Apostila matemática e raciocínio lógico
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Apostila matemática e raciocínio lógico

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  • Em 1h, uma das torneiras enche 1/4 do reservatório e a outra 1/8 do reservatório. Juntas, em 1h, enchem 1/4 + 1/8 = 3/8 do reservatório. Assim, encherão todo o reservatório em 1/(3/8) = 8/3 h = (8/3)*60 min = 160 min.
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  • A caixa d’água de um edifício foi revitalizada, e o engenheiro solicitou ao síndico que trocasse as bombas, pois as
    atuais estão obsoletas. As bombas compradas pelo síndico enchem o reservatório muito mais rápido e com baixo
    consumo de energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de água sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8 horas.
    Um porteiro por displicência liga as duas simultaneamente para encher essa caixa de água. Estando a caixa d’água
    vazia, assinale o tempo, em minutos, gasto para que as duas encham o reservatório.

    A) 167 minutos.
    B) 163 minutos. D) 156 minutos.
    C) 150 minutos. E) 160 minutos. ((Mee explica aii porr favoor
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Apostila matemática e raciocínio lógico Apostila matemática e raciocínio lógico Document Transcript

  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Prezado(a) Aluno(a), Lembre-se dos motivos que o levam a estudar para o concurso. Faça um cronograma de estudos e avalie constantemente como está seu desempenho conforme você faz exercícios e questões de provas anteriores. Planeje o tempo de estudo e de descanso. Com organização, disciplina e força de vontade é possível conciliar estudo eficiente com lazer e trabalho. Procure resolver todas as questões da apostila. Em caso de dúvida, use o blog: (www.valclides.blogspot.com) ou e-mail: Conteúdo abordado nesta apostila: (valclidesguerra@gmail.com).1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.); Lembre-se de que é necessário2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números acompanhar todas as aulas, pois Racionais; números Irracionais e números Reais; cada uma pode abordar conteúdos3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau, Problemas do 1º Grau; diferentes.4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e Bem vindo ao Curso e sucesso em Composta;5. Porcentagem. sua caminhada! Valclides Guerra Professor Matemática Prof.: Valclides Guerra 1 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA MATEM ÁTICA você pode resolvê-lo de outra forma, talvez por um caminho mais curto!!! Perceba conexões entre os dados. Talvez seja conveniente considerar problemas auxiliares ou particulares, se uma conexão não for achada em tempo razoável.1. Múltiplos e Divisores (M.M.C e M.D.C.);2. Conjuntos numéricos: números Inteiros; números  E claro, o conhecimento dos conteúdos Racionais; números Irracionais e números Reais. matemáticos – (execute a estratégia).3. Equações do 1º Grau. Sistema de Equação do 1º Grau, Frequentemente esta é a etapa mais fácil do Problemas do 1º Grau; problema. Preste atenção às incógnitas e procure4. Razão e Proporção, Grandezas diretamente e perceber se será necessário fazer uso de alguma inversamente proporcionais, Regra de Três Simples e Composta; fórmula.5. Porcentagem.  REVISE – examine a solução obtida e verifique o resultado e o argumento. RESUMINDO: Apresentação 1) Ler atentamente o problema;M atemática é uma das ciências mais aplicada em nosso cotidiano. Se prestarmos atenção notaremos que em simples atitudes utilizamosos nossos conhecimentos básicos de matemática, como:olhar as horas, medir o comprimento de algum objeto, 2) 3) 4) Estabelecer qual a incógnita; Montar uma equação traduzindo os dados do problema; Resolver a equação; 5) Verificar se a raiz da equação é resposta dofazer relação de distâncias entre cidades etc. Por tudo problema;isso, caros estudantes, a Matemática exercita nossa 6) Dar a resposta do problema.mente, nos torna mais racionais. Começamos ter umavisão: do espaço, das pessoas, dos acontecimentos em Logo, percebemos que resolver problemas dependegeral, de forma mais ampliada. Portanto, caros de um grande esforço pessoalconcurseiros, o estudo da Matemática não é umaOBRIGAÇÃO, e sim uma NECESSIDADE. Simbologia Matemática mais usual DICA para resolver problemas Na Matemática, muitas informações são apresentadas em forma simbólica, o que faz necessário Prezados concurseiros, em concurso conhecermos alguma simbologia básica, vamos lá? público, as questões de Matemática são quase sempre constituídas por = (igual à) problemas. O que faz uma boa parte (diferente de) dos candidatos ter dificuldades para ou { } (conjunto vazio) entender o que, de fato, está sendo (pertence à) perguntado e o que temos para (não pertence à)podermos garantir a resposta correta e em um curto (está contido)espaço de tempo. E para resolvermos estes problemas (não está contido)devemos desenvolver: (contém) (não contém) Uma boa interpretação de texto – procure (existe pelo menos um) lembrar se você já resolveu uma questão correlata e (não existe) aplique o mesmo método. Primeiro, você tem de | (existe e é único) entender o problema: Qual é a incógnita? Quais são | (tal que / tais que) os dados? Quais são as condições? É possível (ou) satisfazer as condições? Elas são suficientes para (e) determinar a incógnita? Ou são insuficientes? Ou A B (interseção dos conjuntos A e B) redundantes? Ou contraditórias? Faça uma figura. Outra se necessário, introduza notação adequada. A B (união dos conjuntos A e B) (para todo, qualquer que seja) Separe as condições em partes. (implica) (implica e a recíproca é equivalente) A linguagem Matemática – (construa uma (donde se conclui) estratégia para resolução do problema): perceba se 2 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAA CRIAÇÃO DOS NÚMEROS Para indicar quantidades a partir de 4000, os romanos usavam um traço horizontal sobre as letras Os números foram inventados pelos homens. Mas correspondentes à quantidade de milhares:sua criação não aconteceu de repente surgiu da __necessidade de contar coisas (lembram daquelas aulas lá IV = 4.000do primário?). O homem primitivo, por exemplo,contava traçando riscos na madeira ou no osso, ou ainda, _fazendo nós em uma corda. Como era difícil contar V = 5.000quantidades grandes e efetuar cálculos com pedras, nós _____ XXIII = 23.000ou riscos simples, a necessidade de efetuar cálculos commaior rapidez levou o homem a criar símbolos, pararepresentar quantidade. Na antiguidade, nem todos os Observação: Os romanos não conheciam um símbolo para representar o número zero.povos usavam os mesmos símbolos. Vamos conhecercomo alguns povos dessa época contavam. A NUMERAÇÃO DOS HINDUS A numeração dos romanos Foram os hindus que inventaram os símbolos que usamos até hoje: Os romanos representavam quantidades usando aspróprias letras de seu alfabeto: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. I- valia uma unidade V- valia cinco unidades Esses símbolos, divulgados pelos árabes, são X- representava dez unidades conhecidos como algarismos indo-arábicos e com eles L- indicava cinqüenta unidades escrevemos todos os números. Mais adiante vamos falar C- valia cem unidades sobre o sistema de numeração que usamos. Você sabe, D- representava quinhentas unidades por exemplo, que 51 e 15 representam quantidades bem M- indicava mil unidades diferentes. As quantidades eram representadas colocando se ossímbolos uns ao lado dos outros, conforme a seguinteregra: NÚMEROS NATURAIS Os símbolos iguais juntos, até três, significava soma de valores: Quando contamos uma quantidade de qualquer coisa (objetos animais, estrelas pessoas etc.) III = 1 + 1 + 1 = 3 empregamos os números: XXX = 10 + 10 + 10 = 30 CCC = 100 + 100 + 100 = 300 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15,... Dois símbolos diferentes juntos, com o número Esses números são chamados de números naturais. menor aparecendo antes do maior, significava Existem infinitos números naturais os números que subtração de valores: aparecem juntos, como na seqüência acima são chamados números consecutivos. IV = 5 - 1 = 4 XL = 50 - 10 = 40 Exemplo: 12 e 13 são consecutivos 13 é o sucessor (vem XC = 100 - 10 = 90 depois) e 12 é o antecessor (vem antes) de 13. Dois símbolos diferentes juntos, com o maior Lembrem-se concurseiros, conjunto dos números aparecendo antes do menor, significa soma de naturais é baseado na existência do ZERO e na valores: propriedade que todo número tem sucessor e antecessor. Apenas o Zero não tem antecessor. LX = 50 + 10 = 60 CCXXX = 200 + 30 = 230 Observações: DC = 500 + 100 = 600 MMMD = 3.000 + 500 = 3.500 1) Todo número natural tem um sucessor (é o que vem depois). 3 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA2) Todo número natural tem um antecessor (é o que  De 1 a 100 qualquer algarismo aparece 10 vezes vem antes), com exceção do zero. como unidade e 10 vezes como dezena. Logo, de 1 a 100 cada algarismo aparece 20 vezes.3) Um número natural e o seu sucessor são chamados números consecutivos.  De 1 a 1000 qualquer algarismo aparece 100 vezes como unidade, 100 vezes como dezena e 100 vezes PAR OU IMPAR como centena. Logo, de 1 a 1000 cada algarismo aparece 3000 vezes.Um número natural é par quando termina em 0, 2, 4, 6 ou – 18.  De 1 a 10n qualquer algarismo aparece 10nOs números pares são: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16... vezes como unidade, 10n – 1 vezes como dezena eUm número é ímpar quando termina em 1, 3, 5, 7, ou 9. 10n – 1 vezes como centena.Os números ímpares são: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15... Conjuntos Numéricos 01) A diferença entre o menor número de três algarismo e o maior número de dois algarismos é: a) 5CONJUNT O DOS NÚMEROS NAT URAIS b) 3 c) 1 Como decorrência da necessidade de contar objetos d) 2surgiram os números naturais que é simbolizado pela e) 4letra N e é formado pelos números 0, 1, 2, 3, …, ou seja:N = {0; 1; 2; 3; …}. Um subconjunto de N muito usado é 02) Quantos números da sucessão de números inteiroso conjunto dos números naturais menos o zero, ou seja, existem de 12 a 98N - {0} = conjuntos dos números naturais positivos, que a) 87é representado por N*. b) 86 c) 88Observações: d) 85 e) 1101) Em N são definidas apenas as operações de adição e multiplicação, apenas estas são garantidas nas GABARITO: 01) C 02) A operações dentro do conjunto N; CONJUNT O DOS NÚMEROS I NT EIROS2) Isto é fato, pois se a e b são dois números naturais então a + b e a.b são também números naturais. Esta propriedade é conhecida como fechamento da operação;3) Valem as propriedades associativa, comutativa e elemento neutro (0 para a adição e 1 para a multiplicação) para as duas operações e a distributiva para a multiplicação em N. Em N a Interseção do conjunto dos naturais e dos inteiros. subtração não é considerada uma operação, pois se a diferente de zero pertence a N o simétrico -a não Chama-se o conjunto dos números inteiros, existe em N. representado pela letra Z, o seguinte conjunto: DICCA para o aluno Z = {…, -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; …}  Caso você escreva do número a até o número b, No conjunto Z distinguimos alguns subconjuntos você escreverá ao todo (b – a + 1) números. notáveis que possuem notação própria para representá- los: Exemplo: de 23 a 58 = 58 – 23 + 1 = 36. a) Conjunto dos inteiros não negativos:  Caso você escreva os números existentes entre a e b, você escreverá ao todo (b – a – 1) números. Z+ = {0; 1; 2; 3; …} Exemplo: Entre 23 e 58 = 58 – 23 – 1 = 34. 4 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAb) Conjunto dos inteiros não positivos: A ordem dos inteiros: Z- = {…; -3; -2; -1; 0} Há uma classe de inteiros, chamada classe dos inteiros positivos (ou classe dos números naturais), quec) Conjunto dos inteiros não nulos: goza das seguintes propriedades: Z* = {…, -3; -2; -1; 1; 2; 3; …}  A soma de dois inteiros positivos é um inteiro positivo;d) Conjunto dos inteiros positivos:  O produto de dois inteiros positivos é um inteiro positivo; Z+* = {1; 2; 3; …}  Para cada inteiro A, uma e somente uma dase) Conjunto dos inteiros negativos: seguintes alternativas é verdadeira, ou A = 0, ou A é negativo, ou A é positivo (lei da tricotomia). Z-* = {…; -3; -2; -1} Definimos as relações ≥, ≤, <, > por:Note que Z+ = N e, por essa razão, N é um subconjuntode Z. A > B (A é maior do que B) se e só se A - B é positivo A < B (A é menor do que B) se e só se B > AObservações: A ≥ B (A é maior ou igual a B) se e só se A > B ou A = B1) No conjunto Z, além das operações e suas A ≤ B (A é menor ou igual a B) se e só se A < B ou A = propriedades mencionadas para N, vale a B propriedade simétrico ou oposto para a adição. Isto É claro que A é positivo se e só se A > 0. é: para todo a em Z, existe -a em Z, de tal forma que a + (-a) = 0; Multiplicação de Números Inteiros2) Devido a este fato podemos definir a operação de O conjunto dos números inteiros subtração em Z: a - b = a + (-b) para todo a e b surgiu da necessidade de o homem pertencente a Z; manipular valores negativos, relacionados a assuntos comerciais3) Note que a noção de inverso não existe em Z. Em e financeiros. Nesse conjunto, cada outras palavras, dado q pertencente a Z, diferente número inteiro positivo possui sua representação de 1 e de -1, 1/q não existe em Z; negativa. Na multiplicação de números inteiros, devemos seguir algumas condições de acordo com o sinal dos4) Por esta razão não podemos definir divisão no números. Nessas operações o jogo de sinal é usado de conjunto dos números inteiros; forma sistemática, de acordo com o seguinte quadro de sinais:5) Outro conceito importante que podemos extrair do conjunto Z é o de divisor. Isto é, o inteiro a é (+).(+)= + divisor do inteiro b - simbolizado por b | a - se (+).(–)= – existe um inteiro c tal que b = ca; (–).(+)= – (–).(–)= +6) Os números inteiros podem ser representados por pontos de uma reta orientada ou eixo, onde temos Os dois números possuem o mesmo sinal. um ponto de origem, o zero, e à sua esquerda associam-se ordenadamente os inteiros negativos e Número positivo multiplicado por número positivo à sua direita os inteiros positivos, separados por intervalos de mesmo comprimento; (+ 3) . (+ 7) = + 21 (+ 5) . (+ 9) = +457) Cada ponto da reta orientada é denominado de (+ 21) . (+ 10) = + 210 abscissa; (+ 4) . (+ 9) = +368) Em Z podemos introduzir o conceito de módulo ou (+ 8) . (+ 10) = +80 valor absoluto: |x| = x se x ≥ 0 e |x| = -x se x < 0, (+ 22) . (+ 5 ) = +110 para todo x pertencente a Z. Como decorrência da Número negativo multiplicado por número negativo definição temos que |x| ≥ 0 para qualquer número inteiro. (– 9) . (– 5) = + 45 5 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA(–12) . (– 4) = + 48 DIVISIBILIDADE POR 2:(– 3) . (– 7) = +21(– 8) . (– 9) = +72(– 10) . (– 7) = +70 Um número é divisível por 2 se ele é par, ou seja,(–12) . (–5) = +60 termina em 0, 2, 4, 6 ou 8. Os dois números possuem sinais diferentes. DIVISIBILIDADE POR 3:Número positivo multiplicado por negativo e vice-versa: Um número é divisível por 3 se a soma de seus algarismos é divisível por 3.(+ 7) . (– 9) = – 63(– 4) . (+ 7) = – 28 DIVISIBILIDADE POR 4:(– 6) . (+ 7) = – 42(+ 8) . (– 6) = – 48 Um número é divisível por 4 se o número formado(+ 6) . (– 5) = –30 pelos seus dois últimos algarismos é divisível por 4(–120) . (+ 3) = – 360 ou terminar em 00.Lembrem-se candidatos de que o elemento neutro damultiplicação é o número 1 (um). Veja: DIVISIBILIDADE POR 5: Um número é divisível por 5 se o seu último(+ 1 ) . ( + 96) = + 96 algarismo é 0 (zero) ou 5.(–1) . (–98) = + 98(– 14) . (+ 1) = – 14 DIVISIBILIDADE POR 6:(–1) . (+ 9) = – 9(+ 2) . (+ 1) = +2(–32) . (–1) = +32 Um número é divisível por 6 se é par e a soma de seus algarismos é divisível por 3.Podemos verificar que na multiplicação de númerosinteiros ao multiplicamos números com sinais iguais, DIVISIBILIDADE POR 7:temos que o resultado é um número positivo, e quandomultiplicamos números com sinais diferentes, o resultado Um número é divisível por 7 se o dobro do últimoé um número negativo. algarismo, subtraído do número sem o último algarismo, resultar um número divisível por 7. Se oMÓDULO: número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a divisão por 7.Definimos o módulo ou valor absoluto do inteiro A, A DIVISIBILIDADE POR 8:representado por , pondo: Um número é divisível por 8 se o número formado A, se A 0 pelos seus três últimos algarismos é divisível por 8 A A, se A 0 ou terminar em 000.DIVISIBILIDADE: DIVISIBILIDADE POR 9: Um inteiro A é divisível por um inteiro B se e só Um número é divisível por 9 se a soma dos seusexiste um inteiro C, tal que A = B x C. Neste caso, algarismos é um número divisível por 9.dizemos que A é múltiplo de B, ou que B divide A, eescrevemos: B | A Chamamos de pares os inteiros que DIVISIBILIDADE POR 10:são divisíveis por 2 e de ímpares os que não sãodivisíveis por 2. Um número é divisível por 10 se termina com o algarismo 0 (zero).EX.: 2n , com n inteiro (par) 2n 1 , com n inteiro (ímpar) DIVISIBILIDADE POR 11:CRIT ÉRIOS DE DIVISIBILIDADE Um número é divisível por 11 se a soma dos algarismos de ordem par Sp menos a soma dos 6 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA algarismos de ordem ímpar Si é um número 3) 10 tem os divisores 1, 2, 5 e 10, portanto 10 não é divisível por 11 ou igual a zero. um número primo.DIVISIBILIDADE POR 12: Observações: => 1 não é um número primo, porque ele tem apenas Um número é divisível por 12 quando é divisível um divisor que é ele mesmo. por três e quatro ao mesmo tempo. => 2 é o único número primo que é par.DIVISIBILIDADE POR 13: Reconhecimento de um número primo: Um número é divisível por 13 se o quádruplo (4 Para saber se um número é primo, dividimos esse vezes) do último algarismo, somado ao número sem número pelos números primos 2, 3, 5, 7, 11 etc. até o último algarismo, resultar um número divisível que tenhamos: por 13. Se o número obtido ainda for grande, repete-se o processo até que se possa verificar a => ou uma divisão com resto zero e neste caso o divisão por 13. Este critério é semelhante àquele número não é primo, dado antes para a divisibilidade por 7, apenas que => ou uma divisão com quociente menor que o divisor no presente caso utilizamos a soma ao invés de e o resto diferente de zero. Neste caso o número é subtração. primo. Exemplos:DIVISIBILIDADE POR 15: 1) O número 161: Um número é divisível por 15 quando é divisível Não é par, portanto não é divisível por 2; por três e cinco ao mesmo tempo. 1+6+1 = 8, portanto não é divisível por 3; Não termina em ―00‖, nem os dois últimosDIVISIBILIDADE POR 16: algarismos pode ser dividido por 4, logo não é divisível por 4; Um número é divisível por 16 se o número formado pelos seus quatro últimos algarismos é divisível por Não termina em 0 nem em 5, portanto não é 16 ou terminar em 0000. divisível por 5; Por 7: 161/7 = 23, com resto zero, logo 161 éNÚMEROS PRIMOS E COMPOSTOS: divisível por 7, e portanto não é um número primo.Número Primo: um número inteiro p > 1 é primo se só é 2) O número 113:divisível por 1 e por ele próprio. A divisão por um Não é par, portanto não é divisível por 2;número não resulta em um número natural (ou inteiro). 1+1+3 = 5, portanto não é divisível por 3;Para saber se um número grande é primo, basta dividi-lo Não termina em ―00‖, nem os dois últimossucessivamente pelos números primos até que oquociente seja menor ou igual ao seu divisor. algarismos pode ser dividido por 4, logo não é divisível por 4;Os primeiros números primos são: Não termina em 0 nem em 5, portanto não é divisível por 5; Por 7: 113/7 = 16, com resto 1. O quociente (16) ainda é maior que o divisor (7). Por 11: 113/11 = 10, com resto 3. O quociente (10) é menor que o divisor (11), e além disso o resto é diferente de zero (o resto vale 3), portanto 113 é um número primo.Exemplos: Decomposição em fatores primos1) 2 tem apenas os divisores 1 e 2, portanto 2 é um Todo número natural, maior que 1, pode ser número primo. decomposto num produto de dois ou mais fatores.2) 17 tem apenas os divisores 1 e 17, portanto 17 é um número primo. Decomposição do número 24 num produto: 7 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA 24 = 4 x 6 Logo: 630 = 2 x 3 x 3 x 5 x 7. 24 = 2 x 2 x 6 630 = 2 x 32 x 5 x 7. 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 23 x 3 Vejamos a decomposição dos números 28 e 200:Número Composto: é todo número que possui mais dedois divisores.Todo o número natural (diferente de 1) 28 2 200 2escreve-se de forma única como um produto de números 14 2 100 2primos. Este Teorema é conhecido por Teorema 7 7 50 2Fundamental da Aritmética. 1 28 = 22 x 7 25 5 5 5Exemplo: 15 tem mais de dois divisores. Logo, 15 é um 5 1 200 = 23 x 52número composto. A DIVISÃO DE INT EIRO S: Dois números naturais a e b são primos entre si, se mdc(a, b)=1. O resultado da divisão de dois números inteiros, dividendo e divisor, nem sempre é um número inteiro. Quaisquer dois números primos são primos entre si, Ao maior número inteiro menor do que a divisão chama- mas o recíproco não é verdadeiro. se quociente é a diferença entre o dividendo e o produto do divisor pelo quociente chama-se resto. Se D for oNÚMEROS PRIMOS ENT RE SI: dividendo, d o divisor, q o quociente e r o resto tem-se que: Dizemos que A e B são primos entre si se e só se D = q × d + r, com 0 ≤ r < dMDC[A, B] = 1. Por exemplo, se dividirmos 31 por 7 obtemos o resultadoTEOREM A FUNDAM ENTAL DA ARITM ÉTICA: 4,428... , e por isso o quociente desta divisão é 4. O resto é igual a 31 − 7 × 4 = 3. fácil obter MDC e MMC de números dados, seÉ conhecermos suas decomposições em fatores primos. É fácil perceber que os fatores do MDC sãoos fatores dos números tomados sempre com o menor Dizemos então que na divisão de D por d o quociente é q e o resto é r, D é chamado de dividendo e d de divisor.dos expoentes e os do MMC com o maior dos expoentes. DIVISORES DE UM NÚM ERO NATURALTodo número A maior que um, ou é primo ou podeser representado como um produto de fatores primos.FAT ORAÇÃOÉ a decomposição de um número em um produto defatores primos. Existe um dispositivo prático para fatorar umnúmero. Acompanhe, no exemplo, os passos para montar MÁXIMO DIVISOR COMUM (MDC)esse dispositivo:1º) dividimos o número pelo seu menor divisor primo; Um inteiro positivo d é o MDC dos inteiros A e B2º) a seguir, dividimos o quociente obtido pelo menor (usaremos a notação d = MDC[A, B]) se e só se possui divisor primo desse quociente e assim as seguintes propriedades: sucessivamente até obter o quociente 1. a) d|a e d|b (d é um divisor comum de A e B)A figura a baixo mostra a fatoração do número 630. b) Se C|A e C|B, então C|d (isto é todo divisor comum de A e B também divide d) Teorema: Se A e B são inteiros não nulos simultaneamente, então MDC[A, B] existe e é único. OBS.: Convencionou-se que o MDC(0, 0) = 0. Propriedades do MDC: 8 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA• MDC(a, b) = MDC(b, a). multiplicado ainda pelos expoentes dos fatores• MDC(a, b) = MDC(−a, b). pares sem acrescentar a unidade.• MDC(a, b) = MDC(|a|, |b|).• MDC(a, 0) = |a|.  Fatora-se o número• MDC(a, ka) = |a| para todo k Z.  Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímparO ALGORITMO DE EUCLI DES:  Multiplicamos o resultado obtido, também pelos O processo que usamos para determinar o MDC de expoentes de fator pardois inteiros, não nulos simultaneamente é o algoritmo deEuclides.a) Dados A e B, dividimos A por Bb) Depois dividimos B pelo resto desta divisão R1 01) O número de divisores de 120 é:c) Depois dividimos R1 pelo resto desta última divisão a) 12 R2 e assim sucessivamente. b) 14d) Quando chegarmos a um resto igual a zero o MDC c) 16 procurado será o último divisor, isto é: d) 20 e) 25 q q2 q3 ... qn qn+1 02) Determinar o número N, sabendo-se que ele admite 8 A B R1 R2 ... r n-1 rn= MDC[A,B] divisores e que é da forma: N = 2.3x. a) 10 R1 R2 R3 R4 ... 0 b) 15 c) 32 d) 54 DICA para o aluno e) 24 03) Calcular o valor de m na expressão 2m + 1.3.5, Cálculo do número de divisores: sabendo-se que este produto indicado resulta da decomposição de um número que possui 16É o produto de todos os expoentes acrescido de divisores.uma unidade. a) 2 b) 4 Fatora-se o número c) 6 d) 8 Somamos uma unidade a cada expoente e) 10 Multiplicamos o resultado obtido. 04) Determinar o valor de N na igualdade N = 2x.34, para que o número N tenha 20 divisores. a) 648 Cálculo do número de divisores ímpares: b) 448 c) 243 d) 824É o produto dos expoentes de fatores ímpares e) 100acrescido de uma unidade. Fatora-se o número Somamos uma unidade a cada expoente de fator ímpar Multiplicamos o resultado obtido GABARITO: 01) C 02) D 03) A 04) A Cálculo do número de divisores pares:É o produto dos expoentes de fatores ímparesacrescidos de uma unidade cada um, 9 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAMÍNIMO MÚLTIPLO COM UM (MMC) MMC (48, 72) = 36 . 4 = 144Definição: O mínimo múltiplo comum de dois ou mais Dividindo-se os números por 3, o MMC ficaránúmeros é o menor de seus múltiplos comuns, diferente dividido por 3.de zero. Importante: M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, ....} MDC(a, b) x MMC(a, b) = A x B M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24....} M(3) ∩ M(4) = {0, 12, 24, 36, ... } CONJUNTO DOS NÚM EROS RACIONAIS MMC (3, 4) = 12PROCESSOS PARA O CÁL UCULO DO MMC1º Processo: Decomposição de fatores primos em separadoa) Decompõem-se os números em fatores primos;b) Toma-se o produto dos fatores primos comuns e não comuns elevados ao maior de seus expoentes; Interseção dos conjuntos: Naturais, Inteiros e2º Processo: Decomposição de fatores primos em Racionais. conjunto.a) Decompõem-se em fatores primos, dividindo os O conjunto dos números racionais, simbolizado números pelos fatores comuns e não comuns. pela letra Q, é o conjunto dos números que podem serb) Toma-se o produto desses fatores primos comuns e escritos na forma de uma fração p/q, com p e q inteiros não comuns. quaisquer e q diferente de zero:CONSEQUÊNCIAS DO MMC1ª) O MMC entre dois números primos entre si é igual ao produto entre eles. MMC (12, 25) = 12 . 25 = 300 MMC (4, 9) = 4 . 9 = 362ª) O MMC entre dois ou mais números, em que o maior é múltiplo dos menores, é o maior número. MMC (40, 120) = 120 MMC (50, 150, 300) = 3003ª) Os múltiplos comuns de dois ou mais números são os múltiplos do MMC entre esses números. Como todo número inteiro pode ser escrito na M(3) = {0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, ....} forma p/1, então Z é um subconjunto de Q. Valem M(4) = {0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, ....} também para os conjuntos dos números racionais as MMC (3, 4) = 12 notações Q* (conjunto dos números racionais não nulos), M(3) ∩ M(4) = M(12) Q + (conjunto dos números racionais não negativos) e Q - (conjunto dos números racionais não positivos).4ª) Multiplicando-se ou dividindo-se dois ou mais números por um mesmo número, o MMC entre eles Observações: ficará multiplicado ou dividido, respectivamente, por esse mesmo número. a) São válidas todas as propriedades vistas para o conjunto dos números inteiros; MMC (12, 18) = 36 b) Além disso, é válida a propriedade simétrico ou Multiplicando-se os números por 4, o MMC ficará inverso para a multiplicação. Isto é, para todo a/b multiplicado por 4. pertencente a Q, a/b diferente de zero, existe b/a em Q tal que (a/b).(b/a) = 1; 10 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAc) Decorre da propriedade acima que é possível definir Exemplos: a operação de divisão em Q* da seguinte forma (a/b):(c/d) = (a/b).(d/c), para quaisquer a, b, c e d pertencente a Q;ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COMDENOM INADORES IGUAIS Conserva-se o denominador, adicionando ousubtraindo os numeradores. Como vemos nos exemplos acima, para transformar um número misto na fração imprópria correspondente 3 5 7 3 5 7 1 multiplica-se o número da frente pelo denominador e o 20 20 20 20 20 resultado soma-se ao numerador, formando o numerador da fração. Para transformar uma fração imprópria em um número misto, faça a divisão inteira do numerador peloADIÇÃO E SUBTRAÇÃO DE FRAÇÕES COM denominador. O quociente será o primeiro número, oDENOM INADORES DIFERENTES resto será o novo numerador e denominador permanece. Por exemplo: 5/2. 5 dividido por 3 dá 1 e sobra 2. Assim Substituem-se as frações dadas por outras, temos que 5/3 =1 e 5/3 Os números mistos são práticosequivalentes, cujo denominador será o MMC dos quando se deseja marcar a fração na reta numerada. Paradenominadores dados: fazê-lo, localiza-se primeiro a parte inteira e depois acrescenta-se a parte fracionária, assim, para localizar na 1 3 1 2 9 6 5 reta a fração através do seu número misto 1 , vai-se até mmc(6,4,2) 12 6 4 2 12 12 o 1 e acrescenta-se o .M ULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES Para multiplicar duas ou mais frações, deve-se:1º) Multiplicar os numeradores, encontrando o novo numerador.2º) Multiplicar os denominadores, encontrando o novo denominador.2 3 1 2 3 1 6 simplificando por 6 1 Dízimas periódicas5 4 6 5 4 6 120 20 Todo número racional p/q pode ser escrito como umDIVISÃO ENVOLVENDO F RAÇÕES número decimal exato (ex: 1/2 = 0,5) ou como uma dízima periódica (1/3 = 0,333…). Veremos como Para efetuar uma divisão onde pelo menos um dos transformar dízima em fração!!!números envolvidos é uma fração devemos multiplicar oprimeiro número (dividendo) pelo inverso do segundo Como dito, há frações que não possuem representações(divisor). decimal exata. Por exemplo:2 4 2 7 14 7 simplificando por 23 7 3 4 12 6NÚMEROS MISTOS Número misto é um número racional escrito naforma da soma de sua parte inteira com a sua parte Aos numerais decimais em que há repetição periódica efracionária (esta é sempre uma fração própria). Os infinita de um ou mais algarismos, dá-se o nome denúmeros mistos também se podem escrever como frações numerais decimais periódicos ou dízimas periódicas.impróprias. 11 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRANuma dízima periódica, o algarismo ou algarismos que Exemplos:se repetem infinitamente, constituem o período dessadízima.As dízimas classificam-se em dízimas periódicas simplese dízimas periódicas compostas. Exemplos: Dízima Composta: A geratriz de uma dízima composta é uma fração da forma , ondeSão dízimas periódicas simples, uma vez que o períodoapresenta-se logo após a vírgula. n é a parte não periódica seguida do período, menos a parte não periódica. d tantos noves quantos forem os algarismos do período seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte não periódica. Exemplos:São dízimas periódicas compostas, uma vez que entre operíodo e a vírgula existe uma parte não periódica.Observações:Consideramos parte não periódica de uma dízima otermo situado entre vírgulas e o período. Excluímos DICA para o alunoportanto da parte não periódica o inteiro.  Não faça contas com dízimas periódicas. SubstituaPodemos representar uma dízima periódica das seguintes todas elas por frações geratrizes antes de fazermaneiras: qualquer cálculo. NÚM EROS IRRACIO NAIS Geratriz de uma dízima periódica É possível determinar a fração (número racional)que deu origem a uma dízima periódica. Denominamos É um numero irracional. π = 3,141592 ...esta fração de geratriz da dízima periódica.Procedimentos para determinação da geratriz de uma O número irracional é aquele que não admite adízima: representação em forma de fração (contrário dos números racionais) e também quando escrito na forma de decimal ele é um número infinito e não periódico. Dízima simples Exemplo: A geratriz de uma dízima simples é uma fração quetem para numerador o período e para denominador tantos • 0,232355525447... é infinito e não é dízimanoves quantos forem os algarismos do período. periódica (pois os algarismos depois da vírgula não repetem periodicamente), então é irracional. 12 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA• 2,102030569... não admite representação existem vários números reais tais como: 1,01; 1,001; fracionária, pois não é dízima periódica. 1,0001; 1,1; 1,2; 1,5; 1,99; 1,999; 1,9999 ... . Escrever todos os números entre, por exemplo, 1 e 2, representa• Se calcularmos em uma calculadora veremos que um intervalo de tais números onde, se inclui os extremos, √2, √3, π são valores que representam números considera-se fechado e se não inclui, considera-se aberto. irracionais. Os intervalos podem ser classificados em abertos, fechados e semi abertos (fechados ou abertos à esquerdaA representação do conjunto dos irracionais é feita pela ou à direita).letra I maiúscula. Notação em símbolos de um intervaloCONJUNTO DOS NÚM EROS REAIS Habitualmente se utilizam os colchetes – ―[" e "]‖ – O conjunto dos números reais, representado por IR, para indicar que um dos extremos do intervalo é parteé a união entre os conjuntos dos números racionais, Q, e deste intervalo e os parênteses – ―(‖ e ―)‖ – ou, também,dos irracionais. Portanto, os números naturais, inteiros, os colchetes invertidos – ―]‖ e ―[" para indicar oracionais e irracionais são todos, números reais. contrário. Assim, por exemplo, dados a e b números reais, com a ≤ b, o intervalo I = (a,b] = ]a,b] representa oR* conjunto dos números reais não nulos. conjunto dos x R, tal que a < x ≤ b. Note que a não fazR+ conjunto dos números reais positivos e o zero. parte do intervalo.R*+ conjunto dos números reais positivos.R - conjunto dos números reais negativos e o zero.R*- conjunto dos números reais negativos menos o Representação de um intervalo na reta realzero. Um intervalo é representado na reta real utilizando- se de uma pequena ―bolinha vazia‖ para indicar que um dos pontos extremos não pertence ao intervalo e de uma ―bolinha cheia‖ para indicar que o ponto extremo pertence. Tipos de Intervalos Dados a e b números reais, com a ≤ b, x pertencente ao intervalo e c o seu comprimento, podemos classificar os intervalos como: a) Intervalo Fechado de comprimento finito c = b – a: [a,b] = {x R | a ≤ x ≤ b} b) Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita de comprimento finito c = b – a: [a,b[ = [a,b) = {x R | a ≤ x < b} c) Intervalo aberto à esquerda e fechado à direita de comprimento finito c = b - a: (a,b] = ]a,b] = {x R | a < x ≤ b}INTERVALO REAL d) Intervalo aberto de comprimento finito c = b – a: Ainda, caros estudantes, para complementar oassunto sobre Conjuntos Numéricos veremos a parte de ]a,b[ = (a,b) = {x R | a < x < b}intervalo na reta real R. Ou seja, dos subconjuntos de R.Perceba que entre dois números inteiros existem infinitos e) Intervalo aberto à direita de comprimento infinito:números reais. Por exemplo, entre os números 1 e 2 13 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA ]-∞,b[ = (-∞,b) = {x R | x < b} Sejam A = [-1,6] = {x R | -1 ≤ x ≤ 6} e B = (1,+∞) = {x R | x > 1} dois intervalos e vamos determinar A Uf) Intervalo fechado à direita de comprimento infinito: B e A ∩ B. ]-∞,b] = (-∞,b] = {x R | x ≤ b} Primeiramente, caros alunos, marcamos todos os pontos que são extremos ou origens dos intervalos emg) Intervalo fechado à esquerda de comprimento uma mesma reta. Em seguida, abaixo dessa reta, infinito: traçamos os intervalos que representam graficamente os conjuntos A e B. E, por fim, é só utilizar a definição de [a,+∞) = [a,+∞[ = {x R | a ≤ x} união e intersecção para determinar os trechos que estão em pelo menos um intervalo e os trechos comuns aosh) Intervalo aberto à esquerda de comprimento dois intervalos, respectivamente. Veja a solução de A ∩ infinito: B na figura a seguir e de onde é também facilmente observado o resultado de A U B: ]a,+∞[ = (a,+∞) = {x R | x > a} A ∩ B = {x R | 1 < x ≤ 6} e A U B = {x R | -1 ≤ x}i) Intervalo aberto de comprimento infinito: ]-∞,+∞[ = (-∞,+∞) = Rj) Intervalo fechado de comprimento nulo: Como o comprimento é nulo e o intervalo fechado,então a = b e esse intervalo corresponde ao conjuntounitário {a}, isto é, a um ponto da reta real.Vejamos mais exemplos: EX PR ESS ÕES NUM ÉR IC AS As expressões numéricas podem ser definidas através de um conjunto de operações fundamentais. As operações que podemos encontrar são: radiciação, potenciação, multiplicação, divisão, adição e subtração. Como uma expressão numérica é formada por mais de uma operação, devemos saber que resolvemos primeiramente as potências e as raízes (na ordem que aparecerem), depois a multiplicação ou divisão (na ordem) e por último, adição e subtração (na ordem). É comum o aparecimento de sinais nas expressões numéricas, eles possuem o objetivo de organizar as expressões, como: ( ) parênteses, [ ] colchetes e {} chaves, e são utilizados para dar preferência para algumas operações. Quando aparecerem em uma expressão numérica devemos eliminá-los, essa eliminação irá acontecer na seguinte ordem: parênteses, colchetes e, por último, as chaves. Exemplo 1: União e Intersecção de Intervalos – 62 : (– 5 + 3) – [– 2 * (– 1 + 3 – 1)² – 16 : (– 1 + 3)²] Como intervalos são conjuntos é natural que as =operações mencionadas possam ser realizadas. E, trata-se elimine parênteses.de um procedimento muito comum na resolução de – 62 : (– 2) – [– 2 * (2 – 1)² – 16 : 2²] =alguns problemas. E a maneira mais fácil e intuitiva de continue eliminando os parênteses.realizar essas operações é através da representação – 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 2²] =gráfica dos intervalos envolvidos. Vamos à um exemplo resolva as potências dentro do colchetes.prático de como efetuar tais operações. – 62 : (– 2) – [– 2 * 1 – 16 : 4] = 14 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAresolva as operações de multiplicação e divisão noscolchetes. QUEST ÕES– 62 : (– 2) – [– 2 – 4] =– 62 : (– 2) – [– 6] = elimine o colchete. 01) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA– 62 : (– 2) + 6 = efetue a divisão. MUNICIPAL) Um tanque tem duas torneiras. A 31 + 6 = 37 efetue a adição. primeira enche o tanque em 15 horas, e a segunda,O valor numérico da expressão é 37. em 18 horas. Estando o tanque vazio e, abrindo-se as duas torneiras durante 5 horas, enche-se umaLembrem-se, em expressões numéricas com sinais parte do tanque. Podemos afirmar que a segundaassociativos de: torneira encherá o restante do tanque em A) 14 horas.1º) Parênteses ( ) B) 10 horas.2º) Colchetes [ ] C) 7 horas.3º) Chaves { } D) 8,5 horas. E) 8 horas.efetuam-se, primeiro as operações dentro deles, na ordemmostrada: ( ), [ ] e { }, respeitando-se ainda, a prioridade 02) (UPENET) O Quíntuplo de um número, divididodas operações. por este número aumentado de duas unidades, dá quociente 3 e deixa resto 2. Qual é este número?Exemplo 2: A) 4 B) 636 + 2.{25 + [ 18 – (5 – 2).3]} = C) 8= 36 + 2.{ 25 + [18 – 3.3]} = D) 10= 36 + 2.{25 + [18 – 9]} = E) 12= 36 + 2.{25 + 9} == 36 +2.34 = 03) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A= 36 + 68 = 104 caixa d’água de um edifício foi revitalizada, e o engenheiro solicitou ao síndico que trocasse asExemplo 3: bombas, pois as atuais estão obsoletas. As bombas compradas pelo síndico enchem o reservatório[(5² - 6.2²).3 + (13 – 7)² : 3] : 5 = muito mais rápido e com baixo consumo de= [(25 – 6.4).3 + 6² : 3] : 5 = energia. Sabe-se que uma delas enche a caixa de=[(25 – 24).3 + 36 : 3 ] : 5 = água sozinha em 4 horas e a outra, sozinha em 8= [1.3 + 12] : 5 = horas. Um porteiro por displicência liga as duas= [3 + 12 ] : 5 = simultaneamente para encher essa caixa de água.= 15 : 5 = 3 Estando a caixa d’água vazia, assinale o tempo, em minutos, gasto para que as duas encham oExemplo 4: reservatório. A) 167 minutos. B) 163 minutos. C) 150 minutos. D) 156 minutos. E) 160 minutos. 04) (UPENET) Num salão de cabeleireiro, 2/4 das mulheres eram loiras, 1/3, ruivas, e as 5 restantes, morenas. Se 1/3 das loiras pintam os cabelos de preto, quantas loiras restam? A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 05) (UPENET) O valor de 1/3 de 1/4 de 1/5 de 360 é igual a A) 60 B) 50 C) 6 15 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAD) 5 certeza de que o projeto em pauta na reunião seráE) 4 votado, é necessário que a informação do número de pessoas presentes seja, no mínimo, de:06) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A) 15 pessoas. Rebeca faz um desafio a Letícia: “Qual a terça B) 3 pessoas. parte de 312 + 310?”. Assinale a alternativa que C) 20 pessoas. corresponde à resposta CORRETA de Letícia. D) 35 pessoas.A) 11 x 311 E) 36 pessoas.B) 12 x 312C) 10 x 39 12) (UPENET 2005) Eduarda, certo dia, fez comprasD) 6 x 35 em 5 lojas do Shopping Center. Em cada umaE) 8 x 37 gastou a metade do que possuía e pagou, na saída, R$ 2,00 (dois reais) de estacionamento. Após as despesas, restaram a Eduarda R$ 20,00 (vinte07) A expressão é igual a: reais). Quanto Eduarda possuía antes de fazer asA) 0 compras?B) 9 A) R$ 820,00C) –3 B) R$ 1 102,00D) 3 C) R$ 502,00 D) R$ 704,0008) Calculando-se os ¾ dos 2/5 dos 7/3 de 120, obtém- E) R$ 602,00 se:A) 95 13) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE RECIFE)B) 87 Numa escola, os alunos da 8ª série vão realizar umaC) 84 observação num poço com o caminhar de lesmas.D) 21 Observou-se que, em média, uma lesma sobe doisE) 16,8 metros por dia, pára um pouquinho e cai um metro. Supondo que o poço tenha sete metros de09) Qual o valor de a + b, se a/b é a fração irredutível profundidade e que uma lesma esteja no fundo deste poço, para chegar no topo deste poço, essa lesma levará equivalente a ? A) 4 dias.A) 42/9 B) 5 dias.B) 21/9 C) 6 dias.C) 21 D) 7 dias.D) 42 E) 8 dias.10) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos e Pedro são 14) (UPENET 2009 – PREFEITURA DE alunos muito aplicados em matemática. Certo dia, SURUBIM) A calculadora de Juliana é bem Carlos perguntou a Pedro se ele sabia resolver a diferente. Ela tem uma tecla D que duplica o seguinte questão: Determine o algarismo das número escrito no visor e a tecla T, que apaga o unidades do número (8325474)642. Pedro resolveu o algarismo das unidades do número escrito no visor. problema, chegando ao resultado correto. Qual foi o Assim, por exemplo, se estiver escrito 123 no visor resultado a que Pedro chegou? e apertarmos D, teremos 246; depois, apertando T,A) 4 teremos 24. Suponha que esteja escrito 1999. SeB) 2 apertamos D, depois T, em seguida D, depois T,C) 5 teremos o númeroD) 6 A) 96E) 1 B) 98 C) 12311) (UPE 2008) O Conselho Superior de uma D) 79 Universidade é composto por 43 membros com E) 99 direito a voto, sendo 20 diretores de Unidades, 15 diretores de Centros, 8 representantes dos 15) (UPENET 2009 – PMPE) Uma livraria pretende professores. Para que haja votação de um projeto na fazer seu balanço anual. Pedro e João são os reunião, é necessário que esteja presente, pelo contabilistas da Empresa. Se os dois trabalhassem menos, um membro de cada uma das três juntos no serviço, eles fariam o balanço em 6 dias, representações. Se a única informação que o Reitor porém, se João trabalhar sozinho, realizará o da Universidade tem, durante cada reunião do serviço em 18 dias. Em quantos dias, Pedro, Conselho, é o número de pessoas presentes, para ter trabalhando sozinho, concluirá o balanço? 16 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAA) 15 E) múltiplo de 3.B) 13C) 9 Texto para as questões 20 e 21D) 8E) 20 O Programa Nacional do Livro Didático e o Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino16) (UPENET 2009 – PMPE) Um número é composto Médio são realizados pela ECT em parceria com o Fundo por dois algarismos. Sabendo-se que a soma do Nacional de Desenvolvimento da Educação. algarismo das dezenas com o algarismo das unidades é 8 e que, subtraindo-se o número do A operação consiste na entrega, todos os anos, de número formado, permutando-se o algarismo das 100 milhões de livros didáticos a escolas públicas de unidades com o das dezenas, o resto dessa ensino fundamental e médio de todo o Brasil, volume subtração é um número terminado em 6. É equivalente à metade de toda a produção gráfica do CORRETO afirmar que o produto dos algarismos Brasil. Para a distribuição desses livros são realizadas das dezenas com o das unidades do número é viagens de carretas das editoras para os centros deA) 40 tratamento da empresa instalados em pontos estratégicosB) 30 do país. Nessas unidades, as encomendas são tratadas e,C) 45 depois, entregues nas escolas.D) 21 Internet: <www.correios.com.br> (com adaptações).E) 12 QUESTÃO 22 20) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando que e17) (UPENET 2009 – PMPE) Carlos disse a Renato 13% dos livros didáticos sejam 7/40 distribuídos, que era capaz de acertar um número que ele respectivamente, para as regiões Nordeste e Norte, pensasse, fazendo, apenas, 4 perguntas. Renato então a quantidade, em milhões, de livros didáticos achou graça e disse: pensei em um número. Então, destinada a essas duas regiões pelos programas Carlos disse: some ao número pensado o número 5, mencionados no texto é multiplique a soma por 3 e subtraia 10 do produto. A) superior a 15 e inferior a 25. Informe o resultado das operações, e Renato B) superior a 25 e inferior a 35. afirmou 80. Carlos, então, informou corretamente o C) superior a 35 e inferior a 45. número que Renato havia pensado. O produto dos D) superior a 45. algarismos do número que Renato pensou é igual a E) inferior a 15.A) 12B) 15 21) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que 3C) 10 carretas façam, repetidamente, viagem de ida eD) 48 volta entre determinada editora e um centro deE) 50 tratamento da ECT em 4 dias, 5 dias e 6 dias, respectivamente, e, ao completar um percurso de18) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) Uma ida e volta, elas retomem imediatamente esse Padaria promove as seguintes ofertas relativas a percurso. Se, em certo dia, as 3 carretas partirem manteigas da mesma marca: simultaneamente da editora, então elas voltarão a partir juntas novamente dessa editora após A) 45 dias. B) 60 dias. C) 10 dias. D) 15 dias. E) 30 dias. Assinale a alternativa CORRETA.A) A oferta I é a melhor. 22) (FCC - 2010 - TRT - 12ª Região (SC) - TécnicoB) A oferta II é a melhor. Judiciário - Área Administrativa)C) A oferta III é a melhor. Sistematicamente, dois funcionários de umaD) As ofertas I e III são iguais. empresa cumprem horas-extras: um, a cada 15 dias,E) As ofertas II e III são iguais. e o outro, a cada 12 dias, inclusive aos sábados, domingos ou feriados. Se em 15 de outubro de 201019) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) A ambos cumpriram horas-extras, uma outra provável soma de três números naturais consecutivos é coincidência de horários das suas horas-extras sempre um número ocorrerá emA) par. a) 9 de dezembro de 2010.B) ímpar. b) 15 de dezembro de 2010.C) primo. c) 14 de janeiro de 2011.D) quadrado perfeito. d) 12 de fevereiro de 2011. 17 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAe) 12 de março 2011. b) 14 horas do dia 12/10/2000. c) 18 horas do dia 12/10/2000.23) (FCC - 2010 - DPE-SP - Oficial de Defensoria d) 2 horas do dia 13/10/2000. Pública) Duas polias conectadas por uma correia e) 6 horas do dia 13/10/2000. têm comprimentos de 12 cm e 22 cm. 27) Num reservatório há duas torneiras, a primeira enche-o em 3 horas, a segunda em 6 horas; porém há um sifão que o esvazia em 12 horas. Funcionando as torneiras e o sifão simultaneamente em quanto tempo o reservatório se encherá? a) 3h b) 2h24min c) 5h d) 1h30min O menor número de voltas completas que a polia e) 2h30min menor deve dar para que a polia maior dê um número inteiro de voltas é 28) (TRT 24ª REGIÃO 2011 - FCC) Todos os 72a) 7 funcionários de uma Unidade do Tribunal Regionalb) 8 do Trabalho de Mato Grosso do Sul deverão serc) 9 divididos em grupos, a fim de se submeterem ad) 10 exames médicos de rotina. Sabe-se que:e) 11 − o número de funcionários do sexo feminino é igual a 80% do número dos do sexo masculino;24) (FCC - 2008 - MPE-RS - Agente Administrativo) − cada grupo deverá ser composto por pessoas de um Um agente administrativo foi incumbido de tirar mesmo sexo; cópias das 255 páginas de um texto. Para tal ele só − todos os grupos deverão ter o mesmo número de dispõe de uma impressora que apresenta o seguinte funcionários; defeito: apenas nas páginas de números 8, 16, 24, − o total de grupos deve ser o menor possível; 32, ... (múltiplos de 8) o cartucho de tinta vermelha − a equipe médica responsável pelos exames atenderá falha. Considerando que em todas as páginas do a um único grupo por dia. texto aparecem destaques na cor vermelha, então, ao tirar uma única cópia do texto, o número de Nessas condições, é correto afirmar que: páginas que serão impressas sem essa falha éa) 226 A) no total, serão formados 10 grupos.b) 225 B) cada grupo formado será composto de 6c) 224 funcionários.d) 223 C) serão necessários 9 dias para atender a todos ose) 222 grupos. D) para atender aos grupos de funcionários do sexo25) (FCC - 2004 - TRT - 22ª Região (PI) - Técnico feminino serão usados 5 dias. Judiciário) Sistematicamente, Fábio e Cíntia vão a E) para atender aos grupos de funcionários do sexo um mesmo restaurante: Fábio a cada 15 dias e masculino serão usados 6 dias. Cíntia a cada 18 dias. Se em 10 de outubro de 2004 ambos estiveram em tal restaurante, outro provável 29) (UPENET) No piso de uma sala de largura 168cm encontro dos dois nesse restaurante ocorrerá em e comprimento 200cm, um construtor pretendea) 9 de dezembro de 2004. colocar peças de mármore quadradas do mesmob) 10 de dezembro de 2004. tamanho. A menor quantidade dessas peças que elec) 8 de janeiro de 2005. pode usar para cobrir totalmente o piso, sem cortard) 9 de janeiro de 2005. nenhuma peça é:e) 10 de janeiro de 2005. A) 420 B) 50026) (FCC - 2002 - TRE-PI - Técnico Judiciário - C) 525 Área Administrativa) Um médico receitou dois D) 575 remédios a um paciente: um para ser tomado a cada E) 600 12 horas e outro a cada 15 horas. Se às 14 horas do dia 10/10/2000 o paciente tomou ambos os 30) Sejam os números A = 23 . 32 . 5 e B = 2 . 33 . 52. O remédios, ele voltou a tomá-los juntos novamente MDC e o MMC entre A e B valem, às respectivamente:a) 17 horas do dia 11/10/2000. A) 2 . 32 . 5 e 23 . 33 . 52 B) 2 . 52 . 52 e 22 . 32 . 5 18 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAC) 2 . 3 . 5 e 23 . 33 . 52 Adicionando um mesmo número a ambos osD) 22 . 32 . 5 e 2 . 32 . 5 membros de uma equação, ou subtraindo um mesmoE) 23 . 32 . 52 e 2 . 33 . 52 número de ambos os membros, a igualdade se mantém.31) Dados n = 22. 3a. 52. 73 e m = 23. 35. 52. 7b. 11, os Dividindo ou multiplicando ambos os membros de valores de a e b, tais que o mdc(m,n) = 18.900, são: uma equação por um mesmo número não-nulo, aA) a = 2 e b = 3. igualdade se mantém.B) a = 3 e b = 1.C) a = 0 e b = 2. Exemplo:D) a = 3 e b = 2.E) a = 2 e b = 2.32) Se p e q são números naturais distintos e primos, então o MDC(p, q) + MMC(p, q) é igual a:A) p + qB) pqC) pq + 1D) 2E) nda Vejamos alguns exemplos:33) O máximo divisor comum dos números 36, 48, 72, Seja a equação: é:A) 36B) 48C) 72D) 144E) 12 Seja a equação:34) Considerando os números 68 e 36, responda V para verdadeiro e F para falso:A) que 4 é o máximo divisor comum de 36 e 68.B) que 17 é o máximo divisor comum de 36 e 68.C) que 4 é o mínimo divisor comum de 36 e 68.D) que 612 é o máximo múltiplo comum de 36 e E.E) que 2 é o mínimo múltiplo comum de 36 e 68. Seja a equação:F) que 0 é um múltiplo comum de 36 e 68. GABARITO:1-C 2-A 3-E 4-E 5-C 6-C 7-A8-C 9-D 10-D 11-E 12-D 13-C 14-D15-C 16-E 17-C 18-C 19-E 20-B 21-B22- D 23-E 24-C 25-C 26-D 27-B 28-C Membros de uma equação29-C 30-A 31-B 32-C 33-E 34-VFFFFV Numa equação a expressão situada à esquerda da igualdade é chamada de 1º membro da equação, e a expressão situada à direita da igualdade, de 2º membro da equação.EQ UAÇ ÕE S DO 1 º G R AU Exemplo: - 3x + 12 = 2x - 9 As equações do primeiro grau são aquelas que 1º membro 2º membropodem ser representadas sob a forma ax + b = 0, em quea e b são constantes reais, com a diferente de 0, e x é a Cada uma das parcelas que compõem um membro devariável. A resolução desse tipo de equação é uma equação é chamada termo da equação.fundamentada nas propriedades da igualdade descritas aseguir. 4x – 9 = 1 – 2x Termos: 19 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAVariável (ou incógnita) de uma equação: Os elementos membro está multiplicando o x então ele passarádesconhecidos de uma equação são chamados de dividindo no segundo membro.variáveis ou incógnitas. SIST EMAS DE EQUAÇÕES DO 1º GRAUExemplos: COM DUAS VARI ÁVEISA equação x + 5 = 18 tem uma incógnita: x Um sistema de equações com duas variáveis, x e y,A equação x – 3 = y + 2 tem duas incógnitas: x e y é um conjunto de equações do tipoA equação a² – 3b + c = 0 tem três incógnitas: a, b e c Cada um dos valores que, colocados no lugar da ax + by = c (a, b, c R)incógnita, transforma a equação em uma sentençaverdadeira é chamado de raiz da equação. Para ou de equações redutíveis a esta forma.verificarmos se um dado número é ou não raiz de umaequação, basta substituirmos a incógnita por esse número Exemplo:e observarmos se a sentença obtida é ou não verdadeira.1º exemplo: verificar se três é raiz de 5x – 3 = 2x + 6 Resolver um sistema significa encontrar todos os pares ordenados (x; y) onde os valores de x e de y satisfazem a todas as equações do sistema ao mesmo tempo. Exemplo: No sistema indicado no exemplo anterior, o único2º exemplo: verificar se -2 é raiz de x² – 3x = x – 6 par ordenado capaz de satisfazer às duas equações simultaneamente é: (x; y) = (2; 1) ou seja, x = 2 e y = 1 Resolução algébrica Dentre os vários métodos de resolução algébricaO princípio aditivo e o princípio multiplicativo servem aplicáveis aos sistemas do 1° grau, destacamos dois:para facilitar o entendimento da solução de uma equação,mas para resolvê-la existe um método simples e prático • método da adiçãoque é o seguinte: • método da substituiçãoResolver a equação 5x – 8 = 12 + x Para exemplificá-los, resolveremos o sistema seguinte pelos dois métodos:Colocamos no primeiro membro os termos queapresentam variável, e no segundo membro os termosque não apresentam variável. Os termos que mudam demembro têm os sinais trocados.5x – 8 = 12 + x A) Método da Adição5x – x = 12 + 8 1° passo: Multiplicamos as equações por númerosCalculamos a somas algébricas de cada termo: 4.x = 20 escolhidos de forma a obtermos coeficientes opostos em uma das variáveis. No caso, poderemos multiplicar aQuando se passa de um membro para o outro se usa a equação (I) por -2:operação inversa, ou seja, o que está multiplicando passadividindo e o que está dividindo passa multiplicando. Oque está adicionando passa subtraindo e o que estásubtraindo passa adicionando. O número 4 no primeiro 20 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Observe que a variável y tem, agora, coeficientes 4° passo: Escrevemos o conjunto-solução:opostos. S = {(2; 3)}2º passo: Somamos membro a membro as equaçõesencontradas: QUEST ÕES 01) (UPENET) Um pequeno criador tem em sua A variável y foi cancelada restando apenas a criação 150 porcos e galinhas. Sabendo-se que ovariável x na última equação. número de pés dos animais é igual a 400, é CORRETO afirmar que o criador tem3º passo: Resolvemos a equação resultante que tem A) 25 porcos.somente uma variável: B) 50 porcos. -1x = -2 C) 35 porcos. x=2 D) 42 porcos. E) 55 porcos.4º passo: O valor da variável encontrada é substituídonuma das equações iniciais que contenha também a outra 02) (UPENET) Um copo cheio de água pesa 325g. Sevariável e, então, resolvemos a equação resultante: jogarmos metade da água fora, seu peso cai para 180g. O peso do copo vazio é de 2x + y = 7 A) 20g 2(2) + y = 7 B) 25g 4+y=7 C) 35g y = 7 -4 D) 40g y=3 E) 45g5º passo: Escrevemos o conjunto-solução: 03) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA MUNICIPAL) Em um concurso público, numa S = {(2; 3)} prova de 50 quesitos, um candidato obtém 110 pontos. Sabendo-se que em cada questão correta oB) Método da Substituição candidato ganha 3 pontos, e a cada questão incorreta, perde 2 pontos, podemos afirmar que o número de questões que o candidato acertou é1º passo: Isolamos uma das variáveis em uma das A) ímpar.equações dadas: B) divisível por 5. C) múltiplo de 4. D) divisível por 9. E) múltiplo de 7.2º passo: a variável isolada é substituída na outra 04) (UPENET 2009 – GUARDA MUNICIPALequação e, então, resolvemos a equação resultante que OLINDA) Luis foi à farmácia e anotou os preçostem somente uma variável: dos remédios que pretendia levar. Chegando em casa, deu o seguinte problema ao seu irmão: 3x +2y = 12 - o preço do remédio A somado ao preço do remédio 3x + 2(7 - 2x) = 12 B totalizou R$ 98,00; 3x +14 - 4x = 12 - o preço do remédio B somado ao preço do remédio 3x – 4x = 12- 14 C totalizou R$ 130,00; -1x = -2 - o preço do remédio C somado ao preço do remédio x = 2 A totalizou R$ 100,00.3º passo: Levamos o valor encontrado para a equaçãoque tem a variável isolada e calculamos o valor desta: Partindo desses dados, quanto qual a diferença de preços entre os remédios C e A? y = 7 -2x A) 14 y = 7 -2 (2) B) 23 y = 7 -4 C) 32 y=3 D) 45 E) 56 21 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA05) (UPENET 2011 – EXPRESSO CIDADÃO) B) 17 Numa corrida de aventura, as equipes são formadas C) 18 por três atletas. completado 1/2 da trajetória D) 19 estabelecida para o ciclismo, passa o seu bastão E) 20 para o segundo atleta que completará mais 1/4 do total do percurso, quando foi advertido pelo seu 09) (CESPE 2011 - CORREIOS) Em uma empresa, os técnico para que se poupasse, uma vez que o empregados têm direito a descanso remunerado de terceiro atleta não poderá finalizar os 1.500m de um dia a cada 15 dias trabalhados. Em determinado natação, pois está contundido atleta) terá que ano, os dias trabalhados e os dias de descanso finalizar o restante desta prova. Nesse contexto, somaram 224 dias. Com base nessa situação, é conclui correto afirmar que, nesse ano, a quantidade de diasA) 6.000m. de descanso desses empregados foiB) 5.000m. A) superior a 16 e inferior a 20.C) 4.500m. B) superior a 20 e inferior a 24.D) 6.500m. C) superior a 24.E) 5.500m. D) inferior a 12. E) superior a 12 e inferior a 16.06) (UPENET 2009 – PMPE) A Polícia Militar de Pernambuco possui uma frota de 1500 carros, sendo 10) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considerando-se que uma parte utiliza como combustível gasolina, e que 3 caixas de encomenda do tipo 2B e 3 caixas de o restante, bicombustível, que funciona com álcool encomenda do tipo flex correios custem, ao todo, e gasolina. O novo comandante determinou que, R$ 12,00 e que 5 caixas do tipo 2B e 10 do tipo flex neste total de 1500 carros, 80% dos carros a correios custem, ao todo, R$ 28,00, é correto gasolina e 60% dos bicombustíveis sofressem uma afirmar que uma caixa do tipo 2B custa conversão para também funcionar a gás. Sabendo- A) R$ 2,40. se que, após a conversão, 840 do total de carros B) R$ 3,15. passaram a utilizar dois e somente dois tipos de C) R$ 3,20. combustível, é CORRETO afirmar que o número de D) R$ 1,20. carros que permaneceram consumindo somente E) R$ 2,00. gasolina é igual aA) 600 Em um escritório, a despesa mensal com os saláriosB) 200 dos 10 empregados é de R$ 7.600,00. NesseC) 120 escritório, alguns empregados recebem,D) 400 individualmente, R$ 600,00 de salário mensal e osE) 500 outros, R$ 1.000,00. QUESTÃO 3207) (UPENET 2009 – PMPE) Resolvendo o sistema 11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Se, para atender a abaixo, é CORRETO afirmar que 2xy é igual a crescente demanda de serviços, o escritório triplicar a quantidade de empregados com salário de R$ 600,00 e duplicar a quantidade de empregados com salário de R$ 1.000,00, então a despesa desse escritório com os salários de seus empregados passará a ser de A) R$ 18.800,00. B) R$ 18.000,00. C) R$ 18.200,00.A) 12 D) R$ 18.400,00.B) 24 E) R$ 18.600,00.C) 16D) 20 12) (TRT 24º Região 2011 – MS – FCC) Do total deE) 18 pessoas que visitaram uma Unidade do Tribunal Regional do Trabalho de segunda a sexta-feira de08) (UPENET 2009 – GUARDA MUNICIPAL certa semana, sabe-se que: OLINDA) Mateus quer fazer uma viagem a pé de 1/5 o fizeram na terça-feira e 1/6 na sexta-feira. 630 km. Caso ele caminhe 10 km a mais por dia, Considerando que o número de visitantes da andará 4 dias a menos para realizar a viagem. segunda-feira correspondia a 3/4 do de terça-feira e Sendo ―d‖ o número de dias gastos para fazer a que a quarta-feira e a quinta-feira receberam, cada viagem e ―k‖ o número de km que caminhou por uma, 58 pessoas, então o total de visitantes dia, é possível dizer que k - d é igual a recebidos nessa Unidade ao longo de tal semana éA) 16 um número 22 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAA) divisível por 48. a cB) maior que 250. b xC) menor que 150.D) múltiplo de 7. Exemplo: Determinar a quarta proporcional dosE) quadrado perfeito. números 3,5 e 15 nesta ordem. GABARITO: Solução: 3 15 751-C 2-C 3-E 4-C 5-A 6-C 7-D 3 x 5 15 3x 75 x x 25. 5 x 38-B 9-E 10-A 11-A 12-A Proporção contínua é aquela que tem meios iguais. Exemplo: 5 15RAZÕES E PROPORÇÕES A proporção 15 45 é contínua, ela tem seus meios Chama-se razão de dois números, dados numa iguais a 15.certa ordem e sendo o segundo diferente de zero, aoquociente do primeiro pelo segundo. Assim, a razão Numa proporção contínua temos: O valor comum dosentre os números a e b pode ser dita ―razão de a para b” meios é chamado média proporcional (ou médiae representada como: geométrica) dos extremos. 4 8 Ex.: 8 é a média proporcional entre 4 e 16, pois 8 16 a ou a : b b O último termo é chamado terceira proporcional.Onde a é chamado antecedente enquanto b é chamado Ex.: 7 a terceira proporcional dos números 28 e 14, poisconseqüente da razão dada. Ao representar uma razãofreqüentemente simplificamos os seus termos 28 14procurando, sempre que possível, torná-los inteiros. 14 7 .Exemplos: A razão entre 3 e 0,75 é: Proporção múltipla é a igualdade simultânea de três ou mais razões. 3 3 4 3 4 4 para 1 Exemplo: 0,75 3 3 4 a c e 1 e 2 é b d fA razão entre 6 5 : Razões inversas são duas razões cujo produto é igual a 1. 1 6 1 5 5 Exemplo: 5 para 12 2 6 2 12 7 22 1 5 11 14 ,Proporção: é a expressão que indica uma igualdade então dizemos que ― 7 está para 11 na razão inversa de a c 22 para 14’’.entre duas ou mais razões. A proporção b d pode serlida como ―a está para b assim como c está para d‖ e Quando duas razões são inversas, qualquer uma delasrepresentada como a : b : : c : d. Nesta proporção, os forma uma proporção com o inverso da outra.números a e d são os extremos e os números b e c são osmeios. Exemplo:OBS: Em toda proporção o produto dos extremos é igual 7 22 eao produto dos meios. 11 14 são razões inversas.Quarta proporcional de três números dados, a, b e c 7 14 22nesta ordem, é o número x que completa com os outros Então, 11 faz proporção com 22 (que é o inverso de 14 )três uma proporção tal que: 23 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Propriedades das proporçõesConsidere as proporções: são todas iguais, sendo igual a ½ o fator de proporcionalidade da primeira para a segunda.1ª propriedade: Numa proporção, a soma dos doisprimeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assim Como se pode observar, as sucessões de númeroscomo a soma dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). diretamente proporcionais formam proporções múltiplas (já vistas no capítulo de razões e proporções). Assim sendo, podemos aproveitar todas as técnicas estudadas no capítulo sobre proporções para resolver e problemas que envolvam grandezas diretamente proporcionais.2ª propriedade: Numa proporção, a diferença dos doisprimeiros termos está para o 2º (ou 1º) termo, assimcomo a diferença dos dois últimos está para o 4º (ou 3º). Grandezas inversamente proporcionais Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), todos diferentes de zero, dizemos que estes valores são e inversamente proporcionais aos correspondentes valores da sucessão (b1, b2, b3, b4, ...), todos também diferentes3ª propriedade: Numa proporção, a soma dos de zero, quando forem iguais os produtos entre cadaantecedentes está para a soma dos conseqüentes, assim valor de uma das sucessões e o valor correspondente dacomo cada antecedente está para o seu conseqüente. outra. Exemplo: Os valores 2, 3, 5 e 12 são inversamente proporcionais aos valores 30, 20, 12 e 5, nesta ordem, pois os produtos 2 x 30, 3 x 20, 5 x 12 e 12 x 5 são todos iguais.4ª propriedade: Numa proporção, a diferença dosantecedentes está para a diferença dos conseqüentes,assim como cada antecedente está para o seu Relação entre proporção inversa econseqüente. proporção direta Sejam duas sucessões de números, todos diferentes de zero. Se os números de uma são inversamente 5ª propriedade: Numa proporção, o produto dos proporcionais aos números da outra, então os númerosantecedentes está para o produto dos conseqüentes, de uma delas serão diretamente proporcionais aosassim como o quadrado de cada antecedente está para inversos dos números da outra. Esta relação nos permitequadrado do seu conseqüente. trabalhar com sucessões de números inversamente proporcionais como se fossem diretamente proporcionais. Divisão em partes proporcionaisDIVISÃO PROPORCIONAL 1° caso: Divisão em partes diretamente proporcionais Grandezas diretamente proporcionais Dividir um número N em partes diretamente proporcionais aos números a, b, c, ..., significa encontrar Dada a sucessão de valores (a1, a2, a3, a4, ... ), os números A, B, C, ..., tais que:dizemos que estes valores são diretamenteproporcionais aos correspondentes valores da sucessão(b1, b2, b3, b4, ...) quando forem iguais as razões entrecada valor de uma das sucessões e o valorcorrespondente da outra. A + B + C + ... = N 24 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA EXERCÍCIO RESOLVIDO Assim, concluímos que: A = 4p A = 4 x 9 = 361. Dividir o número 72 em três partes diretamente B = 3p B = 3 x 9 = 27 e proporcionais aos números 3, 4 e 5. Indicando por C = 1p C=1x9=9 A, B, e C as partes procuradas, temos que: Portanto, as partes procuradas são 36, 27 e 9. A = 3p, B = 4p, C = 5p e A + B + C = 72Portanto: 3º caso: Divisão composta direta 3p + 4p + 5p = 72 → 12p = 72 → p = 6 Chamamos de divisão composta direta à divisão de um número em partes que devem ser diretamente valor de A→ 3p = 3 x 6 = 18 proporcionais a duas ou mais sucessões de números dados, cada uma. Para efetuarmos a divisão composta valor de B → 4p = 4 x 6 = 24 direta, devemos: valor de C → 5p = 5 x 6 = 30 1º) encontrar uma nova sucessão onde cada valor será o produto dos valores correspondentes das sucessõesPortanto, as três partes procuradas são 18, 24 e 30. dadas;2º caso: Divisão em partes inversamente 2°) efetuar a divisão do número em partes diretamenteproporcionais proporcionais aos valores da nova sucessão encontrada. Dividir um número N em partes inversamenteproporcionais a números dados a, b, c,..., significa 3. Dividir o número 270 em três partes que devem serencontrar os números A, B, C, ... tais que: diretamente proporcionais aos números 2, 3 e 5 e também diretamente proporcionais aos números 4, 3 e 2, respectivamente. Indicando por A, B e C as a x A = b x B = c x C =... e três partes procuradas, devemos ter: A + B + C + ... = N A será ser proporcional a 2 e 4 → 2 x 4 = 8 → A = 8p2. Dividir 72 em partes inversamente proporcionais B será ser proporcional a 3 e 3 → 3 x 3 = 9 → B = 9p aos números 3, 4 e 12. Usando a relação entre C será ser proporcional a 5 e 2 → 5 x 2 = 10 → C= 10p proporção inversa e proporção direta, podemos afirmar que as partes procuradas serão diretamente A + B + C = 270 → 8p + 9p + 10p = 270 proporcionais a 27p = 270 → p = 10 A = 8p = 8 x 10 = 80 B = 9p = 9 x 10 = 90 Reduzindo as frações ao mesmo denominador, C= 10p = 10 x 10 = 100 teremos: Portanto, as três partes procuradas são: 80, 90 e 100. Desprezar os denominadores (iguais) manterá asproporções e ainda simplificará nossos cálculos. Então, QUEST ÕESpoderemos dividir 72 em partes diretamenteproporcionais a 4, 3 e 1 (numeradores). Indicando por A, 01) Assinale a opção cujos números sejam diretamenteB e C as três partes procuradas, teremos: proporcionais a 2, 3 e 7. a) 3, 4 e 8. A = 4p, B = 3p, C = 1p b) 4, 9 e 49. c) 6, 9 e 21. A + B + C = 72 d) 22, 23 e 27. e) 22, 32 e 72. Logo, 4p + 3p + 1p = 72 Daí, 8p = 72 02) Assinale a opção cujos números sejam p = 72/8 inversamente proporcionais a 2, 3 e 7. p=9 25 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAa) 7, 3 e 2. Soldado Idade Tempo serviçob) 1/7, 1/3 e 1/2.c) 0,2 , 0,3 e 0,7 Abel 20 3d) 6, 14 e 21. Daniel 24 4e) 21, 14 e 6. Manoel 30 503) A divisão do número de vereadores de determinada cidade é proporcional ao número de votos que cada 07) Se o número de fichas for 518 e a divisão for feita partido recebe. Na última eleição nesta cidade, em partes diretamente proporcionais às suas concorreram apenas 3 partidos, A, B e C, que respectivas idades, o número de fichas que caberá a receberam a seguinte votação: A teve 10.000 votos, Abel é: B teve 20.000 e C, 40.000. Se o número de a) 140 vereadores dessa cidade é 21, quantos deles são do b) 148 partido B? c) 154a) 6 d) 182b) 7 e) 210c) 8d) 9 08) Se o número de fichas for 504 e a divisão for feitae) 10 em partes diretamente proporcionais às suas respectivas idades, mas inversamente proporcionais04) Os números X e Y encontram-se na razão de 5 para aos seus respectivos tempos de serviço na 7. Então, se o valor de X é 60 o valor de Y é: corporação, o número de fichas que caberá a:a) 84 a) Daniel é 180.b) 80 b) Manoel é 176c) 70 c) Daniel é 170d) 65 d) Manoel é 160e) 35 e) Daniel é 162.05) Se Y é diferente de zero, e se X/Y = 4 , então a 09) Às 10 horas do dia 18 de maio de 2007, um tanque razão de 2X – Y para X, em termos percentuais, é continha 9.050 litros de água. Entretanto, um furo igual a: em sua base fez com que a água escoasse em vazão1) 75%. constante e, então às 18 horas do mesmo dia2) 25%. restavam apenas 8.850 litros de água em seu3) 57%. interior. Considerando que o furo não foi4) 175%. concertado e não foi colocada água dentro do5) 200%. tanque, pode-se dizer que ele ficou completamente vazio às:06) (FCC - 2004 - TRE-PE - Técnico Judiciário - A) 12 horas de 02/06/2007. Área Administrativa) Um total de 141 B) 10 horas de 02/06/2007. documentos devem ser catalogados por três C) 12 horas de 29/05/2007. técnicos judiciários. Para cumprir a tarefa, D) 10 horas de 29/05/2007. dividiram os documentos entre si, em partes inversamente proporcionais às suas respectivas GABARITO: idades: 24, 36 e 42 anos. Nessas condições, o número de documentos que coube ao mais jovem 1-C 2-E 3-A 4-A 5-D 6-B 7-A foi 8-E 9-Aa) 78b) 63 REGRA DE T RÊS SIMPLESc) 57d) 42e) 36 Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvam quatro valores dosO enunciado abaixo refere-se às questões 07 e 08. quais conhecemos três deles. Devemos, portanto, determinar um valor a partir dos três já conhecidos. Na tabela abaixo têm-se as idades e os tempos de serviço de três soldados na corporação, que devem Passos utilizados numa regra de três simples: dividir entre si um certo número de fichas cadastrais para verificação. 1º) Construir uma tabela, agrupando as grandezas da mesma espécie em colunas e mantendo na mesma 26 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA linha as grandezas de espécies diferentes em em 75%, o consumo mensal, em kg, considerando o correspondência. mês de 30 dias, será de:2º) Identificar se as grandezas são diretamente ou A) 350 inversamente proporcionais. B) 4003º) Montar a proporção e resolver a equação. C) 450 D) 500Exemplo: E) 5501) Com uma área de absorção de raios solares de 02) (CESGRANRIO) Além da destruição causada pela 1,2m2, uma lancha com motor movido a energia lava incandescente, uma erupção vulcânica solar consegue produzir 400 watts por hora de provoca, também, um grande acúmulo de cinzas na energia. Aumentando-se essa área para 1,5m2, qual região atingida. O peso de uma camada de 2,5cm de será a energia produzida? cinzas, cobrindo uma área de 100m2, é 8 toneladas. Uma camada de cinzas de 12,8 toneladas que ocupe Solução: montando a tabela: uma área de 200m2 terá uma espessura de quantos centímetros? Energia A) 1,6 Área (m2) (Wh) B) 2,0 1,2 400 C) 3,2 1,5 x D) 3,6 E) 4,0Identificação do tipo de relação: 03) (CESGRANRIO) As motonetas (scooters e motos de baixa cilindrada) caíram no gosto dos brasileiros e ganharam as ruas. Isto porque, além de serem mais baratas do que um carro popular, são muito econômicas. Enquanto um carro popular percorre, Inicialmente colocamos uma seta para baixo na em média, 15 km com um litro de gasolina, a médiacoluna que contém o x (2ª coluna). de uma motoneta é de 40 km por litro. Observe que: Aumentando a área de absorção, a Considerando-se as médias apresentadas, queenergia solar aumenta. distância, em km, um carro popular conseguiria Como as palavras correspondem (aumentando - percorrer com a mesma quantidade de gasolinaaumenta), podemos afirmar que as grandezas são necessária para que uma motoneta percorresse 600diretamente proporcionais. Assim sendo, colocamos km?uma outra seta no mesmo sentido (para baixo) na 1ª A) 120coluna. Montando a proporção e resolvendo a equação B) 150temos: C) 225 D) 300 E) 375 04) (CESGRANRIO) Para reduzir o consumo de energia elétrica, uma empresa instalou dois painéis solares que, juntos, ocupam 560 m2. Se as áreas dos dois painéis são diretamente proporcionais a 3 e a 1, qual a diferença, em m2, entre essas áreas? A) 140 B) 210 C) 280 D) 300 E) 320Logo, a energia produzida será de 500 watts por hora. 05) (CESGRANRIO) Para assistir televisão com conforto, o telespectador deve estar a certa distância da TV. A distância ideal entre o telespectador e a TV é diretamente proporcional à medida da tela. Se, para uma TV de 20 polegadas, a distância ideal é deQUEST ÕES 1,5 m, pode-se concluir que a distância ideal, em metros, entre o telespectador e uma TV de 3201) Quatro cães consomem semanalmente 60 kg de polegadas é de: ração. Assim, ao aumentarmos o número de cães A) 1,8 27 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAB) 2,2 10) (CESGRANRIO) O real perdeu muito seu poderC) 2,4 de compra de 1994 até hoje. Para se ter uma idéiaD) 2,8 dessa perda, um estudo da consultoria global investE) 3,0 mostrou que, com o dinheiro necessário para comprar 8 pizzas ou 20 entradas de cinema em06) (CESGRANRIO) ―E se todos os carros do mundo 1994, hoje o consumidor consegue comprar fossem movidos a álcool? (...) A implantação de um somente 3 pizzas ou 5 entradas de programa de álcool tão ambicioso precisaria ser cinema.Considerando as proporções apresentadas impecável. (...) Um especialista em agronegócio fez nesse estudo, quantas pizzas poderiam ser as contas: para abastecer a atual frota, estimada em compradas em 1994 com a mesma quantia 800 milhões de automóveis, seriam necessários 2,5 necessária para comprar hoje, 20 entradas de trilhões de litros anuais de álcool produzidos em cinema. 400 milhões de hectares de canaviais. Isto equivale A) 36 a cerca de um terço de toda a área cultivada do B) 32 planeta.‖ C) 24 Revista Superinteressante, maio de 2006. (adaptado) D) 16 E) 12 Se a frota mundial aumentasse em 640 milhões de automóveis, a quantidade anual de álcool necessária Texto para as questões 11 e 12 para abastecer toda a frota, em trilhões de litros, passaria a ser: Uma equipe de conferentes analisou os registros deA) 3,1 determinados documentos. Todos os membrosB) 4,0 dessa equipe trabalham com a mesma eficiência, eC) 4,5 3 deles analisaram 60% de todo o material.D) 5,2 QUESTÃO 34E) 8,0 11) (CESPE 2011 - CORREIOS) Na situação apresentada, a quantidade de material analisado por07) (CESGRANRIO) Nas eliminatórias dos jogos Pan- 2 dos conferentes corresponde a Americanos, um atleta brasileiro percorreu 100 A) 48% de todo material. metros em 2 minutos e 30 segundos. No mesmo B) 44% de todo material. ritmo, quantos minutos ele levaria para percorrer C) 40% de todo material. 200 metros? D) 56% de todo material.A) 3 minutos e 10 segundos. E) 52% de todo material.B) 3 minutos e 40 segundos. QUESTÃO 35C) 4 minutos e 30 segundos. 12) (CESPE 2011 - CORREIOS) A partir dasD) 5 minutos. informações do texto, infere-se que a quantidade deE) 6 minutos. conferentes da equipe é igual a A) 6.08) (CESGRANRIO) Para pesquisar se uma área é B) 7. viável para mineração, é necessário obter um alvará C) 8. e pagar uma taxa anual de R$ 1,55 por hectare. D) 9. Uma empresa que solicitar autorização para E) 5. pesquisa em uma área de 652,2 hectares pagará, em reais, uma taxa anual de: GABARITO:A) 807,70B) 987,81 1-C 2-B 3-C 4-C 5-C 6-C 7-DC) 1.010,91 8-C 9-C 10-B 11-C 12-ED) 1.102,79E) 1.325,53 REGRA DE T RÊS COMPOST A09) (FCC - 2004 - TRE-PE - Técnico Judiciário - Área Administrativa) Um relógio está atrasando A regra de três composta é utilizada em problemas 40 segundos por hora. Se ele for acertado às 12 com mais de duas grandezas, direta ou inversamente horas, então, às 08 horas do dia seguinte, estará proporcionais. marcandoa) 7 h 42 min 20 s Exemplo:b) 7 h 44 min 30 sc) 7 h 46 min 40 s 1) Em 8 horas, 20 caminhões descarregam 160m3 ded) 7 h 48 min 20 s areia. Em 5 horas, quantos caminhões serãoe) 7 h 50 min 30 s necessários para descarregar 125 m3? 28 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRASolução: montando a tabela, colocando em cada coluna conforme esquema mostrado no item (c) abaixo.as grandezas de mesma espécie e, em cada linha, asgrandezas de espécies diferentes que se correspondem: b) Identificar aquelas que variam num mesmo sentido (grandezas diretamente proporcionais) e aquelas Horas Caminhões Volume que variam em sentidos opostos (grandezas 8 20 160 inversamente proporcionais), marcando-as com 5 x 125 setas no mesmo sentido ou sentidos opostos, conforme o caso.Identificação dos tipos de relação: c) A incógnita x será obtida da forma sugerida no Inicialmente colocamos uma seta para baixo na esquema abaixo, dada como exemplo de carátercoluna que contém o x (2ª coluna). geral. Sejam as grandezas A, B, C e D, que assumem os valores indicados abaixo, e supondo-se, por exemplo, que a grandeza A seja diretamente proporcional à grandeza B, inversamente proporcional à grandeza C e A seguir, devemos comparar cada grandeza com inversamente proporcional à grandeza D, podemosaquela onde está o x. montar o esquema a seguir:Observe que:Aumentando o número de horas de trabalho, podemosdiminuir o número de caminhões. Portanto a relação éinversamente proporcional (seta para cima na 1ª Neste caso, o valor da incógnita x será dado por:coluna).Aumentando o volume de areia, devemos aumentar onúmero de caminhões. Portanto a relação é diretamenteproporcional (seta para baixo na 3ª coluna). Devemosigualar a razão que contém o termo x com o produto das Observem que para as grandezas que variam no mesmooutras razões de acordo com o sentido das setas. sentido, multiplicamos x pelos valores invertidos e para as grandezas que variam em sentidos opostos,Montando a proporção e resolvendo a equação temos: multiplicamos pelos valores como aparecem no esquema. QUEST ÕES 01) Um carpinteiro fabrica 3 bancos em 2 horas. Seus aprendizes fabricam, cada um, 2 bancos em 3 horas. Quantos aprendizes, no mínimo, devem trabalhar com o carpinteiro para que essa equipe possa fabricar 7 bancos em 2 horas? (A) 7 (B) 6 (C) 5 (D) 4Logo, serão necessários 25 caminhões. (E) 3FORM A PRÁTICA DE RESOLVER PROBLEM AS 02) Em uma fábrica, vinte e cinco máquinas produzemDE REGRA DE TRÊS COM POSTA 15.000 peças de automóvel em doze dias, trabalhando 10 horas por dia. Quantas horas por diaa) Escrever em coluna as variáveis do mesmo tipo, ou deverão trabalhar 30 máquinas, para produzirem seja, aquelas expressas na mesma unidade de 18.000 peças em 15 dias? medida, tendo o cuidado de escrever o valor a) 11 h desconhecido (x) sempre na segunda linha, b) 12 h 29 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAc) 15 h Num lote de 50 lâmpadas, 13 apresentam defeito; a razãod) 8h entre o número de lâmpadas defeituosas e o total de lâmpadas é dada por:03) Certo trabalho é executado por 15 máquinas iguais, em 12 dias de 10 horas. Havendo defeito em três das máquinas, quantos dias de 8 horas deverão trabalhar as demais, para realizar o dobro do trabalho anterior?a) 37,5 diasb) 40 diasc) 30 dias O que significa que, se o lote contivesse 100 lâmpadas,d) 25 dias deveríamos encontrar 26 com defeitos.04) Vinte e cinco teares trabalhando oito horas por dia, Exemplo 3: durante 10 dias, fizeram 1200 metros de certo tecido. Vinte teares trabalhando nove horas por dia Outro modo de representar a taxa de 4% = 4/100 é durante dezoito dias produzirão quantos metros do obtido, simplesmente, efetuando a divisão de 4 por 100: mesmo tecido?a) 1944 m 4 : 100 = 0,04b) 2000 mc) 1500 m Dessa forma:d) 1100 m ►37% = 0,37 ►80% = 0,80 = 0,805) Sabe-se que 4 máquinas, operando 4 horas por dia, ►14,5% = 0,145 ►100% = 1 durante 4 dias, produzem 4 toneladas de certo ►250% = 2,50 = 2,5 ►0,7% = 0,007 produto. Quantas toneladas do mesmo produto seriam produzidas por 6 máquinas daquele tipo, Exemplo 4: operando 6 horas por dia, durante 6 dias?a) 8 Uma bolsa é vendida por R$ 32,00. Se seu preçob) 15 aumentar em 20%, quanto passaria a custar?c) 10,5d) 13,5 Temos: GABARITO: 1º) o aumento seria 20% de 32 = 0,2 x 32 = 6,401-E 2-D 3-A 4-A 5-D 2º) o novo preço seria 32 + 6,40 = R$ 38,40. Poderíamos fazer simplesmente:PORCENT AGEM Para compreendermos o que é uma porcentagemtemos que saber claramente o que é uma razão, as razõescom denominador 100 (razões centesimais) podem serexpressas em forma de porcentagem: Observe que o preço inicial fica multiplicado por 1,2. Portanto, se tivéssemos: ♦ Um aumento de 30% multiplicaria o preço por 1,3; ♦ Um aumento de 16% multiplicaria o preço por 1,16; ♦ Um aumento de 5% multiplicaria o preço por 1,05; Se por outro lado a bolsa fosse anunciada com umExemplo 1: desconto de 20% sobre o preço original, a bolsa passaria a custar:De um grupo de 100 jogadores, 30 praticam basquete.Isso significa que 30% (trinta por cento) dos jovenspraticam basquete.Exemplo 2: 30 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Observe que o preço fica multiplicado por 0,8. D) 20.Assim, se tivéssemos: E) 5.♦ Desconto de 30% multiplicaríamos o preço original 05) (CESPE 2011 - CORREIOS) Um cliente por 0,7; comprou, em uma agência dos Correios, selos♦ Desconto de 16% multiplicaríamos o preço original comemorativos dos 150 anos do nascimento do por 0,84; padre Landell de Moura e dos 150 anos de♦ Desconto de 5% multiplicaríamos o preço original fundação da Caixa Econômica Federal (CAIXA). por 0,95 Para o pagamento desses produtos, o cliente entregou certa quantia em reais e notou que 3/4 dessa quantia correspondiam ao custo dos selosQUEST ÕES comemorativos dos 150 anos do padre Landell de Moura e 1/5, ao custo dos selos comemorativos dos01) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA 150 anos da CAIXA. Nessa situação, com relação à MUNICIPAL) Se o comprimento do raio de um quantia entregue para pagamento, o troco a que faz círculo é aumentado em 30% de seu valor, então a jus o cliente corresponde a sua área aumenta em A) 20%.A) 60% B) 5%.B) 69% C) 8%.C) 80% D) 10%.D) 35% E) 12%.E) 43% 06) (UPENET) Um empregado recebe três aumentos02) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA salariais de aumento. O primeiro de 30%, o MUNICIPAL) Na sala de aula de Maria Eduarda, segundo de 20%, e o terceiro de 10%. É 60% dos alunos são meninos. Passado o 1º mês de CORRETO afirmar que o aumento total recebido aula, 10 alunos mudaram de sala. Depois da saída pelo funcionário foi de dos 10 meninos, a sala ficou com um número de A) 60%. meninos igual ao número de meninas. Qual era o B) 63%. total de estudantes (meninos e meninas) da sala C) 80%. deMaria Eduarda no início das aulas? D) 71,6%.A) 50 E) 82,70%.B) 40C) 55 07) (UPENET) Nas últimas eleições para prefeito deD) 45 uma determinada cidade, onde 12% dos eleitoresD) 48 votaram em branco e 8% não votaram, o vencedor obteve 51% dos votos válidos. Não são03) (UPENET 2007 – AGENTE DE SEGURANÇA considerados válidos os votos em branco e nulos. É MUNICIPAL) Um artigo é vendido em uma loja CORRETO afirmar que o vencedor, de fato, obteve por R$ 125,00. Sobre esse preço, são dados dois de todos os eleitores um percentual de votos da abatimentos sucessivos: um de 16%, e outro de p%. ordem de Se o preço de tal artigo reduziu-se a R$ 81,90, A) 58% então p é igual a: B) 31,8%A) 18 C) 44,7%B) 22 D) 40,8%C) 20 E) 50,1%D) 24E) 26 08) (UPENET PCPE 2007) Uma agência de automóveis vendeu dois veículos por preços iguais,04) (CESPE 2011 - CORREIOS) Considere que, em sendo o primeiro com um lucro de 30% sobre o uma empresa, 50% dos empregados possuam nível preço de custo, e o segundo, com um prejuízo de médio de escolaridade e 5%, nível superior. 30% sobre o preço de custo. Então, relativamente Guardadas essas proporções, se 80 empregados ao custo total dos veículos, a agência dessa empresa possuem nível médio de A) obteve um lucro de 7%. escolaridade, então a quantidade de empregados B) obteve um prejuízo de 7%. com nível superior é igual a C) obteve um lucro de 9%.A) 8. D) obteve um prejuízo de 9%.B) 10. E) não obteve lucro nem prejuízo.C) 15. 31 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA09) (UPENET PCPE 2007) Uma empresa dispensou 20% de seus empregados e aumentou o salário dos restantes, fazendo com que o valor de sua folha de pagamentos diminuísse 10%. O salário médio da empresa - valor da folha de pagamentos dividido pelo número de empregados - teve um aumento percentual deA) 15%B) 12,5%C) 17,5%D) 10%E) 10,25% GABARITO:1-B 2-A 3-B 4-A 5-B 6-D 7-D8-D 9-BANOTAÇÕES 32 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Prezado Aluno, Aqui são revisados alguns dos conceitos básicos de lógica, trataremos de métodos e princípios usados para distinguir entre o raciocínio correto e o incorreto, uso de Conteúdo abordado nesta apostila: linguagens, formais e informais, diagramas de Venn, tabelas verdade, notação simbólica, dedução de provas etc.A) Lógica Proposicional: proposições simples e Esse estudo introduz noções compostas, negação das proposições simples e fundamentais e técnicas da lógica formal compostas; princípios fundamentais, conectivos que podem ser utilizadas em diferentes lógicos, os símbolos da linguagem do cálculo concursos públicos. Em particular, proposicional ou sentencial; fornecem uma base de raciocínioB) Estruturas lógicas: classificação da lógica necessário para outras disciplinas que são (dedutiva e indutiva), argumentos (premissas, cobradas nos concursos. Desde inferência e conclusão), argumentos dedutivos Aristóteles e principalmente durante o válidos e inválidos; tautologia, contradição e século XX, a lógica experimentou um desenvolvimento monumental em direção contingência; a assuntos altamente especializados, queC) Tabela verdade (número de linhas e colunas, hoje é considerada praticamente um ramo valoração e juízos); da matemática. Foi principalmente porD) Lógica sentencial ou de primeira ordem; causa dos estudos em lógica que hoje diagramas lógicos (quantificadores universais e podemos nos sentar diante de um existenciais, variações e negação), diagramas de computador pessoal e nos conectar com o venn; restante do planeta para trocarE) Verdades e mentiras; problemas de informações, desenvolver pesquisas ou correlacionamentos; simplesmente nos divertir.F) Raciocínio Lógico quantitativo. Bem vindo ao Curso e sucesso em sua caminhada! Valclides Guerra Professor Raciocínio Lógico Prof.: Valclides Guerra VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM 33
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA RACIOCÍNIO LÓGICO Princípio da Não Contradição: Uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. MATEMÁTICO Princípio da Identidade: Todo objeto é idêntico a si mesmo.O desenvolvimento do pensamento lógico, essencial para a elaboração, a expressão e a Princípio do Terceiro Excluído: Uma proposição só compreensão das ideias e indispensável à pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra compreensão dos fatos e dos fenômenos sociais, alternativa.culturais e históricos e à identificação dos nexos –lógicos, factuais e eventuais - entre eles, é indispensável CONCEITO DE PROPOSIÇÃOao processo de desenvolvimento do raciocínio quepermite a construção de conhecimentos novos a partir de PROPOSIÇÃO: são sentenças declarativas afirmativasconhecimentos anteriores e o aperfeiçoamento e a que exprimem um pensamento de sentido completo queampliação desses, isto é, à aprendizagem. podem ser verdadeiras ou falsas. O conhecimento é construído, assimilado e Lembre-se de que a lógica formal ou proposicional temaperfeiçoado no cotidiano, a partir das experiências como objetivo utilizar frases declarativas e que nãosociais - principalmente nas relações interpessoais - e possuam ambiguidade.através dos meios de comunicação social e, também,através de experiências formais de aprendizagem,principalmente aquela que se dá nas instituiçõesescolares. No primeiro caso, o processo é dito―espontâneo‖ e está associado à lógica natural e nosegundo, é dito ―científico‖ e se coloca no âmbito da Alguns exemplos de Sentenças abertas e fechadaslógica formal. 1. Frases que não são proposições (são chamadas O Dicionário Conciso Oxford de Inglês define sentenças abertas)lógica como "a ciência do raciocínio, prova, pensamentoou inferência". A lógica irá deixar você analisar um o Pare!argumento ou um pedaço de raciocínio, e deduzir onde é o Quer uma xícara de café?provável de ele ser correto ou não. Você não precisa o Ele foi o melhor jogador de 2007.saber lógica para argumentar, claro; mas se você sabe o O dia estava nublado.pelo menos um pouco, você vai achar mais fácil paraapontar argumentos inválidos. Uma pergunta, uma interjeição, uma ordem, frases sem verbo, citações, poesias, valores desconhecidos INTRODUÇÃO (incógnitas), pronomes etc. não representam proposições. 2. Frases que são proposições (são chamadas A Lógica Matemática, em síntese, sentenças fechadas) pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. Este o A lua é o único satélite do planeta terra. (V) importante ramo da Matemática o A cidade de Patos é a capital do estado do desenvolveu-se no século XIX, Amazonas. (F) sobretudo através das ideias de o O número 712 é par. (V) George Boole, matemático inglês o O Brasil é um país da América do Norte. (F) (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos eoperações algébricas para representar proposições e suas  Portanto, caros concursandos, as proposiçõesinter-relações. assumem alguns valores lógicos! As ideias de Boole tornaram-se a base da LógicaSimbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos da A frase deve conter sujeito e predicado, devemeletricidade, da computação e da eletrônica. A lógica estar especificados o sujeito e o predicado, devendomatemática (ou lógica simbólica) trata do estudo das ter sentido completo (podendo ser verdadeira ousentenças declarativas também conhecidas como falsa).proposições, as quais devem satisfazer a alguns Chama-se valor lógico de uma proposição aprincípios fundamentais. verdade se a proposição é verdadeira e a falsidade se a proposição é falsa. Os valores lógicos verdade PRINCÍPIOS FUNDAMENTAIS e falsidade de uma proposição designam-se 34 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA abreviadamente pelas letras V e F, respectivamente. III) Quantos são os conselheiros do TCE/AC? Assim, o que os princípios da não contradição e do ( ) Certo ( ) Errado terceiro excluído afirmam é que: Toda proposição tem um, e um só, dos valores V, F. Assim, por 05 (SEGER) Na lista de afirmações abaixo, há exemplo: exatamente 3 proposições. I) Mariana mora em Piúma.a) O mercúrio é mais pesado que a água. II) Em Vila Velha, visite o Convento da Penha. III) A expressão algébrica x + y é positiva.b) O Sol gira em torno da Terra. IV) Se Joana é economista, então ela não entende de políticas públicas. O valor lógico da proposição (a) é a verdade (V) e o V) A SEGER oferece 220 vagas em concurso público. valor lógico da proposição (b) é a falsidade (F). ( ) Certo ( ) ErradoEXERCÍCIOS 06 (TRT 17ª Região 2009) Na sequência de frases abaixo há três proposições.01 Marque com x as sentenças que representam I) Quantos tribunais regionais do trabalho há na proposições: região Sudeste do Brasil?d) Boa prova! ( ) II) O TRT/ES lançou edital para preenchimento de 200e) Ele é baixo. ( ) vagas.f) 2 + 5 > 8. ( ) III) Se o candidato estudar muito, então ele serág) ―A frase dentro destas aspas é uma mentira‖.( ) aprovado no concurso do TRT/ES.h) O filme já terminou? ( ) IV) Indivíduo com 50 anos de idade ou mais não poderái) Que horas são? ( ) se inscrever no concurso do TRT/ES.g) Ricardo é juiz. ( ) ( ) Certo ( ) Erradoh) A Lua é um satélite? ( )i) O Brasil é um país da África do Sul. ( ) 07 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A frase ―Quantoj) X é um Estado da Federação Brasileira. ( ) subiu o percentual de mulheres assalariadas nosk) A terra é uma estrela. ( ) últimos 10 anos?‖ não pode ser considerada uma proposição. ( ) ( ) Certo ( ) Errado02 Das cinco frases abaixo, quatro delas têm uma mesma característica lógica em comum, enquanto 08 (FCC) Sabe-se que sentenças são orações com uma delas não tem essa característica. sujeito (o termo a respeito do qual se declara algo) eI. Que belo dia! predicado (o que se declara sobre o sujeito). NaII. Um excelente livro de raciocínio lógico. relação seguinte há expressões e sentenças:III. O jogo terminou empatado? 1. A terça parte de um número.IV. Na palavra Embrapa temos 7 letras. 2. Jasão é elegante.V. Escreva uma poesia. 3. Mente sã em corpo são. 4. Dois mais dois são 5. A frase que não possui essa característica comum é 5. Evite o fumo. a:a) I. 6. Trinta e dois centésimos.b) II. É correto afirmar que, na relação dada, sãoc) III sentenças APENAS os itens de númerosd) IV. A) 1, 4 e 6.e) V. B) 2, 4 e 5. C) 2, 3 e 5.03 (BB-CESPE) Há duas proposições no seguinte D) 3 e 5. conjunto de sentenças: E) 2 e 4.I) O BB foi criado em 1980.II) Faça seu trabalho corretamente. GABARITOIII) Manuela tem mais de 40 anos de idade. ( ) Certo ( ) Errado 01 c, g, i, k 06 C 02 D 07 C04 (TCE/AC) Na lista de frases a seguir, há exatamente 2 proposições. 03 C 08 EI) Esta frase é falsa. 04 EII) O TCE/AC tem como função fiscalizar o orçamento do estado do Acre. 05 C 35 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRACONECTIVOS LÓGICOS E AS PROPOSIÇÕES p q (p ou q são chamados disjunção exclusiva) COMPOSTAS Se chover amanhã de manhã, então não irei à praia: Os conectivos e os modificadores são elementosaplicados a uma ou mais proposições para formar outras p q (p é o antecedente e q o conseqüente)de maior complexidade. Uma proposição, que nãoapresente conectivo nem modificador, é chamada de Comprarei uma mansão se, e somente se, eu ganhar“proposição simples” ou “atômica” e aquela que na loteria:apresenta conectivo ou modificador é dita “proposiçãocomposta”. As proposições podem ser combinadas entresi. Para representar tais combinações usaremos os p qconectivos lógicos. A lua não é quadrada:Proposição simples ou atômica: é uma frase declarativaque expressa um pensamento completo acerca de um pobjeto, isto é, possui um único objeto de estudo.Indicaremos tais proposições por letras minúsculas do OBSERVAÇÕES SOBRE AS PROPOSIÇÕES:nosso alfabeto. 1. Toda proposição composta é uma proposição.Exemplos: 2. Se A e B são proposições então (A B), (A B),p: O México fica na América do Sul. (A B), (A B) e ( A) também são proposições.q: O número 16 é quadrado perfeito.r: João é menino de rua. 3. São proposições apenas as obtidas por 1 e 2.Proposição composta ou molecular: é formada porduas ou mais proposições relacionadas pelos conectivos O MODIFICADOR NEGAÇÃOlógicos. Serão indicadas por letras maiúsculas do nossoalfabeto. Dada a proposição p, indicaremos a sua negação por ~p. (Lê-se "não p"). Ex.: p: Três pontos determinamNotação: P(p, q, r, ...) indica que a proposição composta um único plano (V) ~p: Três pontos não determinam umP é formada pelas proposições simples p, q, r, ... único plano (F) Obs.: duas negações equivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p.CONECTIVOS LÓGICOS OU OPERADORESLÓGICOS: são palavras ou expressões que usamos para Exemplo:formar novas proposições, a partir de outras proposições. p: A lua é quadrada. p: A lua não é quadrada. : e ~(~p): A lua é quadrada. ou... ou... ~(~(~p)): A lua não é quadrada. : ou : se...então ... e assim por diante!!! : se, e somente se ou : não Negação de Proposições CompostasExemplos: Exemplos: João é médico e Pedro é dentista: Proposição composta: (p q): p q (p e q são chamados conjuntos) João é médico e Pedro é dentista. Maria vai ao cinema ou Paulo vai ao circo: Negação: (~p ~q): João não é médico ou Pedro não é dentista. p q (p e q são chamados disjuntos – disjunção inclusiva) Proposição composta: (p q): Ou Luís é baiano, ou é paulista: João é médico ou Pedro é dentista. 36 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA A) ―A seleção brasileira de futebol ganhou ou seuNegação: (~p ~q): técnico foi demitido.‖ B) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou ou o João não é médico e Pedro não é dentista. seu técnico não foi demitido.‖ C) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou e o seu técnico foi demitido.‖Proposição composta: (p q): D) ―A seleção brasileira de futebol ganhou ou o seu técnico não foi demitido.‖ Se João é médico, então Pedro é dentista. E) ―A seleção brasileira de futebol não ganhou ou o seu técnico foi demitido.‖Negação: (p ~q): NEGAÇÃO João é médico e Pedro não é dentista.Proposição composta: (p q): João é médico se, e somente se, Pedro é dentista. 03 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contémNegação: [(p ~q) (q ~p)] a negação da proposição ―A seleção brasileira de futebol é forte e preparada‖. João é médico e Pedro não é dentista. A) ―A seleção brasileira de futebol não é forte ou é ou preparada.‖ Pedro é dentista e João não é médico. B) ―A seleção brasileira de futebol não é forte e não é preparada.‖Resumindo... Preste atenção na tabela abaixo!!! C) ―A seleção brasileira de futebol é forte ou não é preparada.‖Negação de (p q) é ~p ~q D) ―A seleção brasileira de futebol não é forte ou não éNegação de (p q) é ~p ~q preparada.‖Negação de (p q) é p ~q E) ―A seleção brasileira de futebol é forte e não é é preparada.‖Negação de (p q) [(p ~q) (q ~p)]EXERCÍCIOS NEGAÇÃO01 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém a negação da proposição ―João vai comprar um carro ou um barco‖. 04 (CESPE/TRE-ES/09) A proposição ―Carlos é juizA) ―João vai comprar um carro ou não vai comprar um e é muito competente‖ tem como negação a proposição ―Carlos não é juiz nem é muito barco.‖ competente‖.B) ―João não vai comprar um carro e não vai comprar um barco.‖C) ―João não vai comprar um carro ou não vai comprar NEGAÇÃO um barco.‖D) ―João vai comprar um carro e vai comprar um barco.‖E) ―João não vai comprar um carro e vai comprar um barco.‖ 05 (ESAF 2009) A negação de ― Ana ou Pedro vão ao NEGAÇÃO cinema e Maria fica em casa‖ é: a) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria fica em casa b) Ana e Pedro não vão ao cinema ou Maria não fica em casa02 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém a c) Ana ou Pedro vão ao cinema ou Maria não fica em negação da proposição casa ―É mentira que, se a seleção brasileira de futebol d) Ana ou Pedro não vão ao cinema e Maria não fica não ganha, então o seu técnico é demitido‖. em casa 37 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAe) Ana e Pedro não vão ao cinema e Maria fica em GABARITO casa. 01 B 02 A 03 D 04 E 05 B NEGAÇÃO 06 E 07 E 08 E 09 E OS SÍMBOLOS DA LINGUAGEM DO CÁLCULO PROPOSICIONAL OU SENTENCIAL06 (ANPAD) A negação da proposição: ―Pedro fala inglês e francês‖ é: VARIÁVEIS PROPOSICIONAIS: letras latinasa) ―Pedro fala inglês ou fala francês‖ minúsculas p, q, r, s,... para indicar as proposiçõesb) ―Pedro não fala inglês e fala francês‖ simples e letra maiúsculas para indicar proposiçõesc) ―Pedro não fala inglês ou fala francês‖ compostas.d) ―Pedro não fala inglês e não fala francês‖e) ―Pedro não fala inglês ou não fala francês‖. Exemplos: A lua é quadrada: p NEGAÇÃO A neve é branca: q SÍMBOLOS AUXILIARES: ( ) e [ ]: os parênteses e colchetes, por exemplo, são utilizados para denotar o "alcance" dos conectivos.07 A negação da sentença ―Se você estudou Lógica então você acertará esta questão‖ é: Exemplos:a) Se você não acertar esta questão, então você não estudou Lógica. Se a lua é quadrada e a neve é branca então a luab) Você não estudou Lógica e acertará esta questão. não é quadrada: ((p q) p).c) Se você estudou Lógica, então não acertará esta questão. A lua não é quadrada se e somente se a neve éd) Você estudou Lógica e não acertará esta questão. branca: (( p) q)).e) Você não estudou Lógica e não acertará esta questão. Observação NEGAÇÃO O CESPE considerou como proposições simples, no concurso do SEBRAE e STF em 2008, as seguintes sentenças: Pedro e Paulo são analistas do SEBRAE.08 (CESPE) Se a proposição ―O soldado Brito é O orgulho e a vaidade são as portas de entrada da jovem e casado‖, então a proposição ―O soldado ruína do homem. Brito não é jovem mas é solteiro‖ é um enunciado correto para a proposição ~A. Fiquem atentos, pois a maioria dos autores não concorda com esta definição. Portanto, PARA O CESPE, quando a sentença tem dois sujeitos e o mesmo predicado, é NEGAÇÃO considerada uma proposição simples. TABELAS VERDADE09 (TRT 17ª Região) A proposição ―Carlos é juiz e é Trata-se de um algoritmo que possibilita a muito competente‖ tem como negação a proposição sistematização do estabelecimento do valor lógico de um ―Carlos não é juiz nem é muito competente‖. juízo composto em todas as situações possíveis, a partir da separação dos juízos simples que o compõem e sua NEGAÇÃO utilidade é mais significativa no caso de juízos de maior complexidade. Ou seja, é uma maneira prática de organizar os valores lógicos de uma proposição simples ou composta. 38 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA O dispositivo da tabela verdade consiste em uma nossa tabela será formada por 8 linhas (mais uma paramatriz com linhas e colunas, preenchida da seguinte colocarmos os dados no início da tabela), mas quantasforma: colunas???1. Na primeira linha registram-se os juízos que O total de colunas é obtido desmontando-se o nosso compõe aquele em questão, em ordem crescente de argumento em proposições simples e compostas. complexidade, desde os juízos simples, até o próprio juízo objeto da tabela verdade; IMPORTANTE...2. Nas colunas referentes aos juízos simples, a partir da segunda linha, são registradas todas as situações Cada linha é uma possível valoração (possíveis possíveis relativamente aos valores lógicos; respostas diferentes) ao nosso argumento. Já as colunas são chamadas de juízos.3. Em cada linha, a partir da primeira coluna correspondente a um juízo composto, são Observando o argumento ((p q) r), percebemos que registrados os valores lógicos dos juízos que se ele pode ter, no máximo, 8 possíveis resultados e é encontram na primeira linha da respectiva coluna, formado por 5 juízos de valor. estabelecidos em função dos valores atribuídos aos juízos simples na respectiva linha. Processo de arrumação dos dados na tabela:4. O número de linhas distintas de uma tabela-verdade 1ª coluna: p é dado por 2n, onde n é o número de proposições 2ª coluna: q simples componentes e 2 representa o número de 3ª coluna: r valores lógicos possíveis: V ou F. Assim, para duas 4ª coluna: (p q) proposições são 22 = 4 linhas; para 3 proposições 5ª coluna: ((p q) r) são 23 = 8; etc. ...Perceba que os juízos do argumento AUMENTAM, Observação enquanto o nosso... rsrsr. Esqueça.A fórmula 2n será usada para descobrir o total de linhasou seja, saber a quantidade de valorações de uma p q r (p q) ((p q) r)proposição lógica.Exemplos: Construção da primeira coluna: Como cada proposição pode ser ou V ou F, começaremos ap: 21 = 2 linhas (duas valorações possíveis) preencher a primeira coluna pela metade. Ou seja, nossa tabela tem 8 linhas, 8:2 = 4, logo, teremos 4 valoraçõesPara preenchimento dos valores V ou F em cada coluna, verdadeiras (VVVV) e 4 valorações falsas (FFFF).divida o total de linhas por 2 e repita o mesmo processocom o resultado obtido da coluna anterior, até chegar àúltima coluna. O resultado de cada coluna será a p q r (p q) ((p q) r)repetição da valoração V ou F, começando pelo V e Viniciando pela primeira linha. V CONSTRUÇÃO DA TABELA-VERDADE V VExemplo: a tabela verdade da fórmula ((p q) r) terá8 linhas como segue: FVeja como arrumar os dados na tabela: F Nesse caso, temos três proposições simples Fdistintas, aplicando a fórmula 2n, temos: F 3 2 = 2.2.2 = 8 linhas. Construção da segunda coluna: da primeira Precisamos de uma tabela de 8 linhas. Mas se é coluna, temos 4 valorações V e 4 valorações F.tabela, devemos ter linhas e colunas. Já sabemos que Dividindo 4 pela metade, ficaremos com 2 V e 2 F. 39 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Construção da quarta coluna: Está quase p q r (p q) ((p q) r) acabando... Agora devemos pegar o resultado da V V quarta coluna com o resultado da terceira coluna. Como o conectivo lógico utilizado é a disjunção V V inclusiva (ou), o resultado para esta coluna somente será F, caso os valores das colunas em questão V F sejam, ao mesmo tempo falsos. V F p q r (p q) ((p q) r) F V V V V V V F V V V F V V F F V F V F V F F V F F F FConstrução da terceira coluna: da segunda coluna, F V V F Vdividimos 2 por 1, logo ficaremos com 1 V e 1 F. F V F F F p q r (p q) ((p q) r) F F V F V V V V F F F F F V V F Não deixe de praticar... V F V V F F TABELA VERDADE DAS PROPOSIÇÕES COMPOSTAS F V V F V F 1) Tabela verdade da "negação": ~p é verdadeira (falsa) se e somente se p é falsa (verdadeira). F F V P ~p F F F V FConstrução da quarta coluna: Temos a proposiçãocomposta (p q). Vamos juntos formar a dupla de 2) Tabela verdade da "conjunção": a conjunção évaloração. Primeiro, pegamos a valoração da verdadeira se e somente os conjuntos sãoprimeira coluna (p) e depois da segunda coluna (q). verdadeiros.Como o conectivo lógico utilizado aqui é conjunção,o valor nesta coluna, somente será verdadeiro caso p p q p qe q sejam verdadeiros ao mesmo tempo. V V V F p q r (p q) ((p q) r) F V V V V V F F V V F F V F V F 3) Tabela verdade da "disjunção": a disjunção é falsa se, e somente, os disjuntos são falsos. V F F F p q p q F V V F V V F V F F V F F F V F F V F F F F F F 40 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA4) Tabela verdade da "implicação": a implicação é falsa se, e somente se, o antecedente é verdadeiro e o conseqüente é falso. p q p q V V V F F V F F 05 (CESPE – Banco do Brasil 2008) Atribuindo-se todos os possíveis valores lógicos V ou F às5) Tabela verdade da "bi-implicação": a bi- proposições A e B, a proposição [(¬A) B] A implicação é verdadeira se, e somente se seus terá três valores lógicos F ( ) componentes são ou ambos verdadeiros ou ambos falsos. p q p q V V V F F V F F 06 (CESPE – Banco do Brasil 2008) Toda proposição simbolizada na forma A B tem os mesmosEXERCÍCIOS valores lógicos que a proposição B A( )01 (CESPE – Analista Administrativo SEGER) Existem exatamente 8 combinações de valorações das proposições simples A, B e C para as quais a proposição composta (A B) (¬C) pode ser avaliada, assumindo valoração V ou F. Texto para os itens de 07 a 0902 (UnB/CESPE – SGA/AC) Uma proposição da forma (¬A) (B ¬C) tem, no máximo, 6 Sejam P e Q variáveis proposicionais que podem ter possíveis valores lógicos V ou F. valorações, ou serem julgadas verdadeiras (V) ou falsas (F). A partir dessas variáveis, podem ser obtidas novas proposições, tais como: a proposição condicional, denotada por P Q, que será F quando P for V e Q for F, ou V, nos outros casos; a disjunção de P e Q, denotada por P Q, que será F somente quando P e Q forem F, ou03 (CESPE-TRT-BA) Se A, B, C e D forem V nas outras situações; a conjunção de P e Q, denotada proposições simples e distintas, então o número de por P Q, que será V somente quando P e Q forem V, linhas da tabela-verdade da proposição (A B) e, em outros casos, será F; e a negação de P, denotada (C D) será superior a 15. por ¬P, que será F se P for V e será V se P for F. Uma tabela de valorações para uma dada proposição é um conjunto de possibilidades V ou F associadas a essa proposição. A partir das informações do texto acima, julgue os itens subseqüentes.04 (CESPE) A proposição simbólica (P Q) R 07 As tabelas de valorações das proposições P Qe possui, no máximo, 4 avaliações V. Q ¬P são iguais. 41 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA GABARITO 01 C 02 E 03 C 04 E 05 E 06 E 07 E 08 E 09 E 10 C 11 E Estruturas Lógicas08 As proposições (P Q) S e (P S) (Q S) possuem tabelas de valorações iguais. UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA Como vimos anteriormente a Lógica divide-se em LÓGICA INDUTIVA: útil no estudo da teoria da probabilidade, e LÓGICA DEDUTIVA. Estudaremos, aqui, a LÓGICA PROPOSICIONAL OU SENTENCIAL: Como primeira e indispensável parte da Lógica Matemática temos o CÁLCULO PROPOSICIONAL ou CÁLCULO SENTENCIAL ou ainda CÁLCULO DAS SENTENÇAS. Nosso principal objetivo será a investigação da validade de ARGUMENTOS: conjunto de enunciados09 O número de tabelas de valorações distintas que dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais podem ser obtidas para proposições com PREMISSAS. Os argumentos estão tradicionalmente exatamente duas variáveis proposicionais é igual a divididos em DEDUTIVOS e INDUTIVOS. 24. ARGUMENTO DEDUTIVO: é válido quando suas premissas, se verdadeiras, a conclusão é também verdadeira. Premissa : "Todo homem é mortal." Premissa : "João é homem."10 (CESPE) Caso as colunas em branco na tabela Conclusão : "João é mortal." abaixo sejam corretamente preenchidas, a última coluna dessa tabela corresponderá à expressão [P Caros estudantes: esses argumentos serão (¬Q)] [Q P]. objeto de estudo neste roteiro. ARGUMENTO INDUTIVO: a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão. Premissa : "É comum após a chuva ficar nublado." Premissa : "Está chovendo." Conclusão: "Ficará nublado." Não trataremos do estudo desses argumentos neste roteiro.11 (CESPE) A última coluna da tabela-verdade ARGUMENTO abaixo corresponde à proposição (P R) Q. Como dito acima, nosso principal objetivo é a investigação da validade de ARGUMENTOS: Conjunto de enunciados dos quais um é a CONCLUSÃO e os demais PREMISSAS. Argumentos – Um argumento é, segundo Monty Python, "uma série conectada de afirmações para estabelecer uma proposição definida". Argumentos dedutivos têm três estágios: premissas, inferência, e conclusão. 42 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAProposições – Uma proposição é uma afirmação que é Exemplo de Argumento:ou verdadeira ou falsa. A proposição é o significado daafirmação. Aqui há um exemplo de um argumento que é válido, e que pode ou não ser sensato:Por exemplo:"Existe um número par primo maior que dois" é uma A) Premissa: Todos os eventos têm uma causa.proposição. (Uma falsa, nesse caso). B) Premissa: O universo teve um começo. C) Premissa: Todos os começos envolvem um evento."Um número par primo maior que dois existe" é a D) Inferência: Isso implica que o começo do universomesma proposição, refraseada. envolveu um evento. E) Inferência: Portanto o começo do universo tevePremissas – Um argumento dedutivo sempre requer um uma causa.numero de suposições centrais. São as suposições onde o F) Conclusão: O universo teve uma causa.argumento é construído; ou para olhar de outra forma, asrazões para aceitar o argumento. A proposição na linha 4 é inferida das linhas 2 e 3. A linha 1 é então usada, com a proposição derivada naInferência – É um processo passo a passo de se chegar a linha 4, para inferir uma nova proposição na linha 5. Oum argumento. Na inferência, você começa com uma ou resultado da inferência na linha 5 é então reafirmado (emmais proposições que foram aceitas, você então usa essas forma ligeiramente simplificada) como a conclusão.proposições para chegar a uma nova proposição. Se a Diz-se então que uma proposição verdadeira possuiinferência é válida, essa proposição deve ser aceita. Você valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possuipode usar a nova proposição para inferências mais tarde. valor lógico F (falso). Os valores lógicos tambémMuitas vezes são identificadas por frases como costumam ser representados por 0 (zero) para"portanto..." ou "...implica que..." proposições falsas (0 ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras (1 ou V ).Conclusão – A conclusão é o resultado do passo final dainferência. É uma conclusão apenas no contexto de um Mais uma vez relembremos Argumento...argumento particular, poderia ser uma premissa ousuposição em outro argumento. Na estrutura do raciocínio lógico se distingue como elemento central o argumento, que consiste naImplicação em detalhe – Claramente você pode articulação do conjunto de premissas de modo a justificarconstruir um argumento válido de premissas verdadeiras, a conclusão.e chegar a uma conclusão verdadeira. Você também pode As proposições somente podem ser designadas comoconstruir um argumento válido de premissas falsas, e premissa ou como conclusão no contexto de umchegar a uma conclusão falsa. A parte complicada é que argumento e as designações em um argumento podemvocê pode começar com falsas premissas, proceder via ser diferentes em outro. Assim, uma proposição pode serinferências válidas, e alcançar uma conclusão verdadeira. conclusão num argumento e premissa em outro.Exemplo: Resolveremos uma questão detalhando para melhor compreensão de um argumento: Premissa: Todos os peixes vivem no oceano. (falso) Ou Lógica é fácil, ou Artur não gosta de Lógica. Por Premissa: Lontras marinhas são peixes. (falso) outro lado, se Geografia não é difícil, então Lógica é Conclusão: Portanto lontras marinhas vivem no difícil. Daí segue-se que, se Artur gosta de Lógica, oceano. (verdadeiro) então: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. Há uma coisa que você não pode fazer, no entanto: b) Lógica é fácil e Geografia é difícil.começar de premissas verdadeiras, proceder via c) Lógica é fácil e Geografia é fácil.inferência dedutiva válida, e alcançar uma conclusão d) Lógica é difícil e Geografia é difícil.falsa. e) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. O fato que um argumento é válido não Perceba as proposições do argumento:necessariamente significa que sua conclusão supostapode ter começado de premissas falsas. Se um argumento  Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica.é válido, e, além disso, começou de premissasverdadeiras, então é chamado de um argumento sensato.  Se geografia não é difícil, então lógica é difícil.Um argumento sensato deve chegar a uma conclusãoverdadeira.  Artur gosta de lógica. 43 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Perceba que as duas primeiras frases são compostas suposição (segunda premissa). Como já sabemos quepor duas premissas, inseridas numa ―estrutura lógica‖. A lógica fácil é VERDADIRA, então lógica difícil seráprimeira estrutura lógica (a da primeira frase) é do tipo FALSO.ou PREMISSA A ou PREMISSA B. Já a segundaestrutura lógica (a da segunda frase) é do tipo se Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica.PREMISSA A, então PREMISSA B. Para cada um (V) (F)desses tipos de estrutura, haverá diferentes maneiras dese atribuir juízos de verdadeiro e falso, de acordo com oque prescreve a lógica matemática. São aquelas Se geografia não é difícil, então lógica é difícil.chamadas ―tabelas-verdade‖. (F) A terceira frase veio sozinha, desacompanhada,isolada. É uma proposição simples. E o que sabemos Artur gosta de lógica.sobre uma proposição simples? TODA ELA É (V)VERDADEIRA, caso o elaborador não diga ocontrário!!! Logo, ela será a nossa verdade, nosso ponta- Analisando a segunda frase, vemos que essapé inicial. A partir dessa verdade faremos inferência nas segunda premissa (lógica é difícil) está inserida nademais, descobrindo, assim, a valoração de cada estrutura “se premissa A, então premissa B”, para esseproposição. tipo de estrutura só há uma situação em que não é possível, ou seja, não pode ocorrer (V – F). Se aVamos lá concursando! ―premissa B‖ é FALSA, então a ―premissa A‖ jamais poderá ser VERDADEIRA, para não cair justamente naOu lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica. situação inadmissível (V - F). Daí, concluímos: essa (F) ―premissa A‖ terá, necessariamente, de ser FALSA.Se geografia não é difícil, então lógica é difícil. Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica. (V) (F)Artur gosta de lógica. Se geografia não é difícil, então lógica é difícil. (V) (F) (F) Perceba: Artur gosta de lógica. Agora, devemos Artur gosta de lógica.procurar, no argumento, onde se fala em Artur (V)novamente. E lá está. Na primeira proposição composta.Mas perceba que ali diz que Artur NÃO gosta de lógica. Agora todas as premissas já estão marcadas com VE como a verdade (que já temos) é que Artur gosta de ou F. Basta compararmos nossas conclusões com aslógica, o valor da proposição de chegada será FALSO. opções de resposta!Já constatamos que a segunda premissa da primeira frase Se a resposta vier com duas informações, e oé FALSA, uma vez que partimos da verdade que Artur seguinte formato: “INFORMAÇÃO A” Egosta de lógica. Agora, analisemos a primeira frase. Essa “INFORMAÇÃO B”, então você só poderá marcar essapremissa que acabamos de dizer que é FALSA está resposta se AMBAS estiverem corretas.dentro da estrutura “ou premissa A, ou premissa B”, e Se o formato da resposta for: “INFORMAÇÃOsabemos que nesse tipo de estrutura, se a ―premissa de A” OU “INFORMAÇÃO B”, então essa é a resposta dapartida‖ é FALSA, então a ―premissa de chegada‖ tem questão se houver uma das informações que estejaque ser VERDADEIRA. Daí, ficamos que (se uma é correta.falsa a outra deve ser verdadeira): Se a resposta, finalmente, vier no formato: Se“INFORMAÇÃO A”, então “INFORMAÇÃO B”,Ou lógica é fácil, ou Artur não gosta de lógica. então você não marcará essa opção como sendo a nossa (V) (F) resposta caso ela apresente aquele resultado inadmissível, qual seja: (V - F). Se geografia não é difícil, então lógica é difícil. Veremos a resposta da nossa questão: a) Se Geografia é difícil, então Lógica é difícil. Artur gosta de lógica. (V) Ele está partindo da premissa A, considerando-a como verdadeira ou falsa? De acordo com as conclusões Procuremos, agora, uma premissa que fale em que extraímos do nosso raciocínio, concluímos que alógica ser fácil ou não ser fácil. Está na segunda Geografia é difícil. Logo, essa opção de resposta está 44 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRApartindo de uma informação VERDADEIRA. E está todo número inteiro é racional e, portanto, échegando a outra informação, que não deverá ser falsa. complexo”.Mas perceba que a segunda informação dessa resposta éFALSA. Ora, então partimos de uma informação Notemos que a proposição ―Todo número racional éVERDADEIRA e chegamos a uma informação FALSA. complexo‖ é conclusão no primeiro raciocínio e éPara esse tipo de resposta (se informação A, então premissa no segundo.informação B), qual é a situação que nós não poderemos O argumento consiste na estrutura central doadmitir? VERDADEIRA e FALSA. Logo, raciocínio lógico, por isso, comumente ele se confundedescartaremos esta opção. com o próprio raciocínio, razão pela qual há quem os trate como se fossem a mesma coisa. Notemos que ob) Lógica é fácil e Geografia é difícil. raciocínio lógico apresenta em sua estrutura uma única conclusão e, pelo menos uma premissa. Quando todas as Aqui a resposta vem no formato ―informação A” e premissas antecedem à conclusão, dizemos que o“informação B”. Para marcarmos essa opção como raciocínio está estruturado na forma ―canônica‖ e,sendo a certa, será preciso que ambas as informações quando a conclusão antecede às premissas ou estáestejam corretas, lembrados? Então vejamos: é intercalada entre elas, dizemos que o raciocínio estáverdadeiro ou falso que lógica é fácil? É estruturado numa forma singular. No caso em que umaVERDADEIRO. Agora só falta concluirmos sobre a da premissas ou a conclusão está implícita, isto é, não ésegunda informação. É verdadeiro ou falso que materializada através de uma sentença, dizemos que oGeografia é difícil? É VERDADEIRO! PRONTO, esta é argumento está estruturado na forma reduzida.a resposta! Mesmo assim, analisemos as demais opções. ARGUMENTOS DEDUTIVOS VÁLIDOSc) Lógica é fácil e Geografia é fácil. Novamente teriam que ser ambas as informações A noção de argumentos válidos ou não válidosverdadeiras. A primeira o é, mas a segunda não! Logo, aplica-se apenas aos argumentos dedutivos, e tambémopção descartada. que a validade depende apenas da forma do argumento e não dos respectivos valores verdades das premissas. Nãod) Lógica é difícil e Geografia é difícil. podemos ter um argumento válido com premissas Aqui a mesma coisa: ambas teriam que estar certas! verdadeiras e conclusão falsa. A seguir exemplificaremosA primeira já está errada, logo, nem vá atrás de saber da alguns argumentos dedutivos válidos importantes.segunda... descarte logo essa opção! O primeiro argumento dedutivo válido quee) Lógica é difícil ou Geografia é fácil. discutiremos chama-se ―afirmação do antecedente‖, Aqui bastaria que uma das duas opções estivesse (também conhecido como modus ponens).certa, para marcarmos essa opção como nossa resposta.Só que ambas estão erradas. Logo, descartamos também Então vejamos:essa opção. Se José for reprovado no concurso, então será demitidoExemplo do serviço. José foi reprovado no concurso.Consideremos o seguinte raciocínio lógico: Logo, José será demitido do serviço.9) Todo número real é complexo10) Todo número racional é real Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode ser escrita da seguinte forma:11) Todo número racional é complexo O argumento seria: “Sendo todo número real,complexo e todo número racional, real, então, todonúmero racional é real e, portanto, é complexo”.Consideremos outro raciocínio lógico: Ou6) Todo número racional é complexo7) Todo número inteiro é racional8) Todo número inteiro é complexo O argumento é: “Sendo todo número racional,complexo e sendo todo número inteiro, racional, então, 45 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAOutro argumento dedutivo válido é a “negação do p p p pconseqüente” (também conhecido como modus tollens). 1 VObservação: 2 FVimos nas páginas anteriores que (p q) é equivalente a(~q p). Esta equivalência é chamada de contra - CONTRA-TAUTOLOGIA ou FÓRMULApositiva. LOGICAMENTE FALSA: Fórmula que possui apenas valor F em sua tabela verdade.Exemplo: Exemplo: p p―Se ele me ama, então casa comigo‖ é equivalente a ―Seele não casa comigo, então ele não me ama‖.Então vejamos o exemplo do modus tollens.Se aumentarmos os meios de pagamentos, então haveráinflação.Não há inflaçãoLogo, não aumentamos os meios de pagamentos.Este argumento é evidentemente válido e sua forma pode p p p pser escrita da seguinte maneira: 1 V 2 F CONTINGENTE ou FORMA INDETERMINADA: Fórmula que possui valores V e F em sua tabela verdade. Ou Exemplo : p qRaciocínio por Inferência Trata-se do processo de construção do conhecimentoa partir de um raciocínio fundamentado em suposições p q p qno qual se constrói um conhecimento novo mais amplodo que o anterior ou se amplia a abrangência do 1 V Vconhecimento anterior. 2 V F 3 F V TAUTOLOGIA, CONTRA–TAUTOLOGIA OU CONTRADIÇÃO E CONTINGÊNCIA 4 F F TAUTOLOGIA ou FÓRMULA LOGICAMENTE VÁLIDA: Fórmula que possui EXERCÍCIOS apenas valor V em sua tabela verdade. 01 (FUNCAB – Fiscal Municipal de Tributos –Exemplo : p p PMPV/2009) Assinale a afirmação que é logicamente equivalente a ―Não é verdade que, se Maria está grávida, então Beatriz está feliz‖. A) É verdade que ―Maria está grávida e Beatriz está feliz‖. 46 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAB) Não é verdade que ―Maria está grávida ou Beatriz C) Se Laura viajou para o exterior, então Laura não não está feliz‖. viajou para a Inglaterra.C) Não é verdade que ―Maria não está grávida ou D) Se Laura viajou para a Inglaterra, então Laura não Beatriz não está feliz‖. viajou para o exterior.D) Não é verdade que ―Maria não está grávida ou E) Laura não viajou para Inglaterra mas viajou para o Beatriz está feliz‖. exterior.E) É verdade que ―Maria está grávida ou Beatriz está feliz‖. EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCIA 05 (ESAF 2009) Considere a seguinte proposição: "Se chove ou neva, então o chão fica molhado". Sendo02 (CESPE PF 2009) As proposições ―Se o delegado assim, pode-se afirmar que: não prender o chefe da quadrilha, então a operação a) Se o chão está molhado, então choveu ou nevou. agarra não será bem-sucedida‖ e ―Se o delegado b) Se o chão está molhado, então choveu e nevou. prender o chefe da quadrilha, então a operação c) Se o chão está seco, então choveu ou nevou. agarra será bem-sucedida‖ são equivalentes. d) Se o chão está seco, então não choveu ou não nevou. e) Se o chão está seco, então não choveu e não nevou. EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCIA03 (FUNCAB – Fiscal Municipal de Tributos – PMPV/2009) Assinale a afirmação que é logicamente equivalente a ―Fernanda é professora 06 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém ou Patrícia não é brasileira‖. uma proposição equivalente a:A) Fernanda é professora se e somente se Patrícia não é brasileira. “Se Paula é bonita, então Juliana não é magra”.B) Se Fernanda é professora, então Patrícia não é brasileira. A) ―Se Juliana é magra, então Paula é bonita.‖C) Se Fernanda não é professora, então Patrícia é B) ―Se Paula não é bonita, então Juliana é magra.‖ brasileira. C) ―Paula é bonita ou Juliana é magra.‖D) Se Patrícia é brasileira, então Fernanda é D) ―Paula é bonita ou Juliana não é magra.‖ professora. E) ―Se Juliana é magra, então Paula não é bonita.‖E) Fernanda não é professora e Patrícia é brasileira. EQUIVALÊNCIA EQUIVALÊNCIA04 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém 07 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém uma proposição equivalente à ―Se Laura viajou uma proposição equivalente a ―Se o céu está azul, para a Inglaterra, então Laura viajou para o então o almoço não está bom‖. exterior‖. A) ―Se o almoço está bom, então o céu não está azul.‖A) Se Laura não viajou para a Inglaterra, então Laura B) ―Se o almoço não está bom, então o céu está azul.‖ não viajou para o exterior. C) ―O almoço está bom ou o céu está azul.‖B) Se Laura não viajou para o exterior, então Laura D) ―O almoço está bom ou o céu não está azul.‖ não viajou para a Inglaterra. E) ―Se o céu está azul, então o almoço está bom.‖ 47 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA 11 (ANEEL – Técnico Administrativo – ESAF – EQUIVALÊNCIA 2006) Se Elaine não ensaia, Elisa não estuda. Logo, a) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa não estudar. b) Elaine ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar.08 (CESPE) Se A e B são proposições, completando a c) Elaine não ensaiar é condição necessária para Elisa tabela abaixo, se necessário, conclui-se que a não estudar. proposição ¬(A B) ¬A ¬B é uma tautologia. d) Elaine não ensaiar é condição suficiente para Elisa estudar. e) Elaine ensaiar é condição necessária para Elisa estudar. EQUIVALÊNCIA Considere a proposição: Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Simbolizando por P o trecho meu cliente fosse culpado e simbolizando por Q o trecho a arma estaria no carro, obtém-se uma proposição implicativa, ou simplesmente uma implicação, que Considere que as letras P, Q, R e T representem é lida: Se P então Q, e simbolizada por P Q. Uma proposições e que os símbolos ¬, ∧, ∨ e → sejam tautologia é uma proposição que é sempre V (verdadeira). Uma proposição que tenha a forma operadores lógicos que constroem novas P Q é V sempre que P for F (falsa) e sempre que proposições e significam não, e, ou e então, P e Q forem V. Com base nessas informações e na respectivamente. Na lógica proposicional, cada simbolização sugerida, julgue os itens proposição assume um único valor (valor-verdade), subsequentes. que pode ser verdadeiro (V) ou falso (F), mas nunca ambos.09 (CESPE 2005–TRT – 16 REGIÃO - ANALISTA Com base nas informações apresentadas no texto JUDICIÁRIO) A proposição ―Se meu cliente fosse acima, julgue os itens a seguir. culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, ou meu cliente não é culpado ou a arma 12 Se as proposições P e Q são ambas verdadeiras, do crime estaria no carro.‖ não é uma tautologia. então a proposição (¬ P) ∨ (¬ Q) também verdadeira. EQUIVALÊNCIA TABELA VERDADE10 (CESPE 2005 – TRT – 16 REGIÃO - ANALISTA JUDICIÁRIO) proposição ―Se meu cliente fosse culpado, então a arma do crime estaria no carro. Portanto, se a arma do crime não estava 13 Se a proposição T é verdadeira e a proposição R é no carro, então meu cliente não é culpado.‖ é uma falsa, então a proposição R → (¬ T) é falsa. tautologia. TABELA VERDADE EQUIVALÊNCIA 48 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA14 Se as proposições P e Q são verdadeiras (P∧R) → Com base nessas informações e no texto, julgue os itens a seguir: (¬Q) é verdadeira. 20 A sentença Hoje não choveu então Maria não foi ao comércio e José não foi à praia pode ser TABELA VERDADE corretamente representada por ¬P → (¬R ∧ ¬Q) 21 A sentença Hoje choveu e José não foi à praia pode ser corretamente representada por P ∧ ¬QConsidere as sentenças abaixo. 22 Se a proposição Hoje não choveu for valorada como F e a proposição José foi à praia for valoradai. Fumar deve ser proibido, mas muitos europeus como V, então a sentença representada por ¬P → Q fumam.ii. Fumar não deve ser proibido e fumar faz bem à é falsa. saúde.iii. Se fumar não faz bem à saúde, deve ser proibido. GABARITOiv. Se fumar não faz bem à saúde e não é verdade que muitos europeus fumam, então fumar deve ser 01 D 02 E 03 D 04 B 05 E proibido. 06 E 07 A 08 C 09 E 10 Cv. Tanto é falso que fumar não faz bem à saúde como é falso que fumar deve ser proibido; 11 E 12 E 13 E 14 E 15 E conseqüentemente, muitos europeus fumam. 16 C 17 C 18 C 19 E 20 C Considere também que P, Q, R e T representem as sentenças listadas na tabela a seguir. 21 C 22 EP: Fumar deve ser proibido. ANOTAÇÕESQ: Fumar deve ser encorajado.R: Fumar não faz bem à saúde.T: Muitos europeus fumam. Com base nas informações acima e considerando a notação introduzida no texto, julgue os itens seguintes.15 A sentença I pode ser corretamente representada por P ∧ (¬T).16 A sentença II pode ser corretamente representada por (¬ P) ∧ (¬R).17 A sentença III pode ser corretamente representada por R → P.18 A sentença IV pode ser corretamente representada por (R ∧ (¬T)) → P.19 A sentença V pode ser corretamente representada por T → ((¬R) ∧ (¬P)). Suponha que P representa a proposição Hoje choveu, Q represente a proposição José foi à praia e R represente a proposição Maria foi ao comércio. 49 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA RESUMO DA TABELA DOS SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA Estrutura linguagem Sím lógica Exemplo de Função lógica idiomática bolo generalizad proposição singular a Conjunção e a b (5 > 3) (7 < 9) v Disjunção ou avb Irei ao cinema ou à praia Estabelecer condição Se ... então a→ b x=2 → x+3=5 suficiente para um evento ~ Negar uma proposição não ~p O número 2 não é ímpar Quantificador existencial Existe p q x R x>5 Estabelecer relação causal Tal que Quantificador existencial Existe um ! !p q !x Z x+1=2 restrito único Quantificador universal Para todo x, y p x R, y Z x>y Estrutura lógica É verdade quando É falso quando generalizada a b a e b são, ambos, verdade a ou b, um dos dois, é falso avb a ou b, um dos dois é verdade a e b, ambos, são falsos a é falso ou a e b são, ambos, verdadeiros a é verdade e b é falso a b ~p P é falso P é verdade p q Para algum p ocorre q Para todo p ocorre ~q x, p Para qualquer ―x‖ ocorre p Para algum ―x‖ não ocorre p Para um certo ―x‖ ocorre p e para qualquer Para qualquer ―x‖ ocorre ~p ou !x p outro ―x‖ não ocorre p ocorre p para mais de um ―x‖NOTA: "OU EXCLUSIVO" É importante observar que "ou" pode ter dois sentidos na linguagem habitual:inclusivo (disjunção) e exclusivo onde p q significa ((p q) (p q)). p q (p q) (p q) (p q) ((p q) (p q)) V V V F F V F F 50 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAEXERCÍCIOS Se o jardim não é florido, então o gato mia.01 Diga se os argumentos abaixo são válidos ou inválidos: Se o jardim é florido, então o passarinho não canta.a) (CESPE) Ou Josélia é ótima estagiária ou Josélia O passarinho canta. tem salário baixo. Josélia é ótima estagiária. Conclusão, Josélia tem salário baixo. 04 Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Se Carla não foi ao casamento,b) (CESPE) Ou Penha não é linda ou Penha vencerá o Vanderléia viajou. Se Vanderléia viajou, o navio concurso. afundou. Ora, o navio não afundou. Logo: Penha não vencerá o concurso. a) Vera não viajou e Carla não foi ao casamento. Conclusão, Penha não é linda. b) Camile e Carla não foram ao casamento. c) Carla não foi ao casamento e Vanderléia nãoc) (CESPE) Se Antônio for bonito ou Maria for alta, viajou. então José será aprovado no concurso. d) Carla não foi ao casamento ou Vanderléia viajou. Maria é alta. e) Vera e Vanderléia não viajaram. Portanto José será aprovado no concurso.d) Se eu ganhar na loteria, comprarei um carro. Se Vera viajou, nem Camile nem Carla foram ao casamento. Comprei um carro. Logo, ganhei na loteria. Se Carla não foi ao casamento, Vanderléia viajou.02 (AFC) Se Iara não fala italiano, então Ana fala Se Vanderléia viajou, o navio afundou. alemão. Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol. Mas Elton fala O navio não afundou. espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala francês. Ora, Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Logo, 05 Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz. Se oa) Iara não fala italiano e Débora não fala tigre é feroz, então o rei fica no castelo. Se o rei fica dinamarquês; no castelo, então a rainha briga com o rei. Ora, ab) Ching não fala chinês e Débora fala dinamarquês; rainha não briga com o rei. Logo:c) Francisco não fala francês e Elton fala espanhol; a) o rei não fica no castelo e o anão não foge do tigre.d) Ana não fala alemão ou Iara fala italiano; b) o rei fica no castelo e o tigre é feroz.e) Ana fala alemão e Débora fala dinamarquês. c) o rei não fica no castelo e o tigre é feroz. d) o tigre é feroz e o anão foge do tigre. e) o tigre não é feroz e o anão foge do tigre.Se Iara não fala italiano, então Ana fala alemão.Se Iara fala italiano, então ou Ching fala chinês ou Débora fala dinamarquês. Se o anão foge do tigre, então o tigre é feroz.Se Débora fala dinamarquês, Elton fala espanhol.Mas Elton fala espanhol se e somente se não for verdade que Francisco não fala Se o tigre é feroz, então o rei fica no castelo.francês.Francisco não fala francês e Ching não fala chinês. Se o rei fica no castelo, então a rainha briga com o rei. A rainha não briga com o rei.03 Se o jardim não é florido, então o gato mia. Se o jardim é florido, então o passarinho não canta. Ora, o passarinho canta. Logo: 06 Ricardo, Rogério e Renato são irmãos. Um deles éa) o jardim é florido e o gato mia. médico, outro é professor, e o outro é músico. Sabe-b) o jardim é florido e o gato não mia. se que:c) o jardim não é florido e o gato mia.d) o jardim não é florido e o gato não mia. 1) ou Ricardo é médico, ou Renato é médico;e) se o passarinho canta, então o gato não mia. 2) ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 3) ou Renato é músico, ou Rogério é músico; 4) ou Rogério é professor, ou Renato é professor. 51 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Portanto, as profissões de Ricardo, Rogério e 09 (CESPE/SECAD-TO 2008) Considere a seguinte Renato são, respectivamente: seqüência de proposições:a) professor, médico e músicob) médico, professor e músico (1) Se o crime foi perfeito, então o criminoso não foic) professor, músico e médico preso.d) músico, médico e professor (2) O criminoso não foi preso.e) médico, músico e professor. (3) Portanto, o crime foi perfeito. Se (1) e (2) são premissas verdadeiras, então a ou Ricardo é médico, ou Renato é médico; proposição (3), a conclusão, é verdadeira, e a seqüência é uma dedução lógica correta. ou Ricardo é professor, ou Rogério é músico; 10 (CESPE) É correto o raciocínio lógico dado pela ou Renato é músico, ou Rogério é músico; seqüência de proposições seguintes: ou Rogério é professor, ou Renato é professor. Se Célia tiver um bom currículo, então ela conseguirá um emprego.07 Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. Ela conseguiu um emprego. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. Se Portanto, Célia tem um bom currículo. Pedro não é português, então Frederico é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. GABARITO Logo:a) Pedro é português e Frederico é francês. 01 I, V, V, I 02 A 03 C 04 E 05 Ab) Pedro é português e Alberto é alemão.c) Pedro não é português e Alberto é alemão. 06 E 07 B 08 B 09 E 10 Ed) Egídio é espanhol ou Frederico é francês.e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês. Diagramas Lógicos Se Frederico é francês, então Alberto não é alemão. QUANTIFICADORES: “PARA TODO”, Ou Alberto é alemão, ou Egídio é espanhol. “EXISTE”, SUAS VARIAÇÕES E NEGAÇÕES Se Pedro não é português, então Frederico é francês. Quantificadores são termos que indicam a quantos Nem Egídio é espanhol nem Isaura é italiana. elementos de uma determinada classe se aplica uma propriedade. Os Principais são: o universal – todos08 O seguinte enunciado é verdadeiro: (símbolo: ) – e o existencial – pelo menos um (algum) (existe um) (símbolo: ). “Se uma mulher está grávida, então a substancia gonadotrofina está presente em sua urina”. Perceba este exemplo: Duas amigas, Fátima e Mariana, fizeram exames e Todos os humanos são racionais. Alguns animais são humanos. constatou-se que a substância está presente na urina Portanto, alguns animais são racionais. de Fátima e não está presente na urina de Mariana. Utilizando a proposição anunciada, os resultados A verificação da validade desses argumentos nos dos exames e o raciocínio lógico dedutivo: leva não só ao significado dos conectivos mas tambéma) garantem que Fátima está grávida e não se pode ao significado de expressões como "todo", "algum", garantir que Mariana esteja grávida; "qualquer", “pelo menos”, “existe”, “cada”, “nemb) garantem que Mariana não está grávida e não se todos”, etc. pode garantir que Fátima esteja grávida;c) garantem que Mariana está grávida e que Fátima também está grávida; NEGAÇÃO DE SENTENÇAS QUANTIFICADASd) garantem que Fátima não está grávida e não se pode UNIVERSALMENTE garantir que Mariana esteja grávida;e) garantem que Mariana não está grávida e que Qual é a negação de ―todos são‖? a resposta é Fátima está grávida; ―nem todos são‖ ou, o que é o mesmo, “pelo menos um não é”. 52 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Um erro muito comum, e que muitos alunos A - da forma "Todo P é Q"respondem em sala de aula – antes de estudar o assunto, E - da forma "Nenhum P é Q" ou "Todo P não é Q"porque depois todos acertam – é achar que a negação de I - da forma "Algum P é Q"―todos são‖ é ―todos não são‖. Para ver que isso é um O - da forma "Algum P não é Q"erro, basta pensar no conjunto {1, 2, 3, 4} e notar que assentenças ―todos os elementos são pares‖ e ―todos os Se considerarmos P e Q dados acima como doiselementos não são pares‖ são ambas falsas. A negação de conjuntos quaisquer, os enunciados dados podem seruma sentença quantificada universalmente é uma interpretados como segue:sentença quantificada existencialmente. Ou seja, oquantificador universal transforma-se em existencial A: "Todo P é Q" (universal afirmativa) afirma quee nega-se o complemento. todos os elementos de P são elementos de Q, ou seja, que P é um subconjunto de Q, isto é, P Q;Por exemplo: E: "Nenhum P é Q" (universal negativa)A negação de: afirma que os conjuntos P e Q não têm elementosTodos gostam de futebol. em comum, isto é, que P Q = ou ainda que PÉ a sentença: Q’;Pelo menos um não gosta de futebol. I : "Algum P é Q" V (particular afirmativa) afirmaNEGAÇÃO DE SENTENÇAS QUANTIFICADAS que os conjuntos P e Q têm pelo menos um EXISTENCIALMENTE elemento em comum, isto é, P Q O: "Algum P não é Q" (particular negativa) afirma Qual é a negação de ―pelo menos um é‖? Aresposta é ―nenhum é‖ ou, o que é o mesmo, ―todos não que P tem pelo menos um elemento que não está emsão‖. Um erro muito comum é achar que a negação de Q, ou ainda, que P Q’ . Através de―pelo menos um é‖ é ―pelo menos um não é‖. Para ver Diagramas de Venn, temos:que isso é um erro, basta pensar no conjunto {1, 2, 3, 4}e notar que as sentenças ―pelo menos um é par‖ e ―pelo Caros Concursandos, usaremos Diagramas Lógicosmenos um não é par‖ são ambas verdadeiras. A negação sempre que aparecerem quantificadores tais como: todo,de uma sentença quantificada existencialmente é uma algum e nenhum.sentença quantificada universalmente: ou seja, oquantificador existencial transforma-se em universal São ditas proposições categóricas as seguintes:e nega-se o complemento. Todo A é BPor exemplo: Nenhum A é B Algum A é B eA negação de: Algum A não é BPelo menos um gosta de futebol.É a sentença: Proposições do tipo Todo A é B afirmam que oTodos não gostam de futebol. conjunto A é um subconjunto do conjunto B. Ou seja: A está contido em B. Atenção: dizer que Todo A é B nãoResumindo... a negação de: significa o mesmo que Todo B é A.1) TODOS SÃO – nem todos são / pelo menos um Enunciados da forma Nenhum A é B afirmam que não é (a negação de uma sentença quantificada os conjuntos A e B são disjuntos, isto é, não tem universalmente é uma sentença quantificada elementos em comum. Atenção: dizer que Nenhum A é existencialmente); B é logicamente equivalente a dizer que Nenhum B é A.2) PELO MENOS UM É – nenhum é / todos não são. Por convenção universal em Lógica, proposições da forma Algum A é B estabelecem que o conjunto A tem pelo menos um elemento em comum com o conjunto B. ENUNCIADOS CATEGÓRICOS Contudo, quando dizemos que Algum A é B, pressupomos que nem todo A é B. Entretanto, no sentido Certos enunciados se apresentam freqüentemente lógico de algum, está perfeitamente correto afirmar quena Lógica Clássica e tradicionalmente são chamados de ―alguns de meus colegas estão me elogiando‖, mesmoEnunciados Categóricos. que todos eles estejam. Relacionaremos os quatro enunciados mais comunsque são representados pelas letras A, E, I, O: 53 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA Dizer que Algum A é B é logicamente equivalente 2. Se a proposição Nenhum A é B é verdadeira, entãoa dizer que Algum B é A. Também, as seguintes temos somente a representação:expressões são equivalentes: Algum A é B = Pelomenos um A é B = Existe um A que é B. Proposições da forma Algum A não é Bestabelecem que o conjunto A tem pelo menos umelemento que não pertence ao conjunto B. Temos asseguintes equivalências: Algum A não é B = Algum A énão B = Algum não B é A. Mas não é equivalente aAlgum B não é A.Nas proposições categóricas, usam-se também asvariações gramaticais dos verbos ser e estar, tais como é,são, está, foi, eram, ..., como elo de ligação entre A e B. Todo A é B é falsa. Algum A é B é falsa. Como nesta aula teremos várias questões Algum A não é B é verdadeira.envolvendo as palavras todo, algum e nenhum, veja alistagem de algumas regras que já foram vistas. 3. Se a proposição Algum A é B é verdadeira, temos as quatro representações possíveis:Todo A é B = Todo A não é não BAlgum A é B = Algum A não é não BNenhum A é B = Nenhum A não é não BTodo A é não B = Todo A não é BAlgum A é não B = Algum A não é BNenhum A é não B = Nenhum A não é BNenhum A é B = Todo A é não BTodo A é B = Nenhum A é não BA negação de Todo A é B é Algum A não é B (e vice-versa)A negação de Algum A é B é Nenhum A é B (e vice-versa) Verdade ou Falsidade das Proposições Categóricas Dada a verdade ou a falsidade de qualquer uma dasproposições categóricas, isto é, de Todo A é B, Nenhum Nenhum A é B é falsa.A é B, Algum A é B e Algum A não é B. pode-se inferir Todo A é B é indeterminada – pode ser verdadeirade imediato a verdade ou a falsidade de algumas ou de (em 3 e 4) ou falsa (em 1 e 2).todas as outras. Algum A não é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em 1 e 2) ou falsa (em 3 e 4). DIAGRAMAS DE VENN PARA ENUNCIADOS CATEGÓRICOS 4. Se a proposição Algum A não é B é verdadeira, temos as três representações possíveis:1. Se a proposição Todo A é B é verdadeira, então temos as duas representações possíveis: Nenhum A é B é falsa. Algum A é B é verdadeira. Algum A não é B é falsa. 54 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRATodo A é B é falsa. 1°) Teste da alternativa ―a‖ (pelo menos um aluno deNenhum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira português é aluno de inglês)(em 3) ou falsa (em 1 e 2). Pelo desenho, já descartamos essa alternativa.Algum A é B é indeterminada – pode ser verdadeira (em1 e 2) ou falsa (em 3). 2°) Teste da alternativa ―b‖ (pelo menos um aluno de matemática é aluno de história) Exemplo: Também pelo desenho, descartamos essa alternativa.01) (ESAF) Todos os alunos de matemática são, 3°) Teste da alternativa ―c‖ (nenhum aluno de também, alunos de inglês, mas nenhum aluno de português é aluno de matemática) inglês é aluno de história. Todos os alunos de Observando o desenho, vemos claramente que este português são também alunos de informática, e item é verdadeiro. alguns alunos de informática são também alunos de história. Como nenhum aluno de informática é 4°) Teste da alternativa ―d‖ (todos os alunos de aluno de inglês, e como nenhum aluno de português informática são alunos de matemática) é aluno de história, então: Pelo desenho, temos que esta alternativa estáa) pelo menos um aluno de português é aluno de errada. inglês.b) pelo menos um aluno de matemática é aluno de 5°) Teste da alternativa ―e‖ (todos os alunos de história. informática são alunos de português)c)) nenhum aluno de português é aluno de matemática. Pelo desenho, temos que esta alternativa tambémd) todos os alunos de informática são alunos de está errada. matemática.e) todos os alunos de informática são alunos de Resposta: alternativa C. português. O enunciado traz as seguintes proposições EXERCÍCIOScategóricas: 01 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém1. Todos os alunos de matemática são, também, a negação da proposição ―Toda pessoa que possui alunos de inglês carro possui moto‖.2. Nenhum aluno de inglês é aluno de história A) ―Toda pessoa que não possui carro não possui3. Todos os alunos de português são também alunos moto.‖ de informática B) ―Toda pessoa que possui carro não possui moto.‖4. Alguns alunos de informática são também alunos C) ―Nem toda pessoa que possui carro possui moto.‖ de história D) ―A pessoa não possui carro e não possui moto.‖5. Nenhum aluno de informática é aluno de inglês E) ―Ou a pessoa possui carro ou possui moto.‖6. Nenhum aluno de português é aluno de história. NEGAÇÃO Veja que há várias proposições categóricas, edevemos fazer a representação gráfica de cada uma paraencontrar a resposta correta. Não há uma única forma decomeçar. Ou seja, inicie por qualquer proposição. Vámontando seu desenho de forma que você possa entendê-lo. Após finalizar seu desenho (diagramas lógicos) 02 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contémprocure tirar conclusões observando o que se afirma em a negação da proposição ―Todo cachorro é amigocada alternativa. do homem‖. A) Pelo menos um cachorro não é amigo do homem.Veja o desenho: B) Algum cachorro é amigo do homem. C) Pelo menos um cachorro é amigo do homem. D) Nenhum cachorro não é amigo do homem. E) Todo homem não é amigo dos cachorros. NEGAÇÃOTeste das Alternativas 55 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA03 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém NEGAÇÃO a negação da proposição ―Os homens não são sentimentais‖.A) ―É mentira que todos os homens são sentimentais.‖B) ―Todos os homens são sentimentais.‖C) ―Existe homem que não é sentimental.‖D) ―Existe homem que é sentimental.‖ 08 (CESPE) A negação da proposição ―Ninguém aquiE) ―Nenhum homem é sentimental.‖ é brasiliense‖ é a proposição ―Todos aqui são brasilienses. NEGAÇÃO NEGAÇÃO04 (FUNCAB 2009) Marque a alternativa que contém 09 (FUMARC 2010 – Técnico Administrativo) a negação da proposição ―Algum professor é Considere a seguinte proposição: rigoroso‖.A) Todo professor é rigoroso. (i) Todos os alunos assistiram ao filme.B) Nenhum professor é rigoroso.C) Pelo menos um professor é rigoroso. A negação da proposição (i) é:D) Pelo menos um professor não é rigoroso.E) Algum professor não é rigoroso. A) Nenhum aluno assistiu ao filme. B) Algum aluno não assistiu ao filme. C) Alguns alunos assistiram ao filme. NEGAÇÃO D) Todos os alunos não assistiram ao filme. 10 (CESPE) Considere as proposições a seguir. A: Todo marciano é péssimo jogador de futebol.05 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A negação da B: Pelé é marciano proposição ―As palavras mascaram-se‖ pode ser Nessa hipótese, a proposição Pelé é péssimo corretamente expressa pela proposição ―Nenhuma jogador de futebol é uma conclusão correta. palavra se mascara‖ ( ) NEGAÇÃO 11 Suponha-se que as seguintes proposições sejam06 (CESPE – Banco do Brasil 2008) A negação da verdadeiras. proposição ―Existe banco brasileiro que fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos‖ I Todo brasileiro é artista. pode ser assim redigida: ―Nenhum banco brasileiro II Joaquim é um artista. fica com mais de 32 dólares de cada 100 dólares investidos.‖ ( ) Nessa situação, se a conclusão for ―Joaquim é brasileiro‖, então a argumentação é correta. NEGAÇÃO07 (CESPE – EMBASA 2009) A negação da 12 Considere que as proposições ―Todo advogado sabe afirmação Todas as famílias da rua B são lógica‖ e ―Todo funcionário do fórum é advogado‖ preferenciais é Nenhuma família da rua B é são premissas de uma argumentação cuja conclusão preferencial. 56 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA é ―Todo funcionário do fórum sabe lógica‖. Então 16 (Fiscal Recife/2003/ESAF) Pedro, após visitar uma essa argumentação é válida. aldeia distante, afirmou: “Não é verdade que todos os aldeões daquela aldeia não dormem a sesta”. A condição necessária e suficiente para que a afirmação de Pedro seja verdadeira é que seja verdadeira a seguinte proposição: A) No máximo um aldeão daquela aldeia não dorme a sesta B) Todos os aldeões daquela aldeia dormem a sesta C) Pelo menos um aldeão daquela aldeia dorme a13 Todo amigo de Luiza é filho de Marcos. Todo primo sesta. de Carlos, se não for irmão de Ernesto, ou é amigo D) Nenhum aldeão daquela aldeia não dorme a sesta de Luiza ou é neto de Tânia. Ora, não há irmão de E) Nenhum aldeão daquela aldeia dorme a sesta Ernesto ou neto de Tânia que não seja filho de Marcos. Portanto, tem-se, necessariamente, que:a) todo filho de Marcos é irmão de Ernesto ou neto de Tânia.b) todo filho de Marcos é primo de Carlos.c) todo primo de Carlos é filho de Marcos.d) algum irmão de Ernesto é neto de Tânia.e) algum amigo de Luiza é irmão de Ernesto. 17 (TRT 9ª) Observe a construção de um argumento: PREMISSAS: Todos os cachorros têm asas. Todos os animais de asas são aquáticos Existem gatos que são cachorros14 (CESPE) Considere uma argumentação em que duas premissas são da forma: CONCLUSÃO: 1. Nenhum A é B. Existem gatos que são aquáticos. 2. Todo C é A. Sobre o argumento A, as premissas P e a e a conclusão é da forma ―Nenhum C é B‖. Essa conclusão C, é correto dizer que: argumentação não pode ser considerada válida. a) A não é válido, P é falso e C é verdadeiro. b) A não é válido, P e C são falsos. c) A é válido, P e C são falsos. d) A é válido, P ou C são verdadeiros. e) A é válido se P é verdadeiro e C é falso.15 Das premissas: Nenhum A é B. Alguns C são B, segue, necessariamente, que:a) nenhum A é C.b) alguns A são C.c) alguns C são A.d) alguns C não são A. 18 Todas as amigas de Beto são, também, amigas dee) nenhum C é A. Berenice, mas nenhuma amiga de Berenice é amiga de Bruna. Todas as amigas de Bia são também amigas de Bela, e algumas amigas de Bela são também amigas de Bruna. Como nenhuma amiga de Bela é amiga de Berenice, e como Bela, Bia e Bruna não tem nenhuma amiga em comum, então: a) Pelo menos uma amiga de Bia é amiga de Bruna. b) Pelo menos uma amiga de Beto é amiga de Bruna. 57 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRAc) Todas as amigas de Bela são amigas de Beto. GABARITOd) Todas as amigas de Bela são amigas de Bia.e) Nenhuma amiga de Bia é amiga de Beto. 01 C 02 A 03 D 04 B 05 E 06 C 07 E 08 E 09 B 10 C 11 E 12 C 13 C 14 E 15 D 16 C 17 C 18 E 19 E 20 C 21 D ANOTAÇÕES19 Numa cidade litorânea é rigorosamente obedecida a seguinte ordem do prefeito: ―Se não chover, então todos os bares à beira-mar deverão ser abertos‖. Pode-se concluir que:a) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então choveu;b) se todos os bares à beira-mar estão abertos, então não choveu;c) se choveu, então todos os bares à beira-mar estão abertos;d) se choveu, então todos os bares à beira-mar não estão abertos;e) se um bar à beira-mar não está aberto, então choveu.20 Todos os diplomatas são gordos. Nenhum gordo sabe nadar. Segue-se que:a) algum diplomata não é gordo;b) algum diplomata sabe nadar;c) nenhum diplomata sabe nadar;d) nenhum diplomata é gordo;e) algum gordo sabe nadar.21 Se é verdade que ―nenhum artista é atleta‖, então também será verdade que:a) todos não-artistas são não-atletas.b) Nenhum atleta é não-artista.c) Nenhum artista é não-atleta.d) Pelo menos um não-atleta é artista;e) Nenhum não-atleta é artista. 58 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA E RACIOCÍNIO LÓGICO/VALCLIDES GUERRA VERDADES E MENTIRAS mentiu e todos os outros disseram a verdade. Logo, percebemos que só há um culpado e só há um que mente. No Raciocínio Lógico Matemático em questões deVerdades e Mentiras encontraremos uma série de 4. Crie hipóteses (suposições) de verdades ou mentirasdeclarações entrelaçadas entre si, e que, a princípio, nãosabemos se são declarações verdadeiras ou mentirosas. 5. Teste suas suposições e tire as conclusõesFacilmente identificaremos que a questão é uma dessas, necessáriasde ―verdades & mentiras‖. Vejamos uma delas abaixo:01 (ESAF) Um crime foi cometido por uma e apenas Logo, temos o seguinte: uma pessoa de um grupo de cinco suspeitos:  Armando, Celso, Edu, Juarez e Tarso. Perguntados  sobre quem era o culpado, cada um deles  INFORMAÇÕES ADICIONAIS: respondeu:Armando: "Sou inocente" 1º) Só há um culpado.Celso: "Edu é o culpado"Edu: "Tarso é o culpado" 2º) Só há um mentiroso.Juarez: "Armando disse a verdade" Tarso: "Celso mentiu"   DECLARAÇÕES:Sabendo-se que apenas um dos suspeitos mentiu e quetodos os outros disseram a verdade, pode-se concluir queo culpado é: 1º) Armando: "Sou inocente"a) Armandob) Celso 2º) Celso: "Edu é o culpado"c) Edud) Juarez 3º) Edu: "Tarso é o culpado"e) Tarso 4º) Juarez: "Armando disse a verdade"Em todas as questões desse tipo, siga os seguintespassos: 5º) Tarso: "Celso mentiu"1. Perceba as pessoas envolvidas na trama e que todos fazem alguma declaração sobre algo que pode ser Criaremos agora uma hipótese partindo das verdade ou mentira (Armando, Celso, Edu, Juarez e informações adicionais obtidas. Como sabemos que só Tarso); há um mentiroso, supomos, então que um fala a verdade e os demais mentem, e depois testamos nossa hipótese2. Relacione as declarações feitas com as pessoas que as (suposição). pessoas da trama, dessa forma: Armando: "Sou inocente" Crie a HIPÓTESE de que a pessoa que mente seja a Celso: "Edu é o culpado" primeira da fila (a que está fazendo a primeira Edu: "Tarso é o culpado" declaração), no caso, o Armando. Se você está Juarez: "Armando disse a verdade" SUPONDO que o Armando está mentindo, restará Tarso: "Celso mentiu" perfeitamente claro que as demais pessoas estarão dizendo a verdade (uma vez que sabemos que só há um3. Perceba algumas informações adicionais, que neste mentiroso). enunciado é: O crime foi cometido por uma e apenas uma pessoa e Apenas um dos suspeitos HIPÓTESES DECLARAÇÕES: I II III IV V 1º) Armando: "Sou inocente M V V V V 2º) Celso: "Edu é o culpado V M V V V 3º) Edu: "Tarso é o culpado" V V M V V 4º) Juarez: "Armando disse a verdade" V V V M V 5º) Tarso: "Celso mentiu" V V V V M 59 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRACONCLUSÕES: por um funcionário do parque, que queria saber qual deles entrou sem pagar, eles informaram:  Da primeira declaração, extraímos que, se é – ―Não fui eu, nem o Manuel‖, disse Marcos.MENTIRA o que Armando está dizendo, então, – ―Foi o Manuel ou a Maria‖, disse Mário.concluímos que: Armando é culpado. – ―Foi a Mara‖, disse Manuel. – ―O Mário está mentindo‖, disse Mara.  Da segunda declaração, extraímos que, se é – ―Foi a Mara ou o Marcos‖, disse Maria.VERDADE o que Celso está declarando, então, Sabendo-se que um e somente um dos cincoconcluímos que: Edu é culpado. colegas mentiu, conclui-se logicamente que quem entrou sem pagar foi: Logo, percebemos que encontramos 2 culpados, e o a) Márioenunciado diz que só há um culpado. Essa suposição não b) Marcosserve, testemos as demais. c) Mara. d) Manuel Para descobrirmos se a HIPÓTESE II servirá para a e) Marianossa resolução, teremos que extrair dela as nossasconclusões. Marcos: Não fui eu E nem o Manuel Mário: Foi o Manuel ou a MariaTeremos: Manuel: Foi a Mara Mara: O Mário está mentindoCONCLUSÕES: Maria: Foi a Mara ou o Marcos Da primeira declaração, extraímos que, se é VERDADE o que Armando está dizendo, então, 03 Na porta de minha casa passam dois ônibus, um A e concluímos que: Armando é inocente. outro B. Um deles passa pelo Ministério da fazendo; outro não. Na casa ao lado da minha Da segunda declaração, extraímos que, se é moram dois irmãos. Um só diz a verdade, outro só MENTIRA o que Celso está declarando, então, diz mentira. Ao indagar sobre qual ônibus tomar concluímos que: Edu é inocente. para chegar ao Ministério da fazenda, um dos irmãos me disse: ―Se meu irmão estivesse aqui, Da terceira declaração, extraímos que, se é mandaria você tomar o ônibus A‖. Que ônibus devo VERDADE o que Edu está declarando, então, tomar? concluímos que: Tarso é culpado. a) A b) B Da quarta declaração, extraímos que, se é c) A ou B VERDADE o que Juarez está declarando, então, d) nenhum concluímos que: Armando diz a verdade. Neste momento, temos que nos reportar ao ARMANDO, 04 Eu tenho 3 bolas: A, B e C. Pintei uma de vermelho, e confirmar se ele, nesta nossa hipótese, está uma de branco e outra de azul, não necessariamente mesmo dizendo a verdade! E aí? Armando diz a nessa ordem. Somente uma das afirmativas a seguir verdade ou não? Sim, ele diz. Então, esta nossa é verdadeira. quarta conclusão está COERENTE com as demais. I – A é vermelha. II – B não é vermelha. Da quinta e última declaração, extraímos que, se é III – C não é azul. VERDADE o que Tarso está dizendo, então, Qual a cor da bola? concluímos que: Celso mentiu. Também aqui nos a) Vermelha, azul e branca reportaremos ao CELSO, e conferiremos se ele de b) Vermelha, branca e azul fato mentiu! E aí, Celso mentiu ou não? Sim! Pela c) Azul, vermelha e branca nossa hipótese em análise, Celso de fato mentiu. d) Azul, branca e vermelha Deste modo, novamente, não achamos nenhuma e) Branca, azul e vermelha INCOMPATIBILIDADE entre essa conclusão e as demais. 05 Três amigos – Luís, Marcos e Nestor – são casados com Teresa, Regina e Sandra (não necessariamente Daí, Concurseiros, concluímos que de fato, Tarso foi nesta ordem). Perguntados sobre os nomes daso culpado e quem mentiu foi Celso. respectivas esposas, os três fizeram as seguintes declarações: QUESTÕES Nestor: "Marcos é casado com Teresa" Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de02 (ESAF) Cinco colegas foram a um parque de Marcos é Regina" diversões e um deles entrou sem pagar. Apanhados Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra" 60 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA Sabendo-se que o marido de Sandra mentiu e que Raul, Sidnei, Célio, João e Adélio, agentes o marido de Teresa disse a verdade, segue-se que administrativos do MS, nascidos em diferentes unidades as esposas de Luís, Marcos e Nestor são, da Federação: São Paulo, Paraná, Bahia, Ceará e Acre, respectivamente: participaram, no último final de semana, de uma reuniãoa) Sandra, Teresa, Regina em Brasília – DF, para discutir projetos do MS. Raul,b) Sandra, Regina, Teresa Célio e o paulista não conhecem nada de contabilidade; oc) Regina, Sandra, Teresa paranaense foi almoçar com Adélio; Raul, Célio e Joãod) Teresa, Regina, Sandra fizeram duras críticas às opiniões do baiano; o cearense,e) Teresa, Sandra, Regina Célio, João e Sidnei comeram um lauto churrasco no jantar, e o paranaense preferiu fazer apenas um lanche. Nestor: "Marcos é casado com Teresa Com base na situação hipotética apresentada acima, Luís: "Nestor está mentindo, pois a esposa de Marcos é Regina julgue os itens a seguir. Se necessário, utilize a tabela à Marcos: "Nestor e Luís mentiram, pois a minha esposa é Sandra disposição no espaço para rascunho.06 (CESPE) Um líder criminoso foi morto por um de 01 A proposição ―Se Célio nasceu no Acre, então seus quatro asseclas: A, B, C e D. Durante o Adélio não nasceu no Ceará‖, que pode ser interrogatório, esses indivíduos fizeram as seguintes simbolizada na forma A→(¬B), em que A é a declarações. proposição ―Célio nasceu no Acre‖ e B, ―Adélio• A afirmou que C matou o líder. nasceu no Ceará‖, é valorada como V.• B afirmou que D não matou o líder.• C disse que D estava jogando dardos com A quando 02 Considere que P seja a proposição ―Raul nasceu no o líder foi morto e, por isso, não tiveram Paraná‖, Q seja a proposição ―João nasceu em São participação no crime. Paulo‖ e R seja a proposição ―Sidnei nasceu na• D disse que C não matou o líder. Bahia‖. Nesse caso, a proposição ―Se Raul não nasceu no Paraná, então João não nasceu em São Considerando a situação hipotética apresentada Paulo e Sidnei nasceu na Bahia‖ pode ser acima e sabendo que três dos comparsas mentiram simbolizada como (¬P) → [(¬Q) ^ R)] e é valorada em suas declarações, enquanto um deles falou a como V. verdade, julgue os itens seguintes.( ) A declaração de C não pode ser verdadeira Para responder as questões apresentadas (01 e 02), começaremos montando a tabela mostrada na questão.( ) D matou o líder. Para cada afirmação colocada, tiraremos nossas conclusões. Perceba que temos algumas afirmações: A: C matou o líder. B: D não matou o líder. Raul, Célio e o paulista não conhecem nada de C: D e A não tiveram participação no crime. contabilidade; D: C não matou o líder. o paranaense foi almoçar com Adélio; Raul, Célio e João fizeram duras críticas às GABARITO opiniões do baiano; o cearense, Célio, João e Sidnei comeram um 01 E 04 C lauto churrasco no jantar, e o paranaense 02 C 05 D preferiu fazer apenas um lanche. 03 B 06 V V 1) Raul, Célio e o paulista não conhecem nada de contabilidade PROBLEMAS DE CORRELACIONAMENTOS Conclusão: nem Raul, nem Célio são paulistas. São problemas que apresentam diversoselementos e você deve descobrir como eles estãorelacionados entre si. Este tópico é muito cobrado emprovas de Raciocínio Lógico, para compreendermosresolveremos algumas questões. Vamos lá? 2) O paranaense foi almoçar com Adélio. Conclusão: Adélio não é paranaense. 61 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA Fechamos a linha da Bahia. Descobrimos que é o Sidnei.3) Raul, Célio e João fizeram duras críticas às opiniões do baiano. Conclusão: Nenhum dos 3 (Raul, Célio e João) é Fechamos a linha do Acre. Descobrimos que é o baiano. Célio. Por último, João nasceu em São Paulo. 3)O cearense, Célio, João e Sidnei comeram um Após completarmos nossa tabela, passaremos a lauto churrasco no jantar, e o paranaense preferiu resolver as questões. fazer apenas um lanche. 01 Temos uma proposição condicional. Olhando para a Conclusão: nenhum dos 3 (Célio, João e Sidnei) é tabela, descobrimos que: cearense, muito menos paranaense. A = ―Célio nasceu no Acre‖ = V B = ―Adélio nasceu no Ceará‖ = V. Logo: Item errado. 02 Trabalharemos igualzinho à questão anterior! P = ―Raul nasceu no Paraná‖ = V Descobrimos, na linha do Paraná, que só poderá ser Q = ―João nasceu em São Paulo‖ = V o Raul. Daí, completaremos a coluna do Raul com R = ―Sidnei nasceu na Bahia‖ = V N. Então, Item correto. QUESTÕES Agora, é a vez da linha do Ceará. Só poderá ser Adélio. Agora, completaremos a coluna do Adélio 01 (FCC) Amarildo, Bento e Clodoaldo são motoristas com N. do Tribunal de Contas e, certo mês, ao viajarem a serviço pelo estado da Paraíba, observou-se que: _ Um deles fez 5 viagens, enquanto que outro fez 8 e outro 10; _ Em suas viagens, cada um percorreu distâncias diferentes: 90, 150 e 280 Km; _ Clodoaldo percorreu 280 Km; _ Aquele que percorreu 150 Km fez 10 viagens; _ Amarildo fez 5 viagens. 62 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA Com base nas informações dadas, é correto afirmar chama Bete, outra se chama Elza e a outra se chama que: Sara. Sabe, ainda, que cada uma delas fará umaa) Bento percorreu 150 Km. viagem a um país diferente da Europa: uma delasb) Amarildo não percorreu 90 Km. irá à Alemanha, outra irá à França e a outra irá àc) Bento fez 8 viagens. Espanha. Ao agente de viagens, que queriad) Clodoaldo não fez 8 viagens. identificar o nome e o destino de cada uma, elase) Amarildo percorreu 150 Km. deram as seguintes informações: VIAGENS KM A loura: ―Não vou à França nem à Espanha‖. 8 5 10 90 150 280 A morena: ―Meu nome não é Elza nem Sara‖. Amarildo A ruiva: ―Nem eu nem Elza vamos à França‖. Bento Clodoaldo O agente de viagens concluiu, então, acertadamente, que:02 Três meninos estão andando de bicicleta. A a) A loura é Sara e vai à Espanha. bicicleta de um deles é azul, a do outro é preta, a do b) A ruiva é Sara e vai à França. outro é branca. Eles vestem bermudas destas c) A ruiva é Bete e vai à Espanha. mesmas três cores, mas somente Artur está com d) A morena é Bete e vai à Espanha. bermuda de mesma cor que sua bicicleta. Nem a e) A loura é Elza e vai à Alemanha. bermuda nem a bicicleta de Júlio são brancas. Marcos está com bermuda azul. Desse modo: NOMES PAÍSESa) A bicicleta de Júlio é azul e a de Artur é preta. Bete Elza Sara França Espanha Alemanhab) A bicicleta de Marcos é branca e sua bermuda é Loura preta. Morenac) A bermuda de Júlio é preta e a bicicleta de Artur é Ruiva branca.d) A bermuda de Artur é preta e a bicicleta de Marcos 05 Para preencher a tabela a seguir, considere que os é branca. filmes A e B sejam de categorias distintas —e) A bicicleta de Artur é preta e a bermuda de Marcos documentário ou ficção —, e, em um festival de é azul. cinema, receberam premiações diferentes — melhor fotografia ou melhor diretor. Tendo como base as BICICLETA BERMUDAS células já preenchidas, preencha as outras células azul preta branca azul preta branca com V ou F, conforme o cruzamento da informação Artur da linha e da coluna correspondentes constitua uma Júlio proposição verdadeira ou falsa, respectivamente. Marcos03 (AFTN ESAF) Os carros de Artur, Bernardo e César são, não necessariamente nesta ordem, uma Brasília, uma Parati e um Santana. Um dos carros é cinza, um outro é verde, e o outro é azul. O carro de Artur é cinza; o carro de César é o Santana; o carro de Bernardo não é verde e não é a Brasília. As cores da Brasília, da Parati e do Santana são, respectivamente:a) cinza, verde e azul A partir do preenchimento das células da tabela eb) azul, cinza e verde das definições apresentadas no texto, julgue os itensc) azul, verde e cinza subseqüentes.d) cinza, azul e verde ( ) A proposição ―O filme A é um filme de ficção‖ ée) verde, azul e cinza V. CARROS CORES ( ) A proposição ―O documentário recebeu o prêmio Brasília Parati Santana cinza verde azul Artur de melhor fotografia ou o filme B não recebeu o Bernardo prêmio de melhor diretor‖ é V. César ( ) A proposição ―Se o filme B é um documentário, então o filme de ficção recebeu o prêmio de melhor04 (AFC 2002 ESAF) Um agente de viagens atende fotografia‖ é V. três amigas. Uma delas é loura, outra é morena e a outra é ruiva. O agente sabe que uma delas se Leia o texto seguinte: 63 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA06 Roberta, Rejane e Renata são servidoras de um RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO mesmo órgão público do Poder Executivo Federal. Em um treinamento, ao lidar com certa situação, observou-se que cada uma delas tomou uma das PROVA TJ/PE 2007 FCC seguintes atitudes: 01 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência deA1: deixou de utilizar avanços técnicos e científicos que figuras abaixo. estavam ao seu alcance;A2: alterou texto de documento oficial que deveria apenas ser encaminhado para providências;A3: buscou evitar situações procrastinatórias. Cada uma dessas atitudes, que pode ou não estar de acordo com o Código de Ética Profissional do Servidor Público Civil do Poder Executivo Federal (CEP), foi tomada por exatamente uma das servidoras. Além disso, sabe-se que a servidora Renata tomou a atitude A3 e que a servidora Roberta não tomou a atitude A1. Essas informações estão contempladas na tabela a seguir, em que cada célula, correspondente ao cruzamento de uma linha com uma coluna, foi preenchida com V A figura que substitui corretamente a interrogação (verdadeiro) no caso de a servidora listada na linha é: ter tomado a atitude representada na coluna, ou com F (falso), caso contrário. 02 (FCC 2007 – TJ/PE) Todas as estrelas são dotadas Com base nessas informações, julgue os itens de luz própria. Nenhum planeta brilha com luz seguintes. própria. Logo,( ) A atitude adotada por Roberta ao lidar com (A) todos os planetas são estrelas. documento oficial fere o CEP. (B) nenhum planeta é estrela. (C) todas as estrelas são planetas.( ) A atitude adotada por Rejane está de acordo com o (D) todos os planetas são planetas. CEP e é especialmente adequada diante de filas ou (E) todas as estrelas são estrelas. de qualquer outra espécie de atraso na prestação dos serviços. 03 (FCC 2007 – TJ/PE) Aquele policial cometeu homicídio. Mas centenas de outros policiais( ) Se P for a proposição ―Rejane alterou texto de cometeram homicídios, se aquele policial cometeu. documento oficial que deveria apenas ser Logo, encaminhado para providências‖ e Q for a (A) centenas de outros policiais não cometeram proposição ―Renata buscou evitar situações homicídios. procrastinatórias‖, então a proposição P→Q tem (B) aquele policial não cometeu homicídio. valor lógico V. (C) aquele policial cometeu homicídio. (D) nenhum policial cometeu homicídio. (E) centenas de outros policiais cometeram homicídios. GABARITO 04 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa que 01 A 04 E substitui corretamente a interrogação na seguinte seqüência numérica: 02 C 05 ECC 03 D 06 CEC 6 11 ? 27 (A) 15 64 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA(B) 13 08 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa que(C) 18 substitue corretamente a interrogação na seguinte(D) 57 seqüência numérica:(E) 17 8 12 24 60 ?05 (FCC 2007 – TJ/PE) Há cinco objetos alinhados numa estante: um violino, um grampeador, um (A) 56 vaso, um relógio e um tinteiro. Conhecemos as (B) 68 seguintes informações quanto à ordem dos objetos: (C) 91 (D) 134− O grampeador está entre o tinteiro e o relógio. (E) 168− O violino não é o primeiro objeto e o relógio não é o último. 09 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa que− O vaso está separado do relógio por dois outros completa a série seguinte: objetos. J J A S O N D ? Qual é a posição do violino?(A) Segunda posição. (A) J(B) Terceira posição. (B) L(C) Quarta posição. (C) M(D) Quinta posição. (D) N(E) Sexta posição. (E) O06 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência de 10 (FCC 2007 – TJ/PE) Assinale a alternativa figuras abaixo. correspondente ao número de cinco dígitos no qual o quinto dígito é a metade do quarto e um quarto do terceiro dígito. O terceiro dígito é a metade do primeiro e o dobro do quarto. O segundo dígito é três vezes o quarto e tem cinco unidades a mais que o quinto. (A) 17942 (B) 25742 (C) 65384 (D) 86421 (E) 97463 11 (FCC 2007 – TJ/PE) Se Guilherme disse a verdade, Gabriela e Lucas mentiram. Se Lucas A figura que substitue corretamente a interrogação mentiu, Bruna falou a verdade. Se Bruna falou a é: verdade, Maria está dormindo. Ora, Maria não está dormindo. Logo: (A) Guilherme e Gabriela disseram a verdade. (B) Lucas e Bruna mentiram. (C) Lucas mentiu ou Bruna disse a verdade. (D) Lucas e Gabriela mentiram. (E) Guilherme e Bruna mentiram. 12 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência de figuras abaixo.07 (FCC 2007 – TJ/PE) Se Rasputin não tivesse existido, Lenin também não existiria. Lenin existiu. Logo,(A) Lenin e Rasputin não existiram.(B) Lenin não existiu.(C) Rasputin existiu.(D) Rasputin não existiu.(E) Lenin existiu. 65 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA A figura que substitue corretamente a interrogação é: 15 (FCC 2007 – TJ/PE) Em uma cidade, todo pai de13 (FCC 2007 – TJ/PE) A inserção dos números nos pai de família é cantor. Todo filósofo, se não for espaços abaixo observa determinada lógica. marceneiro, ou é pai de família ou é arquiteto. Ora, não há marceneiro e não há arquiteto que não seja cantor. Portanto, tem-se que, necessariamente: (A) todo cantor é filósofo. (B) todo filósofo é cantor. (C) todo cantor é marceneiro ou arquiteto. (D) algum marceneiro é arquiteto. (E) algum pai de família é marceneiro. 16 (FCC 2007 – TJ/PE) Observe a lei de formação usada para construir a seqüência de malhas quadriculadas abaixo. O número que substitui corretamente a interrogação é:(A) 64I(B) 48J Segundo essa lei, a posição que o número 169(C) 42L ocuparia em uma malha 15 ×15 é(D) 15X (A) 9a linha e 14a coluna.(E) 90R (B) 10a linha e 8a coluna. (C) 11a linha e 6a coluna.14 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a seqüência das (D) 12a linha e 4a coluna. figuras abaixo. (E) 13a linha e 5a coluna. 17 (FCC 2007 – TJ/PE) Para todo número inteiro x, define-se uma operação # como: . Nessas condições, o valor da expressão é: (A) –26 (B) –22 (C) –20 A figura que substitue corretamente as (D) 22 interrogações é: (E) 26 66 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA18 (FCC 2007 – TJ/PE) Considere a afirmação RACIOCÍNIO LÓGICO QUANTITATIVO abaixo. Existem funcionários públicos que não são Raciocínio Sequencial eficientes. Seqüências são conjuntos ordenados de elementos Se essa afirmação é FALSA, então é verdade que: (números, figuras geométricas, palavras etc.) gerados por(A) nenhum funcionário público é eficiente. uma regra de formação. Os problemas apresentam alguns(B) nenhuma pessoa eficiente é funcionário público. elementos de uma sequência, pedindo que se ache o(C) todo funcionário público é eficiente. elemento seguinte. O modo de se resolver esse tipo de(D) nem todos os funcionários públicos são eficientes. problemas consiste em descobrir, por intuição,(E) todas as pessoas eficientes são funcionários observação dos elementos dados, e às vezes, alguns públicos. cálculos, qual a regra de formação e aplicá-la ao último elemento da série, completando, assim, a sequência19 (FCC 2007 – TJ/PE) A sucessão de figuras abaixo pedida. foi construída da esquerda para a direita segundo determinado padrão. Exemplo: A famosa seqüência de Fibonacci na qual o valor do próximo elemento numérico é dado pela soma dos dois anteriores: 1 – 2 – 3 – 5 – 8 – 13 – 21 – 34 – 55 – 89 … De acordo com esse padrão, a figura que completa a Porém, caros concurseiros, os exercícios com seqüência dada é: seqüências não se limitam a números. Podem existir seqüencias de letras, figuras, combinações de ambas, palavras com significados análogos e diversas outras. Veremos nos exercícios vários modelos das mais diversas formas de raciocínio seqüencial. O que você vai ter que perceber ao ler cada enunciado, é qual tipo de raciocínio está sendo utilizado para que você – candidato – não perca mais do que o tempo necessário para resolver a questão. A prática constante dos modelos trabalhados em sala de aula e outros encontrados por você durante sua jornada de estudo fará de você um candidato capaz de enfrentar qualquer prova das mais variadas bancas de concurso. E toda a aparente complexidade das questões20 (FCC 2007 – TJ/PE) Suponha que exista uma desaparece. Resta apenas o trabalho, sei que muitas pessoa que só fala mentiras às terças, quartas e vezes ele é árduo - é verdade - mas de resultados quintas-feiras, enquanto que, nos demais dias da garantidos, se treinar e treinar fazendo muitos exercícios. semana, só fala a verdade. Nessas condições, somente em quais dias da semana seria possível ela Sequência Numérica: fazer a afirmação ―Eu menti ontem e também mentirei amanhã.‖? É a capacidade de compreender problemas que(A) Terça e quinta-feira. utilizam operações que envolvam números, bem como o(B) Terça e sexta-feira. domínio das operações aritméticas básicas. As questões(C) Quarta e quinta-feira. relativas a raciocínio numérico são apresentadas sob a(D) Quarta-feira e sábado. forma de sequência de números. Deve-se encontrar a lei(E) Quinta-feira e domingo. de formação da sequência para dar continuidade a mesma. GABARITO Sequência de palavras: 01 A 06 B 11 E 16 D 02 B 07 C 12 A 17 B 01 Seja a sucessão de vocábulos formados todos com cinco letras: 03 E 08 E 13 B 18 C 04 C 09 A 14 C 19 E ARARA, PRETA, ATIVA, ADOTA, X 05 D 10 D 15 B 20 A A palavra que substitui corretamente o X é: a) PAVÃO 67 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRAb) CISNE trabalhados na série. Percebeu? Pois é. Éc) GANSO uma sequência de números primos (aquelesd) CORVO que só têm dois divisores – um e elee) URUBU mesmo). Percebeu agora? O próximo número é, portanto, 13 (letra A).Solução: Observe, em cada palavra, que elas são formadas por 5 letras e, além disso, perceba Algumas dicas para resolver sequências: que a letra central encontra-se em ordem alfabética... viu??? Se a sequência for numérica, a primeira dica é observar se trata de uma série crescente (soma, ARARA, PRETA, ATIVA, ADOTA,... produto, potência etc.), decrescente (subtração, divisão, radiciação etc.) ou alternada. Descobrir...isso mesmo!!! Já sabe qual a palavra que dá sequência a operação empregada e aplicá-la no número seguinte;a série acima??? Você acertou, é isso aí! ur Ubu.Resposta: alternativa E. Caso seja uma série de letras, a primeira dica é observar se segue a ordem do alfabeto (escreva,Vamos a outra questão? de forma rápida o alfabeto e marque as letras dadas na sequência) descobrindo a relação entre02 Uma propriedade comum reúne a seguinte sucessão elas. Caso não consiga visualizar nenhuma de palavras: relação pense em relação de nomes conhecidos como: meses do ano, dias da semana, nome dos DEFEITO, ESTUDANTE, ABCISSA, números naturais etc. INOPITAR, X Em sequências de figuras, observe, sem perder A palavra que substitui corretamente o X é tempo, o comportamento das figuras. Muitasa) ANZOL vezes, as figuras são formadas por outrasb) EMPRESTADO menores. Não deixe de observar oc) PRENDERA comportamento delas com relação ao tamanho,d) TUVIRA direção, quantidade, posição, substituição,e) SEMPRE organização etc.Solução: Procure perceber que propriedade a Caso tenham sequências com misturas de sequência foi montada... não desanime... números, letras e/ou figuras, procure aplicar as siga em frente... percebeu??? dicas anteriores, observando, ainda, se existe relação entre esses dados.DEFEITO, ESTUDANTE, ABCISSA, INOPITAR,... Aplicaremos estas dicas em sala de aula na Observe que cada palavra apresenta três letras resolução dos exercícios.consecutivas do alfabeto. Nas opções de resposta, a únicaque apresenta essa característica é a palavra TUVIRA. QuestõesResposta: alternativa D. 01 A sentença seguinte é seguida de um número entre02 Uma propriedade comum reúne a seguinte sucessão parênteses, que corresponde ao número de letras de de números: uma palavra que se aplica à definição dada. 2, 3, 5, 7, 11, X “Tudo aquilo que não é cópia ou imitação.” (8) O número que substitui corretamente o X é: a) Aa) 13 b) Ob) 15 c) Pc) 20 d) Qd) 25 e) Re) 30 02 Uma propriedade lógica define a sucessão:Solução: Procure perceber com que propriedade a SEGURO, TERRA, QUALIDADE, QUILATE, sequência foi montada... Veja que a série SEXTANTE, SABIO, ..... aumenta (é crescente – soma, produto etc). Escolha a alternativa que preenche corretamente a Não conseguiu perceber nenhuma operação? lacuna: É verdade. Tente observar se você conhece a) JADE. alguma característica dos números b) CHINÊS. 68 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRAc) TRIVIAL. 07 (TRT 24ª 2006) Considere a seqüência (16,d) DOMÍNIO. 18, 9, 12, 4, 8, 2, X). Se os termos dessa seqüênciae) ESCRITURA. obedecem a uma lei de formação, o termo X deve ser igual a:03 A sucessão seguinte de palavras obedece a uma a) 12. ordem lógica: b) 10. c) 9. VIL, RUIM, FEIO, BOIOU, X. d) 7. e) 5. Escolha a alternativa que substitui X corretamente: 08 (TRF 4ª 2004) Considere os conjuntos dea) MALVADO. números:b) CAPIXABA.c) SOTEROPOLITANO. 8 3 10 2 7 3d) BONITO. 25 64 Xe) PIAUIENSE. Mantendo para os mesmos números do terceiro04 Observe a sucessão a seguir composta de letras do conjunto a seqüência das operações efetuadas nos alfabeto da língua portuguesa e escolha a conjuntos anteriores para se obter o número abaixo alternativa que determina X corretamente: do traço, é correto afirmar que o número X é: a) 9. B, D, G, L, Q, X b) 16.a) R. c) 20.b) U. d) 36.c) X. e) 40.d) A. 09 (TRF 4ª 2004) Considere os seguintes pares de05 (BACEN 2006) Na figura abaixo, as letras foram números: (3, 10), (1, 8), (5, 12), (2, 9), (4, 10). dispostas em forma de um triângulo segundo Observe que quatro desses pares têm uma determinado critério: característica comum. O único paralelepípedo que não apresenta tal característica é: P a) (3, 10). P Q b) (1, 8). P R S c) (5, 12). Q R S T d) (2, 9). Q R _ _ ? e) (4, 10). Considerando que as letras K, W e Y não fazem 10 Em relação á disposição numérica seguinte, parte do alfabeto oficial, então, de acordo com o assinale a alternativa que preenche a vaga critério estabelecido, a letra que deve substituir o assinalada pela interrogação: ponto de interrogação é:a) P. 2 8 5 6 8 ? 11b) Q. a) 1c) R. b) 4d) S. c) 3e) T. d) 29 e) 4206 (TRT 23ª 2004) Esta seqüência de palavras segue uma lógica: 11 Os números abaixo estão dispostos de maneira lógica. _ Pá _ Xale 8 - 1 - 12 - 10 - 14 - 11 - ? - 3 - 7 - 5 – 16 - 9 _ Japeri A alternativa correspondente ao número que Uma quarta palavra que daria continuidade lógica substitui a interrogação é: à seqüência poderia ser: a) 14a) Casa. b) 5b) Anseio. c) 6c) Urubu. d) 8d) Café e) 12e) Sua. 69 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA12 (MPU) Ana guarda suas blusas em uma única 15 (FCC) Assinale a alternativa que substitui a letra x. gaveta em seu quarto. Nela, encontram-se sete blusas azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao menos duas blusas da mesma cor é:a) 6b) 4c) 2d) 8 a) 29e) 10 b) 7 c) 6.13 Em uma avenida reta, a padaria fica entre o posto de d) 5 gasolina e a banca de jornal, e o posto de gasolina e) 3 fica entre a banca de jornal e a sapataria. Logo:a) a sapataria fica entre a banca de jornal e a padaria; 16 (FCC) Considerando as relações horizontais eb) a banca de jornal fica entre o posto de gasolina e a verticais entre as figuras, assinale a alternativa que padaria; substitui a interrogação.c) o posto de gasolina fica entre a padaria e a banca de jornal;d) a padaria fica entre a sapataria e o posto de gasolina;e) o posto de gasolina fica entre a sapataria e a padaria.14 (FCC) Assinale a alternativa, entre as cinco relacionadas, que preenche a vaga assinalada pela interrogação. 17 (FCC) Observe que a sucessão de figuras abaixo obedece a um padrão de construção para a obtenção das figuras subseqüentes. A quarta figura, que completa a seqüência, é: 70 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
  • M ATEMÁTICA/VALCLIDES GUERRA 20 (FCC 2008) Observe que, no diagrama abaixo, foram usadas somente as letras K, R, C, S, A, F, X, H, T e que cada linha tem uma letra a menos que a anterior. KRCSAFXHT STCKXFRH FHKTRSX18 (FCC) Considere que a seqüência de figuras HKRXST seguinte foi construída obedecendo a uma lei de TRSKX formação. •••• Se as letras foram retiradas obedecendo a um certo critério, então a próxima letra a ser retirada será A) T B) R C) S Segundo essa lei, a figura que completa a sucessão, D) K substituindo o ponto de interrogação, é E) X 21 (AFC) Pedro saiu de casa e fez compras em quatro lojas, cada uma num bairro diferente. Em cada uma gastou a metade do que possuía e, ao sair de cada uma das lojas, pagou R$ 2,00 de estacionamento. Se, no final, ainda tinha R$ 8,00, que quantia tinha Pedro ao sair de casa? a) R$ 220,00 b) R$ 204,00 c) R$ 196,00 d) R$ 188,00 e) R$ 180,0019 Observe atentamente a disposição das cartas em cada linha do esquema seguinte: 22 Qual é a 1997ª letra da seqüência ABCDEDCBABCDEDCBABCDEDCB...? A) E B) D C) C D) B E) A 23 (FUNRIO) Os conjuntos A, B, C e D são definidos de acordo com uma ordem lógica. Sabendo que A = { 1, 2, 5, 10 }, B = { 1, 2, 4, 5, 10, 20 } e C = { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30 }, o conjunto D é: a) { 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 40 } b) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 15, 20, 30, 40 } c) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 25, 30, 40 } d) { 1, 2, 3, 4, 5, 10, 20, 40 }A carta que está oculta é: e) { 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40 } GABARITO 01 B 06 B 11 C 16 E 21 D 02 D 07 D 12 A 17 A 22 A 03 E 08 B 13 E 18 E 23 E 04 C 09 E 14 D 19 A 05 E 10 B 15 C 20 D 71 VALCLIDESGUERRA@GMAIL.COM / WWW.VALCLIDES. BLOGSPOT.COM
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