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Capital Económico - José Carlos Sánchez

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Presentación sobre la formulación de los modelos de Capital Económico.

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  • 1. Capital económico y administración de riesgo José Carlos Sánchez 20/05/2010 M2gR :Servicio de Modelos y Metodologías para la Gestión del riesgo
  • 2. Agenda Características del negocio bancario Medidas adecuadas del riesgo Formulación del modelo Análisis de sensibilidad Resultados portafolio Junio 2009 Conclusiones 2
  • 3. Negocio bancario Es un segmento riesgoso: > Alto apalancamiento. > Negocia con activos volátiles. > Negocia con activos muy ilíquidos. > Cumple una función de transformación de riesgos. > Riesgo reputacional. > Riesgo de crédito. Requiere ser regulado? > Si bien es riesgoso las ganancias o perdidas se transfieren asimétricamente. > Para la economía es muy costosa la quiebra de un banco. Como se regula? > Provisiones > Requerimientos mínimos de Capital 3
  • 4. Medidas adecuadas del riesgo (I) Riesgo de Crédito: La posibilidad de generar “perdidas” producto del “impago” de una contraparte. Cada vez que ocurre un impago: Perdida i =Deuda i*(1- Recuperación i) Perdida=Σ (Deuda i*(1- Recuperación i)) E(Perdida i )=PD i*(Deuda i*(1- Recuperación i)) Perdida esperada=E(Perdida)= Σ PD i*(Deuda i*(1- Recuperación i)) Es el monto con una mayor probabilidad de ocurrencia, es ideal para alinear la rentabilidad al riesgo de crédito. Pr Perdida Perdida esperada 4
  • 5. Medidas adecuadas del riesgo (II) La perdida esperada solo cubriría aproximadamente un poco mas del 50% de las perdidas posibles. Existe una alta probabilidad de que quiebre. Se necesita una medida que permita cubrir un bloque aun mayor de las perdidas: F(Perdida i <=PNES)=99.9x% Perdida no esperada es el monto que cumple con la condiciona anterior . Como medida de solvencia, indica en que proporción de los eventos posibles la institución tendrá suficientes recursos para salir airosa. Provisiones Capital Pr 1-99.9x% Perdida Perdida Perdida Esperada NO Esperada 5
  • 6. Formulación del modelo Pérdida por riesgo de Crédito: Lossi= LGDi*EADi *Di Di =1 si el cliente i incumple Di=0 si el cliente i no incumple E(Di )=PDi Loss = Σ(Lossi) =Σ(LGDi*EADi *Di ) Σ El evento “default” se modela al estilo de Merton: El cliente incumple si los retornos de sus activos normalizados Xi caen debajo del umbral de incumplimiento ci. [X = Zi i ] [ 1 − ai2 + Mai ≤ ci = N −1 (PDi ) ] Donde: M ≡ N(0,1) Factor Sistémico z ≡ N(0,1) Factor Idiosincrático ai*aj ≡ Correlación de Activos 6
  • 7. Formulación del modelo Capital Económico: Pérdida no esperada de una cartera a un determinado nivel de confianza Definición de Capital Económico: α $K = VaRα(Loss) - E(Loss) $K = VaRα(Loss) - Σ(PI * PDI * EDI) α Frecuencia % 0.2 0.1 Nivel de Confianza α 0.0 Expected loss Unexpected loss Provisiones Capital VaR 7
  • 8. Formulación del modelo Componentes de los Modelos de Capital Económico Cargas de capital a nivel portafolio 1. Determinar: a) PI, PDI, EDI b) M, se fija horizonte de simulación a X años c) Definir la correlación de pérdidas vs factores macro: Usual es obtenerla a partir de correlaciones de activos (supuesto IRB) o de retornos de activos 2. α Para calcular el VaRα(Loss) a) Mediante simulación: i. Calcular la Pérdida = PDI * EDI, por evento de default, ii. Se encuentra el cuantil α iii. Se requieren por lo menos 30 000 simulaciones. (Dependiendo del software entre 1 y dos minutos) b) Analíticamente: Trabajos teóricos menos restrictivos que la formula IRB. (Gordy, Tasche, Phyntkin, etc) i. Haciendo supuestos se puede modelar la Función de Probabilidad acumulada de las perdidas. ii. Y a partir de la CDF se despeja el cuantil α de la función de pérdidas. 8
  • 9. Formulación del modelo Componentes de los Modelos de Capital Económico Cargas de capital a nivel individual A nivel individual, se requiere calcular el capital adicional que se incurre por un determinado Crédito. 1. Mediante simulación: i. Capital marginal = VaR(Portafolio)-VaR(Portafolio-1) ii. Se puede tener calculado el VaR( Portafolio) y solo cada vez calcular el VaR( Portafolio-1) , pero esta diferencia requiere por lo menos 100 000 simulaciones. iii. Se requiere alternativas menos costosas. 2. Analíticamente: i. La carga de capital es el cambio en el VaR ante un cambio en el tamaño del dVaRα (Loss ) portafolio.  n  d ∑ (EDI * LGD ) 1  9
  • 10. Formulación del modelo: Analíticamente Modelo unifactorial con correlación xi = ai M + 1− ai2 Z i La correlacion entre xi y xj es aiaj La i’ecima empresa incumplirá hasta el momento T si xi < N-1[PDi] o N −1[Qi (T ) − ai M ] Zi < 1 − ai2 La probabilidad de esto es  N −1 [Q (T )] − a M    PDi (T M ) = N  i i    1 − ai2   Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 10 2005
  • 11. Formulación del modelo: Analíticamente Cálculo del VaR a partir del modelo unifactorial Consideremos un portafolio de créditos muy grande y perfectamente granular, donde cada uno tiene una probabilidad de incumplir hasta el momento T de PD. Suponga que la correlación entre 2 clientes son ρ por lo tanto todas las ai son ρ Estamos X% seguros que M es menor que N-1(1−X) = −N-1(X) Por lo tanto el VaR de la probabilidad seria:  N −1 [PD ] + ρ N −1 ( X )    V ( X ,T ) = N     1− ρ   Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 11 2005
  • 12. Formulación del modelo: Analíticamente Perdida No Esperada Esta es la formula de basilea  N −1 [PD ] + ρ N −1 (0.999)    PNES (0.999, T ) = N   * EAD * LGD   1− ρ   Options, Futures, and Other Derivatives 6th Edition, Copyright © John C. Hull 2005 12
  • 13. Formulación del modelo Supuestos de las soluciones Analíticas: Resumen Modelo N Granularidad Parámetros Simulación Número Real Montecarlo Cada exposición Cada exposición tiene Ajuste de mantiene su su PD y correlación (ρi, Granularidad peso. pdi) (Gordy2) Ajuste de Granularidad El número de Nuevo PD=Φ(a) y Semi-Asintótico deudores es Dos portafolios: correlacion(τ). (Gordy) muy grande Nuevo: u. Previo PD=Φ(c) y Enfoque (n->∞) Previo: 1-u. correlación ρ, igual Semi-Asintótico entre deudores (Tasche) PD y correlación Basilea II: IRB Mismo peso (1/n). iguales entre deudores ρ, pd 13
  • 14. Análisis de sensibilidad Modelos de Capital Económico Se espera que: Las medidas sean crecientes en pi , dado un tamaño y una correlación. .4 Requerimiento de capital % k_tasche0 k_bis20 k_gordy0 .3 .2 Cambios de requerimiento regulatorio ante cambios en PD Manteniendo constante : .1 ρ=0.173, Φ(c)=0.031 α=0.999, u=0.2% 0 0 .1 .2 .3 .4 .5 pi 14
  • 15. Análisis de sensibilidad Modelos de Capital Económico Se espera que: Las medidas sean crecientes en pi , dado un tamaño y una correlación. Manteniendo constante : ρ=0.173, Φ(c)=0.031,α=0.999 α Tasche Bis Gordy .5 .5 .5 .5 .5 u = .2 % u = .5 % u = .8 % u = 1 .1 % u= 1 .4 % Requerimiento de capital % .4 .4 .4 .4 .4 .3 .3 .3 .3 .3 .2 .2 .2 .2 .2 .1 .1 .1 .1 .1 0 0 0 0 0 0 .1 .2 .3 .4 .5 0 .1 .2 .3 .4 .5 0 .1 .2 .3 .4 .5 0 .1 .2 .3 .4 .5 0 .1 .2 .3 .4 .5 pi pi pi pi pi 15
  • 16. Análisis de sensibilidad Modelos de Capital Económico Se espera que, Las medidas sean crecientes en u, dado una correlación y una pi. Σ u=(edi*pdi)/Σ (edi*pdi) Cambios de requerimiento regulatorio ante cambios en el tamaño del .25 Requerimiento de capital % Crédito (u) Manteniendo constante : ρ=0.173, Φ(c)=0.031 .2 τ=0.229, Φ(a)=0.002 α=0.999 .15 k_tasche0 k_bis20 k_gordy0 .1 .05 0 .02 .04 .06 .08 .1 u Participación del Crédito en la cartera 16
  • 17. Análisis de sensibilidad Modelos de Capital Económico Cambios de requerimiento regulatorio ante cambios en el tamaño del Crédito (u) Manteniendo constante : ρ=0.173, Φ(c)=0.031, α=0.999 Tasche Bis Gordy .6 .6 .6 .6 .6 pd= 1.4 % y corr= 11.98 % pd= .2 % y corr= 21.73 % pd= .6 % y corr= 17.81 % pd= 1.8 % y corr= 9.83 % pd= 1 % y corr= 14.6 % Requerimiento de capital % .4 .4 .4 .4 .4 .2 .2 .2 .2 .2 0 0 0 0 0 -.2 -.2 -.2 -.2 -.2 0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 .1 0 .0 2 .0 4 .0 6 . 0 8 .1 0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 .1 0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 .1 0 .0 2 .0 4 .0 6 .0 8 . 1 u u u u u Participación del Crédito en la cartera 17
  • 18. Resultados Portafolio Julio 2009 Modelos de Capital Económico Concentración, box-plots por deciles de PI Σ u=(edi*pdi)/Σ (edi*pdi) .03 Participación del Crédito .02 en la cartera u .01 0 1 2 3 5 6 7 8 9 10 (total) 18
  • 19. Resultados Portafolio Julio 2009 Modelos de Capital Económico Se espera que: Las medidas sean crecientes en pi , dado un tamaño y una correlación. .25 p_tasche p_bis Requerimiento de capital % p_gordy2 .2 .15 .1 .05 0 0 .2 .4 .6 pi Probabilidad de Incumplimiento 19
  • 20. Resultados Portafolio Julio 2009 Modelos de Capital Económico Se espera que, Las medidas sean crecientes en u, dado una correlación y una pi. .2 p_tasche p_bis Requerimiento de capital % p_gordy2 .15 .1 .05 0 0 .01 .02 .03 u Participación del Crédito en la cartera 20
  • 21. Resultados Portafolio Julio 2009 Modelos de Capital Económico Se espera que, Las medidas sean crecientes en u, dado una correlación y una pi. Tasche Bis Gordy .2 .2 .2 .2 .2 .2 pi= .3 % pi= .5 % pi= 1.09 % pi= 1.28 % pi= 1.63 % pi= 2.27 % Requerimiento de capital % .15 .15 .15 .15 .15 .15 .1 .1 .1 .1 .1 .1 .05 .05 .05 .05 .05 .05 0 0 0 0 0 0 0 .01 .02 .0 3 0 .01 .0 2 .0 3 0 .01 .0 2 .0 3 0 .01 .0 2 .0 3 0 .0 1 .0 2 .0 3 0 .0 1 .0 2 .0 3 u u u u u u Participación del Crédito en la cartera 21
  • 22. Resultados Portafolio Julio 2009 Modelos de Capital Económico Se espera que, como mínimo las medidas generen resultados iguales a la formula de Basilea. Gordy2 Gordy Tasche .25 p_irb p_gordy2 .25 .25 p_irb p_gordy p_irb p_tasche Requerimiento de capital % .2 .2 .2 .15 .15 .15 .1 .1 .1 .05 .05 .05 0 0 0 0 .05 .1 .15 .2 .25 0 .05 .1 .15 .2 .25 0 .05 .1 .15 .2 .25 p_irb p_irb p_irb 22
  • 23. Resultados Portafolio Julio 2009 Modelos de Capital Económico En cuanto a Spread por riesgo, según se mide en la metodología de Pricing (PI* PDI + K*ROE), se puede observar como el enfoque semiasintotico, asigna un mayor spread a posiciones con mayor tamaño 0.1%<=u<0.2% 0.1%<=u<0.5% 0.5%<=u<2% u>=2% .08 .08 .08 .08 . Tasche Spread por riesgo . Bis .06 .06 .06 .06 .04 .04 .04 .04 .02 .02 .02 .02 0 0 0 0 0 .02 .04 .06 .08 0 .02 .04 .06 .08 0 .01 .02 .03 .04 .05 .005 .01 .015 .02 spread_bis spread_bis spread_bis spread_bis 23
  • 24. Conclusiones Tanto el Ajuste de Granularidad de Gordy , como el Enfoque Semiasintotico de Tasche, muestran la relación positiva tanto entre probabilidad de incumplimiento y requerimiento de capital, como entre tamaño y requerimiento de capital. Sin embargo, para niveles de PI superiores a 0.2% el Ajuste de Granularidad de Gordy, no mantiene esta relación positiva entre tamaño y requerimiento de capital. Las relaciones teóricas entre PD y capital, y entre tamaño y capital se mantienen. El Ajuste de Gr. de Gordy, genera requerimientos mayores a IRB en segmentos de alta concentración, pero menores en el resto de segmentos. El Enfoque Semiasintotico de Tasche, genera requerimientos mayores a IRB en segmentos de alta concentración, y no se diferencia de IRB en el resto de segmentos. 24
  • 25. Conclusiones El Ajuste de Granularidad puede generar requerimientos de mas del doble de IRB en segmentos concentrados pero esto no necesariamente se mantiene en tramos de mayor PD. El Enfoque de Tasche, genera requerimientos similares a los encontrados por Montecarlo, es estable en distintos tramos de pd, y creciente en tamaño. El Enfoque de Tasche, no genera incrementos de requerimiento de capital superiores a 50% de los que se exigiría en IRB. El Enfoque de Tasche, permite diferenciar por spread de riesgo entre clientes de distintos tamaños, el spread máximo es comparable con el spread que se requeriría al utilizar método estándar. 25
  • 26. FORMULACION Componentes de los Modelos de Capital Económico Soluciones Analíticas: Basilea II Supuestos: • El numero de deudores es muy grande (n->∞) • Todas las exposiciones son del mismo tamaño (1/n): Granularidad • La PD y la correlación entre deudores son las mismas ρ, pd n Ln = ∑ ui 1{ ρ X + 1− ρ ξ i ≤ ci } i =1 • Según Vasicek 1987, 1991:  1 − ρ * Φ −1 (z ) − Φ −1 ( pd ) P(Li ≤ z ) = Φ     ρ   • Despejando z, n n  Φ −1 ( pd ) + ρ * Φ −1 (α )  qα (Ln ) = ∑ ui * zi = ∑ ui Φ   1 1   1− ρ    Φ −1 ( pd ) + ρ * Φ −1 (α ) n qα (Ln ) = Φ   ∑ ui   1− ρ  1  26
  • 27. FORMULACION Componentes de los Modelos de Capital Económico Soluciones Analíticas: Ajuste de Granularidad de Gordy Supuestos: • El numero de deudores es muy grande (n->∞) • La PD y la correlación entre deudores no son las mismas ρi, pdi qα (Ln ) ≈ g n (q1−α ( X )) + n 2 ρi  ∑ u i φ (H i )[1 − 2Φ (H i )]  1 − ρi  i =1   (  * 2 g n (q1−α ( X )) | )−1 g n (q1−α ( X ))  n 2   [ ]  || + q1−α ( X ) + | ∑ ui Φ (H i ) − Φ ( H i ) 2    g n (q1−α ( X ))  i =1   donde : n  ci − ρ i q1−α ( X )  c − ρ i q1−α ( X ) g n ( x) = E (Ln | x ) = ∑ ui Φ   ; Hi = i  1 − ρi  1 − ρi i =1   27
  • 28. FORMULACION Componentes de los Modelos de Capital Económico Soluciones Analíticas: Ajuste de Granularidad semi-asintótico Supuestos: • El numero de deudores es muy grande (n->∞) • Dos portafolios uno donde la PD y la correlación entre deudores son las mismas ρ, pd_port=Φ(c), y otro de un solo nuevo credito con pd=Φ(a) y correlacion(τ) distintas. • Aplicando estos supuestos sobre la formula de Gordy.  2 τ  u φ (K )[1 − 2Φ(K )]  −1  1 −τ    τ    u 1 − τ φ (K )    uΦ(K )    τ ρ     qα (Ln ) ≈  +  (− K )φ (K ) + (1 − u ) (− L)φ (L) * 2 *   + (1 − u )Φ(L )   u  + q1−α ( X ) + 1−τ 1− ρ  2   [ u Φ( K ) − Φ( K ) 2 ]   + (1 − u ) ρ φ (L)       τ ρ 1− ρ    − u φ (K ) + (1 − u ) φ (L)           1 −τ 1− ρ      donde : a− τ q1−α ( X )  K =    1 −τ  c− ρ q1−α ( X )  L=   1− ρ    n ∑u i =2 i = 1 − u1 28
  • 29. FORMULACION Componentes de los Modelos de Capital Económico Soluciones Analíticas: Enfoque semi-asintótico de Tasche Supuestos: • El numero de deudores es muy grande (n->∞) • Dos portafolios uno donde la PD y la correlación entre deudores son las mismas ρ, pd_port=Φ(c), y otro de un solo nuevo credito con pd=Φ(a) y correlacion(τ) distintas. • Se halla numéricamente el z que hace que P[ln(u)<=z]=0.999 n L n = u 1{ τ X + 1 −τ ξ 1 ≤ a }+ ∑ u 1{ ρ i=2 i i X + 1− ρ i ξ i ≤ ci }    z−u    c− 1− ρΦ −1    P [L n (u ) ≤ z ] = p 1 − p − 1 Φ 2  a ,  1− u  ; τ    ρ           z     c− 1− ρΦ −1    + (1 − p ) (1 − p ) Φ 2  − a , − −1 1− u  ; τ    ρ        29