1. Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng
PHƯƠNG PHÁP LƯỢNG GIÁC CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC
Phương pháp này thường được sử dụng trong các bài toán chứng minh bất đẳng
thức mà các số bị ràng buộc với nhau bởi các điều kiện nhất định chẳng hạn:
• Nếu có hệ thức thì có thể đặt x = cosa; y = sina.
• Nếu có hệ thức xy=1 thì có thể đặt: x = tana; y = cota;
Ghi chú: Ở đây không ngoại trừ bài toán sử dụng các hệ thức lượng trong tam giác
với các quan hệ lượng giác.
BÀI TẬP ÁP DỤNG.
BÀI TẬP 1.
Cho bốn số thực x, y, u, v thoả mãn:
CMR:
GIẢI.
Đặt: và
Khi đó : u(x – y) + v(x + y) = cosb(cosa-sina)+sinb(cosa+sina) = cos(a-b)+sin(b-a)
π
= 2 cos(b − a − )
4
Do đó
bài toán chưa thấy ngay yếu tố để ta chuyển về dạng lượng giác, cần qua một quá
trình biến đổi và đặt ẩn phụ thích hợp mới có thể chuyển về dạng lượng giác thuận
lợi cho quá trình giải. Ví dụ :
BÀI TẬP 2.
Cho 4 số dương a, b, c, d. CMR:
(1)
GIẢI
Với bài này ta có thể sử dụng BĐT BunhiaCopski với 4 số , tuy nhiên
chúng ta có thể dùng phương pháp lượng giác để giải bài này.
Các yếu tố để chúng ta chuyển về dạng lượng giác vẫn chưa xuất hiện. Chúng ta
cần biến đổi để làm xuất hiện yếu tố đó.
Ta có : (1) tương đương với.
ab cd 1 cd
+ ≤ 1 <=> + ≤1
(a + d )(b + c) ( a + d )(b + c ) d c d c
(1 + )(1 + ) ab(1 + )(1 + )
a b a b
d c
Đặt tan 2 x = ; tan 2 y =
a b
Ta có VT = cos x. cos y + sin x. sin y = cos x. cos y + sin x. sin y
2 2 2 2
= cos( x ± y ) ≤1
BĐT cuối đúng, do đó (2) được CM. Suy ra (1) được CM.
Năm học: 2008 – 2009

2. Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng
Nếu so sánh với cách giải này với cách dùng BĐT cổ điển thì quả thật cách này là
khá dài và hơi phức tạp. Tuy nhiên nó cho ta một hướng mới để nhìn nhận một bài
toán.
BÀI TOÁN 3.
Cho a,b,c là các số dương thỏa mãn
CMR
GIẢI.
Giả thiết tương đương với
6bc + 3ac + 2ab 36abc bc ac ab bc ac ab
6bc + 3ac + 2ab = 36abc ⇔ = ⇔6 +3 +2 =6 .3 .2
abc abc a b c a b c
A B C A B C
Trong tam giác ta có: cot 2 + cot 2 + cot 2 = cot 2 . cot 2 . cot 2
ab C ca B bc A
Đặt 2 = cot ;3 = cot ; từ giả thiết suy ra 6 = cot
c 2 b 2 a 2
Với A,B,C là 3 góc của tam giác ABC
1 1 1
VT = . .
Vậy 1 + cot 2
A
1 + cot 2
B
1 + cot 2
C
2 2 2
BÀI TẬP 4.
Cho a,b,c, dương và 2009ac+ab+bc=2009
2 2b 2 3
Tìm Max P= 2 − 2 + 2
a + 1 b + 2009 2
c +1
GIẢI.
b b
Từ giả thiết ta có: ac + a. + .c = 1
2009 2009
Năm học: 2008 – 2009

3. Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng
A b B C
Đặt a = tan ; = tan với A; B∈( 0;π)thay vào giả thiết ta có c = tan với
2 2009 2 2
A,B,C là 3 góc của tam giác ABC. Nên
2 2 3 A B C
P= − + = 2 cos 2 − 2 sin 2 + 3 cos 2
A 1 C 2 2 2
1 + tan 2 1+ 1 + tan 2
2 B 2
tan 2
2
2
C 1 A−B  C 1 A−B 10
= cos A + cos B + 3(1 − sin 2 ) = 3 + cos 2 −  3 sin − cos  ≤
2 3 2  2 3 2  3
BÀI TẬP 5.
cho x,y thay đổi thoả mãn
Tìm Max ,Min của Z=y-2x+5
GIẢI
5 5
Đặt x= sin a thì từ giả thiết ta có y = cos a .
6 4
5 5 5 5
Nên Z = sin a − cos a + 5 ⇔ sin a − cos a = Z − 5 (*)
6 2 6 2
5 5 49 23 37
Phương trình (*) có nghiệm khi và chỉ khi ( Z − 5) ≤ 36 + 4 = 36 ⇔ 6 ≤ Z ≤ 6
2
BÀI TẬP 6.
CMR
Với a,b thỏa mãn
GIẢI
Đặt a=sinx; b=siny.
Ta có VT = sin 1 −sin 2
y +sin y 1 −sin 2 x + 3 (sin x. sin y − (1 −sin 2 x )( −
1 sin 2 y )
π
TH1. cosx ≥ 0 và cosy ≥ 0 ta co VT = sin( x + y ) − 3 cos( x + y ) = 2 sin( x + y − ) ≤2
3
BÀI TẬP 7.
Chứng minh rằng:
GIẢI
Đặt a=tanx; b=tany ta có
VT =
( tan x − tan y )(1 − tan x. tan y ) = sin( x − y ) cos( x − y ) =
1
sin 2( x − y ) ≤
1
(1 + tan x )(1 + tan y )
2 2
2 2
BÀI TẬP 8.
Chứng minh rằng:
Năm học: 2008 – 2009

4. Tổ Toán
Trường THPT Lê Hữu Trác1 Nguyễn Văn Hùng
GIẢI.
Đặt a=tanx; b=tany; c=tanz:
BĐT tương đương với
tan x − tan y tan y − tan z tan x − tan z
+ ≥
1 + tan x . 1 + tan y
2 2
1 + tan y . 1 + tan z
2 2
1 + tan 2 x . 1 + tan 2 z
sin( x − y ) + sin( y − z ) ≥ sin( x − z )
Thật vậy sin( x − y ) + sin( y −z ) ≥ sin( x − y ) +sin( y −z ) ≥ sin( x −z ) đfcm
BÀI TẬP 9.
Cho a, b, c dương, thỏa mãn a.b+bc+ca=1
a b c 3 3
Chứng minh + + ≥
1+ a 2
1+ b 1+ c
2 2
2
GIẢI.
A B C
Đặt a = tan ; b = tan từ giả thiết suy ra c = tan ; với A, B, C là 3 góc của tam
2 2 2
giác nhọn ABC
1 3 3
BĐT tương đương với (tan A + tan B + tan C ) ≥ luôn đúng
2 2
BÀI TẬP 10.
Cho a, b, c>0 và abc+c+2b=2a. Chứng minh rằng
1 b2 c2 3
+ + ≤
1+ a 2
1+ b 2
4+ c 2
2
GIẢI.
1 2
Đặt a=tanA; = tan B . Từ giả thiết suy ra được = tan C . Với A,B,C là 3 góc của
b c
3
tam giác nhọn ABC. Nên BĐT tương đương với cos A + cos B + cos C ≤ . Luôn đúng
2
BÀI TẬP 11
Cho a, b, c thuộc (0;1). Ch ứng minh rằng
GIẢI.
Đ ặt a=sin2x; b= sin2y; c=sin2z. ta c ó s inx.siny.sinz+c os
Năm học: 2008 – 2009