TI P N I CÂU CHUYÊN V “B T ð NG TH C NESBITT”            Cao Minh Quang, GV THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, E-ma...
L i gi i 4. Ta nh n th y r ng                                               a(a +b +c) b(a +b +c) c(a +b + c) 3           ...
V i vi c chu n hóa x + y + z = 1 , giúp ta có nh ng l i gi i khác cho (2).                                                ...
x     y    z      a         b          c                                               +     +    =         +         +   ...
1 2             x2 y + y2 z + z2 x =                                    3                                      ( x y + z2 ...
                                                         a   b   c    3 3 a a + b b + c c                            ...
x    27           2Do ñó,        ≥    x (1 + x ) . Tương t , ta có         1 − x 32                                       ...
3. M t s k t qu ñư c phát tri n t b t ñ ng th c NesbittTrong th i gian g n ñây, có r t nhi u ngư i quan tâm và gi i các bà...
a     b     c        abc         5                                         +     +     +                ≥ .               ...
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Batdangthuc nesbitt

125
-1

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total Views
125
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
4
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Batdangthuc nesbitt

  1. 1. TI P N I CÂU CHUYÊN V “B T ð NG TH C NESBITT” Cao Minh Quang, GV THPT chuyên Nguy n B nh Khiêm, Vĩnh Long, E-mail: kt13quang@yahoo.com *****1. L i gi i thi uTháng 3 năm 1903, trên t p chí “Educational Times”, A. M. Nesbitt ñã ñ xu t bài toán sauCho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng: a b c 3 + + ≥ (1) . b+c c+a a+b 2ð ng th c x y ra khi và ch khi a = b = c .Ngoài ra, ta cũng nh n th y r ng, (1) d ng ñ ng b c nên ñ ch ng minh (1), v i ñi u ki n a, b, c là các s th c dương,ta còn có th gi s a + b + c = 1 , t c là ch ng minh b t ñ ng th c x y z 3 + + ≥ ( 2) , y+z z+x x+ y 2trong ñó x, y, z là các s th c dương có t ng b ng 1.Bài toán qu th t r t ñơn gi n và ñ p ñ , nó ñã ñư c r t nhi u ngư i quan tâm và tìm các cách gi i. Trên T p chí ToánH c Tu i Tr s 358 (tháng 4 – 2007), tác gi Vũ ðình Hòa ñã gi i thi u cho b n ñ c m t d ng t ng quát c a b t ñ ngth c (1), ñó chính là b t ñ ng th c Shapiro ñư c phát bi u dư i d ng:V i m i xi ≥ 0, xi + xi+1 > 0 (i = 1, 2,..., n) , xn+i = xi thì ta có n xi n ∑x ≥ . 2 i=1 i+1 + xi+2ð ng th c x y ra khi và ch khi x1 = x2 = ... = xn .Trong bài vi t nh này, tôi xin t ng h p các l i gi i cho b t ñ ng th c (1) và m t s k t qu khác ñư c phát tri n t (1)trong th i gian g n ñây.2. M t s l i gi i cho b t ñ ng th c NesbittTh t s b t ñ ng th c (1) có r t nhi u cách gi i, ngoài m t s cách r t ñơn gi n còn có nh ng cách ph c t p, ñôi khi ph is d ng ñ n các b t ñ ng th c c ñi n (Jensen, Karamata), ñ nh lí d n bi n, …2.1. Nhóm các l i gi i s d ng phép bi n ñ i tương ñương ph i h p v i các b t ñ ng th c thông d ng.L i gi i 1. C ng 3 vào hai v c a b t ñ ng th c (1), ta có  9  1 1 1   a   b   c    (1) ⇔   + 1 +             c + a + 1 +  a + b + 1 ≥ 2 ⇔ (a + b) + (b + c) + (c + a )  a + b + b + c + c + a  ≥ 9 .   b + c       1 1 1 D th y b t ñ ng th c trên ñúng vì ta luôn có ( x + y + z ) + +  ≥ 9 ∀x, y , z > 0 .    x y z L i gi i 2. B t ñ ng th c (1) tương ñương v i b t ñ ng th c  a 1  b 1  c 1   −  +     − +     − ≥ 0    b + c 2  a + c 2  a + b 2 a −b + a −c b −c + b− a c − a + c −b ⇔ + + ≥0 b+c a+c a+b  1 1   1 1   1 1       ⇔ (a − b)  + b − c) a + c − c + b  + (a − c) b + c − a + b  ≥ 0 b + c c + a (  −           2 2 2 (a − b) (b − c) ( a − c) ⇔ + + ≥0. (b + c)(a + c) (a + c)(a + b) (b + c)( a + b)L i gi i 3. S d ng ñ ng th c (a + b)(b + c )(c + a) = ab (a + b) + bc (b + c ) + ca (c + a ) + 2abc (1) ⇔ 2[a (a + b)(a + c) + b (b + a )(b + c) + c (c + a )(c + b)] ≥ 3(a + b)(b + c)(c + a ) ⇔ 2 (a3 + b3 + c3 ) ≥ ab (a + b) + bc (b + c) + ca (c + a) .B t ñ ng th c cu i ñư c suy ra t b t ñ ng th c x3 + y 3 ≥ xy ( x + y ) , trong ñó x, y là các s th c dương. 1
  2. 2. L i gi i 4. Ta nh n th y r ng a(a +b +c) b(a +b +c) c(a +b + c) 3 (1) ⇔ + + ≥ (a +b +c) b +c a +c a +b 2 a2 b2 c2 a+b+c ⇔ + + + ≥ a+b+c . b+c c+a a+b 2Do ñó, ta ch c n ch ng minh b t ñ ng th c cu i.Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có a2 b+c a2 b + c + ≥2 . =a b+c 4 b+c 4 b2 c+a c2 a+bTương t , ta có + ≥ b, + ≥c . c+a 4 a +b 4C ng các b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c ñi u ph i ch ng minh.2.2. Nhóm các l i gi i s d ng b t ñ ng th c c ñi n. 2 a a a (a1 + a2 + ... + an )L i gi i 5. S d ng b t ñ ng th c Cauchy – Schwarz, d ng 1 + 2 + ... + n ≥ , trong ñó b1 b2 bn a1b2 + a2b2 + ... + an bna1 , a2 ,..., an , b1 , b2 ,..., bn là các s th c dương. Ta có 2 a b c ( a + b + c) 3(ab + bc + ca ) 3 + + ≥ ≥ = . b + c c + a a + b 2 ( ab + bc + ca ) 2 (ab + bc + ca ) 2 1 1 1L i gi i 6. Không m t tính t ng quát, ta gi s a ≥ b ≥ c . Khi ñó, d dàng ki m tra ñư c ≥ ≥ . Do ñó, s b + c c + a a +bd ng b t ñ ng th c Chebyshev ph i h p v i b t ñ ng th c AM – GM, ta có a b c 1  1 1 1  1  9 3 ≥ (a +b +c)  ≥ a +b +c). (b +c) +(c + a) +(a +b) = 2 . b +c c + a a +b 3( + +  + + b +c c + a a +b 3  * S d ng b t ñ ng th c c a dãy s p th t , d ng:V i 6 s th c x1 , x2 , x3 , y1 , y2 , y3 th a mãn ñi u ki n x1 ≥ x2 ≥ x3 , y1 ≥ y2 ≥ y3 . Khi ñó x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ≥ x1 yi1 + x2 yi2 + x3 yi3 (*) ,trong ñó (i1 , i2 , i3 ) là m t hoán v c a b (1, 2,3) .Ch ng minh. ð t z1 = yi1 , z2 = yi2 , z3 = yi3 . Khi ñó (*) tr thành x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 ≥ x1 z1 + x2 z2 + x3 z3 (**) hay x1 ( y1 − z1 ) + x2 ( y2 − z2 ) + x3 ( y3 − z3 ) ≥ 0 .Ta nh n th y r ng y1 ≥ z1 , y1 + y2 ≥ z1 + z2 và y1 + y2 + y3 = z1 + z2 + z3 .Do ñó, x1 ( y1 − z1 ) + x2 ( y 2 − z 2 ) + x3 ( y3 − z3 ) ≥ x2 ( y1 − z1 ) + x2 ( y 2 − z 2 ) + x3 ( y3 − z3 ) = = x2 ( y1 + y2 ) − ( z1 + z2 ) + x3 ( y3 − z3 ) ≥ x3 ( y1 + y2 ) − ( z1 + z2 ) + x3 ( y3 − z3 ) = = x3 ( y1 + y 2 + y3 ) − ( z1 + z 2 + z 3 ) = 0 .V y (**) ñã ñư c ch ng minh. Ta có l i gi i sau: 1 1 1L i gi i 7. [ Cao Minh Quang ] Không m t tính t ng quát, ta gi s a ≥ b ≥ c . Ta ki m tra ñư c ≥ ≥ . b + c c + a a +bÁp d ng b ñ trên, ta có a b c b c a a b c c a b + + ≥ + + , + + ≥ + + b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+b b+c c+a a+bC ng 2 b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c  a  b c  b+c c+a a +b  a b c 3 2 + + ≥  + + hay + + ≥ .  b + c c + a a + b  b + c c + a a + b b+c c+a a+b 2 2
  3. 3. V i vi c chu n hóa x + y + z = 1 , giúp ta có nh ng l i gi i khác cho (2). xL i gi i 8. Xét hàm s y = f ( x) = . Ta ch ng minh ñư c hàm s này l i trên (0,1) . Áp d ng b t ñ ng th c 1− xJensen, ta có 1  hay x + y + z = x + y + z ≥ 3 .  x + y + z f ( x ) + f ( y ) + f ( z ) ≥ f   3   3   1− x 1− y 1− z y + z z + x x + y 2 xNgoài l i gi i trên, v i vi c ch ng minh ñư c hàm s y = f ( x) = l i trên (0,1) còn giúp ta có m t l i gi i khác 1− xcho (1’) như sau. 1 1L i gi i 9. [ Cao Minh Quang ] Không m t tính t ng quát, ta gi s x ≥ y ≥ z . Khi ñó, d th y x ≥ , z ≤ , suy ra 3 3 1 2 1 1 1 xx + y = 1− z ≥ 1− = , do ñó ( x , y , z ) ≻  , ,  . Áp d ng b t ñ ng th c Karamata cho hàm y = f ( x ) =    , 3 3 3 3 3  1− x 1 1 1l i trên (0,1) , ñ i v i b tr i ( x , y , z ) ≻  , ,  , ta có    3 3 3  1  1 1 x y z 3 f ( x) + f ( y) + f ( z ) ≥ f   + f   + f   hay       + + ≥ .  3   3     3 y+z z+x x+ y 22.3. Nhóm các l i gi i s d ng phương pháp ñ i bi n, ph i h p v i các b t ñ ng th c c ñi n.L i gi i 10. ð t x = b + c, y = c + a, z = a + b . Khi ñó y+z−x z+ x− y x+ y−z a= , b= ,c = . 2 2 2Do ñó b t ñ ng th c (1) tr thành y + z− x z + x− y x+ y−z 3 y+z z+x x+ y + + ≥ , hay + + ≥6. 2x 2y 2z 2 x y zD th y b t ñ ng th c cu i luôn ñúng, vì theo b t ñ ng th c AM – GM, ta có y+z z+x x+ y x x y y z z x x y + + + + + ≥ 66 . . . . . = 6 . x y z y z z x x y y z z a b c b c a c a bL i gi i 11. ð t A = + + , B= + + ,C = + + . Ta có b+c c+a a+b b+c c + a a +b b+c c +a a+b b+c c + a a +b a+b b+c c+a a +c b+a c+b B+C = + + = 3, A + B = + + , A+C = + + . b+c c + a a +b b+c c +a a+b b+c c+a a+bÁp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có a+b b+c c+a a +c b+ a c +b A + B ≥ 33 . . = 3 , A + C ≥ 33 . . =3. b+c c +a a+b b+c c+a a +b 3Suy ra 2 A + B + C ≥ 6 hay A ≥ . 2 a b c x+ y+z 1L i gi i 12. [ Hojoo Lee ] ð t x = ,y= ,z= , và A = . Ta c n ch ng minh A ≥ . Ta có b +c c +a a +b 3 2 x y z a +b + c + + = =1 . 1+ x 1+ y 1 + z a + b + cSuy ra 1 = 2xyz + xy + yz + zx . Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 1 = 2 xyz + xy + yz + zx ≤ 2 A3 + 3 A2 2 1Do ñó (2 A − 1)( A + 1) ≥ 0 , hay A ≥ . 2 a b cL i gi i 13. [ Hojoo Lee ] ð t x = ,y= ,z= . Ta có b+c c+a a +b 3
  4. 4. x y z a b c + + = + + =1 . 1+ x 1 + y 1+ z a + b + c a + b + c a + b + c xXét hàm f ( x ) = . Ta ch ng minh ñư c hàm f là hàm lõm trên (0, +∞) . Áp d ng b t ñ ng th c Jensen, ta có 1+ x 1 1 1 x + y + z f   = =  f ( x) + f ( y) + f ( z ) ≤   f     2 3 3     3  Nhưng ta cũng ch ng minh ñư c f là hàm tăng, do ñó 1 x+ y+z a b c 3 ≤ , t c là + + ≥ . 2 3 b + c c + a a +b 2 a bL i gi i 14. [ Hojoo Lee ] Vì vai trò c a a, b, c là như nhau nên ta có th gi s r ng a ≥ b ≥ c . Ta ñ t x = ,y= c cthì x ≥ y ≥ 1 và do ñó (1) tr thành a b c c 1 3 x y 1 3 + + ≥ ⇔ + + ≥ . b +1 a +1 a + b 2 y +1 x +1 x+ y 2 c c c cÁp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có x +1 y +1 x y 1 1 + ≥2⇒ + ≥ 2− − (* **) y +1 x +1 y +1 x +1 x +1 y +1Do ñó, ñ ch ng minh (***), ta s ch ng minh 1 1 3 1 2− − ≥ − x +1 y +1 2 x + y 1 1 1 1 ⇔ − ≥ − 2 y +1 x +1 x + y y −1 y −1 ⇔ ≥ 2 ( y + 1) ( x + 1)( x + y ) ( y − 1) ( x + 1)( x + y ) − 2 ( y + 1) ⇔ ≥0. 2 ( x + y )( x + 1)( y + 1)B t ñ ng th c cu i ñúng vì x ≥ y ≥ 1 .ð ch ng minh (***), ngoài l i gi i trên, ta còn m t l i gi i khác như sau.L i gi i 15. [ Hojoo Lee ] ð t m = x + y, n = xy . Khi ñó (***) tr thành m2 − 2n + m 1 3 + ≥ ⇔ 2m3 − m2 − m + 2 ≥ n (7m − 2) (****) . m + n +1 m 2Ta ñ ý r ng 7m− 2 > 0 và m 2 ≥ 4 n . Do ñó ñ ch ng minh (****), ta s ch ng minh 2 4 (2m3 − m2 − m + 2) ≥ m2 (7m − 2) ⇔ m3 − 2m2 − 4m + 8 ≥ 0 ⇔ (m − 2) (m + 2) ≥ 0 (hi n nhiên). a b cL i gi i 16. [ Cao Minh Quang ] ð t x = , y = , z = thì x, y, z > 0, xyz = 1 . (1) ñư c vi t l i dư i d ng b c a x y z 3 + + ≥ ⇔ 2 ( x 2 y + y 2 z + z 2 x ) ≥ ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) . xz + 1 yz + 1 zx + 1 2S d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 1 2 x2 y + y2 z + z2 x = 3 ( x y + y2 z + y2 z) + 1 ( y2 z + z2 x + z2 x) + 3 1 + ( z2 x + x2 y + x2 y) ≥ 3 x2 y5 z2 + 3 y2 z5 x2 + 3 z2 x5 y2 = x + y + z. 3Ch ng minh tương t ta cũng nh n ñư c 4
  5. 5. 1 2 x2 y + y2 z + z2 x = 3 ( x y + z2 x + z2 x) + 1 ( y2 z + x2 y + x2 y) + 3 1 2 + ( z x + y2 z + y2 z) ≥ 3 x4 z4 y + 3 x4 y4 z + 3 xy4 z4 = xy + yz + zx. 3C ng các b t ñ ng th c trên, ta nh n ñư c 2 ( x 2 y + y 2 z + z 2 x) ≥ ( x + y + z ) + ( xy + yz + zx ) .2.4. Nhóm các l i gi i s d ng phương pháp ñánh giá ñ i di n, k thu t ch n “ñi m rơi” c a b t ñ ng th c AM –GM và các b t ñ ng th c c ñi n.L i gi i 17. [ Hojoo Lee ] Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có a3 + b3 + b3 ≥ 3 3 a 3b6 = 3 ab , a3 + c3 + c3 ≥ 3 3 a 3c 6 = 3 ac .C ng hai b t ñ ng th c trên, ta nh n ñư c 2 ( ) a3 + b3 + c3 ≥ 3 a (b + c ) . a 3 a3Do ñó ≥ . b + c 2 a3 + b3 + c3Tương t , ta cũng ch ng minh ñư c b 3 b3 c 3 c3 ≥ , ≥ . c + a 2 a3 + b3 + c3 a + b 2 a3 + b3 + c3C ng các b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c a b c 3 a 3 + b3 + c 3 3 + + ≥ . = . b+c c+a a+b 2 a + b + c 3 3 3 2 2L i gi i 18. [ Hojoo Lee ] Ta có ( x + y ) ≥ 4 xy ∀x, y > 0 . Do ñó 2 2a +(b + c) ≥ 8a (b + c)   2 ⇔ 4a2 + 4a(b + c) +(b + c) ≥8a(b + c) ⇔ 4a (a + b + c) ≥ (b + c) 8a −(b + c) a 1 8a − b − c ⇔ ≥ . . b +c 4 a +b +cTương t , ta cũng ch ng minh ñư c b 1 8b − c − a c 1 8c − a − b ≥ . , ≥ . . c +a 4 a +b+c a +b 4 a +b+cC ng các b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c a b c 1 8(a +b + c) −2(a +b + c) 3 + + ≥ . = . b + c c + a a +b 4 a +b + c 2L i gi i 19. [ Cao Minh Quang ] Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 2 (a + b + c) 2a + (b + c) + (b + c) 3 2 = ≥ 2a (b + c) . 3 3 a 3 3 a aSuy ra ≥ . . b+c 2 ( a + b + c) 3Tương t , ta ch ng minh ñư c b 3 3 b b c 3 3 c c ≥ . , ≥ . . c+a 2 (a + b + c) 3 a +b 2 ( a + b + c) 3C ng các b t ñ ng th c trên, ta có 5
  6. 6.   a b c 3 3 a a + b b + c c  + + ≥ .  .  b+c c+a a+b 2   3 (a + b + c )     Do ñó ñ ch ng minh (1), ta s ch ng minh   a a +b b + c c    2 3  ≥1 ⇔ 3 a a + b b + c c ≥ (a + b + c)3 .  ( )   3    (a + b + c)   ð t x = a , y = b , z = c , b t ñ ng th c trên tr thành 2 3 3( x3 + y 3 + z 3 ) ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) .Áp d ng b t ñ ng th c Cauchy – Schwarz, ta có 2 2 (x + y2 + z2 ) ≤ (x 3 + y3 + z3 )(x + y + z) .Áp d ng b t ñ ng th c Chebyshev, ta có ( x 2 + y 2 + z 2 )( x + y + z ) ≤ 3 ( x 3 + y 3 + z 3 ) .Nhân hai b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c 2 3 3( x3 + y 3 + z 3 ) ≥ ( x 2 + y 2 + z 2 ) .L i gi i 20. [ Cao Minh Quang ] Ta ch ng minh b t ñ ng th c (2)Áp d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có 2 x 9x ( y + z) 9 x ( y + z) + ≥2 . = 3x . y+z 4 4 ( y + z)Tương t , ta ch ng minh ñư c y 9 y ( z + x) z 9 z ( x + y) + ≥ 3 y, + ≥ 3z . z+x 4 x+ y 4C ng ba b t ñ ng th c trên theo t ng v , ta ñư c x y z 9 + + + ( xy + yz + zx) ≥ 3( x + y + z) (i ) y+z z +x x+ y 2Nhưng 3 3 2 9 ( x + y + z) = ( x + y + z) ≥ ( xy + yz + zx) (ii) 2 2 2C ng 2 b t ñ ng th c (i) và (ii) theo t ng v , ta ñư c x y z 3 3 + + ≥ (x + y + z) = . y+z z+x x+ y 2 2Ngoài l i gi i trên, (2) còn có các l i gi i sau. 2 x 9 x −1L i gi i 21. [ Hojoo Lee ] Ta có 4 x −(1− x)(9 x −1) = (3x −1) ≥ 0 . Suy ra 4 x ≥ (1 − x )(9 x − 1) hay ≥ . 1− x 4Tương t , ta có y 9 y −1 z 9 z −1 ≥ , ≥ . 1− y 4 1− z 4Do ñó x y z 9(x + y + z) − 3 3 + + ≥ = . y+z z+x x+ y 4 2L i gi i 22. [ Cao Minh Quang ] V i x ∈ (0,1) , s d ng b t ñ ng th c AM – GM, ta có  ( 2 − 2 x) + (1 + x) + (1 + x)  3 64 (2 − 2x)(1 + x)(1 + x) ≤   =  .  3  27 6
  7. 7. x 27 2Do ñó, ≥ x (1 + x ) . Tương t , ta có 1 − x 32 y 27 2 z 27 2 ≥ y (1 + y ) , ≥ z (1 + z ) . 1 − y 32 1 − z 32 r xr + y r + z r  x + y + z   , ∀x, y, z ≥ 0, r ≥ 1 , ta ñư cC ng ba b t ñ ng th c trên và s d ng b t ñ ng th c ≥    3   3  x y z 27 + + ≥ [( x3 + y3 + z 3 ) + 2 ( x2 + y2 + z 2 ) + 1− x 1− y 1− z 32 27   1   3  2 1   3 + ( x + y + z )] ≥ 3 3  + 6  3  + 1 = 2 . 32           L i gi i 23. [ Cao Minh Quang ] V i x ∈ (0,1) , ta có 2 x 9 x2 (3x −1) ≥ 0 ⇔ 3 x + 1 ≥ 9 x (1 − x) ⇔ ≥ . 1 − x 3x + 1Ch ng minh tương t , có y 9 y2 z 9z 2 ≥ , ≥ . 1 − y 3 y + 1 1 − z 3z + 1Do ñó, 2 x y z 9 x2 9 y2 9z 2 (3x + 3 y + 3z) 3 + + ≥ + + ≥ = . 1− x 1− y 1− z 3x +1 3 y +1 3z +1 3( x + y + z ) + 3 22.5. Nhóm các l i gi i s d ng phương pháp s d ng ñ nh lý d n bi n, s d ng b t ñ ng th c phL i gi i 24. Ta s d ng ñ nh lí d n bi n ñ ch ng minh (1). ð t a b c a +b a +b +c E (a, b, c) = + + ,t = ,v = . b + c c + a a +b 2 3D th y r ng a 2 + b 2 + c (a + b ) c 2t 2 + 2tc c E (a , b, c ) = 2 + ≥ 2 2 + = E (t , t , c ) . . ab + c + c ( a + b ) a + b t + c + 2ct 2t 3Do ñó, theo ñ nh lí d n bi n, ta ñư c E ( a, b, c) ≥ E (v, v, v) = . 2L i gi i 25. [ Cao Minh Quang ] Trư c h t, ta ch ng minh n u x, y, z là các s th c dương có t ng b ng 1 thì x + yz y + zx z + xy + + ≥2. y+z z+x x+ yS d ng b t ñ ng th c a 2 + b 2 + c 2 ≥ ab + bc + ca, ∀a, b, c > 0 , và ñ ý r ng x + y + z = 1 , ta có x + yz y + zx z + xy ( x + y)( x + z) ( y + z)( y + x) + + = + + y+z z+x x+ y y+z z+x ( z + x)( z + y ) + ≥ ( x + y ) + ( y + z ) + ( z + x) = 2 . x+ y ab 1Bây gi ta tr l i vi c ch ng minh (2). Dùng b t ñ ng th c ≤ ( a + b ) , ∀a , b > 0 . a+b 4Ta có  yz xy  1 x y z ≥ 2 − zx   3  y + z + z + x + x + y  ≥ 2 − 4 ( y + z ) + ( z + x) + ( x + y) = 2 . + +    y+z z+x x+ y   7
  8. 8. 3. M t s k t qu ñư c phát tri n t b t ñ ng th c NesbittTrong th i gian g n ñây, có r t nhi u ngư i quan tâm và gi i các bài toán b t ñ ng th c, ta nh n ñư c m t s k t qu ñ plà m r ng, t ng quát ho c k t qu m nh hơn (1). Xin ñư c ñ c p ñ n m t s bài toán ñó như sauBài 1. [ Tr n Nam Dũng ] [ T p chí Toán H c và Tu i Tr ] Cho a, b, c là các s th c dương . Ch ng minh r ng 1 a2 + b2 + c2 a b c 1 ab + bc + ca + ≥ + + ≥ 2− . 2 . 2 ab + bc + ca b + c c + a a + b 2 a + b2 + c2Bài 2. [ Vasile Cirtoaje ] [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, 2006 ] Cho a, b, c là cács th c dương. Ch ng minh r ng a b c 13 2 ab + bc + ca + + ≥ − . 2 . b+c c+a a+b 6 3 a + b2 + c 2Bài 3. [ Titu Vareescu, Mircea Lascu ] [Titu Vareescu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and NewInequalities, GIL, 2004 ] Cho a, b, c, α là các s th c dương sao cho abc = 1, α ≥ 1 . Ch ng minh r ng aα bα cα 3 + + ≥ . b+c c + a a +b 2 2Bài 4. [ Tr n Tu n Anh ] [ T p chí Toán H c và Tu i Tr ] Cho a, b, c, k là các s th c dương sao cho k ≥ . Ch ng 3minh r ng k k k  a   b   c        3   +    +   ≥ k . b + c  c + a  a + b    2Bài 5. [ Vasile Cirtoaje ] [Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, 2006 ] Cho a, b, c, r là ln 3các s th c dương sao cho r ≥ −1 . Ch ng minh r ng ln 2 r r r  2a   2b   2c   +  +  ≥3.              b + c  c + a  a + bBài 6. [ Vasile Cirtoaje ] [ Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, 2006 ] Cho a, b, c là cács th c dương. Ch ng minh r ng a2 b2 c2 a b c 2 2 + 2 2 + 2 ≥ + + . b +c c +a a + b2 b + c c + a a + bBài 7. [ Titu Zvonaru, Buchrest, Romania ] [ Problem 2970, CRUX 2006 ] Cho a, b, c là các s th c dương và m, n làcác s nguyên dương sao cho m ≥ n . Ch ng minh r ng am bm cm an bn cn + m + m ≥ n + n + n . bm + cm c + am a + bm b + cn c + an a + bnBài 8. [ Ph m Văn Thu n ] [ Problem 3200, CRUX 2006 ] Cho r , s là các s th c dương, r < s và a, b, c ∈ ( r , s) .Ch ng minh r ng 2 a b c 3 ( r − s) + + ≤ + . b + c c + a a + b 2 2r (r + s)Bài 9. [ Vi t Nam TST, 2006 ] Cho a, b, c ∈ [1, 2] . Ch ng minh r ng 1 1 1  a b c  (a + b + c) + +  ≥ 6    a b c  + + .   b + c c + a a + b  Bài 10. [ Ph m Kim Hùng, Sáng T o B t ð ng Th c, Secrects in Inequalities, Nhà xu t b n Tri Th c, 2006 ] Choa, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c ab + bc + ca 3 3 −1 + + + k. 2 2 2 ≥k + , k = . b +c c + a a +b a +b +c 2 2Bài 11. [ Ph m Kim Hùng, Sáng T o B t ð ng Th c, Secrects in Inequalities, Nhà xu t b n Tri Th c, 2006 ] Choa, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng 8
  9. 9. a b c abc 5 + + + ≥ . b + c c + a a + b 2(a3 + b3 + c3 ) 3Bài 12. [ Cao Minh Quang ] Cho a, b, c là các s th c dương, a + b + c = 1 , m, n là các s th c không âm th a ñi uki n 6m ≥ 5n . Ch ng minh r ng ma + nbc mb + nbc mc + nab 3m + n + + ≥ . b+c c+a a+b 2Bài 13. [ Ph m Văn Thu n, Lê Vĩ, B t ð ng Th c, Suy Lu n & Khám Phá ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ngminh r ng 2 a b c  abc 3 + + + 2   ≥2 . b + c c + a a +b  (a + b)(b + c)(c + a) Bài 14. [ Cezar Lupu ] [ Mathematical Reflections 1 (2007) ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c a2 + bc b2 + ca c2 + ab + + ≥ + + b + c c + a a + b (a + b)( a + c) (b + c)(b + a) (c + a)(c + b)Bài 15. [ Ph m H u ð c] [ Mathematical Reflections 4 (2007) ] Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng a b c bc ca ab + + ≥ + + . b + c c + a a + b a2 + bc b2 + ca c2 + abCâu chuy n v “b t ñ ng th c Nesbitt” ch c h n chưa d ng l i. Hy v ng m t ngày nào ñó b n s tìm ñư c cho mình m tl i gi i ñ p c a bài toán Nesbitt và phát tri n nó theo nhi u hư ng khác.Tài li u tham kh o 1. Hojoo Lee, Topics in Inequalities – Theorems and Techniques, 2007 2. D. S. Mitrinovic, J. E. Pecaric, A. M. Fink, Classical and New Inequalities in Analysis, Kluwer Academic, 1993 3. Ph m Kim Hùng, Sáng T o B t ð ng Th c, Secrects in Inequalities, Nhà Xu t B n Tri Th c, 2006 4. Titu Vareescu, Vasile Cirtoaje, Gabriel Dospinescu, Mircea Lascu, Old and New Inequalities, GIL, 2004 5. Vasile Cirtoaje, Algebraic Inequalities, Old and New Methods, GIL, 2006 9

×