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Cuarto medio santillana alumno
 

Cuarto medio santillana alumno

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    Cuarto medio santillana alumno Cuarto medio santillana alumno Document Transcript

    • EDUCACIÓN MEDIATEXTO PARA EL ESTUDIANTEALEJANDRO PEDREROS MATTAÁNGELA BAEZA PEÑAMARCIA VILLENA RAMÍREZPABLO JORQUERA ROZBACZYLOGABRIEL MORENO RIOSECOEDICIÓN ESPECIAL PARA ELMINISTERIO DE EDUCACIÓNPROHIBIDA SU COMERCIALIZACIÓNAÑO 2010
    • El texto Matemática, para Cuarto Añode Educación Media, es una obra colectiva, creaday diseñada por el departamento de InvestigacionesEducativas de Editorial Santillana,bajo la dirección general de: MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVACoordinación Área Científico-Matemática: GABRIEL MORENO RIOSECOEdición: ÁNGELA BAEZA PEÑA MARCIA VILLENA RAMÍREZAyudante de edición: PABLO JORQUERA ROZBACZYLOAutores: ALEJANDRO PEDREROS MATTA ÁNGELA BAEZA PEÑA MARCIA VILLENA RAMÍREZ PABLO JORQUERA ROZBACZYLO GABRIEL MORENO RIOSECO VILLENA RAMÍREZCorrección de estilo: ISABEL SPOERER VARELADocumentación: PAULINA NOVOA VENTURINO RUBÉN ÁLVAREZ ALMARZALa realización gráfica ha sido efectuadabajo la dirección de VERÓNICA ROJAS LUNAcon el siguiente equipo de especialistas:Coordinación gráfica: CARLOTA GODOY BUSTOSDiseño y diagramación: XIMENA MONCADA LOMEÑA ALFREDO GALDAMES CIDCubierta: XENIA VENEGAS ZEVALLOS Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del "Copyright", bajo las sanciones establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial de esta obra por cualquier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o préstamo público. © 2006, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones, Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile) PRINTED IN CHILE Impreso en Chile por Quebecor World S.A. www.santillana.cl ISBN: 956 - 15 - 1250 - 5 areaciencias@santillana.cl Inscripción N°159.772 www.santillana.cl
    • EDUCACIÓN MEDIATEXTO PARA EL ESTUDIANTEALEJANDRO HUMBERTO PEDREROS MATTAPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEDOCTOR EN CIENCIAS DE LA EDUCACIÓN (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEÁNGELA ROSSANA BAEZA PEÑAPROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMARCIA ROMINA VILLENA RAMÍREZPROFESORA DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN EDUCACIÓN MENCIÓN DIFICULTADES DEL APRENDIZAJE (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEPABLO ALFONSO JORQUERA ROZBACZYLOPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEMAGÍSTER EN DIDÁCTICA DE LA MATEMÁTICA (C),PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE VALPARAÍSOGABRIEL IVÁN MORENO RIOSECOPROFESOR DE EDUCACIÓN MEDIA EN MATEMÁTICA,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILEDIPLOMADO EN DISEÑO YPRODUCCIÓN DE MULTIMEDIOS INTERACTIVOS,PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATÓLICA DE CHILE
    • ORGANIZACIÓN DEL TEXTOEn este texto encontrarás 6 unidades temáticas, 2 evaluaciones semestrales y un glosario de términosmatemáticos. Cada unidad temática se estructura de manera que puedas identificar lo mejor posible loscontenidos, los ejercicios, los ejercicios resueltos, los desafíos y las evaluaciones que te proponemos. DOBLE PÁGINA INICIAL Presenta una introducción y motivación al tema de la unidad a través de elementos e imágenes de la vida diaria. Además se presentan los objetivos que se pretenden lograr. Por otra parte, como uno de nues- tros objetivos es la integración de las tecnologías de la información y comunicación (TIC) con la matemática, te proponemos que al comien- zo de cada unidad desarrolles el laboratorio que encontrarás en la página web: www.santillana.cl/emedia/mat4 .REPASOEn estas dos páginas pretendemos que revises tus aprendizajesanteriores y que te detengas en aquellos que todavía no dominas.Es un buen momento para que te autoevalúes y pidas ayuda a tuprofesor o profesora en lo que estimes que estás más débil. PÁGINAS DE CONTENIDOS Las páginas de contenidos están en un lenguaje muy sencillo y directo que se apoyan en una gran cantidad de ejercicios. Algunas secciones que encontrarás son: “Para archivar”, que generaliza o enfatiza lo importante del contenido, En equipo, Enlace, Historia, Ayuda y algunos “tips” que complementan los contenidos. Además, se indica cuándo debes realizar una actividad de laboratorio a través del sitio www.santillana.cl/emedia/mat4 .EJERCICIOS RESUELTOSEn estas dos páginas te mostramos cómo resolver cierto tipo deejercicios, con algunas estrategias muy particulares que te puedenayudar a solucionar problemas similares. Eso sí, en matemática siem-pre hay más de un camino para resolver un problema.ÍCONOS DE SEÑALIZACIÓN Para archivar Definición Ir a la Web Ayuda 4 Organización del texto
    • DESAFÍOS Y MEDIOSTomando en cuenta que una de las alternativas al egresar de laEducación Media es rendir la PSU, incluimos algunas preguntas tipo deesta prueba, y otras que hemos recopilado de evaluaciones interna-cionales para que midas tus destrezas matemáticas frente a jóvenes deotros países. En la sección Medios te presentamos la matemática enconexión con diversos ámbitos de la vida diaria: medios de comunicación,Internet, el arte, etc. SÍNTESIS Este es un espacio para que construyas tu mapa conceptual a partir de algunos conceptos clave. Además, encontrarás el resumen de los conceptos y definiciones tra- tados en la unidad.EVALUACIÓNEn estas dos páginas podrás autoevaluarte con respecto a los conte-nidos matemáticos aprendidos en la unidad. EJERCICIOS DE REFUERZO Según tu evaluación o lo que indique tu profesor o profesora, podrás reforzar aquellos contenidos que no dominas bien o que quieras prac- ticar aún más.EVALUACIÓN SEMESTRALLuego de terminar las primeras 3 unidades del texto, te proponemosuna evaluación semestral que incluya estos contenidos. Al final de las3 unidades siguientes encontrarás la segunda evaluación semestral. En equipo Tips Enlaces Historia Organización del texto 5
    • ÍNDICEUnidad Unidad 1 Estadística I 8 3 Función Potencia y Logarítmica 68Repaso 10 Repaso 70Historia de la estadística 12 Funciones 72- Conceptos básicos 13 - Función inversa 73Ordenando la información 14 - Funciones periódicas 74- Tabla de frecuencias de datos agrupados 15 Gráficos con Javamath 75- Diagrama de tallo y hoja 16 Función potencia 76Análisis de gráficos 17 - Análisis de la función potencia 77Uso del computador 21 - Traslaciones verticales y horizontales 79Ejercicios resueltos 24 Concepto de logaritmo 80Desafíos 26 - Base de un logaritmo 81Medios: Indicadores mensuales: INE 27 - Propiedades de los logaritmos 82Síntesis 28 Función logarítmica 84Evaluación 30 - Distintas gráficas de la función logarítmica 86Ejercicios de refuerzo 32 - Profundizando en los logaritmos 88 - Logaritmo natural o neperiano 89 Ecuaciones logarítmicas con una incógnita 90Unidad Aplicaciones de los logaritmos 92 2 Estadística II 34 Ejercicios resueltos 94 Desafíos 96Repaso 36 Medios: Modelación matemática 97- Media aritmética 38 Síntesis 98Medidas de tendencia central 38 Evaluación 100Medidas de dispersión 41 Ejercicios de refuerzo 102- Desviación media 42- Desviación estándar o típica 43- Desviaciones para datos agrupados 43- Correlación 45Medidas de localización: Evaluación semestral 1 104cuartiles, percentiles y deciles 46Diagrama de cajas 49Muestras al azar 50 Unidad- Muestras representativas 50- Nivel de confianza 51 4 La función exponencial 108- Margen de error 51- Tamaño de la muestra 52 Repaso 110Aplicaciones de la estadística 53 Función exponencial 112Distribución normal 56 Aproximándonos al número e 116Ejercicios resueltos 58 Función exponencial natural 117Desafíos 60 Función exponencial y función logarítmica 118Medios: ¿Cuántas personas tendrán - Caso particular 119un accidente mañana? 61 Ecuaciones exponenciales 120Síntesis 62 Crecimiento exponencial 122Evaluación 64 Decrecimiento exponencial 124Ejercicios de refuerzo 66 - Aplicaciones de la función exponencial 126 6 Índice
    • UnidadEjercicios resueltos 128 6 Geometría: áreas y volúmenes 184Desafíos 130Medios: Ley de enfriamiento de Newton 131 Repaso 186Síntesis 132 Concepto de área 188Evaluación 134 Concepto de volumen 189Ejercicios de refuerzo 136 Principio de Cavalieri 190 Teorema de Euler 191 Área y volumen de prismas 192 - Volumen de un prisma 193Unidad Área y volumen de pirámides 194 Área y volumen de cilindros 196 5 Vectores 138 Área y volumen de conos 198Repaso 140 Área y volumen de la esfera 200Rectas en el espacio 142 - Volumen de una esfera 200Planos en el espacio 144 - Área de una esfera 201- Posiciones relativas entre 2 planos 144 Secciones de una esfera 202- Planos y sistemas de ecuaciones 145 Proyecciones en el plano 204- Intersección de planos 146 Cuerpos generados mediante rotación 206Coordenadas cartesianas 148 Problemas de aplicación I 208- Vectores 150 Problemas de aplicación II 210- Módulo de un vector 150 Ejercicios resueltos 212- Operatoria con vectores 152 Desafíos 214- Regla del paralelogramo 152 Medios: Las latas de bebida 215- Producto de un número real por un vector 154 Síntesis 216- Propiedades del producto 155 Evaluación 218- Producto escalar 156 Ejercicios de refuerzo 220- Producto cruz 157Vectores en el plano cartesiano 158- Ecuación vectorial de la recta 160Ecuación vectorial de la recta en el espacio 162 Evaluación semestral 2 222Ecuación vectorial de un plano en el espacio 164Gráfico de rectas y planos 166Intersección de rectas y planos en el espacio 168Transformaciones geométricas 170- Traslación 170- Composición de traslaciones 171- Homotecia 172 Solucionario 226- Composición de homotecias 173Ejercicios resueltos 174Desafíos 176 Glosario 251Medios: Ajedrez: un juego de razonamientoy concentración 177Síntesis 178Evaluación 180 Bibliografía 255Ejercicios de refuerzo 182 Índice 7
    • UNIDAD 1 Estadística I Hoy en día no se entendería una campaña publicitaria sin los estudios previos basados en la información que aporta la estadística. En general, la mayoría de las empresas tienen su departamento de estudios estadísticos que se encarga de recopilar, organi- zar y analizar los datos refe- rentes a un determinado producto. Los avances tecnológicos de hoy, como la red de Internet, y los que vendrán, causarán efectos sobre la producción, ya que esta se orientará de acuerdo a la información que se obtenga sobre las necesidades, gustos e intereses de la población. De ahí, la importancia de conocer mecanismos para analizar la información que se tiene. 8 Estadística I
    • En esta unidad aprenderás a... Conocer algunos hitos importantes en el desa- rrollo de la estadística. Trabajar con algunos conceptos básicos de la estadística: muestra, población y tipos de variables. Ordenar y organizar la información. Analizar tablas y gráficos. Usar el computador para analizar y presentar la información. Explora Realiza el laboratorio 1correspondiente a la unidad 1 que aparece enwww.santillana.cl/emedia/mat4 Estadística I 9
    • REPASO Unidad 1 ESTADÍSTICA I¿Cuánto sabes? 1. La siguiente es una tabla que muestra el número de alumnos(as) que hay en 4º medio en un colegio, agrupados por curso y por sexo. Niñas Niños 4º A 20 25 4º B 22 23 Escribe la razón entre: a. el número de niñas y el número de niños del 4º A. b. el número de mujeres y el número de hombres. c. los estudiantes del 4º A y del 4º B. 2. Completa la tabla. Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal 75 3 75 0,75 100 4 62 100 1 50 – 0,3 90 3. Indica qué números enteros están contenidos en los siguientes intervalos. a. 2, 9 b. –3 , 3 c. 0 , 1 d. –1 , 10 4. Encuentra un intervalo de números reales que cumpla con lo pedido. 1 1 a. Un intervalo abierto que contenga a ,0y– . 2 3 b. Un intervalo que contenga todos los números mayores que 5. c. Un intervalo que no contenga a los números positivos. 7 d. Un intervalo semiabierto que no contenga ni al 8,3 ni al . 10 10 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA I5. En la siguiente tabla se muestran las edades de 6 niños pertenecientes a un taller de teatro. Nombre Edad (años) Construye un gráfico de barras que tenga Pablo 8 como variables la edad y la cantidad de personas que tienen esa edad. Daniela 6 Enrique 10 Carolina 6 Angélica 8 Jaime 66. En la siguiente tabla se muestra la población por grupos de edad del censo de 1992. Completa los recuadros de la tabla con la frecuencia acumulada. Grupos de edad Habitantes Frecuencia acumulada 0 – 14 3.929.468 15 – 24 2.425.140 25 – 39 3.286.011 40 – 49 1.415.589 50 – 64 1.415.149 65 y más 877.044 a 1 El a% de un número se puede representar con la fracción 100 . ¿Qué debes Ejemplo: 34% se representa por 34 . Su fracción irreductible es 17 y recordar? 100 50 la expresión decimal equivalente es 0,34. 2 a, b es la representación del intervalo cerrado a, b; por tanto, contiene a a y a b y a todos los números comprendidos entre ellos. 3 a, b es la representación del intervalo abierto a, b; por tanto, solo contiene a aquellos números que están comprendidos entre a y b. 4 a, b o a, b son representaciones de un intervalo semiabierto que contiene a a o b, según sea el caso, también contiene a los valores comprendidos entre a y b. 5 Frecuencia: es la cantidad de veces que ocurre un suceso. 6 Frecuencia acumulada: es la suma de las frecuencias observadas hasta un cierto punto. Estadística I 11
    • CONTENIDOS Unidad 1 ESTADÍSTICA I Historia de la estadística Los orígenes de la estadística, aunque no se sabe con exactitud cuándo se comenzó a utilizar, pueden estar ligados al antiguo Egipto como a los censos chinos que se realizaron hace unos 4.000 años, aproximadamente. Sin duda, fueron los romanos, maestros de la organización política, quienes mejor supieron ocupar la estadística. Cada cinco años realizaban un censo de la población, cuyos datos de nacimientos, defunciones y matrimonios eran esen- ciales para estudiar los avances del imperio; sin olvidar los recuentos de gana- do y las riquezas que dejaban las tierras. Desde esa época, diversos Estados realizaron estudios sobre algunas caracterís-HISTORIA ticas de sus poblaciones, sus riquezas, posesiones, etc. En 1662, John Graunt (1620 – 1674), un mercader inglés, publicó un libro sobre los nacimientos y defunciones ocurridos en Londres; el libro contenía conclu- siones acerca de ciertos aspectos relacionados con estos acontecimientos. Esta obra es considerada como el punto de partida de la estadística moderna. La palabra estadística comenzó a usarse en el siglo XVIII, en Alemania, en Karl Pearson relación a estudios donde los grandes números, que representaban datos, eran (1857 – 1936) de importancia para el Estado. Sin embargo, la estadística moderna se desarro- Matemático inglés, trabajó en la lló en el siglo XX a partir de los estudios de Karl Pearson. University College de Londres. Es considerado el padre de la Hoy, la estadística tiene importancia no solo porque presenta información, sino Estadística Moderna. que además permite inferir y predecir lo que va a ocurrir, y por lo tanto, es una herramienta fundamental a la hora de tomar decisiones de importancia.EJERCICIOS1. Averigua en qué parte del libro “Números”, del 3. En tu vida diaria, ¿cuándo usas la estadística Antiguo Testamento, se hace referencia a censos para informarte? ¿Cuándo lo haces para tomar o recuentos estadísticos. ¿Qué semejanzas hay decisiones? con los censos actuales? 4. ¿Por qué crees tú que la estadística demoró2. ¿Qué importante acontecimiento relacionado tanto tiempo en desarrollarse? con la estadística marcó el momento del nacimiento de Cristo? 5. Señala 4 áreas distintas en las cuales se utilice la estadística como herramienta de investigación. 12 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA IConceptos básicosEl Instituto Nacional de Estadísticas (INE) es el organismo encargado de reco-ger, de forma fidedigna y oportuna, información relevante para la adminis-tración del Estado y para las actividades nacionales, con el objetivo de mejorarla calidad de vida de las personas.En muchas ocasiones, para llevar a cabo una investigación se hacen encuestas,las cuales son dirigidas a una muestra representativa de la población. Paracomprender mejor este tipo de estudio es importante que conozcas los siguien-tes términos básicos: Población: es un conjunto de personas, eventos o cosas de las cuales Portada del estudio “Estadísticas se desea hacer un estudio, y tienen una característica en común. Sociales de los Pueblos Indígenas en Chile” publicado por el Instituto Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población; es impor- Nacional de Estadísticas (INE) acerca tante escoger la muestra en forma aleatoria (al azar), pues así se de la información recopilada en el logra que sea representativa y se puedan obtener conclusiones más censo del año 2002. afines acerca de las características de la población. Para estudiar alguna característica específica de la población se pueden definir los siguientes tipos de variables: Variables cualitativas: relacionadas con características no numéricas de un individuo (por ejemplo: atributos de una persona). Variables cuantitativas: relacionadas con características numéricas del ENLACES individuo. Las variables cuantitativas se dividen en discretas (aquellas que pueden tomar solo algunos valores en un intervalo y no valores En la página web www.ine.cl podrás encontrar más información intermedios) o continuas (aquellas que pueden tomar cualquier valor relacionada con estudios estadísti- en un intervalo real). cos.EJERCICIOS1. Se desea saber si los dueños de automóviles iii. Escoger al azar del registro de vehículos catalíticos están dispuestos a pagar la conversión motorizados a dueños de automóviles de sus motores a gas natural. Para ello se decide catalíticos y enviarles un encuestador. realizar una encuesta. b. Explica la razón de tu elección, señala las a. Determina cuál de las siguientes es la mejor ventajas y desventajas de cada alternativa. muestra: c. ¿Cuáles son las variables utilizadas en la i. Escoger al azar a adultos que caminan por el encuesta? ¿A qué tipo de variables correspon- centro de las principales ciudades del país. den? ¿Por qué? ii. Escoger al azar a conductores de automóviles en las intersecciones más concurridas. Estadística I 13
    • CONTENIDOS Unidad 1 ESTADÍSTICA I Ordenando la información Al ordenar datos muy numerosos, es usual agruparlos en clases o categorías. Al determinar cuántos pertenecen a cada clase, establecemos la frecuencia. Construimos así una tabla de datos llamada tabla de frecuencias. Ejemplo Los siguientes datos corresponden a las notas obtenidas por un curso de 24 alumnos en un trabajo de matemática: 3,2 4,2 5,6 6,0 2,8 3,9 4,2 4,2 5,0 5,0 3,9 3,9 3,2 3,2 4,2 5,6 6,0 6,0 3,2 6,0 4,2 5,0 5,6 5,0 Ordenemos estos datos en la siguiente tabla:TIPS Nota Frecuencia absoluta (fi) Frecuencia relativa (hi) Frecuencia relativa porcentual (%)A veces, por efecto de las aproxi- 1maciones, es posible que la suma 2,8 1 4,2 24de las frecuencias relativas porcen- 4 3,2 4 16,7tuales no sea exactamente 100%. 24 3 3,9 3 12,5 24 5 4,2 5 20,8 24 4 5,0 4 16,7 24 3 5,6 3 12,5 24 4 6,0 4 16,7 24 ¿Qué conclusiones puedes obtener de la tabla anterior? Solo un 16,7% del curso obtuvo nota seis. El 33,4% del curso obtuvo nota defi- ciente, etc. PA R A A R C H I VA RIR A LA WEB La frecuencia absoluta de una clase es el número de datos que forma dicha clase, mientras que la frecuencia relativa corresponde a la razón entre laDesarrolla el laboratorio 2. frecuencia absoluta y el total de datos, la cual se puede expresar mediantewww.santillana.cl/emedia/mat4 el uso de porcentajes.EJERCICIOS1. Los siguientes datos corresponden a los lugares Frecuencia Lugar F. Absoluta F. Relativa % favoritos de vacaciones de los empleados de una empresa. Campo Mar - Montaña - Campo - Mar - Mar - Montaña - Mar Campo - Mar - Mar - Montaña - Campo - Mar - Campo. Montaña a. Completa la siguiente tabla y luego obtén al Total menos dos conclusiones. 14 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA ITabla de frecuencias de datos agrupadosEn ocasiones, el agrupar los datos en intervalos, nos puede ayudar para realizarun mejor análisis de ellos.EjemploConsideremos los siguientes datos, expresados en metros, correspondientes a AY U D Alas estaturas de 80 estudiantes de Cuarto año de Educación Media. 1,67 1,72 1,81 1,72 1,74 1,83 1,84 1,88 1,92 1,75 El rango, está dado por la diferen- 1,84 1,86 1,73 1,84 1,87 1,83 1,81 1,77 1,73 1,75 cia entre el máximo y el mínimo 1,78 1,77 1,67 1,83 1,83 1,72 1,71 1,85 1,84 1,93 valor de una variable. 1,82 1,69 1,70 1,81 1,66 1,76 1,75 1,80 1,79 1,84 1,86 1,80 1,77 1,80 1,76 1,88 1,75 1,79 1,87 1,79 1,77 1,67 1,74 1,75 1,78 1,77 1,74 1,73 1,83 1,76 1,83 1,77 1,75 1,77 1,77 1,84 1,83 1,79 1,82 1,76 1,76 1,76 1,79 1,88 1,66 1,80 1,72 1,75 1,79 1,77Estatura mayor: 1,93 m; estatura menor: 1,66 m; rango: 0,27 m = 27 cm.Formaremos 6 intervalos. Para calcular el tamaño de cada uno dividimos27 : 6 = 4,5 5.Nos queda la siguiente tabla, Intervalo Marca de clase Frecuencia absoluta AY U D A 1,65 – 1,69 1,67 6 La marca de clase es el represen- 1,70 – 1,74 1,72 12 tante de un intervalo, y corres- 1,75 – 1,79 1,77 30 ponde al promedio entre los ex- 1,80 – 1,84 1,82 22 tremos de este. 1,85 – 1,89 1,87 8 1,90 – 1,94 1,92 2 Total: 80 PA R A A R C H I VA R Para construir una tabla de frecuencias para datos agrupados, determinamos el tamaño de cada intervalo, dividiendo el valor del rango por la cantidad de intervalos que se desea obtener. Se recomienda tomar como longitud de los intervalos un valor entero que sea mayor o igual al cociente obtenido.EJERCICIOS1. Utilizando los datos anteriores, haz una tabla de 2. Considera los siguientes datos: frecuencias para datos no agrupados. Luego 1, 2, 5, 4, 7, 8, 9, 5, 6, 4, 7, 4, 1, 8, 5, 2, 3, responde: construye una tabla de datos agrupados y a. ¿Cuántos alumnos miden entre 1,75 m y determina la marca de clase de cada intervalo. 1,89 m? b. ¿Qué ventajas y desventajas tiene la utilización de cada tipo de tabla? Estadística I 15
    • CONTENIDOS Unidad 1 ESTADÍSTICA I Diagrama de tallo y hoja Otra forma de organizar la información, es la utilización del diagrama de tallo y hoja, este nos sirve para analizar la variabilidad de los datos, o bien paraTIPS comparar dos grupos diferentes.La variabilidad de los datos se rela-ciona con cuán dispersos están Ejemplo:estos. Los siguientes datos corresponden a la esperanza de vida de hombres y mujeres correspondientes a diversos países. Hombre Mujer 68 62 62 56 75 66 66 67 42 43 47 63 46 47 50 69 68 62 80 53 71 78 73 52ENLACES 74 76 71 66 77 82 75 72Para mayor información acercade datos estadísticos de diversos Si observas los datos anteriores podrás apreciar que son similares, sin embargo,países ingresa a la página web: el siguiente diagrama de hoja nos permite apreciar algunas diferencias.www.amstat.org/publications/jse/ Esperanza de vida del hombre Esperanza de vida de la mujerAY U D A 7 3 2 4 6 7 3 6 5 0 2En este caso el tallo representa la 2 6 8 3 2 2 8 6 6 6 7 9cifra de las decenas y las hojas, las 4 6 1 7 5 1 8 3 7 5 2unidades. 0 8 2 El diagrama anterior nos permite visualizar que la esperanza de vida de la mujer es mayor que la del hombre. Además podemos obtener otras conclusiones, como por ejemplo, que el intervalo 62, 68 , presenta la mayor frecuencia respecto a la esperanza de vida del hombre.EJERCICIOS1. Los siguientes datos corresponden a la tasa bru- b. Se afirma que la tasa de mortalidad infantil ta de natalidad y mortalidad infantil de algunos correspondiente a países africanos es de países de Latinoamérica. aproximadamente 96. ¿A qué crees que se debe la diferencia entre países latinoameri- Natalidad (niños nacidos vivos en 1 año, por canos y africanos? cada 1.000 habitantes): c. ¿A qué problemas puede conllevar la dife- 21 47 29 27 23 33 rencia entre tasas de natalidad y mortalidad? 28 29 35 33 18 28 d. Averigua las tasas de natalidad y mortalidad Mortalidad (número de muertes al año por cada correspondientes a otros grupos de países, 1.000 habitantes, niños menores de 1 año): por ejemplo, países de Oriente o Asia, y 26 51 63 40 17 63 compáralos con las tasas de Latinoamérica. 56 43 42 109 22 23 Comparte tus resultados con tus compañeros. a. Construye un diagrama de tallo y hoja para los datos anteriores. 16 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA IAnálisis de gráficos ENLACESEn mayo del 2005, el Consejo Nacional para el Control de Estupefacientes,(CONACE), publicó el Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población General Para obtener más informaciónde Chile (realizado en el año 2004), relacionado con las tendencias en el uso de visita el sitio www.conace.cl.algunas drogas en el país. Recuerda que el contenido de la página puede variar.En los siguientes gráficos se muestran las tendencias, de los adolescentes (entre12 y 18 años) en el uso de ciertas drogas (lícitas e ilícitas), según el ingreso total,al mes, de la familia.Ejemplo 1: Histograma TIPS 25 El polígono de frecuencias se gra- 19,5 20 fica a partir de un histograma. Se Marihuana construye uniendo los puntos me- 15 Pasta Base dios de cada barra (marca de clase). Cocaína 10 Ejemplo: 6,7 5,4 5,5 5 Edad Marca de clase fi 0,9 1,1 1,0 1,1 0,6 0,3 0 0,0 0,0 16 – 20 18 5 Menos de $ 100.000 – $ 200.001 – $ 500.000 $ 500.001 – $ 1.000.000 $ 1.000.001 – Más de $ 200.000 $ 2.000.000 21 – 25 23 12 26 – 30 28 30 Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población General de Chile (2004), 31 – 35 33 37 www.conace.cl, julio 2005. 36 – 40 38 34La más alta frecuencia de consumo de marihuana se registra entre las personas 41 – 45 43 26cuyas familias tienen ingresos promedios mensuales sobre 1 millón de pesos, 46 – 50 48 12con una tasa cercana al 20%. Esta tasa porcentual de marihuana es tres veces fimás alta que en familias con los más bajos ingresos, con tasas de 6,7%. 40El consumo de cocaína entre adolescentes está latente, con tasas que bordeanel 1%, en familias de todos los niveles de ingresos, con la salvedad de las fami- 30lias con los más altos recursos. 20Ejemplo 2: Gráfico circular 10 0 Consumo de cigarrillos De aquellos adolescentes que consumen 18 23 28 33 38 43 48 Edad cigarrillos, el 36% provienen de familias con los más altos ingresos mensuales. Dicha tasa 20% es 16 puntos porcentuales más alta que en 36% familias con los más bajos ingresos, con tasas 20% de 20%. 24% Menos de $ 100.000 – $ 200.000 IR A LA WEB $ 200.001 – $ 500.000 $ 500.001 – $ 1.000.000 Desarrolla el laboratorio 3. $ 1.000.001 – más $ 2.000.000 Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en Población www.santillana.cl/emedia/mat4 General de Chile (2004), www.conace.cl, julio 2005. Estadística I 17
    • CONTENIDOS Unidad 1 ESTADÍSTICA I Ejemplo 3: Pictograma Consumo de alcohol y cigarrillos El consumo de cigarrillos en adolescen- 44,1 50 tes de familias con el ingreso más alto, 41,2 38,7 45 tiene una tasa que supera casi por 21 40 32,4 puntos porcentuales al consumo en 30,0 29,2 35 25,1 25,4 30 familias con el ingreso más bajo. 25 20 15 10 5 0 Menos de $ 100.000 $ 200.001 – $ 500.000 $ 500.001 – $ 1.000.000 $ 1.000.001 – Más de –$ 200.000 $ 2.000.000 Fuente: Sexto Estudio Nacional de Drogas en alcohol cigarrillos Población General de Chile (2004), www.conace.cl, julio 2005. Ejemplo 4: Gráfico de barras La encuesta Consumo de Cultura, realizada por el Instituto Nacional de Estadís- ticas (INE) entre varias temáticas, arrojó la siguiente información relacionada con el tipo de música que escuchan hombres y mujeres. Tipo de música fii f 180.000 160.000 Rock latino 138.478 138.478 140.000 Hip-hop 156.305 156.305 120.000 100.000 Electrónica (tecno) 37.436 37.436 80.000 Funk 13.529 13.529 60.000 40.000 Punk 5.205 5.205 20.000 Cumbia 120.129 120.129 0 o) tin o ho p nk nk bi a un d va la p- cn Fu Pu m No Hi (te Cu So a Sound 12.308 12.308 Ro ck ni ca Bo ss tró ec Bossa Nova 26.074 26.074 El Fuente: Encuesta Consumo de Cultura, www.ine.cl , julio 2005.TIPS Ejemplo 5: Gráfico de dispersiónObserva otro tipo de gráfico que En la gráfica se observan datos obteni-te permite un buen análisis de Cantidad de población por región dos del Censo del año 2002, relacionadoinformación. (Chile. Censo 2002) con la cantidad de población que hay en 7.000 cada región del país. 7 6.000 Por millones de habitantes, una de las 6 5.000 regiones está por sobre las demás, con miles de personas 5 Años de estudio 4 4.000 aproximadamente seis millones de 3 3.000 personas. Le siguen en tamaño, con más 2 Mujer Hombre 2.000 de un millón de habitantes, dos 1 0 1.000 regiones más. En las restantes regiones, 15 – 19 20 – 34 35 – 49 50 y más Grupos de edad la cantidad de población es bastante 0 Fuente: Estudio de la Mujer (2004), I II III IV V VI VII VIII IX X XI XII RM regiones homogénea. www.sernam.cl, julio 2005. cantidad de población Fuente: Censo 2002, www.ine.cl , julio 2005. 18 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA I PA R A A R C H I VA R Utilidad de diversos tipos de gráficos: Gráfico de barras: facilita la comparación entre las frecuencias de las variables. Pictograma: mediante figuras o diagramas representa los valores de una variable estadística. Gráfico circular: es útil cuando se necesita representar porcentajes. Histograma: sirve para expresar información sobre datos que están agrupados. Gráfico de dispersión: sirve para estudiar la homogeneidad o heterogeneidad de los datos.EJERCICIOS1. El gráfico muestra la cantidad de pacientes 2. El siguiente gráfico nos presenta la información semanales que asistieron al hospital Sótero del obtenida de 300 encuestados por la Fundación Río, por motivos de enfermedades respiratorias. Futuro (2004), acerca de la pregunta: ¿Qué nota colocas a lo bueno y malo en el deporte chileno? ATENCIONES SEMANALES A ADULTOS POR CAUSAS RESPIRATORIAS EN SERVICIO DE URGENCIA HOSPITAL SÓTERO DEL RÍO, ABRIL A AGOSTO 2003–2005. LO BUENO Número de atenciones Massú y González 500 campeones olímpicos 6,9 Carlo de Gavardo campeón de Rally 6,7 400 mundial Chile a la serie mundial de 6,5 300 Copa Davis Salida de Orozco 5,4 de U. de Chile 200 Cobreloa campeón del torneo de 5,4 clausura 100 U. de Chile 2005 4,6 2003 campeón del torneo 2004 de apertura 0 Quiebra de LO MALO 14 16 18 20 22 24 26 28 30 32 34 2,5 Colo-Colo Semanas Estadísticas Fuente: DEIS. Departamento de Estadísticas e Retiro del Chino Ríos 3,9 Información de Salud, Ministerio de Salud. del tenis 1 2 3 4 5 6 7 Nota promedio a. ¿Qué conclusiones puedes obtener a partir del gráfico? Fuente: Encuesta Lo bueno, lo malo y lo feo, www.fundacionfuturo.cl, julio 2005. b. ¿En qué período las atenciones médicas fueron similares, en cantidad de pacientes? a. ¿Cuál fue la categoría mejor evaluada? ¿Tú c. ¿En qué período se produjo mayor demanda también la hubieras evaluado con esa nota? en el hospital? ¿Por qué? Estadística I 19
    • CONTENIDOS Unidad 1 ESTADÍSTICA IEJERCICIOS b. De lo bueno, ¿qué área del deporte tiene el 4. Uno de los problemas más complejos que debe mejor promedio, el tenis o el fútbol? abordar nuestra sociedad es la pobreza; un país c. Con la información obtenida en b, construye que quiere surgir debe eliminar este problema. un gráfico circular que muestre la diferencia En la tabla se ven las comunas más pobres del obtenida? ¿A qué atribuyes esta diferencia? país; en la mayoría de ellas vive población mayoritariamente mapuche que no ha podido3. Dada la siguiente tabla, que muestra los resulta- salir del círculo de la pobreza. dos de la prueba SIMCE (Sistema de Medición de Comunas Más pobres % la Calidad de la Educación) año 2002 de 4º año Mulchén 59,5 1 Básico, responde: 2 Angol 53,3 3 Carahue 50,8 Región Matemática Lenguaje 4 Gorbea 50,6 I Tarapacá 240 245 5 Constitución 49,9 II Antofagasta 247 250 6 Coihueco 48,5 III Atacama 244 248 7 Curanilahue 47,8 IV Coquimbo 242 249 8 Padre Las Casas 46,9 V Valparaíso 249 254 Nueva Imperial 46,4 9 VI L. Bdo. O´Higgins 246 252 Traiguén 45,4 10 VII Maule 243 248 11 Coronel 44,5 VIII Bío- Bío 243 247 12 Lebu 44,4 IX Araucanía 235 243 13 Collipulli 44,1 X Los Lagos 242 249 14 Nacimiento 44,0 XI Aisén 254 261 15 Cañete 43,8 XII Magallanes 254 260 Fuente: CASEN 1998, MIDEPLAN RM Región Metropolitana 254 257 Total 248 252 a. ¿Qué gráfico representaría mejor la informa- Fuente: Prueba SIMCE, 4º Año Educación Básica (2002), ción dada en la tabla? ¿Por qué? www.mineduc.cl, julio 2005. b. ¿Qué tipo de variable utilizaste para el gráfi- co anterior? a. ¿Cuáles son las regiones que tienen menos de c. De la tabla, determina los dos pueblos que 246 puntos en Matemática? presenten mayor porcentaje de pobreza y dos b. ¿Qué región obtuvo el puntaje más bajo en que tengan el menor porcentaje. Elige algún cada área? ¿Coinciden estos puntajes con la tipo de gráfico que te permita estudiar la misma región? comparación, ¿qué puedes concluir? c. ¿Qué región obtuvo el mejor promedio en d. ¿Qué factores culturales crees tú que afectan Lenguaje? Esta región, ¿también obtuvo el al pueblo mapuche y le impiden salir de la puntaje más alto en Matemática? pobreza? d. ¿Qué tipo de variables son las consideradas e. ¿Qué factores de nuestra sociedad impiden a en esta tabla? los mapuches vivir como ellos desean? e. ¿Qué tipo de gráfico representa mejor la f. ¿Qué soluciones ves tú al problema? diferencia de puntajes totales en cada área? g. Averigua en cuáles de las comunas del cuadro f. ¿Qué tipo de gráfico construirías para repre- vive mayoritariamente gente mapuche. sentar los puntajes de las mejores 5 regiones? 20 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA IUso del computadorLas planillas de cálculo permiten ahorrar gran cantidad de tiempo al hacer tra-bajos estadísticos. A continuación se presenta un ejemplo de cómo utilizar elprograma Excel para graficar un conjunto de datos.Lo primero que se debe hacer es construir una tabla de valores, luego selec-cionarla y por último pulsar “Asistente de gráficos”.EjemploLa siguiente tabla muestra las hectáreas afectadas en 1999 por incendios fores-tales, para graficarla realizamos lo siguiente:1. Seleccionamos presionando con el mouse, desde la columna B2 hasta la columna D14.2. En la barra de menú, selecciona “Insertar”, luego selecciona “Gráfico” en el submenú.3. Elegimos “Tipo de gráfico”, en este caso seleccionamos un gráfico de barras.4. Finalizamos nuestro gráfico en “Terminar”. TIPS Puedes personalizar tu gráfico, haciendo clic sobre él, de esta ma- nera puedes cambiar los colores. Además en “Título”, puedes poner nombre a los ejes y al gráfico. IR A LA WEB Desarrolla el laboratorio 4. www.santillana.cl/emedia/mat4EJERCICIOS1. Utilizando los datos anteriores realiza lo c. ¿En qué regiones se observa mayor cantidad siguiente: de hectáreas afectadas por incendios fores- tales? ¿A qué crees que se debe? a. Ingresa la tabla anterior en una planilla Excel. d. Está comprobado que la mayor cantidad de b. Realiza un gráfico de dispersión y otro circu- incendios forestales es causada directa o indi- lar. ¿Qué ventaja tiene la utilización de cada rectamente por el ser humano. ¿Qué medidas tipo de gráfico? tomarías tú para proteger nuestros bosques? Estadística I 21
    • CONTENIDOS Unidad 1 ESTADÍSTICA IEJERCICIOS2. Las siguientes son las respuestas de un grupo de f. Discute con tus compañeros acerca de la jóvenes a la pregunta: ¿Cuál es tu deporte escasez del agua y su mal uso. favorito? Fútbol - Tenis - Fútbol - Basquetbol - Fútbol - 4. La siguiente tabla de frecuencias muestra la Automovilismo -Tenis - Fútbol - Natación - cantidad de colesterol total de un grupo de Fútbol - Tenis - Automovilismo - Gimnasia - pacientes cuya edad es de 50 a 60 años. Fútbol - Hockey - Fútbol - Tenis - Atletismo - Colesterol total (mg/dl) Frecuencia Fútbol -Gimnasia - Tenis - Atletismo - Gimnasia 170 – 179 4 a. Construye en Excel un gráfico circular e inter- 180 – 189 7 preta los resultados. 190 – 199 12 b. ¿Qué deporte presenta mayor frecuencia? 200 – 209 16 210 – 219 35 220 – 229 373. Según la Empresa Metropolitana de Obras 230 – 239 11 Sanitarias (EMOS), el consumo promedio de 240 – 249 8 agua, en metros cúbicos, en una familia de 5 integrantes es: a. Calcula las frecuencias relativas para cada Uso Invierno Verano intervalo. Duchas 250 350 b. Se considera un nivel normal de colesterol Aseo en lavatorios 50 60 entre 200 y 239 (mg/dl). ¿Cuántos de los Descarga WC 300 300 pacientes se encuentran dentro de los niveles Comida y lavado de vajilla 80 90 normales? Lavado general 150 185 c. Construye en Excel un histograma para Riego 5 165 comparar la frecuencia de cada intervalo. Total diario 835 1.150 ¿Qué puedes concluir? Total mensual 25.050 34.500 Fuente: EMOS. a. Construye en Excel, un gráfico que permita comparar el consumo de una familia de 5 integrantes en invierno y verano. b. Construye un gráfico circular, para el consumo de invierno que muestre los porcentajes de agua destinados a cada fin. c. Repite el ejercicio anterior para mostrar el consumo de agua en verano. d. ¿A qué crees que se deba el incremento del consumo de agua en verano? e. Divide cada uno de los valores dados en la tabla por 5, luego construye un gráfico que muestre estos valores. ¿Qué resultados nos entrega este gráfico? 22 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA IEJERCICIOS5. En septiembre del año 2003, la Fundación Futuro 6. La siguiente tabla muestra la disponibilidad de realizó un estudio en 34 comunas de Santiago, agua (en miles de metros cúbicos) por persona que arrojó los siguientes resultados, respecto a la en el año 1950 y en el año 2000. siguiente pregunta: 1950 2000 ¿En qué lugar se siente más seguro? África 17,8 4,8 Casa Lugar Lugares Calle Asia 7,6 2,9 de trabajo públicos % % % % Europa 5,9 4,5 Muy seguro 53 41 41 13 América del Norte 32,4 17,6 Muy inseguro 47 30 55 86 América Latina 72,1 22,8 No responde 1 29 5 1 Ex URSS 24,1 14,8 Fuente: Estudio Fundación Futuro, julio 2005. Oceanía 159,5 65,6 Fuente: FAO (Food and Agriculture, Organization a. Construye un gráfico circular para cada uno of the United Nations) de los lugares. ¿Qué puedes concluir? b. Construye un histograma que muestre las a. Construye un gráfico de barras que permita diferencias entre los cuatro lugares. ¿A qué comparar la disponibilidad de agua durante crees que se deba esta diferencia? ambos períodos. c. Si la muestra de la encuesta anterior fue de b. Calcula el porcentaje de descenso para cada 402 personas, ¿cuántas personas correspon- lugar. den a cada categoría? c. ¿Por qué crees que en algunos lugares el d. La encuesta fue realizada telefónicamente. descenso de la cantidad de agua es mayor ¿Cómo influye este hecho en los resultados que en otras? de la encuesta? Discútelo con tus d. ¿Qué crees que sucederá con la disponibilidad compañeros(as). de agua en 50 años más? e. ¿Qué medidas implementarías para mejorar e. Construye un gráfico circular que muestre la los problemas relacionados con la seguridad? diferencia de disponibilidad de agua en el año 2000. ¿Qué puedes concluir? ¿A qué se debe la diferencia? Estadística I 23
    • EJERCICIOS RESUELTOS Unidad 1 ESTADÍSTICA I Ejercicio 1 Los siguientes gráficos piramidales, muestran la distribución poblacional de Chile en tres años diferentes. Observa y luego responde las siguientes preguntas. a. ¿Cuántos hombres aproximadamente comprende el intervalo 10, 24 en cada uno de los años mostrados en los gráficos? b. ¿En qué año la población masculina comprendida en el intervalo 10, 24 presentó una mayor diferencia por tramos de edad? c. ¿Qué consecuencias geográficas podrían derivarse de la pirámide poblacional proyectada para el año 2025? d. ¿En qué tipo de análisis es recomendable la utilización de gráficos piramidales? Chile: Población estimada al 30 de junio Edad (años) 1950 Edad (años) 2000 Edad (años) 2025 80 y más 80 y más 80 y más 75 – 79 75 – 79 75 – 79 70 – 74 70 – 74 70 – 74 65 – 69 65 – 69 65 – 69 60 – 64 60 – 64 60 – 64 55 – 59 55 – 59 55 – 59 50 – 54 50 – 54 50 – 54 45 – 49 45 – 49 45 – 49 40 – 44 40 – 44 40 – 44 35 – 39 35 – 39 35 – 39 30 – 34 30 – 34 30 – 34 25 – 29 25 – 29 25 – 29 20 – 24 20 – 24 20 – 24 15 – 19 15 – 19 15 – 19 10 – 14 10 – 14 10 – 14 5–9 5–9 5–9 0–4 0–4 0–4 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 800 700 600 500 400 300 200 100 0 100 200 300 400 500 600 700 800 Miles de personas Miles de personas Miles de personas Hombres Mujeres Fuente: Proyecciones de población INE-CELADE. Solución a. Para responder, debemos determinar la frecuencia de cada uno de los tramos comprendidos en el intervalo 10, 24 , es decir, en los tramos 10, 14 , 15, 19 , 20, 24 para cada año. 1950 2000 2025 Intervalo Frecuencia Frecuencia Intervalo Frecuencia Frecuencia Intervalo Frecuencia Frecuencia absoluta acumulada absoluta acumulada absoluta acumulada [10, 14] 300.000 300.000 [10, 14] 700.000 700.000 [10, 14] 700.000 700.000 [15, 19] 280.000 580.000 [15, 19] 650.000 1.350.000 [15, 19] 700.000 1.400.000 [20, 24] 300.000 880.000 [20, 24] 600.000 1.950.000 [20, 24] 700.000 2.100.000 b. Si observamos la frecuencia acumulada para cada año, podemos concluir que en el año 2025 la población masculina comprendida en el intervalo Cantidad de habitantes por kilómetro cuadrado. 10, 24 presentará una mayor diferencia por tramos de edad. c. Dado que en el año 2025 se observa un importante incremento de la pobla- Cantidad de hombres ción, uno de los principales problemas podrá estar dado por la densidad, y comprendidos en el como consecuencia, el espacio disponible por individuo se verá disminuido. intervalo 10, 24 , por d. Se recomienda el uso de gráficos piramidales para realizar comparación de cada año. variables que presentan más de una categoría, por ejemplo, sexo. 24 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA IEjercicio 2El siguiente gráfico circular muestra la distribución 65.142de personas de 60 años o mayores, según estado 364.120civil en Chile. Casado Convivientea. Determina el porcentaje correspondiente a cada Soltero categoría. Viudo 150.833 Anulado o separadob. Determina el ángulo central aproximado corres- 684.590 pondiente a cada uno de los grupos indicados 40.872 en el gráfico. Fuente: Instituto Nacional de Estadísticas, www.ine.cl, Julio 2005.Solucióna. Para calcular el porcentaje correspondiente a cada categoría, completare- mos la siguiente tabla de frecuencias. Categoría Frecuencia Frecuencia Frecuencia relativa absoluta relativa porcentual (%) Porcentaje correspondiente a cada Casado 684.590 0,524 52,43 categoría. Conviviente 40.872 0,031 3,13 Soltero 150.833 0,115 11,55 Viudo 364.120 0,27 27,9 Anulado o separado 65.142 0,05 4,98 Total 1.305.557 0,99 99,99b. Ahora que hemos calculado los porcentajes correspondientes, determina- remos el ángulo central correspondiente a cada grupo. Resolviendo la proporción Sabemos que los 360º del círculo representan la frecuencia relativa porcen- 360º 100% = tual acumulada, es decir 100%, por lo tanto cada 1% corresponderá a 3,6º. xº 1% Luego para obtener el ángulo correspondiente, basta con multiplicar cada x = 3,6º porcentaje por 3,6. Nos queda: Categoría % Ángulo (grados) Ángulo correspondiente a cada categoría. Casado 52,43 188,75 Conviviente 3,13 11,27 Soltero 11,55 41,58 Viudo 27,9 100,44 Anulado o separado 4,98 17,93 Total 99,99 359,9 Estadística I 25
    • DESAFÍOS Unidad 1 ESTADÍSTICA I1. (Ensayo PSU, 2004) En un curso cada estudiante A. Solo I D. I y II puede optar solamente por una actividad B. Solo II E. I y III extraprogramática: las tres cuartas partes de los C. Solo III estudiantes elige deportes y una sexta parte del curso elige teatro. ¿Cuál de las siguientes es la 4. (Pisa, 2003) Un presentador de TV mostró este mejor estimación del porcentaje de estudiantes gráfico y dijo: que participa en alguna de estas dos actividades? “El gráfico muestra que hay un enorme aumento del A. Menos del 91% número de robos comparando 1998 con 1999”. B. Entre el 91% y el 93% C. Entre el 93% y el 95% D. Entre el 95% y el 97% E. Más del 97%2. (Ensayo PSU, 2004) La distribución del número de horas que duraron encendidas 200 ampo- lletas está dada en el gráfico siguiente. La duración promedio de una ampolleta en horas, ¿Consideras que la afirmación del presentador es aproximadamente, es: una interpretación razonable del gráfico? Da No de ampolletas una explicación que fundamente tu respuesta. A. 1 100 B. 380 5. (Pisa, 2003) Los siguientes gráficos muestran C. 400 50 información sobre las exportaciones de D. 480 Zedlandia, un país cuya moneda es el zed. E. 580 10 Total de las exportaciones anuales de Distribución de las exportaciones de 0 Zedlandia en millones de zeds, 1996–2000 Zedlandia en el año 2000 200 400 600 800 horas 50 45 42,6 Tejido de3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) El estadio A de una 40 37,9 algodón Otros 21% 35 26% ciudad tiene capacidad para 40.000 personas 30 27,1 25,4 25 sentadas y otro estadio B para 18.000. Se hacen 20 20,4 Lana 5% Carne 14% eventos simultáneos; el A se ocupa hasta el 25% 15 Tabaco 7% Té 10 Zumo 5% de su capacidad y el B llena solo el 50%. 5 de fruta 9% Arroz 13% ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) 0 1996 1997 1998 1999 2000 Año verdadera(s)? I) El estadio A registró mayor asistencia de ¿Cuál fue el valor de las exportaciones de zumo público que el B. de fruta en el año 2000? II) Si se hubiese llevado a los asistentes de A. 1,8 millones de zeds. ambos estadios al A, habría quedado en este, menos del 50% de sus asientos vacíos. B. 2,3 millones de zeds. III) Los espectadores que asistieron en conjunto C. 2,4 millones de zeds. a los dos estadios superan en 1.000 a la D. 3,4 millones de zeds. capacidad de B. E. 3,8 millones de zeds. 26 Estadística I
    • MEDIOS Unidad 1 ESTADÍSTICA I Indicadores mensuales: INE En la página web del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) se publican mensualmente las variaciones que experimentan los precios de los productos con lo cual se obtiene el IPC del mes. El siguiente texto corresponde a las variaciones de julio del 2005. Una variación mensual de 0,6% experimentó el IPC en julio, con lo cual la inflación acumulada en el año es de 2,4%. En doce meses se registra un alza de 3,1%. El grupo Transporte, con un aumento promedio de 1,5%, muestra la más importante alza de precios. También se observaron aumentos en los grupos Vivienda (0,8%), Salud (0,7%), Alimentación (0,6%) y Equipamiento de la Vivienda (0,1%). En tanto, los precios del grupo Vestuario cayeron en 0,8%, fundamentalmente por las liquidaciones de temporada. Por otra parte, este grupo muestra una tendencia a la baja que se refleja en una caída de 16,4% en los últimos cinco años. Los grupos Educación y Recreación y Otros se mantuvieron sin variación respecto de junio. Especial incidencia en el alza del grupo Vivienda tuvo el aumento del precio de la electricidad que alcanzó al 4,4%. Éste obedeció al efecto rezagado del aumento de tarifas de mediados de junio. Entre los veinte productos con mayor ponderación en el cálculo del IPC resaltan las alzas de la bencina y el gas licuado, frente a caídas en los precios medios del pasaje de micro, el agua potable y el dividendo hipotecario. 1. Actualiza esta información según la fecha en que te encuentres ingresando a la página web del INE. 2. ¿Cuál es la variación histórica del IPC del mes buscado? 3. ¿Cuáles son los productos con mayor variación? ¿Y cuáles son los que no tuvieron variación? 4. ¿Qué elementos importantes hacen que se produzcan variaciones importantes del IPC? Estadística I 27
    • SÍNTESIS Unidad 1 ESTADÍSTICA I Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos claveMapa dados.conceptualConceptos clave:PoblaciónMuestraVariablesClaseFrecuencia absolutaFrecuencia relativaIntervalosDiagrama de tallo y hojaGráficosResumen 1 Población: conjunto completo de individuos u objetos a observar, que tienen una característica que se desea medir. 2 Muestra: parte representativa de la población sobre la que se efectúa la medición. 3 Variable estadística: característica o atributo que se observa en cada uno de los elementos de la población y que se mide en la muestra. 4 Variable cualitativa: son aquellas que no se pueden expresar con nú- meros, pues representan una cualidad (color de pelo, comuna, deporte preferido, etc.). 28 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA I5 Variable cuantitativa: son aquellas que se pueden expresar numérica- mente, pues representan una cantidad (edad, peso, cantidad de habitan- tes, etc.).6 Frecuencia absoluta: número de veces que se repite un valor de la variable en la muestra.7 Frecuencia relativa: razón entre la frecuencia absoluta y el número total de elementos de la muestra.8 Frecuencia relativa porcentual: corresponde a la frecuencia relativa expre- sada en porcentaje.9 Diagrama de tallo y hoja: sirve para comparar la distribución de frecuen- cias, se puede realizar considerando una o dos variables.10 Tipos de gráficos: los gráficos nos permiten representar la información de manera visual, algunos de ellos son: Gráfico de barras Gráfico circular 4% 9% 20% 8% 12% 18% 4% 25% Gráfico de dispersión Histograma 90 6 80 70 5 60 4 50 40 3 30 2 20 1 10 0 0 10 20 30 40 50 60 70 1 2 3 4 5 6 7 Estadística I 29
    • EVALUACIÓN Unidad 1 ESTADÍSTICA I 1. De las siguientes afirmaciones, son correctas: 5. El gráfico que mejor representa la tabla es: I) Los chinos hacían censos desde hace miles Nº de semanas fi de años atrás. 0 2 II) La palabra estadística comenzó a usarse en 1 4 Alemania. 2 15 III) Pearson es considerado el padre de la 3 2 Estadística Moderna. A. D. A. Solo I D. I y III B. I y II E. Todas. C. II y III B. E. 2. En un análisis estadístico, el conjunto de todos los elementos que conforman el objeto de estudio se llama: A. rango. C. B. marca de clase. C. muestra. D. población. E. datos. 6. Catalina quiere estudiar psicología. La tabla 3. La estatura de un grupo de personas, muestra sus resultados y las ponderaciones empleada para un estudio estadístico, es una pedidas. variable: N.E.M. PSU Leng. PSU Matem. PSU Hist. y Geog. PSU Ciencia I) cuantitativa. 740 712 770 605 610 II) continua. 20% 20% 30% 10% 20% III) discreta. Con respecto a la tabla es verdadero que: A. Solo I B. Solo II I) El puntaje de postulación es levemente C. Solo III superior a 700. D. Solo I y II II) La prueba de más valor es la de E. Solo I y III matemática. III) Si el 10% del valor de la prueba de historia se va a la prueba de lenguaje, el puntaje 4. El tipo de muestra que es adecuado escoger de lenguaje aumenta unos 10 puntos. para un estudio estadístico, es: A. Solo I A. una muy grande. B. Solo II B. una muy pequeña. C. Solo III C. una proporcional a la población. D. I y II D. una representativa de la población. E. Todas. E. según sea el caso. 30 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA I7. El gráfico muestra las temperaturas máximas 9. El ser humano debe consumir mayormente: del mes de enero en el Valle Central. I) grasas. días II) proteínas. 6 III) carbohidratos. 5 IV) fibra. 4 A. Solo I D. Solo II y III 3 2 B. Solo III E. Todas las anteriores. 1 C. Solo I y II 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 ºC 10. De los siguientes gráficos el único que Con respecto a la información del gráfico es presenta una variabilidad homogénea es: falso que: A. C. E. A. Más de la mitad del mes hubo entre 29º a 31º. B. Los días más calurosos tuvieron temperaturas de 30º y 31º. B. D. C. La menor frecuencia fue 34º. D. Ningún día la máxima fue 34º. E. 11 días hubo menos de 30º.El gráfico circular nos muestra los porcentajes de 11. La siguiente tabla de frecuencias muestra laslos componentes alimenticios que el ser humano calificaciones de un examen de matemática.debiera consumir. ¿Cuál es la proposición falsa? 25% Carbohidratos Calificaciones Cantidad de alumnos Fibra Proteínas 7.0 3 Grasas 6.9 – 6.0 6 15% 57% 5.9 – 5.0 5 3% 4.9 – 4.0 13 Fuente: RDA (Recommended Dietary Allowences) 3.9 – 3.0 10 2.9 – 2.0 3Según el gráfico anterior contesta las siguientespreguntas: A. Hay 6 alumnos que tienen una calificación entre 6.0 y 6.9.8. ¿Qué porcentaje corresponde a aquellos B. Hay 14 alumnos que tienen una componentes alimenticios que no sean calificación mayor a 4.9. carbohidratos? C. El total de la muestra es de 40 alumnos. 43 1 57 D. Hay 13 alumnos que obtuvieron nota A. C. E. 100 4 100 insuficiente. E. Hay 11 alumnos que calificaron con nota 3 3 B. D. inferior a 7.0 y superior a 6.0. 100 20 Estadística I 31
    • EJERCICIOS DE REFUERZO Unidad 1 ESTADÍSTICA I 1. Determina cuál de las siguientes muestras son a. Construir una tabla de frecuencias para cada representativas. En el caso de que no lo sean, categoría. explica por qué. b. Construir un gráfico de dispersión para cada categoría. a. Se aplicó una encuesta durante la campaña c. Compara ambas distribuciones ¿qué conclu- para la elección de senadores de una región. siones puedes obtener? El muestreo se realizó seleccionando 2.000 personas al azar, a las cuales se las 4. La siguiente tabla de distribución de frecuencias llamó por teléfono. Para la selección se usó agrupa las marcas, expresadas en metros, obte- la guía de la región. nidas por un grupo de estudiantes en el lanza- b. En un hospital se hace una encuesta acerca miento del disco. de los hábitos alimenticios de los pacientes, para ello cada médico debe encuestar a tres Intervalo (m) fi pacientes en una semana; la selección debe 34,1 – 34,9 12 ser al azar. 35,1 – 35,9 15 c. En un club social y deportivo quieren saber 36,1 – 36,9 18 qué deportes nuevos le interesan a sus aso- 37,1 – 37,9 30 ciados, para ello encuestaron a los asistentes 38,1 – 38,9 28 a un bingo un día sábado. 39,1 – 39,9 20 40,1 – 40,9 17 41,1 – 41,9 6 2. La siguiente tabla presenta los gustos musicales 42,1 – 42,9 4 de los alumnos(as) de dos cuartos medios. a. ¿Qué porcentaje de estudiantes obtuvo mar- Música fi cas en el intervalo 39,1 – 39,9? Sound 5 b. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo una Hip-hop 7 marca igual o superior a los 40 m? Romántica 12 a. Calcula la frecuencia Rock 16 relativa de cada tipo 5. Completa la siguiente tabla de distribución de Reagee 10 de música. frecuencias correspondientes a las medidas de una pieza de motor, después de un año de uso. b. Construye un gráfico circular. Expresa las frecuencias relativas aproximadas a las milésimas (tres decimales). 3. El siguiente diagrama de tallo y hoja, nos per- Frecuencia mite visualizar el porcentaje de atenciones Intervalo (mm) fi fr relativa porcentual respiratorias en niños, de abril a julio del 2005 (datos aproximados) www.minsal.cl . 100 – 109 4 110 – 119 17 Niños menores 1 año Niños entre 1 y 14 años 120 – 129 29 9 5 4 6 9 130 – 139 18 6 4 2 0 6 1 2 3 4 9 9 8 3 3 2 7 2 2 5 7 7 7 8 140 – 149 10 7 5 3 2 1 0 8 1 1 150 – 159 5 1 9 160 – 169 2 32 Estadística I
    • Unidad 1 ESTADÍSTICA I6. Dibuja, en un solo gráfico, el histograma y el 9. Construye un diagrama de tallo y hoja con los polígono de frecuencias correspondiente a la datos del ejercicio 7. tabla del ejercicio anterior. 10. El siguiente gráfico muestra la principal razón7. Los siguientes datos corresponden a la dura- para no estar estudiando, según nivel socio- ción en horas, de uso continuo de 50 dispo- económico (NSE). sitivos electrónicos iguales, sometidos a un Principal razón para no estar estudiando por NSE control de calidad. 54,3 50,4 47 480 496 724 780 801 Problemas económicos/ 570 802 795 886 714 31,2 trabajo Porque tengo que cuidar 775 712 683 830 560 a mi hijo 19,2 826 560 794 676 760 Terminé mi educación 14,1 14 890 590 750 489 725 9 8,8 666 746 668 880 570 830 452 810 720 680 Alto Medio Bajo Nivel socioeconómico 680 660 490 895 660 a. ¿Qué NSE presenta, en mayor medida, mo- Construye una tabla de distribución de frecuen- tivos para no poder terminar los estudios? cias agrupadas que considere las columnas: b. ¿Cuál es el que tiene más personas con sus intervalo, frecuencia absoluta, frecuencia rela- estudios terminados? tiva. 11. Los datos que se indican a continuación corres-8. A un curso de 40 estudiantes de cuarto medio ponden a g/dl de hemoglobina en la sangre de se les preguntó su grupo sanguíneo. pacientes hombres entre 25 y 35 años de edad. grupo O grupo A 14,3 15,1 15,3 15,5 13,0 42% 32% 15,0 14,5 15,2 14,2 15,9 15,2 15,7 15,4 15,8 17,5 13,2 15,4 16,1 17,1 15,2 15,4 16,2 14,2 15,4 13,3 15,2 15,3 16,7 15,5 16,9 15,1 15,2 14,2 13,2 15,3 14,3 14,6 13,3 15,2 14,3 grupo AB 15,5 14,1 15,5 14,8 13,6 8% grupo B 13,9 15,0 16,2 15,2 14,9 18% 14,7 14,7 15,0 14,9 15,9 15,8 16,4 17,3 14,7 16,3 a. ¿A qué tipo de gráfico corresponde el repre- 14,8 14,8 16,4 16,8 15,0 sentado? 15,7 16,5 14,8 15,6 14,8 14,6 14,9 15,6 16,0 14,7 b. ¿Qué procedimiento utilizarías para encon- 16,3 16,5 16,9 17,3 15,8 trar la cantidad de personas por grupo san- 17,2 15,8 16,3 15,9 16,9 guíneo? 16,0 17,1 16,8 16,7 17,3 17,5 16,8 16,4 17,4 16,0 c. Realiza un gráfico de barras cuyas variables 15,7 15,9 16,1 15,8 16,4 sean el grupo sanguíneo y su frecuencia absoluta. Con ayuda de una planilla Excel, construye una tabla de frecuencias que agrupe estos datos. Estadística I 33
    • UNIDAD 2 Estadística II A veces, cuando las poblaciones son muy grandes, es muy difícil, por problemas de tiempo y dinero, hacer un análisis que incluya a toda la población. Por este motivo, lo que se hace es estudiar una parte de ella, llamada muestra; cuando los indi- viduos de la muestra han sido seleccionados de acuerdo a procedimientos estadísticos, se pueden sacar conclusiones que caracteri- zan a toda la población. A estos resultados los llamaremos inferencias. Es común, hoy en día, recibir invitaciones a participar de encuestas en la mayoría de los sitios de Internet relacionados con las comunicaciones o empresas que necesitan saber lo que quieren sus clientes. Por ejemplo, en un diario electrónico se publicó una encuesta sobre la creencia en extraterrestres. En relación con ella, ¿se puede decir que el 67% de las personas cree en extraterrestres? ¿Bastará con encuestar a 316 personas para obtener conclusiones relevantes? 34 Estadística II
    • En esta unidad aprenderás a... Conocer las medidas de tendencia central: pro- medio, mediana y moda. Conocer las medidas de dispersión: rango, des- viación media, desviación estándar. Trabajar con las medidas de localización: cuarti- les, deciles, percentiles. Conocer y trabajar con muestras, identificando niveles de confianza y margen de errores. Explora Realiza el laboratorio 1correspondiente a la unidad 2 que aparece enwww.santillana.cl/emedia.cl/mat4 Estadística II 35
    • REPASO Unidad 2 ESTADÍSTICA II¿Cuánto sabes? 1. Calcula el valor de x en las siguientes proporciones. 6 15 1 15 1 0,7 2,5 a. = c. : = :x e. = 24 x 6 12 3 x 1,4 7 x x 24 b. = d. x : 2,4 = 3 : 1,8 f. = 21 900 6 x 2. Calcula los siguientes porcentajes. a. 10% de 457 c. 99% de 1.246 e. 18% de 310.000 b. 25% de 398 d. 5,7% de 45.980 f. 60% de 94.327 3. Completa. a. 281,49 representa el % de 853 b. 38.000 representa el % de 95.000 c. 13.891,5 representa el % de 18.522 d. 2.809,8 representa el % de 46.830 e. 652 representa el % de 65.200 f. 55.928,95 representa el % de 76.615 4. En una empresa se ha entregado la planilla de sueldos correspondiente al mes de julio. Completa la planilla para poder saber cuánto dinero recibe cada persona al cobrar su sueldo. Sueldo Fonasa o Isapre AFP Nombre Sueldo líquido (imponible) (7% del imponible) (13% del imponible) Daniel $ 165.249 Carolina $ 237.860 Andrea $ 551.925 Sebastián $ 618.004 Jorge $ 1.045.776 5. Usando tu calculadora, evalúa cada expresión dados los siguientes valores (aproxima el resultado a tres decimales): 1 a= b=0 c = –5 d = 80 9 c4 a. a + bd − c d. (c – b : d3) : (a2 + d ) g. (b − c ) : 2a a abc3d b. : a4 + b2 i acd e. h. (c – a) • (b + d) c c c. a i d − c2 f. a – b + c – d2 i. 3 (a + d)6 36 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA II6. Los siguientes datos corresponden a las estaturas, en metros, de los alum- nos de IV Medio de un colegio. Mujeres 1,56 – 1,49 – 1,63 – 1,71 – 1,56 – 1,55 – 1,61 – 1,74 – 1,68 – 1,52 – 1,57 – 1,48 – 1,54 – 1,60 – 1,55 – 1,54 – 1,49 – 1,50 – 1,56 – 1,53 – 1,72 – 1,66 – 1,53 – 1,62 – 1,59 – 1,63 – 1,71 – 1,69 – 1,73 – 1,67 – 1,59 – 1,63 – 1,65 – 1,76 – 1,61 – 1,57 – 1,58 – 1,71 – 1,51 – 1,66 – 1,64 – 1,63 Hombres 1,65 – 1,69 – 1,74 – 1,81 – 1,72 – 1,68 – 1,61 – 1,73 – 1,79 – 1,81 – 1,74 – 1,85 – 1,84 – 1,76 – 1,66 – 1,69 – 1,73 – 1,72 – 1,76 – 1,79 – 1,86 – 1,69 – 1,63 – 1,79 – 1,77 – 1,76 – 1,74 – 1,81 – 1,83 – 1,69 – 1,74 – 1,77 – 1,71 – 1,75 – 1,68 – 1,88 – 1,76 – 1,74 – 1,68 – 1,83 – 1,81 – 1,73 – 1,76 – 1,78 – 1,76 – 1,79 – 1,83 – 1,66 a. Determina el valor máximo y mínimo en cada caso. b. Construye un gráfico de barras y un polígono de frecuencias con la estatura de todos los alumnos de IV Medio. c. Usando una planilla Excel, construye un gráfico de dispersión que per- mita comparar la estatura de los hombres y la estatura de las mujeres. ¿Qué conclusiones puedes obtener? 1 Teorema fundamental de las proporciones: “Dos razones forman una ¿Qué debes proporción si y solo si el producto de sus términos extremos es igual al pro- recordar? ducto de sus términos medios”. términos extremos a c a : b = c : d ⇔ = ⇔ a • d = b • c, b ≠ 0, d ≠ 0 b d términos medios 2 Para calcular el a% de un número b cualquiera, puedes aplicar el siguien- te procedimiento: a • b 100 O puedes calcular x • b, donde x es la expresión decimal que representa el a%. 3 Sean a, b dos números reales cualesquiera. Para calcular a qué porcentaje corresponde a de b, puedes aplicar el siguiente procedimiento: a • 100 Si x es el porcentaje, entonces x = . b 4 Población: es un conjunto de personas, situaciones o cosas de las cuales se desea hacer un estudio y las cuales tienen una característica en común. 5 Muestra: es un subconjunto cualquiera de la población. Estadística II 37
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II Medidas de tendencia central Las medidas de tendencia central nos dan una idea acerca del comportamien- to de los datos a los que se refieren. Se puede decir que expresan el grado de centralización de los datos que representan. Antes de profundizar en las principales medidas de tendencia central, es nece- sario conocer la siguiente notación de sumatoria. Una suma como x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn se puede expresar de manera resu-TIPS mida mediante el uso del símbolo de sumatoria: Σ.El símbolo Σ es la letra griega La suma de los términos de la forma xk, donde k es un número natural que“sigma” mayúscula. Corresponde na la decimoctava letra del alfa-beto griego, que equivale a la varía desde 1 a n, se simboliza por Σx k=1 k. n Σxletra S de nuestro alfabeto. Entonces, k = x1 + x2 + x3 + x4 + … + xn k=1 PA R A A R C H I VA RAY U D A 5 El uso de sumatoria tiene evidentes ventajas, puesto que permite escribir 1+2+3+4+5= Σk k=1 fórmulas de manera reducida. Media aritméticaTIPS La media aritmética de n datos numéricos que expresan cantidades, es el cociente entre la suma de todos los datos y la frecuencia total de ellos.La media aritmética se designa –por el signo x . n – x + x2 + x3 + x4 + … + xn Σxk Es decir, x = 1 = k=1TIPS n nEl promedio que se emplea en lascalificaciones escolares, corres- Ejemplo 1ponde a la media aritmética de La siguiente tabla muestra el precio (en pesos) de un cuaderno en diferentesestas. tiendas comerciales (según un estudio del SERNAC). Tienda 1 Tienda 2 Tienda 3 Tienda 4 Tienda 5 940 1.100 845 820 745 Calculemos la media aritmética de los precios anteriores: – 940 + 1.100 + 845 + 820 + 745 4.450 x = = = 890 pesos 5 5 Observa que el promedio en este caso no coincide con ninguno de los valores dados en la tabla. 38 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IIEjemplo 2 AY U D ALa siguiente tabla muestra la distribución de frecuencias de los puntajes obte- • Observa que, en el ejemplo 2,nidos por 50 alumnos en una prueba de matemática. se calculó la media aritmética para datos agrupados (separa- Intervalo Frecuencia absoluta Marca de clase (xi) fi • xi dos en intervalos, en una (fi) tabla de frecuencias). 60 – 64 5 62 310 • La marca de clase es un valor 65 – 69 5 67 335 representativo de cada interva- lo, corresponde al punto medio 70 – 74 8 72 576 de este y lo calculamos suman- 75 – 79 12 77 924 do cada extremo del intervalo 80 – 84 16 82 1.312 y dividiéndolo en dos. Si se conocen solo los intervalos y no 85 – 89 4 87 348 los datos, para calcular el Σfi = 50 Σfi • xi = 3.805 promedio, consideraremos que el valor de los datos corres- ponde a la marca de clase del –El promedio de los valores está dado por x = Σfi xi = • 3.805 = 76,1 puntos. intervalo al que pertenecen (se puede calcular de manera Σfi 50 abreviada como un promedio ponderado). PA R A A R C H I VA R n Σ fxi • i • Σ f • x= i=1 n Para calcular la media aritmética de datos no agrupados utilizamos la n Σf i Σx i=1 fórmula k=1 k , mientras que para datos agrupados utilizamos Σfi xi , • n Σfi IR A LA WEB donde fi es la frecuencia absoluta y xi la marca de clase correspondiente a Desarrolla el laboratorio 2. cada intervalo. www.santillana.cl/emedia/mat4EJERCICIOS1. Un alumno obtuvo las siguientes notas par- 3. En una oficina, el jefe gana $ 540.000 y tres ciales en Matemática: 4,8; 2,5; 6,0; 3,9 y una empleados ganan $ 100.000, $ 155.000 y quinta nota que no recuerda. Si su promedio $ 165.000, respectivamente. La media aritmética fue 4,6, calcula la nota que falta. de los sueldos, ¿es un valor representativo de esos sueldos?2. Dos alumnos obtuvieron el mismo promedio semestral de notas. ¿Significa que tuvieron las 4. En una muestra de control se midieron 10 mismas notas? Justifica numéricamente tu clavos de una bolsa, con los siguientes resulta- respuesta. dos: 5 de 2,00”; 3 de 1,99” y 2 de 2,05”. Calcula la longitud media de la muestra. Estadística II 39
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II Ejemplo 3 Un alumno que postula a la Universidad tiene los siguientes puntajes en las Pruebas de Selección Universitaria (PSU) y en sus notas de Educación Media. Puntaje Ponderación (%) Prueba Lenguaje 680 10 Prueba Matemática 752 20 Prueba Ciencias 640 10 Prueba Historia y Geografía 720 40 Notas E. Media 590 20 Calculemos su puntaje ponderado, es decir, la media aritmética ponderada de sus puntajes:AY U D A – 10 • 680 + 20 • 752 + 10 • 640 + 40 • 720 + 20 • 590 68.840 La importancia de un dato se x= = = 688,4 puntos. 10 + 20 + 10 + 40 + 20 100 traduce en un número que co- rresponde a su ponderación. Hemos calculado la media aritmética ponderada, la cual nos sirve para calcular el promedio de datos que no tienen igual ponderación. PA R A A R C H I VA R Si pk es la ponderación de un dato xk, el promedio ponderado se obtiene n – k=1 Σ xk • pk utilizando la siguiente expresión: x = n Σp k=1 kAY U D A Mediana La mediana divide los datos en La mediana de un conjunto de datos numéricos ordenados en forma dos subconjuntos que contienen creciente o decreciente, es el dato que se encuentra al centro de igual cantidad de elementos. dicha ordenación, o la media aritmética de los datos centrales (en caso que la muestra tenga un número de datos pares). Ejemplos 1 3 6 7 9 1 3 4 5 7 9EN EQUIPO Mediana: 6 Mediana: 4,5 (promedio entre 4 y 5) Averigüen el promedio de notas por cada alumno del curso. Ordenen la información en una Moda tabla de frecuencia, luego deter- La moda de un conjunto de datos, es aquel que tiene la mayor minen media, mediana y moda. frecuencia. ¿Qué pueden concluir? 40 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IIMedidas de dispersiónLas medidas de dispersión determinan cuán cercanos o lejanos están los datosde un valor central, respecto a la media aritmética. También indican el gradode variabilidad de los datos. En estas páginas estudiaremos algunas de ellas:rango, desviación con respecto a la media y la desviación estándar o típica.EjemploEl colegio otorgará una beca de matrícula para la universidad, al alumno cuyobuen rendimiento se haya mantenido por mayor tiempo, en el último trimestrede 4º medio. Para calcular el mejor promedio solo consideraron algunas asig-naturas. Los mejores alumnos de la promoción fueron Pablo y Soledad.La media aritmética (promedio) de cada uno es 6,3.Si solo uno debe ser elegido ¿quién ganará la beca?Las calificaciones son las siguientes: Lenguaje Matemática Historia Ciencias Pablo 6,2 6,8 5,8 6,4 Soledad 6,9 5,0 7,0 6,3Observa la siguiente representación de las calificaciones, AY U D A 6,3 Recuerda que el rango de unPablo 5,8 6,2 6,4 6,8 conjunto de datos numéricos, se calcula como la diferencia 6,3 entre el dato mayor y el datoSoledad menor. 5,0 6,3 6,9 7,0Las calificaciones de Pablo se encuentran más cercanas a la media aritmética,que las notas de Soledad. Es decir, las calificaciones de Soledad se encuentranmás dispersas.¿Es suficiente este argumento para optar por Pablo, como un alumno que ha TIPSmantenido su buen rendimiento? ¿Qué significado tiene un rangoLas medidas de dispersión nos permitirán realizar un análisis más certero. de notas 4,2 respecto de las notas de otro alumno cuyo rango esRango 2,1?Anteriormente utilizamos el rango para determinar el tamaño de cada inter- En el primer caso las notas estánvalo en una tabla de frecuencias. Simbolizaremos el rango por la letra R. más dispersas que en el segun-Aunque no es una medida muy significativa, este nos indica cuán dispersos se do. Sin embargo, no sabemos enencuentran los datos entre los valores de los extremos. qué caso son mejores; para de- terminarlo debemos disponer dePablo R: 6,8 – 5,8 = 1 Soledad R: 7,0 – 5,0 = 2 más información. Muchos conjuntos de notas pue-Como el valor del rango de las notas de Pablo es menor que el de Soledad, den tener rango 2,1 y sus respec-podemos decir que sus calificaciones son menos dispersas. Por lo tanto, sería el tivas medias aritméticas ser muymás apto para ganar el premio por mantener un buen rendimiento. diferentes. Estadística II 41
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA IITIPS Desviación media La idea de desviación representa La media aritmética de ambos alumnos es de 6,3. el mayor o menor alejamiento Si calculamos la diferencia de una nota con la media aritmética tendremos – de un dato con respecto a x . – la desviación de la nota con respecto a x . Las desviaciones de todas las – notas, de Pablo y Soledad, con respecto a x = 6,3 se indican a continuación:Pablo Soledad Nota x 6,2 6,8 5,8 6,4 Nota x 6,9 5,0 7,0 6,3 Desviación respecto – Desviación respecto – x–x –0,1 0,5 –0,5 0,1 x–x 0,6 –1,3 0,7 0 a la media a la media Si sumamos las desviaciones medias de cada uno resulta 0.AY U D A Comprobemos que la suma de PA R A A R C H I VA R las desviaciones es siempre 0: Pablo: – La desviación de una variable x con respecto a la media aritmética x está –0,1 + 0,5 – 0,5 + 0,1 = 0 –. dada por la diferencia: d = x – x Soledad: La suma de las desviaciones de todos los datos con respecto a su media arit- 0,6 – 1,3 + 0,7 + 0 = 0 mética es cero. Para conocer quién presenta un valor de desviación, que nos indique cuán cer- cano o lejano está de la media aritmética, será necesario calcular el valor abso- luto de la desviación.Pablo Soledad Nota x 6,2 6,8 5,8 6,4 Nota x 6,9 5,0 7,0 6,3 Desviación respecto Desviación respecto a la media ⎟x – x⎟ – 0,1 0,5 0,5 0,1 a la media ⎟x – x⎟ – 0,6 1,3 0,7 0 4TIPS Desviación absoluta de Pablo: Σ⎟x k=1 k – – x⎟ = 0,1 + 0,5 + 0,5 + 0,1 = 1,2 4 Σ⎟x La desviación se puede calcular – con respecto a cualquier valor, Desviación absoluta de Soledad: k – x⎟ = 0,6 + 1,3 + 0,7 + 0 = 2,6 k=1 no solo respecto a la media arit- mética. Esta puede ser positiva, cero o negativa. Como el valor de la desviación absoluta de Soledad es mayor, entonces las notas de Pablo son las que representan mejor un buen rendimiento durante un período de tiempo.EN EQUIPO Se define desviación media como la media aritmética de las desvia- Si las desviaciones se calculan en ciones absolutas respecto a la media. La designaremos como DM. n Σ⎟x – relación a un valor distinto de la media aritmética, ¿cuánto suman k – x⎟ k=1 sus valores?, ¿por qué? DM = n La DM de Pablo es 0,3 y la de Soledad es 0,65. 42 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IIDesviación estándar o típica TIPSOtra importante medida de dispersión es la desviación estándar. La desviación estándar es muy inestable a pequeñas variacio- nes que se producen respecto a La desviación estándar o típica expresa el grado de dispersión de los – la media. datos con respecto a la media aritmética (x ) . Se designará con la letra s, y se calculará de la forma: n ∑(x − x) TIPS 2 k k=1 s= n Recuerda que la desviación estándar (s) puede estar referidaContinuando con el análisis de quién ganará la beca, obtendremos el valor de a otro valor que no sea la mediala desviación estándar de cada alumno: – – aritmética (x ). Si se emplea x , el 4 Σx – 2 valor de s que se obtiene es míni- Nota (x) 6,2 6,8 5,8 6,4 –xPablo k 0, 52 mo. En otros casos este valor k=1 s= ≈ 0, 36 4 sería mayor. – (xk – x )2 0,01 0,25 0,25 0,01 0,52 4 Σx – 2Soledad Nota (x) 6,9 5,0 7,0 6,3 k –x AY U D A 2, 54 k=1 s= ≈ 0, 79 – 4 (xk – x )2 0,36 1,69 0,49 0 2,54 La desviación típica (s) es un valor de la misma naturalezaObservamos que el valor de la desviación estándar de las notas de Pablo es que los datos con que se calcula. Si el valor de s en un conjuntomenor que la de Soledad, entonces, podemos decir que las calificaciones de de notas es s = 1,8, el númeroPablo están más cercanas a la media, y son menos dispersas. 1,8 se refiere a puntos de notas.Por lo tanto, el más indicado para ganarse la beca que otorga el colegio esPablo, ya que sus calificaciones cumplen con haber mantenido un buenrendimiento. PA R A A R C H I VA R EN EQUIPO Averigüen, ¿qué significa la pa- Mientras menor sea el valor de la desviación estándar, el grupo de labra “homogéneo” y “hete- observaciones es más “homogéneo” que si el valor de la desviación rogéneo”? estándar fuera más grande. O sea, a menor dispersión mayor homo- geneidad y a mayor dispersión, menor homogeneidad.Desviaciones para datos agrupadosRecordemos que los datos agrupados pertenecientes a una clase se consideraniguales a la respectiva marca de clase. Para datos agrupados, el cálculo de ambos tipos de desviaciones se puede aplicar al método abreviado, tal como se obtuvo en la media aritmética: Desviación media: Desviación estándar: ∑f • x – x ∑ f i ( x − x) 2 DM = s= ∑f n Estadística II 43
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA IIEJERCICIOS1. El análisis de las notas de un curso señala que en 2. Un grupo de alumnos obtuvo las siguientes mar- ambos trimestres el promedio en matemática es cas, en salto con garrocha, expresadas en metros: 5,1, al término del primer y segundo trimestre, 2,50 ; 2,80 ; 2,60 ; 3,00 ; 2,90. la nota máxima es 7,0 y la mínima es 3,2. Sin a. Comprueba que la suma de las desviaciones embargo, los alumnos tienen la sensación de – de estos datos respecto a x es 0. mejores resultados en un trimestre que en otro. b. Calcula la desviación media de los datos. Primer trimestre 7,0 5,6 4,3 7,0 5,4 4,3 3. La tabla de distribución de frecuencias muestra la 6,9 5,4 4,3 6,8 5,2 4,1 puntuación obtenida por 1.800 alumnos de 5º a 6,5 5,2 4,1 6,3 5,2 4,1 8º Básico en un cuestionario de cultura general. 5,8 4,8 4,1 5,7 4,8 3,2 5,6 4,8 3,2 5,6 4,5 3,2 Puntaje Frecuencia 0–2 21 Segundo trimestre 3–5 50 7,0 5,3 5,0 6,4 5,2 4,9 6–8 110 9 – 11 241 6,1 5,2 4,7 6,0 5,2 4,1 12 – 14 423 5,7 5,1 4,7 5,5 5,0 4,6 15 – 17 457 5,4 5,0 4,5 5,3 5,0 4,5 18 – 20 275 5,3 5,0 3,2 5,3 5,0 3,2 21 – 23 134 24 – 26 66 Responde las siguientes preguntas: 27 – 29 23 a. ¿Cuánto es el coeficiente del rango en cada a. Calcula la desviación estándar de la distribución. trimestre? ¿Qué trimestre tiene un coefi- b. ¿A qué cantidad de puntos corresponden los ciente de rango menor? – – valores de x + s y x – s? b. Según el coeficiente del rango, ¿qué trimestre presenta calificaciones más disper- sas, en relación al promedio? 4. En una misma prueba de Matemática dos cursos c. ¿Cuánto es el valor del coeficiente de la A y B, obtuvieron resultados cuyos datos estadís- desviación media en cada trimestre? ticos son los siguientes: d. Según la situación, ¿cómo interpretarías el Curso A Curso B coeficiente de desviación media? ¿Corrobora – la “sensación” de los estudiantes? x 5,3 5,4 e. Calcula el coeficiente de la desviación están- s 0,7 0,4 dar para cada trimestre. f. ¿Qué trimestre presenta calificaciones más De acuerdo con estos datos: homogéneas? a. Un alumno del curso A obtuvo un 6,7 y uno g. ¿Cómo interpretarías el valor del coeficiente del curso B un 6,6. ¿A cuál de los alumnos de desviación estándar? le fue mejor en la prueba, en relación a su h. ¿Cuál fue el mejor trimestre?, ¿por qué lo curso? consideras mejor? b. Justifica la respuesta anterior y compártela i. Construye la gráfica que mejor represente la con un compañero. situación. 44 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IICorrelación TIPSLa correlación indica el grado de asociación de dos variables; la influencia que Para calcular el coeficiente depueda tener una sobre la otra, lo que a veces permite encontrar funciones que x2 – 4x – 960 = 0 correlación en Excel se utiliza lapredicen ciertos comportamientos, como, por ejemplo, el modelo que se usa función estadística COEF. DEpara aplicar la restricción vehicular. CORREL.Veamos algunos ejemplos gráficos. AY U D A Correlación positiva Correlación negativa Correlación nula La correlación se puede medir usando el coeficiente de corre- lación lineal de Pearson (r). sxy r= sx • sy n Σxi i=1 • yi – – sxy = – x • y n sx = Desviación típica x. PA R A A R C H I VA R sy = Desviación típica y. r cercano a 1, indica correlación El grado de asociación o correlación de dos variables puede ser: positiva. • positiva: están directamente relacionadas. r cercano a –1, indica correla- • negativa: se relacionan de manera inversa. ción negativa. r cercano a cero, indica correla- • nula: no existe relación entre ellas. ción nula.EJERCICIOS1. En las siguientes situaciones señala si la correla- e Historia y Ciencias Sociales ción es positiva, negativa o nula. - Química y Biología a. Cantidad de hijos de una familia y dinero gas- - Lengua Castellana y Comunicación y tado por esa familia en el supermercado. Educación Matemática b. Edad de una persona y cantidad de libros que b. ¿Entre qué asignaturas existe mayor ha leído. correlación? c. Promedio en matemática de cuarto medio y c. ¿Son lógicos los resultados? Justifica. resultado de esa persona en la PSU de matemática. 3. Al estudiar la relación entre la masa y la edad de los niños de un jardín infantil, la directora obtu-2. Averigua los promedios que tus compañeros vo que el coeficiente de correlación de Pearson obtuvieron en el primer semestre en los subsec- era de 0,85, por lo que dedujo que había un alto tores de Lengua Castellana y Comunicación, grado de asociación entre ambas variables. Historia y Ciencias Sociales, Educación Matemá- Por otra parte, el director de una casa de reposo tica, Biología, Química y Física. para ancianos hizo el mismo estudio, obteniendo a. Calcula los coeficientes de correlación entre: como coeficiente de correlación 0,345, por lo - Educación Matemática y Física que determinó que la edad no tenía ninguna - Educación Matemática y Química relación con la masa. ¿A qué se deben estas - Lengua Castellana y Comunicación diferentes conjeturas. Estadística II 45
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II Medidas de localización: cuartiles, percentiles y deciles Anteriormente aprendiste que la mediana de un conjunto de datos ordenados, de acuerdo a su magnitud, los separa en dos mitades. Ahora estudiaremos otros valores típicos que dividen a un conjunto de datos numéricos en cierta cantidad de partes iguales, como los cuartiles, deciles, per- centiles.La prueba de tolerancia a la glucosa Cuartilse realiza mediante muestras de Los cuartiles de una distribución de datos numéricos, corresponden asangre, determinando si los niveles los 3 valores que dividen a estos en 4 partes iguales, es decir, al 25%,de glicemia están dentro de los per- 50% y 75%.centiles considerados normales. Los cuartiles se designan por Q1(25%), Q2(50%) y Q3(75%). Q1 Q2 Q3 25% Ejemplo TIPS En la distribución de notas de un grupo de alumnos, el cuartil Q2 es una nota Observa que, en el caso de los de referencia que permite afirmar que el 50% de los alumnos obtuvo esa nota cuartiles, la mediana corres- o una menor. ponde a Q2. En el caso de los deciles, corresponde a D5. Deciles Los deciles de una distribución de datos numéricos corresponden a los 9 valores que dividen a estos en 10 partes iguales. Los deciles se designan por D1, D2, ..., D9 D1 D2 D3 D4 D5 D6 D7 D8 D9 10% Ejemplo En el caso anterior, el decil D6 es una nota de referencia que nos permite afir- mar que el 60% de los alumnos obtuvo esa nota o una menor. IR A LA WEB Desarrolla el laboratorio 3. www.santillana.cl/emedia/mat4 46 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IICuando queremos estudiar una muestra que contiene muchos datos, podemos AY U D Asubdividir esta en percentiles. Los percentiles de una distribución de datosnuméricos, corresponden a los 99 valores que dividen a estos en 100 partes Observa que: P50 equivale a laiguales. mediana.Los percentiles se designan por P1, P2, … , P99EjemploEl percentil P70 de una distribución de frecuencias dadas en una competencia TIPSdel lanzamiento de la jabalina, nos indica que el 70% de los competidores En Excel podemos calcular per-alcanzó esa distancia o una menor. centiles utilizando la función: =PERCENTIL(). Por ejemplo, el percentil 5 de los PA R A A R C H I VA R datos A1 hasta A6 se ingresa: =PERCENTIL(A1:A6,5). Para calcular el n-ésimo percentil utilizamos la siguiente fórmula fn – fi Pn = Ii + (Ii + 1 – Ii) • , con fi + 1 – fi li : extremo izquierdo del intervalo donde se ubica el percentil. li + 1 : extremo derecho del intervalo donde se ubica el percentil. fi : frecuencia acumulada hasta li. fi + 1 : frecuencia acumulada hasta li + 1. fn : frecuencia acumulada hasta el percentil buscado (Pn).EjemploCalculemos el percentil 45 considerando la distribución de frecuencias de212 puntajes obtenidos en la PSU. Puntaje Frecuencia absoluta Frecuencia acumulada AY U D A [400, 450[ 10 10 La frecuencia acumulada hasta [450, 500[ 9 19 el percentil Pn, se calcula de la siguiente manera: [500, 550[ 20 39 n fn = • N [550, 600[ 31 70 100 [600, 650[ 80 150 (N: tamaño de la muestra). [650, 700[ 42 192 [700, 750[ 10 202 [750, 800[ 10 212 212 Estadística II 47
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II El 45% de los datos es 95,4, entonces fn = 95,4, este valor se encuentra en elTIPS intervalo [600, 650[. Además li = 600; li + 1 = 650; fi = 70; fi + 1 = 150.Los percentiles, deciles ycuartiles reciben el nombre de Remplazando en la fórmula tenemos:cuantiles. Conocer estos valoresnos proporciona una impor- (95,4 – 70) P45 = 600 + (650 – 600) • 615,9.tante información acerca de los 150 – 70datos de una cierta distribución. El resultado nos indica que el 45% de los alumnos obtuvo puntajes menores o iguales a 615,9. Nota La fórmula para encontrar un determinado percentil se puede generalizar para encontrar cuartiles y deciles, solo varía el cálculo de fn.EJERCICIOS1. A partir de los datos dados en la tabla anterior: 3. ¿Qué significa que un alumno haya obtenido un puntaje superior al noveno decil D9 en un a. Calcula D3. cuestionario de intereses científicos? b. Calcula Q3. c. ¿Qué información nos entrega (a) y (b)? d. ¿Qué porcentaje de los 212 alumnos obtuvo 4. Analiza el siguiente cuadro que muestra la resultados entre 620 y 680 puntos? evolución de la distribución del ingreso per cápita entre 1987 y 1998 según quintiles2. Dada la siguiente tabla de distribución de fre- (divide a la muestra en 5 partes iguales). cuencias, que muestra los puntajes obtenidos Años por 50 alumnos en un test (se consideran va- Quintil 1987 1990 1992 1994 1996 1998 lores enteros), calcula: I 4,3 4,4 4,6 4,3 4,1 4,1 Intervalo F. Absoluta F. Acumulada II 7,9 8,2 8,5 8,2 8,2 8,2 [60, 64] 5 5 III 11,7 12,3 12,2 12 11,9 11,8 [65, 69] 5 10 IV 19 18,1 18,4 18,5 19,1 19,1 V 57,2 56,9 56,3 56,9 56,7 56,9 [70, 74] 8 18 Total 100 100 100 100 100 100 [75, 79] 12 30 Fuente: MIDEPLAN, encuesta CASEN. [80, 84] 16 46 [85, 89] 4 50 a. Investiga sobre el monto de ingresos per cápita en los años que indica el cuadro a. P3 y establece los valores por año y quintil. b. P90 b. Establece el significado de los quintiles y su aporte como complemento a la media c. Q1 aritmética que es el ingreso per cápita. d. Q3 e. Interpreta los resultados obtenidos. 48 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IIDiagrama de cajas El diagrama de cajas consiste en un gráfico que muestra simultánea- mente diferentes características de un conjunto de datos, tales como, TIPS mediana, rango, cuartiles, valores extremos, etc. Este diagrama presenta los tres cuantiles, (y los valores mínimos y A este tipo de gráfico se le llama máximos) alineados sobre una caja horizontal o verticalmente. también “cajón con bigotes”.EjemploLos siguientes datos corresponden a la masa (en kg) de 24 mujeres de 17 años. 44 48 48 48 48 50 50 51 52 52 54 54 54 55 55 55 55 57 57 57 57 58 60 61 AY U D AAl analizar estos datos podemos obtener lo siguiente: Observa que Q1 = 50 indica que el 25% pesó menos de Tamaño muestra Mediana Cuartiles Valor mínimo Valor máximo Rango 50 kilos o igual; Q2 que el Q1 = 50 50% pesó menos o igual que 24 54 Q2 = 54 44 61 17 54 kilos y Q3 que el 75% pesó menos de 57 kilos o igual. Q3 = 57Visualizaremos todos los elementos anterioresmediante el siguiente diagrama de caja. 70Observa que en el gráfico, los extremos del rec- 61tángulo indican los cuartiles Q1 y Q3, mientras 60 57 Q3que la línea que divide a este horizontalmente 54 + Q2 AY U D Aindica la mediana (Q2). 50 Q1 En un gráfico de cajas se pue- 44Las líneas que sobresalen del rectángulo, indi- 40 den expresar los datos de ma-can el valor mínimo y máximo de la distribución, nera vertical u horizontal.y el signo + indica la media aritmética. masa (kg)EJERCICIOS1. La siguiente tabla muestra la tasa de desocu- a. Calcula la media. pación, correspondiente a los meses de abril, b. Construye el diagrama de caja correspon- mayo y junio del 2005, según el Boletín Informa- diente. tivo del Instituto Nacional de Estadísticas. c. ¿A qué crees que se debe la diferencia Actividad Tasa desocupación entre la tasa de desocupación de cada actividad? Agricultura, caza, pesca 685,01 Minas y canteras 73,07 d. Si la tasa de desocupación de servicios Industria manufacturera 798,13 financieros es de 510,32, ¿a qué cuartil Electricidad, gas y agua 30,69 corresponde? Construcción 451,36 Comercio 1.122,93 Estadística II 49
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II Muestras al azar En determinadas ocasiones se debe obtener el número de elementos que tiene una cierta población. Para este fin, se toma una muestra, se marca y se devuelve a la población originaria. Se vuelve a tomar una segunda muestra, y con los ele- mentos marcados de esta muestra, se forma una razón con su total, entregan- do así un total aproximado del tamaño de la población. Ejemplo Un grupo de científicos llegó al parque nacional Pan de Azúcar a estudiar la fauna del lugar. Observaron una gran colonia de pingüinos Humboldt, para cal- cular la cantidad total siguieron el siguiente procedimiento: Durante 4 días, en diversos lugares del parque, capturaron 120 pingüinos, a los cuales marcaron con una cinta: a la semana, en diversos sitios del parque, capturaron 160 pingüi- nos, de los cuales 30 estaban marcados. Con esta simple proporción obtuvieron la cantidad aproximada de pingüinos en la isla. 30 120 120 = ⇒ 160 • = 640 160 N 30TIPS PA R A A R C H I VA REl término muestreo es el nom- El tamaño de la población se aproxima despejando N de la ecuación:bre que recibe la forma de m nseleccionar a un individuo de la = 1 . n2 Npoblación, para una muestra.Algunas técnicas de muestreo Donde, n1 : tamaño de la primera muestra.son: muestreo aleatorio, mues- n2 : tamaño de la segunda muestra.treo sistemático, muestreoestratificado, entre otros. m : número de individuos marcados en la segunda muestra. N : tamaño de la población. Muestras representativas El cálculo anterior no es más que una estimación de la cantidad de población, ya que dependerá de lo representativa que sea la muestra escogida. La esti- mación en la práctica es muy difícil, por esta razón se toman varias muestras para mejorarla. Para que la muestra sea representativa se deben considerar varios aspectos; uno de ellos es el tamaño de la muestra, mientras mayor sea su tamaño mayorAY U D A será su confiabilidad, pero a su vez más costoso será el estudio. Otro aspecto se relaciona con que todos los integrantes de la población tengan la misma pro- Recuerda: – babilidad de ser seleccionados en la muestra, por este motivo la selección debe x : media muestral. ser al azar, es decir una muestra aleatoria. s : desviación estándar muestral. Las muestras, al igual que las poblaciones, nos permiten calcular parámetros µ : media poblacional. estadísticos como la media, la desviación estándar, etc.; para diferenciarlos σ : desviación estándar – usaremos x y s, respectivamente, en el caso de la muestra, µ y σ en el caso de poblacional. la población. 50 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IINivel de confianza AY U D ASi se desea conocer la media aritmética de una población, se puede obtener un La estimación por intervalos, esintervalo, que con cierto nivel de confianza, pueda asegurar que esta se en- más útil, ya que se calculan dos valores, entre los que se encon-cuentra dentro de un intervalo. trará el parámetro, con un nivel de confianza fijado de ante- PA R A A R C H I VA R mano. Llamaremos intervalo de confianza al intervalo en el cual se encuentra el verdadero valor del parámetro que se está estimando, con una proba- bilidad determinada. El nivel de confianza es la “probabilidad” de que el intervalo calculado contenga al verdadero valor del parámetro. La media poblacional se encuentra en el siguiente intervalo de confianza: AY U D A – s – x± k , donde x : media muestral Un parámetro es una caracterís- n k: coeficiente asociado al nivel de confianza tica numérica de una población. s: desviación estándar de la muestra Equivale a una constante fija para cada estudio particular. n: número de elementos de la muestraMargen de errorEl margen de error depende del nivel de confianza y del tamaño de la muestra. PA R A A R C H I VA R Al estimar la media poblacional a partir de una muestra, el intervalo de – – s confianza está dado por: x – E, x + E siendo E = k • (error). n AY U D AEjemploUn grupo de médicos de distintos hospitales desea saber cuánto tiempo per- El coeficiente k se obtiene de la siguiente tabla.manecen hospitalizados los pacientes con problemas cardíacos. Extraen unamuestra de 80 pacientes obteniendo una media muestral de 2,5 días; ellos Nivel de confianza Coeficientesabían que la desviación típica era de 4 días. Si el nivel de confianza es de un (%) k95%, ¿cuál es el intervalo? 68 0,99 75 1,15 42, 5 ± 1, 96 i ⇒ 1,62 ; 3,38 con un 95% de confianza. 80 1,28 80 90 1,64Por lo tanto, la cantidad de días que permanecerán los pacientes, será aproxi- 95 1,96madamente entre los valores dados en el intervalo. 96 2,05 97 2,17 98 2,32 99 2,58 Estadística II 51
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II Tamaño de la muestra El tamaño de la muestra está dado por el número de sujetos que componen laTIPS muestra extraída de una población.El error porcentual está dado Epor – • 100. PA R A A R C H I VA R x El tamaño de la muestra se calcula de la siguiente forma: 2 ⎛k • σ ⎞ n=⎜ ⎟ donde, k: nivel de confianza ⎝ E ⎠ σ: desviación estándar de la población E: margen de error Ejemplo En un colegio de 1.600 alumnos se está estudiando la relación entre la estatu-AY U D A ra de los niños al nacer y otras variables. Se sabe que la desviación típica pobla- El tamaño de la muestra corres- cional es de 1,5 cm y se desea estimar la media con un 99% de confianza y con ponde al número mínimo de un error máximo de 0,5 cm. unidades de análisis (personas, σ 1, 5 organizaciones, municipios, etc), E=ki → 0, 5 = 2, 58 i que se necesitan para confor- n n mar una muestra n que asegure kiσ 2, 58 i 1, 5 un error estándar menor que n= → n= = 7, 74 E 0, 5 un valor determinado, fijado por el investigador, dado que 2 ⎛k i σ ⎞ la población N. n=⎜ ⎟ → n = 59, 9076 ≈ 60 ⎝ E ⎠ Se debe tomar al menos una muestra de 60 alumnos.EJERCICIOS1. Para estimar la cantidad de salmones en un 2. Trabajo experimental: Se dispone de una bolsa lago se realizó lo siguiente: con 100 fichas numeradas y distribuidas como lo indica la tabla. I. Se capturó una muestra al azar, se les Nº de ficha 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 marcó y fueron devueltos al agua. Cantidad 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 II. Breve tiempo después, se capturó una nueva muestra, se registró la proporción de a. Obtén muestras al azar de tamaño 10, 20 y salmones marcados versus el total de 30. Calcula para cada una de ellas la media salmones de la muestra. de los valores de las fichas y su desviación estándar. a. Si en el primer proceso se capturan y b. Compara los valores de las medias y desvia- marcan 100 salmones. Posteriormente, ciones estándar obtenidos para cada muestra 80 salmones, de los cuales 20 están de la pregunta a. marcados, ¿cuántos salmones hay aproxi- c. ¿Qué inferencias puedes sacar a partir de las madamente en el lago? medias poblacionales anteriores? 52 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IIAplicaciones de la estadísticaCiencias naturalesLos estudios estadísticos, realizados por el Ministerio de Salud, relacionados conel estado nutricional de las personas, tienen como uno de sus objetivos el“supervisar la situación alimentario-nutricional de la población chilena, detec-tando grupos en riesgo de sufrir alguna forma de malnutrición, y normar laimplementación de acciones y programas orientados a prevenir el daño endichos grupos y en la población general” (www.minsal.cl).La siguiente tabla y gráfico nos muestran la cantidad de población adultomayor, de la Región Metropolitana, que se encuentra en algún estado de nor-malidad o no, en relación a su masa. Bajo peso Peso normal Sobrepeso Obesidad Metropolitano norte 2.220 8.454 7.580 6.878 Metropolitano occidente 2.218 13.356 10.000 9.988 Metropolitano central 1.453 5.760 4.806 4.019 Metropolitano oriente 3.647 14.514 9.433 7.183 Metropolitano sur 2.727 11.827 11.017 8.894 Metropolitano oriente 2.527 10.898 8.926 7.816 ESTADO NUTRICIONAL DEL ADULTO MAYOR EN CONTROL, SEGÚN SERVICIOS DE SALUD, DICIEMBRE 2004. 16.000 Cantidad de personas 14.000 12.000 Bajo peso 10.000 Peso normal 8.000 Sobrepeso 6.000 4.000 Obesidad 2.000 En los últimos 40 años, el grupo lla- 0 mado “adulto mayor” ha crecido Metropolitano norte Metropolitano occidente Metropolitano central Metropolitano oriente Metropolitano sur Metropolitano sur oriente más de un 25%, llegando a repre- sentar más del 10% de la pobla- ción total. Por este motivo, el país ha creado nuevas políticas, con el fin de mejorar su calidad de vida. Fuente: Estado nutricional del adulto mayor en control, según servicios de salud, (diciembre 2004), www.minsal.cl, julio 2005.¿Qué puedes concluir?De la población estudiada, observamos que en toda la Región Metropolitana lapoblación se ordena en: personas con peso normal, sobrepeso, obesidad y bajopeso. Por otro lado, la cantidad de población con sobrepeso y obesidad, superaen demasía a la población con peso normal. Siendo el rango de bajo peso, elque considera la menor porción de población adulto mayor. Estadística II 53
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II Al igual que las ciencias naturales, la estadística es aplicable a otros campos, tales como las ciencias humanas, económicas, entre otras. Ciencias humanas Tasa de asistentes (Por cien mil habitantes) En la tabla se observa que la asistencia de Cine, Teatro, Recitales, Conciertos y Espectáculos Deportivos los chilenos a espectáculos masivos ha 1989-1999 (promedio mensual) cambiado en los 10 últimos años. Se Año Conciertos Espectáculos deportivos Cine Teatro Recitales aprecia claramente un aumento en even- 1989 110 6.957 9.258 195 246 1990 122 7.034 7.257 150 275 tos de orden artístico cultural, como son 1991 113 7.524 6.242 158 191 el teatro, los conciertos y los recitales; un 1992 127 8.816 5.189 246 333 resurgimiento del cine, y una leve baja 1993 203 8.140 4.856 179 273 1994 159 7.807 4.262 221 331 en los espectáculos deportivos. El cine 1995 145 5.467 4.403 175 403 bajó mucho durante la década de los 90 1996 156 7.483 4.054 247 306 debido al auge de los video club y cuan- 1997 225 7.145 5.039 354 440 1998 230 6.300 6.198 352 373 do parecía que este iba a ser un espec- 1999 308 5.885 7.739 407 512 táculo cada vez menos masivo, hubo unFuente: Anuario de Cultura y Medios de Comunicación 1989–1998 y Datos preliminares 1999. resurgimiento producto de un cambio en el concepto del cine. EN EQUIPO En vez de tener grandes salas para mostrar una gran película, ahora se tienen muchas salas pequeñas con gran variedad de películas, más un ambiente Según la información de acogedor y venta de chocolates, cabritas, bebidas, etc. El cine volvió a ser atrac- ciencias humanas, contesten tivo, pues es una alternativa interesante y entretenida que permite desconec- las siguientes preguntas: tarse de los deberes del hogar, cosa que no se logra con el video. a. ¿Cuál de los espectáculos tuvo mayor aumento en Ciencias económicas estos años? b. De mantenerse el ritmo de aumento de asistencia al cine, ¿en qué año se superará la asistencia de 1989? ¿La asistencia a este tipo de espectáculos, sería superior a los años señala- dos en la tabla? Fundamenten. c. Si hicieran una encuesta este año, ¿la asistencia a este tipo de espectáculos sería superior a los años señalados en la tabla? Fundamenten. EN EQUIPO ¿A qué causas atribuyen uste- des que el área agrícola utilice menor cantidad de energía eléctrica? Fuente: indicadores del mes de INE, Empleo y sectoriales. Boletín Nº 81 de junio de 2005 Distribución de energía eléctrica por sectores económicos. Junio 2005. 54 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IIEJERCICIOS1. En la tabla y en el gráfico se aprecia la evolución 3. El IPC se calcula sobre la base de un promedio de la relación edad/matrimonio en los últimos ponderado, de modo que cada rubro tiene dis- años. Edad media al matrimonio tinta importancia de acuerdo a los consumos de por sexo de los contrayentes la población. 1980–1998 Año Hombre Mujer a. Observa la tabla y determina cuál es el rubro 1980 26,6 23,8 que tiene mayor importancia. 1981 26,7 23,9 1982 27,0 24,3 b. ¿Por qué crees tú que los rubros de salud y 1983 26,9 24,2 1984 27,0 24,3 educación son los que más subieron? 1985 27,0 24,3 c. ¿Por qué crees tú que el rubro vestuario es el 1986 27,0 24,4 1987 27,1 24,6 que más bajó? 1988 27,2 24,7 1989 27,2 24,7 IPC 2001 1990 27,5 25,0 Variaciones e incidencias anuales 1991 27,8 25,2 1992 27,9 25,3 Grupos Variación anual % Incidencia anual 1993 27,7 25,2 Alimentación 2,0 0,52 1994 27,9 25,4 Vivienda 3,5 0,73 1995 28,0 25,5 1996 28,3 25,8 Equipamiento de la Vivienda 0,1 0,00 1997 28,5 26,0 Vestuario –4,8 –0,31 1998 28,9 26,3 Transporte 4,4 0,65 Salud 4,9 0,47 Porcentajes de matrimonios por grupos de edad Educación y Recreación 4,9 0,56 Porcentaje del contrayente. 1980 y 1998 50,00 Otros 0,0 0,00 Índice General 2,6 2,64 45,00 1980 Indicadores del mes precios y remuneraciones del INE, Boletín Nº 38, 40,00 www.ine.cl, enero 2002. 1998 35,00 30,00 4. El gráfico muestra la variación de las ventas de 25,00 marzo de 2004 comparado con noviembre del 20,00 2005. 15,00 10,00 a. ¿Por qué crees tú que se compara con el 5,00 mismo mes del año anterior? 0,00 <15 años15-19 20-24 25-29 30-34 35-39 40-44 45-49 50-54 55-59 60 y más b. Averigua qué diferencias hay entre los indi- Grupo de edad del contrayente cadores nominal y real. Fuente: INE. Anuario de Demografía. Serie 1980-1988. 9 a. ¿Qué conclusiones se obtienen con respecto a 8 las edades en que se casan las personas? 7 6 b. ¿Cómo es la distribución de las edades en que 5 se casa la gente? ¿Por qué? Nominal 4 Real 32. En una provincia se desea establecer la media de 2 los sueldos, con un 99% de confianza y con un 1 0 error máximo de $ 15.000. Si se sabe que la Marzo 04/ Marzo 05/ Marzo 05 Marzo 04 desviación estándar es de $ 100.000, ¿de qué Fuente: www.ine.cl, julio 2005. tamaño debe ser la muestra? Estadística II 55
    • CONTENIDOS Unidad 2 ESTADÍSTICA IIHISTORIA Distribución normal La distribución normal, una de las más importantes, recibe su nom- bre debido a que en cierto momento se pensó que la mayoría de los fenómenos estaban distribuidos de dicha manera. Esta distribución nos permite representar fenómenos estadísticos de manera proba- Abraham de Moivre bilística. (1667-1754)Matemático francés exiliado en Cuando una variable continua tiene distribu-Londres, donde publicó en 1733 ción normal, su gráfico es similar al indicado.una obra en la que aparece por Como se observa, tiene forma de campanaprimera vez la curva de distribu-ción de los errores, que con el (conocida como campana de Gauss) y estiempo conocemos como distri- simétrico con respecto a la media, ademásbución normal de Gauss. presenta pocos valores extremos. Además, se sabe que si una población tiene m media µ y desviación típica σ, se cumple lo siguiente:a. El 68,3% de los individuos se b. El 95,5% de los individuos se c. El 99,7% de los individuos se encuentran en el intervalo encuentran en el intervalo encuentran en el intervalo µ–σ,µ+σ . µ – 2σ , µ + 2σ . µ – 3σ , µ + 3σ . 68,3% 95,5% 99,7% µ–σ µ µ+σ µ – 2σ σ µ µ + 2σ σ µ – 3σ σ µ µ + 3σ σAY U D A PA R A A R C H I VA R Si una población tiene distribu- Una de las distribuciones probabilísticas de variables continuas es la distribu- ción normal con media µ y desviación típica σ, anotamos ción normal, cuya representación gráfica tiene una forma muy conocida en que ella distribuye N(µ, σ). el ámbito de la estadística y las ciencias naturales: la campana de Gauss.EJERCICIOS1. Determina en cuáles de los siguientes casos se tribuyen N(18,8; 0,4) y las de las damas, trata de una población con distribución normal. N(18,2; 0,6). a. Sueldos que se pagan en una empresa. a. ¿Cuántos varones tenían más de 18 años? b. Edad a la que una persona muere. b. ¿Cuántas damas tenían más de 17 años? c. Si se selecciona un alumno al azar, ¿cuál es2. De un colegio mixto egresaron 210 varones y la probabilidad de que tenga a lo menos 225 damas. Las edades de los varones se dis- 18,8 años? 56 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA II HISTORIA PA R A A R C H I VA R Se puede demostrar que si X es una variable que se distribuye N(µ, σ), X–µ utilizando la variable Z = , distribuirá N(0, 1). σ A este procedimiento se le conoce como tipificación. C. Friedrich Gauss La ventaja de la variable Z es que existen valores tabulados para ella (ver (1777–1855) ayuda), de modo que se pueden hacer cálculos de probabilidades y tama- ños de grupos de población con solo usar correctamente la tabla, y luego Matemático alemán llamado el “príncipe de las matemáticas”. hacer los cálculos correspondientes. Entre sus contribuciones desta- Ayuda can la demostración del teorema (tabla pag 204 álgebra ymedio) fundamental de cuarto el des- cubrimiento de la distribución normal.EjemploEl resultado de una prueba de cuarto medio, tiene una distribu- AY U D Ación N(5,3 ; 0,6). El total de estudiantes que rindió la prueba es z P(Z < z) z P(Z < z) z P(Z < z) z P(Z < z)de 150. ¿Cuál es la probabilidad de que al escoger un estudiante –3,0 –2,9 0,0013 0,0019 –1,4 –1,3 0,0808 0,0968 0,2 0,3 0,5793 0,6179 1,8 1,9 0,9641 0,9713al azar este haya obtenido al menos un 6,0? –2,8 0,0026 –1,2 0,1151 0,4 0,6554 2,0 0,9772 –2,7 0,0035 –1,1 0,1357 0,5 0,6915 2,1 0,9821 –2,6 0,0047 –1,0 0,1587 0,6 0,7257 2,2 0,9861Calcularemos la probabilidad de que un alumno tenga menos de –2,5 –2,4 0,0062 0,0082 –0,9 –0,8 0,1841 0,2119 0,7 0,8 0,7580 0,7881 2,3 2,4 0,9893 0,9918un 6,0; para facilitar el uso de la tabla, el complemento será lo –2,3 –2,2 0,0107 0,0139 –0,7 –0,6 0,2420 0,2743 0,9 1,0 0,8159 0,8413 2,5 2,6 0,9938 0,9953buscado. –2,1 0,0179 –0,5 0,3085 1,1 0,8643 2,7 0,9965 –2,0 0,0228 –0,4 0,3446 1,2 0,8849 2,8 0,9974 –1,9 0,0287 –0,3 0,3821 1,3 0,9032 2,9 0,9981 6,0 – 5,3 0,7 –1,8 0,0359 –0,2 0,4207 1,4 0,9192 3,0 0,9987z= = = 1,16 1,2 –1,7 0,0446 –0,1 0,4602 1,5 0,9332 3,1 0,9990 0,6 0,6 –1,6 0,0548 0,0 0,5000 1,6 0,9452 3,2 0,9993 –1,5 0,0668 0,1 0,5398 1,7 0,9554 3,3 0,9995En la tabla, 1,2 corresponde a 0,8849; por lo tanto,1 – 0,8849 = 0,1151 (probabilidad de obtener un alumno con notaigual o superior a 6,0, o bien el 11,51% de los alumnos obtuvo P(Z < z)una nota perteneciente a ese intervalo). zEJERCICIOS1. Utilizando los datos dados en el ejemplo ante- 3. Se ha calculado que los gastos de los jóvenes rior, determina cuántos alumnos reprobaron. en un fin de semana tienen una distribución N(8.500, 5.700), en pesos.2. Las estaturas de los recién nacidos en un hospi- a. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven tal distribuyen N(46, 2), en cm. Calcula la pro- gaste más de $ 20.000? babilidad de que: b. ¿Cuál es la probabilidad de que un joven a. Un bebé mida menos de 44 cm. gaste entre $ 5.000 y $ 10.000? b. Un bebé mida más de 50 cm. c. Si un joven invita a su pareja, ¿cuál es la probabilidad de que gaste menos de $ 25.000? Estadística II 57
    • EJERCICIOS RESUELTOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II Ejercicio 1 Jorge obtuvo un 5,4 en biología y un 5,7 en física. Si los promedios en ambas asignaturas fueron 4,8 y 5,0 y las desviaciones estándar 0,6 y 0,8, respectivamente, ¿en qué asignatura obtuvo un lugar relativo mejor? Solución Los datos entregados, por cada asignatura son: nota cualquiera: 5,4 y 5,7 media aritmética: 4,8 y 5,0 desviación estándar: 0,6 y 0,8 El valor tipificado se encuentra a través de la Como se quiere conocer en cuál de las asignaturas Jorge tuvo un rendi- x–µ miento relativamente mejor, obtendremos los puntajes tipificados de cada expresión: z = σ asignatura (o puntajes z). Biología 5,4 – 4,8 z= ⇒ z=1 ⇒ valor tabulado correspondiente: 0,8413 0,6 ⇒ equivale aproximadamente a 84% Dicho de otra forma: Jorge obtuvo un mejor Física rendimiento en biología ya que 1 • s está por 5,7 – 5,0 – z= ⇒ z = 0,875 ⇒ valor tabulado correspondiente: 0,7881 encima de x , mientras 0,8 ⇒ equivale aproximadamente a 78% que en física está solamente 0,875 • s – – En relación a la media x , Jorge obtuvo un mejor rendimiento en biología sobre x , aun cuando – que en física, ya que, su puntaje z, está por encima de la media x . obtuvo nota más alta en física. Ejercicio 2 El siguiente gráfico corresponde a las tasas de natalidad de ciertos países de Oriente Medio (grupo 4) y Asia (grupo 5). Gráficos de caja 1 2 3 Grupo 4 5 6 0 10 20 30 40 50 60 Tasa natalidad 58 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA IILos datos, de tasa de natalidad , utilizados para construir el gráfico anterior La tasa de natalidadcorresponden a: corresponde a niños nacidos vivos en el añogrupo Oriente Medio: 42,6 22,3 26,8 29,2 38,9 42,1 por cada 28,4 42,5 22,8 45,6 31,7 1.000 habitantes.grupo Asia: 28,6 21,2 30,5 21,3 11,7 30,3 42,2 39,6 41,4 31,6 17,8 31,8 33,2 23,5 36,1 40,4 22,3a. Obtén los cuartiles de cada grupo de datos.b. Encuentra el promedio de cada grupo de datos.c. Encuentra la mediana de cada grupo de datos.d. Obtén el valor máximo y mínimo de cada grupo de datos.e. Con los datos obtenidos y la gráfica dada, ¿qué puedes concluir, en El cálculo de los cuartiles relación a la tasa de natalidad de cada país? se pueden obtener en el programa EXCEL.Solución Recuerda que se debe anotar, = CUARTIL().a. Q1 Q2 Q3 Ejemplo: Oriente Medio 27,6 31,7 42,3 = CUARTIL(A1: A6; 2). Asia 22,3 30,5 36,1 A1: fila en la cual se ubica el primer dato ordenado. A6: fila en la cual se ubica – 373,9 – 503,5b. x Oriente Medio = 33,99 ; x Asia = 29,62 el último dato ordenado. 11 17 2: segundo cuartil.c. La mediana de cada grupo corresponde al valor del cuartil 2 (Q2). Para obtener el valor de Oriente Medio: 31,7 la mediana hay que Asia: 30,5 ordenar los datos entregados. El valor debed. Valor mínimo Valor máximo Rango coincidir con el valor del Oriente Medio 22,3 45,6 23,3 Q2. Asia 11,7 42,2 30,5e. Como el valor mínimo de Oriente Medio coincide con el valor del Q1 de Asia, podemos decir que la tasa de natalidad de los países de este último grupo es más baja. Las tasas de natalidad de los países de Asia se encuentran más dispersas, ya que la distancia del primer al segundo cuartil es bastante más amplia que del segundo al tercero. En cambio la mayor dispersión, en el otro grupo, se encuentra entre el segundo y tercer cuartil, confirmando de esta manera que los países de Oriente Medio tienen una menor tasa de natalidad. Estadística II 59
    • DESAFÍOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II 1. (Ensayo PSU, 2004) Alberto, Sebastián y Carlos 4. (Pisa, 2003) En la figura, se tiene una ruleta en juegan a lanzar un dado 2 veces y gana el que que la flecha puede indicar cualquiera de los obtiene una suma par. En el primer lanzamiento 4 sectores y ella nunca cae en los límites de Alberto obtiene un 2, Sebastián un 3 y Carlos un dichos sectores. ¿Cuál(es) de las siguientes 6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verda- proposiciones es(son) verdadera(s)? dera? I) La probabilidad de que la flecha apunte al 1 A. Todos tienen probabilidad de ganar. 1 2 número 1 es de . 2 1 B. Todos tienen probabilidad de ganar. II) La probabilidad de que la flecha apunte al 3 1 número 2 es de . C. El que tiene más probabilidad de ganar es 4 Carlos. III) La probabilidad de que la flecha apunte al D. Carlos tiene más probabilidad de ganar que 2 número 2 o al 3 es de . Alberto. 3 E. Sebastián tiene menos probabilidad de ganar que Alberto y Carlos. 2. (Ensayo PSU, 2004) La tabla muestra las edades de 220 alumnos de un colegio. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I) La moda es 17 años. A. Solo I C. Solo III E. Todas. II) La mediana es mayor que la media (prome- B. Solo II D. I y II dio). III) La mitad de los alumnos del colegio tiene 17 o 19 años. 5. (Facsímil PSU, Demre, 2004) El gráfico de la figura muestra las preferencias de 30 personas en Edad (en años) 15 16 17 18 19 actividades deportivas. ¿Cuál(es) de las siguien- Alumnos 50 40 60 50 20 tes afirmaciones es(son) correctas(s)? A. Solo I C. I y III E. I, II y III I) La frecuencia relativa del grupo de fútbol es de 40%. B. I y II D. II y III II) Las frecuencia relativa del grupo de basquetbol es de 30%. 3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En un supermercado III) La mitad del grupo no prefirió fútbol ni tenis. el precio de costo de un kilogramo de pan es de $ 600 y lo venden en $ 820; las conservas de fútbol mariscos tienen un costo de $ 800 y las venden en 12 tenis $ 1.060. Si la política de asignación de precios del 3 supermercado es lineal, ¿cuál es el precio de venta atletismo basquetbol 6 de un kilogramo de arroz cuyo costo es $ 400? 9 A. $ 600 C. $ 547 E. $ 530 B. $ 580 D. $ 537 A. Solo I C. Solo III E. Todas. B. Solo II D. I y II 60 Estadística II
    • MEDIOS Unidad 2 ESTADÍSTICA II ¿Cuántas personas tendrán un accidente mañana? A partir de la información diaria relativa a los accidentes del tránsito, se pueden construir estadísticas que permitan inferir de manera aproximada la cantidad de muertos en futuros accidentes. Por ejemplo, se espera que en las épocas de fiestas patrias mueran, aunque no quisiéramos, cierta cantidad de personas. Carabineros de Chile en su sitio web publica a diario, estadísticas sobre accidentes y sus causas. (Ver www.carabinerosdechile.cl) 1. Construye en una planilla de cálculo distintos tipos de gráficos asociados a estos datos. 2. Actualiza estos datos según el día actual. 3. ¿En qué medida ayuda conocer las estadísticas de accidentes del tránsito? 4. Quizás muy pronto tendrás la oportunidad de obtener tu licencia de conducir, por lo que sería muy bueno averiguar las causas más importantes detectadas en los accidentes. Construye un gráfico con la información que obtengas. Estadística II 61
    • SÍNTESIS Unidad 2 ESTADÍSTICA II Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos claveMapa dados.conceptualConceptos clave:MediaModaMedianaRangoDesviación mediaDesviación estándarCorrelaciónMuestraError porcentualIntervalo de confianzaResumen 1 Media aritmética: cociente entre la suma de todos los valores de un con- junto de datos y la frecuencia total de estos. Está dada por la expresión: n j – x + x2 + … + xn xk Σ – f1x1 + f2x2 + … + fjxj Σ k=1 fk xk x = 1 = k=1 x = = j , donde j es el número n f1 + f2 + … + fj Σ n de intervalos en que se (para datos agrupados) fk agrupan los datos. (para datos no agrupados) k=1 2 Mediana: dato que ocupa el valor central de un conjunto de datos ordenados según magnitud (decreciente o creciente). 3 Moda: la moda de un conjunto de datos es el valor que presenta mayor frecuencia. 4 Rango: diferencia entre el mayor valor y menor valor de una distribución de datos. 5 Desviación: representa el mayor o menor alejamiento de un dato respecto a la media aritmética, para calcularla, utilizamos la fórmula: – d=x–x 62 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA II6 Desviación respecto a la media: media aritmética de las desviaciones abso- lutas respecto de la media. Se calcula utilizando la fórmula: n ∑x k −x ∑f i x − x k=1 DM = o DM = n ∑f (para datos no agrupados) (para datos agrupados)7 Desviación estándar o típica: representa el grado de dispersión de los datos respecto a la media, la calculamos utilizando la expresión: n ∑ f i ( x − x) 2 ∑(x − x) 2 k s= k=1 o s= n n (para datos no agrupados) (para datos agrupados)8 Correlación: indica el grado de asociación de dos variables, esta puede ser positiva, negativa o nula.9 Tamaño de la población: número de individuos que pertenecen a una m n cierta población, se calcula mediante la proporción: = 1 , n2 N (n1: tamaño de la primera muestra; n2: tamaño de la segunda muestra; m: número de marcados en segunda muestra; N: tamaño de la población). k•σ 210 Tamaño muestral: se calcula utilizando la expresión: n = E (k: nivel de confianza; σ: desviación estándar de la población; E: margen de error). s11 Margen de error: se calcula utilizando la expresión: E = k • ; n s: desviación estándar; k: coeficiente asociado al nivel de confianza; n: número de elementos de la muestra. E El error puede ser expresado de manera porcentual dado por – • 100 . x12 Intervalo de confianza: intervalo que con cierto nivel de confianza, nos asegura que dentro de él se encuentra la media poblacional. – – Está dado por x – E, x + E , donde E es el margen de error.13 Medidas de localización: dividen a una distribución de datos en una cierta cantidad de partes iguales, los más conocidos son cuartiles (cuatro partes iguales), deciles (diez partes iguales) y percentiles (cien partes iguales). Estadística II 63
    • EVALUACIÓN Unidad 2 ESTADÍSTICA II 1. Las edades de los jóvenes de un grupo 4. Antonia lleva un 5,5 de promedio con musical son 15, 14, 13, 15, 14 y 13 años. 4 notas en Física y debe rendir la Prueba Entonces, es verdadero que: Coeficiente 2. Con respecto a esta situación, es verdadero que: I) la media es 14 años. I) si se saca un 7,0 en la prueba global su II) la mediana es 15 años. promedio sube a 6,0. 2 III) la desviación típica es años. II) si se saca un 4,0 en la prueba global su 3 promedio baja a 5,0. A. Solo I D. I y II III) No se puede sacar el promedio si no se B. Solo II E. I y III conocen las otras notas. C. Solo III A. Solo I D. I y II B. Solo II E. Ninguna. 2. La tabla muestra las Edad fi C. Solo III edades de los jóvenes 14 6 de un grupo de una 15 8 5. En la selección de voleibol de un colegio A, parroquia. Con respecto 16 12 la media de las estaturas es 183 cm y la a la información de la 17 6 desviación típica 3,5 cm. En otro colegio B, tabla, es falso que: Total 32 la media es 174 cm y la desviación típica es 5 cm. Entonces: A. el 25% tiene 15 años. I) los seleccionados de B tienen una B. la moda es 16 años. estatura más pareja que en A. C. la media es alrededor de 15 años. II) los seleccionados más altos están en A. D. el 35,7% tiene 16 años. III) los seleccionados más bajos están en B. E. la mediana es 16 años. A. Solo I C. Solo III E. II y III 3. Las notas de Claudia en Física son: 3,5; 4,2; B. Solo II D. I y II 5,3; 2,8; 5,6 y 5,6. Con respecto a esta situación, es verdadero que: 6. Con respecto al coeficiente de correlación de Pearson es verdadero que: I) su media es 4,5. II) la moda es un 5,6. I) Cuando su valor es cercano a 1, hay correlación positiva. III) si Claudia obtiene en un trabajo un 6,5 y lo remplaza por su peor nota, su media II) Cuando su valor es cercano a 0,5, la ahora es un 5,1. correlación es nula. III) Cuando su valor es 0, la correlación es A. Solo I D. I y II negativa. B. Solo II E. Todas. A. Solo I C. Solo III E. Todas C. II y III B. Solo II D. II y III 64 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA II 7. En un zoológico desean saber cuántos loros 11. Se desea saber las preferencias musicales de la hay. Escogen una muestra de 50 loros y los juventud chilena y para ello se decide hacer marcan; al día siguiente toman una muestra una encuesta. ¿Cuál de los siguientes procedi- de 40 y observan que 5 de ellos están mientos asegura una muestra representativa? marcados. El total aproximado de loros del A. Se encuesta a 100 jóvenes en el centro de zoológico es: las principales ciudades. A. 100 C. 400 E. 350 B. Se encuesta a 2.000 jóvenes a la salida de los liceos de acuerdo a la cantidad de B. 250 D. 200 alumnos de cada liceo. C. Se consigue en el registro civil una lista 8. Cecilia, en su preparación para la PSU de de todos los jóvenes del país y se lenguaje, realizó 10 ensayos y su tiempo seleccionan 2.500 al azar. promedio fue de una hora y media. Ella sabe D. Se pide a los jóvenes que den su opinión que su desviación típica es de 20 minutos. Si en una radio de alcance nacional. se asume un nivel de confianza del 95%, el E. Se invita a los jóvenes a participar en sus comunas habilitando formularios y error máximo en tiempo, el día que rinda la buzones. prueba, será aproximadamente: A. 0,14 minutos. 12. La vida media de una pila (en horas) tiene B. 12 minutos. una distribución N(150, 50). ¿Cuál es la C. 13 minutos. probabilidad (en porcentaje) de que dure menos de 50 horas? D. 3,92 minutos. E. Ninguna de las anteriores. A. 2% C. 16% E. 68% B. 4% D. 32% 9. En un colegio de 4.000 alumnos, las notas en matemáticas se distribuyen N(5,2; 0,6). 13. En la selección de personal para un museo ¿Alrededor de cuántos alumnos tienen pro- de historia, se realizará una prueba de medio sobre 6,0? conocimientos básicos de Historia de Chile. Se sabe que los puntajes distribuyen A. 0,9032 C. 10% E. 500 N(132, 18) y tan solo el 10% de los puntajes B. 0,0968 D. 390 más altos será seleccionado. Aproximadamente, ¿desde qué puntaje se10. Un consultorio realizó un estudio para aceptará a los candidatos? determinar la masa de la población femenina A. 109 de su comuna obteniendo una distribución N(62, 5). ¿Alrededor de qué porcentaje de la B. 155 cantidad de mujeres de la comuna tienen una C. 190 masa entre 57 y 62 kilogramos? D. No se puede determinar. A. 99% C. 68% E. 24% E. Ninguna de las anteriores. B. 95% D. 34% Estadística II 65
    • EJERCICIOS DE REFUERZO Unidad 2 ESTADÍSTICA II 1. En un curso universitario se sabe que la moda 5. En las siguientes situaciones indica si la corre- de las edades es de 20 años, la mediana es lación es positiva, negativa o nula. Fundamenta 21 años, el menor de los alumnos tiene 19 años tu respuesta. y el mayor 23 años. Si hubiera uno más que a. Sueldo de una persona comparado con el tuviera 22 años, la moda sería ésta. Si en total dinero que destina a recreación. hay 9 alumnos, construye una tabla de fre- cuencias con sus edades y calcula la media, la b. Estatura de una persona comparado con el desviación media y la desviación estándar. número de calzado que usa. c. Estatura de una persona comparado con el 2. Calcula la media del tiempo de espera en un número de cabezazos que se da con lám- consultorio de acuerdo a la siguiente tabla. paras colgantes. Tiempo (min) fi d. Edad de una persona comparada con la cantidad de veces que ha salido de vaca- [0 – 10[ 2 ciones en su vida. [10 – 20[ 12 e. Notas promedio de una persona en la ense- [20 – 30[ 15 ñanza media comparada con puntaje en la [30 – 40[ 10 PSU. [40 – 50[ 8 f. Número de cesáreas comparado con núme- [50 – 60[ 7 ro de partos normales. g. Peso de una persona comparado con su can- 3. En un curso hay 24 hombres y 16 mujeres. En tidad de dientes. la tabla se muestra la estatura y la masa h. Lugar de un tenista en el ranking mundial promedio. comparado con su número de derrotas. Estatura (m) Masa (kg) Hombres 1,78 74 6. En una feria ganadera se remataron 9 terne- Mujeres 1,59 56 ros, de acuerdo con el siguiente cuadro: Calcula la media de la estatura y de la masa Cabezas Peso (kg) Precio ($ x kg) del total del curso. 3 204 496 2 148 488 4. Los números que aparecen a continuación co- 4 196 482 rresponden a la cantidad de preguntas omitidas en un ensayo de PSU de un cuarto medio: Calcula: 6 - 0 - 7 - 15 - 2 - 5 - 36 - 18 - 9 - 3 - 2 - 0 - 1 - 4 - a. El peso promedio ponderado. 4 - 6 - 7 - 5 - 8 - 10 - 9 - 0 - 3 - 0 - 2 - 0 - 8 - 9 - 22 - 16 - 0 - 4 - 7 - 0 - 12 - 11 - 0 - 6 - 8 - 0 - 0 - 9 b. El precio promedio ponderado por kilo- gramo. a. Calcula la media, la mediana, moda, rango y desviación estándar. b. ¿Qué valores distorsionan la media y no son representativos del curso? 66 Estadística II
    • Unidad 2 ESTADÍSTICA II7. La siguiente tabla presenta los puntajes a. Obtén e interpreta un intervalo con un 95% obtenidos por los jóvenes que rindieron la PSU de confianza para el verdadero promedio. Matemática en el año 2003. b. Obtén el intervalo con un 80% de confianza Intervalo Frecuencia para la media. [100,149] 193 c. ¿Qué puedes concluir en relación con lo que [150,199] 251 dice el fabricante? [200,249] 1.156 [250,299] 2.747 9. En una misma prueba de Inglés dos cursos, [300,349] 9.152 C y D, obtuvieron resultados cuyos datos esta- [350,399] 10.718 dísticos son los siguientes: [400,449] 24.176 Curso C Curso D [450,499] 27.609 – x 5,0 5,1 [500,549] 28.480 s 0,6 0,5 [550,599] 22.830 [600,649] 14.183 De acuerdo con estos datos: [650,699] 6.223 a. Compara el resultado de ambos cursos. [700,749] 2.721 [750,799] b. Un alumno del curso C obtuvo un 6,0 y uno 1.822 del curso D, un 6,2. ¿A cuál de los dos alum- [800,849] 1.209 nos les fue mejor en la prueba, en relación a su curso? a. ¿Qué porcentaje de alumnos obtuvo punta- jes iguales o superiores a los del intervalo c. Suponiendo que las notas se distribuyeron en [700,749]? forma normal, ¿entre qué notas por debajo y b. Calcula los percentiles 10, 30, 40, 60, 70, 80 por encima del promedio se encuentra el y 90. 68,3% central de los alumnos en cada curso? c. Calcula la mediana y la desviación estándar de esta distribución de puntajes. 10. Un apicultor desea conocer, con fines industria- d. Calcula Q1, Q2 y Q3. les, la cantidad de miel producida por las abejas e. Calcula el segundo decil (D2) y el quinto de colmenas. Estudios anteriores indican que la decil (D5). desviación estándar es de 10 kg anuales. f. ¿A qué percentil corresponde, aproximada- mente, el puntaje 628? a. ¿Cuántas colmenas debe incluir en su estu- dio, si admite un error máximo de 2 kg y un 98% de confianza?8. Un fabricante asegura que el contenido pro- medio de nicotina de sus cigarrillos es de 2 mg. b. Si desea disminuir su error en un 50%, ¿cuán- Para verificar esto se realizó un estudio con una tas colmenas más debe incluir en el estudio? muestra aleatoria de 45 cigarrillos, obtenién- c. ¿Qué relación hay entre los resultados obte- dose un promedio de 3 mg de nicotina. Se sabe nidos? que el contenido de nicotina de un cigarrillo sigue una distribución normal con desviación estándar de 0,5 mg. Estadística II 67
    • UNIDAD 3 Función Potencia y Logarítmica Muy cerca del lugar donde se clonó a la oveja “Dolly”, en Inglaterra, nació y vivió John Napier (1550 - 1617), quien sin ser un matemático de profesión contribuyó al desarrollo de una herramienta que simplificó los cálculos matemáticos y mercantiles: los logaritmos. En tu tercer año de educación media hubo una aproximación al tema de los logaritmos, específicamente como una ayuda para calcular el pH de algunas sustancias. Recordarás que el pH representa el grado de acidez y se expresa como: pH = –log H+ donde H+ corresponde a la concentración de iones de Hidrógeno y que generalmente se expresa como potencia de 10. 68 Función Potencia y Logarítmica
    • En esta unidad aprenderás a... Trabajar con distintas funciones identificando: dominio, recorrido, periodicidad y gráficos. Obtener funciones inversas. Usar programas computacionales para graficar y resolver problemas. Conocer las funciones potencia y logarítmica: dominio, recorrido y gráficos. Trabajar con logaritmos en base 10. Resolver ecuaciones logarítmicas. Explora Realiza el laboratorio 1correspondiente a la unidad 3 que aparece enwww.santillana.cl/emedia/mat4 Función Potencia y Logarítmica 69
    • REPASO Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA¿Cuánto sabes? 1. Completa con el número que falta para que la igualdad sea verdadera. –5 1 a. = f. : 75 = 74 • 7–2 32 5 10 b. 107 • = 104 g. 642 = 2 1 10 c. 5 = h. = 1.024 625 7 343 d. (–6) = –216 i. – =– 8 512 4 256 2 1 e. = j. – = 81 2 2 2. Grafica las siguientes funciones. a. y = 8x – 3 d. y = –2x2 + 1 g. m(x) = 9 + 4x b. y = 3x2 e. g(x) = 5 h. q( x ) = x + 6 − 2 c. f( x ) = − x + 4 f. h(x) = –7x i. y= 6 – 5x2 3. Determina para qué valores están definidas las siguientes funciones reales. 2 a. f(x) = 2 f. m(x) = 4x2 – (2x)2 + 5 x –1 b. g(x) = (x – 3) (x + 8) g. n(x) = x2 + 2ax + a2 3 1 – x2 c. h( x ) = 6 + h. p(x) = x −1 x+1 4 x+2 d. i(x) = i. q(x) = 2 x+1 x + 10x + 25 1 e. k( x ) = x − a j. u( x ) = x − b2 4. Determina los intervalos para los cuales las siguientes funciones son crecientes y decrecientes. a. u(x) = –(x + 5)2 b. v( x ) = 2 − x + 4 c. w(x) = 3 + (10 – x)2 70 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA5. Completa el cuadro, indicando a qué intervalo debe pertenecer x para que la función sea negativa, cero o positiva. f<0 f=0 f>0 1 1 f(x) = – x x–3 f(x) = x2 – 10 f( x ) = 11 − x f(x) = |x – 5| f(x) = 1 – 4x2 f( x ) = x + 7 1 Propiedades de las potencias: ¿Qué debes am • an = am + n recordar? am am : an = n = am – n, a ≠ 0 a n am =am•n m n m a = an , con n ≠ 0 2 Función creciente y decreciente: f(y) Sean a, b a. Una función f es creciente en el intervalo f(x) ]a, b[ si dados x e y cualquiera en ese intervalo, se tiene x y x < y ⇒ f(x) < f(y) f(x) b. Una función f es decreciente en el intervalo ]a, b[ si dados x e y cualquiera en ese intervalo, f(y) se tiene x < y ⇒ f(x) > f(y) x y Si en la gráfica de la función cuadrática, el vértice es el punto más bajo de los valores del eje Y, entonces el eje de simetría indica un cambio de decreciente a creciente. Por el contrario, si en la gráfica de una función cuadrática, el vértice es el punto más alto de los valores en el eje Y, entonces el eje de simetría indica un cambio de creciente a decreciente. Función Potencia y Logarítmica 71
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA FuncionesAY U D A En cursos anteriores has estudiado diversos tipos de funciones: función porUn método para encontrar el tramos, función cuadrática, etc.recorrido de f(x) es despejar la Recordemos el concepto de función:variable x y luego analizar losvalores que puede tomar la va-riable y en la expresión resultante. Una función es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto A un único elemento f(x) de un conjunto B, donde A se conoce como dominio (dom(f)) de la función y B es el conjunto de llegada o codominio, además el conjunto de valores que la función puede tomar se conoce como imagen o recorrido (rec(f)).TIPS Por ejemplo, consideremosMuchas de las teclas de la calcu- 5 ºCladora definen funciones, por a la función f(x) = (x – 32) 9 50ejemplo, la tecla funciona que convierte gradosasí: Fahrenheit (ºF) a 25 9 = aparecerá en lapantalla 3, que es la imagen de 9 grados Celsius (ºC). ºFen la función y = x . -75 -50 -25 0 25 50 75Sin embargo, si remplazamos 9 Dominio de fpor –4, aparecerá –E–. Esto nos Por ejemplo, f(32) = 0 indica -25indica que –4 no pertenece al que 32 ºF equivalen a Recorrido de fdominio de la función, y por 0 ºC, f(5) = –15 indica que -50ende, no podemos encontrar su 5 ºF son equivalentesimagen. a –15 ºC, etc.EJERCICIOS1. Si x es un número natural, se define f(x) de la 3. Si f(x) = |x – 1| + |x – 2|, completa los datos que siguiente manera: faltan en el gráfico de f(x). Indica el dominio y Si x = 1 o x = 2, f(x) = 1 recorrido de f(x). Si x > 2 entonces f(x) = f(x – 1) + f(x – 2) Y a. Calcula: f(1), f(2), f(3), f(4), f(5) y f(6). b. Determina el dominio y el recorrido de la función.2. Determina el dominio y recorrido de: x a. f(x) = c. f( x ) = x + 2 x–1 X 1 1 x +1 b. f(x) = + d. f( x ) = x x–1 x −1 72 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAFunción inversa 5 AY U D AConsideremos la función f(x) = (x – 32) estudiada anteriormente. 9 • Observa que la función inversaBuscaremos una expresión que nos permita expresar grados Celsius en en función de y también sefunción de grados Fahrenheit, para esto debemos expresar x en función de representa con x.f(x), es decir, despejaremos la variable x de la expresión original. • Se define una composición de funciones como una función 5 5 denotada por (g o f)(x) que y = f(x) = (x – 32) y = (x – 32) 9 9 resulta de aplicar primero f sobre x y después g sobre el 9y = 5(x – 32) resultado obtenido. Es decir: 9 (g o f)(x) = g[f(x)]. y = x – 32 –1 5 • Observa que: (fof )(x) = x 9 x = y + 32 5 TIPSLa expresión obtenida en el proceso anterior se conoce como función inversade f, y se escribe como f –1(x). Luego, tenemos por ejemplo: Criterio de la recta horizontal. No todas las funciones tienen inver- 5 9 f(–4) = (–4 – 32) = –20 y f –1(–20) = (–20) + 32 = –4 sa. Por ahora, puedes utilizar un 9 5 método que se basa en el gráfico para saber si una función tiene o no tiene inversa. Uno de los PA R A A R C H I VA R métodos consiste en trazar una recta imaginaria paralela al eje X f –1(x) corresponde a la función inversa de f(x). Para determinar la y moverla de arriba a abajo. Si función inversa de una función f(x), despejamos la variable x. Además, intersecta a la función en dos o si f(a) = b entonces f –1(b) = a. más puntos, entonces la función NO tiene inversa.EJERCICIOS1. Encuentra la inversa de la función 3. Determina, a partir del gráfico, cuáles de las x–1 siguientes funciones tienen inversas. y = f(x) = , con x ≠ 3. x–3 a. c. a. ¿Cuál es el dominio de f –1(x)? b. ¿Cuál es el recorrido de f –1(x)?2. Encuentra la función inversa para: 3x – 5 1 b. d. a. y = c. y= x+ 10 2 1 b. y = 3 + x − 4 d. y = x +1 Función Potencia y Logarítmica 73
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Funciones periódicas Observa las siguientes gráficas correspondientes a las funciones sen(x) y cos(x), respectivamente. Y y = f(x) = sen(x) Y y = f(x) = cos(x) 1 1 3π 2 πLa válvula de aire de la rueda π π 2π X π 3π 2π X 2 2 2de una bicicleta describe una -1 -1curva periódica conocida comocicloide. Esta curva está dadapor las ecuaciones: ¿Qué puedes observar?x = x(t) = a(t – sen(t));y = y(t) = a(1 – cos(t)) • El recorrido de ambas funciones corresponde al intervalo [–1, 1].(a: radio de la rueda) • Ambas funciones tienen un comportamiento que se repite cada ciertos valores. • El comportamiento de ambas funciones nos permiten predecir cómo será la prolongación de su gráfica. • Tanto la función sen(x) como cos(x) son funciones periódicas, con período AY U D A de 360º o 2π. Y T PA R A A R C H I VA R Una función f es periódica de período T, si T es el menor número posi- tivo tal que x + T está en el dominio de la función y f(x) = f(x + T). Gráficamente se puede observar que la función se repite en intervalos x x+T X de largo T.EJERCICIOS 1. Observa las siguientes gráficas e indica 2. El siguiente gráfico Y el período de la función representada. corresponde a la función tan(x). -π π Y -π 2 π 1 2 a. y = X cos(x) a. Indica el dominio -π π -π 2 2 π y recorrido de X la función. b. ¿Cuál es el período de tan(x)? b. y = sen(x) • cos(x) Y 3. Gráfica las siguientes funciones e indica si son periódicas o no; en caso afirmativo, indica el π período. (Puedes usar un computador) 2 π X 1 cos(x) a. y = c. y = tan(x) sen(x) b. y = sen(x + 24) d. y = x2 + tan(x) 74 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAGráficos con Javamath TIPSLa utilización de programas computacionales, resulta muy útil para el análisis Javamath fue un proyecto desa- rrollado por David Eck en elde funciones. En esta página te enseñaremos acerca de Java Components Hobart and William Smithfor Mathematics, un sitio web que utiliza el lenguaje de programación Java Colleges, en el año 2001.para desarrollar applets (pequeños programas de aplicación) que comple-mentan y apoyan el aprendizaje de las matemáticas. Además, puedesdescargar el sitio completo a tu computador.Este programa funciona mediante elingreso de funciones, en las cualespuedes variar los parámetros y observarsu comportamiento. Veamos cómoingresar dichas funciones:1. Ingresamos a http://math.hws.edu/javamath/2. Con el mouse seleccionamos "Configurable applets"3. Seleccionamos "MultiGraph", luego "Launch MultiGraph".4. Ingresamos las funciones a graficar en f1(x), f2(x), f3(x) o f4(x).Ejemplo AY U D AQueremos comparar la gráfica de las Observa que la función raízfunciones f(x) = x2, para x 0, y su cuadrada de x se ingresó comoinversa dada por f ( x ) = x . −1 sqrt(x). Para ver cómo se ingresan otrasIngresamos ambas funciones en funciones puedes buscar enf1(x) y f2(x) respectivamente "Configurable applets":(ver pantalla adjunta). "Expressions in JCM"EJERCICIOSUtilizando Javamath, realiza lo siguiente: 2. Grafica las siguientes funciones e indica1. Grafica las siguientes funciones y determina dominio, recorrido y período. si tienen o no inversa. a. f(x) = sen2 (x) d. f(x) = x2 + x + 41 1 a. f(x) = d. f(x) = |x – 2| x–1 1 1 1 b. f(x) = e. f(x) = + 1 sen(x) • cos(x) x x–1 b. f(x) = e. f(x) = x3 x c. f(x) = cos x 1 c. f(x) = x2 Función Potencia y Logarítmica 75
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Función potencia Observa las siguientes gráficas correspondientes a la función f(x) = x2 y g(x) = x3. f(x) = x2 g(x) = x3 ¿Cuál es el dominio de cada función? Ambas funciones están definidas para todo , es decir: dom (f) = dom (g) = ¿Cuál es el recorrido de cada función? En el primer caso, el rec (f) es + y en el segundo es rec (g) = o . Las funciones estudiadas anteriormente pertenecen al tipo de función denominada función potencia: axn. PA R A A R C H I VA R Una función potencia es una función de la forma f(x) = axn, donde a es un número real y n = 0, 1, 2, 3,… Su dominio es .EJERCICIOS1. Utilizando algún programa computacional, o 2. Se quiere construir una caja de cartón con bien en papel milimetrado, grafica las siguientes forma similar a un paralelepípedo recto de base funciones. Luego responde. cuadrada. Se dispone de 12 dm totales de cinta para pegarla en cada una de sus aristas. ¿Cuál y = x4 y = x5 y = x6 y = x7 es el mayor volumen que puede tener la caja? a. Las funciones dadas, ¿son simétricas? 3. Determina para qué valores de x las siguientes b. A medida que el exponente aumenta, ¿qué funciones son positivas. sucede con las gráficas de las funciones? 2 3 c. ¿Cuál es el dominio de cada función? a. y = 4x2; b. y = x 3 d. ¿Cuál es el recorrido de cada función? 76 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAAnálisis de la función potenciaExponente parLos siguientes gráficos corresponden a la función y = axn, para n par. y = x2 y = x4 y = x6 Y Y Y EN EQUIPO Grafiquen las siguientes funciones: 2 2 X X X y = 0,05x y=x 2 2 y = 3x y = 5x ¿Qué sucede a medida que a crece? ¿Ocurrirá lo mismo para a < 0? y = –x2 y = –x4 y = –x6 Y Y Y X X XObservando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones: TIPS n• Si a > 0, entonces la gráfica de la función y = ax , para n par tiene su vértice en el punto más bajo de la curva. Si f(x) = f(–x), para cualquier x• Si a < 0, entonces la gráfica de la función y = axn, para n par, tiene su en el dominio, la función f es par. vértice en el punto más alto de la curva.• En ambos casos las gráficas presentan simetría respecto al eje Y, es decir, f(x) = f(–x), para todo x perteneciente al dominio de la función. PA R A A R C H I VA R Sea y = axn una función potencia con n par, entonces: Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la función es de la forma: es de la forma: Y Y 3 3 2 2 1 1 IR A LA WEB -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 X -1 -1 Desarrolla el laboratorio 2. -2 -2 www.santillana.cl/emedia/mat4 -3 -3 Función Potencia y Logarítmica 77
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Exponente impar Ampliaremos nuestro análisis para n impar. 1 5 y = 2x3 y= x y = 4x7 3 Y Y YEN EQUIPODeterminen qué sucede con elgráfico de una función de la n X X Xforma y = ax para 0 < a < 1 y nimpar. 3 3 1 7 y=– x y = –3x5 y=– x 2 2 Y Y Y X X X Observando los gráficos podemos obtener las siguientes conclusiones:TIPS • Si a > 0, la gráfica de la función se encuentra en el primer y tercer cua-Si f(–x) = –f(x), para cualquier x drante.en el dominio, a función f es • Si a < 0, la gráfica de la función se encuentra en el segundo y cuartoimpar. cuadrante. • Las gráficas presentan simetría central respecto al origen, es decir, f(–x) = –f(x), para todo x perteneciente al dominio de la función. PA R A A R C H I VA R Sea y = axn una función potencia con n impar, entonces: Si a > 0, la gráfica de la función Si a < 0, la gráfica de la función es de la forma: es de la forma: Y Y X X 78 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICATraslaciones verticales y horizontalesLa figura muestra las gráficas Y EN EQUIPOde las siguientes funciones:y = x3 Comprueben que para el caso 3 de funciones potencia con expo-y = (x + 2) nente par, también se cumple 1y = (x – )3 este tipo de traslación. 2 XPodemos observar que el gráfico deestas funciones polinomiales es elmismo pero trasladado con respectoal de la función potencia: x3. AY U D A Las funciones polinomiales o PA R A A R C H I VA R polinómicas son aquellas que se pueden formar sumando fun- ciones potencia, cuyos expo- Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n, nentes correspondientes son con c > 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la izquierda. enteros. Ejemplos, f(x) = 3x2 + x + 1 Si f(x) = axn, entonces la gráfica de la función polinomial g(x) = a(x + c)n, f(x) = –3x5 – 1 con c < 0, es idéntica a la de f pero trasladada hacia la derecha. f(x) = 3x4 + x3 + x2 + x – 7EJERCICIOS1. Grafica las siguientes funciones (puedes 4. Indica la función que representa a cada una utilizar un programa computacional): de las siguientes gráficas. a. y = x4 y = (x + 2)4 y = (x – 2)4 Y b. y = 2x3 y = 2(x – 1)3 y = 2(x + 1)32. Construye 2 funciones polinomiales que corres- pondan a una traslación horizontal en cada X caso. Dibuja los gráficos. a. y = –3x3 b. y = 5x4 c. y = –5x5 5. Comprueba que para una función del tipo3. A partir del gráfico de la función f(x) = 2x5, f(x) = axn + c, con n par, su recorrido está dado haz un bosquejo de g(x) = 2x5 + 3. por el intervalo [c, + [. a. ¿Qué semejanzas encuentras? 6. Determina el dominio y recorrido de las b. Según lo obtenido, ¿cómo se obtiene una funciones del ejercicio 1, e indica para qué función trasladada verticalmente con valores son positivas. respecto a f(x) = –3x2? Función Potencia y Logarítmica 79
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAHISTORIA Concepto de logaritmo Logaritmo de un número A partir de la expresión bn = p, podemos plantear distintas ecuaciones, dependiendo de cuál de sus tres elementos es el desconocido. Caso I: Se desconoce el valor de la potencia: p. John Napier (1550 - 1617). Si p = x, entonces se tiene la ecuación x = bn. Esto implica el cálculo del valor de una potencia, operación que se denominaLos logaritmos fueron inventados potenciación.por John Napier. “Descripción dela maravillosa regla de los loga- El valor de x es la enésima potencia de b.ritmos”, es el título del libro que x = bn ⇒ Ejemplo: x = 34 = 81publicó en 1614. El términoacuñado por él tiene la descom-posición: Caso II: Se desconoce el valor de la base de la potencia: b.logos razón, Si b = x, entonces se tiene la ecuación xn = p.aritmos números. Esto implica el cálculo del valor de una raíz enésima, que se denomina radicación. El valor de x es la raíz enésima de p. xn = p ⇔ x = n p ⇒ Ejemplo: x3 = 64 ⇒ x = 3 64 = 4TIPS Caso III. Se desconoce el valor del exponente de la potencia: n. Si n = x, entonces se tiene la ecuación exponencial bx = p.En relación al logaritmo se puedededucir que, tal como una poten- Esto implica calcular el exponente de una potencia conocida su base y sucia se puede escribir como un valor, operación que se denomina logaritmización.logaritmo, de manera recíproca, Este exponente x es el logaritmo de p en base b, lo que en símbolos seun logaritmo puede expresarse representa por:en forma exponencial. x = logb p ⇔ bx = p Ejemplo: x = log2 16 ⇔ 2x = 16 ⇒ 2x = 24 ⇒ x = 4 PA R A A R C H I VA R Dada la expresión bx = p ⇔ x = logb p podemos decir que el logaritmoTIPS es el exponente de una potencia, siendo p un valor real positivo. La expresión logb p se leerá como: “logaritmo de p en base b“En algunas textos, el número pen la expresión logb p, recibe elnombre de antilogaritmo o Ejemplosargumento. a. Calcula el valor de log7 343. log7 343 = x ⇔ 7x = 343 = 73 ⇒ x = 3 ⇒ log7 343 = 3AY U D A b. Obtener el valor de x en logx 32 = 5. logx 32 = 5 ⇒ x5 = 32 ⇒ x = 32 ⇒ x = 2 5 nRecuerda que, x = c ⇒ x = n c 80 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICABase de un logaritmoRevisemos algunas particularidades de los logaritmos.Ejemplo 1: Base positiva. ¿Cuánto resulta log8 512? ¿Cuánto resulta log 1 64? TIPS 2 Los logaritmos más utilizados Sea x = log8 512 Sea x = log 1 64 son los logaritmos decimales (de 2 base 10) que se denotan escri- x 3 entonces, 8 = 512 = 8 biendo simplemente log. x Por convención matemática se 1 entonces, = 64 = 26 ⇒ x=3 2 ha establecido que cuando la base del logaritmo es 10, se puede representar por la x –6 1 1 expresión log (x). Entonces, = ⇒ x = –6 log10 (x) = log (x). Sin embargo, 2 2 hay libros que no la utilizan, ya que no existe una única¿Qué podrías concluir? notación universal, pero en este texto la ocuparemos.Ejemplo 2: Base negativa.¿Cuánto resulta log(–2) 8?Sea x = log(–2) 8, entonces (–2)x = 8 = 23No existe un valor real de x, tal que (–2)x sea igual a 8.Ejemplo 3: Base igual a 1. 1 TIPS ¿Cuánto resulta log1 5? ¿Cuánto resulta log1 ? 4 Se denomina sistema logarítmico 1 Sea x = log1 5 Sea x = log1 al conjunto de todos los logarit- 4 mos que tienen la misma base. 1 entonces, 1x = 5 entonces, 1x = Ejemplo: 4 log3 3, log3 5, log3 27 y log3 81 son logaritmos del sistema de No existe un valor real de No existe un valor real de x, 1 base 3. x x, tal que 1 sea igual a 5. tal que 1x sea igual a . 4¿Será una restricción considerar 1 como base de un logaritmo? PA R A A R C H I VA R En relación a la base de un logaritmo: - es siempre positiva; IR A LA WEB - el número 1 no puede ser considerado como base de un logaritmo. En general, la base de un logaritmo es un número real positivo distinto Desarrolla el laboratorio 3. de 1. Es decir, en la expresión logb p, la base b pertenece a los + – {1}. www.santillana.cl/emedia/mat4 Función Potencia y Logarítmica 81
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Propiedades de los logaritmos Ya vimos que un logaritmo es el exponente de una potencia y, por lo tanto, puede ser escrito en forma exponencial. O sea, a partir de las propiedades de las potencias, se pueden demostrar las propiedades de los logaritmos. Para las propiedades consideraremos un sistema logarítmico de base b, donde b pertenece a los + – {1}. Las propiedades son las siguientes.TIPS 1. Logaritmo de la unidad 2. Logaritmo de la base del sistemaEn relación a las propiedades de logb 1 = 0 logb b = 1los logaritmos se debe tener Ejemplo: log5 1 = 0 Ejemplo: log3 3 = 1presente lo siguiente:logb (p • q) ≠ logb p • logb q 3. Logaritmo de una potencia 4. Logaritmo de una raízlogb (p + q) ≠ logb p + logb q logb an = n • logb a n m logb am = • logb alogb (p – q) ≠ logb p – logb q n Ejemplo: Ejemplo: logb p p ≠ log2 43 = 3 • log2 4 = 3 • 2 = 6 6 5 5 5 logb q q log4 45 = • log4 4 = • 1= 6 6 6 5. Logaritmo de un producto 6. Logaritmo de un cociente logb (a • c) = logb a + logb c a logb = logb a – logb cAY U D A c Ejemplo:Dado un determinado logaritmo Ejemplo log2 24 = log2 (4 • 6)podemos encontrar su valor con 81 log3 = log3 81 – log3 243una calculadora científica. = log2 4 + log2 6 243Observa atentamente. = 2 + log2 6 =4–5=–1Ejemplo 1. Logaritmo decimal.Calcular log 20,6.En algunas calculadoras debes 7. Logaritmo de una potencia 8. Fórmula de cambio de baseseguir los siguientes pasos: con igual base logc B logb B =1º Anota el número (20,6). logc b logb bn = n2º Pulsa la tecla logEl valor es 1,313… Ejemplo para todo b, c, B > 0; b, c ≠ 1En otras calculadoras, se procedeprimero con el paso 2º y luego 1º. log6 63 = 3 Ejemplo log5 log2 5 =Ejemplo 2. log2Para calcular el valor de log3 7,primero se debe hacer un cam-bio de base, ya que la base del Revisemos algunas demostraciones de las propiedades anteriores.logaritmo no es 10. Propiedad 1 Propiedad 7 log 7Entonces, x = log3 7 ⇒ x = log 3 logb 1 = x ⇔ bx = 1 logb b = x ⇔ bx = bn ⇒ b(x – n) = 1Con este cambio a base 10, basta bx = b0 ⇒ x = 0 ⇒ x – n = 0 (b ≠ 1)obtener el cociente entre los va-lores del log 7 y log 3. logb 1 = 0 x=n logb b = n 82 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAEJERCICIOS1. Calcula cada uno de los siguientes logaritmos. 5. Utilizando calculadora encuentra el valor de 1 las siguientes expresiones. a. log9 243 f. log6 36 a. log 4 b. log6 7 c. log7 9 d. log6 11 9 b. log2 128 g. log 3 2 4 6. Demuestra las siguientes propiedades. c. loga a9 h. loga a8 a. logb an = n • logb a n m m d. log0,7 0,343 i. log8 16 b. logb a = • logb a n 5 2 e. log16 8 j. loga a c. logb (a • c) = logb a + logb c a2. Dada cada expresión, encuentra el valor de x. d. logb = logb a – logb c c a. log2 x = 6 c. log 3 x = –2 4 7. Reduce cada una de las siguientes expresiones a un solo logaritmo. b. log0,3 x = 3 d. log0,004 x = –3 a. 2logb 3 + 3logb 23. Calcula el valor de cada una de las siguientes 1 expresiones. b. logb c – 6logb a 2 a. log4 64 + log 1.000 + log5 125 3 2 3 2 c. logb a – logb c – logb d + logb e 4 3 4 3 4 125 b. log 2 – log 5 + log 10.000 2 3 3 9 6 216 d. logb c + logb a – 1 3 5 c. 2log5 25 – 3log7 49 + 4log8 4.096 1 3 e. logm a – 2logm b + logm c – 3logm d 3 4 d. 2 log 100.000 – 2 log4 256 + 4 log2 32 f. logb (x2 + 1) + logb (x + 1) + logb (x – 1)4. Desarrolla cada una de las siguientes expre- 1 g. logp (x + y + z) – 4logp (x – y – z) siones, utilizando propiedades. 4 a2 b4 c5 h. logp (x + 3) – 4logp (x – 2) a. logp d2 3 4 8. Si log6 2 = A, log6 3 = B y log6 5 = C, expresa b. logm (a – b) c 1 en términos de A, B y C. (d + f) 5 . a. log6 5.400 c. logb (x2 – 9x – 22) 8 8 7 6 3 b. log6 90 d. logb (100x – 80x + 16x ) e. logb (x3 + y3)2 c. log6 216 1.080 d. log6 32.400 Función Potencia y Logarítmica 83
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Función logarítmica La función logarítmica se representará por f(x) = logb (x), donde la base b es un valor perteneciente a + – {1}. Para estudiar las características de la función logarítmica, graficaremos en Javamath, algunas de ellas.AY U D A Caso I. Consideremos la función logaritmica: f(x) = logb (x), con b > 1. Grafiquemos en un mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones:El programa Javamath acepta como f1(x) = log2 (x), f2(x) = log3 (x), f3(x) = log4 (x) y f4(x) = log5 (x).expresiones válidas los siguienteslogarítmos: log10 y log2 . YPara escribir expresiones en elcomputador debes usar lo si-guiente:f(x)=log10 x ⇒ f(x)=log10(x)f(x)=log2 x ⇒ f(x)=log2(x)Para otras base deberás usar Xcambio de variable:f(x)=log3x⇒ f(x)=log10(x)/log10(3) Si observamos los gráficos de las funciones anteriores, podemos generalizar con respecto a la función f(x) = logb (x) que para b > 1: • La curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisas X en el punto (1, 0). • La función es creciente para todo valor real de x. • El dominio de la función son los números reales positivos: +EJERCICIOS1. Utilizando Javamath, grafica las siguientes 2. Dada la función y = log7 (x), grafícala y deter- funciones. Luego, responde en tu cuaderno. mina observando el gráfico, el valor aproximado a las décimas de los siguientes logaritmos. i. f(x) = log5 (x) iii. f(x) = log15 (x) ii. f(x) = log10 (x) iv. f(x) = log20 (x) a. log7 (4) c. log7 (10) b. log7 (7) d. log7 (2) a. ¿Qué semejanzas y diferencias observas entre las gráficas? Justifica. 84 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICACaso II. Consideremos la función f(x) = logb (x), con 0 < b < 1.En un mismo sistema de coordenadas grafiquemos las siguientes funciones:f1(x) = log 1 (x), f2(x) = log 1 (x), f3(x) = log0,6 (x) y f4(x) = log0,75 (x). 3 2 Y XObservando las gráficas anteriores de la función, con 0 < b < 1, se puedegeneralizar lo siguiente:• la curva asociada a la función logarítmica intersecta al eje de las abscisas X en el punto (1, 0).• La función es decreciente para todo valor real de x.• Los reales positivos son el dominio de la función: +.¿Qué conclusiones puedes sacar de ambos casos? PA R A A R C H I VA R La función logarítmica, f(x) = logb (x), tiene las siguientes características: - El dominio de la función son los números reales positivos. - El conjunto de valores que puede tomar la variable y (recorrido) es . - La curva asociada a la función, intersecta al eje de las abscisas en el punto (1, 0). Si b > 1, entonces la función Si 0 < b < 1, entonces la función es creciente. es decreciente. Y Y IR A LA WEB X X Desarrolla el laboratorio 4. www.santillana.cl/emedia/mat4 Función Potencia y Logarítmica 85
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAEJERCICIOS1. Dada la función logarítmica f(x) = log2 (x), 2. Determina si las siguientes proposiciones son determinar: verdaderas o falsas. Justifica las falsas. 1 a. La función f(x) = log(x) es creciente. a. f(4) e. f 64 b. La gráfica de la función f(x) = log3 (x) pasa por el punto (2, 9). 1 c. Una función logarítmica es decreciente b. f(16) f. 2f(2) – 6f 2 para valores negativos de x. d. Una función logarítmica es siempre 1 c. f(32) g. 2f(4) + 3f(32) – f creciente. 8 e. La gráfica de una función logarítmica es 1 1 siempre simétrica con respecto al eje d. f h. 2f(128) – 8f de las abscisas. 8 128 f. El punto, (1, 0) pertenece a cualquier función logarítmica. Distintas gráficas de la función logarítmica + Ya conocida la función f(x) = logb (x), con b perteneciente a – {1}, analizaremos distintas gráficas según sea el caso. Caso I. Función logarítmica f(x) = a logb (x) con a perteneciente a . Graficaremos las siguientes funciones. b = 10 y a > 0 Y f3(x) b = 10 y a < 0 Y f2(x) f1(x) = log (x) f1(x) f1(x) = log (x) f4(x) X f1(x) f2(x) = 2 log (x) f2(x) = –3 log (x) X f4(x) f2(x) f3(x) = 4 log (x) f3(x) = –5 log (x) f3(x) f4(x) = 0,5 log (x) f4(x) = –0,3 log (x) b=2ya>0 Y f3(x) b=2ya<0 Y f1(x) = log2 (x) f2(x) f1(x) = log2 (x) f1(x) f1(x) f4(x) f2(x) = 2 log2 (x) f2(x) = –3 log2 (x) X f4(x) X f3(x) = 4 log2 (x) f3(x) = –5 log2 (x) f2(x) f4(x) = 0,5 log2 (x) f4(x) = –0,3 log2 (x) f3(x) 86 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAObservamos, en las gráficas anteriores, que dada la función f(x) = a logb (x),con b perteneciente a + – {1} que:• Si a > 0, la gráfica de la función será siempre creciente.• Si a < 0, la gráfica de la función será siempre decreciente.¿Qué otras conclusiones se podrían obtener de las gráficas anteriores?con Caso II. Sea f(x) = logb (x + a), con a ∈ . Caso III. Sea f(x) = logb (x) + a, con a ∈ . Y Y Para b = 10 Para b = 10 f2(x) f1(x) = log (x) f1(x) = log (x) X f1(x) f2(x) = log (x + 1) f2(x) = log (x) + 3 X f3(x) f3(x) = log (x – 1) f3(x) = log (x) – 3 f2(x) f1(x) f3(x)En el caso II, observamos que las gráficas corresponden a traslaciones hori- EN EQUIPOzontales de la función f1(x) = log (x) y según sea el valor de a, positivo onegativo, la traslación es hacia la izquierda o hacia la derecha, respectiva- Discutan la siguiente pregunta.mente. En el caso II o III, ¿cambiará la gráfica de la función si la baseEn las gráficas del caso III, las traslaciones son verticales, hacia abajo o hacia del logaritmo toma otro valor?arriba, según sea el valor positivo o negativo de a. Justifiquen su respuesta.EJERCICIOS1. Utilizando algún programa computacional c. ¿Las funciones son crecientes o decrecientes? grafica las siguientes funciones logarítmicas. Luego indica el tipo de traslación en relación a 3. Grafica en un mismo sistema de coordenadas la función f(x) = log (x). las siguientes funciones, y luego responde. i. f(x) = log (x) y f1(x) = –log (x) a. f(x) = log (x) + 4 c. f(x) = –log (x + 1) ii. g(x) = log2 (x) y g1(x) = –log2 (x) b. f(x) = log (x – 5) d. f(x) = 2 log (x) – 3 iii. m(x) = log (x – 4) y m1(x) = –log (x – 4)2. Grafica las siguientes funciones, y luego responde. a. ¿Qué diferencias y semejanzas encuentras entre las gráficas de las funciones de i?, i. f(x) = log (x – 1) + log (x + 1) ¿y de ii?, ¿y de iii? ii. f(x) = log (x + 2) + log (x – 2) b. En las funciones de i, ii y iii, ¿cuál es iii. f(x) = log (x – 3) + log (x + 3) el punto de intersección con el eje X? a. ¿Qué regularidad observas entre las gráficas? c. ¿Cuál es el dominio de las funciones i, ii b. ¿Cuál es el dominio de cada función? y iii? Función Potencia y Logarítmica 87
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Profundizando en los logaritmos Googol y grandes númerosHISTORIA En muchas ocasiones es necesario trabajar con grandes cantidades, por esto a lo largo del tiempo se han establecido algunas abreviaturas para expresar dichas cantidades de manera más sencilla. En 1930, Edward Kasner popularizó el número “googol”, es decir, un número que tiene 100 ceros: 10................0. En 1953 un comité internacional de pesos y medidas sugirió las siguientes denominaciones (n – plex es 10n): Arquímedes (287 a. C. - 212 a. C.)Arquímedes, el sabio griego de 10 mil millones dekaplex 1010la Antigüedad, estaba interesa- googol hectoplex 10100do en determinar la cantidad degranos de arena que cabrían en kiloplex 10 1.000el Universo y afirmaba que megaplex 10 1.000.000aunque podría ser un númeromuy grande, no significaba que gigaplex 10 1.000.000.000fuese infinito. teraplex 10 1.000.000.000.000 googolplex 10 goolgol o hectoplexplex Ejemplo Calculemos log (n – plex). Sabemos que n – plex equivale a 10n, entonces: log (n – plex) = log 10n = n log 10 =n entonces log (n – plex) = nEJERCICIOS1. Completa. b. ¿Qué número es mayor: 6970 o 7069? a. log (googol) b. log (log googol) 3. El número de configuraciones de un cubo de c. log log log (googolplex) Rubik es, según la matemática de conteo: 227 • 314 • 53 • 72 • 112. Verifica la siguiente afirmación: a. Demuestra que este número tiene 20 cifras. “El número de dígitos de un número n está entre b. ¿Es mayor o menor que 43 trillones? log n y (log n + 1) o, dicho de otra manera: si n > 0, entonces n tiene [log n] + 1 dígitos, 4. Demuestra que: donde [log n] equivale a la parte entera”. log (hectoplex-plex) = googol a. Determina el número de dígitos de 2195. 88 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICALogaritmo natural o neperiano AY U D AEntre las funciones logarítmicas, merece especial importancia aquella que ytiene como base el número irracional e. La denotaremos por y = loge x, o 1 y=bien y = ln x y se lee "logaritmo natural de x". xEl gráfico de esta función es el siguiente: Y 1 u x Neper concibió los logaritmos como el área bajo la curva. Así ln uSabemos que e > 1, por lo tanto es el valor numérico del áreasus características son similares bajo y = 1 entre 1 y u.a las funciones logarítmicas x Xde bases mayores que 1. AY U D A Recuerda que e 2,7182818 PA R A A R C H I VA R Sea y = logb x, con b = e 2,7182…., entonces loge x se representa por ln x y se llama logaritmo natural de x. Además, ln 1 = 0 y ln e = 1.EJERCICIOS1. Dada la función y = ln x, calcula utilizando 3. En los siguientes gráficos aparece la función calculadora científica, el valor de y para los 1 y = f(x) = para x > 0. siguientes valores de x. x 1 1 a. 1 b. 2 c. 5 d. e. Y Y 2 52. Usa una calculadora científica para resolver. 1 1 y= y= x x a. ln 2 1 1 1 1 1 b. Calcula 2 + • 3 + • 3 3 3 5 35 c. ¿Qué sucede si agregas más términos a la 1 1,5 2 X 1 1,5 2 X suma en b? d. Escribe la suma del ejercicio b con 7 térmi- Usando las áreas achuradas, completa: nos y determina la diferencia entre este a. < ln 2 < valor y el de ln 2. b. ¿Qué sucede con la precisión de ln 2 si aumentas la división del intervalo [1, 2]? Función Potencia y Logarítmica 89
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Ecuaciones logarítmicas con una incógnita Se denomina ecuación logarítmica con una incógnita a una igualdad en la que intervienen logaritmos y donde dicha incógnita forma parte del argumento (antilogaritmo), de al menos uno de ellos. Ejemplos: log (x + 1) = 1 log (2x + 3) = log (x + 2) En general, para resolver una ecuación logarítmica con una incógnita, hay que escribirlas de la forma, logb f(x) = logb g(x), donde f(x) y g(x) son expre- siones que contienen a la incógnita. Como la función y = logb (x) es “uno aLas ecuaciones logarítmicas nos uno” (inyectiva), es decir, existe un único valor de y para cada valor de x,permiten calcular, mediante la entonces: logb f(x) = logb g(x) ⇔ f(x) = g(x). +expresión pH = log [H ], el pH Lo anterior, junto con las propiedades de los logaritmos, nos permitiráde una concentración acuosa. resolver una ecuación. Ejemplo 1 log (x + 4) = log 2 + log (x + 1) Aplicamos propiedades de los logaritmos. log (x + 4) = log (2 • (x + 1)) Desarrollando el paréntesis e igualando. log (x + 4) = log (2x + 2) “Eliminamos” los logaritmos por ser la función x + 4 = 2x + 2 uno a uno . x=2 Verificaremos la solución, remplazando x = 2 en la ecuación: log (x + 4) = log (2 + 4) = log 6 = log 2·3 = log 2 + log 3 = log 2 + log (2+1) Por lo que x = 2 satisface la ecuación. Ejemplo 2 log (x2 – 18) = log 3 + log x Aplicando las propiedades de los logaritmos. log (x2 – 18) = log (3x) Igualando el argumento de ambos logaritmos. x2 – 18 = 3x x2 – 3x – 18 = 0 Al resolver esta ecuación de grado 2 se AY U D A (x – 6) (x + 3) = 0 obtienen 2 soluciones. Las soluciones de una ecuación x = 6 y x = –3 logarítmica deben ser compro- badas ya que esta función solo Al remplazar x = 6 obtenemos: log (62 – 18) = log 3 • 6. Por lo tanto satisface admite valores positivos, y la ecuación logarítmica. Por otra parte, al tomar x = –3 se obtiene el loga- podría ocurrir que el valor encontrado no satisfaga esta ritmo de un número negativo (–9) para el cual la función logarítmica no está condición. definida. Por lo tanto, x = –3 no es solución de la ecuación. 90 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAEjemplo 3log(x2 – 1) = log (x – 1) Igualando los argumentos de ambos logaritmos.log(x2 – 1) = log (x – 1)x2 – 1 = x – 1x2 – x = 0x(x – 1) = 0 Resolviendo la ecuación de segundo grado.x=0yx=1Para x = 0 obtenemos log (–1), que ya sabemos que no está definido.Para x = 1 obtenemos log (0), que también está indefinido.Por lo tanto, la ecuación logarítmica no tiene solución real, aunque desdeel punto de vista técnico se obtuvieron valores. De aquí la importancia decomprobar tus resultados.EJERCICIOS1. Obtén el valor de x en los siguientes casos. l. log x + 2log x + log x3 – 5log x = 2 1 a. log2 128 = x c. logx 100 = 2 m. log3 [log3 (5x + 2)] = 1 b. log343 7 =x d. log2 322 = x n. log2 [log2 (5x + 6)] = 22. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas. ñ. log2 {log2 [log2 (2x – 8)]} = 0 a. log x = log 7 o. log3 {log3 [log3 (x + 25)]} = 0 b. log x = 4 p. log (x – 4) + log x = log 5 c. log x – log 2 = 3 q. 2log (2x – 1) – 2 = –2log (3x – 4) d. log x + log 7 = log 4 r. log5 (5x – 4) – log5 (2x – 7) = 2 x e. 6 log x = log 64 + log 9 9 4 s. log – x = log – log x 2 2 2 3–x f. log =1 2x + 10 log4 (x2 + 8) t. =2 log4 (x + 3) g. log (x + 3) + log (x – 5) = 2log (x – 6) h. log (3x – 4) – log x + log 5 = log (15x + 2) – log (x + 2) u. log 2x − 3 + log x − 5 + 1 = log 30 1 v. log2 x + log2 6 = log2 30 – log2 5 i. log (x + 5) = log 2 5 j. log (6x + 5) + log (2x + 7) = log (3x + 4) + log (x + 5) w. log (log x3) = –1 1 1 1 k. log (x + 7) – log (x + 5) = log (x2 + 10x + 25) x. log7 x + 1 = log7 x 2 2 2 Función Potencia y Logarítmica 91
    • CONTENIDOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Aplicaciones de los logaritmos La variación de la masa de cierta cantidad de Carbono–14, a través del tiempo, puede calcularse, aproximadamente, aplicando la siguiente función: M(t) = Mi • 0,886t donde Mi (en gramos) es la masa inicial, t (en miles de años) es el tiempo transcurrido y M (en gramos) es la masa de carbono que queda como conse- cuencia de la desintegración radiactiva. Utilizando esta expresión puedes calcular la edad aproximada de cualquier fósil. Ejemplo Supongamos que se halló un fósil con 100 g de Carbono–14 y se sabe que cuando estaba vivo, contenía 200 g de Carbono–14. ¿Cuántos años de antigüedad tiene? Resolvamos este problema con la ayuda de logaritmos. 100 = 200 • 0,886t 1 = 0,886t 2 Aplicando logaritmos. 1 log = t log 0,886 2 1 log t= 2 log 0, 886 t 5,788 Entonces, el fósil tiene aproximadamente 6.000 años. Así como en la situación anterior, existen variadas aplicaciones de los loga- ritmos, en otras áreas del conocimiento, como por ejemplo, física, psicología, música.EJERCICIOS1. Los químicos miden el pH de una solución i. Cerveza, [H+] = 6,31 • 10–5 (condición de ácido o base) mediante la fórmula: ii. Sangre, [H+] = 3,98 • 10–8 pH = –log [H+], donde [H+] es la concentración iii. Vinagre, [H+] = 6,3 • 10–3 de iones de hidrógeno en moles por litro. c. Si el huevo tiene un pH = 7,79, una a. Muchas soluciones tienen un rango de pH manzana un pH = 3,0 y el agua pura un que fluctúa entre 1 y 14. ¿Qué valores de pH = 7,0, encuentra [H+] en cada caso. H+ están asociados a esos valores extremos? b. Encuentra el pH aproximado de: 92 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAEJERCICIOS2. Estudios hechos por agrónomos han demostra- 4. El nivel de decibeles del sonido (db), se puede do que el crecimiento de un bosque se puede calcular mediante la siguiente fórmula: proyectar mediante la expresión: D = 10 log (l • 1012) t M(t) = m (1 + i) donde l corresponde a la intensidad del sonido en que M es la madera que habrá dentro de watts medido en . t años, m la madera inicial e i la tasa de cre- m2 cimiento anual, que en este caso considerare- a. Si se duplica la intensidad del sonido ¿cómo mos como i = 0,03. cambia el nivel de decibeles del sonido? a. Si al inicio se tienen 3 há de madera, b. El umbral auditivo es la mínima intensidad ¿cuántas há habrá dentro de 10 años? de sonido que podemos oír, y corresponde b. Obtener una expresión para t(M). a 10–12. Demuestra que el nivel de decibeles c. ¿Cuántos años tarda en duplicarse la del umbral auditivo es cero. madera del bosque? c. En una multitienda se vende un equipo watts musical que tiene 1.000 de salida.3. Una famosa escala para medir la cantidad de m2 energía liberada por un sismo es la escala de ¿A qué nivel de decibeles corresponde esta Richter, representada por la ecuación: intensidad? d. Si en la misma tienda se vende otro equipo log E = 1,5R+11,8 watts musical cuya intensidad es de 2.000 , m2 donde E: energía liberada medida en ergios; ¿corresponde al doble del nivel de decibeles R: magnitud del sismo en grados de la escala Richter. del equipo anterior? a. Calcula la cantidad de energía liberada en un e. Completa la siguiente tabla. sismo de grado 6 y en un sismo de grado 7. b. ¿Qué relación numérica existe entre ambos Fuente Intensidad Decibeles valores? Susurro 10–10 c. ¿Qué aumento representa en la cantidad de energía liberada, el aumento de un Tráfico callejero 10–5 grado en la escala Richter? Si el aumento Posible daño auditivo 10–3,5 fuera de dos grados, ¿cómo aumenta la energía liberada? Cercano a un trueno 120 d. El terremoto de mayor magnitud registrado Umbral del dolor 130 corresponde al ocurrido en 1960 en la ciudad de Valdivia, el cual fue de 9,5 grados Richter. Perforación ¿Cuál fue la energía liberada por este sismo? instantánea 160 e. Averigua acerca de otros terremotos del tímpano ocurridos en nuestro país y compara su Concierto de rock 101 magnitud con el terremoto de Valdivia. (Puedes encontrar información acerca de sismos f. ¿Qué medidas implementarías para en la página web del Servicio Sismológico de la disminuir la contaminación acústica? Universidad de Chile http://ssn.dgf.uchile.cl/) Discútelo con tus compañeros. Función Potencia y Logarítmica 93
    • EJERCICIOS RESUELTOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Ejercicio 1 Considera la figura: h Demuestra que logh q + logh p = 2 p q Solución Realizaremos un cambio de base. log q log p logh q = logh p = log h log h Entonces, remplazando en la expresión inicial: log q log p log q + log p Igualdad a demostrar. + =2 ⇒ =2 log h log h log h Ahora aplicaremos el teorema de Euclides: Aplicamos logaritmo. h2 = p • q log h2 = log (p • q) 2 log h = log p + log q Es equivalente a la log p + log q 2= expresión original. log h Hemos demostrado que: logh q + logh p = 2 Ejercicio 2 w Si u3 – v • w5v = uv + 5 • w3v, demuestra que v log = log u. u Solución Aplicamos logaritmo. u3 – v • w5v = uv + 5 • w3v, (3 – v) log u + 5v log w = (v + 5) log u + 3v log w 3 log u – v log u + 5v log w = v log u + 5 log u + 3v log w Reducimos términos 3 log u – v log u – v log u – 5 log u = 3v log w – 5v log w semejantes. –2v log u – 2 log u = –2v log w Dividimos toda la –2 log u = –2v log w + 2v log u expresión por –2. log u = v log w – v log u Factorizamos. log u = v(log w – log u) w Q.e.d. log u = v log u 94 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICAEjercicio 3 2Si log 3 a = p calcula log a 5 en función de p.Solución 1log 3 a = p Recuerda que: 3 a = a 3 1log a 3 = p1 Aplicamos propiedades log a = p3 de logaritmos.log a = 3p 2 2Por otro lado, la expresión log a 5 puede ser escrita como log a, luego 5remplazando tenemos:2 2 6 log a = • 3p = p5 5 5 2 6Entonces, log a 5 = p. 5Ejercicio 4Demuestra que ax = bx logb a.Soluciónx log a = x log a Aplicamos las propiedades. log ax log a = x • log b Multiplicamos por log b log b log bx log a = x logb a • log b Realizamos un cambio de base.x log a = (x log b) • logb ax log a = logb ax log bPodemos observar que la expresión resultante es una identidad, por lotanto, la expresión original ax = bx logb a, es verdadera. Función Potencia y Logarítmica 95
    • DESAFÍOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA 1. (Ensayo PSU, 2004) Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 9, 5. ¿Cuál de las siguientes figuras representa la entonces a = gráfica de las rectas 3x + y = 4 y x + y = 0? Y A. 9 A. 2 B. 4 –2 C. 3 X D. 2 Y E. 8 –2 D. 4 2. (Ensayo PSU, 2004) Al aplicar la definición de –2 logaritmo a la expresión log3 2 = a resulta: X Y B. 3 A. a = 2 4 B. a2 = 3 2 C. 23 = a X D. 32 = a Y E. 3a = 2 E. 4 3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Las raíces o 2 X soluciones de la ecuación x(x – 1) = 20 son: Y –2 C. A. 1 y 20 4 B. 2 y 20 2 2 C. 4y5 X D. 4 y –5 E. –4 y 5 4. (Facsímil PSU, Demre, 2004) La trayectoria de un proyectil está dada por la ecuación: 6. Facsímil PSU, Demre, 2004) Si g(x) = 3a – 2x, y(t) = 100t – 5t2 donde a es número real fijo mayor que cero, representa los gastos de una persona, entonces donde t se mide en segundos y la altura y(t) se a a cuando x varía entre y el gasto varia mide en metros. ¿En cuál(es) de los siguientes 4 2 entre: valores de t estará el proyectil a 420 m de altura sobre el nivel del suelo? A. 2a y a 5 I. 6 segundos B. aya 2 II. 10 segundos III. 14 segundos C. 3a y 2a 5 A. Solo I D. I y II D. 3a y a 2 B. Solo II E. I y III 5 C. Solo III E. a y 2a 2 96 Función Potencia y Logarítmica
    • MEDIOS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Modelación matemática Cuando el físico M. Faraday presentó su descubrimiento, inmediatamente alguien le preguntó: “¿Para qué sirve?” A lo que él respondió: “¿Para qué sirve un recién nacido?” Todo quedó ahí hasta que 50 años después, en 1881, T. A. Edison, basándose en las teorías de Faraday, inauguraba la primera planta eléctrica de Nueva York. En otro lugar en el tiempo, Einstein propone las ecuaciones matemáticas que rigen el Universo, permitiendo así escudriñar hasta su último rincón. Son muchos los ejemplos y el denominador común es uno solo: las matemáticas describen inexorablemente a las Ciencias Naturales. Hoy en día, en diversas partes del mundo, Chile incluido, existen centros de “modelamiento matemático” que se dedican a estudiar problemas que, de ser solucionados significan una avance que incide en el bienestar de todos. Michael Faraday (1791 - 1867) Nacido en los turbu- lentos días de la Revo- lución Francesa, a los 13 años comienza a tra- bajar como ayudante de encuadernación. Se pue- de señalar que en esta etapa de su vida comien- za su proceso de educa- ción, lo cual le llevaría a ser el más importante de los experimentadores del siglo XIX. Su ejemplo, es la prueba de la completa independencia entre el genio creador y la forma- ción escolar tradicional. 1. Averigua acerca de las instituciones que se dedican al modelamiento matemático en Chile. Debes indicar el área de investigación (minería, transporte, recursos, etc.) y el financiamiento utilizado. 2. Desarrolla una investigación sobre los triunfos del pensamiento humano que aportaron al desarrollo de la civilización tal como la conocemos hoy y para los cuales la matemática fue decisiva. Abarca desde los griegos hasta nuestros días. Función Potencia y Logarítmica 97
    • SÍNTESIS Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos claveMapa dados.conceptualConceptos clave:FunciónDominioRecorridoFunción potenciaLogaritmoFunción logarítmicaLogaritmo naturalResumen 1 Función: es aquella correspondencia entre variables que asocia a cada valor de la variable independiente (x) un único valor de la variable dependiente (y). 2 Dominio: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable independiente. 3 Recorrido: conjunto de todos los valores que puede tomar la variable dependiente. 4 Función periódica: una función f es periódica de período T, si T es el menor número positivo tal que x + T está en el dominio de la función y f(x) = f(x + T). Gráficamente se puede observar que la función se repite en intervalos de largo T. 5 Función inversa: función inversa de f(x) = y corresponde a la función g que toma el elemento y y lo devuelve a x de tal forma que f(g(x) = g(f(x)) = x. 6 Función potencia: está dada por y = axn, donde a es un número real distinto de cero y n pertenece a los naturales. 98 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA7 Logaritmo: es el exponente de una potencia. Además, Si by = x ⇔ y = logb x Por otra parte, en la expresión logb x, llamaremos base del logaritmo a b (b pertenece a + – {1}), y argumento a x.8 Algunas propiedades de los logaritmos son: a. logb 1 = 0 b. logb b = 1 c. logb (a • c) = logb a + logb c a d. logb = logb a – logb c c e. logb an = n logb a n m m f. logb a = logb a n g. logb bn = n logc a h. logb a = : cambio de base logc b9 Función logarítmica: esta función está dada por f(x) = logb x, donde b pertenece a + – {1}, cuyo dominio son los reales positivos y su recorrido el conjunto de los números reales. Además: Si b > 1, el gráfico Si 0 < b < 1, el gráfico de la función está dado por: de la función está dado por: Y Y X X10 Logaritmo natural: corresponde a y = loge x, con e 2,7182 y se puede representar como ln x. Función Potencia y Logarítmica 99
    • EVALUACIÓN Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA 1. El dominio de f(x) = ( x − 1) ( x − 2) es: 7. ¿Cuál de las siguientes funciones no es periódica? A. ]1, 2[ D. – {1, 2} B. ]–∞, 2[ E. A. y = sen x C. ]–∞, 1] U [2, +∞[ B. y = –sen x x 2. El dominio de f(x) = es: 1 ( x − 1) ( x − 2) C. y = – 2 sen x A. ]–∞, 1[ U [2, +∞[ B. ]–∞, 1[ U ]2, +∞[ D. y = sen x + 2 C. – {0, 1, 2} 1 E. y = sen D. ]1, 2[ x E. 8. ¿Cuál de los siguientes corresponden al gráfico de la función g(x) = 2x3? 3. La función inversa de g(x) = x3 + 1 es: D. 3 ( x − 1) 3 A. 3 x − 1 A. E. 3 ( x + 1) 3 B. x + 3 x C. 3 x − 1 4. Si h(x) = x3 y k(x) = 3x – 4, entonces (k–1 o h–1) (8) es: B. A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 E. Ninguna de las anteriores. C. 5. Si f(x) = 2x + 3, entonces f–1 (33) A. 15 D. 69 B. 18 E. 70 C. 30 6. El recorrido de f(x) = 2x2 + 5, con x 0 es el conjunto: D. A. [5, +∞[ B. ]5, +∞[ C. + D. – E. E. Ninguna de las anteriores. 100 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA 1 9. Si logb 3 = – , entonces el valor de b es: 14. Encuentra el valor de x en la ecuación 3 log2 x + log2 x = 2 A. 3–1 D. 12 A. x = 0 D. x = 3 1 B. E. 27 B. x = 1 E. x = 2,5 27 C. x = 2 C. 9 15. La siguiente fórmula relaciona los decibeles10. Una expresión equivalente a según la potencia de un amplificador 1 • (3 loga x – 5 loga y – 30 loga z) es: D = 10 • log(l • 1012) (con I: intensidad). 2 Si en un amplificador de sonido triplicamos la 3x potencia, ¿en cuánto aumentan los decibles? A. loga 5y + 30z A. Aproximadamente 4 unidades. 3 B. Aproximadamente 5 unidades. x B. loga y + z30 5 C. Aproximadamente 10 unidades. D. Aproximadamente 12 unidades. 3x E. Ninguna de las anteriores. C. loga 5y + 30z 16. Si en el mismo amplificador se aumenta de 3 I a 5I, ¿cuántos decibeles aumenta D? x D. loga y + z30 5 A. 5 D. 15 E. N.A. B. 7 E. 70 C. 1011. Si logb 16 = –2, entonces el valor de b es: 1 1 17. Si A = log x con x > 1, B = log 1 + y A. D. 2 x 4 C = log (1 + x), entonces se cumple: 1 1 B. y– E. 4 y –4 4 4 A. A + B = C D. A + B + C = 0 C. 4 B. A + C = B E. N.A. C. B + C = A12. Si pH = –log [H+], halla la concentración de H+ si el pH de una sustancia es 6,8. 18. ¿Cuál de las siguientes propiedades son siempre verdaderas? A. 1,58 • 10–7 D. 6,8 • 10–7 B. –6,8 E. 1,58 • 107 I. a = blogb a C. 6,8 • 107 II. logb a • loga b = 1 2 113. La solución de la ecuación log3 3x = 1 es: III. logb • loga a = 0 a A. 0 D. 3 A. Solo I D. II y III B. 1 E. Todos los reales. B. Solo II E. Todas. C. 1 y –1 C. I y II Función Potencia y Logarítmica 101
    • EJERCICIOS DE REFUERZO Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA 1. Grafica las siguientes funciones, considerando 6. Representa en un gráfico las funciones como dominio el conjunto de los números trigonométricas y = cot(x), y = sec(x) e reales. y = cosec(x) en el intervalo [0, π]. A partir de 2 estas gráficas, determina: a. f(x) = 4x c. h(x) = – x 3 a. si la función tiene algún período en ese b. g(x) = 2 • 1,25x intervalo. 2. Calcula la inversa de las siguientes funciones. b. El recorrido de cada una. c. si es posible extender el intervalo dado y a. f(x) = 4 + 7x obtener igualmente una función. x−5 b. g ( x ) = 5 7. Caracteriza el parámetro a y el exponente n en la función y = axn, para los siguientes ⎛1 ⎞ c. h ( x ) = 3, 5 ⎜ + 4 x ⎟ gráficos: ⎝7 ⎠ 3+x a. c. d. k(x) = 10 – 2 3. A partir de la gráfica de la función g(x) = x5, dibuja la gráfica de las funciones: a. t(x) = g(x) + 4 c. v(x) = g(x + 1) c. d. b. u(x) = g(x) – 3 d. w(x) = g(x – 2) + 5 4. Determina el recorrido y el período de las siguientes funciones. a. y = 2 sen x d. y = sen x + 2 b. y = –2 cos x e. y = cos x – 1 8. Expresa en la forma más reducida posible. 1 1 a. log13 + log 13 – 13 c. y = – sen x f. y = cos x 2 2 1 5. La gráfica siguiente muestra una función que b. – log ab + log a + log b 2 representa cómo varía la tensión arterial 1 mínima de una persona a lo largo de varios días. c. log b + log a – ab 2 9. Demuestra que: 16 12 (loga b) (logb c) (logc d)… (logm n) (logn a) = 1 8 4 para cualquier conjunto de números positivos 1 2 3 4 5 a, b, c,…, n distintos de 1. a. ¿Es una función periódica? Si lo es, indica 10. Calcular, en cada caso, el dominio de f(x) el período. a. f(x)= log (log x) b. Utiliza la prueba de la recta vertical, para ver si la gráfica representa una función. Si lo es, b. f ( x ) = (log x )2 − 5 log x + 6 indica el dominio y el recorrido de la función. 102 Función Potencia y Logarítmica
    • Unidad 3 FUNCIÓN POTENCIA Y LOGARÍTMICA11. Sean x1 y x2 dos números reales positivos 16. Demuestra las siguientes propiedades: tales que: a. a = blogb a x1 • x2 1 log = (log x1 + log x2) 3 2 1 b. logb + logb a = 0 a Calcula el valor de: 5x1x2 c. log xn = n • log x12. Demuestra o refuta la igualdad: 17. ¿En qué casos se cumple la siguiente loga x + logb x = logab x igualdad? para todo valor de x, siendo a y b positivos. (loga b) (logb a) = 113. Las funciones logarítmicas graficadas son del 18. Si se verifica que log a + log b = 0, ¿cuál es la tipo y = log (x – a) relación entre a y b? Y 1 19. Si a, b pertenecen a , calcula el valor de: 1 log 1 a + logb a b 20. Completa el siguiente cuadro: –3 –1 1 3 5 7 9 X + Producto Concentración de H pH Leche 6,6 a. Halla el valor de a para cada una de ellas. Pasta de 9,9 b. ¿Cuál de las gráficas corta al eje Y? dientes14. Analiza la validez de las siguientes Vino 3,162 • 10–4 afirmaciones: a. Los logaritmos son siempre positivos. 21. Resuelve las siguientes ecuaciones logarítmicas: b. No existen logaritmos de números a. log3 (3x – 2) = 2 negativos. c. Los logaritmos están definidos para bases b. log2 x2 + 3log2 x = 10 positivas. d. Las potencias de un número positivo son c. log (x + 3) – log (2x – 1) = 0 todas positivas. d. log2 (x + 1) + log2 (x – 1) = log2 815. Considera que log 2 = 0,301030, y calcula el 1 5 valor de las siguientes expresiones: e. ln x3 – ln x= 2 2 ⎛ 32⎞ ⎛ 1 ⎞ 3 a. log ⎜ ⎟ b. log ⎜ f. log x–1 + (log x) –1 = – ⎝ 25 ⎠ ⎝ 2 2⎟ ⎠ 2 1 g. log8 x – log8 3 – log8 7 = 3 Función Potencia y Logarítmica 103
    • EVALUACIÓN SEMESTRAL 1 1. Una distribución de datos tiene como Para los problemas 3 a 7, consideraremos la distri- diagrama de barras: bución de frecuencia con las alturas (en metros) de 100 estudiantes. 3.5 3 Intervalo fi 2.5 1,60 – 1,62 5 2 1.5 1,63 – 1,65 18 1 1,66 – 1,68 42 0.5 1,69 – 1,71 27 0 1 2 3 4 5 1,72 – 1,74 8 N = 100 A. La media es 3. B. La mediana es 3. 3. La media aritmética es: C. La moda es 3. A. 1,658 m D. 1,6901 m D. La desviación media es 3. E. La desviación estándar es 3. B. 1,6745 m E. Ninguna de las anteriores. C. 1,683 m 2. Observa el siguiente gráfico circular asociado a una encuesta sobre veracidad 4. La mediana es aproximadamente: de la información en los medios de comunicación. A. 1,665 m D. 1,674 m B. 1,669 m E. 1,681 m C. 1,671 m Muy veraz Aceptable 5. La moda es aproximadamente: Poco veraz Nada veraz A. 1,66 m D. 1,69 m B. 1,67 m E. 1,70 m C. 1,68 m Sabiendo que 400 personas dijeron que la información es muy veraz, ¿a cuántas 6. La desviación estándar es: personas se encuestó aproximadamente? A. 0,0185 m D. 0,0304 m A. 1.000 B. 0,0216 m E. 0,0417 m B. 1.600 C. 4.000 C. 0,0292 m D. 8.000 E. Ninguna de las anteriores. 7. La desviación media es: A. 0,0193 D. 0,0292 B. 0,0216 E. Ninguna de las anteriores. C. 0,0227104 Evaluación semestral 1
    • EVALUACIÓN SEMESTRAL 1 8. Se lanza un dado cierta cantidad de veces y 12. La mediana es: con los valores obtenidos se construye la A. 7 C. 10 E. 20 tabla de frecuencias que se indica. Si la media aritmética de los valores es 3,8, el número B. 9 D. 11 total de lanzamientos es: x fi 13. La moda es: 1 5 A. 2 C. 9 E. 20 2 2 3 4 B. 7 D. 18 4 a 5 4 14. La desviación media del conjunto de datos 6 7 {2, 3, 6, 8, 11} es: A. 3 D. 25 A. 2,8 C. 5,5 E. 6,3 B. 4 E. Ninguna de las anteriores. B. 3,6 D. 6 C. 19 15. La desviación estándar de los datos, 9. Las calificaciones de un estudiante en 3 – 5 – 6 – 7 – 10 – 12 – 15 – 18, es: Química son: 5,4 – 4,8 – 6,2 y 3,5. Si las ponderaciones son 20%, 10%, 30% y A. 2,48 C. 9 E. 11,36 40%, respectivamente, entonces su promedio ponderado final será·: B. 4,87 D. 9,5 A. 4,8 C. 5,0 E. 5,3 B. 4,9 D. 5,2 Para los problemas 16, 17 y 18, la tabla de distri- bución de frecuencias muestra los puntajes obte- nidos por 120 estudiantes de una universidad en10. Las marcas de clase en una distribución de una prueba de álgebra. frecuencias son: 126 – 135 – 144 – 153 – 162 – 171 – 180. Puntaje fi Entonces, el tamaño de los intervalos de 38 – 46 1 clase es: 47 – 55 3 56 – 64 11 A. 4,5 D. 10 65 – 73 21 B. 5 E. Ninguna de las anteriores. 74 – 82 43 C. 9 83 – 91 32 92 – 100 9Para los problemas 11, 12 y 13, considera el con-junto de datos: 16. El percentil P70 es:{2, 2, 5, 7, 9, 9, 9, 10, 10, 11, 12, 18, 20}. A. 73,5 C. 82,5 E. 90,511. La media aritmética es: B. 74,9 D. 83,9 A. 7,4 C. 9,5 E. 11,7 B. 8,2 D. 10,1 Evaluación semestral 1 105
    • EVALUACIÓN SEMESTRAL 117. El cuartil Q2 es: 1 21. El dominio de f(x) = es: x+1 A. 66 A. todos los números reales. B. 67 B. todos los números negativos. C. 78,52 C. todos los números reales mayores que 1. D. 83 D. todos los números reales, sin incluir al –1. E. Ninguna de las anteriores. E. todos los números reales menores que 1.18. El decil D3 es: 22. ¿Cuál es el recorrido de la función que A. 47,5 asocia a cada número su raíz cúbica? B. 55,5 A. Solo los números reales positivos. C. 64,5 B. Todos los números reales. D. 73,5 C. Solo los números no negativos. E. Ninguna de las anteriores. D. Solo los múltiplos de 3.19. El cuartil Q3 es un valor que, ordenados E. Solo los números naturales. todos los datos: 23. Si f es una función periódica y T es su A. deja por encima el 50%. período, ¿cuál de las siguientes afirmaciones B. deja por debajo el 75%. es falsa para todo x? C. deja por debajo el 25%. A. f(x) = f(x – T) D. deja por encima el 75%. B. f(x) = f(x + 4T) E. Ninguna de las anteriores. C. f(x) = f(2x + T)20. En una encuesta se obtiene una media D. f(x) = f(x + 6T) muestral x; se sabe que la desviación E. Ninguna de las anteriores. estándar de la población es σ, el tamaño de la muestra es n y la variable tiene una 24. Dada la función g, que asocia a cada distribución normal. número su triple menos 2 unidades, ¿cuánto El intervalo de confianza con un 99,7% de es g(2)? confianza para la media µ , está dado por: A. –2 – – A. x – 3σ, x + 3σ B. 0 – – B. x – 2σ, x + 2σ C. 2 – 3σ – 3σ D. 4 C. x – ,x + E. 6 n n – 2σ – 2σ D. x – ,x + n n – kσ – kσ E. x – ,x + n n106 Evaluación semestral 1
    • EVALUACIÓN SEMESTRAL 125. Dado el gráfico de la función h(x) = axn. 28. El valor de la expresión 1 1 1 log2 – log3 + log5 es: 16 81 125 5 A. –3 C. 4 E. 11 B. 3 D. 7 –8 –4 4 8 –5 29. ¿Cuál de las siguientes igualdades es incorrecta? A. log 53 = 3 log 5 B. log 10 + log 100 = log 1.000 Es correcto afirmar que: C. log 81 = 2 log 9 I) a es positivo log 2 II) n es par D. log 6 2 = III) a 0 6 E. log 8 = log 12 – log 4 A. Solo I B. Solo II 30. ¿Cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) C. Solo III verdadera(s) para la función f(x) = logb x? D. I y II E. II y III I) Si b >1 entonces f(x) es creciente. II) logb x = logb z ⇔ x = z III) El recorrido de f(x) es .26. ¿Cuál de las siguientes proposiciones es verdadera? A. Solo I B. Solo II A. La gráfica de la ecuación y = xn, para C. Solo III todo n par, se encuentra ubicada en los D. II y III cuatro cuadrantes del plano. E. Todas B. El gráfico de f(x) = x3 tiene forma de parábola. C. La gráfica de y = (x + 7)2 e y = x2 + 7 es 31. El valor de x en la ecuación log2 x = log3 x es: exactamente la misma. D. La gráfica de la función t(x) = 5x6, se A. –1 C. 0 E. 1 encuentra ubicada en el primer y 1 1 segundo cuadrante. B. – D. 2 2 E. Ninguna de las anteriores. 32. El valor de x en la expresión log0,4 0,064 = x27. Si log 3 0,47 y log 5 0,70, entonces el valor es: de la expresión log 75 – log 125 + log 81 es: A. 3 C. 16 E. 64 A. 0,47 C. 0,94 E. 1,65 B. 4 D. 60 B. 0,9 D. 1,41 (soluciones en página 250) Evaluación semestral 1 107
    • UNIDAD 4 La función exponencial Según el último censo (2002), publicado por el Instituto Nacional de Estadísticas (INE) la población de nuestro país llegaba a 15.116.435 personas. Mediante modelos matemáticos se estimó la población para los años siguientes, esperándose para el año 2005, 16.267.278 personas. ¿Qué expresiones matemáticas estarán involucradas en esta predicción? En esta unidad trabajarás con expresiones del tipo f(x) = Cax, en que la variable independiente x es el exponente de una constante positiva y cuyo aporte es el estudio del crecimiento o decrecimiento de poblaciones. De esta manera, surge otro de los números importantes en la matemática: el número e. 108 La función exponencial
    • En esta unidad aprenderás a... Conocer el concepto de función exponencial y su gráfico. Trabajar con el número e en funciones expo- nenciales. Analizar el crecimiento y decrecimiento de fun- ciones exponenciales: crecimiento geométrico y aritmético. Relacionar la función logarítmica y exponencial. Resolver ecuaciones exponenciales. Resolver problemas de aplicación. Explora Realiza el laboratorio 1correspondiente a la unidad 4 que aparece enwww.santillana.cl/emedia/mat4 La función exponencial 109
    • REPASO Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL¿Cuánto sabes? 1. Encuentra el valor de x. a. 52x – 1 = 25 g. 2x + 5 = 32 1 3 – 2x b. 22x + 3 = (0,5)3x + 2 h. = 82x 4 2 1 2x 1 c. = i. 28x = 42x 2 128 2 1 1 1 1 2 1 x – 2x + 4 d. • 2 • • 2 • =2 • j. 3–2x + 14x – 6 = 22 2 x 8 27 2 1 1 e. 1 – ax – 5x – 84 = 0 k. 2x = 9 312 1 2x – 15 1 f. 5 • = 253x l. (0,25)3 + 10x = 5 4–2 2. Un capital estuvo depositado 3 años con un interés de 1,8% mensual. Si dio una utilidad de $ 382.761, ¿cuánto fue el capital depositado? 3. Romina reunió un capital de $ 6.000.000 y lo depositó. Si en dos años produjo una utilidad de $ 600.000, ¿a qué tasa de interés anual lo colocó? 4. Completa la siguiente tabla. Capital inicial Interés Capital final después de 3 años $ 200.000 1,5% anual $ $ 10% anual $ 2.600.000 $ 300.000 % anual $ 435.000 5. Dado log 2 0,301; log 3 0,477; log 5 0,699; log 7 0,845 y log 11 1,041. Calcula: a. log 70 d. log 30 g. log 2.401 b. log 0,22 e. log 0,6 h. log 4 55 6 11.000 5 21 c. log f. log i. log 7 15 330 6. Grafica las siguientes funciones indicando en qué intervalo la función es creciente y en cuál decreciente. a. u(x) = x2 – 5 d. y = – x 3 9 b. y = x + e. w(x) = 6 + x – 1 2 c. v(x)= (x – 1,7)2 + 3 110 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL7. A partir de los siguientes gráficos, escribe la representación algebraica de esas funciones y sus intervalos de crecimiento y decrecimiento. a. Y c. Y e. Y 5 5 –2 2 X 4 8 12 X –4 4 8 X –3 –5 –5 b. Y d. Y f. Y 3 5 5 –8 –4 4X 4 8 X 4,5 9 13,5 X –5 –5 –38. Un tipo de bacteria se reproduce de tal forma que cada hora hay 10 veces más bacterias que la hora anterior. Si partimos con 1 sola bacteria, a. ¿cuántas habrá dentro de una hora? ¿Y 2 horas? ¿Y 10 horas? b. Si en un instante tenemos 10 millones de bacterias, ¿cuántas había una hora antes? ¿Y 3 horas antes? c. ¿En cuántas horas hay 1 millón de bacterias? 1 Para resolver una ecuación exponencial debes igualar las bases de las ¿Qué debes potencias y luego resolver la ecuación que resulta de igualar los exponentes. recordar? Por ejemplo: 32x – 5 = 27x – 1 32x – 5 = 33(x – 1) 32x – 5 = 33x – 3 ⇔ 2x – 5 = 3x – 3 –5 + 3 = 3x – 2x –2 = x 2 El interés simple es el que se obtiene cuando los intereses producidos, durante todo el tiempo que dura una inversión, se deben únicamente al capital inicial. 3 La utilidad u producida al invertir $ C durante t meses con un interés simple mensual de r% es: t•r•C u= 100 La función exponencial 111
    • CONTENIDOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Función exponencial Una función exponencial se representa por f(x) = ax, con a perteneciente + – {1} y x perteneciente a . Observa las siguientes gráficas para determinar las características de esta función. Caso I. Función exponencial f(x) = ax, con a > 1. En el mismo sistema de coordenadas graficaremos las siguientes funciones: f1(x) = 2x, f2(x) = 4x, f3(x) = 9x y f4(x) = 100x. YAY U D APara graficar la funciónf(x) = 2x puedes usar la páginawww.santillana.cl/emedia/mat4/grafica.htm y escribir la expresión2^x en el espacio correspondiente.TIPS X La curva de la función expo- nencial se dice que es asintótica al eje X, ya que se acerca a esa recta sin llegar nunca a intersec- tarla. En estas gráficas observamos varios aspectos importantes: • la curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, para los valores de a: 2, 4, 9 y 100, intersecta al eje de las ordenadas (Y) en el punto (0, 1). No hay intersección con el eje X. • La función es creciente para todo valor de x. • El dominio de la función son todos los números reales. • Los valores que toma la variable dependiente y son los números reales positivos.EJERCICIOS1. Utilizando algún programa computacional, c. Las gráficas, ¿mantienen las características grafica las siguientes funciones, y luego de una función exponencial f(x) = ax, con responde. a > 1? i. f(x) = 2x iii. f(x) = 22x 2. Dada la función f(x) = 3x, determina en el ii. f(x) = 2 • 3x iv. f(x) = 4 • 3x gráfico el valor aproximado de: a. ¿Cuál es el dominio de cada función? 1 0,5 3 2 3 b. ¿En qué punto intersectan al eje Y? a. 3 b. 3 c. 3 d. 3 112 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALCaso II. Función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1.Graficaremos en el mismo sistema de coordenadas las siguientes funciones: 1 x 1 x 1 x 1 xf1(x) = , f2(x) = , f3(x) = y f4(x) = . 2 4 9 100 Y XAl observar las gráficas anteriores podemos generalizar lo siguiente:• la curva asociada a la función exponencial f(x) = ax, con 0 < a < 1, inter- secta al eje Y en el punto (0, 1). No hay intersección con el eje X.• La función es decreciente para todo valor real de x. IR A LA WEB• Los números reales son el dominio de la función; y el recorrido, los reales positivos. Desarrolla el laboratorio 2. www.santillana.cl/emedia/mat4Dados los dos casos, ¿podrías sacar algún tipo de conclusión? PA R A A R C H I VA R La función exponencial, f(x) = ax, con a perteneciente a + – {1} y x perteneciente a , posee las siguientes características: • el dominio de la función son los números reales. • Los números reales positivos son el recorrido de la función. • La curva asociada a la función, intersecta al eje de las ordenadas en el punto (0, 1). Si a > 1, la función es creciente. Si 0 < a < 1, la función es decreciente. Y Y X X La función exponencial 113
    • CONTENIDOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Algunas consideraciones para a en la función f(x) = ax: • Base a = 1. Y Si la base de la función es el número real 1, la función es f(x) = 1x. Se observa que para todo valor real de x se tiene que f(x) = 1, de lo cual resulta una recta paralela al eje de las abscisas X X, es decir, se trata de una función constante, por lo que no se habla de una función exponencial. Y f(x) = 10x • Base a = 10. Si la base de la función es el número 10, la función es f(x) = 10x. Si comparas su gráfica con la gráfica de f(x) = log x obtienes curvas simétricas X con respecto a la gráfica de la función f(x) = x. Compruébalo. EjemploAY U D A → El semieje OY está representado Grafiquemos en el mismo sistema de coordenadas las funciones por: 1 x Y f(x) = 2x y g(x) = = 2–x g(x) f(x) Y 2 ¿Qué semejanzas y diferencias hay entre ellas? O X Semejanzas: • el dominio de cada una de ellas son los números reales. X • el recorrido de cada una de ellas son los números reales positivos. Diferencias: • En f(x), si los valores de x se hacen cada vez más grandes, los valores de y aumentan con rapidez, mientras que en g(x) si los valores de x se hacen cada vez más grandes, los valores de y se acercan cada vez más a cero. • La base de g(x) es el inverso multiplicativo de la base de f(x). → • Las gráficas de f(x) y g(x) son simétricas entre sí, con respecto al semieje OY. Cuando las funciones son inversas, ¿son siempre simétricas al semieje OY? → Verifica tu respuesta graficando este tipo de funciones exponenciales. 114 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALEJERCICIOS1. Utilizando algún programa computacional, 3. Dadas las siguientes funciones indica su grafica las siguientes funciones. dominio, recorrido y el punto de intersección con cada eje. a. f(x) = 4x g. f(x) = 2–x 2 x –x a. m(x) = 5–x d. r(x) = 2x 1 1 b. f(x) = h. f(x) = 4 3 1 b. n(x) = e. f(x) = 3x + 2 – 9 x x–1 4x c. f(x) = –4 i. f(x) = 2 c. s(x) = 2⎟x⎟ f. f(x) = 3x – 3–x 1 x 2 x d. f(x) = – j. f(x) = 4 3 4. Sin construir las tablas de valores ni las e. f(x) = 5x k. f(x) = 2x + 1 gráficas, indica cuáles de las siguientes 1 –x 2 x funciones son crecientes o decrecientes. f. f(x) = l. f(x) = – 2 3 a. r(x) = 675x c. r(x) = 0,001x2. Grafica en un mismo sistema de coordenadas 4 x b. r(x) = d. r(x) = 2,01x las siguientes funciones. Luego responde. 5 1 x a. f(x) = 5x y g(x) = 5. Encuentra la función f(x) = ax que pasa por los 5 siguientes puntos, respectivamente. 1 x b. f(x) = y g(x) = 7x 7 a. (3, 216) d. (3, 743) x –x c. f(x) = 2 y g(x) = 2 b. (–1, 5) e. (–4, 0,625) c. (4, 4.096) f. (m, m5) d. f(x) = 3–x y g(x) = 3x e. f(x) = –2x y g(x) = 2x 6. Dada la función exponencial f(x) = (0,09)x, indica cuál(es) de las siguientes proposiciones 1 x 1 x f. f(x) = – y g(x) = es(son) correcta(s). Justifica. 2 2 1 x 1 x a. f(–m) = f(m) –1 g. f(x) = 2 • y g(x) = 3 • 2 2 b. f(n + m) = f(n) • f(m) h. f(x) = 3 • 2x y g(x) = 2 • 2x 7. Indica cuál(es) de las siguientes funciones i. f(x) = 2x + 1 y g(x) = 2x – 1 exponenciales pasa(n) por el origen del 1 x 1 x–1 sistema de coordenadas. j. f(x) = + 1 y g(x) = 3 3 a. y = 2x + 1 c. y = 1 – 2x k. En relación a la gráfica, dominio y recorrido, ¿qué puedes concluir entre las b. y = 2x + 1 d. y = 1 – 2x + 1 funciones de: a y b, c y d, e y f, g y h, i y j? La función exponencial 115
    • CONTENIDOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Aproximándonos al número e El número e se define como el valor al que tiende la expresión 1 x 1+ cuando x toma valores muy grandes. Su expresión x decimal es aproximadamente e = 2,71828182845.HISTORIA 1 x El número e surge del estudio de la función definida por f(x) = 1 + , x donde x es un número positivo. Estudiaremos los valores de la función a medida que x aumenta. x f(x) Aproximación Leonhard Euler 1 10 (1707- 1783) 10 1+ 2,5937424601... 10Euler fue el primero en simbolizarel número e, utilizando este sím- 1 100bolo, quizás, por ser la primera 100 1+ 2,70481382942... 100letra de la palabra exponencial. . 1.000 1 1.000 1+ 2,71692393224... 1.000 10.000 1 10.000 1+ 2,71814592683... 10.000TIPS 1 100.000 100.000 1+ 2,71826823717... 100.000La siguiente simbología f(x) → ecuando x → +∞, es una forma 1.000.000de escribir que la función f(x) se 1 1.000.000 1+ 2,71828046923...aproxima a e cuando x tiende a 1.000.000infinito (números cada vez másgrandes). ¿Qué tendencia hay en la función f(x) a medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes? Y Como observas, a medida que los valores de x aumentan, el valor de la función f(x) se aproxima al valor 2,71828… O dicho de otra forma, a medida que los valores de x se hacen cada vez más grandes, la función f(x) se aproxima al número e. Graficaremos la función f(x) para observar cómo se comporta a medida que los valores de x crecen infinitamente. El gráfico de la función muestra que f(x) tiende a estabilizarse en la medida en que x aumenta. X Verifica, de manera análoga, lo que sucede para valores ne- gativos de x. 116 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALFunción exponencial naturalUna función exponencial especialmente importante es f(x) = ex, cuya basees el número irracional e, y x perteneciente a los números reales.Para estudiar f(x) = ex graficaremos las siguientes funciones: f(x) = ex g(x) = e–x Y Y X X AY U D AObservamos que para ambas funciones el dominio y recorrido es el mismo.El dominio serán los reales, y el recorrido corresponderá a los reales positivos. Las características de la funciónLa curva asociada a f(x) es creciente, mientras que para g(x) es decreciente. exponencial natural son lasAmbas gráficas intersectan al eje Y en el punto (0, 1). mismas que una función expo- nencial. La función exponencial natural f(x) = ex, con base el número e, y x perteneciente a los números reales, posee las siguientes características: • El dominio de la función son los números reales. IR A LA WEB • El recorrido son los números reales positivos. • La curva asociada a la función, intersecta al eje de las ordenadas Desarrolla el laboratorio 3. en el punto (0, 1). www.santillana.cl/emedia/mat4EJERCICIOS1. Grafica las siguientes funciones y analiza qué 3. En cada uno de los siguientes puntos, la sucede con cada una. gráfica de una función exponencial f(x) = ax pasa por el punto dado. Encuentra f. a. f(x) = e0,1x c. f(x) = e0,001x a. (–1, e2) b. (2, e) b. f(x) = e0,01x d. f(x) = e0,0001x 4. En un sistema de coordenadas realiza un2. Dadas las siguientes funciones, ¿cuál es su esbozo de las siguientes funciones. dominio y recorrido? ex ex e–x a. f(x) = e x+1 c. f(x) = e 2x a. f(x) = c. f(x) = + 2 2 2 x b. f(x) = –e + 1 d. f(x) = e–2x e–x ex + 1 ex + 1 b. f(x) = d. f(x) = + 2 2 2 La función exponencial 117
    • CONTENIDOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Función exponencial y función logarítmica Dada y = bx, determinemos la función inversa de y, para b > 0, b = 1, para esto debemos despejar x en función de y.AY U D A y = bx aplicamos logaritmo ya que y y b son números positivos Recuerda que: log y = log bx log a logb a = log y = x log b log b ya que b = 1 log y x= log b utilizando la propiedad de cambio de base, tenemosAY U D A x = logby al encontrar la función inversa remplazamos x por y y–1 –1 = f (x) Luego, y–1 = logbx.TIPS PA R A A R C H I VA RLa recta y = x es bisectriz de loscuadrantes I y III, es decir, los Sea y = bx una función exponencial, su inversa está dada pordivide en dos regiones iguales. y–1 = logb x. Para realizar un mejor análisis graficaremos ambas funciones. Caso I: Si b > 1 Caso II: Si 0 < b < 1 Y x Y x y=b y=b y=x y–1 = logbx X X y–1 = logbx y=x ¿Qué puedes observar?TIPS • Ambas funciones son simétricas con respecto a la recta y = x.Una manera de graficar la fun- • El dominio de la función logarítmica es el conjunto de los reales positivos,ción logarítmica es “reflejando” lo cual corresponde al recorrido de la función exponencial.sobre la recta y = x, la funciónexponencial correspondiente. • El recorrido de la función logarítmica es el conjunto de los números reales y corresponde al dominio de la función exponencial. 118 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALCaso particular¿Cuál es la función inversa de y = ln x?Si y = ln x ⇒ y = loge x, luego, por definición de logaritmo se tiene queey = x.Por lo tanto, y–1 está dada por la función y = ex. AY U D A Recuerda que para encontrar una función inversa despejamos PA R A A R C H I VA R la variable independiente en función de la variable depen- diente y, luego, intercambiamos La función inversa del logaritmo natural y = ln x, está dada por la las variables x e y en la expresión función y = ex. resultante.EJERCICIOS 1. En un mismo sistema de coordenadas, grafica 4. Dada la función y = 4x, determina su función las funciones y = ln x e y = ex. inversa y grafícalas en un mismo sistema cartesiano. a. Indica los puntos de intersección con los ejes. b. Determina el dominio y recorrido de cada 5. Si f(x) = xa + 1 y f(2) = 32, determina el valor de a. función. c. Determina el eje de simetría. 6. Determina la veracidad de las siguientes proposiciones: 2. Determina la función inversa de las siguientes funciones exponenciales. a. Si la función y = ax es creciente, entonces y = loga x es decreciente. 5 x a. y = 2x c. y = 1 x 4 b. La función y = es la función inversa 2 de y = log2 x. 15 x b. y = 3x d. y = 7 c. Una función exponencial es siempre decreciente, al igual que una función logarítmica. 3. Determina la función inversa de las siguientes funciones logarítmicas. d. Las gráficas de la función logarítmica y su respectiva función inversa son simétricas a. y = log6 x c. y = log 2 x respecto a una recta. 5 b. y = log9 x d. y = log 3 x 4 7. Dadas las funciones exponencial y = 3x y logarítmica y = log3 x, represéntalas en un mismo sistema de coordenadas. ¿Qué puedes concluir? La función exponencial 119
    • CONTENIDOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ecuaciones exponenciales Una ecuación exponencial es una igualdad en la que intervienen potencias, en uno o en ambos lados de la ecuación, y que consta de una incógnita en al menos uno de sus exponentes. En cursos anteriores hemos resuelto ecuaciones exponenciales en la que es posible igualar las bases de las potencias, aplicar propiedades y por último igua- lar los exponentes. Este año estudiaremos aquellas ecuaciones exponenciales en la que no es posi- ble igualar sus bases y se resuelven aplicando logaritmos y sus propiedades. Ejemplo 1 La población de un país dentro de t años está dada por la relación 2t P(t) = 2 • 3 3 millones de habitantes. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población del país sea 148 millones de habitantes? 2t Si t es la incógnita, remplazamos P(t) = 148, y obtenemos: 148 = 2 • 3 3 . Aplicamos logaritmos y sus propiedades, ya que ambas expresiones de la igualdad son positivas. 2t 2t log 148 = log 2 • 3 3 log 148 = log 2 + log 3 3 2t log 3 = log 148 – log 2 3 3(log 148 – log 2) 3(2,17026 – 0,30102) t= = 5,876 2 log 3 2 • 0,47712 Deben transcurrir entre 5 y 6 años. Ejemplo 2 3x + 6 = 2 Aplicamos logaritmos y propiedades, ya que 3x+6 y 2 son expresiones positivas. log 3x + 6 = log 2 (x + 6) log 3 = log 2 x log 3 + 6 log 3 = log 2 x log 3 = log 2 – 6 log 3 despejamos la incógnita x, log 2 – 6 log 3 log 2 6 log 3 log 2 x= = – x= –6 log 3 log 3 log 3 log 3 120 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALEjemplo 3Resuelve la siguiente ecuación exponencial: ax + 3 = b2x + 5 con a y b positivos, a = b2. ax + 3 = b2x + 5 aplicamos logaritmo y propiedades, ya que ax+3 y b2x+5 son (x + 3) log a = (2x + 5) log b expresiones positivasUtilizamos propiedad distributiva: x log a + 3 log a = 2x log b + 5 log b IR A LA WEBAgrupamos y factorizamos los términos de la incógnita: Desarrolla el laboratorio 4. www.santillana.cl/emedia/mat42x log b – x log a = 3 log a – 5 log bx(2 log b – log a) = 3 log a – 5 log bYa que a = b2, tenemos que 2 log b – log a = 0, por lo que despejamos la incógnita: 3 log a – 5 log bx= solución de la ecuación. 2 log b – log aEJERCICIOS1. Resuelve las siguientes ecuaciones x c. 3 2 = 768 exponenciales, igualando las bases. d. 8x = 81 x–1 a. 2 =4 e. 3 • 2x + 1 = 5 3x + 1 x b. 8 = 32 f. 5 • 23x = 9 x2 – 1 –(7 – 5x) c. 81 = 27 g. 2x + 4 = 3 • 4x – 3 –3x x+1 x+2 d. 8 • 2 =4 2 h. 4x + 2 = 93x – 4 x + 2x x–5 e. 64 • 16 =0 i. a3x + 4 = b2x – 3 x+ 1 3x + 2 j. m 3 =n 32. Determina el radio de una esfera si su 2x + 2 volumen es 113,04 m3. (El volumen de una k. p 8 = q0,75x – 1 esfera está dado por la relación – x +4 4 3 l. m 4 = 4x – 2 V= • π • R ). 3 3 3x + 1 x+1 m. a 3 = c7 Resuelve el problema utilizando ecuaciones n. 2 • 3x = 5 exponenciales. Compara tu respuesta con la de un compañero. 4. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones.3. Resuelve cada una de las siguientes ecuaciones a. 3x + 5 – 3x + 2 + 3x = 506 exponenciales. b. 22(x + 3) + 22(5 + x) = 3.264 a. 22x + 1 = 3x + 5 c. 0,1252(x + 1) – 0,253(x + 2) = 189 x2 – 1 b. 4 = 154 La función exponencial 121
    • CONTENIDOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALAY U D A Crecimiento exponencial Si a > 1, f(x) = ax es una función En el mundo de los negocios, en la biología y en las ciencias sociales, el estrictamente creciente, es decir, estudio del crecimiento de las variables es de mucho interés, ya que permite, si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2), y por ejemplo, predecir valores de las monedas, número de bacterias o el gráfico es de la forma: poblaciones en el futuro. Y ax PA R A A R C H I VA R Si el crecimiento de las variables se puede modelar mediante la función X f(x) = c • ax, con c > 0, a > 1, diremos que crecen exponencialmente, o bien que presentan un crecimiento exponencial. Ejemplo Según información entregada por el INE, la población en nuestro país en 1960 era de 7.643.277 habitantes, y en 1970, de 9.569.631 habitantes. Solo con estos datos, se podría estimar la cantidad de habitantes en Chile para el año 2000. El crecimiento poblacional, ya sea de insectos, bacterias o seres humanos, loTIPS podemos modelar como:A la modelación del crecimiento P(t) = P0ert, donde P(t): población en un tiempo t.de la población mediante lafórmula P(t) = P0ert, se le llama P0: población cuando t = 0 (año 1960).teoría malthusiana del creci-miento de la población. r: constante relacionada con la tasa de crecimiento en porcentaje anual. Como transcurrieron 10 años (t) entre las 2 mediciones, podemos conocer el valor de r resolviendo la ecuación: 8.836.223 = 7.374.712 • e10r 8.836.223 Aplicamos logaritmo natural = e10r 7.374.712 para despejar la incógnita. Recuerda que ln e = 1 ⇒ ln(ex) = x. 8.836.223 ln = 10r r = 0,018080 7.374.712 Luego, la proyección estimada de la población para el año 2000 es: P = 8.836.223 • e0,018080 30 • P(30) = 15.199.454 habitantes, lo cual es bastante cercano a la población real que existió en Chile en el año 2002. 122 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALEJERCICIOS1. Actualmente la población de Chile bordea los 4. Según investigaciones médicas, las personas que 15 millones de habitantes y la tasa de conducen bajo los efectos del alcohol tienen un crecimiento, entre el censo de 1982 y el censo de riesgo R(x) de tener un accidente, el cual está 1992, fue de 1,6% anual. dado por la siguiente expresión: R(x) = 6ekx, donde k es una constante y x es la concentración a. ¿En cuánto tiempo se habrá duplicado la porcentual de alcohol en la sangre. población? b. Si la tasa de crecimiento se mantiene en los a. Se sabe que un 4% de alcohol en la sangre siguientes 20 años, ¿cuál será la población en implica un riesgo de 10% de tener un el año 2012? accidente. ¿Cuál es el valor de la constante? c. Estima la población de Chile en el año 1980. b. Grafica la función f(x) = R(x) = 6ekx. c. Indica si la función es creciente o decreciente. d. ¿Cuál es el máximo riesgo posible?2. En un almanaque del año 1970 se encontraron e. Si el riesgo de tener un accidente es de un los siguientes datos: 90%, ¿cuál es la concentración de alcohol en 1970 1960 Provincias (cantidad de habitantes) (cantidad de habitantes) la sangre? Antofagasta 250.665 215.376 f. ¿Cuál es la máxima concentración de alcohol Santiago 3.218.155 2.436.398 en la sangre para no sobrepasar un riesgo Concepción 638.118 539.450 del 20%? Magallanes 88.244 73.426 g. Averigua acerca del “alcotest” y de los máxi- mos niveles de alcohol que puede soportar el a. Determina expresiones matemáticas de cuerpo humano. crecimiento para cada ciudad. b. Calcula, según estas fórmulas, la proyección 5. Una empresa dedicada a vender viviendas decide para el año 2002. colocar en marcha una campaña publicitaria. La c. ¿Por qué el crecimiento no es lineal? agencia proyecta que el número de viviendas Fundamenta tu respuesta que se venderán está dado por la siguiente expresión: x3. El crecimiento de organismos en ambientes y = 800 • (0,1)0,7 limitados sigue otro tipo de fórmula o modelo. en que x representa la cantidad de meses que Por ejemplo, si se quiere predecir el número de transcurren una vez que empieza la campaña. alumnos de una universidad que tiene planes de expansión limitada, el modelo usado es: a. Antes del comienzo de la campaña, ¿cuántas 0,4t viviendas se vendían? P(t) = 1.500 • (0,5) donde t es el número de años después de abierta la universidad. b. ¿Cuántas se venden después de 5 meses? c. ¿Cuál es el máximo que se espera vender? a. ¿Qué cantidad de alumnos había cuando d. Haz un esbozo de la función. abrió la universidad? b. Después de 2 años de funcionamiento, ¿cuántos alumnos tiene? c. ¿Qué forma tiene la curva del gráfico? d. ¿A qué valor máximo se aproxima P? La función exponencial 123
    • CONTENIDOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Decrecimiento exponencial Para cada sustancia radiactiva, existe un tiempo llamado vida media, que es el tiempo que transcurre hasta que se desintegra la mitad de su masa (de la sustancia radiactiva). Usando esta información es posible hallar la edad aproximada de objetos de antigüedad desconocida. Este tipo de situaciones se puede modelar mediante una ecuación de decrecimiento exponencial. PA R A A R C H I VA R Si el decrecimiento de las variables se puede modelar mediante la función, f(x) = c • arx con c > 0, a > 1 y r < 0, diremos que las variables decrecen exponencialmente o bien, que presentan un decrecimiento exponencial.Gentileza, Consejo de Monumentos Nacionales. Ejemplo AY U D A Una función se dice decrecien- En los años 80 se encontraron unos cacharros y unos huesos. Para datar sus λ te si x1 < x2, entonces, edades se usó el modelo matemático dado por: P(t) = P0 • e– t. f(x1) > f(x2). Un ejemplo de la gráfica de funciones decre- Se elige el Carbono–14, cuya vida media es conocida y es de 5.570 años, cientes es el decrecimiento 0,693 exponencial como se muestra: y λ está dado por λ = = 0,0001244. 5.570 Y Luego, si se analiza la cantidad de radiación del Carbono–14 que emite, por ejemplo, uno de estos huesos, es posible hallar la edad aproximada de este. Si un hueso hallado emana 15,5 unidades por minuto y un hueso normal actual emana 19,5 unidades por minuto se obtiene: X 15,5 = 19,5 • e–0,0001244t Entonces, el problema se reduce a encontrar el valor de t en la expresión anterior. 15,5 = 19,5 • e–0,0001244t 15,5 = e–0,0001244t 19,5 15,5 ln = ln e–0,0001244t 19,5 IR A LA WEB –0,229574 = –0,0001244t ⇒ 1.845,45 = t Desarrolla el laboratorio 5. www.santillana.cl/emedia/mat4 Por lo tanto, los huesos hallados tienen una antigüedad de 1.845 años, aproximadamente. 124 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALEJERCICIOS1. Se dispone de 500 miligramos de Carbono–14 c. Si la cantidad de medicamento no puede de un organismo muerto. Si la cantidad que ser menor a 2 miligramos, ¿cada cuánto queda después de x años está dada por tiempo se debe tomar el remedio? P(x) = 500e–0,000115x miligramos: d. Discute con tus compañeros acerca de la importancia de respetar los horarios de a. Expresa x en términos de P. ingesta de medicamentos. b. Indica el dominio y recorrido de la función. R t c. ¿Qué cantidad es posible encontrar en E 4. La ecuación I(t) = 1–e L , en que t es el 1.000 años más? R d. ¿Cuántos años deben transcurrir para que tiempo en segundos, es utilizada en el estudio solo sea posible hallar 1 miligramo? de algunos circuitos eléctricos. Si E = 10 volts, R = 12 ohms y L = 7 henrys, entonces: e. ¿En cuánto tiempo la cantidad de Carbono-14 baja a la mitad? a. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar a una corriente de I = 0,9 amperes?2. Al momento de morir, un organismo b. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para llegar contiene 50 miligramos de átomos de a una corriente de I = 0,55 amperes? Carbono–14 radiactivo. La cantidad de Carbono–14 x años después, se ajusta a la 5. Halla el valor de f(10) si f(x) = 30 – ae–kx, función: P(x) = 50e–0,000119x miligramos. sabiendo que f(0) = 10 y f(3) = 20. a. ¿Después de cuánto tiempo de la fecha a. ¿Existirá un punto a tal que f(a) = 15? de muerte del organismo, le quedará 0,8 miligramos de Carbono–14? b. Grafica la función. ¿Qué puedes observar? b. Indica el dominio y el recorrido de la c. Indica el dominio y el recorrido de la función. función.3. Al consumir un medicamento, este queda en 6. Para tratar el virus de la influenza, en una el organismo una cierta cantidad de tiempo, región del país, se vacunó a la población. Se dado por la expresión: m(h) = 10e–0,2h, donde espera que la cantidad de contagiados m representa los miligramos del medicamento disminuya siguiendo el siguiente modelo: y h el tiempo en horas. f(x) = 150 e–0,472x , donde x representa las horas transcurridas. a. Utilizando algún programa computacional, grafica la función e indica qué tipo de a. ¿Cuál es el número de contagiados luego función es (creciente o decreciente). de 2 horas? b. Si en un organismo se encuentran b. Grafica la función y discute con tus 0,407 miligramos de un cierto compañeros acerca de la validez del medicamento, ¿cuánto tiempo ha modelo utilizado. transcurrido desde que se ingirió? La función exponencial 125
    • CONTENIDOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Aplicaciones de la función exponencial Como has estudiado a lo largo de esta unidad, la función exponencial está presente en diversas áreas. Entre algunas de sus importantes aplicaciones se encuentran las matemáticas financieras, la biología y la física. Ejemplo 1 Una persona deposita en un banco $ 2.000.000 al 12% anual de interés. ¿En qué tiempo ascenderá su capital a $ 2.508.800? Aplicamos logaritmos a la fórmula para el cálculo de capital, estudiado enAY U D A años anteriores: Para calcular el capital, utiliza- t n t n mos la fórmula: log Cf = log Ci 1 + ⇒ log Cf = log Ci + log 1 + 100 100 n t Cf = Ci 1 + 100 t log Cf – log Ci log Cf = log Ci + n log 1 + ⇒n= Donde: 100 t log 1 + Ci: capital a depositar. 100 Cf: capital final. Entonces: t: porcentaje de interés. n: tiempo. Ci: $ 2.000.000 y log 2.000.000 = 6,30103 Cf: $ 2.508.000 y log 2.508.000 = 6,3993 t = 12% anual. Calculamos: t 12 log 1 + = log 1 + = log (1,12) = 0,04922 100 100 6,3993 – 6,30103 luego, 2 0,04922 Entonces, su capital será de $ 2.508.000 al cabo de 2 años. Ejemplo 2 Un cultivo de bacterias experimenta un crecimiento dado por la función Nt + 1 = Nt • er t. • Donde, Nt: población inicial de bacterias que tienen la capacidad de reproducirse. Nt + 1: población de bacterias luego de transcurrido un tiempo determinado. r: índice de crecimiento poblacional por bacteria. t: tiempo de cultivo.AY U D A Consideremos Nt = 100 bacterias y r = 8. ¿Cuál es la población de bacterias al cabo de 10 horas? Nt +1 = 100 • e8 10 ⇒ Nt+1 100 • 5,54 • 1034 ⇒ Nt + 1 5,54 • 1036 • e8 • 10 5,54 • 1034 Luego de 10 horas la población de bacterias será de Nt + 1 5,54 • 1036. 126 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALEJERCICIOS1. En muchas situaciones, el crecimiento de las a. Si se invierten dos millones de pesos a una poblaciones de seres vivos comienza acorde a tasa de interés anual del 6,9%, calcula el una función exponencial, pero luego se ve monto después de 6 años si el interés se frenado por condiciones medioambientales. En capitaliza continuamente. estos casos se presenta un tipo de crecimiento b. ¿Después de cuánto tiempo se duplicará la que se puede aproximar mediante una función, fortuna de un millonario si la invierte a una llamada logística, según la siguiente expresión: tasa de interés anual del 7,1% con L capitalización continua? f(t) = , donde L es el valor máximo 1 + k • e–at c. El dinero depositado en una financiera se al que crece esta población, k y a son constantes duplica cada 12 años. Esta capitaliza el interés por determinar y t el tiempo transcurrido en días. en forma continua. ¿Cuál es la tasa de interés de la financiera? a. Utilizando algún programa computacional grafica la función anterior e indica dominio, recorrido e intervalos de crecimiento o 5. Utilizando la fórmula para calcular el interés decrecimiento según corresponda. capitalizado al cabo de cierto tiempo, dado en b. La siguiente función de crecimiento el ejercicio anterior, responde: corresponde a una población de mosquitos: a. ¿Cuánto dinero debe invertir un corredor de 500.000 la Bolsa, a una tasa anual del 7,2% para que f(t) = 1 + 499 • e–0,02t dentro de 5 años tenga 8 millones de pesos, ¿Cuál es la población en 50 días? ¿Y en si el interés se capitaliza continuamente? 300 días? ¿Y en 800 días? 6. La población de un continente está dada por la2. Calcula la tasa de interés compuesto al que se función: t 3 2 invierten $ 10.000.000, si al cabo de 2 años P(t) = 10 • 2 produjeron 2 millones de pesos. Si t se mide en años, ¿cuánto tiempo transcurrirá3. Determina una fórmula que describa el para que la población de este continente se crecimiento exponencial de una población que cuadruplique? aumenta el 12% cada 5 años, considerando una cantidad inicial de 55 millones de personas. a. ¿Cuál será la población en 40 años más?4. Interés capitalizado continuamente. Si se invierten P0 pesos a una tasa de interés anual de R y el interés se capitaliza continuamente, después de t años se dispone de P(t) = P0 • eRt pesos. La función exponencial 127
    • EJERCICIOS RESUELTOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ejercicio 1 2 Grafica la función y = f(x) = e–x , luego responde: a. ¿Cuál es el valor máximo de la función? b. ¿Qué sucede para valores grandes de x? c. Evalúa f(105) y f(–105). d. ¿Es f(x) una función par? Solución El gráfico de la Y función está dado por: X a. Como se puede apreciar en el gráfico, el valor máximo de la función es 1. b. Observando el gráfico, podemos afirmar que a medida que x crece, la fun- ción se acerca a cero. c. Evaluaremos la función para 105. c 5 2 Recuerda: ab = ab • c y = f(105) = e – 10 10 f(105) = e–10 Ahora evaluaremos la función para x = –105. 5 2 y = f(–105) = e– –10 Si c es par, entonces 10 f(–105) = e–10 ac = (–a)c. Por lo tanto, f(105) = f(–105). f(x) es par si f(x) = f(–x). d. Determinemos si f(x) es una función par. De c, podemos deducir que sí es una función par, sin embargo, verificaremos esta condición algebraicamente. Para esto evaluaremos la función para x y –x: 2 2 Se puede observar f(x) = e–x y f(–x) = e–(–x) , por lo tanto en el gráfico que f(x) 2 es par, pues es simétrica f(x) = f(–x), es decir y = f(x) = e–x es una función par. respecto a la recta x = 0. 128 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIALEjercicio 2 e2x – 1 1 1+ySi y = 2x , demuestra que x = ln . e +1 2 1–ySolución e2x – 1 Despejamos x en función y= e2x + 1 de y. y(e2x + 1) = e2x – 1 ye2x + y = e2x – 1 Factorizamos. ye2x – e2x = –1 – y e2x(y – 1) = –1 – y –1 – y e2x = y–1 Aplicamos logaritmo 2x –1 – y natural. ln e = ln y–1 Recuerda que ln ea = a –(y + 1) 2x = ln –(1 – y) 1 y+1 x= ln , q.e.d. 2 1–yEjercicio 3Sin usar calculadora, obtén el valor de 25log58.Solución 25log58 = x log (25log58) = log x Aplicamos logaritmo. log5 8 • log 25 = log x Realizamos cambio de base. log 8 log 8 • log 52 = log x ⇒ • 2 • log 5 = log x Usando propiedades de log 5 log 5 los logaritmos. 2 • log 8 = log xlog 82 = log x ⇒ 82 = x ⇒ x = 64 La función logarítmica es inyectiva. La función exponencial 129
    • DESAFÍOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 1. (Ensayo PSU, 2004) Una persona P decide 4. Al resolver la ecuación 2x • 42x – 1 = 84 – 2x, el apostar en un casino, para lo cual elabora el valor que se obtiene para x es: siguiente plan: apostar cada vez el doble de 1 su apuesta anterior. ¿Cuál de las siguientes A. 10 C. E. 27 2 expresiones representa el dinero que apuesta 14 P en la jugada n, si comienza con $ 1.000? B. D. –4 11 A. $ 1.000 • 2n B. $ 1.000 • 2n – 1 5. Si f(x) = 2x + 2–x y g(x) = 2x – 2–x, entonces C. $ 1.000 • 2n f(2) – g(–2) es igual a: D. $ 1.000 • n E. $ 1.000 • 2(n – 1) 1 1 A. C. E. 8 2 16 2. (Ensayo PSU, 2004) a2 + b2 = (a + b)2 es cierto B. 1 D. 64 si: 8 1) a = 0 3x – 3–x 2) b = 0 6. Si f(x) = , entonces f(2) es igual a: 3x + 3–x A. 1 por sí sola. B. 2 por sí sola. A. 10 C. 80 E. –1 C. Ambas juntas, 1 y 2. 40 D. Cada una por sí sola, 1 ó 2. B. D. 82 41 E. Se requiere información adicional. 25 3. Después de x semanas del brote de influenza 7. Si f(t) = , ¿qué valor tiene 40 + 12 • 6–25t en una región del país, la cantidad de perso- 1 nas (en cientos) que había contraído el virus f para t = ? 25 se podía modelar mediante la expresión matemática: 25 25 1 A. C. E. 22 40 42 2 f(x) = 1 + 21e–1,12x B. 42 D. 0 a. ¿Cuántas personas padecían la enferme- dad cuando se comenzó a hablar de brote? 8. Sea la función exponencial b. Después de un mes y si las condiciones siguen igual, ¿cuántas personas tendrán 4.500 influenza? f(t) = t . ¿Cuál es el valor de f(4)? c. Si no se ataca el brote en su momento, 64 12 ¿en cuánto tiempo es posible esperar 1.000.000 de infectados? ¿Qué medidas A. 15 C. 60 E. 9.000 consideras se debieran tomar en una B. 25 D. 1.125 situación similar? d. Grafica f(x) y compara tus respuestas con las de tus compañeros(as). 130 La función exponencial
    • MEDIOS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Ley de enfriamiento de Newton Newton, junto a Arquímedes y Einstein, figura como uno de los más grandes pensadores de la historia, tanto por el impacto de sus teorías como por los giros radicales que significaron en su época. Una de las tantas aplicaciones del cálculo que Newton desarrolló es la llamada Ley del enfriamiento, la cual dice: “La rapidez con que un objeto se enfría es directamente proporcional a la diferencia de temperaturas entre el objeto y el medio que lo rodea”. El modelo matemático de esta ley se expresa por: T(t) = T0 + • e–kt donde k > 0 es una constante y es la diferencia de temperatura entre el estado inicial y el medio ambiente T0. En algunas películas, como en Los 7 pecados capitales, los protagonistas deducen la hora en que fueron cometidos los crímenes. ¿Cómo lo hacen? Analicemos un ejemplo concreto. • La policía llegó al lugar de los hechos a las 10:00 y la temperatura del cadáver a esa hora era de 29 °C. • La temperatura de la pieza donde se encontró el cuerpo era de 23 °C. • Una hora y media después, la temperatura del cuerpo bajó a 27 °C. ¿A qué hora fue el crimen? Usando la expresión dada por Newton, tenemos: T0 = 23 °C y = 29 – 23 = 6. Falta por determinar k. Tenemos entonces: T(t) = 23 + 6 • e–kt Por otra parte, la temperatura del desafortunado era de 27 °C a las 11:30, es decir: T(1,5) = 27. Igualando y aplicando logaritmo natural tenemos: 23 + 6 • e–1,5k = 27 k = 0,27031007 Por lo tanto, T(t) = 23 + 6 • e–0,27031007t Gentileza, Carabineros de Chile. Volviendo al problema original, se sabe que la temperatura normal del cuerpo humano es 36,5 °C, se obtiene: 36,5 = 23 + 6e–0,27031007t Al resolver esta ecuación, se obtiene t = –3 con lo que podemos concluir que el crimen se cometió 3 horas antes, es decir, a las 7 de la mañana. 1. Plantea un problema similar pero variando los datos. Pídele a un compañero(a) que lo resuelva. La función exponencial 131
    • SÍNTESIS Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos claveMapa dados.conceptualConceptos clave:Función exponencialNúmero eEcuación exponencialCrecimiento exponencialDecrecimientoexponencialResumen 1 Función exponencial: es una función de la forma y = f(x) = ax, donde a > 0 y a ≠ 1; x . 2 Propiedades de la función exponencial: • El dominio de la función exponencial está dado por todos los números reales. • El recorrido de la función exponencial está dado por los reales posi- tivos. • El punto de intersección de la función con el eje Y es (0, 1). • La función no intersecta al eje X. • La función exponencial se sitúa encima del eje de las abscisas: eje X. 3 Ecuación exponencial: es aquella en la cual la incógnita aparece en el exponente. Ejemplo: 35x = 9x – 6 132 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 1 n4 Número e: el número e surge del análisis de la función f(n) = 1 + , n donde n es un entero positivo. e se aproxima a 2,71828182...5 Crecimiento exponencial: una función exponencial y = f(x) = ax, es cre- ciente si a > 1, es decir, si x1 < x2 entonces f(x1) < f(x2) y su gráfica es de la forma: Y ax X6 Decrecimiento exponencial: una función exponencial y = f(x) = ax, es decreciente si 0 < a < 1, es decir: si x1 < x2 entonces f(x1) > f(x2) y su gráfica es de la forma: Y X7 Inversa de la función exponencial: sea f(x) = ax una función exponen- cial, su inversa está dada por f–1(x) = logax. Además, sus gráficas son simétricas respecto a la recta y = x. Si a > 1 Si 0 < a < 1 Y Y f(x) f(x) f–1(x) X X f–1(x) La función exponencial 133
    • EVALUACIÓN Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 1. Al simplificar ln ex + eln x + 1 se obtiene: 6. La solución de ln e–4x + 5 = 21 es: A. 1 A. x= –4 B. x + 1 B. x = 4 C. 2x + 1 C. x = 4 y x = –4 x D. ln (e + 1) D. x = e E. Otro valor. E. Ninguna de las anteriores. 2. ¿Qué valor tiene x en la siguiente ecuación 7. La solución de la ecuación 2ex + 5 = 3e–x es: 200 = 150 • e0,15x? A. e2 C. ln 2 E. ln (–2) A. 1,917 –2 B. e D. –ln 2 B. 19,17 C. 10 1 x 1 x D. 1,5 8. Si f(x) = 3 + 3–x y g(x) = 3 – 3–x , 2 2 E. 1,05 entonces f(x) + g(x) es igual a: 3. ¿Cuánto demora un capital P en duplicarse si se A. 3x C. 3x – 3–x E. 3x + 3–x invierte con un interés compuesto del 11%? 3x B. D. –3–x A. 4,5 años 2 B. 5 años 9. Un cultivo de bacterias tiene 300 bacterias C. 6,5 años en un principio y después de una hora hay D. 11 años 450 bacterias. Según este crecimiento, E. 1,1 años ¿en cuánto tiempo el número de bacterias se triplica? 4. El valor de x en eln (5x – 5) = 5 es: A. 163 minutos A. x = 0 B. 2 horas B. x = e C. 2,5 horas C. x = 2 y x = –2 D. 3 horas D. x = 2 E. 3,5 horas E. x = 5 10. Una población de bacterias duplica su 2 tamaño cada 21 minutos. ¿Cuánto tiempo 5. La solución de eln x = 9 es: tardará en incrementarse el número de A. x = 9 y x = –9 organismos de 106 a 109 bacterias? B. x = 3 y x = –3 A. 1 hora C. x = 3 B. 2 horas D. x = 9 C. 200 minutos E. Ninguna de las anteriores. D. 209 minutos E. Ninguna de las anteriores. 134 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL11. Cuando x toma un valor muy grande, 16. El número de bacterias en un cultivo, f(x) = 2 + 3 • 10–x se acerca a: está dado por la relación f(t) = B • 2kt, con t medido en horas. Si al cabo de 8 horas, A. 2 D. 6 el número de bacterias es 16 2 veces lo que B. 3 E. Falta información había al principio, ¿cuál es el valor de k? C. 5 1 A. 212. Las soluciones de la ecuación B. 2 (x2 – 5)ex + 4exx = 0 son: C. 64 A. x = 0 1 B. x = 0 y x = 5 D. 128 C. x = 1 y x = –5 E. Ninguna de las anteriores. D. x = –4 y x = 5 E. Infinitas soluciones. 17. ¿Cuál de las siguientes relaciones son verdaderas para la función exponencial13. El valor de 3x + 3x + 1 es igual a: f(x) = ax con a > 0 y a ≠ 1? A. 3 • 3x + 1 I) El dominio de f(x) es . 2x + 1 B. 2 • 3 II) Si a > 1 entonces f(x) es creciente. C. 4 • 3x III) ax = az ⇔ x = z D. 32x + 1 A. Solo I C. I y III E. Todas. E. Otro valor. B. Solo II D. II y III14. El valor de log2(3x + 3x + 1) es igual a: 18. Al resolver la ecuación ln (5 – 2x) = –2, el valor de x es: A. x log 3 + 2 5 B. x log2 3 + 2 A. 5 – e–2 D. 2 C. log2 3x + log2 3x + 1 5 – e–2 2x + 1 B. E. Ninguna de las anteriores. D. log2 3 2 E. 32x + 1 e–2 C. 1015. Al despejar la variable x en la ecuación 1 y= ln (x – 1) se obtiene: 19. Si f(x) = ax, a > 0, entonces f(x) • f(z) es: 2 A. x = e2y + a A. axz D. f(x + z) B. x = e2y + 1 B. ax + az E. ax – az C. x = e2y x C. a z D. x = 2ln (x – 1) E. x = ln (x – 1) La función exponencial 135
    • EJERCICIOS DE REFUERZO Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL 1. Tiempo de duplicación. Si una población crece 5. En circuitos eléctricos aparecen las siguientes sin interrupción a razón del 3% anual, ¿en fórmulas para la intensidad I(t). Despeja en cuánto tiempo se duplica? cada una de ellas la variable t. Indicación: usa la fórmula de crecimiento –Rt E y = aert con r = 0,03. a. I(t) = 1–e L R 2. Estudios hechos por agrónomos han demos- E t b. I(t) = e RC trado que el crecimiento de un bosque se R puede proyectar mediante la expresión: M(t) = m(1 + i)t 1 ax en que M es la madera que habrá dentro de 6. La función f(x) = e + e–ax ; a > 0, describe 2 t años, m la madera inicial e i la tasa de creci- miento anual, que en este caso consideraremos algunos fenómenos como la curva de los como i = 0,03. tendidos eléctricos o los cables de los puentes colgantes. Resuelve la ecuación f(x) = 1 para a. Si al inicio se tienen 3 há de madera, a = 1. ¿cuántas há habrá dentro de 10 años? b. Obtener una expresión para t(M). 7. Demuestra la equivalencia: c. ¿Cuántos años tarda en duplicarse la madera del bosque? ex – e–x = 2y ⇔ x = log y + y 2 + 1 3. Una población de bacterias crece en un 10% 8. Una suma de dinero se invierte a 4 años con un cada día. Un estudio sobre cierto cultivo indica interés del 4% y luego 6 años más a un interés que el crecimiento de la población P(x), después del x%. Determina x, si la cantidad de dinero se de x días, está dado por la fórmula duplica exactamente a los 10 años. P(x) = 5.000 e0,17x. a. ¿Cuántas bacterias había en un comienzo? 9. Si la población de la ciudad de Concepción en b. ¿Cuál es el número de bacterias después de un instante t está dada por P(t)= 1,1 • e0,025t 5 días? millones. ¿Cuál es el porcentaje de crecimiento c. ¿Cuánto tiempo debe pasar para alcanzar por año? (t: años) una población de 20.000 unidades? 10. Un cultivo de laboratorio tiene una cantidad 4. Encuentra el valor de la incógnita en cada caso: de 100100 bacterias. Después de 1 hora la 3 100 a. ex = 5,2 cantidad de bacterias es • 100 . 2 100 b. eln e =x Encuentra el tiempo necesario para que el número de bacterias se triplique. 1 c. 2ex = 3 ex – e–x 11. Si y = donde e = 2,71828... ex + e–x ex – 1 d. = e2x 4 1 1+y demuestra que x = ln . 2 1–y 136 La función exponencial
    • Unidad 4 LA FUNCIÓN EXPONENCIAL12. Dadas las siguientes funciones, 18. Un hueso fosilizado, supuestamente de un 1 milodón, encontrado en Magallanes contiene f(x) = ln (x – 1) ; F(x) = e2x + 1 ; 1 2 de la cantidad de Carbono-14. 1.000 e2x – 1 1 1+x g(x) = 2x ; G(x) = ln calcula: Determina la edad del fósil. e +1 2 1–x a. (f o F)(x) 19. La medida de la presión atmosférica P en b. (F o f)(x) pulgadas de mercurio a una altitud de x millas sobre el nivel del mar, está dada por c. (g o G)(x) la ecuación p(x) = 28 e–0,22x. d. (G o g)(x) a. Si la presión en la cima de la montaña es de 15 pulgadas de mercurio, determina la 1 altura de la montaña.13. Si y = ln (x – 1), demuestra que 2 b. ¿Cuál es la presión atmosférica en la cima 1 1+y del Everest? (Altura 8.000 metros). x= ln . 2 1–y 20. Encuentra la función inversa de las siguientes funciones:14. Un plato de lentejas con temperatura de 80 ºC se pone en la mesa de un comedor que 2 x a. h(x) = está a 22 ºC. Su temperatura después de 3 x minutos está dada por, b. g(x) = 2 • 1,25x f(x) = 22 + 58e–0,051x ºC. ¿Cuánto tarda cada plato de lentejas en enfriarse hasta llegar a 1 c. l(x) = 0,1x • una temperatura de 37 ºC? 3 115. Un experimento parte con P0 gramos de 1 –2x d. f(x) = polonio y la cantidad que queda después de 64 x días está dada por: P(x) = P0e–0,0005x 21. Grafica en un mismo sistema de ejes coor- denados las siguientes funciones: Encuentra el número de días necesarios para que la cantidad de polonio sea de I) y = ln x 0,48 P0 gramos. II) y = ex III) y = 4x16. Resuelve la ecuación: 2 IV) y = log4 x (20.736)x – 4x – 1 = 248.832 a. Indica el dominio de cada función. bx b. Indica el recorrido de cada función.17. Despeja x en la ecuación a = c. ¿Qué condiciones deben cumplir a, b y c? c. Encuentra la función inversa para cada una de las funciones anteriores. La función exponencial 137
    • UNIDAD 5 Vectores → p1 → p2 En Astronomía, O gracias a la labor heroica y milenaria de hombres y mujeres que han contemplado los diferentes planetas y estrellas, ha permitido proponer y desarrollar leyes que intentan desentrañar los grandes secretos del Universo. Gracias a la geometría, como formalización del conocimiento, se ha permitido modelar, conocer y comprender nuestro sistema solar y nuestro planeta. 138 Vectores
    • En esta unidad aprenderás a... Calcular magnitudes vectoriales y escalares. Utilizar operatoria con vectores. Identificar vectores en el plano y en el espacio. Obtener la ecuación vectorial de la recta y del plano. Identificar la intersección de planos. Identificar ángulos diedros. Realizar traslaciones y homotecias. Explora Realiza el laboratorio 1correspondiente a la unidad 5 que aparece enwww.santillana.cl/emedia/mat4 Vectores 139
    • REPASO Unidad 5 VECTORES¿Cuánto sabes? 1. Grafica las siguientes funciones. a. y = 2 c. y = 2x + 1 e. y = –(x + 1) 1 1 b. y = x+7 d. y = –3x + 3 f. y = – x+2 2 4 2. Analiza los siguientes gráficos y determina si corresponden a una función continua o discontinua. Y Y Y X X X 3. Resuelve las siguientes ecuaciones. a. x = 2 c. x – 2 = 1 e. 3 x + 4 = 8 1 b. x = 10 d. –x = 5 f. –3 x – 5 = 12 2 4. Resuelve los siguientes sistemas de ecuaciones y analiza sus soluciones. 1 1 a. 3x + 2y = 14 b. x + y = 42 c. x– y=3 2 4 x – y = 28 2x + 2y = 24 4x – 2y = 24 5. Comprueba la falsedad de las siguientes afirmaciones dando un contra- ejemplo. Como por ejemplo: La suma de dos números primos siempre es otro número primo. Contraejemplo: Los números 3 y 7 son primos, pero su suma es 10, y este número no es un número primo. Por lo tanto la proposición es falsa. a. El producto de un número impar por otro par es siempre impar. b. Todo número natural al cuadrado es siempre un número par. c. El producto de dos fracciones es siempre menor que 1. 140 Vectores
    • Unidad 5 VECTORES6. Representa las siguientes proposiciones, tal como lo indica el ejemplo. Ejemplo: Representaremos simbólica y gráficamente la afirmación “la recta a’ y la recta b’ se intersectan en el punto C”. Lenguaje simbólico: Representación grafica: La’ Lb’ = C C La’ Lb’ a. Las rectas α y β se encuentran a la misma distancia de un punto p. b. Los planos γ y δ no se intersectan. c. La intersección de la recta α con el plano φ es la misma recta alfa. 1 El módulo de un número o de una expresión algebraica es siempre el ¿Qué debes valor absoluto de esta. recordar? –x si x < 0 x = x si x 0 2 Todo sistema de dos ecuaciones lineales presenta tres posibilidades en cuanto a las soluciones. Si se tiene que una Si se tiene que ambas Si se tiene que las rectas ecuación de la recta es rectas tienen igual valor no son coincidentes ni una amplificación de la de la pendiente y la paralelas, el sistema otra, el sistema tiene ecuación no es la misma, tiene una única solución, infinitas soluciones, el sistema no tiene solu- ya que sus rectas son ya que las rectas son ción, ya que sus rectas secantes. coincidentes. son paralelas. 1 2x + 6y = 10 x–y=0 x–y=0 2 x + 3y = 5 x2 x–y=2 2x – y = 1 1 es una amplificación de 2 . Vectores 141
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Rectas en el espacio Para conocer aproximadamente dónde se encuentra la Línea del Ecuador, podemos fijar una varilla verticalmente en una superficie plana y horizon- tal, y posteriormente trazar varios círculos concéntricos cuyos centros sean el pie de la varilla.AY U D A Luego de haber marcado en la mañana y en la tarde los diferentes puntos en que la extremidad de la sombra de la varilla toca los círculos concéntri- Tres puntos son colineales si pertenecen a una misma recta. cos, y trazando a continuación las bisectrices correspondientes a cada sector circular, obtendremos la dirección de la meridiana o plano meridiano.TIPS SolSi la intersección de dos rectas ode dos planos es no vacía, se diceque son secantes. SUR LÍNE A MER IDIA NA NORTE Como podemos observar, si se une el punto ubicado en el pie de la varilla y el punto de intersección en cada círculo se forma un segmento, dando origen a un plano. ¿Cómo podemos determinar un único plano π ?TIPSLos planos se simbolizan utili- Puntos no colineales Dos rectas que se intersectanzando la letra π. C L1 L2 A B π π Tres puntos no colineales deter- Si dos rectas secantes pertenecen minan un único plano. a un mismo plano, estas dan origen a cuatro semiplanos. 142 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESDos rectas paralelas TIPS Si dos rectas están contenidas en L1 planos distintos y no se intersec- tan, diremos que dichas rectas L2 son alabeadas. πDos rectas paralelas determinan un único plano.Una recta y un punto exterior a ella A L C B πUna recta y un punto exterior a ella determinan un único plano.EJERCICIOS1. Indica ejemplos de modelos físicos en que se a. Los puntos A, E y F son colineales. observen: b. Los puntos B, C, E y F son coplanarios. a. Rectas: concurrentes, paralelas y alabeadas. c. El segmento AC se intersecta con BD. b. Puntos no colineales. d. El segmento AC se intersecta con DF. c. Rectas y planos: secantes, paralelos y coinci- e. Los puntos B, E y F son coplanarios. dentes. f. Los puntos B, D, F y G son coplanarios.2. De acuerdo con la figura, en la cual los puntos 3. Construye un contraejemplo para cada una de A, B, C y D son coplanarios (pertenecen al las siguientes proposiciones. mismo plano), indica en cada caso si la afirma- ción es verdadera o falsa, según corresponda. a. Si dos rectas diferentes se intersectan, exis- E ten solo dos planos que las contienen. D b. Dado tres puntos colineales, existe un único A G plano que los contiene. C B F Vectores 143
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Planos en el espacio Observa la siguiente representación de 3 planos en el interior de un cubo.AY U D A PA R A A R C H I VA R Por una recta pasa un número La intersección de tres planos en un punto (el piso y dos murallas de un infinito de planos. Se habla de un haz de planos. dormitorio) da origen a tres semiplanos distintos, los cuales nos permiten hacer referencia al largo, ancho y a la altura. L Posiciones relativas entre 2 planos • Planos paralelos π1 Dos planos paralelos no tienen puntos π2 de intersección. • Planos secantes π1 La intersección de dos planos secantes determina una recta y por ende poseen π2 infinitos puntos de intersección pertene- cientes a esa recta. • Planos coincidentes π1 Dos planos coincidentes tienen todos sus B A C puntos en común. π2 144 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESPlanos y sistemas de ecuacionesLas representaciones gráficas de planos en el espacio tienen directa relacióncon un sistema de ecuaciones, de 3 ecuaciones lineales con tres incógnitas.EjemploSiempre que tres planos conformen un haz de planos, es decir, que la inter-sección entre estos planos dé origen a una línea recta, podemos inferir queel sistema de ecuaciones asociado a la representación gráfica tiene infinitassoluciones, ya que una línea recta está constituida por infinitos puntos. Al intersectar estos 3 planos se obtiene una recta llamada arista PA R A A R C H I VA R del haz. Un sistema de ecuaciones de tres ecuaciones y tres incógnitas puede representarse gráficamente mediante la intersección de planos. AY U D A π3 π2 La solución de un sistema de ecuaciones debe satisfacer a cada π1 una de las ecuaciones involu- π1 cradas. π2 π3 No hay solución. Una solución. EN EQUIPO Utilizando alguno de los métodos π3 para resolver sistemas de ecua- π1 ciones aprendidos anteriormente B π2 intenten resolver un sistema de 3 A ecuaciones con 3 incógnitas. C π1 π2 π3 Infinitas soluciones (3 planos Infinitas soluciones (tres planos coincidentes). secantes)EJERCICIOS1. Representa gráficamente las siguientes situa- c. El plano π1 es perpendicular con el plano π2 ciones. dando origen a la recta L1 que es paralela a la recta L2 que pertenece al plano π1. a. El plano π1 tiene origen a partir de la recta Lβ y un punto Z exterior a ella. d. Dado los planos π1, π2 y π3, cada uno de ellos intersecta a los otros dos planos. b. El plano π1 es secante con el plano π2 dando ¿Cuántos semiplanos se forman en esta origen a la recta L1 que es perpendicular a la representación gráfica? recta L2 que pertenece al plano π2. Vectores 145
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Intersección de planos Como hemos aprendido, la intersección de dos planos da origen a distintos semiplanos que se cortan. El ángulo de intersección entre dos Arista semiplanos se denomina ángulo diedro. Cara Cara Ángulo diedro Se llama ángulo diedro a la porción de espacio comprendida entre dos semiplanos que tienen un borde (recta) común AB , y están situados en planos distintos. En la figura observamos que P se ubica en una cara y Q en la otra (cada cara corresponde a un semiplano). Mientras, los puntos A y B se ubican en la arista P del diedro (recta común a los dos semiplanos). A Q Los ángulos diedros se simbolizan de la siguiente manera: (P, AB , Q), donde B P y Q representan puntos de cada semiplano, respectivamente, y la recta AB π2 representa la recta común a ambos semiplanos. π1 Dado el nombre de cada semiplano, un ángulo diedro también se puede repre- sentar por: (π1, AB , π2). π1 y π2 es el nombre que representa a cada semiplano. ¿Dónde se utiliza un ángulo diedro? Las avionetas que conforman un ángulo diedro entre las alas, tienen mayor estabilidad de vuelo (que el diedro neutro). Diedro positivo Diedro neutro Diedro negativo ¿Cómo conocer la medida del ángulo diedro? Observa la figura. Se conoce como ángulo rec- π2 tilíneo al ángulo formado por dos rectas situa- A Q das una en cada cara del ángulo diedro, de manera tal que ambas sean perpendiculares a O la recta AB en un mismo punto de ella. La me- P dida del ángulo diedro es igual a la medida del B ángulo rectilíneo correspondiente. π1 146 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESComo sabemos, los cuerpos geométricos son poliedros que están conformados Cubopor caras regulares y congruentes.El cubo es un cuerpo geométrico con 6 caras cuadradas congruentes, lo cual im-plica que dos rectas pertenecientes a distintas caras se intersectan perpendicu-larmente, es decir, el ángulo rectilíneo mide 90º. Por lo tanto, el ángulo diedroen el cubo (hexaedro) mide 90º. PA R A A R C H I VA R En los cuerpos geométricos regulares se encuentra el hexaedro, tetrae- dro, octaedro, icosaedro y dodecaedro. A continuación se presentan las medidas del ángulo diedro en cada uno de ellos (el ángulo diedro del cubo ya fue revisado). Tetraedro Octaedro 70,53º 109,45º Icosaedro Dodecaedro 138,2º 116,57ºEJERCICIOS1. Observa los siguientes poliedros. c. Según la siguiente clasificación: A los poliedros que tienen alguna cara sobre la que no se pueden apoyar, se les llama cóncavos y a los demás, convexos. ¿Cuáles de los poliedros anteriores son convexos o cóncavos? a. ¿Cuál o cuáles de los poliedros anteriores no 2. Busca en tu sala los siguientes tipos de ángulos. se pueden apoyar sobre todas sus caras? Triedro Tetraedro b. ¿Qué característica tiene el ángulo diedro en los poliedros que sí se pueden apoyar en todas sus caras? Vectores 147
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORESHISTORIA Coordenadas cartesianas Y Las coordenadas cartesianas fueron crea- 2 das por René Descartes y representan una de las herramientas más usadas y útiles en (2, 1) 1 el estudio de las matemáticas. –2 –1 1 2 X –1 René Descartes (–1, –1) (1596–1650) –2 Y Descartes consiguió establecer una sólida y=x–1AY U D A 2 relación entre la geometría y las ecuacio- (2, 1) Recuerda que todo plano carte- nes. A cada recta se le asigna una ecuación 1 siano tiene 4 cuadrantes: en el que relaciona el eje Y con el eje X, de tal primer cuadrante ambas coorde- modo que se pueden representar gráfica- –2 –1 1 2 X nadas son positivas, en el tercer mente en el plano cartesiano. –1 cuadrante ambas coordenadas son negativas. –2 (–1, –2)AY U D A Ejemplo • Dado dos puntos distintos, se La ecuación de una recta es y = 2x – 3, de tal modo que para cada valor de x puede obtener una única ecua- ción de la recta. tenemos un valor para y. • Todo punto en el plano carte- Si x = 0, al evaluar en la expresión y = 2 • 0 – 3 = –3 obtenemos el punto de coor- siano tiene coordenadas (x, y). denadas (0, –3). Si x = 2, al evaluar en la expresión y = 2 • 2 – 3 = 1 obtenemos el punto de coor- denadas (2, 1).IR A LA WEB PA R A A R C H I VA RDesarrolla el laboratorio 2. El plano cartesiano está formado por dos líneas rectas (ejes) perpendi-www.santillana.cl/emedia/mat4 culares entre sí. La representación en coordenadas de los cuadrantes es la siguiente: Y Primer cuadrante (x, y) II I Segundo cuadrante (–x, y) O Tercer cuadrante (–x, –y) X III IV Cuarto cuadrante (x, –y) (Considerando x > 0, y > 0). El eje horizontal se llama eje de abscisas o también eje X, el eje de las ordenadas o eje Y, y el punto O se llama origen de coordenadas. 148 Vectores
    • Unidad 5 VECTORES¿Cómo se calcula la distancia entre dos puntos del plano cartesiano?Por el teorema de Pitágoras podemos calcular la distancia de cada cateto deltriángulo rectángulo que se muestra en la figura a continuación. Y B P1(x1, y1) AY U D A C A Teorema de Pitágoras: la suma 0 X de las medidas de los catetos al P2(x2, y2) D E cuadrado es igual a la medida de la hipotenusa al cuadrado.Dado que el punto E tiene coordenadas (x1, y2), la medida de los lados estaríadada por: P2E = (x1 – x2), EP1 = (y1 – y2) y P1P2 = d. 2 2 2Aplicando el teorema de Pitágoras, obtenemos que P2E + EP1 = P1P2 ,y sustituyendo (x1 – x2)2 + (y1 – y2)2 = d2,de donde, d = (x1 – x 2 )2 + (y1 – y 2 )2 .EJERCICIOS 1. Completa las siguientes afirmaciones. 3. Probar que los puntos son vértices de un trián- gulo equilátero. a. Si la abscisa y la ordenada tienen el mismo Y signo, el punto (x, y) se encuentran en el cuadrante. P3(3 3 , 3 3 ) P1(3, 3) b. Si la ordenada es negativa y la abscisa es positiva, el punto (x, y) se encuentran en el O X cuadrante. P2(–3, –3) c. Si la abscisa es negativa y la ordenada es positiva, el punto (x, y) se encuentra en el 4. Probar que los puntos son vértices de un para- cuadrante. lelogramo. 2. Responde. Y C(20, 14) B(2, 10) a. ¿Cuáles son las coordenadas del punto que está a 4 unidades a la izquierda del eje de D(14, 6) A(–4, 2) las ordenadas y 3 unidades por encima del O eje de las abscisas? X b. ¿Cuáles son las coordenadas de los puntos 5. Escoge cuatro puntos de tal manera que sean que se encuentran a 5 u del origen del plano los vértices de un cuadrado, y cada punto cartesiano? pertenezca a un único cuadrante. Vectores 149
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORESHISTORIA Vectores Johannes Kepler logró deducir las famosas tres leyes descriptivas del movimien- to orbital de los planetas. Una de sus leyes tiene relación con que el radio vector que va desde el Sol al planeta describe áreas iguales en tiempos iguales. Como podemos observar, el radio vector es todo Johannes Kepler segmento de recta dirigido (1571–1630) Sol en el espacio. Por lo tanto, cada radio vector posee un origen, un sentido y unaTIPS dirección. La TierraLa palabra vector, proviene dellatín, y significa “el que conduce”. PA R A A R C H I VA R Todo radio vector posee las siguientes características. Origen o también denominado punto de aplicación: corresponde al punto exacto sobre el cual actúa el vector. Dirección: está dada por la orientación en el espacio de la recta que lo contiene. Sentido: se indica mediante una punta de flecha situada en el extremo del vector, indicando hacia qué lado de la línea de acción se dirige el vector. Módulo de un vectorTIPS Se sabe que cuando el planeta está más alejado del Sol su velocidad es menor que cuando está más cercano al Sol. Observa la siguiente imagen:• Dos vectores son iguales al ser paralelos y tener la misma intensidad o módulo. El vector velocidad v1 tiene mayor módulo (longitud) que el vector v2. v v1• Dos vectores son opuestos al r v1 > v2 tener igual intensidad y direc- θ r2 r1 ción, pero sentido contrario. El radio r tiene menor módulo v2 que el radio r2. r < r2 150 Vectores
    • Unidad 5 VECTORES¿Qué sucede si el origen de un vectorcoincide con el punto O del planocartesiano?Cuando el punto de aplicación de un v AY U D A yvector está en el origen de un sistema El vector o segmento orientadode coordenadas, su extremo, coinci- O x con origen en A y extremo en B, sedirá con un punto del plano, el punto representa por el símbolo: AB .(x, y). BEntonces, si el punto de aplicación es el punto (0, 0), utilizando el teorema de ABPitágoras, podemos determinar el módulo de este vector , pues la suma de los Acuadrados de los catetos (las coordenadas) debe ser el cuadrado de lahipotenusa (la intensidad o módulo del vector). Es decir: v 2 = x2 + y2 o bien, v = x 2 + y 2 PA R A A R C H I VA R TIPS Las coordenadas de un vector se denominan componentes, además v = –v todo vector está definido por dos puntos, y a su vez, cada punto tiene dos componentes, una x y otra y, que corresponden a las componentes cartesianas del vector. Todo vector posee además módulo que corresponde a la longitud o tama- ño del vector, dado por la expresión: v = x 2 + y 2 .EJERCICIOS1. Dibuja y calcula el módulo de los siguientes 2. Dos vectores de igual intensidad, pero distinta vectores centrados en el origen del plano y cuyo dirección y sentido, son distintos; cuando tienen extremo es el siguiente punto: la misma dirección y sentido, pero distinta inten- sidad, también son distintos. ¿Cómo son los a. A(3, 4) siguientes vectores? b. B(–7, 12) a. c. c. C(–9, –12) d. D(–13, 12) e. E(–1, 0) b. d. f. F(0, –4) Vectores 151
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Operatoria con vectores Un bote se desplaza en línea recta desde el puerto hasta una isla, y luego lo hace desde la isla hasta el faro. Si obser- vas el dibujo, el desplazamiento final s del bote corres- ponde al vector que tiene su origen en el puerto y su a b extremo en el faro, y se expresa como: s = a + b . En general, para hallar el vector suma s = a + b , dibujas s=a+ b uno de ellos, por ejemplo a , y luego representas el vector b colocando el origen de b en el extremo de a . El vector resultante tiene su origen en a y su extremo en b .AY U D A a La adición de vectores da como b a resultado un vector. b s=a+ b PA R A A R C H I VA R La adición de vectores cumple las siguientes propiedades: • Conmutativa: a + b = b + a • Asociativa: a + ( b + c ) = ( a + b ) + c → → • Elemento neutro: a + 0 = 0 + a = a • a +b ≤ a + b • Dado un vector a existe un elemento opuesto (– a ), de igual módulo y dirección, pero sentido opuesto, de forma que al sumarlos se obtiene el vector 0 o nulo a + (– a ) = 0 .IR A LA WEB Regla del paralelogramoDesarrolla el laboratorio 3. Otra forma de realizar la suma de a y b eswww.santillana.cl/emedia/mat4 dibujar dos representantes de ambos vectores con un mismo origen, O. A continuación se a+b a dibuja un paralelogramo cuyos lados son a y b , el vector suma a + b es la diagonal de dicho b paralelogramo de origen O. 152 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESAl igual que en el caso de los números, la sustracción es la operación inversa de AY U D Ala adición. Restar dos vectores consiste en sumarle al primero, el vector opuestodel segundo: a – b = a + (– b ). La diagonal de un paralelo- gramo es la recta que pasa porGráficamente, si empleamos el método del paralelogramo, para la sustracción, dos vértices opuestos.la otra diagonal del paralelogramo obtenido representa la resta de los dosvectores. AY U D A → → → → v+w v+w → → v–w w –→ → v La representación de la diago- nal como a – b o b – a , de- penderá del punto de aplicación → → → → w v w v del vector y de su extremo. PA R A A R C H I VA R La suma de vectores en forma analítica se efectúa a través de sus coor- denadas cartesianas. La adición se realiza entonces sumando compo- nente a componente. Por ejemplo, la suma de los vectores centrados en el origen y cuyos extremos son (2, 3) y (–1, 2) respectivamente, será el vector resultante de (2, 3) + (–1, 2) = (2 + –1, 3 + 2) = (1, 5).EJERCICIOS1. Resuelve las siguientes sumas de vectores, repre- 3. Resuelve los siguientes problemas. sentando gráficamente los resultados. a. El minutero de un reloj mide 5 cm. Represen- a. (2, 5) + (3, –2) ta gráficamente el vector desplazamiento de su punta después de quince minutos, media b. (–1, 3) + (–1, –1) hora, tres cuartos de hora y después de una c. (0, –5) – (3, 6) hora. d. (–6, –9) – (5, –3) b. Una araña está en un vértice de una sala cuyas dimensiones son 7 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de alto, y desea ir al vértice2. Encuentra el valor de x e y en los siguientes diametralmente opuesto. Determina la casos. distancia mínima que recorrería y el vector a. (x, y) + (1, 6) = (2, –3) desplazamiento que realizaría. c. Dos vectores de desplazamiento centrados en b. (x, 3) + (2, y) = (9, –2) el origen tienen módulos iguales a 6 metros y c. (x, 2) – (–3, y) = (–1, 3) 8 metros. ¿Cuál debe ser la dirección y senti- d. (–1, –4) – (x, y) = (5, 6) do de cada uno de estos vectores para que la resultante tenga un módulo igual a 14 metros, 2 metros y 6 metros? Representa gráficamente cada uno de los casos pedidos. Vectores 153
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Producto de un número real por un vector El producto de un número real λ por un vector a , de coordenadas (x, y), es otro vector dado por λ a , y se define como: λ a = λ(x, y) = (λx, λy). Ejemplo Y Dado el vector a = (2, 3) lo representaremos geométricamente, de color rojo. 3 2a a En el mismo sistema de coordenadas, ¿cómo representarías el vector 2 a? 2 X Aplicaremos la definición de ponderación del vector a . Entonces se tiene,TIPS a = (2, 3) ⇒2 a = 2 • (2, 3) = (2 • 2, 2 • 3) = (4, 6)Al número real que pondera a Observa, que tanto gráfica como algebraicamente, el vector ponderado aumen-un vector también se le llama ta al doble su módulo, manteniendo su dirección y sentido.escalar. ¿Cómo se graficará el mismo vector, pero ponderado por –1? Revisemos su representación algebraica,AY U D A a = (2, 3) ⇒ –1 a = –1 • (2, 3) = (–1 • 2, –1 • 3) = (–2, –3) Y Hay que mencionar que existen Gráficamente resulta, magnitudes vectoriales (veloci- dad, fuerza, etc.) y aquellas que a no lo son; estas últimas son las llamadas magnitudes escalares (distancia, masa, etc.). X –a ¿Qué puedes concluir? PA R A A R C H I VA R El producto de un número real (λ: escalar) por un vector a , resulta el vector ponderado λ a , que tiene las siguientes características: • Mantiene la misma dirección. • λa = λ • a . • Si λ > 0, el vector mantiene el mismo sentido. Si λ < 0, el vector cambia de sentido. • Si λ = 0, entonces λ a = 0 (vector nulo). 154 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESPropiedades del producto TIPSDado los escalares λ y µ, y los vectores u y v , se cumplen las siguientes La colinealidad de puntos sepropiedades: puede expresar y verificar vecto- rialmente por medio de la1. λ ( u + v ) = λ u + λ v 3. λ(µ u ) = (λ µ) u ponderación. Si M, N y P son tres puntos colineales, entonces exis-2. (λ + µ)u = λ u + µ u 4. 1 u = u te algún número real λ tal que: MP = λ MN . PEjemplo N 1 MDados los vectores u = (–5, 2) y v = (3, –4), ¿cuánto resulta ( u + v )? 21 1 1 1 1 5 3 5 3 ( u + v) = u+ v = (–5, 2) + (3, –4) = – , 1 + , –2 = – + , 1 – 2 = (–1, –1)2 2 2 2 2 2 2 2 2 Aplico propiedad no1 Sumo coordenadas de vectoresEJERCICIOS 1. Comprueba numéricamente las propiedades 2, 4. Considera los siguientes vectores (1, 2); (4, 8); 3 y 4. (0, 0) y (–2, –4). a. Expresa algebraicamente, por medio del 2. Conocidos los vectores u , v y w representa producto de un escalar por un vector, cada sobre una cuadrícula los siguientes vectores. uno en términos del otro. b. Grafica los cuatro vectores en el mismo a. u + v sistema de coordenadas. b. 3 u u c. De la pregunta a y b, ¿se genera alguna c. 2 u – v v regularidad? d. v – 2 w d. ¿Qué conclusiones puedes obtener? e. 2 u – v + w w 5. Dados los siguientes vectores, selecciona aque- llos que pueden representarse en función de otro. 3. Dado el producto de µ a , con a ≠ 0 , contesta (–2, 1); (2, –1); (0, 1); (4, –2); (1, –0,5); (3, 1,5) las siguientes preguntas: a. Los vectores seleccionados, represéntalos en a. ¿Qué características cumple el producto si: un sistema de coordenadas. µ > 1?, ¿µ = 1?, ¿0 < µ < 1?, ¿µ = 0?, b. ¿Qué regularidad se cumple? ¿µ = –1?, µ < –1? c. Reflexiona acerca de la siguiente frase: b. Para cada caso anterior, justifica tu respues- “que uno o más vectores puedan escribirse ta con la representación gráfica correspon- en función de otro, quiere decir que diente. pertenecen a la misma recta”. Justifica tu respuesta. Vectores 155
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Producto escalar Así como está definida la operación suma para dos vectores, se define otra ope- ración, el producto escalar entre dos vectores. Este producto debe su nombre a que su resultado es un número, no un vector. El producto escalar se define para dos vectores representados en forma carte- siana, a = (a1, a2) y b = (b1, b2), como la multiplicación de las coordenadas de ambos vectores, componente a componente y sumando sus resultados. Ejemplo 1 Dados los vectores a = (2, –1) y b = (3, 4), ¿cuánto resulta su producto escalar? a • b = (2, –1) • (3, 4) = 2 • 3 + (–1) • 4 = 6 – 4 = 2 Otra manera de obtener el producto escalar entre dos vectores a = (a1, a2) y b = (b1, b2), es cuando está involucrado el ángulo que se forma entre ellos (α). Este se calcula como, a • b = a • b • cos(α). Ejemplo 2TIPS Se tienen los mismos vectores que en el ejemplo 1. ¿Cuál es el ángulo compren-• El producto escalar es conmu- dido entre ellos?tativo: a • b = b • a De, a • b = a • b • cos(α) despejamos cos(α)• Se cumple que: a•b ≤ b • a Ya se calculó el producto escalar a•b 2 cos α = = 0,179 a • b 5 5 Calcular el módulo de cada vectorEN EQUIPO cos (α) 0,179 ⇒ α 79,7°Analicen qué ocurre con el PA R A A R C H I VA Rproducto escalar de a y b si:a. a aumenta y b se mantiene El producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de uno constante. de ellos por la proyección ortogonal del otro sobre él. El productob. a y b aumentan. escalar de dos vectores a y b está dado por la expresión:c. a y b son perpendiculares. a•b = a • b cos (α) (α: ángulo comprendido entre ambos vectores)d. a y b son paralelos. o bien si a = (a1, a2, ..., an) y b = (b1, b2 ..., bn) a • b = a1 • b1 + a2 • b2 + ... + an • bn Por ejemplo: Dados los vectores a = (a1, a2) y b = (b1, b2), el producto escalar se obtiene de la siguiente forma: a • b = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2 156 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESProducto cruz AY U D AEn el producto escalar entre dos vectores a y b se obtiene como resultado un a ax bvalor numérico (escalar), en cambio, en el producto cruz se obtiene un nuevovector. b El producto cruz o vectorial entre dos vectores a y b , se define como un tercer vector p , perpendicular a los vectores a y b , cuyo módulo corresponde al área del paralelogramo que forman a y b , Si colocas los dedos de tu mano y se simboliza por a x b , el cual corresponde al nuevo vector p , es derecha, de modo que el dedo decir, a x b = p . índice apunte en el mismo senti- do que el vector a y el dedo Además: p = a • b • sen(α) , donde α es el ángulo menor del medio en el mismo sentido que el vector b , el sentido del formado por los vectores a y b producto cruz entre a y b está dado por el dedo pulgar cuando b este se estira en forma perpendi- a α cular a los otros dos dedos. Esto se conoce como “la regla de la p p mano derecha”. b sen(α) a b b α α a p=a x b p=b x a p = a • b sen(α) EN EQUIPOEl producto cruz cumple con las siguientes propiedades: Demuestren que el producto• Es distributivo respecto de la suma de vectores. cruz no es conmutativo.• El producto cruz de un vector por sí mismo es nulo.EJERCICIOS1. Demuestra algebraicamente: 3. En el pizarrón se dibuja un vector horizontal de 12 unidades y otro de 10 unidades que a. Que el producto cruz es distributivo. forman un ángulo de 30º con el anterior. b. Que el producto cruz de un vector por sí mismo es el vector nulo.2. Considera un cubo de 4 unidades de arista y los posibles vectores que se pueden formar. Completa en cada caso con el vector que resulta. H G a. AB x AD a. ¿Cuál es la dirección del producto de a x b ? D C b. CD x CB b. ¿Cuál es el sentido de este vector? E c. ¿Cuál es el módulo de este producto cruz? c. EA x EF F d. ¿Cuál es el área del paralelogramo que se d. BF x BC A forma con estos vectores? B Vectores 157
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Vectores en el plano cartesiano Se denominan vectores unitarios aquellos vectores cuya magnitud o módulo es igual a la unidad. Estos definen las coordenadas de un vector respecto del origen del plano cartesiano.TIPS Y• Para representar vectores uni- 3tarios que están en los ejes X e Y, 2 El vector unitario ˆ es perpendicular al jutilizamos las letras ˆ y ˆ respec- i jtivamente. 1 vector unitario ˆ . i ˆ j• El vector unitario ˆ tiene la i –3 –2 –1 ˆ i 1 2 3 X ˆ =1 y i ˆ =1 jmisma dirección que el eje X, en –1sentido positivo. –2• El vector unitario ˆ tiene la jmisma dirección que el eje Y, ensentido positivo. PA R A A R C H I VA R Si los vectores unitarios ˆ y ˆ están centrados en el origen, estos se i j pueden escribir en la forma canónica, es decir: ˆ = (x , y ) = (1, 0) i ˆ =1 i i i ˆ = (x , y ) = (0, 1) j ˆ =1 j j j Ejemplos Observa la siguiente imagen en que se muestra el vector c cuya proyección sobre el eje X es 2 vectores unitarios ˆ , y cuya proyección sobre el eje Y es i 3 vectores unitarios ˆ . j Y De esta manera, las componentes o 3 c coordenadas del vector c son: 2 c = 2 ˆ + 3 ˆ = (xc, yc) i j 1 –3 –2 –1 1 2 3 X c = 2 ˆ + 3 ˆ = (2, 3) i j –1 –2 158 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESEntonces, para expresar en forma canónica el vector c , debemos descom-poner las coordenadas (xc, yc) en función de las coordenadas de los vectoresunitarios.c = (2 , 3) = 2 ˆ + 3 ˆ = 2 (1, 0) + 3 (0, 1) i j PA R A A R C H I VA R Todo vector v = (vx, vy) puede ser escrito en forma canónica de la si- guiente manera: v = (vx, vy) = vx ˆ + vy ˆ = vx(1, 0) + vy(0, 1) i j¿Cómo realizarías la suma de vectores en el plano cartesiano?Dado los vectores a = (ax, ay), b = (bx, by) y c = a + bEntonces se tiene que a = ax ˆ + ay ˆ y b = bx ˆ + by ˆ . i j i j IR A LA WEBc = a + b = ax ˆ + ay ˆ + bx ˆ + by ˆ i j i jc = a + b = (ax + bx) ˆ + (ay + by) ˆ i j Desarrolla el laboratorio 4. www.santillana.cl/emedia/mat4Finalmente c = a + b = (ax + bx, ay + by).EJERCICIOS1. Expresa en forma canónica los siguientes 3. En un mismo sistema cartesiano dibuja los vectores y grafícalos. siguientes vectores de posición. a. s = (–1, 2) d. v = (0, 5) 1 OA = (–1, 4) OB = ,3 OC = (–1, –3) 2 1 1 1 b. t = –3, – e. x = – ,– 3 2 2 OD = (2, –2) OE = (1, 1) OF = (1, –1) c. u = (–4, 0)2. Escribe en forma canónica los vectores señala- 4. Expresa los vectores a , b y c en términos de dos en la imagen. los vectores unitarios ˆ y ˆ . i j Y 4 O O b a b ˆ j a O ˆ i –4 4 X c d c O –4 Vectores 159
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Ecuación vectorial de la recta Sabemos que dos puntos determinan una recta en el plano. Del mismo modo, si esos puntos son extremos de vectores, podríamos generalizar diciendo que dos vectores dan origen a una recta. En un plano cartesiano se puede representar una recta L que pasa por el punto P0(x0, y0) y con vector de dirección d . Si P es un punto cualquiera de la recta de coordenadas P(x, y), existe un número real λ, tal que, P0P = λ d , y por lo tanto: OP = OP0 + λ d Utilizando los vectores de posición p0 de P0 y p de P, resulta: p = p0 + λ d Y L P0 d P p0 p O X Además, si d1 y d2 son las componentes del vector d, la ecuación vectorial de la recta, expresada en coordenadas es: (x, y) = (x0, y0) + λ(d1, d2) PA R A A R C H I VA R La expresión p = p0 + λ d recibe el nombre de ecuación vectorial de la recta o ecuación de la recta en la forma vectorial, donde d es el vector dirección conocido, paralelo a la recta, y λ es un parámetro que al tomar diferentes valores nos entrega diferentes puntos que forman la recta. Ejemplo 1 Dado los puntos A(2, 3) y B(5, 2) determina la ecuación vectorial de la recta que pasa por ellos. Calculamos el vector dirección de la recta buscada d = a – b = (–3, 1). De esa manera podemos escribir la ecuación de la recta vectorial como: (x, y) = (5, 2) + λ(–3, 1) con λ ∈ . También podemos escribir la ecuación vectorial como: (x, y) = (5 – 3λ, 2 + λ) o bien, x = 5 – 3λ la cual se conoce como ecuación paramétrica de la recta. y=2+λ 160 Vectores
    • Unidad 5 VECTORES 1¿Qué sucede si λ = ? 2Remplacemos en la ecuación (x, y) = (5 – 3λ, 2 + λ) 3 1 10 – 3 4 + 1 7 5 AY U D A(x, y) = 5 – ,2+ = , = , 2 2 2 2 2 2 El punto medio de un segmen-Por otra parte, el punto medio del segmento determinado por estos vectores to, cuyos extremos son (a, b) yestá dado por: (c, d) está dado por: 2+5 3+2 7 5 a+c b+d , = , , lo cual coincide con el punto 2 , 2 2 2 2 2 1correspondiente a λ = . 2 AY U D AEjemplo 2 La ecuación cartesiana de la recta está dada porDada la ecuación paramétrica de la recta: ax + by + c = 0, o bien x = 5 + 3λ y = mx + n. y=2+λdetermina la ecuación cartesiana.Para esto debemos despejar el parámetro en cada una de las ecuaciones ante- TIPSriores: x–5 Si d es un vector director cuyas x = 5 + 3λ ⇒ λ = 3 coordenadas son (d1, d2), la pendiente de la recta m corres- y=2+λ ⇒ λ=y–2 pondiente está dada por d m= 2 .Igualamos ambos parámetros y despejamos: d1 x–5 1 1 = y – 2 ⇒ x – 5 = 3y – 6 ⇒ y = x + 3 3 3 (Ecuación cartesiana de la recta) 1Observa que la recta tiene como pendiente , esto indica que un vector 3director posible es (3, 1). PA R A A R C H I VA R Una ventaja importante de una ecuación vectorial de una recta, es poder obtener ecuaciones para un segmento específico de la recta por medio de una restricción del parámetro λ. Por ejemplo, la ecuación vectorial (x, y) = (2, –1) + λ(1, 2); 1 λ 3 describe el segmento de recta que va desde (3, 1) hasta (5, 5) (obtenidos al remplazar por el mínimo y el máximo valor del parámetro). Vectores 161
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORESAY U D A Ecuación vectorial de la recta en el espacio Para representar la ecuación vectorial de una recta en el espacio, podemos Z Q d generalizar a partir de su ecuación vectorial en el plano, es decir, dado un L P punto P(x0, y0, z0) perteneciente a una recta L, cuyo vector director tiene q coordenadas (d1, d2, d3). Entonces la ecuación vectorial en el espacio es: p O Y (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3) X Además: (x, y, z) = (x0 + λd1, y0 + λd2, z0 + λd3) λ∈ Si P es cualquier punto de la La forma paramétrica de esta recta se obtiene al despejar las coordenadas, es recta L, se tiene: decir, p = q + λd λ∈ (x, y, z) = (x0 + λd1, y0 + λd2, z0 + λd3) entonces: x = x0 + λd1 y = y0 + λd2 Ecuación paramétrica de la recta en el espacio. z = z0 + λd3AY U D A Ejemplo 1 Consideremos la recta L que pasa por P(1, 3, –2) y Q(2, 1, –2). En este caso, el • Recuerda que los vectores v y w son paralelos si existe un vector director está dado por d = PQ = (1, –2, 0), luego la ecuación vecto- número real λ, tal que: rial de L es: v = λw (x, y, z) = (1, 3, –2) + λ(1, –2, 0) • Dos vectores v y w son per- pendiculares si v • w = 0. Ejemplo 2 ¿Cómo podemos determinar si tres puntos son colineales y por tanto que pertenecen a una misma recta? Dados los puntos P(1, 1, 1), Q(1, 0, –1) y R(1, 2, 3), debemos comprobar que los vectores PQ y QR son paralelos, PQ = (0, –1, –2) y QR = (0, 2, 4). Ahora debemos comprobar que existe un número real λ, tal que QR = λ PQ .TIPS Veamos si se cumple: (0, 2, 4) = λ(0, –1, –2) ⇒ 2 = –λ y 4 = –2λ, de donde se infiere que λ = –2.Sean L1: p = p0 + λ v y Por lo tanto, los puntos P, Q y R son colineales y pertenecen a la mismaL2: q = q 0 + µ w , entonces L1 es ecuación vectorial de la recta.paralela con L2 solo si v es para-lelo a w .Del mismo modo, L1 es perpen- Qdicular a L2 solo si v es perpen- Pdicular a w . R QR = –2PQ 162 Vectores
    • Unidad 5 VECTORES PA R A A R C H I VA R La ecuación vectorial de la recta en el espacio que pasa por (x0, y0, z0), con vector director (d1, d2, d3) está dada por (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3), con λ .EJERCICIOS1. ¿Se puede determinar la ecuación vectorial de 10. Escribe la ecuación vectorial de la recta L que la recta a partir de los puntos (1, 1) y (4, 4)? Si pasa por P(12 , –5, 7) y Q(0, 6 , –3). la respuesta fuera sí. ¿Cuál sería la ecuación vectorial? 11. Determina si los siguientes puntos son coli- neales.2. Dado el punto P(2, –2) y el punto Q(–4, 4). a. P(1, 0, 2), Q(–1, 1, 1) y R(3, –1, 1). ¿Cuál es el punto medio del segmento PQ? b. P(–1, –1, –1), Q(–1, 0, 1) y R(–1, –2, –3)3. Dada la ecuación vectorial de la recta c. P(0, –1, –2), Q(0, 2, 4) y R(0, 1, 2) (x, y) = (1, 2) + λ(4, 8). Determina tres puntos que pertenezcan a la recta. d. Escribe la ecuación vectorial para cada trío de puntos colineales encontrados anterior-4. Dada la ecuación vectorial de la recta mente. (x, y) = (1, 2) + λ(4, 8). Determina la ecuación cartesiana de la recta. 12. Encuentra la ecuación vectorial de la recta L1 de tal manera que sea paralela a la recta5. Dada la recta y = 3x, grafícala y luego obtén L2: (x, y, z) = (1, 3, –2) + λ(6, 4, 2). su ecuación vectorial. 13. Generaliza la ecuación vectorial de la recta en6. Encuentra la ecuación cartesiana correspondien- el espacio, para una recta que pasa por el te a la recta que pasa por el punto (5, –2) y es origen. paralela a la dirección del vector d = (–2, 3). 14. Generaliza la ecuación vectorial de la recta en7. Encuentra la ecuación vectorial de la recta que el espacio, para una recta que pasa por un pasa por el punto (–3, 2) y es paralela a la punto cualquiera y es paralela a una recta recta y = 3x – 2. que pasa por el origen.8. Determina si los puntos (0, 0); (0, 11); (–3, 0) pertenecen a la recta anterior.9. Determina la ecuación vectorial de una recta perpendicular a (x, y) = (2, –5) + λ(1, –4), luego grafica ambas rectas. Vectores 163
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Ecuación vectorial de un plano en el espacio Anteriormente aprendiste que un plano queda determinado por tres puntos π no colineales, dos rectas secantes, dos rectas paralelas o una recta y un punto que no está en ella. Complementaremos lo anterior con algunas herramientas matemáticas revi- s sadas en la unidad, por lo tanto, un plano en el espacio π, también puede estar A r determinado por un punto A(a1, a2, a3) y dos vectores directores no paralelos, r = (r1, r2, r3) y s = (s1, s2, s3). Observando la figura, para un punto P(x, y, z) cualquiera del plano π se P π cumple lo siguiente: OP = OA + AP . s Por lo que AP es un vector que pertenece al plano π, entonces AP = λ r + µ s , A r con λ y µ números reales, luego OP = OA + λ r + µ s . O ¿Cuál será la ecuación vectorial del plano? PA R A A R C H I VA R La ecuación vectorial del plano en el espacio queda determinada por p = a + λ r + µ s , siendo a y p los vectores posición de los puntos A y P, respectivamente; con λ y µ números reales. Expresando la ecuación vectorial por sus coordenadas, tenemos: (x, y, z) = (a1, a2, a3) + λ(r1, r2, r3) + µ(s1, s2, s3). Igualando componente a componente, encontraremos las ecuaciones paramé- tricas de un plano, x = a1 + λr1 + µs1; y = a2 + λr2 + µs2; z = a3 + λr3 + µs3. Las ecuaciones paramétricas se pueden reescribir como sistemas de ecuaciones, para ser eliminados los parámetros λ y µ, para así obtener la ecuación general o cartesiana de un plano. Ax + By + Cz + D = 0 Ejemplo 1 Dados A(2, –2 , 1), r = (1, 0, –1) y s = (–2, 3, 2). Determina la ecuación vecto- rial del plano. Conocida la ecuación vectorial p = a + λ r + µ s , se tiene que la ecuación pedi- da es: p = (2, –2, 1) + λ(1, 0, –1) + µ(–2, 3, 2). Ejemplo 2 Dado un plano π que pasa por los puntos no colineales P(1, 1, 1), Q(2, 1, 2) y R(0, 2, –1), ¿cuál es la ecuación vectorial del plano? Para obtener la ecuación pedida tenemos que encontrar los vectores directores. 164 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESr = QP = p – q = (1 – 2, 1 – 1, 1 – 2) = (–1, 0, –1) TIPSs = RP = p – r = (1 – 0, 1 – 2, 1 + 1) = (1, –1, 2) Si la ecuación vectorial de un plano esPor lo tanto la ecuación vectorial del plano es: (x, y, z) = P + λ QP + µ RP ;π : (x, y, z) = (1, 1, 1) + λ(–1, 0, –1) + µ(1, –1, 2). λ, µ , se tiene que: • El plano es paralelo al eje X, siEjemplo 3 los vectores QP y RP son parale- los al vector unitario ˆ = (1, 0, 0). iDados tres puntos, P(0, 0, –1), Q(1, 2, 1) y R(1, 4, 4) no colineales. Obtén un • El plano es paralelo al eje Y, sipunto T, tal que los cuatro puntos conformen un paralelogramo. los vectores QP y RP son parale-Determinamos T de la siguiente manera: los al vector unitario ˆ = (0, 1, 0). jt = p + PQ + PR = p + ( q – p ) + ( r – p ) = q + r – p • El plano es paralelo al eje Z, si los vectores QP y RP son parale- ˆ los al vector unitario k = (0, 0, 1).t = (1 + 1 – 0, 2 + 4 – 0, 1 + 4 + 1) = (2, 6, 6)¿Cuál es la ecuación vectorial del plano que pasa por los puntos P(0, 0, –1),Q(1, 2, 1) y R(1, 4, 4)? AY U D A(x, y, z) = P + λ QP + µ RP ; λ, µ . Planos en el espacio tridimensional(x, y, z) = (0, 0, –1) + λ(–1, –2, –2) + µ(–1, –4, –5) Plano horizontal XY ecuaciónVamos a determinar su ecuación vectorial y luego comprobar que el punto z = 0. ZT(2, 6, 6) pertenece al plano. Para esto debemos resolver el siguiente sistemade ecuaciones. Y X(2, 6, 6) = (0, 0, –1) + λ(1, 2, 2) + µ(2, 6, 7) Plano vertical YZ ecuación x = 0. ZCon λ, µ y su vector director TP = (2 – 0, 6 – 0, 6 + 1) = (2, 6, 7) 2 = –λ – 2µ Y 6 = –2λ – 6µ 4 = –2λ – 4µ λ=0 ⇒ X 6 = –1 – 2λ – 7µ –6 = 2λ + 6µ µ = –1 Plano vertical XZ ecuación y = 0. ZComo este sistema tiene solución (satisface las tres ecuaciones), el punto Tpertenece al plano y además conforma un paralelogramo originado a partir Yde los puntos P, Q y R. XEJERCICIOS 1. Caracteriza el plano definido por X, Y, Z. Determina la ecuación vectorial y λ(2, 2, 0) + µ(0, 0, 1) = v , con λ y µ números analítica de los planos portadores de sus caras cualesquiera. y de las rectas formadas por la prolongación de sus aristas. 2. Analiza la suma λ v + µ(0, 0, 1) para cualquier valor de los parámetros, con v un vector en el 4. La ecuación vectorial de un plano es espacio tridimensional. ¿Qué se obtiene? (x, y, z) = (0, 0, 2) + k (2, 4, 4) + g (2, 6, 7), k, g . Determina si es paralelo a alguno de 3. Sitúa un cubo con vértices en el origen, de los ejes X, Y o Z. modo que las aristas se ubiquen sobre los ejes Vectores 165
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Gráfico de rectas y planos Como ya sabemos, la ecuación vectorial de la recta está determinada por un punto y una dirección, por consiguiente por un punto de la recta y un vector paralelo a ella. ¿Cómo graficar una recta en el plano, dada la ecuación vecto- rial de esta? Ejemplo Consideremos una recta L en el plano, A(5, 7) un punto perteneciente a L y d = (2, 2) un vector paralelo a L. Primer paso: determinamos la ecuación vectorial de la recta. (x, y) = (5, 7) + λ(2, 2) con λ: número real. 16 Segundo paso: graficamos el punto A y el vector d 14 en el plano cartesiano. 12 10 8 A 6 4 2 d –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 –2 16 Tercer paso: asignamos un valor cualquiera a λ. 14 B Si λ = 3 el punto B resultante es: 12 (x, y) = (5, 7) + 3 • (2, 2) 10 (x, y) = (5, 7) + (6, 6) 8 (x, y) = (11, 13) A 6 4 2 d –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 –2 16 Cuarto paso: unimos el punto A y B para obtener 14 la recta L. 12 B 10 8 6 A 4 2 d –2 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 –2 166 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESVeamos ahora cómo graficar un plano en el espacio.Ejemplo 1 Ejemplo 2Considera el plano π paralelo a XY, que pasa por el Considera la ecuación cartesiana del planopunto A(1, 4, 6). 4x + 3y = 12.Primer paso: determinamos la ecuación vectorial del Primer paso: determinar los puntos en que corta aplano. los ejes coordenados.π: (x, y, z) = (1, 4, 6) + λ(1, 0, 0) + µ(0, 1, 0); con λ, µ Intersección eje X: y = 0 y z = 0, entoncesnúmeros reales. 4x = 12 ⇒ x = 3. Punto obtenido (3, 0, 0). Intersección eje Y: x = 0 y z = 0, entoncesSegundo paso: obtenemos la ecuación paramétrica 3y = 12 ⇒ y = 4. Punto obtenido (0, 4, 0).del plano. Intersección eje Z: x = 0 e y = 0, entoncesx = 1 + λ; y = 4 + µ; z = 6 0 = 12 ⇒ falso. Como esto no es cierto significaTercer paso: como el plano es paralelo a XY, se que no existe un punto en el eje Z.obtiene la ecuación cartesiana del plano, z = 6. Segundo paso: como no hay un punto común alCuarto paso: graficamos. eje Z, el plano que se graficará es paralelo a ese eje. Z Z 6 (1, 4, 6) π Y Y 4 X X 3EJERCICIOS 1. Grafica la recta que pasa por el punto 4. Grafica el plano 4x + 5z = 20. ¿A qué eje es A(–1, 3, 4) y es paralela al vector paralelo? v = (3, –1, 2). 5. ¿Qué sucede cuando en la ecuación cartesiana 2. Grafica el plano que pasa por el punto (1, 6, 1) de un plano no aparece una variable x, y o z? y es paralelo al plano XZ. Justifica. 3. Encuentra la ecuación cartesiana y el gráfico 6. Grafica el plano que pasa por el punto de un plano, dadas las ecuaciones: x = λ, A(3, 3, 4) y es paralelo a los vectores y = 3µ, z = µ y con λ, µ números reales. v = (2, 1, 1) y u = (–3, –3, –3). Vectores 167
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Intersección de rectas y planos en el espacio Si consideras una recta y un plano en el espacio, se pueden dar las siguientes situaciones: Recta paralela al plano Recta contenida en el plano Recta secante al plano L L L P π π π Su intersección es vacía. Su intersección es la recta L. Su intersección es un punto P. Ejemplo Considera el plano π : 4x + 3y – z = 2 y la recta L: x = 4 + 2h L: y = 6 + 3h con h en . ¿Cuál es la intersección? z = –2 Sea el punto (x0, y0, z0) que pertenece al plano y a la recta. Entonces se tiene: π: 4x0 + 3y0 – z0 = 2 Se tienen 4 ecuaciones. x0 = 4 + 2h0 Basta obtener el valor de h0. L: y0 = 6 + 3h0 z0 = –2 Remplazamos las ecuaciones de la recta, en la ecuación del plano.EN EQUIPO 4(4 + 2h0) + 3(6 + 3h0) – (–2) = 2¿Cómo tendrían que ser las ecua-ciones del plano y de la recta, para 16 + 8h0 + 18 + 9h0 + 2 = 2que su intersección sea vacía? ¿Y h0 = –2para que sea una recta? Justifica. Por lo tanto: x0 = 4 + 2 • –2 = 0 y0 = 6 + 3 • –2 = 0 z0 = –2 El punto obtenido es (0, 0, –2). Este punto satisface la ecuación del plano y la de la recta, por lo tanto, estamos en el caso en que la recta es secante al plano. 168 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESSi consideramos dos planos en el espacio, estos pueden ser paralelos, secanteso coincidentes.Ejemplo HISTORIAConsidera los planos:π1: 4x + 3y + z = 6 Graficamos los planos, revisando los puntos deπ2: 3x + 4y + 4z = 12 intersección en cada eje. Z 6 Eje x Eje y Eje z π1 3 , 0, 0 (0, 2, 0) (0, 0, 6) π1 2 3 Giuseppe Peano P π2 (4, 0, 0) (0, 3, 0) (0, 0, 3) Q (1858–1932) π2 3 Desarrolló el concepto de espacio 3 Y 2 vectorial, en 1888, a partir de lo 2 4 cual fue posible encontrar impor- X tantísimas aplicaciones a la geo- metría en el siglo XX.Observamos en la gráfica que P y Q son los puntos de intersección de ambosplanos. El punto P se ubica en el plano XZ, por lo que su El punto Q se ubica en el plano YZ, por lo que su ordenada es cero. abscisa es cero. 4x + z = 6 12 30 3y + z = 6 3 y=0 x= ,z= x=0 y=z= 3x + 4z = 12 13 13 4y + 4z = 12 2 12 30 3 3 Luego, P tiene coordenadas , 0, . Luego, Q tiene coordenadas 0, , . 13 13 2 2La intersección de los planos es una recta, ya que estos son secantes.Determinaremos su ecuación de la recta, considerando que pasa por el punto 12 3 21P y que su vector director es PQ = – , ,– . 13 2 26Entonces la ecuación vectorial de la recta es: 12 30 12 3 21(x, y, z) = , 0, +λ – , ,– , con λ perteneciente a . 13 13 13 2 26EJERCICIOS1. Obtén el punto de intersección de la recta x = 2t, 3. Dados los siguientes planos: y = 3t + 1, z = t con el plano 3x + 2y – 11z – 5 = 0. x+y=1 mz + z = 0 determina los valores de m para los cuales:2. ¿Cuál es la posición relativa del plano a. se cortan en un plano. x + y + z + 1 = 0 y la recta de ecuaciones b. se cortan en una recta. z x–1=2–y= ? c. no se cortan. 3 Vectores 169
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Transformaciones geométricas Traslación Una figura dada se puede trasladar según un vector, es decir, considerando una dirección, un sentido y una magnitud dadas. Observa a continuación la traslación T del cuadrilátero ABCD. C d C’ AA’ = BB’ = CC’ = DD’ = d B ABCD T A’B’C’D’ D D’ B’ AEn esta obra de M. C. Escher se apre- T A’cian diferentes transformacionesgeométricas, como la traslación y larotación. Una traslación en el plano cartesiano considera las coordenadas de los vértices de la figura a trasladar y las coordenadas del vector que traslada. Ejemplo La traslación del triángulo cuyos vértices son A(–4, 4), B(–2, 2) y C(–3, 6), dada AY U D A por el vector v = (2, 1) es: En el ejemplo: ABC ≅ A’B’C’ C’ A’: (–4, 4) + (2, 1) = (–2, 5) 7 C 6 B’: (–2, 2) + (2, 1) = (0, 3) A’ C’: (–3, 6) + (2, 1) = (–1, 7) A B’ En la siguiente imagen se muestra 2 B la traslación del triángulo ABC. 1 v La traslación anterior se denota –4 –2 2 4 como T(2, 1) de los puntos ABC. PA R A A R C H I VA R La traslación de una figura en el plano cartesiano, da origen a una nueva figura que es congruente con la anterior, es decir, mantienen la misma forma y medidas. T(x, y) es la traslación de una figura en el plano cartesiano, en cambio T –1 (x, y) es la traslación inversa de T(x, y), y corresponde a la trasforma- ción de A’B’C’ en ABC. 170 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESComposición de traslacionesSi al resultado de una traslación se le aplica otra traslación, hablaremos decomposición de traslaciones. EN EQUIPOObserva la figura: 4 Consideren dos circunferencias, 2 una con centro O(–2, 3) y la otra T1 C‘ con centro A(–1, 1). –6 –4 C –2 2 4 6 8 10 Determinen el vector que permi- A‘ te trasladar la circunferencia de –2 centro O a la posición con centro A T2 B‘ –4 en A. Luego determinen el vec- C ‘’ tor de la traslación opuesta a la B –6 realizada. A‘’ ¿Qué pueden concluir? –8 B‘’Como podemos observar, A’B’C’ se obtiene aplicando T1 (10, 2) a los vértices deltriángulo ABC. En cambio, A’’B’’C’’ se obtiene aplicando T2 (1, -6) a los vérticesdel triángulo A’B’C’.¿Cómo podríamos designar directamente la traslación de los vértices del trián-gulo ABC a los vértices del triángulo A’’B’’C’’?Si los vértices del triángulo A’’B’’C’’ se obtienen aplicando T1 a ABC y luego T2 alos vértices del triángulo A’B’C’, podemos inferir que existe una composición detraslaciones, es decir, si T1(x1, y1) y T2(x2, y2), entonces T1 o T2 = (x1 + x2, y1 + y2). PA R A A R C H I VA R Una composición de traslaciones resulta de aplicar una traslación a otra traslación ya realizada.EJERCICIOS 1. Identifica las traslaciones inversas de cada una 2. Los vértices de un cuadrilátero son (1, 0); (0, 2); de las siguientes traslaciones. (–3, 0); (0, –1). ¿Cuáles serán los vértices del cuadrilátero si se aplica una traslación (3, –2)? a. T1(2, 3) b. T2(–3, 4) 3. Una circunferencia de radio 1 tiene su centro c. T3(–6, –7) en el punto (2, 2), realiza una traslación de esta circunferencia respecto al vector (1, –2). d. T4(0, –4) Vectores 171
    • CONTENIDOS Unidad 5 VECTORES Homotecia Una homotecia se refiere a una transformación geométrica realizada a una figura geométrica, de manera que mantiene inalterable su forma, pero no necesariamente su tamaño.AY U D A También se puede decir que dos figuras son homotéticas si al unir mediante rectas los puntos o vértices correspondientes de ellas, estas rectas concurren en Una homotecia con centro en O un único punto que es el centro de homotecia O. y razón a, se escribe H(O, a). Ejemplo Y En la siguiente figura se puede observar el cuadrilátero KLMN de vértices M K(–5, 1), L(–2, 4), M(–6, 6) y N(–7, 3), y sus L respectivas transformaciones N 3 homotéticas: H1(O, –2) y H2 O, – . K 2 O K2 X 3 K1 Observa que –2 y – corresponden a la razón 2 de homotecia. N2 L2 N1 L1 M2 M1TIPS PA R A A R C H I VA REn homotecias de centro en el Una homotecia es una transformación geométrica que no afecta la formaorigen de coordenadas, si seconsidera A(x, y), y su homotético de la figura, pero sí puede cambiar su tamaño y orientación. Además:A’(x’, y’), la relación que hay entre Si k > 0 se llama homotecia directa.ellos es la siguiente: Si k < 0 se llama homotecia inversa. x’ = kx e y’ = ky k = –1 corresponde a una rotación alrededor del centro O en un ángulo de 180º. ¿Qué sucederá con las homotecias en el espacio? Sea A(ax, ay, az) un punto cualquiera en el espacio, y A’(ax’, ay’, az’) el punto transformado de A por la homotecia H(C, k), con centro en C = (cx, cy, cz) y razón k. Se cumple que: A’ = (cx, cy, cz) + k(ax – cx, ay – cy, az – cz) lo cual se denomina ecuación vecto- rial de la homotecia H(C, k). 172 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESComposición de homoteciasAl igual que con las traslaciones, se puede realizar una composición de homote-cias.La composición de homotecias con distinto centro y razón nos muestra que lasfiguras se invierten cuando la constante de homotecia es -1.EjemploA continuación se muestra la composición de homotecias H1 o H2 , con H1(M, –1) TIPSy H2(N, –1). H1(M, –1) H2(N, –1) La palabra homotecia, proviene ABC A1B1C1 A2B2C2 del griego homos (semejante) y C C2 thesis (posición). B1 A M A2 N B A1 B2 C1 PA R A A R C H I VA R Algunas características de las homotecias son: • Las figuras generadas mediante homotecia son semejantes a las figuras originales. • Los lados correspondientes entre dos figuras homotéticas son paralelos. • El producto de dos homotecias de centro C es otra homotecia de centro C, y razón, el producto de las razones, esto es: H’(C, k’) o H(C, k) = H1(C, kk’).EJERCICIOS1. Considera un cuadrilátero ABCD de coorde- 3. Obtén la razón de homotecia entre ABC y nadas A(3, –3); B(6 , –6); C(10, 1) y D(4, 3). A’B’C’. Además, calcula las dimensiones de los Encuentra su figura homotética, respecto de triángulos. 3 A’ a. H(0, –1) b. H 0, A 2 O C 5 C’ 152. Comprueba que el área de una figura homotéti- ca es igual al producto del área de la figura ori- 12 B ginal por el cuadrado de la razón de homotecia. B’ Vectores 173
    • EJERCICIOS RESUELTOS Unidad 5 VECTORES Ejercicio 1 Dados los vectores u = (2, x) y v = (y, 3), determina el valor de x e y para que u sea perpendicular a v y v = 5. Solución Si u es perpendicular a v , su producto escalar debe ser cero, entonces (a, b) • (d, c) = ad + bc 2y + 3x = 0. El módulo de un Además si v =5⇒ y 2 + 32 = 5 vector (a, b)está dado por a2 + b2 . Despejamos y en la ecuación anterior: y2 + 9 = 25 ⇒ y2 = 16 Entonces y = 4 o y = –4. Remplacemos los valores para y en la ecuación dada por el producto escalar de ambos vectores: 8 Para y = 4 8 + 3x = 0 ⇒ x = – 3 Despejamos x 8 Para y= –4 –8 + 3x = 0 ⇒ x = 3 Luego, tenemos dos soluciones: 8 8 x=– ey=4;x= e y = –4 3 3 Comprobemos que las soluciones sean correctas. 8 8 Con x = – e y = 4, tenemos u = 2, – y v = (4, 3) Comprobamos que los 3 3 vectores sean u • v =8–8=0 perpendiculares mediante el producto escalar. v = 4 2 + 32 = 25 = 5 El módulo de v debe ser 5. 8 8 Con x = e y = –4 , tenemos u = 2, y v = (–4, 3) 3 3 u • v = –8 + 8 = 0 v = ( –42 ) + 32 = 25 = 5 Por lo tanto, ambas soluciones son correctas. 174 Vectores
    • Unidad 5 VECTORESEjercicio 2Dado un paralelogramo ABCD, se conocen tres vértices A(1, –2), B(6, 1) yD(–6, 3).a. Calcula el cuarto vértice C.b. Encuentra el punto M de intersección de las diagonales. 7 CSolución 6 5Para facilitar la resolución del problema lo represen- 4taremos gráficamente. D 3 2a. Observa que c está dado por la suma de b y BC , 1 B es decir, –6 –5 –4 –3 –2 –1 1 2 3 4 5 6 c = B + BC –1 c = B + AD –2 A c = b + ( d – a) = (6, 1) + (–6, 3) – (1, –2) = (–1, 6) En un paralelogramo, los Entonces C tiene coordenadas (–1, 6). lados paralelos tienen igual medida, por lo tanto:b. Las dos diagonales se cortan en su punto medio, por lo tanto b + BC = b + AD A+C 1 – 1 –2 + 6 M= = , = (0, 2) o bien, También se puede resolver 2 2 2 utilizando c = d + DC . B+D 6–6 1+3 M= = , = (0, 2) , coordenadas del punto medio de las El punto medio entre (a, b) 2 2 2 diagonales. y (d, c) está dado por a+d b+c , .Ejercicio 3 2 2Determina si el punto (–2, 7) pertenece a la recta L: (x, y) = (2, 1) + λ(–2, 3).SoluciónEscribiremos la ecuación vectorial en la forma cartesiana,L: (x, y) = (2 – 2λ, 1 + 3λ). 2–x y–1Entonces, x = 2 – 2λ e y = 1 + 3λ , por lo tanto, λ = yλ= . Despejando λ de x e y. 2 3Igualamos los valores de λ, 2–x y–1 = ⇒ 6 – 3x = 2y – 2 ⇒ –2y – 3x + 8 = 0 2 3 Si un punto pertenece a unaPor último evaluamos la pertenencia del punto en la recta recta, entonces satisface la–2 • 7 – 3 • –2 + 8 = –14 + 6 + 8 = 0 ecuación de esta.Podemos concluir que (–2, 7) pertenece a la recta L. Vectores 175
    • DESAFÍOS Unidad 5 VECTORES 1. (Demre, 2003) ¿Cuál de las siguientes rectas del 4. (Demre, 2004) El ABC de la figura, se sitúa en plano cartesiano es representada por la ecuación el sistema cartesiano tridimensional, tal como se x = a? ilustra en la figura. ¿Cuál es el perímetro de este triángulo? A. La recta paralela al eje X que pasa por el Z punto (0, a). A. 3 2 4 C B. La recta paralela al eje X que pasa por el B. 10 + 3 2 punto (a, 0). C. 10 + 2 C. La recta paralela al eje Y que pasa por el B D. 3 2 + 5 3 punto (0, a). 3 Y E. N. A. A D. La recta paralela al eje Y que pasa por el X punto (a, 0). E. La recta que pasa por el origen y por el 5. (Olimpiadas matemáticas, 2003) Investiga si punto (a, a). puede un caballo de ajedrez recorrer un mini ta- blero de tamaño 4 x 4 de modo que llegue a cada uno de los 16 casilleros una única vez. Nota: el 2. (Demre, 2004) El paralelepípedo recto se sitúa dibujo abajo muestra los puntos finales de las en un sistema cartesiano tridimensional tal como ocho posibles movidas del caballo (C) en un table- lo ilustra la figura. ¿Cuáles son las coordenadas ro de ajedrez de tamaño 8 x 8. del punto D? Z D c C Y b X a A. (a, b, c) D. (b, 0, c) B. (0, a, c) E. (0, b, c) C. (a, 0, c) 6. (Demre, 2004) En la figura, se tiene un círculo de centro (–2, 2) y radio 1, entonces al efectuar una traslación del círculo al nuevo centro (2, 1) sitúa 3. (Olimpiadas matemáticas, 2003) Dadas 3 rectas al punto P en las coordenadas: en el plano, que concurren en el punto O, considere los 3 ángulos consecutivos que se A. (1, 2) Y forman entre ellas (cuya suma es, naturalmente, 4 B. (2, 1) 180 grados). Sea P un punto del plano que no se 3 encuentra en ninguna de las rectas y sean A, B, C C. (0, 2) P 2 los pies de las correspondientes perpendiculares D. (2, 2) 1 trazadas desde P a cada recta. Demuestra que el E. (1, 1) triángulo ABC tiene los mismos ángulos que los –4 –3 –2 –1 1 X que las rectas forman entre sí. 176 Vectores
    • MEDIOS Unidad 5 VECTORES Ajedrez: un juego de razonamiento y concentración Se cree que el origen del ajedrez data del siglo VI. Este consiste en un tablero que está formado por 64 cuadrados organizado en filas y columnas (llamadas escaques), de las cuales la mitad son blancos y la otra mitad son negros. Sobre el tablero se disponen fichas con las cuales se pueden realizar distintos movimientos. Para describir el movimiento de una pieza podemos indicar el número de cuadrados que se desplaza. Un juego de ajedrez termina cuando uno de los jugadores realiza un “jaque mate”, palabra derivada de shah mat (“el rey ha muerto” en idioma persa). Por ejemplo, el alfil blanco que está colocado en la cuadrícula (1, 1), para pasar a la cuadrícula (4, 4), se desplaza tres cuadraditos hacia el este y tres cuadraditos hacia el norte. Describimos el movimiento del alfil de la siguiente manera: (3, 3) = (4, 4) – (1, 1) Con la operación anterior hemos encontrado las componentes del vector desplazamiento del alfil. 1. Indica el vector de desplazamiento descrito por los pares de números que se indican a continuación: a. Torre blanca pasa de (5, 3) a (5, 7). b. Alfil negro pasa de (3, 6) a (7, 2). c. Peón blanco pasa de (7, 2) a (7, 4). d. Caballo negro pasa de (6, 5) a (7, 7). 2. Para mayor información acerca del ajedrez y de torneos que se realizan en nuestro país, puedes ingresar al sitio web: www.clubajedrezchile.cl (recuerda que las páginas o su contenido pueden variar). Vectores 177
    • SÍNTESIS Unidad 5 VECTORES Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos claveMapa dados.conceptualConceptos clave:VectorSentidoMagnitudDirecciónPlanoRectaEspacioVector directorÁngulo diedroResumen 1 Módulo de un vector: longitud del segmento determinado por el vector. 2 2 El módulo de un vector a = (a1, a2) está dado por a = a1 + a2 . 2 Dirección de un vector: está dada por la recta que lo contiene. 3 Sentido de un vector: está indicado por la punta de la flecha. 4 Operatoria con vectores Suma o resta de vectores: se realiza de la siguiente manera, a ± b = (a1, a2) ± (b1, b2) = (a1 ± b1, a2 ± b2), donde a = (a1, a2) y b = (b1, b2) 178 Vectores
    • Unidad 5 VECTORES Producto escalar de dos vectores: Geométricamente, el producto escalar de dos vectores es el producto del módulo de uno de ellos por la proyec- ción ortogonal del otro sobre él. Si el sentido de esta proyección es opuesto al del primer vector, esta proyección es negativa. El producto b escalar da como resultado un número dado por: α a •b = a b cos(α) b cos(α) a a • b = (a1, a2) • (b1, b2) = a1 • b1 + a2 • b2 ax b Producto cruz o vectorial: este producto entre dos vectores está dado por la expresión a b sen(α), donde α representa el ángulo b formado por ambos vectores. El resultado de este producto resulta un nuevo vector, perpendicular a los anteriores. a Vector ponderado: sean a y b dos vectores con la misma dirección. Si los situamos en el mismo origen, vemos que podemos expresar uno en b función del otro multiplicando por un escalar: a = k b o b = k’ a . b Recíprocamente, si a = k b o b = k’ a , los dos vectores tienen la misma dirección y por lo tanto son paralelos (k: constante). a a a = kb5 Ecuación de la recta en el plano Ecuación cartesiana de la recta: Ecuación vectorial de la recta: Ecuación paramétrica de la recta: Ax + By + C = 0 (x, y) = p0 + λ d = (x0, y0) + λ(d1, d2) x = x0 + λd1 y = y0 + λd2 d : vector director de la recta que contiene al vector; P0(x0, y0): un punto perteneciente a dicha recta λ : parámetro (número real).6 Ecuación de la recta en el espacio La ecuación de la recta en el espacio, está dada por la expresión, (x, y, z) = P0 + λ d = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3), donde d : vector director de la recta; P0(x0, y0, z0): un punto perteneciente a dicha recta; λ: parámetro (número real).7 Ecuación vectorial de un plano en el espacio: está dada por π: (x, y, z) = (x0, y0, z0) + λ(d1, d2, d3) + µ(v1, v2, v3), con d y v vectores directores del plano; P0(x0, y0, z0) un punto perteneciente a él. Vectores 179
    • EVALUACIÓN Unidad 5 VECTORES 1. Los vectores de la figura tienen la misma mag- 4. Sobre una partícula actúan dos fuerzas, como nitud. Si r = 2 a – b + c , entonces el vector indica la figura. El módulo de la fuerza que mejor representa la dirección de r es: resultante es: 9N a c A. 3 N b 12 N B. 15 N A. C. E. C. 21 N D. 225 N E. Ninguna de las anteriores. B. D. 5. Si a = (2, 1); b = (0, 1) entonces a • b = A. 1 B. 2 2. Los módulos de los vectores de la figura son 4, C. 3 3 y 2 unidades. Si r = a – 2 b – 3 c , entonces D. (2, 1) el módulo de r es: E. (0, 1) a b 6. La ponderación entre λ = 5 y a = (1, 5) es: c A. 5 B. 25 A. 4 unidades C. (1, 5) B. 8 unidades D. (5, 25) C. 14 unidades E. Ninguna de las anteriores. D. 16 unidades E. 18 unidades 7. Los vectores de la figura forman un cuadri- látero. ¿Cuál de las siguientes relaciones entre 3. Los vértices de un hexágono regular definen ellos es correcta? los vectores de la figura. ¿Cuál de las siguien- tes relaciones es incorrecta? A. a + d = b + c c d B. a – c = b – d A. a + b + c = 0 d a C. a + d = c – b B. e + d = b – a b D. a + c = d – b a C. e – c = a e b E. a + b = c + d D. d + a = –2c c E. e – d = 3c 180 Vectores
    • Unidad 5 VECTORES ac + bc a – b a+b a+b 8. Si los vectores a , b y c se encuentran en un 11. Si r = , y s= , d c cd c plano cartesiano, ¿cuál(es) de las siguientes relaciones es(son) correcta(s)? con c y d no nulos, entonces r + s es: Y A. r + s I) a = –5 ˆ – 2 ˆ i j II) b = – 3 ˆ – 4 ˆ i j B. r • s a III) c = 3 i – 3 ˆ ˆ j b a2 – b2 (a + b)2 A. Solo I c X C. , d c2d B. Solo II (a + b)2 a2 – b2 C. Solo III D. , d c D. I, II y III E. Ninguna de las anteriores. (a + b)(c2 + 1) 2a E. , cd c 9. Sobre una partícula se aplican tres fuerzas F1 = 8 ˆ – 11ˆ , F2 = –5 i + 7 ˆ . Si la partícula se i j ˆ j 12. Si P es un punto de la recta MN y Q es un mantiene en equilibrio, la expresión para F3 es: punto que no pertenece a esta recta, entonces es falso que: A. 3 ˆ – 4 ˆ i j A. hay una recta perpendicular a MN que B. 13 ˆ – 18 ˆ i j pasa por Q. C. –3 ˆ + 4 ˆ i j B. hay un plano que contiene MN . D. –3 ˆ – 4 ˆ i j C. P, Q y M son colineales. E. Ninguna de las anteriores. D. P, M y N son colineales. E. hay un solo plano que pasa por Q, M y N.10. Sean a = (2, 3) y b = (7, 2), entonces a • b + b es: 13. ¿Cuál de las siguientes ecuaciones representa la misma recta que la ecuación vectorial: A. 29 x = (1, 1) + λ(–1, 1)? B. (21, 8) C. (27, 22) (–1, 1) (1, 1) D. 27 E. No se puede determinar. A. y – x – 2 = 0 D. –y – x – 2 = 0 B. y + x – 2 = 0 E. –y – x + 2 = 0 C. y + x + 2 = 0 Vectores 181
    • EJERCICIOS DE REFUERZO Unidad 5 VECTORES 1. Un profesor de Educación Física ideó la forma- F. Prado se mueve en una sola dirección. ción de su equipo de fútbol en dos esquemas, A G. Moreno se mueve igual que Reyes en el esquema A. y B. Uno para jugar como local y otro de visita. H. Salas se mueve de la misma forma que en el es- Los vectores indican los desplazamientos que quema A y además en dirección a la posición de realizan los jugadores desde sus puestos en un Zurita. partido. Completa el esquema B con los vectores I. Quiroz y Zurita repiten su esquema. correspondientes de acuerdo a las indicaciones del profesor. 2. Los vectores de la figura tienen su origen en el Esquema A centro de un cuadrado y el extremo en un vér- tice o en el punto medio de uno de los lados del Zurita Reyes cuadrado. ¿Cuál de las siguientes igualdades es Moreno incorrecta? Explica en cada caso. Pérez Gómez Salas > > Solano Prado b a c > Quiroz Pinto d > Esquema B Moreno Zurita Reyes a. a – c = –2c d. c – d = b b. a + b = 2d e. c + a = b + d Pérez c. a – d = b + c Gómez Salas Solano 3. En el sistema de la ilustración, aparecen dos bloques sobre planos inclinados en los cuales Quiroz Prado no hay fuerza de roce. Pinto Indicaciones 35 kg A. Gómez se mueve en 2 direcciones distintas y en una dirección en un solo sentido. 30 kg B. Reyes se mueve en las mismas direcciones que 30º en el esquema A, pero en una de las direcciones en las que se mueve supera la línea central de la 40º cancha. C. Solano, desde su nuevo puesto, se mueve en 2 direcciones distintas, y sobre cada dirección en 2 sentidos. a. Haz un diagrama que te permita repre- D. Pérez se desplazará según 3 vectores y 2 de ellos sentar las fuerzas que intervienen. son iguales a los correspondientes a Pinto. b. Calcula el peso de cada uno de los bloques. E. Pinto se mueve de la misma forma que en el esquema A. c. ¿Hacia qué lado se deslizarán los bloques? 182 Vectores
    • Unidad 5 VECTORES4. Sobre el cuerpo de la figura actúan las fuerzas 7. Determina la ecuación vectorial de la recta que f1 = (6, 8), f2 = (–15, 20) y f3 = (–4, –16). pasa por dos puntos dados: A(–4, 6) y B(4, –2). 8. Considera un cuadrado ABCD, tal que el punto de intersección de sus diagonales es G. Haz el dibujo en tu cuaderno de las siguientes trans- formaciones homotéticas. 1 a. H1(G, 3) seguida de H2 G, Calcula: 2 a. La magnitud del vector resultante. 3 b. H1(A, 2) seguida de H2 A, – b. La dirección del vector resultante. 25. Si a = (–4, 5), b = (6, –3) y c = (–2, –2) grafica y 9. Define cada una de las siguientes traslaciones. determina v de modo que v = a + b – 2c . Luego, calcula su módulo y dirección dando el T1–1 ángulo que forma con el eje X. T1 T2 T3–1 T2–1 T36. En el paralelepípedo rectangular se han defi- nido las traslaciones T1, T2 y T3 según se indica. H G a. T1 y T1–1 b. T2 y T2–1 c. T3 y T3–1 T1 T3 E F 10. Considera el triángulo de la figura y trans- T2 D 3 C fórmalo mediante la homotecia H1 A, 2 A B seguida de H2(B, –1). A Determina la imagen de los siguientes puntos, según las traslaciones indicadas. B a. D por T1 seguida de T2. b. D por T2 seguida de T1. c. A por T2 seguida de T1. d. C por T2 seguida de T3–1. e. G por T1–1 seguida de T2–1. 11. Sitúa un cubo con un vértice en el origen, de modo que las aristas se ubiquen sobre los ejes f. A por T2 seguida de T3. X, Y y Z. Determina al menos 3 ecuaciones g. F por T1–1 seguida de T2–1. vectoriales de los planos portadores de sus h. H por T2–1 seguida de T1. caras y 3 de las rectas portadoras de sus aristas. Vectores 183
    • UNIDAD 6 Geometría: áreas y volúmenes La construcción y remodelación de edificios ha tenido un desarrollo importante en los últimos años, producto del crecimiento económico de nuestro país. En una de las prin- cipales avenidas de Santiago, apreciamos esta realidad. Si nos detenemos un poco y obser- vamos las formas geométricas presentes en estas construcciones encontraremos los mismos ele- mentos que has estudiado a través de tus años de escolari- dad. En esta unidad profun- dizarás acerca de dos conceptos muy impor- tantes: el área y el volumen. 184 Geometría: áreas y volúmenes
    • En esta unidad aprenderás a... Calcular áreas y volúmenes de cuerpos geo- métricos. Conocer y aplicar el principio de Euler y Cavalieri. Trabajar con las secciones de una esfera. Dibujar las proyecciones de un cuerpo en el plano. Calcular el área y volumen de cuerpos genera- dos por traslación y rotación. Explora Realiza el laboratorio 1correspondiente a la unidad 6 que aparece enwww.santillana.cl/emedia/mat4 Geometría: áreas y volúmenes 185
    • REPASO Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES¿Cuánto sabes? 1. Si un lado del cuadrado PQRS de la figura S R mide 20 cm, y L, M, N son puntos medios de cada lado, calcula el área sombreada. L N P M Q 2. Calcula el área del trapezoide ABCD de la C figura, considerando que AB = 8 cm, DE = 12 cm, h h = 3 cm y h1 = 7 cm. D E DE//AB h1 A B 3. Calcula el área del triángulo FHG de la figura, suponiendo que HG = 3 cm, FH = 5 cm, FG = 7 cm. H 3 ρ= ρ 2 F G 4. Calcula el área de las siguientes figuras: 6 a. c. e. 1,5 cm 2 12 2 cm 9 7 cm 7 7 3 cm 0,6 2 4 3,2 cm 5 cm b. d. f. 3 3 4 4 6 6 2,5 cm 4 cm 4 2 3 2 2,5 cm 6 4 cm 5. Expresa la mitad del lado de un triángulo equilátero inscrito en una circunferencia, en función del radio. 6. Completa las siguientes equivalencias: a. 234 m = dm g. 53.288 cm3 = dm3 b. 8.400 dm2 = cm2 h. 5.000 dm2 = m2 c. 4,51 m = cm i. 4,0009 m3 = cm3 d. 0,0079 cm2 = m2 j. 0,0057 dm3 = m3 e. 5,606 cm3 = m3 k. 1.000 dm = cm 2 f. 3.600.000 m = dm l. 9.350 cm = dm2 186 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES7. Calcula el área coloreada de las siguientes figuras, considerando la unidad de medida. 3m 15 m 7,5 m 2m a. A = ______ dm2 b. A = ______ m2 c. A = ______ cm28. La siguiente lata de conservas tiene un diámetro de 8 cm y una altura de 13 cm. a. ¿A qué cuerpo geométrico se asemeja? b. ¿Cuál es el área total de sus bases? c. Estima el área de la etiqueta de papel que cubre la lata. d. Estima el volumen de la lata. 1 Un polígono es una figura geométrica plana cerrada formada por la ¿Qué debes unión de un conjunto de segmentos consecutivos que se intersectan a recordar? lo más en un extremo común, donde cualquier par de ellos con un extremo común no es colineal. 2 Un polígono es convexo si cualquier par de puntos que pertenece a su interior, determina un segmento totalmente contenido en él. De lo contrario, es un polígono cóncavo. 3 Se llama polígono regular a todo polígono convexo cuyos lados y ángu- los son congruentes. Por ejemplo: triángulo equilátero, cuadrado, pentágono regular, etc. 4 Se llama polígono inscrito en una circunferencia a todo polígono cuyos vértices son puntos de ella. 5 Un polígono está circunscrito a una circunferencia si todos sus lados son tangentes a la circunferencia. 6 Equivalencias en las unidades de medida: 1 m = 10 dm = 100 cm 1 m2 = 100 dm2 = 10.000 cm2 1 m3 = 1.000 dm3 = 1.000.000 cm3 Geometría: áreas y volúmenes 187
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Concepto de área A lo largo de tu educación básica y media estudiaste progresivamente las figuras en el plano, como cuadriláteros, círculos y triángulos entre otras. Así también, conociste fórmulas y procedimientos para determinar el área y el perímetro de estas figuras. En esta unidad ampliaremos nuestro estudio hacia el cálculo de áreas y volúmenes en el espacio tridimensional. Es común asignar al concepto de superficie y área el mismo significado; sin embargo, debemos diferenciar ambos términos. Una idea intuitiva de superficie se refiere a aquellas formas que caracterizan a un cuerpo. Una superficie puede ser plana, como es en el caso de las caras de prismas, pirámides, etc., o bien, curvas, como por ejemplo, en el cono, cilindro, etc.TIPS El área es la medida que se asocia a una superficie, el área de unSuperficie se puede entender cuerpo será entonces, la suma de las medidas de la superficie decomo la cáscara que cubre a los cada una de sus caras. El área se mide en unidades tales como,cuerpos. centímetros cuadrados, metros cuadrados, etc.EJERCICIOS1. Calcula el área de un cuadrado cuya diagonal 4. Calcula el área de un cuadrado inscrito en una mide 4 2 cm. circunferencia de radio 8 cm.2. El área de un cuadrado circunscrito en una 5. Calcula el área y el perímetro de la figura, si para su circunferencia es 144 m2. Calcula el área de la construcción se dibujaron 4 circunferencia. semicírculos de radio 2 cm.3. Halla el área de un triángulo cuya base y altura 6. En la figura, el lado del cuadrado ABCD mide son respectivamente el lado del triángulo 10 m. Calcula la razón entre el área de la equilátero y el lado del cuadrado, inscritos en circunferencia circunscrita e inscrita al cuadrado. una circunferencia de radio 2 cm. D C h h b A B b 188 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESConcepto de volumen El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa.Para calcular el volumen de un cuerpo en el espacio, lo comparamos con uncubo de arista una unidad. En el sistema métrico decimal, la unidad de volu-men es el metro cúbico (volumen de un cubo de un metro de arista).EjemploCada uno de los siguientes cuerpos está formado por cubitos de 1 metro dearista cada uno. 2 2 8 2 1 2 4 1 1¿Cuál es el volumen de cada cuerpo?Todos tienen igual volumen, 8 m3, pues están formados por 8 cubitos deigual medida.EJERCICIOS1. Observa los cuerpos anteriores, luego responde. 3. Demuestra que el H G plano trazado que E a. ¿Tienen igual área? F contiene a las aristas b. ¿Qué puedes concluir? D opuestas de un para- C A B2. Las medidas de las bases de los siguientes lelepípedo oblicuo paralelepípedos son iguales, pero la altura del divide a este cuerpo en dos prismas triangu- bloque C es igual a la suma de las alturas de lares equivalentes en volumen. los bloques A y B. C 4. Considera un cubo de arista 2 cm. B A a. ¿Qué sucede con el volumen si el lado aumenta al doble? ¿Y con el área? b. Si entre dos cuerpos semejantes, el cociente de sus longitudes (ya sea referida a aristas, a. ¿Qué relación hay entre los volúmenes diagonales, etc.) es k, ¿cuál es el cociente respectivos? entre sus volúmenes? Geometría: áreas y volúmenes 189
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Principio de CavalieriHISTORIA Observa la siguiente figura: A la izquierda tenemos un montón de discos iguales unos sobre otros, a la derecha se encuentran los mismos discos pero descolocados. ¿Tendrán el mismo volumen? Bonaventura Cavalieri. (1598 - 1647) PA R A A R C H I VA RMatemático y clérigo italiano,pionero del cálculo integral,enunció el teorema que actual- Si dos cuerpos tienen la misma altura y bases de igual área, y al cortarlosmente lleva su nombre. por cualquier plano paralelo a las bases el área de las secciones es la misma, ambos tienen el mismo volumen. Es decir, si A1 = A2, entonces V1 = V2 A2 A1 V2 V1 Lo anterior se conoce como principio de Cavalieri. Por lo tanto, en la figura anterior, ambos montones de discos tienen el mismo volumen.EJERCICIOS1. Determina si las siguientes construcciones 2. Si el volumen del prisma de la figura es 340 cm3, tienen igual volumen en las cuales se ocuparon calcula el área de una sección transversal que bloques de igual dimensión. Justifica. se obtiene mediante el corte con un plano paralelo a las bases. 12 cm 190 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESTeorema de EulerEn años anteriores estudiaste diferentes tipos de poliedros, recordemos sudefinición: AY U D A Un poliedro es un cuerpo geométrico cerrado delimitado por cuatro o más regiones poligonales. Las regiones poligonales que limitan al Poliedro convexo poliedro se llaman caras del poliedro, los lados de estos reciben el nombre de aristas y concurren a un punto llamado vértice.Observa los siguientes poliedros convexos: Todas sus caras se pueden "apoyar" en el plano. Poliedro cóncavo¿Existe alguna relación entre el número de caras, vértices y aristas de cada uno? PA R A A R C H I VA R En un poliedro convexo cualquiera se cumple la siguiente relación: nº de caras + nº de vértices = nº de aristas + 2 No todas sus caras se pueden Esta relación se conoce como Teorema de Euler. "apoyar en el plano".EJERCICIOS1. En el siguiente cuadro se muestran 5 poliedros 3. El número de vértices de una pirámide es 11 y regulares (todas sus caras son polígonos regu- el número de aristas 20, ¿cuántas caras tiene? lares). Cubo 4. Determina la veracidad de las siguientes proposiciones. Justifica tus respuestas. a. Un poliedro puede tener el mismo número Tetraedro Octaedro Dodecaedro Icosaedro de vértices que de aristas. a. Verifica el teorema de Euler para cada uno b. Un poliedro puede tener el mismo número de ellos. de caras y de aristas. c. Un poliedro puede tener el mismo número2. Sabiendo que el número de vértices de un prisma de vértices que de caras. es 20 y el número de aristas es 30, ¿cuántas caras tiene? Geometría: áreas y volúmenes 191
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Área y volumen de prismas Es fácil deducir cómo obtener el área de un prisma a partir de su desarro-TIPS llo, es decir, la figura plana con la que podemos construir el prisma doblan-Aquellos prismas cuyas bases y do y pegando. El desarrollo de un prisma está formado por rectángulos (quecaras laterales son paralelo- corresponden a las caras laterales) y por dos polígonos que forman lasgramos se denominan para- bases.lelepípedos. Ejemplo h h B ¿Cómo calcularías el área total de un prisma? PA R A A R C H I VA R El área total de un prisma es igual a la suma de las áreas de cada una de sus caras laterales y basales. Es decir, AT = AL + 2AB Donde AT: área total; AL: suma de áreas laterales; AB: área basal.EJERCICIOS1. Calcula el área de un prisma rectangular de 5. Calcula el área de los siguientes prismas. 6,4 y 9,5 cm de base y 16,5 cm de altura. a. c.2. Calcula el área total de un prisma hexagonal 8 cm regular de arista 8 cm de base y altura 10 cm. 10 cm3. Calcula la arista de un cubo que tiene igual 2,4 cm área total que un octaedro formado por un 5 cm 6 cm triángulo de lado 6 cm. 4 cm4. Se quiere pintar una habitación rectangular 10 cm 4 cm b. d. (incluido el techo) de medidas 4 m de ancho, 4 cm 6 m de largo y 3 m de alto. Cada tarro de 4 cm 12 cm pintura sirve para pintar 30 m2. 4 cm a. ¿Cuántos tarros de pintura se necesitarán para realizar el trabajo? 192 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESVolumen de un prismaVamos a calcular el volumen de un prisma a partir del volumen de un para- HISTORIAlelepípedo. Puedes observar que un prisma es una traslación de un polígonosobre un plano determinado, y como tal, puede tener dirección y sentido.En las siguientes figuras se observa esta situación. figura 1 figura 2 figura 3 T T T1 Gérard Desargues (1591 - 1661) h h h Matemático francés, precursor B B B del planteamiento de la geome- tría proyectiva.Todos estos cuerpos tienen la misma altura y sus bases tienen igual área, sinembargo, sus inclinaciones son distintas. Según el principio de Cavalieri:como las áreas transversales son iguales, los volúmenes también lo son, portanto, resulta fácil calcular el volumen, ya que basta con determinar solo eldel paralelepípedo. PA R A A R C H I VA R TIPS El volumen de un prisma está dado por la expresión: V = B • h, En algunos problemas, lo más donde B es el área de la base y h la altura del prisma. difícil es calcular el área basal.EJERCICIOS1. Calcula el volumen de un cubo de arista 12 cm. 4. El área de la base de un prisma es x cm2, y su altura mide 2x cm. Si el volumen del prisma es2. Calcula el volumen de un prisma triangular 54 cm3, ¿cuál es la altura del prisma? regular donde la arista de la base mide 10 cm y altura 6 cm. 5. Las aristas de un paralelepípedo están en la razón 2 : 3 : 4 y su diagonal principal mide3. Calcula el volumen de los siguientes prismas. 4 29 cm. ¿Cuál es el área total y el volumen En ambos casos la arista de la base mide 3 cm, del paralelepípedo? la altura 4 cm y sus bases son polígonos regu- lares. 6. El volumen de un prisma recto de base hexa- gonal es 120 3 m3 y su altura mide 5 cm. a. ¿Cuál es la medida de los lados del hexágono? 7. En un envase con forma de prisma de base b. cuadrada, la altura es el doble de la medida del lado de la base y el área total es 250 m2. Calcula el volumen del envase. Geometría: áreas y volúmenes 193
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Área y volumen de pirámides Al igual que en el caso de los prismas o de cualquier otro poliedro, el área de una pirámide se calcula sumando el área de cada una de sus caras. ¿Pero, cómo se calculará el volumen de una pirámide? En las siguientes figuras se observa la descomposición de un prisma trian-AY U D A gular en tres pirámides regulares.Una pirámide regular tiene P N P N P N Ptodas sus aristas de igual medida. M M M M M S Q B S Q S Q Q S R R R Las 3 pirámides tienen el mismo volumen. Entonces, ¿qué puedes deducir respecto del volumen de una pirámide?TIPS PA R A A R C H I VA RSi la base de una pirámide tiene El volumen de una pirámide equivale a un tercio del volumen del prisma,n lados, entonces el número decaras es n + 1, el de aristas 2 • n es decir,y el número de vértices n + 1. 1 1 Vpirámide = Vprisma = B • h (B: área de la base; h: altura) 3 3 Ejemplo Calcula el volumen de las siguientes pirámides, sabiendo que B = 3 cm2 y h = 10 cm. hAY U D A H1 H2 H3Recuerda que H1, H2 y H3 corres-ponden a secciones definidaspor el plano transversal. B B B Como puedes observar, H1, H2, H3 son semejantes a las bases, en cada caso, además cada pirámide tiene igual área basal, por lo tanto podemos concluir que H1 = H2 = H3 Luego, aplicando el principio de Cavalieri, tenemos que las tres pirámides tienen, igual volumen, es decir, 1 3 V= • 3 • 10 = 10 cm 3 194 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESEJERCICIOS1. Calcula en cada caso el volumen del prisma y 4. Calcula la masa del siguiente objeto de base el de la pirámide. Comprueba las relaciones cuadrada, si cada cm3 tiene una masa de obtenidas en la página anterior. 3,2 gramos. a. 7 cm 7 cm 4 cm 4 cm 4 cm 3 cm 3 cm 6 cm 8 cm 5,3 cm b. 12 cm 5. Los siguientes son juguetes de madera que 12 cm serán pintados del mismo color. Sobre cada 8 cm uno se indica cuántos se van a fabricar. Calcula 6 cm la cantidad de pintura necesaria para tal labor. (Un litro de pintura rinde aproximadamente 3 m2).2. Calcula el volumen y el área de las siguientes 22 30 pirámides de base cuadrada. 15 15 cm a. h = 24 cm 10 cm 5 cm 10 cm 15 cm 4 cm 3 cm 12 cm 6. En el museo del Louvre, en París, se construyó 14 cm una pirámide de vidrio en el año 1989. Ésta tiene una altura de 22 m y la base tiene forma b. 10 cm de un cuadrado de 30 m de lado. Calcula el volumen y el área de la pirámide. h 12 cm3. El techo de una casa tiene forma de pirámide cuya base es un cuadrado de 12 m de lado y 8 m de altura. Determina los metros cuadrados de tejas necesarios para cubrir todo el techo. Geometría: áreas y volúmenes 195
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Área y volumen de cilindros Observa la siguiente ilustración:AY U D AEl área de una circunferencia estádada por la expresión π • r . 2(r: radio) h r Las secciones definidas por el plano transversal tienen igual área, por tanto, aplicando el principio de Cavalieri, tenemos que el área de las bases es equivalente, además: Vprisma = Vcilindro V = h • B (B: área de la base) Vcilindro = h • π • r2AY U D A PA R A A R C H I VA RUn cilindro se obtiene al rotar El volumen de un cilindro se calcula mediante la siguiente fórmula:un rectángulo sobre uno de suslados. La altura del rectángulo V = h • π • r 2 (r: radio de la circunferencia de las bases)que genera el cilindro se denomi-na generatriz (g). Veamos ahora cómo calcular el área de un cilindro. Observa el desarrollo de un cilindro: g h g r Podemos ver que la superficie lateral del cilindro está formada por un rectángulo, mientras que sus bases corresponden a círculos. 196 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESEntonces, el área del cilindro está dada por: AY U D A A cilindro = 2 • A circunferencia + A rectángulo A cilindro = 2 • π • r2 + 2πr • g π A cilindro = 2 • π • r (r + g) PA R A A R C H I VA R g El área de un cilindro es igual a la suma del área lateral, dada por un 2•π•r rectángulo, y sus áreas basales, dadas por dos circunferencias congruentes. Esto es: A cilindro = 2 • π • r (r + g) La base del rectángulo coincide (g: generatriz o altura del rectángulo; r: radio de la circunferencia de la con el perímetro de la circunfe- base) rencia.EJERCICIOS1. ¿Cuál es el área total de un tubo de acero con 4. Se construyó un pozo como el de la figura. forma cilíndrica, si su radio basal mide 5 cm y Si la altura es de 120 cm, el grosor es de 40 cm su largo 2 m? y el hueco mide 1 m, ¿cuál es el volumen del pozo? a. ¿Cuántos cm3 de pintura se necesitan para pintar 100 de estos tubos? (1 litro de pintura rinde aproximadamente 3m2). 1m2. ¿Qué condición debe cumplir el radio y la altura de un cilindro para que su área lateral sea equivalente a la suma de las áreas basales?3. Responde, dando un ejemplo en cada caso. a. ¿En qué razón están las áreas de dos cilindros rectos de igual altura, si el radio basal de uno de ellos es el doble del otro? b. ¿Qué sucede con el área de un cilindro si solo su altura se duplica? 5. Las bebidas en lata, en general, tienen todas c. ¿Qué sucede con el área de un cilindro el mismo volumen (350 cm3) y tienen forma si el radio y la altura se duplican? cilíndrica. ¿Cuál debería ser el diámetro de la d. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro base de cada lata si ahora todas deben tener si solo su altura se duplica? una altura de 5 cm? ¿Por qué tendrán todas e. ¿Qué sucede con el volumen de un cilindro la misma medida? si solo su radio se duplica? Geometría: áreas y volúmenes 197
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Área y volumen de conos En esta unidad, se ha estudiado cómo los prismas son generados por trasla- ciones de algún polígono, y cómo las pirámides son generadas por homote- cias (proyecciones) con respecto a un polígono. Los conos, que ahora vere- mos son generados por revoluciones de una región triangular con respecto a un eje de simetría. C C generatriz (g) A B B r Un cono está formado por un círculo (base) y por un sector circular. El arcoAY U D A del sector circular tiene longitud 2 • π • r (porque es la longitud de la circun- ferencia de la base). Por consiguiente, el área lateral de un cono es igual al r área del sector circular. longitud del arco • radio 2•π•r•g α Asc = = =π•r•g Sector 2 2 circular El área de la base corresponde al área de una circunferencia, es decir, π • r2, entonces, el área total de un cono se puede calcular mediante la siguiente fórmula: Acono = π • r • g + π • r2 Acono = π • r (g + r) PA R A A R C H I VA R El área de un cono está dada por la expresión: Acono = π • r (g + r) (r: radio de la circunferencia de la base del cono, g: generatriz del cono). 198 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESHemos determinado una expresión para calcular el área de un cono, pero¿cómo calculamos su volumen?Si construimos un cilindro y un cono (de cartón por ejemplo) cuyas basestengan igual área y sus alturas sean congruentes, llenando el cono conarena y volcando su contenido en el cilindro, podremos comprobar que elcontenido del cono cabe exactamente tres veces en el cilindro. Esto significaque el volumen del cono equivale a la tercera parte del volumen delcilindro. PA R A A R C H I VA R El volumen de un cono está dado por la expresión 1 V= π • r2 • h 3 (r: radio de la base del cono; h: altura del cono)EJERCICIOS1. Calcula el área de un cono recto cuya genera- 4. En una planta de salitre almacenan el mineral triz mide 20 cm y cuyo radio basal es de 15 cm. formando cerros con forma similar a un cono de dimensiones: 40 m de radio y 10 m de altura. Si el salitre acumulado debe ser transportado en un camión con capacidad de carga de 20 cm 300 m3, ¿cuántos viajes debería realizar el camión? 15 cm2. Determina la capacidad de un depósito de arroz que tiene una forma similar a la que se muestra en la figura. 4 cm 5. Calcula el volumen del espacio limitado entre el cono y el prisma, según las medidas indicadas. 8 cm 4 cm 8 cm 6 cm 6 cm 12 cm3. Calcula la altura de un cono si el área lateral mide 16 5 π cm2 y el radio basal mide 4 cm. Geometría: áreas y volúmenes 199
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Área y volumen de la esfera Volumen de la esfera Uno de los hallazgos más apreciados del matemático griego Arquímedes fue determinar cómo calcular el volumen de la esfera. El procedimiento que utilizó consistió en relacionar el volumen de la esfera con el volumen del cilindro y el del cono. Empezó considerando un cilindro de radio R, un cono de radio R y altura R y una semiesfera de radio R. Arquímedes observó que cuando se corta la semiesfera, el cilindro y el cono por un plano paralelo a las bases a una distancia h del vértice, las áreas de las secciones producidas en la semiesfera (A1), en el cilindro (A2) y en el cono (A3) verifican la siguiente relación:TIPS A1 = A2 – A3La esfera se puede obtener apartir de la rotación de una Observa esta situación en el siguiente cuadro.semicircunferencia sobre un eje. Sección de la semiesfera (A1) Sección del cilindro (A2) Sección del cono (A3) O O R O h R h r R r P Q Como r2 + h2 = R2 A2 = πR2 A3 = πr2 Como el radio y la altura del cono son Entonces r2 = R2 – h2 iguales, al cortar por un plano el cono se forma un triángulo OPQ, luego: A1 = πr2 = πR2 – πh2 h=r πh2 = πr2 = A3 Se observa que A1 = πR2 – πh2 = A2 – A3 Considerando una nueva superficie: el cilindro menos el cono, aplicamos el principio de Cavalieri, ya que los cuerpos tienen la misma área en la base y la misma altura, y tenemos: Vsemiesfera = Vcilindro – Vcono 1 Vsemiesfera = π • R2 • R – πR2 • R 3 1 3 Vsemiesfera = πR3 – πR 3 2 3 Vsemiesfera = πR y a partir de esta relación podemos deducir el volumen 3 de la esfera. PA R A A R C H I VA R El volumen de la esfera está dado por la expresión: 4 3 Vesfera = πR (R: radio de la esfera) 3 200 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESÁrea de una esferaEl cálculo del área de una superficie esférica es complejo, pues a diferenciade los poliedros, del cono y del cilindro, esta no se puede representar en elplano (no es posible construir una red).Para calcular el área de la superficie esférica, nos apoyaremos en el volumende esta.El volumen de la esfera se puede aproximar sumando los volúmenes demuchas pirámides triangulares iguales, cuyas bases (triángulos) estáninscritas o circunscritas en la superficie esférica y cuyos vértices están en elcentro de la esfera, como muestra la siguiente ilustración. Esta estructura corresponde a la Geode ubicada en Francia. AY U D AEl volumen de la esfera equivale a la suma de todos los volúmenes de laspirámides (supongamos n pirámides). Se obtiene: B1 , B2 , …, Bn corresponden al área 1 1 1 1 de la base de cada pirámide. Vesfera = B1 • h + B2 • h + … + Bn • h = (B1 + B2 + … + Bn) • h 3 3 3 3Además, B1 + B2 + … + Bn equivale al área total de la esfera, luego: 1 4Vesfera = Aesfera • h = πR3, despejamos Aesfera, Aesfera = 4πR2 π 3 3 PA R A A R C H I VA R El área de la esfera está dada por la expresión: Aesfera = 4πR2 π (R: radio de la esfera)EJERCICIOS1. Calcula el volumen y el área de una esfera de 3. Una esfera está inscrita en 6 cm de radio. un cubo de 6 cm de arista, es decir, las caras son2. Una esfera, un cilindro y un cono tienen igual tangentes a la esfera. radio. La suma de los volúmenes del cilindro y Calcula el volumen de del cono ¿puede equivaler al volumen de la la esfera y el área de la esfera? Justifica. superficie esférica. Geometría: áreas y volúmenes 201
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Secciones de una esfera Al cortar una esfera por uno o más planos secantes, estos generan dife- rentes secciones. A continuación estudiaremos algunos casos particulares. Casquete esférico: parte de la superficie esférica formada al cortar una esfera por un plano secante. EjemploAY U D A h hAl cortar una superficie esféricacon un plano, las secciones robtenidas corresponden a cir-cunferencias. Si el plano pasa Rpor el centro de la esfera, lascircunferencias se denominancircunferencias máximas. Observa que al cortar la esfera con un plano se forman dos secciones, se considera como casquete esférico a la menor de ellas. Para calcular el área de un casquete esférico, necesitamos conocer la medi- da de la altura de este y el radio de la esfera. Con estos datos, el área está dada por la expresión:AY U D A π Acasquete = 2πR • hR: radio de la esfera.r: radio de la circunferenciaformada por la intersección del Huso esférico: parte de la superficie de la esfera limitada por dosplano y la esfera. semicircunferencias máximas que tienen un diámetro en común. Ejemplo α Como puedes apreciar, esta sección está relacionada con el ángulo que forman entre sí estas dos semicircunferencias. 202 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESPara determinar el área de un huso, utilizaremos proporciones. Tenemos: 360º α 2 = A (α: ángulo formado por las semicircunferencias) π 4πR huso 4πR2 • α π Ahuso = 360º PA R A A R C H I VA R El área de un casquete esférico está dada por la expresión: π Acasquete = 2πR • h El área de un huso esférico está dada por la expresión: 4πR2 • α π Ahuso = 360º (R: radio de la esfera; α: ángulo formado por dos semicircunferencias; h: altura del casquete esférico).EJERCICIOS1. Calcula el área de un huso esférico con radio 5. ¿Qué amplitud en grados debe tener un huso R = 10 cm y ángulo 90º. esférico en una esfera de radio 12 cm para que su área sea igual a la de un casquete esférico2. Si la altura de un casquete es h, entonces el de altura 5 cm? volumen de este casquete está dado por la 6. El radio de la tierra es de 6.370 km. fórmula: 1 a. ¿Cuál es el área de un huso esférico de 5º? V = πRh2 – πh3 3 b. ¿Cuál es el área de un huso esférico de 18º? a. ¿Cuál es el volumen de un casquete de 7. En la figura se observa un foco que ilumina 3 cm de altura en una esfera de 9 cm una esfera de radio 10 cm. Si la altura del de radio? sector iluminado es 2 cm, ¿cuál es el área de b. Si el volumen de un casquete es 54,43 cm3 la superficie iluminada de la esfera? y su altura es de 2 cm, ¿cuál es el radio ¿Qué sucede con el área si se aleja o acerca aproximado de la esfera? el foco de luz? Comparte con tus compañeros. c. ¿Cuál es el área del casquete en los dos casos anteriores?3. Calcula el área de un huso esférico de 40º de amplitud, en una esfera de 3 cm de radio.4. Calcula la amplitud de un huso esférico en una superficie esférica de 6 cm de radio y cuya superficie es de 32 cm2. Geometría: áreas y volúmenes 203
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Proyecciones en el plano En la unidad anterior aprendiste que mediante algunas transformaciones geométricas, tales como una traslación, se podían generar otras figuras. En estas páginas estudiaremos cómo, por medio de proyecciones, todo cuerpo puede ser representado en el plano. Ejemplo El cuerpo de la figura está representado en tres planos por medio de proyecciones ortogonales (perpendiculares a los planos).EN EQUIPO ZRespondan las siguientes pre-guntas: C¿Qué tipo de cuerpo se generamediante la proyección ortogonalde un polígono?¿Qué cuerpo se genera mediantela proyección ortogonal de uncírculo? Y X A partir de las proyecciones de un sólido se puede obtener un modelo del mismo en tres dimensiones. Este principio es usado en programas computa- cionales para dar la idea de volumen de un cuerpo que se representa en una pantalla (plano).AY U D A PA R A A R C H I VA RLa línea de tierra representa laintersección entre el plano verti- Si la representación del cuerpo es solo en dos planos perpendiculares,cal y horizontal. se habla de un sistema diédrico. PV Veamos el siguiente ejemplo de un sistema diédrico. PV: plano vertical PH: plano horizontal PH LT: Línea de tierra LT 204 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESEn la figura anterior, las proyecciones ortogonales originan dos vistas delobjeto: la planta y el alzado, términos muy utilizados por profesionales deldiseño y del arte.Veamos otros ejemplos: CILINDRO RECTO PRISMA RECTO TIPS En relación a las proyecciones PV ortogonales en un sistema PV diédrico se tiene que: Alzado: es la vista de frente del LT cuerpo. LT Planta: es la vista desde arriba. LT LT Además se tiene la vista de lado PH PH llamada perfil, cuando se repre- sentan 3 planos. PIRÁMIDE PRISMA OBLICUO PV PV LT LTLT LT PH PHEJERCICIOS1. Dibuja en un sistema diédrico los siguientes 3. Supón que un cuadrado tiene uno de sus cuerpos. vértices en el origen, con uno de sus lados sobre los ejes de coordenadas y con una arista a. b. de 4 unidades de longitud. a. ¿Qué cuerpo se genera al trasladar este cuadrado por un vector (0, 0, 4)? b. ¿Cuál es el volumen de este cuerpo? c. ¿Cuál es el área total del cuerpo generado?2. Dibuja el cuerpo correspondiente d. Si el vector de traslación fuera (0, 0, –8), a la siguiente representación ¿qué cuerpo se generaría y cuánto sería en un sistema diédrico. su volumen? e. ¿Cuál debería ser el vector de traslación que se aplique al cuadrado para generar un paralelepípedo que tenga un volumen igual a 1.000 unidades cúbicas? Geometría: áreas y volúmenes 205
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Cuerpos generados mediante rotación Se denomina cuerpos o sólidos en revolución a aquellos que pueden obtenerse mediante la rotación de una figura plana sobre un eje. Ejemplo Recordemos algunos cuerpos en revolución anteriormente estudiados: Cilindro Cono Esfera (generado por la rotación (generado por la rotación (generada por la rotación de un rectángulo alrededor de un triángulo rectángulo de un semicírculo alrededor de uno de sus lados) respecto a uno de sus catetos) de su diámetro) A C A C M M D B D N N B Tronco de un cono Un caso particular de cuerpo en revolu- ción, es el tronco de un cono o cono trun- cado. Este se genera mediante la rotación de un trapecio rectángulo cuyo eje corres- ponde al lado que forman los ángulos rectos como muestra la siguiente figura: El área de un cono truncado, corresponde a la suma del área de la base del tronco del cono y el área lateral. PA R A A R C H I VA R El área de tronco de cono está dada por la fórmula: AT = π (R + r) • g + R2 + r2 Por otra parte, el volumen del cono truncado está dado por la expresión: 1 VTronco de cono = π h(r2 + R2 + r • R) 3 donde, R: radio de la base mayor; r: radio de la base menor; g: generatriz del cono y h: altura del cono. 206 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESEjemploCalcula el volumen de un tronco de cono cuyos radios basales miden 10 y 6 cm,respectivamente, y su generatriz mide 8 cm. 6 cmPara calcular la altura del cuerpo, aplicaremos el teorema de Pitágoras,h = 82 – 4 2 = 48 (utilizamos las medidas del triángulo generado por la 8 cmgeneratriz, la base mayor del cuerpo y la altura) 1 48 V= π 48 (102 + 62 + 10 • 6) = π • 196 1.422 cm3. 3 3 10 cmEJERCICIOS1. Calcula el área y volumen del siguiente cuerpo. c. 1 cm 14 cm 8 cm2. Considera el tronco de cono generado por la 4. Imagina que un rectángulo de lados 4 cm rotación de un trapecio recto cuyas bases y 6 cm gira en torno a su lado menor. miden 11 y 6 cm y cuya generatriz mide 13 cm. a. Dibuja el sólido que se genera. a. Calcula la altura del tronco de cono. b. Calcula el volumen del sólido. b. Calcula el área del tronco de cono. c. Compara el volumen del sólido anterior c. Calcula el volumen del tronco de cono con el que se genera si la rotación es que se genera. respecto al lado mayor. d. Calcula el área de cada uno de los sólidos.3. Dibuja el cuerpo que se genera al rotar las e. ¿Qué condiciones debe satisfacer siguientes figuras alrededor del eje indicado. el rectángulo para que el volumen del sólido generado por la rotación a. en torno a uno de sus lados sea igual al doble del volumen del sólido generado por una rotación en torno al otro lado? 5. De los cuerpos geométricos estudiados a lo largo de esta unidad, ¿cuáles se pueden b. generar mediante rotaciones?, ¿qué tipo de rotaciones? Geometría: áreas y volúmenes 207
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Problemas de aplicación I Cuando en medicina se quiere obtener la imagen de un órgano por dentro, como por ejemplo el cerebro, se emplea una técnica que se llama tomo- grafía. Consiste en tomar una serie de radiografías del órgano que se está examinando, que dan imágenes del mismo según cortes paralelos entre sí, como si se hubieran hecho cortes horizontales de muy poco espesor. Observa las tomografías que se hacen del siguiente cilindro. En la siguiente figura se muestra una tomografía realizada a un cono.Las tomografías funcionan demanera similar a los rayos X,con la diferencia que la tomo-grafía guarda las imágenescaptadas en un computador,mientras que los rayos X songrabados en una placa radio-gráfica.EJERCICIOS 1. Dibuja en perspectiva los cuerpos relacionados con las siguientes tomografías. a. b. c. d. 208 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESEJERCICIOS2. Imagina que el cubo de la figura puede ser b. ¿Cuál debería ser la posición del plano para cortado por un plano que al cortar se origine un trapecio? Dibújalo. c. ¿Qué otros cuadriláteros se pueden obtener al cortar una pirámide de base cuadrada con un plano? 4. En la figura se observa una tomografía realizada a un cubo. Intenta dibujar los cortes realizados al cubo de manera de obtener estas tomografías. a. ¿Cuál debería ser la posición del plano para que al cortar se origine un cuadrado? Dibújalo. 5. Explica cómo son las posibles secciones que b. ¿Cuál debería ser la posición del plano para produce un plano secante en una esfera. que al cortar se origine un rectángulo? Dibújalas en un papel. Dibújalo. c. ¿Cuántos tipos diferentes de cuadriláteros 6. Un plano corta a una superficie esférica dando se pueden obtener? Dibújalos. origen a dos casquetes esféricos. El menor d. De todos los rectángulos que se pueden tiene 9 cm de altura y 192π cm2 de superficie. π obtener, ¿cuál es el de área máxima? Halla el área del otro casquete. e. ¿Se pueden obtener trapecios? f. Si se quiere obtener un triángulo equilátero, ¿cómo debería ser el corte? Calcula el área del mayor que se pueda obtener. g. ¿Hay alguna manera de obtener una superficie que sea un pentágono? Explica. 7. Explica cómo son las posibles secciones que h. Aunque no lo creas, es posible obtener produce un plano secante a un cilindro. un hexágono. Descúbrelo. Dibújalas en un papel. i. ¿Es posible obtener polígonos de más de 6 lados? Explica.3. Imagina que una pirámide de base cuadrada se corta con un plano secante. a. ¿Cuál debería ser la posición del plano para que al cortar se origine un cuadrado? Dibújalo. Geometría: áreas y volúmenes 209
    • CONTENIDOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Problemas de aplicación II La pirámide de Keops es una pirámide cuadrada de arista básica 230 m y altura 146 m. Se ha construido una maqueta de ella a escala 1 : 5.000 ¿Cuál es el volumen de dicha maqueta? Resolveremos el problema mediante la utilización de proporcionalidad: Ambas pirámides son semejantes, por lo tanto: hmaqueta amaqueta 1 = = hpirámide apirámide 5.000Pirámide de Keops. entonces, la altura de la maqueta está dada por 146 hmaqueta = = 0,0292 m = 2,92 cm 5.000AY U D A Del mismo modo calculamos la arista de la maqueta, Recuerda la fórmula para calcu- 230 amaqueta = = 0,046 m = 4,6 cm lar el volumen de una pirámide: 5.000 1 V= Ab • h 3 (como la pirámide es de base cuadrada el área de la base está dada por (4,6 cm)2 (Ab: área de la base; h: altura) Por lo tanto el volumen de la maqueta es: 1 Vmaqueta = (4,6)2 • 2,92 20,6 cm3 3EJERCICIOS1. Resuelve el problema anterior, utilizando la 4. A un lápiz grafito con forma de cilindro se le semejanza entre el volumen de ambas sacó punta y esta quedó con forma cónica pirámides. como muestra la figura. La densidad de la madera con la que está hecho el lápiz es de2. La maqueta de una piscina tiene forma de g 0,7 , mientras que la mina tiene una prisma rectangular con dimensiones 10, 25 y cm3 1,5 cm. Si el volumen de la piscina real es de kg densidad de 2,25 . Considerando que 3 millones de litros, calcula: dm3 la punta del grafito es un cono con 5 mm de a. El volumen de la maqueta. altura, calcula en gramos la masa del lápiz con b. Las dimensiones reales de la piscina. una precisión de milésimos de gramos. c. El área de la maqueta y de la piscina real. Considera π = 3,14.3. En un río contaminado hay una concentración 2 cm 8 mm 8 cm de nitrógeno de 0,4 miligramos por litro. ¿Cuántos gramos de nitrógeno contiene un depósito cúbico de 12 m de arista? 2 mm 210 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESEJERCICIOS5. El radio de la Tierra es de 6.370 km y el de la 8. Una empresa que vende jugo de fruta en luna es de 1.738 km. envases con forma de prisma rectangular (11 x 6 x 15 cm) decide cambiar dichos envases a. ¿Cuántas veces mayor es el radio de por otros en los que disminuye un 10% el área la Tierra respecto al radio de la luna? de la base y aumenta un 10% la altura. b. ¿Cuántas veces mayor es el volumen de la Tierra respecto al volumen de la luna? a. El volumen del nuevo envase, ¿es mayor o menor que el del antiguo? b. Si mantienen el mismo precio, ¿es positivo para los consumidores? 9. Una empresa de reciclaje tiene un depósito lleno de aceite. Mide 25 m de largo y 14 m de ancho y su profundidad varía, desde los 16 m en su parte menos profunda a los 20 m de la zona más profunda.6. Un arquitecto ha proyectado un edificio de dimensiones 25, 15 y 20 m. Sabiendo que solo se aprovecha el 85% del volumen total del edificio para construir y que la altura de cada a. ¿Cuántos metros cuadrados tienen piso es de 2,5 m, calcula: las paredes del depósito? a. ¿Cuántos departamentos de 75 m2 podrán b. ¿Cuál es el volumen del depósito? construirse? c. ¿Qué volumen tendría el depósito b. ¿Cuánto dinero obtendrá el arquitecto si si fuera igual de profundo en todas partes? cobra el 3% del total recaudado y el metro cuadrado de cada piso cuesta $1.200.000 ? 10. En una habitación de 5 m de largo, 3 m de ancho y 2 m de altura se requiere almacenar7. La Municipalidad de una ciudad revisó los cajas de 1 m de largo, 60 cm de ancho y planos para construir un nuevo depósito de 40 cm de altura. ¿Cuántas cajas se pueden agua con forma cilíndrica, y decidió que debía almacenar en esta habitación? ser el doble del tamaño planeado original- mente. Por tanto, ordenó al constructor que 11. ¿Cuántos centímetros de papel se necesitan duplicara el diámetro y que no cambiara la para una etiqueta de una lata cilíndrica de altura original. ¿Qué opinas acerca de esta 10 cm de altura y base circular de 6 cm de decisión? Comenta con tus compañeros(as). diámetro? ¿Cuál es el volumen de la lata? Geometría: áreas y volúmenes 211
    • EJERCICIOS RESUELTOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Ejercicio 1 Un piloto vuela a 6.000 m de altura. ¿Cuál es el área del casquete esférico que puede observar? Solución Si realizamos un dibujo de la situación planteada podremos apreciar una serie de relaciones que nos pueden ayudar a resolver el problema. Para ello necesitamos conocer la altura h de dicho casquete esférico. P d = 6.000 m h r R = 6.370 km Q R O El triángulo PQO es un triángulo rectángulo al igual que el formado por R, r y (R – h). Además ambos triángulos son semejantes. Luego: Por criterio de d+R R = semejanza AA R R–h dR – dh + R2 – Rh = R2 despejemos h dR = dh + Rh Remplazamos los valores dR h= conocidos d+R 6.000 m equivale a 6 km dR 6 • 6.370 38.220 h= = = 6 km d+R 6.376 6.376 d + R = (6 + 6.370) km = 6.376 Por otro lado, sabemos que el área de un casquete esférico está dado por π 2π • R • h, entonces: π 2π • 6.370 • 6 240.021,6 km2 El área que el piloto puede observar es de 240.021,6 km2. 212 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESEjercicio 2Un depósito cilíndrico de 2 m de radio y 5 m de altura está lleno de agua.Se echa dentro una bola de piedra de 3 m de diámetro.a. ¿Qué cantidad de agua se desbordará?b. ¿Cuánta agua queda en el depósito?c. Si se arrojara otra bola, quedando en el depósito 35,3 m3 de agua, ¿cuál es el volumen de esta bola?Solucióna. La cantidad de agua que se desbordará será igual Volumen de una esfera. al volumen de la bola. Calculémoslo: 4 Vesfera = π R3 3 4 Vbola = π R3 3 3 π Vbola = 4π • (1,5) = 14,13 m3 Remplazamos los valores 3 conocidos. Luego, se desbordarán 14,13 m3 de agua.b. Para calcular la cantidad de agua que quedará en el depósito, debemos calcular su volumen y luego restar a este la cantidad de agua desbordada. Vcilindro = πr2 • h Vcilindro = π • 22 • 5 62,83 m3 Luego restamos la cantidad de agua que contiene el depósito y la cantidad desbordada: 62,83 – 14,13 = 48,7 m3 Dentro del depósito quedará 48,7 m3 de agua.c. Si dentro del depósito quedó 35,3 m3 de agua entonces: El volumen del depósito menos el agua desbordada será igual 48,7 – x = 35,3 a 35,3 m3. x = 13,4 Luego, el volumen de la bola arrojada es 13,4 m3. Geometría: áreas y volúmenes 213
    • DESAFÍOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 1. (Ensayo PSU, 2004) En la figura, se tiene un 4. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, se cuarto de círculo de centro O. Se hace rotar la muestra el polígono ABCD. ¿Cuál(es) de las figura indefinidamente en torno al eje OT . Si siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? OT = 3 cm, entonces el volumen del cuerpo I. el perímetro del polígono es 8 2 . geométrico que se genera es: T II. cada diagonal del polígono mide 4. 3 III. el área del polígono es 4 2 . π A. 9π cm Y 27 B. π cm3 A. Solo I D. II y III B 2 2 B. Solo II E. I, II y III C A C. 36π cm3 π –2 2 X C. I y II D. 27π cm3 π D –2 E. 18π cm3 π O 5. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, se 2. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Se han dibujado 3 muestra un hexágono regular, sobre sus lados circunferencias congruentes de radio r y centro se construyen exteriormente triángulos O. ¿En cuál de los siguientes dibujos el equiláteros, cuyos lados son de igual medida triángulo es rectángulo? que el lado del hexágono. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? I. III. r 45˚ I. El área total de la nueva figura duplica al O O área del hexágono. r II. La suma de las áreas de los triángulos es igual al área del hexágono. III. El perímetro de la nueva figura es el doble II. del perímetro del hexágono. r A. Solo III O E B. I y II C. I y III D. II y III E. I, II y III A. Solo en II D. II y III B. I y II E. En todos. 6. (Facsímil PSU, Demre, 2004) En la figura, el C. I y III área del ∆ABC es 90 cm2 y AB // DE. ¿Cuál es el área del trapecio ADEB? 3. (Facsímil PSU, Demre, 2004) Si en un triángulo equilátero se dibuja una de sus alturas, A. 36 cm2 C entonces se forman dos triángulos: B. 40 cm2 C. 50 cm2 A. isósceles rectángulos congruentes. D. 54 cm2 B. acutángulos escalenos congruentes. E. 60 cm2 C. acutángulos congruentes. D E D. escalenos rectángulos congruentes. 10 cm E. equiláteros congruentes. A B 15 cm 214 Geometría: áreas y volúmenes
    • MEDIOS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES Las latas de bebida Uno de los envases más utilizados es el de las latas de bebida en sus diferentes usos: refrescos, cervezas, conservas, etc. Los hay en muchos tamaños, si nos referimos por ejemplo a la altura y el radio de cada uno. Para hacer un estudio acabado de este tema te sugerimos que visites un supermercado y realices las siguientes actividades. 1. Haz una lista de todos los productos diferentes que conozcas que se envasan en lata. 2. Mide 5 diferentes productos envasados en latas y completa: Producto Capacidad Diámetro Altura a. ¿Qué relación encuentras entre las dimensiones de la lata y su capacidad? b. ¿Y entre las dimensiones de las latas de diferentes capacidades? 3. Propón otras 3 medidas de envase para una bebida de 300 cc de capacidad. Calcula la superficie de estos nuevos envases. ¿Qué relación tienen con las dimensiones del envase oficial para latas de 300 cc? 4. A tu juicio, ¿cuáles deberían ser las dimensiones de una lata de bebida de modo que se gaste la menor cantidad de material y que almacene los mismos 300 cc? Compara tu respuesta con tus compañeros(as) indicando las ventajas y desventajas de tu nuevo envase. Geometría: áreas y volúmenes 215
    • SÍNTESIS Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENESMapa Construye tu mapa conceptual que relacione al menos los conceptos clave dados.conceptualConceptos clave:ÁreaVolumenTraslaciónRotaciónPrismasPirámidesCuerpos redondosResumen 1 Área: medida de la superficie de un cuerpo o figura geométrica. Se puede distinguir: Área lateral: medida de las superficies de un cuerpo sin considerar sus bases. Área total: medida de toda la superficie de un cuerpo geométrico. 2 Volumen: medida del espacio que ocupa un cuerpo. 3 Principio de Cavalieri: dos cuerpos de la misma altura, bases de la misma área, y cuyas secciones paralelas a las bases, formadas por un plano secante tienen igual área, tienen el mismo volumen. 4 Teorema de Euler: en todo cuerpo poliedro convexo se verifica la siguiente relación: Nº caras + Nº vértices = Nº aristas + 2 216 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES5 Área y volumen de cuerpos geométricos. Prismas Pirámides Cilindros AT = AL + 2Ab AT = AL + Ab π AT = 2πr (h + r) V = Ab • h 1 V = Ab • h V = π • r2 • h (Ab: área basal; 3 (r: radio de la base; h: altura) (AL: áreas laterales; h: altura) Ab: área basal; h: altura) Conos Esfera AT = πr (g + r) AT = 4π R2 π 1 4 V= π • r2 • h V= π • R3 3 3 (r: radio de la base; (R: radio de la esfera) g: generatriz; h: altura)6 Proyecciones en el plano: son proyecciones de un cuerpo sobre planos perpendiculares. Se puede distinguir las siguientes partes del cuerpo: perfil (vista de lado del cuerpo), planta (vista desde arriba) y alzada (vista de frente).7 Cuerpos generados por traslación. - Prisma: generado por la traslación de un polígono en dirección a un plano paralelo respecto al plano que lo contiene. - Cilindro: generado por la traslación de un círculo en dirección a un plano paralelo respecto al plano que lo contiene.8 Cuerpos generados por rotación. - Cilindro: generado por la rotación de un rectángulo sobre uno de sus lados. - Cono: generado por la rotación de un triángulo rectángulo sobre uno de sus catetos. - Esfera: generado por la rotación de un semicírculo sobre su diámetro. Geometría: áreas y volúmenes 217
    • EVALUACIÓN Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 1. Si la medida de cada una de las aristas de un 5. En la figura se representa la mitad de un cubo aumenta en un 20%, entonces su anillo circular. El volumen generado al girar volumen aumenta en: este anillo en torno al eje indicado es: A. 10% 16 A. π cm3 B. 21% 3 C. 30% B. 128π cm3 π D. 60% E. 72,8% C. 32π cm3 π 2 2 224 D. π cm3 2. Una pirámide cuya base es un cuadrado de 3 lado 2a unidades tiene el mismo volumen E. 208π cm3 π que un prisma cuya base es un cuadrado de lado a. ¿En qué razón están las alturas de la 6. En la imagen está representado un cuerpo pirámide y del prisma? generado por una revolución de alguna A. 1 : 4 figura plana. Indica la(s) posible(s) figura(s) B. 3 : 4 generadora(s). C. 4 : 3 D. a : 3 E. 3 : 2 2a a 2a 3. La medida de la altura de un cono recto es igual al triple del radio basal. Su volumen es: 1 A. π r3 I II III 3 B. πr3 C. 3π r3 π D. 9π r3 π E. Ninguna de las anteriores. r A. Solo I C. Solo III E. I y III B. Solo II D. I y II 4. Un cubo de arista a está inscrito en una esfera de radio R. Entonces se cumple: 7. Si el radio basal de un cono recto aumenta en un 20% y su altura disminuye en un 10%, A. a = 2R entonces su volumen aumenta en: B. 2R = a 2 A. 129,6% C. 2R = a 3 B. 29,6% C. 2,96% D. R = a 2 D. 0,296% E. R = a 3 E. Falta información. 218 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 8. ¿Cuál es la diferencia, en relación a la 12. Si el área total de un tetraedro es 25 3 cm2, superficie, entre construir un tubo de 15 cm entonces la arista mide: de alto y 6 cm de diámetro y construirlo sin tapas? A. 5 cm B. 6,25 3 cm A. 18π cm2 π B. 36π cm2 π C. 5 3 cm C. 72π cm2 π D. 25 cm D. 90π cm2 π E. Ninguna de las anteriores. E. 108π cm2 π 13. El volumen de un tronco de cono cuyas medidas son r = 6 cm; R = 10 cm; h = 4,8 cm 9. Si una esfera de radio r aumenta su área a es: 36r cm2, entonces su radio aumentó: A. 900 cm3 A. al cuádruple. B. 908,5 cm3 B. 18 veces. C. 984,7 cm3 C. al triple. r D. 890 cm3 D. en 8 veces. E. Ninguna de las anteriores. E. al doble. 14. Un poliedro convexo tiene 9 caras y 15 aristas. Su número de vértices es:10. El volumen de la pirámide de base cuadrada es 96 cm3. ¿Cuál es el volumen de la A. 12 C. 8 E. 15 pirámide superior si su altura es la mitad de B. 6 D. 5 la pirámide mayor? 15. En una esfera de radio r, si S es el valor del A. 96 cm3 área y V el del volumen, se cumple que: B. 64 cm3 C. 48 cm3 A. S>V D. 36 cm3 B. V>S E. 12 cm3 C. S = V si r = 3 6 cm D. S=V E. Ninguna de las anteriores.11. Las dimensiones de una boya cilíndrica son r = 2 m y h = 2 m. ¿Cuál es el volumen de la 16. ¿Cuál es el volumen comprendido entre el boya? cubo y el cono de la figura? A. 2π m3 π A. 738 cm3 10 cm B. 4π m3 π B. 821 cm3 C. 6π m3 π C. 785 cm3 10 cm D. 8π m3 π D. 684 cm3 10 cm E. 16π m3 π E. Ninguna de las anteriores. Geometría: áreas y volúmenes 219
    • EJERCICIOS DE REFUERZO Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 1. De un cubo sólido de arista a unidades se 5. En una esfera con radio de 15 cm se inscribe extrajo un cubo de arista b unidades tal un cilindro circular recto con un diámetro como se muestra en la figura. Calcula el igual al radio de la esfera. Calcula el área volumen del cuerpo resultante, teniendo en lateral de este cilindro. cuenta los siguientes datos: r 3 (a – b) = 27 3a2b = 150 r 3ab2 = 60 6. ¿En qué razón están el área de una esfera y 2. Calcula el área total de un prisma recto de el área total de un cilindro circular recto, base hexagonal regular, cuya arista basal circunscrito a ella? mide 4 cm y la arista lateral es de 16 cm. h r h = 2r 16 cm 4 cm 7. Supón que se dibuja un dodecaedro en el 3. El área total de un paralelepípedo interior de una esfera de radio 10 cm y se rectangular es igual a la de un cubo. Si las coloca un foco de luz en el centro de la medidas de tres aristas que concurren a un esfera. Al dividir cada pentágono en vértice del paralelepípedo miden 3, 5 y 7 cm 5 triángulos equiláteros, el foco proyecta respectivamente, ¿cuánto mide la diagonal estos triángulos en la esfera formando del cubo? triángulos esféricos. ¿Cuál es el área de cada uno de estos triángulos? 4. Calcula la medida de la superficie total de una pirámide recta de base cuadrada, cuya arista de la región basal mide 6 cm y su altura 5 cm. 6 cm 220 Geometría: áreas y volúmenes
    • Unidad 6 GEOMETRÍA: ÁREAS Y VOLÚMENES 8. Se tiene un cubo cuya arista es de 4 cm y 12. Dada la región trapecial de la figura: está constituido por pequeños cubos Eje 1 independientes con aristas de 1 cm. Se desea construir con ellos un paralelepípedo. ¿Qué dimensiones tiene el paralelepípedo Eje 2 de menor área que se puede formar? ¿Y el de mayor área? Eje 3 a. Representa cada uno de los cuerpos de revolución generados por su rotación 9. ¿Cuál es el área lateral de un cono recto respecto de cada uno de los ejes cuya región basal tiene un área de 25π cm2 π indicados. y su altura mide 12 cm? b. Calcula el volumen de cada uno de los cuerpos generados, considerando que los h = 12 cm lados paralelos miden 12 y 8 cm y su altura 5 cm. h 13. Las alturas de dos conos de igual base miden 14 y 6 cm respectivamente. Halla el volumen10. Un triángulo isósceles de 16 cm de base y del cono mayor sabiendo que el del menor 13 cm de altura, es equivalente en superficie es de 81 cm3. a un rectángulo de 12 cm de base. Halla las áreas laterales de los cuerpos que se generan al girar cada figura en torno a su 14. Un cono de revolución de 6 cm de radio y eje de simetría. 8 cm de altura es cortado por un plano paralelo a la base en el punto medio de su a. b. altura. Determina el área lateral del tronco de cono resultante.11. La razón de semejanza entre dos pirámides es 5. Halla el volumen de la menor, sabiendo que el de la mayor es igual al volumen de un cubo de 15 cm de arista. Geometría: áreas y volúmenes 221
    • EVALUACIÓN SEMESTRAL 2 1. En la celebración de un matrimonio sirven 1 x 5. Dada la gráfica de la función y = , se 5 un consomé que se enfría siguiendo la ley han estimado ciertas potencias. de Newton, con lo que su temperatura (°F) Y está dada por la función: f(t) = 70 + 140e–0,04t ¿Cuál era la temperatura inicial del consomé? X A. 70 °F D. 150 °F B. 100 °F E. 210 °F ¿Cuál de las siguientes expresiones es falsa? C. 140 °F 1 0,8 A. = 0,276 2. Si dentro de t años la población de cierto 5 país en África estará dada por la función: 1 –1 B. =5 16 5 N(t) = + e–0,05t (millones). 3 2 ¿Cuál es la población actual aproximadamente? ⎛ 1⎞ C. ⎜ ⎟ = 1,027 ⎝ 5⎠ A. 3 millones 3 B. 4 millones 1 2 D. = 0,089 16 5 C. millones 3 E. Ninguna de las anteriores. D. 16 millones 1 E. No se puede saber. –3x 6. Dada la gráfica de la función y = e Y 3. Patricio invierte $793.000 en un banco, a una tasa de interés anual del 9%. Después X de 2 años y medio, ¿cuánto habrá ganado, si se considera un interés simple? A. $17.270 D. $810.270 El gráfico de y–1 es: A. Y D. Y B. $190.647 E. $983.647 C. $794.710 X X 4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones 2 2x Y Y no es válida para la ecuación =8? B. E. 2x 2 I) Tiene más de una solución. X X II) Tiene exactamente dos soluciones. III) Una de sus soluciones no es real. Y C. A. Solo I D. I y II B. Solo II E. I y III X C. Solo III222 Evaluación semestral 2
    • EVALUACIÓN SEMESTRAL 2 7. De las siguientes funciones exponenciales (x > 0); 10. En la figura, el pentágono regular ABCDE está inscrito en una circunferencia. ¿Cuál(es) de I) y = e6x las siguientes afirmaciones es(son) verdadera(s)? II) y = 5x x 3 I) EF = CB III) y = 8 II) EF + FD = DE A la(s) que presenta(n) decrecimiento exponen- III) EF = AF cial es(son): E B A. Solo II D. II y III B. Solo III E. Todas las anteriores. F C. I y III 8. La representación del plano cartesiano, D C corresponde a los siguientes vectores: 3 A. Solo II D. I, II y III 2 B. I y II E. Ninguna de u w C. I y III las anteriores. 1 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 –1 11. La ecuación vectorial de la recta que pasa v –2 por los puntos C(1, –2) y D(3, –1) es: A. x = t(0, 1) + (1, 0) A. u = (–5, 3); v = (–1, –2); w = (–4, 0) B. x = t(2, 1) + (1, –2) B. u = (–5, 3); v = (–1, –2); w = (1, 2) C. x = t(1, –2) + (3, –1) C. u = (3, –5); v = (–2, –1); w = (1, 2) D. x = t(–3, 1) + (1, –2) D. u = (2, 1); v = (–1, –2); w = (2, 1) E. Ninguna de las anteriores. E. Ninguno de los anteriores. 12. La ecuación vectorial de la recta 3x – y + 4 = 0 es: 9. En una semicircunferencia se dibujan los 1 1 vectores OR = s y OT = t . Según esto, la A. (x, y) = t 3, + –3, 3 3 alternativa falsa es: 1 B. (x, y) = t , 1 + (1, 3) A. ST = s + t D. OR + OS = o 3 B. RT = t − s E. ST + RT = 2 t C. (x, y) = t 1 , 1 + (1, 1) 3 T C. s = t 1 1 D. (x, y) = t ,1 + – ,3 → 3 3 t 1 E. (x, y) = t ,1 + (3, 4) S O → R 3 s Evaluación semestral 2 223
    • EVALUACIÓN SEMESTRAL 213. La ecuación analítica y la ecuación vectorial 17. En un punto, en equilibrio, de un plano hay de la recta que pasa por el punto A(–2, 1) y tres fuerzas A , B y C que actúan sobre él. es paralela a la recta y = 2x + 3 es: ¿Cuál representación corresponde a C ? 1 5 A. y = 2x + 5t ; L = t ,1 + – ,0 A. 2 2 C B B. y = 2x – 1 ; L = t(1, 2) + (–5, 0) B. C C. y = 2x + 5 ; L = t(1, 2) + (–5, 0) C. C 1 5 D. y = 2x – 1 ; L = t ,1 + – ,0 D. 2 2 C A 1 5 E. E. y = 2x + 5 ; L = t ,1 + – ,0 C 2 2 3 ⎛ 5 ⎞14. ¿Cuál de las siguientes igualdades es 18. Sean P = (–3, 1), Q = – ,0 , R=⎜ , 1⎟ y 2 ⎝ 2 ⎠ incorrecta, respecto al producto escalar S = (2, –5). entre dos vectores? ¿Qué vectores tienen igual módulo? A. (2, –1) • (1, 1) = 1 A. P y Q D. P y S B. (3, 0) • (1, 2) = 3 B. Q y R E. Ninguna de C. (5, –2) • (1, –1) = 7 las anteriores. C. R y S D. (0, 2) • (5, 0) = 0 E. Ninguna de las anteriores. 19. Un tren se mueve con velocidad a con respecto a la tierra. Desde la ventanilla de15. Sea u = (3, –2) y v = (7, 4), entonces la un vagón cae un objeto con una velocidad respecto al tren, entonces, la velocidad del expresión 5u − 2v equivale a: objeto respecto a la tierra está representada A. 13 por el vector. B. (1, –17) V A. C. (3, –17) D. (1, –18) B. E. (–17,3) C. t16. Considerando las siguientes igualdades: desplazamiento 2(1, x) + 3(y, 2) = (8, –2) D. Los valores de x e y que verifican la E. Un vector diferente a los anteriores. igualdad, son, respectivamente: 20. ¿Cuántos vértices tendrá un poliedro con 8 A. –2 y –4 D. –6 y –1 caras y 18 aristas? B. 6 y 1 E. –4 y 2 C. –2 y 4 A. 12 B. 18 C. 20 D. 24 E. 26224 Evaluación semestral 2
    • EVALUACIÓN SEMESTRAL 221. El volumen de un hexaedro regular es 25. La arista de un cubo es a. Si los cuatro 64 cm3. Se afirma que: vértices de la cara superior se unen con el centro de la cara inferior, se obtiene una I) la suma de todas sus aristas es 48 cm. especie de embudo cuyo volumen es: II) El área de una cara es numéricamente igual al perímetro de ella. III) Su diagonal mide 4 3 . De estas afirmaciones, es(son) verdadera(s): A. Solo I B. I y II C. I y III D. II y III E. I, II y III22. El volumen de un cilindro es V = πr2h. Si un cuerpo cilíndrico tiene un volumen de a3 a2 2a3 A. C. E. 3.080 cm3 y una altura de 20 cm, entonces el 4 2 3 radio de su base, considerando el valor para a3 3a3 B. D. 22 3 8 π= , es: 7 26. La tercera parte del volumen de un cubo es A. 1,4 mm 9 m3. Luego, su arista mide: B. 0,014 m C. 7 cm A. 3 m C. 9 m E. 27 m D. 70 cm B. 6 m D. 18 m E. 0,007 km 27. A un cilindro de altura igual al diámetro de23. La generatriz de un cono recto mide 13 cm y la base de radio a, se le circunscribe una la altura 12 cm. Para que su volumen sea esfera. El volumen de la esfera es: 100π cm3, su radio basal debe medir: 8π a3 π 4π a3 π 3 A. 2 C. 2 E. 4π a3 8 π A. cm D. 5 cm 3 3 5 5 2 π a3 B. cm E. Ninguna de B. π a3 2 D. 2 3 3 3 las anteriores. C. 3 cm 28. Las diagonales de un rombo miden 2m y 2n. Entonces, la razón de los volúmenes de los24. La superficie de una esfera es 100π cm2. π cuerpos que se generan al girar Entonces su volumen mide: sucesivamente en torno a cada diagonal es: A. 72π cm3 π m+n m 3m B. 144π cm3 π A. C. E. n n 4n C. 188π cm3 π D. 288π cm3 m–n m+n B. D. E. Ninguna de las anteriores. n m–n Evaluación semestral 2 225
    • SOLUCIONARIO Unidad 1 4 7 Página 10 1. a. b. c. 1 5 8 2. Porcentaje Fracción Fracción irreductible Expresión decimal 75 3 75% 0,75 100 4 62 31 62% 0,62 100 50 2 1 2% 0,02 100 50 300 1 – 33,333...% 0,3 900 3 90 9 90% 0,9 100 10 3. a. 2, 3, ..., 9 b. –2, –1, 0, 1, 2 c. Ninguno. d. –1, 0, 1, 2, …, 9, 10 Página 11 5. 6. Grupos de edad Frecuencia acumulada 0 – 14 3.929.468 Cantidad de personas 15 – 24 6.354.608 25 – 39 9.640.619 40 – 49 11.056.208 50 – 64 12.471.357 65 y más 13.348.401 Edad Página 13 1. a. iii c. Cualitativa. Página 14 1. a. Frecuencia Lugar F. Absoluta F. Relativa % Campo 4 30,7 Mar 6 46,2 Montaña 3 23,1 Total 13 100 Página 15 1. a. 60 2. Intervalo Marca de clase 1-3 5 4-6 7 7-9 5226 Solucionario
    • SOLUCIONARIO Unidad 1 Página 16 1. a. Natalidad Mortalidad 8 1 7 9 9 8 8 7 3 1 2 2 3 6 5 3 3 3 7 4 0 2 3 5 1 6 6 3 3 7 8 9 10 9 Página 19 1. b. Entre las semanas 16 y 17. c. 2005 (semana 21) 2. a. Massú y González. Página 20 3. a. I, III, IV, VII, VIII, IX, X b. Matemática: IX; Lenguaje: IX c. Lenguaje: XI; Matemática: XI, XII, RM d. Variable cuantitativa. 4. c. Mayor: Mulchén y Angol. Menor: Nacimiento y Cañete. Página 22 2. b. Fútbol. 4. a. 0,0307 b. 99 0,0538 0,0923 0,1231 0,2692 0,2846 0,0846 0,0615 Página 23 5. c. Casa: Muy Seguro 213; Muy Inseguro 189; No responde 4. Trabajo: Muy Seguro 165; Muy inseguro 121; No responde 117. Lugares públicos: Muy seguro 165; Muy inseguro 221; No responde 20. Calle: Muy Seguro 52; Muy inseguro 346; No responde 4. 6. b. África: 73%; Asia: 62%; Europa: 24%; América del Norte: 46%; América Latina: 68%; Ex URSS: 39%; Oceanía: 59% Página 26 1. B 2. D 3. E 5. E Página 30 1. E 2. D 3. D 4. D 5. C 6. D Página 31 7. E 8. A 9. B 10. C 11. E Solucionario 227
    • SOLUCIONARIO Unidad 1 Página 32 1. Solo b 2. a. Sound: 0,1 ; Hip-hop: 0,14 ; Romántica: 0,24 ; Rock: 0,32 ; Reagge: 0,2 b. 4. a. 13,3% b. 18% 5. Frecuencia Intervalo (mm) fi fr relativa porcentual 100 – 109 4 0,047 4,7% 110 – 119 17 0,2 20% 120 – 129 29 0,341 34,1% 130 – 139 18 0,211 21,1% 140 – 149 10 0,117 11,7% 150 – 159 5 0,059 5,9% 160 – 169 2 0,024 2,4% Página 33 6.228 Solucionario
    • SOLUCIONARIO Unidad 1 7. Intervalo Frecuencia absoluta Frecuencia relativa 452 – 497 5 0,1 498 – 543 0 0 544 – 599 5 0,1 600 – 645 0 0 646 – 691 9 0,18 692 – 737 8 0,16 738 – 783 7 0,14 784 – 829 9 0,18 830 – 875 3 0,06 876 – 921 4 0,08 8. a. Circular. c. Grupo sanguíneo alumnos Frecuencia absoluta Grupo sanguíneo 9. 4 52 80 89 90 96 5 60 60 70 70 90 6 60 60 66 68 76 80 80 83 7 12 14 20 24 25 46 50 60 75 80 94 95 8 01 02 10 26 30 30 80 86 90 95 10. a. Nivel socioeconómico bajo. b. Nivel