La leyenda de SessaTomado de: La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Lecturas.SEP-PRONAP, págs. 82 -85No ...
— Mi buen soberano, querría que me dieses todos los granos de trigo quecupiesen en las 64 casillas de mi ajedrez. Un grano...
Hay que decir que los cálculos habían resultado mucho más largos de lo que sepensaba al principio. Pero el rey no quiso sa...
Oyó entonces con estupor las palabras del sabio.— Soberano, a pesar de todo tu poderío y tu riqueza, no está en tu manosum...
1 grano de trigo en la primer casilla;2 granos de trigo en la segunda;4 granos de trigo en la tercera (es decir, 2 veces 2...
— Y, concluyó, como este número ha sido obtenido al añadir una unidad a lacantidad buscada, el total de los granos es por ...
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La leyenda de sessa

  1. 1. La leyenda de SessaTomado de: La enseñanza de las matemáticas en la escuela primaria. Lecturas.SEP-PRONAP, págs. 82 -85No nos resulta difícil imaginar el entusiasmo que debieron sentir ya en aquellaépoca al cobrar conciencia de las múltiples ventajas que presentaba estedescubrimiento fundamental.La antigua leyenda que vamos a referir nos da una ligera idea de ello. Se refiereal juego del ajedrez cuya invención habría tenido lugar en la India hace casiquince siglos.Para demostrar a sus contemporáneos que un monarca, por muy poderoso quefuese, no es nada sin sus vasallos, un brahmán hindú llamado Sessa inventó undía el juego del ajedrez.Cuando presentaron dicho juego al rey de las Indias, éste quedó tanmaravillado por su ingenio y por la variedad considerable de combinacionesposibles que mandó llamar al brahmán para recompensarle personalmente.— Por tu relevante invento, quiero recompensarte, le dijo el rey. Elige tú mismola recompensa y la recibirás en seguida. Soy lo bastante rico y poderoso paracumplir el más loco de tus deseos.El brahmán le pidió al rey un poco de tiempo para meditar su respuesta. Al díasiguiente sorprendió a todo el mundo con la increíble modestia de su petición. 1
  2. 2. — Mi buen soberano, querría que me dieses todos los granos de trigo quecupiesen en las 64 casillas de mi ajedrez. Un grano de trigo para la primeracasilla, dos para la segunda, cuatro para la tercera, ocho para la cuarta,dieciséis para la quinta, y así sucesivamente. En resumen, querría que pusieranen cada casilla dos veces más granos de trigo que en la anterior.— ¡Cómo puedes ser tan tonto, que pides algo tan modesto!, exclamó el reysorprendido. Podrías herirme con un deseo tan indigno de mi benevolencia ytan despreciable en comparación con lo que te podría ofrecer. Pero, sea si tales tu deseo, mis servidores te llevarán tu saco de trigo antes de que caiga lanoche.El brahmán esbozó una sonrisa y abandonó el palacio.Por la noche, el soberano recordó su promesa y preguntó a su ministro si elloco de Sessa había ya tomado posesión de su humilde recompensa.— Soberano, dijo el alto funcionario, están ejecutando tus órdenes. Losmatemáticos de tu augusta corte están determinando el número de granos quetenemos que dar al brahmán.El rostro del rey se ensombreció. No estaba acostumbrado a una ejecución tanlenta de sus órdenes.Antes de acostarse, el rey insistió una vez más en saber si el brahmán habíarecibido su saco.— Rey, dijo el ministro vacilando, tus matemáticos no han terminado susoperaciones. Trabajan sin descanso y esperan acabar su tarea antes del alba. 2
  3. 3. Hay que decir que los cálculos habían resultado mucho más largos de lo que sepensaba al principio. Pero el rey no quiso saber nada y ordenó que el problemafuera resuelto antes de que se despertara.Pero al día siguiente, esta orden no se había cumplido, lo que incitó al monarca,enfadado, a despedir a los calculadores.Entonces intervino uno de los consejeros del rey.— Soberano, has hecho muy bien en despedir a estos incompetentes.¡Utilizaban unos métodos demasiado anticuados! Seguían desplegando lasposibilidades numéricas de sus dedos y utilizando las columnas sucesivas deuna tabla de contar. He oído decir que los calculadores de la provincia delnoroeste del reino emplean desde hace algún tiempo un método muy superior ymás rápido que el suyo. Es, según dicen, el más expeditivo y el más fácil dememorizar. ¡Operaciones que requerirían de tus matemáticos varias jornadasde difícil trabajo sólo serían asunto de unas horas para aquéllos de quienes tehablo!Siguiendo estos consejos, mandó llamar a uno de estos ingeniosos aritméticosque, después de haber resuelto el problema en un tiempo récord, se presentóante el rey para comunicarle el resultado.Le dijo con un tono grave: la cantidad de trigo que te ha sido pedida es enorme.Pero el rey contestó que por muy grande que fuera esta cantidad, seguramenteno se vaciarían sus graneros. 3
  4. 4. Oyó entonces con estupor las palabras del sabio.— Soberano, a pesar de todo tu poderío y tu riqueza, no está en tu manosuministrar tal cantidad de trigo. Esta se sitúa mucho más allá del conocimientoy del uso que tenemos de los números. Habrás de saber que incluso si vaciarastodos los graneros de tu reino, el resultado que podrías conseguir seríainsignificante en comparación con esta enorme cantidad. Por otra parte, ésta nose encontraría ni siquiera en todos los graneros juntos de todos los reinos de laTierra. Si quisieras absolutamente dar esta recompensa, tendrías que empezarpor mandar secar los ríos, los lagos, los mares y los océanos, luego derretir lasnieves y los hielos que recubren las montañas y ciertas regiones del mundo, ypor fin transformarlo todo en campos de trigo. Y después de haber sembrado 73veces seguidas el conjunto de esta superficie podrías saldar esta inmensadeuda. Pero, para tal cantidad, tendrías que almacenar el trigo en un volumende cerca de doce billones tres mil millones de metros cúbicos y construir paraello un granero de 5 metros de ancho, 10 metros de largo y de 300 000 000 kmde fondo (es decir, una altura igual a dos veces la distancia de la Tierra al Sol).— En realidad, añadió el sabio, los granos de trigo que te ha pedido esebrahmán son exactamente 18 446 744 073 709 551 615.Luego, el calculador explicó al soberano las características de la revolucionarianumeración de los sabios de su región de origen. Después, le enseñó losmétodos de cálculo correspondientes y le justificó sus propios cálculos en estostérminos:Según la petición del brahmán, habría que poner: 4
  5. 5. 1 grano de trigo en la primer casilla;2 granos de trigo en la segunda;4 granos de trigo en la tercera (es decir, 2 veces 2);8 granos en la cuarta (es decir, 2 veces 2 veces 2);16 granos en la quinta (es decir, 2 veces 2 veces 2 veces 2) y asísucesivamente, duplicando a cada nueva casilla.En la casilla 64 habría que colocar, por tanto, tantos granos como unidades hu-biera en el resultado de 63 multiplicaciones sucesivas por 2 (es decir, 2 63granos). La cantidad solicitada es por tanto, igual a la suma de estos 64números (o sea a: 1 + 2 + 22 + ... + 263).— Si añadieras un grano a este número, prosiguió el calculador, entonceshabría 2 granos en la primera y por lo tanto 2 veces 2 granos en las dosprimeras. En la tercera, recogerías entonces (2x2 + 2x2) granos de trigo, esdecir 2 veces 2 veces 2 en total. En la cuarta el total sería (2x2x2 + 2x2x2), osea 2 veces 2 veces 2 veces 2 granos. Al proceder así, de uno en uno, veríasentonces que en la última casilla del ajedrez recogerías un total igual alresultado de 64 multiplicaciones sucesivas por 2 (o sea 264). Ahora bien, estenúmero es igual al producto de 6 veces el producto de diez multiplicacionessucesivas por 2, a su vez multiplicado por e número 16.(264 _ 210 x 210 X 210 X 210 X 21° X 210 X 24= 1024 X 1024 X 1024 X 1024 X 1024 X 1024 X 16= 18 446 774 073 709 551 616) 5
  6. 6. — Y, concluyó, como este número ha sido obtenido al añadir una unidad a lacantidad buscada, el total de los granos es por tanto igual a éste menos ungrano. Si efectúas entonces las operaciones anteriores según el método que tehe enseñado, podrás verificar por tí mismo, Soberano, que la cantidad degranos solicitada es exactamente de: dieciocho trillones, cuatrocientos cuarentay seis mil setecientos cuarenta y cuatro billones, setenta y tres mil setecientosnueve millones, quinientos cincuenta y un mil seiscientos quince.— Decididamente, contestó el rey muy impresionado, el juego que ha inventadoeste brahmán es tan ingenioso como sutil ha sido su petición. En cuanto a tusmétodos de cálculo, su sencillez sólo es igual a su eficacia. Dime ahora,hombre sabio, ¿Qué tengo que hacer para saldar una deuda tan molesta?El otro reflexionó un momento y le dijo:— Hacer que ese astuto brahmán caiga en su propia trampa. Proponle quevenga él mismo a contar, grano por grano, toda la cantidad de trigo que hatenido la osadía de pedirte. Aunque trabajara sin parar, día y noche, a razón deun grano por segundo, sólo recogería un metro cúbico a los seis meses, unosveinte metros cúbicos a los diez años y... una parte muy insignificante durantelo que le queda de vida. 6

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