• Like
Basic số phức cực hay
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Thanks for flagging this SlideShare!

Oops! An error has occurred.

Basic số phức cực hay

  • 178 views
Published

 

  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Be the first to comment
    Be the first to like this
No Downloads

Views

Total Views
178
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0

Actions

Shares
Downloads
9
Comments
0
Likes
0

Embeds 0

No embeds

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
    No notes for slide

Transcript

  • 1. www.MATHVN.com M TS D NG TOÁN V S PH C Biên so n: NGUY N TRUNG KIÊN 0988844088I) D NG Đ I S C AS PH CD ng 1) Bài toán liên quan ñ n bi n ñ i s ph cVí d 1) Tìm s nguyên x, y sao cho s ph c z=x+yi tho mãn z 3 = 18 + 26iGi i:  x3 − 3 xy 2 = 18 z 3 = 18 + 26i ⇔ ( x + yi ) = 18 + 26i ⇔  2 ⇔ 18 ( 3x 2 y − y 3 ) = 26 ( x3 − 3xy 2 ) 3 3 x y − y = 26 3  1Gi i phương trình b ng cách ñ t y=tx ta ñư c t = ⇒ x = 3, y = 1 . V y z=3+i 3Ví d 2) Cho hai s ph c z1; z2 tho mãn z1 = z2 ; z1 + z2 = 3 Tính z1 − z2Gi i: a12 + b12 = a2 + b22 = 1  2Đ t z1 = a1 + b1i; z2 = a2 + b2i . T gi thi t ta có  ( a1 + a2 ) + ( b1 + b2 ) = 3 2 2 ⇒ 2 ( a1b1 + a2b2 ) = 1 ⇒ ( a1 − a2 ) + ( b1 − b2 ) = 1 ⇒ z1 − z2 = 1 2 2D ng 2) Bài toán liên quan ñ n nghi m ph cVí d 1) Gi i phương trình sau: z 2 − 8(1 − i ) z + 63 − 16i = 0Gi i: Ta có ∆ = 16(1 − i ) 2 − (63 − 16i ) = −63 − 16i = (1 − 8i ) T ñó tìm ra 2 nghi m là 2z1 = 5 − 12i, z2 = 3 + 4iVí d 2) Gi i phương trình sau: 2(1 + i ) z 2 − 4(2 − i ) z − 5 − 3i = 0Gi i: Ta có ∆ ’ = 4(2 – i)2 + 2(1 + i)(5 + 3i) = 16. V y phương trình cho hai nghi m là: 2(2 − i ) + 4 4 − i (4 − i )(1 − i ) 3 5z1 = = = = − i 2(1 + i ) 1+ i 2 2 2 2(2 − i ) − 4 − i (−i )(1 − i ) 1 1z2 = = = =− − i 2(1 + i) 1+ i 2 2 2Ví d 3) Gi i phương trình z − 9 z + 14 z − 5 = 0 3 2Gi i: Ta có phương trình tương ñương v i ( 2 z − 1) ( z 2 − 4 z + 5 ) = 0 . T ñó ta suy ra 1phương trình có 3 nghi m là z1 = ; z2 = 2 − i; z3 = 2 + i 2Ví d 4) Gi i phương trình: 2 z − 5 z 2 + 3 z + 3 + (2 z + 1)i = 0 bi t phương trình có 3nghi m th c 2 z 3 − 5 z 2 + 3z + 3 = 0 −1Gi i: Vì phương trình có nghi m th c nên  ⇒z= tho mãn c 2 z + 1 = 0 2hai phương trình c a h :Phương trình ñã cho tương ñương v i( 2 z + 1) ( z 2 − 3z + 3 + i ) = 0 . Gi i phương trình ta tìm ñư c z = − ; z = 2 − i; z = 1 + i 1 2www.MATHVN.com 1
  • 2. www.MATHVN.comVí d 5) Gi i phương trình: z 3 + (1 − 2i ) z 2 + (1 − i) z − 2i = 0 bi t phương trình cónghi m thu n o:Gi i: Gi s nghi m thu n o c a phương trình là z=bi thay vào phương trình ta có( bi ) + (1 − 2i) ( bi ) + (1 − i)(bi) − 2i = 0 ⇔ (b − b2 ) + (−b3 + 2b 2 + b − 2)i = 0 3 2 b − b 2 = 0 ⇔ 3 ⇒ b = 1 ⇒ z = i là nghi m, t ñó ta có phương trình tương  −b + 2b + b − 2 = 0 2 ñương v i ( z − i ) ( z 2 + (1 − i ) z + 2 ) = 0 . Gi i pt này ta s tìm ñư c các nghi mVí d 6) Tìm nghi m c a phương trình sau: z 2 = z .Gi i: Gi s phương trình có nghi m: z=a+bi thay vào ta có ( a + bi ) = a + bi 2 a 2 − b 2 = a 1 3 ⇔ Gi i h trên ta tìm ñư c (a, b) = (0; 0), (1; 0),(− ; ± ) . V y phương 2ab = −b 2 2 1 3trình có 4 nghi m là z = 0; z = 1; z = − ± i 2 2D ng 3) Các bài toán liên quan ñ n modun c a s ph c:Ví d 1) Tìm các s ph c z tho mãn ñ ng th i các ñi u ki n sau: z + 1 − 2i = z − 2 + i và z − i = 5Gi i:  x + 1 + ( y − 2)i = x − 2 + (1 − y )i Gi s z=x+yi (x,y là s th c) .T gi thi t ta có   x + ( y − 1)i |= 5  ( x + 1) 2 + ( y − 2) 2 = ( x − 2) 2 + (1 − y ) 2   y = 3x⇔ ⇔ 2 ⇔ x = 1, y = 3 ho c  x + ( y − 1) = 5 10 x − 6 x − 4 = 0 2  2  2 6x = − , y = − . V y có 2 s ph c tho mãn ñi u ki n. 5 5 i−mVí d 2) Xét s ph c z tho mãn z = ;m∈ R 1 − m(m − 2i ) 1a) Tìm m ñ z.z = 2 1b)Tìm m ñ z − i ≤ 4c) Tìm s ph c z có modun l n nh t.Gi i:a) Ta có i−m ( i − m ) (1 − m2 − 2mi ) − m(1 − m2 ) + 2m + (1 − m 2 + 2m 2 )z= = = 1 − m 2 + 2mi (1 − m 2 + 2mi )(1 − m 2 − 2mi ) (1 − m2 ) + 4m2 2www.MATHVN.com 2
  • 3. www.MATHVN.com m(1 + m 2 ) + i (1 + m 2 ) m 1 m 1= = + i⇒ z = − i (1 + m ) 2 2 1+ m 1+ m 1 + m 1 + m2 2 2 2 1 m2 + 1 1⇒ z. z = ⇔ = ⇔ m 2 + 1 = 2 ⇔ m = ±1 ( m2 + 1) 2 2 2 1 m  1  1 m m2 1b) Ta có z − i ≤ ⇔ + − 1 i ≤ ⇔ − i ≤ ⇔ 4 1+ m  1+ m 2 2  4 1+ m 1+ m 2 2 4 m2 m4 1 m2 1 1 1⇔ + ≤ ⇔ ≤ ⇔ 16m 2 ≤ 1 + m2 ⇔ − ≤m≤ (1 + m ) (1 + m ) 16 2 2 2 2 1+ m 2 6 15 15 m2 + 1 1c) Ta có z = = ≤ 1 ⇒| z |max = 1 ⇔ m = 0 (m + 1) 2 2 m2 + 1Ví d 3) Trong các s ph c z tho mãn ñi u ki n z − 2 − 4i = 5 Tìm s ph c z cómodun l n nh t, nh nh t.Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra ( x − 2 ) + ( y − 4 ) = 5 Suy ra t p h p 2 2ñi m M(x;y) bi u di n s ph c z là ñư ng tròn tâm I(2;4) bán kính R = 5D dàng có ñư c M (2 + 5 sin α ; 4 + 5 cos α ) . Modun s ph c z chính là ñ dài véc tơOM.Ta có |z|2= OM 2 = (2 + 5 sin α ) 2 + (4 + 5 cos α ) 2 = 25 + 4 5(sin α + 2 cos α )Theo BDT Bunhiacopxki ta có (sin α + 2 cos α ) 2 ≤ (1 + 4) ( sin 2 α + cos 2 α ) = 5⇒ − 5 ≤ sin α + 2 cos α ≤ 5 ⇒ 5 ≤ z ≤ 3 5 . V y −1 −2| z |min = 5 ⇒ sin α + 2 cos α = − 5 ⇔ sin α = ; cos α = ⇔ x = 1, y = 2 ⇒ z = 1 + 2i 5 5 1 2| z |max = 3 5 ⇔ sin α + 2 cos α = 5 ⇔ sin α = ; cos α = ⇔ x = 3, y = 6 ⇒ z = 3 + 6i 5 5Ví d 4) Trong các s ph c tho mãn ñi u ki n z − 2 − 4i = z − 2i .Tìm s ph c z cómoodun nh nh t.Gi i: Xét s ph c z = x+yi . T gi thi t suy ra( x − 2 ) + ( y − 4 ) = x 2 + ( y − 2 ) ⇔ x + y − 4 = 0 Suy ra t p h p ñi m M(x;y) bi u di n 2 2 2s ph c z là ñư ng th ng y=-x+4Ta có z = x 2 + y 2 = x 2 + (4 − x) 2 = 2 x 2 − 8 x + 16 = 2( x − 2) 2 + 8 ≥ 2 2 . T ñó suy z min = 2 2 ⇔ x = 2 ⇒ y = 2 ⇒ z = 2 + 2iD ng 4) Tìm t p h p ñi m bi u di n s ph cVí d 1) Tìm t p h p các ñi m M trong m t ph ng ph c bi u di n s ph c z bi t: za) =3 b) z = z − 3 + 4i c) z − i + z + i = 4 z −iwww.MATHVN.com 3
  • 4. www.MATHVN.comGi i:G i z=x+yi 9 9a) T gi thi t ta có z = 3 z − i ⇔ x 2 + y 2 = 9( x 2 + ( y − 1) 2 ) ⇔ x 2 + ( y − ) 2 = 8 64 9 3V y t p h p ñi m M là ñư ng tròn tâm I (0; ), R = 8 8b) T gi thi t ta có x + y = ( x − 3) + (4 − y ) ⇔ 6 x + 8 y = 25 . V y t p h p các ñi m 2 2 2 2M là ñư ng th ng 6x+8y-25=0c) Gi s z =x+yi thì z − i + z + i = 4 ⇔ x 2 + ( y − 1) + x 2 + ( y + 1) = 4 ⇔ 2 2  x 2 + ( y + 1) 2 ≤ 4  x 2 + ( y + 1)2 ≤ 16    ⇔ ⇔  x 2 + ( y − 1)2 = 16 − 8 x 2 + ( y + 1) 2 + x 2 + ( y + 1)2  2 x 2 + ( y − 1) = y + 4 2    x + ( y + 1) ≤ 16(1) 2 2  x 2 + ( y + 1)2 ≤ 16    2  x2 y2 ⇔  4 x + 4 y + 8 y + 4 = y + 8 y + 16 ⇔  + 2 2 = 1(2)  y ≥ −4 3 4    y ≥ −4(3) Ta th y các ñi m n m trong hình tròn (1) và Elip (2) và tung ñ các ñi m n m trên (Elip) x2 y2luôn tho mãn ñi u ki n y >-4. V y t p h p ñi m M là Elip có pt + = 1. 3 4Ví d 2) Tìm t p h p các ñi m bi u di n trong m t ph ng ph c s ( )ph c ω = 1 + i 3 z + 2 bi t r ng s ph c z tho mãn: z − 1 ≤ 2.Gi i: Đ t z = a + bi ( a, b ∈ R )Ta có z − 1 ≤ 2 ⇔ ( a − 1) + b 2 ≤ 4 (1) 2T x = a − b 3 + 2  x − 3 = a −1 + b 3 ( ) ( )ω = 1 + i 3 z + 2 ⇒ x + yi = 1 + i 3 ( a + bi ) + 2 ⇔    y = 3a + b  ⇔  y − 3 = 3(a − 1) + b  T ñó ( x − 3 ) + y − 3 ( ) ≤ 4 ( a − 1) + b 2  ≤ 16 do (1) 2 2 2  V y t p h p các ñi m c n tìm là hình tròn ( x − 3) + y − 3 ( ) ( ) 2 ≤ 16 ; tâm I 3; 3 , bán 2kính R=4.Ví d 3) Xác ñ nh t p h p các ñi m M(z) trong m t ph ng ph c bi u di n các s z−2 πph c z sao cho s có acgumen b ng . z+2 3Gi i:www.MATHVN.com 4
  • 5. www.MATHVN.com z − 2 ( x − 2 ) + yi ( x − 2 ) + yi  ( x + 2 ) + yi Gi s z=x+yi, thì = =   z + 2 ( x + 2 ) + yi ( x + 2) + y 2 2 x 2 − 4 + y 2 + yi ( x + 2 − x + 2 ) x2 + y 2 − 4 4y= = + i (1) ( x + 2) + y2 ( x − 2) + y2 ( x − 2) + y2 2 2 2 z−2 πVì s ph c có acgumen b ng , nên ta có: z+2 3 x2 + y2 − 4 4y  π π + i = τ  cos + i sin  v i τ > 0( x − 2) + y 2 ( x − 2) + y 2 2 2  3 3  x2 + y2 − 4 τ  =  ( x − 2) + y 2 2 2⇒  4y τ 3 =  ( x − 2 )2 + y 2 2 T ñó suy ra y>0 (1) và 2 2 4y 4y  2   4  = 3 ⇔ x2 + y2 − 4 = ⇔ x2 +  y −  =  (2) .T (1) và (2) suy ra x + y −4 2 2 3  3  3t p h p các ñi m M là ñư ng tròn tâm n m phía trên tr c th c(Trên tr c Ox).D ng 5) Ch ng minh b t ñ ng th c: 2z −1Ví d 1) Ch ng minh r ng n u z ≤ 1 thì ≤1 2 + izGi i:Gi s z =a+bi (a, b ∈ R) thì z = a 2 + b 2 ≤ 1 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 . Ta có 2 z − 1 2a + (2b − 1)i 4a 2 + (2b − 1) 2 = = .B t ñ ng th c c n ch ng minh tương ñương 2 + iz (2 − b) + ai (2 − b) 2 + a 2 4a 2 + (2b − 1)2v i ≤ 1 ⇔ 4a 2 + (2b − 1) 2 ≤ (2 − b) 2 + a 2 ⇔ a 2 + b 2 ≤ 1 ⇒ dpcm (2 − b) + a 2 2 1Ví d 2) Cho s ph c z khác không tho mãn ñi u ki n z 3 + ≤ 2 . Ch ng minh z3 1r ng: z + ≤2 zGi i: D dàng ch ng minh ñư c v i 2 s ph c z1 , z2 b t kỳ ta có z1 + z2 ≤ z1 + z2 3 3  1 1  1 1 1 1 1Ta có  z +  = z 3 + 3 + 3  z +  ⇒ z + ≤ z3 + 3 + 3 z + ≤ 2 + 3 z +  z z  z z z z z 1Đ t z + =a ta có a 3 − 3a − 2 ≤ 0 ⇔ ( a − 2 )( a + 1) ≤ 0 ⇒ dpcm 2 zwww.MATHVN.com 5
  • 6. www.MATHVN.comII) D NG LƯ NG GIÁC C A S PH CD ng 1: VI T D NG LƯ NG GIÁCVí d 1) Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )a) b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )   1 + cos ϕ + i sin ϕGi i: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) (1 − cos ϕ ) − i sin ϕa) = 1 + cos ϕ + i sin ϕ (1 + cos ϕ ) + i sin ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ − 2i sin 2sin 2 2 2 cos 2 = tan ϕ sin 2 − i cos 2 ϕ= = −i tan ϕ ϕ ϕ 2 ϕ ϕ 2 2 cos 2 + 2i sin cos cos + i sin 2 2 2 2 2 ϕ ϕ  π  π - Khi tan > 0 d ng lư ng giác là: tan cos  −  + i sin  −   2 2  2  2  ϕ ϕ  π   π - Khi tan < 0 d ng lư ng giác là: − tan cos   + i sin    2 2 2  2  ϕ- Khi tan = 0 thì không có d ng lư ng giác. 2 b) 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )  (1 + cos ϕ + i sin ϕ )   ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ = 2sin  sin − i cos  .cos  cos + i sin  2 2 2 2 2 2   π  π = 2sin ϕ cos  ϕ −  + isin  ϕ −     2  2 - Khi sin ϕ = 0 thì d ng lư ng giác không xác ñ nh.   π  π - Khi sin ϕ > 0 thì d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −     2  2    π  π - Khi sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là: (−2sin ϕ )  cos  ϕ +  + i sin  ϕ +     2  2 Ví d 2): Vi t dư i d ng lư ng giác c a các s ph c: 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ )a) b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ] 1 + cos ϕ + i sin ϕGi i: ϕ ϕ 1 − ( cos ϕ + i sin ϕ ) 1 − cos ϕ − i sin ϕ ϕ sin 2 − i cos 2 ϕa) = = tan = −i tan 1 + cos ϕ + i sin ϕ ϕ ϕ ϕ 2 cos ϕ − i sin ϕ 2 2 cos 2 + 2i sin .cos 2 2 2 2 2 ϕ ϕ   π  π Khi tan >0 thì d ng lư ng giác là tan cos  −  + i sin  −   2 2   2  2 TEL:0988844088www.MATHVN.com 6
  • 7. www.MATHVN.com ϕ ϕ  π   π Khi tan <0 thì d ng lư ng giác là - tan cos  2  + i sin  2   2    2   ϕKhi tan =0 thì không t n t i d ng lư ng giác. 2b) [1 − (cos ϕ + i sin ϕ ) ][1 + cos ϕ + i sin ϕ ] ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ= 2sin  sin − i cos  .2 cos  cos + i sin  2 2 2 2 2 2   π  π = 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −     2  2 - Khi sin ϕ = 0 thì d ng lư ng giác không xác ñ nh   π  π - Khi sin ϕ > 0 thì d ng lư ng giác là: 2sin ϕ cos  ϕ −  + i sin  ϕ −     2  2    π  π - Khi sin ϕ < 0 thì d ng lư ng giác là: ( −2sin ϕ ) cos  ϕ +  + i sin  ϕ +     2  2 D ng 2: MÔĐUN VÀ ACGUMENVí d 1) Tìm ph n th c và ph n o c a s ph c z, bi t z 2 = −2 + 2 3iGi i: Ta có: z 2 = − 2 + 2 3 i ⇔ z 2 = 4  co s 2 π + i s in 2 π     3 3   2π 2π Do ñó: z 2 = −2 + 2 3i ⇔ z 2 = 4  cos + i sin   3 3    2π 2π   z = 2  cos 3 + i sin 3  z = 1+ i 3  ⇔ ⇔   π π  z = −1 − i 3   z = −2  cos + i sin    3 3T ñó suy ra ph n th c và ph n o c a z tương ng là 1 và 3 ho c -1 và − 3 (Ví d 2) Tìm m t acgumen c a s ph c: z − 1 + i 3 bi t m t acgumen c a z ) πb ng 3 π 1 3  nên z = z  +  2 2 iGi i: z có m t acgumen b ng 3    1 3  ( )Do ñó: z − 1 + i 3 = ( z − 2)  +  2 2 i    π (- Khi z > 2 , m t aacgumen c a z − 1 + i 3 là ) 3 4π- Khi 0 < z < 2 , m t acgumen c a z − 1 + i 3 là ( ) 3TEL:0988844088www.MATHVN.com 7
  • 8. www.MATHVN.com ( )- Khi z = 2 thì z − 1 + i 3 =0 nên acgumen không xác ñ nh.Ví d 3) Cho s ph c z có môñun b ng 1. Bi t m t acgumen c a z là ϕ , tìm m tacgumen c a: 1a) 2z 2 b) − c) z + z d) z 2 + z 2zGi i: z = 1 , z có m t acgumen là ϕ . Do ñó z = cos ϕ + i sin ϕa) z 2 = cos 2ϕ + i sin 2ϕ ⇒ 2 z 2 = 2 ( cos 2ϕ + i sin 2ϕ ) ⇒ 2 z = 2 ( cos ϕ − i sin ϕ )V y 2z2 có m t acgumen là 2ϕb) z = cos ϕ + i sin ϕ ⇒ z = cos ϕ − i sin ϕ ⇒ 2 z = 2 ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) − i sin ( −ϕ ) ) = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 1 1 1⇒ 2z 2 2 = ( − cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos (ϕ + π ) + i sin ϕ (ϕ + π ) ) 1 1 1⇒− 2z 2 2 1V y− có m t acgumen là ϕ + π 2zc) Ta có: z + z = 2 cos ϕN u cos ϕ > 0 thì có m t acgumen là 0N u cos ϕ < 0 thì có m t acgumen là πN u cos ϕ = 0 thì acgumen không xác ñ nh.d) z 2 + z = cos 2ϕ + i sin 2ϕ , z = cos ϕ − i sin ϕ 3ϕ ϕ 3ϕ ϕ⇒ z 2 + z = cos 2ϕ + cos ϕ + i ( sin 2ϕ − sin ϕ ) = 2 cos cos + i.2 cos sin 2 2 2 2 3ϕ  ϕ ϕ= 2 cos  cos + i sin  2  2 2 ϕ 3ϕ ϕ 3ϕV y acgumen z 2 + z là n u cos > 0 , là + π n u cos < 0 và không xác ñ nh 2 2 2 2 3ϕn u cos =0 2 π πVí d 4) Cho s ph c z = 1 − cos − i sin . Tính môñun, acgumen và vi t z dư i 7 7d ng lư ng giác.Gi i: π π π 8π  4π 2   Ta có: z =  1 − cos  + sin 2 = 2 1 − cos  = 2 1 + cos  = 2 cos  7 7  7  7  7 π 8π − sin sinĐ t ϕ = arg ( z ) thì tan ϕ = 7 = 7 = cot 4π = tan  − π  π 4π   1 − cos 2sin 2 7  14  7 7www.MATHVN.com 8
  • 9. www.MATHVN.com πSuy ra: ϕ = − + kπ , k ∈ z 14 π π πVì ph n th c 1 − cos > 0 , ph n o − sin < 0 nên ch n m t acgumen là − 7 7 14 4π   π   π V y z = 2 cos  cos  − 14  + i sin  − 14   7      1Ví d 5) Vi t dư i d ng lư ng giác c a m t s ph c z sao cho z = và m t 3 z 3πacgumen c a là − 1+ i 4Gi i: 1 1Theo gi thi t z = thì z = ( cos ϕ + i sin ϕ ) 3 3⇒ z = ( cos ϕ − i sin ϕ ) = ( cos ( −ϕ ) + i sin ( −ϕ ) ) 1 1 3 3 1 2  π πVì 1 + i = 2  + i 2  = 2  cos + i sin    2   4 4 z 1   π  π Nên = 1+ i 3 2   cos  −ϕ − 4  + i sin  −ϕ − 4       π 3π π 1 π πDo ñó: −ϕ − = − + 2kπ ⇔ ϕ = + 2kπ , k ∈ Ζ. v y z =  cos + i sin  . 4 4 2 3 2 2 z + 3i πVí d 6) Tìm s ph c z sao cho: = 1 và z+1 có m t ácgumen là − z +i 6Gi i: T gi thi t ⇒ z + 3i = z + i ⇔ x + ( y + 3)i = x + ( y + 1)i ⇔ x 2 + ( y + 3) = x 2 + ( y + 1) 2 2 z + 3i =1 z+i ⇒ y = −2 π  π  π τz+1 có 1 acgumen b ng − 6 t c là z + 1 = τ [cos  −  + i sin  − ] =  6  6 2 ( ) 3 − i v i r>0.  τ 3 x +1 =Ta có z+1=x+1-2i suy ra   2 ⇔ τ = 4 ⇒ z = 2 3 − 1 − 2i   −2 = − τ x = 2 3 −1    2D ng 3) NG D NG S PH C TRONG BÀI TOÁN T H PVí d 1) Tính các t ng sau khi n=4k+1 2 −a) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n +1 − ....... + C2 nn+12 − C2 nn+1 0 2 4 2 2 n −1 2n+b) S = C2 n +1 − C2 n +1 + C2 n+1 − ....... + C2 n +1 − C2 n+11 1 3 5Gi i:www.MATHVN.com 9
  • 10. www.MATHVN.comXét(1 + i ) = C20n+1 + iC2n+1 + i 2C22n+1 + ..... + i 2n +1C22nn++11 = C20n+1 − C22n+1 + ... − C22nn+1 + i(C21n+1 − C23n+1 + .. − C22nn++11 ) 2 n +1 1M t khác ta l i có:  π π 2 n +1  (2n + 1)π (2n + 1)π 1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) 2 n +1 = 2 cos + i sin   4 4  4 4   (2n + 1)π (2n + 1)π   (8k + 3)π (8k + 3)π = 2n 2 cos + i sin  = 2 2 cos n + i sin   4 4   4 4   3π 3π = 2n 2 cos + i sin  = −2n + i 2n  4 4 T ñó ta cóa) S=-2nb) S=2nVí d 2) Tính các t ng h u h n sau:a) S = 1 − Cn2 + Cn − Cn + .......... 4 6b) S = Cn − Cn + Cn − Cn + .......... 1 3 5 7Gi i:Xét (1 + i ) = Cn + iCn + i 2Cn2 + ..... + i nCnn = 1 − Cn + Cn4 − ... + i (Cn − Cn + Cn − Cn + ....) n 0 1 2 1 3 5 7  π π n  nπ nπ 1 + i = 2  cos + i sin  ⇒ (1 + i ) = 2 cos + i sin n  4 4  4 4 T ñó ta có k t qu n nπ n nπa) S = 2 cos b) S = 2 sin 4 4 1 n nπ Ví d 3) Ch ng minh r ng: 1 + Cn + Cn + ... =  2 + 2 cos 3 6  3 3 Gi i: Ta có 2n = Cn + Cn + Cn + Cn + ....Cnn (1) 0 1 2 3 2π 2πXét ε = cos + i sin ⇒ ε3 =1 3 3Ta có(1 + ε ) = Cn + ε Cn + ε 2Cn + ......ε n Cn = Cn + ε Cn + ε 2Cn + Cn + ε Cn + ..... (2) n 0 1 2 n 0 1 2 3 4(1 + ε ) 2 n = Cn + ε 2Cn + ε 4Cn2 + ......ε 2 nCn = Cn + ε 2Cn + ε Cn + Cn + ε 2Cn + .....(3) 0 1 n 0 1 2 3 4 π π π πTa có 1 + ε + ε 2 = 0;1 + ε 2 = cos − i sin ;1 + ε = cos + i sin 3 3 3 3C ng (1) (2) (3) theo v ta có nπ2n + (1 + ε ) + (1 + ε 2 ) = 3 ( Cn + Cn + Cn + ...) ⇔ 2n + 2 cos = 3 ( Cn + Cn + Cn + ...) n n 0 3 6 0 3 6 3 1 nπ ⇔ 1 + Cn + Cn + ... =  2n + 2 cos 3 6  3 3 TEL:0988844088www.MATHVN.com 10
  • 11. www.MATHVN.com M TS BÀI T P T LUY N1) Gi i phương trình sau trên t p s ph c:a) z 3 = z b) z + z = 3 + 4i c) z 2 − ( z ) = 4i 3 d )z2 + 2z +1− i = 0 2e) z 2 + 4 z + 5 = 0 f )(1 + i ) z 2 + 2 + 11i = 0 g ) z 2 − 2( z + z ) + 4 = 02) Tìm s th c x tho mãn b t phương trình: 1+ i 7  x + 1 + 2i − 2 a) 1 + 4i − 2− x ≤ 5 b) − log 2 x ≤ 1 c)1 − log 2  ≥0 4  2 −1 3) Tìm s ph c z sao cho A = ( z − 2)( z + i ) là s th c z + 7i4) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n z = 5; là s th c z +15) Tìm t p h p các ñi m M trong m t ph ng ph c bi u di n các s ph c z tho mãnñi u ki n z − 2ia ) z 2 − ( z ) = 9 b) = 4 c )3 z + i = z + z − 3i d ) z + 3i − 4 = 2 e) z + 1 ≥ z + i 2 z + 2i z − 2i z−2 +2 f ) z = z + 4 − 3i g ) > 1 h)2 z − i = z − z + 2i k ) log 1 ( ) >1 z + 2i 3 4 z − 2 −1 36) Trong các s ph c tho mãn ñi u ki n z − 2 + 3i = . Tìm s ph c z có modun l n 2nh t,nh nh t.7) Tìm s ph c z tho mãn ñi u ki n ( z − 1)( z + 2i ) là s th c và z nh nh t.8) Tìm m t acgumen c a s ph c z khác 0 bi t z + z i = z9) Tìm s ph c z tho mãn z 2 + z = 2 và z = 210) Gi i h pt sau trong t p s ph c:  z − 12 5  z1 + z2 = 3 − i  =  2 z − i = z − z + 2i   z − z2 + 1 = 0 z − 8i 3 2   a)  2 b)  1 1 3 + i c)  2 1 d)  z −z =4 z + z = 5  z2 − z1 + 1 = 0 z−4 2    =1  1  z −8 2   z3 + 2z 2 + 2z +1 = 0 e)  2010 z + z +1 = 0 2011 11) Cho phương trình 2 z 3 − (2i + 1) z 2 + (9i − 1) z + 5i = 0 có nghi mth c. Hãy tìm t t c các nghi m c a phương trình. 1 112) Tìm ph n th c ph n o c a z = 2011 + w 2011 bi t + w =1 w w13) Tìm n nguyên dương ñ các s ph c sau là s th c, s o: n  − 2 +i 6   4 + 6i  n  7 + 4i  n  3 − 3i a) z =     b) z =   c) z =   d )z =   3 − 3i    3 + 3i   −1 + 5i   4 − 3i   www.MATHVN.com 11
  • 12. www.MATHVN.com14) Cho n nguyên dương, ch ng minh r ng 2nπC2 n − 3C2 n + 9C24n − 27C2 n + ..... + ( −3) C2 nn = 22 n cos 0 2 6 n 2 315) Tìm s ph c z sao cho z = z − 2 và m t acgumen c a z-2 b ng m t acgumen πc a z+2 c ng v i 216) Gi i phương trình 2z 2za) 0 = z 2 + tan 2 100 + 4i − 2 b) 0 = z 2 + cot 2 120 + 6i − 7 cos10 sin12M i th c m c xin vui lòng liên h th y Nguy n Trung Kiên 0988844088www.MATHVN.com 12