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  • 1. Untitled-7 1 6/23/09 2:03:14 PM
  • 2. Cálculo 2 0-Prelim L2.indd i 1/12/09 18:04:21
  • 3. REVISORES TÉCNICOS MÉXICO José de Jesús Ángel Ángel Universidad Anáhuac Norte Miguel Ángel Arredondo Morales Universidad Iberoamericana León Víctor Armando Bustos Peter Instituto Tecnológico y de Estudio Superiores de Monterrey, Campus Toluca Aureliano Castro Castro Universidad Autónoma de Sinaloa Javier Franco Chacón Tecnológico de Monterrey, Campus Chihuahua Sergio Fuentes Martínez Universidad Anáhuac México Norte Enrique González Acosta Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Sonora Norte Miguel Ángel López Mariño Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Central de Veracruz Eleazar Luna Barraza Universidad Autónoma de Sinaloa Tomás Narciso Ocampo Paz Instituto Tecnológico de Toluca Velia Pérez González Universidad Autónoma de Chihuahua Ignacio Ramírez Vargas Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Hidalgo Héctor Selley Universidad Anáhuac Norte Jorge Alberto Torres Guillén Universidad de Guadalajara Enrique Zamora Gallardo Universidad Anáhuac Norte COLOMBIA Petr Zhevandrov Universidad de La Sabana Jorge Augusto Pérez Alcázar Universidad EAN Liliana Barreto Arciniegas Pontificia Universidad Javeriana Gustavo de J. Castañeda Ramírez Universidad EAFIT Jairo Villegas G. Universidad EAFIT PERÚ Carlos Enrique Peralta Santa Cruz Universidad Continental de Ciencias e Ingeniería 0-Prelim L2.indd ii 1/12/09 18:04:21
  • 4. Cálculo 2 de varias variables Novena edición Ron Larson The Pennsylvania State University The Behrend College Bruce H. Edwards University of Florida Revisión técnica Marlene Aguilar Abalo Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México José Job Flores Godoy Universidad Iberoamericana Joel Ibarra Escutia Instituto Tecnológico de Toluca Linda M. Medina Herrera Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, Campus Ciudad de México MÉXICO • BOGOTÁ • BUENOS AIRES • CARACAS • GUATEMALA • MADRID • NUEVA YORK SAN JUAN • SANTIAGO • SÃO PAULO • AUCKLAND • LONDRES • MILÁN • MONTREAL NUEVA DELHI • SAN FRANCISCO • SINGAPUR • ST. LOUIS • SIDNEY • TORONTO 0-Prelim L2.indd iii 1/12/09 18:04:21
  • 5. Director Higher Education: Miguel Ángel Toledo Castellanos Editor sponsor: Pablo E. Roig Vázquez Coordinadora editorial: Marcela I. Rocha Martínez Editora de desarrollo: Ana L. Delgado Rodríguez Supervisor de producción: Zeferino García García Traducción: Joel Ibarra Escutia, Ángel Hernández Fernández, Gabriel Nagore Cázares, Sergio Antonio Durán Reyes CÁLCULO 2 DE VARIAS VARIABLES Novena edición Prohibida la reproducción total o parcial de esta obra, por cualquier medio, sin autorización escrita del editor. DERECHOS RESERVADOS © 2010, respecto a la novena edición en español por McGRAW-HILL/INTERAMERICANA EDITORES, S.A. DE C.V. A Subsidiary of The McGraw-Hill Companies, Inc. Edificio Punta Santa Fe Prolongación Paseo de la Reforma Núm. 1015, Torre A Piso 17, Colonia Desarrollo Santa Fe Delegación Álvaro Obregón C.P. 01376, México, D.F. Miembro de la Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana, Reg. Núm. 736 ISBN 978-970-10-7134-2 Traducido de la novena edición de: Calculus. Copyright © 2010 by Brooks/Cole, a Cengage Learning Company. All rights reserved. ISBN-13: 978-1-4390-3033-2 TI es una marca registrada de Texas Instruments, Inc. Mathematica es una marca registrada de Wolfram Research, Inc. Maple es una marca registrada de Waterloo Maple, Inc. 1234567890 109876543210 Impreso en China Printed in China 0-Prelim L2.indd iv 1/12/09 18:04:21
  • 6. C ontenido Unas palabras de los autores Agradecimientos Características CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 Cónicas y cálculo 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas PROYECTO DE TRABAJO: Cicloides 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo 10.4 Coordenadas polares y gráficas polares PROYECTO DE TRABAJO: Arte anamórfico 10.5 Área y longitud de arco en coordenadas polares 10.6 Ecuaciones polares de las cónicas y leyes de Kepler Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 11 Vectores y la geometría del espacio 11.1 11.2 11.3 11.4 11.5 Vectores en el plano Coordenadas y vectores en el espacio El producto escalar de dos vectores El producto vectorial de dos vectores en el espacio Rectas y planos en el espacio PROYECTO DE TRABAJO: Distancias en el espacio 11.6 Superficies en el espacio 11.7 Coordenadas cilíndricas y esféricas Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 12 Funciones vectoriales 12.1 Funciones vectoriales PROYECTO DE TRABAJO: Bruja de Agnesi 12.2 Derivación e integración de funciones vectoriales 12.3 Velocidad y aceleración 12.4 Vectores tangentes y vectores normales 12.5 Longitud de arco y curvatura Ejercicios de repaso SP Solución de problemas ix x xii 695 696 711 720 721 731 740 741 750 758 761 763 764 775 783 792 800 811 812 822 829 831 833 834 841 842 850 859 869 881 883 v 0-Prelim L2.indd v 1/12/09 18:04:22
  • 7. vi Contenido CAPÍTULO 13 Funciones de varias variables 13.1 13.2 13.3 Introducción a las funciones de varias variables Límites y continuidad Derivadas parciales PROYECTO DE TRABAJO: Franjas de Moiré 13.4 Diferenciales 13.5 Regla de la cadena para funciones de varias variables 13.6 Derivadas direccionales y gradientes 13.7 Planos tangentes y rectas normales PROYECTO DE TRABAJO: Flora silvestre 13.8 Extremos de funciones de dos variables 13.9 Aplicaciones de los extremos de funciones de dos variables PROYECTO DE TRABAJO: Construcción de un oleoducto 13.10 Multiplicadores de Lagrange Ejercicios de repaso SP Solución de problemas 885 886 898 908 917 918 925 933 945 953 954 962 969 970 978 981 Integración múltiple 983 14.1 14.2 14.3 14.4 CAPÍTULO 14 984 992 1004 1012 1019 1020 1026 1027 1038 1044 1045 1052 1055 Integrales iteradas y área en el plano Integrales dobles y volumen Cambio de variables: coordenadas polares Centro de masa y momentos de inercia PROYECTO DE TRABAJO: Centro de presión sobre una vela 14.5 Área de una superficie PROYECTO DE TRABAJO: Capilaridad 14.6 Integrales triples y aplicaciones 14.7 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas PROYECTO DE TRABAJO: Esferas deformadas 14.8 Cambio de variables: jacobianos Ejercicios de repaso SP Solución de problemas CAPÍTULO 15 Análisis vectorial 15.1 15.2 15.3 Campos vectoriales Integrales de línea Campos vectoriales conservativos e independencia de la trayectoria 15.4 Teorema de Green PROYECTO DE TRABAJO: Funciones hiperbólicas y trigonométricas 15.5 Superficies paramétricas 15.6 Integrales de superficie PROYECTO DE TRABAJO: Hiperboloide de una hoja 15.7 Teorema de la divergencia 0-Prelim L2.indd vi 1057 1058 1069 1083 1093 1101 1102 1112 1123 1124 1/12/09 18:04:22
  • 8. Contenido 15.8 Teorema de Stokes Ejercicios de repaso PROYECTO DE TRABAJO: El planímetro SP Solución de problemas vii 1132 1138 1140 1141 Apéndice A A-2 Apéndice B Tablas de integración A-4 Soluciones de los ejercicios impares Índice analítico 0-Prelim L2.indd vii Demostración de teoremas seleccionados A-9 I-57 1/12/09 18:04:22
  • 9. U nas palabras de los autores ¡Bienvenido a la novena edición de Cálculo! Nos enorgullece ofrecerle una nueva versión revisada de nuestro libro de texto. Mucho ha cambiado desde que escribimos la primera edición hace más de 35 años. En cada edición los hemos escuchado a ustedes, esto es, nuestros usuarios, y hemos incorporado muchas de sus sugerencias para mejorar el libro. A lo largo de los años, nuestro objetivo ha sido siempre escribir con precisión y de manera legible conceptos fundamentales del cálculo, claramente definidos y demostrados. Al escribir para estudiantes, nos hemos esforzado en ofrecer características y materiales que desarrollen las habilidades de todos los tipos de estudiantes. En cuanto a los profesores, nos enfocamos en proporcionar un instrumento de enseñanza amplio que emplea técnicas pedagógicas probadas, y les damos libertad para que usen en forma más eficiente el tiempo en el salón de clase. También hemos agregado en esta edición una nueva característica denominada ejercicios Para discusión. Estos problemas conceptuales sintetizan los aspectos clave y proporcionan a los estudiantes mejor comprensión de cada uno de los conceptos de sección. Los ejercicios Para discusión son excelentes para esa actividad en el salón de clase o en la preparación de exámenes, y a los profesores puede resultarles valioso integrar estos problemas dentro de su repaso de la sección. Éstas y otras nuevas características se unen a nuestra pedagogía probada en el tiempo, con la meta de permitir a los estudiantes y profesores hacer el mejor uso del libro. Esperamos que disfrute la novena edición de Cálculo. Como siempre, serán bienvenidos los comentarios y sugerencias para continuar mejorando la obra. Ron Larson Bruce H. Edwards ix 0-Prelim L2.indd ix 1/12/09 18:04:22
  • 10. A gradecimientos Nos gustaría dar las gracias a muchas personas que nos ayudaron en varias etapas de este proyecto a lo largo de los últimos 35 años. Su estímulo, críticas y sugerencias han sido invaluables. Revisores de la novena edición Ray Cannon, Baylor University Sadeq Elbaneh, Buffalo State College J. Fasteen, Portland State University Audrey Gillant, Binghamton University Sudhir Goel, Valdosta State University Marcia Kemen, Wentworth Institute of Technology Ibrahima Khalil Kaba, Embry Riddle Aeronautical University Jean-Baptiste Meilhan, University of California Riverside Catherine Moushon, Elgin Community College Charles Odion, Houston Community College Greg Oman, The Ohio State University Dennis Pence, Western Michigan University Jonathan Prewett, University of Wyoming Lori Dunlop Pyle, University of Central Florida Aaron Robertson, Colgate University Matthew D. Sosa, The Pennsylvania State University William T. Trotter, Georgia Institute of Technology Dr. Draga Vidakovic, Georgia State University Jay Wiestling, Palomar College Jianping Zhu, University of Texas at Arlington Miembros del Comité de Asesores de la novena edición Jim Braselton, Georgia Southern University; Sien Deng, Northern Illinois University; Dimitar Grantcharov, University of Texas, Arlington; Dale Hughes, Johnson County Community College; Dr. Philippe B. Laval, Kennesaw State University; Kouok Law, Georgia Perimeter College, Clarkson Campus; Mara D. Neusel, Texas Tech University; Charlotte Newsom, Tidewater Community College, Virginia Beach Campus; Donald W. Orr, Miami Dade College, Kendall Campus; Jude Socrates, Pasadena City College; Betty Travis, University of Texas at San Antonio; Kuppalapalle Vajravelu, University of Central Florida Revisores de ediciones anteriores Stan Adamski, Owens Community College; Alexander Arhangelskii, Ohio University; Seth G. Armstrong, Southern Utah University; Jim Ball, Indiana State University; Marcelle Bessman, Jacksonville University; Linda A. Bolte, Eastern Washington University; James Braselton, Georgia Southern University; Harvey Braverman, Middlesex County College; Tim Chappell, Penn Valley Community College; Oiyin Pauline Chow, Harrisburg Area Community College; Julie M. Clark, Hollins University; P.S. Crooke, Vanderbilt University; x 0-Prelim L2.indd x 1/12/09 18:04:22
  • 11. Agradecimientos xi Jim Dotzler, Nassau Community College; Murray Eisenberg, University of Massachusetts at Amherst; Donna Flint, South Dakota State University; Michael Frantz, University of La Verne; Sudhir Goel, Valdosta State University; Arek Goetz, San Francisco State University; Donna J. Gorton, Butler County Community College; John Gosselin, University of Georgia; Shahryar Heydari, Piedmont College; Guy Hogan, Norfolk State University; Ashok Kumar, Valdosta State University; Kevin J. Leith, Albuquerque Community College; Douglas B. Meade, University of South Carolina; Teri Murphy, University of Oklahoma; Darren Narayan, Rochester Institute of Technology; Susan A. Natale, The Ursuline School, NY; Terence H. Perciante, Wheaton College; James Pommersheim, Reed College; Leland E. Rogers, Pepperdine University; Paul Seeburger, Monroe Community College; Edith A. Silver, Mercer County Community College; Howard Speier, Chandler-Gilbert Community College; Desmond Stephens, Florida A&M University; Jianzhong Su, University of Texas at Arlington; Patrick Ward, Illinois Central College; Diane Zych, Erie Community College Muchas gracias a Robert Hostetler, de The Behrend College, en The Pennsylvania State University, y a David Heyd, de la misma institución, por sus importantes contribuciones a las ediciones previas de este texto. Una nota especial de agradecimiento a los profesores que respondieron nuestra encuesta y a los más de dos millones de estudiantes que han usado las ediciones anteriores de la obra. También quisiéramos agradecer al personal de Larson Texts, Inc., que apoyó en la preparación del manuscrito, realizó el diseño editorial, levantó la tipografía y leyó las pruebas de las páginas y suplementos en la edición en inglés. En el ámbito personal, estamos agradecidos con nuestras esposas, Deanna Gilbert Larson y Consuelo Edwards, por su amor, paciencia y apoyo. Además, una nota especial de gratitud para R. Scott O’Neil. Si usted tiene sugerencias para mejorar este texto, por favor siéntanse con la libertad de escribirnos. A lo largo de los años hemos recibido muchos comentarios útiles tanto de los profesores como de los estudiantes, y los valoramos sobremanera. Ron Larson Bruce H. Edwards 0-Prelim L2.indd xi 1/12/09 18:04:22
  • 12. C aracterísticas Herramientas pedagógicas PARA DISCUSIÓN Para discusión 72. ¡NUEVO! Los ejercicios para discusión que aparecen ahora en cada sección sintetizan los conceptos principales de cada una y muestran a los estudiantes cómo se relacionan los temas. A menudo constituyen problemas de varias partes que contienen aspectos conceptuales y no computacionales, y que pueden utilizarse en discusiones de clase o en la preparación de exámenes. y f B C A Considerar la longitud de la gráfica de f(x) (1, 5) hasta (5, 1): y D E x a) ¿Entre qué par de puntos consecutivos es mayor la razón de cambio promedio de la función? b) ¿La razón de cambio promedio de ƒ entre A y B es mayor o menor que el la razón de cambio instantáneo en B? c) Trazar una recta tangente a la gráfica entre los puntos C y D cuya pendiente sea igual a la razón de cambio promedio de la función entre C y D. Desarrollo de conceptos 11. Utilizar la gráfica para responder a las siguientes preguntas. 5/x, desde y (1, 5) (1, 5) 5 4 DESARROLLO DE CONCEPTOS 5 4 3 3 2 (5, 1) 2 (5, 1) 1 1 x x 1 2 3 4 5 1 2 3 4 5 a) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de la distancia entre sus extremos, como se muestra en la primera figura. b) Estimar la longitud de la curva mediante el cálculo de las longitudes de los cuatro segmentos de recta, como se muestra en la segunda figura. c) Describir cómo se podría continuar con este proceso a fin de obtener una aproximación más exacta de la longitud de la curva. Los ejercicios de desarrollo de conceptos son preguntas diseñadas para evaluar la comprensión de los estudiantes en torno a los conceptos básicos de cada sección. Estos ejercicios animan a los estudiantes a verbalizar y escribir respuestas, lo que promueve habilidades de comunicación técnica que serán invaluables en sus futuras carreras. AYUDAS DE ESTUDIO Las ayudas de estudio distinguen errores comunes, indican casos especiales que pueden provocar confusión, y amplían a conceptos importantes. Estas ayudas proporcionan a los estudiantes información puntual, similar a los comentarios del profesor en clase. EJEMPLO 1 Levantamiento de un objeto Determinar el trabajo realizado al levantar un objeto de 50 libras a 4 pies. Solución La magnitud de la fuerza requerida F es el peso del objeto, como se muestra en la figura 7.48. Así, el trabajo realizado al levantar el objeto 4 pies es W FD Trabajo 50 4 Fuerza 200 libras-pies. (fuerza)(distancia). 50 libras, distancia 4 pies. AYUDA DE ESTUDIO Cuando se use la definición para encontrar la derivada de una función, la clave consiste en volver a expresar el cociente incremental (o cociente de diferencias), de manera que x no aparezca como factor del denominador. AYUDA DE ESTUDIO El ejemplo 3 también se puede resolver sin hacer uso de la regla de la cadena, si se observa que y x6 AYUDA DE ESTUDIO Tener en cuenta que se puede comprobar la respuesta de un problema de integración al derivar la C l j l 7 3x4 3x2 1 EJEMPLOS A lo largo del texto, se trabajan ejemplos paso a paso, que muestran los procedimientos y técnicas para resolver problemas, y dan a los estudiantes una comprensión amplia de los conceptos del cálculo. xii 0-Prelim L2.indd xii 1/12/09 18:04:22
  • 13. Características xiii EJERCICIOS La práctica hace al maestro. Los ejercicios son con frecuencia el primer lugar que consultan los estudiantes en un libro de texto. Los autores han dedicado mucho tiempo analizándolos y revisándolos; el resultado es un completo y sólido conjunto de ejercicios de diferentes tipos y niveles de dificultad al final de cada sección para considerar todos los estilos de aprendizaje de los estudiantes. 4.3 Ejercicios En los ejercicios 1 y 2, utilizar el ejemplo 1 como modelo para evaluar el límite n lím n f ci i En los ejercicios 13 a 22, formular una integral definida que produce el área de la región. (No evaluar la integral.) 13. xi f x 1 14. 5 f x 6 5 4 4 f x y x, x 0, (Sugerencia: Sea ci 2. 3 f x y x, x 3 3 x 0, 2 1 63. 2 2 3i n .) 0, x 0, 1 i 3 n3.) (Sugerencia: Sea ci En los ejercicios 3 a 8, evaluar la integral definida mediante la definición de límite. 15. 6 3 8 dx 3. 2 1 4 x3 dx 5. 1 1 x2 7. 4x2 dx 6. 1 2 1 dx 2x2 8. 1 f x 3 Ciclo respiratorio El volumen V en litros de aire en los pulmo2 1 nes durante un ciclo respiratorio de cinco segundos se aproxima x x 1 2 3 mediante el modelo V 2 1 0.1729t 4 5 0.1522t 2 0.0374t 3 donde 1 2 3 4 5 t es el tiempo en segundos. Aproximar el volumen medio de aire en los pulmones16. f x un ciclo. durante x 2 4 x 64. Promedio de ventas Una compañía ajusta un modelo a los datos y y de ventas mensuales de un producto de temporada. El modelo es 8 4 t t 3 0 t 24 1.8 0.5 sen , S t6 4 6 4 2 donde S son las ventas (en miles) y t es el tiempo en meses. 2 1 x dx 4. 2 3x y 5 sobre la región delimitada por las gráficas de las ecuaciones. 1. 6 y 3 dx 2 a) Utilizar una herramienta de graficación para representar ƒ(t) 0.5 sen( t 6) para 0 t 24. Emplear la gráfica para explicar por qué el valor medio de ƒ(t) es cero sobre el intervalo. b) Recurrir a una herramienta de graficación para representar S(t) y la recta g(t) t 4 1.8 en la misma ventana de observación. Utilizar la gráfica y el resultado del apartado a) para explicar por qué g recibe el nombre recta de tendencia. APLICACIONES “¿Cuándo usaré esto?”, los autores tratan de responder esta pregunta de los estudiantes con ejercicios y ejemplos que se seleccionaron con todo cuidado. Las aplicaciones se toman de diversas fuentes: eventos actuales, datos de trabajo, tendencias industriales, y se relacionan con una amplia gama de intereses. Entender dónde se usa (o puede usarse) el cálculo fomenta una comprensión más completa del material. 318 CAPÍTULO 4 4 Ejercicios de repaso 2. y 15. Velocidad y aceleración Se lanza una pelota hacia arriba verticalmente desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 96 pies por segundo. f a) ¿Cuánto tardará la pelota en alcanzar su altura máxima? ¿Cuál es la altura máxima? ¿Cuándo la velocidad de la pelota es la mitad de la velocidad inicial? c) ¿A qué altura está la pelota cuando su velocidad es la mitad de la velocidad inicial? x x b) En los ejercicios 3 a 8, encontrar la integral indefinida. 16. 4x2 x4 5. x 8 x3 7. 2x 4. 3 dx dx 2 dx 3x 4x2 x2 3 x4 6. 8. 9 sen x dx 5 cos x 1 dx t 0 5 10 15 20 25 0 2.5 7 16 29 45 Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial ƒ (x) 6x cuya gráfica pasa por el punto (1, 2). 10. Encontrar la solución particular de la ecuación diferencial ƒ (x) 6(x 1) cuya gráfica pasa por el punto (2, 1) y es tangente a la recta 3x y 5 0 en ese punto. Campos de pendientes En los ejercicios 11 y 12 se da una ecuación diferencial, un punto y un campo de pendientes. a) Dibujar dos soluciones aproximadas de la ecuación diferencial en el campo de pendiente, una de las cuales pase a través del punto indicado. b) Utilizar la integración para encontrar la solución particular de la ecuación diferencial y utilizar una herramienta de graficación para representar la solución. 2x 4, 4, dy dx 12. 2 y 2x, 6, 2 0 21 38 51 60 64 65 1 En los ejercicios 17 y 18, utilizar la notación sigma para escribir la suma. 17. 1 31 3 n 18. 1 32 1 1 n 1 33 2 3 n 1 d) 30 40 50 60 21 40 62 78 83 a) Emplear una herramienta de graficación para determinar un modelo de la forma v at3 bt2 ct d para los datos. 2 3 n . . . n 1 i x 23. 7 −2 24. f a) 1 3 f 1 . 3 1 a) Utilizar esta fórmula para aproximar el error de la aproximación. cos x dx. Encontrar 1 1 b) Utilizar esta fórmula para aproximar 1 Utilizar una herramienta de graficación para completar la tabla. 0 1.0 1.5 1.9 2.5 3.0 4.0 x2 dx. 7. Arquímedes demostró que el área de un arco parabólico es igual a del producto de la base y la altura (ver la figura). 2.0 2.1 1 1 c) Probar que la aproximación gaussiana de dos puntos es exacta para todos los polinomios de grado 3 o menor. 2 5.0 2 Fx n 4i x h Fx i 1 i i2 20. 1 20 1 x 1 b) 12 i i f x dx 1 20 2i 19. 5 La aproximación gaussiana de dos puntos para f es 1 sen t 2 dt. Sea x F x n 6. 1 dt, x > 0. t Encontrar L(1). Encontrar L (x) y L (1). Utilizar una herramienta de graficación para aproximar el valor de x (hasta tres lugares decimales) para el cual L(x) 1. Demostrar que L(x1 x2) L(x1) L(x2) para todos los valores positivos de x1 y x2. x 2. 1 3 10 . . . 2 Sea x a) b) c) Reescribir las velocidades en pies por segundo. Usar las capacidades de regresión de una herramienta de graficación para encontrar los modelos cuadráticos para los datos en el apartado a). c) Aproximar la distancia recorrida por cada carro durante los 30 segundos. Explicar la diferencia en las distancias. 20 6 −1 x 1. a) b) 21. −6 20 5 Solución de problemas 65 En los ejercicios 19 a 22, utilizar las propiedades de las sumas y el teorema 4.2 para calcular las sumas. y x −1 1 2 x 2 SP 30 v1 2 sec2 x dx 9. dy dx 10 0 Modelado matemático La tabla muestra las velocidades (en millas por hora) de dos carros sobre una rampa de acceso a una carretera interestatal. El tiempo t está en segundos. v2 11. 0 v Los ejercicios de repaso ubicados al final de cada capítulo proporcionan a los estudiantes más oportunidades para practicar. Estos conjuntos de ejercicios constituyen una revisión completa de los conceptos del capítulo y son un medio excelente para que los estudiantes preparen un examen. una distancia de 264 pies. Encontrar la distancia en la cual el automóvil puede llegar al reposo a partir de una velocidad de 30 millas por hora, suponiendo la misma desaceleración constante. y f 3. t EJERCICIOS DE REPASO Integración En los ejercicios 1 y 2, utilizar la gráfica de f para dibujar una gráfica de ƒ. 1. 65. Modelado matemático Se prueba un vehículo experimental en una pista recta. Parte del reposo y su velocidad v (metros por segundo) se registra en la tabla cada 10 segundos durante un minuto. 1 2 1 22. i 1 x Escribir en notación sigma a) la suma de los primeros diez enteros impares positivos, b) la suma de los cubos de los primeros n enteros positivos y c) 6 10 14 18 · · · 42. Calcular cada suma para x1 7 2, x2 1, x3 5, x4 1 1 sen t 2 dt. Utilizar una Fx x 2 x 2 2 herramienta de graficacón para completar la tabla y estimar lím G x . a) 2 x 1.9 1.95 1.99 2.01 b) 2.1 Gx 3y c) c) Utilizar la definición de la derivada para encontrar el valor exacto del límite lím G x . x SOLUCIÓN DE PROBLEMAS b Sea G x 2 En los ejercicios 3 y 4, a) escribir el área bajo la gráfica de la función dada definida sobre el intervalo indicado como un límite. Después b) calcular la suma del apartado a) y c) calcular el límite tili d l lt d d l t d b) 8. Graficar el arco parabólico delimitado por y 9 x2 y el eje x. Utilizar una integral apropiada para encontrar el área A. Encontrar la base y la altura del arco y verificar la fórmula de Arquímedes. Demostrar la fórmula de Arquímedes para una parábola general. Galileo Galilei (1564-1642) enunció la siguiente proposición relativa a los objetos en caída libre: El tiempo en cualquier espacio que se recorre por un cuerpo acelerado uniformemente es igual al tiempo en el cual ese mismo espacio se recorrería por el mismo cuerpo movién- Estos conjuntos de ejercicios al final de cada capítulo prueban las habilidades de los estudiantes con preguntas desafiantes que retan su pensamiento. 0-Prelim L2.indd xiii 1/12/09 18:04:26
  • 14. xiv Características Cálculos clásicos con relevancia contemporánea TEOREMAS Los teoremas proporcionan el marco conceptual del cálculo; se enuncian claramente y se distinguen del resto del texto por medio de recuadros para tener una rápida referencia visual. Las demostraciones más importantes muchas veces siguen al teorema, y se proporcionan otras más en un apéndice. TEOREMA 4.9 EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL CÁLCULO Si una función ƒ es continua en el intervalo cerrado [a, b] y F es una antiderivada de ƒ en el intervalo [a, b], entonces b f x dx Fb Fa. a DEFINICIONES Al igual que con los teoremas, las definiciones se enuncian claramente utilizando palabras sencillas y precisas; también se separan del texto mediante recuadros para tener una rápida referencia visual. DEFINICIÓN DE LONGITUD DE ARCO Sea la función dada por y f(x) que represente una curva suave en el intervalo [a, b]. La longitud del arco de f entre a y b es b s 1 f x 2 dx. a Similarmente, para una curva suave dada por x c y d es g(y), la longitud de arco de g entre d s 1 g y 2 dy. c La regla de L’Hôpital también puede aplicarse a los límites unilaterales, como se demuestra en los ejemplos 6 y 7. Forma indeterminada 00 EJEMPLO 6 Encontrar lím sen x x. x PROCEDIMIENTOS y Los procedimientos aparecen separados del texto para brindar una referencia fácil. Estas líneas proporcionan a los estudiantes instrucciones paso a paso que les ayudarán a resolver problemas de manera rápida y eficiente. 0 Solución Porque la sustitución directa produce la forma indeterminada 00, proceder como se muestra abajo. Para empezar, asumir que el límite existe y es igual a y. ln y lím sen x x x Forma indeterminada 00. 0 ln lím sen x x Tomar un logaritmo natural de cada lado. 0 lím ln sen x x x x Continuidad. 0 lím x ln sen x x Forma indeterminada 0 · ( 0 ln sen x lím x 0 1 x Regla de L’Hôpital. x2 lím x 0 tan x NOTAS Forma indeterminada cot x lím x 0 1 x2 ). Forma indeterminada 0 0. 2x lím x 0 sec2x 0 . Regla de L’Hôpital. Las notas proporcionan detalles adicionales acerca de los Ahora, porque ln y 0, concluir que y e 1, y se sigue que teoremas, definiciones y ejemplos. Ofrecen una profundización adicional o generalizaciones importantes que los estulím sen x 1. diantes podrían omitir involuntariamente. Al igual que las ayudas de estudio, NOTA Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por las notas resultan invaluax ϭ cos t y y ϭ sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 Յ t Յ 2␲, pero recorre dos veces el interbles para los estudiantes. valo 0 Յ t Յ 4␲. I 0 x x 0-Prelim L2.indd xiv 0 1/12/09 18:04:33
  • 15. xv Características Ampliar la experiencia del cálculo ENTRADAS DE CAPÍTULO Ecuaciones diferenciales 6 Las entradas de capítulo proporcionan motivación inicial para el material que se abordará en el capítulo. Además de los objetivos, en la entrada de cada capítulo un concepto importante se relaciona con una aplicación del mundo real. Esto motiva a los estudiantes a que descubran la relevancia del cálculo en la vida. En este capítulo se estudiará una de las más importantes aplicaciones del cálculo: las ecuaciones diferenciales. El lector aprenderá nuevos métodos para resolver diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, como las homogéneas, lineales de primer orden y de Bernoulli. Posteriormente aplicará esas reglas para resolver ecuaciones diferenciales en problemas de aplicación. En este capítulo, se aprenderá: n Cómo generar un campo de pendientes de una ecuación diferencial y encontrar una solución particular. (6.1) n Cómo usar una función exponencial para modelos de crecimiento y decrecimiento. (6.2) n Como usar el método de separación de variables para resolver ecuaciones diferenciales. (6.3) n Cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden y la ecuación diferencial de Bernoulli. (6.4) EXPLORACIÓN Converso del teorema 4.4 ¿Es verdadero el converso del teorema 4.4 ? Esto es, si una función es integrable, ¿tiene que ser continua? Explicar el razonamiento y proporcionar ejemplos. Describir las relaciones entre continuidad, derivabilidad e integrabilidad. ¿Cuál es la condición más fuerte? ¿Cuál es la más débil? ¿Qué condiciones implican otras condiciones? ■ Dr. Dennis Kunkel/Getty Images ■ Según el tipo de bacteria, el tiempo que le toma duplicar su peso al cultivo puede variar mucho, desde varios minutos hasta varios días. ¿Cómo usaría una ecuación diferencial para modelar la tasa de crecimiento del peso del cultivo de una bacteria? (Vea la sección 6.3, ejercicio 84.) EXPLORACIÓN Suponer que se pide encontrar una de las siguientes integrales. ¿Cuál elegiría? Explicar la respuesta. EXPLORACIONES Las exploraciones proporcionan a los estudiantes retos únicos para estudiar conceptos que no se han cubierto formalmente. Les permiten aprender mediante el descubrimiento e introducen temas relacionados con los que están estudiando en el momento. Al explorar temas de esta manera, se estimula a que los estudiantes piensen de manera más amplia. a) x3 x 2 x3 b) 1 dx o 1 dx tan 3x sec 2 3x dx Una función y f(x) es una solución de una ecuación diferencial, si la ecuación se satisface cuando y y sus derivadas se remplazan por f(x) y sus derivadas. Una manera de resolver una ecuación diferencial es mediante los campos de pendientes, los cuales muestran la forma de todas las soluciones de una ecuación diferencial. (Ver sección 6.1) o 405 tan 3x dx NOTAS HISTÓRICAS Y BIOGRAFÍAS Las notas históricas proporcionan a los estudiantes información sobre los fundamentos del cálculo; las biografías les ayudan a sensibilizar y a enseñarles acerca de las personas que contribuyeron a la creación formal del cálculo. DESAFÍOS DEL EXAMEN PUTNAM n n donde n 1 o n 1 n 8? 134. Demostrar que si x es positivo, entonces loge 1 1 1 . > x 1 x Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados. Las preguntas del examen Putnam aparecen en algunas secciones y se toman de los exámenes Putnam reales. Estos ejercicios extenderán los límites del entendimiento de los estudiantes en relación con el cálculo y brindarán desafíos adicionales para aquellos más interesados. The Granger Collection Preparación del examen Putnam 133. ¿Cuál es mayor LA SUMA DE LOS PRIMEROS CIEN ENTEROS BLAISE PASCAL (1623-1662) El maestro de Carl Friedrich Gauss (17771855) pidió a sus alumnos que sumaran todos los enteros desde 1 hasta 100. Cuando Gauss regresó con la respuesta correcta muy poco tiempo después, el maestro no pudo evitar mirarle atónito. Lo siguiente fue lo que hizo Gauss: Pascal es bien conocido por sus .. . 1 2 3 100 contribuciones a diversas áreas de las ... 99 98 1 matemáticas y de la física, así como por 100 ... 101 101 101 su influencia con Leibniz. Aunque buena 101 100 101 parte de su obra en cálculo fue intuitiva y 5 050 carente del rigor exigible en las matemáticas 2 modernas, Pascal anticipó muchos Esto se generaliza por medio del teorema resultados relevantes. 4.2, donde 100 i t 1 100 101 2 5 050. PROYECTOS DE SECCIÓN Los proyectos aparecen en algunas secciones y exploran a mayor profundidad las aplicaciones relacionadas con los temas que se están estudiando. Proporcionan una forma interesante y entretenida para que los estudiantes trabajen e investiguen ideas de manera conjunta. PROYECTO DE TRABAJO Demostración del teorema fundamental Utilizar una herramienta de graficación para representar la función y1 sen2t en el intervalo 0 t . Sea F(x) la siguiente función de x. b) Utilizar las funciones de integración de una herramienta de graficación para representar F. c) Emplear las funciones de derivación de una herramienta de graficación para hacer la gráfica de F (x). ¿Cómo se relaciona esta gráfica con la gráfica de la parte b)? d) Verificar que la derivada de y (1 2)t (sen 2t) 4 es sen2t. Graficar y y escribir un pequeño párrafo acerca de cómo esta gráfica se relaciona con las de los apartados b) y c). x sen 2 t dt Fx 0 a) Completar la tabla. Explicar por qué los valores de ƒ están creciendo. x 0 6 3 2 2 3 5 6 Fx 0-Prelim L2.indd xv 1/12/09 18:04:35
  • 16. xvi Características Tecnología integrada para el mundo actual x 2x Encontrar INVESTIGACIONES CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA Cambio de variables EJEMPLO 5 1 dx. Los ejemplos a lo largo del libro se acompañan de investigaciones que emplean un sistema algebraico por computadora (por ejemplo, Maple®) para explorar de manera adicional un ejemplo relacionado en el libro. Permiten a los estudiantes explorar el cálculo manipulando funciones, gráficas, etc., y observar los resultados. Solución Como en el ejemplo previo, considerar que u 2x 1 para obtener dx du 2. Como el integrando contiene un factor de x, se tiene que despejar x en términos de u, como se muestra. u 2x x 1 u 1 2 Resolver para x en términos de u. Después de esto, utilizando la sustitución, se obtiene x 2x u 1 dx u1 1 4 u3 2 du 2 u1 1 2 2 du 2 5 2 1 u 4 5 2 1 2x 10 3 2 u 3 2 1 C 1 2x 6 5 2 3 2 1 C. Razonamiento gráfico En los ejercicios 55 a 58, a) usar una herramienta de graficación para representar gráficamente la función, b) representar su función inversa utilizando la herramienta de graficación y c) determinar si la gráfica de la relación inversa es una función inversa. Explicar la respuesta. EJERCICIOS CON HERRAMIENTAS DE GRAFICACIÓN La comprensión con frecuencia mejora utilizando una gráfica o visualización. Los ejercicios de tecnología de graficación piden a los estudiantes recurrir a una herramienta de graficación para ayudar a encontrar una solución. CAS Campos de pendientes En los ejercicios 67 a 72, usar un sistema algebraico por computadora para a) trazar la gráfica del campo de pendientes para la ecuación diferencial y b) trazar la gráfica de la solución que satisface la condición inicial especificada. 67. dy dx 0.25y, y0 4 68. dy dx 4 y, y0 6 69. dy dx 0.02y 10 70. dy dx 0.2x 2 y, y0 dy dx 0.4y 3 x, y0 1 72. dy dx 1 e 2 f x x3 x x 8 y0 y, sen y , 4 y0 79. 81. 2 CAS 2 1 4x x2 1 13 80. dx 1 d sen 82. En los ejercicios 33 a 40, usar un sistema algebraico por computadora para determinar la primitiva que atraviesa el punto dado. Usar el sistema para hacer la gráfica de la antiderivada resultante. 33. 35. x2 5x 10x 25 x2 x 2 dx, x2 2 2 dx, 6, 0 34. 0, 1 6x 2 x2 x 36. 1 dx, 13 x3 x2 4 2 dx, 2, 1 3, 4 x x2 2 4x ex e 2 13 dx x 3 dx ¡NUEVO! De igual manera que los ejercicios con herramientas de graficación, algunos ejercicios pueden resolverse mejor utilizando un sistema algebraico por computadora. Estos ejercicios son nuevos en esta edición. 0-Prelim L2.indd xvi x 4 x2 TECNOLOGÍA La regla de Simpson puede usarse para dar una buena aproximación del valor de la integral en el ejemplo 2 (para n 10, la aproximación es 1.839). Al usar la integración numérica, sin embargo, se debe estar consciente de que la regla de Simpson no siempre da buenas aproximaciones cuando algunos de los límites de integración están cercanos a una asíntota vertical. Por ejemplo, usando el teorema fundamental del cálculo, se obtiene 1.99 EJERCICIOS CON SISTEMAS ALGEBRAICOS POR COMPUTADORA hx A lo largo del libro, los recuadros de tecnología dan a los estudiantes una visión de cómo la tecnología puede usarse para ayudar a resolver problemas y explorar los conceptos del cálculo. No sólo proporcionan discusiones acerca de dónde la tecnología tiene éxito, sino también sobre dónde puede fracasar. En los ejercicios 79 a 82, usar un sistema algebraico por computadora para encontrar la integral. Usar el sistema algebraico por computadora para hacer la gráfica de dos antiderivadas. Describir la relación entre las gráficas de las dos antiderivadas. a 56. 4 TECNOLOGÍA 9 71. CAS 55. 0 x 4 3 dx x2 6.213. Aplicando la regla de Simpson (con n mación de 6.889. 10) para esta integral se produce una aproxi- 1/12/09 18:04:40
  • 17. 1059997_cop10.qxd 9/2/08 10-1.qxd 3/12/09 16:44 3:48 PM Page 695 Page 695 10 10 Cónicas, ecuaciones Conics, Parametric paramétricas y Equations, and Polar Coordinates coordenadas polares En this chapter, you will analyze and write In este capítulo se analizarán y se escribirán ecuacionesusing their properties. equations of conics de cónicas usando sus propiedades. Tambiénto write and graph You will also learn how se aprenderá cómo escribir y graficar ecuaciones parametric equations and polar equations, paramétricas y polares,can be used to study and see how calculus y se verá cómo se puede graphs. cálculo para to the rectangular these usar el In addition estudiar tales gráficas. Además de las ecuaciones study equations of conics, you will also rectangulares de of conics. polar equations cónicas, también se estudiarán ecuaciones polares de cónicas. In this chapter, you should learn the En este capítulo, se aprenderá: following. I Cómo analizar y escribir ecuaciones I How to analyze and write equations of de una parábola, una elipse y una a parabola, an ellipse, and a hyperbola. hipérbola. (10.1) (10.1) I Cómo trazar una curva representada I How to sketch a curve represented by por ecuaciones paramétricas. (10.2) I parametric equations. (10.2) I Cómo usar un conjunto de ecuacioI How to use a set of parametric equations nes paramétricas para encontrar la to find the slope of a tangent line to a pendiente de una línea tangente a curve and the arc length of a curve. una curva y la longitud de arco (10.3) de una curva. (10.3) I How to sketch the graph of an equation I Cómo dibujar la gráfica de una ecuain polar form, find the slope of a tangent ción en forma polar, encontrar la line to a polar graph, and identify special pendiente de una línea tangente a polar graphs. (10.4) una gráfica polar e identificar gráfiI How to find the area of a region cas polares especiales. (10.4) bounded by a polar graph and find the I Cómo encontrar el área de una arc length of a polar graph. (10.5) región acotada por una gráfica polar I How to analyze and write a polar y encontrar la longitud de arco de equation of a conic.10.5) ) una gráfica polar. ( (10.6 I Cómo analizar y escribir una ecuación polar de una cónica. (10.6) © Chuck Savage/Corbis The path modelar la trayectoria de una height at béisbol with the una altura Se puedeof a baseball hit at a particular pelota de an anglebateada ahorizontal can be modeled un ángulo con el horizontal utilizando ecuaciones paramétricas. be específica ausing parametric equations. How can a set of parametric equations¿Cómo I used to find the minimum angle at which the ball must leave encontrar el ángulo se puede usar un conjunto de ecuaciones paramétricas parathe bat in order for the hit to be a home run? (See Section del bate para 75.) mínimo al cual la pelota debe salir 10.2, Exercise que el golpe sea un jonrón? (Ver la sección 10.2, ejercicio 75.) En el sistemacoordinate system, graphing an equation involves tracingtrazar una curva alrededor de un punto pole. In the polar de coordenadas polares, graficar una ecuación implica a curve about a fixed point called the fijo llamado elapolo. Considerar una región and by the rays that contain los rayos que contienen los puntos extremos de Consider region bounded by a curve acotada por una curva y por the endpoints of an interval on the curve. You un intervalo sobre la curva.to approximate the area of such a region. In Section 10.5, de tal región.how la sección can use sectors of circles Pueden usarse sectores circulares para aproximar el área you will see En the limit 10.5 se verá be used to find this area. process can cómo es posible usar el proceso de límite para encontrar esta área. 695 695
  • 18. 10-1.qxd 3/12/09 696 16:44 Page 696 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 10.1 Cónicas y cálculo I I I I Entender la definición de una sección cónica. Analizar y dar las ecuaciones de la parábola utilizando las propiedades de la parábola. Analizar y dar las ecuaciones de la elipse utilizando las propiedades de la elipse. Analizar y dar las ecuaciones de la hipérbola utilizando las propiedades de la hipérbola. Secciones cónicas Bettmann/Corbis Toda sección cónica (o simplemente cónica) puede describirse como la intersección de un plano y un cono de dos hojas. En la figura 10.1 se observa que en las cuatro cónicas básicas el plano de intersección no pasa por el vértice del cono. Cuando el plano pasa por el vértice, la figura que resulta es una cónica degenerada, como se muestra en la figura 10.2. HYPATIA (370-415 D.C.) Los griegos descubrieron las secciones cónicas entre los años 600 y 300 a.C. A principios del periodo alejandrino ya se sabía lo suficiente acerca de las cónicas como para que Apolonio (269-190 a.C.) escribiera una obra de ocho volúmenes sobre el tema. Más tarde, hacia finales del periodo Alejandrino, Hypatia escribió un texto titulado Sobre las cónicas de Apolonio. Su muerte marcó el final de los grandes descubrimientos matemáticos en Europa por varios siglos. Los primeros griegos se interesaron mucho por las propiedades geométricas de las cónicas. No fue sino 1900 años después, a principios del siglo XVII, cuando se hicieron evidentes las amplias posibilidades de aplicación de las cónicas, las cuales llegaron a jugar un papel prominente en el desarrollo del cálculo. Circunferencia Secciones cónicas Parábola Figura 10.1 Punto Cónicas degeneradas Recta Dos rectas que se cortan Figura 10.2 Existen varias formas de estudiar las cónicas. Se puede empezar, como lo hicieron los griegos, definiendo las cónicas en términos de la intersección de planos y conos, o se pueden definir algebraicamente en términos de la ecuación general de segundo grado Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F = 0. PARA MAYOR INFORMACIÓN Para conocer más sobre las actividades de esta matemática, consultar al artículo “Hypatia and her Mathematics” de Michael A. B. Deakin en The American Mathematical Monthly. Hipérbola Elipse Ecuación general de segundo grado. Sin embargo, un tercer método en el que cada una de las cónicas está definida como el lugar geométrico (o colección) de todos los puntos que satisfacen cierta propiedad geométrica, funciona mejor. Por ejemplo, la circunferencia se define como el conjunto de todos los puntos (x, y) que son equidistantes de un punto fijo (h, k). Esta definición en términos del lugar geométrico conduce fácilmente a la ecuación estándar o canónica de la circunferencia (x - h)2 +(y - k)2 = r2. Ecuación estándar o canónica de la circunferencia. Para información acerca de la rotación de ecuaciones de segundo grado en dos variables, ver el apéndice D.
  • 19. 1059997_1001.qxp 9/2/08 10-1.qxd 3/12/09 1059997_1001.qxp 3:49 PM Page 697 16:44 Page 697 9/2/08 3:49 PM Page 697 10.1 Conics Cónicas y cálculo 697 697 SECCIÓN 10.1 and Calculus 10.1 Conics and Calculus 697 Parabolas Parábolas A x A parabola is the el conjunto de todosylos puntosequidistant from a fixed line called llaUna parábola es set of all points x, that are (x, y) equidistantes de una recta fija Parabolas the directrix and a fixedpunto fijo, fuera de dicha recta, llamado foco. El punto medio entre mada directriz y de un point called the focus not on the line. The midpoint between the foco yanddirectriz essetis the vertex, andythe line passingel focofrom vérticeand el called A parabola is the el vértice, y la x, that are por through el focus line eje el focus la the directrix of all points recta que pasaequidistant ythe a fixed es the de vertex isdirectrix andthefixed figuraNote in Figure 10.3 on the line. The midpoint between the the axis of a parabola. 10.3 the focus not es a parabola is symmetric la parábola. Obsérvese en la point calledque la parábolathat simétrica respecto de su eje. with the focus and the directrix is the vertex, and the line passing through the focus and the respect to its axis. vertex is the axis of the parabola. Note in Figure 10.3 that a parabola is symmetric TEOREMA 10.1 toECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA PARÁBOLA with respect its axis. THEOREM 10.1 STANDARD EQUATION OF A PARABOLA La forma estándar o canónica de la ecuación de una parábola con vértice Thek) y directriz y ϭof thepequation of a parabola with vertex h, k and (h, standard form k Ϫ es EQUATION OF A PARABOLA THEOREM 10.1 STANDARD directrix y 2 k p is ͑x Ϫstandard ͑form k͒. the equation of a Eje vertical.with vertex h, k and The h͒2 ϭ 4p y Ϫ of parabola x h 4p y k . Vertical axis directrix y x k h p is la ecuación es Para la directriz ϭ Ϫ p, For directrix2x 2 h p, the equation is Vertical axis Eje horizontal. ͑ y Ϫ x ͒ ϭ 4p͑x4p y ͒. k . k h Ϫh y k 2 4p x h . Horizontal axis For directrix x h p, a p unidades (distancia dirigida) del vértice. Las El foco se encuentra en el eje the equation is The focus lies onfoco axis las siguientes. distance) from the vertex. The coordenadas del 2the 4p x p units (directed son y k h. Horizontal axis coordinates of the focus are as follows. Eje vertical. ͑h, k focus lies on the axis p units (directed distance) from the vertex. The ϩ p͒ The Eje horizontal. ͑h, ϩ p, p͒ of the focus are as follows. Vertical axis h k k coordinates h p, k Horizontal axis h, k p Vertical axis h p, k Horizontal axis Eje Pa r a b Parábola o la A x Pa r a b o F l a o c u s Foco d2 d2 (x, y)(x, y) pd1 d 1 d d F o c u s 2 2 V e r t e Vértice d d 2 d(x, y) x 1 1 p d1 d2 Di r e c Directriz trix V e rte x d1 p Figure 10.3 10.3 Figura Di r e c t r i x Figure 10.3 EXAMPLE 1 1 Hallar el the Focusuna parábola Finding foco de of a Parabola EJEMPLO y y= 1 2 − x − 1 x2 2 y V ér t i c e y = 1 − x − 1 x2 1 2 2 )V −ér1,t i 1c2 )e p = −1 2 1 Foco p = −1 2 −2 −1 )− 1, 1 ) 2 x Foco x −2 −1 −1 −1 Parabola with a vertical axis, p < 0 Figure 10.4 Parábola con eje vertical, axis, p0 < 0 Parabola with a vertical p < Figura 10.4 Figure 10.4 1 1 2 FindEXAMPLE theparábola dada por y of a Parabola the focus de 1 Finding the by x x. Hallar el foco of la parabola given Focus 2 2 1 1 2 Solución To focusthe the foco, se given by y form by completing the square. Find x. Solution thePara hallar el parabolaconvierte a la formaxcanónica o estándar completando el find of focus, convert to standard 2 2 cuadrado. 1 1 2 y 2 x 2x Write original equation. Solution To find the focus, convert to standard form by completing the square. 2 yy ϭ11 1 1x 2x 1 x2x1 Factor out 1. ecuación original. 22 Ϫ Ϫ 2 Reescribir2 la 2 y x x Write original equation. 2y 1 2 2x x 2 22 Multiply each side by 2. 1 1 Sacar como factor. y ϭy2 ͑1 Ϫ12x Ϫ x ͒ x 2 2x Factor out 1. 2y 1 2 x 2 2x Group terms. 2 Multiplicar cada lado por 2. 2y ϭ 1 Ϫ12x Ϫ x 2 x 2 2y 2x Multiply each side by 2. 2y 2 x 2 2x 1 Add and subtract 1 on right side. 2 2y Ϫ1 2 x 2x Group terms. Agrupar términos. x 2 2x 2y ϭ 1 2y ͑x 2ϩ 2x͒ 1 2 x 2x 1 Add and subtract 1 on right side. 2 2y Ϫ2 Sumar restar 1 en el ϩ x 1 2y ϭ 2 2 y͑x 2 1 2x ϩ 1͒ Write inystandard form. lado derecho. x 2 2x 1 2y 2 x 2 ϩ this 1 ϭ 2Ϫ2y ϩ Comparing2x ϩequation with2 x h 2 4 p y k , you can conclude that x 1 2 y 1 Write in standard form. ͑x1, 1͒ 2 k Ϫ2͑ y Ϫand ϩ ϭ 1, 1͒ h p 2 1. Expresar en la forma estándar o canónica. Comparing this equation with x h 2 4 p y k , you can conclude that Because p is negative, the parabola opens 2 downward, as shown in Figure 10.4. So, the 1 Si se compara esta ecuación con ͑and h͒ p 4p͑ y. Ϫ k͒, se concluye que xϪ ϭ h 1, k 1, focus of the parabola is p units from the vertex, or2 kϭ1 1 h ϭ Ϫ1, p ϭ Ϫ 1. Because p is negative, theyparabola opens downward, as shown in Figure 10.4. So, the 2 h, k p 1, 2 . Focus focus of the parabola is p units from the vertex, or Como p es negativo, la parábola se abre hacia abajo, como se muestra en la figura 10.4. Por tanto, el foco de la parábola se encuentra a p unidades del vértice, o sea h, k p 1, 1 . Focus 2 A line segment that passes through the focus of a parabola and has endpoints on 1 ͑h, k ϩ p ϭ ͑Ϫ1, 2 ͒. the parabola is͒called a focal chord. The specificFoco. chord perpendicular to the axis focal of the parabola segment thatrectum.through the focus ofshows how to determine the on A line is the latus passes The next example a parabola and has endpoints length of the latus rectum a focal chord. The specific focal chord perpendicular to the axis the parabola is called and the length of the corresponding intercepted arc. of the parabola is the latus rectum. The next example shows how to determine the A un segmento de la recta que pasa por el foco de una parábola y que tiene sus extrelength of the latus rectum and the length of the corresponding intercepted arc. mos en la parábola se le llama cuerda focal. La cuerda focal perpendicular al eje de la parábola es el lado recto (latus rectum). El ejemplo siguiente muestra cómo determinar la longitud del lado recto y la longitud del correspondiente arco cortado.
  • 20. 10-1.qxd 3/12/09 698 16:44 Page 698 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Longitud de la cuerda focal y longitud de arco EJEMPLO 2 Encontrar la longitud del lado recto de la parábola dada por x 2 ϭ 4py. Después, hallar la longitud del arco parabólico cortado por el lado recto. y Solución Debido a que el lado recto pasa por el foco (0, p) y es perpendicular al eje y, las coordenadas de sus extremos son ͑Ϫx, p͒ y ͑x, p͒. Al sustituir, en la ecuación de la parábola, y por p se obtiene x2 = 4py x ϭ ± 2p. x 2 ϭ 4p͑ p͒ Lado recto o latus rectum (−2p, p) Entonces, los extremos del lado recto son ͑Ϫ2p, p͒ y ͑2p, p͒, y se concluye que su longitud es 4p, como se muestra en la figura 10.5. En cambio, la longitud del arco cortado es (2p, p) x (0, p) ͵ ͵Ί ͵ 2p Longitud del lado recto o latus rectum: 4p sϭ Figura 10.5 Ϫ2p Emplear la fórmula de longitud del arco. Ί1 ϩ ͑ yЈ ͒2 dx 2p ϭ2 1ϩ 0 x ΂2p΃ 2 yϭ dx x2 4p yЈ ϭ x 2p 2p ϭ ϭ ϭ ϭ Ϸ Fuente de luz en el foco 1 Ί4p 2 ϩ x 2 dx p 0 2p 1 xΊ4p 2 ϩ x 2 ϩ 4p 2 ln x ϩ Ί4p 2 ϩ x 2 2p 0 1 ͓2pΊ8p 2 ϩ 4p 2 ln͑2p ϩ Ί8p 2 ͒ Ϫ 4p 2 ln͑2p͔͒ 2p 2p ͓Ί2 ϩ ln ͑1 ϩ Ί2 ͔͒ 4.59p. ΄ Խ Խ΅ Simplificar. Teorema 8.2. Una propiedad muy utilizada de la parábola es su propiedad de reflexión. En física, se dice que una superficie es reflejante o reflectante si la tangente a cualquier punto de la superficie produce ángulos iguales con un rayo incidente y con el rayo reflejado resultante. El ángulo correspondiente al rayo incidente es el ángulo de incidencia, y el ángulo correspondiente al rayo que se refleja es el ángulo de reflexión. Un espejo plano es un ejemplo de una superficie reflejante o reflectante. Otro tipo de superficie reflejante es la que se forma por revolución de una parábola alrededor de su eje. Una propiedad especial de los reflectores parabólicos es que permiten dirigir hacia el foco de la parábola todos los rayos incidentes paralelos al eje. Éste es el principio detrás del diseño de todos los espejos parabólicos que se utilizan en los telescopios de reflexión. Inversamente, todos los rayos de luz que emanan del foco de una linterna con reflector parabólico son paralelos, como se ilustra en la figura 10.6. Eje TEOREMA 10.2 PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE UNA PARÁBOLA Sea P un punto de una parábola. La tangente a la parábola en el punto P produce ángulos iguales con las dos rectas siguientes. Reflector parabólico: la luz se refleja en rayos paralelos Figura 10.6 1. La recta que pasa por P y por el foco 2. La recta paralela al eje de la parábola que pasa por P
  • 21. 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 699 SECCIÓN 10.1 699 Cónicas y cálculo Bettmann/Corbis Elipses NICOLÁS COPÉRNICO (1473-1543) Copérnico comenzó el estudio del movimiento planetario cuando se le pidió que corrigiera el calendario. En aquella época, el uso de la teoría de que la Tierra era el centro del Universo, no permitía predecir con exactitud la longitud de un año. Más de mil años después de terminar el periodo alejandrino de la matemática griega, comienza un renacimiento de la matemática y del descubrimiento científico en la civilización occidental. Nicolás Copérnico, astrónomo polaco, fue figura principal en este renacimiento. En su trabajo Sobre las revoluciones de las esferas celestes, Copérnico sostenía que todos los planetas, incluyendo la Tierra, giraban, en órbitas circulares, alrededor del Sol. Aun cuando algunas de las afirmaciones de Copérnico no eran válidas, la controversia desatada por su teoría heliocéntrica motivó a que los astrónomos buscaran un modelo matemático para explicar los movimientos del Sol y de los planetas que podían observar. El primero en encontrar un modelo correcto fue el astrónomo alemán Johannes Kepler (1571-1630). Kepler descubrió que los planetas se mueven alrededor del Sol, en órbitas elípticas, teniendo al Sol, no como centro, sino como uno de los puntos focales de la órbita. El uso de las elipses para explicar los movimientos de los planetas es sólo una de sus aplicaciones prácticas y estéticas. Como con la parábola, el estudio de este segundo tipo de cónica empieza definiéndola como lugar geométrico de puntos. Sin embargo, ahora se tienen dos puntos focales en lugar de uno. Una elipse es el conjunto de todos los puntos (x, y), cuya suma de distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.7.) La recta que une a los focos interseca o corta a la elipse en dos puntos, llamados vértices. La cuerda que une a los vértices es el eje mayor, y su punto medio es el centro de la elipse. La cuerda a través del centro, perpendicular al eje mayor, es el eje menor de la elipse. (Ver la figura 10.8.) (x, y) d1 d2 Foco Eje mayor (h, k) Foco Vértice Centro Vértice Foco Foco Eje menor Figura 10.7 Figura 10.8 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para saber más acerca de cómo “hacer explotar” una elipse para convertirla en una parábola, consultar al artículo “Exploding the Ellipse” de Arnold Good en Mathematics Teacher. TEOREMA 10.3 ECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA ELIPSE La forma estándar o canónica de la ecuación de una elipse con centro (h, k) y longitudes de los ejes mayor y menor 2a y 2b, respectivamente, donde a > b, es ͑x Ϫ h͒ 2 ͑ y Ϫ k͒2 ϩ ϭ1 a2 b2 El eje mayor es horizontal. ͑x Ϫ h͒ 2 ͑ y Ϫ k͒2 ϩ ϭ 1. b2 a2 El eje mayor es vertical. o Si los extremos de una cuerda se atan a los alfileres y se tensa la cuerda con un lápiz, la trayectoria trazada con el lápiz será una elipse Figura 10.9 Los focos se encuentran en el eje mayor, a c unidades del centro, con c 2 ϭ a 2 Ϫ b 2. La definición de una elipse se puede visualizar si se imaginan dos alfileres colocados en los focos, como se muestra en la figura 10.9.
  • 22. 10-1.qxd 3/12/09 700 16:44 Page 700 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares EJEMPLO 3 Completar cuadrados Encontrar el centro, los vértices y los focos de la elipse dada por 4x 2 ϩ y 2 Ϫ 8x ϩ 4y Ϫ 8 ϭ 0. Solución Al completar el cuadrado se puede expresar la ecuación original en la forma estándar o canónica. (x − 1)2 (y + 2)2 + =1 16 4 4x 2 ϩ y 2 Ϫ 8x ϩ 4y Ϫ 8 ϭ 0 y 2 4x 2 Vértice 2 ϩ 4y ϭ 8 4͑x Ϫ 1͒2 ϩ ͑ y ϩ 2͒ 2 ϭ 16 x −2 Escribir la ecuación original. 4͑x 2 Ϫ 2x ϩ 1͒ ϩ ͑ y 2 ϩ 4y ϩ 4͒ ϭ 8 ϩ 4 ϩ 4 Foco −4 Ϫ 8x ϩ y2 ͑x Ϫ 1͒2 ͑ y ϩ 2͒2 ϩ ϭ1 4 16 4 Centro Escribir la forma estándar o canónica. Así, el eje mayor es paralelo al eje y, donde h ϭ 1, k ϭ Ϫ2, a ϭ 4, b ϭ 2 y c ϭ Ί16 Ϫ 4 ϭ 2Ί3. Por tanto, se obtiene: Foco Centro: −6 ͑1, Ϫ2͒ ͑h, k͒. ͑h, k ± a͒. Vértices: ͑1, Ϫ6͒ y ͑1, 2͒ Vértice Elipse con eje mayor vertical Focos: Figura 10.10 ͑1, Ϫ2 Ϫ 2Ί3 ͒ y ͑1, Ϫ2 ϩ 2Ί3 ͒ ͑h, k ± c͒. La gráfica de la elipse se muestra en la figura 10.10. NOTA Si en la ecuación del ejemplo 3, el término constante F ϭ Ϫ8 hubiese sido mayor o igual a 8, se hubiera obtenido alguno de los siguientes casos degenerados. 1. F ϭ 8, un solo punto, ͑1, Ϫ2͒: ͑x Ϫ 1͒ 2 ͑ y ϩ 2͒ 2 ϩ ϭ0 4 16 2. F > 8, no existen puntos solución: EJEMPLO 4 ͑x Ϫ 1͒ 2 ͑ y ϩ 2͒ 2 ϩ < 0 4 16 I La órbita de la Luna La Luna gira alrededor de la Tierra siguiendo una trayectoria elíptica en la que el centro de la Tierra está en uno de los focos, como se ilustra en la figura 10.11. Las longitudes de los ejes mayor y menor de la órbita son 768 800 kilómetros y 767 640 kilómetros, respectivamente. Encontrar las distancias mayor y menor (apogeo y perigeo) entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna. Luna Solución Para comenzar se encuentran a y b. 2a ϭ 768 800 768,800 Tierra a ϭ 384,400 384 400 2b ϭ 767 640 767,640 383 820 b ϭ 383,820 Perigeo Apogeo Longitud del eje mayor. Despejar a. Longitud del eje menor. Despejar b. Ahora, al emplear estos valores, se despeja c como sigue. c ϭ Ίa 2 Ϫ b 2 Ϸ 21 108 21,108 Figura 10.11 La distancia mayor entre el centro de la Tierra y el centro de la Luna es a ϩ c Ϸ 405,508 kilómetros y la distancia menor es a Ϫ c Ϸ 363 292 kilómetros. 363,292 405 508
  • 23. 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 701 SECCIÓN 10.1 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de algunos usos de las propiedades de reflexión de las cónicas, consultar el artículo “Parabolic Mirrors, Elliptic and Hyperbolic Lenses” de Mohsen Maesumi en The American Mathematical Monthly. Consultar también el artículo “The Geometry of Microwave Antennas” de William R. Paezynski en Mathematics Teacher. Cónicas y cálculo 701 En el teorema 10.2 se presentó la propiedad de reflexión de la parábola. La elipse tiene una propiedad semejante. En el ejercicio 112 se pide demostrar el siguiente teorema. TEOREMA 10.4 PROPIEDAD DE REFLEXIÓN DE LA ELIPSE Sea P un punto de una elipse. La recta tangente a la elipse en el punto P forma ángulos iguales con las rectas que pasan por P y por los focos. Uno de los motivos por el cual los astrónomos tuvieron dificultad para descubrir que las órbitas de los planetas son elípticas es el hecho de que los focos de las órbitas planetarias están relativamente cerca del centro del Sol, lo que hace a las órbitas ser casi circulares. Para medir el achatamiento de una elipse, se puede usar el concepto de excentricidad. DEFINICIÓN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA ELIPSE La excentricidad e de una elipse está dada por el cociente c eϭ . a Para ver cómo se usa este cociente en la descripción de la forma de una elipse, obsérvese que como los focos de una elipse se localizan a lo largo del eje mayor entre los vértices y el centro, se tiene que 0 < c < a. En una elipse casi circular, los focos se encuentran cerca del centro y el cociente c/a es pequeño, mientras que en una elipse alargada, los focos se encuentran cerca de los vértices y el cociente c/a está cerca de 1, como se ilustra en la figura 10.12. Obsérvese que para toda elipse 0 < e < 1. La excentricidad de la órbita de la Luna es e ϭ 0.0549, y las excentricidades de las nueve órbitas planetarias son las siguientes. Focos Mercurio: e ϭ 0.2056 a Júpiter: e ϭ 0.0484 Venus: e ϭ 0.0542 e ϭ 0.0167 Urano: e ϭ 0.0472 Marte: a) Saturno: Tierra: c e ϭ 0.0068 e ϭ 0.0934 Neptuno: e ϭ 0.0086 Por integración se puede mostrar que el área de una elipse es A ϭ ␲ab. Por ejemplo, el área de la elipse c es pequeño a x2 y2 ϩ 2ϭ1 2 a b Focos está dada por a ͵ ͵ a Aϭ4 0 c ϭ b) c es casi 1 a c Excentricidad es el cociente . a Figura 10.12 4b a b Ίa 2 Ϫ x 2 dx a ␲͞2 a 2 cos 2 ␪ d␪. Sustitución trigonométrica x ϭ a sen q . 0 Sin embargo, encontrar el perímetro de una elipse no es fácil. El siguiente ejemplo muestra cómo usar la excentricidad para establecer una “integral elíptica” para el perímetro de una elipse.
  • 24. 10-1.qxd 3/12/09 702 16:44 Page 702 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Encontrar el perímetro de una elipse EJEMPLO 5 Mostrar que el perímetro de una elipse ͑x 2͞a 2͒ ϩ ͑ y 2͞b 2͒ ϭ 1 es ͵ ␲͞2 Ί1 Ϫ e 2 sen2 ␪ d␪. sin 4a eϭ 0 c a Solución Como la elipse dada es simétrica respecto al eje x y al eje y, se sabe que su perímetro C es el cuádruplo de la longitud de arco de y ϭ ͑b͞a͒Ίa 2 Ϫ x 2 en el primer cuadrante. La función y es diferenciable (o derivable) para toda x en el intervalo ͓0, a͔ excepto en x ϭ a. Entonces, el perímetro está dado por la integral impropia ͵ ͵ d d→a a Ί1 ϩ ͑ yЈ ͒ 2 dx ϭ 4 C ϭ lim 4 lím 0 ͵Ί a Ί1 ϩ ͑ yЈ ͒ 2 dx ϭ 4 0 1ϩ 0 b 2x 2 dx. ͑a 2 Ϫ x 2͒ a2 Al usar la sustitución trigonométrica x ϭ a sen ␪, se obtiene sin Cϭ4 ͵ ͵ ͵ ͵ ␲͞2 sin sen Ί1 ϩ ab cos ␪␪ ͑a cos ␪͒ d␪ 0 ␲͞2 ϭ4 2 2 2 2 2 Ίa 2 cos 2 ␪ ϩ b 2 sen2 ␪ d␪ sin 2 0 ␲͞2 ϭ4 Ίa 2͑1 Ϫ sen2 ␪͒ ϩ b 2 sen2 ␪ d␪ sin 2 sin 2 0 ␲͞2 ϭ4 ÁREA Y PERÍMETRO DE UNA ELIPSE Ίa 2 Ϫ ͑a2 Ϫ b 2͒sen2 ␪ d␪. sin 2 0 En su trabajo con órbitas elípticas, a principios del siglo XVII, Johannes Kepler desarrolló una fórmula para encontrar el área de una elipse, A ϭ ␲ab. Sin embargo, tuvo menos éxito en hallar una fórmula para el perímetro de una elipse, para el cual sólo dio la siguiente fórmula de aproximación C ϭ ␲ ͑a ϩ b͒. Debido a que e 2 ϭ c 2͞a 2 ϭ ͑a 2 Ϫ b 2͒͞a 2, se puede escribir esta integral como ͵ ␲͞2 C ϭ 4a Ί1 Ϫ e 2 sen2 ␪ d␪. sin 2 0 Se ha dedicado mucho tiempo al estudio de las integrales elípticas. En general dichas integrales no tienen antiderivadas o primitivas elementales. Para encontrar el perímetro de una elipse, por lo general hay que recurrir a una técnica de aproximación. EJEMPLO 6 Aproximar el valor de una integral elíptica Emplear la integral elíptica del ejemplo 5 para aproximar el perímetro de la elipse x2 y2 ϩ ϭ 1. 25 16 y 6 x2 y2 + =1 25 16 Solución Como e 2 ϭ c 2͞a 2 ϭ ͑a 2 Ϫ b 2͒͞a 2 ϭ 9͞25, se tiene ͵ C ϭ ͑4͒͑5͒ 2 0 x −6 −4 2 −2 ␲͞2 4 6 −2 2 2 Aplicando la regla de Simpson con n ϭ 4 se obtiene C Ϸ 20 C ≈ 28.36 unidades sin Ί1 Ϫ 9 sen ␪ d␪. 25 ΂␲΃΂1΃͓1 ϩ 4͑0.9733͒ ϩ 2͑0.9055͒ ϩ 4͑0.8323͒ ϩ 0.8͔ 6 4 Ϸ 28.36. −6 Figura 10.13 Por tanto, el perímetro de la elipse es aproximadamente 28.36 unidades, como se muestra en la figura 10.13.
  • 25. 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 703 SECCIÓN 10.1 Cónicas y cálculo 703 Hipérbolas (x, y) d2 d1 Foco Foco d2 − d1 es constante d2 − d1 = 2a c La definición de hipérbola es similar a la de la elipse. En la elipse, la suma de las distancias de un punto de la elipse a los focos es fija, mientras que en la hipérbola, el valor absoluto de la diferencia entre estas distancias es fijo. Una hipérbola es el conjunto de todos los puntos (x, y) para los que el valor absoluto de la diferencia entre las distancias a dos puntos fijos llamados focos es constante. (Ver la figura 10.14.) La recta que pasa por los dos focos corta a la hipérbola en dos puntos llamados vértices. El segmento de recta que une a los vértices es el eje transversal, y el punto medio del eje transversal es el centro de la hipérbola. Un rasgo distintivo de la hipérbola es que su gráfica tiene dos ramas separadas. a Vértice Centro Vértice TEOREMA 10.5 ECUACIÓN ESTÁNDAR O CANÓNICA DE UNA HIPÉRBOLA La forma estándar o canónica de la ecuación de una hipérbola con centro ͑h, k͒ es Eje transversal ͑x Ϫ h͒2 ͑ y Ϫ k͒2 Ϫ ϭ1 a2 b2 El eje transversal es horizontal. ͑ y Ϫ k͒2 ͑x Ϫ h͒2 Ϫ ϭ 1. a2 b2 Figura 10.14 El eje transversal es vertical. o Los vértices se encuentran a a unidades del centro y los focos se encuentran a c unidades del centro, con c2 ϭ a 2 ϩ b2. NOTA En la hipérbola no existe la misma relación entre las constantes a, b y c, que en la elipse. En la hipérbola, c2 ϭ a 2 ϩ b2, mientras que en la elipse, c2 ϭ a 2 Ϫ b2. I Una ayuda importante para trazar la gráfica de una hipérbola es determinar sus asíntotas, como se ilustra en la figura 10.15. Toda hipérbola tiene dos asíntotas que se cortan en el centro de la hipérbola. Las asíntotas pasan por los vértices de un rectángulo de dimensiones 2a por 2b, con centro en (h, k). Al segmento de la recta de longitud 2b que une ͑h, k ϩ b͒ y ͑h, k Ϫ b͒ se le conoce como eje conjugado de la hipérbola. TEOREMA 10.6 ASÍNTOTAS DE UNA HIPÉRBOLA Si el eje transversal es horizontal, las ecuaciones de las asíntotas son b y ϭ k ϩ ͑x Ϫ h͒ a Asíntota Eje conjugado (h, k + b) (h − a, k) (h, k) a b y ϭ k Ϫ ͑x Ϫ h͒. a Si el eje transversal es vertical, las ecuaciones de las asíntotas son a y ϭ k ϩ ͑x Ϫ h͒ b b y y a y ϭ k Ϫ ͑x Ϫ h͒. b (h + a, k) (h, k − b) Asíntota Figura 10.15 En la figura 10.15 se puede ver que las asíntotas coinciden con las diagonales del rectángulo de dimensiones 2a y 2b, centrado en (h, k). Esto proporciona una manera rápida de trazar las asíntotas, las que a su vez ayudan a trazar la hipérbola.
  • 26. 10-1.qxd 3/12/09 704 16:44 Page 704 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Uso de las asíntotas para trazar una hipérbola EJEMPLO 7 Trazar la gráfica de la hipérbola cuya ecuación es 4x 2 Ϫ y 2 ϭ 16. TECNOLOGÍA Para verificar la gráfica obtenida en el ejemplo 7 se puede emplear una herramienta de graficación y despejar y de la ecuación original para representar gráficamente las ecuaciones siguientes. y1 ϭ Ί4x 2 Ϫ 16 y2 ϭ Ϫ Ί4x 2 Ϫ 16 Solución Para empezar se escribe la ecuación en la forma estándar o canónica. x2 y2 Ϫ ϭ1 4 16 El eje transversal es horizontal y los vértices se encuentran en ͑Ϫ2, 0͒ y ͑2, 0͒. Los extremos del eje conjugado se encuentran en ͑0, Ϫ4͒ y ͑0, 4͒. Con estos cuatro puntos, se puede trazar el rectángulo que se muestra en la figura 10.16a. Al dibujar las asíntotas a través de las esquinas de este rectángulo, el trazo se termina como se muestra en la figura 10.16b. y y 6 6 (0, 4) 4 (−2, 0) x2 y2 − =1 4 16 (2, 0) x x −6 4 −4 −6 6 4 −4 6 −4 (0, −4) −6 −6 a) b) Figura 10.16 DEFINICIÓN DE LA EXCENTRICIDAD DE UNA HIPÉRBOLA La excentricidad e de una hipérbola es dada por el cociente c eϭ . a Como en la elipse, la excentricidad de una hipérbola es e ϭ c͞a. Dado que en la hipérbola c > a resulta que e > 1. Si la excentricidad es grande, las ramas de la hipérbola son casi planas. Si la excentricidad es cercana a 1, las ramas de la hipérbola son más puntiagudas, como se muestra en la figura 10.17. y y La excentricidad es grande La excentricidad se acerca a 1 Vértice Foco Vértice Foco c e= a c Foco Foco Vértice Vértice x x c e= a a c a Figura 10.17
  • 27. 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 705 SECCIÓN 10.1 Cónicas y cálculo 705 La aplicación siguiente fue desarrollada durante la Segunda Guerra Mundial. Muestra cómo los radares y otros sistemas de detección pueden usar las propiedades de la hipérbola. EJEMPLO 8 Dos micrófonos, a una milla de distancia entre sí, registran una explosión. El micrófono A recibe el sonido 2 segundos antes que el micrófono B. ¿Dónde fue la explosión? y Solución Suponiendo que el sonido viaja a 1 100 pies por segundo, se sabe que la explosión tuvo lugar 2 200 pies más lejos de B que de A, como se observa en la figura 10.18. El lugar geométrico de todos los puntos que se encuentran 2 200 pies más cercanos a A que a B es una rama de la hipérbola ͑x 2͞a 2͒ Ϫ ͑ y 2͞b 2͒ ϭ 1, donde 4 000 3 000 2 000 d2 B d1 A −2 000 Un sistema hiperbólico de detección 2 000 3 000 −1 000 −2 000 2c ϭ 5 280 5280 d2 Ϫ d1 ϭ 2a ϭ 2 200 2200 Figura 10.18 c= 1 milla 5 280 pies = = 2 640 pies. 2 2 a= 2 200 pies = 1100 pies 2 x y Como c2 ϭ a 2 ϩ b2, se tiene que b2 ϭ c2 Ϫ a2 ϭ 5 759 600 y se puede concluir que la explosión ocurrió en algún lugar sobre la rama derecha de la hipérbola dada por Mary Evans Picture Library x2 y2 Ϫ ϭ 1. 1 210 000 5 759 600 1,210,000 5,759,600 CAROLINE HERSCHEL (1750-1848) La primera mujer a la que se atribuyó haber detectado un nuevo cometa fue la astrónoma inglesa Caroline Herschel. Durante su vida, Caroline Herschel descubrió ocho cometas. En el ejemplo 8, sólo se pudo determinar la hipérbola en la que ocurrió la explosión, pero no la localización exacta de la explosión. Sin embargo, si se hubiera recibido el sonido también en una tercera posición C, entonces se habrían determinado otras dos hipérbolas. La localización exacta de la explosión sería el punto en el que se cortan estas tres hipérbolas. Otra aplicación interesante de las cónicas está relacionada con las órbitas de los cometas en nuestro sistema solar. De los 610 cometas identificados antes de 1970, 245 tienen órbitas elípticas, 295 tienen órbitas parabólicas y 70 tienen órbitas hiperbólicas. El centro del Sol es un foco de cada órbita, y cada órbita tiene un vértice en el punto en el que el cometa se encuentra más cerca del Sol. Sin lugar a dudas, aún no se identifican muchos cometas con órbitas parabólicas e hiperbólicas, ya que dichos cometas pasan una sola vez por nuestro sistema solar. Sólo los cometas con órbitas elípticas como la del cometa Halley permanecen en nuestro sistema solar. El tipo de órbita de un cometa puede determinarse de la forma siguiente. 1. Elipse: 2. Parábola: 3. Hipérbola: v < Ί2GM͞p v ϭ Ί2GM͞p v > Ί2GM͞p En estas tres fórmulas, p es la distancia entre un vértice y un foco de la órbita del cometa (en metros), v es la velocidad del cometa en el vértice (en metros por segundo), M Ϸ 1.989 ϫ 1030 kilogramos es la masa del Sol y G Ϸ 6.67 ϫ 10Ϫ8 metros cúbicos por kilogramo por segundo cuadrado es la constante de gravedad.
  • 28. 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PMPM Page 706 1059997_1001.qxp 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 10-1.qxd 3/12/09 9/2/08 Page 706 Page 706 16:44 3:49 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 9/2/08 3:49 Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM PMPage 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 706 706 706 706 706 706 706 706 706 706 706 706 706 706 CAPÍTULO 10Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Chapter 10 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 1010 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 1010 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 10.1 Exercises SeeSeewww.CalcChat.com forforworked-out solutions totoodd-numbered exercises. 10.1 Exercises Seewww.CalcChat.com forforworked-outsolutions odd-numbered exercises. www.CalcChat.com worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.1 Ejercicios Seewww.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.1 Exercises SeeSeewww.CalcChat.comforforworked-out solutions totototoodd-numberedexercises. www.CalcChat.com worked-out solutions odd-numbered exercises. www.CalcChat.com 10.1 Exercises SeeSee www.CalcChat.comworked-out solutions toodd-numbered exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for for worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.1 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions totoodd-numbered exercises. worked-out solutions to odd-numbered exercises. En Exercises 1– 8,amatch the laSee www.CalcChat.com gráfica. [Las los ejercicios 1 8, relacionar See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises.a 20, hallar el vértice, and directrix of the ecuación con su for worked-out En los ejercicios 17 foco y la directriz de to Exercises exercises. In10.1 Exercises equation with its graph. [ThesolutionsIn odd-numbered17–20, find the vertex, focus,el and directrix of the InIn Exercises 1–1–8, match the equation with itsitsgraph. [The InInExercises17–20, find the vertex, focus, and directrix ofofthe In Exercises 1– match the equation with its graph. [The Exercises 8, match the equation with graph. [The In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix Exercises 17–20, find the vertex, focus, the In Exercises 1– 8, match the equation with its graph. [The In Exercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix of the In Exercises 1– 8,8, match the equation with its graph. [The InExercises 17–20, find the vertex, focus, and directrix ofthe gráficas están marcadas a),(c), c), (e), (f), withand graph. [The e), In Exercises 1–1– match the equationf),(g), its 8, graphs are labeled (a), match (d),d),(e), (f),g) y h).](h).] (b), b), graphs are labeled match the equation(f), (g), andgraph. [The with graph. graphs Exercises 8,(a), (b), (c), the (e), (f), withand its(h).] [The In In are labeled 8, (b),the equation(f),(g), its graph. [The graphs are 1– (a), (d), (g), and (h).] graphs are 1– 8, (a), (b), (c), (d), (e), (g), and (h).] graphsare labeled8,(a), (b), (c),(d), equation(g), and(h).] In Exerciseslabeledmatch (c), (d), (e), (f),with its (h).] Exercises 1– (a), (b), (c), (d), (e), match (c), equation (g), its (h).] In Exerciseslabeled(a), (b), the (d), (e), (f),with andgraph. [The graphs are labeled (d), a) Exercises labeled (a), (b), (d), (e), (f),y (g), and graph. [The b) y 8, graphs are labeled match (c), equation y(f), its (h).] In graphs are labeled (a), (b), the (d), (e), (f), (g), and (h).] are labeled match (c), equation yy its (h).] (g), In Exercises 1–yy (a), (b), (c), (d), (e), (f),with and graph. (a) graphs are 1– 8, (a), (b), the(c), (b) (e),ywith(g), and (h).] [The (b) graphs yy y (a) yy (a) (b) (a) (b) (a) (b) (a) (b) y graphs are labeled (a), (b), (c), (d), (e), (f), y(g), and (h).] (a)(a) (b)(b) 4 graphs are labeled y(a), (b), (c), (d), (e), (f), y(g), and (h).] y 8 8yy y 4 4yy (a) (b) (a) (b) 4 4 88 8 (a) (b) 8 44 686y y y8 (a) (b) 224 y 4 6686 (a) (b) 86 4 8 464 4464 6 6 8 84 6 4 4 4 6 64 4 x −8 8 −6 2 4 4 4 −−−−6−6 −2− 2 22 244 4 8−8 −6 − 2− 2 2 4 − −6 2 4 8 8 −6 −− 2 2 2 4 − 8 −6 −− 2 4 2 − 8 −8 −6 −4− 4− 2 22 44 4 − −6 −6 − −−24 2 4 −4 −88−6 −−24 −2 4 −8 −8 −6 2 4 −8 −6 −24 − 4 2 4 −4 −4 2 − yy y (c) c) yy y (c) y (c)(c) (c) (c) −4 −4 y (c)(c) y y (c) yy (c) (c) 44 4y (c) (c) 44 4 y 4 2242 2242 4 4 42 xx x 2 x x x − 6 4 2 2 4 6 − − 2 −66−44−22 42 22 2 4 4 6 6 x 4 −−−−4−−4 − 2 22 244 466 6 x x 6− 6 − 42− 2 4 6 x − −4 − 2 6 6 −−2 2 x − 6 −4 − 22 2 4 6 x −4 4 − 22 2 4 − 6 − 4 −4−−2 2 4 6 6 − − 6 − 4− 4 − −24 4 −− − 66− 44−−2 4 22 44 66 x x −4 − 6 − 4 −− 4 2 2 4 6 − 6 − 4 −− 44 − 4 2 4 6 2 − −4 −4 (e) (e) e) y (e)(e) (e) (e) (e) (e)(e) (e) (e) (e) (e) 4 2 2242 42 2 2 x 4 42 2 2 2 22 44 2 44 4 22 2 2 4 4 2 2 2 4 2 24 4 −4 22 44 −4 −4−4 −4 −4 −4 2 4 4 2 −4 −4 −4 −4 −4yy (d) d) (d) −4yy yy (d) (d) (d) −4 yy (d) (d) (d)(d) 44 4yy y (d) 4 4 y (d) 44 4 y (d) 224 y 4 (d) 2242 42 2 2 x 4 42 2 2 2 22 2 44 4 66 6 22 2 44 4 66 6 2 4 6 −2 −222 2 4 6 −−− 2 2− 2 − 22 2 24 466 6 2 4 4 6 −− 2 −4424− 2 2 −−24 −−−−4 4− 2 4 6 2 4 4 6 2 −4 −2 − 24 − 4 −4 − −4 (f(f ) f)(f ) − 4 y (f )(f)) − 4 (f ) (f ) (f ) (f ) (f (f )) (f ) (f ) x −8 −4 −2 2 4 −4 −6 −8 y yy y y y y 6 y y 66 6yy 6 6 6 y 6 y6 6 26 22 2 62 62 2 2 2 −6 6 −2 2 2 2 2 6 − 6 −−− 2 22 2 66 6 x −−− 6 2− 2 66 − − 2 6 6 22 −6 − 22 2 6 − 6 − 22− 2 2 2 6 6 −6 −6 −2 −2 2 6 −6 2 6 −6 −−− 6 2 −6 −6− 6 2− 6 −6 26 6 2 6 −6 −6 −6 −6 −6 ϭ − 1. y22 22 4x 6 y y ϭ 4x 1.1. yyϭϭ4x6 1. 2 ϭ −4x 1.1. y 2ϭ4x4x (g) (g) (g) (g) (g) g)(g) (g) (g)(g) (g) (g) (g) (g) 2 1 x −3 −1 1 3 −2 y y y y yy y y y y 4 4yy 4 4 44 4 4 y 24 y 4 242 2 2242 2 4 42 2 2 2 −2 2 4 6 x −2−222 2 2 4 4 6 6 −2 2 4 6 −2 2 − −2−2− 2 22 2 44 4 66 6 −22− 2 2 4 6 −− 2 2 −2 − −2 −2 2 24 46 6 −24 −2 − 2 − 2 22 44 66 −−24 − −−2 − −4 2 −244 4 2 4 4 6 6 −2−− 4 2 −4 −4 − 24 − 4 −4 −2 − ϩ ϭ ϩ 2. ͑x x− 4 4͒2͒22 2͑ y y 2͒ ͑ − 44 2 2 2 y 2 2.2. x͑ϩϩ͒42ϭϭ͑2͑ ϩϩ͒2͒ (h) (h) (h) (h) (h) (h) h) (h) (h)(h) (h) (h) (h) (h) ϩ4 ϭ2 ϩ2 2. ͑ x ϩ ͒ ϭ ͑ ͑͑ y ϩ ͒ 2.2.͑͑x͑xϩ 44͒͒ ϭ 22yyϩ 22͒͒ ϩ 4͒ 2 y y y 2͒ 1. y 2 ϭ 4x 2. x ͑x ϩ 2 ϭ 2͑ ϩϩ ϩ 2 2 2 2 12 1. yy22 yϭ4x ϭ Ϫ2͑ Ϫ 2 2. ͑͑͑x͑xϪϪ͒͒͒222ϭ͑͑͑2͑ϩϩ͒͒͒2͒222͒ ϩ 2 1. 1.2 ϭ ϭ 4x 2. 2. xϩ 24͒24ϭ ϭ y ͑1 2 4x 1. x ϭ ͒2 2. ͑ xϩ 42 2 ͒ y y ϩ 2 1. y ϩ 4x 2 2. ͑x͑xϪ242͒ ϩ 2͑͑yϩϩ 1͒͒2 ϭ ϩ1 Ϫ 3.3.͑y͑2xϭ 44x͒22 ϭ Ϫ2y y Ϫ ͒ ͒ 4.4. x͑xϪϪ22͒͒͒22ϭ 2y͑yyϩ1122͒ϭ 1 1 2 ϩ4 x ϩ Ϫ2ϩϩ2͑ y4y 12͒2 ϭ1 1 Ϫ 4͒22ϭ ͑ ϩ 2 ϭ 2 2 ϭ ͒ ϭ ͑͑y͑͑2xϭ ͒422 ϭϪ2 yyyϪ2͒2 ϩϭ 4x͒ϭ ϭ Ϫ2͑ y Ϫ ͒ 3. 3. xx2xϩ444x͒ ϭϪ2͑͑ ͑͑ϪϪ22͒͒ 4. 4. ͑͑x 16 4͒͒22 ϩ 2͑yy͑ ϩϩ2͒1͒ϭ11 ϩ ϩ 3.3.yx ϩ 4͒͒ ϭ Ϫ2͑ y Ϫ 22 4.4. ͑x Ϫ 222 ϩ ͑ y ϩ4122 ϭ 1 ϩ 1. 2. 16 2 2 y4ϩ41͒ ͑x 1. ͑ ϩ 42 2 Ϫ2 2. ͑͑͑x Ϫ16͒͒ ͒ϩ͑͑yϩϩ͒͒͒ 16 ͒ 3. 4. xx 16 ͒ 16 Ϫ y 44 ͑2 ϩ ϩ ϭ Ϫ2 y y 2 3. 3.x ϩ 4͒22 ϭ Ϫ2͑ y ͑Ϫ 2͒ 4. 4. Ϫ 22 2 ϩ͑ϩ ϩ11 ϭ ϭ 4 ϭ1 3. ͑͑x ͑x 42 4͒ ϭ Ϫ2 Ϫ Ϫ 3. x2x 2ϩ y4͒͒22ϭ Ϫ2͑͑y Ϫ 2͒͒ 2͒ 4.4. x2x 22162222ϩ ͑ y ϩ 142ϭ 11 1 4. ͑ 2 2Ϫ 2͒y 22ϩ ͑ y ϩ 1͒ 2 ϭ 1 y ͒2 2ϩ 16 16 4 ͑x Ϫ y y 2 2 2 ϩ x2ϩ yy2ϭ 16 4 xxx216ϩyy2 ϭ 1 1 44 ͒ ϭ 1 xxxx2ϩ y42͒222 ϭ1Ϫ2͑ y Ϫ 2͒ 16 2 ϭ 5.5. ͑ x ϩ 4y ϭϪ2 ͑ y Ϫ 2͒ 6.6. x ϩ1 ϭ1 3. ͑ ϩ yy ϭ1 1 4. 16 ϩ 16 ϩϭ 1 3.5.4xϩϩ9͒2ϭϭ11 4.6. x2ϩϩ y 2ϭϭ11 5. 5. x4 xϩ 9 y 2 1 6. 6. 1616 16y ϭ 4 ϩ ϭ ϩ2 2 2 5. x22 ϩ y 22 ϭ 1 6. x22 x 2 y 22 ϭ 1 4 5. 4424 999 ϭ 6.1616ϩyy16 ϭ ϭ x2 x4 y 9 y 16 16 16 ϭ x16ϩ1616ϭ 1 5. 5.2 ϩ y92 ϭ 1 6. 6.2 ϩ 216 ϭ y1 1 16 ϩ 2 ϩ 2 ϭ 5. x42 ϩ ϩ ϭ 1 6. x 2 16 ͒222 16 22 5. yx4 224 x29 229 1 1 6. ͑16Ϫϩ ϩ222ϭ11y 22 x Ϫ y͒ 2 22 4y Ϫ xx ϭ x ϪϪ͒16 Ϫ 2 ϭ yx y x͑͑xϪ229 2͒2 yyy 2 1 xy 2 xy92 2 1 16 Ϫ 16 16 y4 ϩ 2 ϭ 1 ͑͑9 x ϩ 2 2 ϭ 12 16 ͑ 7.7. yy2 ϩ 9x ϭ 11 8.8. xxx ϩ 2͒ ϭ 1 y ϭ 1 ͒͒ ϪϪ y ϭ 1 5. 6. 5. y ϪϪ x2ϭϭ 6. ͑x Ϫ 22 2 2 2 7. 7.1622 yϪ1 1 ϭ111 8. 8. 16 ͑x9Ϫ 22 Ϫ 4 4 ϭ 11 7.7. y16Ϫ 922 xϭ 11 8.8.͑x Ϫ 216 ͒Ϫy22 yϭ 11 4 Ϫ9 ϭ 16 9 916 Ϫy4 ϭ 42 2 x 2 7.162 Ϫ1121 ϭ ϭ 1 8. 8.x 999 2͒͒22Ϫ4424 ϭ ϭ 16 ͑ Ϫ 2 16 Ϫ xx1 ϭ 1 yy16Ϫ Ϫ ϭ 1 7. 7.2 16 1 ϭ 1 8. ͑x Ϫ 2͒ 2 Ϫ y4 ϭ 11 1 9 Ϫ 2 4 ϭ 7. 16 Ϫ 2 1 8. 7. y 2 x1 8. ͑x Ϫ9 2͒ 2 Ϫ Ϫ ϭ 1 16 1 9 4 y ͑x Ϫ and directrix y2 16 x2 9–16, 16 Ϫ 1 ϭ9–16,find the vertex, focus, 29 Ϫ y4 ϭ 1 of the 9 ͒ 4 ϭ1 In7. Exercisesϭ 1 Ϫ 1 7. Exercises 9–16, find the vertex, focus, and directrix ofofthe 8. focus, and directrix of the InExercises 9–16, find the vertex,8. focus, and Ϫ directrixof the find the vertex, focus, anddirectrix of the InIn Exercises 9–16, find the vertex, focus, and 4 In 16 Exercises the vertex, directrix the In Exercises 9–16, findthe vertex, focus, and directrix of the 16 1 9 4 1 9 In Exercises sketch its graph. parabola, and 9–16, find graph. parabola, andsketch find vertex, focus, and directrix of the 9–16, parabola, and 9–16, findgraph. vertex, focus, and directrix of the In In Exercises sketchits thethe parabola, and sketch its the vertex, focus, graph. parabola, and sketch itsthe vertex, focus, and directrix of the parabola, and9–16, find graph. In Exercises 9–16, itsitsgraph. Exercises sketch its graph. In Exercises sketch findhallar el vértice, el and directrix of the parabola, and En parabola, and9sketch its graph. los ejercicios a 16, foco y la directriz de parabola, and sketch its graph. In Exercises sketch its the vertex, focus, and directrix of the parabola, and sketch its graph. 10. 2 ϩ 6y In Exercises 9–16, find graph. 10. x22 2 and 0 ϭ and 9. y 2 2 parabola,Ϫ8x9–16, find the vertex, focus,6y ϭ 0directrix of the la 9. yy222 ϭϪ8x trazar su gráfica. 10. xxx222 ϩ6yϭϭ00 parábola, y y y ϭ Ϫ8x 9. 9. 2yϭϭ Ϫ8x Ϫ8x ϩ 6y ϭ 10. 10. x ϩ6y6y ϭ 0 9.9. y2 ϭϪ8x sketch its graph. 10. xxϩϩ 6y ϭ 00 parabola,Ϫ8x ϭ5 and ϩ 2 ϭ 9. 10. parabola, ϭϩ y Ϫ 3 its 0 2 and 2 ϭ 0 11. ͑9.22 yϭ Ϫ8x ͑sketch͒2͒2 graph. 12. 10.2x xϪ 6y͒2ϭ 8͑ y0ϩ 7͒ ͒ ϭ 0 Ϫ8x 2 9. x ϩϩ ͒͒ ͒ϩ 10. ͑x͑2ϪϪϩ 6y 0 y y ϩ 7ϭϭ 11. y͑ϩϩ Ϫ8x͑ ͑ y Ϫ 2 ϭϭ 0 12. 10. ϩ6͒͒ ϩ ϭ8 11.9.͑xy2xϩ55Ϫ8x͑ ͑͑ϪϪ332222 ϭ00 9. 10. x͑ xϩ ͒622ϭϩ0͑ ͑ y ϩ ͒ ϭ0 3 6 ϩ 11. ϩ 5 ϩ 12. Ϫ 6 ϩ ͑ 11. y͑ xϭ 5͒͒ ϩ y Ϫ ͒ ϭ 12. 11. ͑͑x͑x ϭ ͒5ϩϩyyyϪ3͒3͒͒ ϭ0 00 12. ͑xx2Ϫϩ66y͒22ϭ888͑͑ϩϩ77ϭϭ00 12. ͑͑x͑xϪ66y͒ϩϩ08yyϩ7͒7͒͒ϭ 00 x ϭ ϩ 5͒ ϩ Ϫ 3 3͒2 ϩ Ϫ8x 11.11.22͑ϭ4y Ϫ 4x ͑ y Ϫ22 ϭ ϭ 0 14. 12.22ϩ 6y22ϭ28x͑ϩ͑ 25ϩ 70 ϭ 0 12. yxx ϩ Ϫ ϩ 0 y ϩ 7ϭ ͒ 22 Ϫ 5͒ ϩ ͑ y ϭ 0 ͒ 2 Ϫ 6͒ ϩ 8 2 ͑x 6y 6͒ 0 8 y ͒ 13. yyx ϩ 54yϩ ͑͑y Ϫ 3 0 ϭ 0 9. 10. x ϩ 6y 9. 10. xxϩϩ66yϭ8x8͑͑y ϩ 25͒ ϭ 0 11. ͑ 2 Ϫ4y4yϪ4x4xϪ0 0 12. 2 ϩ 6y2 ϩ ϩ ϩϩ 25 ϭ 13. x Ϫ ϩ y 14. 11. y x Ϫ8x ͑ 4xϭ 3 12. y ϩ 13. yy͑y222ϩ 5͒4y Ϫ4xϭϭ3͒0 ϭ 0 14. yy͑y222Ϫ 6͒6yϩ 8xϩϩ257͒ϭϭ 0 11. yy ϩϪ5͒͒ ϩϪy4x ϭ͒2 12. ͑y Ϫ6y6yϩ 8͑ y ϩ 7ϭϭ 0 ϩ 8x 13. 14. ϩ 8xy 257͒ 0 13. 14. 13. ͑2xϪϪ4yϪϪ 4xϪϭ0͒ ϭ 0 14. ͑2x Ϫϩ6͒͒ϩϩ 88xϩϩ25 ϭ 0 0 Ϫ ͒ 6y 25 13. ͑x ϩ Ϫ Ϫ ͑Ϫ 4x 30ϭϭ 14. ͑2 ϩ2 ϩ2 ϩ ϩ͑Ϫϩϩ ͒ ϭ 0 15. 13.22ϩ24x ϩ 4y Ϫ 302 ϭ 0 16. 14.2222ϩ4y2ϩ 8x͑ yϩ 127͒25 000 0 x2yϩ 4y Ϫ 4x ϭ ͒ ϩ 4y Ϫ y ϭ 0 ͒ ϩ 4x Ϫ ͒ y Ϫ 6y ϩ 8x ϩ25 ϭ ͒ ϩ8 11. xy2222Ϫ 54x4y͑4xϪϭ4ϭ 00 0 12. yyx22yϩ6͒ ϩϩ 8xϪϪ25 ϭϭϭ Ϫ4y4y ϩ 8 8x127 ϭ0 0 11. x͑yxϩϪ54yϩ4y4yϪ4042 ϭ 0 12. y͑yxϩϩ66y6y8x8xyϩ 25ϭϭ 00 13. xyx ϩ4x4xϩ 4y Ϫ 44ϭ000 14. yyy ϩ 4y ϩ 8x Ϫ 12 ϭ 00 15. 222 ϩ4y Ϫ 4y Ϫ 4 ϭ 16. y ϩ 4y ϩ 8x Ϫ 12 ϭ 13. yx Ϫ 4xϩϩ 4yϭ ϭϭ 0 14. 2y2 ϩ 6y ϩ 8x ϩ 12 ϭ 0 15. 16. 13. 14. ϩ 4x ϩ Ϫ ϩ 4y 8x Ϫ 12 15. 16. 15. 16. 15. x ϩ 4x ϩ 4y Ϫ 4 ϭ 0 16. y ϩ 4y ϩ 8x Ϫ 12 ϭ 0 15. y Ϫ 4y Ϫ 4x ϭ 0 16. y 2 ϩ 6y ϩ 8x ϩ 25 ϭ 0 2 2 13. x 2 ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ Ϫ 4 0 14. y 2 ϩ ϩ ϩ ϩ Ϫ Ϫ ϭ ϭ 13. 15.22 Ϫ 4y 4x 4x 4y 0 ϭ 0 0 14. 16.22ϩ 6y ϩ 8x ϩ 25 12 0 0 15. x 2 x 4x ϩ 4y Ϫ 4 ϭ ϭ 16. y 2 yϩ 4y 4y 8x 8x 12 ϭ 0 ϩ 4x ϩ 4y Ϫ 4 4y ϩ 8x Ϫ 12 ϭ 0 15. 16. 15. yx2 ϩ 4x Ϫ 4y ϭ 4 ϭ 0 16. yy ϩ 4y ϩ 8x Ϫ 12 ϭ 0 2 2 15. x ϩ 4x ϩ 4y Ϫ 4 ϭ 0 16. y ϩ 4y ϩ 8x Ϫ 12 ϭ 0 15. x 2 ϩ 4x ϩ 4y Ϫ 4 ϭ 0 16. y 2 ϩ 4y ϩ 8x Ϫ 12 ϭ 0 15. x 2 ϩ 4x ϩ 4y Ϫ 4 ϭ 0 16. y 2 ϩ 4y ϩ 8x Ϫ 12 ϭ 0 la Exercises Luego usar una utility to graph the parabola. the In parábola. 17–20, find the vertex, focus, and the parabola. Then use a a graphing vertex, to graph graficación para graphing herramienta de directrix of parabola. Then use agraphingutility to graph directrix of parabola. Then use aafind thethe utilityfocus, and theparabola. thethe In In Exercises 17–20, graphing utilitytofocus, and parabola. parabola. Then use find utility graph the parabola. parabola. Then use a graphing utility graph the parabola. parabola. Thenparábola. the vertex, focus, and thedirectrix of In Exercises 17–20, graphingvertex, focus, and directrix of the Exercises 17–20, graphing utility to graph directrix of In Exercises la use afind the vertex, totographthe parabola.the representar 17–20, find parabola. Then use a parabola. utility graph directrix parabola. Thenϭ a graphing utility to graph Ϫ 8x parabola. In Exercises 17–20, a graphing utility ϭ Ϫ 1graph parabola. the vertex, to to 1and directrix ͒ parabola. Then use find the vertex, focus,Ϫ͑11͑2 the 8x ϩ 6of parabola. In Exercises Then0 0afindgraphing18.y yto graph 22the parabola.the y22 22 ϩ x 17–20, ϩ x Then use ϩy ϭ x 17. parabola.ϩ y useusegraphing utilityfocus,16and2thetheϩ 6͒of the 18. parabola. ϩ ϭ 17. y2 ϩ ϩ ϭ 0 17. yyyyϩϩxxxϩyyyϭ00 18. yyϭϭϪ 61x6͑͑xϪϪ8xϩϩ ͒6͒ Ϫ6 ϩ ϭ 17. 18. ϭ Ϫ 6 2 Ϫ parabola. ϭ 6 1 1 Ϫ 8x ϩ 17. 2 ϩ Then use a 18. ϭϪϪ ͑͑2x2 Ϫ 8x ϩ 6 17. yy22ϩx xxϩy yyϭ0 00 graphing utilityyyϭ graph2 Ϫ8x8xϩ666͒͒͒ 18. yytoϭϪ͑1͑xxx the8x ϩ 6͒ 17. 2 ϩ 18. parabola.ϩ Ϫ 4 ϭ ϭ graphing utility 2toygraph22theϩ 9 ϭ 0 6͒ 17.17.22Ϫ2 Then ϭ a 18.18. 2 ϭ11ϩ ͑x 2 Ϫ 8x ϩ parabola.4x ϩ ϩuse0 0 6x Ϫ 1Ϫ 8y parabola. 2x6 19. y2y 2yϪx4xxϪ ϭ ϭ 0 20. xyxϭϪ 2x x6 Ϫ 8x ϩ 6͒ 0 17. 18. 2Ϫ Ϫ2xxϩ Ϫ 8x 9 6 19. ϩ x4x y 4 ϭ 20. ϩ 17. 18. Ϫ Ϫ 2x 2 8y ϩ 9 ϭ 19. yyyy22ϩ4xϩϪ44yϭ00 20. xxyx22ϪϪ66͑͑xϩ8yϩϩ99ϭ0͒0 17. y2ϪϪ x4x Ϫ ϭ ϭ 0 18. 2xϭϪ2xϩϩϪ 8x ϩϭ 0 Ϫ Ϫ y 0 ϩ8y ϩ ϭ 6 8y ϩ ϭ 19. 20. Ϫ ϩ 4 ϭ0 19. 20. 19. yy22Ϫ4x4xϪy 44ϭ 00 20. yx2ϭϪ2x ϩ8y8yϩ9ϩ ϭ͒00 19. y 2 ϩ 4x Ϫ 4ϭ0 20. x 2Ϫ2x6͑ ϩ 8y ϩ 99 ϭ 0 1 Ϫx Ϫ Ϫ x2 Ϫ 19.19.22 y 2 x ϩϪyϪ 40ϭ 0 20.20.22ϭ2Ϫ2x2x Ϫ 8x ϩ 6͒͒ϭ 0 y x 2x ϩ ϩ 8x ϩ ϭ 0 y2 Ϫ Ϫ 4x 4 ϭ 0 ϩ 4x Ϫ ϭ 0 17. y 2 ϩ 4xϩ y 4ϭϭ 0 18. y 2ϭϪϪ1͑͑xϩ 8y 8y 9 ϭ 0 17. y Ϫ 4x Ϫ 4 ϭ 0 18. x Ϫ 2x 2 8y ϩ 9 9 19. y Ϫ 21–28, find an equation of the2x ϩ 8y ϩ 9 ϭ 0 20. x Ϫ parabola. 6 6 Ϫ ϩ 6 19. 20. x 19. Exercises 20. In Exercises 21–28, find an equation the InInExercises21–28, find anhallar unaofofϪthe parabola.9 ϭ 0 Exercises Ϫ 4 ϭ find an equationofthe 2xparabola. In los Ϫ 4x Ϫ21–28, findanequation x 2of theparabola. Exercises 21–28,0 28, equation ofthe2x parabola. In Exercises21–28, 0afind anequation ecuaciónϩ 8y ϩ 9 ϭ 0 2 ejercicios ϭ 2 Ϫ parabola. 2 Ϫ 4x In Exercises 21–28, find an equation x the parabola. En de la parábola. ϩ 8y ϩ 19. y 20. 19. y 20. of In Exercises 4 21 In Exercises 21–28, find an equation of the parabola. 21–28, In Exercises ͑ 4͒ ͒ find an equation of of parabola. 21. InVertex:͑5,5, 21–28, find an equation thethe͑parabola. 22. of the ͑Ϫ2, 1͒ ͒ In Exercises5,21–28, find an equationVertex: parabola. 21.Vertex: ͑͑5,5, 4͒͒ 22. Vertex: ͑Ϫ2, 111͒͒ Vertex: ͑Ϫ2, ͒1 21. Vertex: ͑͑5,44 22. Vertex: ͑͑Ϫ2, ͒ 21. Vertex: Vertex: 22. Vertex: 21. Vértice: 4 22. Vertex: Ϫ2, 21. Exercises͑5, ͒͒4) find an equation Vertex:parabola. 22. of the ͑Ϫ2, 11) 22. Vértice: Ϫ2, 1 21. Vertex: 21–28, In Exercises3, 4͒ 4 4 21. Focus: ͑ 21–28, Vertex: 22. of Vertex:(Ϫ2, ͒ In 21. Vertex:(5,5, 4͒ find an equationFocus: parabola.1͒ the ͑4͒͒ 21. Focus: 3,5,4) ͒͒ Vertex: ͑͑5, 4 22.22.Focus:Ϫ2,͑Ϫ2, ͒ ͒ Vertex: ͑͑͑Ϫ2,Ϫ1 Focus: 4 Focus: Ϫ2, Ϫ1 1͒ 21. Vertex: ͑͑͑͑3,44 Vertex: 3,3, ͒ 22. Focus: ͑͑Ϫ2, Ϫ1 Vertex: Ϫ2, 1Ϫ1 21. Focus: ͑(3,5,͒44͒͒ 22. Focus: ͑(Ϫ2, Ϫ1͒ ͒ ͒͒ Vertex: ͑͑Ϫ2,Ϫ1) Focus: Focus: Focus: Ϫ2, Ϫ1 Foco: 3, Foco: Ϫ2, 1͒ Focus: 5, 3, Focus: Ϫ2, 21. Vertex: ͑0,0,4͒ Vertex: ͑3, 4 ͒ 22. Vertex: 2,Ϫ2,Ϫ1 ͒ Vertex: ͑͑ 2 2 1 23. Vertex: ͑͑͑5,͑54͒͒͒ ͒ 24. Focus: ͑͑͑͑Ϫ2,͒Ϫ1͒͒ ͒ ͑ Focus:͑(0, Focus: 2͒ 21. Vertex: ͑͑͑3,54͒͒ 4 22. Focus: ͑͑͑2,2͒͒ Ϫ1͒ Focus: ͑3,0, 5 Focus: ͑͑Ϫ2,͒͒1͒ 23. Vertex: 0,͑0,5͒5͒͒ Vertex: 3, 4͒5) 24. Focus: 2,͑2, Ϫ2,͒Ϫ1 Focus: Ϫ2, Focus: 0, 4 5 Focus: Ϫ2,2 Ϫ1 23. Vértice: 24. Focus: 2, 23. Focus: ͑ ͒ 24. Foco: 2, 2 23. Vertex: 24. 23. Vertex: 24. Focus: 23. Vertex: ͑0, 5͒ 24. Focus: ͑2, 2͒ 23. Directrix:3,y͑ ϭ 5͒ 24. Directrix:Ϫ2, Ϫ1͒ Focus: Focus: ͑ x2, ͒ Vertex: Focus: Focus: ͑ 0,4͒ϭϪ3 Focus: ͑Ϫ2,͒ ϭ͒Ϫ2 23.23.Directrix:40,ϭϪ3 Vertex: y 5ϭ Ϫ3 24.24.Directrix:͑2x͒͒Ϫ1Ϫ2 Directrix: y Directrix: 23. Directrix:0, y5͒ϭ Ϫ3 Vertex: 24. Directrix:2, 2ϭ2Ϫ2 Focus: x ϭϭ Ϫ2 Directriz: y Directriz: x ϭ Ϫ2 23. Directrix:͑3, y5͒͒͒ϭϪ3 Vertex: ͑͑͑0, ϭ Ϫ3 24. Directrix:͑2, xxxϭ Ϫ2 Focus: ͑2, 2ϭϪ2 Directrix: y Ϫ3 Directrix: Directrix: 5 Directrix: 2 x y Directrix: 23. Directrix:0,y ϭ ϭ Ϫ3 Vertex: yy y y ϭ Ϫ3 24. Directrix: 2 ϭ ϭ Ϫ2 Focus: 2, x ϭ Ϫ2 25. Vertex: ͑͑0,yy5͒͒y Ϫ3 26. Focus: ͑͑2, x ͒͒ϭ Ϫ2 23. 24. yyyy 25. Directrix: ϭ 26. y Ϫ2 y 25. 26. 25. Directrix:yyyy ϭ Ϫ3 26. Directrix: 4)x ϭ Ϫ2 25. 26. 25. 26. yy (2, 25. Directrix:(0, 4) Ϫ3 26. Directrix: x 25.25. 26.26. y y (2,(2,x4)ϭ Ϫ2 (2, (2, 4) y yϭ Directrix:y y(0,4)4) ϭ Directrix:yy(0,4)4)Ϫ3 Directrix:4)x ϭ (2, (0,(0, Ϫ3 y 4Directrix: 4)4) Ϫ2 (2, 4) 25. 26. 4 25. 26. 4 25. 26. 4444y (2, 4) (0, 4) (2, (2, 4) y (0, (0, 4) (2, 4) 4) (0, 4) 4) 25. 26. 4 y 25. 26. 343y 4 (2, 4) 3 y (0, 4) 3 3 3343 3333 43 3 3 (0, 4) (2, 4) (2, 4) 3 3 (0, 4) 232 3 232 3 4 43 32 22 2 22 2 22 2 3 3 2 2 121 2 3 3 31 3 2 2 2 1121 (0, 0) 2 21 (−2, 0) (2, 0)0) (4, 0)0) (−2, 0) (4,0)0) (2,0)0) (2,0) (0, 0) (4,x 1 (0, 0) (−2, 0) 0) (2,(2,x0) (4,(4,0) (−2, (2, (−2,2 (−2, 0)0) (2,0) x (0, (4, (4,0) 0) 2 (0,0) 0) 21 (0,(0, 0) 1 1 0) (−2, 2 0) (2, xxxx 0) 0) (4, x0)xx0) x 1 (0, (0, 2 3 xx 1 0) 0) −1 (−2, (−2, 0) 0)11 1 (2, 0)x 0) 0) (2, (2, 0) (0, 0) 2 3 (4, (4, x x (−2, (0, 1 2 3 (4, 0) 0) −1 (−2, 0) 1 1 (2, 0) x (0,110)2222 3333 (4, 0) x 1 1 −1−1 1 −1 1 −1 1 −1 1 1 x x x x −1 1 x (−2, 0) (2, 0) 0) (0, 0) 2 (4, x (−2, 0) (0, 10) 1 2 2 3 3 (4, 0) 1 3, 27. Axis−1 −1parallel1 (2, y-eje y; graphpasses through 3͑0, 3͒, 0)͑ 4͒, y −1 11 27. Axisis is parallel y-axis; graph passes1 through ͑ 3 ͒ 3, 4͒4 paralelo y- x axis; la por 3 27. El −1isparallel totoalaxis; graph passes 11through͑0,0, ,3 ͑͑x͑͑3,44 x 27. Axisejeisparallel totoy-y-axis;graph passes pasa 22 3(0,0,33,͒͒,(3,3,4),͒͒,, 27. Axis passes through 27. Axisis esparallel y-axis; graph passesthrough ͑ 3), ͒ 27. Axis isisparallel totoy-axis; graphgráfica through ͑0,͑0,͒3͒͑,,x3,3,4,4͒, 27.27. Axis 11͒. 1 to to axis; graph passes 1through ͑0,͑3͒,3͑3,͑3,,4͒, Axis4,4, parallel and ͑−1 11͒. parallel 1 through 0, ͒, ͒ 2 3 2 3 −1 is 1 and ͑ y-axis; graph passes (4, ͑ is 11 27. and 4,͑4, parallel to y-axis; graph passes through ͑͑0, 3͒͒,, ͑͑3, 4͒͒,, Axis ͑is parallel to y-axis; graph passes through ͑0, 3͒, ͑3, 4͒, and and 11͒ 27. Axis͑4,4,11͒ . Axis is 11 27. and ͑11).11.͒.͒͒.. and 4, parallel to y-axis; graph passes through 0, 3 2 3, 4 28. Directrix: ͒11ϭϪ2; y-axis; graphofpassesrectum are0, 0,0, ͑3, 4͒,, and and 4, 4, . ϭ.ϭ Ϫ2; extremos 27. Directrix: yy.ϭϭ Ϫ2;y-endpointsofoflatus recto (latus ͑͑͑3͑0,2͒͒3, and Axis is 11 y to endpoints lado through are 3͒,, ͑ and͒ to endpoints 28. and ͑4, 11 yyy ͒ϭ Ϫ2; endpoints of passes through are 0,2͒2͒and Directrix: and is parallel Ϫ2; axis; graph latus rectum ͑ ͑ 2 4 27. Directrix:parallelϪ2; endpoints ofoflatus rectum are0,rectum) and 28. Axis͑͑4, ͑11͒͒.yϭϪ2; endpoints dellatus rectum are 0,͒0, 2͒͒and Directriz: son 28. Directrix: 28. latus rectum ͑ and 28. Directrix: latus rectum are 28. Directrix: y ϭ Ϫ2; endpoints of latus rectum are ͑͑ 2͒ and 0, 28.28.0,22.4,y11͒..2͒y ϭ Ϫ2; endpoints of latus rectum are ͑0, 2͒ and ͑and ͒͑4, ͑8, . 8, Directrix: and͒͑2͒. ͑͑8, 2. ͑8,͑8,22͒͒͒.. 11͒y ϭ Ϫ2; endpoints of latus rectum are ͑͑0, 2͒͒ and 2. 28. Directrix: y ϭ Ϫ2; endpoints of latus rectum are ͑0, 2͒ and ͑ 28. Directrix: y ϭ Ϫ2; endpoints of latus rectum are 0, 2 and Directrix: 28. ͑͑8,8,2͒͒. 8, 8, ͑͑8, ͑2͒͒..2͒. 28. Directrix: y ϭ find endpoints of latus endpoints are 0, 2 and 8, 2 28. ͑Directrix: y ϭ Ϫ2; the center, of latus rectum are ͑͑0, 2͒͒ and 8, 2͒. In Exercises 29–34, Ϫ2; 34, hallar el centro,rectumand eccentricity En Exercises29–34,find the center, foci, vertices, and eccentricity la los 2͒. 29–34, find the center, foci, vertices, and vértice y el foco, eccentricity InInExercises29–34,29 findthecenter, foci, vertices, and el eccentricity Exercises 29–34,find the center,foci, vertices, and eccentricity In ͑8, 2͒. Exercises find In Exercises 29–34, a the center, foci, vertices, and eccentricity In Exercises 29–34, find the center, foci, vertices, and eccentricity ͑8, ejercicios sketch its graph. foci, vertices, In the of the Exercises de la elipse itstrazar su foci, vertices, and eccentricity ellipse, and center, excentricidad and sketch itsgraph. ofoftheellipse, 29–34, sketchitsgraph. foci, vertices, and eccentricity In In ellipse,and sketchthethegraph. gráfica. of the ellipse, and find the ellipse, 29–34, find graph. of Exercises and sketch center, graph. ofthe ellipse,and sketch theitsgraph.foci, vertices, and eccentricity In Exercises 29–34,find itsy center, In Exercises 29–34,sketchthecenter, foci, vertices, and eccentricity of of the ellipse, andfind its its graph. 2 the ellipse, and sketch of Exercises 22 2and sketch its center, foci, vertices,2 and eccentricity In Exercises 29–34,sketch its graph.foci, 22 ϩ 7y 2 ϭ 63 of the 22 22 ϩ y and find the graph. 3x 2 7y22 ϭ 63 In the ellipse, 22 ϭ sketchthe center,30.3x22vertices,2and eccentricity 16xellipse, ϭ 16 find its graph. ϩ y 29–34, 29. the ellipse,2 and 16 30. of 16xϩ 29. 16x ϩ 29. 16x ϩ ϭϭ16 30. 3xϩ 7y7y 6363 29. 16x 222ϩyyy2 ϭ1616 30. 3x3xϩϩ 7yϭϭ 63 ϭ 16 29. 30. 29. 30. 29. the ellipse,yand16 30. 3x ϩ7y2 ϭ63 of 29.16x ϩ y 2and Ϫ 1͒ its graph. 3x 2 ϩ 7y 2 ϭy63 6͒ sketch 29. ͑16x 30. of the Ϫ223͒22 ϩ2 y͑2yϭ 16 2 2 its graph. 30. 22 ϩ ϩ 22 ϭ ϭ 632 2 ellipse, ϭ sketch 2 x 16x 2 2 ͑ 2 63 29. 16x Ϫϩ ͒͒22 ϭ͑ Ϫ Ϫ 2 ͒ 30. x 3x4 7y 7yyyyϩ6 2 ͒ ͑Ϫ ϩ 16 1 ϩ ϩϭ ϩ 29. 16x2Ϫ͒3 y ͑ϭ yϪ1 ͒ 30. 3x ϩ 227y ϭ͑ 63ϩ ͒ yy 29. ͑x͑xϪ3332yϩ ϭy16Ϫ͒1͒͒ϭ 1 30. 3x2 ϩ 42 2 ͑͑ ͑ ϩϩ͒6͒͒ϭ 1 x y y ͑x ͒ 31. ͑x16xϪϩ3͒2y2ϩ͑ ͑͑16Ϫ112222 ϭ 1 32. ͑3xϩϩ ͒7y22ϩϭ͑63ϩ662222 ϭ 1 31. ͑x 16 3͒2ϩϩ ͑ y 25 1͒2ϭϭ11 32. ͑xx͑x2 ϩ44͒͒2ϩ ͑ yy ϩ 662ϭϭ11 32. ͑ ͑ϩ ϩ͒͒ ͒ϩϩ 1͞4 ͒ ϭ1 1 Ϫ 31. 16x 2 ϩ yϩϭ 1625 2 ϭ1 1 32. 3xx ϩ 42 2 ϩ 63y ϩ 2 ͒2 31. 32. 31. Ϫ 32. 31. ͑ 2 Ϫ 32. ͑x2 31. ͑x Ϫ ϩ22 2 2ϭy16y 1͒21ϭ 1 29. 16xx 3 ϩ ͑Ϫ Ϫ ϭ 30. 3xϩ4 47y 22 ͑͑ 1͞4 6 ϭ1 ͑1͞4 29. ͑͑x1616͒͒ y 2 ϩ͑͑y2525͒͒ ͒2 16 Ϫ ϩ ͒ 4͒ ͑ y ϩ 31.31. Ϫ 3 ͒ 3͒ ͑ y Ϫ 1 32. ͑x ͑x ϩ22 ϩϭy1͞46͒2 ϭ ϭ 1͞4 16 25 1͞4 Ϫ ϩ 16 3 ϩ ϩ 25 1 ϭ 1 1 30.32. ϩϩ ͒7yϩϭy63 6͒͒ 6ϭ 1 1 ϩϩ 31. x 2ϩ 16 ϩ 25 2524y ϭ 32. ͑ x 4 16 2 ϭ1 31. 32. 31. ͑9x Ϫϩ͒4y 222 ϩy36x1Ϫ ϭ 1ϩ 36ϭ ͑͑x ϩ 4 2 ϩ ͑ y 1͞4 ͒2 ϭ 1 33. 9x22Ϫϩ4y22ϩ ϩ36x Ϫ͒2 24yϩ 36 32. 00x ϩ 4͒͒ ϩ ͑ y 1͞46͒2 ϭ 1 25 ͑9x163 4y ϩ͑36x251Ϫ 24y ϩ 36ϭ0 0 x 22 3 4y ϩ 36x Ϫ 24y ϩ 36 ϭ Ϫ ϩ6 2 4y Ϫ ϩ 1͞4 33.9xx 2ϩϩ4y 2ϩϩ36xϪϪ224yϩϩ36ϭϭ00 33. 9x 216ϩ͒24y2ϩ͑y 36xϪ͒24y ϩ3636 ϭ 0 16 2 1͞4 33. 9x ϩ ϩ 36x ϭ 1 25 24y ϭ͑ 33. 33. 33. 9x ϩ 4y ϩϩ 36x Ϫ 24y1 3632. 0x ϩ 4͒2 ϩ 1͞4 ϭ 1 ϭ ϩ 32. ͑ x ϩ 4͒2 ϩ ϭ1 31. 31. 9x 2 2 ϭϭ 33. 64x 34. 16x22 ϩϩ25y2222 36x64x 24y150y ϩϭ 0 ϭ 00 1͞4 2 2 1͞4 ϩ ϩ 279 33. 9x 22 ϩ ϩ 25y22ϪϪ36xϩϩ24y 36ϩ279 0 34. 9x 9xϩϩ 25y ϩ2564xϪ150y ϩ 36279 ϭ 34. 16x 2 ϩ 4y Ϫ Ϫ ϩ 150yϩ 279 ϩ 33. 9x 16 4y 25y 36x Ϫ 24y150y ϭ279 ϭ 64x 34. 33.16xϩϩ25yϩ2236x64xϩ150y 36ϩ279ϭϭ00 33. 16x16ϩ4y25y2 Ϫ2564x24y150y362790 ϭ 0 34. 16x 34. 16x 25y ϩ Ϫ Ϫ ϩ ϩ 34. 16x2 2222ϩ4y2 ϩϪϪ64xϩϩ150yϩϩϭ 0 ϭ0 00 25y 2 64x 150y 279 16x 34. 9x2 ϩ ϩ ϩ Ϫ 64x 24y ϩ ϩ ϩ ϭ 33. 16x 2ϩ 4y 2 25yϪ ϪϪ ϩ 150y36 279 ϭ 0 150y 279 33.34. 216x 24y2 ϩ2 Ϫ 64x ϩ 150y36 ϭ 0279 0 0 34. 9x 22 ϩ 25y 2 36x Ϫ 24y150y ϩ ϭ 0 ϭ ϭ ϩ 35–38, 64x ϩ ϩϩ ϩ 279 ϭ 34. 16x ϩ 25y 34. los ejercicios 36xafind the center, foci, foco yvertices In Exercises25y 2 Ϫ 64x ϩhallar ϩ centro, 0 and vertices of the En 16x 2 InInExercises 35–38,64xfindthe center, foci,0 and vertices ofofde la In Exercises35–38, find 150y center, ϭ el and vertices of the Exercises 35–38, find the el 279 foci, center, foci, the In 16x 2 ϩ 25y2 Ϫ 64x ϩ 150y ϩ 279 ϭ 0 and vertices ofthe Exercises 35–38, 38, the center, foci, and el vértice the 2 35 In Exercises25y35–38,find the center, foci, and vertices of the Ϫ ϩ 34. 16x ϩa 35–38, find the ϩ 34. Exercises graphingfind thetocenter, foci,ellipse. In and ellipse. Use ayuda de una herramienta thegraficación represenutility graph elipse. Con a35–38, find the center, the ellipse.vertices of the ellipse. Use 35–38, find the to graphthe and vertices of the ellipse. Exercises 35–38,utilitytocenter, thefoci, and vertices of the In In Use agraphingutility tograph foci, and vertices of the Exercises graphing utility center, the ellipse. ellipse. Use graphing utility to center,de ellipse. utility graph the ellipse. ellipse. Use 35–38, ellipse.Use aagraphingfind thethegraphfoci, ellipse. In Exercises agraphing utility to graphfoci, ellipse. Exercises graphing find to graphthe and vertices of the In ellipse. Use a a graphing tar 12x Use20y 2 Ϫ find the center, the la 2 a ellipse.elipse. 35–38, find utility graphfoci, and vertices of the In Exercises20y 2 12x utility to to ϭ foci, and vertices of the ellipse. Use a graphing graph In Exercisesa 35–38,12xutility to graph0the ellipse. ϩ 35. ellipse. Usegraphing ϩ 40y Ϫ 37 graph the ellipse. ellipse. 2Use20ygraphing utility toϪ 37 ϭthe ellipse. 2 35. 12xϩϩ 20y Ϫ12x ϩ the center, 0 0 35. 12x 22222 ϩ20y 2222 Ϫ12xϩϩ40yϪϪ37ϭϭ00 ellipse. 12x 40y 40y 35. 12x ϩ graphing ϩ 40y Ϫ 37ϭ ϭ 35. 12x ϩ a20y Ϫ 12xutility to graph the 35. 12x Use 20y ϪϪ 12x ϩ40y Ϫ3737ϭ 00 ellipse. ellipse.2Use a 220yϪ Ϫ Ϫϩ 40yto Ϫ 37 the 12x 2 ϩ 20yϩ 48x ϩ 40y Ϫ 37 0 35.35. 22ϩ ϩ 222 Ϫ 12xutility40y 37 ϭ 0 ellipse.12x 2 9y graphing12x ϩ ϩϪgraph ϭ 0 ellipse. 2 2 36. 36x 2ϩ 20y 2 ϩ 48x ϩ 36y Ϫ 43 ϭ 0 35. 12x 2 35. 12x ϩ 20y Ϫ 12x ϩ 40y Ϫ 37 ϭ 36. 36x ϩ 9y Ϫ 48x ϩ 36y Ϫ 37 ϭ 12x 36y 43 ϭ 40y 35. 12x ϩ 9y ϩ 12x Ϫ 40y ϩ 43 ϭ 36. 36x 22222ϩ9y 222ϩ48x ϪϪ36yϩϩ43ϭϭ000 35. 12x ϩ9y9y Ϫ 48x Ϫ 36y ϩ 43ϭ0 0 36. 36x 36. 36x 36. 36x ϩϩ20yϩϩ48x Ϫ36y ϩ4337ϭ 00 36. 36x ϩ 20y 3x 48x Ϫ 36y ϩ 43 ϭ 2 Ϫ Ϫ 48x 40y 0.25 37. x36x222y229y 222ϩ ϩ 4yϪ 36y ϩ ϭ37ϭ 0 0 35. 12x 2 ϩ ϩ 9yϩ 48x Ϫ 36y ϩ 43 ϭ 36. 36x ϩ 9y 2 2 3x48x ϩ 36y ϩ 43 36x 2 Ϫ 2 12x ϩ 40y Ϫ 37 35. 12x 22 ϩ 29yϪϩ 48x 4y Ϫ 36yϭϭ43 ϭ 36. 2xϩ 2y2y9y23xϪϩ4yϪ ϩ 0.25ϩ 0 ϭ 0 37. 22ϩ 36. x 2ϩ ϩ2y2Ϫ 3x ϩ 4y ϩ 0.25 ϭ 0 37. 36.x22 2ϩϩ 20yϪϩϩ12xϪϩ0.25Ϫ43 0ϭ 00 0 ϩ ϭ0 36. 36x ϩ 2y222 Ϫ3x 48x 4y ϩ0.25 43 0 ϩ 37. ϩ 37. 37. xx36xϩ2y 9yϪ ϩ3xϩ 4yϩ36y0.25ϭ0ϭ 0 x 2 ϩ ϩ 9yϪϩ 48x 4y ϩ 0.25 43 0 0 37.37.22 x22 ϩ 222ϩ2 4.8xϩ ϩ 4y ϩϩ 43 ϭ 0 2 2 3x Ϫ Ϫ 36y 3.12 2 2y 9y2 ϩ 48x 4y ϩ ϩϩ ϭ ϭ y 6.4y 38. 2x22ϩϩ 2y2yϪ 3x 3x Ϫ 6.4y0.253.120ϭ 0 36x 2y 36. 36xϩ 2y 2Ϫ Ϫ ϩ 4y ϩ 0.25 ϭ 0 3x 4y ϩ 0.25 ϭ 0 ϭ 37. x2 2 2y Ϫ 36y 0.25 36. 2x2xϩ 2y 2ϩϩ3x ϩ 4y ϩ ϩϩ ϭ ϭ 0 37. 2x 22 ϩyy 22 ϩ4.8xϩ Ϫ6.4y0.25 3.12ϭ 00 4.8xϪ6.4y ϩ3.12 ϭ 38. xx2xϩϩ y ϩ4.8x Ϫ Ϫ 6.4yϩ3.12 0 ϭ 0 37. 38. x 2 ϩy 2 Ϫ 3x 37. 2x ϩ 4.8x 4.8x 6.4y ϩ 3.12 38. 38. 38. 2x ϩ y ϩ 4.8x Ϫ 6.4y ϩ 3.12 ϭ 0 38. x ϩϩ ϩ Ϫ ϩ ϩ Ϫ Ϫ 6.4y ϩ 3.12 ϭ ϩ 2x ϩ 2y 2 ϩ 4.8x 4y 6.4y ϩ ϭ ϭ 0 y 2 4.8x 4y ϩ ϩ ϭ 37. x 2 22 ϩ y 22 Ϫ 4.8x Ϫ 6.4y0.253.120ϭ 0 38. 2x 2 ϩ y2 ϩ 3x ϩϪ 6.4y ϩ 3.12 ϭ 0 37.38.222x 22y22 yϩ 3x 4.8x 6.4y0.253.120ϭ 0 0 38. 2x ϩ y 38. 2x 38. Exercises ϩ 4.8x Ϫ anϩ 3.12 of the ellipse. In Exercises 39–44, find an equation of the ellipse. InInExercises239–44,find6.4yequationϭofthe ellipse. In Exercises 39–44, find 39–44, find equation of equation In 2x 2 ϩ y 2 ϩ 4.8x Ϫ an equation 0 the ellipse. 39–44, find InExercisesy39–44, findananϩ 3.12 ϭof the ellipse. 2x2 ϩ 38. Exercises ϩ 4.8x Ϫ 6.4y ϩ 3.12 of the ellipse. 38. Exercises 39–44, find an equationof0 the ellipse. In In Exercises 39–44,44, anan equation of the de la elipse. equation EnExercises 39–44, a find equationVertices:ellipse. ͑8, 3͒ los ejercicios hallar una of the ellipse. In Exercises 39–44, find an In Center: 0 0 of the ellipse. 39. Exercises0,0, ͒ ͒39 find an equationecuación͑0,0, ͒,͒, ͑8, 3͒ 40. Vertices: ͑ 3 In Center: ͑͑ ͑͑39–44, find an equation of the ellipse. ͑8,͑8, 3͒ 39. Center: ͑ 0͒ 0 40. Vertices: 39. Center: 0, 0,00͒͒ 40. Vertices: ͑0,0,33 , ͑8,͒͒ 39. Center: 40. Vertices: ͒ 39. Center: 39–44, find an equationVertices:͑0,͑0,33,͒͒,͑8,333͒ 40. of the ellipse. ͑͑0, 39. Exercises0,0,0͒͒ 40. Vertices: ͑͑ 3͒,3, ͑8, 3͒ In Exercises͑39–44, 0, 39. Center: 0, 0 40. Vértices: (0,33͒ (8, In 39. Center:0͑͒0,͒ 0͒ find an equationEccentricity:͑43), ͒, ͑8, 3͒ of Vertices: 3 3 the ellipse. Centro: 0 40. Vertices: ͑͑0, 0, ͑ 8, 3͒ 39. Center: ͑0, 0 Focus: Eccentricity: 39. Focus: ͑͑5,5,͒0͒͒ 40.40.Eccentricity:͒333͑8, 33) 39. Focus: ͑͑0, 0͒ Center: ͑ 5, 0 40. Eccentricity:3 ͒44 Vertices: 0, 4 Focus: Focus: Eccentricity: 39. Focus: ͑5,͑5,00͒͒͒ Center: ͑5,0,0͒ 40. Eccentricity: 4334,,,͑38, 3͒͒ Vertices: ͑0, 3͒ 5, 0) Focus:(5, ͑0͒͒0͒ Eccentricity:34͒, ͑8, 3͒ Foco: ͑ Excentricidad: Focus: Eccentricity: 39. Vertex: ͑͑͑6,6,͒0͒ Center: 0, 5, 40. Eccentricity: 33 Vertices: ͑0, 39. Vertex: ͑͑6,͑6,0͒͒ ͒͒ Center:͑5,6,͒ ͒ 40. Vertices: ͑0, 33͒, ͑48, 3͒ Vertex: 0, Focus: 6, 0 Eccentricity: 44 Focus: ͑ Eccentricity:4 Vertex: Vertex: Vertex: ͑͑5,000 Focus: 5, 000 6,͑00) ͒ ͒0 Vertex:͑5, 06,͒, ͑3, 9͒ 1 ±9 3 41. Vertices:5,3,3,͒͒1͒, ͑3, 9͒ 42. Foci: ͑0,0, ± ͒ ͒3 Vértice: ͑6, 1 , ͑3, 9͒ (6,͒ Vertex:͑͑3, 1 , ͑͑3, 9 ͒͒ ͒ Focus: ͑͑͑6,0011,͒͒,͑3,3, 9͒͒ Eccentricity:͒4 41. Focus: ͑3,0 Vertices: 42. Eccentricity: Vertex: 41. Vertices: ͑6,͑ 0 42. Foci: ͑0,͑0,±±͒9 ͒ 9 41.Vertex: Vertices: 42. Foci: ͑ Foci: 41. Vertex: Vertices: 42. Foci: ͑ ± 99͒ 41. Vertices: 3, 3,1͒, ͑3, 9͒͒ 42. Foci: ͑͑0,0,±±9 4 ͑ 41. Minor axis3, ͒ ͒1͑3, 9 ͒ Vertices:6,3, 42. Major axis 9± 9 Foci: (0, length: 41.Minor axis͑3, ͒3, ͑͒3,͑96 Vértices:͑ 0 1͒ 42.Major ͑͑0, ±length: 22 Foco: 0, ± 9͒ Vertices: length: Foci:axis Vertex: axis length: ͒6 Vertex: axislength: 66 Minor ͑ length: Major axislength: 41.41.Minor ͑axis͑11͒,,,͑͑3,699͒ 9͒ Vertices:6,͑length:, 3, 42.42.Major0,͑±Ϯ9) ͒ 2222 Foci: axis0,9͒length: 22 41. Minor axis3, 1͒, 3, 69͒ Vertices:͑3,0length: 42. Major͑0,axis͒length:22 Foci: axis9 ͒length: 22 Minor Major 41. Vertices: length: 6 42. Foci: axis length: 22 Minor ͑3, Major 0 43. Center: ͑0,0, length: 9͒ 44. Center:0,1,1, length: 22 Longitud 0 menor: Longitud 2 ͒ Minor del Major 41. Minor axis 0͒͒length: 42. Major axis2͒2 length: 41. Vertices:0,3,͒͒ ͒͒eje3, 6 42. Foci: ͑ ͑͑͑ ͑±del͒eje mayor: 43. Minor axis length: Center: ͑ 0, 0 44. Major axis9length: 22 Center: ± 2 43. Center: ͑axis0length: 96͒ 6 6 44. Center:͑0, 1,1,length: 22 22 22 43. Minor 0,͑axis Center: 44. Major ͑ axis Center: 43. Vertices:͑͑0, 1 ͑ Center: 44. Foci: 1,͑1,22 Center: ͑͑0, 0͒ 43. Center:axis ͒01͒,, ͑3, 6 44. Center:axis9͒͒͒͒͒͒ 43.43. Center: ͑0,͒ 0͒ 6 Center:axis horizontal 44.44. Center: ͑2 ͒ 2͒ 22 Center: ͑͑1, 1, Major axis: 0͒͒ Major axis: 2͒͒ ͑0, 0 horizontal 0, 1, 2 43.Major axis: 0length: 6 Centro:axis: horizontal 44.Major axis: vertical 22 Centro:axis: vertical Minor axis horizontal Major axis length: Minor axis:0horizontal Major axis:2vertical Major ͑axis: horizontal Majoraxis vertical ͑͑0, length: 43. Center: axis: 44. Center: axis:͒vertical 43. Center: 0, Center: 44. Center: ͑axis: vertical Center: ͑͑1, length: Major Major Major Major 1, 43. Major axis: ͒ 44. Major axis:2vertical Major 0, 0horizontal Major 1, 2͒ellipse: Points on0, the ellipse: the͒ellipse: Points on1, 2vertical Eje mayor: ͒horizontal Eje mayor: vertical Majorthe horizontal axis: ellipse: horizontal Majorthe ͒vertical 43.Points on͑on 0horizontal Center:axis: horizontal 44.Points on͑1, theellipse: Center:axis: vertical 43. Points axis:theellipse: Center:on theellipse: 44. Points axis:the ellipse: Center:on the ellipse: Points on Points on Major ͑ Major ͑on Major on Major onthe ellipse: Points ellipse: Points ellipse: Points Points axis: vertical Major axis:theellipse: Major axis:theellipse: Points axis: elipse: Points axis: elipse: ͑Major͑axis:lahorizontal 3,3, ͒,͒,4,4,on͒ the ellipse: 1 1 on the ellipse: ͑Major͑axis:lavertical 1,1, ͒,͒,3,3,on͒ the ellipse: 6 on Puntoson0the ellipse: en͒͒ horizontal Puntoson2the ellipse: Major ,4,4, 0͒͒ Major ,3,3,the ͑ 3, ,1͑ ͑ ͒ ͑ 1, 6 ͑ ͑ 2 2 vertical Points4,͑4,the Points3,͑3,͒͒͒ ͒͒ ellipse: Points ͑ 0 0 Points ͑enthe ͑3,͑3,11,͒͒,͑on 0the ellipse: 1Points 0 ͒͒ on ͑1,͑1,66,͒͒,͑on 2the ellipse: 6Points 2 ͒,6 on 2 ͑ ͑ ͑͑3, 1͒, ͑4, 0͒ ͑͑1, 6͒͒, ͑3, 2͒ Points Points ͑3, 1͒͒ on 4, 3, 1 , 0 ͑1, 6͒͒ on 3, 1, 6 , 2 Points,͑͑4, 0͒͒ ͒ Points,͑͑3, 2͒͒ ͒ ͑͑3, ͑1͒͒,, ͑͑4, the ellipse: ͑͑1, ͑6͒͒,, ͑͑3, the ellipse: 3, 3, ͒4, 0 1, 1, ͒3, 2 ͑Points1on͑0͒͒ 0ellipse: 3, 1 , 4, the ͑Points6on͑2͒͒ 2ellipse: 1, 6 , 3, the 3, 1 4, 0 1, 6 3, 2 ͑͑3, 1͒͒,, ͑͑4, 0͒͒ ͑͑1, 6͒͒,, ͑͑3, 2͒͒
  • 29. 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 707 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 707 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page Page 707 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM 707 SECCIÓN 10.1 Cónicas y cálculo 10.1 Conics and Calculus 10.1 Conics and Calculus 10.1 Conics and Calculus In Exercises 45–52, find the center, foci, and el vértice the In Exercises 45–52, find the el centro, el and vertices of the En los ejercicios 45 a 52, hallar center, foci, foco yvertices ofde la In Exercises 45–52, gráfica usando lasasymptotes as an of hyperbola, trazar su find the center, asíntotas como ayuda. hyperbola, and sketch its graph using foci, and vertices aid. hipérbola, y and sketch its graph using asymptotes as an aid. the hyperbola, and sketch its graph using asymptotes as an aid. x y x x 22 y 22 x 22 45. 46. Ϫ ϭ1 45. y 2 Ϫ 2 ϭ 1 46. 45. y 2 Ϫ x9 ϭ 1 46. x 2 Ϫ y 2 ϭ 1 25 16 2 Ϫ 9 ϭ 1 25 Ϫ 16 ϭ 1 45. y 46. 9 25 16 x Ϫ 12 y ϩ 22 yϩ3 xϪ5 ͑͑x Ϫ 1͒͒22 ͑͑y ϩ 2͒͒22 ͑͑y ϩ 3͒͒22 ͑͑x Ϫ 5͒͒22 Ϫ ϭ ϭ1 47. ͑x Ϫ 1͒ Ϫ ͑ y ϩ 2͒ ϭ 1 48. 47. 48. 47. ͑x Ϫ 1͒2 Ϫ ͑ y ϩ 2͒2 ϭ 11 48. ͑ y 225 ͒2 Ϫ ͑x Ϫ 5͒2 ϭ 1 ϩ3 Ϫ 64 ϭ 1 4 1 44 11 Ϫ ϭ1 47. 48. 225 Ϫ 64 4 1 225 64 Ϫ 36x Ϫ 6y ϩ 18 ϭ 49. 9x Ϫ 49. 9x 2 Ϫ y2 2 Ϫ 36x Ϫ 6y ϩ 18 ϭ 0 49. 9x 22 Ϫ yy2 Ϫ 36x Ϫ 6y ϩ 18 ϭ 00 Ϫ 49. 9x 2 Ϫ y 2 22 36x Ϫ 6y ϩ 18 ϭ 0 50. 50. y 2 Ϫ 16x ϩ 64x Ϫ 208 ϭ 0 50. y 2 Ϫ 16x 2 ϩ 64x Ϫ 208 ϭ 0 50. y22 Ϫ 16x ϩ 64x Ϫ 208 ϭ 0 Ϫ 9y ϩ 2x Ϫ 54y Ϫ 80 ϭ 51. 51. xx22Ϫ 9y 222ϩ 2x Ϫ 54y Ϫ 80 ϭ 00 51. x 2 Ϫ 9y 2 ϩ 2x Ϫ 54y Ϫ 80 ϭ 0 Ϫ ϩ 51. x 222 9y 222 2x Ϫ 54y Ϫ 80 ϭ 0 52. 9x Ϫ 4y ϩ 54x ϩ 8y ϩ 78 ϭ 52. 9x Ϫ 4y ϩ 54x ϩ 8y ϩ 78 ϭ 0 52. 9x 2Ϫ 4y 2ϩ 54x ϩ 8y ϩ 78 ϭ 00 52. 9x Ϫ 4y ϩ 54x ϩ 8y ϩ 78 ϭ 0 In Exercises 53 – a find the center, foci, and el vértice the In los ejercicios 5356,56, hallar el centro, el foco yvertices ofde la En Exercises 53 – 56, find the center, foci, and vertices of the In Exercises 53a 56, find utility to foci, and vertices and its of the hyperbola. Use la hipérbola center, hyperbola. Use a–graphing the y to graph the hyperbola de una hipérbola. Trazargraphing utilitysus graph the con ayuda and its asíntotas hyperbola hyperbola. asymptotes. de graficación. asymptotes.Use a graphing utility to graph the hyperbola and its herramienta asymptotes. 53. 9y Ϫ ϩ 2x ϩ 54y ϩ 62 ϭ 53. 9y 222Ϫ xx22ϩ 2x ϩ 54y ϩ 62 ϭ 00 53. 9y 2 Ϫ x22 ϩ 2x ϩ 54y ϩ 62 ϭ 0 53. 9y Ϫ x ϩ 2x ϩ 54y ϩ 62 ϭ 0 ϩ 54x ϩ 10y ϩ 55 ϭ 54. 9x Ϫ 54. 9x 222Ϫ yy22ϩ 54x ϩ 10y ϩ 55 ϭ 00 54. 9x 2 Ϫ y22 ϩ 54x ϩ 10y ϩ 55 ϭ 0 ϩ 54. 9x22 Ϫ y 22 54x ϩ 10y ϩ 55 ϭ 0 55. 3x Ϫ 2y Ϫ 6x Ϫ 12y Ϫ 27 ϭ 55. 3x Ϫ 2y Ϫ 6x Ϫ 12y Ϫ 27 ϭ 0 55. 3x 22Ϫ 2y 22Ϫ 6x Ϫ 12y Ϫ 27 ϭ 00 55. 3x Ϫ 2y Ϫ 6x Ϫ 12y Ϫ 27 ϭ 0 56. 3y Ϫ ϩ 6x Ϫ 12y ϭ 56. 3y 222Ϫ xx22ϩ 6x Ϫ 12y ϭ 00 56. 3y 2 Ϫ x22 ϩ 6x Ϫ 12y ϭ 0 56. 3y Ϫ x ϩ 6x Ϫ 12y ϭ 0 In Exercises 57– 64, find an equation of the hyperbola. In Exercises 57– 64, find an equation of the hyperbola. En los ejercicios 57 afind hallar una ecuación de la hipérbola. In Exercises 57– 64, 64, an equation of the hyperbola. 57. Vertices: ± 1, 0 58. Vertices: 0, ± 4 57. Vertices: ͑͑± 1, 0͒͒ 58. Vertices: ͑͑0, ± 4͒͒ 58. Vértice: (0,0, ± 4͒ 57. Vértice: ͑±± 1, ͒ ͒ 57. Vertices: ͑ 1, 0 0 58. Vertices: ͑ Ϯ4) Asymptotes: y ϭ ± 5x Asymptotes: y ϭ ± 2x Asymptotes: y ϭ ± 5x Asymptotes: y ϭ ± 2x Asíntota: y ϭ y ϭ ± 2x Asíntota: y ϭ y ϭ ± 5x Asymptotes: Ϯ5x Asymptotes: Ϯ2x 59. Vertices: 2, ± 3 60. Vertices: 2, ± 3 59. Vertices: ͑͑2, ± 3͒͒ 60. Vertices: ͑͑2, ± 3͒͒ 59. Vértice: ͑2,2, ± ͒ ͒ 60. Vértice: ͑2,2, ± ͒ ͒ 59. Vertices: ͑ ± 3 3 60. Vertices: ͑ ± 3 3 Point on graph: 0, 5 Foci: 2, ± 5 Point on graph: ͑͑0, 5͒͒ Foci: ͑͑2, ± 5͒͒ Punto de una gráfica:͒͑0, 5͒ Foco: ͑2, ± 5͒ Point on graph: ͑0, 5 Foci: ͑2, ± 5͒ 61. Center: 0, 0 62. Center: 0, 0 61. Center: ͑͑0, 0͒͒ 62. Center: ͑͑0, 0͒͒ 61. Centro: ͑͑0,0͒͒ 62. Centro: ͑͑0,0͒͒ 61. Center: 0, 0 62. Center: 0, 0 Vertex: 0, 2 Vertex: 6, 0 Vertex: ͑͑0, 2͒͒ Vertex: ͑͑6, 0͒͒ Vértice: ͑0, 2͒ Vértice: ͑6, 0͒ Vertex: ͑0, 2͒ Vertex: (6, 0) Focus: 0, 4 Focus: 10, 0 Focus: ͑͑0, 4͒͒ Focus: ͑͑10, 0͒͒ Foco: ͑0,0, ͒4͒ Foco: (10, 0)0͒ Focus: ͑ 4 Focus: ͑10, 63. Vertices: 0, 2 6, 2 64. Focus: 20, 0 63. Vertices: ͑͑0, 2͒͒,, ͑͑6, 2͒͒ 64. Focus: ͑͑20, 0͒͒ 63. Vértices: ͑͑0, 2͒͒,, ͑͑6,222͒͒ 64. Foco: (20, 0)0͒ 63. Vertices: 0, 2 6, 2 64. Focus: ͑20, 3 Asymptotes: y ϭ x Asymptotes: y ϭ ±3 x Asymptotes: y2 ϭ 2x Asymptotes: y ϭ ± 3x 3 Asíntota: y2 ϭ y x 33x Asíntota: y ϭ y ϭ ± 44x Asymptotes: 3 ϭ 3 Asymptotes: ± 4x 4 2 y ϭ 4 Ϫ 3x y ϭ 4 Ϫ 2x yy ϭ 4 Ϫ 23xx ϭ 4 Ϫ3 3 In Exercises 65 and 66, find equations for (a) the tangent lines In Exercises 65 and 66, find equations for (a) the tangent lines En los ejercicios andy66, find equations for (a) a)the given value In Exercises normal lineshallar ecuaciones de the given lines and (b) the 65 65 66, to the hyperbola for las rectas tanand (b) the normal lines to the hyperbola forthe tangentvalue gentes y b) las rectas normales a la hipérbolafor the given value and (b) the normal lines to the hyperbola para el valor dado of x. of x. de x. of x. x x y x 22 y 22 x 22 Ϫ y ϭ 1, x ϭ 6 Ϫ ϭ 1, x ϭ 4 65. 66. 65. x 22 Ϫ y 22 ϭ 1, x ϭ 6 66. y 22 Ϫ x 22 ϭ 1, x ϭ 4 9 Ϫ 4 Ϫ 2 ϭ 1, x ϭ 4 65. x9 Ϫ yy22 ϭ 1, x ϭ 6 66. y4 Ϫ x2 ϭ 1, x ϭ 4 ϭ 1, x ϭ 6 65. 9 66. 4 2 9 4 2 In Exercises 67–76, classify the graph of the equation as a In Exercises 67–76, classify the graph of the equation as a En los ejercicios 67 an classify or a la gráfica de la ecuación como In Exercises 67–76, ellipse, or a hyperbola. circle, a parabola, an ellipse, the graph of circle, a parabola, a 76, clasificar hyperbola.the equation as a circunferencia, parábola, elipse oahipérbola. circle, a parabola, an ellipse, or hyperbola. 67. x ϩ 4y Ϫ 6x ϩ 16y ϩ 21 ϭ 0 67. x 22 ϩ 4y 22 Ϫ 6x ϩ 16y ϩ 21 ϭ 0 67. xx22 ϩ 4y 222Ϫ 6x ϩ 16y ϩ 21 ϭ 0 ϩ 67. 22 4y 2 Ϫ 6x ϩ 16y ϩ 21 ϭ 0 68. 4x Ϫ y Ϫ 4x Ϫ 3 ϭ 0 68. 4x Ϫ y Ϫ 4x Ϫ 3 ϭ 0 2 68. 4x222Ϫ yy22Ϫ 4x Ϫ 3 ϭ 0 Ϫ 4x Ϫ 3 ϭ 0 68. 4x Ϫ 69. y Ϫ 8y Ϫ 8x ϭ 0 69. y Ϫ 8y Ϫ 8x ϭ 0 2 Ϫ 8y Ϫ 8x ϭ 0 69. 69. y 22 Ϫ 10x Ϫ 200y Ϫ 119 ϭ 0 70. 25x 70. 25x Ϫ 10x Ϫ 200y Ϫ 119 ϭ 0 2 Ϫ 10x Ϫ 200y 70. 25x 2Ϫ 10x Ϫ 200y Ϫ 119ϭ 0 70. 25x2 ϩ 4y 22 Ϫ 16y ϩϪ 119 0ϭ0 15 ϭ 71. 4x 71. 4x 2 ϩ 4y Ϫ 16y ϩ 15 ϭ 0 2 ϩ 4y 2 Ϫ 16y ϩ 15 ϭ 0 2 71. 4x ϩ 4y 2 71. 4x22 Ϫ 4y ϭϪ 16y5ϩ 15 ϭ 0 xϩ 72. y 72. y Ϫ 4y ϭ x ϩ 5 Ϫ 72. 2 22 4y ϭ xx ϩ 5 72. yy2 Ϫϩ4y ϭ2 Ϫϩ 5 ϩ 6y ϩ 34 ϭ 0 9x 9y 36x 73. 9x ϩ 9y 2 Ϫ 36x ϩ 6y ϩ 34 ϭ 0 73. 73. 9x 2 ϩ 9y22 Ϫ 36x ϩ 6y ϩ 34 ϭ 0 2 73. 9x ͑͑x Ϫ y͒͒ ϭ y͑͑3 Ϫ y Ϫϩ 34 ϭ 0 74. 2x x 9y ϭ y 3 ϩ 6y 2x 74. 2x ϩϪ y Ϫ 36x Ϫ y Ϫ 2x͒͒ ͒ ͒ 74. 2x͑x Ϫ y22 ϭ y͑3 Ϫ y Ϫ 2x22 ϩ1 75. 3 75. 3͑ x Ϫ 1 ϭ 6 ϩ 2y y ϩ 1 y ϭ͑ Ϫ 74. 2x͑x Ϫ 1͒͒ ϭ y63ϩ 2͑͑yϪ 2x͒͒ 2 ϭ 6 ϩ 2͑ y ϩ 1͒2 75. 3͑x Ϫ 1͒ 76. ͑ ϩ ͒ ϭ ϩ 2 y y 1 2 76. 9 xx ϩ 3 2 2 ϭ 36 Ϫ 4 ϩ Ϫ 2 2 75. 39͑͑x Ϫ 13͒͒2 ϭ 636 Ϫ ͑4͑͑y Ϫ ͒2͒͒2 76. 9͑x ϩ 3͒2 ϭ 36 Ϫ 4͑ y Ϫ 2͒2 76. 9͑x ϩ 3͒2 ϭ 36 Ϫ 4͑ y Ϫ 2͒2 707 707 707 707 WR T NG AB W R IIT IIN G A B O U Tconceptos Desarrollo O U T C O N C E P T S de C O N C E P T S WRITING ABOUT CONCEPTS (a) Give the definition of a parabola. (a) Give the definition of a parabola. a) Dar lathe definition of a parabola. (a) Give definición de parábola. (b) Give the standard forms of a parabola with vertex at h, k (b) Give the standard forms of a parabola with vertex at ͑͑h, k͒͒.. b) Give the standard forms o a parabola de una parábola k͒. (b) Dar las formas estándar of canónicas with vertex at ͑h, con (c) In your own words, state the reflective property of a In your ͑h, ͒. (c) vértice enownkwords, state the reflective property of a (c) parabola.own words, state the reflective property of a In your parabola. c) Expresar, con sus propias palabras, la propiedad de reparabola. 78. (a) Give the definition of an ellipse. Give de una parábola. 78. (a) flexiónthe definition of an ellipse. 78. (a) Give the definition of an ellipse. (b) Give definición forms of 78. (b) Dar lathe standardde elipse.an ellipse with center at ͑͑h, k͒͒.. a) Give the standard forms of an ellipse with center at h, k (b) Give the standard forms of an ellipse with center at ͑h, k͒. 79. b) Give the definition of a hyperbola. (a) Give the definition of a o canónicas 79. (a) Dar las formas estándar hyperbola. de una elipse con 79. (a) centrothe definition of a hyperbola. Give en h, k͒. (b) Give the standard forms of a hyperbola with center at (b) Give the ͑standard forms of a hyperbola with center at (b) Dar k͒͒..definición deforms of a hyperbola with center at Give 79. a) ͑͑h, la the standard hipérbola. h, k ͑h, k͒. formas estándar o canónicas de una hipérbola con b) Dar lasequations for the asymptotes of a hyperbola. (c) Write equations for the asymptotes of a hyperbola. Write (c) (c) centro en ͑h, k͒. for the asymptotes of a hyperbola. Write equations 80. Define the eccentricity of an ellipse. In your own words, 80. Define the eccentricity of an ellipse. In your own words, c) Dar las ecuaciones de las asíntotas de una hipérbola. 80. describe how changes inof aneccentricity affect ownellipse. Define the eccentricityin the eccentricity affect the ellipse. describe how changes the ellipse. In your the words, describe how changes in de eccentricity affect the con sus 80. Definir la excentricidad the una elipse. Describir, ellipse. propias palabras, cómo afectan a la elipse las variaciones en 81. Solar Collector A solar collector for heating water is la excentricidad. 81. Solar Collector A solar collector for heating water is 81. constructed with a A solar stainless steel that is formed into Solar Collector a sheet of stainless steel that is formed into constructed with sheet of collector for heating water is constructed of a parabola of(see figure). The water will flow stainless steel that is formed into the shape with a sheet Recolector o a parabola (see figure). The water o panel de 81. the shape of panel de energía solar Un recolector will flow the shape pipeathat is located atfigure). The water will flow of that is located at the focus of the parabola. At parabola (see the focus of the parabola. At through a through solar para calentar agua se construye con una hoja de energía a pipe through a pipefrom the vertex is the pipe? that what inoxidable is vertex at the focus what distance from thelocated is the pipe? of the parabola. At acero distance en forma de parábola (ver la figura). El agua what distance from the vertex is the pipe? fluye a través de unm 6 tubo situado en el foco de la parábola. ¿A 6 m 6m qué distancia del vértice se encuentra el tubo? 77. 77. 77. 3 cm 3 cm 3 cm 6m 16 m 16 m 3 cm 16 m 1m 1m 1m 1m 16 m Not drawn to scale Not drawn to scale Not drawn to scale Figure for 81 Figure for 82 82 Figure for 81 Figure for No está dibujado a escala Figure for 81 Figure for 82 82. Beam Deflection A simply supported beam that is 16 meters 82. Beam Deflection A simply supported beam that is 16 meters Figura para 81 A simply para that 82. long has a load concentratedsupported beam(see figure). The Beamhas a load concentrated Figura center 82 long Deflection at the figure). The at the center (see is 16 meters long has of the concentratedcenter iscenter (see figure). The at the 3 centimeters. longitud deflection load beam at Deformación de beam at its center de centimeters. Assume 82. deflection aof the una viga itsUna vigais 3 16 metros deAssume deflection ofcargathe deflected beam is el centimeters. Assume that the shape of que at its beam is 3 centro soporta una of beamse concentra is parabolic. that the shape the the deflected centeren parabolic.(ver la figura). that the se deforma deflected beam is 3 centímetros. Suponer La viga shape of the en theparte centralparabolic. the origin is (a) Find an equation of the parabola. (Assume that (a) Find an equation of la parabola. (Assume that the origin is que,Find center of theviga adquiere la forma de una parábola. al deformarse, the the parabola. (Assume that the origin is (a) at thean equation ofbeam.) at the center of la beam.) at the center ecuación de a) Encontrar unaof the beam.) la parábola. (Suponer deflection (b) How far from the center of the beam is the deflection (b) How far from the center of the beam is the que el ori(b) gen está enfrom the centerparábola.) How far el 1 centimeter? 1 centimeter?centro de la of the beam is the deflection 1 qué distancia b) ¿Acentimeter?of the tangent de lato the es de 1 centímetroat 83. Find an equation del centro line viga parabola y ϭ ax la 83. Find an equation of the tangent line to the parabola y ϭ ax 22 at 83. x ϭdeformación that the tangent line toof this tangentϭline2 at Findxan equationproducida? intercept of this tangent line is x ϭ x00.. Prove that the x- intercept the parabola y ax is Prove of the x.0 Prove that the recta tangente this tangent line is xxϭ x00͒͒.. ecuación de lax- intercept of a la parábola y ϭ ax 2 ͞2, 83. ͑͑x00͞2, una Hallar ͑x0͞2, 0͒.0 84. en Prove Demostrar quedistinct tangent lines to a parabola (a) ϭ x that any two la intersección lines recta tangente 84. (a) xProve . that any two distinct tangent de estato a parabola el eje es 84. con intersect. ͑x0͞2,two distinct tangent lines to a parabola (a) Prove xthat any 0͒. intersect. intersect. que dos rectas tangentes distintas cualesquiera a 84. (b) Demostrar a) Demonstrate the result of part (a) by finding the point (b) Demonstrate the result of part (a) by finding the point (b) una parábola se cortantheintersecan.lines finding the point Demonstrate the of o tangent lines to the parabola of intersection result tangent of intersection of the of part (a) by to the parabola b) Ilustrar elϪ 4y ϭ 0 at the points ͑͑hallando to6,puntoparabola inciso a) 0 and of Ϫ 4x resultado at the tangent0, 0͒͒ and ͑͑ 3͒͒. x intersection 0 3 x22 Ϫ 4x Ϫ 4y ϭ ofdelthe points 0, lines el6,the. de intersección de 4y ϭ 0 at the points ͑0, 0͒ and ͑6, 3͒. x 2 Ϫ 4x Ϫ x2 Ϫ 4x Ϫ las rectas tangentes a la parábola 85. (a) Prove that if any two tangent lines to a parabola intersect at (a) Prove that if any two tangent lines to a parabola intersect at 85. en if 0, 0 y 85. (a) 4y ϭ 0angles,any two ͑tangent ͑intersection must intersectthe Prove thatlos puntospoint ͒ of 6, 3͒. right their intersection must lie on at right angles, their point of lines to a parabola lie on the 85. a) Demostrar que their point of intersection must lie on corright angles, si dos rectas tangentes a una parábola se the directrix. directrix. tan o intersecan en ángulos rectos, su punto de intersección directrix. (b) Demonstrate the result of part (a) by proving that the Demonstrate directriz. (b) debe estar en lathe result of part (a) by proving that the (b) tangent lines to the parabola part (a) Ϫ 4y ϩ 8 ϭ that the Demonstrate to the parabola x 22 Ϫ 4x Ϫ 4y ϩ 8 ϭ 0 at the the result of x Ϫ tangent el resultado del inciso 4x by proving que the b) Ilustrar lines a) probando 0 at las tangent͑Ϫ2, 5͒͒ and parabola x 22 Ϫ at Ϫ 4y angles, and that lines the 3, 55 intersect at points ͑ Ϫ2, 5to a la parábola x Ϫ 4x right ϩ 8 ϭ 0 at the pointstangentes and ͑͑3, 44͒͒ intersect 4x right angles, and that rectas Ϫ 4y ϩ 8 ϭ 0 en los 5 points ͑Ϫ2, intersection lies on the directrix. intersect right angles, and that the point of 5͒ and ͑ 5 the point of 5͒ y ͑3, 3,͒ 4 ͒lies on the at ángulo puntos ͑Ϫ2, intersectionse cortan endirectrix. recto y que el 4 the point of intersection lies on the directrix. punto de intersección se encuentra en la directriz.
  • 30. 10-1.qxd 3/12/09 708 16:44 Page 708 Chapter 10 CAPÍTULO 10Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 86. Find the gráficaon the ϭ 8y hallar2el punto más cercano to foco 8y that is closest al the 86. Sobre la point de x 2 graph of x focus parábola. de la of the parabola. 94. Area Find a formula for para el of the shaded region in the 94. Área Hallar una fórmulathe area área de la región sombreada figure. de la figura. Año 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005 A 280 286 291 298 305 307 x 2 = 4py x 2 = 4py 4 ft 8 pies Circle 4 pies 8 ft radius Radio 8 pies de la circunferencia Figure for 89 (60, 20) Cable parabólico y de sujeción x (60, 20) x Figure for 91 90. Arc Length Find the arc length of the parabola 4x Figura parainterval 0 y Figura para 91 over the 89 4. y2 0 91. Bridge Design A cable ofla suspension bridgede la parábola 90. Longitud de arco Hallar a longitud de arco is suspended (in Ϫ y 2 ϭ 0 en el parabola) 0 Յ y Յ 4. towers that are 120 4x the shape of a intervalo between two meters apart and 20 meters cable de un puente colgante estáThe 91. Diseño de un puente El above the roadway (see figure). suscables touch the roadway midwayde dos torres a 120 metros una pendido (formando una parábola) between the towers. (a) la otraan equation for de altura sobre la autopista. cable. de Find y a 20 metros the parabolic shape of each Los cables tocan la the length of the parabolic entre ambas torres. (b) Find autopista en el punto mediosupporting cable. a) Hallar la ecuación para signal receiving dish cada cable. 92. Surface Area A satellite la forma parabólica deis formed by b) Hallar la parabola given by x 2 20y de suspensión. revolving thelongitud del cable parabólicoabout the y-axis. The 92. radius de una dish is r feet.Un receptor the surface area satelital Área of the superficie Verify that de una antena of the dish is given byrevolución alrededor del eje y de la parábola se forma por x2 ϭr 20y. El radio del plato es r pies. Verificar que el área de la x 2 superficie del plato está dada por 100 r 2 3 2 1000 . x 1 dx 2 10 15 0 r x 2 ␲ 2͒3͞2 Ϫ 1000͔ 2␲ x 1 dx graphs of x 93. Investigation ϩSketch the ϭ 15 ͓͑100 2ϩ r 4py for 1 0001,. 1, 1, 3, p 4 2 2 10 0 and 2 on the same coordinate axes. Discuss the change in the 93. graphs as p increases. mismo eje de coordenadas trazar las gráInvestigación En el ficas de x 2 ϭ 4py con p ϭ 1, 1, 1, 3, y 2. Analizar la variación 4 2 2 que se presenta en las gráficas a medida que p aumenta. ͵ Ί ΂ ΃ 4 1 h h −2 − 1 −2 −1 x x 95. 95. 317 a) Use the regression capabilities of a una herramienta de gra(a) Emplear las funciones de regresión degraphing utility to find ficación parathe form A at 2 de la forma A ϭ at2 ϩ bt ϩtc a model of hallar un modelo bt c for the data. Let para los datos,year, with t 9 corresponding to 1999. represent the donde t represente el año y t ϭ 9 corresponda 1999. (b) aUse a graphing utility to plot the data and graph the model. b) Emplear una herramienta de graficación para representar los (c) Find dA dt and sketch its graph for 9 t 15. What datos y la gráfica del modelo. information about the average amount of time women c) Hallar watching dibujar su gráfica para 9the graph of ¿Qué spent dA͞dt y television is given by Յ t Յ 15. the información acerca de la cantidad promedio de tiempo que derivative? las mujeres dedicaron a ver televisión proporciona la gráfica 89. Architecture A church window is bounded above by a de la derivada? parabola and below by the arc of a circle (see figure). Find the 89. surface area of the ventanal de una iglesia está limitado en la Arquitectura El window. parte superior por una parábola, y en la parte inferior por el arco ft de una8circunferencia (ver la figura). Hallar el área de la superParabolic ficie del ventanal. supporting cable y y y 87. Radio andde radio y televisión En In mountainous areas, Recepción Television Reception las áreas montañosas, la reception of radio and televisión suele ser deficiente.Consider recepción de radio y television is sometimes poor. Considean idealized case where a en el represented by the graph of the rar un caso idealizado hill is que la gráfica de la parábola parabola x 2, representa una colina, en el punto (Ϫ1, 1) se localiy ϭ x Ϫ y x x 2, a transmitter is located at the point za 1, 1transmisor, y al otro lado de lathe otheren el of the hill, at un , and a receiver is located on colina, side punto (x0 0), theencuentra, un .receptor. ¿Qué tan cerca receiver can puede the se point x0 0 What is the closest the de la colina be to ubihill while still maintainingla señal no se reception? carse el receptor para que unobstructed obstruya? 88. Modeling Data TheLa tabla siguiente average las cantidades proModelo matemático table shows the muestra amounts of time A (in minutes) women minutos) por díatelevision each day for thea medio A de tiempo (en spent watching que las mujeres dedicaron years 1999 through 2005. 2005. (Fuente: Nielsen Media Research) ver la televisión de 1999 a (Source: Nielsen Media Research) 96. 96. 97. 97. y 4 1 x 1 1 2 2 3 x 3 Figure for 94 Figure for 96 Figura para 94 Figura para 96 Writing On page 699, it was noted that an ellipse can be Redacción En la página 699 a string ofque se puede trazar una drawn using two thumbtacks, se señaló fixed length (greater elipse usando dos alfileres, una cuerda de longitud fija (mayor a than the distance between the tacks), and a pencil. If the ends of la distancia entre los dosthe tacks andun lápiz. Si los extremos the string are fastened at alfileres) y the string is drawn taut de la a pencil, the path traced alfileres y se tensabe an ellipse. el with cuerda se sujetan a los by the pencil will la cuerda con lápiz, la trayectoria que recorre el lápiz es una elipse. (a) What is the length of the string in terms of a? a) ¿Cuál es la longitud de la cuerda en términos de a? (b) Explain why the path is an ellipse. b) Explicar por qué la trayectoria trazada por el lápiz es una Construction of a Semielliptical Arch A fireplace arch is to be elipse. constructed in the shape of a semiellipse. The opening is to have Construcciónfeetun arco semielípticowidth va a construir elthe a height of 2 de at the center and a Se of 5 feet along arco de una chimenea en forma de una semielipse. El claro debe tener base (see figure). The contractor draws the outline of the ellipse 2 pies de altura en el centro y 5 pies Where shouldla base (ver la by the method shown in Exercise 95. de ancho en the tacks be figura).andconstructor bosqueja el perfil the la elipse string? placed El what should be the length of de piece of siguiendo el método mostrado en el ejercicio 95. ¿Dónde deben colocarse los Sketch the ellipse that consists of all points x, y such that the alfileres y cuál debe ser la longitud del trozo de cuerda? sum of the distances between x, y and two fixed points is Trazar la elipse que consta de todos los puntos (x, y) tales que la 16 units, and the foci are located at the centers of the two sets suma de las distancias entrefigure. y dos puntos fijos es 16 unidaof concentric circles in the (x, y) To print an enlarged copy of des, graph, go to the website www.mathgraphs.com.conjuntos de the y los focos se localizan en los centros de los dos circunferencias concéntricas que se muestran en la figura. 17 15 16 13 14 16 17 11 12 15 10 13 14 8 9 11 12 6 7 9 10 4 5 8 3 6 7 1 2 1 4 5 3 2 2 3 1 5 4 2 1 7 6 3 8 5 4 10 9 7 6 12 11 9 8 14 13 10 15 12 11 17 16 14 13 16 15 17 98. Orbit of Earth Earth moves in an elliptical orbit with the 98. sun at one of Tierra La Tierra seof half of the major axis is Órbita de la the foci. The length mueve en una órbita elíptica 149,598,000 kilometers, and theLa longitud de la mitad del eje con el Sol en uno de los focos. eccentricity is 0.0167. Find the minimum distance (perihelion) y la the maximum es 0.0167. mayor es 149 598 000 kilómetros and excentricidad distance (aphelion) distancia from the sun. Hallar la of Earth mínima (perihelio) y la distancia máxima (afelio) Orbit Tierra y el Sol. 99. Satellite entre la The apogee (the point in orbit farthest from 99. Earth) and un satélite (theapogeoin orbit closest órbita más leÓrbita de the perigee El point (el punto de la to Earth) of an elliptical orbityof an Earth(el punto arela órbita másand P. jano a la Tierra) el perigeo satellite de given by A cercano ShowTierra) deeccentricity of thede un is a la that the la órbita elíptica orbit satélite de la Tierra están dados por A y P. Mostrar que la excentricidad de la órbita es A P e . AϪP e ϭA P . AϩP 100. Explorer 18 On November 27, 1963, the United States 100. launched the research de noviembre de 1963, Estados Unidos Explorer 18 El 27 satellite Explorer 18. Its low and high points above the surface ofpuntoswere 119 miles and 123,000 lanzó el Explorer 18. Sus Earth bajo y alto sobre la superficie miles. Find the eccentricity of its y 123 000 millas, respectivade la Tierra fueron 119 millas elliptical orbit. mente. Hallar la excentricidad de su órbita elíptica.
  • 31. 1059997_1001.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 709 10-1.qxd 3/12/09 16:44 Page 709 SECCIÓN 10.1 Cónicas y cálculo 10.1 Conics and Calculus 101. Explorer 55 El 20November 20, de 1975, Estados Unidos 101. Explorer 55 On de noviembre 1975, the United States lanzó el satélite de investigaciónExplorer 55. Its low and high launched the research satellite Explorer 55. Sus puntos bajo ypointssobre lathe surface de la Tierra fueronmiles and 1865 alto above superficie of Earth were 96 de 96 millas y 1miles. Find the eccentricity of its elliptical su órbita elíptica. 865 millas. Encontrar la excentricidad de orbit. Para T O N E C A P S discusión 102. Consider la equation 102. Considerarthe ecuación 9x2 ϩ 4y2 Ϫ 36x Ϫ 24y Ϫ 36 ϭ 0. a) Clasificarthe graph of de la ecuación acomo unparabola, (a) Classify la gráfica the equation as circle, a círculo, una ellipse, or una elipse o una hipérbola. an parábola, a hyperbola. b) Cambiar the 4y2-term in 2 en la ecuación por Ϫ4y2. (b) Change el término 4y the equation to Ϫ4y2. Classify Clasificar la gráfica deequation. ecuación. the graph of the new la nueva c) Cambiar el término 9x2in the ecuación original por 4x2. (c) Change the 9x2-term en la original equation to 2 Clasificar thegráfica of thenuevaequation. Classify la graph de la new ecuación. d) Describir una manera en que se podría cambiar la ecua(d) Describe one way you could change the original ción original para its graph is a parabola. parábola. equation so that que su gráfica fuera una 103. El cometa Halley Quizás el más conocido de todos los come103. tas, el cometa Halley, tiene una órbita elíptica con elall comets, Halley’s Comet Probably the most famous of Sol en uno Halley’s comet, has an elliptical orbit with the sun es de de sus focos. Se estima que su distancia máxima al Solat one focus. Its maximum distance Ϸ 92.956 ϫ is millas) y que 35.29 UA (unidad astronómicafrom the sun 106approximately 35.29 AU mínima es de 0.59 UA. Hallar ϫ 106 miles), and su distancia (1 astronomical unit Ϸ 92.956 la excentricidad de its minimum distance is approximately 0.59 AU. Find the la órbita. eccentricity of the orbit. 104. La ecuación de una elipse con centro en el origen puede ex104. presarse The equation of an ellipse with its center at the origin can be written as 2 y x2 ϩ ϭ 1. 2 y2 ax 2 a 2͑1 Ϫ e 2͒ ϩ 2 ϭ 1. 2 2͒ a a ͑1 cuando e → 0, y a permanece constante, la elipMostrar queϪ e se se aproxima a una circunferencia. Show that as e → 0, with a remaining fixed, the ellipse 709 709 Área 9x 2 ϩ 4y 2 ϩEn los ejercicios 1090y 110, hallar a) el área de 108. y volumen 36x Ϫ 24y ϩ 36 ϭ la región limitada por la elipse, b) el volumen y el área de la superficieVolume Ingenerado por revolución de (a) región alreArea and del sólido Exercises 109 and 110, find la the area of dedor de su eje mayor (esferoide prolato), volume volumen y el the region bounded by the ellipse, (b) the y c) el and surface área de thesuperficie del sólido revolving the region about its area of la solid generated by generado por revolución de la región alrededor de su eje menor (esferoidevolume and surface major axis (prolate spheroid), and (c) the oblato). area of the 2solid generated by revolving the region about its x2 minor ϩ y ϭ 1 109. axis (oblate spheroid). 4 1 2 x2 x 2 y 22 y2 y ϭ1 109. 110. ϩ ϭ1 110. 4 ϩ 1 ϭ 1 ϩ 16 9 16 9 111. Longitud de arco Usar las funciones de integración de una 111. Arc Length Use the integration capabilities of a graphing herramienta de graficación para aproximar, con una precisión utility to approximate to two-decimal-place accuracy the de dos cifras decimales, la integral elíptica que representa el elliptical integral representing the circumference of the ellipse perímetro de la elipse 2 2 y2 x2 ϩ ϭ 1. 25 49 112. Probar Theorem 10.4 by showing that la recta tangente to una 112. Prove el teorema 10.4 mostrando que the tangent line a an elipse en un point P makes ángulos iguales con las rectas a traellipse at a punto P forma equal angles with lines through P vés de Pfoci (see figure). [Hint: (1) Find the slope of the tanand the y de los focos (ver la figura). [Sugerencia: 1) encontrar la pendiente de find the tangente en P,lines through las and gent line at P, (2) la recta slopes of the 2) encontrar P tangentes de las rectasuse the formula for the tangent offocos y 3) each focus, and (3) a través de P y cada uno de los the angle usar la fórmula de la tangente del ángulo entre dos rectas.] between two lines.] y y yy x2 y2 x2 + y2 = 1 a2 + b2 = 1 a 2 b2 Recta Tangent tangente line β β P = (x , ) P = (x00,yy0) 0 (−a, 0) (−a, 0) (0, 10) (0, 10) (a, 0) (a, 0) α α x x x (−(−c, 0) c, 0) (c, 0)0) (c, (0, −10) (0, −10) approaches a circle. 105. Considerar una partícula que se mueve en el sentido de las 105. manecillasadel reloj siguiendoclockwise on the elliptical path Consider particle traveling la trayectoria elíptica x22 y2 x ϩ y2 ϭ 1. 100 ϩ25 ϭ 1. 100 25 La partícula abandona la órbita en el punto ͑Ϫ8, 3͒ y viaja a lo The de una leaves the orbit la elipse. ¿En qué and travels in largo particle recta tangente aat the point ͑Ϫ8, 3͒ punto cruzará a straight el eje y? la partícula line tangent to the ellipse. At what point will the particle cross the y- axis? 106. Volumen El tanque de agua de un carro de bomberos mide 16 106. pies de largo, y water tank on atransversales16 feet long, and its Volume The sus secciones fire truck is son elipses. Hallar cross sections are que hay en el tanque cuando está parcialel volumen de agua ellipses. Find the volume of water in the partially filled tank muestra in the figure. mente lleno como seas shownen la figura. Figura para 112 Figure for 112 113. Geometría Theárea de la elipse presentada en lais twicees el 113. Geometry El area of the ellipse in the figure figura the dobleof the circle. What is ¿Qué longitud tiene el eje mayor? area del área del círculo. the length of the major axis? 114. Conjetura 114. Conjecture a) Mostrarthat theecuación de una ellipsepuede expresarse como (a) Show que la equation of an elipse can be written as 2 ͑x Ϫ h͒2 ͑x Ϫ h͒2 ϩ ͑ y Ϫ k͒2 ϭ 1. ͑ y Ϫ k͒ ϩ a 2͑1 Ϫ e 2͒ ϭ 1. 2 a2 a a 2͑1 Ϫ e 2͒ 5 pies 3 pies 9 pies In Exercises 107 and 108, determine the points at which dy/dx is En los ejercicios 107 yto locate the endpoints of the en los and zero or does not exist 108, determinar los puntos major que dy/dx esaxes of the ellipse. para localizar los extremos de los ejes minor cero, o no existe, mayor y menor de la elipse. 107. 16x 2 ϩ 9y 2 ϩ 96x ϩ 36y ϩ 36 ϭ 0 107. 16x 2 ϩ 9y 2 ϩ 96x ϩ 36y ϩ 36 ϭ 0 108. 9x 2 ϩ 4y 2 ϩ 36x Ϫ 24y ϩ 36 ϭ 0 Figura para 113 Figure for 113 115. 115. 116. 116. b) Mediante una herramienta de graficación, representar la (b) Use a graphing utility to graph the ellipse elipse ͑x Ϫ 2͒2 ͑ y Ϫ 3͒2 ͑x Ϫ 2͒2 ϩ 4͑y Ϫ 3͒2͒ ϭ 1 ͑ 1 Ϫ e2 4 ϩ ϭ1 4 4͑1 Ϫ e 2͒ for e ϭ 0.95, e ϭ 0.75, e ϭ 0.5, e ϭ 0.25, and e ϭ 0. para e ϭ 0.95, e ϭ 0.75, e ϭ 0.5, e ϭ 0.25,y e ϭ 0. (c) Use the results of part (b) to make a conjecture about the c) Usar los in the shapedel the ellipsepara hacer una conjetura change resultados of inciso b) as e approaches 0. acerca de la variación en la forma de la elipse a medida que Find an equation of the hyperbola such that for any point on e se aproxima a 0. the hyperbola, the difference between its distances from the Hallar ͑2, 2͒ and ͑10, de la hipérbola tal que, para todo punto, points una ecuación 2͒ is 6. la diferencia entre sus distancias a los puntos (2, 2) y (10, 2) Find an equation of the hyperbola such that for any point on sea 6. the hyperbola, the difference between its distances from the Hallar ͑Ϫ3, 0͒ and ͑Ϫ3, 3hipérbola tal que, para todo punto, la points una ecuación de la ͒ is 2. diferencia entre sus distancias a los puntos (Ϫ3, 0) y (Ϫ3, 3) sea 2.
  • 32. 10-1.qxd 3/12/09 710 16:44 Page 710 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 117. Dibujar la hipérbola que consta de todos los puntos (x, y) tales que la diferencia de las distancias entre (x, y) y dos puntos fijos sea 10 unidades, y los focos se localicen en los centros de los dos conjuntos de circunferencias concéntricas de la figura. 8 9 6 7 4 5 3 1 2 17 16 15 14 13 12 10 11 13 14 15 16 17 x2 y2 2 Ϫ b2 ϭ 1 a en el punto ͑x0, y0͒ es ͑x0͞a 2͒x Ϫ ͑ y0͞b2͒y ϭ 1. 122. Mostrar que la ecuación de la recta tangente a 1 3 2 5 4 7 6 8 10 9 12 11 123. Mostrar que las gráficas de las ecuaciones se cortan en ángulos rectos: 2y 2 x2 ϭ1 2 ϩ a b2 118. Considerar una hipérbola centrada en el origen y con eje transversal horizontal. Emplear la definición de hipérbola para obtener su forma canónica o estándar: x2 a2 Ϫ 2 y ϭ 1. b2 x2 Ϫ ͑ c2 2 vm y2 ϭ1 2 2 Ϫ vs ͒͞vm donde vm es la velocidad inicial de la bala y vs es la velocidad del sonido, la cual es aproximadamente 1 100 pies por segundo. 120. Navegación El sistema LORAN (long distance radio navigation) para aviones y barcos usa pulsos sincronizados emitidos por estaciones de transmisión muy alejadas una de la otra. Estos pulsos viajan a la velocidad de la luz (186 000 millas por segundo). La diferencia en los tiempos de llegada de estos pulsos a un avión o a un barco es constante en una hipérbola que tiene como focos las estaciones transmisoras. Suponer que las dos estaciones, separadas a 300 millas una de la otra, están situadas en el sistema de coordenadas rectangulares en ͑Ϫ150, 0͒ y ͑150, 0͒ y que un barco sigue la trayectoria que describen las coordenadas ͑x, 75͒. (Ver la figura.) Hallar la coordenada x de la posición del barco si la diferencia de tiempo entre los pulsos de las estaciones transmisoras es 1 000 microsegundos (0.001 segundo). y 10 8 6 4 75 Espejo x 75 −75 −150 Figura para 120 150 x −10 −4 2y 2 x2 ϭ 1. 2 Ϫ a Ϫb b2 2 124. Demostrar que la gráfica de la ecuación Ax 2 ϩ Cy 2 ϩ Dx ϩ Ey ϩ F ϭ 0 es una de las siguientes cónicas (excepto en los casos degenerados). Condición a) Círculo AϭC b) Parábola A ϭ 0 o C ϭ 0 (pero no ambas) c) Elipse AC > 0 d) Hipérbola AC < 0 ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 125 a 130, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. Si es falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que demuestre que es falsa. 125. Es posible que una parábola corte a su directriz. 126. En una parábola, el punto más cercano al foco es el vértice. 127. Si C es el perímetro de la elipse y2 x2 ϩ 2 ϭ 1, b < a 2 a b entonces 2␲b ≤ C ≤ 2␲a. 128. Si D 0 o E 0, entonces la gráfica de y2 Ϫ x2 ϩ Dx ϩ Ey ϭ 0 es una hipérbola. 129. Si las asíntotas de la hipérbola ͑x 2͞a 2͒ Ϫ ͑ y 2͞b2͒ ϭ 1 se cortan o intersecan en ángulos rectos, entonces a ϭ b. 130. Toda recta tangente a una hipérbola sólo corta o interseca a la hipérbola en el punto de tangencia. Preparación del examen Putnam y 150 −150 y Cónica 119. Localización del sonido Con un rifle posicionado en el punto ͑Ϫc, 0͒ se dispara al blanco que se encuentra en el punto ͑c, 0͒. Una persona escucha al mismo tiempo el disparo del rifle y el impacto de la bala en el blanco. Demostrar que la persona se encuentra en una de las ramas de la hipérbola dada por 2 2 c 2 vs ͞vm 121. Espejo hiperbólico Un espejo hiperbólico (como los que usan algunos telescopios) tiene la propiedad de que un rayo de luz dirigido a uno de los focos se refleja al otro foco. El espejo que muestra la figura se describe mediante la ecuación ͑x 2͞36͒ Ϫ ͑ y 2͞64͒ ϭ 1. ¿En qué punto del espejo se reflejará la luz procedente del punto (0, 10) al otro foco? 2 4 −4 −6 −8 −10 Figura para 121 8 10 131. Dado un punto P de una elipse, sea d la distancia del centro de la elipse a la recta tangente a la elipse en P. Demostrar que ͑PF1͒͑PF2͒d 2 es constante mientras P varía en la elipse, donde PF1 y PF2 son las distancias de P a los focos F1 y F2 de la elipse. 9 2 132. Hallar el valor mínimo de ͑u Ϫ v͒2 ϩ Ί2 Ϫ u2 Ϫ v con 0 < u < Ί2 y v > 0. ΂ ΃ Estos problemas fueron preparados por el Committee on the Putnam Prize Competition. © The Mathematical Association of America. Todos los derechos reservados.
  • 33. 10-2.qxd 3/12/09 16:45 Page 711 SECCIÓN 10.2 SECCIÓN 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas Curvas planas y ecuaciones paramétricas 711 711 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas I I I I Trazar la gráfica de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas. Eliminar el parámetro en un conjunto de ecuaciones paramétricas. Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar una curva. Entender dos problemas clásicos del cálculo: el problema de la tautocrona y el problema de la braquistocrona. Curvas planas y ecuaciones paramétricas Hasta ahora, se ha representado una gráfica mediante una sola ecuación con dos variables. En esta sección se estudiarán situaciones en las que se emplean tres variables para representar una curva en el plano. Considérese la trayectoria que recorre un objeto lanzado al aire con un ángulo de 45°. Si la velocidad inicial del objeto es 48 pies por segundo, el objeto recorre la trayectoria parabólica dada por Ecuación rectangular: x2 y = − 72 + x y 24 2, 24 2 − 16 18 t=1 9 (0, 0) t=0 x 9 yϭϪ 18 27 36 45 54 63 72 Ecuaciones paramétricas: x = 24 2t y = −16t2 + 24 2t Movimiento curvilíneo: dos variables de posición y una de tiempo x2 ϩx 72 Ecuación rectangular. como se muestra en la figura 10.19. Sin embargo, esta ecuación no proporciona toda la información. Si bien dice dónde se encuentra el objeto, no dice cuándo se encuentra en un punto dado (x, y). Para determinar este instante, se introduce una tercera variable t, conocida como parámetro. Expresando x y y como funciones de t, se obtienen las ecuaciones paramétricas Figura 10.19 x ϭ 24Ί2 t Ecuación paramétrica para x. y ϭ Ϫ16t 2 ϩ 24Ί2 t. Ecuación paramétrica para y. y A partir de este conjunto de ecuaciones, se puede determinar que en el instante t ϭ 0, el objeto se encuentra en el punto (0, 0). De manera semejante, en el instante t ϭ 1, el objeto está en el punto ͑24Ί2, 24Ί2 Ϫ 16͒, y así sucesivamente. (Más adelante, en la sección 12.3, se estudiará un método para determinar este conjunto particular de ecuaciones paramétricas, las ecuaciones de movimiento.) En este problema particular de movimiento, x y y son funciones continuas de t, y a la trayectoria resultante se le conoce como curva plana. DEFINICIÓN DE UNA CURVA PLANA Si f y g son funciones continuas de t en un intervalo I, entonces a las ecuaciones x ϭ f ͑t͒ y y ϭ g͑t͒ se les llama ecuaciones paramétricas y a t se le llama el parámetro. Al conjunto de puntos (x, y) que se obtiene cuando t varía sobre el intervalo I se le llama la gráfica de las ecuaciones paramétricas. A las ecuaciones paramétricas y a la gráfica, juntas, es a lo que se llama una curva plana, que se denota por C. NOTA Algunas veces es importante distinguir entre una gráfica (conjunto de puntos) y una curva (los puntos junto con las ecuaciones paramétricas que los definen). Cuando sea importante hacer esta distinción, se hará de manera explícita. Cuando no sea importante se empleará C para representar la gráfica o la curva, indistintamente. I
  • 34. 10-2.qxd 3/12/09 712 16:45 Page 712 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Cuando se dibuja (a mano) una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas, se trazan puntos en el plano xy. Cada conjunto de coordenadas (x, y) está determinado por un valor elegido para el parámetro t. Al trazar los puntos resultantes de valores crecientes de t, la curva se va trazando en una dirección específica. A esto se le llama la orientación de la curva. EJEMPLO 1 Trazado de una curva Trazar la curva dada por las ecuaciones paramétricas t yϭ , 2 x ϭ t2 Ϫ 4 y Ϫ2 ≤ t ≤ 3. Solución Para valores de t en el intervalo dado, se obtienen, a partir de las ecuaciones paramétricas, los puntos (x, y) que se muestran en la tabla. y 4 2 t=1 t x t=0 t = −1 4 t = −2 Ϫ2 Ϫ1 0 1 2 3 x 0 Ϫ3 Ϫ4 Ϫ3 0 5 y t=3 t=2 Ϫ1 Ϫ2 0 1 2 1 3 2 6 −2 1 −4 Ecuaciones paramétricas: x = t2 − 4 y y = t , −2 ≤ t ≤ 3 2 Al trazar estos puntos en orden de valores crecientes de t y usando la continuidad de f y de g se obtiene la curva C que se muestra en la figura 10.20. Hay que observar las flechas sobre la curva que indican su orientación conforme t aumenta de Ϫ2 a 3. Figura 10.20 y NOTA De acuerdo con el criterio de la recta vertical, puede verse que la gráfica mostrada en la figura 10.20 no define y en función de x. Esto pone de manifiesto una ventaja de las ecuaciones paramétricas: pueden emplearse para representar gráficas más generales que las gráficas de funciones. I 4 t= 1 2 2 t=1 t= 3 2 x t=0 1 t=− 2 t = −1 4 A menudo ocurre que dos conjuntos distintos de ecuaciones paramétricas tienen la misma gráfica. Por ejemplo, el conjunto de ecuaciones paramétricas 6 −2 −4 x ϭ 4t 2 Ϫ 4 y Ecuaciones paramétricas: y ϭ t, Ϫ1 ≤ t ≤ 3 3 2 x = 4t2 − 4 y y = t, −1 ≤ t ≤ 2 Figura 10.21 tiene la misma gráfica que el conjunto dado en el ejemplo 1 (ver la figura 10.21). Sin embargo, al comparar los valores de t en las figuras 10.20 y 10.21, se ve que la segunda gráfica se traza con mayor rapidez (considerando t como tiempo) que la primera gráfica. Por tanto, en las aplicaciones, pueden emplearse distintas ecuaciones paramétricas para representar las diversas velocidades a las que los objetos recorren una trayectoria determinada. La mayoría de las herramientas de graficación cuenta con un modo paramétrico de graficación. Se puede emplear uno de estos dispositivos para confirmar las gráficas mostradas en las figuras 10.20 y 10.21. ¿Representa la curva dada por TECNOLOGÍA x ϭ 4t 2 Ϫ 8t y y ϭ 1 Ϫ t, Ϫ 1 ≤ t ≤ 2 2 la misma gráfica que la mostrada en las figuras 10.20 y 10.21? ¿Qué se observa respecto a la orientación de esta curva?
  • 35. 10-2.qxd 3/12/09 16:45 Page 713 SECCIÓN 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 713 Eliminación del parámetro A encontrar la ecuación rectangular que representa la gráfica de un conjunto de ecuaciones paramétricas se le llama eliminación del parámetro. Por ejemplo, el parámetro del conjunto de ecuaciones paramétricas del ejemplo 1 se puede eliminar como sigue. Despejar t de una de las ecuaciones Ecuaciones paramétricas x ϭ t2 Ϫ 4 y ϭ t͞2 Sustituir en la otra ecuación x ϭ ͑2y͒ 2 Ϫ 4 t ϭ 2y Ecuación rectangular x ϭ 4y 2 Ϫ 4 Una vez eliminado el parámetro, se ve que la ecuación x ϭ 4y 2 Ϫ 4 representa una parábola con un eje horizontal y vértice en ͑Ϫ4, 0͒, como se ilustra en la figura 10.20. El rango de x y y implicado por las ecuaciones paramétricas puede alterarse al pasar a la forma rectangular. En esos casos, el dominio de la ecuación rectangular debe ajustarse de manera que su gráfica coincida con la gráfica de las ecuaciones paramétricas. En el ejemplo siguiente se muestra esta situación. EJEMPLO 2 Ajustar el dominio después de la eliminación del parámetro Dibujar la curva representada por las ecuaciones y xϭ 1 t=3 t=0 −2 1 −1 x 1 Ίt ϩ 1 y yϭ t , t > Ϫ1 tϩ1 eliminando el parámetro y ajustando el dominio de la ecuación rectangular resultante. 2 Solución Para empezar se despeja t de una de las ecuaciones paramétricas. Por ejemplo, se puede despejar t de la primera ecuación. −1 −2 1 Ίt ϩ 1 1 2ϭ x tϩ1 1 tϩ1ϭ 2 x 1 1 Ϫ x2 tϭ 2Ϫ1ϭ x x2 xϭ t = −0.75 −3 Ecuaciones paramétricas: x = 1 , y = t , t > −1 t+1 t+1 y Ecuación paramétrica para x. Elevar al cuadrado cada lado. Despejar t. Sustituyendo ahora, en la ecuación paramétrica para y, se obtiene 1 1 −1 2 yϭ t tϩ1 Ecuación paramétrica para y. yϭ x −2 (1 Ϫ x2)͞x2 [(1 Ϫ x2)͞x2] ϩ 1 Sustitución de t por ͑1 Ϫ x 2͒͞x 2. −1 −2 −3 Ecuación rectangular: y = 1 − x2, x > 0 Figura 10.22 y ϭ 1 Ϫ x 2. Simplificar. La ecuación rectangular, y ϭ 1 Ϫ x 2, está definida para todos los valores de x. Sin embargo, en la ecuación paramétrica para x se ve que la curva sólo está definida para t > Ϫ1. Esto implica que el dominio de x debe restringirse a valores positivos, como se ilustra en la figura 10.22.
  • 36. 10-2.qxd 3/12/09 714 16:45 Page 714 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares En un conjunto de ecuaciones paramétricas, el parámetro no necesariamente representa el tiempo. El siguiente ejemplo emplea un ángulo como parámetro. Emplear trigonometría para eliminar un parámetro EJEMPLO 3 Dibujar la curva representada por x ϭ 3 cos ␪ y y ϭ 4 sen ␪, sin 0 Յ ␪ Յ 2␲ al eliminar el parámetro y hallar la ecuación rectangular correspondiente. y π θ =2 Solución Para empezar se despejan cos ␪ y sen ␪ de las ecuaciones dadas. 3 cos ␪ ϭ 2 1 θ =π −4 θ=0 −2 1 −1 2 4 x x 3 y sen ␪ ϭ y 4 Despejar cos ␪ y sen ␪. sin A continuación, se hace uso de la identidad sen2 ␪ ϩ cos 2 ␪ ϭ 1 para formar una ecuación en la que sólo aparezcan x y y. −1 cos2 ␪ ϩ sen2 ␪ ϭ 1 sin −2 3π θ= 2 Ecuaciones paramétricas: x = 3 cos θ , y = 4 sen θ Ecuación rectangular: x2 y2 + =1 9 16 Figura 10.23 x y ΂3΃ ϩ ΂4΃ 2 −3 2 Identidad trigonométrica. ϭ1 Sustituir. x2 y2 ϩ ϭ1 9 16 Ecuación rectangular. En esta ecuación rectangular, puede verse que la gráfica es una elipse centrada en ͑0, 0͒, con vértices en ͑0, 4͒ y ͑0, Ϫ4͒ y eje menor de longitud 2b ϭ 6, como se muestra en la figura 10.23. Obsérvese que la elipse está trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj ya que ␪ va de 0 a 2p . El empleo de la técnica presentada en el ejemplo 3 permite concluir que la gráfica de las ecuaciones paramétricas x ϭ h ϩ a cos ␪ y y ϭ k ϩ b sen ␪, sin 0 Յ ␪ Յ 2␲ es una elipse (trazada en sentido contrario al de las manecillas del reloj) dada por ͑x Ϫ h͒ 2 ͑ y Ϫ k͒ 2 ϩ ϭ 1. a2 b2 La gráfica de las ecuaciones paramétricas x ϭ h ϩ a sen ␪ sin y y ϭ k ϩ b cos ␪, 0 Յ ␪ Յ 2␲ también es una elipse (trazada en sentido de las manecillas del reloj) dada por ͑x Ϫ h͒ 2 ͑ y Ϫ k͒ 2 ϩ ϭ 1. a2 b2 Emplear una herramienta de graficación en modo paramétrico para elaborar las gráficas de varias elipses. En los ejemplos 2 y 3 es importante notar que la eliminación del parámetro es principalmente una ayuda para trazar la curva. Si las ecuaciones paramétricas representan la trayectoria de un objeto en movimiento, la gráfica sola no es suficiente para describir el movimiento del objeto. Se necesitan las ecuaciones paramétricas que informan sobre la posición, dirección y velocidad, en un instante determinado.
  • 37. 10-2.qxd 3/12/09 16:45 Page 715 SECCIÓN 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 715 Hallar ecuaciones paramétricas Los primeros tres ejemplos de esta sección ilustran técnicas para dibujar la gráfica que representa un conjunto de ecuaciones paramétricas. Ahora se investigará el problema inverso. ¿Cómo determinar un conjunto de ecuaciones paramétricas para una gráfica o una descripción física dada? Por el ejemplo 1 ya se sabe que tal representación no es única. Esto se demuestra más ampliamente en el ejemplo siguiente, en el que se encuentran dos representaciones paramétricas diferentes para una gráfica dada. Hallar las ecuaciones paramétricas para una gráfica dada EJEMPLO 4 Hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para representar la gráfica de y ϭ 1 Ϫ x 2, usando cada uno de los parámetros siguientes. a) t ϭ x b) La pendiente m ϭ dy en el punto ͑x, y͒ dx Solución a) Haciendo x ϭ t se obtienen las ecuaciones paramétricas xϭt y ϭ 1 Ϫ x 2 ϭ 1 Ϫ t 2. y b) Para expresar x y y en términos del parámetro m, se puede proceder como sigue. dy ϭ Ϫ2x dx m xϭϪ 2 mϭ y 1 m=0 m=2 m = −2 x −2 −1 1 Despejar x. Con esto se obtiene una ecuación paramétrica para x. Para obtener una ecuación paramétrica para y, en la ecuación original se sustituye x por Ϫm͞2. 2 −1 y ϭ 1 Ϫ x2 −2 m=4 Derivada de y ϭ 1 Ϫ x 2. m yϭ1Ϫ Ϫ Ϫ 2 −3 Escribir la ecuación rectangular original. ΂ ΃ m = −4 yϭ1Ϫ 2 m2 4 Sustitución de x por Ϫm͞2. Simplificación. Por tanto, las ecuaciones paramétricas son Ecuación rectangular: y = 1 − x2 Ecuaciones paramétricas: m2 m x=− ,y=1− 4 2 Figura 10.24 xϭϪ m 2 y yϭ1Ϫ m2 . 4 En la figura 10.24 obsérvese que la orientación de la curva resultante es de derecha a izquierda, determinada por la dirección de los valores crecientes de la pendiente m. En el inciso a), la curva tenía la orientación opuesta. Para usar de manera eficiente una herramienta de graficación es importante desarrollar la destreza de representar una gráfica mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas. La razón es que muchas herramientas de graficación sólo tienen tres modos de graficación: 1) funciones, 2) ecuaciones paramétricas y 3) ecuaciones polares. La mayor parte de las herramientas de graficación no están programadas para elaborar la gráfica de una ecuación general. Supóngase, por ejemplo, que se quiere elaborar la gráfica de la hipérbola x 2 Ϫ y 2 ϭ 1. Para hacer la gráfica de la hipérbola en el modo función, se necesitan dos ecuaciones: y ϭ Ίx 2 Ϫ 1 y y ϭ Ϫ Ίx 2 Ϫ 1. En el modo paramétrico, la gráfica puede representarse mediante x ϭ sec t y y ϭ tan t. TECNOLOGÍA
  • 38. 10-2.qxd 3/12/09 716 16:45 Page 716 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares CICLOIDES Galileo fue el primero en llamar la atención hacia la cicloide, recomendando que se empleara en los arcos de los puentes. En cierta ocasión, Pascal pasó ocho días tratando de resolver muchos de los problemas de las cicloides, problemas como encontrar el área bajo un arco y el volumen del sólido de revolución generado al hacer girar la curva sobre una recta. La cicloide tiene tantas propiedades interesantes y ha generado tantas disputas entre los matemáticos que se le ha llamado “la Helena de la geometría” y “la manzana de la discordia”. EJEMPLO 5 Ecuaciones paramétricas de una cicloide Determinar la curva descrita por un punto P en la circunferencia de un círculo de radio a que rueda a lo largo de una recta en el plano. A estas curvas se les llama cicloides. Solución Sea ␪ el parámetro que mide la rotación del círculo y supóngase que al inicio el punto P ϭ ͑x, y͒ se encuentra en el origen. Cuando ␪ ϭ 0, P se encuentra en el origen. Cuando ␪ ϭ ␲, P está en un punto máximo ͑␲ a, 2a͒. Cuando ␪ ϭ 2␲, P vuelve al eje x en ͑2␲ a, 0͒. En la figura 10.25 se ve que ЄAPC ϭ 180Њ Ϫ ␪. Por tanto, AC BD ϭ a a AP cos ␪ ϭ Ϫcos͑180Њ Ϫ ␪ ͒ ϭ Ϫcos͑ЄAPC͒ ϭ Ϫa sin sin sin sen ␪ ϭ sen͑180Њ Ϫ ␪ ͒ ϭ sen͑ЄAPC͒ ϭ lo cual implica que AP ϭ Ϫa cos ␪ y BD ϭ a sen ␪. sin PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información acerca de las cicloides, consultar el artículo “The Geometry of Rolling Curves” de John Bloom y Lee Whitt en The American Mathematical Monthly. ៣ Como el círculo rueda a lo largo del eje x, se sabe que OD ϭ PD ϭ a␪. Además, como BA ϭ DC ϭ a, se tiene sen x ϭ OD Ϫ BD ϭ a␪ Ϫ a sin ␪ y ϭ BA ϩ AP ϭ a Ϫ a cos ␪. Por tanto, las ecuaciones paramétricas son x ϭ a͑␪ Ϫ sen ␪ ͒ sin y y ϭ a͑1 Ϫ cos ␪ ͒. Cicloide: x = a(θ − sen θ ) y = a(1 − cos θ) y P = (x, y) (3π a, 2a) (π a, 2a) 2a A a θ O C B D πa x (2πa, 0) 3π a (4π a, 0) Figura 10.25 TECNOLOGÍA Algunas herramientas de graficación permiten simular el movimiento de un objeto que se mueve en el plano o en el espacio. Se recomienda usar una de estas herramientas para trazar la trayectoria de la cicloide que se muestra en la figura 10.25. La cicloide de la figura 10.25 tiene esquinas agudas en los valores x ϭ 2n␲ a. Obsérvese que las derivadas xЈ͑␪ ͒ y yЈ͑␪ ͒ son ambas cero en los puntos en los que ␪ ϭ 2n␲. x͑␪ ͒ ϭ a͑␪ Ϫ sen ␪ ͒ sin xЈ͑␪ ͒ ϭ a Ϫ a cos ␪ xЈ͑2n␲͒ ϭ 0 y͑␪ ͒ ϭ a͑1 Ϫ cos ␪ ͒ yЈ͑␪ ͒ ϭ a sen ␪ sin yЈ͑2n␲͒ ϭ 0 Entre estos puntos, se dice que la cicloide es suave. DEFINICIÓN DE UNA CURVA SUAVE Una curva C representada por x ϭ f ͑t͒ y y ϭ g͑t͒ en un intervalo I se dice que es suave si fЈ y gЈ son continuas en I y no son simultáneamente 0, excepto posiblemente en los puntos terminales de I. La curva C se dice que es suave a trozos si es suave en todo subintervalo de alguna partición de I.
  • 39. 10-2.qxd 3/12/09 16:45 Page 717 SECCIÓN 10.2 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 717 Los problemas de la tautocrona y de la braquistocrona B A C El tiempo que requiere un péndulo para realizar una oscilación completa si parte del punto C es aproximadamente el mismo que si parte del punto A Figura 10.26 El tipo de curva descrito en el ejemplo 5 está relacionado con uno de los más famosos pares de problemas de la historia del cálculo. El primer problema (llamado el problema de la tautocrona) empezó con el descubrimiento de Galileo de que el tiempo requerido para una oscilación completa de un péndulo dado es aproximadamente el mismo ya sea que efectúe un movimiento largo a alta velocidad o un movimiento corto a menor velocidad (ver la figura 10.26). Más tarde, Galileo (1564-1642) comprendió que podía emplear este principio para construir un reloj. Sin embargo, no logró llegar a la mecánica necesaria para construirlo. Christian Huygens (1629-1695) fue el primero en diseñar y construir un modelo que funcionara. En su trabajo con los péndulos, Huygens observó que un péndulo no realiza oscilaciones de longitudes diferentes en exactamente el mismo tiempo. (Esto no afecta al reloj de péndulo porque la longitud del arco circular se mantiene constante dándole al péndulo un ligero impulso cada vez que pasa por su punto más bajo.) Pero al estudiar el problema, Huygens descubrió que una pelotita que rueda hacia atrás y hacia adelante en una cicloide invertida completa cada ciclo en exactamente el mismo tiempo. A The Granger Collection B Una cicloide invertida es la trayectoria descendente que una pelotita rodará en el tiempo más corto Figura 10.27 JAMES BERNOULLI (1654-1705) James Bernoulli, también llamado Jacques, era el hermano mayor de John. Fue uno de los matemáticos consumados de la familia suiza Bernoulli. Los logros matemáticos de James le han dado un lugar prominente en el desarrollo inicial del cálculo. El segundo problema, que fue planteado por John Bernoulli en 1696, es el llamado problema de la braquistocrona (en griego brachys significa corto y cronos significa tiempo). El problema consistía en determinar la trayectoria descendente por la que una partícula se desliza del punto A al punto B en el menor tiempo. Varios matemáticos se abocaron al problema y un año después el problema fue resuelto por Newton, Leibniz, L’Hˆ pio tal, John Bernoulli y James Bernoulli. Como se encontró, la solución no es una recta de A a B, sino una cicloide invertida que pasa por los puntos A y B, como se muestra en la figura 10.27. Lo sorprendente de la solución es que una partícula, que parte del reposo en cualquier otro punto C, entre A y B, de la cicloide tarda exactamente el mismo tiempo en llegar a B, como se muestra en la figura 10.28. A C B Una pelotita que parte del punto C tarda el mismo tiempo en llegar al punto B que una que parte del punto A Figura 10.28 PARA MAYOR INFORMACIÓN Para ver una demostración del famoso problema de la braquistocrona, consultar el artículo “A New Minimization Proof for the Brachistochrone” de Gary Lawlor en The American Mathematical Monthly.
  • 40. 1059997_1002.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 718 10-2.qxd 3/12/09 16:45 Page 718 1059997_1002.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 718 1059997_1002.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 718 1059997_1002.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 718 1059997_1002.qxp 9/2/08 3:49 PM Page 718 718 718 CAPÍTULO 10 Conics, Parametric Equations, and y coordenadas polares Cónicas, ecuaciones paramétricas Polar Coordinates Chapter 10 718 718 718 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 10.2 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.2 Ejercicios for worked-out to odd-numbered 10.2 Exercises SeeSee www.CalcChat.com worked-out solutionsodd-numbered exercises. 10.2 Exercisesparamétricas x ϭ Ίt y forϭworked-outsolutions to25.odd-numberedexercises. Seewww.CalcChat.com for 1 Ϫ t. solutions toodd-numbered exercises. www.CalcChat.com 10.2 Exercises See www.CalcChat.com yforworked-out solutions to25. x 3 exercises. 4 cos 1. Considerar las ecuaciones 3 t and y 3 t. 1. Consider the parametric equations x a) Consider theaparametric equations xt 0, 1, t2, 3, and 4. t. Construir una table of values for t ϭ 0, 1, 2, y y 3 tabla de valores para (a) 1. Construct and 3 t t and t. 1. b) Trazarthe parametric equations xx en laand yy y dibujar una Consider los parametric y) generados 1. Consider the points (x,y equations in the tabla 3, 33 sketch a (b) Plot the puntos x, of generated t 0, table, and 4. (a) Construct a table values for 1, 2, and t. (a) gráfica de aatable of values for t t 0,Indicate and orientation Construct the parametric equations. 0,1, 2, Indicar 4. orien3, the 4. graph the table x, y generated in the 3, and la (a) Construct las ecuaciones paramétricas. 2,table, and sketch a 1, (b) Plot of points of values for de ofgraph la gráfica. (b) taciónthegraph. parametric equations. Indicate and sketch aa Plotthe points x, yy generated in the table, and orientation (b) Plot the of the x, generated in the table, the sketch points c) Verificarofthe parametrictoequations.Indicate the orientation gráfica (c) graphaoflathe parametricequations.your graph in orientation Use the graph. elaborada en el Indicate the part (b). of graph graphing utility confirm inciso b) empleando una of the graph. herramienta de graficación. ofUsethegraphing utility to confirm your graph in part (b). the graph. (d) Find a rectangular equation by eliminating the parameter, (c) (c) Hallarala ecuación rectangular mediante graphin part with pad) Use asketch its graph. Compare theyourgraphpart (b) (b). the and the rectangular equation your eliminación del (c) Use graphing utility to confirmby graph in inthe parameter, (d) Findgraphing utility to confirm eliminating part (b). y graph ofdibujar su equation by the (d) rámetro sketch rectangular equation. graph in theparameter,the Find the rectangulargráfica. Comparar la gráfica generada en and the its graph. Compare eliminating part (b) with (d) Find the rectangularequation by eliminating the parameter, el inciso b) its graph. Compare the graph in part (b) with the con la gráfica de la and sketchparametric equationsecuación rectangular. 2 sin . x 4 2. Consider theof its graph. Compare the graph in part (b) with the graph and sketch the rectangular equation. cos 2 and y graph ofthe rectangular paramétricas x ϭ 2 cos 2 ␪ y y ϭ 4 2. Consideraroflas ecuaciones equation. graph the rectangular equation. 2. Consider the parametric equations x 4 cos and y 2 sin . 2 , 0, y (a) Construct a table of values for sen ␪. 2. 2Considerthe parametric equations xx 44cos 2,2 and yy 4 22sin . . . Consider the parametric equations 2 4 2 cos and sin 2. , , 0, y Construct a table values for a) (a)Plot theuna tabla x, yvalores para in the table, and sketch .a Construir points deof generated (b) 4 4 2 , ,2 (a) Construct aatable of values for (a) Constructthe parametric equations. Indicate , ,0, 4 yy 2 . . 0, graph the table of values for 4 b) (b) Plot of puntos (x,x,y) generados en la tablathedibujar2una a Trazar los points y generated in 22 table, and sketch the 44 y orientation ofgraph points x, generated in the Indicar (b) gráficathe points parametricparamétricas.table, andlasketch aa las orienta(b) Plotthe deof the x, yy generated in theIndicate and orientation Plot thegraph. ecuaciones equations. table, the sketch ción de la the parametric equations.your graph in orientation (c) graphaof graph. utility toequations. Indicate the orientation Use the the parametric confirm Indicate the part (b). of graphing graph of gráfica. of the graph. the c) (c)Find thegraphing elaboradaconfirm your b) empleando(b). Verificaralarectangular equation by eliminating the parameter, gráfica utility to en el inciso graph in part una (d) ofUse graph. (c) herramienta de graficación. Use aagraphinggraph. Compare theyourgraphpartpart with the and sketch rectangular toconfirmby graph in in the parameter, (c) Use graphingutility to confirmyour graph in (b) (b). (d) Find the its utility equation eliminating part (b). graph sketch rectangular equation. (d) Hallarthe rectangular equation by eliminatingeliminación del d) Find the ecuación rectangular by the graph in theparameter,the and of the its graph. Compare eliminating part (b) with (d) Find la rectangular equation mediante la the parameter, andvaluesofits graph. Comparefromgraph in part (b) with the parámetro y dibujar su Comparethe graph in part (b) 2, 3 the (e) andsketchofthegraph.selected Comparar la gráfica generada If graph its were gráfica. the the interval rectangular equation. sketch with 2 graph of tablecon part (a), would en If the the of in were selected la ecuación rectangular. la gráfica de from for values (b) graph of therectangular equation. the interval (e) el inciso b) rectangular equation.the graph in part 2, 3 be2 different?of were part (a), from elthe graph Explain. selected ␪ en (e) SiIfse seleccionaran valores dewouldtheintervalo ͓␲͞2,33␲͞2͔be If values oftable in selected from the interval in 2, (b) e) part 22 2, (e) for the values were interval for different? Explain. (a),a),would the graph in part (b) be the tabla del part (a), would the graph in part (b) del table in inciso para la table in part ¿sería diferente la gráfica be for the In Exercises 3–20, sketch the curve represented by the different? Explain. inciso b)? Explicar el razonamiento. different? Explain. parametric equations (indicate the curve represented curve), In Exercises 3–20, sketch the orientation of the by the andExercises equations (indicate curve representa by the write 3–20, sketch the rectangular of by by In parametric the acorresponding curve represented the ecuaIn Exercises 3–20, sketch la the querepresented las curve), En los ejercicios 3 20, trazarthecurva orientationequation the eliminating equations (indicate the rectangular equation parametric equations (indicate the orientation ofcurva)curve), and write parameter. parametric thethe corresponding orientation the y, eliciones paramétricas (indicar la orientación de laof the curve),by and write parámetro, dar la ecuación rectangular corresponeliminating 3, y 3t 1 and x write the parameter. rectangular y 2 by minando 2t the corresponding 4. x 5 4t, equation 5t el the corresponding rectangular equation by 3. eliminating the parameter. eliminating the parameter. diente. 2 x x y 5.3. x t 2t 1, 3, y t 2 3t 1 6.4. x 2t5, y t y 1 4t, 4 2 5t 3. x 4. x y 3. x 2t 3, t y 3t 1 4. x 5 24t, y 2 5t 3. 5. x 2t t 3,1, y 2 3tt 2 1 4. 6. x 5 2t 4t, yy t 42 15t , 3, 2 4 t2 7. x 8. x t 22 t, 5. xxϭ t ttϩ 1,y yyϭ 222 6. xxϭ 2t 22, yyϭyt 44ϩ 11 t 4 2t 1, 5. 6. 5. x t 1, y 2 t t t 6. x 2t 2,, y tt t2 1 3, 2 2 y t2 t, y t 2 t 7. x t 8. x 4 t 2 3 2 2 9. xx t 3, t,y y tt 2 t2 5 10. xx t 22 t, t, y y 8 t 22 t t 7. xxϭ tt 3, yyϭ 8. xxϭ tt ϩ t, yyϭ tt Ϫ tt 3, 2 2 t, 7. 8. 7. 8. 2 4 t, 2 1 y 8 t t, y 2 t t 5 9. x 10. x , 11. xx t t, 3, yt 5 12. x 44 9. x 10. xx 41 t,t, yy y 8 tt t 1 3 t1 8 t, yy t t 5 t 9. 10. 9. 10. 11. x t 3, y t 12. x 1 1 , y t 1 1 1 , y t 13. x 14. x tt 11. xx tt2t, 3,y yy t 2 3 12. xxϭ 11t 1,, , t yyϭ t tϪ 112 3, 11. 12. 11. 12. x 1 ϩ t y t 1 tt 3 t, 3t t, tt y 2t 3 15. x x e 2t, y y e t 12 16. x x e t 1 , ey t1 2 13. 14. 13. xxϭ 2t, t yyϭ t tϪ3t22 14. xxϭ t tϪ 1t1,, , yyϭ t2tϩ 22 13. xx 2t, 14.< 2 , x t 13.15. x 2t, e ,y, y y t e cos 1 0 14.16. x 2, e 1, 2 yy ett 21 sec < 17. 3t 2t t 3t tt 2t 15. xxϭ eett,,t, 2yyϭ ee3tϩ 112 15. xx 16. 1 15.17. x etan y , , e3t sec , 0 16. xxϭ eeϪt,,t, yyϭ ee2tϪ 11 16. x< e 2, y 2 e2t 1 18. sec y y cos < < < < 2 < 17. xxϭ sec ␪,, ,2 yyϭ cos ␪,, , 2 00 ≤ ␪ < ␲͞2, ␲͞22 < ␪ ≤ ␲ < 2, 2, < 17. xx sec 17.18. x sectan ,, y cos8 sen 0 8 cos y y cos 19. sec 2 2 18. xxϭ tan 22␪,, , yyϭ sec 22␪ 2 18. xx tan sec 2 sen 18.19. x tan8 cos,y , y ysec 8 sen 3 cos 7 20. 19. xx 88cos ,,, yy 88sen cos sen 19. x 19.20. x 8 cos 3 cos ,y y 8 sen 7 sen In Exercises a 20. xx 33cos 21–32, usesengraphing utility to graph the curve cos y 7 sen 20. 20. x 3 cos ,,, yy 77sen represented by the parametric equations (indicate graph the curve In Exercises 21–32, use a graphing utility to the orientation of Exercises by the 32, graphing utility to graph write the the curve). Eliminate In represented21–32,ause aausarthe parameter graph graficación En Exercises 21–32, use graphing herramienta de the curve equations to and orientation In los ejercicios 21 parametricuna utility(indicate thethe curve corresponding the parametric equations(indicate the orientation rectangular equation. representedcurve).parametric equations ecuacionesand write the by curva Eliminate the las (indicate the orientation the que representa parameter paramétricas para trazar la of the represented by of corresponding Eliminate curva). parameter and write ythe (indicar la orientación de la the parameterel parámetro dar Eliminar of the curve). ,rectangular equation. cos , and 2write the Eliminate x 6 sen y sen 2 21. the curve). y 4 cos 2 the 22. corresponding 2rectangularequation. x la ecuación rectangular correspondiente. correspondingrectangular equation. 2 2 2 3 cos 23. x x 4 6 sencos, y 4 cos 2 24. x x cos , y 2 sen 2 21. 22. 21. xx 66sen 22 , ,yy 44cos 22 22. xx cos , ,yy 22sen 22 21. y x sen 2 cos cos 22. y x cos 2 3 3 cos 1 sen 5 sen sen 4 23. 24. 23. xx 44 22cos 24. xx cos cos 23. y 24. y 22 5 33cossen 1 sen 3 yy yy 55 33sen 11 sen sen sen Խ Խ Խ Խ 26. 26. x ϭ sec ␪ y y x sec 4 25. x 2 35 sen cos 26. ϭ tan ␪ 25. x 3 4 sen 4 cos 25. x ϭ 4 3 ␪, cos ϭ 3 tan ␪ 26. xx ϭsectan␪, y ϭ sen 3 ␪ 26. x y sec 3 27. 28. cos 3 sin 3 27. x y sec 5 y 28. 2 yy 223 55sen yy tan 3 29. x 30. x ln cos , y 2 y ϭ ,3 y 29. x ϭ t3,4 secsen ln t 3 tan 30. x ϭ tan2t, y ϭ t 2 sin 3 27. 28. 3 3 27. x 4 Ϫt3 ,, y 3t 3 tan 28. x cos33 ,, y tt sin33 t 2t sec y 3 3 27. x ϭ 4sec y ϭye 3tln ttan 28. x ϭ cos 2t, ϭ y sin , 31. 32. 31. x x e t ,, 32. x x e2tln y y e t 2 29. 30. 3 2 3 2 29. xx t t3, yy 33ln t t3t 30. xx ln 2t, yy t t 2t 2t, 29. x , e t, y lne 30. x ln e2t, y e 31. 32. 3t 2t tt Comparing de Curves In 32. los ejercicios 33 t a 36, deter33 Comparación y curvas planas Exercises e2t ,–36, determine any En x 3t 31. x e tt,t, Plane e3t y e y e 31. x e 32. x e2t, y e differences diferencia entre Inof the parametric determine any minar toda between Curves las Exercises 33 –36,equations. Are Comparing Plane the curves curvas de las ecuaciones parathe graphs the igualesAre the orientations iguales las Are the Comparing¿Son same?the curves of the¿Son–36, determine any métricas. Plane Curves In Exercises 33 –36, determine any gráficas? differences between Comparing Plane CurveslasIn Exercisesparametric equations. Are 33 the same? orientacurves ¿Son suaves the curves of orientations the same? Are differences between the curvestheExplicar. ciones? smooth? Explain.Are of the parametric equations. Arethe las curvas? the parametric equations. Are the graphs the same? differences between thecurves smooth? Explain. the orientations the same? Are the the graphs the same? Are the orientations the same? Are the cos 33. a) xxϭ the (a) (b) 33. graphs t t same? Are b) xxϭ cos ␪ curves smooth? Explain. curves smooth? Explain. 33. (a)yϭ 2t ϩ 11 (b) ϭ 22 cos␪ ϩ 11 y x 2tt yy x cos 33. (a) xx t tϪt t (b) xx cos 33. c) xxϭ ee 2t 1 (a) y (b) xxϭ ecos cos t (c) (d) y et 2 1 d) yy 2t Ϫt tt11 yy 22cos 1 2te ϩ 11 et (c)yϭ 2e (d)ϭ 2etcos 11 1 y x 2e y y x 2etϩ tt (c) x e tt t (d) xx eet 2t2 (d) xxϭ Ί4t Ϫ 1͞ t t 4t 1 34. a) x y e cos (a) (b) y 2e 2e 1 34. (c) xxϭ 22cos ␪t 1 b) yy 2ett t 12 yy 2e tt t 1 sin 1 34. (a)yϭ 22e2 cos 1 (b) ϭ 1͞t t 4t1 1 t y x 2sin ␪ yy x 2e 2 sen 4t 22 t 34. (a) xx 22cos (b) xx 4t 34. c) xxϭ Ίtcos (a) y 2 sin (b) xxϭ Ϫ Ί44Ϫ 11e2tt t (c) (d) y 1 t e2t d) y 2 sin yy 11 t (c)y x Ί4 4 t t t (d) ϭ eet t 4 e2t yyϭ 2 sin Ϫ yy x t 2t 2t 4 tt (c) xx (d) xx (c) xxϭ cos ␪ 4 t (d) xxϭ cosetϪ ␪͒ ee2t 35. (a) y cos (b) y cos 4 35. a) b) ͑ tt yy eet 2 yy 44 t sin sin cos cos 35. (a)yϭ 22sin2 2 t (b) ϭ 22sin2͑Ϫ ␪͒ y x sen ␪ yy x sen 35. (a) xx cos (b) xx cos cos ␲ 35. (a) 00<<␪ <<sin2 (b) 00<<␪cos sin2 y 2 y <<␲ 2 2 2 y 2 sin22 y 22sin22 t tϩ < t 36. (a) x 0 2 1, (b) x 0 < tϩ 1, 36. a) xyϭ t< sin1,yyϭ t33 b) xyϭ Ϫtsin<1, yyϭ ͑Ϫt͒3 3 < < < < 00 < < 00 < < 3 < t< 1, y < <t t3 t 1, y 36. (a) x (b) x 37. Conjetura 3 3 37. Conjecture t t33 t t 1, yy 36. (a) xx t t 1, yy t33 (b) xx 1, t 1, 36. (a) (b) a) Usar una herramienta de graficaciónthe curves las curvas repre(a) Use a graphing utility to graph para trazar represented by 37. Conjecture 37. Conjecture por los dos conjuntos de ecuaciones paramétricas. sentadas the two 37. Conjecture sets of parametric equations. curves represented by (a) Use a graphing utility to graph the (a) Use a 4graphingofutility4to graph the curves represented by x the two sets x ϭ cos͑Ϫtt͒ x ϭ cos tt cos x cos parametric equations. (a) Use a4graphing utility4 to graph the curves represented by the ϭ 3 sen t of parametric equations. thextwosin t of parametriccos t͒ t sets y two sets t y ϭ 3 sen͑Ϫt sin equations. y 3 4 cos sin yx 34 sin xx 44cos t x 4 cos b) Describir sincambioy encossin t tgraph se cambia sign of the la gráfica (b) Describe elt t change4in the t si when the el signo del y costhe x 3 3 yparameter yy 33 parámetro.t t changed. sin t t y 33sin sin (b) Describeisthe changesin the graph when the sign of the in c) Describe the change about the change inen la gráfica of (b) Formular unaischange in respecto al cambio the sign of the (c) Make a the conjetura the graph when parameter changed. (b) Describe conjecture in the graph when the the graph the sign of de las ecuaciones paramétricas cuando se of the parameter del parameter is equations when the sign cambia el signo is parametric conjecture parameter is changed. about the change in the graph of changed. (c) Make a parámetro. changed. conjecture about the change in the graph of (c) Make aa conjecture about the the sign of the parameter is parametric equations when change in the graph of (c) Make d) parametricconjetura con otrotheanother de ecuaciones para(d)Probar yourequations when the sign of set of parametric Test la changed. conjecture with conjunto of the parameter is parametric equations when sign the parameter is métricas. changed. equations. changed. (d) Test your conjecture with another set of parametric 38. (d) Test yourRevisar los ejerciciosanother seta of parametric RedacciónReview Exerciseswith 33 a write short un párrafo 38. (d) Test your conjecture with another y escribir paragraph Writing equations.conjecture 33–36 and 36 set of parametric equations. breve que describa cómo las gráficas representedrepresentadas describing how the Exercises 33–36 and write a short different equations. 38. Writing Review graphs of curves de curvas by paragraph por diferentes conjuntos decan differ represented by pueden sets of Review equations of curveswrite short paragraph 38. Writing parametricExercises 33–36 and write though eliminating describing how the graphs ecuaciones paramétricas different 38. Writing Review Exercises 33–36 andeven aashort paragraph diferir of howfrom la eliminación differ even though different the parameter the equations can del parámetro dé la misma describingparametricgraphs of curves represented by equation. sets aun cuando graphs of the same rectangular different describing how the each yieldscurves represented by eliminating ecuación rectangular. sets of parameter from each yields the same though eliminating the parametric equations can differ even though eliminating sets ofparametric equations can differ even rectangular equation. In the parameter from eliminate the parameter and obtain the Exercises 39–42, each yields the same rectangular equation. the parameter from each yields the same rectangular equation. standard form of the rectangular the parámetro y obtain the En los ejercicios 39 a 42, eliminar elparameter andobtener la In Exercises 39–42, eliminate equation. In standard form of the rectangular parameter and obtain the eliminate forma estándar o canónica de lathe: equation. and obtain the In Exercises 39–42,, yeliminate,the parameter 39. Exercises 39–42, 1 and x2 ecuación rectangular. Line through x1 2 standard form of the rectangularyequation. standard form of the rectangular equation. x x 39. Recta 1 through por,1͑x1, and yx͑1x2y2yt2͒: 2 y1 pasa x 39. Lineque t x2 x1 y,1 y1͒ y2, , : y 39. Line through xx, ,yy and xx, ,yy : : 1 2 39. Line x x x t ͑xhxϪ x1cos, y, ϭ2y 2yϩ t ͑ t ryϪ y ͒ 40. x ϭ through 2 12 r1͒,1and y2 y 1221 k y2 sin 1y1 Circle: ϩ t 11 1 x x 1 1 2 xx xx t t xx xx , , yy yy t t yy yy 1 1 1 2 1 1 2 1 1 41. Ellipse: xx 22hh 11 r cos , 1yy a h b sin sin 40. Circle: 2 r k11 40. Circunferencia: x ϭcosϩ ,r cos ␪,kk y2 ϭsinϩ r sen ␪ 40. Circle: xx hh rrcos , , yy kk rrsin 40. Circle: 42. Hyperbola: x h cosa sec , y k sin b tan 41. Ellipse: a b 41. Elipse: x x h h a coscos ,y y k k b sensin sin 41. Ellipse: xxϭ hhϩ aacos ␪,, , yy ϭ kk ϩ bbsin ␪ 41. Ellipse: cos a sec , y ksin b tan 42. Hyperbola: x h 42. Hipérbola: x h a sec y k b tan 42. Hyperbola: xx ϭ hh ϩ aasec ␪,,, yy ϭ kk ϩ bbtan ␪ 42. Hyperbola: sec tan ԽԽ
  • 41. 10-2.qxd 3/12/09 16:45 Page 719 SECCIÓN 10.2 En los ejercicios 43 a 50, emplear los resultados de los ejercicios 39 a 42 para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la recta o para la cónica. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. Desarrollo de conceptos (continuación) y c) Recta: pasa por (0, 0) y (4, Ϫ7) Recta: pasa por (1, 4) y (5, Ϫ2) Círculo: centro: (3, 1); radio: 2 Círculo: centro: (Ϫ6, 2); radio: 4 Elipse: vértices (Ϯ10, 0); foco: (Ϯ8, 0) Elipse: vértices: (4, 7), ͑4, Ϫ3͒; foco: (4, 5), ͑4, Ϫ1͒ Hipérbola: vértice: ͑± 4, 0͒; foco: ͑± 5, 0͒ Hipérbola: vértice: ͑0, ± 1͒; foco: ͑0, ± 2͒ x 2 3 −2 −3 −4 4 y y f) 3 2 1 4 x −3 −2 −1 1 1 2 3 x i) x ϭ t 2 Ϫ 1, 1 −1 −1 −3 2 3 yϭtϩ2 ii) x ϭ sen ␪ Ϫ 1, y ϭ sin ␪ ϩ 2 sen iii) Curva de Lissajous: x ϭ 4 cos ␪, iv) Evoluta de una elipse: x ϭ y ϭ 2 sen 2␪ sin cos3 ␪, y ϭ 2 sen3 ␪ sin 3 v) Evolvente o involuta de un círculo: x ϭ cos ␪ ϩ ␪ sen ␪, y ϭ sen ␪ Ϫ ␪ cos ␪ sin sin En los ejercicios 59 a 66, emplear una herramienta de graficación para representar la curva descrita por las ecuaciones paramétricas. Indicar la dirección de la curva e identificar todos los puntos en los que la curva no sea suave. sen 59. Cicloide: x ϭ 2͑␪ Ϫ sin ␪͒, y ϭ 2͑1 Ϫ cos ␪͒ 60. Cicloide: x ϭ ␪ ϩ sen ␪, y ϭ 1 Ϫ cos ␪ sin 61. Cicloide alargada: x ϭ ␪ Ϫ 3 sen ␪, y ϭ 1 Ϫ 3 cos ␪ 2 sin 2 62. Cicloide alargada: x ϭ 2␪ Ϫ 4 sen ␪, y ϭ 2 Ϫ 4 cos ␪ sin 63. Hipocicloide: x ϭ 3 cos3 ␪, y ϭ 3 sen3 ␪ sin 64. Cicloide corta: x ϭ 2␪ Ϫ sen ␪, y ϭ 2 Ϫ cos ␪ sin 65. Hechicera o bruja de Agnesi: x ϭ 2 cot ␪, y ϭ 2 sen2 ␪ sin yϭ 3t 2 1 ϩ t3 sin vi) Curva serpentina: x ϭ cot ␪, y ϭ 4 sen ␪ cos ␪ 69. Cicloide corta Un disco de radio a rueda a lo largo de una recta sin deslizar. La curva trazada por un punto P que se encuentra a b unidades del centro (b < a) se denomina cicloide corta o acortada (ver la figura). Usar el ángulo ␪ para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas para esta curva. y y 4 2a (π a, a + b) P 3 b θ a x (0, a − b) Desarrollo de conceptos 1 (x, y) θ x 1 67. Explicar el proceso del trazado de una curva plana dada por ecuaciones paramétricas. ¿Qué se entiende por orientación de la curva? 68. Asociar cada conjunto de ecuaciones paramétricas con su gráfica correspondiente. [Las gráficas están etiquetadas a), b), c), d), e) y f).] Explicar el razonamiento. y a) −2 1 2 2 1 x −3 −2 −1 −2 −4 Figura para 69 3 4 Figura para 70 70. Epicicloide Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo de radio 2. La curva trazada por un punto sobre la circunferencia del círculo más pequeño se llama epicicloide (ver la figura). Usar el ángulo ␪ para hallar un conjunto de ecuaciones paramétricas de esta curva. ¿Verdadero o falso? En los ejercicios 71 a 73, determinar si la afirmación es verdadera o falsa. En caso de que sea falsa, explicar por qué o dar un ejemplo que muestre que es falsa. 4 x −2 −1 y b) 2 4 sin2 y ϭ 2x Ϫ 5, t ϭ 0 en el punto (3, 1) y ϭ 4x ϩ 1, t ϭ Ϫ1 en el punto (Ϫ2, Ϫ7) y ϭ x2, t ϭ 4 en el punto (4, 16) y ϭ 4 Ϫ x2, t ϭ 1 en el punto (1, 3) 3t , 1 ϩ t3 1 e) En los ejercicios 55 a 58, encontrar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la ecuación rectangular que satisface la condición dada. 66. Hoja o folio de Descartes: x ϭ 2 3 −2 x −1 −1 54. y ϭ x2 51. 56. 57. 58. 4 3 2 1 52. y ϭ 4͞(x Ϫ 1) 53. y ϭ x3 y d) 4 En los ejercicios 51 a 54, hallar dos conjuntos diferentes de ecuaciones paramétricas para la ecuación rectangular. 51. y ϭ 6x Ϫ 5 719 Curvas planas y ecuaciones paramétricas 1 2 3 71. La gráfica de las ecuaciones paramétricas x ϭ t 2 y y ϭ t 2 es la recta y ϭ x. 72. Si y es función de t y x es función de t, entonces y es función de x.
  • 42. 10-2.qxd 3/12/09 720 16:45 Page 720 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares 73. La curva representada por las ecuaciones paramétricas x ϭ t y y ϭ cos t se pueden escribir como una ecuación de la forma y ϭ f(x). PROYECTO DE TRABAJO Para discusión Cicloides 74. Considerar las ecuaciones paramétricas x ϭ 8 cos t y y ϭ 8 sen t. En griego, la palabra cycloid significa rueda, la palabra hipocicloide significa bajo la rueda, y la palabra epicicloide significa sobre la rueda. Asociar la hipocicloide o epicicloide con su gráfica. [Las gráficas están marcadas a), b), c), d), e) y f).] a) Describir la curva representada por las ecuaciones paramétricas. b) ¿Cómo se representa la curva por las ecuaciones paramétricas x ϭ 8 cos t ϩ 3 y y ϭ 8 sen t ϩ 6 comparada a la curva descrita en el inciso a)? Hipocicloide, H(A, B) c) ¿Cómo cambia la curva original cuando el coseno y el seno se intercambian? ΂ A Ϫ B ΃t B AϪB y ϭ ͑A Ϫ B͒ sen t Ϫ B sen΂ sin sin t B ΃ Movimiento de un proyectil En los ejercicios 75 y 76, considerar un proyectil que se lanza a una altura de h pies sobre el suelo y a un ángulo ␪ con la horizontal. Si la velocidad inicial es v0 pies por segundo, la trayectoria del proyectil queda descrita por las ecuaciones paramétricas x ‫ͧ ؍‬v0 cos ␪ͨ t y y ‫ ؍‬h ؉ ͧv0 sen ␪ͨ t ؊ 16t 2. sin 75. La cerca que delimita el jardín central en un parque de béisbol tiene una altura de 10 pies y se encuentra a 400 pies del plato de home. La pelota es golpeada por el bate a una altura de 3 pies sobre el suelo. La pelota se aleja del bate con un ángulo de ␪ grados con la horizontal a una velocidad de 100 millas por hora (ver la figura). Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que rueda a lo largo de la cara interior de un círculo de radio A x ϭ ͑A Ϫ B͒ cos t ϩ B cos Epicicloide, E(A, B) Trayectoria descrita por un punto fijo en un círculo de radio B que rueda a lo largo de la cara exterior de un círculo de radio A ΂ A ϩ B ΃t B AϩB y ϭ ͑A ϩ B͒ sen t Ϫ B sen΂ sin sin t B ΃ x ϭ ͑A ϩ B͒ cos t Ϫ B cos I. H(8, 3) II. E(8, 3) III. H(8, 7) IV. E(24, 3) V. H(24, 7) 10 pies a) VI. E(24, 7) y b) y θ 400 pies x 3 pies a) Dar un conjunto de ecuaciones paramétricas para la trayectoria de la pelota. b) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria de la pelota si ␪ ϭ 15Њ. ¿Es el golpe un home run? c) Usar una herramienta de graficación para representar la trayectoria de la pelota si ␪ ϭ 23Њ. ¿Es el golpe un home run? d) Hallar el ángulo mínimo al cual la pelota debe alejarse del bate si se quiere que el golpe sea un home run. 76. Una ecuación rectangular para la trayectoria de un proyectil es y ϭ 5 ϩ x Ϫ 0.005 x 2. c) y x d) y x e) y x f) y a) Eliminar el parámetro t de la función de posición del movimiento de un proyectil para mostrar que la ecuación rectangular es 2 16 sec2 ␪ 2 x ϩ ͑tan ␪͒ x ϩ h. 2 v0 b) Usar el resultado del inciso a) para hallar h, v0 y ␪. Hallar las ecuaciones paramétricas de la trayectoria. c) Usar una herramienta de graficación para trazar la gráfica de la ecuación rectangular de la trayectoria del proyectil. Confirmar la respuesta dada en el inciso b) y dibujar la curva representada por las ecuaciones paramétricas. d) Usar una herramienta de graficación para aproximar la altura máxima del proyectil y su rango. yϭϪ x x Ejercicios basados en “Mathematical Discovery via Computer Graphics: Hypocycloids and Epicycloids” de Florence S. Gordon y Sheldon P. Gordon, College Mathematics Journal, noviembre de 1984, p. 441. Uso autorizado por los autores.
  • 43. 10-3.qxd 3/12/09 16:47 Page 721 SECCIÓN 10.3 SECCIÓN 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo Ecuaciones paramétricas y cálculo 721 721 10.3 Ecuaciones paramétricas y cálculo I I y I Pendiente y rectas tangentes 30 20 Hallar la pendiente de una recta tangente a una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas. Hallar la longitud de arco de una curva dada por un conjunto de ecuaciones paramétricas. Hallar el área de una superficie de revolución (forma paramétrica). Ahora que ya se sabe representar una gráfica en el plano mediante un conjunto de ecuaciones paramétricas, lo natural es preguntarse cómo emplear el cálculo para estudiar estas curvas planas. Para empezar, hay que dar otra mirada al proyectil representado por las ecuaciones paramétricas x = 24 2t y = −16t 2 + 24 2t θ 10 x ϭ 24Ί2t 45° x 10 20 30 En el momento t, el ángulo de elevación del proyectil es ␪, la pendiente de la recta tangente en ese punto Figura 10.29 y ϭ Ϫ16t 2 ϩ 24Ί2t y como se ilustra en la figura 10.29. De lo visto en la sección 10.2, se sabe que estas ecuaciones permiten localizar la posición del proyectil en un instante dado. También se sabe que el objeto es proyectado inicialmente con un ángulo de 45°. Pero, ¿cómo puede encontrarse el ángulo ␪ que representa la dirección del objeto en algún otro instante t? El teorema siguiente responde a esta pregunta proporcionando una fórmula para la pendiente de la recta tangente en función de t. TEOREMA 10.7 FORMA PARAMÉTRICA DE LA DERIVADA Si una curva suave C está dada por las ecuaciones x ϭ f ͑t͒ y y ϭ g ͑t͒, entonces la pendiente de C en ͑x, y͒ es dy dy͞dt ϭ , dx dx͞dt y ( f(t + ∆t), g(t + ∆t)) DEMOSTRACIÓN ∆y 0. En la figura 10.30, considérese ⌬t > 0 y sea ⌬y ϭ g͑t ϩ ⌬t͒ Ϫ g͑t͒ y ⌬x ϭ f ͑t ϩ ⌬t͒ Ϫ f ͑t͒. Como ⌬x → 0 cuando ⌬t → 0, se puede escribir ( f(t), g(t)) ∆x x La pendiente de la recta secante que pasa por los puntos ͑ f ͑t͒, g ͑t͒͒ y ͑ f ͑t ϩ ⌬t͒, g͑t ϩ ⌬t͒͒ es ⌬y ͞⌬ x. Figura 10.30 dx dt dy ⌬y ϭ lím lim dx ⌬x →0 ⌬x g͑t ϩ ⌬t͒ Ϫ g͑t͒ ϭ lím lim . ⌬t→0 f ͑t ϩ ⌬t͒ Ϫ f ͑t͒ Dividiendo tanto el numerador como el denominador entre ⌬t, se puede emplear la derivabilidad o diferenciabilidad de f y g para concluir que dy ͓g͑t ϩ ⌬t͒ Ϫ g͑t͔͒͞⌬t ϭ lím lim dx ⌬t→0 ͓ f ͑t ϩ ⌬t͒ Ϫ f ͑t͔͒͞⌬t gͧt ϩ ⌬tͨ Ϫ gͧtͨ lim lím ⌬t→0 ⌬t ϭ f ͧt ϩ ⌬tͨ Ϫ f ͧtͨ lím lim ⌬t→0 ⌬t gЈ͑t͒ fЈ͑t͒ dy͞dt . ϭ dx͞dt ϭ
  • 44. 10-3.qxd 3/12/09 722 16:47 Page 722 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Derivación o diferenciación y forma paramétrica EJEMPLO 1 Hallar dy͞dx para la curva dada por x ϭ sin tt y y ϭ cos t. sen AYUDA DE ESTUDIO La curva del ejemplo 1 es una circunferencia. Emplear la fórmula dy ϭ Ϫtan t dx para hallar su pendiente en los puntos (1, 0) y (0, 1). Solución dy dy͞dt Ϫsin t sen ϭ ϭ ϭ Ϫtan t dx dx͞dt cos t Como dy͞dx es función de t, puede emplearse el teorema 10.7 repetidamente para hallar las derivadas de orden superior. Por ejemplo, ΄ ΅ 2 d y d dy ϭ dx 2 dx dx ΄ ΅ d 3y d d 2y 3 ϭ dx dx dx 2 ΄ ΅ d dy dt dx ϭ dx͞dt d d 2y dt dx 2 ϭ . dx͞dt ΄ ΅ Segunda derivada. Tercera derivada. Hallar pendiente y concavidad EJEMPLO 2 Para la curva dada por 1 y ϭ ͑t 2 Ϫ 4͒, t ≥ 0 4 hallar la pendiente y la concavidad en el punto ͑2, 3͒. x ϭ Ίt y Solución Como y (2, 3) 3 t=4 m=8 2 x −1 1 Forma paramétrica de la segunda derivada. En ͑x, y͒ ϭ ͑2, 3͒, se tiene que t ϭ 4, y la pendiente es 2 dy ϭ ͑4͒ 3͞2 ϭ 8. dx −1 x= t 1 4 (t 2 − 4) En (2, 3), donde t ϭ 4, la gráfica es cóncava hacia arriba Figura 10.31 Forma paramétrica de la se puede hallar que la segunda derivada es d d 3͞2 ͓dy͞dx͔ ͓t ͔ d 2y dt dt ͑3͞2͒ t 1͞2 ϭ ϭ ϭ ϭ 3t. dx 2 dx͞dt dx͞dt ͑1͞2͒ tϪ1͞2 1 y= dy dy͞dt ͑1͞2͒ t ϭ ϭ ϭ t 3͞2 dx dx͞dt ͑1͞2͒ tϪ1͞2 Y, cuando t ϭ 4, la segunda derivada es d 2y ϭ 3͑4͒ ϭ 12 > 0 dx 2 por lo que puede concluirse que en (2, 3) la gráfica es cóncava hacia arriba, como se muestra en la figura 10.31. Como en las ecuaciones paramétricas x ϭ f ͑t͒ y y ϭ g͑t͒ no se necesita que y esté definida en función de x, puede ocurrir que una curva plana forme un lazo y se corte a sí misma. En esos puntos la curva puede tener más de una recta tangente, como se muestra en el ejemplo siguiente.
  • 45. 10-3.qxd 3/12/09 16:47 Page 723 SECCIÓN 10.3 EJEMPLO 3 x = 2t − π sen t y = 2 − π cos t y Recta tangente (t = π /2) Una curva con dos rectas tangentes en un punto x ϭ 2t Ϫ ␲ sen t sin Solución Como x ϭ 0 y y ϭ 2 cuando t ϭ ± ␲͞2, y (0, 2) π dy dy͞dt ␲ sen t sin ϭ ϭ dx dx͞dt 2 Ϫ ␲ cos t x se tiene dy͞dx ϭ Ϫ ␲͞2 cuando t ϭ Ϫ ␲͞2 y dy͞dx ϭ ␲͞2 cuando t ϭ ␲͞2. Por tanto, las dos rectas tangentes en (0, 2) son −2 Recta tangente (t = −π /2) yϪ2ϭϪ Esta cicloide alargada tiene dos rectas tangentes en el punto (0, 2) Figura 10.32 y ϭ 2 Ϫ ␲ cos t y se corta a sí misma en el punto (0, 2), como se ilustra en la figura 10.32. Hallar las ecuaciones de las dos rectas tangentes en este punto. 4 −π 723 La cicloide alargada dada por 6 2 Ecuaciones paramétricas y cálculo ΂␲΃ x 2 ␲ Recta tangente cuando t ϭ Ϫ . 2 y yϪ2ϭ ΂␲΃ x. 2 Recta tangente cuando t ϭ ␲ . 2 Si dy͞dt ϭ 0 y dx͞dt 0 cuando t ϭ t0, la curva representada por x ϭ f ͑t͒ y y ϭ g͑t͒ tiene una tangente horizontal en ͑ f ͑t 0͒, g͑t 0͒͒. Así, en el ejemplo 3, la curva dada tiene una tangente horizontal en el punto ͑0, 2 Ϫ ␲͒ (cuando t ϭ 0). De manera semejante, si dx͞dt ϭ 0 y dy͞dt 0 cuando t ϭ t0, la curva representada por x = f(t) y y = g(t) tiene una tangente vertical en ͑ f ͑t 0͒, g͑t 0͒͒. Longitud de arco Se ha visto cómo pueden emplearse las ecuaciones paramétricas para describir la trayectoria de una partícula que se mueve en el plano. Ahora se desarrollará una fórmula para determinar la distancia recorrida por una partícula a lo largo de su trayectoria. Recuérdese de la sección 7.4 que la fórmula para hallar la longitud de arco de una curva C dada por y ϭ h͑x͒ en el intervalo ͓x0, x1͔ es sϭ ϭ ͵ ͵Ί x1 x0 x1 Ί1 ϩ ͓hЈ͑x͔͒ 2 dx 1ϩ x0 ΂dy΃ dx 2 dx. Si C está representada por las ecuaciones paramétricas x ϭ f ͑t͒ y y ϭ g͑t͒, a ≤ t ≤ b, y si dx͞dt ϭ fЈ͑t͒ > 0, se puede escribir sϭ ͵Ί x1 x0 1ϩ ΂dy΃ dx 2 dx ϭ ͵Ί ͵Ί ͵ Ί΂ ͵ x1 x0 b ϭ a b ϭ a 1ϩ ΂dy͞dt΃ dx͞dt 2 dx ͑dx͞dt͒ 2 ϩ ͑dy͞dt͒ 2 dx dt ͑dx͞dt͒2 dt dx dt ΃ ϩ ΂dy΃ dt 2 2 dt b ϭ Ί͓ f Ј͑t͔͒ 2 ϩ ͓gЈ͑t͔͒ 2 dt. a
  • 46. 10-3.qxd 3/12/09 724 16:47 Page 724 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares TEOREMA 10.8 LONGITUD DE ARCO EN FORMA PARAMÉTRICA Si una curva suave C está dada por x ϭ f ͑t͒ y y ϭ g͑t͒ y C no se corta a sí misma en el intervalo a Յ t Յ b (excepto quizás en los puntos terminales), entonces la longitud de arco de C en ese intervalo está dada por ͵ Ί΂ b sϭ a dx dt ϩ dy dt ͵ b ΃ ΂ ΃ 2 2 dt ϭ Ί͓ f Ј͑t͔͒ 2 ϩ ͓gЈ͑t͔͒ 2 dt. a NOTA Al aplicar la fórmula para la longitud de arco a una curva, hay que asegurarse de que la curva se recorra una sola vez en el intervalo de integración. Por ejemplo, el círculo dado por x ϭ cos t y y ϭ sen t, recorre una sola vez el intervalo 0 Յ t Յ 2␲, pero recorre dos veces el intervalo 0 Յ t Յ 4␲. I En la sección anterior se vio que si un círculo rueda a lo largo de una recta, cada punto de su circunferencia trazará una trayectoria llamada cicloide. Si el círculo rueda sobre otro círculo, la trayectoria del punto es una epicicloide. El ejemplo siguiente muestra cómo hallar la longitud de arco de una epicicloide. Calcular la longitud de arco EJEMPLO 4 Un círculo de radio 1 rueda sobre otro círculo mayor de radio 4, como se muestra en la figura 10.33. La epicicloide trazada por un punto en el círculo más pequeño está dada por ARCO DE UNA CICLOIDE La longitud de un arco de una cicloide fue calculada por vez primera en 1658 por el arquitecto y matemático inglés Christopher Wren, famoso por reconstruir muchos edificios e iglesias en Londres, entre los que se encuentra la Catedral de St. Paul. y t se enta em cr x −2 2 −2 −6 x = 5 cos t − cos 5t y = 5 sen t − sen 5t ͵ Ί΂ ͵ ͵ ͵ ͵ ͵ ␲͞2 ϭ4 ␲͞2 0 ϭ 20 ϭ 20 ϭ 20 ϭ 40 dx dt ␲͞2 0 ␲͞2 Figura 10.33 2 2 dt Forma paramétrica de la longitud de arco. Ί2 Ϫ 2 sen t sen 5t Ϫ 2 cos t cos 5t dt sin sin Ί2 Ϫ 2 cos 4t dt 0 ␲͞2 Ί4 sen2 2t dt sin 2 Identidad trigonométrica. 0 ␲͞2 sin sen 2t dt ΄ ΅ ϭ Ϫ20 cos 2t ϭ 40 ΃ ϩ ΂dy΃ dt Ί͑Ϫ5 sen t ϩ 5 sen 5t͒2 ϩ ͑5 cos t Ϫ 5 cos 5t͒2 dt sin sin 0 Un punto en la circunferencia pequeña es el que traza una epicicloide en la medida que el círculo pequeño rueda alrededor de la circunferencia grande y ϭ 5 sen t Ϫ sen 5t. sin sin Solución Antes de aplicar el teorema 10.8, hay que observar en la figura 10.33 que la curva tiene puntos angulosos en t ϭ 0 y t ϭ ␲͞2. Entre estos dos puntos, dx͞dt y dy͞dt no son simultáneamente 0. Por tanto, la porción de la curva que se genera de t ϭ 0 a t ϭ ␲͞2 es suave. Para hallar la distancia total recorrida por el punto, calcular la longitud de arco que se encuentra en el primer cuadrante y multiplicar por 4. 0 in y Hallar la distancia recorrida por el punto al dar una vuelta completa alrededor del círculo mayor. sϭ4 2 −6 x ϭ 5 cos t Ϫ cos 5t ␲͞2 0 Para la epicicloide de la figura 10.33, una longitud de arco de 40 parece correcta, puesto que la circunferencia de un círculo de radio 6 es 2␲ r ϭ 12␲ Ϸ 37.7.
  • 47. 10-3.qxd 25/2/10 13:07 Página 725 SECCIÓN 10.3 EJEMPLO 5 0.5 pulg Ecuaciones paramétricas y cálculo 725 Longitud de una cinta magnetofónica Una cinta magnetofónica de 0.001 pulgadas de espesor se enrolla en una bobina cuyo radio interior mide 0.5 pulgadas y cuyo radio exterior mide 2 pulgadas, como se muestra en la figura 10.34. ¿Cuánta cinta se necesita para llenar la bobina? 0.001 pulg Solución Para crear un modelo para este problema, supóngase que a medida que la cinta se enrolla en la bobina, su distancia r al centro se incrementa en forma lineal a razón de 0.001 pulgadas por revolución, o 2 pulg r ϭ ͑0.001͒ 4 000 x ϭ r cos ␪ (x, y) y r θ 1 000 donde ␪ está medido en radianes. Se pueden determinar las coordenadas del punto (x, y) correspondientes a un radio dado x = r cos θ y = r sen θ y ␪ ␪ ϭ , 2␲ 2 000␲ 2000 x y ϭ r sen ␪. sin Al sustituir r, se obtienen las ecuaciones paramétricas xϭ Figura 10.34 ␪ ΂2 000␲΃ cos ␪ 2000 ␲ y yϭ ␪ sin ΂22000␲΃ sen ␪. 000 La fórmula de la longitud de arco se puede emplear para determinar que la longitud total de la cinta es sϭ ͵ 4000␲ 4 000 ␲ 1000␲ 1 000␲ dx dy Ί΂d␪΃ ϩ ΂d␪΃ d␪ 2 ͵ ͵ 4000␲ 4 000 ␲ 2 ϭ 1 2 000␲ 2000 ϭ 1 2 000␲ 2000 ϭ 1 1 ␪Ί␪ 2 ϩ 1 ϩ ln ␪ ϩ Ί␪ 2 ϩ 1 2 000␲ 2 2000 1 000 ␲ 1000␲ 4000␲ 4 000␲ 1 000 ␲ 1000␲ Ί͑Ϫ ␪ sen ␪ ϩ cos ␪͒2 ϩ ͑␪ cos ␪ ϩ sen ␪͒ 2 d␪ sin sin Ί␪ 2 ϩ 1 d␪ ΂ ΃΄ Խ Խ΅ 4000␲ 4 000␲ 1000␲ 1 000␲ Tablas de integración (apéndice B), fórmula 26. Ϸ 11 781 pulgadas 11,781 inches Ϸ 982 pies 982 feet PARA MAYOR INFORMACIÓN Para más información sobre las matemáticas de una cinta magnetofónica, consultar “Tape Counters” de Richard L. Roth en The American Mathematical Monthly. La gráfica de r ϭ a␪ se llama espiral de Arquímedes. La gráfica de r ϭ ␪͞2 000␲ (ejemplo 5) es de este tipo. I NOTA La longitud de la cinta del ejemplo 5 puede ser aproximada si se suman las porciones circulares de la cinta. El radio de la más pequeña es de 0.501 y el radio de la más grande es de 2. s Ϸ 2␲ ͑0.501͒ ϩ 2␲ ͑0.502͒ ϩ 2␲ ͑0.503͒ ϩ . . . ϩ 2␲ ͑2.000͒ ϭ 1500 1 500 ͚ 2␲ ͑0.5 ϩ 0.001i͒ iϭ1 ͓1 500(0.5 0.001͑1500͒͑1501͒͞2͔ ϭ 2␲ ͓1500͑0.5͒ ϩ 0.001(1 500)(1 501)/2͔ Ϸ 11 786 inches 11,786 pulgadas
  • 48. 10-3.qxd 3/12/09 726 16:47 Page 726 CAPÍTULO 10 Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Área de una superficie de revolución La fórmula para el área de una superficie de revolución en forma rectangular puede usarse para desarrollar una fórmula para el área de la superficie en forma paramétrica. TEOREMA 10.9 ÁREA DE UNA SUPERFICIE DE REVOLUCIÓN Si una curva suave C dada por x ϭ f ͑t͒ y y ϭ g͑t͒ no se corta a sí misma en un intervalo a Յ t Յ b, entonces el área S de la superficie de revolución generada por rotación de C, en torno a uno de los ejes de coordenadas, está dada por ͵ ͵ b 1. S ϭ 2␲ a b 2. S ϭ 2␲ Ί΂dx΃ ϩ ΂dy΃ dt dt dx dy f ͑t͒Ί΂ ΃ ϩ ΂ ΃ dt dt 2 g͑t͒ a 2 2 dt Revolución en torno al eje x: g(t) ≥ 0. dt Revolución en torno al eje y: f(t) ≥ 0. 2 Estas fórmulas son fáciles de recordar si se considera al diferencial de la longitud de arco como ds ϭ Ί΂dx΃ ϩ ΂dy΃ dt. dt dt 2 2 Entonces las fórmulas se expresan como sigue. ͵ b 1. S ϭ 2␲ 2. S ϭ 2␲ a Hallar el área de una superficie de revolución EJEMPLO 6 (3 , 3 2 3) 2 3 , ) 2) f ͑t͒ ds a y y ͵ b g͑t͒ ds 3 2 Sea C el arco de la circunferencia C 1 x2 ϩ y 2 ϭ 9 (3, 0) x −1 1 4 −1 −2 −3 Esta superficie de revolución tiene un área de superficie de 9␲ The surface of revolution has a surface area of 9␲. Figura 10.35 Figure 10.35 que va desde ͑3, 0͒ hasta ͑3͞2, 3Ί3͞2͒, como se ve en la figura 10.35. Encontrar el área de la superficie generada por revolución de C alrededor del eje x. Solución C se puede representar en forma paramétrica mediante las ecuaciones x ϭ 3 cos t y ϭ 3 sen t, sin y 0 Յ t Յ ␲͞3. (El intervalo para t se obtiene observando que t ϭ 0 cuando x ϭ 3 y t ϭ ␲͞3 cuando x ϭ 3͞2.͒ En este intervalo, C es suave y y es no negativa, y se puede aplicar el teorema 10.9 para obtener el área de la superficie ͵ ͵ ͵ S ϭ 2␲ ϭ 6␲ ϭ 6␲ ␲͞3 0 ␲͞3 ͑3 sen t͒Ί͑Ϫ3 sen t͒2 ϩ ͑3 cos t͒2 dt sin sin sin sin 2 sen tΊ9͑sen2 t ϩ cos 2 t͒ dt 0 ␲͞3 3 sen t dt sin 0 ΄ ΅ ϭ Ϫ18␲ cos t ϭ Ϫ18␲ ϭ 9␲. Fórmula para el área de una superficie de revolución. ␲͞3 0 ΂ 1 Ϫ 1΃ 2 Identidad trigonométrica.
  • 49. 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM 10-3.qxd 3/12/09 16:47 Page 8/08 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM 3:54 PM Page 727 9/8/08 3:54 PM 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM 1059997_1003.qxp 1059997_1003.qxp 9/8/08 3:54 PM Page 727 Page 727 727 727 Page 727 Page 727 Page Page 727 10.3 10.3 SECCIÓN 10.3 ParametricEquations and Calculus Ecuaciones paramétricas y cálculo 10.3 Parametric Equations and Calculus 10.3 Parametric Equations and Calculus Parametric Equations and Calculus 10.3 Parametric727 10.3 Parametric Equations and Calculus 10.3 Parametric Equations and Calculus Equations and Calculus 10.3 Parametric Equations and Calculus 727 727 727 727 727 727 727 727 10.3 Exercises See www.CalcChat.com worked-out solutions odd-numbered exercises. Ejercicios 10.3 Exercises See www.CalcChat.com forforworked-out solutions totoodd-numbered exercises. 10.3 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions to odd-numbered exercises. 10.3 Exercises See www.CalcChat.comfor worked-out solutions totoodd-numbered exercises. Exercises 10.3 Exercises solutionswww.CalcChat.comexercises. solutions totoodd-numbered exercises. See www.CalcChat.com for worked-out See to odd-numbered for worked-out solutions odd-numbered exercises. 10.3 Exercises See www.CalcChat.com for worked-out solutions odd-numbered exercises. See www.CalcChat.com for worked-out 10.3 Parametric Equations Parameter In Exercises 1– 1 find dy/dx. Parametric Equations Parameter Ecuaciones paramétricas Parámetro In los ejercicios 4, a 4, hallar En Exercises 1– 4, find dy/dx. dy/dx. Parametric Equations Parameter In Exercises 1– 4, find dy/dx. Parametrict Equations t Parameter Parametricϩ 2, y Parameter x tt222 Ϫtt Equations t t Parametric Equations 2, 3t 21. xx ϭParameter2, yy ϭtt333 Ϫ3t In Exercises 1– 4, find dy//dx. es 1– 4, find dy/dx. ttParameter 11 21. Parametric Equations 3 In Exercises 1– 4, find dydx. 3t 21. Parametric Equations InExercises 1– 4, finddy /dx. 4, 2 Parameter t2 2. ϭ 3 3 In1.Exercisesy1– 77find6tdydx. t ϭ Ϫ1 1 21. x t22 t 2, y t33 3t 6t / ϭ Ϫ 1. xx t 22, ,y 2. x x Ίt,t,y y 44 t t 3 t, y2 3 22 33 ttt 331 tt 2, y ttt 4 t y t 1. x t23, y 7 6t 2. x x3 t t 2, 3t 21. xx tttt 21. 3t 21. x 3t 21. xx t 4 cos1 2, yy sin 3t 22 31 ␲ 2 , 1. xxϭ sen,,2yy,y,y774 cost 2 2. xxϭ 2e␪,t,,yyϭ 44 ␪͞2tt t␪ ϭ 311 2,ϭ 3sin 3 t 21. xx ϭ42cos t t,,,yy2, y33sen ␪ 3t 6t 1. xx sin2t,2y y 6t 2 ␪ 2. xx 32et, yy e4 2 2 y 22. e y 7 6t 2. x ttsin ␪ ϭ cos 3. 4. x 33t, y Ϫ t t 6t 1. 2. 3 22. 3. x t 2, 2 4. x 4 cos sin 22. 7 6t 1. x sin y , y 7 cos2 2. x 2et,, yy 4 t 334 22. x 4 cos ␪, y 3 sin e 2 3. 4. 3 4 4 2 22. xx 44cos ,,, yy 33sin 3. xx sin22, ,y yy e cos22 4. x22. 2e 4ycosee , 22 4 33 2e2 n2 , y cos2 4. x sin 2 ,, y cos 3 sin 22. x 4 cos 2e 3. Exercises 5 –14, cos 2 dy dx and dx y/dx 2,,,,and find ythe 3 sin 4. 2x x2 yy cos sin 22. x 4 cos4 , yy 3 sin 2e sin 3. x sin2 , y cos2 4. x2 2e y ee 22 slope 2 2 4 InExercises 5 –14,a find hallar dy dx yy/dx dx 2, así como la penfind / 22. 3. los ejercicios 5 14, dy/ dx and d 2 d 2y 2, and find the slope 4. 4 In En Exercises 5 –14, find dy dx and d y/dx/ , and find the slope En Exercises 23–26, a 26, the equations of the 44 de las lines attanlos ejercicios 23find the equations of the tangent lines at the hallar las ecuaciones In tangent rectas the In concavity (if possible) /at / given value of In Exercises 23–26, find andconcavity5(if find thedy dx and d22 value and findcorresponparameter. 2 In Exercises and possible) slopeand dd2y/dx2,,,andtheparameter. –14, find dy//ser posible) en22 and find the slope andd 2y/dx 2,concavidad (deatdxthegiveny/dx 22elof thefindthe slope the es 5 –14, find dy/ dx and Exercises 5(if possible) at the giveny/dx of the parameter. In Exercises punto find que equations of the tangent lines at the In concavity diente y la 55–14, find dy dx and d 2y/dx , and find the slope In gentes where23–26, find the equations en el la curva a sí misma. point of the the curve the equations andExercises –14, find / In Exercises –14, find dy /dx and Invalue punto the slope In Exercises 23–26,en crossesequationsofcortatangent lines at the point where the curve elcrossesitself. seofthe tangent lines at the Exercises 23–26, find In Exercises the curve crosses itself. of the tangent lines at the In Exercises 23–26, find thethe 23–26, lines at the and concavity dadoparameter.the given value of the parameter. vity (if possible) at theand concavity (ifEquations at the given value of the parameter.the equations where tangentfind the equations of the tangent lines at the given value of (if possible) at point In Exercises 23–26, find the itself. diente al valor (if possible) at the given value of the parameter. andconcavity (ifpossible) at the given value of the parameter. concavity possible) Parametricthe del parámetro. point Point the curve crosses itself. where the curve crosses itself. and Parametric Equations point ϭ 2 senthe curve crosses itself. Point where point point 2 sin 2t, y 3sen 23. where the yy ϭ 3sin ttt sin sin sin 23. Parametric Equations Point pointx where 2t, curve3crosses itself. 2 sin 2t, 23. xx where the curve crosses itself. etric Equations x 4t,Point Equations 4t,yy 3t 22 3t t 3 5. xParametricEquations 23. x 2 sin 2t, y 3 sin t Parametric Equations Point Punto3 ParametricEquations Point t Pointsin 2t, y 3 sin t 5. Ecuaciones paramétricas sen t, 3 sin2t sin 24. xx 22 Ϫ 2t,cost, 33 ϭ2tt Parametric 3t 2 Point 23. xx ϭ22sin ␲cos yyt, yy sin 2t Ϫ ␲sin ttt 23. x 2 sin 2t, y y sint t sin 23. xt 2 24. 3 5. x 4t, y 23. 24. x 2 sin 2t, cos 3 sin t 23. x 22 sin 2t, yt, 3 5. x 4t, y 3t 5. y 3t 2 t 6. cos y 2t sin t 24. tttt 33 ϭ 31 5. xx 4t,t ,ty,y y 3t 3t 22 1 4t, 3t 5. x t 13 3t 1 6. xx 4t, yy 3 3t 22 2 Ϫ t, 3 Ϫ 3t Ϫ 1 y t, 25. x 2 3 5. x 2 cos t, y 2t 25. xxt ϭtt2 t,t, cost,t, ttty 3t2t 11 sin ttt sin 3t 24. xtt 2 25. cosy ϭ 3yy 2t 24. xx 2t 2t sin 24. t , y 3t 2 1 1 6. cost, y 2t sint 24. x 22 y 3 24. x t y1 3t t 1 6. t , y 3t 1 1, 3t 7. t, cos t3 2 3t 1 sin y 25. 1 6. ttttϭ 121 1 6. xxϭ Ίtttt,, yyϭ 3t tϪ 113t 6. 7. xx t t t,, 1, yyy 3t 22 11 3t 32 y 6. x 25. x 33 6t, t, 3t 25. 25. xtt t1 1 t, y t 3 3t 126. xx ϭtt223 Ϫ6t, yyy ϭt3tt 2 3t 11 26. 1 7. x t 2 , 1, y 3t t22 1 3t t 3t t3 25. x t 2 t,6t, 26. xx tt22 t,t, yy y t 332 3t 11 2 25. x t 3t 7. 1, y t 2 3t 8. 6t, y t t22 26. 7. x t 1, y1 4, ϩ 1, y t t tttt Ϫ11 ϭ 31 7. xxϭ tttt2t 1, 5tyϭ4, 2 yy 3t 4t 1, 3t 7. x t 0011 5t 4t 8. xx t 2 1, yy ttt22ϩ 3t 33 2 33 22 7. x t 26. xx tt3 6t, yy tt2 26. xtt t0 6t, y t 6t, 26. x t 5t 4, y 3t4t 8. 6t,and t t find all points puntos de tangencia and 26.Exercises 6t, 27 y 28, hallar todos los(if any) of horizontalhori2 26. los ejercicios y 28, En x t In 27 0 5t 4, y 4t 0 4t 8. x 22 5t 4, 8. In Exercises 27 andy find all points (if any) of horizontal and ttttϭ 00 8. xx ttt2t cos5t , y4, yy sen4t 8. t 00 8. x t 2cos 5t 4, yy 4t 9. In Exercises 27 and 28, find la porción (if any)shown. se muestra. sen 9. xx 44 5t, y 4, 44 4t zontal y any)27 and the portion of the(if any) of horizontal and los vertical tangencyto hay) all points curve of que In Exercises 27 (si to28, findall of the de la shown. vertical vertical and the portion points curvecurva horizontal and ␲4 In Exercises 27 and 28, find all points (iftangencyand28, findand points (if any) of horizontal and 9. x 4 cos , y 4 sen In Exercises 27 horizontala all points curve shown. 4 InExercises 27 and 28, find all points (if any) of horizontal and Exercises of to the portion of the (if any) of horizontal and 28, find all vertical tangency In ␪ϭ 4 9. xx 44cos ,,, yy 44sen cos , y 4 sen 9. x 4 cos 4 sen 9. cos 4 sen 9. xx 4cos , , yyy 34sin vertical tangency to the portion of the curve xshown. vertical tangency to the portion of the curve shown. the de un círculo: x curve shown. 44 vertical tangencycircle: portion of the curve shown. 40 cos sen 9. verticaltangency to the portion of28. curve shown. tangency to the portion ofthe 28. ϭ 2␪ to the 10.x cos , y 3 sin 27. Evolvente a involuta 27. Involute of 04 10. vertical 27. Involute of o acircle: 28. x 22 4 0 10. x cos , y 3 sin 27. Involute of a circle: 28. x 2 sin ␪ ϭ 00 of a circle: 10. xxϭ cos ␪,,,, yyϭ 33sen ␪ 00 10. xx cos 0y 33sin s , y 3 sin cos y sin 10. 27. Involute of ϩ circle: ␪ 28. xx 22 1 ϭ cos Ϫ cos ␪͒ sen cos y 10. cos sin x cos 2 27. Involute 28. Involute of circle: 27. x ϭ cos ␪ aa ␪sin 28. y 2 y 2͑1 27. Involute of circle: 28. x 2 0 10. x cos ,sec 3 sin 11. 27. xInvoluteof aacircle: 28. yx 221 cos tan 11. xx 22 sec , ,yysin11 22 tan x cos y 2 1 cos sin ␲6 11. x 2 sec , y 1 2 tan 6 xx ϭ sin 1 ␪ Ϫ ␪sin ␪ cos yy 2211 cos x ϭ cos y sen 2 sin sin 2 1 cos sin x cos coscos cos cos sin ␪ 11. xxϭ 22ϩ sec ␪,,,, yyϭ 11ϩ 22tan ␪ yy cos cos 11. xx 22 sec yy 11 22tan 6 sec , y 1 2 tan11. sec tan 11. x yy 2 1 cos sin sec , y t 11 2 tan tan y sin cos 66 11. x 2 12. y y6 t 1 t 266 12. xx 2 t,t,sec yy sin yyy cos ytt sin cos yyy sin cos 6 sin cos t, y 1 2 12. x yy sin y cos y t,t, y ϭ tttϭ 22 12. xxϭ Ίtt, yy2 ΊttttϪ 11 1 2 12. xx t, y t 1 12. yy 12. x y y 10 yy 10y t,t, t t 22 y 12. xx cos 3 3y,y,yy t tsin11 33 cos 13. 888yy 10 yy sin 3 13. ␲4 3 , y 8 10 sin3 13. x cos3 ␪ϭ 4 8 13. xxϭ cos 33 ,,, yyϭ sen33 88 666 108 88 10 10 10 13. xx cos 3␪ , yy sin 3␪ 88 4 s 3 , y sin 3 10 sin cos 3 13. cos sin sin 3 13. x 6 44 84 10 8 4 , y ysin 13. xx cos 3 sin4 , ,ysin 311 cos cos 14. 44 6 66 46 14. 6 6 88 8 θ 88 66 4 4 x sin y 1 cos 14. x ϭ ␪ Ϫ sen ␪,, y ϭ 1 Ϫ cos ␪ θθ 62 2 8 6 sin ,, yy 1 cos ␪ϭ␲ 4 14. xx 44 24 sin , y 1 cos 14. x θ 4 sin , y 1 cos 14. sin 4 sin cos 14. Exercisessin , y find1an cos 66 6 66 2 44 θθ 4 14. x θ In 15–18, equation of the tangent line at each θ xxx 6 4 In Exercises 15–18, find1an equation of the tangent line at each 2 2 2 −6 −222 2θ 4 4 666 888 x 22 4 In los ejercicios 15 y 18, an equation of the tangent line at tan15–18, find −6 −2 22 −2 44 En Exercises on the curve.hallar una ecuación para la rectaeach 4 44 22 −6 given the In Exercises 15–18, find an equation of the tangent line at each xx given point tangent find an equation of the tangent line at each x es 15–18, find an equation ofpointon15–18,line at each 4 2 In Exercises the curve. −6 −2 2 4 6 8 xx In Exercises uno given point 15–18, find an equation In Exerciseson the de findpuntos dadosofthe curva. line 4 each gente en cada15–18,curve.an equation ofdethetangent line at each los la tangent 2 at 6 8 xxx −4 −6 2 22 −6 −2−4 22 44 66 88 x −2 −6 −2 −6 22 44 66 88 2 −6 −2 −2 −4 given point on the curve. given point on the curve. on the curve. 2 10 12 2 4 6 8 10 12 x givenpoint cot the curve. −6 −2 2 4 6 8 −4 22 44 66 88 10 12 x 2 on 15.xx pointon the curve. 16.xx 22 33 cos given 2 cot cos 15. 16. x x 2 4 6 8 10 12 xx −4 −4 −4 −4 15. x 2 cot 16. x 2 3 cos −4 15. x ϭ 2 cot ␪2 16. x ϭ 2 Ϫ 3 cos ␪ 22 44 66 88 10 12 x 2 4 6 8 10 12 −4 22 44 66 88 10 12 10 12 10 12 sin sin cot 16. x 2 cot 15. yx 22sin 223 cos 16. yx 32 23sin cos 15. xx 2 cot 16. xx 22 33cos cot cos 15. xy 2 cot2 16. xy 23 32cos 2 4 6 8 10 12 15. y ϭ 2 sen ␪ 16. y ϭ 3 ϩ 2 sin ␪ y 2 sin2 y 3 2 sin In los ejercicios 29 38, hallar todos any) of horizontal and y En Exercises 29–38, afind all points (if los of horizontal and yy 22sin 22 y y yy y33 22sen sin sin 2 sin sin 2 3sin y2 sin In Exercises 29–38, find all points (if any)puntos de tangencia sin sin In Exercises 29–38, the curve. Use (if any) of horizontal and yy 22sin 2 y yy yy 3 22sin 4 + 3 3 3 vertical tangency to find hay) a a graphing to confirm horizontal y 29–38, find all points (if any) of horizontal and yy yy vertical any) of horizontalall points curva. Usarhorizontal and In 6Exercises 29–38, find all pointsExercisesvertical (si curve.points a(if any) of utilityherramienIn Exercises 29–38,the losall pointsgraphing of una to confirm y y yy yy 3 4+3 3 ,2 In Exercises 29–38, find all Usela graphing utility to confirm In (if tangency to find and find horizontal and 66 vertical tangency to the all points (if any) utility 6 In de graficación para curve. Use a (if any) of horizontal and 4+3 , 2 (2, 5) 4 + 32 3, 2 6 6y 66 y (2, 5) your results. ta Exercises 29–38, to curve. Use a graphing utility to confirm vertical tangency to theconfirmUseaa resultados. 2 your results. vertical5) tangency33 33, 2 curve. Use a graphing utilitytheconfirmar los graphing utility to confirm 44++ to the vertical tangency to the curve. Use graphing utility to confirm +23 3 2 4+3 3 5 (2, 5) verticaltangency to the curve. Use a graphing utility to confirm tangency to curve. 2 4 3 ,, 2 56 (2, 6 your results. 66 6 6 vertical ,2 6 556 (2, 5) 6 your results. 6 (2, 5) 2 your (2, 5) results. 4 + 22 3 , ,22 your results. 2 (2, 5) 3 44 your (0, 2) 55 (2, 5) t2 1, t 2 3t 29. 30. 4 29. results. 5 55 − 2 3, ,3 4 (0,(0, 2) 22 your results. 29. xx 44 t,t, yy t 22 30. xx t t 1, yy t 22 3t − 2 32 2) 2 (0, 2) 5 29. x 4 t, y t22 30. x t 1, y t22 3t − − ,22 3 23 44 (0, 2) 2 3 , 1 3 , 33 44 (0, 2) 3 , 1 3 4 2 (0, 2) 29. xx 4t t, yy t 3 3 3t 30. xx tt 1, yy tt22 3t (0,2)2 −− 22 , ,,3 4 4, t 1, 29. x(− 1,1, 3) t, y t 2 30. 31. 1 3 3 30. − 2 2 t, 3t 1, 29. 30. (− 4 3t 1, 29. 30. 2 31. xx t 4 4,t, yy t t22 3t (0,2 2)3 , 1 , 2 2 3) 2 2 1 3 1 t, y 3t 29. xx 44 4, yy ttt3 3t 30. xx t t 1, yy t t − 33 22 2 1 (−1, 3) 2 31. x t 3, 2 (− 1, 3) 2 33 22 33,,11 3 3 2 3, 2 3, 22 xx t 2 4, y tt y 3t3 3t 31. xx t tt 2 4, t yy 2, ty3 t 3t 3t 3 (− 1, 3) 3 31. t 3t 31. x(− 1,t3) 4, y t 32. 31. 1 (− 1, 3) 4, 3t 31. 2 t 32. x t 2 4, y2, t 3 3t 2 3, 2x 1 (− 1, 3) 3 31. x t 11 (− 1, 3) t 2, y t33 3t 32. x 2x 3 x −− 4 −− 2 4 2 22 44 x 11 3 32. x 1 t 2 3 t 4 2, 6 y xxx t 3 3t32. xx ϭ3t2 costt,ϩ 2,y y33 sin3 Ϫ 3t 33. 32. x 22 Ϫ 2, 3t 32. 1 2, 3t 32. x t 22 t y y sin 3 33. xx tt2cos t , 2, yy ϭ ttt 3 3t x −4 − 4 1 − 2 −2 2 2 4 4 xx xx −11 1 2 2 3 4 5 5 6 t 32. x 3 cos , y 3 sin −1 1 33. 33 −1 xx 2 2 4 −−4 −−2 −2 4 2 −2 22 44 x −4 −2 −1 x 11 22 cos 44, 55y66 3 x 2 4 x xx 33cos, , y 2233sin2 33. xx ϭcoscos ,␪,,,yyyy ϭ sinsen ␪ sin 33. sin 33. 1 3 3 4 5 6 x sin 34. −2 3 cos 3 sin 33. sin 33. −4 − 21 −2 3 42 5 4 2 34. x 3cos , yy 33sin −1 −1 6 −1 11 22 33 44 55 66 −1 cos 33. x cos , y 2 sin 2 −1 1 22 3 4 5 6 −22 34. −2 −2 −2 1 −2 t2 4 x 17. 18. −1 4 4 2 2 3 4 5 6 34. 5 y sen 35. 34. xx cos 3,,cos , 22sin 2 y sin 34. x cos , yy 2sen 2 sin 34. x cos , yy 2 sin 2 2 17. xx t22 −24 18. x34. txt4 cos , y 2 sin 2 35. xx ϭ5cos ␪,3 cosϭ ,2 ysin22␪ 22 sen 34. x 5 3 cos , y 2 17. x t2 4 4 18. x t4 2 sen 35. 2 xx ttt2 44 2t x35. ttt 4 t 2 17. yx t2t22 2t 18. yx tx443 52 3 cos , y xx 55 cos 2 cos , 2 sin 2 sen 35. xx 45cos33cos y,y, yy2 sin 22 sen 4 2 2t 18. 35. 4 2 cos 2 36. sen 36. 4 17. y 18. y 33 35. 3 ,, 17. 18. sen 35. 17. xx tt22 4 18. xx tt4 2 35. x 5 cos 2 cos y yy sin 2 sen y y 2t t 36. x 4 32 , , 2 3 3 2, 36. xx ϭseccos2 ␪y,,y yytan22sin ␪ 3, 3, 2t yy 2, 0,t 3 3, 4ttcos 2yy,18, 10 2 sin yy 0, 0,22 3,t 11, ,yy 3, 33 ttt2 2t 36. x 4 cos2 y sec 2 tan sin 36. tx , 3,t 22, , 18, 10 37. t33 2t 36. xx 44cos,2,2 ,, y ϭ 2 sen y y 2t 36. 37. x 4 cos , y 2 sin y2, 0 t 3 3, t 2 , y 18, 10 y0, 0 t2 2t 1 , y 3, 3 36. x sec , y tan sin 0, 0 , 3, 2, 0 , 37. 0, 00,,, 3,3, 21, ,,,yy 3, 33 2, 37. xx sec 2, , y ϭ tan 3, 1 , y 3, 3 2, y cos tan 37. cos cos 37. 0 , 3,sec2 y 18, tan 38. 0, 0 3, 2, y 10 3 sec 37. 0,0 , 3, 11, (a) use a graphing2,00x,, 3, to 22,,,,yy y 18,10 3, 1 y y 18, 3, 3 3, 3, 2 , y 18, 10 18, 10 10 sec tan 37. 38. xx ϭcos22␪,,, , yyy tan ␪ 0, 0 , to 37. x sec , , yy tan In Exercises 3, 19–22, y cos 38. x cos22 In Exercises 19–22, (a) use a graphing2,utility graph the curve utility3, graph the curve 38. xx ϭ cos22 ␪,,, yy ϭ cos ␪ In los ejercicios 19 22, a) a graphing utility (b) graph the curve to 2de a ygraphing cos 38. En Exercises 19–22,a(a) use usar una herramientause, graficación cos cos 38. x to graph the curve 38. x cos 2 , y cos cos cos 38. Exercises represented by the the curve In Exercises to the parametric equations, to graph the curve represented 19–22, (a) use a graphing utility to graph the curve 38. x cos2 , 39yy cos es 19–22, (a) use a graphing utility by graphparametricequations, (b) use a graphing In In Exercises 19–22, (a) use graphing utility In Exercises curva (a) use graphing utility In Exercises 39 –– 44,determine the t tintervals on which the 44, determine the intervals on which the represented bydx/dt, dy/dt,agraphing las ecuacionesa graphing the parametric por para trazar la19–22,(a) use aaand equations, (b) graph the curve In Exercises 19–22, representadady/dxutility to use value of the utility to the given paramétriIn Exercises 39 –downward or concaveintervals on which the 44, determine the t upward. the represented by the parametric equations, (b) use a graphing the graphing equations, given d by the parametric utility to find byuse ady/dt, and dy/dxInatthe(b) use value of determinecurve tisisconcave –on which or concavet upward. on which the equations,finddx/dt, parametric equations, (b) use aa graphing represented (b)dx/dt,parametric dy/dx at Exercises 39 –graphing curve concave represented the In Exercises 39 downward the the t t intervals on which the 44, the In Exercises 39 44, determine the intervals utility to findby herramienta de graficación given a graphing En los intervals –44, determine the intervalos In Exercises 39 a determine cas, b) usar unafind parametric equations, (b) usehallar of the represented by the dy/dt, and of theat the para value dx͞dt, parameter,(c) equation tangent line to the curve curve ejercicios –44, determine the t intervals de en los the concave or concave In Exercises 39 3944,44, determinar los upward. on twhich que dy/dx to findgiven andy/dt, the dy/dx at the concave downward nd dx/dt, dy/dt, and parameter,finddx/dt, anequation of thecurve isgiven to the of the or concaveis concave –downward or concave intervals on which the utility at the (c)find value of and dy/dx tangentgiven value curve utility to find dx/dt, dy/dt, and dy/dx at the line value of the utility dy͞dx dx/dt,dy/dt, and the at thegiven curve isupward. downward or concaveupward. arriba. curve is concave downward or concave upward. parameter, value of equation ofdel tangentgiven tohallar the find the of the la curvaconcave downward or concave upward. curveis es 2cóncavat 3 t abajo o cóncava hacia upward. utility to (c)para el dy/dt, parameter,at the (d)line value curve dy͞dt yto find dx/dt,an valorand dy/dx parámetro, c)valueof una dado 3t 39.xx concave t 3 hacia atthe tangent find to the curve of the tangent line toathe curve thegiven(c) line an the parameter, and (d) line a graphing givenvalue of equation of the tangent use to the curve the and use graphing curve is3t 22, , yy downward parameter, (c) find an equation of the tangent line the curve t 39. (c) find an equation at of parameter, 3 parameter, find tangente t 39. x 3t22, y t33 2 at the givenla rectaan equation la curva line use a graphing parameter, and (d) 2valor dado parameter, (c)find of the and the tangent en line topart (c).del ecuación de(c)value an equationaof the tangentelfromtothe3curve 2 utility graph the 39. x 3t 22 ty t 3 t at the given value aof the parameter,39. line 3tuse partt(c). t 39. utility and (d)value of graphing , 2 t3 40. n value of the parameter, togiven value curve and the tangent x (d)from ya graphing at the tograph use curve parameter, and (d) use a graphing 39. 3t t 39. at the given the una herramienta and the 40. xx 23t , ,, t 22,y, yyt 3 t 22tt t 33 utility given value of the parameter, and (d) use part trazar 39. xx 3t 2, yy t 3 t t at the to graph the curve parameter,deand (d) use para (c). parámetro, y d) usarof the and the tangent line from aa graphing graficación graphing 40. x 2 utility to graph the part and the tangentline 2from,part (c). utility to graph Equations and the tangent line from part (c). 2, 22 2t 33 raph the curve and the tangentgraph the curve(c). the tangent x linefrom2part (c). 2 t 3 40. xx ϭ 22 ϩ ttt22,,, t,y ϭ ttt22 ϩ ttt33 ln t line from curve and 2 utility 40. 2t 2ln y y t 41. 2 40. Parametric the curve t, t t 40. 41. xx 2t tln t, yy yy t 2 2t t 3 ln t utility toy la recta tangente del inciso 40. Parametert la curvatographEquations and the tangent line from part (c). c).Parameter Parametric the curve 40. x 2 41. x 2t ln t,y y 2t ln t Parametric Equations Parameter 2 41. xx ϭt 2,2,ϩ ln t,t, ln y ϭ 2t Ϫ ln tt 2t ln ln t t 2t ln 41. xx 2t yy t, yy 2t ln t t 41.Parameter ln t, y 2t ln t42. 42. Parametric Equations Parameter 41. x Parametert 44 6t, t x 112t etric Equations 19.xParametricEquations 2t 41. Parametric Equations 6t, yy t 22 t Parameter 19. Ecuaciones paramétricas 2 41. x 2t, y lnt, ln y 2t ln t Parameter Parámetro t 42. x t22 ln x 6t, y t2 t 1 4 19. Parametric Equations 42. xx ϭsen t,yy ϭylntcos t,t, 00<<t t<< 42. sen 42. t x 11 t 2, y ln t 43. tt 1 19. xx t6t, 1y tt22 1144 19. x 6t, yy t 2 4 42. xx tt2,,, y y ln tttcos y t2 4 t2 y 42. x t 2, t, ln 43. 6t, 19. xx 6t, y 2, y2 4 3 42. x sen t, y ln cos t, 0 < t < t 19. 19. x t t 2, y t 1 3 20. 43. t t 11 20. 43. x sencos y cos t,t, 0t,< t < t cost, 0 < t < < 43. 4 t43. < 43.t x 1 sen t, y cos t, 0 < 44. xx ϭ4sent,t, t,yyyy cos sen t,0 <00t<<t␲ <22 44. 1 20. x t 2, y 1t 3 sin t, 1 sen t, sen cos sen < < t1 43. cos 22 t, 43. xx sen t, t, yyϭ cos sen 00 < 0t t<<t < 2 tt 11 20. xx ttt 1 2, yy 11 33 20. x t 2, y t 2, y 3 < 44. x 4 cos t, y 2 t, t, 2, 3 t 11 20. x t 2, y tt 3 t 20. 20. t 44. < 44. x 4 cos t, y 2 sen t, 044. txx< 244cos t,t, yy 22sen t,t, 00 < ttt < 22 4 cos t, 2 sen t, 0 < < 2 44. cos sen < < 44. tt 44. xx 4 cos t, yy 2 sen t, 0 < t < 2 ) ) ( ))))) ) ))))) ) ) ) ) ) ( ))) ) ))) )) )) )) )) )()) )) ) ))))) ) )) )
  • 50. 9/2/08 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM 10-3.qxd 3/12/09 16:47 Page 728 Page 728 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 728 728 CAPÍTULO 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Cónicas, ecuaciones paramétricas y coordenadas polares Chapter 10 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Conics,728 Parametric Equations, and Polar Coordinates Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates 728 Chapter 10 Conics, Parametric Equations, and Polar Coordinates Arc Length arco Exercisesejercicios 45 a 48, dar una integral que 63. Folium offolio) de Descartes Considerar las ecuaciones paraLongitud de In En los 45– 48, write an integral that repre63. Hoja (o Descartes Consider the parametric equations Arc Length In Exercises 45– write an integral Do 63. Folium of Descartes Consider the parametric equations sents the arc length of the curve 48,63. Foliuminterval.that reprelongitud reprela the given intervalo dado. In Exercises 45– 48,representeintegral thatde 45– 48, write an integralDescartes not write an laIn Exercises arco de on curva en elof that repre-Consider the métricas Descartes Consider the parametric equations parametric Arc sents the arc length of the curve on the given interval. Do not 63. Folium 4t equations Length of 4t 2 Arc the given interval. evaluate the integral. Do not 48, write an integral that repre- 2 63. xFolium4tofDescartes Consider the parametric equations Arc Length integral. 63. Folium of4tDescartes Consider the parametric equations and y c length of the curve No evaluar la In Exercises curve 48,writegivenintegralthat repreon Length length of the 45– 48, write an integral that repreArcthe arc In Exercises 45– 48, write an integral that repreLength In Exercises 45– 48, writean integral that repreInExercises 45– on the an interval. Do not Exercises 45– 63. Folium of3Descartes Consider the parametric equations Consider 4t 3 Arc 63. Foliumof Descartes 1 2 4t.2 the parametric equations Arc Length In 63. Folium of Descartes yConsider the parametric equations sents Lengththe integral. evaluate x ϭ1 4t t 3 3 y andϭ 4t 2 3t. 3 . y x sents the arc length of the curve on thexgiven 4t interval.Do not 4t sents the arc length of the curve on the giveninterval. Do not integral. sents the integral. and 1 4t t tand y 1 ϩ4t22 2 t ϩ t sents the arc length of the curve on the given interval. Doy not 1 1 sents the arc length of the curve on the given interval. Do not 4t 2 . evaluatethearc length of the curve on the given interval. Do not1 t 3 . x 4t Parametric paramétricas Interval 4t and y 1 Ecuaciones Equations Intervalo t 3 4t 2 4t evaluate the integral. x x 1 4t3graphing utility to4t 33.. . the curve represented by the evaluate the integral. t3 x evaluate the integral. and (a) Use a tuna and yy 11 4tgraph Parametric Equations Interval evaluate the integral. 3 2 x Usart t33 3 and y 11 det 3 3 a) 1 Use 3 graphing utility tt t . 1 t 3 herramienta ric Equations 1 t ta equations.1 t graficación para trazar la curva 1 1 t 45. x Interval 2, 2 y 2t 3t 45. Parametrict Equations 3 2 Interval a3graphing utility to graph the (a)11 represented by the to3graph the curve represented by the parametric las ecuaciones (a) 1Uset 3 curve graphing utility to graph the curve represented by the descrita por Parametric Equations Interval 45.ParametricEquations2t x 3t t , y Parametric Equations Interval (a) Use parametric equations. paramétricas. a Interval Interval 1 ln t y Equations t 2, y 2t 3 2 Interval (a) Use a agraphingutility to graph the curve represented by the 46. Parametric Equations (a) Use agraphing utility to to find thecurve represented by the Use parametric equations. (a) Use una equations. 11 t t 35 45. xxParametric23 y 4t 2t 333 32 2 46.46. x3t t, t 2,2,2 yy 4t 32 23 (b) parametricherramienta detographthe curve represented by the utility graph the points of horizontal (a) Usar a graphing utility tograficación curvehallar los puntosthe b) Use graphing utility graphthe para represented by de 1 1 1 tt t t 3 3 5 45. x x 3t3t t, 2, , yy 2t2t 2 1 t 3 45. x 1 3t ln tt 25 y 2t 3 2 45. t parametricgraphing utility to (b) Use a toequations. t 2t 12 t 3 45. parametric the curve. y 4t 3 47. x e3t yt , 4t 3 3 tangency ofequations. curva.find the points of horizontal parametric equations. points horizontal a horizontal 1(b) tUse 5a 2graphing utility to find the parametricequations. lato find the points of horizontal 46. xx ln t, t t 2, y 2t 1 tangencia 47.47. x ln t, y 2, 4t 3 (b) Use tangency to the curve. a graphing utility 1 1 2t t 5 5 2 46. x x ln e t, yy 4t 2t 1 y 3 1 tt t5 46. x lnt, 4t 46. 1 5 46. (b) Use the graphing utility totofind the a points of horizontal (b) Use las integration de to find the graphing horizontal 2 y 33 2, y 2t 1 1 tt 5 46. (b) Use a graphing utility Use find 0 tangency to the curve. 48. x ln t, t y t, 4t 3 (b) Usar a a graphing utility to find of depoints of horizontal (c) tangencygraphing utility integraciónthepoints herramientato c) Use a to the curve. capabilities the points of utility de funciones una of horizontal 2 t 2 47. xxx e2ln tt,2, y y 4t2t t 1 cos t (b) Use a graphing utility to find the points of horizontal t 48.48. x tett t senseny t, 2t 1 cos t 2 0 tt t 2 2 47. x e t 2, y y t1 (c)tangencytointegration Use the thearc length the closed 22 t t 2 tangency para aproximar of longitud a graphing utility to 2t 47. curve. 2 Use the integration capabilities oftangency totothe curve. capabilities of deloop. del lazo cer2 2, 47. x approximate the curve. tangency to the curve. sen t, y t cos t 47.x xx 0 ee sen 2, yy 2t cos t t 2,t, y 2t 11 graficación utility capabilities la arco Hint: Use a the integration to graphing 0 arc 48. Length In Exercises 49–56, find the(c) t length of the curve (c) Use approximate the arc length ofof a closed loop. Hint: Use graphing utility to Arc x x t tt t sen t, t, y y t tt t cos tt t 0 0 approximate 48. x t sen t, y t cos t (c) rado. (Sugerencia: Usar over the the a agraphing utility to 0 tt t 48. x (c) symmetry integration capabilities ofe integrar tsobreutility to Use the integration capabilities of a graphing utility cost 48. x Length sent, Exercises 49–56, find the arc length ofthe arc length of the closedthe integration capabilities intervalgraphing utility toto loop.integration la of the of a 0 Hint: length simetría of graphing 1. el inter(c)Use the integration capabilities closed graphing utility to Use the and integratecapabilities of a loop. Hint: Use the the arc Use sen t, y cos 0 48. (c) Use Use cos 0 t 48. the curve (c)approximate and integrate Longitud tde interval.y tejercicios 56, t 1. symmetry on Arc arc senIn In Exercises 49–56,Arc the givenarco of the curve find49 a arc hallar la longitud de over the interval Agnesi the arc lengthoverthe closed loop. Hint: Use findLength length En los49–56, the approximate the arc lengthof the intervalloop. t Hint: Use approximate Consider the of the closed 0 valo 0 t the arc length of the closed loop. Hint: Use symmetry the length of approximate integrate over of the closed loop. Hint: Use of onde lagivenExercises 49–56, find the arc length ofand integrate 64. Witchapproximatethe arc length the the closed loop. 1. the curvaExercises interval. approximate 1. of interval 0 t symmetry and the arc length parametric equations Hint: Use arcoLength In InExercises49–56, find the arc length of the curve en el intervalo dado. the arc length the curve Arc Length In Exercises 49–56, find the arc length of the curve Arc Length In Exercises 49–56, find interval. ArcLength interval. Length In Exercises 49–56, find the arc length of the curve ofthe curve the curve symmetry and integrate over the interval 00 tt t 1. 64. Witch of Agnesiintegrate over the interval 0 equations1. Consider the theinterval 0 t 1. parametric Arc 1. symmetry and integrate over symmetry and ArcParametric Equations on the given In 64. Intervalof Agnesi Consider the 64.Witchsymmetry and integrate over the interval ecuaciones paraWitch parametric equations Consider the Considerar las on the Parametric Equations 64. Hechicera o bruja de Agnesi parametric equations of Agnesi on the given interval. on thegiven interval. given interval. on the given interval. Interval 64. xWitchcotAgnesi Consider the,parametric equations on the given interval. 64. Witch of Agnesi Consider the parametric equations 4 of 4 sin . métricas Agnesi Consider the parametric equations 64. Witch of Agnesi Consider the 2parametric equations Witchof Agnesi yConsider2the parametric equations of and ric Equations 64. x Interval Equations 2t 3t 1 49. Parametric5, paramétricas 64. Witch 4 cot Ecuaciones y 7 Intervalo Interval t 3 2 . x and y 4 sin , 2 2 Parametric Equations7 2t Interval t 3 x 2 3t 1 cot 49.ParametricEquations Parametric Equations Interval xInterval 4 Equations 2 Parametric 5, y Interval 5, y 7 2t 1 , ty 32t 7 sin ␪ . 2 and y 4 sin 2 2, Parametric Equations 2t Interval 23 and y 4 sin , x x2 4 4 cot ␪ 2 . y y ϭ 4 sen2 ␪2,2 ϭ4cot t 01 t t 50. 49. xx 3t 25, y x x 44cotgraphing y y 4 4sin2 , 2 curve represented by the 2 .. . x cot . and y and y 4 sin (a) Use cot and utility4tosin ,, , the2 a graph 2 x 1 1 tt t 3 3 49.50.x x 3t3t , 5,5, y y2t 7 7 2t2t t 5,y y 3 7 2t 0 t 3 2 x 4 cot and y 4 sin 2 , 1 3 49. 2. 49. x 4 cot graphing utility sin and 1 49. x 3t 5, y 7 2t 2 trazar la by the y 2t 2 3t 1 3 49. 2 2 51. x 23t2 5, 2t 3 a) curve represented by the de graficación para 2 Emplear 22 2 ,2 01(a) t t t24 graphing utility to graph the (a) Use a una herramientato graph the curve representedcurva 50. xxx 0 t 6t2t2, y 2 y 2ty 7 2t parametric equations. Use a 4 0 0 1 tt t t 2 2 50.51.x x tt 2,6t y,y y2t 2t 0 t 2 50. x (a) Use parametric equations. paramétricas. a graphing utility to graph the curve represented by the t,, , y 2t2t 50. y 0 t t 20 2 50. x y 2t3 y 2t 50. (a) descritagraphingutility tograph the curve represented by the 52. x tt22t, 2 1, 2t 4t 3 (a) Use agraphing ecuacionesgraphthe curve represented by the (a) Use a graphing utility graph the points of horizontal Use por las utility 1 0 1 t parametric equations. 4 51. xxx 1 6tt2,22 2 y 4 y2t3 33 3 3 3 (a) Use a agraphingutility to to find thecurve represented by the (b) parametric equations. totographthe curve represented by the utility (a) Use a graphing utility to graph the curve represented by the Use 1 1 tt t 4 4 0 x 51.52.x x 6t6t,, , y y 2t2t 4t t , y 1, 2t3 1 4 t y3 3 1 51. x 6t 2 51. parametricgraphing utility graficación points of los punUse una equations. 1 t 4 51. x 16t 2,t y 0 2t 3 Utilizar a toequations. parametric herramienta 1, y 4t 3 3 1 Use 4 graphing utility to findb) (b)parametricequations. de to find the para hallar horizontal tt a 51.x x t 26tt 1, yy 2t tangency ofequations. parametric the curve. horizontal 1 52. x e22 2 cos t, y 4t 33 3 t 3 t (b) the points Use a tangencia utility to find curva. graphing curve. 0(b)1t tt t 00 0 53. xx tt 2 1,1, y y 4t4t sen 1 52. x t 2 t1, y 4te 3t3 la the points of horizontal 1 tangency to the curve. 52. 52. (b) Usedethegraphinghorizontal a find the points of horizontal 1 t 0 0 1, y 4t 3 3 3 52. (b) tos tangency to the utility to find the points of horizontal (b) Use a to the curve. capabilities of points of horizontal Use cos y 0 53. 1 t 2 0 52. x x t t e 1, yt, 4t 3 e 3 sen t (b) Use a graphing utility to find the a graphing utility Use a graphing utility (c) tangencygraphing utility totofind the points of horizontal integration t (b) Use aa graphing utility to find the points of horizontal cos t, y e sen t 53. x 0 e t tcos t, y e t sen t 1 2 c) (c)tangencyto the curve. integración deof a herramienta de Usarapproximatecurve. arc length over graphing utility las to the curve. de tangency funcionesthe capabilities una the interval Use thetothe curve. integration 0 t tangency tangency to the utility to a graphing curve. 1 sen 54. xx ϭ eeettttcos2t, yy ϭ eeet sin t 2 of 53. xx eϪt cos t, y e sen t tangency to the 00 Use 2 the 53. 53.54.x arcsen 1t,t,t, yy y lnϪt tttsen1ttt t t 2 0(c) tt t t22 1 integration capabilities Usetotheapproximate capabilitieslengthdegraphingelutility cos 53. e tcos t, cos e tsen sen 0 t 53. (c) graficación para aproximar la longitud a over en intervaintegration of interval cos t, 0 0 t 2 2 53. x x e arcsen t, y y e lnsen t (c) Use the the intervalcapabilities of a aarco the utility 2. (c) Use the integration the arc 222 to 1 1 over (c) Use integration capabilities over graphing tt, y en t, y ln 1 t54. xx 0 arcsen t, y3t ln1 1 t 2 (c) lo 4 the integration capabilities of a graphing utility 55. 2 (c)toUse the integration capabilities of a graphing utility approximate the arc length of a graphing utility 00 t t 2approximate the arc length Use 4 the integration capabilities of over graphing utility 11 1 2.the arc length over the interval 2 2 2 toto approximate the arc length over the interval 0 0 0 tt t 4 21 1 1 54. xx ϭ arcsin t, y yy ln ln 111 t 2 t, to approximate the arc length over the interval 0 arcsen ln 54. x arcsen t, y ln 1 2. the interval arcsen 54. 54.55.x x arcsen t,t,t,5yy ϭ3t1 Ί11Ϫ tt2 2 to approximate 2 arcsen ln tt 54. 65. Writing approximate the arc length over the interval 0 t t 22 y 3t 1 t to approximate the arc length the interval 54. x arcsen 4 2. 2 01 t t 12 55. xxx 0 t, t, y y 1t,t 3ty 5 1ln 1 t 65. Redacción 44 2.2. 65. Writing 4 2. 56. xx Ί t, t, y y 3t3t 1 1 0Writing 1 1 55. xx ϭ t, yy ϭ 3t Ϫ 1 1 t 4 a graphing2. t, 3t 1 1 0 t 1 55. 65. 00 1 t t t 1 2 55. 2. (a) Use utility to graph each set of parametric 55.56. x t, y 10 3t 6t 3 55. 1 t5 65. Writing 4 t 5 5 10 1 6t 3 Usar y 65. a) (a) Use herramienta 65. Writing Writing 1 t5 3 65. Writing una graphing utility to graph para set of parametric equations. 1 (a) t Use2 a graphing utility to 65. Writing seta of parametricde graficación each representar cada 56. x 1 t, ty 2 tt55 5 1 1 1 graph Use a each t 65. Writing graphing utility to graph each set of parametric 10 6t 1 3 t5 1 tt t 2 2 56. x ϭ t, y 1 (a) conjunto de ecuaciones paramétricas. t, 1 2 56. equations. 56. 56. Length yyy 10 10 6t6t3357– 60, find the 1 equations. the curve 1arc tlength of 2 56. x t, In 10 ϩ 6t 33 (a) Use a agraphing utility totograph each set of parametric Arc xxx t, t, y ϭ Exercises3 3 (a) Use a graphing utility to graph each set of parametric 10 6t (a) Use a graphing utility graph each set of parametric each set of parametric (a)equations.graphing utility to graph 2t 10 10 (a) xUseta graphing utility to graph each set of parametric Use 10 6t sin x 2t sin Arc Length [0, 2 ].6t6t 57– 60, find the arc length of the curve In Exercises equations.sent t t on the interval equations. In Exercises 57– 60,Arc Length length of the curve find the arc length of the curve find the arc In Exercises 57– 60, equations. x t x sin x ϭ t Ϫ sin x ϭ 2t 2t sen͑2t͒ Ϫ sin 2t equations. sin on the interval [0, 2 ]. t sin t 2t cos 1 cos 2t Arc Length In Exercises 57– 60, find the arcxlengthof the curve x 2t sin xy t 1 sin t t Arc Length In Exercises 57– 60, find the arclength of the curve al [0, 2 ]. xy 2t sin 2t Exercises Arc Length In perimeter: 3 ArcHypocycloid Exercises 57– 60,find the arc length of the curve onArcLength arco Exercisesejerciciosfindthe arc length of the curve the Length [In 2 ] xy y t 1 sin tt t xyxϭ2t2t sin ͑2t2t cos 1 sin t t cos 1 57. theinterval In0, En .. 57– 60, find the arc length of the curve x x 2t 1 sin 2t 2t sin Longitudinterval[0, 2 2.]]los 57– 60, cos 3 a3y hallar la3longitud de y 1 cos 2txxϭtt t Ϫsincos t de 0, [0, sin x y 2t Ϫ cos 2t͒ on 57. Hypocycloid2 ].]. x x a a 57 , 60,y a sin1 cos t interval [[0, 2 on the interval x 1tt cos tt sin x 1t2t cossin2t sin onthe interval [ perimeter: the on3the interval 30, 2 ]. cos , y a sin 2 y0 y0 2t on de la curva en el intervalo [0, 23 ]. arco , y a sin cos Circle circumference: loid perimeter: x a57. Hypocycloid perimeter:xx aacos ␲y, y a sin 3 y0y 0 1t1 ≤ cos tt t y0y 0 1t1 ≤ cos 2t2t 58. y ≤ 1 t cos t y ≤ 1 t cos 2t 2 2␲ ␲ cos cos cos , a sin y 1 cos y 1 cos 2t y 1 cos t y 1 cos 2t 0 t 57.58.Hypocycloidperimeter: xxx aacos 33 3 ,,y y 0 asin33 3 2 Hypocycloid perimeter: x a cos 3 y a sin 3 cos Circle circumference: 57. yHypocycloid perimeter: x aacos 3 , ,y a sint3 cos sin 57. Hypocycloid t 57. Hypocycloid xperimeter: (b) 00 t tt 2the graphs 00 the ttwo dos conjuntos de equations Compare 2 of de los sets a sin rcumference: x a cos57.Circle circumference: x xsin a ,cos a y sina sin sen 3 a 1 a cos 59. Perímetro b) Comparar2las gráficas0 of the two of parametric ecuaciones 0 t t 22 cos 58. , Cycloid arch:una hipocicloide: xyϭ a ,cos 3 ␪, y ϭ a sin ␪ 57.59. Cycloidde perimeter: aa sin , ,yy aa sin cos 0 0 tt 0 t 0 58. Circle circumference:axx aacos , ,yy (b) aCompare the graphs of the two sets(b) 0Compare the graphs 0representssets of parametricparticle arch: x 58. Circle circumference: x in part (a).2If equations t the inciso t the motion of a equations cos y a sin 58. Circle circumference: x a cos , y a sin Circlecircumference: of parametric del curve a). Si la of parametric equations 58. Involute circumference:x cos cos , sin ,ay1sinsin sin 59. Cycloid arch: x a x sina cos a 1 sin ,58. Circle cos y a 1 of arch: x a 60. Circunferencia de un (b) paramétricasgraphs of the two sets curva representa ael mothe If the curve particle ,y cos sen 58.60. Involute a circle: círculo: x ,ϭ a cos1␪, incosa sin ␪If the cos represents Comparetime, graphs of the two sets of the motion equations y ypart sin ϭ (a). cos curve (b) the in part the what can yourepresentsofparametric of speeds Compare (a). agraphsof the two sets ofparametric equations t is (b) vimiento the graphs ofthe two sets parametric equations Compare of partícula y twotiempo, the average inferirse 59. Cycloid arch: x circle: x sin , y asin , cos cos (b)andmotionthe graphs of thetinfer about parametricparticle CompareIf una curve 59. Cycloid arch: a a cos sin (b)inComparedethegraphs ofrepresentssetsofmotion puedeequations cos Cycloid of ¿qué a a sin , y a 1 cos a 59. Cycloid arch: x a Cycloid sin (b) Compare thetheparticle the two sets of parametric equations part (a). of a circle: x cos 60.59.sin , y of arch:xx x a cos sin , ,yy aa11 cos 59.Involute arch: x a and (a). If the the can es theabout theoftwo sets of is in partparticlethewhat paths representedmotion average speeds y ϭ sin Ϫ cos ␪͒ a circle: x ϭ sin␪ Ϫ y sin␪͒,1 and ͑1is time,cos can you infer aboutpartt(a).lasIfvelocidades you inferthe motion of a aparticle ofinpartde time, speeds represents thedemotionof a particle the (a). If the curve represents the motion of a particle on curve represents the by the of particle in the curve promedio a 59. Path of aunaacicloide: Thecos of sinsin , ,yy asin in t part (a). what curve represents acerca average on the paths la partícula en sin , y sin cos 60. Involute of a circle: x cos 61. Arco de of a acircle: x x cos͑ path sensin , ,yy t modeled what by the cos 60. Involute Projectile and ofis time,If thecan you infer about the average speedslas cos sin cos 60. Involute of circle: x circle: particle sets 60. Involute of a circle: x The path a projectile issin modeled by the sin of sin cos 60. Involute of Projectile cos and t isistime, what can youinfer about the average speeds of parametric twowhatcan you infer about the averagedespeeds 61. Path of a ofsin , y the particle cos the paths represented tt thetime, what can youpor represented by the two ecuaand by time, what can on and is time, what paths infer aboutthe averagespeeds and tis the representadas represented the average speeds is time, the of trayectoriasequations? you infer aboutbytheaverage speeds los dos the two parametrico modeled de un círculo: a projectile is equations by the and t particle on setscan you infer about conjuntos sets of Projectile The path 60.aPath of a Projectile The path of a projectile is modeled by the of Evolventeis involuta projectile of the parametric equations? represented by the two sets of 61. of the particle on the paths represented time two sets of parametric equations of the particle on the paths represented by the two sets of the graphing the of the particle onthe (c) parametric equations? curve, determine theby therequired forof Withoutparticle on the paths represented by the two sets of 61. xPathof a aProjectile, yThesin ␪ of a␪aprojectileisismodeledby the ciones paramétricas? paths represented by the two sets of 61. Pathcos aProjectile Thepath Ϫ aprojectile ismodeled by the of the particle on the paths ϭ of ␪ ϩ ␪ sin ␪ ic equations 61. Path of a Projectile The path of cos ␪ parametric equations? Pathof a Projectile The pathof projectile modeled by the of sen ofsin 30 t 16t 2 61. xPath90 cosProjectile The path of a projectile is modeled by the 61.parametric equationsandϭ ypath 90 a projectile is modeled by the parametric graphing the 30 sen t (c)particle toequations? curve,path as in partstimeand (b) if for Without the required parametric required for parametricequations? aparametricla equations? same determine theque requiere la parametric equations and y (c) Without graphing the curve, determine the time equations? parametric equations parametric traverse determinar el tiempo required for parametricequations equations c) Sina trazar equations? the same path as time (a) curva, x 90 equations 90 sin 30 t 16t 2 parametric cos230 t (c) Without graphing the curve, determine the in parts (a) and (b) if parametric16t particle to traverse cos 30 t and y 90 sin 30 tcos 2 (c) asWithoutgraphingthe ifcurve,determinethe time required for path modeled by (c) thein partspara and (b) curve,determine the time required for 90x 16tun (c) Without graphing the same path as in parts (a) required for 61. xTrayectoria30 are measured in90 sin 30 t a particle2to traverse the same pathapartícula isgraphingthecurve, mismas trayectoriasrequiredfor (c) Without graphing the curve, determine the time and (b) for Without graphing the by recorrer y t where90and de un and yy La trayectoria de16t22 proyectil se (c) Without to(a) modeledcurve, determine the time required iflos particle traverse the las determine the time que en x x wherecosand yttareand yy feet.sin 30 tt t 16t 2 90 cos 30 t t proyectil in90sin 30 t 16t 2 the pathto traverse x 90 sin 30 90 x 30 cos 30 and y 16t and x 90 cos 30 90 sin and a aparticle tototraverse the same path as ininparts (a) and (b) ifif measured 90 feet. 30 the path is modeled a particle y istraverse the same está descrita por(a) and (b) if x 90 por 30 t de las y 90 sin 30 t 16t and particletob)1si la bythe same path as in1parts (a) and (b) if traverse path as describe acos medio utility ecuaciones paramétricasprojectile. by a 1t incisos a) sintraverse the samepath as in parts (a) and (b) and y are measured in feet.(a) Useand y are measured in feet. the path of the a path is the particle modeled andthesame path cosin2t parts(a) and (b) if x particle to 2t 1 trayectoria 1 as parts graphing to graph 2 1 where x the xpath isismodeled by y y 1 1 .1t . the path is modeled by 1 thepathϪ sin modeled by x cos graphing y where Use a30Њare measured ininfeet. sen 30Њ͒ t Ϫ 16t 2projectile. and y are measured in graph the and sin (a)90xxand y yare measured ytofeet. sin path of the 1 utility in feet. the path2tissen͑1t͒2t yby y ϭ 1 Ϫ cos͑ cos 2 1 1pathis modeled by where the xwhere and are utility to approximate 2 range of and y 1 cos 12t2t. modeled ϭ Use graphing ͑ xϭ 1 2 1 sin 2t a graphing utility to graph(a)whereaofandy projectile. to graph͑90 path x thet projectile. the the pathx graphing measured ϭ feet. 2 t ͒. (b) Use a the ͒ t utility x the of the 1 1 1. 66. Writing 2t1tt sin 2t1tt and yy 11 cos 2t1tt .. 1 x x 21t t sin 21t t and (a) (b)Useaagraphing utility totograph the path of the projectile. the Usegraphing utility graph the path of the projectile. a utility to x 1 1 sin 1 1 and yy 11 cos 21t t. . (a) projectile. range utility to graphapproximate the projectile. Use a graphing utility to graph the path of the projectile. cos2 and y 1 cos 2 2 sin2t and y 1 cos 1t . (a)Use y the graphing theto graph the path of the projectile. graphingutility the range of cos x 2 (a) Use 66. Redacción sin 2 2 and 66. Writingt sin 2 a graphing utility to approximate a graphing utility to approximate the range of the donde a graphing en x 22 (a) Use the path of 2 2 66. Writing (b) Usex a y se midenof pies. (a) Each set of parametric equations represents the motion of a projectile. 66. Writing (b) Use a agraphing utility to approximate the range of the (b) Use a graphing utility Use a integration capabilities of a graphing utility to ctile. Use approximate trazar la of the Cada 66. Writing conjunto graphing utility to graph each set. (c) projectile.graphingutility to graficación paratherange of the (b)Utilizar una herramienta to approximate the range of the 66. Writing a)(b) Use the graphing utility deto approximate the range trayec- equationsa) (a) Each the of parametric equations represents the motion of a 66. represents set motion of a Writing Use a de ecuaciones paramétricas representa el moparticle. 66. Writing (a) a graphing projectile. the arc length of the path.Each set of parametric (c)projectile. integration capabilities of Compare thisutility to Use the projectile. utility to (a) Each set ofdeUse a partícula. utility una herramienta de of a projectile. particle.parametric equations represents the motion to graph approximate the integration capabilities of projectile. a the proyectil. capabilities of a particle. Use a result graphing toria del integration (a)graph set of parametric equationsrepresentseach motiongrafi(a) vimiento of parametric equations represents the motion of a Each set set.una graphing Usar represents the set. graphing (c) Use approximate the arc length of the path. Compare this to graphing utility result utility to(a)Eacheachof parametric equations graph each the motion of a a Each Use equations the of (a) caciónset of aparametricutilityconjunto. Each set First Particle graphing Second Particle (a)particle.para representar equations represents set. motion of a Each set ofparametric cada to representsthe motionof a (c) Use the range of resultcapabilitiesof aagraphing utility to (c) Use the integration capabilities of graphing utility Use the integration oximate the arc length of the(c)withCompare this the projectile. path.aCompare thisutilitytoto path. the integration capabilities of a graphing utility to Use theuna the arc length of the of graphing utility el (c)approximateintegrationcapabilities of a graphingestimar to particle. Use a agraphing utility totoParticle set. graphing utility to graph each set. Second graph each set. First Particlegraphingutility to graph each set. particle. Use (c) Use integrationthe projectile. capabilities particle.Use a b) Utilizar the rangearc lengthde the path. Firstpara thisresult herramienta of graficación Particle result Second Particle 3 cosUsea graphing utility tot graph each set. particle. Use a graphing utility graph each with particle. t x x 4 Particle approximate the arc length of the path. in Exercise result approximate the of length projectile Compare this result Second sin the range of the projectile.Pathapproximate the the projectile. the path. Compare this61 is First Particle approximateof arc of Compare 62. of a Projectile with the del proyectil. If the of the path.Compare thisresult alcance range the arc lengththe Second 4Particle x Particle 3 partícula x SecondParticle First Particle Primera cos Segunda Particle partícula FirstParticle Second sin t Second Particle First Particle with of range of the projectile. horizontal, 3 cos t 62. Path the a rangeof the projectile. projectile inits parametric is x 4 sin t First4Particlet If the Exercise 61 x with the anProjectile isprojectile. range of61 projectile. First cos tt with the angle cos with atExercise the launched the range ofthe with xy 3 sin xySecond Particle 43sin t t a Projectile If the projectile inthe range of the projectile. 62. Path witha las funciones de integración de una herramientais of Projectile If the projectile in Exercise parametric 61 de x xϭ 3 3costt t t x xϭ 4 4sentt t t y 3cossin 4 t 3 cos Utilizar launched at withprojectile in Exercise 61 is the horizontal, its x x 4 sin sin cos sint x 3 cos x y t4sin2 t 62. c)Pathof a aProjectile IfIfthe projectile yininExercise 61 isis y 3 cos t 0 t3 cos t Path of areits an angle If the projectile in 4Exercise 61 is 62. equations a Projectile If the projectile x cos t at an angle with 62.launchedof a anProjectile withthe projectile in itssin t the Path of a Projectile If the horizontal, Exercise 61 is horizontal, Projectile parametric 62. Path y x 4 sin t2 y0 3 4 sin 62. Path of at areangle Exercise 61 thelongitud de arco de la trayecparametric graficación equations para aproximar lathe y 0 4 sin tt 2 y ϭ 3 3costt t2 t t launched atatan angle launched at an angle with the horizontal, its parametric sin s are launched at an angle with the horizontal, its parametric with the horizontal, its parametric y 4 sin sin y 0 3cos 0 2. itsproyectil. 2 Determine t t launchedare an angle y with sin horizontal,t del 2 parametric 0 t (b) 0 yyϭ 44sen the number0 yypointscostintersection. y t 4 sin t y 3 cos of t 3 cos t equationscos t and resultado con t alcance x toria. Comparar este 90 90 el 16t 2 2 2of equations are equations2are t and y 0 tt t 2 2 0 (b) 0Determine the number0of tpoints of intersection. equations cos x 90 are 90 sin(b)t Determine the 16t . 0 2 0 t 2 2 equations are 0 t 2 equations are intersection. 0 t 2 0 cos t and y 90 sinTrayectoria de un proyectil 90 sin proyectil 2del ejercicionumber of points ofDetermineparticles ever be att t of22 t 9016t . t and y (c) Will the the number of0 t the 2intersection.at the same (b) points same place 62. xUse a graphing utility to find the angle that2 maximizes61 se Si el t 16t . cos the (b)(c)Determinethe number of points theintersection. Will the the number point(s). of intersection. particlesthe ofbe at of same place x x Use 90cos tt t and y y to 90 sinthettangle 22.the maximizesever be at the(b)Determine atthenumber of points of intersection. at the same 90acos 16t that particles the .2. (b) time?place thethe same ofpuntos de intersección. Determine el númeroever points of intersection. x 90 cos t un and y 90 sin 16t and numberof points cos 90 16t (b) Determine Determine graphing ángulo 90 sin t t 16t 2. utility find maximizes b) Will If so, the numberbe points of intersection. x and y (b) Determinar identify range 90 the maximizes the ␪ consin (c) Willthe arc length of (c) same the particles ever de at the same place at the same raphing utility to find thelanza formando utility What anglela horizontal, sus ecuaciones angleof that projectile. time? (c) Will the If particleseverthe at the same place at the same Use range of the projectile. Whatthe angle that maximizes the the point(s).c) ¿Estarán what happens enbepoint(s).samethe secondthe same a graphing find (c) Will thelasso, identify be at the same place mismo lugar maximizesmaximizes the the arc length If so, identify (c) Will the particles ever be at the of place at the same Willthe particles ever the motion paramétricas son utilitytoto find angleangletime? maximizes the of (c) Explainso,particles the point(s). thesame place at the same (d) time? If theparticles everifbe atatthe same place atatthe same particle partículas algún momento en el Use a graphing length of find the angle that (c) Will the trajectory? utility to find the angle that maximizes the identify ever be Use a graphing utility the projectile. What anglerange a agraphing utility toto find the angle that maximizes ofthe maximizes the arc utility to find the angle that maximizes the Use graphing graphing Use atrajectory? time? If so, identify the point(s).motion of the second particle Use of the projectile. What anglethe that (d)time?If so, what happenspoint(s). Explain identify the maximizes the arc length time? the of the projectile. What anglemaximizes the arc length of so, by is mismo tiempo? Si the point(s). representedidentifyes if the 2 alof the Ifso, identify the point(s). puntos. range90ofthe␪projectile.What angle ͒maximizesthe arc length of if the motiontime? Ifsecond particle así, identificar esossecond particle (d) Explain what happens range xrange of the projectile. What angle maximizes the arc length of ϭ͑ ctory? the angle Ϫ 16t . (d) Explain what happens if the motion of the range of the ͒projectile.What sen ␪ t maximizes the arc length of is represented by therangeofcos projectile. ϭ ͑90 angle maximizes the arc length of trajectory? t y y What sin (d) Explicar whatocurre si el ifthe4motion of the tsegundaparticle (d) Explain qué happens if the motion of the second particle the trajectory? is represented by (d) Explain what happens 2 the cos t, 0 the second particle Explain 3 sin t, y what motion of the trajectory? (d) Explain what happens if the motion de la second partícud) isxrepresented byhappensifmovimiento of the second. particle 2 2 the trajectory? (d) Explain what happens if the motion of the second particle the trajectory? Usar una herramienta de graficación para hallar el ángulo que isisrepresented by t, y 2 4 cos t, 0 t 2 . represented sin x 2 3 by is represented por is 0 representaby la serepresented.by x 2 maximiza y 2 4 cos t, is representedt,by y 2 4 cos t, 0 t 2 . 3 sin t, la t 3 sin 2 maximiza el alcance del proyectil. ¿Qué ángulo x 2 x x 2 2 3 3sint, t, y y 2 2 4 4cost, t, 0 0 tt t 2 2 .. . x 2 3sin t, y 2 4cos t, 0 t 2 . sin cos x 2 3 sin t, y 2 4 cos t, 0 2 longitud de arco de la trayectoria? x ϭ 2 ϩ 3 sin t, y ϭ 2 Ϫ 4 cos t, 0 Յ t Յ 2␲.. 2 sen t, hapter 10
  • 51. 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729 10-3.qxd 3/12/09 16:47 Page 729 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729 SECCIÓN 10.3 Parametric Equations and Calculus Ecuaciones paramétricas y cálculo 729 10.3 729 10.3 Parametric Equations and Calculus 729 10.3 Parametric Equations and 10.3 Parametric Equations and Calcul Calculus 729 Área de una superficie En los ejercicios 67 a 70, dar una inte84. Área de una superficie Unaa porciónof radius r is removed by Surface Area In Exercises 67–70, write an integral that 84. Surface Area A portion of sphere de una esfera de radio r gral que represente el of the surface generated by revolving the se elimina cortando un cono with its of radius r encenter of the represents the area área de 67–70, write an integral that cutting out A portion of circular vertex at the el centro de Surface Area In Exercises la superficie generada por revolu84. Surface Areaa circular cone a sphere con vérticeis removed by Surface la curvaIn Exercises 67–70, Usar Area integral that Area 84. write Area A portion of aforma un ánguloAreaHallar el área integral that of radius r A by ción de about thealrededor surface Surface una herramientathe 67–70, SurfaceanEl vértice del the cone 84. vertex angle␪ofremoved the of a sphere of radius r dela eje x. write an to In Exercises la esfera.The circularof cono sphere Surface theiscenterportion de curve x-axis. Use graphing utility revolving sphere. forms an at 2 . 2 . Find the represents the area of the generated by approximate cutting out a vertex cone with its of represents the area of the surface represents the revolving the generated by area of the surface generated out a circular cone la esfera.vertex atout acenter of cone with its vertex at the cutting by revolving the with its cutting the circular the graficación para aproximar la integral. utility to approximate de superficie eliminadafrom the sphere. the about the surface area removed de curveintegral. x-axis. Use a graphing sphere. The vertex of the cone forms an angle of 2 . Find the curve about the x-axis. Use a graphing utility to approximate a graphing utility to vertex of the cone formssphere. The vertex of the cone forms an angle o curve about the x-axis. Use sphere. The approximate an angle of 2 . Find the integral. surface area removed from the sphere. 1059997_1003.qxp 9/2/08 3:50 PM Page 729 Ecuaciones Equations Intervalo t