Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivas

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Matemática Discreta - Parte III definicoes indutivas

  1. 1. Módulo 1: Métodos de Prova de Teoremas •UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE •CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA •DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO •Professor Ulrich Schiel •UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE •CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA •DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO •Professor Ulrich Schiel •UNIVERSIDADE FEDERAL DE CAMPINA GRANDE •CENTRO DE ENGENHARIA ELÉTRICA E INFORMÁTICA •DEPARTAMENTO DE SISTEMAS E COMPUTAÇÃO •Professor Ulrich Schiel
  2. 2. Prova • Filosofia (silogismo) • Direito (elemento de convicção ao julgamento) • Lógica (Linguagem, Axiomas, Regras de Dedução) • Matemática(comprovar uma conjectura a partir de axiomas e regras) É um procedimento sistemático de determinar a veracidade de um novo fato a partir de fatos conhecidos
  3. 3. Métodos de Prova de Teoremas Teoremas matemáticos são expressos, geralmente, na forma: “Se P então Q” onde P e Q representam sentenças simples ou compostas. Exemplos: • Se A ⊆ B, então A ∩ B = A • Se um número inteiro é divisível por 6, então ele é divisível também por 3 • Se x é primo e maior que 2 então x é ímpar.
  4. 4. Teorema = Conjectura + Prova Provar/demonstrar a conjectura (“se P então Q”) é deduzir/inferir Q (conclusão/tese) a partir de P (hipótese/premissa) usando axiomas e regras da lógica e conhecimento específico sobre o assunto ou domínio. Uma conjectura passa a se chamar um teorema depois de provada. • Conjectura: (se P então Q) • Tese: Q • Hipótese: P
  5. 5. Teoria a partir de axiomas e teoremas aplica-se regras de dedução para obter novos teoremas. • Linguagem: (fórmulas bem formadas) • Axiomas: [(x=y e P(x)) então P(y) - substituição] • Regras de dedução: (modus ponens)
  6. 6. Prova: Abordagens Negar (refutar) ou Demonstrar (provar) Negar (refutar): Procurar um exemplo (contra-exemplo) no qual P é verdadeiro e Q é falso Exemplos: • Todo inteiro menor que 10 é maior que 5 – Reescrevendo: – Se um inteiro é menor que 10, então ele é maior que 5. • contra-exemplo: 3 • A soma de quaisquer três inteiros consecutivos é par. • contra-exemplo: 2+3+4 é ímpar.
  7. 7. Refutação • Assumir a conjectura e chegar a um absurdo • Encontrar um contra-exemplo.
  8. 8. Refutação • Um único contra-exemplo é suficiente para se refutar a conjectura • procurar um contra-exemplo e não achá-lo não constitui prova de que a conjectura é verdadeira • ainda que um simples contra-exemplo seja suficiente para refutar a conjectura, muitos exemplos não provam a suposição. Eles simplesmente fortalecem sua inclinação a procurar uma demonstração. • (única exceção quando se está fazendo uma asserção sobre uma coleção finita) – Exemplo: “entre 20 e 30 só existem dois números primos”
  9. 9. Demonstrar/Provar Demonstração direta: “Se P, então Q” • Assume-se a hipótese P como verdadeira e procura- se deduzir a tese Q Exemplo: Se um inteiro é divisível por 6 então ele também é divisível por 3
  10. 10. Se um inteiro é divisível por 6 então ele é também divisível por 3 HípóteseHípótese: x é divisível por 6 1. x = 6.k , para algum inteiro k (definição de divisibilidade) 2. 6 = 2.3 (fato numérico) 3. x =(2.3). k (substituição (2) em (1)) 4. x = (3.2). k (comutatividade do produto) 5. x = 3.(2.k) (associatividade do produto) 6. 2.k é inteiro (propriedade dos inteiros) 7. x = 3.m , para o inteiro m = 2.k ConclusãoConclusão: x é divisível por 3 (definição de divisibilidade)
  11. 11. Se um inteiro é divisível por 6 então duas vezes o inteiro é divisível por 4 HípóteseHípótese: x é divisível por 6 • x = k.6 , para algum inteiro k (definição de divisibilidade) • 2.x = 2.k.6 (se x=y então kx=ky) • 2x = k.2.6(comutatividade) • 2x = k.12 (fato numérico) • 2x = k.3.4(fato numérico) • 2x = m.4 , para inteiro m igual a k.3 ConclusãoConclusão: 2x é divisível por 4 (definição de divisibilidade)
  12. 12. O produto de dois pares é par Se x e y são pares, então x.y é par. • Hípótese: x e y são pares • x = 2m , para algum inteiro m (definição de par) • y = 2n , para algum inteiro n ( “ “ ) • x.y = 2m.2n • x.y = 2.(m.2n) (associatividade) • x.y = 2.k , onde k é inteiro igual a 2mn • Conclusão: x.y é par.
  13. 13. Se A⊆B então A∩B = A Hipótese: A⊆B • PARTE 1: A ⊆ A∩B – Para todo x ∈ A, temos x ∈ B (hipótese) – Mas, x ∈ A & x ∈ B ⇒ x ∈ A ∩B (definição de ∩) – Logo A ⊆ A∩B (definição de ⊆) • PARTE 2: A∩B ⊆ A – Para todo x ∈ A∩B – Então x ∈ A (definição de ∩ ) – Então A∩B ⊆ A (definição de ⊆) • Tese: A∩B = A. • definição: X = Y def X ⊆Y e Y ⊆X
  14. 14. Dupla implicação Teoremas são, às vezes, enunciados na forma: “P se, e somente, Q” significando: “Se P, então Q” e “Se Q, então P” Para se provar um teorema dessa forma deve-se provar tanto uma quanto outra implicação. Exemplo: x < y se, e somente se, x2 < y2 .
  15. 15. x < y se, e somente se, x2 < y2 →Se x < y então x2 < y2 • Hipótese: x < y • y = x + k , para algum inteiro positivo k (hipótese) • y2 = (x + k)2 (fato numérico) • y2 = x2 + 2xk + k2 (fato numérico) • y2 > x2 • Conclusão: x2 < y2 ←Se x2 < y2 então x < y • Hipótese: x2 < y2 • y2 = x2 + k • y = (x2 + k)½ > (x2 )½ = x • Conclusão: x < y O que acontece com x = -2 e y = 1 ???
  16. 16. Demonstrar/Provar Demonstração por contraposição: “Se P então Q” Provar “se não Q então não P” é provar “Se P então Q” Exemplo: Se um inteiro é divisível por 6 então ele também é divisível por 3 Contrapositiva: Se um inteiro não é divisível por 3 então ele também não é divisível por 6.
  17. 17. Se um inteiro não é divisível por 3 então ele também não é divisível por 6 • Hipótese: x não é divisível por 3. • x ≠ k.3 , p/ todo inteiro k (negação de divisibilidade) • x ≠ (2.d).3 , para todo inteiro d (já que 2.d é inteiro) • x ≠ d.(2.3) , para todo inteiro d (associatividade da multipl.) • x ≠ d.6, para todo inteiro d (fato numérico) • Conclusão: x não é divisível por 6. • Exercício: Se o quadrado de um número é ímpar, então o número também é ímpar.
  18. 18. xy é ímpar se e somente se x e y são ímpares ←Se x e y são ímpares então xy é ímpar • Hipótese: x e y são ímpares • x = 2n + 1 e y = 2m + 1, p/ m e n inteiros • xy = 2.(2nm+m+n) + 1 • Conclusão: xy é ímpar. →Se xy é ímpar então x e y são ímpares • Vamos provar essa parte por contraposição
  19. 19. Se xy é ímpar então x e y são ímpares • Se x ou y não é ímpar então xy não é ímpar • Hípóteses: - x é par e y é par ou - x é par e y é ímpar ou - x é ímpar e y é par • x é par e y é par • Conclusão: x.y é par (já provado) • x é par e y é ímpar • x = 2m e y = 2n + 1, p/ m e n inteiros • xy = 2.(2mn + m) • Conclusão: xy é par.
  20. 20. Demonstrar/Provar Ex.: Se um número somado a ele próprio resulta no próprio número, então ele é igual a zero. • Hipótese:x + x = x Tese: x=0 • Negação da tese: x ≠ 0 • 2.x = x (hipótese e x + x = 2.x) • 2.x/x = x/x (pois x ≠ 0) • 2 = 1 Absurdo • Conclusão: x = 0. Demonstração por contradição ou por absurdo: “Se P, então Q” Assumir “P ∧ ¬Q” é provar “Se P então Q”
  21. 21. “Existem infinitos números primos” Refutar: o número de primos é finito • Sejam p1, p2, ..., pn todos os primos • Seja agora k = p1 x p2 x ..., x pn + 1 • k não é divisível por nenhum pi, pois sempre resta 1 • Como todo primo é um inteiro maior que 0, k > pn • Logo k é primo e maior que todos os outros • CONTRADIÇÃO
  22. 22. 2½ não é um número racional Def.: um número racional é um número que pode ser escrito na forma p/q onde p e q são inteiros, tal que p e q não têm fatores comuns além da unidade. Por contraposição: • Negação da tese: 2½ é racional • 2½ = p/q com p e q primos entre si (definição) • 2 = p2 /q2 • 2q2 = p2 • 2 divide p2 • p2 é par • p é par (p é par – teorema anterior) • 2 divide p
  23. 23. 2½ não é um número racional • 4 é um fator de p2 (2 divide p) • 2q2 = p2 (já estabelecido) • 2q2 = 4k (4 é um fator de p2 ) • q2 = 2k • 2 divide q2 • 2 divide q • Conclusão: 2 divide tanto de p quanto de q, contrariando a suposição inicial que p e q não tem fatores comuns além da unidade (2½ = p/q é racional)
  24. 24. Exercício 1) Dado uma conjectura 1. P → Q, a negação de P é denotada por ~P, chamamos 2. ~Q → ~P de contrapositiva 3. Q → P de recíproca 4. ~P → ~Q de condicional inverso a) Quais são equivalentes? b) Dado “Todo número par entre 4 e 12 é uma soma de dois primos”, Identifique P e Q e dê suas contrapositivas, recíprocas e condicional inverso e mostre quais são teoremas. 2) Prove que “se x é positivo então x+1 é positivo” a) por contraposição b) por contradição (absurdo)
  25. 25. Demonstrar/Provar - Princípio da Indução Finita Demonstração por indução: “Todo inteiro positivo x tem a propriedade P” ∀nP(n) Se pudermos mostrar que: 1. P(1) é verdadeiro, ou seja, 1 tem a propriedade; 2. P(k)→P(k+1), ou seja se um inteiro qualquer tem a propriedade P então o inteiro seguinte também a tem; Então a conjectura ∀nP(n) é verdadeira (é um teorema).
  26. 26. Prova por Indução Passos: • provar a veracidade de P(1); (base da indução) • Admitir P(k) como verdadeiro (hipótese de indução) • demonstrar que, P(k+1) é verdadeiro;
  27. 27. exemplo de prova por indução Provar que a equação 1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1) = n2 é verdadeira para qualquer inteiro positivo n. • Base de indução: P(1) é verdadeira, ou seja, 1 = 12 . • Hipótese de indução: P(k) : 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) = k2 • Temos que mostrar então: P(k+1): 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k+1) - 1] = (k+1)2 •
  28. 28. 1 + 3 + 5 +...+ (2k - 1) = k2 1 + 3 + 5 + ... + (2k - 1) + [2(k + 1) - 1] = k2 + [2(k + 1) - 1] (hipótese de indução) = k2 + [2k + 2 - 1] = k2 + 2k + 1 = (k + 1)2 ou seja, 1 + 3 + 5 + ... + [2(k+1) - 1] = (k+1)2 então, como P(1) e P(k)→P(k+1), para k arbitrário, podemos afirmar que ∀xP(x), ou seja: 1 + 3 + 5 +...+ (2n - 1) = n2 é verdadeira para qualquer inteiro positivo n.
  29. 29. exemplo de prova por indução Provar que a equação 1+2+3+...+n = n(n+1)/2 é verdadeira para qualquer inteiro positivo n. • P(1) é verdadeira, ou seja, 1 = 1(1+1)/2. • Hipótese de indução: P(k) 1 + 2 + 3 + ... + k = k(k+1)/2 • Temos que mostrar então: P(k+1) 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)[(k+1)+1]/2 • O lado esquerdo dessa expressão pode ser reescrito como: k(k+1)/2 + (k+1) (pela hipótese de indução)
  30. 30. 1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2 • = k(k+1)/2 + (k+1) • = (k+1) (k/2 + 1) • = (k+1) (k/2 + 2/2) • = (k+1)(k+2)/2 • = (k+1)[(k+1)+1]/2 ou seja, 1 + 2 + 3 + ... + k + (k+1) = (k+1)[(k+1)+1]/2. então, como P(1) e P(k)→P(k+1), para k arbitrário, podemos afirmar que ∀xP(x), ou seja: 1 + 2 + 3 +...+ n = n(n+1)/2 para todo inteiro n.
  31. 31. Indução completa Passos: • estabelecer a veracidade de P(1); (base da indução) • assumir a veracidade de P(r) para todos os inteiros r entre 1 e um inteiro arbitrário k; (hipótese de indução); • provar a veracidade de P(k+1); • Então, podemos afirmar que todo inteiro positivo tem a propriedade P, ou ∀xP(x).
  32. 32. Exercício • Mostre, por indução completa que, para a seqüência de Fibonacci, vale a relação F(n) < 2n • N.B. A seqüência de Fibonacci é dada por F(1)=1; F(2)=2 e • F(n)=F(n-1) + F(n-2)), para n>2
  33. 33. Exercícios Provar uma das duas fórmulas abaixo: • a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma progressão geométrica (n ≥ 1) é: a + ar + ar2 +...+ arn-1 = (a-arn )/(1-r). • a fórmula para a soma dos n primeiros termos de uma progressão aritmética (n≥1) é: a + (a+r) + (a+2r) +...+ (a+(n-1)r) = an + r(n-1)n/2. • Dado uma conjectura P → Q, a negação de P é denotada por P’, chamamos • Q’ → P’ de contrapositiva • Q → P de recíproca • P’ → Q’ de condicional inverso 1. Quais são equivalentes? 2. Dado “Se n é um número par com 4 ≤ n ≤ 12, então n é uma soma de dois primos”, dê suas contrapositivas, recíprocas e condicional inverso e mostre quais são teoremas.

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