• Share
  • Email
  • Embed
  • Like
  • Save
  • Private Content
Release2.2
 
  • 10,354 views

หนังสือสอนคณิตจ้า

หนังสือสอนคณิตจ้า

Statistics

Views

Total Views
10,354
Views on SlideShare
10,354
Embed Views
0

Actions

Likes
1
Downloads
95
Comments
0

0 Embeds 0

No embeds

Accessibility

Categories

Upload Details

Uploaded via as Adobe PDF

Usage Rights

© All Rights Reserved

Report content

Flagged as inappropriate Flag as inappropriate
Flag as inappropriate

Select your reason for flagging this presentation as inappropriate.

Cancel
  • Full Name Full Name Comment goes here.
    Are you sure you want to
    Your message goes here
    Processing…
Post Comment
Edit your comment

    Release2.2 Release2.2 Document Transcript

    • ใช้ดีถูกใจอย่าลืมอุดหนุนฉบับตีพมพ์เป็นเล่มด้วยนะครับ ิ * เนื้อหาตามหลักสูตรใหม่ครบทุกบทเรียน ม.4-5-6 * โจทย์แบบฝึกหัดเตรียมความพร้อมกว่า 2,000 ข้อ * ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยครบทัง 14 ฉบับ (2541-2548) ้ * พร้อมเฉลยคําตอบ วิธคด และเรืองที่น่ารู้อกมากมาย.. ี ิ ่ ี เหมาะสําหรับเตรียมสอบประจําภาค ม.4-5-6 สอบโควตารับตรง และสอบเข้ามหาวิทยาลัย Release 2.2เซต ตรรกศาสตร์/การให้เหตุผลระบบจํานวนจริง/ทฤษฎีจํานวนเรขาคณิตวิเคราะห์ความสัมพันธ์/ฟังก์ชันกําหนดการเชิงเส้นฟังก์ชันตรีโกณมิติเอกซ์โพเนนเชียล/ลอการิทมึเมตริกซ์ เวกเตอร์จํานวนเชิงซ้อน ทฤษฎีกราฟลําดับ/อนุกรม ลิมิต/ความต่อเนื่องอนุพันธ์/การอินทิเกรต สถิติความน่าจะเป็น คณิต มงคลพิทักษ์สุข http://math.reads.it วศ.บ. ไฟฟ้า จุฬาฯ (เกียรตินิยม) kanuay@thai.com
    • 2Math E-BookRelease 2.2เรียบเรียงโดย คณิต มงคลพิทักษ์สุขเผยแพร่ทางอินเตอร์เน็ตที่เว็บไซต์ http://math.reads.it และไทยแวร์ดอตคอมRelease 2.0 13 ตุลาคม 2548Release 2.1 28 ธันวาคม 2548Release 2.2 14 มิถุนายน 2549ตีพิมพ์ครั้งแรก (จาก Release 2.0) ธันวาคม 2548ในชื่อ “คณิตศาสตร์ O-NET & A-NET”โดยสํานักพิมพ์ SCIENCE CENTER (ธรรมบัณฑิต)ราคาปก 159 บาทสงวนลิขสิทธิตามกฎหมาย ์ห้ามลอกเลียนไม่ว่าส่วนหนึ่งส่วนใดของหนังสือเว้นแต่ได้รับอนุญาตฉบับตีพิมพ์มีจําหน่ายแล้วที่ศูนย์หนังสือจุฬาฯร้านซีเอ็ด ร้านขายแบบเรียนทั่วไป และ ถนนราชดําเนิน ตรอกสาเกธรรมบัณฑิต โรงแรม รัตนโกสินทร์ 7-Eleven ร้านธรรมบัณฑิต วัดบูรณศิริ3/1 ถนนอัษฎางค์ ริมคลองหลอด ถนนอัษฎางค์ คลองหลอด ไปกระทรวงมหาดไทยสนามหลวง เขตพระนคร กทม. 10200 แม่ธรณี แผงหนังสือ กระทรวงธนาณัติสั่งจ่าย ป.ณ.หน้าพระลาน สนามหลวงเดิม ยุติธรรมในนาม ผู้จัดการ สนามหลวงโทร. 0-2225-7160, 0-2221-5884
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 3 ¤íÒªÕé樧 ภายในหนังสือเล่มนี้ประกอบด้วย เนือหาคณิตศาสตร์ ตามหลักสูตรการศึกษาขั้น ้พื้นฐาน พ.ศ.2544 ช่วงชันที่ 4 (หรือ ม.4 – ม.6) ครบทุกหัวข้อ (ซึ่งพยายามเขียนให้กระชับ ้ที่สุด) และ โจทย์แบบฝึกหัด ที่เรียงลําดับจากง่ายไปยาก พร้อมทั้งเนื้อหาและเทคนิคการคํานวณที่ควรทําความเข้าใจเพิ่มเติม เนื้อหาบางบทเรียนสามารถเริ่มทําความเข้าใจได้ทันที แต่บางบทเรียนก็จําเป็นต้องใช้พนฐานความรู้จากบทเรียนอื่นประกอบด้วย ดังนั้นเพื่อป้องกันการ ื้สับสนผู้อ่านควรศึกษาเรียงตามหัวข้อดังนี้ ตรรกศาสตร์ เซต ระบบจํานวนจริง ความน่าจะเป็น เมตริกซ์ ทฤษฎีกราฟ พื้นฐาน ฟังก์ชัน เรขาคณิตวิเคราะห์ เวกเตอร์ เพิ่มเติม กําหนดการเชิงเส้น จํานวนเชิงซ้อน สถิติ ลําดับ+อนุกรม ตรีโกณมิติ ลิมิต+ความต่อเนื่อง เอกซ์โพ.+ลอการิทึม อนุพันธ์+อินทิเกรต นอกจากนีในตอนท้ายยังมี ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ ครบทั้ง 14 ้ฉบับ (ต.ค.41 ถึง มี.ค.48) และวิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (2532 ถึง 2548, เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์) เพื่อใช้สําหรับฝึกฝนเตรียมตัวสอบเข้ามหาวิทยาลัย (O-NET / A-NET) อีกด้วย ในท้ายบทเรียนและท้ายข้อสอบมี เฉลยคําตอบและวิธีคด กํากับไว้ทั้งหมดแล้ว โดย ิเฉลยวิธีคิดในหนังสือเล่มนี้เป็นเพียงการสรุปความคิดรวบยอดของข้อนันๆ ไม่ได้แสดงวิธีทํา ้อย่างละเอียดทุกขั้นตอน ทั้งนี้เป็นความตั้งใจที่จะเน้นให้ผอ่านได้ลองคิดและเกิดความเข้าใจไป ู้พร้อมๆ กัน เพื่อให้ทําข้อสอบได้รวดเร็วขึ้น เชื่อว่าหากผู้อานได้ให้เวลาทําความเข้าใจเนือหา ่ ้อย่างถี่ถ้วน และฝึกทําโจทย์แบบฝึกหัดไปทีละขั้นๆ พร้อมกับตรวจเฉลยทุกข้อ ก็จะติดตามบทเรียนจนจบได้อย่างลุล่วง สิ่งที่ต้องการแนะนําในที่นี้คอ หากมีข้อสงสัยให้รีบถามจากผู้รู้ ไม่ ืควรปล่อยให้ตดค้างอยู่ :] ิ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 4แนวโจทย์ข้อสอบเข้าฯ ในปัจจุบัน โจทย์ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัยปัจจุบันนี้เปลี่ยนแนวไป ทําให้หลายคนบ่นว่ายากขึ้นมากส่วนตัวผู้เขียนว่าเป็นข้อสอบที่ดีเพราะเริ่มเน้นความเข้าใจในเนื้อหา ในนิยามหลักๆ ของบทเรียนลักษณะข้อสอบแบบนี้อันที่จริงไม่ถือว่ายาก แต่ค่อนไปในทางลึกซึ้งมากกว่า คนที่จะทําข้อสอบแบบนี้ได้ถูก จะต้องรู้ลึกและแม่นจริง สูตรลัดกลายเป็นสิ่งไร้ค่า และการขยันเรียนที่โรงเรียนโดยตลอดพร้อมกับทําความเข้าใจในแบบฝึกหัดเพิ่มเติมด้วยตนเอง จะได้ผลดีมากกว่าการกวดวิชาเรียนคณิตศาสตร์ยังไงให้ได้ผลดี (1) ปัญหาแรกของคนที่บอกว่าตัวเองเรียนไม่รู้เรื่องเลย ทําโจทย์ไม่เป็นเลย อยู่ที่เรียนผิดวิธีครับ ถ้าไม่เข้าใจบทเรียนให้ลองถามตัวเองว่าเกิดจากเหตุใดต่อไปนี้(ก) ไม่ตั้งใจเรียน กรณีนี้ไม่มีวิธีแก้วิธีใดดีไปกว่าการบังคับตัวเองให้ตั้งใจเรียน :](ข) ถ้าตั้งใจแล้วแต่ไม่เข้าใจ แปลว่าผู้สอนอาจจะถ่ายทอดได้ไม่ดี แบบนี้คงต้องย้ายไปเรียนกับคนที่สอนแล้วเข้าใจ (เข้าใจกับสนุก หรือเข้าใจกับมีสูตรลัดเยอะ เป็นคนละเรื่องกันนะครับ!) (2) ทีนี้พอเข้าใจบทเรียนแล้ว การที่จะทําได้ดีไม่ดี อยู่ที่การฝึกฝนอีกอย่างหนึ่งด้วย (ถ้านั่งฟังอย่างเดียวแต่ไม่ได้ลงมือฝึกด้วยตัวเองเลย ก็คงคล้ายกับเรียนว่ายน้ําทางทีวีนั่นแหละครับ) ยิ่งทําโจทย์เยอะและแปลก จะยิ่งได้เปรียบ เพราะความแม่นยําลึกซึ้งในวิชานั้นสอนกันไม่ได้ อีกสิ่งหนึ่งที่ควรปรับปรุงคือ แทนที่จะจําวิธีแก้โจทย์เป็นรูปแบบตายตัว อยากให้ “มองคณิตศาสตร์เป็นเครื่องมือ” คือฝึกมองให้กว้างว่าแต่ละเรื่องที่เรารู้นั้น เอาไปเป็นเครื่องมือช่วยแก้ปัญหาจุดไหนของเรื่องไหนได้บ้าง ต้องบอกได้ว่าทําไมโจทย์ข้อนี้ถึงควรทําด้วยวิธีนี้ หรือรู้จักมองว่าเนื้อหาบทไหนเชื่อมโยงถึงกันได้บ้าง (ซึ่งในหนังสือเล่มนี้ได้แทรกคําอธิบายถึงความเกี่ยวโยงไว้ให้บ้างแล้ว) การฝึกแบบนี้น่าจะทําข้อสอบได้ดีขึ้นครับ.. นับตั้งแต่เริ่มลงมือพิมพ์จนวันนี้ (ตุลาคม 2548) ใช้เวลาถึง 2 ปี และหนังสือเล่มนีคงจะยังไม่ ้สําเร็จด้วยดีถ้าขาดบุคคลเหล่านี้ หากหนังสือเล่มนี้มีส่วนดีประการใด ก็เป็นเพราะบุคคลทังหมดนีครับ.. ้ ้ - อาจารย์ทุกท่านโดยเฉพาะอาจารย์คณิตศาสตร์ ที่ได้ให้วิชาความรู้กับผม ขอขอบพระคุณอ.ชัยศักดิ์ และ อ.จงดี (สาธิตปทุมวัน) เป็นพิเศษครับ ทั้งสองท่านเป็นต้นแบบที่ดีในการสอน - ป๊า ม้า ยังคงเข้าใจและยอมเรื่อยมา บอยกับน้องยุ ช่วยพิมพ์เฉลยอย่างขยันขันแข็ง - ผู้เขียนหนังสือเรียนและคู่มือต่างๆ ผู้ออกข้อสอบเข้าฯ รวมทั้งเว็บไซต์ของ สกอ. - อ.สมพล (กวงเจ็ก) และ อ.พนม สนพ. Science Center ที่ให้โอกาสนําเสนอผลงาน - ชง สําหรับความคิดริเริ่มพิมพ์ชีท และกล้า สําหรับความคิดเรื่องข้อสอบพื้นฐานวิศวะ - น้องภัค น้องหนึ่ง น้องโอ๊ต น้องเคน สําหรับข้อสอบทั้งสองวิชา รวมไปถึงน้องๆ ทั้งหลายที่เคยเป็นศิษย์กันมา ตั้งแต่ใช้ชีทลายมือเขียนมาจนกระทั่งพิมพ์เสร็จ (ขึ้นหลักร้อยแล้ว แต่ยังจําได้ทุกคนครับ) โดยเฉพาะแอน, เนย์, เภา, ตูน เป็นน้องกลุ่มแรกที่ได้ใช้หนังสือเล่มนี้ ให้คําแนะนํา และช่วยตรวจแก้ข้อสอบด้วย - ความร้ายกาจของ “เจ๊ชุดดํา” แห่งฟู้ดเซ็นเตอร์ชั้น 3 ที่ทําให้เกิดความคิดว่า คนเราควรทํางานในหน้าทีของตัวเองให้ดีที่สุด แล้วผมก็เดินกลับบ้านมาเริ่มพิมพ์หนังสือเมื่อสองปีที่แล้ว! ่ - Thaiware.com, se-ed.net, f0nt.com ... สามเว็บไทยใจดี มีข้อสงสัย คําแนะนํา หรือพบข้อบกพร่อง กรุณาติดต่อผู้เขียนที่ kanuay@thai.comและสอบถามปัญหาต่างๆ ได้ที่เว็บบอร์ดใน http://math.reads.itยินดีตอบทุกปัญหาครับ :] ขอบคุณที่ให้ความสนใจครับ คณิต มงคลพิทักษ์สุข Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 5 ÊÒÃa¡ÒÃeÃÕ¹Ãٌ (e¹×éoËÒ·Õè㪌Êoº O-NET / A-NET) ตั้งแต่ปีการศึกษา 2549 เป็นต้นไป การสอบคัดเลือกเข้ามหาวิทยาลัยจะเปลี่ยนระบบเป็นแอดมิสชันส์ (Central University Admissions System) ซึ่งแบ่งคะแนนสอบออกเป็น 4 ส่วน ่1. GPAX รวมทุกวิชาในระดับ ม.ปลาย [10%]2. GPA เฉพาะวิชาหลัก 4-5 วิชา ต่างๆ กันไปแล้วแต่คณะที่เลือก [20%]3. O-NET (Ordinary National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [35%-40%] เป็นข้อสอบบังคับ นักเรียนทุกสาขาจะต้องสอบ มี 5 วิชาได้แก่ ภาษาไทย ภาษาอังกฤษคณิตศาสตร์ วิทยาศาสตร์ และสังคมศึกษา (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง) ... ซึ่งนักเรียนแต่ละคนสอบ O-NET ได้เพียงปีเดียว หลังจบ ม.64. A-NET (Advanced National Educational Test) สอบรวมทั้งประเทศ [30%-35%] เป็นข้อสอบฉบับเพิ่มเติม มีรายวิชาต่างกันไปตามสาขาที่สอบ (ไม่เกิน 3 วิชา และอาจมีวิชาความถนัดของแต่ละสาขาด้วย เช่น วิศวะฯ สถาปัตย์ ครู ศิลปะ ดนตรี สุขศึกษา) ข้อสอบจะครอบคลุมเนื้อหากว้างและลึกกว่า O-NET (ระยะเวลาในการสอบ วิชาละ 2 ชั่วโมง ยกเว้นวิทยาศาสตร์ 3 ชั่วโมง) โดยคณิตศาสตร์จะใช้สอบสําหรับนักเรียนที่เลือกสาขาคํานวณเท่านั้น ...นักเรียนแต่ละคนสอบ A-NET ได้ 3 ปีหมายเหตุ (1) O-NET และ A-NET มีการจัดสอบปีละ 1 ครั้ง ปลายเดือนกุมภาพันธ์(2) ทุกวิชาจะมีข้อสอบส่วนอัตนัย เป็นแบบเติมคําตอบสั้นๆ (Short Answer) ด้วย(3) ชื่อวิชาต่างจากระบบเดิม คือคณิตศาสตร์ 1 (O-NET) จะง่ายกว่าคณิตศาสตร์ 2 (A-NET) ค่าน้ําหนักของวิชาคณิตศาสตร์ในการสอบแต่ละสาขา- สาขาบริหารธุรกิจ พาณิชย์ บัญชี เศรษฐศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 20%- สาขาวิศวกรรมศาสตร์ และสาขาเกษตร | GPA 4% | O-NET 8% | A-NET 10%- สาขาวิทยาศาสตร์กายภาพ เทคโนโลยี สิ่งแวดล้อม | GPA 5% | O-NET 7% | A-NET 10%- สาขาวิทยาศาสตร์สุขภาพ | GPA 4% | O-NET 7% | A-NET 10%- สาขาสังคมศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 20%- สาขาการจัดการ การท่องเที่ยว | GPA 5% | O-NET 14%- สาขาสถาปัตยกรรมศาสตร์ | GPA 5% | O-NET 8%- สาขาครุศาสตร์ ศึกษาศาสตร์ | GPA 4% | O-NET 8%- สาขาวิทยาศาสตร์สาธารณสุข พลศึกษา การกีฬา | GPA 4% | O-NET 7%- สาขาศิลปกรรม วิจิตรศิลป์ ประยุกต์ศิลป์ | GPA ไม่ใช้คณิตศาสตร์ | O-NET 7%- สาขามนุษยศาสตร์ | GPA 5% (เลือกวิชาอื่นแทนได้) | O-NET 7-10% | A-NET ไม่แน่นอนรายละเอียดเพิ่มเติม อยู่ในเว็บไซต์ของ สถาบันทดสอบทางการศึกษาแห่งชาติ (NIETS)http://www.ntthailand.com Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 6 หัวข้อคณิตศาสตร์พื้นฐาน (สําหรับข้อสอบ O-NET)บทที่ 1 เซต (ทั้งหมด)บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง (ทังหมดยกเว้นหัวข้อ 2.2 และ 2.5) ้บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ (เฉพาะหัวข้อ 3.5)บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 5.2 และ 5.5)บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ (เฉพาะเกริ่นนํา และหัวข้อ 7.9)บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล (เฉพาะหัวข้อ 8.1)บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม (เฉพาะหัวข้อ 13.1 และ 13.4 ที่ไม่เกี่ยวกับอนันต์)บทที่ 16 ความน่าจะเป็น (เฉพาะหัวข้อ 16.1 และ 16.6)บทที่ 17 สถิติ (ทั้งหมดยกเว้นหัวข้อ 17.5 และ 17.6 และสมบัติต่างๆ) หัวข้อคณิตศาสตร์เพิ่มเติม (สําหรับข้อสอบ A-NET)คือทุกหัวข้อในหนังสือเล่มนี้รวมทั้งหัวข้อเพิ่มเติมที่ไม่อยู่ในหนังสือเรียน ได้แก่บทที่ 2 การหารสังเคราะห์บทที่ 13 อนุกรมแบบอื่นๆ ที่ไม่ใช่เลขคณิตและเรขาคณิตบทที่ 16 การนับในกรณีอื่นๆ (หัวข้อ 16.4)บทที่ 17 สูตรลดทอนในการหาค่าเฉลี่ยเลขคณิต Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 7 ÊÒúa­ เรื่อง หน้าบทที่ 1 เซต 11 1.1 สับเซตและเพาเวอร์เซต 12 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต 15 1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต 21บทที่ 2 ระบบจํานวนจริง 31 2.1 สมบัติของจํานวนจริง 32 2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบ 36 2.3 อสมการ 39 2.4 ค่าสัมบูรณ์ 44 2.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น 48เรื่องแถม ถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร 58บทที่ 3 ตรรกศาสตร์ 59 3.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง 60 3.2 สัจนิรันดร์ 63 3.3 การอ้างเหตุผล 65 3.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ 67 3.5 การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย 69เรื่องแถม มองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล 82บทที่ 4 เรขาคณิตวิเคราะห์ 83 4.1 เบื้องต้น : จุด 84 4.2 เบื้องต้น : เส้นตรง 86 4.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ 92 4.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม 94 4.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา 96 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี 99 4.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา 102บทที่ 5 ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน 119 5.1 ลักษณะของความสัมพันธ์ 120 5.2 โดเมน เรนจ์ และตัวผกผันของความสัมพันธ์ 121 5.3 กราฟของความสัมพันธ์ 124 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 8 เรื่อง หน้า 5.4 ลักษณะของฟังก์ชัน 127 5.5 ฟังก์ชันประกอบ และฟังก์ชันผกผัน 131เรื่องแถม หลักในการหาโดเมนและเรนจ์ของฟังก์ชัน fog 146บทที่ 6 กําหนดการเชิงเส้น 147บทที่ 7 ฟังก์ชันตรีโกณมิติ 157 7.1 ฟังก์ชันตรีโกณมิติในวงกลมหนึ่งหน่วย 158 7.2 ระบบเรเดียน และการลดรูปมุม 160 7.3 สมการตรีโกณมิติ 162 7.4 กราฟของฟังก์ชันตรีโกณมิติ 165 7.5 ฟังก์ชันตรีโกณมิติของผลบวก และผลต่างมุม 166 7.6 ฟังก์ชันผกผันของตรีโกณมิติ 169 7.7 เอกลักษณ์ตรีโกณมิติ 171 7.8 กฎของไซน์และกฎของโคไซน์ 172 7.9 การประยุกต์หาระยะทางและความสูง 173บทที่ 8 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียลและลอการิทึม 187 8.1 ฟังก์ชันเอกซ์โพเนนเชียล และกฎของเลขยกกําลัง 187 8.2 การแก้สมการที่เป็นเอกซ์โพเนนเชียล 191 8.3 ฟังก์ชันลอการิทึม และกฎของลอการิทึม 192 8.4 การแก้สมการที่เป็นลอการิทึม 195เรื่องแถม จําเป็นต้องตรวจคําตอบของสมการ (หรืออสมการ) เมื่อใดบ้าง 204บทที่ 9 เมตริกซ์ 205 9.1 การบวก ลบ และคูณเมตริกซ์ 206 9.2 ดีเทอร์มินันต์ 208 9.3 อินเวอร์สการคูณ 211 9.4 การดําเนินการตามแถว 215 9.5 การใช้เมตริกซ์แก้ระบบสมการเชิงเส้น 216บทที่ 10 เวกเตอร์ 227 10.1 การบวกและลบเวกเตอร์ 228 10.2 การคูณเวกเตอร์ด้วยสเกลาร์ 230 10.3 เวกเตอร์กับเรขาคณิต 231 10.4 เวกเตอร์ในพิกัดฉาก และเวกเตอร์หนึ่งหน่วย 233 10.5 ผลคูณเชิงสเกลาร์ 235 10.6 เวกเตอร์ในพิกัดฉากสามมิติ 237 10.7 ผลคูณเชิงเวกเตอร์ 240เรื่องแถม สิ่งที่ไม่ต้องรู้ก็ได้ : ลําดับการคิดค้นเนื้อหาคณิตศาสตร์ 250 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 9 เรื่อง หน้าบทที่ 11 จํานวนเชิงซ้อน 251 11.1 การคํานวณเบื้องต้น 252 11.2 สังยุค และค่าสัมบูรณ์ 254 11.3 รูปเชิงขั้ว 256 11.4 สมการพหุนาม 259เรื่องแถม ใช้จานวนเชิงซ้อนช่วยคํานวณเกี่ยวกับวงจรไฟฟ้ากระแสสลับ ํ 268บทที่ 12 ทฤษฎีกราฟ 269 12.1 ส่วนประกอบของกราฟ 270 12.2 กราฟออยเลอร์ 272 12.3 วิถีที่สั้นที่สุด และต้นไม้แผ่ทั่วที่น้อยที่สุด 274บทที่ 13 ลําดับและอนุกรม 279 13.1 ลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต 280 13.2 ลิมิตของลําดับอนันต์ 282 13.3 อนุกรมและซิกม่า 284 13.4 อนุกรมเลขคณิต เรขาคณิต และอื่นๆ 285บทที่ 14 ลิมิตและความต่อเนื่อง 295 14.1 ทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิต 296 14.2 ลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด 298 14.3 ความต่อเนื่องของฟังก์ชัน 300เรื่องแถม การคํานวณลิมิตในรูปแบบยังไม่กําหนด ด้วยกฎของโลปีตาล 306บทที่ 15 อนุพันธ์และการอินทิเกรต 307 15.1 อัตราการเปลี่ยนแปลง 307 15.2 สูตรในการหาอนุพันธ์ 309 15.3 ฟังก์ชันเพิ่ม ฟังก์ชันลด และค่าสุดขีด 312 15.4 สูตรในการอินทิเกรต 317 15.5 อินทิกรัลจํากัดเขต และพื้นที่ใต้โค้ง 319เรื่องแถม เทคนิคการอินทิเกรตโดยเปลี่ยนตัวแปร 332บทที่ 16 ความน่าจะเป็น 333 16.1 หลักมูลฐานเกี่ยวกับการนับ 333 16.2 วิธีเรียงสับเปลี่ยน 335 16.3 วิธีจัดหมู่ และกฎการแบ่งกลุ่ม 337 16.4 การนับในกรณีอื่นๆ 339 16.5 ทฤษฎีบททวินาม 341 16.6 ความน่าจะเป็น 345เรื่องแถม เรื่องของการนับจํานวนความสัมพันธ์ จํานวนฟังก์ชัน 358 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 10 เรื่อง หน้าบทที่ 17 สถิติ 359 17.1 การรวบรวมและนําเสนอข้อมูล 360 17.2 ค่ากลางของข้อมูล 363 17.3 ตําแหน่งสัมพัทธ์ของข้อมูล 374 17.4 ค่าการกระจายของข้อมูล 378 17.5 ค่ามาตรฐาน และการแจกแจงแบบปกติ 383 17.6 ความสัมพันธ์เชิงฟังก์ชันระหว่างข้อมูล 388ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 (14 ฉบับ) 403 ฉบับที่ | ตุลาคม 2541 408 ฉบับที่ | มีนาคม 2542 417 ฉบับที่ | ตุลาคม 2542 426 ฉบับที่ | มีนาคม 2543 435 ฉบับที่ | ตุลาคม 2543 444 ฉบับที่ | มีนาคม 2544 453 ฉบับที่ | ตุลาคม 2544 462 ฉบับที่ | มีนาคม 2545 471 ฉบับที่ | ตุลาคม 2545 481 ฉบับที่ | มีนาคม 2546 492 ฉบับที่ | ตุลาคม 2546 502 ฉบับที่ | มีนาคม 2547 512 ฉบับที่ | ตุลาคม 2547 523 ฉบับที่ | มีนาคม 2548 532สถิติคะแนนสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาคณิตศาสตร์ 1 541ข้อสอบเข้ามหาวิทยาลัย วิชาพื้นฐานทางวิศวกรรม (17 ปี)(เฉพาะข้อที่เป็นคณิตศาสตร์) ชุดที่ 1 | รวมปี 2532 ถึงปี 2541 542 ชุดที่ 2 | รวมตุลาคม 2541 ถึงมีนาคม 2548 573โจทย์ทดสอบ : เตรียมสอบเข้ามหาวิทยาลัย ชุดที่ 1 (มี 2 ส่วน, 70 ข้อ) 588 ชุดที่ 2 (35 ข้อ) 606ภาคผนวก : Math E-Book ฉบับเข้มข้น 616ดรรชนี 657 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 11 เซต { s,e,t } º··Õè 1 e«µ “กลุ่มของสิ่งต่างๆ” ในวิชาคณิตศาสตร์จะ เรียกว่า เซต (Set) เช่น เซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, เซต ของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, เซต ของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, ฯลฯ สิ่งที่อยู่ ภายในแต่ละเซต เรียกว่า สมาชิก (Element หรือ Member) นิยมตั้งชื่อเซตด้วยอักษรตัวใหญ่ เช่น A, B, C และเขียนสัญลักษณ์แทนเซตด้วยวงเล็บปีกกา ดังนี้ { } เช่น ให้ A แทนเซตของชื่อวันทั้งเจ็ด, B แทนเซตของจํานวนเต็มที่ยกกําลังสองแล้วมีค่าน้อยกว่า 7, C แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่หาร 360 ลงตัว, D แทนเซตของจํานวนเฉพาะบวกที่น้อยกว่า 7, และ E แทนเซตของจํานวนเต็มที่อยู่ระหว่าง 3 ถึง 33 จะได้ว่า A = { อาทิตย์, จันทร์, อังคาร, พุธ, พฤหัสบดี, ศุกร์, เสาร์ }การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต จะคั่นระหว่างสมาชิกแต่ละตัวด้วยจุลภาค (comma) B = {−2, −1, 0, 1, 2} หรือ B = {0, 1, −1, 2, −2}การเขียนแจกแจงสมาชิกของเซต สามารถสลับที่สมาชิกในเซตได้โดยความหมายไม่เปลี่ยน C = {2, 3, 5} D = {2, 3, 5} จะกล่าวได้ว่า C = Dสมาชิกตัวที่ซ้ํากันนับเป็นตัวเดียวกัน และไม่ต้องเขียนซ้ํา ( 360 = 2 × 2 × 2 × 3 × 3 × 5 ) E = {4, 5, 6, 7, ..., 32}หากมีสมาชิกเป็นจํานวนมาก อาจใช้เครื่องหมายจุด “...” เพื่อละสมาชิกบางตัวไว้ในฐานที่เข้าใจ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 12 เซต เซตที่หาจํานวนสมาชิกได้ เรียกว่า เซตจํากัด (Finite S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! SSet) และสัญลักษณ์ที่ใช้แทน “จํานวนสมาชิกของ A” คือ n (A) e«µµ‹o仹ÕÁ¨Ò¹Ç¹ÊÁÒªi¡e·‹Òã´ é Õíเช่นในตัวอย่างข้างต้น n (A) = 7 , n (B) = 5 , n (C) = 3 , {∅, 0, 1, {2, 3},(4, 5)}n (E) = 29 นอกจากนั้น เซตจํากัดที่ไม่มีสมาชิกอยู่เลย จะเรียกว่า ¤Òµoº¤×o 5 µaÇ ä´Œæ¡‹ e«µÇ‹Ò§, eÅ¢ 0, íเซตว่าง (Null Set หรือ Empty Set) ใช้สัญลักษณ์ { } หรือ ∅ eÅ¢ 1, e«µ {2,3}, æÅa¤Ù‹oa¹´aº (4,5) ¹a蹤×oe«µ¹aºe»š¹ 1 ¤Ù‹oa¹´aº¹aºe»š¹ 1นั่นคือ n (∅) = 0 {(1, 2),(2, 1 {1, 2}, {2, 1}} ), เซตที่จํานวนสมาชิกมากจนหาค่าไม่ได้ เรียกว่า เซต ¤íÒµoº¤×o 3 µaÇ ä´Œæ¡‹ ¤Ù‹oa¹´aº (1,2), ¤Ù‹อนันต์ (Infinite Set) เช่น F แทนเซตของจํานวนเต็มที่น้อยกว่า 2, oa¹´aº (2,1), æÅae«µ {1,2}G แทนเซตของจํานวนใดๆ ที่อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 (¤Ù‹oa¹´aº 1-2 ¡aº 2-1 ¶×oNjҵ‹Ò§¡a¹ 测e«µ 1-2 ¡aºe«µ 2-1 ¶×oNjÒeËÁ×o¹¡a¹æÅaäÁ‹ F = {1, 0, −1, −2, −3, ...} , n (F) หาค่าไม่ได้ µŒo§¹aº«éÒ¹a¤Ãaº) í G เขียนแบบแจกแจงสมาชิกไม่ได้ แต่เขียนแบบบอกเงื่อนไขได้ในรูป { สมาชิก | เงื่อนไข } คือ e«µ¢o§ª×o¤¹ã¹»Ãae·Èä·Âã¹¢³a¹Õé èG = { x | 0 < x < 1} e»š¹e«µ¨Ò¡a´ËÃ×oo¹a¹µ ... ¤íÒµoº¤×o í e«µ¨Ò¡a´¤Ãaº ¶Ö§æÁŒ¨íҹǹÊÁÒªi¡¨a´ÙÇ‹Ò íอ่านว่า เซตของ x (สมาชิก) โดยที่ 0 < x < 1 (เงื่อนไข) ÁÒ¡¢¹Ò´ä˹ 测¡çäÁ‹ÁÒ¡¶Ö§o¹a¹µ¹a.. สัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “เป็นสมาชิกของ” คือ ∈ เช่น 2 ∈ B , 3 ∈ C , 0.5 ∈ Gสัญลักษณ์ที่ใช้แทนคําว่า “ไม่เป็นสมาชิกของ” คือ ∉ เช่น 2.5 ∉ B , 4 ∉ C , 0 ∉ G ขอบเขตของสิ่งที่เราสนใจ เรียกว่า เอกภพสัมพัทธ์ (Relative Universe) หรือเซต Uนั่นคือ สมาชิกของเซตทุกเซตจะต้องอยู่ใน U ทั้งหมด และจะไม่สนใจสิ่งที่อยู่ภายนอก Uเช่น ถ้า U = {−2, −1, 0, 0.5, 7} และ H = { x | x > 0 } จะได้ว่า H = {0, 0.5, 7}แต่ถ้าเปลี่ยนเป็น U = เซตของจํานวนเต็ม จะได้ว่า H = {0, 1, 2, 3, ...} การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขควรระบุเอกภพสัมพัทธ์กํากับด้วย แต่ถ้าไม่ได้ระบุไว้โดยทั่วไปให้ถือว่า U เป็นเซตของจํานวนจริงใดๆ ( R )เช่น H = { x | x > 0 } มีความหมายเดียวกับ H = { x ∈ R | x > 0 } 1.1 สับเซต และเพาเวอร์เซต สับเซต (Subset) คือเซตย่อย จะกล่าวว่า B เป็นสับเซตของ A ได้ก็ต่อเมื่อ สมาชิกทุกตัวของเซต B เป็นสมาชิกของเซต A ด้วย (และ B จะไม่เป็นสับเซตของ A หากว่ามีสมาชิกบางตัวของเซต B ไม่เป็นสมาชิกของเซต A) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊂ Aและ สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “B ไม่เป็นสับเซตของ A” คือ B ⊄ A ตัวอย่างเช่น A = {m, p, r, w}จะมีเซต B ที่ทาให้ B ⊂ ํ A ได้ถึง 16 แบบ ดังนี้∅{m} {p} {r} {w} S ¢ŒoÊa§e¡µ! S{m, p} {m, r} {m, w} {p, r} {p, w} {r, w} »Ãao¤ {a, b} ⊂ A{m, p, r} {m, p, w} {m, r, w} {p, r, w} ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò a ∈ A æÅa b ∈ A{m, p, r, w} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 13 เซตข้อควรทราบ1. เซตว่างเป็นสับเซตของทุกเซต ∅ ⊂ A2. เซตทุกเซตเป็นสับเซตของตัวเอง A ⊂ A3. เซตที่มีสมาชิก n ตัว จะมีสับเซตทั้งสิ้น 2 n แบบ ... (เช่นในตัวอย่างข้างต้น 2 4 = 16 )4. บางตําราใช้สัญลักษณ์ ⊂ แทนการเป็น สับเซตแท้ (Proper Subset) ซึ่งจะมีเพียง 2 n − 1 แบบเท่านั้น (คือนับเฉพาะเซตที่เล็กกว่าเท่านั้น ไม่นับตัวมันเอง) และใช้สัญลักษณ์ ⊆ แทนการเป็นสับเซตใดๆ (นั่นคือ A ⊆ A แต่ A ⊄ A ) ... แต่ในเล่มนี้จะรวบใช้เครื่องหมาย ⊂ แทนการเป็นสับเซตใดๆ ทุกแบบ รวมถึงตัวมันเองด้วย เพาเวอร์เซต (Power Set) คือเซตที่บรรจุด้วยสับเซตทั้งหมดที่เป็นไปได้เพาเวอร์เซตของ A จะใช้สัญลักษณ์ว่า P(A) S ¢ŒoÊa§e¡µ! Sดังนั้น ถ้า A มีสมาชิก n ตัวแล้ว P(A) ย่อมมีสมาชิก 2 n ตัวเช่นในตัวอย่าง A = {m, p, r, w} »Ãao¤ {a, b} ∈ P(A)จะได้ P (A) = { ∅, {m}, {p}, {r}, {w}, {m, p}, {m, r}, ..., {m, p, r, w} } ÁÕ¤ÇÒÁËÁÒÂÇ‹Ò {a, b} ⊂ A ¹a蹤×o a ∈ A æÅa b ∈ Aเพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องการเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู่(กฎการนับนี้จะได้ศึกษาอย่างละเอียดในบทที่ 16 หัวข้อ 16.3) ⎛n⎞ n!มีของ n ชิ้น หยิบออกมาทีละ r ชิ้น ได้ไม่ซ้ํากันทังสิ้น ้ ⎜r ⎟ = ชุด ⎝ ⎠ (n −r)! ⋅ r !โดยที่ x ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ ... ⋅ xเช่นถ้าเซตหนึ่งมีสมาชิก 7 ตัว จะมีสับเซตที่หยิบสมาชิกมาเพียง 3 ตัว 7อยู่ ⎛ 3 ⎞ = 7 ! = 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 ⋅ 6 ⋅ 7 = 35 แบบ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 4!⋅ 3! 1⋅2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 1⋅2 ⋅ 3• ตัวอยาง ใหเขียนสับเซตทุกๆ แบบ และเขียนเพาเวอรเซตของ S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S ก. A = {a} ¹Œo§æ Áa¡¨aÊaºÊ¹ÃaËNjҧ ∅ ¡aº {∅} 1ตอบ มีสับเซต 2 = 2 แบบ ไดแก ∅ และ {a} Njҵ‹Ò§¡a¹o‹ҧäà ...ดังนั้น P (A) = {∅, {a}} ∅ (e«µÇ‹Ò§) e»ÃÕºeÊÁ×o¹¡Å‹o§e»Å‹Òæ äÁ‹ ข. B = {a, b} ÁÕoaäÃoÂً㹹aé¹eÅ (¨Ò¹Ç¹ÊÁÒªi¡e·‹Ò¡aº 0) í 2ตอบ มีสับเซต 2 = 4 แบบ ไดแก ∅ , {a} , {b} และ {a, b} ¨ae¢Õ¹Êa­Åa¡É³e»š¹ { } ¡ç䴌ดังนั้น P (B) = {∅, {a}, {b}, {a, b}} 测¶ŒÒ¶ÒÁNjҡŋo§ãºË¹Ö觫Öè§Áաŋo§e»Å‹ÒoÕ¡ ค. C = {2, 3, 5} ãºoÂً¢ŒÒ§ã¹ ¹aºe»š¹¡Å‹o§Ç‹Ò§e»Å‹ÒËÃ×oäÁ‹ 3ตอบ มีสับเซต 2 = 8 แบบ ไดแก ∅ , {2} , {3} , {5} , {2, 3} , ¤Òµoº¡ç¤×oäÁ‹e»Å‹ÒæŌÇ㪋äËÁ¤Ãaº í{2, 5} , {3, 5} และ {2, 3, 5} ¡çeËÁ×o¹¡a¹¡aº “e«µ¢o§e«µÇ‹Ò§” {∅}ดังนั้น P (C) = {∅, {2}, {3}, {5}, {2, 3}, {2, 5}, {3, 5}, {2, 3, 5}} «Öè§äÁ‹ä´Œe»š¹e«µÇ‹Ò§oÕ¡µ‹oä»æÅŒÇ ... ËÃ×o¶ŒÒµoºÊaé¹æ ¡ç¤×o n(∅) = 0 ง. D = ∅ 0 测 n({∅}) = 1ตอบ มีสับเซต 2 = 1 แบบ ไดแก ∅ ดังนั้น P (D) = {∅} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 14 เซต• ตัวอยาง กําหนด E = {∅, {0}, {∅}} ใหหา P(E)ตอบ {∅, {∅}, {{0}}, {{∅}}, {∅, {0}}, {∅, {∅}}, {{0}, {∅}}, {∅, {0}, {∅}}}• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา ก. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P (A)ตอบ คําวา X ∈ P (A) ก็คือ X ⊂ A 4ดังนั้น มีเซต X ทีเ่ ปนไปไดทั้งหมด 2 = 16 แบบหากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลว จะทราบวิธีคํานวณอีกแบบ ดังนี้⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞ ⎛4⎞⎜ 0 ⎟ + ⎜ 1 ⎟ + ⎜ 2 ⎟ + ⎜ 3 ⎟ + ⎜ 4 ⎟ = 1 + 4 + 6 + 4 + 1 = 16 แบบ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ข. จํานวนแบบของเซต X ซึ่ง X ∈ P (A) และ n (X) < 2ตอบ คําวา X ∈ P (A) ก็คือ X ⊂ A ซึ่งมี 16 แบบ (ดังขอ ก.) แตขอนี้ตองการ n (X) < 2 เทานั้น 4 4 4หากศึกษาเรื่องวิธีจัดหมูแลวจึงจะทราบวิธีคํานวณ ดังนี้ ⎛ 0 ⎞ + ⎛ 1 ⎞ + ⎛ 2 ⎞ = 1 + 4 + 6 = 11 แบบ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠(แตถายังไมไดศกษา ก็คงตองเขียนนับเอาโดยตรง) ึ ค. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ⊂ Y และ Y ⊂ Bตอบ ตองการ A ⊂ Y ก็แปลวา สมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองอยูใน Y ครบทุกตัว ... และ Y ⊂ B แปลวา2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไขY ⊂ B แลว) ... การที่ 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เปรียบเสมือนการหาสับเซต 3ทุกแบบของ {2, 4, 6} นันเอง จึงตอบวา 2 = 8 แบบ ่ แบบฝึกหัด 1.1(1) กําหนด A, B เป็นเซตที่มีลักษณะ A ⊂ B และ A ≠ B ถ้า x ∈ A และ y ∈B แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (1.1) {x} ⊂ B (1.3) {A} ⊂ {B} (1.2) {y} ⊄ A (1.4) {A} ≠ {B}(2) ให้ A = {{∅}, a, b, {a}, {a, b}} ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (2.1) {∅} ∈ A (2.3) {{a}, b} ⊂ A (2.2) {∅} ⊂ A (2.4) {a, b} ∈ A และ {a, b} ⊄ A(3) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (3.1) ถ้า A ⊂ B และ B ⊂ C แล้ว A ⊂ C (3.2) ถ้า A ∈ B และ B ∈ C แล้ว A ∈ C (3.3) ถ้า A ⊄ B และ B ⊄ C แล้ว A ⊄ C Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 15 เซต(4) ให้ A เป็นเซตใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (4.1) { x | x = A } = {A} (4.3) { x | {x} ⊂ A } = {A} (4.2) { x | x ∈ A } = A (4.4) { x | {x} ⊂ ∅ } = ∅(5) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (5.1) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สับเซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.2) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สับเซตแท้ของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.3) ถ้า n (A) = 5 แล้ว เพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 แบบ (5.4) ถ้า n (A) = 5 แล้ว สมาชิกของเพาเวอร์เซตของ A มีทั้งหมด 32 ตัว(6) ถ้า A มีสับเซตแท้ 511 เซต แสดงว่า A มีสมาชิกกี่ตัวและในจํานวน 511 เซตนั้น สับเซตที่มีสมาชิกเพียง 5 ตัวมีกี่เซต(7) ข้อความต่อไปนี้ถูกต้องหรือไม่ (7.1) ∅ ∈ ∅ (7.5) ∅ ∈ P (∅) (7.2) ∅ ⊂ ∅ (7.6) ∅ ⊂ P (∅) (7.3) ∅ ∈ {∅} (7.7) {∅} ∈ P (∅) (7.4) ∅ ⊂ {∅} (7.8) {∅} ⊂ P (∅)(8) ถ้า A = {∅, a, {b}, {a, b}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (8.1) ∅ ∈ P (A) (8.6) a ∈ P (A) (8.2) {∅} ∈ P (A) (8.7) {a} ∈ P (A) (8.3) ∅ ⊂ P (A) (8.8) {b} ∈ P (A) (8.4) {∅} ⊂ P (A) (8.9) {{b}} ∈ P (A) (8.5) {∅, a, {b}} ∈ P (A) (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P (A)(9) ถ้า A = {∅, 1, 2, 3, {1}, {1, 2}, {1, 2, 3}} แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P (A) (9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P (A) (9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P (A) (9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P (A)(10) [Ent’39] ให้ S = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} แล้วจงหา n (X) และ n (Y)เมื่อกําหนด X = { A ∈ P (S) | 1 ∈ A และ 7 ∉ A }และ Y = { A ∈ X | ผลบวกของสมาชิกภายใน A ไม่เกิน 6 } 1.2 แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ และการดําเนินการของเซต การแสดงเซตด้วย แผนภาพของเวนน์และออยเลอร์ S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S(Venn-Euler Diagram) ช่วยให้เห็นลักษณะของเซตชัดเจนขึ้น ¤ÇèaÇÒ´æ¼¹ÀÒ¾e«µ A æÅa B ã¹æººการเขียนแผนภาพดังกล่าวนิยมให้เอกภพสัมพัทธ์ U เป็นกรอบ ·aèÇä» ¤×oãˌÁÕÊÁÒªi¡Ã‹ÇÁ¡a¹¡‹o¹สี่เหลี่ยม ซึ่งภายในบรรจุรูปปิด (วงกลม วงรี ฯลฯ) ที่ใช้แทน (eËÁ×o¹¡aºÃÙ»¡ÅÒ§) æŌǨҡ¹aé¹eÁ×èo·ÃÒºขอบเขตของเซต A, B, C ต่างๆ โดยจะเขียนให้มีบริเวณที่เซต NjҪié¹Ê‹Ç¹ã´äÁ‹ÁÕÊÁÒªi¡ ¤‹o¢մËÃ×oæÃe§Òสองเซตซ้อนทับกัน หากว่าสองเซตนั้นมีสมาชิกร่วมกัน ดังภาพ ·ié§ä».. ·íÒ溺¹Õéoo¡Òʼi´¨a¹ŒoÂŧ¤Ãaº.. Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 16 เซต U U U A A B A B B A และ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน A และ B มีสมาชิกร่วมกัน A เป็นสับเซตของ B สมมติว่า A = {0, 1, 2, 3, 4} U B = {1, 3, 5, 7, 9} 04 1 9 B A C = {2, 3, 5, 7, 11} 2 3 57 จะเขียนแผนภาพได้ดังนี้ 11 C การดําเนินการเกี่ยวกับเซต เป็นการทําให้เกิดเซตใหม่ขึ้นจากเซตที่มีอยู่เดิม1. ยูเนียน (Union : ∪ ) ... เซต A ∪ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ใน A หรือ B ทั้งหมด U U U A A B A B B ยูเนียนของ A กับ B ได้เป็น B2. อินเตอร์เซกชัน (Intersection : ∩ ) ... เซต A ∩ B คือเซตของสมาชิกที่อยู่ในทั้ง A และ Bบางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น AB (คือ ละเครื่องหมายอินเตอร์เซคชันไว้) U U U A A B A B B อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็นเซตว่าง อินเตอร์เซกชันของ A กับ B เป็น A 3. คอมพลีเมนต์ (Complement : ) U เซต A คือเซตของสมาชิกที่ไม่ได้อยู่ใน A บางตําราใช้สัญลักษณ์เป็น A c หรือ A A4. ผลต่าง (Difference หรือ Relative Complement : − )B − A คือเซตของสิ่งที่อยู่ใน B แต่ไม่อยู่ใน A ... หรือ B − A = B ∩ Aจะเรียก B − A ว่า “คอมพลีเมนต์ของ B เมื่อเทียบกับ A” ก็ได้ U U U A A B A B Bข้อสังเกต โดยทั่วไป n (B − A) ≠ n (B) − n (A) แต่ n (B − A) = n (B) − n (A ∩ B) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 17 เซตสมบัติที่เกี่ยวกับการดําเนินการของเซต• การแจกแจง • คอมพลีเมนต์ และเพาเวอร์เซต A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (A ∪ B) = A ∩ B A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) (A ∩ B) = A ∪ B A − (B ∪ C) = (A − B) ∩ (A − C) P (A) ∩ P (B) = P (A ∩ B) A − (B ∩ C) = (A − B) ∪ (A − C) P (A) ∪ P (B) ⊂ P (A ∪ B)หมายเหตุ ในภาษาอังกฤษบางครั้งอ่าน A ∪B ว่า A cup B และอ่าน A ∩B ว่า A cap B• ตัวอยาง กําหนด A, B เปนเซตซึ่ง A = {1, 3, 5, 7} และ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} ใหหา(ในขอ ก. และ ข. จําเปนตองใชความเขาใจเรื่องวิธีเรียงสับเปลี่ยนและจัดหมู ดวย) ก. จํานวนแบบของเซต Y ซึ่ง A ∩ Y ≠ ∅ และ Y ⊂ Bตอบ วิธีคดตางจากตัวอยางที่แลว ( A ⊂ Y ⊂ B ) เล็กนอย ... ขอนี้ตองการ A ∩ Y ≠ ∅ แสดงวา ิสมาชิก 1, 3, 5, 7 ตองมีอยูใน Y (มีกีตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Y = ∅ ) ่การอยูกี่ตัวก็ได แตไมอยูเลยไมได ก็คือการหาสับเซตทุกแบบของ {1, 3, 5, 7} ทีไมใชเซตวาง นั่นเอง ใน ่ 4ขั้นตอนนี้จึงได 2 − 1 = 15 แบบ ... อีกเงื่อนไขคือ Y ⊂ B แปลวา 2, 4, 6 จะอยูใน Y กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 3บางตัวของ 1, 3, 5, 7 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Y ⊂ B แลว) ... ขันนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 8 ้แบบ ... คําตอบขอนี้ตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขั้นตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น 15 × 8 = 120 แบบ ข. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ และ Z ⊂ Aตอบ วิธีคดเหมือนขอ ก. ... นันคือ ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z ≠ ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 3 ตองมีอยูใน Z ิ ่(มีกี่ตัวก็ได แตไมมีเลยไมไดเพราะจะทําให A ∩ Z = ∅ ) ที่สาคัญคือ สมาชิก 2 หามอยูใน Z เพราะจะ ํ 2ขัดแยงกับอีกเงื่อนไข ( Z ⊂ A ) ... ในขั้นตอนนี้จึงได 2 − 1 = 3 แบบ ... อีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A แปลวา 5, 7 จะอยูใน Z กี่ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได (เพราะมีเพียง 2บางตัวของ 1, 3 ก็เพียงพอกับเงื่อนไข Z ⊂ A แลว) ... ขันนี้เหมือนตัวอยางที่แลว จึงได 2 = 4 แบบ ้... คําตอบขอนีตองนําสองเงื่อนไขมาประกอบกัน สรุปวาทั้งสองขันตอนทําใหไดผลลัพธตางๆ กันทั้งสิ้น ้ ้ 3 × 4 = 12 แบบ ค. จํานวนแบบของเซต Z ซึ่ง {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ และ Z ⊂ Aตอบ ขอนี้งายทีสุด เนื่องจาก ตองการ {1, 2, 3} ∩ Z = ∅ แสดงวา สมาชิก 1, 2, 3 หามมีอยูใน Z ่เลยแมแตตัวเดียว เมื่อประกอบกับอีกเงื่อนไขคือ Z ⊂ A จึงไดวา สมาชิก 5, 7 เทานันที่จะอยูใน Z (กี่ ้ตัวก็ได หรือไมอยูเลยก็ได เพราะแม Z = ∅ ก็ยังทําใหเงือนไข Z ⊂ A เปนจริงอยูดี) ... จึงไดคาตอบ ่ ํ 2เปน 2 = 4 แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 18 เซต• ตัวอยาง ถา C = {∅, {∅}, 0, {{∅}, 0}, {∅, {0}}, {{∅, {0}}}} ใหหาคาของ ก. n (P (C)) 6ตอบ เนื่องจาก n (C) = 6 ดังนั้น n (P (C)) = 2 = 64 ข. n (P (C) − C)ตอบ n (P (C) − C) ไมไดคิดจาก 64 − 6 = 58 ... เพราะโดยทั่วไปสมาชิกของ C นันไมไดอยูใน ้P (C) ทั้งหมด การจะคิด n (P (C) − C) ตองดูวา สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) กี่ตัว  เริ่มพิจารณาเรียงไปทีละตัว เริ่มจาก ∅ “อยู” (เพราะ ∅ เปนสับเซตของทุกเซต นอกจากนั้นการเขียนเพาเวอรเซตใหเปนระเบียบยังมักจะเริ่มดวย ∅ ) ... ตอมา {∅} ก็ “อยู” อยูในขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เซตวางที่ปรากฏในนี้เปนสมาชิกตัวแรกสุดใน C ) หรือกลาววา “อยู” เพราะ ∅ ∈ C ... ตอมา 0 อันนี้ “ไมอยู” เพราะไมใชเซต สิ่งที่อยูในเพาเวอรเซตใดๆ ได ตองเปนเซต!... ตอมา  {{∅}, 0} อันนี้ “อยู” มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปสองตัว (ในที่นี้เปนตัวสองกับตัวสาม) หรือกลาววา “อยู” เพราะ {∅} ∈ C และ 0 ∈ C ... ตอมา {∅, {0}} อันนี้ “ไมอยู” เพราะ {0} ∉ C ... และสุดทาย {{∅, {0}}} อันนี้ก็ “อยู” เพราะวา {∅, {0}} ∈ C มาจากขั้นตอนที่หยิบสมาชิกจาก C ไปหนึ่งตัว (เปนตัวที่หา) นั่นเอง สรุปแลว สมาชิกของ C นั้นอยูใน P (C) 4 ตัว ดังนั้น n (P (C) − C) = 64 − 4 = 60 ค. n (C − P (C))ตอบ n (C − P (C)) ก็ไมไดคดจาก 6 − 64 ... แตตองดูวา สมาชิกของ P (C) นันอยูใน C กี่ตัว ซึ่งมี ิ ้ วิธีคิดเชนเดียวกับขอ ข. คือได 4 ตัว หรือกลาววา n (C ∩ P (C)) = 4 ... ดังนั้น จึงทําใหn (C − P (C)) = 6 − 4 = 2 หากดูแผนภาพประกอบจะเขาใจยิ่งขึ้นเราทราบวา (ขอ ก.) n (C) = 6 และ n (P (C)) = 64 2 4 60จากนั้นนับในขอ ข. วา n (C ∩ P (C)) = 4จึงได (ข.) n (C − P (C)) = 2 และ (ค.) n (P (C) − C) = 60 C P(C) ง. n [(P (C) − C) ∪ (C − P (C))]ตอบ จากขอ ข. กับ ค. (หรือจากแผนภาพ) ไดคําตอบเปน 60 + 2 = 62(นํามาบวกกันไดทันที เพราะสองสวนนีไมไดซอนทับกัน) ้ แบบฝึกหัด 1.2(11) กําหนดให้ A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5} A ∩ B = {1, 3, 5} B ∩ C = {2, 3, 5}A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} A ∩ C = {0, 3, 5} แล้ว ข้อใดผิด ก. A ∩ B = {0} ข. B ∩ C = {1} ค. A ∩ C = {1} ง. B ∩ A = {2, 4}(12) ให้เขียนเซต C∪ B แบบแจกแจงสมาชิก เมื่อกําหนดให้U = { x ∈ I | 1 < x < 10 } เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 19 เซตB = {x | x หาร 3 ลงตัว } และ C = {x | x < 5}(13) [Ent’38] ถ้า A = {0, 1} และ B = {0, {1}, {0, 1}} แล้ว (13.1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด A ∈ P (B) (13.2) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด {1} ∈ P (A) ∩ P (B) (13.3) ค่าของ n (P (A ∪ B)) − n (P (A ∩ B)) เป็นเท่าใด(14) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (14.1) ∅ = U (14.7) A ∩ A = ∅ (14.2) U = ∅ (14.8) A ∪ A = U (14.3) A ⊂ (A ∪ B) (14.9) A − U = ∅ และ U − A = A (14.4) B ⊂ (A ∪ B) (14.10) A − ∅ = A และ ∅ − A = ∅ (14.5) (A ∩ B) ⊂ A (14.11) A − A = ∅ (14.6) (A ∩ B) ⊂ B (14.12) A − B = A ∩ B (15) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (15.1) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A) ⊂ P (B) (15.2) ถ้า A ∪ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.3) ถ้า A ∩ B = ∅ แล้ว A = ∅ และ B = ∅ (15.4) ถ้า A − B = ∅ และ B − C = B แล้ว A ∪ C = U (15.5) ถ้า A − B = ∅ และ B − C ≠ ∅ แล้ว A − C ≠ ∅(16) สําหรับเซต A, B ใดๆ ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (16.1) A ∩ B ≠ A ∪ B (16.5) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∉ A ∪B (16.2) A − B ≠ B − A (16.6) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∉ A ∩B (16.3) A ∩ B = A − B (16.7) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∈ A ∩B (16.4) (A ∪ B) = B − A (16.8) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∈ (A ∪ B ) (17) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด (17.1) A − (A ∩ B) (17.6) (A ∪ B) − B (17.2) (A − B) ∪ B (17.7) (A ∩ B) − B (17.3) (A − B) ∩ B (17.8) A − (A − B) (17.4) A ∩ (A − B) (17.9) (A − B) ∩ (B − A ) (17.5) A ∪ (A − B)(18) ข้อความต่อไปนี้เป็นจริงหรือไม่ (18.1) ถ้า A ∪ C = B ∪ C แล้ว A = B (18.2) ถ้า A ∩ C = B ∩ C แล้ว A = B (18.3) ถ้า A − C = B − C แล้ว A = B (18.4) ถ้า A = B แล้ว A = B(19) ให้บอกเงื่อนไขที่ทําให้ A −B = A อย่างน้อย 3 กรณี Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 20 เซต(20) เขียนเซตต่อไปนี้ให้อยู่ในรูปที่สั้นที่สุด (20.1) [Ent’21] (A − B) ∪ (B − A) ∪ (A ∩ B) (20.2) [A ∩ (A ∪ B)] ∪ [B ∩ (B ∪ A )] (20.3) ([(A − B) ∪ (B − A)] − A ) ∪ ( A − [(A − B) ∪ (B − A)]) (20.4) [(A ∪ B) ∩ (B − C )] ∪ ([(D − E) ∩ (C − E )] ∪ (A − E )) (21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (21.1) (A ∩ B ∩ C) ∪ (A ∩ B ∩ C) ∪ (B ∪ C ) = U (21.2) (A ∩ B ∩ C ∩ D ) ∪ (A ∩ C) ∪ (B ∩ C) ∪ (C ∩ D) = C (21.3) P (A ∩ B) ⊂ P (A ∪ B) (21.4) P (A − B) ∩ P (B − A) = {∅} (21.5) ถ้า A ⊂ B แล้ว P (A ∪ B) = P (A) ∪ P (B)(22) ให้ A = {0, 1, 2, 3} , B = {{0}, 1, 2, {3}} และ C = {0, {1}, {2}, 3}ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (22.1) P (A) ∩ P (B) ∩ P (C ) = {∅, {1}, {2}, {1, 2}} (22.2) P (A) ∩ P (B ) ∩ P (C) = {∅, {0}, {3}, {0, 3}} (22.3) P (A ) ∩ P (B) ∩ P (C) = {∅, {0}} (22.4) P (A) ∩ P (B ) ∩ P (C ) = {∅}(23) ถ้า n (U) = 35 , n (A) = 22 , n (B) = 18ให้หาว่า n (A ∩ B ) จะมีค่ามากที่สุดได้เท่าใด(24) ถ้า n (A) = a , n (B) = b , n (C) = c , n (D) = dn (A ∩ B) = b , n (B ∩ C) = c , n (C ∩ D) = d แล้วให้หา n (A ∩ B ∩ C ∩ D) และ n (A ∪ B ∪ C ∪ D)(25) ให้ A, B, C เป็นเซตซึ่ง P (C) = {∅, {a}, {c}, C} , n (P (A)) = 8 , n (P (B)) = 16 ,C ⊂ A, C ⊂ B , {b, d, e} ⊂ A ∪ B และ b ∈ A ∩B ข้อใดผิด ก. d ∈ (A ∪ B ) ข. e ∈ (C ∪ B ) ค. b ∉ (A ∪ B ) ง. {b, e} ⊂ (A ∪ B) (26) เมื่อ A = {∅, 1, {1}} และ A ∩ B = ∅ แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (26.1) n [ P (A) ∩ P (B) ] = 8 (26.3) P (A − B) = {∅} (26.2) {1} ∈ P (A ∩ B) (26.4) P (B − A) = {∅}(27) [Ent’36] ถ้า A = {∅, {∅}, 0, {0}, {1}, {0, 1}} แล้วจงหาจํานวนสมาชิกของเซต [ P (A) − A ] ∪ [ A − P (A) ](28) มีเซต A ที่ตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้กี่แบบ (28.1) A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5} และ B = {1, 3, 5} (28.2) A ∪ B = {1, 2, 3, ..., 15} และ B = {2, 4, 6, 8, 10} Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 21 เซต(29) กําหนดให้ A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} และ B = {1, 2, 3} แล้วจะมีเซต X ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ได้กี่แบบ (29.1) B ⊂ X ⊂ A (29.2) X ⊂ A และ B ∩ X ≠ ∅(30) ถ้า B ⊂ A โดย n (A) = 10 , n (B) = 4 ให้หาค่า n (C) ในแต่ละข้อต่อไปนี้ (30.1) C = {S |B ⊂ S ⊂ A} (30.2) C = {S ⊂ A | S ∩B ≠ ∅}(31) กําหนด A = {0, 2, 4, 6, 8} B = {0, 1, 2} C = {1, 2, 3} D = {0, 2, 3}ให้หาจํานวนเซต X ซึ่ง X ⊂ A และตรงตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (31.1) B ∩ C ⊂ X (31.3) B ∩ D ⊂ X (31.2) B ∩ C ⊄ X (31.4) B ∩ D ⊄ X(32) ถ้า U = {1, 2, 3, 4, ..., 8}A = U − {1} B = {2, 4, 6} และ C = {1, 7}มีเซต D ที่เป็นไปได้กี่แบบที่ตรงตามเงื่อนไข (B − C) ⊂ D ⊂ A(33) กําหนดให้ U = { x ∈ I | −2 < x < 6 } เมื่อ I = เซตของจํานวนเต็ม 2A = {k | k ∈ U } และ B = { k |k ∈ U}จํานวนสมาชิกของเซต C = {x | A ∩B ⊂ x และ x ⊂ A ∪B} เป็นเท่าใด(34) ให้ A = {a, b, c, d, f} และ B = {a, c, d, e}เซต X ซึ่ง X ⊂ A ∪ B และ A ∩ B ∩ X ≠ ∅ มีกี่เซต(35) ให้ A = {1, 3, 5, 7, 9} และ Sk = { B ⊂ A | n (B) = k}ให้หาค่า n (S) เมื่อ S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5(36) กําหนดเซต A, B เป็นสับเซตของ U หาก n (U) = 100 , n (A ) = 40 , n (B) = 55 ,n (A ∩ B ) = 32 แล้วค่าของ n (A ∩ B ) เป็นเท่าใด 1.3 โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับเซต• โจทย์ปัญหาที่เป็นเหตุการณ์ จะใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ช่วยในการคํานวณส่วนประกอบต่างๆและมีสูตรในการหาจํานวนสมาชิกในเซตเพิ่มเติมดังนี้สําหรับ 2 เซต ·Ò¤ÇÒÁe¢ŒÒ㨴ŒÇÂÃÙ»ÀÒ¾¡ç´Õ¹a¤Ãaº.. ín (A ∪ B) = n (A) + n (B) − n (A ∩ B) = + -สําหรับ 3 เซตn (A ∪ B ∪ C) = n (A) + n (B) + n (C) − n (A ∩ B) = + + − n (A ∩ C) − n (B ∩ C) + n (A ∩ B ∩ C) - - - + Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 22 เซต• ตัวอยาง จากการสอบถามนักเรียนหองหนึ่งซึ่งมีจํานวน 30 คน พบวามีนกเรียนชอบเรียนวิชา ัคณิตศาสตร 12 คน ชอบเรียนวิชาภาษาอังกฤษ 15 คน โดยชอบทังสองวิชาอยู 5 คน ถามวามีนักเรียนใน ้หองนี้ที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชาอยูกี่คน วิธีคิด จะสังเกตไดวา U คือนักเรียนในหองนี้ และมีเซตอยูสองเซต คือ ชอบเรียนคณิตศาสตร กับชอบเรียนภาษาอังกฤษ (ซึ่งมีบางคนชอบทั้งสองวิชา แสดงวาสองเซตนีมีสวนซอนทับกัน) ้ U วิธีที่ 1 “ชอบทั้งสองวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง ข เปน 5 “ชอบเรียนคณิตศาสตร 12 คน” จะได ชอง ก เปน 12-5=7 ก ข ค “ชอบเรียนภาษาอังกฤษ 15 คน” จะได ชอง ค เปน 15-5=10 ง ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา คือชอง ง นั้น Math Eng สามารถคํานวณไดดังนี้ 30-5-7-10 = 8 คน ... ตอบวิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n (M) = 12 , n (E) = 15 , และ n (M ∩ E) = 5 …ดังนั้น เราหา n (M ∪ E) ไดตามสูตร n (M ∪ E) = 12 + 15 − 5 = 22ดังนั้น จํานวนคนที่ไมชอบเลยทั้งสองวิชา เทากับ 30 − 22 = 8 คน ... ตอบ• ตัวอยาง ในการสอบของนักเรียนชั้นหนึ่ง พบวามีผูสอบผานวิชาคณิตศาสตร 37 คน วิชาสังคมศึกษา 48คน วิชาภาษาไทย 45 คน โดยมีผูที่สอบผานทั้งวิชาคณิตศาสตรและสังคมศึกษา 15 คน ทั้งสังคมศึกษาและภาษาไทย 13 คน ทั้งคณิตศาสตรและภาษาไทย 7 คน และมีผที่สอบผานทั้งสามวิชาเพียง 5 คน ถามวาที่ ูกลาวมานี้มีนักเรียนอยูทั้งหมดจํานวนเทาใดวิธีคิด มีเซตอยูสามเซต คือ สอบผานคณิตศาสตร สอบผานสังคมศึกษา และสอบผานภาษาไทย (ซึ่งมีผูสอบผานหลายวิชา แสดงวาสามเซตนีมีสวนซอนทับกัน) โจทยไมไดกลาวถึงผูสอบไมผาน ดังนั้นอาจไม ้ตองเขียนกรอบสี่เหลี่ยมแทน U ก็ได (คือไมมีชอง ซ) Math Social วิธีที่ 1 “ผานทั้งสามวิชาอยู 5 คน” จะได ชอง จ เปน 5 ก ข ค พิจารณาการสอบผานสองวิชา จะได ชอง ข เปน 15-5=10, ชอง ฉ เปน 13-5=8, ชอง ง เปน 7-5=2 ง จ ฉ พิจารณาการสอบผานหนึ่งวิชา จะได ชอง ก 37-10-5-2=20, ช ชอง ค 48-10-5-8=25, และชอง ช 45-2-5-8=30 Thai ดังนัน จํานวนคนรวมทุกชอง 5+10+8+2+20+25+30 = 100 คน ตอบ ้วิธีที่ 2 ขอมูลที่โจทยใหมาไดแก n (M) = 37 , n (S) = 48 , n (T) = 45n (M ∩ S) = 15 , n (S ∩ T) = 13 , n (M ∩ T) = 7 และ n (M ∩ S ∩ T) = 5 …ดังนั้น เราหา n (M ∪ S ∪ T) ไดจาก n (M ∪ S ∪ T) = 37 +48 + 45−15−13 −7 +5 = 100ดังนั้น จํานวนนักเรียนทั้งหมดในชั้น (ที่กลาวถึง) เทากับ 100 คน ... ตอบถึงแม้การคิดด้วยสูตร (วิธีที่สอง) ทําให้คํานวณได้รวดเร็ว แต่โจทย์บางข้อก็เหมาะกับวิธีแรก (แยกชิ้นส่วน) เท่านั้น ดังเช่นโจทย์ส่วนใหญ่ในแบบฝึกหัดต่อไป Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 23 เซต แบบฝึกหัด 1.3(37) นักเรียน 80 คน เป็นนักกีฬา 35 คน เป็นนักดนตรี 27 คน และไม่ได้เป็นทั้งนักกีฬาและนักดนตรี 32 คน ถามว่ามีนักเรียนที่ไม่ได้เป็นนักกีฬา หรือ ไม่ได้เป็นนักดนตรี อยู่กี่คน(38) [Ent’33] จากการสํารวจนักเรียนห้องหนึ่ง พบว่ามี 20 คนที่เรียนฝรั่งเศสหรือคณิตศาสตร์(โดยที่หากเรียนฝรั่งเศสแล้วต้องไม่เรียนคณิตศาสตร์) มี 17 คนที่ไม่เรียนคณิตศาสตร์ และมี 15คนที่ไม่เรียนฝรั่งเศส แล้วมีกี่คนที่ไม่เรียนทั้งสองวิชานี้เลย(39) [Ent’34] จากการสอบถามผู้ดื่มกาแฟ 20 คน พบว่าจํานวนผู้ใส่ครีม น้อยกว่าสองเท่าของผู้ใส่น้ําตาลอยู่ 7 คน และจํานวนผู้ที่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาล เท่ากับจํานวนผู้ที่ไม่ใส่ทั้งครีมและน้ําตาลดังนั้นมีผู้ที่ใส่ครีมทั้งหมดกี่คน(40) พนักงานบริษัท 34 คน ถูกสํารวจเกี่ยวกับการสวมนาฬิกา แว่นตา และแหวน ปรากฏว่าสวมแว่นอย่างเดียว 5 คน จํานวนคนสวมนาฬิกามากกว่าจํานวนคนสวมแว่นตาอยู่ 1 คน จํานวนคนไม่สวมนาฬิกาเป็น 3 เท่าของจํานวนคนสวมแหวน นอกจากนั้น คนสวมแหวนทุกคนสวมแว่น แต่คนสวมนาฬิกาไม่มีคนใดสวมแว่น จะมีคนสวมนาฬิกากี่คน(41) [Ent’26] นักเรียนคนหนึ่งไปพักผ่อนที่พัทยา ตลอดช่วงเวลานั้นเขาสังเกตได้ว่ามีฝนตก 7 วันในช่วงเช้าหรือเย็น โดยถ้าวันใดฝนตกช่วงเช้าแล้วจะไม่ตกในช่วงเย็น, มี 6 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเช้าและมี 5 วันที่ฝนไม่ตกในช่วงเย็น ถามว่านักเรียนคนนี้ไปพักผ่อนที่พัทยากี่วัน(42) จากการสํารวจสายตาและสุขภาพฟันของนักเรียน 160 คน ซึ่งมีนักเรียนชายอยู่ 100 คน(นักเรียนชายสายตาไม่ดี 30 คน และฟันผุ 35 คน) พบว่ามีนักเรียนที่สายตาดีและฟันไม่ผุอยู่ 80คน (เป็นชาย 55 คน) และมีนักเรียนที่สายตาไม่ดีทั้งหมด 50 คน ฟันผุทั้งหมด 60 คน ถามว่ามีนักเรียนที่สายตาดี หรือ ฟันไม่ผุ รวมทั้งหมดกี่คน(43) ในจํานวนนักเรียน 35 คนซึ่งเป็นหญิง 11 คน ถ้าพบว่าชอบเล่นบาสเกตบอลกับฟุตบอลอย่างน้อยคนละอย่าง โดยมีนักเรียนชาย 16 คนชอบบาสเกตบอล นักเรียนหญิง 7 คนชอบฟุตบอลนักเรียนชอบบาสเกตบอลทั้งหมด 23 คน ฟุตบอล 21 คน ถามว่านักเรียนชายที่ชอบทั้งสองอย่างมีกี่คน(44) โรงเรียนแห่งหนึ่งมีนักเรียนชาย 600 คน หญิง 500 คน ในจํานวนนี้มีนักเรียนที่มาจากต่างจังหวัดรวม 300 คน เป็นผู้ชาย 200 คน และมีนักกีฬารวม 50 คน เป็นผู้ชาย 30 คน โดยมีนักกีฬาที่มาจากต่างจังหวัด 25 คน เป็นชาย 15 คน ถามว่านักเรียนชายที่ไม่ได้มาจากต่างจังหวัดและไม่ได้เป็นนักกีฬาด้วย มีกี่คน(45) เซตของจํานวนเต็มเซตหนึ่ง หากนํา 3 หรือ 4 ไปหารจะปรากฏว่า 4 หารลงตัวอย่างเดียว 6จํานวน, 3 หารลงตัวทั้งหมด 8 จํานวน ซึ่งเป็นจํานวนคู่ 3 จํานวน, ทั้ง 3 และ 4 หารลงตัว มี 2จํานวน, และ 4 หารไม่ลงตัว 18 จํานวน ซึ่งเป็นจํานวนคู่ 4 จํานวน ถามว่าจํานวนสมาชิกของเซตนี้เป็นเท่าใด, จํานวนคู่ในเซตนี้มีกี่จํานวน, และมีจํานวนที่ 3 หรือ 4 หารไม่ลงตัวกี่จํานวน(46) [Ent’31] จากการสํารวจความนิยมของผู้ไปเที่ยวสวนสัตว์ 100 คน พบว่า 50 คนชอบช้าง, 35คนชอบลิง, 25 คนชอบหมี, 32 คนชอบแต่ช้าง, 20 คนชอบหมีแต่ไม่ชอบลิง, 10 คนชอบช้างและลิงแต่ไม่ชอบหมี, ให้หาจํานวนคนที่ไม่ชอบสัตว์ทั้งสามชนิดนี้เลย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 24 เซต(47) [Ent’38] จากการสํารวจผู้ฟังเพลง 180 คน พบว่ามีผู้ชอบเพลงไทยสากล 95 คน เพลงไทยเดิม 92 คน และลูกทุ่ง 125 คน โดยแบ่งเป็น ผู้ชอบเพลงไทยสากลและไทยเดิม 52 คน เพลงไทยสากลและลูกทุ่ง 43 คน เพลงไทยเดิมและลูกทุ่ง 57 คน และทุกคนจะชอบฟังเพลงอย่างน้อยหนึ่งในสามประเภท จงหาจํานวนผู้ที่ชอบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว(48) [Ent’39] ในการสํารวจความนิยมของคน 100 คน ที่มีต่อนาย Uก, ข, ค โดยทีทุกคนต้องแสดงความนิยมให้อย่างน้อย 1 คน ปรากฏ ่ว่านาย ก ได้รับคะแนนนิยมมากกว่านาย ข อยู่ 6 คะแนน และเขียน 20 ขแผนภาพได้ดังรูป ต่อไปนี้ข้อใดผิด ก 22 23 11 ก. นาย ข ได้คะแนนนิยมน้อยที่สุด 9 ข. ผลรวมของคะแนนทั้งสามคน เป็น 199 ค ค. ผู้ที่ลงคะแนนให้ นาย ก เท่านั้น มี 10 คน ง. ผลรวมของคะแนนที่ลงให้คนใดคนหนึ่งเพียงคนเดียว เท่ากับ 24(49) ในบรรดานักกีฬา 100 คนซึ่งเป็นชาย 60 คน พบว่ามีนักบาสเกตบอล 35 คน เป็นชาย 20คน, มีนักเทนนิส 28 คน เป็นชาย 15 คน, มีนักวอลเลย์บอล 40 คน เป็นชาย 22 คน, เป็นทั้งนักบาสเกตบอลและเทนนิส 14 คน เป็นชาย 6 คน, เป็นทั้งนักเทนนิสและวอลเลย์บอล 16 คน เป็นชาย 10 คน, เป็นทั้งนักบาสเกตบอลและวอลเลย์บอล 20 คน เป็นชาย 11 คน, และมีนักกีฬาที่ไม่ได้เล่นกีฬาสามประเภทนี้เลย 12 คน เป็นชาย 8 คน ให้หาว่านักกีฬาที่เล่นครบทั้งสามประเภทมีผู้ชายมากกว่าผู้หญิงกี่คน(50) จํานวนเต็มตั้งแต่ 0 ถึง 100 มีกี่จํานวนที่หาร 2 และ 3 และ 5 ไม่ลงตัว เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1) ข้อ (1.1) และ (1.4) ถูก (17.1) A − B (17.2) A ∪ B (29.1) 16(2) ข้อ (2.1) และ (2.3) ถูก (17.3) ∅ (17.4) A − B (29.2) (8 − 1)× 16(3) ข้อ (3.1) ถูก (17.5) A (17.6) A − B (30.1) 64(4) ข้อ (4.3) ผิด (17.7) ∅ (17.8) A ∩ B (30.2) (16 − 1)× 64(5) ข้อ (5.1) และ (5.4) ถูก (31.1) 16 (31.2) 16(6) 9 ตัว, 126 เซต (17.9) ∅ (31.3) 8 (31.4) 24(7) ข้อ (7.1) และ (7.7) ผิด (18) ข้อ (18.4) ถูก (32) 16 (33) 4(8) ข้อ (8.6), (8.8), (8.10) ผิด (19) A = ∅ หรือ B = ∅ (34) 56 (35) 31(9) ข้อ (9.3) ผิด หรือ A ∩ B = ∅ (36) 13 (37) 66(10) 32, 6 (20.1) A ∪ B (20.2) B (38) 6 (39) 11(11) ข. (20.3) B (20.4) (A ∩ E) (40) 13 (41) 9(12) {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} (21) ถูกทุกข้อ (22) ข้อ (22.3) ผิด (42) 130 (43) 6(13) ผิด, ผิด, 16-2 (23) 13 (24) d, a (25) ง. (44) 385(14) ถูกทุกข้อ (26) ข้อ (26.4) ผิด (45) 26, 12, 24(15) ข้อ (15.3) และ (15.5) ผิด (27) 61+3 (46) 13 (47) 20(16) ข้อ (16.3),(16.4),(16.6) ถูก (28.1) 8 (28.2) 32 (48) ค. (49) 22-13 (50) 26 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 25 เซต เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคด) ิ(1.1) ถูก เพราะ ถ้า x ∈ A (7.1) ผิด เพราะเซตว่างตัวขวาต้องไม่มีสมาชิกแสดงว่า x ∈ B ด้วย ดังรูป A → แต่ถ้าเป็นแบบข้อ (7.3) จะถูก(1.2) ผิด เพราะโจทย์บอกแค่ x (7.2) ถูก เพราะว่าเซตว่างตัวขวามีซับเซต 20 = 1เพียง y ∈ B , ยังไม่ชัดเจนว่า B แบบ คือ ∅ (ตัวมันเอง) y ∈ A หรือไม่ (อาจจะอยู่หรือไม่อยู่) หรืออาจบอกว่าเพราะ “ ∅ (ตัวซ้าย) จะเป็นสับเซต(1.3) ผิด ถ้า {A} ⊂ {B} แสดงว่า A ∈ {B} ซึ่ง ของเซตใดๆ ทุกเซต” ก็ได้ผิด เพราะ {B} มีสมาชิกตัวเดียวคือ B (7.4) ถูก เหตุผลเดียวกับข้อ (7.2) นั่นคือ รูปแบบ(1.4) ถูก เพราะ A ≠ B (โจทย์กําหนด) ดังนั้น ∅ ⊂ จะถูกเสมอ → ดังนั้น (7.6) ก็ถกเช่นกัน ู{A} ≠ {B} แน่นอน (7.5) ถูก เพราะ ∅ ∈ P(∅) แปลว่า ∅ ⊂ ∅ (จะ(2.1) ถูก (ในโจทย์นั้น A มีสมาชิกอยู่ 5 ตัว และ เหมือนกับโจทย์ขอ 7.2) ้{∅} เป็นสมาชิกอยู่ในลําดับแรกสุด) (7.7) ผิด เพราะ {∅} ∈ P(∅) แปลว่า {∅} ⊂ ∅(2.2) ผิด เพราะ {∅} ⊂ A แปลว่า ∅ ∈ A ซึ่งไม่ และแปลว่า ∅ ∈ ∅ (จะเหมือนกับโจทย์ขอ 7.1)้จริง (7.8) ถูก เพราะ {∅} ⊂ P(∅) แปลว่า ∅ ∈ P(∅)(2.3) ถูก เพราะ {{a}, b} ⊂ A แปลว่า {a} ∈ A และแปลว่า ∅ ⊂ ∅ ถูก (จะเหมือนกับโจทย์ข้อและ b ∈ A ซึ่งจริง 7.2)(2.4) {a, b} ∈ A ถูก (เป็นสมาชิกอยู่ในลําดับ (8.1) ∅ ∈ P(A) แปลว่า ∅ ⊂ A → ถูกเสมอ ไม่สุดท้ายในโจทย์) แต่ {a, b} ⊄ A นันผิด ้ ว่า A เป็นเซตใดๆ ก็ตาม (รูปแบบ ∅ ⊂ )เพราะว่า a ∈ A และ b ∈ A ด้วย แสดงว่า (8.2) {∅} ∈ P(A) แปลว่า {∅} ⊂ A และแปลว่า{a, b} เป็นสับเซตของ A แน่ๆ ดังนั้นตอบ ผิด ∅ ∈ A → ถูก (เพราะในโจทย์ มี ∅ อยู่ใน A(3.1) ถูก (ข้อนีเป็นกฎที่ควรทราบ) ้ ด้วย)(3.2) ผิด เช่น B = {A}, C = {B} ดังนั้น (8.3) ∅ ⊂ P(A) ถูกทันทีเลย! เพราะเป็นรูปแบบ ∅ ⊂ C = {{A}} ... จึงได้วา A ∉ C ่(3.3) ผิด เช่น A ⊂ C (A อยู่ใน C) (8.4) {∅} ⊂ P(A) แปลว่า ∅ ∈ P(A) ตรงกับแต่ B อยู่นอก A กับ C ดังรูป โจทย์ขอ (8.1) ซึ่งถูก ้ A (8.5) ถูก เพราะ {∅, a, {b}} ∈ P(A) แปลว่า {∅, a, {b}} ⊂ A B และแปลได้วา ∅ ∈ A และ a ∈ A และ {b} ∈ A ่ C ซึ่งพบว่าเป็นจริงทั้งหมด(4.1) และ (4.2) ถูก(เป็นไปตามนิยามของการเขียนเงือนไขเซต) ่ (8.6) เป็นไปไม่ได้ทสมาชิกของ P(A) ไม่ได้เป็นเซต ี่(4.3) ผิด เพราะ {x} ⊂ A คือ x ∈ A จึงต้อง → ข้อนี้จงผิด ึได้ผลเหมือนข้อ (4.2) (8.7) {a} ∈ P(A) แปลว่า {a} ⊂ A แปลว่า(4.4) ถูก เพราะ {x} ⊂ ∅ คือ x ∈ ∅ ซึ่งพบว่า a ∈ A → ถูกไม่มี x ใดๆ ตรงตามนี้ ดังนั้นเซตในข้อนี้จงเป็นเซต ึ (8.8) {b} ∈ P(A) แปลว่า {b} ⊂ A แปลว่าว่าง b ∈ A → ผิด(5.1) ถูก คํานวณจาก 25 = 32 ... แต่ (5.2) ผิด (8.9) ถูก วิธคิดเดียวกับข้อ (8.8) นั่นคือ {b} ∈ A ีเพราะต้องเหลือ 31 แบบ (25 − 1) เป็นจริง(5.3) ผิด เพราะ P(A) จะมีเพียง 1 แบบเท่านัน ้ (8.10) {∅, a, {b}} ⊂ P(A) แปลว่า ∅ ∈ P(A)แต่ภายใน P(A) มีสมาชิกอยู่ 32 ตัว... (5.4) จึงถูก จริง, a ∈ P(A) ไม่จริง, {b} ∈ P(A) ไม่จริง ดังนั้น(6) จาก 2n = 512 จึงได้ n = 9 ตัว ข้อนีผิด ้และสับเซตทีดึงสมาชิกมา 5 ตัวจาก 9 ตัว มีอยู่ ่ 9! = 126 เซต (แบบ)5! 4! Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 26 เซต(9.1) {∅, {1}, {1, 2}} ∈ P(A) แปลว่า (13.1) A ∈ P(B) คือ A ⊂ B ดังนั้น ผิด{∅, {1}, {1, 2}} ⊂ A (เพราะ 1 ∉ B )แปลว่า ∅ ∈ A และ {1} ∈ A และ {1, 2} ∈ A ซึ่ง (13.2) จาก P(A) ∩ P(B) = P(A ∩ B)เป็นจริงทังหมด ดังนันข้อนี้ถูก ้ ้ = P({0}) = {∅, {0}} ดังนั้น ข้อนี้ก็ผด ิ(9.2) {∅, {1}, {1, 2}} ⊂ P(A) แปลว่า (เพราะ {1} ∉ P(A) ∩ P(B) ) ∅ ∈ P(A) → ∅ ⊂ A และ (13.3) A ∪ B = {0, 1, {1}, {0, 1}} จะได้{1} ∈ P(A) → {1} ⊂ A → 1 ∈ A n(P(A ∪ B)) = 24 = 16และ {1, 2} ∈ P(A) → {1, 2} ⊂ A → 1 ∈ A, 2 ∈ A A ∩ B = {0} จะได้ n(P(A ∩ B)) = 21 = 2ซึ่งพบว่าเป็นจริงทุกอย่าง ดังนันข้อนี้ถูก ้ ดังนันตอบ 16 − 2 = 14 ้(9.3) {{1}, {2}, {3}} ∈ P(A) แปลว่า (14.1) และ (14.2) ถูก เพราะ U กับ ∅ เป็น{{1}, {2}, {3}} ⊂ A และแปลว่า ส่วนเติมเต็ม (complement) ของกันและกัน{1} ∈ A, {2} ∈ A, {3} ∈ A ซึ่งผิด (14.3) ถึง (14.6) ถูกทั้งหมด พิจารณาจาก(9.4) {{1}, {2}, {3}} ⊂ P(A) แปลว่า แผนภาพจะง่ายที่สด ุ{1} ∈ P(A), {2} ∈ P(A), {3} ∈ P(A) (14.7) และ (14.11) A − A = ∅ ถูกก็คือ {1} ⊂ A, {2} ⊂ A, {3} ⊂ A หรือแปลอีกที (14.8) ถึง (14.10) ถูก ... (14.12) ถูก (ต้อง1 ∈ A, 2 ∈ A, 3 ∈ A ซึ่งถูก รู้!)(10) สําหรับการหา n(X) แปลว่า “ให้หาว่ามีเซต (15.1) ถูก (เป็นสิ่งที่ควรทราบ)A ที่เป็นไปได้กี่แบบตามเงือนไขนี” ่ ้ (15.2) ถูก A ∪ B = ∅ แสดงว่าต้องไม่มีเซตใดมี(ก) A ∈ P(S) (แปลว่า A ⊂ S ) สมาชิกอยู่เลยกับ (ข) 1 ∈ A และ 7 ∉ A (แปลว่าใน A ต้องมี 1 (15.3) ผิด ถ้า A กับ B ไม่มีสมาชิกร่วมกัน ก็และต้องไม่มี 7) สามารถทําให้ A ∩ B = ∅ ได้ หรือเมือ A กับ B ่แสดงว่า มีเฉพาะ 2, 3, 4, 5, 6 เท่านั้นที่เลือกได้ ว่า เป็นเซตว่าง เพียงเซตใดเซตหนึ่งก็ได้จะอยูหรือไม่อยู่ใน A ... ก็เปรียบเสมือนการหา ่ (15.4) A − B = ∅ แสดงว่า A ⊂ Bจํานวนสับเซตแบบต่างๆ ของ {2, 3, 4, 5, 6} ..ฉะนั้น B − C = B แสดงว่า B กับ C แยกจากกัน (B ∩ C = ∅) ดังรูปn(X) = 25 = 32 Aส่วน n(Y) ให้หาว่ามี A เป็นไปได้กี่แบบ ซึ่ง A ∈ xและผลบวกไม่เกิน 6 Cวิธีคดต้องนับเอาโดยตรงเท่านัน ได้แก่ ิ ้ B ดังนัน A ∪ C = (A ∩ C) = ∅ = U ถูก ้{1} {1, 2} {1, 3} {1, 4} {1, 5} และ {1, 2, 3} (เพราะ A กับ C ก็แยกจากกัน)พบว่ามี A ที่เป็นไปได้ 6 แบบ ..ฉะนั้น n(Y) = 6 (15.5) A − B = ∅ แปลว่า A ⊂ B(11) จาก A ∩ B, A ∩ C, B ∩ C จะทําให้ทราบว่า B − C ≠ ∅ แปลว่า B ⊄ CA ∩ B ∩ C = {3, 5} จากนันวาดแผนภาพ้ A − C ≠ ∅ แปลว่า A ⊄ C B จาก A ∪ C = {0, 1, 2, 3, 5} ดังนัน เปลี่ยนโจทย์กลายเป็น ้ 1 4 แสดงว่าใน A กับ C ส่วนที่ " A ⊂ B และ B ⊄ C A 35 เหลือไม่มีสมาชิกใดเลย และ แล้ว A ⊄ C " อันนี้เท็จ A 0 2 C 4 ∈ B ดังนัน ้ เช่น รูปนี้ A ⊂ C ได้ ก. A − B = {0} ถูก B C (16.1) ผิด เช่นถ้า A = B จะได้ข. B − C = {1} ผิด ..ต้องได้ {1, 4} A ∩ B = A ∪ B = A = B ด้วยค. A − C = {1} ถูก (16.2) ผิด เช่นถ้า A = B จะได้ง. B − A = {2, 4} ถูก A −B = B−A = ∅(12) U = {1, 2, 3, ..., 10} → B = {3, 6, 9} และ (16.3) ถูกเสมอ มาจากกฎ A − B = A ∩ (B ) = A ∩ BC = {1, 2, 3, 4, 5} ต้องการหาเซต C ∪ B ก็คอ ื(C ∩ B) ซึ่งเราได้ C ∩ B = {3} ดังนันตอบ ้ (16.4) B − A = B ∩ A = (B ∪ A) ถูก{1, 2, 4, 5, 6, 7, ..., 10} (16.5) ผิด x อาจมาจากใน B ก็ได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 27 เซต(16.6) A ∩ B = (A ∪ B) (20.4) มีถึง 5 เซต จึงต้องใช้การแจกแจงช่วยคิดถ้า x ∈ A แล้ว x ∉ (A ∪ B) ..ถูก (วาดแผนภาพไม่ได้)(16.7) ถ้า x ∉ A แล้ว x ∈ (A ∪ B) ..ผิด ก้อนซ้ายได้ A ∩ B ∩ B ∩ C = ∅ ∅( x อาจอยู่ใน B ได้) ก้อนกลางได้ D ∩ E ∩ C ∩ E = ∅(16.8) ถ้า x ∈ A แล้ว x ∈ A ∩ B ..ผิด ∅( x อาจอยู่เพียงใน A โดยไม่อยู่ใน B ) ก้อนขวาได้ A ∩ E(17) ใช้การมองจากแผนภาพจะง่ายทีสุด ่ รวมกันได้ ∅ ∪ (∅ ∪ (A ∩ E)) = (A ∩ E) (แผนภาพจะต้องเป็นแบบทั่วไป คือมีส่วนซ้อนทับกัน) (21.1) จากโจทย์ ดึง B ∩ C ออกจากสองวงเล็บ U แรก ก ข ค = [(A ∪ A ) ∩ B ∩ C] ∪ (B ∩ C) ง U A B = (B ∩ C) ∪ (B ∩ C) = U ถูก (21.2) จากโจทย์ ดึง C ออกจากทุกวงเล็บ A−B A∩B B−A = C ∩ [(A ∩ B ∩ D ) ∪ A ∪ B ∪ D](17.1) A − (A ∩ B) ⇒ กข – ข=ก ⇒ ตอบ จัดรูป A, B, D ตัวหลังใหม่A−B = C ∩ [ (A ∩ B ∩ D ) ∪ (A ∩ B ∩ D ) ] = C ถูก(17.2) (A − B) ∪ B ⇒ ก ∪ ขค = กขค ⇒ Uตอบ A ∪ B (21.3) ถูกเสมอ เพราะ (A ∩ B) ⊂ (A ∪ B)(17.3) (A − B) ∩ B ⇒ ก ∩ ขค = ∅ และมีกฎอยูว่า ถ้า ⊂ แล้ว P( ) ⊂ P( ) ่ข้ออืนๆ ก็สามารถคิดด้วยวิธีเดียวกัน ได้คําตอบดังนี้ ่ (21.4) A − B กับ B − A ไม่มีสมาชิกร่วมกัน(17.4) A ∩ (A − B) = A − B ดังนันภายในเซต P(A − B) กับเซต P(B − A) จะมี ้(17.5) A ∪ (A − B) = A สมาชิกที่เหมือนกันเพียงตัวเดียวคือ ∅ → ข้อนี้ถูก(17.6) (A ∪ B) − B = A − B (21.5) ถ้า A ⊂ B จะได้ว่า P(A) ⊂ P(B) ดังนัน ้(17.7) (A ∩ B) − B = ∅ P(A) ∪ P(B) = P(B) ...... (1)(17.8) A − (A − B) = A ∩ B และถ้า A ⊂ B จะได้ A ∪ B = B ด้วย ดังนั้น(17.9) เนื่องจาก B − A = B ∩ A ดังนัน ้ P(A ∪ B) = P(B) ..... (2) ดังนัน (1)=(2) ถูก ้(A − B) ∩ (B − A ) ⇒ ก ∩ ข = ∅ (22) ใช้หลักว่า(18.1) ผิด เช่นหาก C = U แล้ว A กับ B ไม่ P( ) ∩ P(Δ) ∩ P(Ο) = P( ∩ Δ ∩ Ο)จําเป็นต้องเท่ากัน ** ใช้ได้เฉพาะเครื่องหมาย ∩(18.2) ผิด เช่นหาก C = ∅ (22.1) A ∩ B ∩ C = {1, 2} ถูก(18.3) ผิด เช่นหาก C = U (22.2) A ∩ B ∩ C = {0, 3} ถูก(18.4) ถูก (22.3) A ∩ B ∩ C = ∅ ข้อนี้ผด ิ(19) B = ∅ หรือ A ∩ B = ∅ (แยกกันอยู่) ที่ถูกต้องเป็น P(A ∩ B ∩ C) = {∅}หรือ A = ∅ (22.4) A ∩ B ∩ C = ∅ ถูก(20) ถ้ามีเพียง 2 เซต สามารถใช้วิธทดเอาจาก ี (23) n (A ∩ B ) = n(A ∪ B) มีคามากสุด ก็คอ ่ ืแผนภาพเซตเหมือนข้อ (17) n(A ∪ B) มีค่าน้อยสุด ..จะเกิดขึนเมื่อ B ⊂ A ้(20.1) ก ∪ ค ∪ ข = กขค = A ∪ B(20.2) (กข ∩ ขคง) ∪ (ขค ∩ กคง) ทําให้ n(A ∪ B) = n(A) = 22=ข ∪ ค= B ดังนัน n(A ∪ B) = 35 − 22 = 13 ้(20.3) (กค – คง) ∪ (คง – กค) = ก ∪ ง (24) n(A) = a , n(B) = b แต่ n(A ∩ B) = b= B แสดงว่า B อยู่ใน A ทั้งหมด ( B ⊂ A ) และเช่นเดียวกันจะพบว่า D ⊂ C ⊂ B ⊂ A ดังนัน n(A ∩ B ∩ C ∩ D) = n(D) = d ้ และ n(A ∪ B ∪ C ∪ D) = n(A) = a Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 28 เซต(25) จาก P(C) ในโจทย์ จะได้ C = {a, c} (33) U = {−2, −1, 0, 1, 2, ..., 6}n(P(A)) = 8 คือ n(A) = 3 A = {0, 1, 4} → เกินจากนีจะไม่อยู่ใน ้ Un(P(B)) = 16 คือ n(B) = 4 B = {0, 1, 2} ดังนั้นและจาก C ⊂ A และ C ⊂ B จะได้วา ่ {0, 1} ⊂ X ⊂ {0, 1, 2, 4} → n(C) = 22 = 4 A = {a, c, } และ B = {a, c, Δ, Ο} (34) x ⊂ {a, b, c, d, e, f} และจาก {b, d, e} ⊂ A ∪ B โดย b ∈ A ∩ B จะได้ว่า {a, c, d} ∩ X ≠ ∅ แสดงว่า A = {a, c, b} และ B = {a, c, d, e} X = { สับเซตของ{a,c,d}ที่ไม่ใช่ ∅ , สับเซตใดๆก. d ∈ A ∩ B (อยู่ใน B และไม่อยู่ใน A ) ถูก ของ{b,e,f} } → (23 − 1)(23) = 56 แบบข. e ∈ C ∩ B → ถูก (35) เนื่องจาก n(A) = 5 และค. b ∉ A ∩ B → ถูก S1 = {B | B ⊂ A, n(B) = 1} ,ง. {b, e} ⊂ A ∩ B ผิด S2 = {B | B ⊂ A, n(B) = 2} , ...เพราะ A ∩ B = A − B = {b} ไปจนถึง S5 = {B | B ⊂ A, n(B) = 5} จะได้วา ่(26) A ∩ B = A − B = ∅ แสดงว่า A ⊂ B S = S1 ∪ S2 ∪ S3 ∪ S4 ∪ S5 = เซตของสับเซต(คือ A ∩ B = A ) ของ A ทุกแบบ ยกเว้น ∅ (n(B)=0)(26.1) n[P(A ∩ B)] = n[P(A)] = 23 = 8 ถูก ดังนัน n(S) = 25 − 1 = 31 ้(26.2) {1} ∈ P(A ∩ B) คือ {1} ⊂ A ∩ B คือ (36) จากแผนภาพ U 1 ∈ A ∩ B ถูก n(A ∩ B ) = n(A − B)(26.3) P(A − B) = P(∅) = {∅} ถูก ก ข ค = 32 = ก 32 55(26.4) ผิด เพราะ B − A ≠ ∅ ก็เป็นไปได้ ง n(B) = ข+ค = 55 A B(27) สมาชิกที่ในส่วนที่ซอนกันได้แก่ ∅, {∅}, {0} ้ ต้องการหา n(A ∩ B ) คือ n(A ∪ B) = งดังนันได้ (26 − 3) + (6 − 3) = 61 + 3 = 64 ้ หาได้จาก n(U) = 100 = ก+ข+ค+ง(28.1) A = {2, 4, สับเซตของ{1,3,5} } จึงมี ดังนัน ง = 100 − 32 − 55 = 13 ้23 = 8 แบบ (หมายเหตุ .. n(A ) = 40 ไม่ได้ใช้)(28.2) A = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 12, 13, 14, 15, สับเซต (37) นักกีฬา 35 คน Uของ{2,4,6,8,10} } จึงมี 25 = 32 แบบ → ก+ข = 35 ก ข ค(29.1) X = {1, 2, 3, สับเซตของ{4,5,6,7} } จึงมี นักดนตรี 27 คน ง24 = 16 แบบ → ข+ค = 27 นักกีฬา นักดนตรี(29.2) X = { สับเซตของ{1,2,3}ที่ไม่ใช่ ∅ , สับ ไม่เป็นเลย 32 คน → ง = 32เซตใดๆของ{4,5,6,7} } ... (23 − 1)(24) = 112 แบบ รวมกันสามสมการจะได้ ก+2ข+ค+ง = 94(30.1) n(C) = จํานวนแบบของ S = 26 = 64 แต่มีนักเรียนรวม 80 คน (ก+ข+ค+ง) ∴ ลบกันเหลือ ข = 14 คน(30.2) n(C) = จํานวนแบบของ S โจทย์ถาม ก+ค+ง = 80 − 14 = 66 คน= (24 − 1 6) = 960 )(2 (หมายเหตุ .. n(A ∪ B ) = n(A ∩ B) = ก+ค+ง)(31.1) {0} ⊂ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} (38) เซตในข้อนี้แยกจากมี 24 = 16 แบบ กัน เพราะเรียนฝรั่งเศสแล้ว ก(31.2) {0} ⊄ X และ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} ข ค ต้องไม่เรียนคณิตศาสตร์วิธีทงหมด ลบข้อ 31.1 → 25 − 24 = 16 แบบ ั้ 20=ก+ข, 17=ก+ค, ฝรั่งเศส คณิต U(31.3) {0, 2} ⊂ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} 15=ข+คมี 23 = 8 แบบ รวมกันจะได้ 2(ก+ข+ค)=20+17+15 → ก+ข+ค=26(31.4) {0, 2} ⊄ X และ X ⊂ {0, 2, 4, 6, 8} ดังนัน ค = 26 − 20 = 6 ้วิธีทงหมด ลบข้อ 31.3 → 25 − 23 = 24 แบบ ั้(32) {3, 5, 8} ⊂ D ⊂ {2, 3, 4, ..., 8}มี 24 = 16 แบบ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 29 เซต(39) โจทย์บอกว่า U (43) ก+ข=16 ....(1)ก+ข+ค+ง=20 ฉ+ช=7 จะได้ ข+ค=21-7=14 ....(2) ก ข คก+ข=2(ข+ค)-7 ง สองสมการบวกกัน จะได้ ชายและ ข = ง ก+2ข+ค=16+14=30 ก ข ค 24 ครีม น้ําตาล จ ฉ ช หญิง แต่ ก+ข+ค=24 ดังนัน ้ 11ดังนัน จากสมการแรกสุดจะได้ ก+2ข+ค=20 .....(1) ข=30-24= 6 คน ้ บาส ฟุตบอลสมการทีสองจัดรูปได้ ข-ก+2ค=7 .....(2) ่ (44) ก+ข=200 U(1)x2 - (2); 3ก+3ข=33 ดังนัน ก+ข=11 ้ และ ข+ค=30 ก ข ค ง ชาย 600(40) คนสวมแหวนทุกคน รวม ก+2ข+ค=230 จ ฉ ชสวมแว่น แต่คนที่สวม ซ หญิงนาฬิกาไม่มีคนใดสวมแว่น แหวน แว่น นาฬิกา แต่ ข=15 ตจว. นักกีฬา 500 ขจะวาดแผนภาพได้ดังนี้ ก ค ง ดังนัน ก+ข+ค=215 ้ ∴ ง = 600 − 215 = 385 คน(แหวนเป็นสับเซตของแว่น, U (ข้อสังเกต ข้อ 43 และ 44 ไม่ได้คํานวณในส่วนที่นาฬิกากับแว่นแยกกัน) เป็นผูหญิงเลย, ถ้าต้องคิดจะใช้วธีเหมือนข้อ 42) ้ ิโจทย์บอกว่า ก+ข+ค+ง=34 .....(1) ข=5 .....(2) (45) โจทย์ข้อนีให้คิด ้ค=ก+ข+1 .....(3) และ ก+ข+ง=3ก .....(4) เอาเองว่า จํานวนคี่ที่ ง คู่แทนค่า (2), (3) ในสมการ (1) และ (4) จะได้ ก ข ค 4 หารลงตัวนัน ไม่มี! ้ จก+5+(ก+5+1)+ง=34 และ ก+5+ง=3ก ซ คี่ (นั่นคือ ฉ,ช = 0 )แก้ระบบสมการได้ ก=7, ง=9 3ลงตัว 4ลงตัวโจทย์ถาม ค = ก+ข+1 = 7+5+1 = 13 คน(41) ฝนตกเช้าจะไม่ตก ค = 6 , ก+ข+จ = 8 โดย ก+ข = 3 → จ = 5 ..เย็น แสดงว่าเซตแยกกัน ข = 2 , ก+ง = 4 และ จ+ซ = 18 − 4 = 14 .. ก ข ค จํานวนสมาชิกของเซตนี้ = (ก+ง)+ข+ค+(จ+ซ)ก+ข=7, ข+ค=6, ก+ค=5 ตกเช้า ตกเย็น U = 4 + 2 + 6 + 14 = 26บวกกันทั้งสามสมการได้2(ก+ข+ค)=18 ..ดังนัน ก+ข+ค = 9 วัน ้ จํานวนคู่ = (ก+ง)+ข+ค = 4 + 2 + 6 = 12(42) ข้อนี้วาดรูปแบ่ง จํานวนที่ 3 หรือ 4 หารไม่ลงตัว = ทุกตัวยกเว้น ข U = 26 − 2 = 24 จํานวนชายหญิงได้ดังนี้ ก ข ค ง ชาย 100 (46) ข้อนี้มี 3 เซต คือ ชอบช้าง, ชอบลิง, ชอบหมี(หรือจะแบ่งเป็นชาย จ ฉ ชกับหญิง คนละรูปกัน ซ หญิง โจทย์ถาม n(A ∪ B ∪ C) = 100 − n(A ∪ B ∪ C) ตาดี ฟันไม่ผุ 60 โดยการสังเกตให้ดี ใช้ก็ได้ แต่คิดไม่สะดวก) ข้อมูลแค่ 3 ตัว คิดวิธี U ลิง เดียวกับขัอ (36) ดังรูป 32 35 ก ข ค จ ฉ ช ก็จะทราบว่า ช้าง ง ซ n(A ∪ B ∪ C) = 20 ชาย หญิง 32 + 35 + 20 = 87 หมี30 = ค+ง → ช+ซ = 50 − 30 = 20 ดังนันตอบ 13 ้35 = ก+ง → จ+ซ = 60 − 35 = 25 (47) ข้อนี้ตรงตามสูตร A B55 = ข → ฉ = 80 − 55 = 25 n(A ∪ B ∪ C) =180 ไทย ? z ไทย สากล เดิมรวม 3 สมการเข้าด้วยกัน จะได้ =95+92+125-52-43-57+x y xก+ข+ค+2ง=120 และ จ+ฉ+ช+2ซ=70 ∴ x = 20 คน C ลูกทุ่งแต่เนืองจาก ก+ข+ค+ง=100 ดังนั้น ง=20 ่ ∴ y = n(A ∩ C) − 20 =43-20=23และ ก+ข+ค=80 z = n(A ∩ B) − 20 =52-20=32และเนืองจาก จ+ฉ+ช+ซ=60 ดังนัน ซ=10 ่ ้และ จ+ฉ+ช=50 ผู้ชอบเพลงไทยสากลเพียงอย่างเดียว มี 95 − 20 − 23 − 30 = 20 คนคําตอบคือ 80 + 50 = 130 คน(หมายเหตุ ..จะวาดแผนภาพเป็นเซตของคนทีสายตา ่ไม่ดี, หรือเซตของคนที่ฟนผุ ก็ได้) ั Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 30 เซต(48) สมการแรก ข (50) ให้ U = {0, 1, 2, ..., 100} กx+y+20+23+22+11+9=100 x 20 y A = {x|x หารด้วย 2 ลงตัว }และสมการที่สอง 22 23 11 B = { x | x หารด้วย 3 ลงตัว }(x+20+23+22)=(y+20+23+11)+6 9 C = { x | x หารด้วย 5 ลงตัว }แก้ระบบสมการ ได้ x = 5, y = 10 ค ต้องการหาค่า n(A ∩ B ∩ C ) ก็คือ∴ นาย ก ได้ 70 คะแนน, นาย ข 64 คะแนน, n(A ∪ B ∪ C) ..หาโดย n(U) − n(A ∪ B ∪ C)นาย ค 65 คะแนนก. ถูก ข. 70 + 64 + 65 = 199 ถูก ซึ่ง n(A ∪ B ∪ C) จะต้องคํานวณตามสูตร n(A) + n(B) + n(C) − n(A ∩ B) − n(A ∩ C))ค. ผิด ต้องเป็น 5 คน ง. 5 + 10 + 9 = 24 ถูก −n(B ∩ C) + n(A ∩ B ∩ C)(49) ข้อนี้มีสามเซต (บาสเกตบอล, เทนนิส,วอลเลย์บอล) และยังแบ่งชายหญิง จึงจําเป็นต้องแยก ** ทุกๆ ชินส่วน อย่าลืมนับเลข 0 ด้วย ** ้วาดคนละภาพกัน ... n(A) → หาร 2 ลงตัว มี 51 จํานวน n(B) → หาร 3 ลงตัว มี 34 จํานวน n(C) → หาร 5 ลงตัว มี 21 จํานวน x y n(A ∩ B) → หาร 2 และ 3 ลงตัว คือหาร 6 ลงตัว มี 17 จํานวน ... n(A ∩ C) → หาร 2 และ 5 ลงตัว 8 4 ชาย หญิง คือหาร 10 ลงตัว มี 11 จํานวน ... n(B ∩ C) → หาร 3 และ 5 ลงตัว คือหาร 15 ลงตัว มี 7 จํานวนถ้าสังเกตดีๆ จะพบว่าข้อมูลที่ให้มาตรงตามสูตรพอดี ... n(A ∩ B ∩ C) → หาร 2 และ 3 และ 5 ลงตัวชาย n(A ∪ B ∪ C) = 60 − 8 คือหาร 30 ลงตัว มี 4 จํานวน=20+15+22-6-10-11+x ... ดังนั้น x=22 คน ดังนัน n(A ∪ B ∪ C) = 51 + 34 + 21 − 17 − 11 ้หญิง (แต่ละเลขได้จาก จํานวนทังหมดลบด้วยผู้ชาย) −7 + 4 = 75 ้40-4 = 15+13+18-8-6-9+y ... ดังนัน y=13 คน ้ และเนืองจาก n(U) = 101 จึงได้ ่สรุปว่า ต่างกันอยู่ 22 − 13 = 9 คน n(A ∩ B ∩ C ) = 101 − 75 = 26 S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S ¨Ò¡¢Œo (50) ËÒ¡o¨·Âe»ÅÕè¹ä»e»š¹ A ¤×oe«µ¢o§¨íҹǹ·ÕèËÒà 6 ŧµaÇ æÅa B ¤×oe«µ¢o§¨Ò¹Ç¹·ÕèËÒà 8 ŧµaÇ í æÅŒÇ A ∩ B ¨ae»š¹e«µ¢o§¨íҹǹ溺㴤Ãaº.. ËÅÒ¤¹µoºÇ‹Ò ËÒ÷aé§ 6 æÅa 8 ŧµaÇ ¡çæ»ÅNjÒËÒà 48 ŧµaÇ ... äÁ‹ãª‹¹a¤Ãaº! ... eoÒ 6 ¡aº 8 ÁÒ¤Ù³¡a¹¹aé¹¼i´! ¨aµŒo§ãªŒ ¤.Ã.¹. ¤×o “ËÒà 24 ŧµaǔ ¨Ö§¨a¶Ù¡ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 31 ระบบจํานวนจริง Re a+l º··Õè 2 Ãaºº¨íҹǹ¨Ãi§ จํานวนที่มนุษย์คิดขึ้นใช้ครั้งแรกเป็นจํานวนที่ใช้ นับสิ่งของต่างๆ เรียกว่า จํานวนธรรมชาติ (Natural Number) หรือ จํานวนนับ (Counting Number) ได้แก่ 1,2,3,4,... ซึ่งสัญลักษณ์แทนเซตของจํานวนนับ คือ N = {1,2, 3, 4, ...} หากนําจํานวนนับเหล่านี้มาบวกหรือคูณกัน ผลลัพธ์ย่อมเป็นจํานวนนับเสมอ เรียกว่า “เซตของจํานวนนับมี สมบัติปิด สําหรับการบวกและการคูณ” (คําว่า สมบัติปิด หมายความว่า เมื่อนําสมาชิกใดๆ ในเซตมาดําเนินการแล้ว ผลที่ได้ยังคงเป็นสมาชิกของเซตนั้นอยู่) แต่หากนําจํานวนนับบางจํานวนมาลบหรือหารกันจะมีปัญหาขัดข้องเนื่องจากผลที่ได้ไม่เป็นจํานวนนับ ด้วยเหตุนี้จํานวนลบจํานวนศูนย์ รวมทั้งจํานวน เศษส่วน (Fraction) จึงถูกคิดขึ้นมาใช้ จํานวนนับ จํานวนศูนย์ และจํานวนเต็มลบ เรียกรวมกันว่า จํานวนเต็ม (Integer) I = {..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...}จํานวนเต็ม และเศษส่วนของจํานวนเต็ม เรียกรวมกันว่า จํานวนตรรกยะ (Rational Number) Q = { a/b | a, b ∈ I และ b ≠ 0 }ดังนั้น เซตจํานวนนับเป็นสับเซตจํานวนเต็ม และเซตจํานวนเต็มเป็นสับเซตจํานวนตรรกยะข้อควรทราบ1. จํานวนตรรกยะที่เป็นเศษส่วนของจํานวนเต็ม จะเขียนเป็นทศนิยมซ้ําได้เสมอ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 32 ระบบจํานวนจริงและจํานวนที่เขียนเป็นทศนิยมไม่ซ้ํา จะเรียกว่า S e¾ièÁeµiÁ! Sจํานวนอตรรกยะ (Irrational Number) Q 1. ÃÒ¡·ÕèÊo§¢o§¨íҹǹeµçÁ (·Õè¶o´¤‹Òoo¡ÁÒe»š¹¨Ò¹Ç¹ íเช่น 2 = 1.4142... , 3 = 1.7321... , π ≈ 3.1416... eµçÁäÁ‹ä´Œ) ¨ae»š¹¨Ò¹Ç¹oµÃáÂaeÊÁo í 2. ¤‹Ò e «Öè§e»š¹¤‹Ò¤§·Õè·èe¡ÕèÂÇ¡aºÅo¡ÒÃi·ÖÁ (º··Õè 8) Õ2. N มีสมบัติปิดสําหรับการบวกและการคูณ ¡çe»š¹¨Ò¹Ç¹oµÃáÂaeª‹¹¡a¹ (ÁÕ¤‹Ò»ÃaÁÒ³ 2.718..) í I และ Q มีสมบัติปิดสําหรับการบวก, ลบ, และคูณ..แต่ Q ไม่มีสมบัติปิดเลย C จํานวนทั้งหมดที่กล่าวมานี้ เรียกรวมกันว่าจํานวนจริง (Real Number : R ) ซึ่งมีแผนผังความ R Imสัมพันธ์ดังที่แสดงไว้เพิ่มเติม จากเนื้อหาเรื่องจํานวนเชิงซ้อน Q Qมีจํานวนอีกหนึ่งประเภทที่ไม่ใช่จํานวนจริง เนื่องจากไม่สามารถจัดลําดับค่ามากน้อยร่วมกับจํานวนจริงบนเส้นจํานวนได้ คือรากที่สองของจํานวนลบ เช่น −2 เรียกว่า จํานวน I Q−Iจินตภาพ (Imaginary Number)เมื่อรวมกันกับเซตจํานวนจริงแล้วเรียกว่า จํานวนเชิงซ้อน(Complex Number : C ) ซึ่งจะได้ศึกษาในบทที่ 11 I- I0 I+ หรือ N 2.1 สมบัติของจํานวนจริง นอกจากสมบัติปิดซึ่งได้รู้จักแล้ว ระบบจํานวนจริงยังมีสมบัติอีกหลายลักษณะที่ควรทราบเนื่องจากเป็นพื้นฐานที่จําเป็นสําหรับวิชาคณิตศาสตร์ (ส่วนใหญ่จะเคยพบมาแล้วในระดับ ม.ต้น)สมบัติของการเท่ากัน[1] สมบัติการสะท้อน (Reflexive Property) a = a[2] สมบัติการสมมาตร (Symmetric Property) a = b ↔ b = a[3] สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property) a = b ∧ b = c → a = c[4] สมบัติการบวกและคูณด้วยจํานวนที่เท่ากัน a = b → a+c = b+c a = b → ac = bcสมบัติเกี่ยวกับการบวกและการคูณ[1] “เอกลักษณ์ (Identity)” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวนจริง a ใดก็ตามแล้วได้ผลลัพธ์เป็นจํานวน a เดิม ... ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง คือ 0 และเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนจริง คือ 1[2] “อินเวอร์ส (Inverse) ของ a” คือจํานวนที่ไปดําเนินการกับจํานวนจริง a แล้วได้ผลลัพธ์เป็นเอกลักษณ์ ... ดังนั้น เอกลักษณ์การบวกของจํานวนจริง a คือ –a และเอกลักษณ์การคูณของจํานวนจริง a คือ 1/a หรือ เขียนแทนด้วยสัญลักษณ์ a − 1[3] สมบัติปิด (Closure Property) a, b ∈ R → a + b ∈ R a, b ∈ R → a ⋅ b ∈ R[4] สมบัติการสลับที่ (Commutative Property) a+b = b+a ab = ba Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 33 ระบบจํานวนจริง[5] สมบัติการเปลี่ยนกลุ่ม (Associative Property) a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c a (b c) = (a b) c = a b c[6] สมบัติการแจกแจง (Distributive Property) a (b + c) = a b + a c (a + b) c = a c + b c[7] สมบัติสําหรับเซตของจํานวนจริงบวก ( R ) เพิ่มเติมได้แก่ สมบัติปิดของการบวก สมบัติปิดของ +การคูณ และสมบัติที่ว่า “ถ้าจํานวนจริง a ≠ 0 แล้ว a ∈ R+ หรือ −a ∈ R+ เสมอ”ทฤษฎีบทเพิ่มเติมที่ควรทราบ(พิสูจน์ได้จากสมบัติที่กล่าวแล้วข้างต้น)[1] กฎการตัดออกสําหรับการบวกและการคูณ a+c = b+c → a = b a⋅c = b⋅c → a = b เมื่อ c≠0[2] การคูณด้วยศูนย์ และจํานวนลบ 0a = a0 = 0 (−1)a = −a (−a) b = a (−b) = −a b (−a)(−b) = a b − (−a) = a* [3] ผลคูณเท่ากับศูนย์ ab = 0 → a =0 หรือ b=0[4] บทนิยามของการลบและการหาร a − b = a + (−b) a ÷ b = a b−1 เมื่อ b≠0 (ไม่นิยาม 0−1 )[5] การแจกแจงสําหรับการลบ a (b − c) = a b − a c[6] อินเวอร์สการคูณไม่เป็นศูนย์เสมอ a − 1 ≠ 0 เมื่อ a ≠ 0 a ac[7] การคูณทั้งเศษและส่วน = b bc a d ac + bd a d ad[8] การบวกและการคูณเศษส่วน + = ⋅ = b c bc b c bc −1[9] อินเวอร์สการคูณของเศษส่วน ⎛a⎞ = b ⎜ ⎟ ⎝b⎠ a ab a a ac ab ad[10] เศษส่วนซ้อน = = = c bc bc b cd bcหมายเหตุ1. ข้อ [7] ถึง [10] ตัวส่วนต้องไม่เท่ากับศูนย์2. อาจนิยามการหารด้วยการคูณ คือ a ÷ b = c ↔ a = b c ก็ได้แต่ต้องกํากับว่าเป็นจริงเมื่อ b ≠ 0 เท่านั้น (การหารด้วย 0 ในที่นี้จะไม่นิยาม)• ตัวอยาง เซตตอไปนีมีลกษณะตรงตามขอใด (ใน A, B, C, D) บาง ้ ั A. มีสมบัตปดการบวก ิ B. มีสมบัติปดการคูณ  C. เปนสับเซตของเซตจํานวนตรรกยะ Q D. เปนสับเซตของเซตจํานวนเต็ม I ก. เซตของจํานวนนับ Nตอบ A ถูก เพราะไมวาจะยกจํานวนนับจํานวนใดมาบวกกัน ผลลัพธก็ยังคงเปนจํานวนนับB ถูก เพราะไมวาจะยกจํานวนนับจํานวนใดมาคูณกัน ผลลัพธกยังคงเปนจํานวนนับ ็C ถูก เพราะจํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะD ถูก เพราะจํานวนนับทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 34 ระบบจํานวนจริง ข. เซตของจํานวนอตรรกยะตอบ A ผิด เพราะมีจํานวนอตรรกยะบางจํานวน ที่บวกกันแลวกลายเปนจํานวนตรรกยะ เชน 2 บวกกับ − 2 แลวได 0B ผิด เพราะมีจานวนอตรรกยะบางจํานวน ที่คณกันแลวกลายเปนจํานวนตรรกยะ เชน 2 ⋅ 2 = 2 ํ ูC ผิดอยางแนนอน เพราะเซตของจํานวนตรรกยะและอตรรกยะ เปนคอมพลีเมนตกันD ผิดเชนกัน เพราะไมใชวาจํานวนอตรรกยะทุกจํานวนเปนจํานวนเต็ม (ที่จริงไมมีเลยสักตัว) ค. { x | x < 0 }ตอบ A ถูก จํานวนลบหรือจํานวนศูนย เมื่อนํามาบวกกันยอมยังเปนจํานวนลบหรือศูนยB ผิด เพราะจํานวนลบคูณกันยอมไดผลลัพธเปนจํานวนบวกC และ D ผิด เพราะจํานวนลบบางจํานวนไมใชจํานวนตรรกยะ (และจํานวนเต็ม) เชน − 2 ง. {1.414, 22/7}ตอบ A และ B ผิด เพราะเมื่อหยิบจํานวนจากเซตนี้มาบวก (หรือคูณ) กัน ผลลัพธไมอยูในเซตนี้ C ถูก เพราะเลขทศนิยม และเศษสวนของจํานวนเต็ม เปนจํานวนตรรกยะเสมอ ( 22/7 ≠ π )D ผิดแนนอน เพราะสมาชิกในเซตนี้ไมใชจํานวนเต็ม จ. {−1, 0, 1}ตอบ A ผิด เพราะเมื่อหยิบบางจํานวนมาบวกกัน ผลลัพธที่ไดไมอยูในเซตนี้ เชน 1 + 1 = 2B ถูก เพราะไมวาจะหยิบจํานวนใดมาคูณกัน ผลลัพธที่ไดก็ยังอยูในเซตนี้เสมอC และ D ถูก เพราะสมาชิกทุกตัวเปนจํานวนเต็ม (จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ) ฉ. { 10 x | x ∈ I }ตอบ { 10 x | x ∈ I } = {0, ±10, ±20, ±30, ...} เขียนแจกแจงสมาชิกเพือใหพิจารณางาย ่A และ B ถูก เพราะไมวาจะหยิบจํานวนใดในเซตนี้มาบวก (หรือคูณ) กัน ผลลัพธที่ไดยังอยูในเซตนี้C และ D ถูก เพราะสมาชิกทุกตัวเปนจํานวนเต็ม (จํานวนเต็มทุกจํานวนเปนจํานวนตรรกยะ) แบบฝึกหัด 2.1(1) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S (1.1) 0.343443444... เป็นจํานวนตรรกยะ o¨·Âã¹Ãٻ溺¢Œo¤ÇÒÁ¶Ù¡ËÃ×o¼i´¹aé¹ Ê‹Ç¹ÁÒ¡ (1.2) 0.112112112... เป็นจํานวนอตรรกยะ ¶ŒÒo‹Ò¹¢Œo¤ÇÒÁe¾Õ§e¼i¹æ ¨a´ÙeËÁ×o¹Ç‹Ò¶Ù¡ 测·èÕ (1.3) ถ้า a 2 เป็นจํานวนคู่ แล้ว a ต้องเป็นจํานวนคู่ ¨Ãi§ºÒ§¢Œo¤ÇÒÁ¡ç¼i´.. (1.4) ถ้า a 2 เป็นจํานวนคี่ แล้ว a ต้องเป็นจํานวนคี่ ¡Òõoºo¨·ÂÅa¡É³a¹Õé¤ÇþÂÒÂÒÁ¡¡Ã³Õ·èÕ(2) ถ้า a, b, c ∈ R แล้ว ข้อความในแต่ละข้อต่อไปนี้ถูกหรือผิด ¼i´¢Öé¹ÁÒÊa¡ 1 ¡Ã³Õ ¶ŒÒËÒ䴌¡çæÊ´§Ç‹Ò¢Œo¤ÇÒÁ (2.1) ถ้า a b = a แล้ว b = 1 ¹aé¹¼i´ (¡ÒáµaÇo‹ҧ¨Ò¹Ç¹ o‹ÒÅ×Á·´Êoº í ¨íҹǹµi´Åº ¨íҹǹµi´Ãٌ· æÅa¨Ò¹Ç¹·È¹iÂÁ·Õè í (2.2) ถ้า a b = 0 แล้ว a = 0 และ b = 0 äÁ‹¶Ö§ 1 ´ŒÇÂ) ... 测¶ŒÒËÒÂa§ä§¡çËÒäÁ‹ä´Œ ¢Œo¤ÇÒÁ (2.3) เมื่อ b ≠ 0 ถ้า a = c แล้ว a = c ¹a鹡çÁoo¡Òʨa¶Ù¡ÊÙ§ (¶ŒÒ¨aºo¡Ç‹Ò¶Ù¡ªaÇÃæ ¤§ Õ b b a a µŒo§ãªŒÇi¸¾iÊÙ¨¹ «Ö觺ҧ¢Œo¡çÂÒ¡¹a¤Ãaº..) Õ (2.4) เมื่อ b, c ≠ 0 ถ้า = แล้ว b = c b c Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 35 ระบบจํานวนจริง(3) เซตในข้อใดมีสมบัติปิดของการบวก และการคูณ ก. เซตของจํานวนเต็มลบทั้งหมด ข. เซตของจํานวนเฉพาะบวกที่ไม่ใช่ 2 ค. เซตของจํานวนตรรกยะที่ไม่ใช่จํานวนเต็ม ง. เซตของจํานวนเต็มที่หารด้วย 4 ลงตัว(4) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (4.1) เซตของจํานวนจริง มีสมบัติปิดของการลบ (4.2) เซตของจํานวนจริง มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการลบ (4.3) เซตของจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มีสมบัติปิดของการหาร (4.4) เซตของจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มีสมบัติการเปลี่ยนกลุ่มของการหาร(5) เมื่อกําหนดเซต A = { x ∈ N | x ∈ Q } และ B = N − A แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (5.1) A มีสมบัติปิดการคูณ แต่ B ไม่มีสมบัติปิดการคูณ (5.2) A ไม่มีสมบัติปิดการบวก และ B ไม่มีสมบัติปิดการบวก(6) เซต A ในข้อใดทําให้ข้อความต่อไปนี้เป็นจริง“ถ้า x ∈ A แล้ว จะมี y ∈ A ซึ่ง x y = 1 และ xy ∈ A” ก. เซตของจํานวนเต็มที่ไม่ใช่ 0 ข. เซตของจํานวนจริง ค. เซตของจํานวนอตรรกยะ ง. เซตของจํานวนตรรกยะที่ไม่ใช่ 0 1(7) ให้หาอินเวอร์สการคูณของ และ 6+ 5เอกลักษณ์การคูณของ 6+ 5 * a b c a a b c(8) กําหนดตารางการดําเนินทวิภาคดังขวามือ ข้อใดต่อไปนี้ถูกต้อง ก. (a ∗ b) ∗ a = c ข. (b ∗ c) ∗ b = a b b c a ค. (a ∗ b) ∗ (c ∗ b) = b ง. (c ∗ a) ∗ (b ∗ a) = b c c a b(9) การดําเนินการ ∗ สําหรับจํานวนจริง ในข้อใดไม่มีสมบัติการสลับที่ ก. x ∗ y = 3 x y + (x + y) ข. x ∗ y = 2 (x + y) − 3 x y 3 1 ค. x ∗ y = − ง. x ∗ y = 2 x y + 1 xy x+y x−y(10) [Ent’24] กําหนด a ∗ b = 3ab + (a + b) แล้ว x ∗ (y ∗ z) = (z ∗ y) ∗ x หรือไม่(11) ถ้า A เป็นเซตของจํานวนนับคี่ และกําหนดตัวดําเนินการ ⊕ กับ ⊗ บนเซต A ดังนี้a ⊕b = a + b และ a ⊗ b = a b แล้วข้อใดต่อไปนี้ถูกหรือผิดบ้าง 2 2 (11.1) เซต A มีสมบัติปิด และมีสมบัติการสลับที่ ภายใต้การดําเนินการ ⊕ (11.2) เซต A ไม่มีสมบัติปิด แต่มีสมบัติการสลับที่ ภายใต้การดําเนินการ ⊗ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 36 ระบบจํานวนจริง 2.2 ทฤษฎีบทเศษเหลือ และตัวประกอบ พหุนามตัวแปรเดียว ที่มี x เป็นตัวแปร จะอยู่ในรูป anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 โดยที่ aเป็นค่าคงที่ (สัมประสิทธิ์) และ n เป็นจํานวนนับ นิยมใช้สัญลักษณ์แทนพหุนามว่า p (x)นอกจากนั้น สัญลักษณ์ p (c) หมายถึงการแทนค่า x ด้วยจํานวน cเช่น p (x) = 4x3 − x2 − 2x + 6 จะได้ว่า p (−1) = 4 (−1)3 − (−1)2 − 2 (−1) + 6 = 3 การแก้สมการพหุนามตัวแปรเดียว anxn + an − 1xn − 1 + ... + a1x + a0 = 0 จะต้องแยกตัวประกอบให้สมการอยู่ในรูปผลคูณเท่ากับศูนย์ โดยมีเทคนิคต่างๆ ที่ศึกษาผ่านมา ได้แก่ กําลังสองสมบูรณ์ ผลต่างของกําลังสอง ผลบวกและผลต่างของกําลังสาม เป็นต้น แต่สําหรับสมการที่มีดีกรีมากกว่าสอง ทฤษฎีบทต่อไปนีจะช่วยให้การแยกตัวประกอบสะดวกขึ้น ้ ทฤษฎีบทเศษเหลือ (Remainder Theorem) กล่าวว่า“ถ้าหาร p(x) ด้วย x – c แล้ว จะเหลือเศษเท่ากับ p(c)”และหากการหารนี้เหลือเศษ 0 พอดี (หารลงตัว) จะกล่าวว่า x – c เป็นตัวประกอบของ p(x)นั่นคือ “พหุนาม p(x) จะมี x – c เป็นตัวประกอบหนึ่ง ก็ตอเมื่อ p(c) = 0” ่เรียกทฤษฎีนี้ว่า ทฤษฎีบทตัวประกอบ (Factor Theorem) เรานําทฤษฎีบททั้งสองมาช่วยในการแยกตัวประกอบของ p(x) ได้ โดยการสุ่มหาค่า c ที่ทําให้ p(c) = 0 พอดี เพื่อให้ได้ตัวประกอบ x – c ... แล้วนํา x – c ที่ได้ไปหารออกจาก p(x) เพื่อลดทอนกําลัง n ลง ทําซ้ําจนแยกตัวประกอบได้ครบ ยังมีอีกทฤษฎีที่ทําให้เลือกค่า c ได้รวดเร็ว นั่นคือ ทฤษฎีบทตัวประกอบจํานวนตรรกยะซึ่งกล่าวว่า “ถ้า x – (k/m) เป็นตัวประกอบของ p(x) แล้ว.. k เป็นตัวประกอบของ a0 และm เป็นตัวประกอบของ an ” (โดยเศษส่วน k/m เป็นเศษส่วนอย่างต่ําเท่านั้น) สรุปวิธีการหาตัวประกอบ x – c ของ p(x) เมื่อ c เป็นจํานวนตรรกยะ คือนําค่า k มาจากตัวประกอบของ a0 และนําค่า m มาจากตัวประกอบของ an ... ค่า c ที่เป็นไปได้จะอยู่ในบรรดาเศษส่วน k/m เหล่านี้เท่านั้น (อย่าลืมคิดทั้งจํานวนบวกและจํานวนลบ) ดูตัวอย่างวิธีคํานวณได้ในเรื่องการหารสังเคราะห์หมายเหตุ หากจํานวน c ไม่ใช่จํานวนตรรกยะ เช่น x2 − 2 = (x − 2)(x + 2) จะใช้ทฤษฎีนี้ไม่ได้ 3 2• ตัวอยาง 2x − x + 6x − 1 หารดวย x − 2 เหลือเศษเทาใด 3 2ตอบ ใชทฤษฎีเศษ จะไดวาเศษจากการหาร 2x − x + 6x − 1 ดวย x − 2 ก็คือ 3 22(2) − (2) − 6(2) + 1 = −7 ... (สามารถตรวจคําตอบไดโดยการตั้งหารยาว หรือหารสังเคราะห) 3 2• ตัวอยาง 2x − x + 6x − 1 หารดวย x + 1 เหลือเศษเทาใด 3 2ตอบ ใชทฤษฎีเศษ จะไดวาเศษจากการหาร 2x − x + 6x − 1 ดวย x + 1 ก็คือ 3 22(−1) − (−1) − 6(−1 + 1 = 4 ... (สามารถตรวจคําตอบไดโดยการตั้งหารยาว หรือหารสังเคราะห) ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 37 ระบบจํานวนจริง• ตัวอยาง ฟงกชนพหุนามดีกรีสอง p (x) ฟงกชันหนึ่ง พบวาเมื่อหารดวย x แลวเหลือเศษ 3 , เมื่อ ัหารดวย x − 1 เหลือเศษ 12 , และเมื่อหารดวย x − 2 จะเหลือเศษ 25 ก. ฟงกชัน p (x) นี้หารดวย x − 3 เหลือเศษเทาใดวิธีคิด การจะทราบคําตอบขอนี้ จะตองหาใหไดกอนวา p (x) คืออะไร 2โดยทั่วไปพหุนามดีกรีสอง ตองมีลักษณะเปน Ax + Bx + C ซึ่งจะเห็นวา มีสัมประสิทธิ์ 3 ตัวเราจึงใชคําใบที่โจทยใหมา 3 อยาง ในการสรางระบบสมการเพือหาสัมประสิทธิ์ 3 ตัวนี้ ่ 2“หารดวย x แลวเหลือเศษ 3 ” แปลวา p (0) = 3 หรือ A(0) + B(0) + C = 3 2“หารดวย x − 1 แลวเหลือเศษ 12 ” แปลวา p (1) = 12 หรือ A(1) + B(1) + C = 12 2“หารดวย x − 2 แลวเหลือเศษ 25 ” แปลวา p (2) = 25 หรือ A(2) + B(2) + C = 25 2แกสามสมการรวมกัน ไดผลเปน A = 2 , B = 7 , C = 3 ... ดังนัน p (x) = 2x + 7x + 3 ้ 2ดังนั้น p (x) นี้หารดวย x − 3 จะเหลือเศษ 2(3) + 7(3) + 3 = 42 ข. ฟงกชัน p (x) นี้หารดวย x − c ลงตัว เมื่อ c เทากับเทาใดตอบ p (x) หารดวย x − c ลงตัว ... แปลวา มี x − c เปนตัวประกอบหนึ่งนั่นเอง 2และเนื่องจาก p (x) = 2x + 7x + 3 = (2x + 1)(x + 3) จึงไดคําตอบวาp (x) นี้จะหารดวย x − c ลงตัว เมื่อ c = −1/2 หรือ c = −3หรืออาจกลาววา p (c) = 0 (หารลงตัวคือไมมีเศษ) ดังนั้น 22c + 7c + 3 = (2c + 1 + 3) = 0 จะได c = −1/2 หรือ c = −3 เชนเดียวกัน )(c ค. ฟงกชัน p (x) นี้หารดวย x − c เหลือเศษ 7 เมื่อ c เทากับเทาใดตอบ p (x) หารดวย x − c เหลือเศษ 7 ... แปลวา p (c) = 7 2 2ดังนั้น 2c + 7c + 3 = 7 แกสมการได 2c + 7c − 4 = (2c − 1)(c + 4) = 0จึงไดคําตอบวา c = 1/2 หรือ c = −4หรืออาจกลาววา “ p (x) หารดวย x − c เหลือเศษ 7 ” คือ “ p (x) − 7 หารดวย x − c ลงตัว”(ยกตัวอยางเชน 38 หารดวย 5 เหลือเศษ 3 แสดงวา 38 − 3 ยอมหารดวย 5 ลงตัว) 2ดังนั้น p (x) − 7 = 2x + 7x − 4 = (2x − 1)(x + 4) ได c = 1/2 หรือ c = −4 เชนกันเทคนิคการหารพหุนาม ด้วยวิธีหารสังเคราะห์ (Synthetic Division) วิธีหาผลหารของพหุนาม ที่เคยได้ศึกษาผ่านมาแล้วคือการตั้งหารยาว สามารถใช้หารพหุนามได้ทุกกรณี (หารด้วยดีกรีเท่าใดก็ได้) ... แต่ในกรณี “การหารพหุนามด้วย x – c (ดีกรีหนึ่ง)”เราสามารถทําได้รวดเร็วยิ่งขึ้นโดยการหารสังเคราะห์ ในที่นี้สมมติว่า จะหาผลของการหาร x4 − 3x3 + 4x2 + x − 6 ด้วย x − 21. เขียนสัมประสิทธิ์ของพหุนามที่เป็นตัวตั้ง (ในที่นี้คือ 1, −3, 4, 1, −6 ) เรียงกันในบรรทัด โดยใส่ค่าc จากตัวหาร (ในที่นี้คือ 2) ลงในช่องด้านหน้าสุด และเว้นบรรทัดไว้ในลักษณะดังนี้ 2 1 −3 4 1 −6 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 38 ระบบจํานวนจริง2. เริ่มขั้นตอนการหารโดยนําตัวเลขในหลักแรกสุด (ในที่นี้คือ 1) ลงมาเขียนด้านล่างตรงบรรทัดของผลลัพธ์ ... จากนั้นใช้ตัวหาร (คือ 2) คูณผลลัพธ์นี้ ไปใส่ไว้ใต้หลักถัดไป 2 1 −3 4 1 −6 ↓ 2 13. พิจารณาที่หลักถัดไป ให้บวกเลขเข้าด้วยกัน ( −3 + 2 = −1 ) นําไปใส่ไว้บรรทัดล่างแล้วใช้ตัวหาร (คือ 2) คูณผลลัพธ์นี้ ไปใส่ไว้ใต้หลักถัดไปอีก ... ทําซ้ําเรื่อยๆ จนครบทุกหลัก 2 1 −3 4 1 −6 + 2 −2 4 10 1 −1 2 5 44. ในบรรทัดผลลัพธ์ที่ได้ ตัวเลขในหลักสุดท้ายคือ เศษ และตัวเลขที่เหลือด้านหน้าคือสัมประสิทธิ์ของผลหาร (ดีกรีลดลงไปหนึ่งเสมอ) ... ในที่นี้ผลหารก็คือ x3 − x2 + 2x + 5 เศษ 4 3• ตัวอยาง ใหหาเศษจากการหาร 2x − 7x + 6 ดวย x + 1วิธีคิด หากไมตองการใชทฤษฎีเศษ  −1 2 0 −7 6 −2 2 5ก็สามารถใชวิธีตั้งหารสังเคราะห ไดผลดังนี้ 2 2 −2 −5 11แสดงวา ผลหารเปน 2x − 2x − 5 และเหลือเศษ 11หมายเหตุ พจนใดหายไป เมือตังหารสังเคราะหตองใส ่ ้ 2สัมประสิทธิ์เปน 0 ดวย (เชนในโจทยขอนี้ไมมีพจน x ) มิฉะนั้นผลหารที่ไดจะไมถูกตอง 3 2• ตัวอยาง ใหแยกตัวประกอบพหุนาม 3x − 7x + 4วิธีคิด เนื่องจากตัวประกอบของ 4 (สัมประสิทธิตัวสุดทาย) ไดแก ±1, ±2, ±4 ์และตัวประกอบของ 3 (สัมประสิทธิ์ตัวแรกสุด) ไดแก ±1, ±3จากทฤษฎีตัวประกอบจํานวนตรรกยะ จะไดวาจํานวนทีนาจะเปนคําตอบ ไดแก ่±1, ± 2, ± 4, ± 1/3, ± 2/3, ± 4/3 ... 1 3 −7 0 4จากนั้นทดลองนําจํานวนเหลานีมาหารสังเคราะหทีละจํานวน ้ 3 −4 −4หากพบวาตัวใดทําใหเศษเปน 0 ตัวนั้นก็จะเปนคําตอบ ... 2 3 −4 −4 0 6 4ซึ่งจากการหารสังเคราะหในตัวอยางดานขวานี้ ทําใหทราบวา 3 2 03x3 − 7x2 + 4 = (x − 1 − 2)(3x + 2) )(xหมายเหตุ ลําดับของตัวหารไมจําเปนตองเหมือนกับในตัวอยาง (เชนอาจจะใช 2 กอนก็ได) แบบฝึกหัด 2.2(12) ถ้าหาร 4x3 − 21x2 + 26x − 17 ด้วย x − 4 แล้วเหลือเศษ aและหาร 3x3 + 13x2 + 11x + 5 ด้วย x + 3 แล้วเหลือเศษ b แล้วให้หาค่าของ b – a(13) ถ้า x−1 หาร x2 + 2a และ x +2 หาร x+ a แล้วเหลือเศษเท่ากัน ค่า a เป็นเท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 39 ระบบจํานวนจริง(14) ถ้าหาร x4 − x3 + 3x2 − x − 1 และ 2x3 + x2 + 75x + a ด้วย x −5 แล้วเหลือเศษเท่ากัน ค่า aเป็นเท่าใด a 1 2(15) ถ้า x −2 เป็นตัวประกอบร่วมของ x3 − ax2 + x + 2b กับ x + x −b แล้ว 4 aค่า a+b เป็นเท่าใด(16) ถ้า x2 − 2x − 3 เป็นตัวประกอบของ x4 + ax3 + bx2 + 3x + 4และ x2 + x − 2 เป็นตัวประกอบของ x3 + 10x2 + cx + d แล้ว a + b + c + d มีค่าเท่าใด(17) ให้หา ห.ร.ม. ของพหุนาม x3 − 7x + 6 , 3x3 − 7x2 + 4 และ x4 − 3x3 + 6x − 4(18) ให้หา ค.ร.น. ของพหุนาม x3 − 2x2 − 5x + 6 และ x3 + x2 − 10x + 8 S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S(19) แยกตัวประกอบของพหุนามต่อไปนี้ ¶ŒÒËÒÃÊa§e¤ÃÒaˏ´ŒÇÂeÅ¢eÈÉʋǹ eª‹¹ 2/3 æŌǾºÇ‹Ò㪌䴌 (eÈÉ3x6 − 2x5 − 64x4 + 96x3 − 27x2 + 98x + 40 e»š¹Èٹ) æÊ´§Ç‹Ò µaÇ»Ãa¡oº·Õè䴌¤×o x-2/3 ¹a¤Ãaº ... o‹Òe¾iè§ e¢Õ¹ 3x-2 ¨¹¡Ç‹Ò¨a´Ö§ 3 ¨Ò¡Ç§eÅçºo×è¹ÁÒ¤Ù³¡‹o¹ ¹a¤Ãaº!(20) ให้หาเซตคําตอบของสมการ x2 + a2b2 + 2abx − b2 = 0 (20.1) เมื่อ a เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง (20.2) เมื่อ b เป็นเอกลักษณ์การบวกในระบบจํานวนจริง (20.3) เมื่อ a เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนจริง (20.4) เมื่อ b เป็นเอกลักษณ์การคูณในระบบจํานวนจริง 2.3 อสมการสมบัติของการไม่เท่ากัน[1] บทนิยามของการมากกว่าและน้อยกว่า a < b ↔ b − a ∈ R+ a > b ↔ a − b ∈ R+[2] สมบัติการถ่ายทอด (Transitive Property) a > b ∧ b > c → a > c[3] สมบัติการบวกและคูณด้วยจํานวนที่เท่ากัน a > b → a+c > b+c a > b → ac > bc , c>0 a > b → ac < bc , c<0[4] กฎการตัดออกสําหรับการบวกและการคูณ a+c > b+c → a > b ac > bc → a > b , c>0 ac > bc → a < b , c<0[5] สมบัติไตรวิภาค (Trichotomy Property) ถ้า a, b ∈ R แล้ว a = b หรือ a < b หรือ a > b อย่างใดอย่างหนึ่ง[6] บทนิยามของการไม่มากกว่าและไม่น้อยกว่า a < b ↔ a ไม่มากกว่า b (น้อยกว่าหรือเท่ากับ) a > b ↔ a ไม่น้อยกว่า b (มากกว่าหรือเท่ากับ)[7] การเปรียบเทียบสองด้าน a<b<c ↔ a<b และ b<c a<b<c ↔ a<b และ b < c a<b<c ↔ a<b และ b<c a<b < c ↔ a<b และ b < c Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 40 ระบบจํานวนจริงช่วง และการแก้อสมการ ช่วง (Interval) คือเซตที่บอกสมาชิกด้วยขอบเขตนิยมแสดงเป็นกราฟบน เส้นจํานวน (Number Line) a b ช่วงเปิด (a, b) หมายถึง { x | a < x < b } ช่วงปิด [a, b] หมายถึง { x | a < x < b } ช่วงครึ่งเปิด (a, b] หมายถึง { x | a < x < b } และช่วงครึ่งเปิด [a, b) หมายถึง { x | a < x < b} ช่วง (a, ∞) หมายถึง { x | x > a } ช่วง [a, ∞) หมายถึง { x | x > a } ช่วง (−∞, a) หมายถึง { x | x < a } ช่วง (−∞, a] หมายถึง { x | x < a } และช่วง (−∞, ∞) หมายถึงเซตของจํานวนจริง R * สองกรอบนี้ใช้ประกอบโจทย์แบบฝึกหัดข้อ 23 ถึง 25 2ขอบเขตของ x เมื่อกําหนด a < x < b 2 2- ถา a > 0 และ b > 0 จะไดขอบเขตเปน (a , b ) 2 2- ถา a < 0 และ b < 0 จะไดขอบเขตเปน (b , a )- ถา a < 0 ขณะที่ b > 0 ขอบเขตที่ไดจะมีคาต่ําสุดเปน 0 และเปนชวงครึ่งปด (เปน 0 ได)  2 2คาสูงสุดใหเลือกระหวาง a กับ b วาตัวใดมากกวากันเชนถา x ∈ (−4, 3) จะเห็นวา x มีคาตั้งแตติดลบจนถึงบวกแสดงวาผานคานอยๆ เชน −1, 0, 1 ฯลฯ ดวย ...เมื่อนําไปยกกําลังสอง คาต่ําสุดจึงตองเปน 0 2สวนคาสูงสุดเลือกระหวาง 9, 16 ... สรุปวา x อยูในชวง [0, 16) 2หมายเหตุ : ขอบเขตของ x ก็คดในลักษณะเดียวกันกับ x ิหลักในการคํานวณ (บวกลบคูณหาร) ระหวาง 2 ชวง คือ a < x < b และ c < y < dสมมติตองการผลคูณ xy ใหหาผลคูณ ac, ad, bc, bd ใหครบแลวพิจารณาวาในผลคูณทั้งสี่ทีได ตัวใดมีคาต่ําสุดและตัวใดสูงสุด ... คา xy จะอยูในชวงนั้น ่เชน ถา x ∈ (−1, 3) และ y ∈ (−5, 4) ถามวา xy อยูในชวงใดเนื่องจากผลคูณทั้งสี่คือ 5, −4, −15, 12 ... ดังนัน xy อยูในชวง (−15, 12) ้กับการบวก ลบ และหาร ก็ทําเชนเดียวกัน เชนในตัวอยางเดิมนี้ผลหารทั้งสี่เปน 1/5, −1/4, −3/5, 3/4 ... ดังนัน x / y อยูในชวง (−3/5, 3/4) ้ขอสังเกต คา x + y จะมีขอบเขตเปน (a+c, b +d) เสมอ(ตัวนอยสุดยอมเกิดจากนอยบวกนอย และตัวมากสุดยอมเกิดจากมากบวกมาก)และคา x − y จะมีขอบเขตเปน (a−d, b−c) เสมอเนื่องจากการนําลบคูณ y จะกลับดานเปน −d < −y < −c ... แลวนํามาบวกกันกับ x Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 41 ระบบจํานวนจริง สมการ (Equality) คือประโยคที่มีตัวแปรและกล่าวถึงการเท่ากัน การแก้สมการ คือการหาค่าของตัวแปรที่ทําให้ประโยคนั้นเป็นจริง อาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของสมการ” หรือการหา “รากของสมการ” ก็ได้ ส่วน อสมการ (Inequality) คือประโยคที่มีตัวแปรและกล่าวถึงการไม่เท่ากัน (ได้แก่ > > < < หรือ ≠ ) การแก้อสมการ ก็คือการหาค่าของตัวแปรที่ทําให้ประโยคนั้นเป็นจริง ซึ่งอาจกล่าวว่าเป็นการหา “เซตคําตอบของอสมการ” ก็ได้เช่นกัน S ¡ÒÃ桌oÊÁ¡Òùaé¹ÁÕ¢Œo¤ÇÃÃaÇa§´a§¹Õé 1. ¡ÒúǡËÃ×oź·aé§Êo§¢ŒÒ§¢o§oÊÁ¡Òà æÅa¡Òõa´oo¡ÊíÒËÃaº¡Òúǡź ·íÒ䴌eÊÁo 2. ¡ÒäٳËÃ×oËÒ÷aé§Êo§¢ŒÒ§¢o§oÊÁ¡Òà µŒo§ÃaÇa§eÃ×èo§¡ÒÃe»ÅÕè¹e¤Ã×èo§ËÁÒ ¶ŒÒ¹Ò¨íҹǹź¤Ù³ËÃ×oËÒ÷aé§Êo§¢ŒÒ§¢o§ÊÁ¡Òà µŒo§¡Åaº´ŒÒ¹e¤Ã×èo§ËÁÒÂÁÒ¡¡Ç‹Ò/¹ŒoÂ¡Ç‹Ò í 3. ¡ÒáÅaºeÈÉe»š¹Ê‹Ç¹ ¡Òá¡íÒÅa§Êo§·aé§Êo§¢ŒÒ§ ¡Òäٳä¢ÇŒ ¶ŒÒäÁ‹¨íÒe»š¹äÁ‹¤Ç÷íÒ¹a¤Ãaº e¾ÃÒae¤Ã×èo§ËÁÒÂoÒ¨¼i´ (¤×oºÒ§¤Ãaé§eÃÒäÁ‹·ÃҺ湋ªa´Ç‹ÒµŒo§¡Åaº´ŒÒ¹e¤Ã×èo§ËÁÒÂËÃ×oäÁ‹)เทคนิคการหาช่วงคําตอบของอสมการพหุนาม1. เมื่อแยกตัวประกอบเรียบร้อยแล้ว อสมการโดยทั่วไป (ในตัวอย่างสมมติว่าเครื่องหมายเป็น >) 2จะอยู่ในรูป (x − c1)(x − c2)(x − c3)... > 0 เช่น (x + 3)(x −31) > 0 (x − d1)(x − d2)... x (x − 2)2. เขียนเส้นจํานวนและระบุตําแหน่งของ c1, c2 , c3 , d1, d2 , ... ให้ครบทุกตัว(เรียงตามลําดับน้อยไปมาก) และหากมีตัวประกอบใดอยู่หลายครั้งก็เขียนจุดเป็นจํานวนเท่านั้นครั้งด้วย เช่นในภาพ -3 0 1 1 2 2 23. ใส่เครื่องหมาย +, –, +, – สลับกันไปในช่วงย่อยๆบนเส้นจํานวน โดยเริ่มจากช่วงขวามือที่สุดเป็น + เสมอ - + - + - + - + -3 0 1 1 2 2 24. หากในอสมการเป็นเครื่องหมาย “มากกว่าศูนย์” ช่วงคําตอบจะเป็นช่วงเปิด ในช่วง +หากเป็นเครื่องหมาย “น้อยกว่าศูนย์” ช่วงคําตอบจะเป็นช่วงเปิด ในช่วง –โดยที่ถ้ามีเครื่องหมาย “เท่ากับศูนย์” อยู่ด้วย ช่วงคําตอบจะเปลี่ยนเป็นช่วงปิดทั้งนี้ต้องระวังเรื่องเศษส่วน ที่ตัวส่วนต้องไม่เป็นศูนย์ - + - + - + - +( x ≠ d1, d2 , ... ) -3 0 1 1 2 2 25. จัดรูปคําตอบให้กระชับ (ยุบรวมจุดที่เป็นจุดเดียวกัน) -3 0 1 2เช่น ในตัวอย่างนี้ตอบว่า x ∈ [−3, 0) ∪ {1} ∪ (2, ∞)* หากมีจุดซ้ํากันเกิน 2 จุด (ยกกําลังมากกว่า 2) ถ้าเป็นกําลังคู่ให้เขียนจุดเพียง 2 จุด แต่ถ้าเป็นกําลังคี่ให้เขียนจุดเพียงจุดเดียว เนื่องจากในตอนท้าย ช่วงที่ได้ก็จะยุบรวมกันเสมอข้อควรระวัง S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! Sการใช้เส้นจํานวนในการหาคําตอบ สัมประสิทธิ์หน้า x ทุกๆ ¡ÒÃe¢Õ¹¤Òµoº¢o§ÊÁ¡ÒÃæÅaoÊÁ¡Òèaµ‹Ò§¡a¹ íวงเล็บจะต้องไม่ติดลบ (หากติดลบให้นํา -1 คูณทั้งสองข้าง ¹a¤Ãaº.. ¶ŒÒe»š¹ÊÁ¡ÒÃeÃÒ¨aºæµ‹ÅaǧeÅçºe»š¹ 0เพื่อให้เครื่องหมายกลายเป็นบวก และอย่าลืมกลับด้าน 䴌 eª‹¹ (x-2)(x-3) = 0 ¨a䴌 x = 2, 3เครื่องหมายมากกว่า/น้อยกว่าด้วย) เช่น (x+1)(3-x) > 0 ¶Ù¡µŒo§ ..测¶ŒÒe»š¹oÊÁ¡Òà (x-2)(x-3) < 0แบบนี้ต้องเปลี่ยนเป็น (x+1)(x-3) < 0 ก่อน ¨a¡ÅÒÂe»š¹ x < 2, 3 äÁ‹ä´Œe´ç´¢Ò´! µŒo§ËÒª‹Ç§¤íÒµoº¨Ò¡eʌ¹¨Ò¹Ç¹e·‹Ò¹aé¹¹a¤Ãaº! í Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 42 ระบบจํานวนจริง x 2+ 2x − 19• ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ = 4 x−4วิธีคิด สามารถยายขางไปคูณไดทนที (แตตองกํากับเงื่อนไขวา x − 4 ≠ 0 → x ≠ 4 ดวย) ั 2 2จะได x + 2x − 19 = 4 (x − 4) ... จากนันยายทางขวามาลบเปน x − 2x − 3 = 0 ้หรือ (x + 1)(x − 3) = 0 ... ดังนั้น คําตอบคือ {−1, 3} x 2+ 2x − 19• ตัวอยาง ใหหาชวงคําตอบของอสมการ < 4 x−4วิธีคิด อสมการนี้ยายขาง x−4 ไปคูณไมได เพราะไมแนใจวาตองกลับเครื่องหมาย < หรือไม 2 x + 2x − 19ดังนั้นจึงใชวิธียายเลข 4 ทางขวามาลบแทน ... ไดเปน − 4 < 0 x−4 x 2− 2x − 3 (x + 1)(x − 3)จัดรูปฝงซายใหเปนเศษสวนเดียว คือ < 0 จากนันเปน ้ < 0 x−4 x−4อยูในรูปที่ตองการแลว เขียนเสนจํานวนเพื่อหาคําตอบ  - + - +(อยาลืม x ≠ 4 ) ... และคําตอบทีไดคือ (−∞, −1] ∪ [3, 4) ่ -1 3 4หมายเหตุถ้ามีพหุนามดีกรีสองที่แยกตัวประกอบเป็นจํานวนจริงไม่ได้ (คือใช้ S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S −B ± B2 − 4AC ¡Ò÷ÕèeÃÒ桵aÇ»Ãa¡oºã¹ã¨æŌǹ֡eÅ¢สูตร แล้วพบว่าในรู้ทติดลบ) เวลาเขียนเส้นจํานวน 2A äÁ‹oo¡ äÁ‹ä´Œæ»ÅNjҡŒo¹¹aé¹æ¡äÁ‹ä´Œ¹aให้ละทิ้งก้อนนั้นไปได้เลย เขียนจุดเฉพาะตัวประกอบที่แยกเป็นกําลัง ¤Ãaº.. ¨aµŒo§Åo§ãªŒÊµÃ´Ù¡‹o¹ eª‹¹ Ùหนึ่งได้ (เพราะก้อนนั้นจะเป็นบวกเสมอ และไม่มีผลต่อความจริงเท็จ x2+x-3 < 0 㪌ÊÙµÃ䴌 −1 ± 1 + 12ของอสมการ) เช่น 2 2(x + 2)(x − 5)(x + 2x + 2) 溺¹ÕéÊÒÁÒöe¢Õ¹eʌ¹¨íҹǹ䴌 æÅa < 0 จะได้เส้นจํานวนดังนี้ x−3 ⎡ −1 − 13 −1 + 13 ⎤ ª‹Ç§¤íÒµoº¤×o ⎢ , - + - + ⎣ 2 2 ⎥ ⎦ -2 3 5สมบัติความบริบูรณ์ (The Axiom of Completeness) เป็นสมบัติข้อสุดท้ายของระบบจํานวนจริง มีชื่ออีกอย่างหนึ่งว่า สัจพจน์การมีค่าขอบเขตบนน้อยสุด (Least Upper Bound Axiom) ค่าขอบเขตบน คือค่าจํานวนจริงซึ่งไม่น้อยกว่าสมาชิกใดๆ ในเซตที่กําหนดให้เช่น เซต S = {0, −1, −2, −3, −4, ...} มีค่าขอบเขตบนเป็น 0 หรือ 0.5 หรือ 1.8 หรืออื่นๆ เพราะค่าเหล่านี้ไม่น้อยกว่าสมาชิกใดใน S แต่ ค่าขอบเขตบนน้อยสุด ได้แก่ 0 เท่านั้นค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (a, b) และ (a, b] และ [a, b] คือค่า bค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (−∞, b) และ (−∞, b] คือค่า bค่าขอบเขตบนน้อยสุดของช่วง (a, ∞) และ [a, ∞) และ (−∞, ∞) หาไม่ได้ สมบัติข้อสุดท้ายของระบบจํานวนจริง กล่าวว่า “สับเซตใดๆ ของ R ถ้ามีขอบเขตบนแล้วค่าขอบเขตบนน้อยสุดจะยังอยู่ใน R ” ซึ่งสมบัติข้อนี้ในระบบจํานวนอื่นบางระบบ เช่น Q ไม่มี Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 43 ระบบจํานวนจริง แบบฝึกหัด 2.3(21) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (21.1) ถ้า (a − b)(b − c)(c − d) > 0 แล้ว a > b > c > d (21.2) ถ้า a < b และ n ∈ N แล้ว an < bn a+b (21.3) ถ้า a > 0 , b > 0 และ a ≠ b แล้ว > ab 2 b a 1 1 (21.4) ถ้า a > 0, b > 0 และ a ≠ b แล้ว + 2 > + a2 b a b(22) ถ้า a < b < c แล้ว ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด a+b (22.1) a < < b (22.3) a3 < b3 < c3 2 a+b+c (22.2) a < < c (22.4) ab < bc 3(23) ถ้า −7 < x < 5 และ 3 < y < 6 แล้ว ค่าต่อไปนี้อยู่ในช่วงใด (23.1) x2 − y (23.2) xy2(24) ถ้า −6 < x < −2 และ 2 < y < 3 แล้ว ค่าต่อไปนี้อยู่ในช่วงใด (24.1) xy (24.3) x/ y (24.2) x−y(25) ต้องการสร้างรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วให้มีเส้นรอบรูป 20 ซม. และความสูงไม่เกิน 5 ซม. ความยาวฐานควรเป็นเช่นไร(26) ถ้า A และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ 4 < 3x − 2 < 13 และ11 − x < 4x + 1 < 2x + 7 ตามลําดับแล้ว ในเซต A ∩ B จะมีจานวนเต็มเป็นเท่าใดบ้าง ํ(27) ถ้า m และ n คือจํานวนเต็มที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ที่เป็นคําตอบของอสมการx2 + 6x + 7 < 0 แล้ว m − n เป็นเท่าใด(28) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด ก. ผลบวกของค่าสัมบูรณ์ของคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของ 20 − 3x − 2x2 > 0 คือ 13 2 ข. ค่าสัมบูรณ์ของผลบวกของคําตอบที่เป็นจํานวนเต็มของ 3x + 7x − 30 < 0 คือ 7(29) ถ้า m คือผลบวกจํานวนเต็ม ที่เป็นคําตอบของ 21 + 5x − 6x2 > 0และ n คือผลบวกจํานวนเต็ม ที่ไม่เป็นคําตอบของ 3x2 − 1 > 1 + x − 3x2 แล้วให้หา m+n(30) กําหนด a และ b เป็นจํานวนเต็มที่มากที่สุดและน้อยที่สุด ซึ่งไม่เป็นคําตอบของอสมการ2x2 + 4x − 5 > 0 ตามลําดับ แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (30.1) {ab} ⊂ {a, b} (30.2) {a + b} ⊂ {a, b}(31) ถ้าพหุนาม x3 + a2x − a − 2 หารด้วย x−1 แล้วเหลือเศษมากกว่า 5ค่า a เป็นเท่าใดได้บ้าง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 44 ระบบจํานวนจริง(32) จงหา x (x − 1 − 2) )(x (32.1) เซตคําตอบของอสมการ < 0 (x + 1)(x − 2) (32.2) เซต (A ∩ B ) เมื่อ A เป็นเซตคําตอบของ (x + 2)(x − 3)(x − 1 4 < 0 ) และ Bเป็นเซตคําตอบของ (x + 4)(x − 3)(x + 2)3 > 0 (x + 4)(x + 1)(x − 2)3 (32.3) ผลบวกค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเต็มใน {x | > 0} x (x − 5)2(33) ให้หาเซตคําตอบของ x3 − x2 − 4x + 4 > 0(34) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของ x3 + 2x2 < 5x + 6 และ B = (−5, ∞) แล้วผลบวกของจํานวนเต็มใน A ∩ B เป็นเท่าใด(35) ให้หาเซตคําตอบของอสมการต่อไปนี้ (35.1) 1 < 2 x−1 3x − 1 4 2 (35.2) [Ent’29] > x −2 x+1 2x − 5 2x − 1(36) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของ > 0 และ B เป็นเซตคําตอบของ < 1 แล้ว x+2 x+5ให้หาผลบวกของจํานวนเต็มที่มากที่สุดกับจํานวนเต็มที่น้อยที่สุด ในเซต B ∩ A x−1(37) [Ent’38] ให้ S เป็นเซตคําตอบของ > 2 และ a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ S แล้ว x +2ค่าของ a2 + 1 เป็นเท่าใด(38) ให้หาขอบเขตบนน้อยสุดของแต่ละเซตที่กําหนดให้ (38.1) { x | x2 < 7 } (38.3) (−2, 6] ∪ [3, 8) (38.2) { 1, 5, 7, 9 } ∪ [6, ∞) (38.4) { x = 2n | n ∈ I } n(39) ถ้า a เป็นขอบเขตบนน้อยสุดของ A = {x | x = , n ∈ I+ } n+1 1และ b เป็นขอบเขตล่างมากสุดของ B = {x | x = , n ∈ I− } แล้ว ให้หาค่า a+b n(40) ให้หาผลบวกของค่าขอบเขตบนน้อยสุด และค่าขอบเขตล่างมากสุด ของเซตคําตอบของอสมการ 2x2 − 5x + 2 < 5 2.4 ค่าสัมบูรณ์“ค่าสัมบูรณ์ (Absolute Value หรือ Modulus) ของจํานวนจริง a” ใช้สัญลักษณ์ว่า aค่าสัมบูรณ์มีความหมายเชิงเรขาคณิต คือ a เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุด 0และ a − b เท่ากับระยะห่างระหว่างจุดที่แทน a กับจุดที่แทน b ⎧ a ,a > 0ดังนั้น นิยามของค่าสัมบูรณ์ของจํานวนจริงเป็นดังนี้ a = ⎨ ⎩−a ,a < 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 45 ระบบจํานวนจริง จากสิ่งเหล่านี้ ทําให้สรุปทฤษฎีได้หลายอย่าง เช่น[1] ค่าสัมบูรณ์ต้องไม่น้อยกว่าศูนย์ a > 0 เสมอ[2] ค่าสัมบูรณ์ไม่คํานึงถึงเครื่องหมายลบ a = −a a−b = b−a n[3] ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการคูณ ab = a b an = a a a[4] ค่าสัมบูรณ์กระจายได้ สําหรับการหาร = โดย b ≠ 0 b b 2[5] ยกกําลังด้วยเลขคู่ไม่ต้องใส่ค่าสัมบูรณ์ a2 = a = a2[6] ค่าสัมบูรณ์กระจายไม่ได้ สําหรับการบวกลบ a+b < a + b a−b > a − b ⎧ a , n = จํานวนคู่ ⎪* [7] รากที่ n ของกําลัง n n an = ⎨ ⎪ a , n = จํานวนคี่ ⎩ทฤษฎีที่ช่วยแก้สมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์แบบง่าย(คือมีค่าสัมบูรณ์เดียว และอีกข้างของสมการเป็นค่าคงที่)* [1] สมการ x = bมีความหมายเดียวกับสมการ x2 = b2 (ยกกําลังสองทั้งสองข้างได้)และยังสรุปได้ว่า “ x = b หรือ x = −b ” ด้วย (วิธีนี้สะดวกกว่าการยกกําลังสอง)* [2] อสมการ x < b ความหมายเดียวกับ −b < x < bอสมการ x < b ความหมายเดียวกับ −b < x < bอสมการ x > b ความหมายเดียวกับ “ x < −b หรือ x > b ”อสมการ x > b ความหมายเดียวกับ “ x < −b หรือ x > b ” -b b• ตัวอยาง ใหหาเซตคําตอบของสมการ 3− x = 1 S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! Sวิธีคิด จาก 3 − x = 1 จะได ÊÁ¡Ò÷Õèo¡¢ŒÒ§Ë¹Ö觵i´µaÇæ»Ã eª‹¹ Õ3 − x = 1 หรือ 3 − x = −1 ... x + 2 = x ·íÒ溺¹Õé䴌..แปลวา x = 2 หรือ x = 4 ... “ x + 2 = x ËÃ×o x + 2 = − x ”ดังนั้น คําตอบคือ {2, −2, 4, −4} eËÁ×o¹Çi¸Â¡¡íÒÅa§Êo§·aé§Êo§¢ŒÒ§ æŌÇŒÒÂ Õ ÁÒź¡a¹ (¼Åµ‹Ò§¡íÒÅa§Êo§) «Ö觨aµŒo§µÃǨ• ตัวอยาง ใหหาชวงคําตอบของอสมการ 3 − x < 1 ¤íÒµoºeÊÁo¹a¤Ãaº e¾ÃÒa¤íÒµoºã´·Õè·íÒãˌ ¤‹ÒÊaÁºÙóµi´Åº ¨a㪌äÁ‹ä´Œ..วิธีคิด จาก 3 − x < 1 จะได ... −1 < 3 − x < 1 ... 测¶ŒÒe»š¹oÊÁ¡Òà eª‹¹นํา 3 ลบทั้งสามสวนของสมการ −4 < − x < −2 … x + 2 < x äÁ‹¤Ç÷Ò溺¹Õé!íนําลบคูณทั้งสมการ 2 < x < 4 … “ −x < x + 2 < x ” e¾ÃÒaµÃǨ¤íÒµoºดังนั้น คําตอบคือ [−4, −2] ∪ [2, 4] ÅíÒºÒ¡ ... ¤ÇÃ㪌Çi¸Õ桪‹Ç§Â‹oµÒÁ·Õè¨a o¸iºÒÂã¹ËaÇ¢Œo¶a´ä»¤Ãaº..เทคนิคการหาคําตอบของสมการและอสมการที่มีค่าสัมบูรณ์ใดๆ1. กําหนดจุดที่ทําให้ค่าสัมบูรณ์แต่ละพจน์เป็นศูนย์ ลงบนเส้นจํานวนให้ครบทุกจุดเรียงตามค่าน้อยไปมาก เช่นสมการ 2x + 1 − x − 2 = x + 3 ... มีค่าสัมบูรณ์อยู่ 2 พจน์ ก็กําหนดจุดบนเส้นจํานวน2 จุด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 46 ระบบจํานวนจริงเส้นจํานวนที่ได้จะถูกแบ่งเป็นช่วงย่อยๆ ซึ่งใช้เป็นเงื่อนไขของค่า x เช่นในตัวอย่างนี้จะมีช่วง x < −1/2 , −1/2 < x < 2 , และ x > 2(สังเกต : เครื่องหมาย “เท่ากับ” จะอยู่รวมกับ “มากกว่า”ตามนิยามของการถอดค่าสัมบูรณ์) -1/2 22. ในแต่ละช่วงย่อย สมการจะถอดเครื่องหมายค่าสัมบูรณ์ทิ้งได้ โดยให้ทดลองแทนจํานวนใดๆ ที่อยู่ในช่วงนั้นลงไปในค่าสัมบูรณ์ หากภายในค่าสัมบูรณ์ติดลบเมื่อถอดค่าสัมบูรณ์ออกแล้วจะต้องใส่ลบเพิ่มให้ แต่ถ้าภายในเป็นบวกแล้วก็ถอดค่าสัมบูรณ์ออกได้เลยไม่ต้องแก้ไขอะไร ... ดังตัวอย่างนี้มี 3ช่วง จะได้สมการ 3 แบบคือ x>2 -1/2 < x < 2 x < -1/2 -1/2 2 (-2x - 1) − (-x + 2) = x + 3 (2x + 1) − (-x + 2) = x + 3 (2x + 1) − (x − 2) = x + 3 −x−3 = x+3 3x − 1 = x + 3 x+3 = x+3 x = −3 x = 2 0 = 03. ตรวจสอบคําตอบที่ได้ของแต่ละช่วง ให้ใช้คําตอบเฉพาะที่อยู่ในช่วงนั้นจริงๆ (อินเตอร์เซคกับเงื่อนไข) แล้วจึงรวมผลที่ได้จากแต่ละช่วงย่อยเข้าด้วยกัน (ยูเนียน) เป็นคําตอบที่แท้จริงของสมการ(สังเกต : หากแก้สมการแล้วได้ผลเป็น 0 = 0 หรือประโยคอื่นๆ ที่เป็นจริงเสมอ เช่น 3 > 0แสดงว่าช่วงย่อยนั้นเป็นคําตอบได้ทั้งหมด แต่ถ้าแก้สมการแล้วได้ผลเป็นประโยคที่เป็นเท็จ เช่น 1 = 0 หรือ 3 < 0 แสดงว่าช่วงย่อยนั้นไม่มีค่าใดเป็นคําตอบเลย) x>2 -1/2 < x < 2 x < -1/2 -1/2 2 x = −3 ∅ x > 2ตัวอย่างนี้คําตอบที่ได้คือ x ∈ {−3} ∪ [2, ∞) แบบฝึกหัด 2.4(41) ข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด (41.1) ถ้า n ∈ I+ และ n > 1 จะได้ n an = a (41.2) ถ้า a, b > 0 แล้ว a−b = a − b(42) ให้หาค่าของจํานวนจริง m ที่น้อยที่สุดที่ทําให้ (42.1) 4x + 0.5 < m เมื่อ −3 < 2x − 1 < 0.5 x −2 (42.2) +5 < m เมื่อ x ∈ (2, 6) x (42.3) x2 − 25 < m เมื่อ x+5 < 6(43) ถ้า x−1 < 5 และ y −2 < 4 แล้ว x+y มีค่าอยู่ในช่วงใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 47 ระบบจํานวนจริง(44) ให้หาคําตอบของสมการต่อไปนี้ (44.1) x2 − 6 x + 8 = 0 (44.2) x − 1 + x + 1 = 2 (44.3) [Ent’30] x − 4 + x − 3 = 1(45) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของสมการ 2 + 3x = 2 + 3 xและ B เป็นเซตคําตอบของสมการ 2 + 3x = 2 + 3x แล้วให้หาเซต B ∩ A(46) ให้หาผลบวกของคําตอบทั้งหมดของสมการ 8 (x + 2)2 − 14 (x + 2) + 3 = 0 5 − 3x(47) ถ้า A = { x ∈ I | x2 + 3x + 3 = 2x + 3 } และ B = {x ∈ I | = 2} x+2แล้ว ให้หาค่า a2 + b2 เมื่อ a, b เป็นค่าขอบเขตบนน้อยสุดและขอบเขตล่างมากสุดของ A ∪B 2(48) ให้หาคําตอบทั้งหมดของสมการ ( x )x = x 3(49) ให้หาคําตอบของอสมการต่อไปนี้ 3 (49.1) 2x − 1 < 3x + 2 (49.4) < x x−1 − 2 x (49.2) 3 < x −2 < 6 (49.5) < 2 x −1 1 (49.3) x + > 0 และ x2 − x − 2 < 0 x x+2(50) ถ้า A เป็นเซตคําตอบของอสมการ + x < 4 2และ B เป็นเซตคําตอบของอสมการ x < x−7 แล้วให้หาเซต (A ∩ B) 4x + 5(51) ถ้า A = {x ∈ R | x < < 5} แล้วข้อความต่อไปนี้ถูกหรือผิด 2 (51.1) ถ้า a, b ∈ A แล้ว (a + b)/2 ∈ A (51.2) ถ้า a, b เป็นขอบเขตบนค่าน้อยสุด และขอบเขตล่างค่ามากสุดของ Aแล้ว a+b ∈ A 1(52) ถ้า A = { x ∈ R | x2 − 2 < 14 } และ B = {x ∈ R | − 1 > 0} xแล้ว มีจํานวนเต็มใน A ∩B กี่จํานวน(53) ให้หาค่า a, b, c ที่เป็นจํานวนนับที่น้อยที่สุด ที่ทําให้ (53.1) −4 < x < 1 เป็นคําตอบของอสมการ ax + b < c (53.2) x < −10 หรือ x > 8 เป็นคําตอบของอสมการ ax + b > c(54) ให้หาคําตอบของอสมการต่อไปนี้ (54.1) 3x + 2 < 4x + 1 x −2 (54.2) [Ent’41] < 2 x+1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 48 ระบบจํานวนจริง (54.3) x − 7 < 5 < 5x − 25 (54.4) x −1 + x −3 < x −5 x2 − 5x − 4 (54.5) > 1 x2 + x − 2* (55) ให้หาคําตอบของอสมการ x −3 < x −2(56) ให้หาค่า x ที่ทําให้ (56.1) (1 − x )(1 + x) เป็นจํานวนจริงบวก (56.2) (1 − x )(1 + x) เป็นจํานวนจริงลบ 2.5 ทฤษฎีจํานวนเบื้องต้น * ในหัวข้อนี้เราจะกล่าวถึงจํานวนเต็มเท่านั้นสมบัติของจํานวนเต็มกับการหาร[1] บทนิยามของการหารจํานวนเต็มลงตัวสัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยค “m หารด้วย n ลงตัว” คือ n mเรียก m ว่า ตัวตั้ง (Dividend) และเรียก n ว่า ตัวหาร (Divisor)สําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า n m ก็ต่อเมื่อ m = n q และ q ∈ I [1.1] สมบัติการถ่ายทอด ถ้า a b และ b c แล้ว a c [1.2] ตัวหารที่ลงตัวย่อมน้อยกว่า ถ้า a b แล้ว a < b เสมอ [1.3] การหารผลรวมเชิงเส้นลงตัว ถ้า a b และ a c แล้ว a (bx + cy)“ผลรวมเชิงเส้น (Linear Combination) ของ b กับ c” คือจํานวนในรูป bx + cy ซึ่ง x, y ∈ I S Êi觷Õè¤Ç÷ÃÒº! S 1. ¶ŒÒ a b æÅa a c æÅŒÇ a (b ± c) 3. ¶ŒÒ a b æÅŒÇ a bn 2. ¶ŒÒ a b æÅŒÇ a (b ⋅ c) 4. ¶ŒÒ an b æÅŒÇ a b * »Ãao¤´ŒÒ¹º¹¹Õé¶Ù¡·u¡¢Œo 测¶ŒÒ¡Åaº´ŒÒ¹»Ãao¤eËŋҹÕé¨a¼i´¹a¤Ãaº! »Ãao¤´ŒÒ¹Å‹Ò§¹Õé¼i´·u¡¢Œo! 1. ¶ŒÒ a (b ± c) æÅŒÇ a b æÅa a c 3. ¶ŒÒ a bn æÅŒÇ a b 2. ¶ŒÒ a (b ⋅ c) æÅŒÇ a b 4. ¶ŒÒ a b æÅŒÇ an b[2] บทนิยามของการหารจํานวนเต็มใดๆสําหรับจํานวนเต็ม m, n โดยที่ n ≠ 0 จะได้ว่า m = n q + r และ q ∈ I , 0 < r < nมีจํานวนเต็ม q, r ชุดเดียวเท่านั้น เรียก q ว่า ผลหาร (Quotient) และ r คือ เศษ (Remainder)[3] บทนิยามของ จํานวนเฉพาะ (Prime Numbers)“จํานวนเฉพาะ p คือจํานวนเต็มที่ไม่ใช่ 0, 1, −1 และมีจํานวนเต็มที่ไปหาร p ลงตัวเพียงแค่ 1, −1, p, −p เท่านั้น” เช่น ±2, ±3, ±5, ±7, ±11, ... ... จํานวนเต็มอื่นๆ ที่ไม่ใช่จํานวนเฉพาะและไม่ใช่ 0, 1, −1 จัดเป็น จํานวนประกอบ (Composite Numbers) [3.1] หลักการมีตัวประกอบชุดเดียว“ทุกจํานวนเต็มบวกที่มากกว่า 1 จะเขียนในรูปผลคูณของจํานวนเฉพาะบวก ได้แบบเดียว” Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 49 ระบบจํานวนจริง [3.2] จํานวนเฉพาะกับการหารลงตัว ถ้า p mn แล้ว p m หรือ p n[4] บทนิยามของ จํานวนคู่ (Even Numbers) และ จํานวนคี่ (Odd Numbers)“จํานวนคู่ คือจํานวนที่เขียนได้ในรูป 2 n เมื่อ n ∈ I ”“จํานวนคี่ คือจํานวนที่เขียนได้ในรูป 2 n + 1 เมื่อ n ∈ I ”[5] บทนิยามของ ตัวหารร่วมมาก (ห.ร.ม. : the Greatest Common Divisor : GCD) และตัวคูณร่วมน้อย (ค.ร.น. : the Least Common Multiple : LCM)“ d เป็น ห.ร.ม. ของ a กับ b ก็เมื่อ d a และ d b และถ้ามี n a และ n b แล้ว n d ”สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ห.ร.ม. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ (a, b)“ c เป็น ค.ร.น. ของ a กับ b ก็เมื่อ a c และ b c และถ้ามี a n และ b n แล้ว c n ”สัญลักษณ์ที่ใช้แทน ค.ร.น. ของ a กับ b ที่เป็นบวก คือ [a, b] [5.1] ห.ร.ม. คูณกับ ค.ร.น. (a, b) × [a, b] = a × b เสมอ [5.2] ห.ร.ม. ของผลหาร ถ้า (a, b) = d แล้ว (a/d, b/d) = 1 [5.3] ขั้นตอนวิธีการหา ห.ร.ม. ของยุคลิด การหา ห.ร.ม. ของ a กับ b จะเริ่มโดยเขียน a กับ b ในรูปการหาร แล้วนําเศษที่ได้ไปหารต่อๆ ไป คือ a = b q 1 + r1 b = r1q 2 + r2 r1 = r2q 3 + r3 r2 = r3q 4 + r4 ...ทําไปเรื่อยๆ จนกว่าจะหารลงตัว (เศษเป็น 0) จะได้ว่า ห.ร.ม. เท่ากับ เศษตัวสุดท้าย ( rk ) เช่น ต้องการหาค่า ห.ร.ม. ของ 138 กับ 182 จะมีขั้นตอนการหาดังนี้(182) = (138) 1 + (44) (138) = (44) 3 + (6) (44) = (6) 7 + (2) (6) = (2) 3ดังนั้น ห.ร.ม. คือ 2 (เพราะ 2 คือเศษตัวสุดท้าย ที่ทําให้การหารนั้นลงตัว)หมายเหตุ ถ้า (m, n) = 1 จะเรียก m และ n เป็น จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ (Relative Primes)(โดยที่ m และ n ไม่จําเป็นต้องเป็นจํานวนเฉพาะ) การหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ของจํานวนเต็มมากกว่าสองจํานวน สามารถหาจากสองจํานวนใดก็ได้ แล้วนําผลที่ได้ไปหา ห.ร.ม. หรือ ค.ร.น. ร่วมกับจํานวนที่เหลือต่อไป แบบฝึกหัด 2.5(57) เศษของการหาร (19)3(288)2 ด้วย 5 เป็นเท่าใด(58) ให้หา ห.ร.ม. ของ 252 กับ 34 และเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้น d = 252 x + 34 yเมื่อ x, y เป็นจํานวนเต็ม(59) ให้หา ห.ร.ม. ของ –504 กับ –38 และเขียนในรูปผลรวมเชิงเส้นด้วย(60) ถ้า ห.ร.ม. และ ค.ร.น. ของ x กับ 128 เป็น 16 และ 384 แล้วค่า x เป็นเท่าใด(61) [Ent’37] ให้ x, y เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ x < y ถ้า (x, y) = 9 , [x, y] = 28215 และจํานวนเฉพาะที่หาร x ลงตัวมี 3 จํานวน แล้ว x, y มีค่าเท่าใด(62) [Ent’38] ให้ x, y เป็นจํานวนเต็มบวก โดยที่ 80 < x < 200และ x = p q เมื่อ p, q เป็นจํานวนเฉพาะซึ่งไม่เท่ากันถ้า x, y เป็นจํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ และมี ค.ร.น. เป็น 15015 แล้วค่า y เป็นเท่าใดได้บ้าง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 50 ระบบจํานวนจริง เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1) ผิดทุกข้อ (25) อยู่ในช่วง [7.5, 10) ซม. (47) 90 (48) 1, 6(2) ข้อ (2.3) ถูก นอกนั้นผิด (26) 2, 4 (27) 2 (49.1) (−1/5, ∞)(3) ง. (28) ถูกทุกข้อ (49.2) (−4, −1) ∪ (5, 8)(4) ข้อ (4.1) และ (4.3) ถูก (29) (−1 + 0 + 1 + 2) + (0) (49.3) (−1, 2) − {0}(5) ถูกทุกข้อ (6) ง. (30) ถูกทุกข้อ 3 + 21(7) 6 + 5 และ 1 (49.4) (−1, 3) ∪ [ , ∞) (31) a ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) 2(8) ค. (9) ง. (10) เท่ากัน (32.1) (−∞, −1) ∪ (0, 1) (49.5) (−∞, −2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, ∞)(11.1) ผิด (11.2) ถูก (32.2) [−4, ∞) − {1} (50) (2, ∞) (51) ถูกทุกข้อ(12) 1 (13) –3 (14) –81 (32.3) 11(15) 4+3 (16) –155/9 (52) 7 (53.1) 2, 3, 5 (33) [−2, 1] ∪ [2, ∞) (53.2) 1, 1, 9(17) (x − 1)(x − 2) (34) –5 (54.1) (−∞, −3/7) ∪ (1, ∞)(18) (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x + 4) (35.1) (−∞, −1) ∪ (1/3, 1) (54.2) (−∞, −4) ∪ (0, ∞)(19) (x − 2)(x − 4)(x + 5)(3x + 1)(x + 1) 2 (35.2) (2, 8] (36) 0 (54.3) (2, 4) ∪ (6, 12)(20.1) {b, −b} (20.2) {0} (37) 5 (38.1) 7 (54.4) (−1, 3)(20.3) {0, −2b} (38.2) ไม่มี (38.3) 8 (54.5) (−∞, −1] ∪ [−1/ 3, 3] − {1, −2}(20.4) {−a − 1, −a + 1} (38.4) ไม่มี (39) 0 (55) (−∞, −1/2) ∪ (5/2, ∞)(21) ข้อ (21.1) และ (21.2) ผิด (40) 5/2 (41) ผิดทุกข้อ (42.1) 3.5 (42.2) 17/3 (56.1) (−∞, −1) ∪ (−1, 1)(22) ข้อ (22.4) ผิด นอกนั้นถูก(23.1) (−6, 46) (42.3) 96 (43) [0, 12) (56.2) (1, ∞) (57) 1(23.2) (−252, 180) (44.1) 2, −2, 4, −4 (58) 2 = (252)(5) + (34)(−37)(24.1) (−18, −4) (44.2) [−1, 1] (59) 2 = (−504)(−4) + (−38)(53)(24.2) (−9, −4) (44.3) [3, 4] (60) 48 (61) 495, 513(24.3) (−3, −2/3) (45) [−2/3, 0) (46) –8 (62) 105, 165 เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคด) ิ(1.1) ผิด ทศนิยมไม่ซ้ํา เป็นจํานวนอตรรกยะ 3 −3 ค. ไม่มีการบวกและคูณเลย (เช่น +( ) = 0(1.2) ผิด ทศนิยมซ้ํา เป็นจํานวนตรรกยะ 4 4 3 4(1.3) ผิด เช่น a = 2 และ ⋅ = 1) 4 3(1.4) ผิด เช่น a = 3 ง. ถูก (เพราะ บวกกันแล้วย่อมยังหาร 4 ลงตัว,(2.1) ผิด เช่น a=0 แล้ว b จะเป็นเท่าใดก็ได้ คูณกันก็ยงหาร 4 ลงตัว) ั(2.2) ผิด ต้องเป็น a=0 หรือ b=0 (ไม่จําเป็นต้อง (4.1) ถูก (จํานวนจริงลบกัน ย่อมเป็นจํานวนจริง)เป็น 0 พร้อมกันทั้งคู) ่ (4.2) ผิด เพราะ (a − b) − c ≠ a − (b − c)(2.3) ถูก (ตามกฎการคูณเข้าทั้งสองข้าง เอา b (4.3) ถูก (นําจํานวนจริงที่ไม่ใช่ 0 มาหารกัน ย่อมคูณ จะได้ a = c ) เป็นจํานวนจริง) ... (แต่ถ้ารวม 0 ด้วย ข้อนีจะผิด ้(2.4) ผิด เช่น a=0 แล้ว b กับ c ไม่จําเป็นต้อง เพราะส่วนเป็น 0 นันไม่นิยาม) ้เท่ากัน(3) ก. มีการบวก แต่ไม่มีการคูณ (4.4) ผิด เพราะ [ ] ÷ c ≠ a ÷ [b ] a b c(เพราะ ลบคูณลบ ได้บวก) (5) A = {x | x เป็นจํานวนนับ และ x เป็นข. ไม่มีการบวก (เช่น 3 + 5 = 8 → 8 ไม่อยู่ใน จํานวนตรรกยะ } = {1, 4, 9, 16, 25, 36, ...} หรือเซตนี้) และไม่มการคูณ (เช่น 3 ⋅ 5 = 15 ) ี มองว่า A เป็นเซตของจํานวนนับยกกําลังสองก็ได้.. B = N - A = { จํานวนนับอืนๆ ที่ไม่อยู่ใน A} ่ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 51 ระบบจํานวนจริง(5.1) A มีสมบัตปิดการคูณ เพราะจํานวนนับ2 ิ (14) เศษ (5)4 − (5)3 + 3(5)2 − (5) − 1คูณกัน ย่อมยังเป็นจํานวนนับ2 = 2(5)3 + (5)2 + 75(5) + a ... ดังนัน a = −81 ้B ไม่มีสมบัติปดการคูณ เช่น ิ (15) เป็นตัวประกอบ แสดงว่า หารแล้วเหลือเศษ 02 × 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดังนัน ข้อนีถูก ้ ้ a (2)3 − a(2)2 + (2) + 2b = 0 .... (1)(5.2) A ไม่มีสมบัติปิดการบวก เช่น 41+ 1 = 2 → 2∉ A 1 2 (2) + (2) − b = 0 .... (2)B ไม่มีสมบัติปดการบวก เช่น ิ a2 + 2 = 4 → 4 ∉ B ... ดังนันข้อนี้ถก ้ ู แก้ระบบสมการ ได้ a = 4, b = 3 → a + b = 7(6) ก. ไม่จริง เช่น ถ้า x = 2 จะไม่มี y ที่เป็น (16) จาก (x2 − 2x − 3) = (x − 3)(x + 1) ⎧(3)4 + a(3)3 + b(3)2 + 3(3) + 4 = 0จํานวนเต็ม ที่ xy = 1 แสดงว่า ⎨( 1 4 a( 1 3 b( 1 2 3( 1 4 0 ⎩ − ) + − ) + − ) + − )+ =ข. ไม่จริง เช่น ถ้า x = 0 จะไม่มี y ที่เป็นจํานวน −19 −37จริง ที่ xy = 1 จะได้ a = ,b = 9 9ค. ไม่จริง เพราะถ้า xy = 1 นั้น xy ∉ A แน่นอน และจาก (x2 + x − 2) = (x + 2)(x − 1)( 1 ไม่ใช่จํานวนอตรรกยะ) ⎧(−2)3 + 10(−2)2 + c(−2) + d = 0ง. จริง ไม่วา x เป็นจํานวนตรรกยะใด y จะเป็น ่ แสดงว่า ⎨ 3 )2 ⎩(1 + 10(1 + c(1 + d = 0 ) )จํานวนตรรกยะเสมอ (x, y ≠ 0) จะได้ c = 7, d = −18(7) อินเวอร์สการคูณของ a คือ 1/a ... ดังนัน้ ดังนัน a + b + c + d = −155 ้ 1 9อินเวอร์สการคูณของ คือ 6 + 5 6+ 5 (17) แยกตัวประกอบแต่ละพหุนามก่อนเอกลักษณ์การคูณของจํานวนจริงใดๆ คือ 1 เสมอ (โดยการหารสังเคราะห์)(8) ก. (a ∗ b) ∗ a = b ∗ a = b → ผิด จะได้ (x3 − 7x + 6) = (x − 1)(x − 2)(x + 3)ข. (b ∗ c) ∗ b = a ∗ b = b → ผิด และ (3x3 − 7x2 + 4) = (x − 1)(x − 2)(3x + 2)ค. (a ∗ b) ∗ (c ∗ b) = b ∗ a = b → ถูก และ (x − 3x + 6x − 4) = (x − 1)(x − 2)(x − 2)(x + 4 3 2)ง. (c ∗ a) ∗ (b ∗ a) = c ∗ b = a → ผิด ดังนัน ห.ร.ม. = (x − 1)(x − 2) = x2 − 3x + 2 ้(9) ตอบ ง. เพราะ x − y ≠ y − x (18) แยกตัวประกอบแต่ละพหุนามก่อน(10) จะมองแค่วา a * b มีสมบัติการสลับทีก็ได้ ่ ่ จะได้ (x3 − 2x2 − 5x + 6) = (x − 1)(x − 3)(x + 2)หรือคิดจาก x ∗ (y ∗ z) = x ∗ (3yz + y + z) และ (x3 + x2 − 10x + 8) = (x − 1)(x − 2)(x + 4)= 3x(3yz + y + z) + x + 3yz + y + z ค.ร.น. = (x − 1)(x − 2)(x − 3)(x + 2)(x + 4)และ (z ∗ y) ∗ x = (3zy + z + y) ∗ x = x5 − 17x3 + 12x2 + 52x − 48= 3(3zy + z + y)x + 3zy + z + y + x (19) (3x + 1)(x − 2)(x − 4)(x + 5)(x2 + 1)ก็ได้ ... คําตอบข้อนี้คอ “เท่ากัน” ื (20.1) a = 0 → x2 − b2 = 0 →(11.1) A ไม่มีสมบัติปิดภายใต้ ⊕ เช่น (x − b)(x + b) = 0 → {−b, b}5+7 (20.2) b = 0 → x2 = 0 → {0} = 6 แต่ 6 ∉ A )แต่มีสมบัติการสลับที่ 2 (20.3) a = 1 → x2 + b2 + 2bx − b2 = 0 a+b b+aเพราะ = เสมอ) ... ดังนั้นข้อนี้ผิด 2 → x + 2bx = 0 → x(x + 2b) = 0 → {0, −2b} 2 2(11.2) A ไม่มีสมบัติปิดภายใต้ ⊗ เช่น (20.4) b = 1 → x2 + a2 + 2ax − 1 = 03×3 → (x + a)2 − 1 = 0 → (x + a − 1 + a + 1 = 0 )(x ) = 4.5 แต่ 4.5 ∉ A และ A มีสมบัติการ 2 → {−a + 1, −a − 1} ab ba (21.1) ผิด เช่น c > b > a และ c > dสลับที่ เพราะ = เสมอ ... ดังนันถูก ้ 2 2 แบบนี้ก็ยังได้ (−)(−)(+) > 0 อยู่(12) a = 4(4)3 − 21(4)2 + 26(4) − 17 = 7 (21.2) ผิด เช่น −2 < 1 แต่ (−2)2 < 12และ b = 3(−3)3 + 13(−3)2 + 11(−3) + 5 = 8ดังนัน b − a = 8 − 7 = 1 ้ (21.3) ถูก ... พิสจน์ จาก (a + b) / 2 > ู ab 2 2(13) เศษ (1)2 + 2a = (−2) + a ดังนัน a = −3 ้ → a + b > 2 ab → a + 2ab + b > 4ab → a − 2ab + b > 0 → (a − b)2 > 0 2 2 (เป็นจริงเสมอ เมื่อ a ≠ b) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 52 ระบบจํานวนจริง b3 + a3 b+a (27) x2 + 6x + 7 < 0 แยกตัวประกอบไม่ออก(21.4) ถูก ... พิสจน์ จาก ู > a2b2 ab 2→ b3 + a3 > ab(b + a) จึงต้องใช้สูตร −b ± b − 4ac 2a→ (b + a)(b2 − ab + a2) > ab(b + a) หรืออาจจัดกําลังสองสมบูรณ์ก็ได้ ดังนี้→ b2 − 2ab + a2 > 0 → (b − a)2 > 0 (x2 + 6x + 9) − 2 < 0 → (x + 3)2 − 2 < 0(เป็นจริงเสมอ เมื่อ a ≠ b ) (x + 3 − 2)(x + 3 + 2) < 0(22.1) และ (22.2) ถูก ... (เป็นสมบัตของ ิ + - +ค่าเฉลี่ยเลขคณิตด้วย → xmin < X < xmax ) −3 − 2 −3 + 2(22.3) ถูก (เพราะ x3 เป็นฟังก์ชนเพิ่มเสมอ) → ั จากเส้นจํานวน ได้ −3 − 2 < x < −3 + 2แต่ถ้าเปลี่ยนเป็นยกกําลังเลขคู่ ข้อนีจะผิด ้ ดังนันจํานวนเต็ม m=-3+1=-2 และ n=-3-1=-4 ้(22.4) ผิด เช่น ถ้า b = 0 จะได้ ab = bc ∴m−n = 2(23.1) จาก −7 < x < 5 → 0 < x2 < 49 (2x − 5)(x + 4) < 0 (28) ก.และ 3 < y < 6 → −6 < −y < −3 + - + −4 5/2จะได้ −6 < x2 − y < 46 ดังนั้นตอบ (−6, 46) ผลบวกที่ตองการคือ ้(23.2) จาก 9 < y2 < 36 จะได้ |− 4|+|− 3|+ |− 2|+ |− 1|+ |0|+ |1|+ |2| = 13 ถูก−252 < xy2 < 180 ดังนั้นตอบ (−252, 180) ข. แยกตัวประกอบไม่ออก อาจใช้สูตรหรือจัดกําลัง(24.1) xy อยู่ในขอบเขตของ สองสมบูรณ์ดังนี้ x2 + 7 x − 10 < 0 → 3−12, −18, −4, −6 → ตอบ (−18, −4) 2 7 49 409 7 409(24.2) x − y อยู่ในขอบเขตของ (x + x + )− < 0 → (x + )2 − <0 3 36 36 6 36−8, −9, −4, −5 → ตอบ (−9, −4) −7 − 409 −7 + 409 → < x <(24.3) x อยู่ในขอบเขตของ −3, −2, −1, −2 / 3 → 6 6 y ประมาณค่าได้เป็น −27/6 < x < 13/6ตอบ (−3, −2/ 3) ค่าสมบูรณ์ที่ตองการคือ ้(25) | −4 − 3 − 2 − 1 + 0 + 1 + 2 | = 7 ถูก 2 2 h +x (29) 2 6x − 5x − 21 < 0 → (3x − 7)(2x + 3) < 0 h x หาค่า x ในเทอมของ h ก่อน + - + −3/2 7/ 320 = 2x + 2 h2 + x2 → 10 − x = h2 + x2 ∴ m = −1 + 0 + 1 + 2 = 2→ 100 − 20x + x2 = h2 + x2 → 6x2 − x − 2 > 0 → (3x − 2)(2x + 1 > 0 ) 2 2 100 − h h + - +∴x = = 5− 20 20 −1/2 2/ 3 h2 5 ∴n = 0 ดังนั้น m+n = 2จากโจทย์ 0 < h<5 → 0 < < 20 4 5 (30) 2x + 4x − 5 > 0 → x2 + 2x − 2 > 0 15 h2 15 2→ <5− < 5 ...ดังนั้น <x <5 4 20 4 7 7 → (x2 + 2x + 1 − ) > 0 → (x + 1 2 − > 0 → )นั่นคือ ความยาวฐาน 2x อยู่ในช่วง [7.5, 10) ซม. 2 2(26) A ; 6 < 3x < 15 → 2 < x < 5 (x + 1 − 3.5)(x + 1 + 3.5) > 0∴ A = [2, 5) + - +B ; 11 − x < 4x + 1 → 10 < 5x → x > 2 −1 − 3.5 −1 + 3.5และ 4x + 1 < 2x + 7 → 2x < 6 → x < 3 เนื่องจาก 3.5 ≈ 1.8 ดังนัน ้ a = 0, b = −2∴ B = (2, 3] ก. {0} ⊂ {0, −2} ถูกดังนัน A ∩ B = A − B = {2} ∪ (3, 5) ้ ข. {−2} ⊂ {0, −2} ถูกจํานวนเต็มใน A ∩ B คือ 2 กับ 4 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 53 ระบบจํานวนจริง(31) (1 3 + a2(1 − a − 2 > 5 ) ) −x2 + 8x x2 − 8x >0 → <0→ a2 − a − 6 > 0 → (a − 3)(a + 2) > 0 (x − 2)2(x + 1) (x − 2)2(x + 1) x(x − 8) + - + → (x − 2)2(x + 1) <0 −2 3ดังนัน a ∈ (−∞, −2) ∪ (3, ∞) ้ - + - + - + -1 0 2 2 8(32.1) - + - + - + -1 0 1 2 2 แต่ในโจทย์มี x + 1ตอบ (−∞, −1) ∪ (0, 1) จึงต้องเพิ่มเงือนไขว่า x + 1 > 0 → x > −1 ่(32.2) A + - + - + และนอกจากนั้น 4 > 0 ด้วย → x > 2 x−2 -2 1 1 3 - + - + รวมแล้วจึงตอบเพียง (2, 8] B -4 -2 3 (36) A ; 2x − 5 > 0 x+2(A ∩ B ) = A ∪ B = [−4, 1 ∪ (1, ∞) ) + - +หรือตอบในรูป [−4, ∞) − {1} ก็ได้ -2 5/2(32.3) 2x − 1 2x − 1 − x − 5 + - + - + - + B; −1< 0 → < 0 x+5 x+5 -4 -1 0 2 5 5 → x−6 < 0 + - + x+5 -5 6ผลบวกค่าสมบูรณ์ตามต้องการคือ| −3 | + | −2 | + | 0 | + | 1 | + | 5 | = 11 ∴B∩ A = B − A คือ [−2, 5/2)(33) (x − 1)(x − 2)(x + 2) > 0 ผลบวกที่ตองการคือ 2 + (−2) = 0 ้ - + - + x −1 x − 1 − 2x − 4 (37) −2 > 0 → > 0 x +2 x+2 -2 1 2 −x − 5 x+5ตอบ [−2, 1] ∪ [2, ∞) → > 0 → < 0 x+2 x +2(34) x3 + 2x2 − 5x − 6 < 0 + - +→ (x − 2)(x + 1)(x + 3) < 0 −2 −5 A คือ - + - + ดังนัน a = −2 → a2 + 1 = 5 ้B = (−5, ∞) -3 -1 2 (38.1) ได้ x ∈ (− 7, 7) ตอบ 7∴A∩B คือ (38.2) ไม่มีขอบเขตบน (38.3) ตอบ 8 -5 -3 -1 2 (38.4) {..., −6, −4, −2, 0, 2, 4, ...} ไม่มีขอบเขตบนดังนันตอบ −4 − 3 − 1 + 0 + 1 + 2 = −5 ้ (39) A = { 1 , 2 , 3 , ...} จะได้ a = 1(35.1) ห้ามคูณไขว้เพราะตัวส่วนอาจติดลบ แล้ว 2 3 4 1 1เครื่องหมายจะผิด ควรทําดังนี้ 1 − 2 < 0 B = {−1, − , − , ...} 2 3 จะได้ b = −1 x − 1 3x − 1 3x − 1 − 2x + 2 (x + 1) ดังนัน a + b = 1 − 1 = 0 ้→ < 0 → < 0 (x − 1)(3x − 1) (x − 1)(3x − 1) (40) ยกกําลังสองได้เพราะเป็นบวกทั้งสองข้าง - + - + → 2x2 − 5x + 2 < 5 → 2x2 − 5x − 3 < 0 -1 1/3 1 → (2x + 1)(x − 3) < 0ตอบ (−∞, −1) ∪ ( 1 , 1) + - + 3 -1/2 3(35.2) การยกกําลังสองทั้งสองข้าง ข้อนีทําได้ ้ 2 แต่อย่าลืมเช็คเงือนไขของรู้ท ว่า 2x − 5x + 2 > 0 ่เพราะขวามือเป็นบวกเสมอ และซ้ายมือนันโจทย์บอก → (2x − 1)(x − 2) > 0 ้ว่ามากกว่าหรือเท่ากับขวามือ จึงเป็นบวกเสมอด้วย(แต่ถ้าโจทย์เป็นเครื่องหมาย < จะห้ามยกกําลัง) + - + 16 4 4 1 1/2 2 > → − >0 ดังนันคําตอบคือ ้ (x − 2)2 x +1 (x − 2)2 x+1 -1/2 1/2 2 3 4x + 4 − x2 + 4x − 4→ >0 → 1 5 (x − 2)2(x + 1) ผลบวกที่ตองการคือ ้ 3 + (− ) = 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 54 ระบบจํานวนจริง ⎧ a , n = จํานวนคู่ (45) เซต A; แบ่งช่วงย่อยดังนี้(41.1) ผิด n an = ⎨ ⎩ a , n = จํานวนคี่ ก. ข. ค.(41.2) ผิด เช่น a = 0, b = −1 -2/3 0จะได้ |a − b| = 1 , |a| − |b| = −1 ก. เมื่อ x < −2/ 3 จะได้(42.1) −3 < 2x − 1 < 0.5 → −2 < 2x < 1.5 −2 − 3x = 2 − 3x → −2 = 2 → ∅→ −1 < x < 0.75 ข. เมื่อ −2/ 3 < x < 0 จะได้∴ −4 < 4x < 3 → −3.5 < 4x + 0.5 < 3.5 2 + 3x = 2 − 3x → 6x = 0 → x = 0 → ∅→ | 4x + 0.5 | < 3.5 ค. เมื่อ x > 0 จะได้ 1 2(42.2) 2 < x < 6 → < < 1→ 2 + 3x = 2 + 3x → 0 = 0 → [0, ∞) 3 x 2 1 2 17 ∴ A = [0, ∞) −1 < − < − → 5 < − + 6 < x 3 x 3 เซต B; แบ่งช่วงย่อยดังนี้ x−2 2 2 ก. ข.แสดงว่า +5 = 1− +5 = − +6 อยู่ x x x -2/3 17ในช่วง (5, ) ก. เมื่อ x < −2/ 3 จะได้ 3 x −2 17 −2 + 3x = 2 + 3x → −2 = 2 → ∅∴| + 5| < x 3 ข. เมื่อ x > −2/3 จะได้(42.3) −6 < x + 5 < 6 → −11 < x < 1 2 + 3x = 2 + 3x → 0 = 0 → [−2/ 3, ∞)→ 0 < x2 < 121 → −25 < x2 − 25 < 96 ∴ B = [−2/ 3, ∞)→ ∴ | x2 − 25 | < 96 2 ดังนันตอบ ้ B ∩ A = B − A = [− , 0)(43) −5 < x − 1 < 5 → −4 < x < 6 3 2และ −4 < y − 2 < 4 → −2 < y < 6 (46) 8 x + 2 − 14 x + 2 + 3 = 0ดังนัน −6 < x + y < 12 → ∴ |x + y| ∈ [0, 12) ้ → (2 x + 2 − 3)(4 x + 2 − 1 = 0 )(44.1) |x|2 − 6|x| + 8 = 0 → 3 1 → x +2 = หรือ 2 4(|x | − 4)(| x | − 2) = 0 → |x | = 2 หรือ 4 3 3 1 1 → x ∈ {−2 + , −2 − , − 2 + , − 2 − }ตอบ {2, −2, 4, −4} 2 2 4 4(44.2) ข้อนี้แบ่งช่วงย่อยดังนี้ ∴ ผลบวกคําตอบคือ −8 ก. ข. ค. (47) ** เนืองจากทังสองข้างเป็นบวกเสมอ จึง ่ ้ -1 1 สามารถยกกําลังสองทั้งสองข้างได้ก. เมื่อ x < −1 จะได้ A; ยกกําลังสอง 2 ข้างแล้วย้ายมาลบกัน−x + 1 − x − 1 = 2 → −2x = 2 → x = − 1 → ∅ (x2 + 3x + 3)2 − (2x + 3)2 = 0 →ข. เมื่อ −1 < x < 1 จะได้ (x2 + 3x + 3 − 2x − 3)(x2 + 3x + 3 + 2x + 3) = 0 →−x + 1 + x + 1 = 2 → 2 = 2 → [−1, 1) (x2 + x)(x2 + 5x + 6) = 0 →ค. เมื่อ x > 1 จะได้ x(x + 1 + 2)(x + 3) = 0 )(x x − 1 + x + 1 = 2 → 2x = 2 → x = 1 → {1} ∴ A = {0, −1, −2, −3}∴ ตอบ [−1, 1] ต่อมาคิด B; |5 − 3x| = |2x + 4|(44.3) ข้อนี้แบ่งช่วงย่อยดังนี้ ยกกําลังสอง 2 ข้างแล้วย้ายมาลบกันเหมือนเดิม ก. ข. ค. (5 − 3x)2 − (2x + 4)2 = 0 → (5 − 3x − 2x − 4)(5 − 3x + 2x + 4) = 0 → 3 4ก. เมื่อx < 3 จะได้ (1 − 5x)(9 − x) = 0 → ∴ B = {9}−x + 4 − x + 3 = 1 → −2x = − 6 → x = 3 → ∅ (โจทย์บอกให้เป็นจํานวนเต็มเท่านั้น)ข. เมื่อ3 < x < 4 จะได้ จะได้ A ∪ B = {0, −1, −2, −3, 9} →−x + 4 + x − 3 = 1 → 1 = 1 → [3, 4) a = 9, b = −3 → a2 + b2 = 90ค. เมื่อ x > 4 จะได้x − 4 + x − 3 = 1 → 2x = 8 → x = 4 → {4}∴ ตอบ [3, 4] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 55 ระบบจํานวนจริง(48) ถอดค่าสัมบูรณ์ได้ 2 กรณีคอ x < 0 กับ (49.4) แยกช่วงย่อย ก. เมือ x < 1 จะได้ ื ่x > 0 แต่พบว่า x < 0 ไม่ได้ เพราะขวามือจะติด 3 3 <x → <x →ลบ ... จึงเหลือแค่กรณี x > 0 เท่านัน ้ −x + 1 − 2 −x − 1 3 3 + x2 + x(โดยที่จริงแล้ว x ≠ 0 เพราะ 00 ไม่นิยาม) −x<0 → <0 → 1 −x − 1 −x − 1 2 x2→ ( x)x = x3 → x 2 = x3 x2 + x + 3 > 0 → x + 1 > 0 → x > −1 1 2 x +1ก. มองเฉพาะเลขชี้กําลัง x = 3 → 2 → (−1, 1)x2 = 6 → x = 6 ข. เมื่อx > 1 จะได้ข. มองว่าฐานของเลขยกกําลัง x = 1 ก็ได้ เพราะ 3 3 <x → −x <0 → x − 1−2 x −31 ยกกําลังอะไรก็ได้ 1 เท่ากัน 3 − x2 + 3x x2 − 3x − 3∴ ตอบ {1, 6} 0 → 0 → x−3 x−3(หมายเหตุ โจทย์ข้อนี้ควรจะใช้เรือง log ช่วยคิด) ่ 3 + 21 3 − 21 (x − )(x − )(49.1) แยกช่วงย่อยเหมือนข้อ 44, 45 ก็ได้ 2 2 > 0 (แยกด้วยสูตร)ก. เมื่อ x < 1/2 จะได้ (x − 3)−2x + 1 < 3x + 2 → −1 < 5x → x > − 1/5 แล้วเขียนเส้นจํานวน โดยคิดว่า 21 ≈ 4 กว่าๆ→ (−1/5, 1/2) จะได้ [ 3 − 21 , 3) ∪ [ 3 + 21 , ∞) อินเตอร์เซคกับ 2 2ข. เมื่อ x > 1/2 จะได้ 3 + 212x − 1 < 3x + 2 → −3 < x → x > − 3 → [1/2, ∞) เงื่อนไขช่วง ได้เป็น [1, 3) ∪ [ , ∞) 2∴ ตอบ (−1/5, ∞) 3 + 21 ∴ ตอบ (−1, 3) ∪ [ , ∞)(49.2) นอกค่าสัมบูรณ์เป็นตัวเลข จึงแก้แบบนี้ได้ 2−6 < x − 2 < −3 หรือ 3 < x − 2 < 6 x < 0 (49.5) แยกช่วงย่อย ก. เมือ ่ จะได้ −4 < x < −1 5 < x < 8 −x −x <2 → −2<0 →∴ ตอบ (−4, −1) ∪ (5, 8) −x − 1 −x − 1 −x + 2x + 2 x+2(49.3) จาก x + 1 > 0 แยกช่วงย่อยคิด −x − 1 0 → x+1 0 |x| เขียนเส้นจํานวนได้เป็น (−∞, −2] ∪ (−1, ∞)ก. เมื่อ x < 0 จะได้ 1 x2 − 1 อินเตอร์เซคกับเงือนไขช่วง ได้ (−∞, −2] ∪ (−1, 0) ่x− > 0 → > 0 ข. เมื่อ x > 0 จะได้ x x(x − 1)(x + 1) x x > 0 เขียนเส้นจํานวนได้เป็น <2 → −2<0 → x x−1 x−1 x − 2x + 2 x−2(−1, 0) ∪ (1, ∞) นําไปอินเตอร์เซคเงื่อนไขได้ (−1, 0) 0 → 0 x−1 x −1ข. เมื่อ x >0 จะได้ เขียนเส้นจํานวนได้เป็น (−∞, 1) ∪ [2, ∞) 1 x2 + 1x+ > 0 → > 0 อินเตอร์เซคกับเงือนไขช่วง ได้ [0, 1) ∪ [2, ∞) ่ x x(ด้านบนแยกตัวประกอบไม่ออก) เขียนเส้นจํานวนได้ ∴ ตอบ (−∞, −2] ∪ (−1, 1) ∪ [2, ∞)เป็น (0, ∞) นําไปอินเตอร์เซคเงื่อนไขได้ (0, ∞) (50) A; แยกช่วงย่อย ก. เมื่อ x < −2 จะได้ −x − 2ฉะนั้น คําตอบในส่วนนีคือ (−1, 0) ∪ (0, ∞) ้ + x − 4 < 0 → −x − 2 + 2x − 8 < 0 → 2 2ต่อมา จาก x − x − 2 < 0 → (x − 2)(x + 1) < 0 x − 10 < 0 → x < 10 → (−∞, −2)เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น (−1, 2) ข. เมื่อ x > −2 จะได้สรุปคําตอบของข้อนี้ x +2 + x − 4 < 0 → x + 2 + 2x − 8 < 0 → x ∈ (−1, 0) ∪ (0, ∞) และ x ∈ (−1, 2) 2เชื่อมด้วยคําว่า “และ” แปลว่า อินเตอร์เซค 3x − 6 < 0 → x < 2 → [−2, 2]ได้คําตอบ x ∈ (−1, 0) ∪ (0, 2) ดังนัน A = (−∞, 2] ้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 56 ระบบจํานวนจริงB; แยกช่วงย่อย ก. เมือ ่ x < 7 จะได้ (53.2) คิดเช่นเดียวกับข้อทีแล้ว คือ ่ 7 7 −10 + 8x < −x + 7 → 2x < 7 → x < → (−∞, ) นํา = −1 ลบออก 2 2 2 x > 7 จะได้ข. เมื่อ จะได้ x + 1 < −9 หรือ x + 1 > 9x < x − 7 → 0 < −7 → ∅ → | x + 1 | > 9 นั่นคือ a = 1, b = 1, c = 9 7 (54.1) เนื่องจากเป็นบวกทั้งสองข้าง ไม่จาเป็นต้อง ํดังนัน ้ B = (−∞, ) 2 ใช้วิธีแยกช่วงย่อย แต่สามารถยกกําลังสองได้เลยA ∩ B = (−∞, 2] ... ตอบ (A ∩ B) = (2, ∞) ดังนี้(51) คิดทีละซีก คือ (3x + 2)2 < (4x + 1 2 → (3x + 2)2 − (4x + 1 2 < 0 ) )2x < |4x + 5| และ |4x + 5| < 10 → (3x + 2 − 4x − 1)(3x + 2 + 4x + 1) < 0 →จาก 2x < |4x + 5| ใช้วิธีแยกช่วงย่อย (−x + 1)(7x + 3) < 0 → (x − 1)(7x + 3) > 0ก. เมื่อ x < −5/ 4 จะได้ เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น (−∞, − 3) ∪ (1, ∞)2x < − 4x − 5 → 6x < − 5 → x < − 5/6 7อินเตอร์เซคกับเงือนไขช่วงแล้วได้ ่ (−∞, −5/ 4) (54.2) เนื่องจากตัวส่วนมีค่าสัมบูรณ์จึงเป็นบวก เสมอ สามารถคูณย้ายไปไว้ทางขวาได้ทันที และข. เมื่อ x > −5/4 จะได้ จากนั้นยังสามารถยกกําลังสองได้ (เหมือนข้อที่แล้ว)2x < 4x + 5 → −5 < 2x → x > − 5/2 (x − 2)2 < (2x + 2)2 → (x − 2)2 − (2x + 2)2 < 0 →อินเตอร์เซคกับเงือนไขช่วงแล้วได้ [−5/ 4, ∞) ่ (x − 2 − 2x − 2)(x − 2 + 2x + 2) < 0 →ดังนัน ซีกแรกได้คําตอบรวมกันเป็น x ∈ R ้ (−x − 4)(3x) < 0 → 3(x + 4)(x) > 0ต่อมา จาก |4x + 5| < 10 จะได้ เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น (−∞, −4) ∪ (0, ∞)−10 < 4x + 5 < 10 → −15 < 4x < 5 (54.3) คิดทีละซีก คือ−15/ 4 < x < 5/4 |x − 7| < 5 และ |5x − 25| > 5 15 5 ก. จาก |x − 7| < 5 จะได้ −5 < x − 7 < 5ดังนัน สองซีกอินเตอร์เซคได้เป็น ้ A = [− , ] 4 4(51.1) ถูกเสมอ เพราะ A เป็นช่วงต่อเนือง ่ นั่นคือ 2 < x < 12 ข. จาก |5x − 25| > 5 จะได้( a + b ∈ A เสมอ) 2 5x − 25 > 5 หรือ 5x − 25 < −5 5 15 10 นั่นคือ x > 6 หรือ x < 4(51.2) + (− ) = − ∈A ถูก 4 4 4 นํา ก. อินเตอร์เซค ข. ได้คําตอบ (2, 4) ∪ (6, 12)(52) A ; − 14 < x2 − 2 < 14 (54.4) แยกช่วงย่อยเป็น 4 ช่วง−12 < x2 < 16 0 < x2 < 16 คือ ก. เมื่อ x < 1 จะได้∴− 4 < x < 4 → A = (−4, 4) −x + 1 − x + 3 < −x + 5 → −1 < x → (−1, 1) 1 1− x x−1B; −1> 0 → > 0 → < 0 ข. เมื่อ1 < x < 3 จะได้ x x x x − 1 − x + 3 < −x + 5 → x < 3 → [1, 3)เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น B = (0, 1) ค. เมื่อ 3< x < 5 จะได้∴ A ∩ B = A − B = (−4, 0] ∪ [1, 4) x − 1 + x − 3 < −x + 5 → x < 3 → ∅คําตอบคือ มีจานวนเต็มอยู่ 7 จํานวน ํ ง. เมื่อ x >5 จะได้(53.1) เทคนิคการคิดคือ x − 1 + x − 3 < x − 5 → x < −1 → ∅นํา −4 + 1 = − 3 ลบออกทุกส่วนของอสมการ ∴ รวมกันทุกช่วงย่อยแล้วได้คาตอบ (−1, 3) ํ 2 2เพื่อให้ตวเลขทางซ้ายและทางขวาเป็นเลขเดียวกัน ั (54.5) ถ้าแยกกรณีจะยาก เรามองเห็นว่าทางขวา เป็นตัวเลข จึงควรคิดแบบนี้จะได้ −4 + 3 < x + 3 < 1 + 3 → x2 − 5x − 4 x2 − 5x − 4 2 2 2 > 1 หรือ < −1 5 3 5 2 x +x−2 2 x +x−2− < x+ < → − 5 < 2x + 3 < 5 2 2 2→ | 2x + 3 | < 5 นั่นคือ a = 2, b = 3, c = 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 57 ระบบจํานวนจริง x2 − 5x − 4 (57) พิจารณาจากเลขหลักหน่วย คือก. จาก > 1 จะได้ x2 + x − 2 93 ⋅ 82 → 9 ⋅ 4 → 6 ดังนั้น เศษ = 1x2 − 5x − 4 − x2 − x + 2 หรือจะคิดจากทฤษฎีเศษก็ได้ คือ >0 → x2 + x − 2 เราพบว่า (4x − 1)3(58x − 2)2 หารด้วย x ย่อม (−6x − 2) (3x + 1) >0 → <0 เหลือเศษเท่ากับ (−1)3 ⋅ (−2)2 = −4 เสมอ(x + 2)(x − 1) (x + 2)(x − 1) → ถ้าแทน x ด้วย 5 ก็จะได้ว่า (19)3(288)2เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบ (−∞, −2) ∪ [−1/ 3, 1) 2 หารด้วย 5 เหลือเศษ −4 ด้วย ... และเศษ −4ข. จาก x 2 − 5x − 4 < −1 จะได้ สําหรับตัวหารเป็น 5 ก็จะหมายถึงเศษ 1 x +x −2 2 2 x − 5x − 4 + x + x − 2 (58) การเขียนผลรวมเชิงเส้น ต้องหา ห.ร.ม. ด้วย <0 → วิธีของยุคลิดก่อน ดังนี้ x2 + x − 2 2(x − 3)(x + 1 ) <0 252=34(7)+14 .....(ก) 34=14(2)+6 .....(ข) (x + 2)(x − 1 ) 14=6(2)+2 .....(ค) 6=2(3) (ห.ร.ม. เท่ากับ 2)เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบ (−2, −1] ∪ (1, 3] จากนั้นย้ายข้างสมการ ก,ข,ค ให้อยู่ในรูป เศษ=.......ข้อ ก. และ ข. เชื่อมด้วยคําว่า “หรือ” คือยูเนียน ดังนี้ (ก) 14=252+34(-7) (ข) 6=34+14(-2)ดังนันคําตอบคือ (−∞, −1] ∪ [−1/ 3, 3] − {−2, 1} ้ (ค) 2=14+6(-2) แล้วแทน (ข) ใน (ค) จะได้(55) มีค่าสัมบูรณ์ซอนกัน พิจารณาชันในสุดก่อน 2 =14+(34+14(-2))(-2) =14(5)+34(-2) ้ ้ก. เมื่อ x < 0 จะได้สมการโจทย์กลายเป็น แทนด้วย (ก) ลงไปอีก จะได้|− x − 3| < |x − 2| 2 =(252+34(-7))(5)+34(-2) =252(5)+34(-37)ยกกําลังสองทั้ง 2 ข้างแล้วย้ายมาลบกัน ดังนัน ตอบว่า 2 = 252(5) + 34(-37) ้(− x − 3)2 < (x − 2)2 → (− x − 3)2 − (x − 2)2 < 0 → (59) วิธีเดียวกับข้อที่แล้ว หา ห.ร.ม.ก่อน(− x − 3 − x + 2)(− x − 3 + x − 2) < 0 → -504=-38(14)+28...(ก) จะได้ 28=-504+(-38)(-14)(−2x − 1 −5) < 0 → (2x + 1 )( )(5) < 0 -38=28(-2)+18....(ข) จะได้ 18=-38+28(2) 28=18(1)+10....(ค) จะได้ 10=28+18(-1)ได้เป็น x < − 1/2 อินเตอร์เซคกับเงือนไขได้ช่วงเดิม 18=10(1)+8....(ง) ่ จะได้ 8=18+10(-1)ข. เมื่อ x > 0 จะได้สมการโจทย์กลายเป็น 10=8(1)+2.... (จ) จะได้ 2=10+8(-1)|x − 3| < |x − 2| และ 8=2(4) (ห.ร.ม. คือ 2)ยกกําลังสองทั้ง 2 ข้างแล้วย้ายมาลบกัน จากนั้นแทน (ง) ใน (จ) ได้ 2=10+(18+10(-1))(-1)(x − 3)2 < (x − 2)2 → (x − 3)2 − (x − 2)2 < 0 → =10(2)+18(-1) ... แทน (ค) ลงไป(x − 3 − x + 2)(x − 3 + x − 2) < 0 → 2 =(28+18(-1))(2)+18(-1) =28(2)+18(-3) ...(−1 )(2x − 5) < 0 → (1 )(2x − 5) > 0 แทน (ข) ลงไป 2 =28(2)+(-38+28(2))(-3)ได้เป็น x > 5/2 อินเตอร์เซคกับเงือนไขได้ช่วงเดิม =28(-4)+(-38)(-3) ... สุดท้ายแทน (ก) ลงไป ่สรุปรวมข้อนี้คาตอบคือ (−∞, − 1/2) ∪ (5/2, ∞) ํ 2 =(-504+(-38)(-14))(-4)+(-38)(-3)(56.1) ก. เมื่อ x < 0 จะได้ ตอบ 2 = (-504)(-4) + (-38)(53)(1 + x)(1 + x) > 0 → (x + 1) > 0 2 (60) x ⋅ 128 = 16 ⋅ 384 → x = 48ซึ่งเป็นจริงเสมอยกเว้นที่ x = −1 (61) ห.ร.ม. คือ 9 = 3 × 3(จะเขียนเส้นจํานวนเพื่อหาคําตอบก็ได้) ค.ร.น. คือ 28,215 = 3 × 3 × 5 × 11 × 57ดังนันคําตอบของช่วงนีคือ (−∞, −1) ∪ (−1, 0) ้ ้ ทั้ง x และ y ต้องหาร 9 ลงตัว ดังนั้นข. เมื่อ x > 0 จะได้ x = 3 × 3 × 5 × 11 = 495(1 − x)(1 + x) > 0 → (x − 1)(x + 1 < 0 ) y = 3 × 3 × 57 = 513เขียนเส้นจํานวนได้คําตอบเป็น (−1, 1) (62) จํานวนเฉพาะสัมพัทธ์ แสดงว่า ห.ร.ม. = 1 ∴ x y = 1 ⋅ 15,015 = 3 × 5 × 7 × 11 × 13และนําไปรวมกับเงื่อนไขช่วง ได้เป็น [0, 1) x มีตัวประกอบ 2 ตัว และ 80 < x < 200สรุปรวมข้อนีตอบว่า (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ้(56.2) คิดวิธีเดียวกันกับข้อที่แล้วก็ได้ หรือจะใช้ ดังนัน x = 13 × 7 หรือ x = 13 × 11 เท่านั้น ้คําตอบเดิมมาคิดก็จะรู้ว่า คําตอบคือ (1, ∞) ก็จะได้ y = 3 × 5 × 11 = 165 หรือ y = 3 × 5 × 7 = 105(จุด x = −1 และ 1 เราไม่นํามาตอบเพราะเป็นจุดทีทาให้ (1 − |x|)(1 + x) เป็นศูนย์) ่ ํ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 58 ระบบจํานวนจริงeÃ×èo§æ¶Áถ้าไม่มีเครื่องคํานวณ จะหาค่ารากที่สองได้อย่างไร.. (1) 5 14 . 00 00(1) สมมติว่า จะถอดรากที่สองของ 514เริ่มต้น ให้แบ่งตัวเลขในจํานวน 514 ออกเป็นกลุ่มๆ ทีละ 2 ตัว โดยวัดจาก (2)จุดทศนิยมมาทางซ้าย ได้แก่ 14 และ 5 (หลักหน่วยอยู่กับสิบ หลักร้อยอยู่กับพัน 2หลักหมื่นอยู่กับแสน ไปเรื่อยๆ) และวัดทศนิยมไปทางขวากลุ่มละ 2 ตัวเช่นกัน 2 5 14 . 00 00(โจทย์ข้อนี้ไม่มีทศนิยมจึงใส่ 00 และ 00 ไปเรื่อยๆ) (3) 2(2) หาจํานวนนับที่คูณตัวเองแล้วได้ใกล้เคียงกลุ่มแรก (คือ 5) ที่สุด 2 5 14 . 00 00(แต่ไม่เกิน 5) นั่นคือ 2 คูณ 2 ... ก็ใส่ 2 ไว้ที่ช่องตัวหาร กับช่องผลลัพธ์ 4 1(3) จาก 2 คูณ 2 ได้ 4 ... ใส่ผลคูณคือ 4 ไว้ใต้เลข 5 แล้วนํามาลบกัน เหลือ 1 (4) 2 2 5 14 . 00 00(4) นําผลลัพธ์ที่ได้ในขณะนี้ (บรรทัดบนสุด) คือ 2 มาคูณสองกลายเป็น 4 4ใส่ไว้ที่ช่องตัวหารด้านหน้า ... แล้วดึงเลขกลุ่มถัดไปลงมา (คือ 14) กลายเป็น 114 4 1 14(5) ต่อมาให้หาค่า x ซึ่งทําให้ 4x คูณ x ได้ใกล้เคียง 114 ที่สุด (แต่ไม่เกิน 114) (5) 2 2 .... เช่น 41 คูณ 1 ได้ 41, 42 คูณ 2 ได้ 84, 43 คูณ 3 ได้ 129 (เกิน) 2 5 14 . 00 00ดังนั้น ต้องใช้ 42 คูณ 2 ... ใส่ 2 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 4) และใส่ 2 ไว้ช่อง 4ผลลัพธ์ด้วย จากนั้น 42 คูณ 2 ได้ 84 เอาไปตั้งลบออกจาก 114 (เหลือ 30) 42 1 14 84(6) ทําเช่นเดียวกับข้อ (4) และ (5) ไปเรื่อยๆ 30คือ เอาผลลัพธ์ในขณะนี้ (22) มาคูณสองกลายเป็น 44 ใส่ไว้ช่องตัวหาร (6) 2 2 .และดึงกลุ่มถัดไป (คือ 00) ลงมาต่อท้าย 30 กลายเป็น 3000 2 5 14 . 00 00 4(7) หาค่า x ซึ่งทําให้ 44x คูณ x ได้ใกล้เคียง 3000 ที่สุด 42 1 14(แต่ไม่เกิน 3000) ... พบว่า ต้องใช้ 446 คูณ 6 84ใส่ 6 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 44) และใส่ 6 ไว้ช่องผลลัพธ์ 44 30 00จากนั้น 446 คูณ 6 ได้ 2676 เอาไปตั้งลบออกจาก 3000 (เหลือ 324) (7) 2 2 . 6 2 5 14 . 00 00(8) เอาผลลัพธ์ในขณะนี้ (226) มาคูณสองเป็น 452 ใส่ไว้ช่องตัวหาร 4และดึงกลุ่มถัดไป (คือ 00) ลงมาต่อท้าย 324 กลายเป็น 32400 42 1 14หาค่า x ซึ่งทําให้ 452x คูณ x ได้ใกล้เคียง 32400 ที่สุด (แต่ไม่เกิน 32400) ... 84พบว่า ต้องใช้ 4527 คูณ 7 ... ใส่ 7 ไว้ที่ตัวหาร (ต่อท้าย 452) และใส่ 7 ไว้ 446 30 00ช่องผลลัพธ์ จากนั้น 4527 คูณ 7 ได้ 31689 เอาไปตั้งลบออกจาก 32400 ... 26 76ทําไปเรื่อยๆ จนกว่าจะได้คําตอบที่มีจานวนทศนิยมเท่าที่ต้องการ ํ 3 24 (8) 2 2 . 6 7สรุปว่า รากที่สองของ 514 มีค่าประมาณ 22.67... 2 5 14 . 00 00 4ข้อสังเกต จํานวนหลักของคําตอบ จะเท่ากับจํานวนกลุ่มที่แบ่งในโจทย์ 42 1 14เช่น 514 แบ่งได้ 2 กลุ่ม คือ 5,14 ดังนั้นคําตอบจะมี 2 หลัก (ไม่รวมทศนิยม) 84หรือถ้าเป็น 903601 แบ่งได้ 3 กลุ่ม คือ 90,36,01 คําตอบก็จะมี 3 หลัก... 446 30 00 26 76อ่านแล้วทดลองถอดรากที่สองเองดูสิครับ 4527 3 24 00อย่างเช่น หารากที่สองของ 225, รากที่สองของ 3000, รากที่สองของ 214.7 3 16 89 .... ....ตรวจสอบคําตอบกับเครื่องคํานวณ ถ้าตรงกันแสดงว่ารู้หลักในการคิดแล้ว :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 59 ตรรกศาสตร ~ ∧ → lgc º··Õè 3 µÃáÈÒʵÏ ตรรกศาสตร์ (Logic) เป็นวิชาเกี่ยวกับการใช้ เหตุผลเพื่อวิเคราะห์ค่าความจริง (จริงหรือเท็จ) ของ ประโยคต่างๆ ความเข้าใจในตรรกศาสตร์เบื้องต้นจะ ช่วยให้ศึกษาวิชาคณิตศาสตร์ได้อย่างมีเหตุผล ประโยคทุกประโยคที่มี ค่าความจริง (Truth Value) เป็นจริงหรือเป็นเท็จอย่างใดอย่างหนึ่งเราจะเรียกว่า ประพจน์ (Proposition หรือ Statement) ดังนั้นประพจน์อาจเป็นประโยคบอกเล่า,ประโยคปฏิเสธ เช่น “เมื่อวานฝนตกที่บางกะปิ”, “1 มากกว่า 2”, “เก่งไม่ใช่คนร้าย” เหล่านี้ถือเป็นประพจน์ เพราะสามารถให้ค่าความจริงกํากับว่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จได้ แต่ประโยคคําถาม ประโยคคําสั่ง ขอร้อง ประโยคแสดงความปรารถนา ประโยคอุทานเหล่านี้ไม่ใช่ประพจน์เพราะไม่สามารถให้ค่าความจริงได้ เช่น “กรุณางดใช้เสียง”, “ใครเป็นคนทําแก้วแตก”, “อยากไปเที่ยวหัวหินจังเลย” หรือ “โอ้โห วิเศษไปเลยจอร์จ” S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S »Ãao¤·Õè´ÙeËÁ×o¹e»š¹»Ãa¾¨¹ ºÒ§¤Ãa駡çäÁ‹e»š¹»Ãa¾¨¹ ... eª‹¹ 1. “ÊÁÈÃÕÊÇ·ÕèÊu´ã¹«o” eÃ×èo§¤ÇÒÁÊǹaé¹e»š¹eªi§¨iµÇiÊa äÁ‹ÊÒÁÒö¿˜¹¸§ä´ŒÇ‹Ò¨Ãi§ËÃ×oe·ç¨ ¨Ö§äÁ‹e»š¹»Ãa¾¨¹! 2. “e¢Ò¡íÒÅa§¡i¹¢ŒÒǔ oa¹¹Õé¡çäÁ‹e»š¹»Ãa¾¨¹ e¾ÃÒaäÁ‹ä´Œe¨Òa¨§Ç‹Ò “e¢Ò” ËÁÒ¶֧ã¤Ã ´a§¹aé¹oÒ¨¨a¨Ãi§ËÃ×oe·ç¨¡ç䴌 äÁ‹æ¹‹ª´ a (eÃÕ¡»Ãao¤·Õèµi´µaÇæ»Ã溺¹ÕéÇ‹Ò »Ãao¤e»´ ¨a䴌ÈÖ¡ÉÒã¹ËaÇ¢Œo 3.4 ¤Ãaº..) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประพจน์ต่างๆ เป็นตัวอักษรเล็ก เช่น p, q, r โดยแต่ละประพจน์จะมีค่าความจริงที่เป็นไปได้ 2 แบบเท่านั้น คือเป็น จริง (True; T) หรือเป็น เท็จ (False; F) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 60 ตรรกศาสตร 3.1 ตัวเชื่อมประพจน์ และตารางค่าความจริง ในชีวิตประจําวันรวมทั้งในวิชาคณิตศาสตร์ เรามักพบการเชื่อมประโยค (ประพจน์) ด้วยตัวเชื่อม (Connectives)... และ (and), หรือ (or), ถ้า-แล้ว (if-then), ก็ต่อเมื่อ (if and only if)และยังพบการเติมคําว่า ไม่ (not) ด้วย... ซึ่งการเชื่อมแต่ละแบบ ส่งผลต่อค่าความจริงดังตาราง เครื่องหมาย ~ เรียกว่า นิเสธ (Negation) ใช้เพื่อกลับค่าความจริงให้เป็นตรงข้าม p และ q p หรือ q ถ้า p แล้ว q p ก็ต่อเมื่อ q ไม่ p p q (p ∧ q ) (p ∨ q ) (p → q ) (p ↔ q ) (~p ) T T T T T T F T F F T F F F F T F T T F T F F F F T T T การเชื่อมด้วย และ มีกรณีเดียวที่เป็นจริง คือ T ∧ Tการเชื่อมด้วย หรือ มีกรณีเดียวที่เป็นเท็จ คือ F ∨ Fการเชื่อมด้วย ถ้า-แล้ว มีกรณีเดียวที่เป็นเท็จ คือ T → Fส่วนการเชื่อมด้วย ก็ต่อเมื่อ ถ้าค่าความจริงเหมือนกันจะให้ผลเป็นจริง ต่างกันจะให้ผลเป็นเท็จข้อสังเกต ตัวเชื่อมทั้งสี่นี้ มีเพียง ถ้า-แล้ว ที่ไม่สามารถสลับที่ประพจน์ได้ ตารางที่แสดงค่าที่เป็นไปได้ครบทุกแบบดังนี้ เรียกว่า ตารางค่าความจริง (Truth Table)จํานวนแบบที่เกิดขึ้นเท่ากับ 2n เมื่อ n คือจํานวนประพจน์ ... เช่น ถ้ามี 1 ประพจน์จะเป็นไปได้ 2แบบ, ถ้ามี 2 ประพจน์ เป็นไปได้ 4 แบบ (ดังตารางนี้), ถ้ามี 3 ประพจน์จะเป็นไปได้ 8 แบบ รูปแบบประพจน์ 2 รูปแบบใดๆ ที่ให้ค่าความจริงตรงกันทุกๆ กรณี จะกล่าวว่ารูปแบบทั้งสอง สมมูลกัน (Equivalent) (แปลว่า สามารถใช้แทนกันได้) สัญลักษณ์ที่ใช้แสดงการสมมูลกัน คือ≡ (ขีดสามขีด) รูปแบบประพจน์ที่สมมูลกัน ที่ควรทราบได้แก่• การแจกแจง • การเติมนิเสธ p ∨ (q ∧ r) ≡ (p ∨ q) ∧ (p ∨ r) ~ (p ∧ q) ≡ ~p ∨ ~q p ∧ (q ∨ r) ≡ (p ∧ q) ∨ (p ∧ r) ~ (p ∨ q) ≡ ~p ∧~q• การเปลี่ยนตัวเชื่อม ~ (p → q) ≡ p∧~q p→q ≡ ~p ∨ q ≡ ~q→~p ~ (p ↔ q) ≡ ~p ↔ q ≡ p↔~q p↔q ≡ (p → q) ∧ (q → p)สิ่งที่ควรทราบตัวเชื่อม และ มีสมบัติคล้ายอินเตอร์เซคชันของเซตตัวเชื่อม หรือ มีสมบัติคล้ายยูเนียนของเซตและ นิเสธ มีสมบัติคล้ายคอมพลีเมนต์ของเซต Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 61 ตรรกศาสตร แบบฝึกหัด 3.1(1) ให้เติมค่าความจริงหรือประพจน์ที่เหมาะสม ลงในช่องว่าง เมื่อ p เป็นประพจน์ใดๆ T ∧p ≡ T∨p ≡ T →p ≡ T ↔p ≡ F∧p ≡ F∨p ≡ F→p ≡ F↔p ≡ p∧p ≡ p∨p ≡ p→T ≡ p↔p ≡ p ∧ ~p ≡ p ∨ ~p ≡ p →F ≡ p ↔~p ≡ p→p ≡ p →~p ≡(2) กําหนดให้ p, r เป็นจริง และ q เป็นเท็จ จงหาค่าความจริงของ (2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) (2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [(q ↔ s) ∧ r] (2.3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → (p ∧ ~ q) (2.4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~ s (2.5) [(q → p) ∧ r] ↔ ~ (~ r) (2.6) [(p ∧ q) → ~ r] → [(~ p ∨ q) ↔ r] (2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔ [(p → q) ∧ (~ q → r)] (2.8) [(p ∧ q) ∧ ~ r] ∧ [(r ∨ ~ s) ∧ (~ p ∨ ~ q)] (2.9) [p → (q ∧ r)] ∧ [(q → p) ∨ r] (2.10) [q → (p ∨ r)] → [p → (q ∧ ~ r)] (2.11) [(~ p → ~ q) ∧ (~ r → ~ s)] ∨ [(~ p → r) ∧ (s → ~ q)](3) จงหาค่าความจริงของรูปแบบประพจน์ต่อไปนี้ (3.1) (p ∨ ~ q) → (p → q) เมื่อ q เป็นจริง (3.2) (p ∨ ~ q) → (p → q) เมื่อ p เป็นเท็จ (3.3) (~ r ∧ p) ∨ (~ (r ∨ s) ∧ (r ∨ ~ q)) เมื่อ p, q เป็นจริง และ r, s เป็นเท็จ (3.4) (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) เมื่อ p, r, r → q เป็นจริง (3.5) (~ q ∧ (p ∨ r)) → (~ r) เมื่อ p → q เป็นเท็จ, q ∨ r เป็นจริง (3.6) n → [(m ∨ q) → ~ s] เมื่อ q → n เป็นเท็จ (3.7) (p ∨ r) ∧ q เมื่อ p → q เป็นเท็จ, q ∨ r เป็นจริง (3.8) (q ∨ p) → (r ∧ s) เมื่อ (p → q) ∧ (r ∨ s) เป็นจริง, q ∨ s เป็นเท็จ (3.9) [Ent’25] r → s เมื่อ (p ∨ r) → (q ∨ s) เป็นเท็จ, p → q เป็นจริง (3.10) (p ∨ r) → ~ q เมื่อ (p ∧ ~ r) → (p → q) เป็นเท็จ (3.11) p, q, r เมื่อ (p ∧ q) → (p → r) เป็นเท็จ (3.12) r เมื่อ p ∧ (p ↔ ~ r) ∧ (q → r) เป็นจริง (3.13) ((p ∧ ~ q) → ~ p) → (p → q) (3.14) ⎣[p ∨ ~ (r ∧ s)] ∧ ~ p⎤ → (~ r ∨ ~ s) ⎡ ⎦ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 62 ตรรกศาสตร(4) กําหนดให้ [(p → q) ∧ (p ∨ r)] → (s → r) เป็นเท็จ ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. [(p ↔ q) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) เป็นเท็จ ข. [(~ p ∧ q) → (~ q ∧ r)] → (~ r ∧ s) เป็นจริง(5) ถ้า [(p ↔ q) → (r ∨ ~ s)] มีค่าความจริงเป็นเท็จ จงพิจารณาว่ารูปแบบประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเหมือนกับ [(~ p ∧ r) → (q ∨ ~ s)] บ้าง ก. ~ (p ∧ s) → ~ r ข. r ↔ (p ∧ ~ q) ค. (s → r) ∨ (p → q)(6) ถ้า p สมมูลกับ q และ r ไม่สมมูลกับ s พิจารณาข้อความใดถูกหรือผิดบ้าง ก. [(p ↔ ~ q) ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [(~ p ∧ q) ∨ (~ r ∨ ~ s)] เป็นเท็จ ข. [(p ∨ r) ∧ (q ∨ s)] → [(p ∨ ~ q) ↔ (r → ~ s)] เป็นจริง(7) จงหานิเสธของ ก. (p → ~ q) ∧ (~ r → s) ข. (p ∧ ~ q) → ~ r(8) กําหนดประพจน์ “ถ้าเดชาขยันและทําการบ้านสม่ําเสมอแล้วเขาจะสอบผ่าน” เป็นเท็จ แล้วข้อใดเป็นจริง ก. เดชาขยันแต่ไม่ทําการบ้านสม่ําเสมอ ข. เดชาไม่ขยันแต่ทําการบ้านสม่ําเสมอ ค. ถ้าเดชาสอบไม่ผ่านแสดงว่าเขาไม่ทําการบ้านสม่ําเสมอ ง. เดชาขยันก็ต่อเมื่อเขาสอบไม่ผ่าน(9) ข้อใดไม่สมมูลกัน ก. p ∨ q กับ ~ (~ p ∧ ~ q) ข. ~ (p ∧ ~ q) กับ ~ q → ~ p ค. ~ p → (q → p) กับ ~ q → p ง. ~p ↔ q กับ (~ p → q) ∧ (q → ~ p)(10) รูปแบบประพจน์ต่อไปนี้สมมูลกับข้อใด (10.1) p ↔ q ก. (p → q) ∧ (q ∧ ~ p) ข. (~ q → ~ p) ∧ (~ q ∨ p) ค. (p ∧ ~ q) ∧ (q → p) ง. (p ∧ ~ q) ∧ (~ p → ~ q) (10.2) ⎣[((q ∧ ~ t) ∧ p) ∨ ((q ∧ ~ t) ∧ ~ p)] ∨ ~ q⎦ → r ⎡ ⎤ ก. q ∧ ~ t ∧ p ข. (t ∧ q) ∨ p ค. t ∧ q ∧ r ง. (t ∧ q) ∨ r จ. (t ∧ r) ∨ p (10.3) [(q ∨ r) ∧ (p ∧ s) ∧ (q ∨ ~ r)] ∨ [(q ∨ ~ r) ∧ (p ∧ ~ s) ∧ (q ∨ r)] ก. p ∧ q ข. p ∨ q ค. p → q ง. p ↔ q(11) ข้อความใดสมมูลกับ “ถ้า a < 0 และ b < 0 แล้ว ab > 0 ” ก. ถ้า a > 0 หรือ b > 0 แล้ว ab < 0 ข. ถ้า a > 0 และ b > 0 แล้ว ab > 0 ค. ถ้า ab < 0 แล้ว a > 0 หรือ b > 0 ง. ถ้า ab > 0 แล้ว a < 0 และ b < 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 63 ตรรกศาสตร(12) ข้อความในข้อใดสมมูลกันบ้าง ก. ถ้า a เป็นจํานวนเต็ม แล้ว a เป็นจํานวนคู่ หรือ a เป็นจํานวนคี่ ข. ถ้า a ไม่เป็นจํานวนคู่ และ a ไม่เป็นจํานวนคี่ แล้ว a ไม่เป็นจํานวนเต็ม ค. a ไม่เป็นจํานวนเต็ม หรือ a เป็นจํานวนคู่ หรือ a เป็นจํานวนคี่(13) ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ~ (p ∧ ~ r) ∨ ~ q สมมูลกับ q → (r ∨ ~ p) ข. p → (q → r) สมมูลกับ q → (p → r) ค. (p ∧ q) → r สมมูลกับ (p → ~ q) ∨ (p → r)(14) กําหนดค่าความจริงของตัวเชื่อม ∗ ดังตาราง p q p ∗q (14.1) (p ∗ p) ∗ (q ∗ q) สมมูลกับข้อใด T T F ก. p ∧ q ข. p ∨ q T F F ค. p → q ง. p ↔ q F T F (14.2) [Ent’34] p ∗ q สมมูลกับข้อใด F F T ก. ~ (~ p → q) ข. ~ p → q ค. ~ (q → ~ p) ง. q → ~ p(15) กําหนดให้ p ∗ q ≡ ~ (p ∨ q) ถามว่าอัตราส่วนจํานวนกรณีที่ p ∗ (q ∗ r) เป็นจริง ต่อจํานวนกรณีที่เป็นเท็จ เป็นเท่าใด 3.2 สัจนิรันดร์ หากรูปแบบของประพจน์ใดให้ค่าความจริงเป็นจริงเสมอทุกๆ กรณี (สร้างตารางค่าความจริงแล้วพบว่าเป็นจริงทุกแบบ) เราเรียกรูปแบบนั้นว่าเป็น สัจนิรันดร์ (Tautology) • ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรนดรหรือไม ั ก. (r ∨ p) → (p → r) ข. (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) วิธีคิด เขียนตารางแสดงคาความจริงของ p กับ r ใหครบทุกกรณีที่เปนไปได (4 กรณี) p r r ∨ p p → r (r ∨ p) → (p → r) p r r ∨ ~ p p → r (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) T T T T T T T T T T T F T F F T F F F T F T T T T F T T T T F F F T T F F T T T เราพบวา ขอ ก. เกิดกรณีที่เปนเท็จไดดวย จึงไมเปนสัจนิรันดร แตขอ ข. ผลเปนจริงทุกกรณี จึงเปนสัจนิรันดร การตรวจสอบรูปแบบประพจน์ว่าเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ นอกจากจะใช้วิธีเขียนตารางค่าความจริงให้ครบทุกกรณีแล้ว โดยทั่วไปนิยมใช้ “วิธีพยายามทําให้เป็นเท็จ” คือถ้าหากรณีที่ทําให้รูปแบบนั้นเป็นเท็จไม่ได้เลย รูปแบบนั้นก็จะเป็นสัจนิรันดร์ แต่ถ้าทําเป็นเท็จได้แม้เพียงกรณีเดียว รูปแบบนั้นย่อมไม่ใช่สัจนิรันดร์ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 64 ตรรกศาสตร โดยเฉพาะเมื่อมีประพจน์ย่อยมากๆ (เช่น p, q, r, s, ...) การเขียนตารางให้ครบทุกกรณีจะทําได้ไม่สะดวก ควรใช้วิธีพยายามทําให้เป็นเท็จ • ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรนดรหรือไม ั ก. (r ∨ p) → (p → r) ข. (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) (r ∨ p) → (p → r) วิธีคิด ก. ใชวิธีพยายามทําใหเปนเท็จ T F F T T F ตัวเชื่อมหลักคือ “ถา-แลว” จะเปนเท็จได แสดงวาวงเล็บหนาตองเปนจริง และวงเล็บหลังตองเปนเท็จ เทานั้น ... วงเล็บหลังเปนเท็จแสดงวา p ตองเปนจริง และ r ตองเปนเท็จ ... นําคาความจริงของ p และ r ไปใสในวงเล็บหนา ไดคาเปนจริงตามที่ตองการพอดี ... แสดงวาตอนนี้เราทําใหผลเปนเท็จได สําเร็จ (คือเปนเท็จเมื่อ p เปนจริง, r เปนเท็จ) ขอนี้จึงไมเปนสัจนิรันดร ข. ตัวเชื่อมหลักคือ “ก็ตอเมื่อ” จะเปนเท็จได 2 แบบ คือ T ↔ F กับ F ↔ T ... การคิดดวยวิธีนี้ คอนขางยุงยาก เราควรเลี่ยงไปใชวิธีในตัวอยางถัดไป คือดูความสมมูลระหวางกอนหนาและหลัง ... หากตัวเชื่อมหลักเป็น “หรือ”, “ถ้า-แล้ว” สามารถตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์ได้โดยพยายามทําให้เป็นเท็จ ดังกล่าวไปแล้ว แต่หากตัวเชื่อมหลักเป็น “ก็ต่อเมื่อ” ควรตรวจสอบการเป็นสัจนิรันดร์โดยหลักการต่อไปนี้ “ ↔ เป็นสัจนิรันดร์ เมื่อ ≡ เท่านั้น”(และถ้า ≡ ก็จะได้ว่า ↔ ไม่เป็นสัจนิรันดร์) • ตัวอยาง ประพจนนี้เปนสัจนิรนดรหรือไม (r ∨ ~ p) ↔ (p → r) ั วิธีคิด เนื่องจากตัวเชื่อมหลักเปน “ก็ตอเมื่อ” จึงตรวจสอบวาซายกับขวาสมมูลกันหรือไม พบวา วงเล็บขวาคือ p → r ≡ ~ p ∨ r ≡ วงเล็บซาย ... ดังนันเปนสัจนิรันดร ้ แบบฝึกหัด 3.2(16) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (16.1) (p ∧ q) → [(p ∨ q) → r] (16.2) (p ∨ q) → [(p ∧ q) → r] (16.3) [Ent’29] [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) (16.4) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∧ q) → r] (16.5) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] (16.6) [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∧ q)] → (r ∨ s) (16.7) [Ent’29] ⎡[(p ∧ q) → r ] ∧ (p → q)⎤ → (p → r) ⎣ ⎦(17) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (17.1) [Ent’23] ~ (p → ~ q) ↔ (p ∧ q) (17.2) [(~ p ∧ q) ∨ p] ↔ (p ∧ q) (17.3) [(p ∨ q) ∧ ~ p] ↔ (~ p ∧ q) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 65 ตรรกศาสตร (17.4) (p ↔ q) ↔ [(q ∨ ~ p) ∧ (p ∨ ~ q)] (17.5) [(p ∧ q) → (p ∨ q)] ↔ [(~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q)] (17.6) [p → (q ∧ r)] ↔ [(p → q) ∧ (p → r)] (17.7) [Ent’29] [p → (q → r)] ↔ [(p → q) → r] (17.8) [Ent’29] [p ↔ (q ↔ r)] ↔ [(p ↔ q) ↔ r](18) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (18.1) [(p ∨ r) → (q ∨ r)] ∨ (p ∨ q) (18.2) [(~ p ∧ q) → ~ p] ∨ (p → q)(19) ประพจน์ต่อไปนี้เป็นสัจนิรันดร์หรือไม่ (19.1) นิเสธของ (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) (19.2) นิเสธของ [p ∧ (q ∨ ~ q)] ↔ [~ p ∨ (q ∧ ~ q)] (19.3) นิเสธของ ~ (p ↔ q) ∧ (~ p ↔ ~ q)(20) เมื่อ p, q, r เป็นประพจน์ใดๆ ถามว่าประพจน์ในข้อใดเป็นจริงบ้าง ก. (p → q) → (~ p ∧ ~ q) ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) ค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) → (~ (p ∧ q) ∧ ~ r) ง. ((p → r) ∧ (q → r)) ↔ ((p ∧ q) → r) จ. ((p → q) ∨ (p → r)) ↔ (p → (q ∧ r))(21) ตัวเชื่อมในกรอบสี่เหลี่ยม ที่ทําให้ [(p → ~ q) ∧ (p → ~ r)] [p → ~ (q ∨ r)] เป็นสัจนิรันดร์คืออะไร 3.3 การอ้างเหตุผล การอ้างเหตุผล คือการกล่าวว่าถ้ามีเหตุเป็นข้อความ p1, p2 , p3 , ..., pn ชุดหนึ่ง แล้วสามารถสรุปผลเป็นข้อความ q อันหนึ่งได้ การอ้างเหตุผลมีทั้งแบบที่ สมเหตุสมผล (valid) และ ไม่สมเหตุสมผล (invalid) ซึ่งเราสามารถตรวจสอบความสมเหตุสมผลได้โดยหลายวิธี คือ 1. ตรวจสอบสัจนิรันดร์การอ้างเหตุผลจะสมเหตุสมผล ก็เมื่อ (p1 ∧ p2 ∧ p3 ∧ ... ∧ pn) → q เป็นสัจนิรันดร์หรือกล่าวว่า จะไม่สมเหตุสมผลเพียงกรณีเดียวเท่านั้น คือเมื่อ “เหตุเป็นจริงทุกข้อแต่ผลเป็นเท็จ” 2. เทียบกับรูปแบบที่พบบ่อยการอ้างเหตุผลทุกรูปแบบต่อไปนี้ สมเหตุสมผล (1) เหตุ p → q (2) เหตุ p → q (3) เหตุ p→q (4) เหตุ p→q p ~ q q→r r→s ผล q ผล ~ p ผล p→r p∨r ข้อนี้เป็นรูปแบบมาตรฐาน เพราะ p → q ≡~q→~p ผล q∨ s Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 66 ตรรกศาสตร (5) เหตุ p∧q (6) เหตุ p S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S ผล p ผล p∨q ¶ŒÒµÃǨÊoº¡ÒÃoŒÒ§e˵u¼Å´ŒÇÂÇi¸Õ·èÊo§ ¤×oe·Õº¡aº Õ Ãٻ溺 æÅa¾ºÇ‹Ò¼Å·Õè䴌ÁÒ¨Ò¡Ãٻ溺eËŋҹÕéäÁ‹µÃ§¡aº·Õè เชื่อมด้วย “และ” สามารถเติมประพจน์ใดๆ ได้ ãˌÁÒã¹o¨·Â o‹Òe¾iè§ÊÃu»Ç‹ÒäÁ‹ÊÁe˵uÊÁ¼Å¹a¤Ãaº! ... สามารถแยกเป็นประพจน์ แต่ต้องเชื่อมด้วย“หรือ” ¨aµŒo§Ëa¹¡Åaºä»ãªŒÇi¸ÕæáµÃǨÊoº¡‹o¹¨Ö§ÊÃu»ä´Œ (e¾ÃÒa เดี่ยวได้ oÒ¨¨aÊÁe˵uÊÁ¼Å¡ç䴌) แบบฝึกหัด 3.3(22) [Ent’39] การอ้างเหตุผลดังต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ (22.1) เหตุ 1. p → q (22.2) เหตุ p → (r ∨ s) 2. q → s ผล ~ p ∨ (r ∨ s) 3. ~ s ผล ~ p(23) การอ้างเหตุผลดังต่อไปนี้ สมเหตุสมผลหรือไม่ (23.1) เหตุ 1. ถ้า x เป็นจํานวนคู่แล้ว 2 | x 2. ถ้า x เป็นจํานวนคู่และ 2 | x แล้ว x เป็นจํานวนเต็ม 3. ไม่จริงที่วา “x เป็นจํานวนเฉพาะและ x เป็นจํานวนเต็ม” ่ 4. x เป็นจํานวนคู่ ผล x เป็นจํานวนเฉพาะ (23.2) เหตุ 1. ถ้า a เป็นจํานวนตรรกยะแล้ว a ไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ 2. a2 = 2 หรือ a2 = −1 3. ถ้า a2 = 2 แล้ว a เป็นจํานวนอตรรกยะ 4. a2 ≠ −1 ผล a เป็นจํานวนตรรกยะ(24) จงเติมข้อความที่ทําให้การอ้างเหตุผลนี้สมเหตุสมผล (24.1) เหตุ 1. p → (q → r) (24.2) เหตุ 1. ~ p → q 2. ~ s ∨ p 2. q → ~ r 3. q 3. ผล ผล p(25) จงเติมข้อความที่ทําให้การอ้างเหตุผลนี้ สมเหตุสมผล เหตุ 1. ถ้าฉันขยัน ฉันจะไม่ตกคณิตศาสตร์ 2. ฉันตกคณิตศาสตร์ ผล(26) กําหนดเหตุให้ดังนี้ เหตุ 1. ถ้าฉันขยันแล้วฉันจะสอบได้ 2. ถ้าฉันไม่ขยันแล้วพ่อแม่จะเสียใจ 3. ถ้าฉันเรียนในมหาวิทยาลัยแล้วพ่อแม่จะไม่เสียใจ 4. ฉันสอบไม่ได้ให้หาว่าผลในข้อใดทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 67 ตรรกศาสตร ผล ก. ฉันไม่ได้เรียนในมหาวิทยาลัย หรือฉันขยัน ข. ฉันเรียนในมหาวิทยาลัย และฉันขยัน ค. พ่อแม่ฉันไม่เสียใจ และฉันไม่ได้เรียนในมหาวิทยาลัย ง. ฉันขยัน แต่ฉันสอบไม่ได้ 3.4 ประโยคเปิดและตัวบ่งปริมาณ ประโยค “x มากกว่า 2” (หรือ “เขาไม่ใช่คนร้าย”) ไม่ใช่ประพจน์ เนื่องจากยังไม่ทราบแน่ชัดว่ามีค่าความจริงเป็นจริงหรือเป็นเท็จ ค่าความจริงขึ้นอยู่กับว่า x เป็นจํานวนใด (หรือ “เขา” เป็นใคร) เช่น ถ้า x เป็น 3 ประโยคนี้จะเป็นจริง แต่ถ้า x เป็น 2 ประโยคนี้จะเป็นเท็จ เราเรียก“ประโยคที่ยังคงติดค่าตัวแปร และเมื่อแทนค่าตัวแปรแล้วจึงกลายเป็นประพจน์” ว่า ประโยคเปิด(Open Sentence) สัญลักษณ์ที่ใช้แทนประโยคเปิดใดๆ (ที่ติดค่าตัวแปร x) ได้แก่ P (x), Q (x), R (x) ฯลฯ ซึ่งประโยคเปิดเหล่านี้สามารถใช้ตัวเชื่อมได้เช่นเดียวกับประพจน์ p, q, r ทั่วๆ ไป ตัวบ่งปริมาณ (Quantifier) คือข้อความที่ใช้บ่งบอกความมากน้อยของค่าตัวแปร xมี 2 แบบได้แก่ สําหรับ x ทุกตัว (For All x; ∀x ) และ สําหรับ x บางตัว (For Some x; ∃x )ซึ่งตัวบ่งปริมาณทั้งสองนี้เมื่อใช้ร่วมกับเอกภพสัมพัทธ์แล้ว จะทําให้ประโยคเปิดกลายเป็นประพจน์(คือมีค่าเป็นจริงหรือเป็นเท็จ) ได้ เช่น ให้ P (x) แทนประโยคเปิด “x มากกว่า 2” จะได้ว่า ∀x [P (x)] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกตัว... x มากกว่า 2” และ ∃x [P (x)] แทนประโยค “สําหรับ x บางตัว... x มากกว่า 2” ซึ่งถ้า U = {1,2,3} ก็จะพบว่า ∀x [P (x)] เป็นเท็จ, ∃x [P (x)] เป็นจริง แต่ถ้า U = {3,4} แล้วจะพบว่า ∀x [P (x)] เป็นจริง, ∃x [P (x)] เป็นจริงหมายเหตุ1. หากไม่มีการระบุเอกภพสัมพัทธ์ ให้ถือว่าเอกภพสัมพัทธ์คือเซตจํานวนจริง R2. สามารถแจกแจงตัวบ่งปริมาณได้เพียงสองรูปแบบนี้เท่านั้น ∀x [P (x) ∧ Q (x)] ≡ ∀x [P (x)] ∧ ∀x [Q (x)] ∃x [P (x) ∨ Q (x)] ≡ ∃x [P (x)] ∨ ∃x [Q (x)] ประโยคเปิดที่มีสองตัวแปร เมื่อใช้ตัวบ่งปริมาณก็จะมีสองตัวเช่นกัน และการอ่านต้องคํานึงถึงลําดับก่อนหลัง ดังตัวอย่างนี้ ให้ P (x) แทน “x มากกว่า 2” และ Q (x, y) แทน “x+y เป็นจํานวนเฉพาะ” จะได้ว่า ∀x∃y [P (x) ∧ Q (x, y)] แทนประโยค “สําหรับ x ทุกตัว จะมี y บางตัวที่ทาให้... x ํมากกว่า 2 และ x+y เป็นจํานวนเฉพาะ” ส่วน ∃y∀x [P (x) ∧ Q (x, y)] นั้น แทนประโยค “สําหรับ y บางตัว จะมี x ทุกตัวที่ทําให้...x มากกว่า 2 และ x+y เป็นจํานวนเฉพาะ” ซึ่งสองประโยคนี้คนละความหมายกัน ไม่สามารถใช้แทนกันได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 68 ตรรกศาสตร การหานิเสธของประโยคเปิดที่มีตัวบ่งปริมาณ นอกจากจะใส่นิเสธที่ประโยคเปิด (ภายในเครื่องหมายวงเล็บ) แล้ว ยังต้องเปลี่ยนตัวบ่งปริมาณ จาก ∀ เป็น ∃ และจาก ∃ เป็น ∀ ด้วยเช่น นิเสธของ ∀x∃y [P (x) → Q (x, y)] คือ ∃x∀y [P (x) ∧ ~ Q (x, y)] แบบฝึกหัด 3.4(27) ให้ U = {−2, −1, 0, 1, 2} ข้อใดเป็นจริง ก. ∀x [x เป็นจํานวนเต็ม และ x2 > 0] ข. ∃x [x3 > x2 และ x < x2 ] ค. ∀x [ ถ้า x เป็นจํานวนเต็มบวก แล้ว x เป็นจํานวนเฉพาะ ] ง. ∃x [x เป็นจํานวนเฉพาะ และ x เป็นจํานวนคี่ ](28) กําหนด P (x) แทน “x เป็นจํานวนอตรรกยะ”, Q (x) แทน “x เป็นจํานวนตรรกยะ”ข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ ก. ∀x [P (x) → Q ( 2)] ข. ∃x [Q (x) → P (0.5)] ค. ∀x [P (x) ∨ ~ Q (π)] ง. ∃x [Q (x) ∧ ~ P (22/7)](29) กําหนดประโยคเปิด P (x) , Q (x) ดังนี้ P (x) = x > x2 , Q (x) = x เป็นจํานวนเฉพาะ หรือตัวหารร่วมที่มากที่สุดของ 3 กับ x เป็น 1 ข้อความใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ∀x [P (x)] เป็นจริง เมื่อ U เป็นช่วงเปิด (0, 1) ข. ∀x [Q (x)] เป็นเท็จ เมื่อ U = {2, 3, −5, 8}(30) จงหาค่าความจริงของ ∃x (x3+5x − 1 < 4) ∧ ∀x ( x2− 1 < 0 → x > −2)(31) ให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตของจํานวนนับ N ถามว่าประพจน์ต่อไปนี้มีค่าความจริงเป็นอย่างไร ⎛2 ⎞[∃x (x2− 1 เป็นจํานวนนับ ) ∧ ∀x (x + 1 > 0)] → ∀x ⎜ < 0 ⎟ ⎝x ⎠(32) จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น U = {−1, 0, 1} S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S 溺½ƒ¡Ëa´¢Œo 32.2 ¡aº 32.3 Çi¸¤i´äÁ‹eËÁ×o¹¡a¹¹a¤Ãaº Õ (32.1) ∃x (x2 ≠ 1) → ∀x (x2 ≠ 1) e¾ÃÒa ˌÒÁ¡Ãa¨Ò some e¢ŒÒä»ã¹ “æÅa” (32.2) ∃x (x + 1 > 0) ∧ ∃x (x2 ≠ 1) ã¹¢Œo 32.2 eÃÒ¤i´¤‹Ò¤ÇÒÁ¨Ãi§æ¡«ŒÒ·չ֧ ¢ÇÒ·Õ¹Ö§ (32.3) ∃x (x + 1 > 0 ∧ x2 ≠ 1) æŌǤ‹oÂeoÒÁÒeª×èoÁ¡a¹´ŒÇ “æÅa” (32.4) ∀x (x2 > 0) ∨ ∀x (x = 0) 测㹢Œo 32.3 eÃÒµŒo§¤i´ã¹Ç§eÅçºÃÇ´e´ÕÂÇ ËÁÒÂ¶Ö§Ç‹Ò (32.5) ∀x (x2 > 0 ∨ x = 0) ¤‹Ò x ·Õè㪌ã¹Ç§eÅ纷a§Ë¹ŒÒæÅaËÅa§ µŒo§e»š¹µaÇe´ÕÂÇ¡a¹... é(33) จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ æÅa¢Œo 32.4 ¡aº 32.5 ¡ç¤i´äÁ‹eËÁ×o¹¡a¹ e¾ÃÒaˌÒÁ¡Ãa¨Ò all e¢ŒÒä»ã¹ “ËÃ×o”หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์เป็น U = {−1, 0, 1} (33.1) ∃x∃y (x2+ y > 2) ÊÃu»Êi觷Õè¡Ãa¨ÒÂ䴌oÕ¡¤Ãa駹֧¹a¤Ãaº all ¤Ù‹¡aº “æÅa”, some ¤Ù‹¡aº “ËÃ×o” (33.2) ∃x∀y (x2+ y > 2) (33.3) ∀x∃y (x2+ y > 2) (33.4) ∀x∀y (x2+ y > 2) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 69 ตรรกศาสตร(34) [Ent’21] จงหาค่าความจริงของประโยคต่อไปนี้ หากกําหนดเอกภพสัมพัทธ์ = {−1, 0, 1} (34.1) ∀x∀y (x2− y = y2− x) (34.2) ∀x∃y (x2− y = y2− x) (34.3) ∃x∀y (x2− y = y2− x) (34.4) ∃x∃y (x2− y = y2− x) (34.5) ∃x∀y (x2− y ≠ y2− x)(35) จงหาค่าความจริงของ (35.1) ∃x∀y (x − y ≠ y − x) เมื่อ U = {−2, 0, 2} (35.2) ∀x∃y (x + y = 0) เมื่อ U = {−2, 2}(36) ประพจน์ ∀x∃y (xy = 1) ↔ ∃x∀y (xy = y) เป็นจริง เมื่อเอกภพสัมพัทธ์เป็นเท่าใด ก. จํานวนเต็ม ข. จํานวนเต็มบวก ค. จํานวนจริง ง. จํานวนจริงบวก(37) ให้เอกภพสัมพัทธ์เป็นเซตจํานวนจริงบวก R+ ข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง ก. ∀x∀y [x + y > xy] ข. ∃x∃y [x + y < 0] ค. ∃x∀y [x < y] ง. ∀x∃y [y > x](38) จงหานิเสธของ (38.1) ∀x [P (x) → ~ Q (x)] (38.2) ∀x [P (x) → (Q (x) → R (x))] (38.3) ~ ⎡∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)]⎤ ⎣ ⎦ (38.4) ∃x∃y [(x + y = 5) → (x − y = 1)] (38.5) ∃x∃y [x > 0 ∧ y ≠ 0 ∧ xy < 0] (38.6) [Ent’39] ∃x∀y (xy > 0 → x < 0 ∨ y < 0) (38.7) ∃x∃y [(P (y) ∧ ~ R (x)) → (~ Q (x) ∨ ~ P (y))] (38.8) ∀x∃y∀z (x + y > z และ xy < z)(39) ข้อความใดถูกหรือผิดบ้าง ก. นิเสธของ ∀x [x + 5 = 0] ∧ ∃y [22 < π] คือ ∃x [x + 5 ≠ 0] ∨ ∀y [ 22 > π] y y ข. [Ent’38] นิเสธของ ∃x [x < 6] → ∀x [x > 8] คือ ∀x [x > 6] ∧ ∃x [x < 8] 3.5 การให้เหตุผลแบบอุปนัยและนิรนัย การให้เหตุผล (Reasoning) เป็นการกระทําเพื่อหาข้อสรุปหรือข้อสนับสนุนความเชื่อ ซึ่งถือเป็นอีกกระบวนการที่สําคัญในทางตรรกศาสตร์ การให้เหตุผลมีอยู่ 2 ลักษณะ ได้แก่ การให้เหตุผลแบบอุปนัย และแบบนิรนัยการให้เหตุผลแบบอุปนัย (ย่อย → ใหญ่) การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning) เป็นการใช้ความจริงจากส่วนย่อยนําไปสรุปความจริงของส่วนรวม หรือกล่าวว่า เป็นการสรุปผลทั่วไปซึ่งมาจากการสังเกตหรือการทดลองใน Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 70 ตรรกศาสตรกรณีย่อยๆ หลายครั้ง ... เช่น เราสังเกตเห็นว่าในทุกเช้าพระอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออก ดังนั้นเราจึงสรุปแบบขยายผลว่าพระอาทิตย์จะขึ้นทางทิศตะวันออกเสมอ, เราสังเกตเห็นว่าลายนิ้วมือของหนึ่งพันคนมีลักษณะต่างกัน จึงสรุปเอาแบบขยายผลว่า คนทุกคนบนโลกมีลายนิ้วมือไม่เหมือนกันเลย,เพื่อนบ้านทุกคนล้วนบอกว่าหมอคนนี้รักษาดีมาก เมื่อสมชายไม่สบายจึงไปหาหมอคนนี้ เพราะสรุปเอาแบบอุปนัยว่าตนเองจะได้รับการรักษาให้หายดีเช่นกัน• ตัวอยางการใหเหตุผลแบบอุปนัย ในคณิตศาสตร1. ในเซต A = {2, 4, 6, 8, 10, ...} เมือสังเกตลักษณะของสมาชิกทั้งหาตัว พบวาเกิดจาก ่การบวกทีละ 2 เราจึงสรุปผลวา สมาชิกตัวที่เหลือที่ละไวคือ 12, 14, 16, ... (จํานวนนับคู)2. จาก 1 = 1 , 1 + 3 = 4 , 1 + 3 + 5 = 9 , 1 + 3 + 5 + 7 = 16 , 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 2เราจึงสรุปไดวา จํานวนนับคี่ n จํานวนแรก มีผลบวกเทากับ n3. ลําดับ 1, 3, 7, 15, 31, ... สังเกตไดวา ผลตางของแตละพจนติดกัน เปน 2, 4, 8, 16ดังนั้นพจนถัดไปของลําดับคือ 63 (เพราะผลตางเทากับ 32 )4. จาก 11 × 11 = 121 , 111 × 111 = 12321 , 1111 × 1111 = 1234321 …จึงสรุปไดวา 11111 × 11111 = 1234543215. เมือยกตัวอยางจํานวนนับที่หารดวย 3 ลงตัว เชน 12 , 51 , 96 , 117 , 258 , 543 , 2930 , ่5022 , 7839 … พบวาผลบวกของเลขโดดเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวจึงสรุปวาถาผลบวกของเลขโดดเปนจํานวนที่หารดวย 3 ลงตัวแลว จํานวนนับนันจะหารดวย 3 ลงตัว ้ ข้อควรระวังในการให้เหตุผลแบบอุปนัยคือ ข้อสรุปที่ได้ไม่จําเป็นต้องถูกต้องทุกครั้งเนื่องจากเป็นการสรุปผลเกินขอบเขตที่เราพิจารณาออกไป สิ่งที่มีผลต่อความน่าเชื่อถือ ได้แก่ 1. จํานวนข้อมูลที่มีเพียงพอหรือไม่ ... (ไม่ควรพิจารณาข้อมูลปริมาณน้อยๆ แล้วสรุปทันที)เช่น – สุ่มหยิบลูกบอลได้สีแดงติดกัน 4 ครั้ง จึงสรุปเอาว่าบอลทุกลูกมีสีแดง ซึ่งอาจผิดก็ได้– สมมติฐาน (n+ 1)2 > 2(n − 1) สําหรับจํานวนนับ n ใดๆพบว่าเมื่อแทน n = 1, 2, 3, 4 จะได้ 4 > 1, 9 > 2, 16 > 4, 25 > 8 ซึ่งล้วนเป็นจริงแต่ที่แท้สมมติฐานนี้จะเป็นเท็จ เมื่อแทน n = 7, 8, 9, ... เป็นต้นไป– สมมติฐาน n2 − n + 5 เป็นจํานวนเฉพาะ สําหรับจํานวนนับ n ใดๆพบว่าเมื่อแทน n = 1, 2, 3, 4 จะได้ n2 − n + 5 = 5, 7, 11, 17 ซึ่งเป็นจํานวนเฉพาะจริงๆแต่เมื่อแทน n = 5 จะได้ n2 − n + 5 = 25 ซึ่งไม่ใช่จํานวนเฉพาะ 2. ข้อมูลที่ใช้นั้นเป็นตัวแทนที่ดีแล้วหรือไม่ ... (อาจมีข้อมูลที่ไม่ตรงกับข้อสรุปอยู่ แต่นึกไม่ถึง) เช่น สุ่มถามคน 100 คนในบริเวณสยามสแควร์ พบว่าอายุไม่เกิน 22 ปีถึง 70 คน จึงสรุปเอาว่าในกรุงเทพฯ มีประชากรวัยรุ่นจํานวนมากกว่าวัยทํางานอยู่เท่าตัว ซึ่งอาจเป็นข้อสรุปที่ผิด 3. ข้อสรุปที่ต้องการมีความซับซ้อนเกินไปหรือไม่ ... (บางเรื่องสรุปได้ยาก โดยเฉพาะที่เกี่ยวกับความนึกคิดของมนุษย์ เช่น ความเชื่อ ความพึงพอใจ มักจะขึ้นกับเหตุผลต่างๆ กัน) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 71 ตรรกศาสตรการให้เหตุผลแบบนิรนัย (ใหญ่ → ย่อย) การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning) เป็นการใช้ความจริงที่เป็นที่ยอมรับโดยทั่วไป เพื่อนําไปสู่ข้อสรุปย่อยใดๆ ... เช่น เป็นความจริงที่ว่าจํานวนที่หารด้วย 2 ลงตัวเป็นจํานวนคู่ และ 10 นั้นหารด้วย 2 ลงตัว เราจึงสรุปว่า 10 เป็นจํานวนคู่• ตัวอยางการใหเหตุผลแบบนิรนัย1. เหตุ (1) นักเรียนทุกคนตองทําการบาน ... (2) สุดาเปนนักเรียน ผล สุดาตองทําการบาน2. เหตุ (1) นกเทานั้นที่บินได ... (2) คนบินไมได ผล คนไมใชนก* 3. เหตุ (1) สัตวปกทุกตัวบินได ... (2) แมวบางตัวเปนสัตวปก ผล แมวบางตัวบินได* ข้อสรุปนี้เป็นข้อสรุปที่ สมเหตุสมผล S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S(valid) แม้ว่าผลจะขัดแย้งกับความจริง ¹Œo§ºÒ§¤¹oҨʧÊaÂÇ‹Ò æÁǨaºi¹ä´Œä´Œo‹ҧäÃ..ในโลกก็ตาม ¡ÒÃãˌe˵u¼Å溺¹iùa¹aé¹eÃҡŋÒÇã¹Ãٻ溺¢o§ “¡ÒÃoŒÒ§e˵u¼Å” (eËÁ×o¹ËaÇ¢Œo 3.3) «Ö觤Ç÷íÒ¤ÇÒÁe¢ŒÒã¨Ç‹Ò ¡ÒÃÊÁe˵uÊÁ¼Å¹aé¹ äÁ‹ä´Œæ»ÅNjҼŨae»š¹¨Ãi§·a¹·Õ¹a¤Ãaº 测æ»ÅÇ‹Ò eÁ×èoã´·Õèe˵u·u¡¢Œo ข้อควรระวังในการให้เหตุผล e¡i´e»š¹¨Ãi§¢Öé¹ÁÒ ¼Å¨Ö§¨ae»š¹¨Ãi§µÒÁ´ŒÇ ...แบบนิรนัยคือ ในบางครั้งเมื่อเราใช้ความรู้สึกเพียงผิวเผินตัดสิน อาจจะคิดว่าการ eÇÅÒeÃÒµÃǨÊoºÇ‹Ò¡ÒÃãˌe˵u¼Å¹ÕéÊÁe˵uÊÁ¼ÅËÃ×oäÁ‹อ้างเหตุผลนั้นสมเหตุสมผล ทั้งที่จริงๆ ãˌeÃÒÂÖ´¨Ò¡e˵u·èãˌÁÒe·‹Ò¹aé¹ ËŒÒÁeoÒ¤ÇÒÁ¨Ãi§ã¹oš仵a´Êi¹¹a¤Ãaº! Õแล้วไม่ใช่ ... ยกตัวอย่างเช่น 1. เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) ยุงบินได้ผล ยุงเป็นนก (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมีสิ่งอื่นที่ไม่ใช่นก แต่บินได้) 2. เหตุ (1) นกทุกตัวบินได้ ... (2) คนไม่ใช่นกผล คนบินไม่ได้ (ไม่สมเหตุสมผล เพราะอาจจะมีสิ่งอื่นที่ไม่ใช่นก แต่บินได้) 3. เหตุ (1) นักเรียนบางคนเป็นนักกีฬา ... (2) นักกีฬาบางคนแข็งแรงผล นักเรียนบางคนแข็งแรง (ไม่สมเหตุสมผล เพราะนักกีฬาที่แข็งแรงอาจไม่ใช่นักเรียนก็ได้) การตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการให้เหตุผลแบบนิรนัย สามารถทําได้อย่างรอบคอบโดยใช้แผนภาพของเซต (แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์) ช่วยในการคิด นก นก นก สิ่งที่บินได้ สิ่งที่บินได้ สิ่งที่บินได้ ไม่มีนกตัวใดบินได้ นกบางตัวบินได้ นกทุกตัวบินได้ (หรือ นกทุกตัวบินไม่ได้) (หรือ นกบางตัวบินไม่ได้)หากในข้อความมีการระบุถึงสมาชิกของเซต (เช่น สมชายบินได้) สมชายจะเขียนเป็น จุด อยู่ภายในบริเวณเซตนั้น สิ่งที่บินได้ ถ้าพบว่าแผนภาพเป็นไปตามที่สรุป ได้เพียงแบบเดียวเท่านั้นจะถือว่า สมเหตุสมผล แต่ถ้าเป็นแบบอื่นได้ด้วย จะถือว่า ไม่สมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 72 ตรรกศาสตรดังนั้นในการตรวจสอบ เราจะต้องพยายามทําให้เหตุเป็นจริงทุกข้อแต่ผลสรุปเป็นเท็จ (ถ้าทําได้ ก็แสดงว่าไม่สมเหตุสมผล ถ้าทําไม่ได้แสดงว่าสมเหตุสมผล)ตัวอย่างเช่น1. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา ผู้ลงแข่งกีฬา นร.ชาย (2) สมศักดิ์เป็นนักเรียนชายผล สมศักดิ์ลงแข่งกีฬา ... สมเหตุสมผล สมศักดิ์ นร.ชาย ผู้ลงแข่งกีฬา2. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา (2) สมศรีไม่ได้เป็นนักเรียนชาย สมศรีผล สมศรีไม่ได้ลงแข่งกีฬา ... ไม่สมเหตุสมผล (เป็นไปได้ 2 แบบ) สมศรี3. เหตุ (1) นักเรียนชายทุกคนลงแข่งกีฬา นร.ชาย ผู้ลงแข่งกีฬา (2) สมเสร็จลงแข่งกีฬา สมเสร็จผล สมเสร็จเป็นนักเรียนชาย ... ไม่สมเหตุสมผล สมเสร็จ4. เหตุ (1) นักเรียนชายบางคนลงแข่งกีฬา สมศักดิ์ (2) สมศักดิ์เป็นนักเรียนชาย สมศักดิ์ผล สมศักดิ์ลงแข่งกีฬา ... ไม่สมเหตุสมผล นร.ชาย ผู้ลงแข่งกีฬาหมายเหตุ บางตําราเขียนแผนภาพในรูปทั่วไป ดังรูปด้านล่างนี้และใช้การแรเงาเพื่อบ่งบอก A Bว่าชิ้นส่วนนั้นไม่มีสมาชิกเลย A B C 2 เซตเช่น 3 เซต หากมีประโยคว่า “เพนกวินเป็นนก” จะต้องจุดแทน “เพนกวิน” ลงในช่อง “นก” ทางซ้ายเท่านั้น นก เนื่องจากช่องกลางถูกแรเงาทึบไปแล้ว สิ่งที่บินได้ ไม่มีนกตัวใดบินได้ * แต่บางตําราก็ใช้การแรเงาเพื่อบ่งบอกว่าชิ้นส่วนนั้นต้องมีสมาชิกอยู่! แบบฝึกหัด 3.5(40) ให้บอกค่าของ a ที่ปรากฏในลําดับต่อไปนี้ (40.1) −1, −3, −5, −7, a (40.5) 3, 1, −1, −3, a 1 2 3 4 (40.2) 2, 7, 12, 17, a (40.6) , , , ,a 2 3 4 5 (40.3) 1, −2, 3, −4, a (40.7) 1, 4, 9, 16, a (40.4) 3, 6, 12, 24, a (40.8) 3, 3 3, 3 3 3 , 3 3 3 3 , a (40.9) [พื้นฐานวิศวะ มี.ค.47] 125, 726, a, 40328, 362889 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 73 ตรรกศาสตร(41) ให้หาสมการ 2 สมการ ต่อจากรูปแบบที่กําหนดให้ โดยอาศัยการให้เหตุผลแบบอุปนัย(และคํานวณหรือใช้เครื่องคํานวณ เพื่อตรวจสอบคําตอบที่ได้) 37 × 3 = 111 11 × 11 = 121 (41.1) 37 × 6 = 222 (41.5) 11 × 12 = 132 37 × 9 = 333 11 × 13 = 143 9 × 9 = 81 1089 × 1 = 1089 (41.2) 9 × 99 = 891 (41.6) 1089 × 2 = 2178 9 × 999 = 8991 1089 × 3 = 3267 1 × 9 = 11 − 2 2 (3) = 3 (3 − 1) (41.3) 12 × 9 = 111 − 3 (41.7) 2 (3) + 2 (9) = 3 (9 − 1) 123 × 9 = 1111 − 4 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) = 3 (27 − 1) 9 × 9 + 7 = 88 3 × 4 = 2 (1 + 2 + 3) (41.4) 9 × 98 + 6 = 888 (41.8) 4 × 5 = 2 (1 + 2 + 3 + 4) 9 × 987 + 5 = 8888 5 × 6 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5)(42) ให้ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของการอ้างเหตุผลต่อไปนี้โดยอาศัยการให้เหตุผลแบบนิรนัย ประกอบกับแผนภาพของเวนน์-ออยเลอร์ (42.1) เหตุ – คนบางคนว่ายน้าได้ ํ (42.2) เหตุ – คนบางคนว่ายน้าได้ ํ – สมชายเป็นคน – สมชายเป็นคน ผล สมชายว่ายน้ําได้ ผล สมชายว่ายน้ําไม่ได้ (42.3) เหตุ – ไม่มีเด็กดีคนใดคุยในเวลาเรียน – นักเรียนห้องนี้ทุกคนเป็นเด็กดี ผล ไม่มีนักเรียนคนใดในห้องนี้คุยในเวลาเรียน (42.4) เหตุ – นักเรียนบางคนทําการบ้านไม่เสร็จ – นักเรียนบางคนชอบเล่นฟุตบอล ผล นักเรียนที่เล่นฟุตบอลบางคนทําการบ้านไม่เสร็จ (42.5) เหตุ – วันนี้ฉันเงินหมด – ไม่มีใครที่เงินหมดแล้วโดยสารรถเมล์ได้ ผล วันนี้ฉันไม่สามารถโดยสารรถเมล์ได้ (42.6) เหตุ – ไม่มีสัตว์น้ําตัวใดบินได้ (42.12) เหตุ – ไม่ใช่ปลาทุกตัวที่มีสองตา – นกแก้วเป็นสัตว์น้ํา – กุ้งไม่ได้เป็นปลา ผล นกแก้วบินไม่ได้ ผล กุ้งมีสองตา (42.7) เหตุ – คนที่มีความสุขทุกคนยิ้มแย้ม (42.13) เหตุ – ไม่มีช่างคนใดที่ขยัน – ฉันยิ้มแย้ม – สมนึกเป็นช่าง ผล ฉันมีความสุข ผล สมนึกไม่ขยัน (42.8) เหตุ – นักเรียนทุกคนสวมแว่นตา (42.14) เหตุ – ไม่มีช่างคนใดที่ขยัน – ผู้ร้ายบางคนสวมแว่นตา – สมนึกไม่ขยัน ผล นักเรียนบางคนเป็นผู้ร้าย ผล สมนึกเป็นช่าง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 74 ตรรกศาสตร (42.9) เหตุ – ไม่มีนางแบบคนใดเป็นผู้ชาย (42.15) เหตุ – สัตว์ทุกตัวต้องหายใจ – พระเอกหนังทุกคนเป็นผู้ชาย – สุนัขทุกตัวต้องหายใจ ผล ไม่มีนางแบบคนใดเป็นพระเอกหนัง ผล สุนัขทุกตัวเป็นสัตว์ (42.10) เหตุ – สิ่งมีชีวิตทุกชนิดต้องกินอาหาร (42.16) เหตุ – แอปเปิ้ลไม่มีพิษ – สัตว์ทุกตัวเป็นสิ่งมีชีวิต – องุ่นไม่มีพิษ ผล คนทุกคนต้องกินอาหาร ผล ผลไม้ที่ทานได้ไม่มีพิษ (42.11) เหตุ – ครูบางคนชอบดื่มกาแฟ (42.17) เหตุ – นกทุกตัวมีปีก – ผู้ชายทั้งหมดชอบดื่มกาแฟ – สัตว์ที่มีปีกบางตัวบินได้ ผล ครูบางคนเป็นผู้ชาย – เพนกวินเป็นนก ผล เพนกวินบินได้ เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ)(1) p|F|p|F (21) → หรือ ↔ (40.1) –9 (40.2) 22 (40.3) 5 (22) สมเหตุสมผลทังสองข้อ ้ (40.4) 48 (40.5) –5 หรือ 3 T|p|p|T (23) ไม่สมเหตุสมผลทั้งสองข้อ (40.6) 5/6 (40.7) 25p | T | T |~ p | T |~ p (24.1) s → r (24.2) r (40.8) 3 3 3 3 3 (40.9) 5047p |~ p | T | F (25) ฉันไม่ขยัน (26) ก. (41.1) 37 × 12 = 444 , 37 × 15 = 555(2) ข้อ 2.6 ถึง 2.10 เท็จ (27) ข. (28) ก. (41.2) 9 × 9999 = 89991 ,นอกนั้นจริง (29) ก. ถูก ข. ผิด 9 × 99999 = 899991(3) ข้อ 3.5, 3.7, 3.9, (30) จริง (31) เท็จ (41.3) 1234 × 9 = 11111 − 5 ,3.12 เท็จ นอกนันจริง ้ (32) ข้อ 32.1, 32.4 เป็นเท็จ 12345 × 9 = 111111 − 6(3.11) T, T, F นอกนั้นจริง(4) ก. ถูก ข. ถูก (41.4) 9 × 9876 + 4 = 88888 , (33) ข้อ 33.1 จริง นอกนั้นเท็จ(5) ถูกทุกข้อ 9 × 98765 + 3 = 888888 (34) ข้อ 34.2, 34.4 จริง(6) ก. ผิด ข. ถูก (41.5) 11 × 14 = 154 , 11 × 15 = 165 นอกนั้นเท็จ (35.1) เท็จ(7) ก. (p ∧ q) ∨ (~ r ∧ ~ s) (35.2) จริง (36) ง. (37) ง. (41.6) 1089 × 4 = 4356 ,ข. p ∧ ~ q ∧ r (38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)] 1089 × 5 = 5445(8) ง. (9) ค. (38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))] (41.7) 2 (3) + 2 (9) + 2 (27)(10.1) ข. (10.2) ง. + 2 (81 = 3 (81 − 1 , ) ) (38.3) ∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)](10.3) ก. (11) ค. 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81)(12) สมมูลกันทุกข้อ (38.4) ∀x∀y [(x + y = 5) ∧ (x − y ≠ 1)] + 2 (243) = 3 (243 − 1)(13) ถูกทุกข้อ (38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0] (41.8) 6 × 7 = 2 (1 + 2 + 3 +(14.1) ก. (14.2) ก. (38.6) ∀x∃y (xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y > 0) 4 + 5 + 6) , 7 × 8 = 2 (1 +(15) 3:5 (38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)] 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)(16 ถึง 19) เป็นทุกข้อ ยกเว้น (38.8) ∃x∀y∃z (x + y < z หรือ xy > z)16.1, 16.2, 17.2, 17.7, 19.1 (42) ข้อทีสมเหตุสมผลได้แก่ ่(20) ข. และ ค. เป็นจริง (39) ก. ถูก ข. ผิด (42.3), (42.5), (42.6), (42.9), (42.13) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 75 ตรรกศาสตร เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคด) ิ(1) ก. เครื่องหมาย “และ” (3.1) (....) → (p → q) ≡ T T ∧ p ≡ p ... จริง “และ” อะไร ก็จะได้ตามตัวนัน ้ T T(หมายความว่า T ∧ T ≡ T, T ∧ F ≡ F ) (3.2) (....) → (p → q) ≡ TF ∧ p ≡ F ... เท็จ “และ” อะไร จะได้เท็จเสมอ F .p ∧ p ≡ p ... เหมือนกันเชือมด้วย “และ” ได้ตัวเดิม ่ T (3.3) (~ r ∧ p) ∨ (....) ≡ Tp ∧ ~ p ≡ F ... ตรงข้ามกันเชื่อมด้วย “และ” จะได้ Tเท็จเสมอ (เพราะต้องมีตัวใดตัวหนึ่งเป็นเท็จ) (3.4) r → q ≡ T โดย r เป็นจริงข. เครื่องหมาย “หรือ” แสดงว่า q เป็นจริงด้วย(วิธีคิดลักษณะเดียวกับ “และ”) (p → q) ∧ (s → p) ∧ (s → q) ≡ TT ∨ p ≡ T, F ∨ p ≡ p, p ∨ p ≡ p, p ∨ ~ p ≡ T T T T Tค. เครืองหมายถ้า-แล้ว ่ (3.5) p ≡ T, q ≡ F, r ≡ T ดังนั้นT → p ≡ p, F → p ≡ T, p → T ≡ T, p → F ≡ ~ p (~ q ∧ (p ∨ r) → (~ r) ≡ F )(เพราะ T → F ≡ F, F → F ≡ T ) T T Fp → p ≡ T, p → ~ p ≡ ~ p (3.6) n ≡ F ดังนั้น n → [....] ≡ Tง. เครืองหมาย “ก็ต่อเมื่อ” ่ (3.7) q ≡ F ดังนั้น (....) ∧ q ≡ FT ↔ p ≡ p, F ↔ p ≡ ~ p, (3.8) q ≡ F, s ≡ F, r ≡ T, p ≡ F ดังนั้นp ↔ p ≡ T, p ↔ ~ p ≡ F (q ∨ p) → (....) ≡ T(หมายเหตุ ข้อ 1 นี้จะทําได้ก็เมือคุ้นเคยลักษณะของ ่ Fตัวเชือมทั้งสี่แล้ว) ่ (3.9) p ∨ r ≡ T, q ∨ s ≡ F(2.1) [(p ∧ s) ∨ (p ∧ r)] → (p ∨ s) ≡ T (แสดงว่า q ≡ F, s ≡ F ) T T p → q ≡ T แสดงว่า p ≡ F ดังนัน r ≡ T ้(2.2) [(q → s) ∨ r] ∨ [.....] ≡ T T และจะได้ r → s ≡ T → F ≡ F(2.3) [(r ↔ q) ∨ (p → q)] → [.....] ≡ T (3.10) p → q ≡ F แสดงว่า p ≡ T, q ≡ F F F ดังนัน (....) → ~ q ≡ T ้(2.4) [(p ↔ q) ∨ (q → r)] ∨ ~ s ≡ T T T (3.11) p ∧ q ≡ T แสดงว่า(2.5) [(q → p) ∧ r] ↔ r ≡ T p ≡ T, q ≡ T p → r ≡ F แสดงว่า r ≡ F T T T (3.12) p ≡ T, p ↔ ~ r ≡ T แสดงว่า r ≡ F(2.6) [(p ∧ q) → ~ r] → [(~ p ∨ q) ↔ r] ≡ F (3.13) และ (3.14) ไม่บอกค่าของ p, q, r, s มา F F T T F เลย แสดงว่า น่าจะเป็นสัจนิรนดร์ (คือเป็นจริงทุก ั(2.7) [(p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ↔ [(p → q) ∧ .....] ≡ F กรณี ไม่ว่า p, q, r, s จะเป็นอย่างไร) T F . ซึ่งตรวจสอบแล้วพบว่าเป็นสัจนิรนดร์จริงๆ จึงตอบว่า ั T F เป็นจริงทังสองข้อ ... วิธตรวจสอบเป็นดังนี้ ้ ี(2.8) (p ∧ q) ∧ ~ r ∧ [... ∧ ...] ≡ F (3.13) พยายามทําให้เป็นเท็จ แสดงว่า F ก้อนหน้าต้องเป็นจริง ก้อนหลังต้องเป็นเท็จ(2.9) [p → (q ∧ r)] ∧ [.....] ≡ F (เนื่องจากเชื่อมด้วย “ถ้า-แล้ว”) F ((p ∧ ~ q) → ~ p) → (p → q)(2.10) [q → (....)] → [p → (q ∧ ~ r)] ≡ F F F T F . T F T F T F(2.11) [(~ p → ....) ∧ (~ r → ....)] ∨ [.....] ≡ T ซึ่งถ้าก้อนหลังเป็นเท็จ แปลว่า p จะต้องเป็นจริง T T เท่านั้น และ q จะต้องเป็นเท็จเท่านั้น ... เอาค่าความ จริงของ p กับ q ไปใส่ในก้อนหน้า พบว่าก้อนหน้า Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 76 ตรรกศาสตรไม่ได้เป็นจริง ... นั่นคือ เราพยายามทําให้ประโยคนี้ (9) ก. ~ (~ p ∧ ~ q) คือ p ∧ q ... สมมูลเป็นเท็จ แต่ไม่มวิธีใดที่ทาได้ ข้อนี้จึงเป็นสัจนิรันดร์ ข. (~ p ∨ q) กับ (q ∨ ~ p) ... สมมูล ี ํ(3.14) ใช้วิธีเดียวกับข้อที่แล้ว คือพยายามทําให้กอน ค. p ∨ (~ q ∨ p) ≡ ~ q ∨ p เทียบกับ q ∨ p ... ้หน้าจริง ก้อนหลังเท็จ (เพราะเชือมด้วย “ถ้า-แล้ว”) ่ ⎡[p ∨ ~ (r ∧ s)] ∧ ~ p ⎤ → (~ r ∨ ~ s) ไม่สมมูล ⎣ ⎦ F ง. สมมูล ตามกฎการกระจาย ↔ ตอบ ค. T F (10.1) ข. ถูก เพราะ ข. คือ (p → q) ∧ (q → p) T Tซึ่งถ้าก้อนหลังเป็นเท็จ แปลว่า r กับ s จะต้องเป็น (10.2) {[(q ∧ ~ t) ∧ (p ∨ ~ p)] ∨ ~ q} → rจริงทั้งคู่เท่านัน ... เอาค่าความจริงของ r กับ s ไปใส่ ≡ [(q ∧ ~ t) ∨ ~ q] → r T ้ก้อนหน้า พบว่าเหลือเพียง [p ∧ ~ p] ซึ่งจะเป็นเท็จ ≡ [(q ∨ ~ q) ∧ (~ t ∨ ~ q)] → rเสมอ ไม่มีทางเป็นจริงได้ ... สรุปว่าเราไม่มีทางทําให้ Tข้อนีเป็นเท็จได้ ข้อนีจึงเป็นสัจนิรนดร์ ้ ้ ั ≡ (~ t ∨ ~ q) → r ≡ (t ∧ q) ∨ r ข้อ ง.(4) s → r ≡ F แสดงว่า s ≡ T, r ≡ F (10.3) [(q ∨ r) ∧ (q ∨ ~ r)] ∧ [(p ∧ s) ∨ (p ∧ ~ s) ]p ∨ r ≡ T แสดงว่า p ≡ T ≡ [q ∨ (r ∧ ~ r) ∧ (p ∧ (s ∨ ~ s)] ≡ q ∧ pp → q ≡ T แสดงว่า q ≡ T F Tก. [(....) ∧ (q ↔ r)] ∨ (r ↔ s) ≡ F ถูก ข้อ ก. F F (11) ข้อ ข. กับ ง. ไม่ใช่แน่นอน เพราะกลายเป็นข. [....] → (~ r ∧ s) ≡ T ถูก ab > 0, a < 0, b < 0 ซึ่งไม่เกี่ยวข้องกับโจทย์ ... T(5) p ↔ q ≡ T แสดงว่า p ≡ q ดังนัน พิจารณาเฉพาะ ก. กับ ค. ้ โจทย์ (p ∧ q) → rr ∨ ~ s ≡ F แสดงว่า r ≡ F, s ≡ T ก. (~ p ∨ ~ q) → ~ r ผิดดังนัน [(~ p ∧ r) → ....] ≡ T ้ F ค. ~ r → (~ p ∨ ~ q) ถูกพิจารณา ก. ~ (....) → ~ r ≡ T ถูก (12) ก. p → (q ∨ r) ข. (~ q ∧ ~ r) → ~ p T ค. ~ p ∨ q ∨ r ข้อ ก. และ ข. กระจายแล้วจะข. r ↔ (p ∧ ~ q) ≡ T ถูก เหมือนข้อ ค. ดังนั้นสมมูลกันหมดทุกข้อ F F (13) ก. ~ (p ∧ ~ r) ∨ ~ q ≡ ~ p ∨ r ∨ ~ qค. (s → r) ∨ (p → q) ≡ T ถูก T ≡ q → (r ∨ ~ p) ถูก(6) p ≡ q , r ≡ ~ s ดังนัน ้ ข. p → (q → r) ≡ ~ p ∨ (~ q ∨ r)ก. [.... ∨ (r ↔ ~ s)] ↔ [.... ∨ (~ r ∨ ~ s)] ≡ T และ q → (p → r) ≡ ~ q ∨ ( ~ p ∨ r) ถูก T T ค. (p ∧ q) → r ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ r และดังนัน ก. ผิด ้ (p → ~ q) ∨ (p → r) ≡ ~ p ∨ ~ q ∨ ~ p ∨ r ถูกข. [....] → [(p ∨ ~ q) ↔ (r → ~ s)] ≡ T ถูก T T (14.1) ลองทําตารางค่าความจริง(7) ก. ~ [(~ p ∨ ~ q) ∧ (r ∨ s)] ≡ p q p*p q*q (p*p)*(q*q)(p ∧ q) ∨ (~ r ∧ ~ s) T T F F Tข. ~ [~ (p ∧ ~ q) ∨ ~ r] ≡ (p ∧ ~ q) ∧ r T F F T F F T T F F(8) ให้ p แทน “เดชาขยัน”, q แทน “เดชาทํา F F T T Fการบ้านสม่าเสมอ”, r แทน “เดชาสอบผ่าน” ํ พบว่าผลลัพธ์ที่ได้นี้เหมือนกับ p ∧ q จึงตอบ ก.ดังนัน โจทย์บอกว่า (p ∧ q) → r เป็นเท็จ ้ (14.2) จากตารางในโจทย์ มี F*F เท่านันที่ให้ผล ้แสดงว่า p ≡ q ≡ T, r ≡ F เป็นจริง คล้ายๆ ตัวเชือม “หรือ” ... แต่ผลตรงกัน ่ก. p ∧ ~ q ≡ F ข. ~ p ∧ q ≡ F ข้าม (ตัวเชือม “หรือ” จะได้ผลเป็น T,T,T,F ่ค. ~ r → ~ q ≡ F ง. p ↔ ~ r ≡ T ตอบ ง. ตามลําดับ) ดังนัน p ∗ q ≡ ~ (p ∨ q) ... ตอบข้อ ก. ้ เพราะ ~ (~ p → q) ≡ ~ (p ∨ q) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 77 ตรรกศาสตร(15) ทําตารางค่าความจริงเพื่อนับจํานวนกรณี (17.2) (~ p ∧ q) ∨ p ≡ (~ p ∨ p) ∧ (q ∨ p) p q r q*r p*(q*r) T T T T F F ≡ q∨p ดังนั้นไม่เป็นสัจนิรันดร์ T T F F F (17.3) (p ∨ q) ∧ ~ p ≡ (p ∧ ~ p) ∨ (q ∧ ~ p) T F T F F F T F F T F F T T F T ≡ q∧ ~ p ดังนัน เป็นสัจนิรันดร์ ้ F T F F T (17.4) (p ↔ q) ≡ (p → q) ∧ (q → p) F F T F T F F F T F ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ q ∨ p) ดังนั้น เป็นสัจนิรันดร์ (17.5) (p ∧ q) → (p ∨ q) ≡ ~ (p ∨ q) → ~ (p ∧ q)คําตอบคือ จริง:เท็จ เท่ากับ 3:5(16.1) (p ∧ q) → [(p ∨ q) → r] ≡ (~ p ∧ ~ q) → (~ p ∨ ~ q) เป็นสัจนิรนดร์ ั F (17.6) ~ p ∨ (q ∧ r) ≡ (~ p ∨ q) ∧ (~ p ∨ r) T F T T T T F ≡ (p → q) ∧ (p → r) เป็นสัจนิรนดร์ ัทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ (17.7) ซ้ายมือ ~ p ∨ ~ q ∨ r(16.2) (p ∨ q) → [(p ∧ q) → r] ขวามือ ~ (~ p ∨ q) ∨ r ≡ (p ∧ ~ q) ∨ r F T F ดังนัน ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ้ T T T T Fทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ (17.8) ข้อนี้แจกแจงยาก(16.3) [(p → q) ∧ (q → r)] → (p → r) ใช้วิธีพจารณาความสมมูลแต่ละกรณีดกว่า ิ ี F p q r ซ้าย ขวา T T F T T T T T T T F F T F T T F F Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกัน T F T F Fแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ T F F T T(16.4) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∧ q) → r] F T T F F F F T F T T T T F F F T T T T T T T T T F F F F F Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า r ขัดแย้งกัน ซ้ายกับขวามีค่าตรงกันเสมอ ดังนัน เป็นสัจนิรันดร์ ้แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ (18.1) [(p ∨ r) → (q ∨ r)] ∨ (p ∨ q)(16.5) [(p → r) ∧ (q → r)] → [(p ∨ q) → r] F F F F T T F F F T F นําค่า p และ q เป็นเท็จไปใส่ดานหน้า จะลดรูป ้ F F F F F Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า p กับ q ต้องเป็นเท็จ หายไปเหลือเพียง r → r ซึ่งพบว่าเป็นจริงเสมอ ไม่มีเท่านั้น ทําให้ p ∨ q เป็นจริงไม่ได้ ทางทําให้ด้านหน้าเป็นเท็จได้เลย ดังนันข้อนี้ ้แสดงว่า เป็นสัจนิรนดร์ ั เป็นสัจนิรันดร์(16.6) [(p → r) ∧ (q → s) ∧ (p ∧ q)] → (r ∨ s) (18.2) [(~ p ∧ q) → ~ p] ∨ (p → q) F F T T T F F F F F F F T T F F F T T T Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า p ขัดแย้งกัน, q ก็ขัดแย้ง ทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกันกัน ... แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์(16.7) ⎣[(p ∧ q) → r ] ∧ (p → q)⎤ → (p → r) ⎡ (19.1) (p ∧ ~ p) → (q ∧ ~ q) ≡ F → F ≡ T ⎦ F เสมอ (เป็นสัจนิรันดร์) ดังนั้น นิเสธของประพจน์นี้ T T F ไม่เป็นสัจนิรนดร์ (แต่จะเป็นเท็จทุกกรณี) ั T F F T T T Fทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า q ขัดแย้งกัน (19.2) [p ∧ T] ↔ [~ p ∨ F] ≡ p ↔ ~ p ≡ Fแสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ เสมอ ดังนั้น นิเสธของประพจน์นี้ เป็นสัจนิรันดร์(17.1) ~ (p → ~ q) ≡ ~ (~ p ∨ ~ q) ≡ p ∧ qดังนัน เป็นสัจนิรนดร์ ้ ั Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 78 ตรรกศาสตร(19.3) เนื่องจาก p ↔ q สมมูลกับ ~ p ↔ ~ q (23.2) วิธีคด ิ 2. r ∨ s 1. p →~ q 4. ~ sดังนัน ~ (p ↔ q) ∧ (~ p ↔ ~ q) ≡ ~ ∧ ≡ F ้ 2. r∨s rเสมอ ... นิเสธของประพจน์นจึงเป็นสัจนิรันดร์ ี้ 3. r → q 3. r → q(20) p, q, r เป็นประพจน์ใดๆ รูปแบบที่จะเป็นจริง 4. ~ s qเสมอก็คือ “สัจนิรันดร์” นั่นเอง ผล p 1. p → ~ qก. (p → q) → (~ p ∧ ~ q) ~p F ไม่สมเหตุสมผล T F F T F T (24.1)ทําเป็นเท็จได้ แสดงว่าไม่เป็นสัจนิรันดร์ 1. p → (q → r)ข. (p → q) ↔ (~ p ∨ q) เนื่องจากซ้ายกับขวา ≡ q → (p → r)สมมูลกัน จึงเป็นสัจนิรันดร์ 3. qค. ~ ((p ∨ q) ∨ r) → (~ (p ∧ q) ∧ ~ r) p → r F 2. s → p T F ผล s → r F F F F F Tทําเป็นเท็จไม่ได้ เพราะค่า r ขัดแย้งกัน (24.2)แสดงว่า เป็นสัจนิรันดร์ 1. ~ p → qง. จากด้านซ้าย (~ p ∨ r) ∧ (~ q ∨ r) 2. q → ~ r≡ (~ p ∧ ~ q) ∨ r ≡ (p ∨ q) → r ~p →~rไม่เหมือนด้านขวา ดังนัน ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ้ ≡ r→ pจ. จากด้านซ้าย (~ p ∨ q) ∨ (~ p ∨ r) 3.≡ ~ p ∨ (q ∨ r) ≡ p → (q ∨ r) ผล p แสดงว่า 3. คือ rไม่เหมือนด้านขวา ดังนัน ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ้สรุปว่า ข้อ ข. และ ค. ที่เป็นจริง (25) 1. p → ~ q(21) เนื่องจากซ้ายและขวาสมมูลกัน ดังนัน ้ 2. qเครื่องหมายที่ใช้ได้คือ → กับ ↔(22.1) 1. p → q ผล ~p ∴ ตอบว่า ฉันไม่ขยัน 2. q → s p → s (26) 3. ~ s 1. p → q วิธีคด ิ 1. p → q ~p 2. ~ p → r 4. ~ qสมเหตุสมผล 3. s → ~ r ~p 4. ~ q 2. ~ p → r(22.2) p → (r ∨ s) ~p∨r∨s ผล ? r 3. s → ~ rสมเหตุสมผล ผล ~ s(23.1) แปลงจากประโยคคําพูดให้เป็นสัญลักษณ์ได้ว่า ดังนันต้องตอบว่า ~ s เป็นจริง ้เหตุ 1. p → q วิธีคด ิ 1. p → q แต่ในตัวเลือกเป็นดังนี้ 2. (p ∧ q) → r 4. p ก. ~ s ∨ p ข้อที่ใช้ได้คอ ก. (เพราะเชือมด้วย ∨ ) ื ่ 3. ~ (s ∧ r) ได้ q ข. s ∧ p 4. p 2. (p ∧ q) → r ค. ~ r ∧ ~ s ใช้ไม่ได้ เพราะเชือมด้วย ∧ ซึงเรา ่ ่ผล s ได้ r ทราบว่า ~ r เป็นเท็จ (เพราะในเหตุนั้น r เป็นจริง) 3. ~ s ∨ ~ r ≡ r→~s ง. p ∧ ~ q ได้ ~ s (27) ก. เท็จ เพราะมี x ที่ x2 > 0 คือเมื่อ x = 0ไม่สมเหตุสมผล ข. จริง เช่น x = 2 จะได้ 8 > 4, 2 < 4 ค. เท็จ เพราะถ้า x = 1 จะไม่เป็นจํานวนเฉพาะ ง. เท็จ เพราะไม่มี x ใด ตรงตามเงื่อนไขเลย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 79 ตรรกศาสตร(28) ก. “สําหรับทุกๆ x ถ้า x เป็นจํานวนอตรรก (32.5) ∀x(x2 > 0 หรือ x = 0) จริง (ไม่วา ่ยะแล้ว 2 เป็นจํานวนตรรกยะ” x = −1, 0, 1 ก็จะจริงอันใดอันหนึ่งเสมอ) T... เท็จ (เช่น x = 3 ) (33.1) มี x บางตัวและ y บางตัว ที่ทาให้ ํข. “มีบาง x ซึ่ง...ถ้า x เป็นจํานวนตรรกยะแล้ว 2 x + y > 2 จริง เช่น x = 1, y = 1 0.5 เป็นจํานวนอตรรกยะ” (33.2) มี x บางตัว ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ... จริง (เช่น x = 2 จะได้ F → F เป็น T ) เข่น x = −1 → y = 0 ไม่ได้ค. “สําหรับทุกๆ x ... x เป็นจํานวนอตรรกยะ หรือ x = 0 → y = 0 ไม่ได้ π ไม่เป็นจํานวนตรรกยะ” x = 1 → y = 0 ไม่ได้... จริง เพราะ π ไม่เป็นจํานวนตรรกยะ จริงเสมอ (33.3) x ทุกตัว ใช้ y ได้บางตัว เท็จ( ∨ T ≡ T) เช่น x = 0 จะใช้ y ไม่ได้เลยง. “มีบาง x ซึ่ง... x เป็นจํานวนตรรกยะ และ (33.4) x ทุกตัว y ทุกตัว เท็จ แน่นอน 22 ไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ” เช่น x = 0, y = 0 ก็ไม่ได้แล้ว 7... จริง เพราะ 22 ไม่เป็นจํานวนอตรรกยะ จริง (34.1) เท็จ เช่น x = 1, y = −1 จะได้วา 2 ≠ 0 ่ 7 (34.2) ทุกๆ x จะใช้ y ได้บางตัว จริง เช่นเสมอ และลองแทนด้านหน้าให้จริงด้วย เช่น x = 1 x = 0, y = 0 x = 0, y = 1 x = − 1, y = − 1หมายเหตุ ∀x พิสจน์ให้เท็จง่าย ู ∃x พิสจน์ให้จริงง่าย ู (34.3) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ(29) ก. “สําหรับทุก x ... x > x2 ” เช่น x = −1 ใช้ y = 1 ไม่ได้ x = 0 ใช้ y = 1 ไม่ได้ใน U = (0, 1) ... จริง x = 1 ใช้ y = −1 ไม่ได้ข. “สําหรับทุก x ... x เป็นจํานวนเฉพาะ หรือ (34.4) บาง x บาง y จริงห.ร.ม. ของ 3 กับ x เป็น 1 ” ... จริง เพราะ 2, 3, −5 เป็นจํานวนเฉพาะ, และ 8 มี ห.ร.ม. กับ (34.5) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จ 3 เป็น 1 เช่น x = 0, y = 0 ไม่ได้ x = 1, y = 1 ไม่ได้ดังนัน ก. ถูก ข.ผิด ้ x = −1, y = −1 ก็ไม่ได้(30) ∃x (x3 + 5x − 1 < 4) เป็นจริง เช่น x = −1 (35.1) บาง x ใช้ y ได้ทุกตัว เท็จจะได้ −7 < 4 จริง ( y = x ไม่ได้) ∀x(|x2 − 1| < 0 → x > − 2) เป็นจริง (35.2) x ทุกตัว ใช้ y ได้บางตัว จริงเพราะส่วนที่ขีดเส้นใต้เป็นเท็จเสมอ คือ x = 2, y = −2 ได้, x = −2, y = 2 ได้และ F → ≡ T สรุปข้อนีตอบ T ∧ T ≡ T ้ (36) ก. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ 2(31) ∃x(x − 1 เป็นจํานวนนับ) จริง เช่น x = 2 เช่น x = 2 จะไม่มี y ∈ I ที่ใช้ได้เลยจะได้ 22 − 1 = 3 เป็นจํานวนนับ ∃x∀y(xy = y) จริง ∀x(x + 1 > 0) จริง (จํานวนนับใดๆ + 1 ย่อม ถ้า x = 1 จะได้วา xy = y เสมอทุกๆ y ่มากกว่า 0 ) ดังนันสรุปข้อนี้ F ↔ T ≡ F ้ 2 2 ข. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ ∃x∀y(xy = y) จริง ∀x( < 0) เท็จ เช่น x = 1 จะได้ <0 x 1 (เหตุผลเดียวกับข้อ ก.) ข้อนีจึงได้ F ↔ T ≡ F ้ดังนัน ข้อนี้ตอบ (T ∧ T) → F ≡ F ้ ค. ∀x∃y(xy = 1) เท็จ เช่น x = 0 จะไม่มี(32.1) ∃x(x2 ≠ 1) จริง เช่น x = 0 , y ∈ R ที่ใช้ได้เลย ∀x(x2 ≠ 1 เท็จ เช่น x = 1 , ดังนัน T → F ≡ F ) ้ ∃x∀y(xy = y) จริง (เหตุผลเดิม)(32.2) ∃x(x + 1 > 0) จริง เช่น x = 0 ดังนันข้อนี้ F ↔ T ≡ F ้ ∃x(x2 ≠ 1) จริง ดังนั้น T ∧ T ≡ T ง. ∀x∃y(xy = 1) จริง ไม่วา x ∈ R+ ใด ่(32.3) ∃x(x + 1 > 0 และ x2 ≠ 1) จริง จะมี y ∈ R + ใช้ได้เสมอเช่น x = 0 ดังนัน T ้ ∃x∀y(xy = y) จริง (เหตุผลเดิม)(32.4) ∀x(x2 > 0) เท็จ เช่น x = 0 ดังนันข้อนี้ T ↔ T ≡ T ้ ... ตอบ ง. ∀x(x = 0) เท็จ เช่น x = 1 ดังนัน F ∨ F ≡ F ้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 80 ตรรกศาสตร(37) ก. เท็จ เช่น x = 10, y = 5 จะได้ 15 > 50 (41.4) 9 × 9876 + 4 = 88888 ,ข. เท็จ ไม่มี x, y ใดเลย ที่บวกกันแล้ว < 0 ได้ 9 × 98765 + 3 = 888888ค. เท็จ ไม่มี x ใด ที่ใช้ y ได้ทุกตัว (41.5) 11 × 14 = 154 , 11 × 15 = 165(ไม่ว่า x ใด เราจะหา y ที่ > x ได้เสมอ) (41.6) 1089 × 4 = 4356 ,ง. จริง ทุกๆ x จะมีบาง y ซึ่ง y > x เสมอ 1089 × 5 = 5445ดังนัน ตอบ ง. ้ (41.7) 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81 = 3 (81 − 1 , ) )(38.1) ∃x [P (x) ∧ Q (x)] 2 (3) + 2 (9) + 2 (27) + 2 (81) + 2 (243) = 3 (243 − 1)(38.2) ∃x [P (x) ∧ Q (x) ∧ ~ R (x))] (41.8) 6 × 7 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) ,(38.3) ∀x [P (x)] → ∃x [Q (x)] 7 × 8 = 2 (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7)(38.4) ∀x∀y [(x + y = 5) ∧ (x − y ≠ 1)] (42.1,42.2)(38.5) ∀x∀y [x 0 ∨ y = 0 ∨ xy 0] สมชาย(38.6) ∀x∃y (xy > 0 ∧ x > 0 ∧ y > 0) สมชาย(38.7) ∀x∀y [P (y) ∧ ~ R (x) ∧ Q (x)] คน สิ่งที่ว่ายน้ําได้(38.8) ∃x∀y∃z (x + y < z หรือ xy > z) เป็นไปได้ทั้ง 2 แบบ จึงไม่สมเหตุสมผล(39) ก. ถูกแล้ว (42.3)แต่ ข. ผิด ต้องเป็น ∃x[x < 6] ∧ ∃x[x < 8](40.1) a = −9 (เป็นจํานวนคี่ ติดลบ เรียงกัน / คนคุยในหรืออาจมองว่าลดลงทีละ 2 ก็ได้) เวลาเรียน นร.ห้องนี้(40.2) a = 22 (ลงท้ายด้วยเลข 2 และขึ้นหลัก เด็กดียี่สิบ / หรืออาจมองว่าเพิ่มทีละ 5 ก็ได้) สมเหตุสมผล(40.3) a = 5 (จํานวนนับเรียงกัน โดยติดลบสลับ (42.4)กับไม่ติดลบ)(40.4) a = 48 (บวกด้วยตัวมันเองกลายเป็นพจน์ถัดไป / หรืออาจมองว่าคูณ 2) ผู้ทําการบ้าน นักเรียน ผู้เล่นฟุตบอล(40.5) a = −5 (ลดลงทีละ 2) ไม่เสร็จ 3 → 1หรือ a = 3 ก็ได้ (มองว่าหมุนเวียน) ↑ ↓ อาจเป็นไปตามนีได้ ้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล −3 ← −1 5 (42.5)(40.6) a = (เศษส่วนของจํานวนนับเรียงติดกัน) 6(40.7) a = 25 (กําลังสองของจํานวนนับ) ฉัน(40.8) a = 3 3 3 3 3 (มีเลข 3 อยู่ 5 ตัว) ผู้เงินหมด ผู้โดยสารรถเมล์ได้(40.9) หลักหน่วยควรเป็น 7 เนื่องจากหลักหน่วย สมเหตุสมผลเรียงกันเป็นลําดับ 5, 6, _, 8, 9 (42.6)ส่วนหลักทีเหลือก็เป็นลําดับ ่12, 72 , _, 4032, 36288 นกแก้ว ×6 ×9พบว่า 72 × 7 = 504 และ 504 × 8 = 4032 พอดี สิ่งที่บินได้ สัตว์น้ําดังนันตอบว่า 5047 ้ สมเหตุสมผล(41.1) 37 × 12 = 444 , 37 × 15 = 555 (42.7)(41.2) 9 × 9999 = 89991 ,9 × 99999 = 899991 คนมี ฉัน ฉัน(41.3) 1234 × 9 = 11111 − 5 , ความสุข คนยิ้มแย้ม12345 × 9 = 111111 − 6 เป็นไปได้ 2 แบบ ∴ ไม่สมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 81 ตรรกศาสตร(42.8) (42.13) นักเรียน สมนึก ผู้ร้าย คนสวมแว่นตา ช่าง คนขยันอาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล สมเหตุสมผล(42.9) (42.14) สมนึก พระเอกหนัง สมนึก นางแบบ ผู้ชาย ช่าง คนขยันสมเหตุสมผล(42.10) ไม่สมเหตุสมผล เป็นไปได้ 2 แบบ ∴ ไม่สมเหตุสมผลเพราะในเหตุไม่ได้ระบุว่า คนเป็นอะไร (42.15)(ไม่ได้พูดถึงคน, พูดถึงแต่สตว์) ั สุนัข“ไม่ได้บอกว่าคนเป็นสิงมีชีวต” ่ ิห้ามใช้ความจริงบนโลกในการตัดสิน! สัตว์(42.11) สิ่งที่ต้องหายใจ ผู้ชาย อาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล ครู ผู้ชอบดื่มกาแฟ (42.16) ไม่สมเหตุสมผลอาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล เพราะในเหตุไม่ได้กล่าวว่าอะไรคือ “ผลไม้ททานได้” ี่(42.12) (คล้ายข้อ 42.10 คือห้ามใช้ความรู้สึกในการตัดสิน, ห้ามใช้ความจริงบนโลกในการตัดสิน ให้ยดถือเฉพาะ ึ กุ้ง เหตุที่ให้มาเท่านัน) ้ (42.17) ปลา สิ่งที่มีสองตาอาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล เพนกวิน นก สิ่งที่บินได้ สิ่งที่มีปีก อาจเป็นตามนี้ได้ ∴ ไม่สมเหตุสมผล Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 82 ตรรกศาสตรeÃ×èo§æ¶Áมองตรรกศาสตร์ให้เป็นการคํานวณ จากพื้นฐานของดิจิตัล..วิชาตรรกศาสตร์ถูกใช้เป็นพื้นฐานของอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์แบบดิจิตัล ซึงส่งสัญญาณด้วยค่าแรงดันไฟฟ้า ่เป็นสัญญาณ “0” กับ “1” เท่านัน ...สัญญาณ “0” ใช้แรงดัน 0 โวลต์, เทียบได้กบ “False” ในตรรกศาสตร์ ้ ัและสัญญาณ “1” ใช้แรงดัน 5 โวลต์ (หรือ 12 โวลต์ แล้วแต่อุปกรณ์), เทียบได้กับ “True” ในตรรกศาสตร์ชิพที่ฝงอยู่ในอุปกรณ์อิเล็กทรอนิกส์จะมีหลักการทํางานเสมือนเป็น ัตัวเชือมทางตรรกศาสตร์ เรียกตัวเชื่อมเหล่านีว่า เกต (Gate) ่ ้ เข้า ออกเกตที่นิยมใช้กนทั่วไปมีดงนี้ ั ั inv 0 1(1) INVERTER (เทียบได้กับ “นิเสธ”) 1เปลี่ยน 0 เป็น 1 และเปลี่ยน 1 เป็น 0 and 0 0(2) AND (เทียบได้กับ “และ”) 1จะเป็น 1 เพียงกรณีเดียวคือสัญญาณเข้าทั้งสองด้านเป็น 1 or 0 1(3) OR (เทียบได้กับ “หรือ”)จะเป็น 0 เพียงกรณีเดียวคือสัญญาณเข้าทั้งสองด้านเป็น 0 1 nand 0 1(4) NAND กับ NOR (อ่านว่า แนนด์ กับ นอร์)เป็นนิเสธของ AND กับนิเสธของ OR ตามลําดับ 1คือนําผลที่ได้จาก AND กับ OR มากลับค่าให้เป็นตรงกันข้าม nor 0 0(5) XOR (อ่านว่า เอ๊กซ์-ออร์)จะเป็น 1 เมือสัญญาณเข้าด้านหนึ่งเป็น 0 ่ 1และอีกด้านเป็น 1 เท่านัน (0 ทั้งคู่ กับ 1 ทั้งคู่ จะให้ผลเป็น 0) ้ xor 0 1จากความรู้ทางตรรกศาสตร์จะพบว่าเป็นนิเสธของ “ก็ต่อเมื่อ” นั่นเองสิ่งทีนาสนใจของดิจตัลคือการมองตรรกศาสตร์เป็นแบบคํานวณ คือเมื่อเราให้ 0 แทน False และ 1 แทน ่ ่ ิTrue แล้วจะพบว่าตัวเชือม AND มีลักษณะเหมือนการคูณ ส่วน OR นั้นมีลกษณะเหมือนการการบวก (โดย ่ ัที่ 1+1 จะต้องเท่ากับ 1, จะเป็น 2 ไปไม่ได้นะครับ..) ดังตารางนี้ A not A A B A and B A B A or B (A ) (AB) (A+B) 1 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 0 1 1 หมายเหตุ 0 0 0 0 0 0 A nand B = AB = A + B A nor B = A + B = A Bเราสามารถนําพืนฐานดิจตัลกลับไปประยุกต์ใช้กับวิชาตรรกศาสตร์ได้ ้ ิ (แจกแจงนิเสธตามกฎตรรกศาสตร์) A xor B ใช้สัญลักษณ์ A ⊕Bเพียงแค่ทราบว่า “และคือคูณ”, “หรือคือบวก” เท่านี้เองครับ :] Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 83 เรขาคณิตวิเคราะห G (e,o) º··Õè 4 eâҤ³iµÇie¤ÃÒaˏ เรขาคณิตวิเคราะห์ (Analytic Geometry) เป็นวิชาคํานวณเกี่ยวกับรูปเรขาคณิต โดยการเขียน กราฟลงบนพิกัดฉาก เช่น การหาระยะระหว่างจุดสอง จุด, ระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น, การหาพื้นที่รูป หลายเหลี่ยม, หรือการหาความชันของเส้นตรง เป็น ต้น ซึ่งจะใช้เป็นเครื่องมือช่วยในการแก้ปัญหาเกี่ยวกับ ความสัมพันธ์และฟังก์ชัน ในบทถัดไปได้ นอกจากนี้ ความสัมพันธ์ที่พบบ่อยอาจมีกราฟเป็นเส้นโค้ง ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา y ใน ระนาบ (Plane) หนึ่งๆ เราจะอ้างถึงตําแหน่งหรือจุดใดๆได้ด้วยค่า พิกัด (Coordinate) โดยระบบที่นิยมใช้มากที่สุดคือระบบ Q2 Q1 (−, +) (+, +)พิกัดฉาก (Cartesian Coordinate) ประกอบด้วยเส้นจํานวน 2 เส้น xตั้งฉากกัน ณ จุดที่สมมติให้เป็น จุดกําเนิด (Origin; หรือจุด O) Q3 O Q4เรียกชื่อเส้นนอนและเส้นตั้ง ว่าแกน x และแกน y ตามลําดับ (−, −) (+, −) แกนทั้งสองนี้ตัดกัน แบ่งพื้นที่ในระนาบ xy ออกเป็น 4 ส่วนเรียกแต่ละส่วนว่า จตุภาค (Quadrant; Q) ได้แก่ จตุภาคที่ 1, 2, 3, และ 4 ดังภาพ การอ้างถึงพิกัดในระบบพิกัดฉาก นิยมเขียนในรูป คู่อันดับ (Ordered Pair) ที่สมาชิกตัวแรกแทนระยะทางในแนว +x และตัวหลังแทนระยะทางในแนว +y เช่น คู่อันดับ (2, 4) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 84 เรขาคณิตวิเคราะห 4.1 เบื้องต้น : จุด การเขียนชื่อจุดนิยมใช้ตัวอักษรใหญ่ เช่น จุด P, จุด Q และอาจเขียนกํากับด้วยคู่อันดับในพิกัดฉาก เป็น P (x, y) ใดๆ เช่น Q (2, 4) ใช้แทนจุดที่ชื่อ Q และมีพิกัดเป็น (2, 4)[1] ระยะห่างระหว่างจุดสองจุดสัญลักษณ์ที่ใช้แทนระยะห่าง ระหว่างจุด P กับ Q คือ PQ Q (x2,y2) พิสูจน์ได้จาก ทฤษฎีบทปีทาโกรัส (Pythagorean Theorem) PQ = (x2− x1) 2+ (y2− y1) 2 เพิ่มเติม สูตรระยะทางระหว่างจุดนี้จะได้นําไปใช้อีกครั้งและ P (x1,y1) ขยายผลออกเป็นระยะทางในสามมิติ ในเรื่อง เวกเตอร์ (บทที่ 10) และนอกจากนั้นยังใช้คํานวณ ค่าสัมบูรณ์ของจํานวนเชิงซ้อน (ในบทที่ 11) ด้วย[2] จุดกึ่งกลางระหว่างสองจุด จุดที่แบ่งระยะทางเป็นอัตราส่วน m:n Q (x2,y2) Q (x2,y2) m x1+ x2 y1+ y2 R( , ) 2 2 n mx + nx2 my1+ ny2 R( 1 , ) m+n m+n P (x1,y1) P (x1,y1)[3] จุดตัดของเส้นมัธยฐานของสามเหลี่ยม เส้นมัธยฐาน คือเส้นตรงที่เชื่อมจุดยอดจุดหนึ่งกับจุดกึ่งกลางของด้านตรงข้าม ซึ่งจุดตัดของเส้นมัธยฐาน (เรียกว่าจุด Centroid) จะแบ่งเส้นมัธยฐานแต่ละเส้นออกเป็นอัตราส่วน 2 : 1 เสมอ R (x3,y3) x+x +x y+y +y C ( 1 2 3 , 1 2 3) C 3 3 P (x1,y1) Q (x2,y2)[4] พื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมคํานวณได้โดย นําคู่อันดับของจุดยอดมาตั้งเรียงแบบทวนเข็มนาฬิกาให้ครบทุกจุด (โดยวนกลับมาที่จุดแรกอีกครั้งด้วย) จากนั้น คูณลงเครื่องหมายเดิม คูณขึ้นเปลี่ยนเครื่องหมาย (วิธีการเดียวกับการหา det ในเรื่องเมตริกซ์ บทที่ 9) นําค่าที่ได้รวมกันแล้วหารสอง จะเป็นพื้นที่ของรูปหลายเหลี่ยมนั้น T (x5,y5) S ¢Œo¤Ç÷ÃÒº! S x1 y1 x2 y2 P (x1,y1) 1. 㪌¡aºÃÙ»¡ÕèeËÅÕèÂÁ¡ç䴌 eª‹¹ 3 eËÅÕèÂÁ x y3 eÃҡ経o§¤Ù³Å§ 3 ¤Ãaé§ ¤Ù³¢Öé¹ 3 ¤Ãaé§ 1พื้นที่ = ⋅ 3 2 x4 y4 2. ¶ŒÒäÁ‹eÃÕ§¨u´µÒÁeʌ¹ÃoºÃÙ» ¤Òµoº·Õè í x5 y5 S (x4,y4) 䴌¨a¼i´ ... 测¶ŒÒeÃÕ§µÒÁe¢çÁ¹ÒÌi¡Ò x1 y1 Q (x2,y2) R (x3,y3) ¤Òµoº·Õè䴌¨ae»š¹ µi´Åº¢o§¤‹Ò·Õè¶Ù¡µŒo§ í 1 = (x1y2+ x2y3+ x3y4+ x4y5+ x5y1− x2y1− x3y2− x4y3− x5y4− x1y5) 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 85 เรขาคณิตวิเคราะห แบบฝึกหัด 4.1(1) กําหนดจุด P1 (1, 7) และ P2 (−5, 2) ให้หาค่า PP2 1(2) ถ้า P, Q เป็นจุดกึ่งกลางของ AB , CD ตามลําดับ เมื่อกําหนด A (2, 7) , B (6, −3) ,C (−2, 5) , และ D (8, 1) ให้หาความยาวของ PQ y(3) กําหนดสี่เหลี่ยมด้านขนาน OBCD ดังภาพ, P เป็นจุดกึ่งกลาง D (2,4) Cของ BC , และ PC = PQ จงหาขนาดพื้นที่สามเหลี่ยม PQC P Q(4) กําหนดสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดมุมอยู่ที่ A (5, −3) , xB (−6, 1) , C (1, 8) แล้วสามเหลี่ยมรูปนี้เป็นสามเหลี่ยมชนิดใด O B (2,0)(5) สามเหลี่ยม ABC มีจุดกึ่งกลางด้านทั้งสามเป็น P (−2, 1) , Q (5, 2) , R (2, −3) ให้หาความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม ABC นี้(6) กําหนดสามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A (2, 8) , B (6, 12) , C (−2, −4)ถ้าจุด P และ Q อยู่บนด้าน AB และ BC ตามลําดับ โดยมีอัตราส่วน AP : PB = 1 : 3 , BQ : BC = 3 : 4 ให้หา PQ(7) ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง เมื่อกําหนด ก. จุด A (10, 5) , B (3, 2) , C (6, −5) เป็นจุดมุมของรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ข. จุด D (1, 2) , E (−3, 10) , F (4, −4) อยูบนเส้นตรงเดียวกัน ่ ค. จุด A (−2, 3) , B (−6, 1) , C (−10, −1) อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน(8) จงหาจุด P บนแกน x ซึ่งอยู่ห่างจากจุด P1 (1, −2) และ P2 (3, 5) เป็นระยะเท่ากัน(9) ให้หาจุดศูนย์กลางของวงกลม ซึ่งผ่านจุด (1, 7) , (8, 6) , (7, −1)(10) ให้หาผลบวกของความยาวเส้นมัธยฐาน ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ A (2, −1) , B (4, 3) , และ C (−2, 5)(11) ถ้า (m, n) เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ของสามเหลี่ยมที่มีจุดยอดอยู่ที่ (4, 5) , (−4, 7) , และ(4, 1) แล้วจงหาค่า m − n(12) สามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดเป็น B (6, 7) , C (−4, −3) ถ้าจุด P (4/3, 1) เป็นจุดตัดของเส้นมัธยฐานแล้ว เส้นมัธยฐานที่ลากจาก A มีความยาวเท่าใด(13) P เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (13, 2) และ (−13, −2) , Q เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (6, 10) และ(0, 14) , R เป็นจุดกึ่งกลางระหว่าง (8, 4) และ (16, −4) ให้หาพื้นที่และตําแหน่งจุดตัดของเส้นมัธยฐาน ของรูปสามเหลี่ยม PQR(14) จงหาผลต่างของพื้นที่สามเหลี่ยม ABC และ PQR เมื่อกําหนดตําแหน่งจุดยอดให้ ดังนี้A (1, 3) , B (−2, 0) , C (3, −5) , P (0, 0) , Q (8, 18) , และ R (12, 27)(15) กําหนดจุด P (3, −2) , Q (−2, 3) , R (0, 4) แล้วข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ความยาวเส้นรอบรูปสามเหลี่ยม PQR เป็น 9 5 หน่วย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 86 เรขาคณิตวิเคราะห ข. พื้นที่รูปสามเหลี่ยม PQR เป็น 15 ตารางหน่วย(16) ให้หาพื้นที่รูปห้าเหลี่ยมซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่ A (1, 4) , B (−3, −2) , C (−1, −3) , D (−4, 5) , และE (−2, 7) 4.2 เบื้องต้น : เส้นตรง เราสามารถสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดสองจุดที่กําหนดให้ เช่น จุด P กับ Q ใดๆ ได้เสมอ และเขียนแทน “ส่วนของเส้นตรง” ที่เชื่อมระหว่างจุด P กับ Q ด้วยสัญลักษณ์ PQ นอกจากนั้นนิยมตั้งชื่อ “เส้นตรง” ด้วยอักษร L เช่น เส้นตรง L1 , เส้นตรง L2[1] ความชัน (Slope; m) ของเส้นตรง ที่ทราบจุดผ่านสองจุด เส้นตรงสองเส้น ขนานกัน (Parallel; ) ก็ต่อเมื่อ มีความชันเท่ากันและเส้นตรงสองเส้น ตั้งฉากกัน (Perpendicular; ⊥ ) ก็ต่อเมื่อ ความชันคูณกันเป็น -1 Q (x2,y2) y −y m = tan θ = 2 1 x2− x1 θ ถ้า m > 0 (เป็นค่าบวก) แสดงว่า กราฟเฉียงขึ้นทางขวา P (x1,y1) ถ้า m < 0 (ติดลบ) แสดงว่า กราฟเฉียงลงทางขวา ถ้า m = 0 แสดงว่า เป็นเส้นนอนขนานแกน x และถ้าเป็นเส้นตั้งขนานแกน y จะได้ว่า m หาค่าไม่ได้[2] สมการของเส้นตรง [2.1] เมื่อทราบจุดผ่านจุดหนึ่ง (x1, y1) และค่าความชัน m y − y1 เราใช้ความสัมพันธ์ของความชัน คือ = m m x − x1 หรือจัดรูปได้ว่า y − y1 = m (x − x1) P (x1,y1) [2.2] เมื่อทราบจุดผ่านสองจุด (x1, y1) , (x2 , y2) ให้คํานวณค่าความชันจากสองจุดนี้ก่อน แล้วจึงทําตามข้อ (2.1) โดยเลือกใช้จุดใดก็ได้จุดเดียว Q (x2,y2) สมการที่ได้จะเป็น y − y1 = ⎛ y2 − y1 ⎞ (x − x1) ⎜x − x ⎟ ⎝ 2 1⎠ P (x1,y1) [2.3] เมื่อทราบ ระยะตัดแกน (Intercept) ทังสองแกน้ y สามารถใช้สมการเส้นตรงในรูป Intercept Form ได้แก่ x + y = 1 a b เมื่อ a, b คือ ระยะตัดแกน x และ y ตามลําดับ b หรือกล่าวว่าเส้นตรงตัดแกน x ที่จุด (a,0) x และตัดแกน y ที่จุด (0,b) O a โดยที่ a, b อาจเป็นค่าติดลบก็ได้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 87 เรขาคณิตวิเคราะหข้อควรทราบ1. สมการเส้นตรงมีรูปทั่วไป (Common Form) เป็น A x + B y + C = 02. สมการเส้นตรงที่นิยมใช้ประโยชน์มีอยู่ 3 รูปแบบ ได้แก่ Slope-Intercept Form y = mx + c เมื่อ c คือระยะตัดแกน y Slope-Point Form y − y1 = m (x − x1) S ¨u´·Õè¼i´º‹oÂ! S x y Intercept-Intercept Form + = 1 a b eÁ×èo¨aËÒ¤ÇÒÁªa¹o´Â –A/B ¹aé¹ A C ¤ÇèíÒÇ‹Ò µi´ÅºË¹ŒÒ x ʋǹ´ŒÇÂ3. เมื่อนํารูปทั่วไป มาจัดข้างตัวแปรใหม่ จะได้ y = − x − B B ˹ŒÒ y e¾×èoäÁ‹ãˌ㪌¼i´µaÇ æÅaµŒo§ A Cทําให้ทราบว่า ค่าความชัน m = − และระยะตัดแกนวาย c = − ¨a´ÊÁ¡ÒÃãˌoÂًã¹ÃÙ» Ax+By+C B B =0 ¡‹o¹eÊÁo ¹a¤Ãaº..• ตัวอยาง กําหนดพิกดจุด P (1, 3) และ Q (5, 9) ั ก. ความชันของเสนตรงทีผานจุด P และ Q เทากับเทาใด ่ตอบ m = 9 − 3 = 3/2 PQ 5 − 1 ข. ใหหาสมการเสนตรง L ซึ่งตั้งฉากกับ PQ และผานจุดกึ่งกลางของ 1 PQวิธีคิด เนื่องจาก L ตั้งฉากกับ PQ ดังนั้น m = − 2 (ความชันคูณกันตองได 1 3 L1 −1 )จุดกึ่งกลางของ PQ อยูทีพิกัด (1 + 5 , 3 2 9) ... นั่นคือ (3, 6) ่ 2 +สราง L ไดจากความชันและจุดที่ผาน คือ (y − 6) = − 2 (x − 3) ... จัดรูปใหมใหสวยงาม 1  3ไดเปน 3y − 18 = −2x + 6 ... และกลายเปน 2x + 3y − 24 = 0• ตัวอยาง เสนตรง L ตัดแกน y ที่ (0, 1/3) และมีระยะตัดแกน 5 x ทางลบเทากับ 1/2 หนวย สวนเสนตรง L ผานจุด (−1, 2) และตั้งฉากกับ L 6 5 ก. เสนตรง L และเสนตรง L มีความชันเทาใด 5 6ตอบ เมื่อวาดกราฟคราวๆ จะไดวา m = 1/3 = 2/3 1/2 L5เสนตรง L ตั้งฉากกับ L ดังนัน m = −3/2 6 5 ้ L6หมายเหตุ : ระยะตัด “แกน x ทางลบ” เทากับ 1/2 หมายความวาตัดแกน x ที่จุด (−1/2, 0) ข. จุดที่เสนตรงทั้งสองตั้งฉากกัน อยูที่พกัดใด  ิวิธีคิด สรางสมการเสนตรง L และ L กอน ... 5 6 x yเสนตรง L อาจสรางไดโดยระยะตัดแกนทั้งสอง −1/2 + 1/3 = 1 จัดรูปเปน 2x − 3y = −1 5 3เสนตรง L สรางไดเปน (y − 2) = − 2 (x + 1) จัดรูปเปน 3x + 2y = 1 6จุดที่เสนตรงทั้งสองตั้งฉากกัน ก็คือจุดตัดของสองเสนตรง หาไดจากการแกระบบสมการไดคําตอบเปน (1/13, 5/13) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 88 เรขาคณิตวิเคราะห[3] ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานสองเส้น S ¢Œo¤ÇÃÃaÇa§! S Ax+By+C1=0 C2− C1 ¨aµŒo§¨a´ÃÙ»ÊÁ¡ÒÃeʌ¹µÃ§·a§Êo§eʌ¹ãˌoÂً é d = ã¹ÃÙ» Ax+By+C=0 eÊÁo... æÅa¶ŒÒ¤‹Ò A, d A2+ B2 B ¢o§Êo§ÊÁ¡ÒÃäÁ‹eËÁ×o¹¡a¹ µŒo§ËÒ Ax+By+C2=0 ¤‹Ò¤§·ÕèÁÒ¤Ù³ãˌeËÁ×o¹¡a¹¡‹o¹¹a¤Ãaº[4] ระยะห่างระหว่างจุดกับเส้นตรง P (x1,y1) A x1 + B y1 + C d = d A2+ B2 Ax+By+C=0• ตัวอยาง กําหนดเสนตรง L : 2x + 3y − 24 = 0 1 ก. ระยะทางจากจุด S (−2, 5) ไปยังเสนตรง L1 เทากับเทาใด 2(−2) + 3(5) − 24 13ตอบ dSL1 = = = 13 หนวย 2 2 +3 2 13 ข. ใหหาสมการเสนตรงทีอยูหางจาก L เปนระยะ 2 13 หนวย ่ 1วิธีคิด สมการเสนตรงทีได จะตองขนานกับ L (มีความชันเทากัน) จึงจะทําใหระยะหางคงที่ได ่ 1ดังนั้น ใหสมการที่ตองการ เปน 2x + 3y + C = 0 แลวหาคา C ที่ถูกตอง จากสมการระยะหาง − 24 − Cนั่นคือ 2 13 = ... ยายขางและถอดคาสัมบูรณ ไดเปน ±26 = −24 − C 22 + 32จะไดคา C = 2, −50 จึงตอบวา 2x + 3y + 2 = 0 และ 2x + 3y − 50 = 0 ค. ใหหาจุดบนเสนตรง L : 2x + y − 6 = 0 ซึ่งอยูหางจาก L เปนระยะ 2  1 2 13 หนวยวิธีคิด สมมติวา จุดที่ตองการคือ (x , y ) จะไดสมการระยะหาง ดังนี้ 1 1 2x1 + 3y1 − 242 13 = ซึ่งจะพบวา ติดสองตัวแปร ... แตในทีนี้เราสามารถแกไดเพราะโจทยกําหนด ่ 22 + 32มาดวยวาจุด (x , y ) อยูบนเสนตรง 2x + y − 6 = 0 ... ดังนัน 2x + y − 6 = 0 1 1 ้ 1 1นําไปแทนทีในคาสัมบูรณแลวแกสมการตามปกติ ไดผลเปน x = −8, 5 ถา x = −8 ได y = 22 และถา ่ 1 1 1x = 5 ได y = −4 ... จึงตอบวาจุดที่ตองการ คือ (−8, 22) และ (5, −4) 1 1หมายเหตุ ขอ ค. สามารถคิดไดอีกวิธี คือ หาจากจุดตัดระหวางเสนตรง L กับเสนตรงที่เปนคําตอบของ 2ขอ ข. เพราะเสนตรงในขอ ข. ก็คือเสนที่หางจาก L อยู 2 13 หนวยแลว 1• ตัวอยาง กําหนดสมการเสนตรง L คือ 3x + y = 2 3 และ L คือ 3x + 3y = 18 3 4 ก. เสนตรงที่ขนานกับ L จะตองมีความชันเทาใด 3ตอบ คิดจาก −A/B จะงายที่สุด เพราะไมตองจัดรูป ... ไดคําตอบเปน − 3 /1 = − 3 ข. มุมระหวาง L กับแกน x ที่เปนมุมแหลม มีขนาดกี่องศา 4วิธีคิด หาความชันของ L กอน ไดเปน −3/ 3 = − 3 4จากนั้นพิจารณาวาความชันคือ อัตราสวนแกนตังตอแกนนอน ( y : x ) ในที่นี้เทากับ 3 ้ Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 89 เรขาคณิตวิเคราะหคิดจากตรีโกณมิติ จะพบวามุมทีทํากับแกน x จะเทากับ 60° ่(หมายเหตุ : มุมที่ได จะเทากันไมวาความชันเปนบวกหรือลบ เพียงแตเอียงคนละทิศกัน) ค. วงกลมใดๆ ที่อยูระหวาง L กับ L จะมีรัศมีไดมากที่สุดหนวย 3 4วิธีคิด เนื่องจากเสนตรง L กับ L ขนานกัน (จากความชันที่คํานวณได ในขอ ก. และ ข.) 3 4ถาเราทราบระยะหางระหวางสองเสนนี้ ก็จะทราบวาวงกลมตรงกลางมีขนาดใหญทีสดไดเทาใด ุ่ C2− C1ระยะหางระหวางเสนตรง คิดจาก d = ... แตในขอนีคา ้ A, B ของเสนตรงทั้งสองไม A2+ B2เหมือนกัน จึงตองปรับใหเทากัน เชน หารสมการ L4 ดวย 3 กลายเปน 3x + y = 6 3 6 3 −2 3 4 3ดังนั้น dL3L4 = = = 2 3 ... สรุปวาวงกลมที่จะอยูระหวาง L3 กับ L4 ได 3 +1 2 2 2จะตองมีเสนผานศูนยกลางไมเกิน 2 3 หนวย หรือ รัศมีทีมากทีสุดเทากับ 3 หนวย ่ ่ ง. พืนที่ของรูปสามเหลี่ยมที่ปดลอมดวย L , แกน x , และแกน y มีขนาดเทาใด ้  3วิธีคิด เสนตรงใดๆ ที่ความชันหาคาไดและไมเทากับ 0 และไมผานจุด (0, 0) ยอมทําใหเกิดรูปสามเหลี่ยมที่มีดานประกอบมุมฉากเปน แกน x และแกน y ไดเสมอ ... ซึ่งขนาดของพื้นที่สามเหลียมนี้  ่หาไดงายๆ ดวยระยะตัดแกน x และแกน y นันเอง ่ ในขอนี้ ระยะตัดแกน x (แทน y = 0 ) เปน 2 และระยะตัดแกน y (แทน x = 0 ) เปน 2 3... ดังนั้นขนาดพืนที่สามเหลี่ยม เทากับ (1/2) × (2) × (2 3) = 2 3 ตารางหนวย ้[5] ขนาดของมุมที่เกิดจากเส้นตรงสองเส้นตัดกัน m1 m2 m1 − m2 tan θ = θ 1 + m1m2 การหาเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุม θ นี้พอดี จะใช้ความสัมพันธ์ที่ว่า“ระยะทางจากจุดบนเส้นตรงนี้ ไปยังเส้นตรงที่กําหนดให้ทั้งสองเส้น จะเท่ากันเสมอ”นั่นคือ A1x + B1y +2 C1 = A2x + B2y + C2 2 2 2 A1 + B1 A2+ B2ซึ่งคําตอบที่ได้จะมีสองคําตอบ (เป็นเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุมแหลม Ans1และมุมป้าน) ที่ตั้งฉากกันดังภาพ Ans2[6] ภาพฉาย (Projection) บนเส้นตรงภาพฉายของจุด P บนเส้นตรง L คือจุด Q ภาพฉายของ PP2 บนเส้นตรง L คือ Q1Q2 1 P (x1,y1) P2 (x2,y2) L: Ax+By+C=0 Q P1 (x1,y1) Q 2 L: Ax+By+C=0 Q1 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 90 เรขาคณิตวิเคราะห การคํานวณหาตําแหน่งภาพฉาย สามารถคํานวณได้หลายวิธี เช่น คํานวณจากความชันเป็นวิธีที่สะดวกที่สุด (โดยสร้างสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด P และตั้งฉากกับเส้นตรง L แล้วจึงแก้ระบบสมการหาจุดตัดของเส้นตรงสองเส้น) หรือคํานวณจากระยะทาง (โดยสร้างสมการเพื่อหาจุดที่ห่างจากจุด P เป็นระยะเท่าที่กําหนด ซึ่งจะได้เป็นสมการวงกลม แล้วจึงแก้ระบบสมการหาจุดตัดของวงกลมกับเส้นตรง) ภาพฉายของจุด P (x1, y1) ใดๆ บนเส้นตรงที่มีสมการ “ y = x ” (คือเส้นตรงเฉียงขึ้นทางขวา ทํามุม 45° กับแกน x) ได้แก่ จุด Q (x1+ y1 , x1+ y1) 2 2 แบบฝึกหัด 4.2(17) ถ้า A (1, 2) , B (2, k) , C (3, 4) อยู่ในแนวเส้นตรงเดียวกัน ให้หาค่า k(18) จุด (1, y) อยู่บน PR ซึ่งมีพิกัด P (−2, 6) และ R (4, −2) ให้หาค่า y(19) AB ตัดแกน x และ y โดยมีระยะตัดแกน x ทางบวก 4 หน่วย และแกน y ทางบวก 3หน่วย จุดตัดสองจุดนี้แบ่ง AB ออกเป็น 3 ส่วนเท่าๆ กันพอดี จงหาพิกัดของ A กับ B(20) หากกําหนดพิกัด A (4, 5) , B (1, 2) , C (2, 8) , D (−2, 4) แล้ว AB ขนานกับ CD หรือไม่(21) จงหาจุด D ที่ทําให้ ABCD เป็นสี่เหลี่ยมด้านขนาน เมื่อ A (−4, 1) , B (−5, −4) , C (1, −2)(22) ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด (k, 7) , (−3, −2) ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด (3, 2) , (1, −4) แล้ว ค่า kเป็นเท่าใด(23) ถ้าเส้นตรงที่ผ่านจุด A (1, 5) และ B (3, 6) ตั้งฉากกับเส้นตรงที่ผ่านจุด C (m, 4) และD (−1, −m) แล้ว จงหาค่า m(24) วงกลมวงหนึ่งมีจุดศูนย์กลางที่ C (5, 6) มีเส้นตรง L มาสัมผัสที่จุด (−3, 1) ให้หาความชันของเส้นตรง L(25) จงหาความยาวเส้นผ่านศูนย์กลางของวงกลม ที่ล้อมรอบรูปสามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีพิกัดเป็น A (1, 7) , B (8, 6) , C (7, −1)(26) ให้หาคําตอบของข้อ (7) โดยใช้ความรู้เรื่อง ความชันของเส้นตรง(27) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (3, 0) และ (0, 2)(28) เส้นตรง L ผ่านจุด (−2, −5) และ (1, 3) ถามว่ารูปสามเหลี่ยมที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงเส้นนี้ กับแกน x และแกน y มีพื้นที่เท่าใด(29) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (6, 8) และจุดตัดแกน x ของ 3x + 4y = 12(30) รูปสี่เหลี่ยม ABCD มีจุดมุมอยู่ที่ A (1, 2) , B (−2, −1) , C (−3, −6) , D (2, −5)ถ้า P เป็นจุดตัดของเส้นทแยงมุม แล้ว P จะอยู่ห่างจากจุดกําเนิดกี่หน่วย(31) จงหาสมการเส้นตรงที่ขนานกับ 2x + 3y + 10 = 0 และผ่านจุดที่ x+y=1 ตัดกับ 2x + y = 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 91 เรขาคณิตวิเคราะห(32) เส้นตรงสองเส้นตั้งฉากกันที่จุดตัดแกน x พอดี หากเส้นหนึ่งมีสมการเป็น 3x − 4y + 5 = 0แล้ว ให้หาว่าอีกเส้นหนึ่งตัดแกน y ที่จุดใด(33) หากเส้นตรง L ตั้งฉากกับ 2x + 3y + 5 = 0 และผ่านจุด (1, 5)ถามว่าเส้นตรง L ตัดแกน x ที่จุดใด(34) ให้ M เป็นเส้นตรง 3x − 3y + 5 = 7 และ N เป็นเส้นตรง 2x − 5y + 7 = 4 จงหาสมการเส้นตรง L ที่ขนานกับ M และมีระยะตัดแกน y เท่ากับ N(35) เส้นตรง L1 ผ่านจุด (2, 2) และ (−2, 0) , เส้นตรง L2 ตั้งฉากกับ L1 ที่จุด (−2, 0) และเส้นตรง L3 มีส่วนตัดแกน x เป็น 4/3 แกน y เป็น –4 จงหาพื้นที่สามเหลี่ยมที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงสามเส้นนี้(36) กําหนด L1 มีสมการเป็น 2x − 3y + 6 = 0 , L2 ผ่านจุด (−2, 3) และขนานกับ L1หาก L3 ผ่านจุด (2/3, −1) และตั้งฉากกับ L1 แล้ว ถามว่า L2 กับ L3 ตัดกันที่จุดใด ในควอดรันต์ใด(37) สมมติว่า A (3, k) อยู่ในควอดรันต์ที่ 1 และเป็นจุดบนวงกลมที่มีจุดศูนย์กลางที่จุดกําเนิด และรัศมี 4 หน่วย ถ้าเส้นตรง L สัมผัสวงกลมนี้ที่จุด A แล้ว ให้หาระยะตัดแกน x ของเส้นตรง L(38) เส้นตรง L เป็นเส้นสัมผัสวงกลมซึ่งมีศูนย์กลางที่ A (−1, 2) โดยสัมผัสกันที่จุด B (2, −1) และทําให้เกิดสามเหลี่ยม PQR ที่ปิดล้อมด้วยเส้นตรงเส้นนี้, แกน x, และแกน y พิจารณาข้อความ ข้อใดถูกหรือผิดบ้าง ก. ความยาวรอบรูปสามเหลี่ยม PQR คือ 6 + 3 2 หน่วย ข. พื้นที่สามเหลี่ยม PQR มีขนาด 4.5 ตารางหน่วย(39) หากสามเหลี่ยม ABC มีจุดยอดที่ A (−2, 5) , B (4, 8) , C (2, −3) จงหาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดกึ่งกลางด้านทั้งสองซึ่งสั้นกว่าด้านที่สาม และหาระยะตัดแกน x และ y ของเส้นตรงนี้(40) ถ้าระยะที่เส้นตรงเส้นหนึ่งตัดแกน x เป็นสองเท่าของระยะตัดแกน y และเส้นตรงนี้ผ่านจุด(1, 3) แล้ว ให้หาเส้นตรงนี้(41) เส้นตรงที่ผ่านจุด (−2, 4) และมีผลบวกของ X-intercept กับ Y-intercept เป็น 9 จะมีความชันเท่าใด และตัดแกน x ที่ใด(42) [Ent’24] เส้นตรง L มีความชันเป็น 0.5 และผ่านจุด C (−3, 0) ตัดแกน y ที่จด A ุหากลาก AB ตั้งฉากกับ L โดยจุด B นั้นทําให้มีเส้นตรงขนานแกน y ผ่านจุด B ตัดแกน x ที่จุดC ได้ ถามว่า BC มีค่าเท่าใด(43) สามเหลี่ยมมุมฉาก ABC ซึ่งมีมุม B เป็นมุมฉาก มีจุด A อยู่ที่ (−3, 5) , จุด C อยู่ที่ (4, −4) ,และมีความชันของ AB เป็น 3/2 นั้น มีขนาดกี่ตารางหน่วย(44) เส้นตรง 2x − 3y = 6 และ 4x − 6y = 25 อยู่ห่างกันกี่หน่วย(45) จงหาค่า C ที่ทําให้เส้นตรง Ax + 2y + C = 0 อยู่ห่างจาก 3x − 4y − 5 = 0 หนึ่งหน่วย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 92 เรขาคณิตวิเคราะห(46) เส้นตรง L1 ขนานกับ L2 โดยอยู่ห่างกัน 4 หน่วย หากเส้นตรง L ซึ่งมีสมการเป็น12x − 5y − 15 = 0 นั้นขนานกับ L1 และอยู่ห่างจาก L1 , L2 เป็นระยะเท่าๆ กัน จงหาผลบวกของส่วนตัดแกน x ของเส้นตรง L1 และ L2(47) กําหนดจุดยอดของสามเหลี่ยมเป็น A (−2, 1) , B (5, 4) , C (2, −3) ให้หาส่วนสูงของรูปสามเหลี่ยม ที่ลากจากจุด A มายังด้าน BC(48) เส้นตรง L มีสมการเป็น 5x − 12y + 3 = k และ L อยู่ห่างจากจุด P (−3, 2) อยู่ 4 หน่วย ให้หาผลบวกของค่า k ที่เป็นไปได้ทั้งหมด(49) ให้หาว่าจุดใดบนเส้นตรง 2x − 4y = 15 อยู่ห่างจาก 3x + 4y = 10 เป็นระยะ 3 หน่วย(50) จงหาขนาดมุมแหลมที่เกิดจากการตัดกันของ 5x − y = 0 และ 2x − 3y + 1 = 0(51) กําหนดเส้นตรง L1 ผ่านจุด ( 3, 2) , (0, 1) และเส้นตรง L2 ผ่านจุด (2, 3) , (1, 4) ให้หาขนาดของมุมแหลมระหว่าง L1 กับ L 2(52) เส้นตรง L1 ผ่านจุด (2, 3) , (1, 0) และเส้นตรง L2 ผ่านจุดกําเนิด O และตัดกับ L1 ที่จุดC ถ้ามุมระหว่าง L1 กับ L 2 เป็น 30° ให้หาความยาวของ CO(53) จงหาสมการเส้นตรงที่แบ่งครึ่งมุมที่เกิดจากการตัดกันของ 3x + 4y + 1 = 0 และ4x − 3y − 6 = 0(54) ถ้า A เป็นภาพฉายของจุด (−2, 1) บนแกน x และ B เป็นภาพฉายของ (−5, 6) บนแกน yให้หาสมการเส้นตรง AB(55) กําหนด A (1, 0) , B (−5, 8) , P เป็นจุดกึ่งกลางของ AB และ Q เป็นภาพฉายของ B บนเส้นตรง x = 1 จงหาสมการเส้นตรง PQ และเส้นตรงที่ตั้งฉากกับ PQ(56) จงหาโพรเจคชันของจุด (−2, 1) บนเส้นตรง x − y = 0(57) จงหาโพรเจคชันของจุด (0, 7) บนเส้นตรง 4x − 5y = 6 4.3 ภาคตัดกรวย : พื้นฐานการเขียนกราฟ กราฟเส้นโค้ง ได้แก่ วงกลม พาราโบลา วงรี และไฮเพอร์โบลา เรียกรวมกันว่า ภาคตัดกรวย (Conic Section) เนื่องจากเป็นกราฟที่ได้จากการตัดกรวยกลมตรงด้วยระนาบในมุมต่างๆ ดังภาพ (ในหน้าต่อไป) ตัวอย่างการนําความรู้เรื่องภาคตัดกรวยไปใช้ในชีวิตจริง เช่น1. การหาตําแหน่งศูนย์กลางของแผ่นดินไหว (วงกลม)2. เลนส์ จานรับดาวเทียม โคมไฟหน้ารถยนต์ การเคลื่อนที่วิถีโค้ง (พาราโบลา)3. ห้องกระซิบ สลายนิ่ว โครงสร้างอะตอม วงโคจรของดาวเคราะห์ ดาวหาง ดาวเทียม (วงรี)4. การหาตําแหน่งของต้นกําเนิดเสียง โดยใช้ผลต่างเวลาระหว่าง 2 จุด (ไฮเพอร์โบลา) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 93 เรขาคณิตวิเคราะห วงกลม วงรี พาราโบลา ไฮเพอร์โบลา (Circle) (Ellipse) (Parabola) (Hyperbola)พื้นฐานการเขียนกราฟ ก่อนจะศึกษาภาคตัดกรวยแต่ละรูป ควรทราบพื้นฐานการเขียนกราฟ ว่าลักษณะของกราฟโดยทั่วๆ ไปนั้นจะเปลี่ยนแปลงอย่างไร หากมีค่าคงที่มาบวกลบคูณหารอยู่กับตัวแปร x หรือ y ซึ่งพื้นฐานเหล่านี้เป็นสิ่งสําคัญ เพราะเป็นจริงเสมอไม่ว่าจะใช้กับกราฟใดๆ นอกเหนือจากในบทนี้ เช่นค่าสัมบูรณ์, ตรีโกณมิติ, เอกซ์โพเนนเชียล ฯลฯ y y[1] เมื่อมีค่าคงที่มาบวกหรือลบ 2จะเกิดการ เลื่อนแกนทางขนาน y=x y = (x-3)2(Translate หรือ Shift) กล่าวคือหากเปลี่ยนรูปสมการจาก f (x, y) = 0ไปเป็น f (x −h, y-k) = 0 เมื่อ x x O (3,0)h, k เป็นค่าคงที่ กราฟรูปเดิมจะถูกเลื่อนไปทางขวา h หน่วย y yและเลื่อนขึ้นด้านบนอีก k หน่วย 2(หรือกล่าวว่า จุดกําเนิดถูกเลื่อน y+1 = x y+1 = (x-3)2ไปยังคู่อันดับ (h, k) และรูปกราฟทั้งหมดถูกเลื่อนตามไปด้วย) x x (0,-1) (3,-1) y y[2] เมื่อมีค่าคงที่ (ที่เป็นบวก) มาคูณหรือหารจะเกิดการ ปรับขนาด (Scale) ทางแกนนั้น y = x2 3y = x2กล่าวคือ หากเปลี่ยนรูปสมการจาก y = f (x)ไปเป็น my = f (nx) เมื่อ m, n เป็นค่าคงที่ x xที่มากกว่า 1 ... กราฟรูปเดิมจะถูกบีบลงทาง O ความสูงทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 3แนวนอน n เท่า และบีบลงทางแนวตั้ง m เท่า(ส่วนกรณีที่ m, n น้อยกว่า 1 จะมองว่า y yเป็นการหาร และกราฟจะถูกขยายออกแทน)ทั้งนี้ต้องใช้แกน h, k ที่ได้จากการเลื่อนแกน y = (2x)2 y/4 = x2แล้ว เป็นแกนกลางสําหรับบีบหรือขยายรูปกราฟ x x ความกว้างทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 2 ความสูงทุกตําแหน่งเพิ่มเป็น 4 เท่า Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 94 เรขาคณิตวิเคราะหข้อสังเกต 1. กราฟในตัวอย่างหน้าที่แล้ว สองรูปล่างเป็นสมการเดียวกัน เพียงแต่มองคนละวิธี* 2. หากสมการมีทั้งการบวกลบและคูณหาร จะต้อง yจัดรูปสมการให้บวกลบอยู่ในวงเล็บ (กระทํากับตัว 2y = (x-3)2-2แปรโดยตรง) แล้วถัดมาจึงเป็นการคูณหาร จัดรูปเป็น 2(y+1)=(x-3)2ดังตัวอย่างด้านขวานี้ x เลื่อนแกนไปอยู่ที่ (3,-1) และ ความสูงทุกตําแหน่งเหลือ 1 ใน 2[3] เมื่อมีค่าคงที่ (ที่เป็นลบ) มาคูณหรือหารนอกจากจะมีการขยายหรือบีบตามข้อ (2) แล้ว ยังเกิดการ พลิก (Flip) รูปกราฟ โดยใช้แกน h, kนี้เป็นแกนหมุนด้วย (หากตัวแปร x ถูกคูณด้วยลบ จะพลิกสลับซ้ายขวา, และหากตัวแปร y ถูกคูณด้วยลบ จะพลิกสลับบนล่าง) y y y = x2 -(y+1) = (x-3)2 x x O เลื่อนแกนไปอยู่ที่ (3,-1) และ พลิกรูปกราฟ สลับบนล่าง 4.4 ภาคตัดกรวย : วงกลม นิยาม วงกลม คือ “เซตของคู่อันดับที่อยู่ห่างจากจุดคงที่จุดหนึ่ง เป็นระยะเท่าๆ กัน”เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่า จุดศูนย์กลาง (Center; C) และเรียกระยะทางนั้นว่า รัศมี (Radius; r) สมการวงกลม สร้างจากสมการระยะทางระหว่างจุดสองจุด (ทฤษฎีบทปีทาโกรัส) หากมีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C (0, 0) และรัศมียาว r หน่วย สมการจะเป็น x 2 + y 2 = r 2 แต่ถ้าเลื่อนแกน ให้จุดศูนย์กลางไปอยูที่ C (h, k) สมการจะกลายเป็น (x −h)2 + (y −k)2 = r 2 ่ วงกลม (x −h)2 + (y −k)2 = r 2 จุดศูนย์กลาง C (h, k) r รัศมี r หน่วย C (h,k) รูปทั่วไป x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 95 เรขาคณิตวิเคราะห• ตัวอยาง ใหสรางสมการวงกลมที่มีจุดศูนยกลางอยูที่ (1, −2) และผานจุด (2, 1) 2 2และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิ์ทกตัวเปนจํานวนเต็ม ุ 2 2วิธีคิด หารัศมีจากระยะทางระหวาง (1, −2) กับ (2, 1) ไดเทากับ 1 + 3 = 10 หนวย 2 2 2สมการวงกลมคือ (x −h) + (y −k) = r แทนคาจุดศูนยกลางและรัศมี 2 2 2 2 2 2 2ได (x −1) + (y +2) = 10 → x −2x + 1+ y + 4y + 4 = 10 → x + y −2x+ 4y −5 = 0• ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปวงกลมที่มีสมการเปน x2+ y2+2x − 4y − 10 = 0 2 2วิธีคิด จัดกลุม x และ y แยกกันและยายตัวเลขไวทางขวา (x + 2x) + (y − 4y) = 10ตอมา เติมตัวเลขลงในวงเล็บทั้งสอง เพื่อใหเปนกําลังสองที่สมบูรณ (อยาลืมเติมทางขวาดวย) 2 2 2 2ไดเปน (x + 2x + 1) + (y − 4y + 4) = 10 + 1+ 4 นันคือ (x + 1) + (y − 2) = 15 ่ตอบ จุดศูนยกลางคือ (−1, 2) และรัศมียาว 15 หนวยข้อสังเกต1. จากรูปทั่วไปของสมการวงกลม x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 เมื่อจัดรูปด้วยวิธีกําลังสองสมบูรณ์แล้วจะทําให้ทราบว่า (h, k) = (−D/2, −E/2)2.1 สมการวงกลมมีค่าคงที่ซึ่งบอกลักษณะกราฟ อยู่ 3 ตัว คือ D, E, F หรือ h, k, rดังนั้นการสร้างสมการวงกลมจากจุดที่กราฟผ่าน ต้องกําหนดจุดมาให้ 3 จุด แล้วจึงแก้ระบบสมการ3 สมการ ซึ่งกรณีนี้สมการ x 2+ y 2+ Dx + Ey + F = 0 จะคํานวณง่ายกว่า2.2 แต่ถ้าบอก r มาให้ จะต้องการจุดเพิ่มอีกเพียง 2 จุด เพื่อหาค่า h, k หรือถ้าบอก h, k มาให้ ก็ต้องการอีกเพียงจุดเดียวเพื่อหาค่า r โดยใช้สมการ (x −h)2 + (y −k)2 = r 2 เส้นสัมผัสวงกลม คือเส้นตรงที่ลากผ่านจุดบนวงกลมเพียงจุดเดียวเท่านั้น (เรียกว่าจุดสัมผัส) และเส้นสัมผัสวงกลมทุกเส้นจะตั้งฉากกับรัศมี (ที่เชื่อมจุดศูนย์กลางกับจุดสัมผัส) ระยะทางจากจุด P (x1, y1) ใดๆ ภายนอกวงกลม มายังจุดสัมผัส Q หาได้ดังนี้ Q d P (x1,y1) d = x2+ y2+ Dx1+ Ey1+ F 1 1 C d หรือ d = (x1−h)2+ (y1−k)2− r2 แบบฝึกหัด 4.4(58) สมการต่อไปนี้ต้องการเลื่อนแกนเพื่อให้ได้รูปที่กําหนด ต้องเลือกจุดใดเป็นจุดกําเนิดจุดใหม่ (58.1) (x −4)(y + 3) = 1 → xy = 1 (58.2) y = x + 1 − 2 → y = x (58.3) x 2+ y 2+ 2x − 4y + 5 = 9 → x 2+ y 2= k Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 96 เรขาคณิตวิเคราะห(59) จงหาสมการรูปทั่วไปของวงกลม ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ (59.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3, 4) และผ่านจุด (1, 1) (59.2) เส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง เชื่อมจุด (1, 1) กับ (2, 2) (59.3) สัมผัสเส้นตรง y = 2x ที่จุดกําเนิด และผ่านจุด (1, 1) (59.4) ผ่านจุด (−6, 3) , (2, 3) และ (−2, 7) (59.5) ผ่านจุด (1, −5) และผ่านจุดตัดของวงกลม x 2+ y 2− 2x + 2y − 8 = 0 กับx 2+ y 2+ 3x − 3y − 8 = 0(60) หาความยาวเส้นสัมผัสที่ลากจากจุด (0, 1) ไปยังวงกลม 3x 2+ 3y 2+ 11x + 15y = −9(61) ให้หาสมการเส้นตรงที่สัมผัสวงกลม ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ (61.1) สัมผัสวงกลม x 2+ y 2= 8 ที่จุด (2, 2) (61.2) สัมผัสวงกลม x 2+ y 2= 17 และมีความชันเป็น 4 [Hint: สร้างสมการเส้นตรงความชันเท่านี้ แต่ผ่านจุดศูนย์กลางก่อน] (61.3) สัมผัสวงกลม x 2+ y 2= 16 และผ่านจุด (−1, 8) [Hint: สร้างสมการเส้นตรงความชันใดๆ ที่ผ่านจุดนี้ แล้วจึงหาค่าความชัน](62) ให้หาสมการวงกลม ตามเงื่อนไขต่อไปนี้ [Hint: หาจุดศูนย์กลางวงกลมก่อน] (62.1) รัศมี 2 หน่วย และสัมผัสกับวงกลมสองวงนี้ คือ (x −2)2 + (y + 1)2 = 1 และ(x −6)2 + (y −2)2 = 4 โดยมีจุดศูนย์กลางอยู่ในควอดรันต์ที่ 1 (62.2) รัศมี 1 หน่วย, สัมผัสกับเส้นตรง y = x + 2 , และสัมผัสกับวงกลมx 2+ y 2− 4x + 2y + 1 = 0 (62.3) แนบในสามเหลี่ยมที่เกิดจากเส้นตรงสามเส้นนี้ตัดกัน 2x − 3y + 21 = 0 ,3x − 2y − 6 = 0 , และ 2x + 3y + 9 = 0(63) จงหาค่า k ที่ทําให้ x 2+ y 2− 6x + 8y + k = 0 เป็นสมการวงกลม(64) [Ent’32] จงหาค่า k > 0 ที่น้อยที่สุดที่ทําให้ y = kx สัมผัสกับ x 2+ y 2− 14x + 49 = k 2(65) ถ้า C เป็นจุดศูนย์กลางของกราฟ x 2+ 4x + 2 = − (y 2+ 8y + 9) แล้ว ให้หาสมการเส้นตรง OCและสมการวงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางเส้นหนึ่ง(66) [Ent’38] เส้นตรงความชัน –4/3 ผ่านจุดศูนย์กลางของวงกลม x 2+ y 2− 4x + 2y = 4 โดยตัดวงกลมที่จุด A กับ B หากกําหนดจุด D (−1, −2) แล้ว ให้หาพื้นที่สามเหลี่ยม ABD(67) ให้หาสมการกราฟซึ่งจุด P (x, y) ใดๆ บนกราฟเป็นจุดศูนย์กลางของวงกลมที่สัมผัสกับกราฟ(x − 1 2= (1− y)(1+ y) และผ่านจุด A (−1, 0) ด้วย ) 4.5 ภาคตัดกรวย : พาราโบลา นิยาม พาราโบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่มีระยะไปถึงจุดคงทีจุดหนึ่ง เท่ากับระยะไปถึง ่เส้นตรงเส้นหนึ่ง” เรียกจุดคงที่จุดนั้นว่า จุดโฟกัส (Focus; F) เรียกเส้นตรงเส้นนั้นว่า ไดเรกตริกซ์(Directrix; เส้นบังคับ) เรียกเส้นตรงที่ผ่านโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ์ ว่า แกน (Axis) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 97 เรขาคณิตวิเคราะห พาราโบลาที่มี จุดยอด (Vertex) อยู่ที่ V (0, 0) และระยะโฟกัสยาว c หน่วย จะมีสมการ 2เป็น x = 4 c y (อ้อมแกน y, กราฟหงายเมื่อค่า c เป็นบวก, กราฟคว่ําเมื่อค่า c ติดลบ)หรือ y 2 = 4 c x (อ้อมแกน x, กราฟเปิดขวาเมื่อ c เป็นบวก, กราฟเปิดซ้ายเมื่อ c ติดลบ) หากมีการเลื่อนแกน ให้จุดยอดไปอยู่ที่ V (h, k) สมการจะกลายเป็น (x −h)2 = 4 c (y −k)และ (y −k)2 = 4 c (x −h) ตามลําดับ พาราโบลา (ตั้ง) (x −h)2 = 4 c (y −k) 2c F (h,k+c) จุดยอด V (h, k) ⎧ ระยะโฟกัส c หน่วย c⎨ ⎩ เลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วย c ⎧ V (h,k) ⎨ ⎩ รูปทั่วไป Directrix : y=k-c x 2+ Dx + Ey + F = 0 Axis : x=h พาราโบลา (ตะแคง) (y −k)2 = 4 c (x −h) ⎫ จุดยอด V (h, k) ⎪ ⎬ 2c ระยะโฟกัส c หน่วย c c ⎪ ⎭ เลตัสเรกตัม ยาว 4c หน่วย Axis : y=k V F (h+c,k) (h,k) รูปทั่วไป Directrix : y 2+ Dx + Ey + F = 0 x=h-cนิยาม เลตัสเรกตัม (Latus Rectum) คือเส้นแสดงความกว้างของรูปกราฟ ณ ตําแหน่งโฟกัสข้อสังเกต1. พาราโบลาอ้อมแกนใด อาจสังเกตได้จาก ตัวแปรนั้นจะยกกําลังหนึ่ง2. สมการพาราโบลามีค่าคงที่ 3 ตัว (คือ D, E, F หรือ h, k, c) เช่นเดียวกับวงกลม ดังนั้นการสร้างสมการจะใช้วิธีคล้ายกัน แต่พาราโบลาต้องทราบก่อนด้วยว่าเป็นพาราโบลาอ้อมแกนใด• ตัวอยาง ใหสรางสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (1, −2) และผานจุด (2, 1) โดยมีแกนสมมาตร 2 2แนวตั้ง และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิ์ทุกตัวเปนจํานวนเต็ม 2วิธีคิด มีแกนสมมาตรแนวตั้ง แสดงวาสมการคือ (x −h) = 4 c (y −k) 2เราทราบจุดยอด (h, k) = (1, −2) แทนคาลงในสมการ เปน (x −1) = 4 c (y +2)หาคา c โดย แทนจุดที่พาราโบลาผานคือ (2, 1) ลงไปที่ x, y แลวสมการตองเปนจริง Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 98 เรขาคณิตวิเคราะห(2− 1)2 = 4 c (1+2) → 4 c = 1/3 ... ฉะนัน สมการพาราโบลาคือ (x −1) ้ 2 = (1/3)(y +2) 2 2และกระจายได 3 (x −2x + 1) = y +2 → 3x −6x − y + 1 = 0หมายเหตุ ในตัวอยางแรกของเรื่องวงกลมก็สามารถคิดดวยวิธีในขอนี้ได คือใสจุดศูนยกลาง (h, k) ลงไปในสมการวงกลมกอน จากนั้นแทนจุดที่ผานคือ (2, 1) เพื่อหาคา r ที่ยังไมทราบ• ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปพาราโบลาทีมีสมการเปน ่ x 2− 2x − 2y − 3 = 0 2วิธีคิด สังเกตวาไมมีพจน y แสดงวาเปนพาราโบลาออมแกนตั้ง (หงายหรือคว่ํา)การจัดรูปสมการพาราโบลาแบบนี้ เราจัดกลุม x ไวทางซาย และยาย y กับตัวเลขไวทางขวา  2 2คือ (x − 2x) = 2y + 3 ... จากนันเติมตัวเลข (x − 2x + 1) = 2y + 3 + 1 เพื่อเปนกําลังสองสมบูรณ ้ 2 2 2ไดเปน (x − 1) = 2y + 4 → (x − 1) = 2 (y + 2) → (x − 1) = 4 (0.5)(y + 2)ตอบ เปนสมการพาราโบลาหงาย จุดยอดคือ (1, −2) จุดโฟกัสคือ (1, −2 + 0.5) = (1, −1.5)และสมการไดเรกตริกซคือ y = −2 − 0.5 = −2.5 (หรืออาจเขียนเปน 2y + 5 = 0 ก็ได)(ถายังไมแมนยํา ควรเขียนกราฟเพื่อชวยในการคิดเลขดวย) แบบฝึกหัด 4.5(68) จงหาสมการรูปทั่วไปของพาราโบลา ทีมีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ ่ (68.1) จุดยอดอยู่ที่ (−2, 3) และจุดโฟกัสอยู่ที่ (5, 3) (68.2) จุดยอดอยู่ที่ O และจุดปลายเลตัสเรกตัมจุดหนึ่งอยู่ที่ (−3, 6) (68.3) จุดยอดอยู่ที่ O และผ่านจุด (−4, −6) โดยมีแกน x เป็นแกนสมมาตร (68.4) จุดยอดอยู่ที่ (2, −3) และผ่านจุด (8, −2.1) โดยแกนสมมาตรตั้งฉากแกน x (68.5) จุดยอดอยู่ที่ (5, −2) และผ่านจุด (3, 0) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน y (68.6) จุดโฟกัสอยู่ที่ (2, 2) และสมการไดเรกตริกซ์เป็น x + 2 = 0 (68.7) ผ่านจุด (1, 3) , (9, 1) , และ (51, −2) โดยแกนสมมาตรขนานกับแกน x (68.8) ผ่านจุด (−2, 3) , (3, 18) , และ (0, 3)(69) ให้หาระยะจากจุด P (4, −3) ซึ่งอยู่บนพาราโบลา 2x 2+ 3y = 0 ไปถึงจุดโฟกัส(70) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ของพาราโบลา (70.1) จุดโฟกัส ความกว้างที่จุดโฟกัส และสมการไดเรกตริกซ์ ของ x 2− 12y = 0 (70.2) ส่วนประกอบทั้งหมดของ y 2− 10y + 12x + 61 = 0 (70.3) จุดโฟกัสของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่ (4, 2) และมีไดเรกตริกซ์เป็น x − 1 = 0 (70.4) จุดตัดแกน x ของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (0, −1/3) และจุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 7/6)(71) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด P (x, y) ซึ่ง (71.1) อยู่ห่างจากเส้นตรง y = −4 เท่ากับระยะห่างจากจุด (−2, 8) (71.2) อยู่ห่างจากเส้นตรง x = −4 มากกว่าระยะห่างจากจุด (3, 1) อยู่ 5 หน่วย(72) จุดบนโค้ง 4y = (x − 1 2 ) ซึ่งอยู่ห่างจากจุดโฟกัส 13 หน่วย จะห่างจากแกน x เท่าใด Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 99 เรขาคณิตวิเคราะห(73) ความยาวคอร์ดที่เกิดจากเส้นตรง 2x − y = 8 ตัดกับพาราโบลา y 2= 8x เป็นเท่าใด(74) สมการเส้นตรงที่ผ่านจุด (1, 6) และจุดโฟกัสของ y 2− 4x − 4y = 8 คือสมการใด(75) ให้หาสมการพาราโบลาที่มีเส้นตรง y = 5 เป็นไดเรกตริกซ์ และมีจุดโฟกัสอยู่ที่ศูนย์กลางของกราฟ x 2− 6x = 6 − 2y − y 2(76) ให้หาสมการพาราโบลาที่ผ่านจุดตัดของเส้นตรง x = y กับวงกลม x 2+ y 2+ 6x = 0 โดยมีแกน x เป็นแกนสมมาตร(77) กําหนดให้ไดเรกตริกซ์และแกนของพาราโบลา y 2− 4y + 8x = 20 ตัดกันที่จุด Pถ้าวงกลมวงหนึ่งผ่านจุดกําเนิด, จุด P, และจุดโฟกัสของพาราโบลาแล้ว กําลังสองของรัศมีวงกลมเป็นเท่าใด(78) ให้หาระยะโฟกัสของเลนส์รูปพาราโบลา ซึ่งมีความสูง 6 หน่วย และฐานกว้าง 8 หน่วย 4.6 ภาคตัดกรวย : วงรี นิยาม วงรี คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลรวมของระยะทางไปถึงจุดคงที่สองจุด มีค่าเท่ากัน”เรียกจุดคงที่สองจุดนั้น ว่า จุดโฟกัส ( F1, F2 ) และนอกจากนี้ ระยะทางรวมซึ่งเป็นค่าคงที่นั้น จะมีค่าเท่ากับ ความยาวของแกนเอก (2a) พอดี วงรีที่มีจุดศูนย์กลางอยู่ที่ C (0, 0) และแกนเอกยาว 2a หน่วย แกนโทยาว 2b หน่วย 2 2 2 2จะมีสมการเป็น ⎛x⎞ + ⎛y⎞ = 1 (รีตามแกน x) หรือ ⎛y⎞ + ⎛x⎞ = 1 (รีตามแกน y) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝a⎠ ⎝b⎠ วงรี (นอน) (x −h)2 (y −k)2 2 + = 1 B1 (h,k+b) a b2 ⎫ จุดศูนย์กลาง C (h, k) a ⎬b แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b ⎭ ระยะโฟกัส c = a − b 2 2 V2 F2 C F1 V1 c (h,k) (h+c,k) (h+a,k) B2 รูปทั่วไป Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 100 เรขาคณิตวิเคราะห วงรี (ตั้ง) V1 (h,k+a) (y −k)2 (x −h)2 2 + = 1 a b2 F1 จุดศูนย์กลาง C (h, k) (h,k+c) แกนเอกยาว 2a แกนโทยาว 2b B2 b C (h,k) B (h+b,k) ⎧ 1 ระยะโฟกัส c = a2− b2 ⎪ ⎫ c a⎪ ⎬ ⎪ ⎨ ⎪ ⎭ รูปทั่วไป ⎪ F2 ⎪ Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 ⎩ V2 นิยาม แกนเอก (Major Axis) คือเส้นแสดงความยาวของวงรี ( V1V2 ) และ แกนโท(Minor Axis) คือเส้นแสดงความกว้างของวงรี ( B1B2 )ข้อสังเกต1. สมการวงรีเกิดจากการขยายขนาดทางแกน x, y ของวงกลมรัศมี 1 หน่วย2. สําหรับวงรีนั้น a > b เสมอ ดังนั้นตัวเลขใดมีค่ามากกว่า ตัวนั้นก็จะเป็น a (เป็นแกนเอก)3. สมการวงรีมีค่าคงที่ถึง 4 ตัว การสร้างสมการวงรีจากจุดที่กราฟผ่าน ต้องใช้ถึง 4 จุด (ไม่นิยมกระทํา เพราะต้องแก้ระบบสมการที่มีถึง 4 สมการ)• ตัวอยาง ใหสรางสมการวงรีทีมีจุดศูนยกลางอยูที่ (2, 1) มีจุดโฟกัสอยูที่ (2, 4) และจุดยอดอยูที่ ่  2 2(2, −4) และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิทุกตัวเปนจํานวนเต็ม ์วิธีคิด จุดศูนยกลาง จุดโฟกัส และจุดยอด เรียงกันโดยคา x เทากันและ y ตางกัน 2 2 (y −k) (x −h)แสดงวาเปนวงรีตามแกนตั้ง ... สมการคือ 2 + = 1 a b2เนื่องจากคา a = (−4) − (1 = 5 ) และคา c = (4) − (1) = 3 ดังนัน ้ b = 52−32 = 4 2 2แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเปน (y −1) + (x −2) = 1 2 2 5 4 2 2 2 2กระจายสมการ 16(y −1) + 25(x −2) = 400 → 16(y −2y +1) + 25(x −4x + 4) = 400→ 25x2+ 16y2− 100x − 32y −284 = 0• ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปวงรีซึ่งมีสมการเปน 7x2+ 16y2+28x −96y +60 = 0 2 2วิธีคิด ในขอนีสมประสิทธิ์หนา x กับ y ไมเปน 1 จึงตองแยกออกมาหนาวงเล็บดวย ้ั 2 2 2 2ดังนี้ (7x + 28x) + (16y − 96y) = −60 → 7 (x + 4x) + 16(y − 6y) = −60 ...จากนั้นเติมตัวเลขลงในวงเล็บทั้งสองและเติมทางขวาดวยเชนเดิมแตใหระวังเนื่องจากมีตัวคูณอยูหนาวงเล็บทางซาย ทําใหตัวเลขที่เติมทางขวาเปลี่ยนไป 2 2ไดเปน 7 (x + 4x + 4) + 16(y − 6y + 9) = −60 + 28 + 144 ... ( 28 = 7 × 4 , 144 = 16 × 9 ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 101 เรขาคณิตวิเคราะหนั่นคือ 7 (x + 2)2+ 16(y − 3)2 = 112 (x + 2)2 (y − 3)2นําตัวเลขที่เหลือทางขวา คือ 112 หารตลอดสมการ จะได + = 1 16 7ตอบ เปนวงรีตามแกนนอน จุดศูนยกลางคือ (−2, 3)เนื่องจากคา a = 4, b = 7 จะได c = 16 − 7 = 3 ดังนัน ้จุดยอดคือ (−2 ± 4, 3) จุดโฟกัสคือ (−2 ± 3, 3) และจุดปลายแกนโทคือ (−2, 3 ± 7) แบบฝึกหัด 4.6(79) จงหาสมการรูปทั่วไปของวงรี ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ (79.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (3, −1) แกนเอกขนานกับแกน y และยาว 8 หน่วยส่วนแกนโทยาว 6 หน่วย (79.2) จุดศูนย์กลางอยู่ที่จุดกําเนิด มีจุดยอดอยู่ที่ (0, 8) และมีโฟกัสอยู่ที่ (0, −5) (79.3) จุดยอดอยู่ที่ (−4, 2) และ (2, 2) โดยแกนโทยาว 4 หน่วย (79.4) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (−2, 1) มีจุดโฟกัสที่ (−2, 4) และผ่านจุด (−6, 1) (79.5) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (2, 1) มีจุดยอดที่ (2, −4) และค่า c : a = 2 : 5(80) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ทั้งหมดของวงรี (80.1) 4x 2+ 9y 2= 36 (80.2) 9x 2+ 5y 2− 54x − 50y + 26 = 0 (80.3) 5x 2+ 9y 2− 10x = 40(81) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด P (x, y) ซึ่ง (81.1) ระยะห่างจากจุด (4, 0) และจุด (−4, 0) รวมกันเป็น 12 หน่วย (81.2) ระยะห่างจากจุด (2, 7) และจุด (2, 1) รวมกันเป็น 10 หน่วย(82) ฐานของสามเหลี่ยมยาว 6 หน่วย และผลบวกของอีกสองด้านเป็น 10 หน่วย (82.1) ถ้าฐานตรึงอยู่กับที่ กราฟที่ประกอบด้วยจุดยอดของสามเหลี่ยมจะเป็นรูปใด (82.2) ให้หาสมการกราฟดังกล่าว ถ้าฐานตั้งอยู่บนแกน x โดยมีจุดกําเนิดอยู่ตรงกลาง(83) [Ent’39] ให้หาสมการเส้นตรงที่ผ่านจุดศูนย์กลางของวงรี 4x 2+ 9y 2− 48x + 72y + 144 = 0และตั้งฉากกับ 3x + 4y = 5(84) [Ent’37] ระยะห่างระหว่างเส้นตรงคู่ขนานที่ทํามุม 45° กับแกน x และผ่านจุดโฟกัสทั้งสองของวงรี x 2+ 3y 2− 4x − 2 = 0 มีค่าเท่าใด(85) [Ent’38] ให้จุด F1 และ F2 เป็นจุดโฟกัสของวงรี kx 2+ 4y 2− 4y = 8 และวงรีนี้ตัดแกน y ที่จุด B ซึ่งอยู่เหนือแกน x ถ้าสามเหลี่ยม FF2B มีพื้นที่ 3 7 /4 ตารางหน่วย แล้วค่า k เป็นเท่าใด 1(86) นายแดงปีนขึ้นไปบนสะพานโค้งที่มีลักษณะเป็นครึ่งวงรี ปลายทั้งสองห่างกัน 4 เมตร และมีระยะสูงสุด 1 เมตร ถ้าเขาอยู่บนสะพานในตําแหน่งที่ห่างจากปลายข้างหนึ่ง เป็นระยะตามแนวราบ80 ซม. เขาจะอยู่สูงจากพื้นกี่เซนติเมตร Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 102 เรขาคณิตวิเคราะห 4.7 ภาคตัดกรวย : ไฮเพอร์โบลา นิยาม ไฮเพอร์โบลา คือ “เซตของคู่อันดับที่ ผลต่างของระยะทางไปถึงจุดคงที่สองจุด มีค่าเท่ากัน” เรียกจุดคงที่สองจุดนั้น ว่า จุดโฟกัส ( F1, F2 ) และนอกจากนี้ ผลต่างระยะทางซึ่งเป็นค่าคงที่นั้น จะมีค่าเท่ากับ ความยาวของแกนตามขวาง (2a) พอดี ไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางที่ C (0, 0) แกนตามขวางยาว 2a และแกนสังยุคยาว 2b 2 2 2 2 ⎛x⎞ ⎛y⎞ ⎛y⎞ ⎛x⎞จะมีสมการเป็น ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ =1 (แบบอ้อมแกน x) หรือ ⎜ ⎟ −⎜ ⎟ =1 (อ้อมแกน y) ⎝a⎠ ⎝b⎠ ⎝a⎠ ⎝b⎠ ไฮเพอร์โบลา (ตะแคง) (x −h)2 (y −k)2 2 − = 1 B1 (h,k+b) a b2 ⎫ จุดศูนย์กลาง C (h, k) c ⎬b แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค 2b ⎭ ระยะโฟกัส c = a2+ b2 F2 V2 a C V1 F1 (h,k)(h+a,k) (h+c,k) รูปทั่วไป B2 Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Asymptote Asymptote a(y-k)=b(x-h) ไฮเพอร์โบลา (ตั้ง) Asymptote (y −k)2 (x −h)2 F1 (h,k+c) − = 1 b(y-k)=a(x-h) a2 b2 V1 (h,k+a) จุดศูนย์กลาง C (h, k) b แกนตามขวาง 2a แกนสังยุค 2b B2 C (h,k) B1 (h+b,k) ระยะโฟกัส c = a2+ b2 ⎧ ⎫ a c⎪ ⎬ ⎨ ⎭ ⎪ V รูปทั่วไป ⎩ 2 Ax 2+ By 2+ Dx + Ey + F = 0 Asymptote F2 นิยาม แกนตามขวาง (Transversal Axis) V1V2 และ แกนสังยุค (Conjugate Axis)B1B2 ใช้ในการสร้าง เส้นกํากับ (Asymptote) สองเส้น เพื่อบังคับความกว้างของไฮเพอร์โบลาข้อสังเกต1. การวาดกราฟไฮเพอร์โบลา เปรียบเสมือนว่ามีวงรีอยู่ในกรอบตรงกลาง โดยใช้จุดศูนย์กลางร่วมกันและแกนตามขวางกับแกนสังยุคจะทับแกนเอกและโทของวงรีพอดีแต่สําหรับไฮเพอร์โบลา a ไม่จําเป็นต้องมากกว่า b (แกนใดเครื่องหมายบวก จะอ้อมแกนนั้น)2. ถ้า a = b (สี่เหลี่ยมจัตุรัส) รูปวงรีตรงกลางจะกลายเป็นวงกลม สามารถเรียกไฮเพอร์โบลานั้นว่า ไฮเพอร์โบลามุมฉาก (Rectangular Hyperbola) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 103 เรขาคณิตวิเคราะห• ตัวอยาง ใหสรางสมการไฮเพอรโบลาที่มีจุดศูนยกลางที่ (2, 1) มีจุดโฟกัสที่ (2, −4) และจุดยอดที่ 2 2(2, 4) และตอบในรูป Ax + By + Dx + Ey + F = 0 โดยสัมประสิทธิทุกตัวเปนจํานวนเต็ม ์วิธีคิด จุดศูนยกลาง จุดโฟกัส และจุดยอด เรียงกันโดยคา x เทากันและ y ตางกัน 2 2 (y −k) (x −h)แสดงวาเปนไฮเพอรโบลาออมแกนตั้ง ... สมการคือ − = 1 a2 b2เนื่องจากคา a = (4) − (1 = 3 ) และคา c = (−4) − (1 = 5 ) ดังนัน ้ b = 52− 32 = 4 2 2แทนคา (h, k) = (2, 1) และ a, b ลงในสมการ ไดเปน (y −1) − (x −2) = 1 2 2 3 4 2 2 2 2กระจายสมการ 16 (y −1) − 9(x −2) = 144 → 16y −9x −32y + 36x −164 = 0หมายเหตุ อาจตอบใหอยูในรูป สัมประสิทธิ์ของ x เปนบวก ก็ได 2 2โดยนํา −1 คูณทั้งสมการ กลายเปน 9x −16y −36x +32y + 164 = 0• ตัวอยาง ใหหาสวนประกอบตางๆ ของรูปไฮเพอรโบลาทีมีสมการเปน ่ x2−5y2+ 10y −25 = 0 2 2วิธีคิด จัดกําลังสองสมบูรณเหมือนเดิม x − 5(y − 2y) = 25 ...สังเกตไดวา ไมมีพจน x กําลังหนึ่ง แสดงวาที่แกน x ไมมีการเลือนแกน และไมตองจัดรูป ่ 2 2 2 2เติมตัวเลขทั้งสองขาง เปน x − 5(y − 2y + 1) = 25 - 5 ... นั่นคือ x − 5(y − 1) = 20(การจัดรูปกําลังสองสมบูรณในขอนี้ หลายจุดตองระวังพลาดเรื่องเครื่องหมายลบ) x2 (y − 1 2 )นําตัวเลขที่เหลือทางขวา คือ 20 หารตลอดสมการ จะได − = 1 20 4ตอบ เปนสมการไฮเพอรโบลา (ออมแกนนอน) จุดศูนยกลางคือ (0, 1)เนื่องจากคา a = 20, b = 2 จะได c = 20 − 4 = 4 ดังนัน้จุดยอดคือ (± 20, 1) จุดโฟกัสคือ (± 4, 1) และจุดปลายแกนสังยุคคือ (0, 1 ± 2) นิยาม สําหรับวงรีและไฮเพอร์โบลา ความเยื้องศูนย์กลาง (Eccentricity; e) คือค่าที่บอกว่าจุดโฟกัสและจุดยอด อยู่ห่างจากจุดศูนย์กลางเป็นอัตราส่วนเท่าใด นั่นคือ e = c / aจะพบว่าค่า e ของวงรี อยู่ระหว่าง 0 กับ 1 เสมอ (ถ้า e ยิ่งมากขึ้น วงรีจะยิ่งแคบลง)และค่า e ของไฮเพอร์โบลา มากกว่า 1 เสมอ (ถ้า e ยิ่งมากขึน กราฟจะยิ่งกว้างขึ้น) ้เพิ่มเติม1. รูปวงรี และไฮเพอร์โบลา ก็มีเลตัสเรกตัมและ S e·¤¹i¤¡ÒèíÒ! Sเส้นไดเรกตริกซ์ด้วย (คิดไม่เหมือนกับพาราโบลา) ǧÃÕ a ÂÒÇ·ÕèÊu´ äÎe¾oÏoºÅÒ c ÂÒÇ·ÕèÊu´แต่ไม่ได้กล่าวถึงในหลักสูตร ม.ปลาย 2 2 2 ´a§¹aé¹ a =c +b 2 2 2 ´a§¹aé¹ c =a +b2. ภาคตัดกรวยในรูปเต็มคือAx 2+ By 2+ Cxy + Dx + Ey + F = 0โดยที่ C ≠ 0 c a a cลักษณะกราฟจะเป็นเหมือนรูปใดรูปหนึ่งใน 4 รูปที่ได้ศึกษาแล้ว แต่แกนจะถูกหมุนไปจากเดิม เช่นอาจเป็นรูปวงรีเฉียงๆ ... จะได้ศึกษาการจัดสมการและ b bเขียนกราฟเหล่านี้ในระดับมหาวิทยาลัย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 104 เรขาคณิตวิเคราะห นอกจากนี้ไฮเพอร์โบลามุมฉากอีกรูปแบบหนึ่ง ได้แก่สมการในรูป xy = k เมื่อ k เป็นค่าคงที่ ไฮเพอร์โบลานี้มีแกนนอนและแกนตั้งเป็นเส้นกํากับ และมีส่วนประกอบต่างๆ ดังภาพ ไฮเพอร์โบลามุมฉาก xy = k k > 0 จุดศูนย์กลาง C (0, 0) F1 V1 จุดยอด V1 ( k, k) C (0,0) V2 (− k, − k) V2 จุดโฟกัส F1 ( 2k, 2k) F2 F2 (− 2k, − 2k) ไฮเพอร์โบลามุมฉาก xy = −k k > 0 จุดศูนย์กลาง C (0, 0) F1 V1 จุดยอด V1 (− k, k) C (0,0) V2 ( k, − k) V2 จุดโฟกัส F1 (− 2k, 2k) F2 F2 ( 2k, − 2k) แบบฝึกหัด 4.7(87) จงหาสมการรูปทั่วไปของไฮเพอร์โบลา ที่มีลักษณะดังแต่ละข้อต่อไปนี้ (87.1) จุดศูนย์กลางอยู่ที่ (−3, 1) มีจุดยอดที่ (2, 1) และแกนสังยุคยาว 6 หน่วย (87.2) จุดโฟกัสอยู่ที่ (−1, −6) และ (−1, 4) โดยแกนตามขวางยาว 6 หน่วย (87.3) จุดโฟกัสอยู่ที่ (0, 4) และ (0, −4) และมีจุดปลายแกนสังยุคเป็น (3, 0)(88) ให้หาส่วนประกอบต่างๆ ทั้งหมดของไฮเพอร์โบลา (88.1) 9x 2− 4y 2= 36 (88.2) 9x 2− 16y 2− 18x − 64y − 199 = 0 (88.3) 6x 2− y 2− 36x − 2y + 59 = 0 (88.4) 6x 2− 10y 2− 12x − 40y − 94 = 0(89) ให้หาสมการแสดงทางเดินของจุด P (x, y) ซึ่งผลต่างของระยะทางจาก P (x, y) ไปยังจุด(3, 0) กับ (−3, 0) เป็น 4 หน่วย Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 105 เรขาคณิตวิเคราะห(90) [Ent’32] ให้หาสมการกราฟที่ทําให้ผลคูณระยะทางจาก P (x, y) ใดๆ ในกราฟ ไปยังเส้นตรง4x − 3y = − 11 และ 4x + 3y = −5 เป็น 144/25(91) ให้หาส่วนประกอบของกราฟรูปต่อไปนี้ (91.1) จุดยอด และจุดโฟกัสของ xy = −4 (91.2) จุดศูนย์กลางของ xy + 2x − y = 3(92) [Ent’32,36] ถ้าภาคตัดกรวยรูปหนึ่งมีสมการเป็น 9x 2− 18x = 16y 2+ 64y + 199 แล้ว ผลรวมของระยะทางจากจุดโฟกัสทั้งสองไปถึงเส้นตรง 3x + 4y = 8 เป็นเท่าใด(93) [Ent’34] ถ้า F1 เป็นจุดโฟกัสของไฮเพอร์โบลา 6x 2− 10y 2− 12x − 40y − 94 = 0 และอยู่ในควอดรันต์ที่ 4 แล้ว ให้หาสมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ F1 และมีไดเรกตริกซ์เป็นแกนสังยุคของไฮเพอร์โบลา(94) [Ent’39] กําหนดไฮเพอร์โบลา 9(x −1)2− 4 (y −2)2= 36 ให้หาสมการวงรีซึ่ง ผลบวกของระยะทางจากจุดใดๆ บนวงรี ไปยังจุดที่ไฮเพอร์โบลาตัดแกน x ทั้งสองจุด เป็น 8 หน่วย(95) [Ent’37] กําหนด E แทนวงรี 6x 2+ 5y 2+ 12x − 20y − 4 = 0 จงหาสมการไฮเพอร์โบลาที่มีจุดศูนย์กลางร่วมกับ E, มีจุดยอดอยู่ที่เดียวกับจุดโฟกัสของ E, และมีความยาวแกนสังยุคเท่ากับความยาวแกนโทของ E พอดี(96) ให้สังเกตว่ากราฟของสมการแต่ละข้อเป็นภาคตัดกรวยรูปใด โดยไม่ต้องคํานวณ (96.1) x 2+ y 2− 6x − 8y + 12 = 0 (96.6) 3x 2+ 3y 2− 9x − 6y + 20 = 0 (96.2) x 2+ 2y 2− 2x + 4y − 13 = 0 (96.7) 3x 2− 3y 2− 9x − 6y + 20 = 0 (96.3) x 2+ 2x − y + 3 = 0 (96.8) 3x 2− 2 = − y 2+ 4y (96.4) x 2− y 2− 2x − 2 = 0 (96.9) 3x 2− 2 = y 2+ 4y (96.5) x 2− y 2= 4 (96.10) 3x 2− 2 = 4y เฉลยแบบฝึกหัด (คําตอบ) (26) ... (27) 2x + 3y = 6 (46) −11/12 + 41/12 = 2.5(1) 61 (2) 2 (28) 1/48 (29) y = 4 x − 16 (47) 40/ 58(3) 5 (4) หน้าจั่ว(5) 2 × (9 2 + 34) (30) 5 (31) 2x + 3y + 1 = 0 (48) −88 + 16 = −72 (32) (0, −20/9) (33) (−7/3, 0) (49) (2, −11/4) , (8, 1/4)(6) 3 10 (7) ถูกทุกข้อ(8) (29/4 , 0) (9) (4, 3) (34) y = x + 3/5 (35) 10 (50) 45° (51) 75° (52) 3(10) 41 + 26 + 17 (36) (−2, 3) , Q2 (37) 16/3 (53) x − 7y − 7 = 0 หรือ(11) –3 (12) 10 (38) ถูกทั้งสองข้อ 7x + y − 5 = 0(13) 72, (5, 4) (14) 15 (39) y = (11/2) x + 1 , (54) y = 3x + 6(15) ผิดทั้งสองข้อ (16) 31 a = −2/11 , b = 1 (55) 4x − 3y + 20 = 0 ,(17) 3 (18) 2 (40) x + 2y − 7 = 0 3x + 4y + C = 0(19) (−4, 6),(8, −3) (41) −1/2, (6, 0) หรือ 4, (−3, 0)(20) ขนาน (21) (2, 3) (56) (−1/2, −1/2) (42) 7.5 (43) 19.5 (57) (4, 2)(22) –30 (23) –2 (44) 13/2 (45) 0, 5(24) –8/5 (25) 10 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 106 เรขาคณิตวิเคราะห(58.1) (4, −3) (58.2) (−1, −2) (58.3) (−1, 2) (79.4) 25x 2+ 16y 2+ 100x − 32y − 284 = 0(59.1) x 2+ y 2− 6x − 8y + 12 = 0 (79.5) 25x 2+ 21y 2− 100x − 42y − 404 = 0(59.2) x 2+ y 2− 3x − 3y + 4 = 0 (80.1) C (0, 0) , V (±3, 0) , F (± 5, 0) ,(59.3) x 2+ y 2− 4x + 2y = 0 B (0, ±2)(59.4) x 2+ y 2+ 4x − 6y − 3 = 0 (80.2) C (3, 5) , V (3, 5±6) , F (3, 5± 4) ,(59.5) x 2+ y 2− 3x + 3y − 8 = 0 B (3± 20, 5)(60) 3 (61.1) x + y = 4 (80.3) C (1, 0) , V (1± 3, 0) , F (1±2, 0) ,(61.2) 4x − y = ± 17 B (1, ± 5)(61.3) 4x + 3y = 20 , 12x − 5y = −52 (81.1) 5x 2+ 9y 2= 180(62.1) (x −2)2+ (y −2)2= 4 (81.2) 25x 2+ 16y 2− 100x − 128y − 44 = 0(62.2) (x −2)2+ (y −2)2= 1 , (x + 1)2+ (y + 1)2= 1 (82.1) วงรี (82.2) 16x 2+ 25y 2= 400(62.3) (x + 1)2+ (y −2)2= 13 (63) k < 25 (83) 4x − 3y = 36 (84) 2 2(64) 4 3 (65) y = 2x , (x + 1)2+ (y +2)2= 5 (85) 9/4 (86) 80(66) 9 (67) 12x 2− 4y 2= 3 (87.1) 9x 2− 25y 2+ 54x + 50y − 169 = 0(68.1) y 2− 28x − 6y − 47 = 0 (87.2) 9x 2− 16y 2+ 18x − 32y + 137 = 0(68.2) y 2+ 12x = 0 (68.3) y 2+ 9x = 0 (87.3) 7x 2− 9y 2+ 63 = 0(68.4) x 2− 4x − 40y − 116 = 0 (88.1) C (0, 0) , V (±2, 0) , F (± 13, 0) , B (0, ±3)(68.5) x 2− 10x − 2y + 21 = 0 (88.2) C (1, −2) , V (1± 4, −2) , F (1±5, −2) ,(68.6) y 2− 8x − 4y + 4 = 0 B (1, −2± 3)(68.7) 2y 2− x − 12y + 19 = 0 (88.3) C (3, −1 , V (3, −1± 6) , )(68.8) x 2+ 2x − y + 3 = 0 F (3, −1± 7) , B (3 ± 1, −1)(69) 1465/8 (70.1) (0, 3) , y + 3 = 0 , 12 (88.4) C (1, −2) , V (1± 10, −2) ,(70.2) V (−3, 5) , F (−6, 5) , เลตัสเรกตัมยาว F (1± 4, −2) , B (1, −2± 6)12, ไดเรกตริกซ์คือแกน y(70.3) (7, 2) (70.4) (± 2, 0) (89) 5x 2− 4y 2= 20(71.1) x 2+ 4x − 24y − 44 = 0 (90) 16x 2− 9y 2+ 64x + 18y + 55 = ± 144(71.2) y 2− 4x − 2y + 9 = 0 (91.1) V (±2, ∓2) , F (±2 2, ∓2 2)(72) 12 (73) 6 5 (74) 4x − 3y + 14 = 0 (91.2) (1, −2) (92) 6(75) x 2− 6x + 12y − 15 = 0 (93) y 2− 16x + 4y + 84 = 0(76) y 2+ 3x = 0 (77) 145/16 (94) 23x 2+ 36y 2− 46x = 345(78) 2/3 หน่วย (95) x 2− 5y 2+ 2x + 20y − 14 = 0(79.1) 16x 2+ 9y 2− 96x + 18y + 9 = 0 (96.1) วงกลม (96.2) วงรี(79.2) 64x 2+ 39y 2= 2496 (96.3) พาราโบลา (96.4) ไฮเพอร์โบลา (96.5) ไฮเพอร์โบลา (96.6) วงกลม(79.3) 4x 2+ 9y 2− 16x + 18y − 11 = 0 (96.7) ไฮเพอร์โบลา (96.8) วงรี (96.9) ไฮเพอร์โบลา (96.10) พาราโบลา Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 107 เรขาคณิตวิเคราะห เฉลยแบบฝึกหัด (วิธีคด) ิ(1) |PP2 | = (1 + 5)2 + (7 − 2)2 = 62 + 52 = 61 1 ข. |DE| = 42 + 82 = 80 = 4 5 2+6 7 −3 −2 + 8 5 + 1 |EF| = 72 + 142 = 245 = 7 5(2) P( , ) = (4, 2) Q( , ) 2 2 2 2 |DF| = 32 + 62 = 45 = 3 5= (3, 3) ∴|PQ| = 12 + 12 = 2 พบว่า |DE| + |DF| = |EF| แสดงว่า(3) |OD| = 22 + 42 = 20 ดังนัน ้ D, E, F อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ... ถูกต้อง 20|PC| = = 5 หน่วย ∴|PQ| = 5 ด้วย (จุด E กับ F เป็นจุดปลาย) 2และเนืองจาก DC อยู่ที่ความสูง y = 4 ่ ค. |AB| = 42 + 22 = 20 = 2 5ดังนัน PQ อยูที่ y = 2 ้ ่ |BC| = 42 + 22 = 2 5,| AC| = 82 + 42 = 4 5ความสูงของ Δ จาก C มายัง PQ คือ 2 หน่วย พบว่า |AB| + |BC| = |AC| แสดงว่าจะได้ พื้นที่ Δ = 1 × 2 × 5 = 5 ตร.หน่วย A, B, C อยู่บนเส้นตรงเดียวกัน ... ถูกต้อง 2 (8) สมมติจด P มีพิกัด (x, 0) ก็จะได้วา ุ ่(4) |AB| = 112 + 42 = 137 , |BC| = 2 2 2 2 (x − 1 + 2 = (x − 3) + 5 กระจายได้ ) 72 + 72 = 98 ,|AC| = 42 + 112 = 137 x2 − 2x + 1 + 4 = x2 − 6x + 9 + 25→ |AB| = |AC| แสดงว่าเป็น Δ หน้าจั่ว นั่นคือ 4x = 29 → x = 29 ∴ P(29 , 0)(5) เส้นรอบรูป Δ ABC จะยาวเป็น 2 เท่าของเส้น 4 4รอบรูป Δ PQR เสมอ A (9) สมมติจดศูนย์กลางมีพิกด (x, y) ุ ัเพราะ |AB| = 2|PQ|, R ดังนัน (x − 1) + (y − 7) = (x − 8)2 + (y − 6)2 ้ 2 2|BC| = 2|QR| Q = (x − 7)2 + (y + 1 2 (เท่ากันทั้งสามก้อน) )และ |AC| = 2|PR| B นํามาเขียนสมการเป็น 2 คู่ เพื่อหา x, y เช่น 2 2 2 2 C P x −2x + 1+ y − 14y + 49 = x − 16x +64 + y − 12y + 36หาค่า |PQ| = 72 + 12 = 50 = 5 2 , คือ 7x − y = 25 ..... (1) และอีกสมการ 2 2 2 2 x −2x + 1+ y − 14y + 49 = x − 14x + 49 + y + 2y + 1|QR| = 32 + 52 = 34 และ คือ 3x − 4y = 0 ..... (2)|PR| = 42 + 42 = 32 = 4 2 จะได้ x = 4, y = 3 ดังนัน ตอบ (4, 3) ้ดังนันเส้นรอบรูป Δ ABC = 2 × (9 2 + ้ 34) (10) A ไปยังจุดกึ่งกลางของ BC(6) P(3(2) + 1(6) , 3(8) + 1(12)) = (3, 9) (คือ (4 − 2 , 3 + 5) = (1, 4)) → 12 + 52 = 26 4 4 2 2 1 + 3(−2) 1 (6) (12) + 3(−4) B ไปยังจุดกึงกลางของ AC ่Q( , ) = (0, 0) 4 4 (คือ (0, 2)) → 42 + 12 = 17∴| PQ | = 32 + 92 = 90 = 3 10 C ไปยังจุดกึ่งกลางของ AB(7) ก. |AB| = 72 + 32 = 58 (คือ (3, 1)) → 52 + 42 = 41 2 2 2 2|BC | = 3 +7 = 58 , | AC | = 4 + 10 = 116 รวม 26 + 17 + 41พบว่า 2 |AB| + |BC| = |AC| 2 แสดงว่า 2 (11) จุดตัดของเส้นมัธยฐาน 4−4+4 5+7+1 4 13 Δ ABC เป็นสามเหลี่ยมมุมฉาก ... ถูกต้อง (m, n) = ( , )=( , ) 3 3 3 3(มุม B เป็นมุมฉาก) 9 จะได้ m − n = − = −3 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 108 เรขาคณิตวิเคราะห BC(12) จุดกึ่งกลางของ คือ (16) ลําดับที่เขียน ต้องเรียงทวนเข็มนาฬิกา 6−4 7−3 เช่น A, E, D, B, C, A ED( , ) = (1, 2) 2 2 1 4 Dวิธีคด1 หาจุด ิ A(x, y) โดย −2 7 A 1 −4 5 x +6−4 y + 7 −3 4 พื้นที่ = ⋅ −3 −2( , ) = ( ,1 → ) 2 3 3 3 −1 −3 1 4 B(x, y) = (2, −1)ดังนั้น เส้นมัธยฐาน จาก A(2, −1) C 1 = (8 + 28 + 15 − 2 + 3 + 7 − 10 + 8 + 9 − 4)ไปยัง D(1, 2) มีขนาด 12 + 32 = 10 ... ตอบ 2วิธีคด2 หาระยะจาก P(4 , 1) ไปยัง D(1, 2) ได้เป็น ิ = 31 ตร.หน่วย 3 k −2 4−2 (17) mAB = mAC → = ∴k = 3 1 10 2−1 3−1 ( )2 + 12 = และใช้สมบัติว่า เส้นมัธยฐาน 3 3 (18) วิธีคดเหมือนข้อที่แล้ว ิ|AD| = 3 เท่าของ |PD| → ∴ ตอบ 10 y −6 −2 − 6 คือ = ดังนั้น y = 2(13) P(0, 0) , Q(3, 12) , R(12, 0) 1+2 4+2 1 (19) จากภาพ Aพื้นที่ = × สูง × ฐาน 2 จะได้ A (−4, 6) 3 1 Q (3,12) = × 12 × 12 และ B (8, −3) 4 3 2 = 72 ตร.หน่วย P R (12,0) 4 3จุดตัดของเส้นมัธยฐาน B 0 + 3 + 12 0 + 12 + 0 4( , ) = (5, 4) 3 3 5−2 8−4 (20) mAB = = 1, mCD = = 1(14) พล็อตจุดคร่าวๆ เพื่อหาลําดับ 4−1 2+2 A ∴ mAB = mCD → ขนานกันของจุดบนเส้นรอบรูปได้ดังภาพ B 1 3 (21) สมมติ D(x, y) จะได้ว่า mAB = mCD 1 −2 0พื้นที่ ΔABC = ⋅ 3 −5 1+ 4 y+2 2 C → = → 5x − y = 7 ..... (1) 1 3 −4 + 5 x−1 1 y −1 −2 + 4= (6 + 5 + 10 + 9) = 15 ตร.หน่วย และ mAD = mBC → = 2 x +4 1+5ส่วน PQR ไม่เป็น Δ เพราะอยู่บนเส้นตรงเดียวกัน → 3y − x = 7 ..... (2)ดังนัน พื้นที่ = 0 ∴ ตอบ 15 ตร.หน่วย ้ แก้ระบบสมการได้ D(x, y) = (2, 3)(15) ก. |PQ| = 52 + 52 = 5 2 (22) ความชัน (3, 2), (1, −4) คือ −4 − 2 = 3 2 2 2 2 1− 3|QR| = 2 + 1 = 5, |PR| = 3 + 6 = 3 5 1 ∴ ความชัน (k, 7), (−3, −2) คือ −จะได้ความยาวรอบรูป = 4 5 +5 2 หน่วย 3 3 −2 1 7+2 ดังนัน ้ − = → k = −30 1 0 4 R 3 k +3ข. พืนที่ ้ = ⋅ Q 2 −2 3 6−5 1 3 −2 (23) mAB = = ∴ mCD = −2 3−1 2 1 4+m= (8 − 9 + 12 + 4) = 7.5 ตร.หน่วย P จะได้ −2 = → m = −2 2 m+1ดังนัน ก. ผิด และ ข. ผิด ้ (24) ความชันของรัศมีทผ่าน (5, 6) กับ (−3, 1) คือ ี่ 6−1 5 = ... และเนืองจากเส้นสัมผัสจะตั้งฉากกับ ่ 5+3 8 8 รัศมีเสมอ จึงได้ว่า mL = − 5 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 109 เรขาคณิตวิเคราะห 1 4 3(25) mAB = − , mAC = − , mBC = 7 แสดง (32) ความชันของ 3x − 4y + 5 = 0 คือ → 7 3 4ว่า AB ⊥ BC ดังรูป B 4 ความชันของอีกเส้น คือ −และเนืองจาก ่ 3 A 5วงกลมที่ลอมรอบ Δ มุมฉาก ้ ผ่านจุดตัดแกน x คือ (− , 0) → 3จะทําให้ ด้านตรงข้ามมุมฉาก Cเป็นเส้นผ่านศูนย์กลาง เสมอ สร้างสมการ y = − (x + 5) 4 3 3∴ ความยาวเส้นผ่านศูนย์กลาง = |AC| จะหาจุดตัดแกน y ของเส้นนี้ได้เป็น = 62 + 82 = 10 หน่วย 4 5 20 (0, − ⋅ ) = (0, − ) 3 7 5 3 3 9(26) ก. mAB = , mBC = − , mAC = (33) ความชันของ 2x + 3y + 5 = 0 คือ 7 3 2→ AB ⊥ BC 2 3 − → mL = 3 2ข. mDE = −2, mEF = −2 → DE // EF 3 สมการ L คือ y −5 = (x − 1 → )ค. mAB = 1 , mBC = 1 → AB // BC 2 2 2 7 จุดตัดแกน x (แทน y ด้วย 0) คือ (− , 0)ดังนัน ถูกทุกข้อ ้ 3(27) x-intercept = 3 , y-intercept = 2 → (34) mM = 1 → mL = 1,x y 3 + = 1 → 2x + 3y − 6 = 0 ระยะตัดแกน y ของ N (แทน x = 0) คือ3 2 5 3+5 8 3(28) สร้างสมการของ L ก่อน → mL = = ∴ L มีความชัน 1 และผ่านจุด (0, ) 1+2 3 5 8 3 3→y − 3 = (x − 1) → 8x − 3y + 1 = 0 → y− = 1x → y = x + 3 5 5จากนั้น หาระยะตัดแกน x และ y (โดยแทน (35) L1 ; y = (2 − 0)(x + 2) → y = 1 x + 1 2+2 2 y = 0 และแทน x = 0 ตามลําดับ) L2 ; mL2 = −2 → y = −2(x + 2) = −2x − 4ได้เป็น − 1 และ 1 L x y 8 3 L3 ; + = 1 → y = 3x − 4 1/3 (4 / 3) −4แสดงว่า 1/8 จะได้ จุดตัด L1, L2 คือ (−2, 0) 1 1 1 1 จุดตัด L2 , L3 คือ (0, −4) L1พื้นที่ Δ = × × = ตร.หน่วย 2 8 3 48 จุดตัด L3 , L1 คือ (2, 2)(29) จุดตัดแกน x คือ (4, 0) 2 2 L3 L2 8−0 1 −2 0→ mL = = 4 ∴ พืนที่ ้ = ⋅ 0 −4 6−4 2 2 2สมการคือ y = 4(x − 4) → y = 4x − 16 1 = (4 + 8 + 8) = 10 ตร.หน่วย(30) สร้างสมการเส้นทแยงมุม AC กับ BD 2 2+6AC ; y − 2 = ( 1+ 3 )(x − 1 → y = 2x ) (36) mL1 = 2 = mL2 → 3 −1 + 5 2 2 13BD ; y + 1 = ( )(x + 2) → y = −x − 3 L2 : y − 3 = (x + 2) → y = x + ..... (1) −2 − 2 3 3 3จุดตัดของเส้นทั้งสอง คือ P(−1, −2) 3 3 2 mL3 = − → L3 : y + 1 = − (x − ) 2 2 3ตอบ 12 + 22 = 5 3(31) m = − A = − 2 , จุดตัดของ x +y = 1 → y = − x ..... (2) 2 B 3 สมการเส้นตรงทังสองตัดกันทีจุด ้ ่ (−2, 3) → Q2และ 2x + y = 5 คือ (4, −3)ดังนัน สมการทีต้องการคือ ้ ่ 2y+3 = − (x − 4) → 2x + 3y + 1 = 0 3 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 110 เรขาคณิตวิเคราะห(37) หาจุด A(3, k) → 4 = 32 + k2 x y (41) + = 1 → ผ่านจุด (−2, 4) a 9−a→ k = 7 (Quadrant 1 ) ∴ A(3, 7) −2 4 จะได้ + = 1 → a2 − 3a − 18 = 0จากนั้น mOA = 7 → mL = − 3 → a 9−a 3 7 → ได้ a = 6, −3 3L:y− 7 = − (x − 3) ถ้า a = 6 → b = 3 → สมการคือ 7 x y 1 16 + = 1→ y = − x+3→ 7y = − 3x + 16 → ระยะตัดแกน x = 6 3 2 3 2+1 ถ้า a = −3 → b = 12 → สมการคือ(38) L ⊥ AB → mAB = = −1 −1 − 2 x y − + = 1 → y = 4x + 12→ mL = 1 → L : y + 1 = 1 − 2) → (x 3 12∴y=x−3 ตอบ ความชัน − 1 ตัดแกน x ที่ (6, 0) 3 2ระยะตัดแกน x =3 หรือ ความชัน 4 ตัดแกน x ที่ (−3, 0)ระยะตัดแกน y =−3 3 3 2 (42) L : y = 0.5(x + 3) → จุด A คือ (0, 1.5) → mL = 0.5 ∴ mAB = −2ก. ความยาวรอบรูป Δ = 3 + 3 + 3 2 = 6 + 3 2 AB : y − 1.5 = −2(x) → y = −2x + 1.5... ถูก เส้นตรงขนานแกน y ผ่านจุด B 1ข. พืนที่ Δ = × 3 × 3 = 4.5 ตร.หน่วย ... ถูก ตัดแกน x ที่ (−3, 0) ้ B(-3,y) 2 L แสดงว่าจุด B เป็น (−3, y)(39) |AB| = 62 + 32 = 45, C(-3,0) A ดังภาพ 2 2 2 2|BC | = 2 + 11 = 125, | AC | = 4 +8 = 80จุดกึงกลางของด้านที่สน คือ กึ่งกลาง ่ ั้ AB → หาจุด B จากสมการ AB ได้ เป็น −2 + 4 5 + 8 13 B(−3, 7.5) → ∴|BC| = 7.5 ( , ) = (1, ) 2 2 2 (43) หาพิกดจุด B โดยสร้างสมการ ั AB และ −2 + 2 5 − 3และกึ่งกลาง AC → ( , ) = (0, 1) BC นํามาแก้หาจุดตัด.. 2 2 3 3 19 AB : y − 5 = (x + 3) → y = x +ดังนันสมการเส้นตรง คือ y − 1 = (13/2 − 1)(x) ้ 2 2 2 1−0 2 2 4 11 BC : y + 4 = − (x − 4) → y = − x −→ y = x+1 3 3 3 2 หาจุดตัด (จุด B ) ได้เป็น (−5, 2)ตอบ ระยะตัดแกน x = − 2 , แกน y = 1 1 11 ∴ พืนที่ Δ = × | AB| × |BC| ้ x y 2(40) + = 1 → ผ่านจุด (1, 3) 1 1 2b b = × 2 + 32 × 92 + 62 = × 2 13 × 3 13 2 2จะได้ 1 + 3 = 1 → b = 7 ∴ a = 7 = 19.5 ตร.หน่วย 2b b 2สมการเส้นตรงนี้ คือ หมายเหตุ หาพิกัดจุด B โดยความชันก็ได้x y 3 y −5 3 + = 1→ x + 2y − 7 = 0 mAB = → =7 (7 / 2) 2 x+3 2 2 y+4 2 mBC = − → = − 3 x−4 3 ซึ่งรูปสมการก็เหมือนกับการสร้างเส้นตรงอยูนั่นเอง.. ่ (44) 2x − 3y = 6 คือ 4x − 6y − 12 = 0 → | −12 − (−25) | 13 13 ระยะห่าง = = = 2 4 +6 2 42 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 111 เรขาคณิตวิเคราะห(45) สมมติเส้นตรงที่ตองการ ้ 3x − 4y + K = 0 2−1 1 (51) mL1 = 3 −0 = 3 L1 | −5 − K |จะได้ 1= → ± 5 = −5 − K แสดงว่า L1 ทํามุม 60° กับแนวนอน 32 + 42 60°ดังนัน → K = 0 หรือ −10 ้ ในลักษณะดังภาพ 3−4คําตอบคือ 3x − 4y = 0 หรือ 3x − 4y − 10 = 0 mL2 = = −1 L2 2−1แต่โจทย์ให้ Ax + 2y + C = 0 แสดงว่า L1 ทํามุม 45° กับแนวนอน 45°จึงต้องนํา -1/2 คูณสมการให้กลายเป็น ในลักษณะดังภาพ 3 3− x + 2y = 0 กับ − x + 2y + 5 = 0 ดังนัน เส้นตรงทังสอง ้ ้ L2 L1 2 2 ทํามุมกัน 75° ดังภาพ 75° 45° 60°ดังนันตอบ C = 0 หรือ 5 ้(46) L อยูตรงกลางระหว่าง L1, L2 พอดี แสดงว่า (52) L1; y = ่ 3(x − 1 → mL1 = ) 3ห่างด้านละ 2 หน่วย → หาสมการ L1, L2 โดย → tan 30° = mL1 − mL2 1 + mL1mL2 | −15 − C |2 = → −15 − C = ±26 122 + 52 1 3 − mL2 1 จะได้ = → mL2 = 3 1 + 3mL2 3ดังนัน ้ C = 11 หรือ −41 ... สมการ L1, L2 คือ 112x − 5y + 11 = 0, 12x − 5y − 41 = 0 → L2 : y = x (ผ่านจุดกําเนิด) 3 11มีส่วนตัดแกน x (ระยะตัดแกน x ) = − และ ดังนันหาจุด ้ C (จุดตัดของ L1, L2 ) 1241 −11 + 41 3 3 → ตอบ = 2.5 ได้เป็น ( , )12 12 2 2(47) สมการ BC : y − 4 = (−3 − 4)(x − 5) → |CO| = 3 3 ( )2 + ( )2 = 3 2−5 2 2→ 7x − 3y − 23 = 0 | 3x + 4y + 1 | | 4x − 3y − 6 |ระยะจาก A มาตังฉาก BC ้ หาจาก (53) = 5 5| 7(−2) − 3(1 − 23 | ) 40 → 3x + 4y + 1 = ± (4x − 3y − 6) = หน่วย 72 + 32 58 ดังนันตอบ x − 7y − 7 = 0 และ ้ 7x + y − 5 = 0 | 5(−3) − 12(2) + 3 − k | (54) A(−2, 0), B(0, 6) →(48) 4 = 52 + 122 6→ ± 52 = −36 − k → k = 16, −88 AB : y = ( )(x + 2) → y = 3x + 6 2ดังนันตอบ −72 ้ 1−5 0 +8 (55) P( , ) = (−2, 4), Q(1, 8) →(49) ให้จดทีต้องการคือ ุ ่ (x, y) → 2 2 4 2x − 15 PQ : y − 4 = ( )(x + 2) → 4x − 3y + 20 = 02x − 4y = 15 → y = แทนค่าในสมการ 3 4ระยะทางจากจุดไปยังเส้นตรง เส้นตรงตั้งฉากกับ PQ จะต้องมีความชัน − 3/ 4 | 3x + 4( 2x − 15 ) − 10 | แต่โจทย์ไม่บอกว่าผ่านจุดอะไร จึงตอบติดค่า C ไว้→ 3 = 4 ดังนี้ 3x + 4y + C = 0 32 + 42 (56) mL = 1 → สร้างสมการเส้นตรงตั้งฉากกับ→ ± 15 = 5x − 25 ..จะได้ x = 2 หรือ 8 L และผ่านจุด (−2, 1 ได้เป็น )ถ้า x = 2 → y = −11 / 4 y − 1 = −1(x + 2) → y = − x − 1ถ้า x = 8 → y = 1 / 4 1 1 พบว่าตัดกับ L (ตั้งฉาก) ที่จด ุ (− ,− ) 2 2ดังนันตอบว่า (2, − 11) และ ้ 1 (8, ) 4 4 ดังนัน โพรเจคชันของ (-2,1) บน L คือ (− 1 , − 1) ้ 5 − (2/ 3) 2 2(50) tan θ = = 1 → ∴ θ = 45° 1 + 5 (2/ 3) [หมายเหตุ เนืองจากเป็นเส้นตรง y=x จึงสามารถใช้ ่ สูตรลัดได้ดวยว่า (−2 + 1 , −2 + 1) = (− 1 , − 1) ] ้ 2 2 2 2 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 112 เรขาคณิตวิเคราะห(57) วิธีคดเช่นเดียวกับข้อทีแล้ว ิ ่ (59.4) รู้จดผ่าน 3 จุด ต้องแก้ระบบสมการ ุ 3 4mL = → สร้างเส้นตั้งฉากและผ่าน (0, 7) ได้เป็น สมการ 2เพื่อหา D, E, F ดังนี้ 5 2 x + y + Dx + Ey + F = 0 5y−7 = − x (−6)2 + (3)2 + D(−6) + E(3) + F = 0 ..... (1) 4พบว่า ตัดกับ L ทีจุด ่ (4, 2) ... ดังนันตอบ ้ (4, 2) (2)2 + (3)2 + D(2) + E(3) + F = 0 ..... (2)(58.1) (h, k) = (4, −3) (−2)2 + (7)2 + D(−2) + E(7) + F = 0 ..... (3)(58.2) y + 2 = |x + 1| → (h, k) = (−1, −2) แก้ระบบสมการได้ D = 4, E = −6, F = −3(58.3) (x2 + 2x +1 + (y2 − 4y +4) = 9 − 5 +1 +4 ) ดังนันตอบ x2 + y2 + 4x − 6y − 3 = 0 ้→ (x + 1 2 + (y − 2)2 = 1 ) → (h, k) = (−1, 2) (59.5) หาจุดตัดของวงกลมทั้งสองก่อน(59.1) (h, k) = (3, 4) โดยนําสมการลบกันเป็น 5x = 5y → y = xr = (3 − 1 2 + (4 − 1 2 = ) ) 13 แทนค่าเข้าไปอีกครั้งในสมการใดสมการหนึ่ง ได้เป็น x = 2 → y = 2ดังนัน สมการวงกลมคือ ้ 2 หรือ x = −2 → y = −2→ (x − 3)2 + (y − 4)2 = 13 ∴ จุดตัดมีสองจุด คือ (2, 2), (−2, −2)กระจายได้ x2 − 6x + 9 + y2 − 8y + 16 − 13 = 0 2 2 ต่อมา หาสมการวงกลมที่ผานจุด ่→ x + y − 6x − 4y + 12 = 0 (1, −5), (2, 2), (−2, −2) โดยคิดวิธีเดียวกับข้อทีแล้ว ่(59.2) (h, k) = (1 + 2 , 1 + 2) = (1.5, 1.5) ( x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 ) 2 2 (2 − 1 2 + (2 − 1 2 ) ) 2 แก้ 3 สมการได้ D = −3, E = 3, F = −8r = = 2 2 ดังนันตอบ x2 + y2 − 3x + 3y − 8 = 0 ้ 22 (60) 3x2 + 3y2 + 11x + 15y = −9 →→ (x − 1.5)2 + (y − 1.5)2 = ( ) 2 11 x2 + y2 + x + 5y + 3 = 0→ x2 − 3x + 2.25 + y2 − 3y + 2.25 = 0.5 3→ x2 + y2 − 3x − 3y + 4 = 0 จะได้วาเส้นสัมผัสจากจุด ่ (0, 1) มีความยาว(59.3) หาจุดศูนย์กลาง C(h, k) → ห่างจากจุด = 11 (0)2 + (1 2 + ) (0) + 5(1 + 3 = 9 = 3 หน่วย )กําเนิด (0, 0) และ (1, 1) เป็นระยะเท่ากัน 3 (h − 1 2 + (k − 1 2 = ) ) h2 + k2 (61.1) mรัศมี = 2 − 0 = 1 → mเส้นสัมผัส = −1 2−0→ h2 − 2h + 1 + k2 − 2k + 1 = h2 + k2 → y − 2 = −1(x − 2) → x + y = 4→ h+k = 1 ..... (1) (61.2) r = 17, C(h, k) = (0, 0) →และ CO ตั้งฉากกับ y = 2x (m = 2) 1 k 1 สร้างสมการเส้นตรงผ่าน (0, 0) และ m = 4ดังนัน mCO ้ = − → = − ..... (2) จะได้ y = 4x จากนัน้ 2 h 2แก้ระบบสมการได้ (h, k) = (2, −1) ขยับเส้นตรงนีออกไปจากเดิม ้∴r = 2 2 +1 = 2 5 และสมการวงกลมคือ เป็นระยะ 17 หน่วย 2 จะได้วา ่(x − 2)2 + (y + 1 2 = ) 5 |C − 0| 17 = → C = 17, −17 →→ x2 − 4x + 4 + y2 + 2y + 1 = 5 42 + 12→ x2 + y2 − 4x + 2y = 0 ดังนันตอบ ้ y = 4x ± 17 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 113 เรขาคณิตวิเคราะห(61.3) วิธีแรก สมการเส้นตรงผ่าน (−1, 8) คือ ข. (h, k) ไปยังเส้นตรง y = x+ 2 เป็น 1 หน่วยy − 8 = m(x + 1 → y = mx + m + 8 ) |h − k + 2| → = 1 ..... (2)เส้นตรงเส้นนีสัมผัสวงกลม x2 + y2 = 16 แสดงว่า ้ 12 + 12ตัดวงกลมเพียงจุดเดียว นั่นคือ สมการ แก้ระบบสมการได้ (h, k) = (2, 2) หรือ (−1, −1) 2 2 x + (mx + m + 8) = 16 จะต้องมีคาตอบเดียว ํ จึงตอบว่า (x − 2)2 + (y − 2)2 = 12 หรือกระจายสมการได้เป็น (x + 1)2 + (y + 1 2 = 12 ) 2 2 2 2(m + 1 x + (2m + 16m) x + (m + 16m + 48) = 0 ) (62.3) ระยะทางจากจุด C(h,k) ไปยังเส้นตรงทัง ้ 2 4 12 สาม จะต้องเท่ากัน (เพราะเป็นรัศมีวงกลม) นันคือ ่นั่นคือ B − 4AC = 0 ได้ m = − หรือ 3 5 | 2h − 3k + 21 | | 3h − 2k − 6 | =ตอบ 4x + 3y = 20, 12x − 5y = −52 2 2 +3 2 32 + 22วิธีทสอง คิดโดยหาระยะทางจากจุด (−1, 8) ไป ี่ | 2h + 3k + 9 | = = rสัมผัสวงกลม x2 + y2 = 16 ก่อน ได้เป็น 32 + 22 (−1 2 + 82 − 16 = 7 หน่วย ) แก้ระบบสมการทีละคู่ ได้ (h, k) = (25, 2) หรือ (−1, 2) หรือ (−7.5, 34.5) หรือ (−7.5, −4.5)จากนั้นหาจุดสัมผัสบนวงกลมซึ่งอยู่หางจาก (−1, 8) ่เป็นระยะ 7 หน่วย → (x + 1) + (y − 8)2 = 7 2 แต่จากการวาดกราฟคร่าวๆ จะทราบว่า จุด (h, k) ที่→ (x + 1 2 + (y − 8)2 = 72 ) อยู่ภายใน Δ นี้จริงๆ คือ (−1, 2) เท่านั้น 2 2(เป็นสมการวงกลมรัศมี 7 จากจุด (−1, 8) นันเอง) จะได้ r = 13 → (x + 1) + (y − 2) = 13 ่ 2 2→ นําไปตัดกับ x2 + y2 = 16 แก้ระบบสมการได้ (63) จาก (x − 6x) + (y + 8y) = −k → 2 2 48 20 16 12 (x − 6x + 9) + (y + 8y + 16) = −k + 9 + 16x=− → y= , x= → y= 13 13 5 5 → (x − 3)2 + (y + 4)2 = 25 − k 48 20 16 12 จะเป็นสมการวงกลมเมื่อ 25 − k > 0 → k < 25∴ จุดสัมผัส คือ (− , ) กับ ( , ) 13 13 5 5จากนั้นสร้างสมการเส้นสัมผัสได้ (ระหว่าง 2 จุด) (64) คิดแบบเดียวกับข้อ 61.3 (วิธีแรก) 48 20 → y = kx สัมผัส x2 + y2 − 14x + 49 = k2(−1, 8) กับ (− , ) → ได้ 12x − 5y = − 52 13 13 แสดงว่า ตัดกราฟแค่จุดเดียว (ระบบสมการมีคาตอบ ํ 16 12 เดียว) → แก้ระบบสมการได้(−1, 8) กับ ( , )→ ได้ 4x + 3y = 20 5 5 x2 + (kx)2 − 14x + 49 − k2 = 0(62.1) หาพิกดของจุดศูนย์กลาง (h, k) โดย ั → (k2 + 1 x2 − 14x + 49 − k2 = 0 )ก. ระยะทางจาก (h, k) ไปยัง ต้องการ B2 − 4AC = 0 จะได้วา ่(6, 2) เป็น 4 หน่วย 2 2 2 (h,k) 2 14 − 4(k + 1)(49 − k2) = 0→ (h − 6)2 + (k − 2)2 = 4 (6,2) 2 → k = 0, 4 3, − 4 3ข. ระยะทางจาก (h, k) ไปยัง 1 โจทย์ตองการ k > 0 เท่านั้น จึงตอบ 4 3 ้(2, −1 เป็น 3 หน่วย ) (2,-1) (65) x2 + 4x + 2 = −(y2 + 8y + 9) →→ (h − 2)2 + (k + 1 2 = 3 ) (x2 + 4x + 4) + (y2 + 8y + 16) = − 2 − 9 + 4 + 16 122 46 → (x + 2)2 + (y + 4)2 = 32แก้ระบบสมการได้ (h, k) = (2, 2) หรือ ( ,− ) 25 25 เป็นสมการวงกลม ซึ่งมีจดศูนย์กลางที่ ุ C(−2, −4)แต่ในที่นต้องการ (h, k) ใน Q1 จึงเป็น (2, 2) ี้ หาสมการเส้นตรง OC ได้เป็นเท่านั้น... และตอบว่า (x − 2)2 + (y − 2)2 = 22 −4 y = x → y = 2x(62.2) วงกลม x2 + y2 − 4x + 2y + 1 = 0 จัด −2รูปได้เป็น (x − 2)2 + (y + 1)2 = 22 หาสมการวงกลมที่มี OC เป็นเส้นผ่านศูนย์กลางดังนัน จุดศูนย์กลาง (h, k) ที่ตองหาในข้อนี้ ้ ้ −2 + 0 −4 + 0 → (h, k) = ( , ) = (−1, −2) 2 2จะมีสมการระยะทางเป็น r = 12 + 22 = 5 → (x + 1 2 + (y + 2)2 = 5 )ก. (h, k) ไปยัง (2, −1) เป็น 3 หน่วย(รัศมีวงกลม 2 วง รวมกัน 2 + 1 = 3 ) → (h − 2)2 + (k + 1 2 = 3 ..... (1) ) Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 114 เรขาคณิตวิเคราะห(66) x2 + y2 − 4x + 2y = 4 (68.5) แสดงว่าอ้อมแกน y จะได้มีจุดศูนย์กลางที่ (2, −1) (x − 5)2 = 4c(y + 2) แทนค่า (3, 0) เพือหาค่า c ่ดังนันสมการเส้นตรงคือ y + 1 = − 4 (x − 2) ้ 4 = 4c(2) → 4c = 2 3 ตอบ 2 (x − 5) = 2(y + 2)แก้ระบบสมการหาจุดตัดของเส้นตรงกับวงกลม 2 → x − 10x − 2y + 21 = 0ได้เป็น A(0.2, 1.4) และ B(3.8, −3.4) → 0.2 1.4 (68.6) Directrix : x = − 2, F(2, 2) แสดงว่าอ้อม 1 −1 −2 แกน x, หาจุดยอดได้เป็น (0, 2) [กึ่งกลางระหว่างพื้นที่ Δ ABD = ⋅ 3.8 −3.4 2 0.2 1.4 โฟกัสกับไดเรกตริกซ์] ดังนัน c = 2 ้ 2= 1 × (0.68 + 7.6 + 1.4 + 5.32 + 3.4 − 0.4) ตอบ (y − 2) = 4(2)(x) 2 → y2 − 8x − 4y + 4 = 0= 9 ตร.หน่วย 2 (68.7) อ้อมแกน x → y2 + Dx + Ey + F = 0 หา(67) (x − 1 = (1 − y)(1 + y) → ) ค่า D, E, F โดยแทนค่า (1, 3), (9, 1), และ (51, −2)(x − 1 2 = (1 − y2) → (x − 1 2 + y2 = 12 ) ) จะได้วา ่(เป็นรูปวงกลม) ... ให้หาสมการซึง (x, y) เป็นจุด ่ (3)2 + D(1 + E(3) + F = 0 ..... (1) )ศูนย์กลางวงกลมที่สัมผัสวงกลมนี้ และผ่าน (−1, 0) 2 (1 + D(9) + E(1) + F = 0 ..... (2) )แสดงว่าระยะทางจากจุด (x, y) ไปยัง (−1, 0) = r และ (−2)2 + D(51) + E(−2) + F = 0 ..... (3)และระยะทางจากจุด (x, y) ไปยัง (1, 0) = r + 1 แก้ระบบสมการได้ D = − 1 , E = −6, F = 19จะได้ (x + 1)2 + y2 + 1 = (x − 1)2 + y2 → 2 2 2 2 2 2x + 2x + 1 + y + 2 (x + 1) + y + 1 = x − 2x + 1 + y 2 2 ดังนัน ตอบ y2 − x − 6y + 19 = 0 ้ 1 2 2→ 2 (x + 1 2 + y2 = − 4x − 1 ) จากนันยกกําลังสอง ้ → 2y2 − x − 12y + 19 = 0 2 2→ 4(x + 1) + 4y = 16x + 8x + 1 2 (68.8) ลองพล็อตกราฟ (3,18) 2→ 12x − 4y = 3 2 เป็นสมการที่ตองการ ้ คร่าวๆ จะรู้วาเป็นพาราโบลา ่ อ้อมแกน y เท่านัน จึงตั้ง ้ (-2,3) (0,3)(68.1) แสดงว่า อ้อมแกน x และ c = 7→ (y − 3)2 = 4(7)(x + 2) สมการว่า x2 + Dx + Ey + F = 0 → แทนค่าจุดทั้งสามเพื่อแก้→ y2 − 28x − 6y − 47 = 0 ระบบสมการเช่นเดียวกับข้อที่แล้ว ได้คาตอบเป็น ํ(68.2) แสดงว่าอ้อมแกน x และ c = −3 D = 2, E = −1, F = 3 →(เพราะอัตราส่วนระยะโฟกัส ต่อความยาวเลตัสเรก ดังนัน ตอบ x2 + 2x − y + 3 = 0 ้ตัมต้องเป็น 1 : 4 เสมอ จึงไม่ใช่อ้อมแกน y)→ y2 = 4(−3)(x) → y2 + 12x = 0 (69) 2x2 + 3y = 0 → x2 = − 3 y 2(68.3) แกน x เป็นแกนสมมาตร แสดงว่าอ้อมแกน → x2 = 4(− 3)y เป็นพาราโบลาคว่ําx ... จะได้ y2 = 4cx 8แทนค่า (−4, −6) เพื่อหาค่า c มีจุดยอดที่ V(0, 0) จุดโฟกัสที่ (0, − 3) 8→ 36 = 4c(−4) → 4c = −9 3 1,465ตอบ y2 = −9x → y2 + 9x = 0 ตอบ 4 + (3 − )2 = 2 หน่วย 8 8(68.4) แกนสมมาตรตั้งฉากแกน x แสดงว่าอ้อม (70.1) x2 = 4(3)y → จุดยอด (0, 0) อ้อมแกน yแกน y ... จะได้ (x − 2)2 = 4c(y + 3) ตอบ จุดโฟกัส F(0, 3) , ความกว้างที่จดโฟกัส ุแทนค่า (8, −2.1) เพื่อหาค่า c = 4(3) = 12 หน่วย, สมการไดเรกตริกซ์36 = 4c(0.9) → 4c = 40 y=−3 → y+3=0 2ตอบ (x − 2) = 40(y + 3)→ x2 − 4x − 40y − 116 = 0 Math E-Book Release 2.2 (คณิต มงคลพิทักษสุข)
    • คณิตศาสตร O-NET / A-NET 115 เรขาคณิตวิเคราะห(70.2) y2 − 10y + 25 = − 12x − 61 + 25 (74) y2 − 4y + 4 = 4x + 8 + 4→ (y − 5)2 = 4(−3)(x + 3) → อ้อมแกน x → (y − 2)2 = 4(1)(x + 3) → อ้อมแกน x, จุดยอดตอบ จุดยอด V(−3, 5), จุดโฟกัส F(−6, 5), V(−3, 2) และจุดโฟกัส F(−2, 2) →ความกว้าง ณ โฟกัส = 12, สมการไดเรกตริกซ์ สมการเส้นตรงทีต้องการคือ ่ 6−2 x = − 3 + 3 = 0 (ก็คอแกน y) ื y −6 = ( )(x − 1) → 4x − 3y + 14 = 0 1+ 2(70.3) Directrix: x = 1 (75) (x2 − 6x + 9) + (y2 + 2y + 1 = 6 + 9 + 1 )จุดยอด (4, 2) แสดงว่า (4,2) → (x − 3)2 + (y + 1 2 = 16 → ) จุดศูนย์กลางคือเปิดขวา, c = 3 → C(3, −1 → ) หาพาราโบลาทีมี Directrix: y = 5, ่ดังนันจุด F(7, 2) ้ x=1 1 7 โฟกัส F(3, −1) → อ้อมแกน y(70.4) V(0, − ), F(0, ) แสดงว่า หงาย, จุดยอดคือ V(3, 2) → c = −3 → สมการที่ได้ 3 6 7 1 3 3 1 (x − 3)2 = 4(−3)(y − 2) →c = − (− ) = → x2 = 4( )(y + ) → 6 3 2 2 3 x2 − 6x + 12y − 15 = 0หาจุดตัดแกน x; แทน y ด้วย 0 จะได้ (76) แก้ระบบสมการหาจุดตัดได้เป็น (0, 0) กับ 2 3 1x = 4( )( ) = 2 → x = ± 2 (−3, −3) → หาพาราโบลาทีผ่าน 2 จุดนี้ และแกน ่ 2 3ดังนัน ตอบ ( 2, 0), (− 2, 0) ้ สมมาตรคือแกน x → แสดงว่า (0, 0) เป็นจุดยอด(71.1) พาราโบลา มี y = −4 เป็น Directrix, มี จะได้ (y)2 = 4c(x) → แทน (−3, −3) เพือหาค่า c ่ → 9 = 4c(−3) → 4c = −3F(−2, 8) → อ้อมแกน y → หาจุดยอดได้เป็น (จุดกึ่งกลางระหว่าง F กับ Directrix) V(−2, 2) ดังนัน ตอบ y2 = −3x → y2 + 3x = 0 ้ → c = 6 ดังนั้นได้สมการ (x + 2)2 = 4(6)(y − 2) (77) y2 − 4y + 4 = −8x + 20 + 4→ x2 + 4x − 24y − 44 = 0 → (y − 2)2 = 4(−2)(x − 3) → อ้อมแกน x,(71.2) เทคนิคการคิด คือ ขยับเส้นตรง x = −4 จุดยอด V(3, 2), จุดโฟกัส F(1, 2) → ไดเรกตริกซ์ไปทางขวาเข้าหาจุด F(3, 1) เป็นระยะ 5 หน่วย จะ x = 3 + 2 = 5 → จุดตัดของไดเรกตริกซ์กับแกนได้ Directrix: x = −4 + 5 = 1 → อ้อมแกน x สมมาตร ก็คือ P(5, 2) ดังนัน โจทย์ให้หาวงกลมที่ ้จุดยอดคือ V(2, 1) → c = 1 → ได้สมการเป็น ผ่านจุด (0, 0), (1, 2), (5, 2) → 2(y − 1 = 4(1 − 2) ) )(x แก้ระบบสมการ หา D, E, F จาก→ y2 − 4x − 2y + 9 = 0 x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0(72) (x − 1)2 = 4(1)(y) เช่นเดียวกับโจทย์ข้อ (59.4),(59.5) ได้เป็น 1อ้อมแกน y, จุดยอด V(1, 0) → จุดโฟกัส F(1, 1) D = −6, E = , F = 0 → สมการวงกลมทีได้ คือ ่ 2หาจุดบนโค้งนีทห่างจาก F(1, 1) อยู่ 13 หน่วย ้ ี่ 2 2 1