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Otimização de Carteiras pelo Downside Risk: uma comparação entre modelos.

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ARAÚJO, A.C. ; CARVALHO, V. D. H. ; MONTINI, A. A. . Otimização de Carteiras pelo Downside Risk: um comparação entre modelos. In: Anais do XXXI Encontro Nacional de Engenharia de Produção, Belo Horizonte, 2011.

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  • 1. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011. OTIMIZAÇÃO DE CARTEIRAS PELO DOWNSIDE RISK: UMA COMPARAÇÃO ENTRE MODELOS Alcides Carlos de Araujo (USP) alcides.carlos@yahoo.com.br Victor Diogho Heuer de Carvalho (UFAL) victorheuer@gmail.com Alessandra de Avila Montini (USP) amontini@usp.brVários estudos através dos anos têm demonstrado as limitações dealgumas suposições que ocorrem nos modelos de otimização emfinanças. Diante disto, recentes avanços na base teórica, comoconsideração da anormalidade das distribuições e obsservação dodownside risk surgiram, despontando uma nova fase de estudos, ouseja, uma passagem da moderna teoria do portfólio para uma teoria doportfólio pós-moderna (ROMAN e MITRA, 2009). Artigos como os deLucena e Motta (2004) e Fortunato et al. (2010) são exemplos dadifusão destes novos modelos ao tratar do chamado D-CAPM,proposto por Estrada (2002). A proposta do artigo é avaliar aheurística presente no D-CAPM no cálculo da covariância (ou aindacosemivariância). Foram avaliados três modelos: o modelo de matrizassimétrica (HOGAN e WARREN, 1972), matriz endógena (ESTRADA,2008) e a heurística (aproximação) proposta por Estrada (2002, 2008).Os resultados evidenciam diferenças significativas entre os modelos,sendo que a heurística proposta tende a superestimar o risco doportfólio em relação aos cálculos exatos (matrizes assimétricas eendógenas). Para trabalhos futuros, a realização de comparaçõesentre os modelos quanto à forma de construir as carteiras seriamavanços significativos.Palavras-chaves: Teoria do Portfólio Pós-Moderna, Downside Risk,Lower Partial Moment
  • 2. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.1. IntroduçãoO artigo de Markowitz (1952) provocou uma mudança radical na forma de analisar oproblema de formação de portfólios de ações. Diversos direcionamentos formados na teoria,conjuntamente explorados por outros pesquisadores clássicos como Sharpe (1964) e Lintner(1965), provocaram dúvidas, discussões e questionamentos; originando uma gama de livros eartigos que formaram a moderna teoria do portfólio.No que diz respeito aos problemas de estudos, Roman e Mitra (2008) citam 3 áreas gerais depesquisa neste campo: a primeira, foca o estudo sobre as formas das distribuições dos retornosdos ativos; a segunda, trata da seleção dos ativos com objetivos de maximizar retornos ouminimizar riscos; a última, define como rebalancear as composições dos ativos no tempo. Ofoco aqui apresentado encontra-se fixo na segunda área.Em relação à seleção dos ativos, diversos modelos foram desenvolvidos, dentre os quais amédia-variância e maximização da função utilidade quadrática. O ponto de forte discussãonestes modelos é o uso da variância e desvio-padrão como medidas de risco. Markowitz(1959) propõe que a utilização de outra medida chamada semivariância produziria melhorescomposições de carteiras. Baseando-se nisto, vários pesquisadores dispõem inúmerosquestionamentos e análises acerca de tal modelo.A sugestão apresentada por Markowitz (1959) baseou-se a nas próprias limitações de seumodelo inicial, uma delas, a suposição de racionalidade dos investidores e distribuição normaldos ativos. Outras suposições em relação ao comportamento dos investidores em relação aorisco foram descritas. A exemplo, Roy (1952) que conceitua o safety first, onde é dadapreferência à primeira alternativa capaz de minimizar a chance de desastre (perda), ou seja,modifica-se o foco de maximizar riqueza por um comportamento que tenda a manter a riquezaexistente aceitando um retorno maior onde o patrimônio atual não é comprometido. Por suavez, Kahneman e Tversky (1979), em seu estudo sobre Prospect Theory, apresentam aaparente falta de racionalidade de investidores quanto a estruturação, isto é, um problemademonstrado como ganhos, podem levar a escolhas diferentes em relação ao mesmoproblema, estruturado como perdas.Para a suposição da normalidade, destacar-se o estudo de Castro Junior e Silveira (2009) ondeos testes sobre as distribuições dos retornos das ações no mercado brasileiro nãodemonstraram aderência a normalidade, ainda que utilizado um período cronológico extenso.Por conseguinte, houve uma recomendação para a não utilização de pressupostos acerca dasdistribuições dos retornos.Dadas estas implicações, a variância como uma medida de risco é amplamente criticada querpelo comportamento do investidor quer pelas medidas estatísticas. O primeiro questionamentorefere-se à capacidade de considerar como risco tanto os retornos acima da média (upside)quanto as taxas abaixo da média (downside), somente sendo avaliadas pelos investidorescomo alternativa arriscada as variações abaixo de um valor especificado (downside). Emrelação às medidas estatísticas, a variância se torna coerente quando a distribuição dosretornos é simétrica e normal, outro ponto não evidenciado pelos testes empíricos (HOGAN eWARREN, 1972; CHOOBINEH e BRANTING, 1986; JARROW e ZHAO, 2006;ESTRADA, 2007; ESTRADA, 2008).Tendo o modelo de Markowitz (1952) sido desenvolvido ao longo do tempo, nota-se tambémque surgiram críticas a ele, as quais não impediram sua expansão, mas, pelo contrário,agregaram novos conceitos e incrementando os estudos sobre a teoria do portfólio. Entre estes 2
  • 3. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.novos modelos, os que consideram o downside risk e a distribuições de retornos assimétricassão LPM (Lower Partial Moment), VaR (Value at Risk) e CVaR (Conditional Value at Risk).Estes modelos, viabilizados pelas capacidades computacionais da atualidade conjuntamentecom os avanços na teoria, constituem a chamada Post-Modern Portfolio Theory (ROM eFERGUSON, 1994; GROOTVELD e HALLERBACH, 1999; ROMAN e MITRA, 2009).O presente trabalho objetiva avaliar as heurísticas apresentadas por Estrada (2002, 2008) tantopara o cálculo da covariância (ou cosemivariância) no D-CAPM quanto para o cálculo damatriz de cosemivariância. Conforme este autor, a otimização de portfólios através dasemivariância torna-se complicada pela matriz ser assimétrica (ver HOGAN e WARREN,1974; ATHAYDE, 2001) e endógena (cosemivariâncias se alteram seguindo os pesosexistentes nos ativos).As heurísticas, sendo assim, tornam-se importantes para fins de implementação, contudo, noartigo de Estrada (2008) não foram apresentadas análises relevantes para atestar a eficiênciado modelo. O chamado cálculo endógeno foi comparado com a heurística, porém, aimplementação deixou de considerar a natureza assimétrica da matriz de cosemivariânciademonstrada nos trabalhos de Hogan e Warren (1972, 1974). Ou seja, Estrada (2008)comparou um modelo que simplifica o problema da assimetria – ainda utilizando a matrizendógena – com a heurística comentada no artigo que soluciona os dois problemas.O dilema na simplificação de cálculos ocorreria no grau de erro gerado em relação aabordagem exata. Cheremushkin (2009) critica duramente o trabalho de Estrada, além dedemonstrar a tendência da heurística apresentar valores mais altos em relação ao cálculoexato. Estrada (2008) apresenta a tendência nos cálculos, porém aloca pouca importância aeste problema; Cheremushkin (2009) apresenta suas críticas de forma conceitual, contudo,não faz testes estatísticos para comparação, avaliando somente o modelo endógeno com aheurística; considerando-se todo o apresentado, a avaliação da existência de uma diferençasignificativa entre os modelos é o principal objetivo aqui desenvolvido.2. Revisão Bibliográfica2.1 Média-VariânciaUm dos modelos mais antigos e comentados na literatura sobre administração de carteiras foiapresentado por Markowitz (1952), proporcionando as principais bases para a moderna teoriafinanceira, também chamada teoria do portfólio. Tem por enfoque principal a análise dosriscos e retornos dos ativos, considerando a variância e o desvio-padrão como componentesdo risco e a média (valor esperado) como signo do retorno.O retorno da carteira pode ser analisado de acordo com os retornos passados dos títulosindividuais e dos respectivos percentuais alocados nos ativos. Quanto aos riscos, estes podemser calculados conforme a dispersão dos resultados das ações em relação aos seus retornosmédios, ou seja, o grau de variação dos retornos estabelece o grau de risco do investimento.Da mesma forma que os retornos dos ativos individuais influenciam o retorno esperado doportfólio a variância dos retornos de cada título pesam sobre o risco total da carteira.Outra componente de forte influência no risco de uma carteira é a covariância: a variabilidadede um portfólio também dependerá da forma como seus componentes estão interrelacionados(ASSAF NETO, 2003). O maior problema do modelo é encontrar a composição ótima dacarteira dado um retorno ou risco específico (máximo retorno ou mínimo risco). 3
  • 4. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.A resolução do problema torna-se possível através de programação quadrática, buscando-se aotimização conforme a equação 1 (CASSAROTO FILHO e KOPITTKE, 1998;LUENBERGER, 1998; COSTA e ASSUNÇÃO, 2005).O modelo acima implica na minimização do risco dado um nível de retorno desejado, sendoque os percentuais alocados devem obter somatório igual a 1, supondo-se a não-nulidade paraos respectivos pesos.2.2 Downside RiskA idéia da análise focada no lado das perdas (downside risk), quando se trata de investimentosacionários, remonta à 1952 quando Roy escreveu sobre o critério safety first (NAWROCKI,1999). Mitra e Roman (2008) estabelecem que esta foi a primeira vez que o termo “riscoabaixo do retorno alvo” foi citado.Roy (1952) conceitualmente, ao criticar sobre a função utilidade e o comportamento doinvestidor, discorreu sobre a preferência pelos investimentos que possuam as menoreschances de evidenciar retornos abaixo de algum nível esperado. Em forma de função isto podeser observado na equação 2 abaixo:Nawrocki (1999) estabelece que Markowitz reconheceu a idéia em 1959 ao propor asemivariância como uma medida de risco mais adequada, seja por representar algo maispróximo do comportamento do consumidor ou por melhor se adequar quando os retornos dosativos não são normais. Todavia, durante o período em que ocorreram as publicações deMarkowitz e Roy as otimizações prescindiam de um tempo computacional muito grande, demodo que o modelo por média-variância foi aceito rapidamente.Ultimamente as discussões sobre o tema downside risk cresceram massiçamente devido aosgrandes avanços computacionais da atualidade. Modelos como LPM - Lower Partial Moment,VaR e CVaR foram desenvolvidos seguindo estas idéias originárias dos anos 50, sendo quenos últimos anos os pesquisadores estão tratando o tema como PMPT – Post ModernPortfolio Theory (ROM e FERGUSON, 1994; SORTINO e SATCHELL, 2001; ROMAN eMITRA, 2008). 4
  • 5. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.Quanto a semivariância, pesquisadores como Sing e Ong (2000) e Nawrocki (2007) tratam otema sob a ótica da família LPM (maiores detalhes ver Bawa e Lindenberg, 1977), assim, nopresente artigo, as expressões LPM e semivariância serão consideradas sinônimas. A equação3 ressalta esta consideração:Vale ressaltar ainda que a semivariância é calculada a partir de um retorno alvo ( ), que podeser representado pela média do ativo, por uma taxa livre de risco, um benchmarking (como oIbovespa) ou mesmo o zero. O que torna um problema nos cálculos é a chamadacosemivariância; Hogan e Warren (1974) realizam as derivações (ver apêndice) e encontram aseguinte estrutura, conforme a equação 4:De acordo com a observação da equação 4 é perceptível que a matriz de semivariâncias ecosemivariâncias (SV) se torna assimétrica; , dificultando a implementaçãodo modelo convencional de otimização proposto por Markowitz. Outro problema éapresentado por Estrada (2008), onde a semivariância é calculada diretamente para oportfólio, como é visto na equação 5:Aqui o cálculo se torna problemático uma vez que a cada diferente composição de carteiras,novos semi-desvios ocorrem. Isto se complica ainda mais quando é necessário conhecerpreviamente a matriz SV. Tendo estabelecidas as proposições acima, Athayde (2001) eEstrada (2008) descrevem o problema da cosemivariância: a matriz SV é assimétrica, o quedificulta uma pré e pós multiplicação dos pesos pelos riscos dos ativos; e endógena, onde umapré e pós multiplicação dos pesos pelos riscos dos ativos.O modelo de Estrada (2008) se torna importante pelo conjunto de trabalhos que utilizaram aheurística. Este autor faz uma sequência de artigos nos anos de 2002, 2006 e 2007 somenteutilizando a simplificação culminando na discussão específica sobre o modelo em 2008.Outros autores, no Brasil, tais quais Lucena e Motta (2004), Lucena e Figueiredo (2008) eFortunato et al. (2010) também desenvolveram trabalhos utilizando a heurística, porém nãocomentam as especificidades do modelo, focando-se exclusivamente na analise direta dascapacidades do chamado D-CAPM, ou Downside-CAPM. A equação 6 visualiza acosemivariância utilizada nos trabalhos de Estrada.Perceptivelmente, tanto o problema da assimetria quanto o da matriz endógena foramresolvidos e, a partir disto, torna-se possível a otimização conforme os direcionamentos deMarkowitz. No entanto, consoante os resultados obtidos por Estrada (2008), nesta abordagemhá um grau de erro no cálculo do risco da carteira ligado a formulação do modelo preciso,caso não bastasse não são apresentados os testes estatísticos que avaliam este grau de erro.Cheremushkin (2009) faz grandes críticas sobre a heurística apresentada por Estradaespecificamente sobre os trabalhos publicados de 2002 a 2007, tomando como exemplo esta: 5
  • 6. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.“the cosemivariance formula is evidently incorrect and is useless in portfolio selection”. Notrabalho são comparados o modelo endógeno e a heurística de acordo com o cálculo exato dorisco da carteira, sendo encontrado o valor de 22,4%, enquanto na heurística chega-se a umvalor de 23,2%, evidenciando o grau de erro; entretanto estes valores são bastante próximos,não significando, estatisticamente, em um “grande engano” conforme citado no trabalho.3. MetodologiaO presente trabalho caracteriza-se como um estudo quantitativo de caráter descritivo com oobjetivo de apresentar e analisar a abordagem heurística proposta por Estrada (2002, 2006,2007, 2008) para o cálculo e minimização da semivariância, onde o objetivo principal foicomparar os modelos das equações 4, 5 e 6, avaliando se o grau de erro do modelo heurísticoé estatisticamente diferente dos modelos com matriz de cosemivariâncias assimétricas eendógenas. Ressalta-se ainda que estudos anteriores, como o de Estrada (2008) eCheremushkin (2009) somente descreveram o modelo e citaram as críticas respectivamente,porém não apresentaram as medidas estatísticas.Para realização das comparações, foram coletados dados diários e mensais de ações daBovespa e do Ibovespa no período de 18/02/2010 a 09/04/2010, acessados através do bancode dados do Economática; no quadro 1 são apresentados os ativos do estudo. Três sub-períodos foram selecionados para as análises, baseando-se nas observações do Ibovespa. Ações Bradesco ON Itausa ON Perdigao ON JBS ON Marcopolo ON Gerdau ON Pão de açúcar PNA Lojas Americanas PN Fonte: Economatica Quadro 1 – Dados da pesquisaPara análise dos dados, adotou-se o procedimento realizado por Estrada (2008): foram geradascarteiras com 3, 4 e 5 ativos, sendo depois calculados os riscos através do modelo assimétrico(equação 4), matriz endógena (equação 5) e a abordagem heurística (equação 6). Objetivandoa formação de portfólios com títulos possuindo retornos com diferentes distribuições deprobabilidade, a seleção dos ativos que participaram das carteiras ocorreu através da mediçãodos índices de assimetria. Logo, no caso de 3 ativos, um possuiu assimetria positiva, outroassimetria negativa e outro fica sem assimetria; para 4 ativos: 2 possuíram assimetria positivae outros 2 assimetria negativa; para 5 ativos: 2 possuíram assimetria positiva, 2 assimetrianegativa e outro fica sem assimetria.Em cada processo foram simuladas 1000 carteiras aleatórias através do software @Risk ecalculadas automaticamente as semivariâncias segundo os critérios citados. Para comparaçãodos modelos foram realizadas as estatísticas de distribuição t-student e do teste de sinalWilcoxon para amostras pareadas. Siegel (1976) explica que o teste considera o valor dasdiferenças entre as variáveis, procedimento muito importante para o objetivo do artigo. Paraos cálculos das assimetrias e dos testes de comparação foi utilizado o software SPSS 17.0.4. Resultados 6
  • 7. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.No intuito de avaliar quais ativos deveriam compor cada uma das carteiras, foram analisadassuas medidas descritivas. Em um primeiro passo foram observadas variações de ações entreos dias 18/02/2010 a 09/04/2010 para observar o grau de assimetria; na tabela 1 sãovisualizados os resultados. Ações N Média Desvio-padrão Assimetria Bradesco* 30 -0,0145% 1,0670% 0,2160 Itausa* 30 0,0139% 1,4061% -1,0050 Perdigão* 30 0,1837% 1,2560% 0,9150 JBS* 30 -0,2978% 2,7364% 0,1250 Marcopolo 30 0,1773% 1,5181% 0,4240 Gerdau 30 0,3096% 1,6592% 0,9140 P. Açúcar* 30 0,0186% 1,6302% 1,0480 L. Americanas 30 0,1133% 0,8435% 0,5680*Ativos na carteiraFonte: dados da pesquisa Tabela 1 – Análises descritivasDe acordo com a tabela 1, seguindo os critérios apresentados na metodologia, a única açãocom alto grau de assimetria negativa é a “Itausa” (-1,005), deste modo, este ativo estarápresente em todos os portfólios; outra ação com característica importante para análises é “P.açúcar”, neste caso, o ativo que possui o maior grau de assimetria positiva (1,048).Assim, para a carteira de 5 ativos, selecionaram-se: Itausa, P.açúcar, JBS, Perdigão eBradesco (uma vez que não ocorreu nenhuma outra ação com grau de assimetria negativa,escolheu-se a 2ª menor assimetria). Para a carteira de 4 ativos foram selecionados: Itausa,P.açucar, Perdigão e JBS (procedendo de forma idêntica a anterior para o caso da nãoocorrência de uma segunda assimetria negativa). Para a carteira de 3 ativos foramselecionados: Itausa, P.açúcar e JBS. Na figura 1 são apresentados os resultados dassimulações nas 1000 carteiras aleatórias, utilizando-se os cálculos das semivariâncias dasequações 4, 5 e 6.A partir da tabela 1 pode-se considerar os ativos para a composição das carteiras de 5, 4 e 3ações. Seguindo os critérios apresentados na metodologia, a única ação com alto grau deassimetria negativa é a “Itausa” (-1,005), deste modo, este ativo estará presente em todos osportfólios; outra ação com característica importante para análises é “P. açúcar”, neste caso, oativo que possui o maior grau de assimetria positiva (1,048).Diante destas considerações, para a carteira de 5 ativos foram selecionados: Itausa, P.açúcar,JBS, Perdigão e Bradesco (como não existiu outra ação com grau de assimetria negativa,escolheu a 2ª menor assimetria). Para a carteira de 4 ativos foram selecionados: Itausa,P.açucar, Perdigão e JBS (como não houve outra ação com assimetria negativa, escolheu aque possuiu o menor grau de assimetria). Para a carteira de 3 ativos foram selecionados:Itausa, P.açúcar e JBS. Na figura 1 são apresentados os resultados das simulações nas 1000carteiras aleatórias, utilizando-se os cálculos das semivariâncias das equações 4, 5 e 6. 7
  • 8. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011. (a) Assimétrica x Heurística – 3 ativos (b) Endógena x Heurística – 3 ativos (c) Assimétrica x Heurística – 4 ativos (d) Endógena x Heurística – 4 ativos (e) Assimétrica x Heurística – 5 ativos (f) Endógena x Heurística – 5 ativos Fonte: dados das simulações Figura 1 – Comportamentos das carteirasPela análise dos gráficos percebem-se as diferenças entre as medidas: os riscos dos portfólioscalculados a partir da heurística possuem menor altura e maior cauda a direita em relação aosmodelos formados com a matriz assimétrica e a matriz endógena. Com isto, verifica-se atendência do modelo heurístico superestimar o risco em relação as equações 4 e 5, fatocomentado brevemente nos estudos de Estrada (2008) e Cheremushkin (2009), porém, não daforma como é apresentado na figura 1. Observa-se ainda que, a medida que o número deativos nas carteiras decrescem, as diferenças entre os modelos tendem a diminuir, nãoobstante, o decaimento demonstra-se muito pequeno. 8
  • 9. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.No estudo realizado por Estrada (2008) também pode ser observada a ocorrência no aumentodo erro entre os modelos e o aumento do número de ativos no portfólio; porém, não é dada adevida importância a este aspecto. Um ponto comum entre as análises deste artigo e otrabalho desenvolvido por Estrada (2008) seria o grau de correlação entre os modelos, domesmo modo que as carteiras são altamente correlacionadas (muito próximas de 1) notrabalho do autor comentado, no presente artigo também ocorre este fenômeno, fatovisualizável na tabela 2.Quant. Ativos Comparação Correlação Teste de Wilcoxon p 5 Assimétrico x Heurístico 0,983 -27,514 0,00 5 Endógeno x Heurístico 0,964 -27,458 0,00 4 Assimétrico x Heurístico 0,977 -27,544 0,00 4 Endógeno x Heurístico 0,974 -27,460 0,00 3 Assimétrico x Heurístico 0,977 -27,475 0,00 3 Endógeno x Heurístico 0,976 -27,437 0,00Fonte: dados das simulações Tabela 2 – Comparações entre modelosAinda conforme a tabela 2, demonstra-se as comparações dos modelos nas diferentes carteirasformadas. Para tomar conhecimento se as diferenças foram relevantes entre os portfólios, oteste de Wilcoxon foi utilizado. Perceptivelmente, em todos os modelos as diferenças foramsignificativas ao nível de 0,001. Diante dos resultados pode-se afirmar a superestimação daheurística em relação aos modelos de matriz de cosemivariância assimétrica e endógena.Estrada (2008) discorre sobre este grau de erro entre os modelos ser insignificante sem, noentanto, apresentar os testes estatísticos pertinentes. Cheremushkin (2009) demonstra fortedesconfiança em relação ao modelo de Estrada, principalmente sobre a precisão daaproximação. Pelas análises realizadas dentro do período considerado neste trabalho, assemivariâncias dos portfólios apresentaram formas de distribuição semelhantes, além dosmodelos serem altamente correlacionados; contudo, os valores tenderam a sersignificativamente diferentes.5. Considerações finaisNo presente artigo foram discutidos assuntos a respeito da seleção dos ativos com objetivosde maximizar retornos ou minimizar riscos; o modelo mais famoso foi demonstrado porMarkowitz (1952), este deu origem as bases da moderna teoria do portfólio. Entretanto,diversas limitações são existentes no modelo, seja pela ausência de normalidade nadistribuição dos retornos dos ativos e a suposição de racionalidade dos investidores serquestionada.Diante destas limitações, pesquisadores buscaram conceitos que pareciam esquecidos com aevolução da teoria, destacando-se o critério safety first de Roy (1952). Markowitz (1959)também reconhece o modelo e propõe o estudo da semivariância. Desde o desenvolvimentodos primeiros estudos, outros modelos de análise foram criados, os quais consideram odownside risk e distribuições de retornos assimétricas como LPM (Lower Partial Moment) eCVaR (Conditional Value at Risk), sendo estes novos modelos as bases da teoria do portfóliopós-moderna (Post-Modern Portfolio Theory).Focou-se no desenvolvimento do texto, a discussão sobre a semivariância, uma das formasespecíficas dos modelos LPM, sobretudo em relação aos problemas nos cálculos da matriz decosemivariância. Deste modo, Estrada (2008) propôs uma heurística (aproximação) com 9
  • 10. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.objetivos de minimizar os problemas citados; contudo Cheremushkin (2009) criticafortemente as análises de Estrada.Pela analise realizada com base nos artigos destes dois últimos autores, percebe-se a falta dedemonstrações fundamentais para que seja avaliada a validade e a eficiência do modelo;procurou-se, pois, demonstrar a possibilidade de diferenças significativas entre os modelos(apresentados nas equações 4, 5 e 6). Com os resultados obtidos através das simulações,demonstrou-se uma superestimação da heurística em relação aos modelos de matriz decosemivariância assimétrica e endógena através da observação das distribuições dos riscosdos portfólios, um detalhe que foi citado brevemente nos estudos de Estrada (2008) eCheremushkin (2009). Quanto aos testes de comparação realizados através da aplicação SPSS17.0, comprovou-se significativa diferença entre a aproximação e os cálculos exatos, estesresultados reforçam as críticas de Cheremushkin (2009) e trazem algumas necessidades decomplementação a heurística apresentada por Estrada (2008).Dentre as limitações percebidas neste estudo, puderam ser levantadas algumas questões,dentre as quais: a medida que o número de ativos nas carteiras decrescem as diferenças entreos modelos tendem a diminuir, contudo, o decaimento demonstra-se muito pequeno – sendoque não foram realizados os testes necessários para avaliar esta ocorrência. Outro ponto nãoanalisado, foram as características dos portfólios para dados anuais e mensais. Esta avaliaçãose torna necessária para conhecer se o grau de erro entre a heurística e os cálculos exatos,pode aumentar ou diminuir em relação aos retornos diários, considerados neste trabalho.Futuros trabalhos poderiam focar a analise, a partir de testes adequados, da tendência dasdiferenças entre os modelos diminuir a medida que o número de ativos nas carteiras decresce.Também seria importante complementar o estudo com análises baseadas nas característicasdas carteiras otimizadas dado um retorno nos diferentes modelos. Por fim, tem-se comodesafio, desenvolver um método para correção da superestimação da heurística demonstradano artigo de Estrada (2008).ReferênciasANG, J. A note on the E, SL portfolio selection model. Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 10,n. 05, p. 849-857, December, 1975.ASSAF NETO, A. Finanças corporativas e valor. São Paulo: Atlas, 2003.ATHAYDE, G. Building a mean-downside risk portfolio frontier. In: Managing Downside Risk in FinancialMarkets. Edited by F. Sortino and Satchell Eds. Oxford: Butterworth-Heinemann, 2001.BALLESTERO, E. Mean-semivariance efficient frontier: a downside risk model for portfolio selection.Applied Mathematical Finance. Vol. 12, n. 01, p. 1-15, March, 2005BAWA, V.; LINDENBERG, B. Capital market equilibrium in a mean, lower partial moment framework.Journal of Financial Economics. Vol. 5, p. 189-200, 1977.CASSAROTTO FILHO, N.; KOPITTKE, B. H. Análise de investimentos: matemática financeira, engenhariaeconômica, tomada de decisão, estratégia empresarial. 8 ed. São Paulo: Atlas, 1998.CASTRO JUNIOR, F. H. F.; SILVEIRA, H. P. Modelagem das distribuições das taxas de retorno dos índicesIbovespa e S&P 500. Revista de Administração Mackenzie – RAM. Vol. 10, n. 01, jan./fev., 2009.CHEREMUSHKIN, S. V. Why D-CAPM is a big mistake? The incorrectness of the cosemivariance statistics.Working Paper Series. Fevereiro, 2009. Disponível em: <http://ssrn.com/abstract=1336169>. Acesso em:02/03/2010.CHOOBINEH, F. BRANTING, D. A single approximation for semivariance. European Journal of OperacionalResearch. Vol. 27, pag. 364-370, North Holland, 1986. 10
  • 11. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.COSTA, O. L. V.; ASSUNÇÃO, H. G. V. Análise de Risco e Retorno em Investimentos Financeiros. 1. ed. SãoPaulo: Manole, 2005.ELTON, E.; GRUBER, M.; PADBERG, M. Simple criteria for optimal portfolio selection. Journal of Finance.Vol. 31, n. 05, p. 1341-1357, December, 1976.ESTRADA, J. Downside risk in practice. Journal of Applied Corporate Finance. Vol. 18, number 1, Winter,2006.______. Mean-semivariance behavior: downside risk and asset price. International Review of Economics andFinance. Vol. 16, p.p. 169-185, 2007.______. Mean-semivariance optimization: a heuristic approach. Journal of Applied Finance. Vol. 18, n.1,Spring-Summer, 2008.______. Systematic risk in emerging markets: the D-CAPM. Emerging Markets Review. Vol. 3, p.p. 365-379,2002.FORTUNATO, G. X.; MOTTA, L. F. J.; RUSSO, G. Custo de capital próprio em mercados emergentes: umaabordagem empírica no Brasil com o downside risk. Revista de Administração Mackenzie. Vol. 11, n. 1, SãoPaulo, jan./fev., 2010.GROOTVELD, H.; HALLERBACH, W. Variance vs downside risk: is there really that much difference?.European Journal of Operational Research. Vol. 114, p.p. 304-319, 1999.HOGAN, W. W.; WARREN, J. M. Computation of the efficient boundary in the E-S portfolio selection model.Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 7, p.p. 1881-1896, September, 1972.______; ______. Toward the development of an equilibrium capital-market model based on semivariance.Journal of Financial and Quantitative Analysis. Vol. 09, n. 1, p. 1-11, January, 1974.JARROW, R.; ZHAO, F. Downside loss aversion and portfolio management. Management Science. Vol. 52,n.04, April, 2006.KAHNEMAN, D.; TVERSKY, A. An analysis of decision under risk. Econometrica. Vol. 47, n. 02, p. 263-291, March, 1979.LINTNER, J. The valuation of risk assets and the selection of risky investments in stock portfolios and capitalbudgets. Review of Economics and Statistics. Vol. 47, p. 13-37, 1965.LUCENA, P.; FIGUEIREDO, A. C. Prevendo retornos de ações através de movimentos passados: umamodificação no modelo de grinblatt e moskowitz. REAd – Revista Eletronica de Administração. Vol. 14, n. 2,Porto Alegre, mai./ago., 2008.______; MOTTA, L. F. J. Aplicação de um novo modelo de análise de risco na Bovespa: o D-CAPM. REAd –Revista Eletronica de Administração. Vol. 10, n. 5, Porto Alegre, set./out., 2004.LUENBERGER, D. G. Investment Science. New York: Oxford University Press, 1998.MARKOWITZ, H. Portfolio selection. Journal of Finance. Vol. 7, n. 1, p. 77-91, March, 1952.______. Portfolio selection: efficient diversification of investments. New York: John Wiley & Sons, 1959.______; TODD, P.; XU, G.; YAMANE, Y. Computation of mean-semivariance efficient sets by the critical linealgorithm. Annals of Operations Research. Vol. 45, n. 01, p. 307-317, December, 1993.NAWROCKI, D. A comparison of risk measures when used in a simple portfolio selection heuristic. Journal ofBusiness Finance and Accounting. Vol. 10, n. 02, p. 183-194, June, 1983.______; STAPLES, K. A customized LPM risk measure for portfolio analysis. Applied Economics, vol. 21, n.02, p. 205-218, February, 1989.______. A brief history of downside risk measures. Journal of Investing. Vol. 8, p.p. 9-25, Fall, 1999.______; CUMOVA, D. A symmetric LPM model for heuristic mean-semivariance analysis. Journal ofEconomics and Business. Accepted Manuscript. 2010.ROM, B. M., FERGUSON, K.W. Post-modern portfolio theory comes of age. Journal of Investing, p. 11-17,Fall, 1994. 11
  • 12. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.ROMAN, D.; MITRA, G. Portfolio selection models: a review and new directions. Wilmott Journal. Vol 1,Issue 02, p.p. 69-85, April, 2009.ROY, A. D. Safety first and the holding of assets. Econometrica. Vol. 20, n.03, p. 431-449, 1952.SHARPE, W. Capital asset prices: a theory of market equilibrium under conditions of risk. Journal of Finance.Vol. 19, p. 425-442, 1964.SIEGEL, S. Estatística não-paramétrica para ciências do comportamento. São Paulo: McGraw-Hill, 1976.SING, T.; ONG, S. Asset allocation in a downside risk framework. Journal of Real Estate PortfolioManagement. Vol. 6, n.3, p.p. 213-223, 2000.APÊNDICEHogan e Warren (1974) discutem sobre o modelo de precificação de ativos (o CAPM) serbaseado na variância; entretanto, os autores levantam a questão sobre como resultaria omodelo caso a semivariância fosse imposta como a medida de risco. Diante disto, os autoresrevisaram os conceitos da “linha de mercado de capitais”; isto é, a “Fronteira Eficiente”caracterizada pela reta partindo do ponto rf (taxa de retorno do ativo livre de risco)tangenciando a parábola formada da combinação dos ativos de risco.Segundo Hogan e Warren (1974) a linha de mercado de capitais discutida por Sharpe (1964)baseada na variância poderia ser replicada para o caso da semivariância. Deste modo, comobjetivo de conhecer o relacionamento entre a reta e a parábola os pesquisadores combinaramos coeficientes angulares de ambas formando a equação 7 respectivamente:em que;A partir da relação estabelecida é necessário conhecer as derivadas de (7); desta forma para têm-se:Para utilizando a regra da cadeia:Vale ressaltar que ; a respectiva derivação édemonstrada em Hogan e Warren (1972), sendo .Deste modo, o resultado final é: 12
  • 13. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAO Inovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011.O ponto de tangência entre a parábola e a reta deve ocorrer quando , pois éacarteira que tangencia a reta; então ao fazer e combinar (8) e (9) ocorre o seguinte:Ao igualar os respectivos coeficientes angulares e combinar (10) em (7), além de realizaralgumas manipulações:Nesta fase, Hogan e Warren (1974) estabeleceram (11) como (12); após algumasmanipulações é desenvolvida a equação (13):A última equação (13) seria o modelo de precificação quando é considerada como medida derisco a semivariância; a partir desta definição, é possível comparar com os modelos (14) e(15):Desta forma, podem ser visualizadas as seguintes definições: a variância – se torna – a semivariância; a covariância – é redefinida comocosemivariância- .Portanto, ; ao avaliar esta relaçãose percebe a assimetria na matriz de cosemivariâncias . O respectivo modelo foiapresentado por Estrada (2008) como a equação (4): 13
  • 14. XXXI ENCONTRO NACIONAL DE ENGENHARIA DE PRODUCAOInovação Tecnológica e Propriedade Intelectual: Desafios da Engenharia de Produção na Consolidação do Brasil no Cenário Econômico Mundial Belo Horizonte, MG, Brasil, 04 a 07 de outubro de 2011. 14

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