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Matemáticas I Unidad I
 

Matemáticas I Unidad I

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Resumen teórico del curso Matemáticas I de la preparatoria abierta de la SEP. Primera unidad.

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    Matemáticas I Unidad I Matemáticas I Unidad I Presentation Transcript

    • El presente material debe ser considerado únicamente como un complemento para el estudio y de ninguna manera sustituye al libro de texto.
      MATEMÁTICAS I
      UNIDAD I
      CONJUNTOS
      Contacto: joelamparn@gmail.com
    • Conjunto: colección o agregado de ideas u objetos de cualquier especie, siempre y cuando estas ideas u objetos estén tan claros y definidos como para decidir si pertenecen o no al conjunto.
      Ejemplos
      Los Estados de la República Mexicana
      Los días de la semana
      Las vocales del alfabeto.
    • Elementos: Las ideas u objetos que forman un conjunto.
      Notación  Generalmente usamos letras mayúsculas para denotar conjuntos y las minúsculas para sus elementos.
      A podría ser el conjunto de días de la semana.
      x podría ser lunes.
    • Para simbolizar que un elemento pertenece (o no) a un conjunto, usamos:
      es un elemento de…
      no es un elemento de…
      Así…
      se lee x es elemento del conjunto A.
      se lee m no es elemento del conjunto A.
    • Notación enumerativa: se puede denotar un conjunto anotando los elementos entre llaves…
      {lunes, martes, miércoles, jueves, viernes, sábado, domingo}
      Notación por descripción: anotar entre llaves la condición para pertenecer al conjunto…
      {días de la semana}
      Observación: { } simboliza un conjunto.
    • Variable: letra usada para representar a cualquier elemento de un conjunto; ejemplo: x.
      Una línea vertical como | se lee tal que.
      La notación para construir conjuntos permite abreviar la representación de los mismos…
      V={ x | x sea una vocal}
      E={ x | x sea una de las estaciones del año}
    • Oración abierta: aquella en la que interviene una variable.
      Conjunto de reemplazamiento: el que nos proporciona los elementos para reemplazar a la variable.
      Conjunto de verdad: los elementos del conjunto de reemplazamiento que hacen que la oración sea verdadera.
    • Sea E={ x | x es una de las estaciones del año}
      y el conjunto de reemplazamiento para x el conjunto M:
      M={primavera, verano, otoño, invierno, lunes, abril, frío}
      Notación para construir conjuntos:
      Conjunto de verdad:
      E={primavera, verano, otoño, invierno}
    • Cardinalidad: número de elementos contenidos en un conjunto. Se representa con la letra n, y luego la letra que simboliza al conjunto entre paréntesis.
      V={a, e, i, o, u}
      n(V)=5
      Un conjunto es finito cuando es posible determinar el número de elementos que lo conforma, aún cuando no sea fácil.
      Si no se cumple la condición anterior, el conjunto es infinito: N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}
    • Conjunto universal: totalidad de elementos considerados para determinada operación (equivale al conjunto de reemplazamiento).
      Conjunto vacío: el que no contiene elementos. Su símbolo es .
      Conjuntos equivalentes. los que tienen la misma cardinalidad. En ellos se puede establecer la correspondencia uno a uno (correspondencia biunívoca).
    • Sea C={verde, blanco, rojo} y F={5, 4, 3}, se puede establecer la correspondencia biunívoca:
      {verde, blanco, rojo}
      {5, 4, 3}
      Conjuntos iguales: se dice que A y B son iguales cuando cada elemento de A pertenece a B, y cada elemento de B pertenece a A.
    • Subconjuntos: al conjunto R que está formado por elementos que también pertenecen al conjunto P, se le llama un subconjunto de P.
      Si V={vocales del alfabeto}
      y A={todas las letras del alfabeto},
      entonces , pero .
    • Subconjunto propio: siendo , pero A tiene además elementos que no pertenecen a V, se dice que V es un subconjunto propio de A (V está incluido en A y no tiene la misma cardinalidad).
      Con lo cual se puede establecer que
      A>V
      y
      n(A)>n(V).
    • Número naturales:
      N={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…}
      Conjunto de múltiplos de k:
      Si entonces M={k, 2k, 3k, 4k, 5k,…}
      Conjunto de números primos:
      P={2, 3, 5, 7, 11, 13, 17,…}
      Conjunto de números compuestos:
      C={4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18,…}
    • Se factoriza un número cuando se expresa como producto de sus factores.
      Una factorización se considera completa cuando sólo tenemos factores primos.
      2, 3, 4 y 6 son factores de 12.
      2 x 2 x 3 es la factorización completa de 12.
      5, 7, 8 y 9 no son factores de 12.
    • Unión: si reunimos los elementos de un conjunto A con los elementos de otro conjunto B, tendremos un tercer conjunto.
      La operación efectuada se llama unión.
      Los elementos del tercer conjunto pertenecerán al conjunto A o bien al conjunto B o bien a ambos.
      P={1, 2, 3, 4} Q={3, 4, 5, 6, 7}
      P Q ={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
    • Intersección: operación entre dos conjuntos para obtener un tercero cuyos elementos son los que simultáneamente pertenezcan a los conjuntos dados.
      P={1, 2, 3, 4} Q={3, 4, 5, 6, 7}
      P Q ={3, 4}
      Disjuntos: dos conjuntos sin elementos en común. Su intersección es un conjunto vacío.
    • Complemento: conjunto formado por los elementos del conjunto universal que le faltan al conjunto dado.
      Para el conjunto S, se lee como S prima o complemento de S.
      Complemento de S = S’
      U={todas las letras del alfabeto}
      V={vocales del alfabeto}
      V’={consonantes del alfabeto}
      Observación:
    • Gráfica de un conjunto (diagramas de Venn).
      U
      U
      10
      El rectángulo indica el conjunto universal.
      B
      A
      4
      2
      5
      1
      Los círculos A y B muestran conjuntos disjuntos.
      7
      3
      6
      8
      9
      1, 2 y 3 son elementos de A;
      4, 5, 6 y 7 son elementos de B;
      8, 9 y 10 no son de A ni de B, pero sí pertenecen al universo.
    • Gráfica: unión de conjuntos.
      V={i, o, w, a, e}
      M={a, e, b, d, g, c, f}
      U
      M
      V
      b
      o
      a
      c
      i
      d
      e
      w
      f
      g
      El resultado es toda el área sombreada.
    • Gráfica: intersección de conjuntos.
      V={i, o, w, a, e}
      M={a, e, b, d, g, c, f}
      U
      M
      V
      b
      o
      a
      c
      i
      d
      e
      w
      f
      g
      El resultado es el área con doble sombreado.
    • Gráfica: conjunto complemento.
      U
      S’
      S
    • Gráfica: conjuntos disjuntos
      U
      U
    • Gráfica:
      U
      A
      B
      C
    • Gráfica:
      U
      A
      B
      C
    • Gráfica:
      U
      A
      B
      C
    • Gráfica:
      U
      B
      A
      C
    • Gráfica:
      U
      A
      B
      C
    • Tomado de:
       
      Matemáticas I, Libro de Texto, SEP,
      Autores: Mario Villegas Urquidi, Francisco René Zubieta.