Geometria nanlitica

2
SISTEMA COORDENADOSISTEMA COORDENADO
CARTESIANOCARTESIANO
1.- El sistema coordenado Unidimensional:
Representado por la recta numérica, que se determina por P1(x1) y
P2(x2) se tiene :
La distancia dirigida de P1 a P2 es : P2 - P1 = x2 - x1 La distancia no dirigida
es :
P1 P2
( x1 ) ( x2 )
122121 xxPP:esPP −=
-4 -3 -2 -1 0 1 2 3
P1 Q1 R1 S1 O Q R P2
231xxQP743)4(3xxPP 1221221 −=−=−==+==−−=−=
231xxQP7)4(3xxPP 1221221 =−=−==−−=−=
Distancia dirigida
Distancia no dirigida
Ejemplo:
xx′

3
SISTEMA COORDENADOSISTEMA COORDENADO
CARTESIANOCARTESIANO
2.- El sistema coordenado Bidimensional:
Un punto en el plano se determina mediante el par: P (x,y)
Y
X
P (x,y)
0
I (+ , +)II (- , +)
III (- -) IV (+ , -)
El sistema de coordenadas en el plano
consiste en un par de rectas orientadas
perpendiculares, llamadas ejes
coordenadas.
Recta horizontal : eje x (abscisa)
Recta vertical: eje y (ordenada)
La intersección de ambas rectas es el
origen.
Las cuatro partes en que el plano queda
dividido por los ejes coordenadas se llaman
cuadrantes.
Las coordenadas del punto P se representan por el par ordenado (x,y)

4
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN ELDISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL
PLANOPLANO
Sean los puntos P1 (x1, y1) y P2 (x2, y2)
La distancia entre P1 y P2
Se determina por:
Esta expresión se obtiene
observando la figura en cuyo
triángulo rectángulo P1QP2 , se tiene:
donde:
sustituyendo en ( 1 ), se tiene finalmente.
2
12
2
1221 )y(y)x(x)P,d(P −+−=
)1(...QPQPPP
2
2
2
1
2
21 +=
121 XXMNQP −==
122 YYSTQP −==
2
12
2
1221 )y(y)x(x|PP| −+−=
Y
X
(O,y2)
T
S
(O,y1)
M (x1 ,0) N (X2 , 0)
Q (x2 ,y1)
P2 (X2 ,Y2)
P1
(x1 , y1)

5
DISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN ELDISTANCIA ENTRE 2 PUNTOS EN EL
PLANOPLANO
2
12
2
1221 )y(y)x(x)P,d(P −+−=
Ejemplo 1: Si P1 = (8 , 6) y P2 = ( 5 , 2) Hallar d(P1 , P2) = 21PP
525432)(65)(8)P,d(P 2222
21 ==+=−+−=
Ejemplo 2: Demostrar que los puntos A(-2 ,-1) , B(2, 2 ) y C(5 , -2) son los
vértices de un triángulo isósceles.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 251491225AC
51692225BC
59161222AB
22
22
22
=+=+−++=
=+=−−+−=
=+=+++=
A (-2 ,-1)
B (2, 2 )
C (5 , -2)
y
x
AB BC=
Como el triángulo ABC es isósceles.

6
DIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓNDIVISIÓN DE UN SEGMENTO EN UNA RAZÓN
CONOCIDACONOCIDA
P2 (x2, y2)
P(x,y)
P1 (x1, y1)
Sea el segmento y el punto que divide a
en la razón entonces, las coordenadas
de P Serán:
Si P es la punto medio entonces : ;
21PP
21PP
2
1
PP
PP
r =
1r,
r1
rxx
x 21
−≠
+
+
=
-1r,
r1
ryy
y 21
≠
+
+
=
2
xx
x 21 +
=
2
yy
Y 21
+
=
)y,x(P

7
CONOCIDACONOCIDA
en la figura ∆P1QP ≈∆ PRP2 entonces : r
PP
PP
RP
QP
2
1
2
==
Para hallar la Ordenada y del punto P
-1r,
1r
ryy
yryy1)y(rryyryy
ryryy-yy)r(yy-yr
yy
y-y
r
PP
PP
21
2121
2121
2
1
2
1
≠
+
+
=⇒+=+→+=+→
−=→−=→=
−
→=
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
(x,y)
Q
R
x
y

8
CONOCIDACONOCIDA
en la figura ∆P1QP ≈∆ PRP2 entonces : r
PP
PP
PR
QP
2
11
==
Para hallar la abscisa x del punto P
-1r,
1r
rxx
xrxx1)x(rrxxrx
rxrxx-xx)r(xx-xr
xx
x-x
r
PP
PP
21
2121
2121
2
1
2
1
≠
+
+
=⇒+=+→+=+→
−=→−=→=
−
→=
x
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
(x,y)
Q
R
x
y

9
CONOCIDACONOCIDA
P2 (x2, y2)
P
P1 (x1,y1)
en la figura ∆P1QP ≈∆ PRP2 entonces :
(x,y)
Q
R
r
PP
PP
PR
QP
2
11
==
Observaciones
1. Si r > 0 , el punto P(x , y) está en el interior del segmento:
1. Si r < 0 , el punto P(x , y) está en el exterior del segmento:
2. Si P(x,y) es el punto medio del segmento entonces la razón r = 1
21PP
21PP
21PP
1
PP
PP
2
1
= Luego las coordenadas del punto P son:
2
yy
y;
2
xx
x 2121 +
=
+
=
x
y

10
CONOCIDACONOCIDA
3
1
PB
AP
=
Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las
coordenadas del punto P(x,y) donde:
Solución:
2
5
4
10
3
1
1
(4)
3
1
2
r1
rxx
x 21
==
+
+
=
+
+
=
4
17
3
1
1
(8)
3
1
3
r1
ryy
y 21
=
+
+
=
+
+
=






4
17
,
2
5
P:Luego

11
CONOCIDACONOCIDA
3
1
PB
AP
=
Ejemplo 1. Si A(2,3) y B(4,8) son los extremos de un segmento. Hallar las
coordenadas del punto P(x,y) donde:
Solución:






4
17
,
2
5
P:Luego






=→=
−
−
=→=
−
−
⇒=
4
17
y
3
1
y8
3y
2
5
x
3
1
x4
2x
3
1
PB
AP

12
CONOCIDACONOCIDA
Ejemplo 2. Hallar los puntos de trisección y el punto medio del segmento
cuyos extremos son: A(-2,3) y B(6 ,-3)
Solución: A(-2,3)
B(6,-3)
P(x,y)
Q
1
1
1






−=→=
−
−−
=→=
−−
−
⇒=
1y
2
1
y3
3)(y
3
10
x
2
1
x2
6x
2
1
PA
BP






=→=
−
−−
=→=
−−
−
⇒=
1y2
y3
3)(y
3
2
x2
x2
6x
2
QA
BQ
0
2
33
2
yy
y2
2
26
2
xx
x 2121
=
+−
=
+
==
−
=
+
=Punto medio M(x,y) :
M
P(10/3 , -1)
Q(2/3 ,1)

13
PENDIENTE DE UNA RECTAPENDIENTE DE UNA RECTA
α
α
P1 (x1,y1)
L
x
y
ANGULO DE INCLINACIÓN
Se llama ángulo de inclinación al ángulo
formado por la recta L y el eje x positivo, en
sentido antihorario.
La variación de α es : 0° ≤ α ≤ 180°

14
Sea α el ángulo formado por la recta L
y el eje X
La pendiente m de la recta L es:
Si la recta L pasa por los puntos P1 (x1 , y1) ; P2 (x2 , y2); la pendiente
es:
( Ver Figura )
m = Tg α
12
12
12
xx,
xx
yy
m ≠
−
−
=
α
α
Q
P1 (x1,y1)
L
P2 (x2,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1

15
m = Tg α
12
12
12
xx,
xx
yy
m ≠
−
−
=
α
α
Q
P1
(x1,y1)
L
P2 (x2,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1
OBSERVACIONES
1. Si m > 0 entonces el ángulo de inclinación es agudo ( α < 90° )
2. Si m < 0 entonces el ángulo de inclinación es obtuso ( α > 90° )
3. Si m = 0 entonces el ángulo de inclinación es 0° ó 180°.
4. Si m = ∞ entonces el ángulo α = 90° .

16
m = Tg α
12
12
12
xx,
xx
yy
m ≠
−
−
=
α
α
Q
P1
(x1,y1)
L
P2 (x2 ,y2)
X
Y
y2 - y1
x2 - x1
Ejemplo 1: Hallar la pendiente de la recta L que pasa por los puntos :
P1(2,1) y P2(5,6)
3
5
2-5
1-6
xx
yy
m
12
12
==
−
−
=

17
Ejemplo 2: Los vértices de un triángulo son los puntos A(2 , -2) , B(-1 , 4) y
C(4 , 5). Calcular la pendiente de cada uno de sus lados.
SOLUCION:
B(-1,4)
C(4,5)
A(2,-2)
2
7
24
)2(5
m
5
1
)1(4
45
m
2
21
)2(4
m
AC
BC
AB
=
−
−−
=
=
−−
−
=
−=
−−
−−
=
x
y
o

18
ÁNGULO ENTRE DOS RECTASÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo α .
Entonces:
Donde: m1 = Pendiente recta inicial L1.
m2 = Pendiente recta final L2 .
Nota:
1) Si L1 es paralela a L2 ⇒ m1 = m2
2) Si L1 es Perpendicular a L2 ⇒ m1 . m2= -1 ó m1 =
12
12
m.m1
m-m
tg
+
=α
L1
L2
X
Y
α
2
m
1
−

19
ÁNGULO ENTRE DOS RECTASÁNGULO ENTRE DOS RECTAS
DEMOSTRACIÓN
Sean las rectas L1 y L2 que forman un ángulo α , β1 ángulo de inclinación de la
recta inicial L1 y β2 ángulo de inclinación de la recta final L2 .
Donde: m1 =tg β1 Pendiente recta inicial L1.
m2 = tg β2 Pendiente recta final L2 .
1mm;
m.m1
m-m
αtg 21
12
12
−≠⋅
+
=
L1
L2
X
α
β2β1
A B
C
Por geometría elemental sabemos que todo
ángulo exterior a un triángulo es igual a la
suma de los ángulos interiores no adyacentes .
Entonces en el ∆ABC :
α
αββ 12 +=
12
12
1212
tgtg1
tg-tg
tg
)-tg(tg-
ββ
ββ
α
ββαββα
⋅+
=
=⇒=
Luego:

20
LA RECTALA RECTA
DEFINICIÓN: La línea recta es el lugar geométrico de los puntos tales que
tomados dos puntos diferentes cualesquiera P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) del
lugar la pendiente “m” resulta siempre una constante.
ECUACIONES DE LA RECTA
1) Forma Punto Pendiente :
Si la recta pasa por el punto P1 ( x1 , y1 ) y cuya pendiente es “m” entonces
la ecuación de la recta está dado por :
12
12
xx
yy
m
−
−
=
y - y1 = m ( x - x1 )
P1(x1,y2)
x
P2(x2 ,y2)
y

21
LA RECTALA RECTA
)xm(xyy
xx
yy
m 11
1
1
−=−⇒
−
−
=
P1(x1,y1)
x
P(x, ,y)
y
DEMOSTRACIÓN
La recta L pasa por el punto P(x1 , y1) y tiene pendiente conocida “m” y
sea P(x , y) un punto cualquiera de la recta L.
L
Por definición de pendiente de una recta se tiene:
)xm(xyy:L 11 −=−

22
LA RECTALA RECTA
01y3x:L63x5y
2)3(x5y)xm(xyy
p(2,5),3m
11
=−−→−=−
−=−→−=−
=
P(2 , 5)
x
P(x, ,y)y
Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por el punto P(2 ,5)
y tiene pendiente 3.
SOLUCION: L
)xm(xyy:L 11 −=−

23
12
12
xx
yy
m
−
−
=
LA RECTALA RECTA
La recta L pasa por los puntos : P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) entonces la
pendiente ......(1)
2 ) Ecuación de la Recta que pasa por 2 puntos:
Si la recta L pasa por lo puntos P1 ( x1 , y1 ) y P2 ( x2 , y2 ) su ecuación
es:
DEMOSRACION:
)x(x
xx
yy
yy:L 1
12
12
1 −
−
−
=−
y - y1 = m ( x - x1 )
P1(x1,y1)
x
P2(x2 ,y2)y
)x(x
xx
yy
yy:L 1
12
12
1 −
−
−
=−
Se conoce la ecuación de la recta en su forma punto pendiente
y - y1 = m( x - x1 )......(2)
Remplazando (1) en (2) se tiene:

24
LA RECTALA RECTA
Ejemplo. Hallar la ecuación de la recta L que pasa por los puntos P1 ( -2 , -3)
y P2 ( 4 , 6)
SOLUCIÓN:
y - y1 = m ( x - x1 )
)x(x
xx
yy
yy:L 1
12
12
1 −
−
−
=−
02y-3x:L
6x362y2)(x
2
3
)3(y
2)(x
6
9
)3(y2)(x
24
36
)3(y
))2((x
)2(4
)3(6
))3((y
=⇒
+=+→+=+
+=+→+
+
+
=+
−−
−−
−−
=−−

25
LA RECTALA RECTA
3) Pendiente y ordenada en el origen:
Una Recta con Pendiente “ m “ y que corta al eje y ; en el punto ( 0,b ) ;
su
ecuación es :
DEMOSTRACIÓN:
y = mx + b
L
x
y
( 0 , b)
bmxy
mxb-y0)m(xby
)xm(xyy:L 11
+=⇒
=→−=−
−=−

26
LA RECTALA RECTA
4 ) Ecuación Simétrica
Si una Recta corta a los ejes
Coordenados en ( a , 0 ) y ( 0 , b );
su Ecuación es :
5 ) Ecuación General
La Ecuación General de una Recta esta representado por :
Donde :
En la Ecuación ( 1 ) ; si :
A = 0 ⇒ By + C = 0 ; es una recta Horizontal
B = 0 ⇒ Ax + C = 0 ; es una recta Vertical
1
b
y
a
x
=+
Ax + By + C = 0 . . . ( 1 )
B
A
m −=
( 0,b )
( a,0 ) x
y

27
LA RECTALA RECTA
Distancia de un punto a una Recta
Sea la Recta L: Ax + By + C = 0 y
Sea el Punto P1( x1, y1 ) ; la distancia
“d” del punto P a la recta L esta dado
por:
L
x
y
d
P (x1 , y1 )
22
11
BA
CByAx
L)d(P,
+
++
=
Distancia entre dos rectas paralelas
Dadas las rectas paralelas :
L1 : Ax + By +C1 = 0 y L2 : Ax + By +C2 = 0
la distancia de L1 a L2 está dado por:
22
21
21
BA
CC
)L,d(L
+
−
=

28
LA RECTALA RECTA
L
x
y
d
P (5 ,4 )
22
11
BA
CByAx
L)d(P,
+
++
=
Ejemplo1. Hallar la distancia del punto
P(5 , 4) a la recta L : 3x + 4y - 6 = 0
L
5
5
25
25
25
L)d(P,
43
64(4)3(5)
L)d(P,
22
===
+
−+
=

29
LA RECTALA RECTA
L
x
y
d
Q (5 ,6 )
53
5
515
5
15
5
15
L)d(R,
21
72(-2)-1(4)
L)d(R,
BA
CByAx
L)d(R,
2222
11
====
+
+
==
+
++
=
Ejemplo2. Hallar la distancia que existe
entre el punto R(4 , -2) del plano y la
recta que pasa por los puntos P(-3 , 2) y
Q(5 , 6)
SOLUCIÓN
L
P (-3 ,2 )
R (4 ,-2 )
2
1
8
4
35
26
m ==
+
−
=
Aplicamos la ecuación punto pendiente
de la recta: y - y1 =m(x - x1)
072yx:L3x4-2y3)(x
2
1
2y =+−⇒+=→+=−

30
LA RECTALA RECTA
Posición Relativa de 2 Rectas
Sean las rectas : L1: A1x + B1y + C1 = 0
L2: A2x + B2y + C2 = 0
* Si L1 // L2 ⇒ m1 = m2 ó
* Si L1 ⊥ L2 ⇒ m1 . m2 = -1 ó A1A2 + B1B2 = 0
* Si L1 y L2 son coincidentes :
2
1
2
1
B
B
A
A
=
2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A
==

31
LA CIRCUNFERENCIALA CIRCUNFERENCIA
DEEFINICION: La Circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de
puntos en el plano tal que la distancia de un punto fijo a cada uno de ellos
es una constante.
Centro (C) : Punto fijo
radio r : distancia constante
d(P , C) = r
C(h,k)
r
P(x,y)

32
ELEMENTOS DE LA CIRCUNFERENCIA
C
r
E
D
F
A B
LT
LN
1. Centro de la circunferencia. “ C “
2. Radio de la circunferencia “ r “
3. Diámetro de la circunferencia
4. Cuerda de la circunferencia
5. Recta tangente a la circunferencia. LT
6. Recta normal a la circunferencia. LN
AB
FD

33
Una Circunferencia queda completamente definida, si se conoce su centro y
su radio.
Ecuaciones de la Circunferencia:
1) Forma Ordinaria:
Sea el Centro de la Circunferencia
C ( h,k ) y radio r .
Si P (x,y) es un punto ⇒
Por distancia:
2) Forma canónica
si el Centro es el origen su ecuación es :
C(h,k)
r
P(x,y)
0 X
Y
rPC =
rk)(yh)(x 22
=−+−
(x - h)2 + (y - k)2 =
r2
222
ryx =+ 0
P(x,y)
X
Y

34
Ejemplo 1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C(-3 , -4) y
radio 5.
Solución.
( ) ( ) 222
rkyhx =−+−
( ) ( ) 254y3x 22
=+++
Ejemplo 2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los
puntos A (2 , 3) y B(-4 , 5). Hallar la ecuación de la curva.
Solución.
C
Las coordenadas del centro :
( ) ( )
( ) ( ) 104y1x
104312ACr
4),1C()
2
53
,
2
42
C(
22
22
=−++⇒
=−++==
−→
+−
y
x
B
A

35
Ejemplo 3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el
eje x y que pasa por los dos puntos A(1 , 3) y B(4 , 6)
( ) ( )
( ) ( ) 4591791x7x
426x36168xx912xx
364-x91x
22
22
22
=+−=+−=→=
=→++−=++−
+=+−
r
364)(x91)(xB)d(C,A)d(C,r 22
+−=+−→==
y
x
BA
C(x,0)
( ) ( ) 450-y7x 22
=+−La ecuación de la circunferencia:

36
Observaciones:
( ) ( ) 222
kkyhx =−+−
C(h,k)
Si la circunferencia es tangente al
eje x su ecuación es :
x
y
k
x
y
C(h,k)h
Si la circunferencia es tangente al
eje y su ecuación es :
( ) ( ) 222
hkyhx =−+−

37
3) Ecuación General
Desarrollando la ecuación ordinaria de la circunferencia tenemos:





 −
2
,
2
D-
CCentroSu
E
4FED
2
1
r
4
E
4
D
-Fr
4
E
4
D
-F
2
E
y
2
D
x
4
E
4
D
F-
2
E
Eyy
2
D
Dxx
0FEyDxyx
22
22
2
2222
222
2
2
2
22
−+=
++=⇒++=





++





+
++=














+++














++
=++++
Completando cuadrados lo llevamos a su forma ordinaria
Esta ecuación tiene la misma forma que:
Se llama forma general de la circunferencia.
( ) ( )
)........(10rkh2ky2hxyx
rk2ykyh2xhxrkyhx
22222
22222222
=−++−−+
=+−++−→=−+−
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0

38
Ejemplo 3. Reduciendo las ecuaciones dadas a la forma ordinaria ,
determinar si representa o no una circunferencia.
a. 2x2
+ 2y2
- 6x +10y + 7 = 0
b. 4x2
+ 4y2
+28x - 8y + 53 = 0
c. 16x2
+ 16y2
- 64x + 8y + 177 = 0
Solución.
- Si D2
+ E2
- 4F > 0 ; la Circunferencia es real
- Si D2
+ E2
- 4F < 0 ; la Circunferencia es imaginaria
- Si D2
+ E2
- 4F = 0 ; la Circunferencia representa un punto
4FED
2
1
r 22
−+= 




 −
2
,
2
D-
CCentroSu
E

39
5)(y)
2
3
-(x10)2(y)
2
3
-2(x
2
25
2
9
-7)
2
5
5y2(y)
2
3
3x2(x
0710y6x2y2xa.
2
2
522
2
52
2
2
2
2
22
=++→=++
++=





+++





+−
=++−+
Luego la ecuación es una circunferencia
de centro C (3/2 , -5/2) y radio 5
5
2
5
y
2
3
x
5
4
25
4
9
2
7
2
5
5yy
2
3
3x-x
0
2
7
5y3xyx
0710y6x2y2xa.
22
2
2
2
2
22
22
=





++





−
=++−=














+++














+
=++−+
=++−+

40
0)1-(y)
2
7
(x)1-(y4)
2
7
4(x
449-53)1y24(y)
2
7
x74(x
0538284y4xb.
2222
2
2
2
22
=++=→++
++=+−+





++
=+−++ yx
Luego la ecuación representa el punto C(-7/2 , 1)
Luego la ecuación representa un conjunto vacío o
una circunferencia imaginaria.
7)
4
1
(y2)-(x)
4
1
16(y2)16(x
164-177)
4
1
2
y
16(y)
2
4
4x16(x
01778y64x16y16xc.
2222
2
2
2
2
22
−=++=→++−
++=





+++





+−
=++−+

41
CURVAS CÓNICASCURVAS CÓNICAS
Una Cónica es el conjunto de puntos cuyas distancias dirigidas a un punto
fijo ( Foco ) y a una Recta fija ( Directriz ), es una razón constante llamada
excentricidad.
Si:
e = 1 ; la cónica se llama Parábola.
e < 1 ; la cónica se llama Elipse.
e > 1 ; la cónica se llama Hipérbola.
F
P
M
)e(Constante
PM
PF
=

42
LA PARÁBOLALA PARÁBOLA
Es el conjunto de puntos que equidistan
de una recta fija llamada directriz y de un
punto fijo llamado Foco.
Elementos:
Foco: Punto fijo F
Eje Focal: Recta ⊥ DD’ y pasa por el Foco
Vértice: Punto V
Cuerda:
Cuerda Focal:
Lado Recto:
Radio Vector:
Directriz : DD′
F
M
P
F
M
R
D’
D
V
N
PFPM =
Y
MN
HD
LR
FH
H
D
L
x

43
Ecuaciones de la Parábola:
1) Si el Vértice es el Origen y su eje
Focal es el eje X
F( p,0) ; P( x,y)
d(P,F) = d( p,L) →
Elevando al cuadrado y
simplificando se tiene:
- Si: p > 0 ; la Parábola se abre a la
Derecha.
- Si: p < 0 ; la Parábola se abre a la
Izquierda.
Y
X
L
D’
Y
X
D
D’
F
F(p,0)
o
o
V
V
VFp =
y2 = 4px
P(x,y)D
( ) pxypx 22
+=+−

44
Y
X
L
D’
Y
X
D
D’
F
F(p,0)
o
o
V
V
VFp =
P(x,y)
D
ELEMENTOS
1. El vértice V(0,0)
2. El foco F(p,0)
3. Lado Recto LR = | 4 p |
4. Ecuación de la directriz: x = - p
L
R
L
y2 = 4px
R

45
Ecuaciones de la Parábola:
2) Si el Vértice es el Origen y su eje
Focal es el eje Y, su ecuación es:
- Si p > 0; la Parábola se abre hacia
arriba.
- Si p < 0; la Parábola se abre hacia
abajo
Y
X
DD’
Y
X
DD’
F
F
o
o
V
V
VFp =
x2 = 4py
L R
L R

46
ELEMENTOS
1. El vértice V(0,0)
2. El foco F(0 , p)
3. Lado Recto LR = | 4 p |
4. Ecuación de la directriz: y = - p
Y
X
DD’
Y
X
DD’
F
F
o
o
V
V
VFp =x2 = 4py
L R
L R

47
Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la
longitud del lado recto y graficar.
a. x2
- 12y = 0 b . y2
+ 8x = 0
Solución:
Y
X
3
DD’
F
oV
0)(p3p124p4pyx
formaladeesecuaciónLa
12yx012yxa.
2
22
>=→=→=
=→=−
1. Vértice V(0,0)
2. Foco F(0,p) → F(0,3)
3. Directriz y = - p → y = -3
4. Lado Recto LR= | 4p | → LR = 12
como p> 0 la parábola se abre hacia
arriba.
-3

48
Ejemplo 1. Hallar las coordenadas del foco, la ecuación de la directriz y la
longitud del lado recto y graficar.
a. x2
- 12y = 0 b . y2
+ 8x = 0
Solución:
Y
X-2
D
D’
F
o
V
0)(p-2p-84p4pxy
formaladeesecuaciónLa
-8xy08xyb.
2
22
<=→=→=
=→=+
1. Vértice V(0,0)
2. Foco F( p , 0) → F( -2, 0)
3. Directriz x = - p → x = - ( -2) = 2
4. Lado Recto LR= | 4p | → LR = 8
como p< 0 la parábola se abre hacia
la izquierda.
2

49
Ecuación Ordinaria de la Parábola:
3) Si el Vértice es V ( h, k ), el eje
focal es Paralelo al eje x su
ecuación es:
Con Foco: F( h+p , k )
- Si: p > 0 ; Se abre a la Derecha.
- Si: p < 0 ; Se abre a la Izquierda.
( y - k )2 = 4p ( x - h )
D
D’
D
D’
FV
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)F

50
( y - k )2 = 4p ( x - h )
D
D’
D
D’
F
V
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)F
ELEMENTOS
1. El vértice V( h , k)
2. El foco F(h + p , k)
3. Lado Recto LR= | 4p |
4. Ecuación de la directriz x = h - p

51
Ecuación Ordinaria de la Parábola:
ii ) Si el eje Focal es Paralelo al eje Y,
su ecuación es:
Con Foco: F ( h , k+p )
- Si: p > 0 ; Se abre hacia arriba.
- Si: p < 0 ; Se abre hacia abajo.
( x - h )2 = 4p ( y - k ) DD’
DD’
F
V
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)
F

52
( x - h )2 = 4p ( y - k )
DD’
DD’
F
V
V
Y
Y
X
X
(h,k)
(h,k)
F
ELEMENTOS
1. El vértice V( h , k)
2. El foco F( h , k + p)
3. Lado Recto LR= | 4p |
4. Ecuación de la directriz y = k - p

53
5. La Ecuación General de la Parábola esta dado por:
x2
+ Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje Y.
y2
+ Dx + Ey + F = 0 ; Si tiene eje focal paralelo al eje X.
Ejemplo1 . Hallar la ecuación de la parábola cuyos vértices y focos son los
puntos (-4,3) y (-1 , 3) respectivamente. Hallar también las
ecuaciones de su directriz , eje focal y LR.
Solución:
-4
3V
-1
FLa parábola es de la forma:
(y - k)2
= 4p(x - h)
( ) ( )
( ) ( ) 4)12(x3y4)4.3(x3y
33314VFp
22
22
+=−→+=−
=−++−==
Directriz: x = h - p =-4 -3 =-7 → x+7=0
Eje de la parábola y=k → y = 3 , LR = 12

54
Ejemplo2 . Hallar la ecuación de la parábola cuyo vértice y foco son los
puntos V (3 , 3 ) y F(3 , 1 ) respectivamente. Hallar también las
ecuaciones de su directriz , eje focal y LR.
Solución:
V
o
F
La parábola es de la forma:
(x - h)2
= 4p(y –k )
( ) ( )
( ) ( ) 3)--8(y3x3)-4(-2)(y3-x
21333VFp
22
22
=−→=
=−+−==
Directriz: y = k - p = 3 – (-2) = 5 → y – 5 = 0
Eje de la parábola x = 3 → x – 3 = 0
LR = 8
L R

55
Ejemplo 3. Hallar las coordenadas del vértice y del foco. Las ecuaciones
de la directriz y eje, y la longitud del lado recto.
4y2
-48x -20y - 71 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable y, se tiene:
De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k) → V( -2 , 5/2)
Foco F( h+p , k ) → F( -2 + 3 , 5/2) → F( 1 , 5/2)
Ec. De la directriz: x = h - p → x = -2 - 3 → x = -5
Ec del eje : Y = k → y = 5/2 ; LR = 12
2)12(x5/2)(y
2412x
4
25
4
71
12x
4
25
5yy
0
4
71
12x5yy07148x20y4y
2
2
22
+=−
+=++=+−→
=−−−→=−−−

56
4y2
-48x -20y - 71 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable y, se tiene:
9648x257148x
4
25
5yy4 2
+=++=





+−
De donde h = -2 , k = 5/2 , 4p = 12 , p=3 ; Vértice V( h , k) → V( -2 , 5/2)
Foco F( h+p , k ) → F( -2 + 3 , 5/2) → F( 1 , 5/2)
Ec. De la directriz: x = h - p → x = -2 - 3 → x = -5
Ec del eje : Y = k → y = 5/2 ; LR = 12
( ) 7148x20y4y2
+=− →
2)12(x
2
5
y2412x
4
25
5yy
2
2
+=





−⇒+=





+−

57
4x2
+ 48y + 12x – 159 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable x, se tiene:
De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3
Vértice V( h , k) → V( - 3/2 , 7/2 )
Foco F( h , k + p ) → F( -3/2 , 7/2 –3 ) → F( -3/2 , 1/2 )
Ec. De la directriz: y = k - p → y = 7/2 + 3 → y = 1 3 / 2 → 2y – 13 = 02
Ec del eje : x = h → x = -3/2 → 2x + 3 = 0 ; LR = 12
7/2)12(y3/2)(x
4212y
4
168
12y
4
9
4
159
12y
4
9
3xx
0
4
159
12y3xx015948y12x4x
2
2
22
−−=+
+−=+−=++−=++
=−++→=−++

58
4x2
+ 48y + 12x – 159 =0
Solución:
Completando cuadrados para la variable x, se tiene:
16848y915948y
4
9
3xx4 2
+−=++−=





++
De donde h = -3/2 , k = 7/2 , 4p = -12 , p= -3
Vértice V( h , k) → V( - 3/2 , 7/2 )
Foco F( h , k + p ) → F( -3/2 , 7/2 –3 ) → F( -3/2 , 1/2 )
Ec. De la directriz: y = k - p → y = 7/2 + 3 → y = 1 3 / 2 → 2y – 13 = 02
Ec del eje : x = h → x = -3/2 → 2x + 3 = 0 ; LR = 12
( ) 15948y12x4x2
+−=+ →
)
2
7
-y(12
2
3
x42y12
4
9
3xx
2
2
−=





+→+−=





++

59
LA ELIPSELA ELIPSE
Definición:
Dado 2 puntos fijos F1 y F2 un numero 2a > 0 ; la elipse es el conjunto de
puntos cuya suma de las distancias de un punto de la curva a sus puntos
fijos es siempre igual a 2a.
F2F1
2aPFPF 21 =+
P
C
Focos: F1 , F2
C : centro
R2a,FF2a 21 ∈>

60
LA ELIPSELA ELIPSE
ELEMENTOS DE LA ELIPSE:
Focos: F1 y F2 .
Eje Focal: Es la recta que pasa por
los Focos.
Vértice: Puntos V1 y V2.
Centro: C Punto medio de V1 y V2.
Eje Normal: Recta que pasa por el centro
y es ⊥ al eje Focal.
Eje Mayor: Segmento
Eje Menor: Segmento
Cuerda: Segmento
Cuerda Focal: segmento
Lado Recto: Segmento
Directriz: Rectas D’D.
D D
D’ D’
Q
V1 V2
C
L L
M
B1
B21
N RR
21VV
21BB
MN
MQ
LR
F1 F2

61
LA ELIPSELA ELIPSE
Ecuaciones de la Elipse:
1) Centro en el Origen y eje Focal el
eje x ; su ecuación es:
b2 = a2 - c2
Elementos
1. Los vértices son: V1 ( -a,0 ) ; V2 ( a,0 ) :
2. Los focos: F1(- c,0 ) ; F2 (c , 0 )
3. Extremos del eje menor: B1(0 , -b) , B2 (0 , b)
4. Lado recto : 5. Ecuación de la directriz:
6. Excentricidad :
V2V1
F2F1
(-a,0) (a,0)
D D
D’D’
X
Y
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
B2
B1
a
2b
LR
2
= c
a
x
2
±=
1
a
c
e <=

62
LA ELIPSELA ELIPSE
Ecuaciones de la Elipse:
2) Si el eje Focal es el eje Y su ecuación
es:
b2 = a2 - c2
Elementos
1. Los vértices son: V1 (0 , -a ) ; V2 ( 0 , a )
2. Los focos: F1( 0 , - c) ; F2 ( 0 , c )
3. Extremos del eje menor: B1( -b , 0) , B2 ( b , 0)
4. Lado recto :
5. Ecuación de la directriz: 6. Excentricidad :
V1
V2
F1
F2
(0,-c)
(0,c)
X
Y
1
a
y
b
x
2
2
2
2
=+
B1 B2
a
2b
LR
2
=
c
a
y
2
±= 1
a
c
e <=

63
LA ELIPSELA ELIPSE
V1
V2
F1
F2
(0,-c)
(0,c)
X
Y
B1 B2
Ejemplo: Hallar las coordenadas del vértice y focos, la
longitud de los ejes mayor y menor , la
excentricidad y la longitud del lado recto.
Graficar la curva.
9x2
+ 4y2
= 36
Solución:
Dividiendo cada término entre 36
1
9
y
4
x
364y9x
22
22
=+⇒=+
a = 3 , b= 2 , c2
= a2
- b2
= 9 - 4 =
1. Los vértices son: V1 (0 , -3 ) ; V2 ( 0 , 3 )
2. Los focos: F1( 0 , - ) ; F2 ( 0 , )
3. Extremos del eje menor: B1( -2 , 0) , B2 ( 2 , 0)
4. Lado recto : 5. Excentricidad :
6. Longitud del eje mayor =2a =6
7. Longitud del eje menor = 2b = 4
5 5
3
8
a
2b
LR
2
== 3
5
a
c
e ==

64
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2F1
D D
D’D’
X
Y
B2
B1
Ejemplo:
Hallar las coordenadas del vértice y focos, la
longitud de los ejes mayor y menor ,
la
excentricidad y la longitud del lado recto.
Graficar la curva. 16 x2
+ 25 y2
= 400
Solución:
Dividiendo cada término entre 400
1
16
y
25
x
40025y16x
22
22
=+⇒=+
a = 5 , b= 4 , c2
= a2
- b2
= 25 –16 = 9 → c = 3
1. Los vértices son: V1 (-5 , 0 ) ; V2 ( 5 , 0 )
2. Los focos: F1( -3 , 0) ; F2 ( 3 , 0 )
3. Extremos del eje menor: B1( 0 , -4 ) , B2 ( 0 , 4 )
4. Lado recto : 5. Excentricidad :
6. Longitud del eje mayor =2a = 10
7. Longitud del eje menor = 2b = 8
5
32
a
2b
LR
2
== 5
3
a
c
e ==

65
LA ELIPSELA ELIPSE
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :
1 - Si el centro es el Punto C( h , k)
y tiene eje Focal Paralelo al
eje X, su ecuación es:
( ) ( ) 1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2F1
D D
D’D’
X
Y
B2
B1
a
2b
LR
2
=
c
a
hx
2
±=
1
a
c
e <=
O
C
k
h
Elementos
1. Los vértices son: V1 ( h -a,k ) ; V2 (h + a ,k ) :
2. Los focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k )
3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b)
4. Lado recto : 5. Excentricidad
6. Ecuación de la directriz:
b2
=a2
-c2

66
LA ELIPSELA ELIPSE
ECUACIÓN ORDINARIA DE LA ELIPSE :
2- Si el centro es el punto C( h,k)
el eje Focal es Paralelo al eje y
su ecuación es:
( ) ( ) 1
a
ky
b
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
Elementos
1. Los vértices son: V1 (h k -a ) ; V2 ( h , k+a )
2. Los focos: F1( h , k- c) ; F2 ( h , k +c )
3. Extremos del eje menor: B1( h- b , k) ,
B2 ( h + b , k)
4. Lado recto :
5. Ecuación de la directriz:
6. Excentricidad :
V1
V2
F1
F2
X
Y
B1 B2
a
2b
LR
2
=
c
a
ky
2
±=
1
a
c
e <=
C
h
k
DD’
222
cab −=

67
LA ELIPSELA ELIPSE
ECUACIÓN GENERAL DE LA ELIPSE
La Ecuación General es: Donde A ≠ B y son del mismo signo.
Ax2 + By2 + Dx + Ey +F
=0
Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2
+ 25y2
- 36x + 150y + 36 = 0 , reducir
esta ecuación a la forma ordinaria y determinar las coordenadas de
centro, vértices, focos, longitudes del eje mayor y menor, lado recto y
la excentricidad
Solución:
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 1
9
3y
25
2x
2253y252x9
22536-3636yy2524xx9
-366yy254xx9
-36150y)25y(36x)(9x
036150y36x25y9x
22
22
2222
22
22
22
=
+
+
−
=++−
++=++++−
=+++−
=++−
=++−+
a2
= 25 , b2
=9 → c2
= a2
- b2
= 25 - 9 =16
a = 5 , b = 3 , c = 4

68
LA ELIPSELA ELIPSE
V2V1
F2
F1
X
Y
B2
B1
5
18
5
2x9
a
2b
LR
2
===
5
4
a
c
e ==
O C
1. Centro: C(2 , -3) , h = 2 , k= -3
2. Vértices:: V1 ( h -a,k ) ; V2 ( h + a ,k )
V1 ( 2-5 , -3 ) ; V2 ( 2+5 , -3 ) → V1 ( -3 , -3 ) ; V2 ( 7 , -3 )
2. Focos: F1( h- c,k ) ; F2 ( h + c ,k ) → F1( -2 , -3 ) ; F2 ( 6 ,-3 )
3. Extremos del eje menor: B1( h , k - b) , B2 (h ,k+ b) → B1( 2 , -6) , B2 ( 2 , 0)
4. Lado recto : 5. Excentricidad:
( ) ( ) 1
9
3y
25
2x 22
=
+
+
−
a2
= 25 , b2
=9
c2
= a2
- b2
= 25 - 9 =16
a = 5 , b = 3 , c = 4

69
LA ELIPSELA ELIPSE
Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-4 , -2) y F2( -4 , -6), y la
longitud de cada lado recto es 6 . Hallar la ecuación de la elipse y su
excentricidad.
Solución:
V1
V2
F1
F2
X
Y
B1 B2
El eje focal de la elipse es paralelo a l eje y la
ecuación es de la forma:
1
a
k)-(y
b
h)-(x
2
2
2
2
=+
3a.....(2)b6
a
2b
a
2b
LR
.....(1)4.........bacba
2c4(-2)-6-FF2cSi
2
22
22222
21
=→=→=
=−→=−
=→===
C

70
2
1
4
2
a
c
e
1
16
4)(y
12
4)(x
:ecuaciónlatieneseLuego
4)4,(
2
62
,
2
44
C
FyFdemediopuntoelescentroEl
32b4a
-1a4a01)4)(a-(a04-3a-a
22
21
2
===
=
+
+
+
−−=




 −−−−
=→=
=∨=→=+↔=
LA ELIPSELA ELIPSE
Reemplazando (2) en (1)

71
Ejemplo. Los focos de una elipse son los puntos F1 (-2 , -2) y F2( 4 , -2 ) . Hallar
la ecuación de la elipse si uno de sus vértices está sobre la recta
L : x – y – 8 = 0.
Solución:
LA ELIPSELA ELIPSE
( ) ( ) 1
b
ky
a
hx
2
2
2
2
=
−
+
−
V2
V1
F2F1
Y
O
C
Con los datos del problema , la
ecuación de la elipse es:
5a08kahLk)a,V(h
2)C(1,
2
22
,
2
42
Ck)C(h,
=→=−−+→∈+
−=




 −−+−
→
x
16925bcab
3c62c)F,d(F
2222
21
=−=→−=
=→== ( ) ( ) 1
16
2y
25
1x
:E
22
=
+
+
−
∴

72
Ejemplo. La ecuación de una elipse es 9x2
+ 4y2
– 8y –32 = 0 . Hallar la
excentricidad y lado recto.
Solución:
LA ELIPSELA ELIPSE
( ) ( )
( ) ( )
3
5
e
a
c
e
3
8
3
2(4)
a
2b
LR
5c549cbac4b,9a
1k,0h1
9
1y
4
0x
3643212yy40x9
2
222222
22
22
=→=
===
=→=−=→−=→==
==→=
−
+
−
=+=+−+−

73
Ejemplo . Con los datos de la figura . Hallar el foco, ecuación de la directriz,
longitud del lado recto.
Solución:
-4
(0,2)
V
La parábola es de la forma:
P : y2
+ Dx + Ey + F = 0
-1Dy0E-4,F-82F(3)y(2)sumando
4...(3)F2E0F2E4P(0,2)
4...(2)F2E0F2E-4P(0,-2)
...(1)0F-4DP0),(-4
===→=
−=+→=++→∈
−=+−→=+→∈
=+→∈
(0,-2)
y2
- x – 4 = 0 → y2
= ( x + 4 ) → h = -4 , k = 0 , 4p =1 → p = 1/ 4
Foco: F( h + p ,k ) → F(-4 + 1 / 4 , 0 )=F(- 15 / 4 , 0)
Directriz: x = h - p =-4 – 1/ 4 = -17 / 4 → 4x+ 17=0
LR = 1

Geometria nanlitica

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