O documento apresenta definições e propriedades de funções elementares como exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. Inclui regras de exponenciação, propriedades dos logaritmos, identidades trigonométricas e fórmulas para conversão de ângulos.

1. Funções Elementares
Carlas Ferreira

2. Definição - Função Exponencial
• Seja a um número positivo deferente de 1.
A função
f ( x)  a
x
é a função exponencial de base a, sendo a
uma constante.
O Dm(f) =R e a Im(f) = (0,+).

3. Definição-Crescimento e Decrescimento
Exponenciais
y  f ( x)  y0 a kx é um modelo para crescimento
A função
exponencial quando k> 0 e para descaimento exponencial
quando k<0.
Gráficos de (a) crescimento exponencial, k = 1.5 > 0
e (b) decaimento exponencial, k = –1.2 < 0.

4. x
x
x
Figura: y = 2 , y = 3 , y = 10 .

5. Regras de Exponenciação
a .a  a
x
• Se a>0 e b>0, as
afirmações a seguir
são verdadeiras para
quaisquer x e y
reais.
y
x y
ax
 a x y
ay
(a x ) y  (a y ) x  a xy
a x .b x  (ab) x
a
a
 
x
b
b
x
x
y
x
a  ax , y  0
y

6. Definição – Função Logaritmo de
Base a
• A função logarítmica na base a, y  log a x
é a função inversa da função exponencial
y
x  a (a  0, a  1) de base a.
O domínio de y  log a x é (0,+), a imagem de
x  a (a  0, a  1).
A imagem de y  log a x é, o domínio de
y
x  a (a  0, a  1).
y

7. O gráfico de 2x e sua função inversa, log2 x.

8. Propriedade dos Logaritmos
x
Inversas para a e log a x
Base a:
a
loga x
 x, log a a  x,
x
a  0, a  1, x  0
Base e:
e
loge x
 x, log e e  x, x  0
x
 1
e  lim 1    2,718281828459045...
n 
 n

9. Propriedade dos Logaritmos
Para qualquer número real x > 0 e y>0,
log a 1  0 e log a a  1
Regra do Produto:
log a xy  log a x  log a y
x
Regra do quociente: log a  log a x  log a y
y
Regra da Potencia: log a x y  y log a x

10. • Cada função exponencial é a potencia da
função exponencial natural.
a e
x
x ln a
• Formula para mudança de base,
sendo a,b,c>0 e a,c1.
log c x
log a x 
log c a

11. Função Trigonométrica e Suas
Inversas – unidade radiano
y
r
sen   , cos sec  
r
y
x
r
cos   , sec  
r
x
y
x
tan   , cot  
x
y
y
Semi-reta final
P(x,y)
r

x
y
Semi-reta
x inicial
Um ângulo  na
posição-padrão

12. y
r
sen(  )     sen  , cos sec(  )     cos sec 
r
y
x
r
cos(  )   cos , sec(  )   sec 
r
x

y
x
tan(  )     tan  , cot(  )     cot 
x
y
y
Semi-reta final
P(x,y)
r
x  y Semi-reta inicial
- -y x
r
P(x,-y)
Um ângulo - na posiçãopadrão

13. Quando r=1
1
sen   y, cos sec  
y
1
cos   x, sec  
x
y
x
tan   , cot  
x
y

14. Formulas para conversão
• 1 grau = /180 ~0.02 radianos
• 1 radiano = 180/  ~ 57 graus
Tabela 17 - Valores de sen, con, tg para alguns valores do ângulo 
(Grau) -180
Radians -
Sen
0
cos
-1
tg
0
-135 -90
-3/4 -/4
2
2
2

2
-1
1
-

0
-45
-/6

0
0
30
/6
2
2
2
2
0
1
2
1
-1
0
3
2
3
3
45
/4
60
/3
2
2
2
2
3
2
1
2
1
3
90
/3
1
0
-
135 180
3/4 
2
2
2

2
-1
0
-1
0

15. • Período das funções Trigonométricas
• Período : tg(x + ) = tgx
cotg(x + ) = cotgx
• Período 2: sen(x + 2) = sen x
cos(x + 2) = cos x
sec(x + 2) = sec x
cossec (x + 2) = cossec x

16. Figura 39: Gráfico das funções (a) cosseno, (b) seno, (c)
tangente, (d) secante, (e) cossecante e (f) cotangente
utilizando a medida em radianos.
  

  


17. 
  




   
  

  

   


18. Identidade
• cos2 + sen2 =1
• Dividindo essa identidade por cos2 e
depois por sen2 temos:
• 1 + tg2= sec2
• 1 + cotg2 = cosec2

19. Formula para soma dos ângulos e
ângulos duplos
•
•
•
•
•
•
cos(+)= cos() cos()- sen() sen()
sen(+)= sen() cos() +cos() sen()

cos 2 = cos2 - sen2
B(a cos ,a sen 
sen2 = 2 sen cos
y
Lei dos cossenos
c
c2= a2 + b2 – 2ab cos
a
x

a cos  C b A(b,0)

20. Lei dos cossenos
c2= a2 + b2 – 2ab cos
• c2= (acos ( -) +b)2 + (a sen ( -))2
• c2= a2cos2 ( -) +b2 + 2abcos ( -)+ a2 sen2 ( -)
• cos ( -) = -cos 
B(a cos (-),a sen(-)
• sen ( -) = sen 
y
• cos2 + sen2  = 1
c
Logo
a
• c2= a2cos2  +b2 + a2 sen2  - 2abcos
( -) * 
2= a2(cos2 + sen2 ) +b2 - 2abcos
• c
x
a cos( -)C b A(b,0)
• c2= a2 +b2 - 2abcos
=1
Triangulo Retângulo

21. Inversos da função Trigonométrica
• Seja f ( x)  arccos x ,Dm(f) = [-1,1],
Im(f)=[0, ].
• Determinar x sendo que f(x) = /3.

3
 arccos x

1
x  cos 
3 2

22. Figura : Gráficos de (a) y = arc cos x, (b) y = arc sen x,
(c) y = arc tg x, (d) y = arc sec x, (e) y = arc cosec x e
(f) y = arc cotg x.