Este documento contiene 12 ejercicios de matemáticas sobre cálculo de razones trigonométricas y resolución de triángulos. Los ejercicios involucran calcular razones trigonométricas de ángulos dados, determinar ángulos dados razones trigonométricas, y usar el teorema de Pitágoras y las relaciones trigonométricas para resolver triángulos y problemas geométricos. Las soluciones muestran los pasos de trabajo paso a paso.
1. Título de la materia:
Matemáticas
orientadas a las
Enseñanzas
Académicas
Nivel: ESO 4 Opción: D
Nombre: Grupo:
Evaluación: N.º:
Calificación: Fecha:
Ejercicio nº 1.-
Calcula las razones trigonométricas de los ángulos agudos del triángulo rectángulo siguiente:
Solución:
Llamamos x a la longitud del otro cateto y calculamos su valor usando el teorema de Pitágoras:
x2+ 1,22= 1,32→ x2+ 1,44 = 1,69 → x2= 0,25 → x = 0,5 m
Calculamos las razones trigonométricas de α y ᵦ:
2. Ejercicio nº 2.-
Sin hacer uso de la calculadora, halla el valor exacto de las razones trigonométricas que
faltan o del ángulo α, sabiendo que 0° ≤ α ≤ 90°:
Solución:
3. Ejercicio nº 3.-
Sabiendo que α es un ángulo agudo y que el cos α =1/5, calcula, utilizando radicales, sen α y
tg α.
Solución:
5. Ejercicio nº 5.-
Expresa, con valores comprendidos entre 0° y 360°, el ángulo de 2130°. Calcula sus razones
trigonométricas dibujándolo previamente en la circunferencia goniométrica y relacionándolo
con un ángulo del primer cuadrante.
Solución:
2 130° = 5 · 360° + 330°, luego calcular las razones trigonométricas de 2 130° equivale a calcular las
razones trigonométricas de 330°.
sen 2 130° = sen 330° = − sen 30°
cos 2 130° = cos 330° = cos 30°
7. Ejercicio nº 7.-
Un tronco de 6,2 m está apoyado en una pared y forma con el suelo un ángulo de 55°.
a) ¿A qué altura de la pared se encuentra apoyado?
b) Calcula la distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
Solución:
h→ altura que alcanza el tronco apoyado en la pared.
x→ distancia desde el extremo inferior del tronco hasta la pared.
8. La hipotenusa del triángulo que se forma mide 6,2 m, y un ángulo agudo, 55°.
Así:
El tronco se encuentra apoyado en la pared a 5,08 m del suelo.
La distancia entre el extremo inferior del tronco y la pared es de 3,53 m.
Ejercicio nº 8.-
9. El ángulo que se forma en la intersección de dos caminos es de 68°. La granja A está a 230 m
de ese punto, y la granja B, a 435 m. ¿A qué distancia en línea recta está la granja A de la
granja B?
Solución:
Llamamos x a la distancia en línea recta entre la granja A y la B.
Por no ser rectángulo el triángulo ABC, trazamos la altura h que lo divide en dos triángulos
rectángulos: AHC y AHB.
10. En el triángulo AHB, ahora conocemos h = 213,9 m y 435 − y = 435 − 85,1 = 349,9 m.
Podemos calcular x usando el teorema de Pitágoras:
La distancia entre ambas granjas es de 410,1 m.
Ejercicio nº 9.-
a) Pasa a radianes135º.
11. Solución:
Ejercicio nº 10.-
Sabiendo que tg α = ‒2, utiliza la calculadora para hallar α y exprésalo en grados, minutos y
segundos.
Solución:
tgα= ‒2 → α = arc tg (‒2) → α = 63,435º = ‒63º 26' 5''
Como la tangente es positiva en el primer y tercer cuadrante y negativa en el segundo y cuarto, el
ángulo con tg = ‒2 es 360º‒ 63º 26' 5'' = 296º 33' 55''.
12. Ejercicio nº 11.-
Explica razonadamente si las siguientes igualdades pueden ser o no ciertas:
a) sen α + cos α = 3
b) cos α > sen α
c) tg α = −1
Solución:
a) FALSA.
El sen α y el cos α toman como máximo el valor de 1 y no simultáneamente. Por tanto su suma
nunca puede llegar a ser 3.
b) VERDADERA.
sen α=cosα cuando α = 45° por ejemplo. Luego los ángulos entre 0° y 45° cumplen que cos α > sen
α.
Un razonamiento similar en el 3er cuadrante nos lleva a concluir que los ángulos entre 225° y 270°
también cumplen que cos α > sen α.
Por último, todos los ángulos del 4º cuadrante tienen cos α > 0 y sen α < 0 , luego
13. cosα > sen α.
c) VERDADERA
tgα=−1 →α está en el 2º cuadrante o 4º cuadrante (α = 180° − 45° = 135° o
α = 360° − 45° = 315°).
Ejercicio nº 12.-
Demuestra usando las relaciones fundamentales que:
Solución:
