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Medidas de grandezas Físicas1. Objetivos: a. Analisar dados e apresentar os resultados finais de medidas de uma Grandeza F...
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Exemplo: 1,5734 = 1,57        (truncado com 3 algarismos significativos)     - Quando o algarismo imediatamente seguinte a...
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PÊNDULO SIMPLES                                           0,0º <                                            <10,0º       ...
Tabela 5: Conjunto de n=8 medidas do período de um pêndulo simples.                                       Desvio       Per...
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Fge 1 -_rot_1_-_medidas_de_grandezas_físicas

  1. 1. Diretoria de Ciências Exatas Laboratório de Física Roteiro 01 Física Geral e Experimental IExperimento: Medidas de Grandezas Físicas
  2. 2. Medidas de grandezas Físicas1. Objetivos: a. Analisar dados e apresentar os resultados finais de medidas de uma Grandeza Física, segundo o Sistema Internacional de Unidades (SI) e normas gerais da ABNT. b. Observar grandezas físicas fundamentais como comprimento, tempo e massa, representando medidas destas grandezas, acompanhadas do erro instrumental. c. Explorar as operações fundamentais com algarismos significativos. d. O aluno deverá ser capaz de identificar e classificar os possíveis erros que ocorrem durante um processo de medição. e. A partir de uma série de medidas do Período do pêndulo efetuadas com a utilização de um cronômetro, o aluno deverá determinar o valor mais provável, eleger a incerteza adequada e expressar a medida na forma correta.2. Material utilizado: a. Trena; b. Pêndulo simples; c. Balança digital; d. Cronômetro digital; e. Transferidor analógico; f. Proveta graduada.3. Medidas de Grandezas Físicas A nomenclatura e as regras básicas sobre incertezas em metrologia foram discutidasnos últimos anos por grupos de trabalho constituídos de especialistas indicados por diversasorganizações internacionais (BIPM, ISO, IUPAC, IUPAP, IEC e OIML) e foram publicadasem dois importantes textos: Guide to the Expression of Uncertainty in Measurements eInternational Vocabulary of Basic and General Terms in Metrology. Esta última publicação foitraduzida pela INMETRO em 1994. Com a finalidade de tornar a exposição mais clara, e em conformidade com aLegislação Brasileira, serão apresentadas as definições e alguns comentários sobre termosmais usuais em Teoria dos Erros.3.1. Algarismos Significativos A sensibilidade e precisão de todo instrumento de medida está limitada na suafabricação. Muitas vezes a leitura do valor de uma grandeza é intermediária a dois traçosconsecutivos da escala como na Figura1. Figura1 - Exemplo de Medida de Distância. A barra que está sendo medida na Figura 1 tem uma extremidade ajustada ao zero deuma régua marcada em centímetros. A outra extremidade da barra não está coincidindocom nenhum traço. Observa-se que o valor deste comprimento é 27 cm mais alguns décimos decentímetro, mas não podemos afirmar com certeza o seu valor. Ou seja, podemos apenas 2
  3. 3. estimar ou avaliar estes décimos de centímetros e a aproximação ao valor "verdadeiro"dependerá da perícia e da capacidade da avaliação do operador. Por exemplo, suponha que três pessoas diferentes apresentem como resultado destamedida os seguintes valores: 27,3 cm 27,4 cm 27,5 cm Pode-se verificar que há concordância com relação aos algarismos 2 (dezenas) e 7(unidades) e, portanto um consenso de que eles são "verdadeiros" ou "exatos", enquantoque os algarismos 3, 4, e 5 (décimos) são duvidosos. Os algarismos exatos de uma medidabem como os algarismos duvidosos, são denominados algarismos significativos. Noexemplo acima, os dois primeiros algarismos de cada medição (2 e 7) são significativosexatos mas os últimos algarismos de cada uma das medições (3, 4 e 5) são significativosduvidosos. O termo duvidoso vem do fato de que o mesmo apresenta uma incerteza, gerada pelaprópria grandeza medida, pela sensibilidade do instrumento bem como pela perícia doobservador. É importante observar que não há sentido em se escrever algarismos após oalgarismo duvidoso de uma medida. Qualquer grandeza física escalar pode ser escrita na forma: A  (a   a )  uonde A é o símbolo que representa determinada grandeza física, a é o seu valor numérico,a é a sua incerteza e u é a sua unidade da grandeza física medida. O valor numérico (a) poderá ser resultado de uma ou mais medições diretas ouindiretas. Entretanto, qualquer que seja a precisão adotada a quantidade de algarismosestará limitada pelas condições experimentais, a uma determinada quantidade dealgarismos que têm realmente significado que, por esse motivo, são denominadosalgarismos significativos.3.2. Notação Científica (NC) A maneira de se escrever o valor numérico em trabalhos científicos é,preferencialmente, a notação científica. Nesta notação escreve-se o número recorrendo àpotência de dez, com a particularidade de que se deve conservar à esquerda da vírgula,apenas um algarismo, diferente de zero. Exemplos: 1) 125 g = 1, 25 102 g 3 algarismos significativos 2) 22,34 m = 2, 234 10m 4 algarismos significativos 3) 0,0350 Ω = 3,50 103  3 algarismos significativos 4) 1,0052 V = 1,0052 V 5 algarismos significativos A razão para se preferir a notação científica a qualquer outra forma de indicação estárelacionada à facilidade e à rapidez com que se pode visualizar a grandeza (com a devidapotência de 10) e a quantidade de algarismos significativos.3.3. Arredondamentos de Algarismos Significativos As operações precisas com algarismos significativos exigem o conhecimento daTeoria dos Erros, tema de próximos tópicos. Entretanto, algumas regras básicas podemauxiliar para evitar o exagero de casas decimais, muitas vezes, representando uma precisãoque não corresponde à realidade. Desta forma, resultados finais de operações matemáticas precisam ser arredondados(ou truncados). Para tanto, são utilizadas as seguintes regras de arredondamento: - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a serconservado for inferior a 5, o último algarismo (o duvidoso) a ser conservado permanecerásem modificação. 3
  4. 4. Exemplo: 1,5734 = 1,57 (truncado com 3 algarismos significativos) - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a serconservado for superior a 5, ou, sendo 5 e este seguido de no mínimo um algarismo diferentede zero, o último algarismo a ser conservado deverá ser aumentado de uma unidade. Exemplos: 1) 1,666 = 1,67 (truncado com 3 algarismos significativos) 2) 4,8505 = 4,9 (truncado para 2 algarismos significativos) - Quando o algarismo imediatamente seguinte ao último algarismo significativo a serconservado for 5 e este for seguido de zeros ou não houver algarismos depois do 5, deve-seconsiderar: a. se o último algarismo significativo for ímpar, arredondar o algarismo a ser conservado para o próximo algarismo par. Exemplos: 1) 4,5500 = 4,6 (truncado para 2 algarismos significativos) 2) 75,35=75,4 (truncado para 3 algarismos significativos) b. se ele for um número par, o último algarismo é conservado. Exemplos: 1) 7,156500 = 7,156 (truncado para 4 algarismos significativos) 2) 9,45=9,4 (truncado para 2 algarismos significativos)3.4. Grandezas Físicas e o Sistema Internacional de Unidades (SI)Tabela 1: Grandezas Fundamentais do SI e sua nomenclatura. NOME DA SÍMBOLO DA GRANDEZA DEFINIÇÃO DA UNIDADE UNIDADE UNIDADE “... o comprimento do percurso coberto pela luz, no Comprimento metro M vácuo, em 1/299.792.458 de um segundo.” (1983) “... este protótipo (um certo cilindro de liga de Massa quilograma Kg platina-irídio), será considerado daqui por diante a unidade de massa.” (1889) “... a duração de 9.192.631.770 vibrações da Tempo segundo S transmissão entre dois níveis hiperfinos do estado fundamental do átomo de césio 133”.(1967) “... a corrente constante que, mantida em dois condutores retilíneos, paralelos, de comprimento infinito, de seção circular desprezível e separada Corrente elétrica Ampère A pela distância de 1 metro no vácuo, provoca entre esses condutores uma força igual a 2.10-7 newtons por metro de comprimento.” (1946) Temperatura “... a fração 1/273,16 da temperatura Kelvin K termodinâmica do ponto triplo da água”.(1967) termodinâmica “... a quantidade de substância de um sistema que Quantidade de contém tantas entidades elementares quanto são os mol Mol átomos em 0,012 quilogramas de carbono 12.” substância (1971) “... a intensidade luminosa, na direção perpendicular, de uma superfície de 1/600.000 metros quadrados, de um corpo negro naIntensidade luminosa candela Cd temperatura de solidificação da platina, sob a pressão de 101,325 newtons por metro quadrado.” (1967) 4
  5. 5. Uma grandeza física é um atributo a um fenômeno, corpo ou substância que podeser qualitativamente distinguido e quantitativamente determinado. Há dois tipos degrandezas físicas: as grandezas fundamentais e as grandezas derivadas.Grandezas Físicas Fundamentais: São grandezas que, funcionalmente, sãoindependentes de qualquer outra. Por exemplo, o comprimento de uma barra de ferro e amassa de um corpo sólido. O tempo e a temperatura são outros exemplos de grandezasfundamentais.Grandezas Físicas Derivadas: As Leis da Física são expressas em termos de grandezasque requerem uma definição clara e precisa. Assim, todas as Grandezas Derivadas daMecânica, como a velocidade, a área, a aceleração, a força etc., podem ser escritas emtermos das três Grandezas Fundamentais (comprimento, massa e tempo). A Tabela 2fornece alguns exemplos de Grandezas Derivadas no SI.Tabela 2: Grandezas Derivas e sua nomenclatura no SI. SÍMBOLO DA GRANDEZA NOME DA UNIDADE OUTRAS UNIDADES UNIDADE Aceleração metro por segundo quadrado m/s2 Área metro quadrado m2 Densidade quilograma por metro cúbico kg/m3 Energia, Trabalho Joule J kg.m2/s2 Força Newton N kg.m/s2 Potência Watt W kg.m2/s3 (J/s) Pressão Pascal Pa kg/m.s2 Velocidade metro por segundo m/s Volume metro cúbico m3Nota: No Sistema Internacional, a abertura angular é dada em radianos (rad): Sr  = 1 rad 180o = rad r 0o = 360o = 2 rad 270o = rad Figura 2: Aberturas angulares em radianos. 5
  6. 6. Além das unidades do SI, como o metro, o quilograma e o segundo, também se podeutilizar subunidades, como o milímetro e o nanossegundo onde, os prefixos mili e nanosignificam várias potências de dez. Alguns prefixos são frequentemente utilizados paraexpressarem potências de dez, por exemplo: 1) 1  10-3 m, é equivalente a 1 milímetro (mm) e 2) 1  103 m corresponde a 1 quilômetro (km). 3) De forma semelhante, 1 kg = 1  103 g. A Tabela 3 fornece alguns prefixos comumente utilizados. Tabela 3: Prefixos do SI. POTÊNCIA PREFIXO SÍMBOLO 24 10 Iota Y 1021 Zeta Z 1018 Exa E 1015 Peta P 1012 Tera T 109 Giga G 106 Mega M 103 Quilo k 102 Hecto h 101 Deca da 0 10 = 1 -- -- -1 10 Deci d -2 10 Centi c -3 10 Mili m -6 10 Micro µ -9 10 Nano n -12 10 Pico p 10-15 Femto f 10-18 Ato a 10-21 Zepto z 10-24 Iocto y Há regras e convenções específicas para se apresentar, de forma mais compacta, oresultado de uma grandeza física, tanto para grandezas fundamentais como para qualquergrandeza derivada serão adotadas as regras e convenções do Sistema Internacional deUnidades (SI). Então pode-se escrever o resultado da grandeza física L da seguinte forma: L = 5,12 m Símbolo da unidadeSímbolo da Grandeza Física Resultado da medida física 6
  7. 7. 3.5. Definições - Medição: Conjunto de operações que têm por objetivo determinar o valor de umagrandeza. - Repetitividade: Grau de concordância entre os resultados de sucessivas mediçõesde um mesmo mensurando, efetuadas sob as mesmas condições de medições. - Reprodutibilidade: Grau de concordância entre os resultados de medições de ummesmo mensurando, efetuadas sob condições de medições diferentes. - Exatidão ou Acurácia: Grau de concordância entre o resultado de uma medição e ovalor verdadeiro do mensurando. - Precisão: Conceito qualitativo para indicar o grau de concordância entre os diversosresultados experimentais obtidos em condições de repetitividade. Então, boa precisão significa erro estatístico pequeno, de forma que os resultadosapresentem boa repetitividade. Observação: Mesmo com boa precisão, a exatidão ou a acurácia pode ser ruim casoexistam erros sistemáticos consideráveis. - Valor Médio : Definição de uma dada grandeza específica, considerando umaquantidade finita n de medições. - Valor Médio Verdadeiro : Valor consistente com a definição de uma dadagrandeza específica, considerando uma quantidade infinita de medições. O valor verdadeiro de uma grandeza é o valor que seria obtido para uma mediçãoperfeita e a determinação do mesmo pode ser entendida como o objetivo final da medição.Entretanto, o valor verdadeiro é indeterminado por natureza. - Resultado de uma medição: Valor obtido por medição e atribuído ao mensurando. - Mensurando: Grandeza específica submetida à medição. - Desvio: É a diferença entre o resultado de uma medição e o valor médio verdadeirodo mensurando. Como o valor verdadeiro é uma quantidade desconhecida logo, o desvio também édesconhecido, em princípio. - Variância associada ao processo de medição : É a média dos quadrados dosdesvios quando a quantidade de medições tende a infinito. - Desvio padrão experimental : Definido com sendo a raiz quadrada davariância. - Incerteza de medição: Parâmetro associado ao resultado de uma medição e quecaracteriza a dispersão dos valores que podem ser fundamentalmente atribuídos aomensurando. Embora desconhecido, o mensurando tem um valor verdadeiro único por hipótese.Entretanto, diferentes valores podem ser "atribuídos" ao mensurando e a incertezacaracteriza a dispersão destes valores. Evidentemente, a incerteza só pode ser obtida e interpretada em termosprobabilísticos. Existem várias formas de indicar a incerteza tais como a incerteza padrão, incertezaexpandida e limite de erro. - Erro estatístico: Resultado de uma medição menos o Valor Médio Verdadeiro (ouMédia Limite). - Erro sistemático: Diferença entre o Valor Médio Verdadeiro e o Valor verdadeiro. O Erro Sistemático é o erro do valor médio verdadeiro. - Incerteza padrão: Resultado final dado na forma de um desvio padrão.3.6. Objetivos da Teoria de Erros Quando uma grandeza física experimental x é determinada a partir de medição oresultado é uma aproximação para o valor verdadeiro xv da grandeza. Os objetivos da teoriade erros podem ser resumidos em obter: 7
  8. 8. a) O melhor valor para o mensurando a partir dos dados experimentais disponíveis.Isto significa determinar a melhor aproximação possível para o valor verdadeiro em termosestatísticos. b) A incerteza no valor obtido, o que significa determinar em termos estatísticos o graude precisão e confiança na medida da grandeza física.3.6.1. Erros Sistemáticos e Erros Estatísticos Geralmente, ocorrem erros de vários tipos numa mesma medição. Estes erros podemser agrupados em dois grandes grupos que são: os erros sistemáticos e erros estatísticos(ou aleatórios). Considerando o conjunto de xi determinações (i = 1, 2,..., n) de um mensurando, oserros podem ser divididos em: a. Erro sistemático: é um erro que afeta igualmente todas as n medições xi. Isto é, o conjunto completo das n medições xi apresenta-se igualmente deslocada com relação ao valor verdadeiro xv. Os erros sistemáticos podem ser de vários tipos: a.1. Erro sistemático instrumental: Relativo à calibração do instrumento de medição. a.2. Erro sistemático ambiental: Erro devido a efeitos do ambiente sobre a experiência. Fatores ambientais como temperatura, pressão, umidade, luminosidade e outros podem introduzir a erros no resultado de medição. a.3. Erro sistemático observacional: Erro devido a pequenas falhas de procedimentos ou limitações do observador. Por exemplo, o efeito de paralaxe na leitura de escalas de instrumentos. b. Erro estatístico ou erro aleatório: Medida da dispersão dos n resultados xi em torno do valor verdadeiro xv. Os erros estatísticos (ou aleatórios) resultam de variações aleatórias nas medições,provenientes de fatores que não podem ser controlados ou que, por algum motivo, nãoforam controlados. Por exemplo, na medição de massa com uma balança, correntes de arou vibrações (fatores aleatórios) podem introduzir erros estatísticos na medição.3.6.2. Desvio Padrão (n-1) Para estabelecer uma quantidade para a medida da dispersão com significado maisamplo, emprega-se o conceito de que um conjunto represente uma amostra do universo demedidas realizadas uma quantidade infinita de vezes naquele universo. Uma das quantidades que é de interesse chama-se desvio padrão (n-1) que vem a sero desvio médio quadrático das medidas com relação à média do universo de medidas. Como é impossível fazer infinitas medidas em um universo de medições paradeterminar a sua média, o procedimento adotado considera uma análise estatística a partirde uma quantidade n de observações para obter a melhor estimativa para o desvio padrão. Desta forma, a melhor estimativa para o desvio padrão é calculada por: O desvio padrão indica o erro que teríamos caso fizéssemos uma única observação. Osignificado do erro padrão de um dado conjunto de n determinações é que, em torno dovalor médio, uma dada observação tem: 68% de probabilidade de estar no intervalo ; 95% de probabilidade de estar no intervalo . 8
  9. 9. 3.6.3. Desvio Padrão da Média (m) Considerando um conjunto de n resultados de medições, o Desvio Padrão da Médiaou Desvio Padrão do Valor Médio é a incerteza final correspondente aos erros estatísticosnas medições e pode ser calculado por intermédio das fórmulas:3.6.4. Incerteza Padrão Final Ao se realizar um processo de medição, o ideal é que o instrumento de medida estejadevidamente calibrado e que tenha uma sensibilidade suficiente para permitir a observaçãode flutuações estatísticas. Alguns erros sistemáticos podem ser corrigidos e, com isso, melhorar os resultadosfinais da medição. Erros sistemáticos para os quais não é possível fazer correções sãochamados Erros Sistemáticos Residuais e as incertezas correspondentes são denominadasIncertezas Sistemáticas Residuais. No caso dos instrumentos de medida não preencherem a condição acima (possuíremsensibilidade suficiente para observar as flutuações estatísticas), costuma-se especificar umerro sistemático avaliado adotando-se uma das regras práticas especificadas abaixo: - é a menor divisão da escala (em geral em instrumentos digitais) ou - é a metade da menor divisão da escala (em geral para instrumentos analógicos). Nessa avaliação é necessário considerar que este valor será tomado como um desviopadrão, a fim de permitir cálculos de propagação de erros coerentes. Portanto essaavaliação não deve abranger 100% de confiança, mas sim um pouco mais da metade (68%). As incertezas estatísticas são obtidas por intermédio do cálculo do desvio padrão dovalor médio . As incertezas sistemáticas residuais advindas de multiplicidade de efeitos sãomais difíceis de serem obtidas e não existe nenhum método padrão bem estabelecido paraisso, exceto o bom senso. Para combinar as incertezas estatísticas e as incertezas sistemáticas residuais,determina-se a incerteza padrão final de uma medição por intermédio da fórmula:3.6.5. Quantidade de Algarismos Significativos na Incerteza Padrão Quanto à quantidade de algarismos significativos no desvio ou na incerteza, umprocedimento muito comum é expressá-lo com apenas com um algarismo significativo. No entanto, considerando que não existe uma regra muito bem estabelecida para aquantidade de algarismos significativos com a qual deve ser indicada a incerteza padrão, atendência atual é de se indicar a incerteza padrão com 2 algarismos significativos, além dezeros à esquerda (quando necessário). Entretanto, há situações em que não é possívelatribuir mais de 1 algarismo significativo para a incerteza padrão. Então, quando o nível de confiança é dado pelo desvio padrão e a sua precisão égrande, usa-se 2 algarismos significativos para o desvio, principalmente nos casos em que oprimeiro algarismo do desvio for 1 ou 2. 9
  10. 10. 3.6.6. Resultado de uma Medição Para escrever o resultado de uma medição, deve-se considerar o último algarismosignificativo da incerteza padrão final da medição, conforme os exemplos abaixo: a. Então: No SI e em NC, fica A   2,757  0,012  10m b. Então: No SI e em NC, fica L   4, 45600  0,00023 105 m c. Então: No SI e em NC, fica M   7,53  0, 41 104 kg d. Então: Em NC, fica T   9,736  0,010  10C No SI e em NC, fica T  (3,7036  0,0010) 102 K e. Então: Em NC, vem   1,350  0,020  102  No SI e em NC, fica    2,3563  0,0017  rad f. B  2,356cm e  B  0, 05cm Então: B  (2,36  0,05)cm No SI e em NC, vem B   2,36  0,05 102 m g. t  25,9865s e  t  0, 04569s Então: t  (25,986  0,046)s No SI e em NC, vem t   2,5986  0,0046  10s4. Procedimento Experimental Denominamos pêndulo simples o conjunto constituído por um fio ideal (inextensível ede massa desprezível), fixo por uma das extremidades e que mantém suspenso na outraextremidade um corpo de pequenas dimensões, que oscile em torno de uma posição deequilíbrio. O período do movimento de um pêndulo simples corresponde ao tempo gastopara uma oscilação completa do corpo suspenso. Para pequenas amplitudes, ângulos () de abertura que obedecem à igualdade:  = sen  Quando  é expresso em radianos, vale a equação abaixo, para a determinação doperíodo (T) do pêndulo simples: 10
  11. 11. PÊNDULO SIMPLES 0,0º <  <10,0º Figura 3: Ilustração de um pêndulo simples Utilizaremos um pêndulo simples para aplicarmos os conceitos adquiridos nesteexperimento.5.1. Escolha um ângulo de abertura () menor do que 10º, no transferidor analógico para asmedidas dos períodos e expresse esta medida com a respectiva incerteza instrumental naTabela 4.Tabela 4: Valores de Medidas Físicas. Medida na Medida em NC e Medida Incerteza unidade de escala Quantidade de no SI, acompanhada da instrumental na de leitura,Grandeza física algarismos acompanhada da unidade da escala escala de leitura acompanhada da significativos incerteza de leitura incerteza instrumental instrumentalMassa do corpo de prova do pêndulo Massa do fio inextensível Comprimento do fio inextensível Abertura angularPeríodo de uma oscilação do pêndulo Massa de umtronco de coneAltura do tronco de cone Temperatura ambienteVolume de um líquido5.2. Utilizando o cronômetro medir oito vezes o período de uma oscilação completa de umpêndulo simples e completar a Tabela 5. 11
  12. 12. Tabela 5: Conjunto de n=8 medidas do período de um pêndulo simples. Desvio Período de oscilação Quadrado do Desvio Nº Absoluto Ti ( s) Ti  T ( s) (Ti  T )2 (s 2 ) 1 2 3 4 5 6 7 8 Média Soma dos quadrados dos n desvios T  T  T  i n 2 T  i 1 i n i 15.3. Calcular o desvio padrão  n 1  da medida de um período de oscilação:  T  T  n 2 i  n 1  i 1 n 15.4. Calcular o desvio padrão do valor médio  m  :  T  T  n 2  n 1 i m  ou m  i 1 n n   n  15.5. Calcular a incerteza padrão final  p   das medidas dos períodos feitas através docronômetro.  p   m   s2 25.6. Expresse o valor mais provável do período, com sua devida incerteza em NotaçãoCientífica (NC) e no Sistema Internacional de Unidades (SI). T  T   p  u  T  (_______  _______) ________ 12

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