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Matrices+y+determinantes

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  • 1. MATRICES Y DETERMINANTES Definición de matriz Se llama matriz de orden m×n a todo conjunto rectangular de elementos a ij dispuestos en m líneas horizontales (filas) y n verticales (columnas) de la forma: Abreviadamente suele expresarse en la forma A =( a ij ), con i =1, 2, ..., m, j =1, 2, ..., n. Los subíndices indican la posición del elemento dentro de la matriz, el primero denota la fila ( i ) y el segundo la columna ( j ). Por ejemplo el elemento a 25 será el elemento de la fila 2 y columna 5.
  • 2. MATRICES Y DETERMINANTES
    • Matriz fila: Es una matriz que solo tiene una fila, es decir m =1 y por tanto es de orden 1 x n .
    Matriz columna: Es una matriz que solo tiene una columna, es decir, n =1 y por tanto es de orden m x 1 . Tipos de matrices :
  • 3. MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices:
    • Matriz cuadrada: Es aquella que tiene el mismo número de filas que de columnas, es decir m = n . En estos casos se dice que la matriz cuadrada es de orden n , y no n x n .
    • Los elementos a ij con i = j , o sea a ii forman la llamada diagonal principal de la matriz cuadrada, y los elementos a ij con i + j = n +1 la diagonal secundaria.
  • 4. MATRICES Y DETERMINANTES
    • Matriz traspuesta: Dada una matriz A, se llama traspuesta de A, y se representa por A t , a la matriz que se obtiene cambiando filas por columnas. La primera fila de A es la primera fila de A t , la segunda fila de A es la segunda columna de A t , etc.
    • De la definición se deduce que si A es de orden m x n , entonces A t es de orden n x m .
    Tipos de matrices : Matriz simétrica: Una matriz cuadrada A es simétrica si A = A t , es decir, si a ij = a ji  i, j . Matriz antisimétrica: Una matriz cuadrada es antisimétrica si A = –A t , es decir, si a ij = – a ji  i, j .
  • 5. MATRICES Y DETERMINANTES
    • Matriz nula es aquella que todos sus elementos son 0 y se representa por 0
    La matriz La matriz es una matriz nula de orden 3 es una matriz nula de orden 2 x 4 Tipos de matrices :
  • 6. MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices : Matriz diagonal: Es una matriz cuadrada, en la que todos los elementos no pertenecientes a la diagonal principal son nulos. Matriz escalar: Es una matriz diagonal con todos los elementos de la diagonal iguales Matriz unidad o identidad: Es una matriz escalar con los elementos de la diagonal principal iguales a 1.
  • 7. MATRICES Y DETERMINANTES Tipos de matrices : Matriz Triangular: Es una matriz cuadrada que tiene nulos todos los elementos que están a un mismo lado de la diagonal principal. Las matrices triangulares pueden ser de dos tipos: Triangular Superior: Si los elementos que están por debajo de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij = 0  i < j. Triangular Inferior: Si los elementos que están por encima de la diagonal principal son todos nulos. Es decir, a ij = 0  j < i. matriz triangular inferior matriz triangular superior
  • 8. MATRICES Y DETERMINANTES Trasposición de matrices Operaciones con matrices Dada una matriz de orden m x n, A = ( aij ), se llama matriz traspuesta de A, y se representa por A t , a la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Es decir: Propiedades de la trasposición de matrices: 1ª.- Dada una matriz A, siempre existe su traspuesta y además es única. 2ª.- La traspuesta de la matriz traspuesta de A es A.  (A t ) t = A.
  • 9. MATRICES Y DETERMINANTES
    • La suma de dos matrices A=(a ij ), B=( bij ) de la misma dimensión, es otra matriz S=( sij ) de la misma dimensión que los sumandos y con término genérico sij=aij+bij . Por tanto, para poder sumar dos matrices estas han de tener la misma dimensión.
    • La suma de las matrices A y B se denota por A+B.
    • Ejemplo
    Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices La diferencia de matrices A y B se representa por A–B, y se define como: A–B = A + (–B)                                                         Sin embargo,                            no se pueden sumar.
  • 10. MATRICES Y DETERMINANTES
    • 4ª. La matriz –A, que se obtiene cambiando de signo todos los elementos de A, recibe el nombre de matriz opuesta de A, ya que A + (–A) = 0.
    Suma y diferencia de matrices Operaciones con matrices Propiedades de la suma de matrices 1ª. A + (B + C) = (A + B) + C Propiedad Asociativa 2ª. A + B = B + A Propiedad conmutativa Matriz Nula 3ª. A + 0 = A (0 es la matriz nula)
  • 11. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de una matriz por un número Operaciones con matrices El producto de una matriz A = (aij) por un número real k es otra matriz B = (bij) de la misma dimensión que A y tal que cada elemento bij de B se obtiene multiplicando aij por k , es decir, bij = k·aij. Ejemplo: El producto de la matriz A por el número real k se designa por k·A . Al número real k se le llama también escalar, y a este producto, producto de escalares por matrices
  • 12. MATRICES Y DETERMINANTES
    • .
    Producto de una matriz por un número Operaciones con matrices Propiedades del producto de una matriz por un escalar Elemento unidad 4ª. 1 · A = A · 1 = A 1ª. k (A + B) = k A + k B Propiedad distributiva 1ª 2ª. (k + h)A = k A + h A Propiedad distributiva 2ª Propiedad asociativa mixta 3ª. k [h A] = (k h) A
  • 13. MATRICES Y DETERMINANTES Propiedades simplificativas Operaciones con matrices Si A + C = B + C  A = B Si k A = k B  A = B si k es distinto de 0 Si k A = h A  h = k si A es distinto de 0
  • 14. MATRICES Y DETERMINANTES Producto de matrices Operaciones con matrices Dadas dos matrices A y B , su producto es otra matriz P cuyos elementos se obtienen multiplicando las filas de A por las columnas de B . De manera más formal, los elementos de P son de la forma: Es evidente que el número de columnas de A debe coincidir con el número de filas de B . Es más, si A tiene dimensión m x n y B dimensión n x p , la matriz P será de orden m x p , Es decir: P ij =  a ik b kj no se pueden multiplicar Ejemplo:
  • 15. MATRICES Y DETERMINANTES
    • Operaciones con matrices
    Producto de matrices Propiedades del producto de matrices A·(B·C) = (A·B)·C (Propiedad asociativa) Si A es una matriz cuadrada de orden n se tiene A·I n = I n ·A = A. Dada una matriz cuadrada A de orden n, no siempre existe otra matriz B tal que A·B = B·A = I n . Si existe dicha matriz B, se dice que es la matriz inversa de A y se representa por A –1 . El producto de matrices es distributivo respecto de la suma de matrices, es decir: A·(B + C) = A·B + A·C El producto de matrices en general no es conmutativo.
  • 16. MATRICES Y DETERMINANTES Operaciones con matrices Producto de matrices Consecuencias de las Propiedades Si A · B = 0 no implica que A = 0 ó B = 0 Si A · B = A · C no implica que B = C En general (A+B) 2  A 2 + B 2 +2AB, ya que A · B  B · A En general (A+B) · (A–B)  A 2 – B 2 , ya que A · B  B · A