Applicative functor

ファンクターからアプリカティブファンクターへ @UsrNameu1

自己紹介@UsrNameu1・新卒社会人一年目・大学では物理を専攻・院に行くはずだったけどちょっと悩んで社会人・職場近いんで神保町でひょっこり会うかも知れません・Haskellを始めた理由は数学に近そうな言語だったから・趣味は登山と囲碁です

ファンクター復習（７章より）ファンクターとは？・全体を写せる（map over）性質をもつ型クラス型クラス実装class Functor f wherefmap :: (a -> b) -> f a -> f bf:型コンストラクタ（:k f で f:: *->* を返す)

CASE1：LISTFunctor インスタンス宣言instance Functor [] where fmap = mapmap :: (a->b) -> [a] -> [b]↑(:k [] で []:*->*が返ってくる）ghci> fmap (*2) [1..3][2,4,6]

CASE2：MAYBEFunctor インスタンス宣言instance Functor Maybe where fmap f (Just x) = Just (f x) fmap f Nothing = Nothing↑（:k MaybeでMaybe::*->*が返ってくる）ghci>fmap (*2) (Just 200)Just 400 ＿人人人人人人人人人人人＿＞箱の中身だけを変えて返す＜￣^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y￣

CASE3：IO（ここから11章）Functor インスタンス宣言instance Functor IO where fmap f action = do result <- action return (f result)↑resultに束縛されたactionにfを適用して返す⇢何が嬉しいのか？

CASE3：IO（ここから11章）main = do line <- getLine let line’ = reverse line putStrLn $ “You said “ ++ line’ ++ “ backwards!” putStrLn $ “Yes, you said “ ++ line’ ++ “ backwards!” ↓main = do line <- fmap reverse getLine putStrLn $ “You said “ ++ line ++ “ backwards!” putStrLn $ “Yes, you said “ ++ line ++ “ backwards!” ↓ …ちょっと、嬉しい

CASE3：IO（ここから11章）p195 todo.hs sourceview :: [String] -> IO ()view [fileName] = do contents <- readFile fileName let todoTasks = lines contents numberedTasks = zipWith (n line -> show n ++ " - " ++ line) [0..] todoTasks putStr $ unlines numberedTasks ↓view :: [String] -> IO ()view [fileName] = do numberedTasks <- fmap (zipWith (n line -> show n ++ " - " ++ line) [0..] . lines ) $readFile fileName putStr $ unlines numberedTasks ↓ なかなか嬉しい！

CASE4：((->) r)そもそも(->)とは？⇢函数引数と返り値の型を（ー＞）で区切り、返り値の型を常に宣言の最後に置く（ｐ２５） ↓ 視点を変えて（ー＞）を２つの型をとって函数を返す型コンストラクタと見立てる（実際 :k (->) で(->) :: * -> * -> * を返す）

CASE4：((->) r)ー＞のままではFunctorとして使えないため一つ引数の型rをとって((->) r)を新しいFunctorと見立てる（∵ :k ((->) Int) ▶ ((->) Int) :: * -> *） ↓Functor インスタンス宣言instance Functor ((->) r) where fmap f g = (x -> f (g x)) fmap = (.) fmap::(a->b)->((->)r a)->((->)r b)= fmap::(a->b)->(r->a)->(r->b)

「文脈」のお話Functor クラス実装class Functor f where fmap :: (a -> b) -> f a -> f bのfを文脈（Computational context）と呼ぶ例：(->) r 型入力を一つすると函数型を返す文脈[] 型入力を一つするとリスト型を返す文脈

「持ち上げ」のお話（ー＞）を２つの型をとって函数を返す型コンストラクタと見立てるclass Functor f where fmap :: (a -> b) -> f a -> f b ↓ クラス実装の視点を変えて fmap :: (a -> b) -> (f a -> f b)と見て、fmapを「元の函数と似てるけどFunctor値をとってFunctor値を返す函数」を返すメソッドと見立てることもできる。この操作を持ち上げ（lifting）と呼ぶ。

「持ち上げ」のお話例：ghci> let shout = fmap (++ “!”)ghci> :t shoutshout :: Functor f => f [Char] -> f [Char]ghci> shout [“ha”,“ka”,“ta”,”no”][“ha!”,“ka!”,”ta!”,”no!”] 「持ち上げられた函数」※これまでの fmapが函数とFunctor値を引数とする二引数函数である見方が否定されたわけではない。

ファンクター則Functorクラスのインスタンスには２つのきまりがある第一法則（恒等函数の保存）fmap id (f a) = id (f a)第二法則（合成函数の分配）fmap (g . h) (f a) = fmap g (fmap h (f a))※法則は数学的要請（圏論）による、下記リンクを参照http://ja.wikibooks.org/wiki/Haskell/%E5%9C%8F%E8%AB%96

ファンクター則例：(->) rinstance Functor ((->) r) where fmap f g = f . g第一則： fmap id g = id . g = id (g)第二則： fmap (f . g) h = f . g . h = f (g . h) = fmap f (g . h) = fmap f (fmap g h)

ファンクター則を満たさないファンクターdata CMaybe a = CNothing | CJust Int a deriving (Show)instance Functor CMaybe where fmap f CNothing = CNothing fmap f (CJust count x) = CJust (count+1) (f x) fmap id (CJust 0 “haha”)≠ id (CJust 0 “haha”) より第一則： fmap id (f a) = id (f a) を満たさず、Functorとして不適切

アプリカティブファンクター二引数函数をfmapを用いてFunctor値に適用してみる例：ghci>:t fmap (++) (Just “hey”) fmap (++) (Just “hey”) :: Maybe([Char] -> [Char])Functor内部に函数が入った！ ↑カリー化された複数引数函数に部分適用が施され、函数を値として返すため（ｐ６２参照）

アプリカティブファンクターこのFunctor内部の函数を使ってFunctor値を写したい！しかし、普通に適用しようとすると…例：ghci> let a = fmap (++) (Just “hey”)ghci> fmap a (Just “ you!”)<interactive>:31:6: Couldnt match expected type à0 -> b0 with actual type `Maybe ([Char] -> [Char]) In the first argument of `fmap, namely à In the expression: fmap a (Just " you!") In an equation for ìt: it = fmap a (Just " you!") ＿人人人人人人人＿となり、うまくいかない＞アプリカティブ＜そこで！＞ファンクター＜￣^Y^Y^Y^Y^Y^Y^Y

アプリカティブファンクターControl.Applicativeモジュール内class (Functor f) => Applicative f where pure :: a -> f a (<*>) :: f (a -> b) -> f a -> f bpureは文脈内に型を置く函数(<*>)はfmapの函数引数が文脈内にあっても適用可能なグレードアップバージョン

アプリカティブファンクター例１：Maybe Applicative Functorinstance Applicative Maybe where pure = Just Nothing <*> _ = Nothing (Just f) <*> sth = fmap f sthghci> let a = fmap (++) (Just “hey”)ghci> a <*> (Just “ you!”)Just "hey you!"※普通のファンクターの場合ファンクター内の関数適用の結果をファンクター外に取り出す一般的な方法は無い。

アプリカティブファンクター便利な記号<$>pure (+) <*> Just 3 <*> Just 5をもっと簡潔にしたい！アプリカティブ則（ファンクタ則のようなもの）の一つにpure f <*> x = fmap f x があり更に短くf <$> xと書ける（Control.Applicative内）(<$>) :: (Functor f) => (a->b) -> f a -> f bf <$> x = fmap f x （ちなみにghci> :t ($) ▶ ($) :: (a -> b) -> a -> b )

アプリカティブファンクター例２：List Applicative Functorinstance Applicative [] where pure x = [x] fs <*> xs = [f x| f <- fs, x <- xs]ghci> pure “Hey” :: [String][“Hey”] （::=型注釈,ｐ３０参照）・定義から可能な組み合わせ全てをリストとして提示するghci> filter (>50) $ (*) <$> [2,5,10] <*> [8,10,11][55,80,100,110] （::=型注釈,ｐ３０参照）

アプリカティブファンクター例３：IO Applicative Functorinstance Applicative IO where pure = return a <*> b = do f <- a x <- b return (f x)ghci> (++) <$> getLine <*> getLinehgoaihgolk"hgoaihgolk"

アプリカティブファンクター例４：((->) r) Applicative Functorinstance Applicative ((->) r) where pure x = (_ -> x) f <*> g = x -> f x (g x) pure :: a -> (r -> a)(<*>) :: (r -> (a -> b)) -> (r -> a) -> (r -> b)ghci> (+) <$> (+3) <*> (*100) $ 5508(ここで:t (+) <$> (+3) ▶ (+) <$> (+3) :: Num a => a -> a -> a)ghci> (x y z -> [x,y,z]) <$> (+3) <*> (*2) <*> (/2) $ 5[8.0,10.0,2.5]・<*>,<$>は頭の函数に引数函数を渡す為の道具と割切る

アプリカティブファンクター例５：ZipList Applicative Functorinstance Applicative ZipList where pure x = ZipList (repeat x) ZipList fs <*> ZipList xs = ZipList (zipWith (f x -> f x) fs xs)・[]の<*>は可能な組み合わせすべてを結果に出す・ZipListの<*>はリストの個々の函数を対応する位置の値に適用して結果に出す・ZipListをアプリカティブ・スタイルで使えばzipWith 函数群を使う必要がない

アプリカティブ則アプリカティブファンクターにもファンクター則同様に写像性 pure f <*> x = fmap f x恒等函数保存 pure id <*> v = v分配則 pure (.) <*> u <*> v <*> w = u <*> (v <*> w)準同型 pure f <*> pure x = pure (f x)交換則 u <*> pure y = pure ($ y) <*> uが成立

アプリカティブの便利な函数達Control.Applicative内には<$>の他にもliftA2::(Applicative f) => (a->b->c) -> f a -> f b -> f cliftA2 f a b = f <$> a <*> bやその他様々有用な函数（<$,<**>,liftA3..)が存在また、ユーザ定義により(<*),(*>),等の函数も使えるようになるらしい。詳しくは以下URLを参照http://www.haskell.org/ghc/docs/6.12.1/html/libraries/base/Control-Applicative.html

アプリカティブの便利な函数達他にも自分で便利な函数を作れるsequenceA :: (Applicative f) => [f a] -> f [a]sequenceA [] = pure []sequenceA (x:xs) = (:) <$> x <*> sequenceA xsghci> sequenceA [Just 1,Just 2]Just [1,2]ghci> sequenceA [(>4),(<10),odd] 7[True,True,True]ghci> sequenceA [[1,2],[3,4],[5,6]][[1,3,5],[1,3,6],[1,4,5],[1,4,6],[2,3,5],[2,3,6],[2,4,5],[2,4,6]]ghci> sequenceA [getLine,getLine]hogehogemogemoge["hogehoge","mogemoge"]下２つは(:) <$> [1,2] <*> ((:) <$> [3,4] <*> [5,6])などと分解してみると結果の理由が理解しやすい

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by Yuichi Adachi on Oct 12, 2012

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