Máquina Síncrona em Regime Transitório após Curto-Circuito

Universidade Nova de Lisboa
Faculdade de Ciências e Tecnologia
Secção de Electrotecnia e Máquinas Eléctricas
Máquina Síncrona em Regime Transitório
após Brusco Curto-Circuito no Estator
por
João Leal Fernandes
Dissertação apresentada na Faculdade de Ciências e Tecnologia da Universidade Nova
de Lisboa para obtenção do grau de Mestre em Engenharia Electrotécnica e de
Computadores.
Orientador científico:
Prof. Doutor Amadeu Leão Rodrigues
Lisboa, 2006

i
Agradecimentos
Quero antes de mais expressar a minha gratidão ao Prof. Doutor Amadeu Leão
Rodrigues pela disponibilidade demonstrada no decorrer do trabalho e todo apoio prestado.
Agradecimento à minha empresa Delphi Automotive Systems – Portugal S.A., por me ter
possibilitado a inscrição no Mestrado de Engenharia Electrotécnica e de Computadores ao
abrigo do protocolo existente entre as duas instituições. De destacar ainda, o facto de a Delphi
ter facilitado a utilização de instrumentação de medida, através da qual foi possível extrair os
elementos fundamentais para a realização deste trabalho.
Agradeço ao Departamento de Engenharia Electrotécnica da Faculdade de Ciências e
Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa o facto de ter tido à disposição as excelentes
condições do Laboratório de Máquinas Eléctricas que foram determinantes para a realização
deste trabalho.
Aos professores que me sensibilizaram para área de Máquinas Eléctricas, no decorrer dos
meus estudos no Instituto Politécnico de Setúbal, Doutor Manuel Gaspar e Doutor Jorge
Esteves.
Finalmente quero agradecer à minha mulher que me soube transmitir uma palavra de
força e coragem para ultrapassar algumas dificuldades encontradas durante o tempo de
elaboração deste trabalho.
J.L.F. – Máquina Síncrona em Regime Transitório 2006

ii
Sumário
Sumário em Português.
A partir das equações de Park pretende-se modelar a máquina de rotor de pólos
salientes com enrolamentos amortecedores e prever o seu funcionamento em regime
transitório.
A dissertação tem como objectivo estabelecer a teoria generalizada da máquina
síncrona em regime transitório e proceder a ensaios laboratoriais a fim de obter as correntes
de curto-circuito trifásico simétrico, difásico e fase-neutro. A partir destes ensaios é possível
obter as constantes de tempo e reactâncias transitórias e subtransitórias do alternador, cujo
conhecimento é importante para o dimensionamento dos disjuntores de protecção do
alternador e toda a carga a jusante.

iii
Abstract
From Park equations is intended to create the machine model of salient pole rotor with
damping windings and to foresee its running in transitory regime.
The objective of the dissertation is to establish the generalized theory of the synchronous
machine in transitory regime and to perform the laboratorial experiments in order to get the
short circuit symmetrical currents, phase to phase and phase to neutral. From these study it is
possible to get the transitory time constants and transitory reactances of the machine.
The knowledge of these constants is very important for the design of the protections of
the alternator.

iv
Dedicatória
Esta dissertação é dedicada à minha mulher e aos meus filhos, que ficaram privados
da minha presença ao longo de muitas horas para que este trabalho pudesse ser uma
realidade.

v
Simbologia e Notações
Lista contendo símbolos e notações usados ao longo da dissertação.
f - frequência da rede. [Hz]
ar - Resistência de dispersão do estator (armadura). [Ω]
fr - Resistência de dispersão do enrolamento do campo (rotor). [Ω]
fu - Tensão de alimentação do enrolamento de campo. [V]
kdr - Resistência do enrolamento amortecedor eixo directo. [Ω]
kqr - Resistência do enrolamento amortecedor eixo quadratura. [Ω]
fX - Reactância do enrolamento de campo [Ω]
X - Reactância Síncrona [Ω]
dX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo directo. [Ω]
dX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo directo. [Ω]
qX - Reactância Síncrona do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]
'
dX - Reactância Transitória do enrolamento do eixo directo. [Ω]
'
qX - Reactância Transitória do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]
''
dX - Reactância Subtransitória do enrolamento do eixo directo. [Ω]
''
qX - Reactância Subtransitória do enrolamento do eixo quadratura. [Ω]
kdX - Reactância do enrolamento amortecedor eixo directo. [Ω]
kqX - Reactância do enrolamento amortecedor eixo quadratura. [Ω]
md mdX L= ω - Resistência de magnetização do eixo directo. [Ω]
mq mqX X= ω - Resistência de magnetização do eixo quadratura. [Ω]
f fX l= ω - Reactância de dispersão do campo (rotor). [Ω]
kd kdX l= ω - Reactância de dispersão do enrolamento amortecedor directo. [Ω]
kq kqX l= ω - Reactância de dispersão do enrolamento amortecedor quadratura. [Ω]
X2 - Reactância de sequência negativa [Ω]
X0 - Reactância de sequência zero [Ω]
aT - Constante de tempo na armadura [s]
'
dT - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em
curto circuito.
[s]
'
d0T - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo
em circuito aberto.
[s]
'
qT - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo quadratura
em curto circuito.
[s]
'
q0T - Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo quadratura
em circuito aberto.
[s]
''
dT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo
em curto circuito.
[s]

vi
''
d0T - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo
em circuito aberto.
[s]
''
qT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo
quadratura em curto circuito.
[s]
''
0qT - Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo
quadratura em circuito aberto.
[s]
kdT - Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo
directo.
[s]
kqT - Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo
quadratura.
[s]
''
dI - Corrente Subtransitória do eixo directo [A]
'
dI - Corrente Transitória do eixo directo [A]
dI - Corrente Síncrona do eixo directo [A]
''
qI - Corrente Subtransitória do eixo quadratura [A]
'
qI - Corrente Transitória do eixo quadratura [A]
qI - Corrente Síncrona do eixo quadratura [A]
nU - Tensão nominal de uma máquina. [V]
nI - Corrente nominal de uma máquina. [A]
P - Potência Activa de uma máquina. [W]
excU - Tensão de excitação de uma máquina. [V]
excI - Corrente de excitação de uma máquina. [A]
cosϕ - Coeficiente de factor de potência.
N - Velocidade de uma máquina em rotações por minuto. [rpm]
f.m.m. - Força magneto-motriz [V]
f.e.m. - Força electro-motriz [V]
P - Permeância magnética [ -1
Ω ]
ϕ - Ângulo de desfasamento entre tensão e corrente [º]
δ - Ângulo de carga de uma máquina [º]
qL - Indutância do enrolamento do eixo quadratura [H]
mdL - Indutância de magnetização do eixo directo [H]
mqL - Indutância de magnetização do eixo quadratura [H]
al - Indutância da armadura do estator [H]
fL - Indutância do enrolamento de campo [H]
kdL - Indutância do enrolamento amortecedor do eixo directo [H]
kqL - Indutância do enrolamento amortecedor do eixo quadratura [H]
Rφ - Fluxo magnético do rotor [Wb]

vii
Índice
Pag.
Capítulo 1 – Breve Descrição Máquina Síncrona Trifásica ......................... 1
1.1 - Constituição da Máquina Síncrona Trifásica.................................................. 1
1.1.1 - Máquina Síncrona com Rotor Cilíndrico................................................. 2
1.1.2 - Máquina Síncrona de Pólos Salientes...................................................... 2
1.2 - Princípio de Funcionamento da Máquina Síncrona........................................ 8
1.2.1 - Equação Vectorial da Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico................. 8
1.2.2 - Equação vectorial da Máquina Síncrona de Rotor de Pólos Salientes..... 13
1.2.3 - Variação da Reactância em Função da Posição do Rotor........................ 14
1.2.4 - Ensaio de Escorregamento para Determinação de Xd e Xq...................... 16
Capítulo 2 – Transformação de Park.................................................................. 19
2.1 - Transformação do Sistema Trifásico em Sistema Bifásico............................. 19
Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona..................................... 23
3.1 – Modelo da Máquina Síncrona de Pólos Salientes.......................................... 23
Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona................................................ 30
4.1 – Significado Físico dos Parâmetros da Máquina Síncrona.............................. 30
4.1.1 - Período Sub-Transitório........................................................................... 30
4.1.2 - Período Transitório................................................................................... 32
4.1.3 - Regime Permanente................................................................................. 32
4.1.4 – Funcionamento do Enrolamento Amortecedor....................................... 33
4.2 – Análise do Modelo da Máquina..................................................................... 34
4.2.1 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Subtransitório..................... 34
4.2.2 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Transitório.......................... 37
4.2.3 - Esquema Eléctrico da Máquina em Regime Permanente........................ 39
Capítulo 5 – Equações da Máquina do Curto-Circuito.................................. 40
5.1 - Equações das Reactâncias............................................................................... 40
5.1.1 – Reactância Síncrona................................................................................ 40
5.1.2 – Reactância Transitória............................................................................. 42
5.1.3 – Reactância Subtransitória........................................................................ 43
5.2 – Equações de Curto-Circuito Simétrico Trifásico em Vazio........................ 44
5.2.1 - Equações das Correntes nas Fases a, b e d.............................................. 45
5.2.2 - Equação da Corrente de Campo............................................................... 52
5.2.3 - Equação do Binário Resistente................................................................ 54
5.3 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase em Vazio............................ 57

viii
5.3.1 - Equações das Correntes nas Fases........................................................... 57
5.3.2 – Equação das Corrente de Campo............................................................. 59
5.4 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Neutro em Vazio........................ 60
5.4.1 - Equações das Correntes na Fase e no Neutro.......................................... 60
5.5 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase-Neutro em Vazio............... 62
5.5.1 – Equações das Correntes nas Fases........................................................... 62
Capítulo 6 – Ensaios Laboratoriais..................................................................... 65
6.1 - Equipamento para o Ensaio no Laboratório................................................... 65
6.1.1 - Bancada de Ensaios................................................................................. 65
6.1.2 - Equipamento de Medida........................................................................ 66
6.2 - Ensaio Experimental para Obtenção das Características em Vazio e Curto-
Circuito....................................................................................................................
67
6.3 - Ensaio em Curto-Circuito Simétrico entre as Três Fases............................... 70
6.3.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito........................... 72
6.4 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Duas Fases............................... 84
6.4.1 –Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito........................... 89
6.5 - Ensaio em Curto-Circuito Assimétrico entre Fase e Neutro ......................... 93
6.5.1 – Simulação de Cálculo das Correntes de Curto-Circuito.......................... 97
Capítulo 7 – Comportamento Dinâmico do Alternador................................. 109
7.1 - Comportamento do Binário durante o Curto-Circuito..................................... 109
7.1.1 – Determinação dos Parâmetros Mecânicos............................................... 110
7.1.2 – Cálculo do Momento de Inércia do rotor................................................. 110
7.1.3 – Métodos para Determinar o Momento de Inércia.................................... 112
Capítulo 8 – Conclusões Finais............................................................................ 114
Capítulo 9 – Trabalho Futuro............................................................................... 115
Capítulo 10 – Bibliografia....................................................................................... 116
Anexos ................................................................................................................. 117
Anexo I – Tabelas de Resultados................................................................ 118
Anexo II – Instrumentação de Medida...................................................... 122
Anexo III – Fotografias da Bancada de Ensaios..................................... 124
Anexo IV – Curto-Circuito Simétrico........................................................ 127
Anexo V – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase................................. 128

ix
Anexo VI – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Neutro........................... 129
Anexo VII – Curto-Circuito Assimétrico Fase-Fase-Neutro............... 130

Capitulo 1 – Breve Descrição da Máquina Síncrona Trifásica 1
Breve Descrição da Máquina
Síncrona Trifásica
Capítulo 1
1.1 - Constituição da máquina síncrona trifásica.
A máquina síncrona trifásica é constituída por três enrolamentos, cujos eixos magnéticos
estão desfasados de 120º eléctricos, que constituem o estator. No seu interior existe o rotor
que produz um fluxo magnético estático criado por um corrente continua (excitação).
Esta máquina como todas as máquinas eléctricas é reversível, isto é fornecendo energia
mecânica ao veio do rotor, colocando-o a rodar com uma velocidade angular ω esta máquina
converte a energia mecânica em energia eléctrica no estator (gerador ou alternador);
alternativamente, alimentando o estator com um sistema trifásico de tensões, fornecendo-
lhe energia eléctrica a máquina converte-a em energia mecânica (motor) que surge no seu
veio.
a) Rotor cilíndrico b) Rotor de pólos salientes
Fig. 1.1 - Máquina de rotor cilíndrico e máquina de rotor de pólos salientes
A máquina síncrona pode ser monofásica ou polifásica, bipolar ou tetrapolar (rotor
cilíndrico) ou multipolar (rotor de pólos salientes). Este trabalho visa o estudo da máquina
síncrona trifásica de pólos salientes e o seu comportamento em regime transitório.
O rotor, ou indutor, é constituído por um enrolamento alimentado por uma fonte de
tensão contínua exterior, equivalendo a um electromagneto. O rotor pode apresentar ainda
duas formas físicas distintas – rotor cilíndrico e rotor de pólos salientes. Como exemplo a
figura 1.1 a) mostra um rotor cilíndrico bipolar onde, o entreferro ao longo da periferia do
estator é constante. A figura 1.1 b) mostra um rotor com quatro pólos salientes, onde o
entreferro da máquina é variável ao longo da periferia do estator.

1.1.1 - Máquina Síncrona com Rotor Cilíndrico
A forma física do rotor irá influenciar bastante as características da máquina.
O rotor cilíndrico é constituído por um núcleo de forma cilíndrica, em regra geral é
forjado ou maciço, onde se abriram propositadamente cavas, axialmente, para encaixar o
enrolamento indutor, tendo normalmente um grande comprimento e um pequeno diâmetro,
menor que um metro nas máquinas de grande potência. As cavas podem ser fechadas por talas
metálicas, em geral de bronze ou outro material não magnético. Assim o enrolamento indutor
resistirá muito bem à força centrífuga. Por conseguinte, a máquina de rotor cilíndrico pode
rodar a altas velocidades porque o seu rotor resiste bem aos esforços centrífugos a que fica
sujeito. Logo é susceptível de ser accionada por uma turbina a vapor que é uma máquina
motriz que trabalha a altas velocidades. Por este motivo a máquina de rotor cilíndrico é
também conhecida por turboalternador.
Fig. 1.2 – Vista em corte de um turbo alternador de 700MVA 50 Hz 3000r.p.m 20KV
Como se pode observar na figura 1.2 este tipo de rotor é feito de uma só peça cilíndrica
ao longo da qual são abertas cavas a receber os enrolamentos do campo indutor.
1.1.2 - Máquina Síncrona de Pólos Salientes
A máquina de pólos salientes deverá rodar a baixas velocidades, é em regra geral
accionada por turbinas hidráulicas que apresentam baixa velocidade, porque caso contrário
devido à configuração dos pólos a força centrifuga atingiria valores que poderiam
comprometer a resistência mecânica da fixação dos terminais polares.
Logo, o rotor de pólos salientes deverá ter um grande número de pólos para gerar f.e.m. à
frequência normalizada de 50 Hz. Tendo um grande número de pólos, tem em geral um
grande diâmetro e pequeno comprimento axial.

A figura 1.3, permite ter uma ideia dos dois tipos de máquina, com a de pólos salientes
em cima e a de rotor cilíndrico em baixo. Os aspectos construtivos mais marcantes podem ser
aqui observados para máquinas com a mesma potência.
Terminais de
saídaNúcleo do
estator
Permutadores
de calor
Base
Enrolamentos
do estator
Excitador
Brushless
Rolamento
de apoioVentoinha
Pólos do
rotor
Veio
Núcleo do
estator
Enrolamentos
do estator
Excitador
Brushless
Fig. 1.3 - Comparação entre máquina de rotor de pólos salientes
e máquina de rotor cilíndrico.

Nas figuras 1.4 e 1.5, podem ser comparados os dois tipos de rotores de máquinas
síncronas, em que na primeira está representado o rotor cilíndrico e na segunda o de pólos
salientes. Tendo o mesmo volume prismático , então as duas máquinas têm
potências equivalentes.
2
2
21
2
1 lDlD =
Fig. 1.4 - Gerador síncrono bipolar de rotor cilíndrico (turboalternador) D1 < l1
D1
l1
l2
D2
Fig. 1.5 - Gerador síncrono hexapolar de rotor de pólos salientes (hidroalternador) D2 > l2
A frequência da f.e.m. gerada no estator está relacionada com a velocidade do rotor
pela seguinte expressão,
f
60
Np
f = (1.1)
onde N é o número de rotações por minuto e p o número de pares de pólos.
Os rotores cilíndricos como estão dimensionados para altas velocidades deverão ter um
pequeno número de pares de pólos, como foi salientado anteriormente. Por outro lado pode

ser observada na figura 1.6, a máquina síncrona de pólos salientes, também conhecida por
hidroalternador, onde a quantidade de pólos é sempre superior podendo ser cinco vezes mais.
Fig. 1.6 - Hidroalterador visto em corte
1 – Cobertura 7 – Rolamento 13 - Travessa
2 - Anel colector 8 – Cruzeta Inferior 14 – Conduta em expiral
3 – Cruzeta superior 9 – Eixo 15 – Turbina
4 – Rotor de pólos Salientes 10 – Aro de regulação 16 – Conduta de Saída
5 – Estator 11 – Cobertura da turbina 17 – Tubo de sucção
6 – Pás de refrigeração 12 – Pá directriz da turbina
Por ser normalmente accionada por uma turbina hidráulica a máquina com pólos salientes
é também conhecida por hidroalternador. Este tipo de hidroalternador é normalmente
instalado em grandes barragens como Castelo de Bode, Alqueva, etc. A figura 1.7 mostra
uma máquina deste tipo vista em corte. Este tipo de máquina possui também uma excitatriz
que é uma máquina de corrente continua que serve para excitar o circuito indutor do rotor
através de dois anéis exterior montados no veio do rotor e obviamente isolados. A corrente de

excitação é injectada através de duas escovas que assentam nos anéis do rotor. A excitatriz
está também directamente acoplada ao mesmo veio do gerador e da turbina. Posto isto, pode-
se passar para a representação esquemática da máquina síncrona representada na figura 1.7.
Fig. 1.7 - Esquema clássico de excitação da máquina síncrona de pólos salientes
A
B C
N
Estator
Rotor
G
Circuito de Carga
Excitatriz
Escova
Aneis
mecP
fI
+
-
A figura 1.7 representa o tipo clássico de excitação dos alternadores de forma
simplificada, os sistemas de excitação que são aplicados industrialmente, são evidentemente
mais complexos e sofisticados, pertencendo ao universo dos Sistemas de Controlo de um
centro produtor de energia. O controlo preciso sobre a corrente de excitação fI permite criar
um fluxo induzido no rotor, adaptativo às condições de carga, estes sistemas fazem parte de
controlo P.I.D.
Estator
Rotor
Fig. 1.8 – Pormenor de construção do estator e do rotor

O estator da máquina síncrona de pólos salientes consiste num núcleo laminado de
chapas de ferro macio empilhadas, com cavas internas, um grupo de enrolamentos trifásicos
distribuídos no estator e alojados nas cavas e uma protecção exterior que o envolve, onde
estão os rolamentos para o eixo do rotor.
O número de voltas dos enrolamentos do estator é igualmente distribuída sobre os pares
de pólos e os eixos das fases, desfasados 2π/3 radianos.
A sua construção está mais vocacionada para aplicações de baixa velocidade onde o rácio
do diâmetro com comprimento do rotor pode ser feito de forma a acomodar o maior número
de pólos. As máquinas síncronas de pólos salientes são frequentemente usadas nos
hidrogeradores para adaptarem a baixa velocidade de funcionamento dos hidrogeradores tal
como se pode observar na figura 1.6.
Na figura 1.9 pode-se observar um exemplo de uma secção em corte do rotor de pólos
salientes com enrolamento amortecedor. Os enrolamentos amortecedores são constituídos por
barras de cobre embutidas em cavas abertas nas peças polares e ligadas todas entre si por
meio de um anel. Resulta assim um enrolamento em gaiola ou em curto-circuito.
Enrolamento
amortecedor
Enrolamento
de excitação
Núcleo
Enrolamento amortecedor
Fig. 1.9 - Rotor de pólos salientes com enrolamento amortecedor
Na figura 1.10 pode observar-se um rotor de pólos salientes com as respectivas barras do
enrolamento amortecedor.
Fig. 1.10 - Perspectiva do rotor com 24 pólos salientes e dos enrolamentos amortecedores

1.2 - Princípio de Funcionamento da Máquina Síncrona
Por simplicidade vai ser considerada a máquina síncrona de rotor cilíndrico por ter um
entreferro constante, a distribuição da densidade de fluxo magnético ao longo da periferia do
rotor, ou do entreferro é sinusoidal. Este campo com o rotor parado é estacionário, semelhante
a um magneto permanente com um pólo norte e um pólo sul.
Quando o rotor for animado com movimento de rotação, o que se observa num
determinado ponto da periferia do estator, ou do entreferro, é um campo magnético de
intensidade variável entre dois máximos de sentidos opostos. Assim estão reunidas as
condições para a formação do campo girante. Este campo girante, vai induzir f.e.m.s nos
enrolamentos do estator. Em vazio as tensões aos terminais têm a forma indicada na figura
1.11.
Quando o rotor estiver parado em relação ao estator, não há variação de fluxo e portanto
não existe f.e.m. induzida, mesmo que o rotor esteja excitado.
Tensão
( )a0u t ( )b0u t
aU
bU
cU
0
Umax
60 120 180 240 300 3600 α = ωt
ωt
( )c0u t
Diagrama vectorial Diagrama temporal
aU
cU
bU
Fig. 1.11 - Representação do sistema trifásico de tensões através do diagrama vectorial e temporal
1.2.1 - Equação Vectorial da Máquina Síncrona de Rotor Cilíndrico
Pretende-se estabelecer uma equação que relacione a tensão U aos terminais da máquina
em função da velocidade angular do rotor, da corrente de excitaçãoω fI e da corrente de
carga I debitada sobre um circuito de utilização uZ . Para isso vai ser considerado o esquema
de ligações simplificado representado na figura 1.12, em que o gerador alimenta uma carga
simétrica uZ . Aplicando a lei geral de indução ao caminho fechado no estator.γ
resulta,
(1.2)( ) 1 1R 1
1 1 1,
t
d d d
E d i r U
dt dt dt
Ψ Ψ Ψ⎛ ⎞
γ = + = − = − +⎜ ⎟
⎝ ⎠∫ E

em que,
A
B C
N
Estator
Rotor
Circuito de Carga
uZ
uZ
uZ
1r
11L
+ -
γ
3i
2i
fi
α rφ
ω
Fig. 1.12 - Máquina síncrona simplificada
1U
1i
1 1R 1Ψ = Ψ + Ψ E é o fluxo total ligado com a fase1 do estator.
1RΨ é o fluxo ligado com a fase 1 produzido pelo rotor.
1EΨ é o fluxo ligado com a fase 1 devido às três correntes do estator.
Quando a máquina está em vazio, as correntes das três fases são nulas, portanto a
expressão é nula. Logo, o termo1E 0Ψ = 1Rd
dt
Ψ
− representa a f.e.m. em vazio do gerador
induzida na fase 1 devido à variação do fluxo produzido pelo movimento do rotor.
O fluxo ligado com a fase 1 produzido pelo rotor vale,
1R R R1I LΨ = +
em que RI é a corrente do rotor e é o coeficiente de auto indução entre o rotor e a fase 1.R1L
Como o rotor está animado de rotação com uma velocidade angular , não é
constante mas terá uma expressão do tipo,
ω R1L
R1 R1max 0cos( )L L= α t+ ω

em que é o ângulo que o eixo magnético do rotor e da fase 1 do estator formam entre si no
instante da origem dos tempos.
0α
1R R R1max 0cos( )I L tΨ = + α + ω (1.3)
Logo a f.e.m induzida no estator devido ao fluxo do rotor é dada por,
1
R R1max 0 0 0sen( ) sen( )
d
I L t E
dt
Ψ
− = ω α + ω = α + ωt (1.4)
resultando uma tensão sinusoidal e de frequência igual à velocidade angular do rotor, da
seguinte forma,
0( ) j t
e t E e ω
= e 0 R R1maE I L x= ω (1.5)
donde se conclui que a amplitude da f.e.m. é proporcional à corrente de excitação0E fI e à
velocidade angularω do rotor. Para manter a frequência constante, o único processo capaz de
variar a f.e.m. da máquina em amplitude é através de variação da corrente de excitação.
Analisado o estator em carga têm-se que 1EΨ é o fluxo ligado com a fase 1 do estator
devido às correntes que percorrem o estator, ou seja
1E 1 11 2 21 3 31i L i L i LΨ = + + (1.6)
Em que e são os coeficientes de indução mútua entre a fase 1 e as fases 2 e 3
respectivamente.
21L 31L
Num sistema trifásico sem neutro existe a seguinte relação de correntes,
1 2 3 0i i i+ + = donde 3 1i i= − − 2i
)
Substituindo em (1.6) resulta,
1E 1 11 2 21 3 31 1 11 31 2 21 31( ) (i L i L i L i L L i L LΨ = + + = − + −
Simplificando,
( )1E 1 11 31i L LΨ = −
Considerando-se que o circuito magnético da máquina é simétrico e , sendo21 31L L= 11L
o coeficiente de indução relativo ao fluxo principal que liga a bobina 1 com a 2 e 3 e oλ
coeficiente de indução relativa ao fluxo de dispersão. Como os eixos magnéticos fazem um
ângulo de 120° entre si,
( ) ( )31 M 11 11
1
cos 120º cos 120º
2
L L l= = = l− (1.7)
A expressão de fica, então1EΨ

1E 1 11 1
3
2
i l i L
⎛ ⎞
Ψ = + λ =⎜ ⎟
⎝ ⎠
Considerando-se 11
3
2
L l= + λ , coeficiente de auto-indução trifásico, a f.e.m. induzida
na fase 1 então devido ao fluxo produzido pelas 3 correntes estatóricas é dado por,
1E 1d d
L
dt dt
Ψ
− = −
i
(1.8)
Suprimindo por comodidade os índices 1 e substituindo as expressão (1.5) e (1.8) na
equação(1.1) resulta,
0R
j t di
i U E e L
dt
ω
+ = −
ou,
R 0
j tdi
U L i E e
dt
ω
+ + = (1.9)
que é uma equação de valores instantâneos onde,
U - é a tensão simples (entre fase e neutro) aos terminais do estator.
di
L
dt
- é uma queda de tensão indutiva devido às correntes que atravessam as três fases do
rotor.
Ri - é a queda de tensão óhmica numa fase do estator.
j t
Ee ω
- é a f.e.m. induzida por fase em vazio devido ao rotor.
Em regime alternado sinusoidal e desprezando a saturação do circuito magnético tem-se,
j t
U Ue
ω
= e
j t
I Ie
ω
=
Substituindo na equação (1.9) resulta a seguinte equação vectorial,
0E U rI j L I= + + ω 0E U rI j L= + + ω I
ou,
( )0E U r jX= + + I (1.10)
11
3
2
X L l
⎛ ⎞
= ω = ω + λ⎜ ⎟
⎝ ⎠
onde 11
3
2
X L l
⎛ ⎞
= ω = ω + λ⎜ ⎟
⎝ ⎠
(1.11)
que se denomina por reactância síncrona.

A equação (1.10) pode traduzir-se pelo esquema da figura 1.13, onde é
a amplitude da f.e.m. induzida no estator .
0 R R1maE I L= ω x
X
Fig. 1.13 – circuito equivalente da máquina síncrona
uZ
Lω r
RI
ω
~RΨ
UcE0E
I
Quando a máquina está em carga, a f.e.m. existente na máquina não é 0E mas sim cE
f.e.m. em carga o fluxo resultante na máquina não é RΨ mas sim,
res R CΨ = Ψ + Ψ
em que C l IΨ = é o fluxo de reacção do estator sobre o rotor, logo da figura 1.13,
c 0E E j L= − ω I (1.12)
ou ainda, pela tensão de saída,
( )0U E r jX I= − + (1.13)
As equações deduzidas anteriormente permitem traçar o diagrama vectorial por fase,
devido a Behn Eschenbourgh, como está representado na figura 1.14 para uma carga uZ
indutiva.
Fig. 1.14 – Diagrama vectorial da máquina síncrona de rotor cilíndrico
ϕ
resΨ
CΨ
I
δ
RΨ
U
rI
CE
0E
j Iωλ
j l Iω
jX I

onde
ϕ - desfasagem
δ - ângulo de carga
X - reactância síncrona
1.2.2 - Equação vectorial da Máquina Síncrona de Rotor de Pólos Salientes
Uma vez que a reactância do estator de uma máquina de pólos salientes varia com a
posição angular do rotor, Blondel resolveu o problema decompondo a reactância ( )X β em
duas componentes dX segundo o eixo directo do rotor e segundo o eixo quadratura, de
acordo com a representação da figura 1.15. O mesmo acontece em relação à corrente I do
estator que se pode decompor em duas componentes
qX
dI e qI tal que d qI I I= + .
Com esta decomposição a equação vectorial de máquina escreve-se,
E d d q0 qE U r I jX I jX I= + + + (1.14)
cujo diagrama de Blondel está representado na figura 1.16. Em termos comparativos
pode-se observar o diagrama de Behn-Eschenbourg representado na figura 1.15 com o de
Blondel onde no cilíndrico e o de pólos salientes onde .dX X= q d qX X>
Como o fluxo do rotor rφ tem a direcção do eixo directo, a f.e.m. 0E , está desfasada
dele de 90º em atraso e portanto situada no eixo quadratura.
Desprezando a resistência do estator em face das reactâncias, o diagrama pode
simplificar-se eliminando os vectores
Er
Er I ,
dEr I e qEr I .
I
dI
dX
qX
qI
Fig. 1.15 – Decomposição das correntes em eixo directo e
quadratura e reactâncias do eixo directo e quadratura

Assim a equação da máquina de pólos salientes em regime permanente, é
0 dd d q qEE U r I jX I jX I jX I= + + + −
ou ainda ,
( )0 d d d qEE U r I jX I j X X I= + + + − d (1.15)
1.2.3 – Variação da Reactância em Função da Posição do Rotor
Numa máquina síncrona de pólos salientes como ilustra a figura 1.17 a reactância dos
enrolamentos varia com a posição angular β do rotor.
qqjX I
( ) dd qj X X I−
ϕ
I
δ
U
ddjX I
0E
(d)
rφ
qjX I
qEr I
θ
dI
qI
dEr I
Er I
(q)
Fig. 1.16 – Diagrama de Blondel de rotor de pólos salientes
Fig. 1.17 – Rotor de pólos salientes
β
Eixo magnético
do enrolamento
Eixo directo
ou quadratura

A figura 1.18 a) mostra o fluxo segundo o eixo directo e a figura 1.18 b) o andamento do
fluxo segundo o eixo quadratura.
(d)
Permeância
Máxima(d)
Permeância
Mínima
(q)
(q)
90º
Fig. 1.18 b) - Eixo quadratura ou transversal
qX , com 90ºβ =
Fig. 1.18 a) – Eixo directo ou
longitudinal dX , com β = 0º
Como se pode observar destas figuras a permeância segundo o eixo directo é maior que a
permeância segundo o eixo quadratura. Então os coeficientes de auto-indução são,
2
d d qL n L n= > =P P2
q logo, .d qX X>
O andamento da reactância dos enrolamentos em função do ângulo β durante uma
rotação completa do rotor está representado na figura 1.19, que apresenta dois ciclos de
rotação do rotor.
0 90º 180º 270º 360º β
dX
Fig. 1.19 – Variação da reactância em função da posição do rotor numa máquina de pólos salientes
( )βX
qX

Define-se por coeficiente de saliência a seguinte relação,
q
d
X
X
α =
que vale para um rotor de pólos salientes. O valor de1α < α representa, o grau de saliência
do rotor, para é o caso da máquina de rotor cilíndrico.1α =
1.2.4 - Ensaio de Escorregamento para Determinação de Xd e Xq
No caso de uma máquina síncrona trifásica, ao aplicar um sistema trifásico de tensões ao
estator cria-se um campo girante que roda à velocidade síncrona. Para determinar bastava
pôr o rotor a rodar (com a excitação desligada) por meio de uma máquina de accionamento à
mesma velocidade angular do campo girante e em fase com ele, como indica a figura
qX
ω
1.20 a).
Medindo a corrente e a tensão, a reactância do eixo directo, viria (desprezando a
resistência).
d
min
U
X
I
=
Para determinar , bastava colocar o eixo directo do rotor em quadratura com o campo
girante, como indica a figura 1.20 b). Desprezando a resistência a reactância quadratura viria
qX
q
max
U
X
I
=
ω
Campo girante
Fig. 1.20 b) – Medição de Xq
Fig. 1.20 a) – Medição de dX
maxIminI
ω
ω
U U
ω
ω

Este ensaio é difícil, senão impossível de pôr em prática porque não se consegue colocar
o rotor rigorosamente em tais condições exactas. Na prática, para contornar esta dificuldade, é
usual fazer o chamado Ensaio de Escorregamento.
O ensaio de escorregamento consiste em aplicar ao estator, por intermédio de um
autotransformador, um sistema trifásico simétrico de tensões reduzidas (na ordem de 20 a
30% da tensão nominal a fim de proteger os enrolamentos da máquina) e com o rotor em
aberto colocá-lo a rodar com uma velocidade muito próxima da do campo girante do estator e
no mesmo sentido.
O esquema de ligações para este ensaio está representado na figura 1.21.
Em seguida poder-se-ia medir a tensão aplicada e a corrente absorvida por meio de um
osciloscópio de dois canais, cujos picos são modulados pela permeância do rotor.
Eventualmente pode também oscilografar-se a f.e.m. induzida no rotor devido à
diferença de velocidades do campo girante do estator e do rotor. O aspecto dos
referidos oscilogramas pode ser observado na figura 1.22.
re
rω− ω
Dos oscilogramas da tensão e da corrente vem,
max
d
min
U
X
I
= min
q
max
U
X
I
=
Máquina de
accionamento
Fig. 1.21 – Esquema de ligações do ensaio de escorregamento
r g ±ω = ω ∆ω
i
u
Saída da imagem da
corrente para Osciloscópio
Saída da tensão
para o
Oscilocópio
Estator
Rotor
re

A ligeira flutuação na envolvente da tensão aplicada é devida à queda de tensão no auto-
transformador motivada pela flutuação da corrente.
Tensão
Simples u
f.e.m.
induzida
re
Eixo Directo Quadratura Directo Quadratura
0 π 2 π
dX
qX
minI maxI
minU Umax
Corrente
na fase i
Fig. 1.22 – Oscilogramas típicos do ensaio de escorregamento

Capitulo 2 – Transformação de Park 19
Transformação de ParkCapítulo 2
2.1 - Transformação do Sistema Trifásico em Sistema Bifásico
O presente capítulo tem por objectivo explicar a conversão do sistema trifásico num
sistema bifásico, onde se irá basear todo o estudo de da máquina síncrona.
A transformação de Park é uma transformação de coordenadas que a partir dos três
enrolamentos a, b e c, desfasados de 120º e rodando com uma velocidade ω em relação ao
referencial (d, q) composto por dois enrolamentos pseudo-estacionários fazendo entre si um
ângulo de 90º como se pode observar na figura 2.1,
Fig. 2.1 - Transformação de Park
ω
(a)
(b)
(c)
(q)
(p)
3
N
3
N
3
N
2
N
2
N
au
ai
bu
bi
cuci
pu
pi
qu
qi
ω
Supondo que os três enrolamentos a, b e c, têm N/3 espiras por fase e os enrolamentos
peseudo-estacionários (d, q) têm N/2 espiras por fase, então temos as condições necessárias e
suficientes para relacionar os dois sistemas que permite considerá-los equivalentes.
De uma forma geral podemos assumir que as correntes ,ai bi e constituem um sistema
trifásico assimétrico que pode ser decomposto em três sistemas, Directo, Inverso e
Homopolar.
ci
A componente homopolar significa que as correntes dos três enrolamentos estão em fase,
sendo a sua equação,
( )0 a b c
3
i i i i
1
= + +
Quando esta corrente percorre os três enrolamentos a, b e c, não produz nenhum campo
no entreferro da máquina, porque está em fase nos três enrolamentos.

A f.m.m. em cada um dos dois referenciais desta forma é dada por,
( )
( )
( )
d a b c
q a b c
0 a b c
2 4
cos cos cos
2 3 3 3 3 3
2
sen sen sen
2 3 3 3 3 3
1
3
N N N N
i i i i
N N N N
i i i i
i i i i
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛
= + − + −⎜ ⎟ ⎜
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
= + +
4 ⎞
⎟
π π
θ θ θ
π π
θ θ θ (2.1)
Simplificando a equação (2.1) obtém-se ainda,
( )
( )
( )
d a b c
q a b c
0 a b c
2 2
cos cos cos
3 3
2 2
sen sen sen
3 3
1
3
i i i i
i i i i
i i i i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
= + +
4
3
4
3
π π
θ θ θ
π π
θ θ θ
que se pode escrever na seguinte forma matricial,
(2.2)
a
b
ci
i
i
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2 2 4
cos( ) cos( ) cos(
3 3 3
2 4
sen( ) sen( ) sen( )
3 3
1 1 1
2 2 2
⎡ ⎤
− −⎢ ⎥
− −
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
Considerando que se trata de um sistema trifásico equilibrado, a corrente homopolar é
nula e por conseguinte,
( ) 0
3
1
cba0 =++= iiii
Assim, as equações relativas ao eixo directo e ao eixo quadratura podem-se representar
na seguinte forma,
( )d a b c
2 2
cos cos cos
3 3
i i i i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛
= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
4
3
⎞
⎟
π π
θ θ θ (2.3)
⎢ ⎥
⎢ ⎥
π π
θ θ θ
π π
θ θ θ
d
q
0
i
i
i
⎡ ⎤
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
⎢ ⎥
⎢ ⎥
di =

( )q a b c
2 2
sen sen sen
3 3
i i i i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
4
3
π π
θ θ θ (2.4)
Multiplicando (2.3) e (2.4) respectivamente por ( )cos θ e ( )sen θ , fica
( ) ( ) ( ) ( )2
d a b c
2 2
cos cos cos cos coscos
3 3
i i i i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛
= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
4
3
⎞
⎟
π π
θ θ θ θ θ θ (2.5)
( ) ( ) ( ) ( )2
q a b c
2 2
sen sen sen sen sensen
3 3
i i i i
⎛ ⎞⎛ ⎞ ⎛
= + − + −⎜ ⎟ ⎜⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎝ ⎠
4
3
⎞
⎟
π π
θ θ θ θ θ θ (2.6)
Somado (2.5) com (2.6) resulta,
a d qcos( ) sen( )i i i= +θ θ (2.7)
Esta relação só é válida quando a corrente homopolar é nula (caso do presente estudo)
O sistema trifásico pode ser representado, pelas três fases i ,a bi e , forma,ci
( ) ( )a d q c
b d q
c d q
cos sen
2 4
cos sen
3 3
2 4
cos sen
3 3
i i i i
i i i i
i i i i
= + +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
θ θ
θ π θ π
θ π θ π
c
c
+
+
(2.8)
Do mesmo modo pela forma matricial é possível representar o sistema de equações em
ordem às três fases a, b e c,
0
cos( ) sen( ) 1
2 4
cos sen 1
3 3
2 4
cos sen 1
3 3
a d
b
c
i i
i i
i i
⎡ ⎤ θ θ ⎡⎡ ⎤
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
θ − θ −⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢⎢
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥θ − θ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣
q
⎤
⎥
⎥
⎥
⎥⎥
⋅ ⎥⎥
⎥
⎥
⎥
⎥
⎦
(2.9)
=

De forma semelhante para as equações das tensões,
d d
q q
0 0
2 42
cos( ) cos cos
3 33
2 4
sen( ) sen sen
3 3
1 1 1
2 2 2
e e
e e
e e
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= − − ⋅⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
θ θ θ
θ θ θ (2.10)⎢ ⎥
⎢ ⎥
(2.17)
a d
b q
c 0
cos(θ) sen(θ) 1
2π 4π
cos θ- sen θ- 1
3 3
2π 4π
cos θ- sen θ- 1
3 3
e e
e e
e e
⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎡ ⎤
⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= ⋅⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦ ⎣ ⎦
=
=
Esta conversão de eixos de trifásico em bifásico, é fundamental para o estudo da
máquina síncrona em regime transitório.

Capítulo 3 – Equações Gerais da Máquina Síncrona 23
Equações Gerais da Máquina SíncronaCapítulo 3
3.1 – Modelo da Máquina Síncrona de Pólos Salientes
Com base na transformação de Park apresentada no capítulo anterior, vão ser deduzidas
as equações da máquina síncrona de pólos salientes com enrolamentos amortecedores em
regime transitório.
A máquina síncrona generalizada é representada na figura 3.1.
ω
(q)
(d)
kdi
kdu
fi
fu
di
du
KD
KQ
Q
D FdfM fkdM
qi qu
qkqM
kqi
kqu
Fig. 3.1. Máquina Síncrona de pólos salientes representada em dois eixos
Desta resulta que se podem extrair as figuras 3.2 e 3.3, que representam respectivamente
os circuitos equivalentes do eixo directo e eixo em quadratura. Estas representações
esquemáticas reflectem os modelos matemáticos da máquina síncrona, para o eixo directo e
em quadratura.
Fig. 3.2 - Circuito equivalente do eixo directo Fig. 3.3- Circuito equivalente do eixo em quadratura
aslqi
kq qi i+ mqsLqsΨ
kqi
kqr
kqsl
dsΨ
asldi
d kd fi i i+ + mdsL
kdi fi
kdsl fsl
fv
kdr
fr
fU

A partir dos esquemas equivalentes do eixo directo e quadratura respectivamente
representados pelas figuras (3.2) e (3.3), passa-se à construção do modelo matemático da
máquina.
Tendo em consideração as indutâncias dos enrolamentos podem-se decompor em,
d md a
f md f
kd md kd
q mq kq
kq mq kq
L L l
L L l
L L l
L L l
L L l
= +
= +
= +
= +
= +
(3.1)
A partir das enrolamentos da máquina síncrona pode escrever-se o seguinte sistema de
equações:
• Para o eixo directo
( )
( )
( ) ( )
f f md f f md kd md d
kd md f kd md kd kd md d
md f md kd md a dd
0
u r L l s i L s i L s i
u L s i r L l s i L s
s L i L i L l i
⎡ ⎤= + + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦
ψ = + + +
i
i
(3.2)
• Para o eixo quadratura
( )
( ) ( )
kd kq mq kq kq md q
mq f mq kq mq a qq
0
s
u r L l s i L s
L i L i L l i
⎡ ⎤= = + + +
⎣ ⎦
ψ = + + +
Resolvendo o sistema de equações do eixo Directo em ordem d ( )I s , vem
(3.3)
f md f md f
md kd md kd
md md d
d
f md f md md
md kd md kd md
md md md a
( ) ( )
( ) 0
( )
( )
( )
( )
r L l s L s u s
L s r L l s
L L s
A
i s
r L l s L s L s B
L s r L l s L s
L L L l
+ +
+ +
Ψ
= =
+ +
+ +
+
f md f md f
md kd md kd
md md d
( ) ( )
( ) 0
( )
r L l s L s u s
L s r L l s
L L s
+ +
+ +
Ψ
O resultado do determinante A do numerador, vale

( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
f f md f md mdd kd d d kd d kd d kd
2 2
md md mdf f fd kd d d kd f kd f kd
s s s s s
s s s s s
A r s l s r s l sr r L r L L
r s s l s v r v r sl l lL L L
= Ψ + Ψ + Ψ + Ψ + Ψ +
+Ψ + Ψ + Ψ − −
(3.4)
Factorizando, obtém-se a equação do determinante A (3.4) simplificada,
( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )[ ]
( )( ) ( )( )[ ]slLrLsLsv
sLslLrslLrA
kdmdkdmd
2
mdf
22
mdkdmdkffmdd f
s
++−+
+−++++Ψ= (3.5)
Voltando a factorizar por forma que a expressão fique do tipo τ= L/R ou seja em ordem à
constante de tempo do enrolamento, resulta
( )
( )
2md f md kd md kd md f f kd
f ld d
f kd f kd
md kd f
1
1 kd
kd
L l L l L l L l l l
A r r s s s
r r r r
l s
L r u s
r
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + + +
= + + + ψ⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
+
(3.6)
Assim sob esta estrutura podem determinar-se algumas das seguintes constantes de tempo
fundamentais:
• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto,
( fmd
ff
fmd'
d01
1
XX
rr
lL
TT +
ω
=
+
== ) (3.7)
• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo em quadratura em circuito
aberto,
( kdmd
kdkd
kdmd'
q02
1
XX
rr
lL
TT +
ω
=
+
== ) (3.8)
• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em circuito aberto,
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
ω
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+==
fmd
fmd
kd
kdfmd
fmd
kd
kd
''
d03
11
XX
XX
X
rLL
lL
l
r
TT (3.9)

• Constante de tempo do enrolamento do eixo amortecedor eixo directo, em circuito
aberto,
kd
kd
kd
kd
kd
r
X
r
l
T
ω
== (3.10)
Substituindo as constantes de tempo em (3.6), obtém-se,
( ) ( ) ( ) svsTrLssTTsTTrrA fkdkdmdd
2
3121ldf 11 +−Ψ
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+++= ( )
(3.11)
ou ainda,
2
akdf
2
mdkdf
2
amdfakdfmdkdf
2
akdmdakdmdakdfmdkdfamdfakdfmdkdf
slllsLllslLlslrlsLrl
sllLslrLsllrsLlrslLrlrrLrrA
+++++
+++++++=
Relativamente ao determinante B, vem
( ) ( )[ ] ( )[ ]
[ ] ( )[ ]slLLrLsLsLsLslLLrLsL
sLslLrslLrlLB
kdmdmdkdmd
2
mdmd
2
mdfmdmdfmdmd
22
kdmdkdfmdfamd
)(
md
+−−+−++−
−−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
+++++=
(3.12)
ou ainda,
2md kd md f md f md kd f kd
f kd d md a
kd f f kd
2 2 2 2
2md md md f md kd
kd f f kd f kd
1
L l L l L l L l l l
B r r L L l s s
r r r r
L L L l L l
s s
r r r r r r
⎡ ⎤⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + +
= + + + +⎢ ⎥⎢ ⎥⎜ ⎟
⎢ ⎥⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎣ ⎦
⎡ ⎤ ⎡ ⎤
− + − +⎢ ⎥ ⎢ ⎥
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦
−
a
(3.13)
Simplificando (3.13) com a substituição de d mdL L l= + , obtém-se,
( ) ( )
md f md a f a md kd md a kd a
f kd d
f md a kd md a
md f md a f a md f a md f kd md a kd f a kd
f kd d
f md a kd md f md a f a
1 1
1
L l L l l l L l L l l l
B r r L s
r L l r L l
L l L l l l L l l L l l L l l l l l
r r L
r L l r L l L l l l
⎡ ⎤⎛ ⎞+ + + +
= + +⎢ ⎥⎜ ⎟
+ +⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
+ + + + +
+
+ + +
+
(3.14)

Como X=ω.L, as constantes de tempo resumem-se às seguintes expressões,
• Constante de tempo transitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito,
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
ω
=
+
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
++
==
amd
amd
amd
amd
famd
afamdfmf
ff
'
4
1111
XX
XX
Xf
rflL
lL
rlL
lllLlL
rr
TT d (3.15)
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
+
ω
=⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
=
+
++
=
amd
amd
k
kdamd
amd
kd
kdamd
akdamdkdmf
kd
5
111
XX
XX
X
rlL
lL
l
rlL
lllLlL
r
T d (3.16)
• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo directo em curto circuito
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
++
+
ωω
==
afamdfmd
afmd
kdkd
''
6
11
XXXXXX
XXX
rr
TT d (3.17)
Logo, (3.14), escreve-se
( ) 2
f kd d 4 5 4 61B r r L T T s T T s⎡= + + +⎣
⎤
⎦ (3.18)
Portanto atendendo a (3.11) e (3.18), a equação (3.3) escreve-se
( ) ( ) ( )
( )
2
f ld 1 2 1 3 d md kd kd f
d 2
f kd d 4 5 4 6
1 ( ) 1
1
r r T T s T T s s L r T s u sA
i
B r r L T T s T T s
⎡ ⎤+ + + Ψ − +
⎣ ⎦= =
⎡ ⎤+ + +
⎣ ⎦
(3.19)
Resolvendo (3.19) em ordem a Ψd(s), fica
( )
( )
( )
( )
( )
2
4 5 4 6 kd md f
d d d 22 f1 2 1 31 2 1 3
1 1 (
11
T T s T T s T s L u s
s L i s
rT T s T T sT T s T T s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ = +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ++ + + ⎣ ⎦⎣ ⎦
)
(3.20)
Após simplificação, (3.20) pode ainda escrever-se
( )d d d
1 1
( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s uΨ = +
ω ω
f s (3.21)
onde,
2
4 5 4 6
d 2
1 2 1 3
1 ( )
( )
1 ( )
T T s T T s
dX s
T T s T T s
+ + +
=
+ + +
X (3.22)

kd md
2
f1 2 1 3
1
( )
1 ( )
T s X
G s
rT T s T T s
+
=
+ + +
(3.23)
Resolvendo o sistema de equações do eixo Directo em ordem , vem,q ( )i s
(3.24)
kd ( )mq kq
mq q
q
kd ( ) mqmq kq
mq mq a
0
( )
( )
L l s
L l s
r
L s C
s
r L s D
L L l
+ +
+ +
Ψ
= =
+
kd ( )mq kq
mq q
0
( )
L l sr
L s
+ +
Ψ
q ( )i s
onde o determinante do numerador,
( )[ )(qkqmqkq sslLrC Ψ++= ] (3.25)
Por outro lado, o determinante do denominador,
kq mq kq a mq a kq mq kq aD r L r l L l s l L s l l s= + + + + (3.26)
Factorizando (3.26), fica
kq mq a mq a mq kq kq a( ) ( )D r L l L l L l l l s= + + + + (3.27)
de modo que a corrente do eixo em quadratura i , escreve-seq ( )s
( )
kq mq kq q
q
kq mq a mq a mq kq kq a
( ) ( )
( )
( )
r L l s sC
i s
D r L l L l L l l l s
⎡ ⎤+ + Ψ⎣ ⎦= =
+ + + +
(3.28)
donde,
( ) ( )
( )
kq mq a mq a mq kq kq a
( ) ( )q q
kq mq kq
r L l L l L l l l s
s i s
r L l s
⎡ ⎤+ + + +
⎣ ⎦Ψ =
⎡ ⎤+
⎣ ⎦
que ainda se pode escrever na forma

mq a
kq
kq mq a
q q
kq mq
kq
1
1
( ) ( )
1
1 ( )
q
L l
l
r L l
s L i s
l L s
r
⎛ ⎞
+ +⎜ ⎟
⎜ ⎟+⎝Ψ =
+ +
⎠ (3.29)
Assim será,
• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em curto
circuito,
mq a mq a''
kq kq
kq mq a kq mq a
1 1
q
L l X X
l XT
r L l r X
⎛ ⎞ ⎛
= + = +⎜ ⎟ ⎜
⎜ ⎟ ⎜+ ω +⎝ ⎠ ⎝ X
⎞
⎟
⎟
⎠
(3.30)
• Constante de tempo subtransitória do enrolamento do eixo quadratura em circuito
aberto,
( ) (''
0 kq mq kq mq
kq kq
1 1
q l L X XT
r r
= + = +
ω
) (3.31)
Substituindo (3.30) e (3.31), em
''
q ''
0
1
( ) ( )
1
q
q
T
s L
T
+
Ψ =
+
q qi s (3.32)
obtém-se,
q q
1
( ) ( ) ( )s X s iΨ =
ω
q s (3.33)
onde,
''
q ''
0
1
( )
1
q
q
sT
qX s
sT
+
=
+
X (3.33)
Foram assim calculadas as reactâncias directas e quadratura, bem como as constantes de
tempo transitórias e subtransitórias.

Capítulo 4 – Constantes da Máquina Síncrona 30
Constantes da Máquina SíncronaCapítulo 4
4.1 – Significado Físico dos Parâmetros da Máquina Síncrona.
Os parâmetros das máquinas que são fornecidos pelos construtores, são em regra geral as
reactâncias, resistências e constantes de tempo que normalmente derivam de medidas feitas ao
enrolamento do estator. O método mais comum para extrair os parâmetros necessários da
máquina, com um grau de confiança elevado é através dos oscilogramas de curto-circuito das
correntes do estator. Este obtém-se quando se aplica um curto-circuito simétrico ao estator
quando este está previamente em vazio e com a corrente de excitação e campo constante.
Em torno da envolvente de corrente contínua, uma porção do curto-circuito tipicamente é
representado por dois períodos de amortecimento distintos. Estes denominam-se por período
sub-transitório e transitório.
O período sub-transitório refere-se aos primeiros ciclos do curto-circuito, quando a
corrente se amortece muito rapidamente, atribuído essencialmente a variações de corrente nos
enrolamentos amortecedores. A taxa de amortecimento de corrente no período transitório é
mais lenta e é atribuída a variações das correntes dos enrolamentos de campo do rotor.
O teorema do fluxo constante é importante para determinar os valores iniciais dos fluxos
transitórios induzidos nos circuitos acoplados. A ligação de fluxos de qualquer circuito
indutivo com uma resistência finita e uma f.e.m. não pode variar instantaneamente. De facto,
se não houver resistência ou f.e.m. no circuito, esse fluxo de ligação permaneceria constante.
O teorema dos fluxos de ligação da constante pode assim ser usado para determinar as
correntes imediatamente depois de uma variação nos seus termos.
Através das figuras que se seguem, é possível observar as distribuições de fluxo numa
máquina síncrona durante o período sub-transitório, transitório e permanente, depois de uma
perturbação no estator.
Assim durante o período vigência destes regimes, o comportamento da máquina passa a
ser descrito em pormenor.
4.1.1 - Período Subtransitório
Significado físico das reactâncias subtransitórias ''
dX e ''
qX
Neste período o enrolamento amortecedor provoca um escudo à penetração do fluxo do
estator. Então as reactâncias ''
dX e do período subtransitório tornam-se mais pequenas do
que as reactâncias relativas ao caso do fluxo penetrar no rotor.
''
qX
O comportamento do curto-circuito no estator com excitação no rotor durante o
período transitório, é equivalente a fazer um curto-circuito no rotor quando se aplica uma
tensão externa no estator. Esta equivalência está representada esquematicamente na figura
(4.1).
fi

fi
EquivalenteReal
~
Fig. 4.1 – Curto-circuito equivalente
Curto circuito no rotorCurto circuito no estator
i
Uc.c.
⇔
c.c.
U
O andamento do fluxo magnético no eixo directo (d) e em quadratura (q) pode ser
observado na figura (4.2).
dK qK
Eixo Directo (d) Eixo Quadratura (q)
Fig. 4.2 - Comportamento do caminho do fluxo durante o período subtransitório
dK representa o enrolamento do eixo directo e o enrolamento do eixo quadratura.qK
Estes enrolamentos aqui representados podem ser observados na figura (3.1).
Eixo Directo Eixo Quadratura
'' '
d d dX X X< < '' '
q q qX X X< ≈
Desta relação conclui-se que .'' ''
q dX X>

4.1.2 - Período Transitório
Significado físico das reactâncias transitórias '
dX e '
qX
À medida que as correntes dos enrolamentos amortecedores se dissipam durante o
período subtransitório, entra-se no período transitório onde as variações de corrente no
enrolamento de excitação reagem da mesma maneira que as correntes nos enrolamentos
amortecedores, mas mais lentamente.
Passado algum tempo após a criação desta barreira pelos enrolamentos amortecedores o
fluxo começa a penetrar no rotor, logo a reactância directa '
dX e quadratura começa a
aumentar. No entanto a penetração do fluxo magnético ao longo do ferro no eixo directo, é
maior do que a do eixo quadratura, logo
'
qX
'
d qX X>
Fig.4.2 - Comportamento do caminho do fluxo durante o período transitório
Eixo Directo Eixo Quadratura
'
q qX X≈'
d d<X X
4.1.3 – Regime Permanente
O regime permanente é alcançado, depois da sequência de perturbação inicial
subtransitória e transitória, o fluxo produzido pelo estator penetra em ambos os enrolamentos,
de campo e amortecedor do rotor.
A última obstrução à passagem do fluxo é a resistência de campo , este por fim acaba
por penetrar totalmente no rotor, chegando-se deste modo ao regime permanente.
fr

Neste caso d qX X> mas .'
q qX X≈
Fig. 4.4 - Comportamento do caminho do fluxo em regime permanente
d qX X>
Analisado o comportamento físico da máquina síncrona quando sujeita ao curto circuito
nos seus três regimes temporais Subtransitório, Transitório e Nominal, passa-se para a
modelação em esquemas eléctricos equivalentes da máquina em vazio e em curto circuito.
A partir desta modelação é possível extrair as constantes de tempo da máquina e
reactâncias, a partir das quais se pode ter uma ideia do seu significado físico.
4.1.4 – Funcionamento do enrolamento amortecedor
Num rotor cilíndrico as oscilações são normalmente amortecidas devido ao atrito com o
ar e nas chumaceiras. Além disso sendo o rotor maciço em ferro forjado a rodar à velocidade
induzem-se nele, durante as oscilações, correntes de Foucault de frequênciaω∆±ω ω∆±
que dão origem a perdas por efeito de Joule na massa do rotor que resultam da variação da
energia cinética. Por isso, o rotor tende a parar de oscilar, ficando a rodar à frequência
síncrona do campo girante.ω
Num rotor de pólos salientes, como é normalmente laminado, há necessidade de
incorporar um enrolamento fechado (enrolamento em curto circuito colocado nas faces
polares do rotor) chamado enrolamento amortecedor como pode ser observado na figura 1.10.

O enrolamento amortecedor tem então as seguintes funções na máquina síncrona de pólos
salientes,
• Amortecer as oscilações do rotor durante um pedido brusco de carga, de forma à
frequência do gerador síncrono variar apenas durante um curto espaço de tempo.
• Eliminar as harmónicas produzidas pelo campo girante por reacção, de acordo com a
lei de Lenz. As harmónicas são devidas à existência de cavas e dentes no estator e à
descontinuidade da f.m.m. do enrolamento do estator.
• Permitir o arranque da máquina síncrona como motor assíncrono. O enrolamento
amortecedor funciona como uma gaiola de esquilo. Quando o motor fica perto do
sincronismo, liga-se a corrente de excitação e o motor entra em sincronismo com a
rede ficando a rodar com uma velocidade constante como motor síncrono.
4.2 – Análise do modelo da máquina
O seguinte desenvolvimento, mostra como se determinam as constantes e equações
fundamentais da máquina, servindo para a simulação experimental das correntes de curto
circuito.
4.2.1 - Esquema Eléctrico do Regime Subtransitório
No regime subtransitório as correntes , , e são diferentes de zero. Logo o
esquema equivalente da máquina síncrona para este regime representa-se pela figura (4.5),
di fi kdi qi
''
dX
aX
mdX
kdr
kdX
fr
fX
Fig. 4.5 - Esquema do eixo directo em regime subtransitório circuito aberto
• Reactância Subtransitória do eixo directo, em circuito aberto
Tendo por base o esquema equivalente do modelo da máquina síncrona passa-se a
determinar a equação da reactância subtransitória do eixo directo,

md kd f''
d a a
kd f md f md kd
md kd f
1
1 1 1
X X X
X XX
X X X X X X
X X X
= + = +
+ ++ +
(4.1)
Do mesmo modo pode-se obter a constante de tempo subtransitória do eixo directo em
circuito aberto.
A reactância onde se baseia esta constante de tempo é a reactância vista do enrolamento
amortecedor directo,
md f''
0 kd kd
kd kd md f
md f
1 1 1
3
1 1d
L l
T X lT
r r
X X
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⎟= = + = +⎜ ⎟
+⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟
⎝ ⎠
L l
ou, simplificando,
md f''
0 kd
kd md f
1
3 d
X X
XT T
r X
⎛ ⎞
= += ⎜
ω +⎝ ⎠X
⎟ (4.2)
''
qX
aX
mqX
kqr
KqX
Fig. 4.6 - Esquema do eixo quadratura em regime subtransitório circuito aberto
Através da análise esquemática é possível determinar a,
• Reactância subtransitória do eixo quadratura, em circuito aberto,
mq kq''
q a a
mq kq
md kq
1
1 1
X X
X XX
X X
X X
= + +
++
(4.3)
• Constante de tempo subtransitória do eixo quadratura, em circuito aberto,

( )'' md kd
q0 md kq
kd kd
1
2
L l
T T X X
r r
+
= = = +
ω
(4.4)
aX
mdX
kdr
kdX
fr
fX
Fig. 4.7 - Esquema do eixo directo em regime subtransitório em curto-circuito
''
kd
kd
md kd f
1 1
6
1 1 1d XT T
r
X X X
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟= +=
ω ⎜ ⎟+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
Simplificando,
md f a''
kd
kd md f md a f a
1
6 d
X X X
T XT
r X X X X X
⎛ ⎞
= = +⎜
ω + +⎝ ⎠X
⎟ (4.5)
aX
mqX
kqr
KqX
Fig. 4.8 - Esquema do eixo quadratura em regime subtransitório em curto-circuito
• Constante de tempo subtransitória do eixo quadratura em curto-circuito,
mq a''
a kq
kd kd mq a
a mq
1 1 1
1 1q
X X
X XT
r r
X X
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⎟= + = +⎜
⎜⎜ ⎟ω ω ⎝ ⎠+⎜ ⎟
⎝ ⎠
X X
⎟
⎟+
(4.6)

4.2.2 - Esquema Eléctrico do Regime Transitório
No regime transitório o fluxo já penetrou no enrolamento amortecedor e está agora a
fazê-lo no enrolamento de campo. Aqui o enrolamento amortecedor já não contribui para o
regime transitório e portanto os esquemas reduzem-se à seguinte forma,
'
dX
aX
mdX
fr
fX
Fig. 4.9 - Esquema do eixo directo em regime transitório circuito aberto
• Reactância transitória do enrolamento do eixo directo, em circuito aberto,
md f'
d a a
md f
md f
1
1 1
X X
X XX
X X
X X
= + = +
++
(4.7)
• Constante e tempo subtransitória do eixo directo em circuito aberto,
( )''
0 f md
f
1
1 dT XT
r
= = +
ω
X (4.8)
A constante e tempo em curto-circuito fica,
aX
mdX
fr
fX
Fig. 4.10 - Esquema do eixo directo em regime transitório curto-circuito

• Constante de tempo subtransitória em curto-circuito,
md a''
f f
f f
a md
1 1 1
1 1d
X X
X XT
r r
X X
⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎛ ⎞
⎜ ⎟= + = +⎜
ω ω⎜ ⎟ ⎝ ⎠+⎜ ⎟
⎝ ⎠
md aX X
⎟
+
q
(4.9)
'
qX
aX
mqX
Fig. 4.11 - Esquema do eixo quadratura em regime transitório circuito aberto
• Reactância transitória do eixo quadratura, em curto-circuito
'
q a mX XX = + (4.10)
• Constante de tempo transitória do eixo quadratura em circuito aberto,
'
0 0qT =
Fig. 4.12 - Esquema do eixo quadratura em regime transitório curto-circuito
mqX
aX
• Constante de tempo transitória do eixo quadratura em curto-circuito,
' 0qT =

4.2.3 - Esquema Eléctrico do Regime Permanente
Em regime permanente não há variação de fluxo através do enrolamento amortecedor
nem pelo enrolamento de campo, logo os esquemas da máquina síncrona reduzem-se da
seguinte forma,
dX
aX
mdX
Fig. 4.13 - Esquema do eixo directo em regime permanente
• Reactância síncrona do enrolamento do eixo directo, em circuito aberto
d a mX X X= + d
mq
(4.11)
• Reactância síncrona do enrolamento do eixo quadratura, em circuito aberto
qX
aX
mqX
Fig. 4.14 - Esquema do eixo quadratura em regime permanente
'
qq aX X XX= = + (4.12)
Este capitulo demonstrou pormenorizadamente o comportamento da máquina perante um
curto-circuito nos três regimes, subtransitório, transitório e permanente, realçando os
enrolamentos amortecedores e o seu comportamento durante a perturbação.
Para cada regime foram também desenvolvidas as equações das reactâncias e constantes
de tempo, recorrendo à representação esquemática da máquina.

Capítulo 5 – Equações do Curto-Circuito 40
Equações do Curto-CircuitoCapítulo 5
Neste capitulo vão ser desenvolvidas as equações das correntes de curto circuito para os
casos do curto-circuito trifásico simétrico, assimétrico fase-fase, assimétrico fase-neutro e
assimétrico fase-fase-neutro.
5.1 - Equações das Reactâncias
Tendo por base a simplificação da equação do fluxo magnético segundo o eixo directo
(3.20) obtida no Capitulo 3,
( )
( )
( )
( )
( )
2
4 5 4 6 kd md f
d d d 22 f1 2 1 31 2 1 3
1 1 (
11
T T s T T s T s L u s
s L i s
rT T s T T sT T s T T s
⎡ ⎤ ⎡ ⎤+ + + +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥Ψ = +
⎢ ⎥ ⎢ ⎥+ + ++ + + ⎣ ⎦⎣ ⎦
)
(3.20)
5.1.1 – Reactância Síncrona
Simplificando a equação (3.22) de 3ª ordem da reactância síncrona do eixo directo
obtém-se,
2' ' ''
d d d
d d 2' ' ''
d0 d0 d0
1
( )
1
s sT T TX s X
s sT T T
+ +
=
+ +
(5.1)
simplificando tendo por base o critério de que as constantes de tempo subtransitórias são
desprezáveis face às transitórias, com a intenção de baixar de ordem, considerou-se que
'
dT T''
d
'
Te T' '
0 0d d
Eliminando na equação (5.1) as constantes de tempo desprezáveis, esta equação pode ser
escrita com uma grande aproximação, obtendo-se assim uma equação de 2ª ordem, mais fácil
de tratar.
( )( )
( )( )
' ''
d d
d d ' '
d0 d0
1 1
( )
1 1
s sT T
X s X
s sT T
+ +
=
+ + '
(5.2)
ou para conveniência de cálculo a reactância d ( )X s pode ser transformada em admitância,
bastando para isso invertê-la,

( )( )
( )( )
' '
d0 d0
' ''
d d d d
1 11 1
( ) 1 1
s sT T
X s X s sT T
+ +
=
+ +
'
(5.3)
expandindo a equação (5.3) em fracções parciais e criando por conveniência as variáveis A e
B vem,
( ) ( )'
d d d d
1 1
( ) 1 1
A B
X s X s sT T
= +
+ + ''
(5.4)
Calculando a variável A a partir de (5.4),
( )( )
( )
( )
( )
(
' ''
d0 d0 '
d'' ''
d dd d
1 11 1
1
1 1
s sT T Bs
s As sT
X Xs sT T
+ +
= + + + +
+ +
)'
d1 T (5.5)
Substituindo o denominador de A da equação (5.5) por '
d
1
s
T
= − vem,
' ''
d0 d0
' ' ' ''
d d d dd
' ' ''' ''
d d d d dd d
' '
d d
1 1
1 1
1 1
1 1
BT T
AT T T TT
X X T T TT T
T T
⎛ ⎞⎛ ⎞
− − −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠⎝ ⎠ = − − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠− −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
simplificado mais,
' ''
d0 d0
' '
d d
'''
d d dd
'
d
1 1
1
0 0
1
T T
'
A AT T
X T TT
T
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ = − + = −
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.6)
Assumindo que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face às
transitórias então,
e
'' '
a aT T '' '
d0 dT T

Tendo em conta esta simplificação e resolvendo (5.6) em ordem a “A” , obtém-se
'
' d0
d '
d d
1 1TA T
dX XT
⎛ ⎞
= −⎜
⎝
⎟
⎠
(5.7)
5.1.2 – Reactância Transitória
Tendo por base e a reactância transitória do eixo directo, deduzida no capítulo o anterior,
' md f
d a a
md f
md f
1
1 1
X X
X X X
X X
X X
= + = +
++
pode-se estabelecer também a seguinte equivalência,
'
' d
d d '
d0
TX X
T
= (5.8)
por conseguinte substituindo a equação (5.8) na (5.7) obtém-se finalmente a equação da
variável A,
'
d '
dd
1 1
A T
XX
⎛ ⎞
= −⎜
⎜
⎝ ⎠
⎟
⎟
(5.9)
Calculando a variável B,
( )( )
( )( )
( ) ( )( )( )
'''
d0 d0 '' '' ''
d d d''''d d dd d
1 11 1
1 1 1
11 1
s T sT As
T s T s T s Bs
X X ss T s TT
+ +
+ = + + +
++ +
Substituindo o denominador de B por ''
d
1
s
T
= − vem,
' ''
d0 d0
'' ''
d d
'''
d dd
''
d
1 1
1
0 0
1
T T
BT T
X TT
T
⎛ ⎞⎛ ⎞
− −⎜ ⎟⎜ ⎟
⎝ ⎠⎝ ⎠ = + −
⎛ ⎞
−⎜ ⎟
⎝ ⎠

Assumindo novamente que as constantes de tempo subtransitórias são desprezáveis face
às transitórias , , a equação pode pode-se escrever,' '
d0 dT T ' ''
d
'' ''
d0 dT T> '
dT T
'' ' ' ''
d d0 d0 d0
' ' ''
d d d d
T T T TB
X T T T
⎛ ⎞
− = −⎜ ⎟
⎝ ⎠
Após simplificação a equação de variável B fica,
' '' ''
d0 d0 d0''
d ' '' '
d dd d d
1 1T T TB T
X XT T T
⎛ ⎞
= +⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.10)
5.1.3 – Reactância Subtransitória
Tendo por base a reactância subtransitória do eixo directo, deduzida no capítulo anterior,
md kd f''
d a a
kd f md f md kd
md kd f
1
1 1 1
X X X
X XX
X X X X X X
X X X
= + = +
+ ++ +
(5.11)
Através da equação (5.11) pode-se estabelecer também a seguinte equivalência,
' ''
'' d d
d d ' ''
d0 d0
T TX X
T T
= (5.12)
substituindo (5.12) em (5.11) obtém-se finalmente B,
''
d '' '
d d
1 1
B T
X X
⎛ ⎞
= −⎜
⎜
⎝ ⎠
⎟
⎟
(5.13)
Revistando a equação da admitância (5.3) e substituindo as variáveis "A" representada na
equação (5.9) e B representada na equação (5.13), obtém-se a admitância operacional da
máquina síncrona para o eixo directo,
'''
d d
' ' '' '
d d d dd d
1 1 1 1 1 1
( ) 1 1
T ssT
X s X X s ''
d dX X X TT
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s
(5.14)

A admitância para o eixo em quadratura obtém-se directamente invertendo a equação
(3.34),
''
q ''
0
1
( )
1
q
q
sT
qX s
sT
+
=
+
X (3.34)
Simplificando (3.34) sob a forma de admitância, obtém-se,
( )
( )
''
q0
''
q qq
11
( ) 1
sT 1
X s XsT
+
=
+
(5.15)
Finalmente e através de todo este desenvolvimento matemático foram alcançadas as
admitâncias
d
1
( )X s
e
q
1
( )X s
, que vão ser integradas nas equações das correntes de curto-
circuito.
5.2 - Equações Curto-Circuito Simétrico Trifásico em Vazio
A maior parte das falhas que ocorrem nos sistemas de distribuição de energia são não
simétricos entre fases. No entanto, a falha simétrica é importante porque, apesar ser rara é
mais grave porque desencadeia correntes mais elevadas de curto-circuito e provocaria
instabilidade no funcionamento da máquina, colocando-a em situações excepcionais de risco
para a sua integridade.
Além disso o curto-circuito simétrico é a condição mais simples de analisar e é o ponto
de partida para o estudo de qualquer tipo de falhas num sistema de potência. O ensaio de
curto-circuito simétrico de um gerador em vazio permite ainda calcular as características
transitórias da máquina, tais como constantes de tempo e reactâncias transitórias, que foram
desenvolvidas no item anterior.
Fig. 5.1 - Esquema do curto-circuito franco às três fases
A
B C
N
Estator
Rotor
fI
ai
ci
bi
A
B C
N
Estator
Rotor
fI
ai
ci
bi

5.2.1 - Equações das correntes nas Fases a, b e d
Considerando-se um alternador em vazio e que o brusco curto-circuito simétrico se dá no
instante inicial t=0, sendo λ o ângulo entre o eixo da fase “a” e o eixo directo no instante de
curto-circuito. Então, assumindo que a velocidade do alternador se mantém constante durante
todo o curto-circuito com a velocidade angular ω, o ângulo de fase é dado por, .tθ = ω + λ
Sabendo-se que a tensão instantânea da fase “a” em função das tensões do eixo directo e
tensão do eixo em quadratura é dada por,
a d qcos( ) ( )u u u sen= θ + θ
e substituindo , vem,tθ = ω + λ
a d qcos( ) ( )u u t u sen t= ω + λ + ω + λ (5.16)
A partir da observação dos circuitos equivalentes do eixo directo e do eixo quadratura
representados respectivamente pelas figuras (3.2) e (3.3), podem-se extrair as equações (5.17)
e (5.18).
Fig. 3.2 - Circuito equivalente do eixo directo
dsΨ
asldi
d kd fi i i+ + mdsL
kdi fi
kdsl fsl
fv
kdr
fr
fu
aslqi
kq qi i+ mqsLqsΨ
kqi
kqr
kqsl
Fig. 3.3 - Circuito equivalente do eixo em quadratura

Por se tratar de curto-circuito simétrico a tensão do eixo quadratura e do eixo directo no
instante inicial U0=0 são dadas por,
d d q d a d q d a
q d q q a d q
d
u i r s
dt
d
u i r
dt
= Ψ + ωΨ + = Ψ + ωΨ +
= −ωΨ + Ψ + = −ωΨ + Ψ + q a
i r
s i r
d
(5.17)
Onde,
( )
( )
d md f md kd md a
q md kq mq a q
L i L i L l i
L i L l i
Ψ = + + +
Ψ = + +
(5.18)
Estando o alternador em vazio, quando surge um curto-circuito, as condições iniciais
antes do curto-circuito são as seguintes,
d 0i = kd 0i = d0 0i = kd0 0i =
q 0i = kq 0i = kq0 0i = kq0 0i =
d0 0u = f Constanteu =
f
q0 md f0 md max0 q
f
u
u L i X E
r
= −ω = − = = u (valor de pico)
Desta forma o sistema trifásico de tensões iniciais aos terminais do alternador, antes do
curto-circuito pode ser observada na figura 1.12 respeitando o andamento temporal das
equações (5.19)
( )
( )
( )
a0 q
b0 q
c0 q
sen( )
2
sen( )
3
4
sen( )
3
u t u t
u t u t
u t u t
= ω + λ
π
= ω −
π
= ω −
(5.19)
Usando o princípio da sobreposição, desprezando a saturação do ferro, os valores finais
resultam assim da soma dos valores antes do curto-circuito, mais os valores das variações
durante o curto-circuito, estas condições estão representadas pelas equações (5.20).

'
d d0
'
q q0
'
d d0 d
'
q q0 q
u u u
u u u
i i i
i i i
= +
= +
= +
= +
d
q
q a
s i r
U s i r
= Ψ + ωΨ +
= −ωΨ + Ψ +
(5.20)
Substituindo as variáveis pelos respectivos valores iniciais, acham-se as equações que
definem as condições iniciais,
' '
d d
' '
q0 q q q0
' '
d d d d
' '
q q q q
' '
f f0 f f
0 0 0
0
0
0
0
u u
u u u u
i i i i
i i i i
u u u u
= + ⇒ =
= + ⇒ = −
= + ⇒ =
= + ⇒ =
= + ⇒ =
Aplicando as condições iniciais antes do curto-circuito na equação (5.17), obtém-se,
' ' '
d q d a
' ' '
q d q
0
(5.21)
por conseguinte as variações dos fluxos são:
• antes do curto-circuito,
( )d d d
1 1
( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s u sΨ = +
ω ω
f
(5.22)
( )q q
1
( ) ( )s X s iΨ =
ω
q s
=
• depois do curto-circuito,
'
f 0u
( )' ' '
d d f d dd
1 1 1
( ) ( ) ( ) ( ) ( )s X s i s G s u X s i sΨ = + =
ω ω ω
'
(5.23)
( )'
q q q
1
( ) ( )s X s iΨ =
ω
'
s

mantendo-se a tensão de excitação constante e substituindo (5.22) e (5.23) em (5.21),
' ' '
d d q d aq
q ' ' ' ' ' '
d q q a d d q qq
0 ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
s
X s i s X s i s i r
a
s
s i r X s i s X s i s i r
= + +
ω
= −ωΨ + Ψ + = − −
ω
U
s
(5.24)
ou ainda factorizando (5.24),
' '
a d d q q
q ' '
d d a q q
0 ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
s
r X s i s X s i s
U s
( )
X s i s r X s i s
s
⎛ ⎞
= + +⎜ ⎟
ω⎝ ⎠
⎛ ⎞
= − +⎜ ⎟
ω⎝ ⎠
(5.25)
Resolvendo o sistema de equações (5.25) em ordem a e i obtém - se,'
d ( )i s q( )s
2 2
q 2 2 'a d
a d2
d q d q
2 2
q q2 2 'a
a q2 2
d q d q a
d
( )1 1
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )1 1
( )
( ) ( ) ( ) ( )
( )
U r X s
s s r i s
s X s X s X s X s
U Xr
s s r i
s X s X s X s X s r
s
X s
⎡ ⎤⎛ ⎞ ω
⎢ ⎥= + ω + ω + +⎜ ⎟
⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞ ω
⎢ ⎥= − + ω + ω + +⎜ ⎟
⎜ ⎟ ω⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ω +
s
s
(5.26)
Tendo em consideração que a resistência da armadura é ra << Xd, podem-se desprezar os
termos . Também por aproximação reduzem-se2
ar d( )X s e às reactâncias
subtransitórias
q( )X s
''
dX e ''
qX , ficando por aproximação,
''
q 2 2 'd
a d'' '' 2
d q
''
q q2 2 '
a q'' ''
d q
1 1
( )
1 1
( )
U X
s s r i
s X X
U X
s s r i
s sX X
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟= + ω + ω +
⎜ ⎟⎢ ⎥ ω⎝ ⎠⎣ ⎦
⎡ ⎤⎛ ⎞
⎢ ⎥⎜ ⎟= − + ω + ω +
⎜ ⎟ ω⎢ ⎥
⎝ ⎠⎣ ⎦
s
s
(5.27)

Fazendo com que a constante de tempo da armadura seja,
a
a '' ''
d q
1 1
2
r
T
1
X X
⎛ ⎞ω
⎜ ⎟= = +
⎜ ⎟α
⎝ ⎠
por conseguinte (5.27) pode escrever-se sob a forma de equação de transferência de segunda
ordem,
( )
( )
''
q 2 2 'd
d2
''
q q2 2
q
2 (
2 (
U X
s s i s
s
U X
s s i
s s
= + α + ω
ω
= − + α + ω
ω
'
)
)s
s
(5.28)
ou ainda, resolvendo em ordem a i e ,vemd( ) q( )i s
( )
( )
2
q'
d d ''2 2
d
q'
q q ''2 2
q
1
( ) ( )
2
1
( ) ( )
- 2
U
i s i s
sXs s
Us
i s i s
sXs s
ω
= =
+ α + ω
ω
= =
+ α + ω
(5.29)
Substituindo (5.14) e (5.15) que representam respectivamente as admitâncias do eixo
directo e do eixo quadratura em (5.29),
' '
d
'' '' ' ' '' ' ''
d dd d d d d d
1 1 1 1 1 1 1
( ) 1 1
T s T s
X s X
'
d
dX X X T s X X T
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= = + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ s
(5.14)
( )
( )
''
q0
'' ''''
qq qq
11 1
( ) 1
T s
X s
1
X XT s
+
= =
+
(5.15)
obtém-se as equações de transferencia finais de i e .d( )s q( )i s

( )( )
' '2
q q q q qd d
d ' ' '' '2 2
d dd d d d
( )
1 12
U U U U UT s T s
i s
X X
'
''
dX T s X X T ss s s
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ω
⎢ ⎥= + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ +⎢ ⎥+ α + ω + β ⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
(5.30)
( )
( )
''
q0 q
q 2 2 ''
qq
1
( )
2 1
T s Us
i s
s s XT s
⎡ ⎤+− ω ⎢=
⎢+ α + ω +⎢ ⎥⎣ ⎦
''
⎥
⎥
(5.31)
Fazendo a transformada inversa de Laplace de (4.30) e (4.31) obtém-se,
( )
' ''q q q q q qd d a
d ' '' ' ''
d dd d d q
( ) cos
t t t
T T TU U U U U U
i t e e e t
X XX X X X
− − −
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥
= + − + − −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
ω (5.32)
(q a
q ''
q
( ) sen
t
TU
i t e t
X
−
= − ω ) (5.33)
Sabendo que a corrente em cada fase é dada por (3.14),
( ) ( )a d q c
b d q
c d q
cos sen
2 4
cos sen
3 3
2 4
cos sen
3 3
i i i i
i i i i
i i i i
= θ + θ +
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= θ − π + θ − π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
= θ − π + θ − π +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
c
c
t
(3.14)
A corrente i fica,a ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
' ''q q q q qd d
a ' '' '
d dd d d
q qa a
'' ''
q q
( ) cos
cos cos sen sen
t t
T T
t t
T T
U U U U U
i t e e t
X XX X X
U U
e t t e t t
X X
− −
− −
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥
= + − + − ω + λ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
− ω ω + λ − ω ω +
−
λ
(5.34)

A segunda parcela de (5.34),
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2a
q '' ''
d d
1 1
sen cos cos sen sen
t
T
U e t t t
X X
− ⎡ ⎤
− ω λ − ω ω⎢ ⎥
⎢ ⎥⎣ ⎦
λ
pode simplificar-se recorrendo às seguintes relações trigonométricas,
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 2
2 2
cos 1 sen
sen 1 cos
1
cos sen sen 2
2
t t
t t
t t
ω = − ω
ω = − ω
ω ω = ωt
e escreve-se,
( ) ( )
'' '' '' ''
q d q q d qa a
'' '' '' ''
d q d q
cos cos 2
2 2
t t
T TU X X U X X
e e
X X X X
− −+ +
− λ − tω + λ (5.35)
donde se podem retirar as constantes Xm e Xn,
( )'' ''
d q
m '' ''
d q
2 X X
X
X X
+
=
+
( )'' ''
d q
n '' ''
d q
2 X X
X
X X
+
=
−
(5.36)
Logo as equações de curto-circuito para as outras duas fases, i e i , escrevem-se:b( )t tc( )
• para a fase B
' ''q q q q qd d
b ' '' '
d dd d d
q qa a
m n
2
( ) cos
3
2 2
cos cos 2
3 3
t t
T T
t t
T T
V V V V V
i t e e t
X XX X X
V V
e e t
X X
− −
− −
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞
= + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎛ ⎞
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟
− λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
(5.37)

• para a fase C
' ''q q q q qd d
c ' '' '
d dd d d
q qa a
m n
4
( ) cos
3
4 4
cos cos 2
3 3
t t
T T
t t
T T
V V V V V
i t e e t
X XX X X
V V
e e t
X X
− −
− −
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥ π⎛ ⎞
= + − + − ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎛ ⎞
π π⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎜ ⎟
− λ − + ω + λ −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎜ ⎟
⎝ ⎠
−
i
(5.38)
5.2.2 - Equação da Corrente de Campo
As equações da corrente de campo da máquina antes do curto-circuito ou seja em regime
permanente, são da seguinte forma,
f f f
d a d q q
q md f d d a q
u r i
u r i X i
u X i X i r
=
= +
= − + +
(5.39)
Antes do curto-circuito, o gerador considera-se em vazio e por conseguinte,
d q 0i i= = logo,
q0 q
f0
md md
U U
i
X X
= − = −
A corrente de campo , obtém-se impondo à corrente i antes do curto-circuito a
corrente i , representando-se da seguinte forma,
fi f0
'
f
'
f f0i i i= + f (5.40)
Durante o curto-circuito relação entre e i pode obter-se a partir do seguinte sistema
de equações,
'
fi '
d

( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
' ' '
f f md f f md kd md d
' ' ' '
kd md f kd md kd md dkd
0
0
U r L l s i s L i s s L i s s
U L i s s r L l s i s L i
⎡ ⎤= = + + + +⎣ ⎦
⎡ ⎤= = + + + +
⎣ ⎦
'
s s
(5.41)
Visando a simplificação do sistema anterior, inicia-se o processo eliminando , entre
as duas equações vem,
'
kd ( )i s
( ) ( ) ( ) ( ) ( )2 2 ' '
f md f kd md md f md kd dkd kd
0r L l s r L l s L s i s L s r l s i s⎡ ⎤⎡ ⎤⎡ ⎤+ + + + − + + =⎣ ⎦⎢ ⎥⎣ ⎦⎣ ⎦
(5.42)
Substituindo em (3.42) o valor de já calculado anteriormente, obtém-se,( )'
di s
( )
2
q'
d 2 2
d
1
( )
( )2
U
i s
X s ss s
ω
=
+ α + ω
simplificando,
( )( )
( )( ) ( )
' '' 2d0 d0 q'
d ' '' 2 2
dd d
1 1 1
( )
( )1 1 2
T s T s U
i s
X s sT s T s s s
+ + ω
=
+ + + α + ω
(5.43)
a corrente de campo vem,
( )
( )( )
( )md kd' '
f d' ''
f d0 d
1
( )
1 1
L s T s
i s i s
r T s T s
+
=
+ +
simplificando,
( )
( )( )( )
2
qkd' md
f ' '' 2 2
d fd0 d
1 1
( )
1 1 2
VT s X
i s
X r sT s T s s s
+ ω
=
+ + + α + ω
(5.44)
Expandindo a equação (5.44) em fracções parciais, a transformada inversa de Laplace
vem,

( )
' ''q md' kd kdd d a
f ' '' ''
d f d d d
( ) 1 cos
t t t
T T TU X T T
i t e e e t
T r X T T
− − −
⎡ ⎤
⎛ ⎞⎢ ⎥
= − − − − ω⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ω ⎢ ⎥⎝ ⎠
⎣ ⎦
(5.45)
Simplificando a primeira metade de (5.45),
2 ' '
q md f0 md d0 d d d
f0 f0' ' '
d f d d f d d d
U X i X T T X X
i i
T r X T r X T X
− −
− = = =
ω ω
'
'
visto que,
( )
( )
' ' md a
d0 d f md f
f f md
md a md a
f md f
f md a f
2
md md
d a
f d f d
1 1
1
1
X X
T T X X X
r r X
X X X X
X X X
r X X r
X X
X X
r X r X
⎛ ⎞
− = + − −⎜ ⎟
ω ω +⎝ ⎠
⎛ ⎞
+ − − = −⎜ ⎟
ω + ω⎝ ⎠
− =
ω ω
a
d
X
X
=
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎝ ⎠
fConsequentemente a corrente de campo total depois do curto-circuito, é, '
f f0i i i= +
( )
' ' ''
d d kd kdd d a
f f0 f0 ' '' ''
d d d
( ) 1 cos
t t t
T T TX X T T
i t i i e e e t
X T T
− − −
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−
= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
(5.46)
5.2.3 - Equação do Binário Resistente
O binário resistente oferecido pelo gerador durante o curto-circuito é dado por ,
( ) ( )md f md kd md a d q mq kq mq a q dT L i L i L l i i L i L l i i⎡ ⎤⎡ ⎤= + + + − + +⎣ ⎦ ⎣ ⎦
(5.47)
Simplificando (5.47) obtém-se,
d q q dT i= Ψ − Ψ i
Sendo este binário resistente por unidade de velocidade (1 rad/s). Para a velocidade ω,
obtém-se,

( )d q q dT i= ω Ψ − Ψ i
d
Onde o fluxo por eixo é dado por,
( )
( )
d md f md kd md a
q mq kq md a q
L i L i L l i
L i L l i
Ψ = + + +
Ψ = + +
Antes do curto-circuito, existem as seguintes condições iniciais,
d0 q0 0i i= =
logo,
q
f0i
md
q
d0 md f0
q0 0
U
X
U
L i
= −
Ψ = = −
ω
Ψ =
Depois do curto-circuito, os valores dos fluxos são,
q' '
d d0 d
' '
q q0 q q
U
Ψ = Ψ + Ψ = − + Ψ
ω
Ψ = Ψ + Ψ = Ψ
d
Como já foi visto anteriormente, a equação de transferência de segunda ordem, é
( )
' 'd
d d 2 2
( ) 1
( ) ( )
2
X s
s i s
ss s
ω
Ψ = =
ω + α + ω
qU
Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se,
( )q' a
d( ) 1 cos
t
TU
t e
−⎡ ⎤
⎢ ⎥Ψ = − ω⎢ ⎥ω
⎢ ⎥⎣ ⎦
t

Simplificando,
(q a
d( ) cos
t
TU
t e
−
Ψ = − ω
ω
)t (5.48)
Da mesma forma para o eixo quadratura obtém-se,
( )
q' '
q q 2 2
( )
( ) ( )
2
X s
s i s
s s
ω
Ψ = =
ω + α + ω
qU
Aplicando a transformada inversa de Laplace obtém-se,
( )q' a
q( ) sen
t
TU
t e
−
Ψ = − ω
ω
t
Simplificando,
( )q a
q( ) sen
t
TU
t e
−
Ψ = − ω
ω
t
i
(5.49)
A combinação dos fluxos Ψd e Ψq , que variam sinusoidalmente, dão origem a um fluxo
girante de velocidade ω que é estacionário em relação à armadura. Mas a sua amplitude
amortece-se com a constante de tempo .at
Atendendo às equações (5.32) e (5.33) desenvolvidas anteriormente e substituído-as em,
( )d q q dT i= ω Ψ − Ψ
Obtém-se a equação final do binário,
( )
( )
' 'T T2 a d
q ' ' '' '
dd d d d
2
q a
'' ''
d q
1 1 1 1 1
( ) sen
1 1
sen 2
4
t tt
T
t
T
T t U e t e e
XX X X X
U
e t
X X
− −−
−
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥
= ω + − + −⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎣ ⎦
⎛ ⎞
⎜ ⎟+ ω −
⎜ ⎟
⎝ ⎠
'
d +
(5.50)

5.3 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase em Vazio
Fig. 5.2 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase
A
B C
N
Estator
Rotor
fI
ci
bi
c bi i= −
a 0i =A
B C
N
Estator
Rotor
fI
ci
bi
c bi i= −
a 0i =
5.3.1 - Equações das Correntes nas Fases
Este tipo de curto-circuito tem muitas semelhanças com o Fase-Neutro, o que os
diferencia é que o curto-circuito Fase-Neutro envolve também as impedâncias de sequência
de fase zero da máquina e qualquer impedância ligada entre o neutro e a terra, se o curto-
circuito se der entre a fase e a terra.
Para o curto-circuito entre as fases “B” e “C” têm-se as seguintes condições,
(5.51)
b c
b c
a
0
0
0
e e
i i
i
− =
+ =
=
Se a resistência da armadura for desprezada e os fluxos de ligação das fases a e b forem
mantidos constantes nos seus valores iniciais tem-se,
b c b0Ψ − Ψ = Ψ − Ψc0 (5.52)
Se o ângulo da máquina no qual ocorre o curto-circuito for λ então,
b0 d0 q0
c0 d0 q0
cos( 120°) sen( 120°)
cos( 120°) sen( 120°)
Ψ = Ψ λ − − Ψ λ −
Ψ = Ψ λ − − Ψ λ −

ou,
b0 c0 d0 q03( sen( ) cos( ))Ψ − Ψ = Ψ λ + Ψ λ (5.53)
Usando as equações de transformação das correntes obtidas na matriz (2.15) e tensões
obtidas em (2.17), são obtidas as seguintes relações,
d q
d q
0
sen( ) cos( ) 0
cos( ) sen( ) 0
0
e t e t
i t i t
i
ω + λ + ω + λ =
ω + λ + ω + λ =
=
(5.54)
As equações obtidas em (5.54) juntamente com simplificações já desenvolvidas para o
curto-circuito trifásico simétrico, deram origem à seguinte equação para o curto-circuito
trifásico assimétrico para a fase B,
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( )( ) ( ) ( )
'
d f-f
b q 'f-f
d 2 d 2d 2f-f
''
d f-f
'' '
d 2 d 2f-f f-f
aq f-f
0 12
1 1 1
( ) 3
1 1
3 sen( ) 1
sen (2 1) cos(2 )
2
t
T
t
T
t
T
n n
n n
i t U e
X X X XX X
e
X X X X
U
b n t b n t e
X
−
−
−
∞ ∞
= =
⎡
⎢ ⎛ ⎞
⎢ ⎜ ⎟
= + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢
⎝ ⎠⎢
⎣
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ − ×⎜ ⎟
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
λ ⎛ ⎞
× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.55)

para a fase C,
( )
( )
( )
( ) ( )
( )
( ) ( ) ( ) ( )
'
d f-f
c q 'f-f
d 2 d 2d 2f-f
''
d f-f
'' '
d 2 d 2f-f f-f
aq f-f
0 12
1 1 1
( ) 3
1 1
3 sen( ) 1
sen (2 1)( t) cos(2 t)
2
t
T
t
T
t
T
n n
n n
i t U e
X X X XX X
e
X X X X
U
b n b n e
X
−
−
−
∞ ∞
= =
⎡
⎢ ⎛ ⎞
⎢ ⎜ ⎟
= − + − +⎢ ⎜ ⎟+ ++⎜ ⎟⎢
⎝ ⎠⎢
⎣
⎛ ⎞
⎜ ⎟
+ − ×⎜ ⎟
+ +⎜ ⎟
⎝ ⎠
λ ⎛ ⎞
× − − ω + + − ω∑ ∑⎜ ⎟
⎝ ⎠
(5.56)
5.3.2 – Equação da Corrente de Campo
Para a corrente de excitação,
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
' '
d d ''d af-f f-f f-fkd kdd
f f0 f0 ' '' ''f-f
d d df-f f-f f-f
( ) 1 cos
t tt
T T
T
X X
T T
i t i i e e e t
X T T
− −−
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦
(5.57)
As constantes das equações (5.56) e (5.57) são dadas por,
( ) ( )
'' ''
d qf-f f-f
2X X X=
( ) ( )
( ) ( )
'' ''
q df-f f-f
'' ''
q df-f f-f
X X
b
X X
−
=
+
( ) ( )
( )
( )
''
d 2f-f'' ''
d d0 'f-f f-f
d 2f-f
X X
T T
X X
+
=
+ ( ) ( )
( )
( )
'
d 2f-f' '
d d0f-f f-f
d 2f-f
X X
T T
X X
+
=
+
( )
2
a f-f
a
X
T
r
=
(5.58)

5.4 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Neutro em Vazio
A
B C
N
Estator
Rotor
fI
ai
ni
c 0i =
b 0i =
A
B C
N
Estator
Rotor
fI
ai
ni
c 0i =
b 0i =
Fig.5.3 – Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Neutro
5.4.1 - Equações das Correntes na Fase e no Neutro
Para o curto-circuito Fase-Neutro as condições de fronteira são,
a
b c
0
0
e
i i
=
= =
Considerando a resistência da armadura zero,
a aΨ = Ψ 0
Tendo como base a análise do curto circuito fase-fase, o de fase-neutro partilha o mesmo
princípio teórico visto serem ambos curto-circuitos assimétricos.

Assim a equação da corrente do curto-circuito fase neutro representa-se, entre a fase A e
o neutro,
( )
( ) ( )
( )
( )
( )
( ) ( )( ) ( )
''
d f-n
a q '' 'f-n
d 2 0 d 2 0f-n f-n
'
d f-n
'
d 2 0 d 2 0 d 2 0f-n
aq
0 0
00 1
1 1
( ) 3
1 1 1
3 cos( ) 1
cos (2 1) t cos(2 t)
1 22
2
t
T
t
T
t
T
n n
n n
i t U e
X X X X X X
e
X X X X X X X X X
U
b n b n e
X X
−
−
−∞ ∞
= =
⎡
⎛ ⎞⎢
⎜ ⎟⎢= −⎜ ⎟⎢ + + + +⎜ ⎟⎢⎝ ⎠
⎢⎣
⎛ ⎞
⎤⎜ ⎟
+ − + ×⎥⎜ ⎟
+ + + + + + ⎥⎜ ⎟ ⎦
⎝ ⎠
⎛ ⎞λ ⎜ ⎟× − − ω − + − ω
⎜ ⎟⎜ ⎟+ ⎝ ⎠
∑ ∑
+
( )f-n
(5.59)
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
' '
d d ''d af-n f-n f-nkd kdd
f f0 f0 ' '' ''f-n
d d df-n f-n f-n
( ) 1 cos
t tt
T T
T
X X
T T
i t i i e e e t
X T T
− −−
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦
(5.60)
As constantes da equações (5.59) são dadas por,
( ) ( )
'' ''
2 d qf-n f-n
X X X=
( ) ( )
( ) ( )
'' ''
q 0 df-n f-n
0
'' ''
q 0 df-n f-n
1 1
2 2
1 1
2 2
0
0
X X X X
b
X X X X
+ − +
=
+ + +
( ) ( )
( )
( )
''
d 2f-n'' ''
d d0 'f-n f-n
d 2f-n
0
0
X X X
T T
X X X
+ +
=
+ + ( ) ( )
( )
( )
'
d 2f-n' '
d d0f-n f-n
d 2f-n
0
0
X X X
T T
X X X
+ +
=
+ +
( )
2 0
a f-n
a 0
2
2
X X
T
r r
=
+
+ (5.61)

5.5 - Curto-Circuito Trifásico Assimétrico Fase-Fase-Neutro em Vazio
A
B C
N
Estator
Rotor
fI
ai
ni
bi
b 0i =
A
B C
N
Estator
Rotor
fI
ai
ni
bi
b 0i =
Em complemento do ensaio curto-circuito às três fases, fase com fase, fase com neutro,
considerados previamente, uma máquina síncrona poderá ter dois terminais simultaneamente
curto-circuitados ao neutro ou terra. Este curto-circuito é considerado também sem carga
jusante.
Fig.5.59 - Esquema do curto circuito assimétrico Fase-Fase-Neutro
As condições de curto-circuito das duas fase A e C sem carga, de acordo com a
representação da figura 5.59 entre é,
a c
b
0
0
e e
i
= =
=
5.5.1 – Equações das Correntes nas Fases
Tal como foi abordado na análise do curto circuito fase-fase, fase-neutro a fase-fase-
neutro há a partilha do mesmo princípio teórico visto serem todos curtos-circuitos
assimétricos.

Assim a equação da corrente do curto-circuito fase A ou fase C e o Neutro, representa-se
da seguinte forma,
entre a fase A e o neutro
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
q '' ''
an q q 0f-f-n f-f-n f-f-n
'' ' '' ''
d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''
d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
( ) 3 cos t 3 2 sen t
3
cos t cos 2 t
2
3
4 sen
2
U
i t X X X C
D
X X X X A
X X X X X
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + ω − − ω − λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛
+ + + λ − −⎜ ⎟
⎝ ⎠ ⎝
( )sen 2 t B
⎫⎡ ⎤⎞
ω − λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎠⎣ ⎦ ⎭
(5.62)
entre a fase C e o neutro
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
q '' ''
cn q q 0f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''
d q d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
'' '' '' ''
d q 0 d qf-f-n f-f-n f-f-n f-f-n
( ) 3 cos t 3 2 sen t
3
cos t cos 2 t
2
3
4 sen
2
U
i t X X X C
D
X X X X A
X X X X X
⎧ ⎡ ⎤⎛ ⎞
= − ω − + ω +⎨ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦⎩
⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞
+ + ω − − ω − λ +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦
⎛ ⎞ ⎛
+ + + λ − −⎜ ⎟
⎝ ⎠
( )sen 2 t B
⎫⎡ ⎤⎞
ω − λ ⎬⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠⎣ ⎦ ⎭
(5.63)
onde as constantes das equações (5.62) e (5.63) são dadas por,
( )
2 0
aα f-f-n
a 0
2
2
X X
T
r r
+
=
+ ( )
2
a f-f-n
a
X
T
r
β =
( )aα f-f-n
t
T
A e
−
= ( )a f-f-n
t
T
B e
−
β
=
2 0
e
2 0
X X
X
X X
=
+
( ) ( )
'' ''' '' '' ''d df-f-n f-f-nd e d e d e d e
' '
d e d e d e d e
1
t t
T TX X X X X X
C e e
X X
X X X X X X
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ + +
= − + − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠ ⎝ ⎠ X X
+
+
( ) ( ) ( )'' '' '' '' '' ''
0 d q d q 0 d q2D X X X X X X X X⎡ ⎤= + + − −
⎢ ⎥⎣ ⎦
cos 2 tω (5.63)

Para a corrente de excitação,
( )
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
' '
d d ''d af-f-n f-f-n f-f-nkd kdd
f f0 f0 ' '' ''f-f-n
d d df-f-n f-f-n f-f-n
( ) 1 cos
t tt
T T
T
X X
T T
i t i i e e e
X T T
− −−
t
⎡ ⎤
⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎢ ⎥−
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥= + − − − ω⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥
⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎝ ⎠
⎢ ⎥⎣ ⎦
(5.65)
Este capítulo centrou-se no desenvolvimento das equações que irão permitir fazer a
simulação matemática da máquina nos vários tipos de curto-circuitos que foram abordados.
Sem estas equações não era possível quantificar os valores da corrente de curto-circuito
que a máquina irá desenvolver na ocorrência durante a perturbação.

Capítulo 6 – Ensaio Laboratorial 65
Ensaio LaboratorialCapítulo 6
Introdução
Para confirmar a validade das considerações teóricas dos capítulos anteriores, foi
montada uma bancada de ensaio no Laboratório de Máquinas Eléctricas da Faculdade de
Ciências e Tecnologia da Universidade Nova de Lisboa. Uma Máquina de Corrente Contínua
a funcionar com Motor foi acoplada pelo veio a uma Máquina Síncrona a funcionar como
Gerador.
Por forma a salvaguardar a integridade do equipamento, foram feitos ensaios com
valores muito abaixo dos nominais representados na “Chapa das Características”, sendo
condição suficiente para levar à obtenção de uma imagem do comportamento do sistema em
regime nominal.
6.1 - Equipamento para o Ensaio no Laboratório
6.1.1 - Bancada de Ensaios
A Máquina de Corrente Contínua tem as seguintes características de especificação,
n
n e
exc
= 220 V = 2100 rpm
= 6,2 A = 200 V
= 1 kW = 0,24 A
U N
I U
P I
xc
A Máquina Síncrona ensaiada tem as seguintes características,
nY/
n
exc
exc
= 380/220 V = 1500 rpm
= 1,5 / 2,6 A cos 0,8
= 0,8 KVA / 0,8 kW f = 50 Hz
= 220 V
= 1,6 A max.
U N
I
P
U
I
∆
ϕ =
Todos os ensaios foram obtidos com a bancada de ensaios ligada conforme o esquema
na figura 6.1. A velocidade de sincronismo do sistema foi possível de manter durante todos os
ensaios, com base na utilização da pistola estroboscópica, tal com representa a mesma figura.
O método de acerto da velocidade de sincronismo resultava assim numa coordenação entre
frequência estroboscópica referenciada no acoplamento dos veios das duas máquinas e a
regulação da alimentação e excitação da Máquina de Corrente Contínua, bem com a regulação
da corrente de excitação de campo do alternador.

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