................................................262 Martingales....................................................................................................................................274 Analyse combinatoire..............................................................................................................................276 Arrangements simples avec répétition ...............................................................................................276 Permutations simples sans répétition .................................................................................................278 Permutations simples avec répétition.................................................................................................279 Arrangements simples sans répétition................................................................................................280 Combinaisons simples........................................................................................................................281
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: IV Coefficient binomial......................................................................................................................281 Formule de Pascal .........................................................................................................................282 Chaînes de Markov..................................................................................................................................283 Types de processus stochastiques.......................................................................................................284 Matrice de transition...........................................................................................................................284 Statistiques ............................................................................................................................................292 Échantillons........................................................................................................................................294 Moyennes ...........................................................................................................................................294 Moyenne arithmétique ..................................................................................................................295 Médiane.........................................................................................................................................297 Moyenne quadratique....................................................................................................................305 Moyenne harmonique....................................................................................................................306 Moyenne géométrique...................................................................................................................306 Moyenne mobile/glissante ............................................................................................................307 Moyenne pondérée........................................................................................................................309 Moyenne fonctionnelle..................................................................................................................309 Lissage de Laplace........................................................................................................................309 Propriété des moyennes.................................................................................................................311 Types de variables..............................................................................................................................316 Variables discrètes ........................................................................................................................316 Fonction de répartition.............................................................................................................317 Espérance discrète....................................................................................................................318 Déviation standard discrète......................................................................................................320 Relation de Huyghens.........................................................................................................323 Variable centrée réduite ...........................................................................................................325 Covariance discrète..................................................................................................................326 Espérance et variance de la moyenne (erreur standard et fcp).................................................331 Coefficient de corrélation.........................................................................................................333 Variables continues.......................................................................................................................340 Densité de probabilité ..............................................................................................................337 Espérance contfinue.................................................................................................................338 Variance continue ....................................................................................................................338 Postulat fondamental de la statistique ................................................................................................338 Indice de diversité ..............................................................................................................................339 Fonctions de distribution....................................................................................................................341 Fonction discrète uniforme ...........................................................................................................342 Fonction de Bernoulli....................................................................................................................344 Fonction géométrique....................................................................................................................345 Fonction binomiale........................................................................................................................348 Fonction binomiale négative.........................................................................................................355 Fonction hypergéométrique ..........................................................................................................359 Fonction multinomiale ..................................................................................................................365 Fonction de Poisson ......................................................................................................................372 Fonction de Gauss-Laplace...........................................................................................................375 Somme de deux v.a. normales .................................................................................................382 Produit de deux v.a. normales..................................................................................................383 Loi normale centrée réduite .....................................................................................................385 Droite de Henry........................................................................................................................386 Diagramme quantile-quantile...................................................................................................390
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: V Fonction log-normale....................................................................................................................391 Fonction uniforme continue..........................................................................................................395 Fonction triangulaire.....................................................................................................................398 Fonction de Pareto ........................................................................................................................401 Fonction exponentielle..................................................................................................................407 Fonction de Cauchy.......................................................................................................................409 Fonction bêta.................................................................................................................................412 Fonction Gamma...........................................................................................................................415 Fonction de Khi-Deux...................................................................................................................420 Fonction de Student.......................................................................................................................424 Fonction de Fisher-Snedecor.........................................................................................................429 Fonctions de Benford....................................................................................................................431 Estimateurs de vraisemblance ............................................................................................................436 Estimateurs de la loi Normale.......................................................................................................437 Estimateurs de la loi de Poisson....................................................................................................441 Estimateurs de la loi Binomiale (et géométrique).........................................................................442 Estimateurs de la loi de Weibull ...................................................................................................443 Estimateurs de la loi Gamma ........................................................................................................446 Facteur de correction sur population finie..........................................................................................447 Intervalles de confiance......................................................................................................................450 I.C. sur la moyenne avec variance théorique connue (test Z) .......................................................451 I.C. sur la variance avec moyenne théorique connue....................................................................455 I.C. sur la variance avec moyenne empirique connue (test du Khi-2) ..........................................460 I.C. sur la moyenne avec variance empirique connue (test-T)......................................................461 Test binomial exact .......................................................................................................................465 I.C. pour une proportion................................................................................................................468 Test de l'égalité de deux proportions........................................................................................471 Test des signes ..............................................................................................................................473 Test de la médiane de Mood .........................................................................................................476 Test de Poisson (à un échantillon) ................................................................................................479 Test de Poisson (à deux échantillons) ...........................................................................................479 Intervalle de confiance/tolérance/prédiction ......................................................................................481 Loi faible des grands nombres............................................................................................................483 Inégalité de Markov ......................................................................................................................484 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev..............................................................................................484 Fonction caractéristique .....................................................................................................................488 Théorème central limite .....................................................................................................................492 Tests d'hypothèses et d'adéquation.....................................................................................................498 Orientation du test d'hypothèse.....................................................................................................501 Puissance d'un test.........................................................................................................................506 Puissance du test Z à 1 échantillon ..........................................................................................507 Puissance du test p à 1 et 2 échantillons ..................................................................................510 Analyse de la variance (ANOVA à 1 facteur)...............................................................................511 Test de Fisher...........................................................................................................................514 Test-t homoscédastique (test d'égalité de moyennes avec variances égales)...........................520 Test-t hétéroscédastique (test d'égalité de moyennes avec variances non égales) ...................521 Analyse de la variance (ANOVA à deux facteurs sans répétition) ...............................................525 Analyse de la variance (ANOVA à deux facteurs avec répétition)...............................................539 ANOVA multifactorielle à mesures répétées................................................................................545
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VI Test C de Cochran.........................................................................................................................546 Test d'ajustement du Khi-2 ...........................................................................................................549 Test d'ajustement de Kolmogorov-Smirnov..................................................................................553 Test de normalité de Ryan-Joiner .................................................................................................559 Robustesse..........................................................................................................................................563 Statistiques de rangs...........................................................................................................................564 Tests de rangs (non paramétriques)...............................................................................................564 L-Statistiques ................................................................................................................................568 Test de la somme des rangs de Wilcoxon .....................................................................................569 Test de la somme des rangs signés de Mann-Withney..................................................................579 Traitement des égalités..................................................................................................................585 Test de la somme des ranges signés de Wilcoxon pour 1 échantillon ..........................................587 Test de la somme des rangs signés de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés ..........................590 Test de Kruskal-Wallis..................................................................................................................592 Test de Friedman...........................................................................................................................596 Statistiques des valeurs extrêmes (basées sur les rangs)...............................................................599 Test de l'étendue de Tukey.......................................................................................................603 Coefficient de corrélation des rangs de Spearman........................................................................606 Calculs d'erreurs.................................................................................................................................610 Incertitudes relatives et absolues...................................................................................................610 Erreurs statistiques ........................................................................................................................611 Répétabilité ...................................................................................................................................613 Propagation des erreurs.................................................................................................................614 Chiffres significatifs......................................................................................................................615 Algèbre ........................................................................................................................621 Calcul algébrique....................................................................................................................................622 Équations et inéquations.....................................................................................................................623 Équations.......................................................................................................................................624 Inéquations....................................................................................................................................626 Identités remarquables ..................................................................................................................631 Triangle de Pascal....................................................................................................................633 Binôme de Newton...................................................................................................................633 Polynômes..........................................................................................................................................635 Division euclidienne des polynômes.............................................................................................637 Théorème de factorisation des polynômes....................................................................................638 Équations diophantiennes..............................................................................................................640 Polynômes de degré 1 ...................................................................................................................640 Polynômes de degré 2 ...................................................................................................................641 Discriminant.............................................................................................................................642 Relations de Viète....................................................................................................................643 Nombre d'or .............................................................................................................................646 Polynômes de degré 3 ...................................................................................................................646 Polynômes de degré 4 ...................................................................................................................650 Polynômes trigonométriques.........................................................................................................652 Polynômes cyclotomiques.............................................................................................................653 Polynômes de Legendre................................................................................................................654 Algèbre ensembliste................................................................................................................................664 Algèbre et géométrie corporelle.........................................................................................................664
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VII Groupes cycliques.........................................................................................................................665 Groupe des racines de l'unité ...................................................................................................666 Groupe des transformations ..........................................................................................................668 Groupe linéaire.........................................................................................................................668 Groupe des transformations affines .........................................................................................668 Groupe spécial linéaire.............................................................................................................670 Groupe orthogonal ...................................................................................................................670 Groupe cercle...........................................................................................................................671 Groupe unitaire ........................................................................................................................671 Groupe spécial linéaire............................................................................................................672 Groupes de symétries....................................................................................................................675 Groupe diédral..........................................................................................................................677 Orbite et stabilisateur ...............................................................................................................678 Groupe des permutations...............................................................................................................679 Groupe alterné..........................................................................................................................685 Calcul différentiel et intégral .................................................................................................................690 Calcul différentiel...............................................................................................................................690 Pente moyenne ..............................................................................................................................690 Dérivée première...........................................................................................................................691 Fonction dérivée............................................................................................................................691 Point d'inflexion............................................................................................................................692 Théorème de Rolle........................................................................................................................694 Théorème des accroissements finis...............................................................................................695 Règle de l'Hospital ........................................................................................................................696 Différentielles................................................................................................................................697 Différentielles partielles...........................................................................................................699 Différentielle totale exacte..................................................................................................699 Différentielle totale inexacte...............................................................................................702 Théorème de Schwarz.........................................................................................................702 Dérivées usuelles...........................................................................................................................705 Dérivée d'une somme...............................................................................................................709 Dérivée d'un produit.................................................................................................................709 Formule de Leibniz.............................................................................................................709 Dérivée d'une fonction composée ............................................................................................712 Dérivée d'un quotient ...............................................................................................................714 Calcul intégral ....................................................................................................................................718 Intégrale définie ............................................................................................................................718 Intégrale de Riemann ...............................................................................................................719 Somme de Darboux..................................................................................................................720 Intégrale indéfinie .........................................................................................................................724 Théorème fondamental du calcul intégral................................................................................725 Relation de Chasles..................................................................................................................730 Intégrale double.............................................................................................................................730 Théorème de Fubini .................................................................................................................733 Intégration par changement de variable ........................................................................................734 Jacobien....................................................................................................................................738 Matrice jacobienne..............................................................................................................738 Intégration par parties ...................................................................................................................741 Primitives usuelles ........................................................................................................................742
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VIII Fonction de Dirac...............................................................................................................................764 Fonction Gamma d'Euler....................................................................................................................765 Expression de la factorielle ...........................................................................................................767 Constante d'Euler-Mascheroni ......................................................................................................768 Intégrales curvilignes .........................................................................................................................769 Intégrale curviligne d'un champ scalaire.......................................................................................769 Intégrale curviligne d'un champ vectoriel.....................................................................................771 Champ conservatif ...................................................................................................................771 Équations différentielles.....................................................................................................................774 Équations différentielles du 1er ordre ............................................................................................775 Équations différentielles d'ordre 1 à variables séparées...........................................................775 Équations différentielles linéaires (E.D.L)....................................................................................775 Équations homogène ESSM.....................................................................................................776 Méthode du polynôme caractéristique ..........................................................................................777 Résolution de l'équation homogène de l'E.D.L à coefficients constants d'ordre 1...................777 Résolution de l'équation homogène de l'E.D.L à coefficients non constants d'ordre 1............778 Résolution de l'équation homogène de l'E.D.L à coefficients non constants d'ordre 2............779 Méthode du facteur intégrant (d'Euler) .........................................................................................785 Méthode de séparation des variables.............................................................................................787 Méthode de variation de la constante............................................................................................788 Systèmes d'équations différentielles .............................................................................................790 Méthode régulière des perturbations.............................................................................................790 Théore perturbative des équations algébriques........................................................................795 Théorie perturbative des équations différentielles ...................................................................795 Suites et séries.........................................................................................................................................806 Suites..................................................................................................................................................806 Suites arithmétiques ......................................................................................................................807 Suites harmoniques .......................................................................................................................809 Suites géométriques ......................................................................................................................810 Suite de Cauchy ............................................................................................................................811 Suite de Fibonacci.........................................................................................................................814 Séries..................................................................................................................................................815 Série numérique ............................................................................................................................815 Série de Gauss...............................................................................................................................816 Nombres et polynômes de Bernoulli........................................................................................820 Séries arithmétiques ......................................................................................................................825 Séries géométriques ......................................................................................................................826 Fonction zêta et identité d'Euler...............................................................................................827 Séries de Taylor et de MacLaurin .................................................................................................831 Série de Maclaurin ...................................................................................................................832 Série de Taylor.........................................................................................................................833 Développements de Maclaurin usuels......................................................................................836 Séries de Taylor d'une fonction à 2 variables...........................................................................844 Forme quadratique ...................................................................................................................846 Reste de Lagrange....................................................................................................................848 Formule de Taylor avec reste intégral......................................................................................850 Séries de Fourier ...........................................................................................................................851 Coefficients de Fourier.............................................................................................................857 Phénomène de Gibbs................................................................................................................869
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: IX Puissance d'un signal................................................................................................................871 Théorème de Parseval..............................................................................................................871 Transformée de Fourier............................................................................................................872 Séries de Bessel.............................................................................................................................880 Fonction de Bessel d'ordre 0....................................................................................................880 Fonction de Bessel d'ordre N ...................................................................................................886 Équation différentielle de Bessel d'ordre N .............................................................................886 Critères de convergence .....................................................................................................................887 Test de l'intégrale ..........................................................................................................................887 Règle d'Alembert...........................................................................................................................888 Règle de Cauchy ...........................................................................................................................888 Théorème de Leibniz.....................................................................................................................889 Convergence absolue ....................................................................................................................889 Théorème du point fixe.................................................................................................................890 Calcul vectoriel.......................................................................................................................................897 Notion de flèche .................................................................................................................................897 Ensemble de vecteurs.........................................................................................................................898 Pseudo vecteurs.............................................................................................................................899 Multiplication par un scalaire........................................................................................................900 Règle de trois ...........................................................................................................................900 Espaces vectoriels ..............................................................................................................................902 Combinaisons linéaires .................................................................................................................903 Sous-espaces vectoriels.................................................................................................................903 Familles génératrices.....................................................................................................................903 Dépendances et indépendances.....................................................................................................904 Bases d'un espace vectoriel...........................................................................................................905 Angles directeurs......................................................................................................................906 Dimensions d'un espace vectoriel .................................................................................................907 Prolongements d'une famille libre.................................................................................................908 Rang d'une famille finie................................................................................................................909 Sommes directes ...........................................................................................................................909 Espace affine.................................................................................................................................910 Espace vectoriel euclidien.............................................................................................................912 Norme d'un vecteur..................................................................................................................912 Produit scalaire vectoriel..........................................................................................................913 Projection orthogonale........................................................................................................914 Inégalité de Cauchy-Schwartz ............................................................................................917 Inégalité triangulaire...........................................................................................................918 Produit scalaire (général) .........................................................................................................919 Produit vectoriel.......................................................................................................................920 Produit mixte............................................................................................................................925 Espaces vectoriels fonctionnels.....................................................................................................926 Espaces vectoriels hermitiens .......................................................................................................927 Produit hermitien......................................................................................................................929 Types d'espaces vectoriels .......................................................................................................930 Système de coordonnées ...............................................................................................................930 Système cartésien.....................................................................................................................931 Système sphérique....................................................................................................................932 Système cylindrique.................................................................................................................936
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: X Système polaire........................................................................................................................938 Opérateurs différentiels.................................................................................................................940 Gradient d'un champ scalaire...................................................................................................940 Gradient d'un champ de vecteurs .............................................................................................944 Divergences d'un champ de vecteurs .......................................................................................945 Rotationnels d'un champ de vecteurs.......................................................................................952 Laplaciens d'un champ scalaire................................................................................................959 Laplacien d'un champ vectoriel................................................................................................964 Identités....................................................................................................................................965 Algèbre linéaire ......................................................................................................................................975 Systèmes linéaires ..............................................................................................................................976 Transformations linéaires...................................................................................................................979 Matrices ............................................................................................................................................980 Matrice associée............................................................................................................................982 Opérations sur les matrices ...........................................................................................................984 Types de matrice ...........................................................................................................................986 Matrice unité ............................................................................................................................981 Matrice échelonnée ..................................................................................................................983 Matrice inversible ....................................................................................................................986 Matrice transposée ...................................................................................................................986 Matrice adjointe .......................................................................................................................987 Matrice hermitique (self-adjointe) ...........................................................................................988 Matrice nilpotent......................................................................................................................988 Matrice orthogonale.................................................................................................................988 Matrice symétrique ..................................................................................................................989 Matrice anti-symétrique...........................................................................................................989 Matrice triangulaire..................................................................................................................989 Matrice diagonale.....................................................................................................................990 Matrice de passage...................................................................................................................990 Déterminants ......................................................................................................................................991 Propriétés des déterminants...........................................................................................................997 Dérivée d'un déterminant ..............................................................................................................1003 Inverse d'une matrice ....................................................................................................................1005 Changements de base .........................................................................................................................1006 Matrice de passage........................................................................................................................1006 Valeurs et vecteur propres..................................................................................................................1008 Spectre...........................................................................................................................................1008 Polynômes caractéristique.............................................................................................................1009 Matrices de rotation.......................................................................................................................1010 Théorème spectral.........................................................................................................................1012 Calcul tensoriel.......................................................................................................................................1021 Tenseur ............................................................................................................................................1021 Notation indicielle..............................................................................................................................1023 Sommation sur plusieurs indices...................................................................................................1025 Symbole de Kronecker..................................................................................................................1025 Symbole d'antisymétrie.................................................................................................................1026 Métrique et signature..........................................................................................................................1032 Déterminant de Gram....................................................................................................................1035 Composantes contravariantes et covariantes......................................................................................1040
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XI Opérations dans les bases...................................................................................................................1042 Méthode d'orthogonalisation de Schmidt......................................................................................1043 Changements de bases...................................................................................................................1043 Bases réciproques..........................................................................................................................1044 Tenseurs euclidiens ............................................................................................................................1046 Tenseurs fondamental ...................................................................................................................1046 Produit tensoriel de deux vecteurs ................................................................................................1047 Espace tensoriel........................................................................................................................1049 Combinaisons linéaires de tenseurs ..............................................................................................1053 Contractions des indices................................................................................................................1054 Tenseurs particuliers ..........................................................................................................................1057 Tenseur symétrique.......................................................................................................................1057 Tenseur anti-symétrique................................................................................................................1059 Tenseur fondamental.....................................................................................................................1062 Coordonnées curvilignes....................................................................................................................1063 Repère naturel en coordonnées sphériques ...................................................................................1066 Repère naturel en coordonnées polaires........................................................................................1067 Repère naturel en coordonnées cylindriques.................................................................................1068 Symboles de Christoffel.....................................................................................................................1069 Symboles de 2ème espèce ...............................................................................................................1072 Symboles de 1ère espèce ................................................................................................................1072 Théorème fondamental de la géométrie riemanienne ...................................................................1075 Théorème de Ricci .............................................................................................................................1078 Dérivée de covariante....................................................................................................................1079 Identité de Ricci ............................................................................................................................1081 Tenseur de Riemann-Christoffel ........................................................................................................1085 Identités de Bianchi.......................................................................................................................1088 Tenseur de Ricci.................................................................................................................................1089 Scalaire de Ricci............................................................................................................................1089 Tenseur d'Einstein ..............................................................................................................................1101 Identité de Bianchi contractée.......................................................................................................1102 Identité d'Einstein..........................................................................................................................1102 Tenseur d'Einstein.........................................................................................................................1102 Calcul spinoriel.......................................................................................................................................1109 Spineur unitaire ..................................................................................................................................1110 Propriétés géométriques................................................................................................................1114 Symétries planes ......................................................................................................................1115 Rotations ..................................................................................................................................1118 Matrices de Pauli ................................................................................................................1121 Produit spinoriel..................................................................................................................1122 Propriétés des matrices de Pauli....................................................................................................1123 Théorie des nœuds..................................................................................................................................1135 Représentation des tresses..................................................................................................................1135 Groupe de tresses ..........................................................................................................................1137 Représentation des noeuds .................................................................................................................1140 Groupe de noeuds..........................................................................................................................1143 Nœud de tait .......................................................................................................................................1146 Formalisation mathématique..............................................................................................................1149 Invariant du noeud.........................................................................................................................1151
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XII Support du noeud ..........................................................................................................................1152 Noeud trivial .................................................................................................................................1153 Noeuds isotopes ............................................................................................................................1154 Noeuds équivalents .......................................................................................................................1154 Isotopie..........................................................................................................................................1155 Mouvements de Reidemeister..................................................................................................1155 Représentation planaire.................................................................................................................1158 Analyse fonctionnelle.............................................................................................................................1165 Représentations ..................................................................................................................................1165 Représentation tabulaire................................................................................................................1166 Représentations graphiques...........................................................................................................1166 Représentations planes.............................................................................................................1167 Représentations spatiales .........................................................................................................1169 Représentations vectorielles.....................................................................................................1175 Propriétés des représentations graphiques ...............................................................................1177 Représentations analytiques..........................................................................................................1183 Domaine naturel de définition..................................................................................................1184 Fonctions............................................................................................................................................1185 Dépendances .................................................................................................................................1185 Domaine d'existence .....................................................................................................................1185 Croissance et décroissance............................................................................................................1185 Périodicité .....................................................................................................................................1185 Parité .............................................................................................................................................1186 Composition..................................................................................................................................1188 Types de fonctions ........................................................................................................................1188 Fonction puissance...................................................................................................................1188 Fonction exponentielle.............................................................................................................1188 Fonction logarithmique............................................................................................................1189 Fonctions trigonométriques......................................................................................................1189 Fonctions polynomiales ...........................................................................................................1189 Fractions rationnelles...............................................................................................................1189 Fonctions algébriques ..............................................................................................................1189 Fonctions en escalier................................................................................................................1189 Limite et continuité .......................................................................................................................1190 Asymptotes ..............................................................................................................................1194 Logarithmes........................................................................................................................................1198 Base népérienne ............................................................................................................................1200 Fonction exponentielle naturelle...................................................................................................1203 Produit scalaire fonctionnel................................................................................................................1205 Analyse complexe ...................................................................................................................................1213 Applications linéaires.........................................................................................................................1213 Fonction complexe........................................................................................................................1213 Fonctions holomorphes ......................................................................................................................1221 Théorème de Cauchy-Riemann.....................................................................................................1222 Conditions de Cauchy..............................................................................................................1222 Orthogonalité des iso-courbes réelles et imaginaires.........................................................................1227 Transformation conforme..............................................................................................................1228 Logarithme complexe.........................................................................................................................1230 Intégration de fonctions complexes....................................................................................................1231
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XIII Théorème de Cauchy.....................................................................................................................1233 Fonctions méromorphes................................................................................................................1235 Théorème intégral de Cauchy .......................................................................................................1235 Théorème intégral de Cauchy généralisé ......................................................................................1237 Série de Laurent à puissances positives ........................................................................................1237 Convergence d'une série................................................................................................................1238 Décomposition en chemins ................................................................................................................1246 Chemin inverse .............................................................................................................................1248 Séries de Laurent................................................................................................................................1249 Singularités.........................................................................................................................................1257 Singularité apparente.....................................................................................................................1258 Singularité essentielle....................................................................................................................1258 Pôle................................................................................................................................................1259 Théorème des résidus.........................................................................................................................1260 Pôle à l'infini .................................................................................................................................1265 Topologie ............................................................................................................................................1270 Espace topologique ............................................................................................................................1270 Espace de Hausdorff .....................................................................................................................1271 Espace métrique et distance ...............................................................................................................1272 Semi-distance................................................................................................................................1272 Distance ultramétrique ..................................................................................................................1273 Distance euclidienne .....................................................................................................................1274 Distance hölderienne.....................................................................................................................1274 Distance discrète ...........................................................................................................................1275 Distances équivalentes ..................................................................................................................1275 Fonctions lipchitziennes................................................................................................................1276 Ensembles ouverts et fermés..............................................................................................................1277 Boules............................................................................................................................................1278 Parties............................................................................................................................................1279 Boules généralisées.......................................................................................................................1281 Diamètre........................................................................................................................................1282 Variétés...............................................................................................................................................1283 Variétés différentiables .................................................................................................................1284 Théorie de la mesure ..............................................................................................................................1290 Espaces mesurables............................................................................................................................1290 Tribu..............................................................................................................................................1290 Tribu borélienne.......................................................................................................................1293 Théorème de la classe monotone........................................................................................................1296 Géométrie....................................................................................................................1303 Trigonométrie .........................................................................................................................................1304 Radian ................................................................................................................................................1304 Trigonométrie du cercle .....................................................................................................................1305 Relations remarquables.................................................................................................................1311 Formules de Carnot..................................................................................................................1313 Formules de Simpson...............................................................................................................1315 Théorème du cosinus ...............................................................................................................1316 Théorème du sinus ...................................................................................................................1317 Trigonométrie hyperbolique...............................................................................................................1318
Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XIV Relations remarquables.................................................................................................................1323 Trigonométrie sphérique ....................................................................................................................1324 Formule des cosinus......................................................................................................................1326 Relations des sinus........................................................................................................................1327 Angle solide........................................................................................................................................1329 Géométrie euclidienne............................................................................................................................1337 Objets de la géométrie euclidienne ....................................................................................................1337 Dimensions....................................................................................................................................1338 Constructions d'Euclide......................................................................................................................1343 Droites et segments .......................................................................................................................1344 Grandeurs de même espèce...........................................................................................................1344 Plan.....................................................................................................................................................1349 Déplacement et retournement .......................................................................................................1349 Angles ................................................................................................................................................1350 Angle saillant ...........................................................................................................................1350 Angles adjacents ......................................................................................................................1350 Angles alternes/internes ...........................................................................................................1353 Mesure des angles....................................................................................................................1353 Unités de mesure des angles ....................................................................................................1353 Bissectrice................................................................................................................................1354 Triangles ............................................................................................................................................1358 Triangles égaux.............................................................................................................................1359 Triangles isocèles..........................................................................................................................1361 Médiatrice ................................................................................................................................1361 Lieu géométrique .....................................................................................................................1362 Triangles équilatéraux...................................................................................................................1363 Triangles rectangles ......................................................................................................................1364 Triangles rectangles isocèles.........................................................................................................1365 Inégalités dans les triangles...........................................................................................................1365 Théorème de Pythagore.................................................................................................................1367 Théorème de Thalès......................................................................................................................1369 Parallélisme........................................................................................................................................1372 Cercles................................................................................................................................................1374 Axiomatique de Hilbert......................................................................................................................1374 Axiomes d'associations (A)...........................................................................................................1377 Axiomes d'ordre (O)......................................................................................................................1377 Axiomes de congruence................................................................................................................1378 Axiomes de continuité...................................................................................................................1378 Axiomes des parallèles..................................................................................................................1378 Barycentre ..........................................................................................................................................1379 Transformations dans le plan .............................................................................................................1383 Translation ....................................................................................................................................1383 Homothétie....................................................................................................................................1384 Rotation.........................................................................................................................................1387 Réflexion.......................................................................................................................................1391 Géométries non-euclidiennes.................................................................................................................1397 Géodésique et équation métrique .......................................................................................................1398 Équation métrique euclidienne......................................................................................................1400 Coordonnées de Gauss..................................................................................................................1401
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Éléments de mathématiques appliquées

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  • 2. Les opinions émises dans cet ouvrage n'engagent que son rédacteur Le pictogramme qui figure ci-contre mérite une explication. Son objet est d'alerter le lecteur sur la menace que représente pour l'avenir de l'écrit et de la connaissance le développement massif du brevetage et du droit à la propriété intellectuelle à tout va. Toute reproduction partielle ou totale du présent support électronique est fortement recommandée (évitez le papier quand même pour des raisons écologiques évidentes…) sans autorisation de l'auteur. Le concept de propriété intellectuelle est un crime contre l'humanité...! Pour les personnes souhaitant citer le présent document dans leurs travaux voici si besoin un exemple inspiré de la norme ISO 690/AFNOR: ISOZ Vincent, Éléments de mathématiques appliquées, Lausanne, Éd. Privées, 2012, 3ème version, (1ère version 2001, 2ème version 2005), 729 p., 1'897 nb p., PDF, 21×29.7 cm (ISBN 978-2-8399-0932-7) Nouvelle présentation Édition Privée Sciences.ch 22 Chemin de Chandieu – 1006 Lausanne – Suisse Avant d'imprimer, pensez à l'environnement Le code de la propriété intellectuelle ne s'applique en aucun cas sur le contenu de ce document quels que soient les avis divergents des différents auteurs du présent PDF. Toute représentation ou reproduction du présent document par quelque procédé que ce soit constitue un pas vers l'acquisition de la connaissance motivée par les auteurs au droit de tout à chacun d'accéder à l'information. DANGER La copie permet l'accès pour tous à la connaissance et favorise l'innovation
  • 3. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: I TABLE DES MATIÈRES Introduction................................................................................................................1 Méthodes .................................................................................................................................................5 Méthode de Descartes ........................................................................................................................9 Vocabulaire .............................................................................................................................................10 Sur les sciences...................................................................................................................................10 Terminologie......................................................................................................................................12 Science et foi......................................................................................................................................14 Arithmétique...............................................................................................................17 Théorie de la démonstration...................................................................................................................17 La crise des fondements .....................................................................................................................18 Paradoxes ......................................................................................................................................21 Raisonnement hypothético-déductif...................................................................................................22 Calcul propositionnel .........................................................................................................................23 Propositions...................................................................................................................................23 Connecteurs...................................................................................................................................25 Procédures de décision..................................................................................................................31 Procédures de décisions non axiomatisées...............................................................................32 Procédures de décisions axiomatisées......................................................................................32 Quantificateurs..............................................................................................................................36 Calculs des prédicats..........................................................................................................................36 Grammaire ....................................................................................................................................37 Langages .......................................................................................................................................37 Symboles..................................................................................................................................38 Termes ................................................................................................................................39 Formules .............................................................................................................................41 Démonstrations...................................................................................................................................44 Règles de démonstration ...............................................................................................................45 Nombres (scalaires)................................................................................................................................59 Bases numériques...............................................................................................................................61 Types de nombres...............................................................................................................................63 Nombres entiers (nombres naturels) .............................................................................................63 Axiomes de Peano....................................................................................................................65 Nombres pairs, impairs, et parfaits ..........................................................................................66 Nombres premiers....................................................................................................................66 Nombres entiers relatifs ................................................................................................................67 Nombres rationnels .......................................................................................................................69 Nombres irrationnels.....................................................................................................................71 Nombres réels ...............................................................................................................................73 Nombres transfinis...................................................................................................................75 Nombres complexes......................................................................................................................78 Interprétation géométrique.......................................................................................................84 Plan de Gauss...........................................................................................................................84 Formule d'Euler........................................................................................................................86 Vecteur tournant.......................................................................................................................88 Transformations dans le plan ........................................................................................................89
  • 4. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: II Nombres quaternions ....................................................................................................................94 Nombres algébriques.....................................................................................................................110 Nombres transcendants .................................................................................................................111 Nombres abstraits..........................................................................................................................112 Alphabet Grec ..........................................................................................................................112 Domaine de définition..............................................................................................................113 Opérateurs ............................................................................................................................................120 Relations binaires...............................................................................................................................120 Égalités..........................................................................................................................................121 Comparateurs ................................................................................................................................122 Relations binaires réflexives, symétriques, antisymétriques....................................................124 Classes d'équivalences ..................................................................................................................125 Lois fondamentales de l'arithmétique.................................................................................................128 Addition ........................................................................................................................................129 Soustraction...................................................................................................................................131 Multiplication................................................................................................................................133 Division.........................................................................................................................................136 Polynômes arithmétiques ...................................................................................................................141 Valeur absolue....................................................................................................................................141 Règles de calcul..................................................................................................................................143 Théorie des nombres...............................................................................................................................152 Principe du bon ordre.........................................................................................................................152 Principe d'induction............................................................................................................................153 Divisibilité..........................................................................................................................................155 Division euclidienne......................................................................................................................156 Plus grand commun diviseur (P.G.C.D)...................................................................................161 Algorithme d'Euclide ...............................................................................................................162 Plus petit commun multiple (P.P.C.M.)...................................................................................165 Théorème fondamental de l'arithmétique.................................................................................167 Congruences..................................................................................................................................168 Classes de congruences............................................................................................................171 Fractions continues........................................................................................................................174 Théorie des ensembles............................................................................................................................187 Axiomes de ZF (Zermelo-Frankel) ....................................................................................................191 Cardinaux......................................................................................................................................197 Produit cartésien............................................................................................................................199 Bornes ...........................................................................................................................................200 Opérations ensemblistes.....................................................................................................................201 Inclusion........................................................................................................................................201 Intersection....................................................................................................................................202 Réunion/Union..............................................................................................................................203 Différence......................................................................................................................................205 Différence symétrique...................................................................................................................205 Produit...........................................................................................................................................206 Complémentarité...........................................................................................................................206 Fonctions et applications....................................................................................................................208 Loi de composition........................................................................................................................209 Loi interne/externe...................................................................................................................209 Image et noyau..............................................................................................................................209
  • 5. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: III Fonction surjective........................................................................................................................210 Fonction injective..........................................................................................................................211 Fonction bijective..........................................................................................................................212 Fonction composée........................................................................................................................213 Théorème de Cantor-Bernstein .....................................................................................................213 Structures............................................................................................................................................216 Magma ..........................................................................................................................................218 Monoïdes.......................................................................................................................................218 Groupes.........................................................................................................................................221 Groupe abélien.........................................................................................................................221 Groupe cyclique.......................................................................................................................221 Anneaux ........................................................................................................................................226 Anneau abélien (commutatif)...................................................................................................227 Anneau intègre.........................................................................................................................227 Anneau factoriel.......................................................................................................................227 Sous-anneau .............................................................................................................................229 Corps ............................................................................................................................................229 Corps commutatif.....................................................................................................................229 Espaces vectoriels .........................................................................................................................231 Sous-espaces vectoriels............................................................................................................233 Algèbres ........................................................................................................................................233 Homomorphismes ..............................................................................................................................234 Homomorphisme de magma .........................................................................................................234 Homomorphisme de monoïde.......................................................................................................234 Homomorphisme d'anneau............................................................................................................234 Homomorphisme de groupe..........................................................................................................235 Homomorphisme de corps ............................................................................................................236 Isomorphisme................................................................................................................................237 Endomorphisme ............................................................................................................................237 Automorphisme.............................................................................................................................237 Idéal...............................................................................................................................................237 Probabilités ............................................................................................................................................246 Univers des événements.....................................................................................................................246 Axiomatique de Kolmogorov.............................................................................................................248 Événements disjoints.....................................................................................................................248 Événements équiprobables............................................................................................................249 Événements conjoints....................................................................................................................250 Probabilités conditionnelles ...............................................................................................................254 Formule des probabilités composées ............................................................................................256 Formules de Bayes........................................................................................................................257 Espérance conditionnelle ..............................................................................................................259 Réseaux bayésiens.........................................................................................................................262 Martingales....................................................................................................................................274 Analyse combinatoire..............................................................................................................................276 Arrangements simples avec répétition ...............................................................................................276 Permutations simples sans répétition .................................................................................................278 Permutations simples avec répétition.................................................................................................279 Arrangements simples sans répétition................................................................................................280 Combinaisons simples........................................................................................................................281
  • 6. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: IV Coefficient binomial......................................................................................................................281 Formule de Pascal .........................................................................................................................282 Chaînes de Markov..................................................................................................................................283 Types de processus stochastiques.......................................................................................................284 Matrice de transition...........................................................................................................................284 Statistiques ............................................................................................................................................292 Échantillons........................................................................................................................................294 Moyennes ...........................................................................................................................................294 Moyenne arithmétique ..................................................................................................................295 Médiane.........................................................................................................................................297 Moyenne quadratique....................................................................................................................305 Moyenne harmonique....................................................................................................................306 Moyenne géométrique...................................................................................................................306 Moyenne mobile/glissante ............................................................................................................307 Moyenne pondérée........................................................................................................................309 Moyenne fonctionnelle..................................................................................................................309 Lissage de Laplace........................................................................................................................309 Propriété des moyennes.................................................................................................................311 Types de variables..............................................................................................................................316 Variables discrètes ........................................................................................................................316 Fonction de répartition.............................................................................................................317 Espérance discrète....................................................................................................................318 Déviation standard discrète......................................................................................................320 Relation de Huyghens.........................................................................................................323 Variable centrée réduite ...........................................................................................................325 Covariance discrète..................................................................................................................326 Espérance et variance de la moyenne (erreur standard et fcp).................................................331 Coefficient de corrélation.........................................................................................................333 Variables continues.......................................................................................................................340 Densité de probabilité ..............................................................................................................337 Espérance contfinue.................................................................................................................338 Variance continue ....................................................................................................................338 Postulat fondamental de la statistique ................................................................................................338 Indice de diversité ..............................................................................................................................339 Fonctions de distribution....................................................................................................................341 Fonction discrète uniforme ...........................................................................................................342 Fonction de Bernoulli....................................................................................................................344 Fonction géométrique....................................................................................................................345 Fonction binomiale........................................................................................................................348 Fonction binomiale négative.........................................................................................................355 Fonction hypergéométrique ..........................................................................................................359 Fonction multinomiale ..................................................................................................................365 Fonction de Poisson ......................................................................................................................372 Fonction de Gauss-Laplace...........................................................................................................375 Somme de deux v.a. normales .................................................................................................382 Produit de deux v.a. normales..................................................................................................383 Loi normale centrée réduite .....................................................................................................385 Droite de Henry........................................................................................................................386 Diagramme quantile-quantile...................................................................................................390
  • 7. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: V Fonction log-normale....................................................................................................................391 Fonction uniforme continue..........................................................................................................395 Fonction triangulaire.....................................................................................................................398 Fonction de Pareto ........................................................................................................................401 Fonction exponentielle..................................................................................................................407 Fonction de Cauchy.......................................................................................................................409 Fonction bêta.................................................................................................................................412 Fonction Gamma...........................................................................................................................415 Fonction de Khi-Deux...................................................................................................................420 Fonction de Student.......................................................................................................................424 Fonction de Fisher-Snedecor.........................................................................................................429 Fonctions de Benford....................................................................................................................431 Estimateurs de vraisemblance ............................................................................................................436 Estimateurs de la loi Normale.......................................................................................................437 Estimateurs de la loi de Poisson....................................................................................................441 Estimateurs de la loi Binomiale (et géométrique).........................................................................442 Estimateurs de la loi de Weibull ...................................................................................................443 Estimateurs de la loi Gamma ........................................................................................................446 Facteur de correction sur population finie..........................................................................................447 Intervalles de confiance......................................................................................................................450 I.C. sur la moyenne avec variance théorique connue (test Z) .......................................................451 I.C. sur la variance avec moyenne théorique connue....................................................................455 I.C. sur la variance avec moyenne empirique connue (test du Khi-2) ..........................................460 I.C. sur la moyenne avec variance empirique connue (test-T)......................................................461 Test binomial exact .......................................................................................................................465 I.C. pour une proportion................................................................................................................468 Test de l'égalité de deux proportions........................................................................................471 Test des signes ..............................................................................................................................473 Test de la médiane de Mood .........................................................................................................476 Test de Poisson (à un échantillon) ................................................................................................479 Test de Poisson (à deux échantillons) ...........................................................................................479 Intervalle de confiance/tolérance/prédiction ......................................................................................481 Loi faible des grands nombres............................................................................................................483 Inégalité de Markov ......................................................................................................................484 Inégalité de Bienaymé-Tchebychev..............................................................................................484 Fonction caractéristique .....................................................................................................................488 Théorème central limite .....................................................................................................................492 Tests d'hypothèses et d'adéquation.....................................................................................................498 Orientation du test d'hypothèse.....................................................................................................501 Puissance d'un test.........................................................................................................................506 Puissance du test Z à 1 échantillon ..........................................................................................507 Puissance du test p à 1 et 2 échantillons ..................................................................................510 Analyse de la variance (ANOVA à 1 facteur)...............................................................................511 Test de Fisher...........................................................................................................................514 Test-t homoscédastique (test d'égalité de moyennes avec variances égales)...........................520 Test-t hétéroscédastique (test d'égalité de moyennes avec variances non égales) ...................521 Analyse de la variance (ANOVA à deux facteurs sans répétition) ...............................................525 Analyse de la variance (ANOVA à deux facteurs avec répétition)...............................................539 ANOVA multifactorielle à mesures répétées................................................................................545
  • 8. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VI Test C de Cochran.........................................................................................................................546 Test d'ajustement du Khi-2 ...........................................................................................................549 Test d'ajustement de Kolmogorov-Smirnov..................................................................................553 Test de normalité de Ryan-Joiner .................................................................................................559 Robustesse..........................................................................................................................................563 Statistiques de rangs...........................................................................................................................564 Tests de rangs (non paramétriques)...............................................................................................564 L-Statistiques ................................................................................................................................568 Test de la somme des rangs de Wilcoxon .....................................................................................569 Test de la somme des rangs signés de Mann-Withney..................................................................579 Traitement des égalités..................................................................................................................585 Test de la somme des ranges signés de Wilcoxon pour 1 échantillon ..........................................587 Test de la somme des rangs signés de Wilcoxon pour 2 échantillons appariés ..........................590 Test de Kruskal-Wallis..................................................................................................................592 Test de Friedman...........................................................................................................................596 Statistiques des valeurs extrêmes (basées sur les rangs)...............................................................599 Test de l'étendue de Tukey.......................................................................................................603 Coefficient de corrélation des rangs de Spearman........................................................................606 Calculs d'erreurs.................................................................................................................................610 Incertitudes relatives et absolues...................................................................................................610 Erreurs statistiques ........................................................................................................................611 Répétabilité ...................................................................................................................................613 Propagation des erreurs.................................................................................................................614 Chiffres significatifs......................................................................................................................615 Algèbre ........................................................................................................................621 Calcul algébrique....................................................................................................................................622 Équations et inéquations.....................................................................................................................623 Équations.......................................................................................................................................624 Inéquations....................................................................................................................................626 Identités remarquables ..................................................................................................................631 Triangle de Pascal....................................................................................................................633 Binôme de Newton...................................................................................................................633 Polynômes..........................................................................................................................................635 Division euclidienne des polynômes.............................................................................................637 Théorème de factorisation des polynômes....................................................................................638 Équations diophantiennes..............................................................................................................640 Polynômes de degré 1 ...................................................................................................................640 Polynômes de degré 2 ...................................................................................................................641 Discriminant.............................................................................................................................642 Relations de Viète....................................................................................................................643 Nombre d'or .............................................................................................................................646 Polynômes de degré 3 ...................................................................................................................646 Polynômes de degré 4 ...................................................................................................................650 Polynômes trigonométriques.........................................................................................................652 Polynômes cyclotomiques.............................................................................................................653 Polynômes de Legendre................................................................................................................654 Algèbre ensembliste................................................................................................................................664 Algèbre et géométrie corporelle.........................................................................................................664
  • 9. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VII Groupes cycliques.........................................................................................................................665 Groupe des racines de l'unité ...................................................................................................666 Groupe des transformations ..........................................................................................................668 Groupe linéaire.........................................................................................................................668 Groupe des transformations affines .........................................................................................668 Groupe spécial linéaire.............................................................................................................670 Groupe orthogonal ...................................................................................................................670 Groupe cercle...........................................................................................................................671 Groupe unitaire ........................................................................................................................671 Groupe spécial linéaire............................................................................................................672 Groupes de symétries....................................................................................................................675 Groupe diédral..........................................................................................................................677 Orbite et stabilisateur ...............................................................................................................678 Groupe des permutations...............................................................................................................679 Groupe alterné..........................................................................................................................685 Calcul différentiel et intégral .................................................................................................................690 Calcul différentiel...............................................................................................................................690 Pente moyenne ..............................................................................................................................690 Dérivée première...........................................................................................................................691 Fonction dérivée............................................................................................................................691 Point d'inflexion............................................................................................................................692 Théorème de Rolle........................................................................................................................694 Théorème des accroissements finis...............................................................................................695 Règle de l'Hospital ........................................................................................................................696 Différentielles................................................................................................................................697 Différentielles partielles...........................................................................................................699 Différentielle totale exacte..................................................................................................699 Différentielle totale inexacte...............................................................................................702 Théorème de Schwarz.........................................................................................................702 Dérivées usuelles...........................................................................................................................705 Dérivée d'une somme...............................................................................................................709 Dérivée d'un produit.................................................................................................................709 Formule de Leibniz.............................................................................................................709 Dérivée d'une fonction composée ............................................................................................712 Dérivée d'un quotient ...............................................................................................................714 Calcul intégral ....................................................................................................................................718 Intégrale définie ............................................................................................................................718 Intégrale de Riemann ...............................................................................................................719 Somme de Darboux..................................................................................................................720 Intégrale indéfinie .........................................................................................................................724 Théorème fondamental du calcul intégral................................................................................725 Relation de Chasles..................................................................................................................730 Intégrale double.............................................................................................................................730 Théorème de Fubini .................................................................................................................733 Intégration par changement de variable ........................................................................................734 Jacobien....................................................................................................................................738 Matrice jacobienne..............................................................................................................738 Intégration par parties ...................................................................................................................741 Primitives usuelles ........................................................................................................................742
  • 10. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: VIII Fonction de Dirac...............................................................................................................................764 Fonction Gamma d'Euler....................................................................................................................765 Expression de la factorielle ...........................................................................................................767 Constante d'Euler-Mascheroni ......................................................................................................768 Intégrales curvilignes .........................................................................................................................769 Intégrale curviligne d'un champ scalaire.......................................................................................769 Intégrale curviligne d'un champ vectoriel.....................................................................................771 Champ conservatif ...................................................................................................................771 Équations différentielles.....................................................................................................................774 Équations différentielles du 1er ordre ............................................................................................775 Équations différentielles d'ordre 1 à variables séparées...........................................................775 Équations différentielles linéaires (E.D.L)....................................................................................775 Équations homogène ESSM.....................................................................................................776 Méthode du polynôme caractéristique ..........................................................................................777 Résolution de l'équation homogène de l'E.D.L à coefficients constants d'ordre 1...................777 Résolution de l'équation homogène de l'E.D.L à coefficients non constants d'ordre 1............778 Résolution de l'équation homogène de l'E.D.L à coefficients non constants d'ordre 2............779 Méthode du facteur intégrant (d'Euler) .........................................................................................785 Méthode de séparation des variables.............................................................................................787 Méthode de variation de la constante............................................................................................788 Systèmes d'équations différentielles .............................................................................................790 Méthode régulière des perturbations.............................................................................................790 Théore perturbative des équations algébriques........................................................................795 Théorie perturbative des équations différentielles ...................................................................795 Suites et séries.........................................................................................................................................806 Suites..................................................................................................................................................806 Suites arithmétiques ......................................................................................................................807 Suites harmoniques .......................................................................................................................809 Suites géométriques ......................................................................................................................810 Suite de Cauchy ............................................................................................................................811 Suite de Fibonacci.........................................................................................................................814 Séries..................................................................................................................................................815 Série numérique ............................................................................................................................815 Série de Gauss...............................................................................................................................816 Nombres et polynômes de Bernoulli........................................................................................820 Séries arithmétiques ......................................................................................................................825 Séries géométriques ......................................................................................................................826 Fonction zêta et identité d'Euler...............................................................................................827 Séries de Taylor et de MacLaurin .................................................................................................831 Série de Maclaurin ...................................................................................................................832 Série de Taylor.........................................................................................................................833 Développements de Maclaurin usuels......................................................................................836 Séries de Taylor d'une fonction à 2 variables...........................................................................844 Forme quadratique ...................................................................................................................846 Reste de Lagrange....................................................................................................................848 Formule de Taylor avec reste intégral......................................................................................850 Séries de Fourier ...........................................................................................................................851 Coefficients de Fourier.............................................................................................................857 Phénomène de Gibbs................................................................................................................869
  • 11. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: IX Puissance d'un signal................................................................................................................871 Théorème de Parseval..............................................................................................................871 Transformée de Fourier............................................................................................................872 Séries de Bessel.............................................................................................................................880 Fonction de Bessel d'ordre 0....................................................................................................880 Fonction de Bessel d'ordre N ...................................................................................................886 Équation différentielle de Bessel d'ordre N .............................................................................886 Critères de convergence .....................................................................................................................887 Test de l'intégrale ..........................................................................................................................887 Règle d'Alembert...........................................................................................................................888 Règle de Cauchy ...........................................................................................................................888 Théorème de Leibniz.....................................................................................................................889 Convergence absolue ....................................................................................................................889 Théorème du point fixe.................................................................................................................890 Calcul vectoriel.......................................................................................................................................897 Notion de flèche .................................................................................................................................897 Ensemble de vecteurs.........................................................................................................................898 Pseudo vecteurs.............................................................................................................................899 Multiplication par un scalaire........................................................................................................900 Règle de trois ...........................................................................................................................900 Espaces vectoriels ..............................................................................................................................902 Combinaisons linéaires .................................................................................................................903 Sous-espaces vectoriels.................................................................................................................903 Familles génératrices.....................................................................................................................903 Dépendances et indépendances.....................................................................................................904 Bases d'un espace vectoriel...........................................................................................................905 Angles directeurs......................................................................................................................906 Dimensions d'un espace vectoriel .................................................................................................907 Prolongements d'une famille libre.................................................................................................908 Rang d'une famille finie................................................................................................................909 Sommes directes ...........................................................................................................................909 Espace affine.................................................................................................................................910 Espace vectoriel euclidien.............................................................................................................912 Norme d'un vecteur..................................................................................................................912 Produit scalaire vectoriel..........................................................................................................913 Projection orthogonale........................................................................................................914 Inégalité de Cauchy-Schwartz ............................................................................................917 Inégalité triangulaire...........................................................................................................918 Produit scalaire (général) .........................................................................................................919 Produit vectoriel.......................................................................................................................920 Produit mixte............................................................................................................................925 Espaces vectoriels fonctionnels.....................................................................................................926 Espaces vectoriels hermitiens .......................................................................................................927 Produit hermitien......................................................................................................................929 Types d'espaces vectoriels .......................................................................................................930 Système de coordonnées ...............................................................................................................930 Système cartésien.....................................................................................................................931 Système sphérique....................................................................................................................932 Système cylindrique.................................................................................................................936
  • 12. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: X Système polaire........................................................................................................................938 Opérateurs différentiels.................................................................................................................940 Gradient d'un champ scalaire...................................................................................................940 Gradient d'un champ de vecteurs .............................................................................................944 Divergences d'un champ de vecteurs .......................................................................................945 Rotationnels d'un champ de vecteurs.......................................................................................952 Laplaciens d'un champ scalaire................................................................................................959 Laplacien d'un champ vectoriel................................................................................................964 Identités....................................................................................................................................965 Algèbre linéaire ......................................................................................................................................975 Systèmes linéaires ..............................................................................................................................976 Transformations linéaires...................................................................................................................979 Matrices ............................................................................................................................................980 Matrice associée............................................................................................................................982 Opérations sur les matrices ...........................................................................................................984 Types de matrice ...........................................................................................................................986 Matrice unité ............................................................................................................................981 Matrice échelonnée ..................................................................................................................983 Matrice inversible ....................................................................................................................986 Matrice transposée ...................................................................................................................986 Matrice adjointe .......................................................................................................................987 Matrice hermitique (self-adjointe) ...........................................................................................988 Matrice nilpotent......................................................................................................................988 Matrice orthogonale.................................................................................................................988 Matrice symétrique ..................................................................................................................989 Matrice anti-symétrique...........................................................................................................989 Matrice triangulaire..................................................................................................................989 Matrice diagonale.....................................................................................................................990 Matrice de passage...................................................................................................................990 Déterminants ......................................................................................................................................991 Propriétés des déterminants...........................................................................................................997 Dérivée d'un déterminant ..............................................................................................................1003 Inverse d'une matrice ....................................................................................................................1005 Changements de base .........................................................................................................................1006 Matrice de passage........................................................................................................................1006 Valeurs et vecteur propres..................................................................................................................1008 Spectre...........................................................................................................................................1008 Polynômes caractéristique.............................................................................................................1009 Matrices de rotation.......................................................................................................................1010 Théorème spectral.........................................................................................................................1012 Calcul tensoriel.......................................................................................................................................1021 Tenseur ............................................................................................................................................1021 Notation indicielle..............................................................................................................................1023 Sommation sur plusieurs indices...................................................................................................1025 Symbole de Kronecker..................................................................................................................1025 Symbole d'antisymétrie.................................................................................................................1026 Métrique et signature..........................................................................................................................1032 Déterminant de Gram....................................................................................................................1035 Composantes contravariantes et covariantes......................................................................................1040
  • 13. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XI Opérations dans les bases...................................................................................................................1042 Méthode d'orthogonalisation de Schmidt......................................................................................1043 Changements de bases...................................................................................................................1043 Bases réciproques..........................................................................................................................1044 Tenseurs euclidiens ............................................................................................................................1046 Tenseurs fondamental ...................................................................................................................1046 Produit tensoriel de deux vecteurs ................................................................................................1047 Espace tensoriel........................................................................................................................1049 Combinaisons linéaires de tenseurs ..............................................................................................1053 Contractions des indices................................................................................................................1054 Tenseurs particuliers ..........................................................................................................................1057 Tenseur symétrique.......................................................................................................................1057 Tenseur anti-symétrique................................................................................................................1059 Tenseur fondamental.....................................................................................................................1062 Coordonnées curvilignes....................................................................................................................1063 Repère naturel en coordonnées sphériques ...................................................................................1066 Repère naturel en coordonnées polaires........................................................................................1067 Repère naturel en coordonnées cylindriques.................................................................................1068 Symboles de Christoffel.....................................................................................................................1069 Symboles de 2ème espèce ...............................................................................................................1072 Symboles de 1ère espèce ................................................................................................................1072 Théorème fondamental de la géométrie riemanienne ...................................................................1075 Théorème de Ricci .............................................................................................................................1078 Dérivée de covariante....................................................................................................................1079 Identité de Ricci ............................................................................................................................1081 Tenseur de Riemann-Christoffel ........................................................................................................1085 Identités de Bianchi.......................................................................................................................1088 Tenseur de Ricci.................................................................................................................................1089 Scalaire de Ricci............................................................................................................................1089 Tenseur d'Einstein ..............................................................................................................................1101 Identité de Bianchi contractée.......................................................................................................1102 Identité d'Einstein..........................................................................................................................1102 Tenseur d'Einstein.........................................................................................................................1102 Calcul spinoriel.......................................................................................................................................1109 Spineur unitaire ..................................................................................................................................1110 Propriétés géométriques................................................................................................................1114 Symétries planes ......................................................................................................................1115 Rotations ..................................................................................................................................1118 Matrices de Pauli ................................................................................................................1121 Produit spinoriel..................................................................................................................1122 Propriétés des matrices de Pauli....................................................................................................1123 Théorie des nœuds..................................................................................................................................1135 Représentation des tresses..................................................................................................................1135 Groupe de tresses ..........................................................................................................................1137 Représentation des noeuds .................................................................................................................1140 Groupe de noeuds..........................................................................................................................1143 Nœud de tait .......................................................................................................................................1146 Formalisation mathématique..............................................................................................................1149 Invariant du noeud.........................................................................................................................1151
  • 14. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XII Support du noeud ..........................................................................................................................1152 Noeud trivial .................................................................................................................................1153 Noeuds isotopes ............................................................................................................................1154 Noeuds équivalents .......................................................................................................................1154 Isotopie..........................................................................................................................................1155 Mouvements de Reidemeister..................................................................................................1155 Représentation planaire.................................................................................................................1158 Analyse fonctionnelle.............................................................................................................................1165 Représentations ..................................................................................................................................1165 Représentation tabulaire................................................................................................................1166 Représentations graphiques...........................................................................................................1166 Représentations planes.............................................................................................................1167 Représentations spatiales .........................................................................................................1169 Représentations vectorielles.....................................................................................................1175 Propriétés des représentations graphiques ...............................................................................1177 Représentations analytiques..........................................................................................................1183 Domaine naturel de définition..................................................................................................1184 Fonctions............................................................................................................................................1185 Dépendances .................................................................................................................................1185 Domaine d'existence .....................................................................................................................1185 Croissance et décroissance............................................................................................................1185 Périodicité .....................................................................................................................................1185 Parité .............................................................................................................................................1186 Composition..................................................................................................................................1188 Types de fonctions ........................................................................................................................1188 Fonction puissance...................................................................................................................1188 Fonction exponentielle.............................................................................................................1188 Fonction logarithmique............................................................................................................1189 Fonctions trigonométriques......................................................................................................1189 Fonctions polynomiales ...........................................................................................................1189 Fractions rationnelles...............................................................................................................1189 Fonctions algébriques ..............................................................................................................1189 Fonctions en escalier................................................................................................................1189 Limite et continuité .......................................................................................................................1190 Asymptotes ..............................................................................................................................1194 Logarithmes........................................................................................................................................1198 Base népérienne ............................................................................................................................1200 Fonction exponentielle naturelle...................................................................................................1203 Produit scalaire fonctionnel................................................................................................................1205 Analyse complexe ...................................................................................................................................1213 Applications linéaires.........................................................................................................................1213 Fonction complexe........................................................................................................................1213 Fonctions holomorphes ......................................................................................................................1221 Théorème de Cauchy-Riemann.....................................................................................................1222 Conditions de Cauchy..............................................................................................................1222 Orthogonalité des iso-courbes réelles et imaginaires.........................................................................1227 Transformation conforme..............................................................................................................1228 Logarithme complexe.........................................................................................................................1230 Intégration de fonctions complexes....................................................................................................1231
  • 15. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XIII Théorème de Cauchy.....................................................................................................................1233 Fonctions méromorphes................................................................................................................1235 Théorème intégral de Cauchy .......................................................................................................1235 Théorème intégral de Cauchy généralisé ......................................................................................1237 Série de Laurent à puissances positives ........................................................................................1237 Convergence d'une série................................................................................................................1238 Décomposition en chemins ................................................................................................................1246 Chemin inverse .............................................................................................................................1248 Séries de Laurent................................................................................................................................1249 Singularités.........................................................................................................................................1257 Singularité apparente.....................................................................................................................1258 Singularité essentielle....................................................................................................................1258 Pôle................................................................................................................................................1259 Théorème des résidus.........................................................................................................................1260 Pôle à l'infini .................................................................................................................................1265 Topologie ............................................................................................................................................1270 Espace topologique ............................................................................................................................1270 Espace de Hausdorff .....................................................................................................................1271 Espace métrique et distance ...............................................................................................................1272 Semi-distance................................................................................................................................1272 Distance ultramétrique ..................................................................................................................1273 Distance euclidienne .....................................................................................................................1274 Distance hölderienne.....................................................................................................................1274 Distance discrète ...........................................................................................................................1275 Distances équivalentes ..................................................................................................................1275 Fonctions lipchitziennes................................................................................................................1276 Ensembles ouverts et fermés..............................................................................................................1277 Boules............................................................................................................................................1278 Parties............................................................................................................................................1279 Boules généralisées.......................................................................................................................1281 Diamètre........................................................................................................................................1282 Variétés...............................................................................................................................................1283 Variétés différentiables .................................................................................................................1284 Théorie de la mesure ..............................................................................................................................1290 Espaces mesurables............................................................................................................................1290 Tribu..............................................................................................................................................1290 Tribu borélienne.......................................................................................................................1293 Théorème de la classe monotone........................................................................................................1296 Géométrie....................................................................................................................1303 Trigonométrie .........................................................................................................................................1304 Radian ................................................................................................................................................1304 Trigonométrie du cercle .....................................................................................................................1305 Relations remarquables.................................................................................................................1311 Formules de Carnot..................................................................................................................1313 Formules de Simpson...............................................................................................................1315 Théorème du cosinus ...............................................................................................................1316 Théorème du sinus ...................................................................................................................1317 Trigonométrie hyperbolique...............................................................................................................1318
  • 16. Vincent ISOZ [v3.0 - 2013] [SCIENCES.CH] [Vincent ISOZ] | http://www.sciences.ch] | Page: XIV Relations remarquables.................................................................................................................1323 Trigonométrie sphérique ....................................................................................................................1324 Formule des cosinus......................................................................................................................1326 Relations des sinus........................................................................................................................1327 Angle solide........................................................................................................................................1329 Géométrie euclidienne............................................................................................................................1337 Objets de la géométrie euclidienne ....................................................................................................1337 Dimensions....................................................................................................................................1338 Constructions d'Euclide......................................................................................................................1343 Droites et segments .......................................................................................................................1344 Grandeurs de même espèce...........................................................................................................1344 Plan.....................................................................................................................................................1349 Déplacement et retournement .......................................................................................................1349 Angles ................................................................................................................................................1350 Angle saillant ...........................................................................................................................1350 Angles adjacents ......................................................................................................................1350 Angles alternes/internes ...........................................................................................................1353 Mesure des angles....................................................................................................................1353 Unités de mesure des angles ....................................................................................................1353 Bissectrice................................................................................................................................1354 Triangles ............................................................................................................................................1358 Triangles égaux.............................................................................................................................1359 Triangles isocèles..........................................................................................................................1361 Médiatrice ................................................................................................................................1361 Lieu géométrique .....................................................................................................................1362 Triangles équilatéraux...................................................................................................................1363 Triangles rectangles ......................................................................................................................1364 Triangles rectangles isocèles.........................................................................................................1365 Inégalités dans les triangles...........................................................................................................1365 Théorème de Pythagore.................................................................................................................1367 Théorème de Thalès......................................................................................................................1369 Parallélisme........................................................................................................................................1372 Cercles................................................................................................................................................1374 Axiomatique de Hilbert......................................................................................................................1374 Axiomes d'associations (A)...........................................................................................................1377 Axiomes d'ordre (O)......................................................................................................................1377 Axiomes de congruence................................................................................................................1378 Axiomes de continuité...................................................................................................................1378 Axiomes des parallèles..................................................................................................................1378 Barycentre ..........................................................................................................................................1379 Transformations dans le plan .............................................................................................................1383 Translation ....................................................................................................................................1383 Homothétie....................................................................................................................................1384 Rotation.........................................................................................................................................1387 Réflexion.......................................................................................................................................1391 Géométries non-euclidiennes.................................................................................................................1397 Géodésique et équation métrique .......................................................................................................1398 Équation métrique euclidienne......................................................................................................1400 Coordonnées de Gauss..................................................................................................................1401