Módulo 4:
Relações
•UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE
•CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA
•DEPARTAMENTO DE S...
Relações
Ao estudarmos conjuntos:
• propriedades de seus elementos
• relações entre elementos de conjuntos
• relações entr...
Relações
Modelos matemáticos de fenômenos da natureza
podem ser divididos em três grandes categorias:
Estruturas de Ordem ...
Relações Binárias
Na vida real, quando dizemos que duas pessoas, Maria e José, se
relacionam, entendemos que Maria e José ...
Relações Binárias
Dados dois conjuntos S e T
Uma relação R entre S e T é dada por
R ⊆ SxT
Uma relação binária R em S é dad...
Relações Binárias
Ex.: Sejam S= {1,2} e T = {2,3}
Temos que SxT = {(1,2). (1,3), (2,2), (2,3)}
• Relação de igualdade: os ...
Relações Binárias
Definição de uma relação ρ ⊆ S×T:
• com palavras
• pela enumeração dos pares ordenados que a
satisfazem....
Relações Binárias
• Exemplos. Sejam S = {1,2} e T = {2,3,4} :
– descrição: x ρ y são todos pares cuja soma é
ímpar.
– x ρ ...
Relações Binárias
• Para cada uma das seguintes relações binárias ρ
em N×N, determine quais dos pares ordenados
apresentad...
Relações n-árias
→Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária
em S1×S2×...×Sn é um subconjunto de S1×S2×...×Sn....
Relações unárias
• Uma relação unária ρ em um conjunto S é um
subconjunto particular de S.
• Um elemento x de S satisfaz o...
Relações em um conjunto S
→ Uma relação binária em um conjunto S é um
subconjunto de S2
= (SxS).
Ex.: x ρ y ⇔ x≤y em N
→ A...
Tipos de relações
Dado uma relação ρ ⊆ S×T
→ ρ é uma relação um-para-um se cada primeiro elemento s
e cada segundo element...
Definições
→ ρ é uma relação um-para-vários se algum primeiro
elemento s aparece mais de uma vez.
→ Ex.: ρ = {(7,4), (2,5)...
Definições fracas
→ ρ é uma relação um-para-um fraca se cada primeiro
elemento s e cada segundo elemento t aparecem no
máx...
Operações sobre relações
• Seja B o conjunto de todas as relações binárias em
um dado conjunto S:
B = P(SxS) = {ρ: ρ é uma...
Exercícios
1. Sejam ρ e σ duas relações binárias em S={1,2,3,4,5}
definidas por:
x ρ y ⇔ x = y+1. e x σ y ⇔ x < y+1. Encon...
Propriedades das relações
Seja ρ uma relação binária em S2
.
→ρ é reflexiva quando
xρx para todo x ∈ S.
→ρ é simétrica qua...
Exemplos
Seja S = P(N) e seja A ρ B ⇔ A ⊆ B. Então:
ρ é reflexiva.
ρ é transitiva.
ρ é anti-simétrica.
Seja S = N os natur...
Fecho de uma relação
Se uma relação ρ em um conjunto S não tem uma
certa propriedade, podemos tentar estender ρ a fim
de o...
Fecho de uma relação
• Exemplo:
• Seja S = {1,2,3} e ρ = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3)}
• Então,
- o fecho reflexivo de ρ em...
Exercício
Seja S = {a,b,c,d} e
ρ = {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)}
• Encontre os fechos reflexivo, simétrico e
transit...
Relações de Ordem
Ordem Parcial
• Uma relação binária em um conjunto S que seja
reflexiva, anti-simétrica e transitiva é d...
Ordem Parcial
→ Se ρ é uma relação de ordem parcial em S, então o par (S, ρ) é
chamado de um conjunto parcialmente ordenad...
Grafo de um Poset
• Se S é finito, então o POSET (S, ≤) pode ser
representado visualmente através de um grafo
(Diagrama de...
Ordem Parcial
→Notação visual de um POSET (Diagrama de
HASSE):
• Exemplo: ({1,2,3,6,12,18}, x divide y)
1
2 3
6
12 18
Grafo de um Poset
• Exemplo: Diagrama de Hasse dos divisores de 60
Predecessor e Sucessor
→ Seja (S,≤) um poset e x ≤ y,
→ Se x ≤ y e x ≠ y, então x é um predecessor de y ou
y é um sucessor...
Mínimo/Máximo e Minimal/Maximal
→Seja (S, ≤) um POSET. Um elemento y ∈ S é dito ser
minimal se não houver outro x ∈ S tal ...
Posets especiais
Uma árvore com raiz é um poset (S, ≤) que
• tem um elemento mínimo, chamado de raiz da árvore.
• todo ele...
Posets especiais
Dado um poset (S, ≤) e dois elementos r,s ∈ S,
Definimos t=sup(r,s) como o ‘menor’ elemento t tal que
r ≤...
Posets especiais
DEFINIÇÃO: Um reticulado é um poset (S, ≤)
em que para quaisquer r,s ∈ S, existe um (único)
sup(r,s) e um...
Exercícios
• Mostre que um reticulado finito tem um único elemento
minimal (o mínimo) e um único maximal (o máximo).
Quest...
Exercício
1. Desenhe o grafo da relação “x divide y” em
{1,2,3,6,12,18}.
Obs. Podemos reconstruir o POSET da relação a
par...
Exercícios
1. Mostre que para todo conjunto S, <P(S),⊆> é um
reticulado.
2. Encontre
1. Para quaisquer A,B ∈ P(S), sup(A,B...
Ordem Total
→Uma ordem parcial na qual todo elementos estão
relacionados entre si é chamado de cadeia (ordem
total).
→ em ...
Exercícios
1. Analise os conjuntos totalmente ordenados
quanto aos conceitos de árvore, reticulado,
mínimo, minimal, etc.
Exercícios
1. Desenhe o grafo de um POSET tal que
1. Tenha 2 elementos minimais e um elemento máximo.
2. Que não seja uma ...
Relação de Equivalência
→ Uma relação binária em um conjunto S que seja
reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma...
Partição
Seja ρ a relação em S definida por:
xρy ⇔ x senta na mesma coluna que y (S = alunos na sala)
ρ particiona o conju...
Classe de Equivalência
→Seja ρ uma relação de equivalência em S e x um elemento
de S (x ∈S).
→[x] é o conjunto de todos os...
Relação de Equivalência
• Teorema: Seja ρ uma relação de equivalência em S.
Então, as classes de equivalência distintas de...
Relação de Equivalência
Prova: (1) a união das classes resulta em S e .
• Seja Ux∈S[x] ≡ união de todas as classes de
equi...
Relação de Equivalência
• (2) classes distintas são disjuntas
• Se [x] ≠ [z], então [x] ∩ [z] = ∅.
• Vamos mostrar por con...
Relação de Equivalência
• Corolário: Uma relação de equivalência em um
conjunto S determina uma partição de S e uma
partiç...
Exemplo
Seja S = { a/b : a, b ∈Z e b ≠ 0}, ou seja, o conjunto de
todas as frações de inteiros.
→Definimos uma relação ≈ c...
Exercício
1. Seja S = N os números naturais e a partição:
→N = P ∪ IP (em que P são os números pares e IP
os números ímpar...
Exercício
cos(2* π) = 1 π 2
+1 = 10,8696
x2
+1cos(2*x)
Aritmética Finita ou Modular
É uma aritmética com um número finito de números
inteiros
0,1,2,3,4,..,n-1, n, n+1, n+2, n+(n...
Aritmética Modular
Exemplo: Seja Z o conjunto dos inteiros e seja ≡3 a relação
congruência módulo 3 em Z definida da segui...
Aritmética Modular
→Seja Z o conjunto dos inteiros e seja n ∈ Z+
.
→ Então, a relação
x ≡n y (mod n) ⇔ x-y = k.n, para alg...
Aritmética Modular
→APLICAÇÃO:.
• Toda máquina tem um limite no tamanho dos
inteiros que ela pode armazenar que depende do...
Aritmética Modular
• Realizar a adição módulo n e armazenar o resto
r da divisão de x+y por n.
• Se x+y > n-1, então podem...
Aritmética Modular
• Portanto, todo número inteiro z em uma
base n pode ser representado como:
– z = q.n + r, para algum 0...
Adição e Multiplicação Modular
→Seja Zn = {0, 1, 2, ..., n-1}. A adição módulo n,
denotada por +n em Z é definida por x +n...
Adição e Multiplicação Modular
→A multiplicação módulo n, denotada por •n em
Z é definida por x •n y = r, onde r é o resto...
Exercícios
1. Complete as tabelas abaixo para definir + 5 e • 5 na notação (r,q):
+5 0 1 2 3 4
0
1 (3,0)
2
3
4
• 5
0 1 2 3...
Exercícios
1. Dadas as funções f(x)=x2
+1 e g(x) = cos(2x). O que
seria a classe de equivalência [π] para cada uma
dessas ...
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Matemática Discreta - Parte V relações

  1. 1. Módulo 4: Relações •UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE •CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA •DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO •Professor Ulrich Schiel
  2. 2. Relações Ao estudarmos conjuntos: • propriedades de seus elementos • relações entre elementos de conjuntos • relações entre subconjuntos de um conjunto.
  3. 3. Relações Modelos matemáticos de fenômenos da natureza podem ser divididos em três grandes categorias: Estruturas de Ordem <C, R> Estruturas Algébricas <C, Op> Estruturas Topológicas (Geometria, Análise) <C, P(C)>
  4. 4. Relações Binárias Na vida real, quando dizemos que duas pessoas, Maria e José, se relacionam, entendemos que Maria e José se distinguem dos demais pares de pessoas por haver uma relação que eles satisfazem ou verificam. Ex.Maria e José são casados. Maria é mãe de José. Maria e José não se entendem. Maria manda em José Em matemática é análogo: distinguimos determinados pares de objetos dos demais porque seus elementos satisfazem alguma relação que os elementos dos demais pares, em geral, não satisfazem. Notação: casado-com(Maria, José), mora-em(Maria, Campina Grande) (Maria, casado-com, José) (Maria, mora-em, Campina Grande)
  5. 5. Relações Binárias Dados dois conjuntos S e T Uma relação R entre S e T é dada por R ⊆ SxT Uma relação binária R em S é dada por R ⊆ SxS = S2
  6. 6. Relações Binárias Ex.: Sejam S= {1,2} e T = {2,3} Temos que SxT = {(1,2). (1,3), (2,2), (2,3)} • Relação de igualdade: os elementos do par são iguais. O único par do “universo” (SxT) que satisfaz essa relação é (2,2), • Relação menor do que: isto é, primeiro elemento do par é menor do que o segundo. Três pares se distinguem: (1,2), (1,3), (2,3).
  7. 7. Relações Binárias Definição de uma relação ρ ⊆ S×T: • com palavras • pela enumeração dos pares ordenados que a satisfazem. • Por uma fórmula relacional • Pela definição do conjunto ρ Usaremos a notação xρy ou ρ(x,y) para indicar que o par ordenado (x,y) satisfaz ou pertence à relação ρ: x ρy ⇔ (x,y) ∈ ρ. Uma relação ρ ⊆ S×T também é denotada por ρ(S,T)
  8. 8. Relações Binárias • Exemplos. Sejam S = {1,2} e T = {2,3,4} : – descrição: x ρ y são todos pares cuja soma é ímpar. – x ρ y ⇔ x+y = 2n+1, com n ∈ N – x ρ y = {(1,2), (1,4), (2,3)} – ρ = {(x,y) | x ∈ S e y ∈T e x+y é ímpar} Seja PESSOA um conjunto de pessoas, podemos ter: casado-com(PESSOA, PESSOA)
  9. 9. Relações Binárias • Para cada uma das seguintes relações binárias ρ em N×N, determine quais dos pares ordenados apresentados pertencem à ρ: a. x ρ y ⇔ x = y+1 (2,2), (2,3), (3,3), (3,2) b. x ρ y ⇔ x divide y (4,2), (2,4), (2,5), (2,6) c. x ρ y ⇔ x é ímpar (2,3), (3,3), (4,5), (5,6) d. x ρ y ⇔ x > y2 (1,2), (2,1), (5,2), (5,4), (4,3) e. x ρ y ⇔ y é uma (a,b), (b,a), (b,i), (b,c), (o,o). vogal após a letra x
  10. 10. Relações n-árias →Dados os conjuntos S1, S2, ..., Sn, uma relação n-ária em S1×S2×...×Sn é um subconjunto de S1×S2×...×Sn. Neste caso para uma relação ρ em S1×S2×...×Sn escrevemos ρ(s1, s2, ...,sn) se s1, s2, ...,sn pertence à relação. →Exemplo: A= {1,2}, B = {2}, C = {2,3}. A×B×C = {(1,2,2), (1,2,3), (2,2,2), (2,2,3)} ρ(x,y,z) ⇔ x=y=z ρ = {(2,2,2)} ρ(x,y,z) ⇔ x>y ρ = ??
  11. 11. Relações unárias • Uma relação unária ρ em um conjunto S é um subconjunto particular de S. • Um elemento x de S satisfaz ou pertence a ρ se, e somente se, x pertence ao subconjunto que define a relação. • Exemplo 1: O conjunto dos números pares P (subconjunto de N) é definido pela relação: x ∈ρ ⇔ x é par. • Exemplo 2: Para o conjunto pessoa podemos ter a relação unária maior-de-idade(PESSOA).
  12. 12. Relações em um conjunto S → Uma relação binária em um conjunto S é um subconjunto de S2 = (SxS). Ex.: x ρ y ⇔ x≤y em N → Analogamente, uma relação n-ária em um conjunto S é um subconjunto de Sn . → Ex.: (x,y,z) ∈ρ ⇔ x+y=z em N.
  13. 13. Tipos de relações Dado uma relação ρ ⊆ S×T → ρ é uma relação um-para-um se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem exatamente uma vez na relação. → Formalmente: → (i) todos elementos de S e T participam da relação → (ii) se (s,t) ∈ ρ e (s,t’) ∈ ρ então t=t’ → (iii) se (s,t) ∈ ρ e (s’,t) ∈ ρ então s=s’ → Ex.: Sejam S = {2,5,7,9} e T = {1,3,4,5} → ρ = {(2,4), (5,5), (7,3), (9,1)}
  14. 14. Definições → ρ é uma relação um-para-vários se algum primeiro elemento s aparece mais de uma vez. → Ex.: ρ = {(7,4), (2,5), (2,3)} → ρ é uma relação vários-para-um se algum segundo elemento t fizer par com mais de um primeiro elemento s.. → Ex.: ρ = {(2,4), (3,4), (5,2)} → ρ é uma relação vários-para-vários se pelo menos um s fizer par com mais de um t e pelo menos um t fizer par com mais de um s.. → Ex.: ρ = {(7,4), (2,5), (9,4), (2,3)}
  15. 15. Definições fracas → ρ é uma relação um-para-um fraca se cada primeiro elemento s e cada segundo elemento t aparecem no máximo uma vez na relação → ρ é uma relação um-para-vários fraca se algum primeiro elemento s pode aparecer mais de uma vez. → ρ é uma relação vários-para-um fraca se algum segundo elemento t pode fazer par com mais de um primeiro elemento s.. → ρ é uma relação vários-para-vários fraca se é um-para- vários e vários-para-um. EXERCÍCIO: Defina formalmente todas estas relações
  16. 16. Operações sobre relações • Seja B o conjunto de todas as relações binárias em um dado conjunto S: B = P(SxS) = {ρ: ρ é uma relação binária em S} • Isto é, se ρ ⊆ S2 , então ρ ∈ B. • Assim, se ρ e σ ∈ B, então podemos aplicar as operações de conjuntos a ρ e σ resultando em novos subconjuntos de S2 , isto é, em novas relações binárias: • x (ρ ∪ σ) y ⇔ x ρ y ou x σ y. • x (ρ ∩ σ) y ⇔ x ρ y e x σ y. • x ρ’ y ⇔ não x ρ y.
  17. 17. Exercícios 1. Sejam ρ e σ duas relações binárias em S={1,2,3,4,5} definidas por: x ρ y ⇔ x = y+1. e x σ y ⇔ x < y+1. Encontre: a. ρ e σ β. ρ ∪ σ c. ρ’ d. σ’ e. ρ ∩ σ f. ρ ∪ ρ’ 2. Analise as relações pai-de(PESSOA,PESSOA), casado-com(PESSOA, PESSOA) e trabalha-em(PESSOA, EMPRESA) Quanto às características um-para-um forte/fraca, um-para-muitos forte/fraca, etc.)
  18. 18. Propriedades das relações Seja ρ uma relação binária em S2 . →ρ é reflexiva quando xρx para todo x ∈ S. →ρ é simétrica quando xρy se, e somente se yρx para todo x e y ∈ S. →ρ é transitiva quando, xρy e yρz implica xρz para todo x, y e z ∈ S. →ρ é anti-simétrica quando xρy e yρx implica x = y para todo x e y ∈ S.
  19. 19. Exemplos Seja S = P(N) e seja A ρ B ⇔ A ⊆ B. Então: ρ é reflexiva. ρ é transitiva. ρ é anti-simétrica. Seja S = N os naturais, e x ρ y ⇔ o resto da divisão de x e y por 10 é o mesmo. • ρ é reflexiva. • ρ é transitiva. • ρ é simétrica
  20. 20. Fecho de uma relação Se uma relação ρ em um conjunto S não tem uma certa propriedade, podemos tentar estender ρ a fim de obter uma relação ρ* em S que tenha a propriedade. → Uma relação binária ρ* em um conjunto S é dita ser o fecho de ρ em S relativo à propriedade P se: 1. ρ* tem a propriedade P; 2. ρ ⊆ ρ* ; 3. ρ* é a ‘menor’ relação contendo ρ com a propriedade P, ou seja ∀ ρ’ com P e ρ ⊆ ρ’ vale ρ* ⊆ ρ’
  21. 21. Fecho de uma relação • Exemplo: • Seja S = {1,2,3} e ρ = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3)} • Então, - o fecho reflexivo de ρ em S é: ρ* = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3), (2,2), (3,3)} - o fecho simétrico de ρ em S é: ρ** = {(1,1), (1,2), (3,1), (2,3), (1,3), (2,1), (3,2)} - o fecho transitivo de ρ em S é: ρ**' = ρ ∪ {(1,3), (3,2), (3,3)} - o fecho transitivo do fecho simétrico ρ∗∗ em S é: ρ**” = ρ∗∗ ∪ {(3,2), (3,3), (2,2)}
  22. 22. Exercício Seja S = {a,b,c,d} e ρ = {(c,c), (a,c), (a,d), (b,d), (c,a)} • Encontre os fechos reflexivo, simétrico e transitivo de ρ. • E o fecho anti-simétrico?? Não existe fecho anti-simétrico mas sim, redução anti-simétrica
  23. 23. Relações de Ordem Ordem Parcial • Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, anti-simétrica e transitiva é dita ser uma relação de ordem parcial (ordenação parcial) em S. • Exs.: - x ρ y ⇔ x ≤ y (em N) - A ρ B ⇔ A ⊆ B (em P(N)) - x ρ y ⇔ x divide y (em N) - x ρ y ⇔ x = y2 (em {0,1}). - x ρ y ⇔ x é uma subcadeia de y (no conjunto de todas as cadeias de símbolos)
  24. 24. Ordem Parcial → Se ρ é uma relação de ordem parcial em S, então o par (S, ρ) é chamado de um conjunto parcialmente ordenado (POSET). Obs.: Notação: (S,≤) • Seja (S, ≤) um poset e seja A ⊆ S. O conjunto formado pelos pares ordenados de A que pertencem a ≤ é dito ser a restrição de ≤ à A (notação ≤|A e constitui uma ordenação parcial em A. • Exemplo: (N, x divide y) é um poset. • Então, ({1,2,3,6,12,18}, x divide y) também é um poset.
  25. 25. Grafo de um Poset • Se S é finito, então o POSET (S, ≤) pode ser representado visualmente através de um grafo (Diagrama de Hasse): A ordem é dada pela posição vertical do vértice. Exemplo: (P({1,2}), ⊆)= {∅, {1}, {2}, {1,2}}: {1} {1,2} {2} ∅
  26. 26. Ordem Parcial →Notação visual de um POSET (Diagrama de HASSE): • Exemplo: ({1,2,3,6,12,18}, x divide y) 1 2 3 6 12 18
  27. 27. Grafo de um Poset • Exemplo: Diagrama de Hasse dos divisores de 60
  28. 28. Predecessor e Sucessor → Seja (S,≤) um poset e x ≤ y, → Se x ≤ y e x ≠ y, então x é um predecessor de y ou y é um sucessor de x (notação x < y ). → Um dado y pode ter diversos predecessores mas, se x < y e não há z tal que x < z < y, então dizemos que x é um predecessor imediato de y. → Exercício: Considere a relação “x divide y” em {1,2,3,6,12,18}: a. Escreva os pares ordenados desta relação; b. Escreva todos os predecessores de 6; c. Escreva todos os predecessores imediatos de 6.
  29. 29. Mínimo/Máximo e Minimal/Maximal →Seja (S, ≤) um POSET. Um elemento y ∈ S é dito ser minimal se não houver outro x ∈ S tal que x ≤ y. → ou seja, y não tem predecessores →Seja (S, ≤) um POSET. Se houver um x ∈S tal que x ≤ y para todo y ∈ S, então, x é um elemento mínimo do conjunto. Obs.1: um elemento mínimo, se houver, é único. Obs.2: o mínimo é minimal Obs.3: Um POSET que possuir um único elemento minimal, este será o elemento mínimo. → Analogamente define-se elemento maximal e elemento máximo.
  30. 30. Posets especiais Uma árvore com raiz é um poset (S, ≤) que • tem um elemento mínimo, chamado de raiz da árvore. • todo elemento de S, exceto a raiz, possui um único predecessor imediato. EXEMPLO: . b c a d e
  31. 31. Posets especiais Dado um poset (S, ≤) e dois elementos r,s ∈ S, Definimos t=sup(r,s) como o ‘menor’ elemento t tal que r ≤ t e s ≤ t. Analogamente define-se q = inf(r,s) Escrevemos t = r+s e q = r.s. Note que em um poset nem sempre existem r+s e r.s Uma árvore sempre terá r.s para todos r e s em S Uma árvore nunca terá r+s para r ≠ s.
  32. 32. Posets especiais DEFINIÇÃO: Um reticulado é um poset (S, ≤) em que para quaisquer r,s ∈ S, existe um (único) sup(r,s) e um (único) inf(r,s). • Dado um reticulado finito (S, ≤), definimos • sup(S) o elemento máximo de S e • inf(S) o elemento mínimo de S EXEMPLO:
  33. 33. Exercícios • Mostre que um reticulado finito tem um único elemento minimal (o mínimo) e um único maximal (o máximo). Questão: • Um poset que tem um elemento mínimo e um elemento máximo sempre é um reticulado?
  34. 34. Exercício 1. Desenhe o grafo da relação “x divide y” em {1,2,3,6,12,18}. Obs. Podemos reconstruir o POSET da relação a partir do grafo. 1. Seja o grafo de uma ordenação parcial ≤ em um conjunto S = {a,b,c,d,e}, 1. analise a relação ≤ 2. Existem sup(S) e inf(S)? b c a d e
  35. 35. Exercícios 1. Mostre que para todo conjunto S, <P(S),⊆> é um reticulado. 2. Encontre 1. Para quaisquer A,B ∈ P(S), sup(A,B) e inf(A,B) 2. sup(P(S)) e inf(P(S)). 3. Um reticulado pode ser uma árvore? Porque?
  36. 36. Ordem Total →Uma ordem parcial na qual todo elementos estão relacionados entre si é chamado de cadeia (ordem total). → em outras palavras, (S, ≤) é uma ordem total se para todo (x,y), vale, ou x ≤ y ou y ≤ x. • Obs.: o grafo de uma ordem total tem a forma de uma linha. • Exemplo: a relação “≤” em N é uma ordem total.
  37. 37. Exercícios 1. Analise os conjuntos totalmente ordenados quanto aos conceitos de árvore, reticulado, mínimo, minimal, etc.
  38. 38. Exercícios 1. Desenhe o grafo de um POSET tal que 1. Tenha 2 elementos minimais e um elemento máximo. 2. Que não seja uma árvore. 2. Desenhe o grafo dos POSETs abaixo e identifique quais são árvores ou reticulados: 1. S = {1,2,3,5,6,10,15,30} e x ρ y ⇔ x divide y. 2. S = P({1,2,3}) e A ρ B ⇔ A ⊆ B. 3. Para S = {a,b,c,d} e ρ = {(a,a), (d,d), (a,b), (b,c), (a,d), (c,d)}. encontre ρ’ o fecho simétrico de ρ e ρ” o fecho transitivo de ρ’ .
  39. 39. Relação de Equivalência → Uma relação binária em um conjunto S que seja reflexiva, simétrica e transitiva é chamada de uma relação de equivalência em S. → Exs.: 1. x ρ y ⇔ x + y é par (em N) 2. x ρ y ⇔ x = y2 (em {0,1}) 3. x ρ y ⇔ x senta na mesma coluna que y (em sala) 4. ρ = {(1,1),(2,2),(3,3),(1,2),(2,1)} (em{1,2,3})
  40. 40. Partição Seja ρ a relação em S definida por: xρy ⇔ x senta na mesma coluna que y (S = alunos na sala) ρ particiona o conjunto S em subconjuntos de forma que todo aluno da classe pertence a um, e apenas um, subconjunto. → Uma partição de um conjunto S é uma coleção de subconjuntos disjuntos não-vazios de S cuja união resulta em S. Toda relação de equivalência em S determina uma partição (cada parte é uma classe de equivalência).
  41. 41. Classe de Equivalência →Seja ρ uma relação de equivalência em S e x um elemento de S (x ∈S). →[x] é o conjunto de todos os elementos de S que se relacionam com x. É a classe de equivalência de x. Assim, [x] = { y : y ∈S e x ρ y}. Exemplo: No caso da relação “x senta na mesma coluna que y”, suponha que João, Pedro e Maria sentam todos na coluna 3. Então: [João] = [Pedro] = [Maria] = {João, Pedro, Maria}.
  42. 42. Relação de Equivalência • Teorema: Seja ρ uma relação de equivalência em S. Então, as classes de equivalência distintas de S formam uma partição S, ou seja, – (1) a união das classes resulta em S e – (2) classes distintas são disjuntas.
  43. 43. Relação de Equivalência Prova: (1) a união das classes resulta em S e . • Seja Ux∈S[x] ≡ união de todas as classes de equivalência de S. • 1. Ux∈S[x] = S - Ux∈S[x] ⊆ S. Cada classe [x] é um subconjunto de S. Portanto, Ux∈S[x] também é um subconjunto de S. - S ⊆ Ux∈S[x]. Seja x ∈S . Como xρx (reflexiva). temos x ∈ [x]. Portanto, como x é qualquer, todo elemento de S pertence a alguma classe de equivalência e, portanto, pertence à união das classes.
  44. 44. Relação de Equivalência • (2) classes distintas são disjuntas • Se [x] ≠ [z], então [x] ∩ [z] = ∅. • Vamos mostrar por contradição. • Vamos assumir que [x] ∩ [z] ≠ ∅. • Se [x] ∩ [z] ≠ ∅, então existe y∈S tal que y ∈[x] ∩ [z]: - y ∈[x] ∩ [z] - y ∈[x] e y ∈[z] - xρy e zρy - xρy e yρz - xρz • O que nos permite dizer que [x] = [z], o que contradiz a premissa [x] ≠ [z].
  45. 45. Relação de Equivalência • Corolário: Uma relação de equivalência em um conjunto S determina uma partição de S e uma partição de S determina uma relação de equivalência. • Prova: • Do teorema anterior e do fato de que a relação xρy ⇔ “x está no mesmo subconjunto da partição que y” é uma relação de equivalência.
  46. 46. Exemplo Seja S = { a/b : a, b ∈Z e b ≠ 0}, ou seja, o conjunto de todas as frações de inteiros. →Definimos uma relação ≈ como sendo: a/b ≈ c/d ⇔ ad = bc • A relação ≈ é uma relação de equivalência.(verificar). • Algumas classes de equivalência de ≈ : • [1/2] = {..., -3/-6, -2/-4, -1/-2, 1/2, 2/4, 3/6,...} • [3/10]= {..., -9/-30, -6/-20, -3/-10, 3/10, 6/20, 9/30,...} • Obs.: O conjunto Q dos números racionais pode ser visto como o conjunto de todas as classes de equivalência de S por ≈.
  47. 47. Exercício 1. Seja S = N os números naturais e a partição: →N = P ∪ IP (em que P são os números pares e IP os números ímpares) • Defina uma relação de equivalência ≈ determinada por esta partição. 2. Dadas as funções f(x)=x2 +1 e g(x) = cos(2x). O que seria a classe de equivalência [π] para cada uma dessas funções. (N.B. xρy <=> f(x) = f(y) Se R é o conjunto dos números reais, descreva as partições de S criadas por ρ sob f(x) e sob g(x).
  48. 48. Exercício cos(2* π) = 1 π 2 +1 = 10,8696 x2 +1cos(2*x)
  49. 49. Aritmética Finita ou Modular É uma aritmética com um número finito de números inteiros 0,1,2,3,4,..,n-1, n, n+1, n+2, n+(n-1), 2n,.. Com 0 ≈ n ≈ 2n ..., 1 ≈ n+1 ≈ n+2... EXEMPLOS: - O relógio - O computador - notação decimal
  50. 50. Aritmética Modular Exemplo: Seja Z o conjunto dos inteiros e seja ≡3 a relação congruência módulo 3 em Z definida da seguinte forma: • x ≡3 y ⇔ x-y = k.3, para algum k ∈Z . ( x ≡ y (mod 3) ) • Essa relação é uma relação de equivalência: 1. REFLEXIVA: x ≡ x (mod 3) ⇔ x-x = 3.0 (k=0) 2. SIMÉTRICA: Se x ≡ y (mod 3) então y ≡ x (mod 3). 1. x-y=k.3, para algum k 2. y-x = -k.3 3. y-x = m.3 ⇔ y ≡ x (mod 3). 3. TRANSITIVA: Se x ≡ y (mod 3) e y ≡ z (mod 3) então x ≡ z (mod 3).
  51. 51. Aritmética Modular →Seja Z o conjunto dos inteiros e seja n ∈ Z+ . → Então, a relação x ≡n y (mod n) ⇔ x-y = k.n, para algum k ∈Z, é uma relação de equivalência. •
  52. 52. Aritmética Modular →APLICAÇÃO:. • Toda máquina tem um limite no tamanho dos inteiros que ela pode armazenar que depende do número fixo de bits que ela pode armazenar em uma posição de memória. • Suponha que n-1 é o maior inteiro que pode ser armazenado e que x e y são inteiros tais que 0≤x≤n-1 e 0≤y≤n-1. • O que acontece se for solicitado a soma x+y e ela exceder o limite n-1? • R.: ela não pode ser armazenada. • O que fazer?
  53. 53. Aritmética Modular • Realizar a adição módulo n e armazenar o resto r da divisão de x+y por n. • Se x+y > n-1, então podemos escrever: • x+y = q.n +r, 0 ≤ r < n. • Esta equação pode ser escrita como: • (x+y) – r = q.n • Ou seja, (x+y) – r é um múltiplo de n, e assim, pela definição acima: • x+y ≡ r (mod n) • Isto quer dizer que r está na mesma classe de equivalência [x+y] e, como 0 ≤ r ≤ n, está na faixa dos inteiros que podem ser armazenados.
  54. 54. Aritmética Modular • Portanto, todo número inteiro z em uma base n pode ser representado como: – z = q.n + r, para algum 0 ≤ r < n . NOTAÇÃO: zn = (r,q) Com isso podemos armazenar números maiores que n, enquanto tivermos q < n
  55. 55. Adição e Multiplicação Modular →Seja Zn = {0, 1, 2, ..., n-1}. A adição módulo n, denotada por +n em Z é definida por x +ny = r, onde r é o resto da divisão de x+y por n. • Exemplo: 1 +5 3 = 4 ou seja 45 = (4,0) • 3 +5 4 = 2 ou seja 75 = (2,1)
  56. 56. Adição e Multiplicação Modular →A multiplicação módulo n, denotada por •n em Z é definida por x •n y = r, onde r é o resto da divisão de x . y por n. • Exemplo: 2 • 5 3 = 1 ou seja 65 = (1,1) • 4 • 5 4 = 1 ou seja 165 = (1,3)
  57. 57. Exercícios 1. Complete as tabelas abaixo para definir + 5 e • 5 na notação (r,q): +5 0 1 2 3 4 0 1 (3,0) 2 3 4 • 5 0 1 2 3 4 0 1 2 (3,1) 3 4 2. Considerando a população de uma cidade, as relações mesmo-bairro(x,y) e mesma-rua(x,y) são duas relações de equivalência. Mostre que a relação mesmo-bairro(x,y) ∪ mesma-rua(x,y) não é uma relação de equivalência.
  58. 58. Exercícios 1. Dadas as funções f(x)=x2 +1 e g(x) = cos(2x). O que seria a classe de equivalência [π] para cada uma dessas funções. 2. Se R é o conjunto dos números reais, descreva as partições de S criadas por ρ sob f(x) e sob g(x). 3. Defina a relação de equivalência que particiona os números inteiros em pares e ímpares.
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