Matemáticas I, II, III y IV; Leyes y más.

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Compendio de las principales leyes, postulados, definiciones, etc. de los primeros cuatro semestres de matemáticas, preparatoria abierta de la SEP.

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Matemáticas I, II, III y IV; Leyes y más.

  1. 1. MATEMÁTICAS I<br />Leyes de DeMorgan:<br />1ª. (A∪B)’ = A'∩B' 2ª. (A∩B)’ = A'∪B'<br />Leyes de los exponentes: ver teoremas 4.1 a 4.4 y 6.1<br />Números naturalesN = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}<br />Múltiplos de kSi k ∈ N entonces M = {k, 2k, 3k, 4k, 5k, 6k…}<br />Números primosP = {2, 3, 5, 7, 11, 13, 17…}<br />Números compuestosC = {4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18…}<br />Números no negativosC = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7…}<br />Números enterosE = {… -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3…}<br />Números racionalesx∈D⇔x=ab y a,b∈E, b≠0<br />N⊂C⊂E⊂D⊂R<br />Implicación: p ⟹qconversaq ⟹pdoble implicaciónp ⟺qcontrapositiva~q ⟹ ~pinversa~p ⟹ ~q<br />Binomio conjugado = diferencia de cuadrados<br />a+ba-b=a2-b2<br />Binomio al cuadrado = trinomio cuadrado perfecto<br />(a±b)2= a2±2ab+b2<br />Binomio al cubo(a±b)3=a3±3a2b+3ab2±b3<br />Suma o diferencia de cubosa±ba2∓ab+b2= a3±b3<br />3.1 Propiedad reflexivam∈R⟹m=m<br />3.2 Propiedad de simetría(m,n∈R y m=n)⟹(n=m)<br />3.3 Propiedad transitiva(m, n, p∈R, m=n y n=p)⟹(m=p)<br />3.4 Propiedad de sustitución (a=b y a,b∈R)⟹(b puede sustituir a a)<br />3.5 Propiedad aditiva (a, b, c, d ∈R y a=b, c=d)⟹(a+c=b+d)<br />3.6 Propiedad multiplicativa (a, b, c, d ∈R y a=b, c=d)⟹(ac=bd)<br />3.7a Cerradura (suma)a,b∈R⟹(a+b)∈R<br />3.7b Cerradura (mult)a,b∈R⟹(ab)∈R<br />3.8a Conmutativo (suma)a,b∈R⟹a+b=b+a<br />3.8b Conmutativo (mult)a,b∈R⟹ab=ba<br />3.9a Asociativo (suma)a, b, c∈R⟹a+b+c=a+(b+c) <br />3.9b Asociativo (mult)a, b, c∈R⟹abc=a(bc) <br />3.10a Distributivo (izq)a, b, c∈R⟹ab+c=ab+ac<br />3.10b Distributivo (der)a, b, c∈R⟹a+bc=ac+bc<br />3.11a Identidad (suma)a∈R⟹a+0=a<br />3.11b Identidad (mult)a∈R⟹a1=a<br />3.11c Identidad (ext)a∈R⟹a+0=0+a= a1=1a=a<br />3.12a Inverso (suma)Para todo a∈R existe otro elemento de R de modo que la suma de los dos es 0<br />3.12b Inverso (mult)Para todo a∈R existe otro elemento de R de modo que el producto de los dos es 1<br />3.1 El elemento identidad para la suma es único, y es el 0<br />3.2 El elemento identidad para la multiplicación es único, y es el 1<br />3.3 El inverso para la suma de a∈R es (-a) y es único<br />corolario: a,b∈R y a+b=0⟹b=-a ó a=-b<br />3.4 El inverso para la multiplicación de a∈R, a≠0 es 1a y es único<br />corolario: a,b∈R, a,b≠0 y ab=1⟹b=1a ó a=1b<br />3.5 El producto de cualquier número real y cero es cero<br />x∈R⟹x·0=0·x=0<br />3.6 El producto de dos números reales es cero si y sólo si el primer factor es cero o el segundo factor es cerox, y∈R,xy=0⟺x=0 ó y=0<br />3.7 Ley de cancelación para la sumax+z=y+z⟹x=y<br />3.8 Ley de cancelación para la multiplicación xz=yz, z≠0⟹x=y<br />3.9x=y⟹-x=-y<br />3.10x=y⟺1x=1y, x, y≠0<br />3.11 El inverso aditivo del cero es el mismo cero-0=0<br />3.12-ab=-(ab)<br />3.13 -a-b=ab<br />3.14-a+b=-a+(-b)<br />3.15a-b=a+-b=r<br />3.16ab-c=ab-ac<br />3.17ab=a1b=c, b≠0<br />3.18xy·zw=xzyw;y,w≠0corolario1x·1y=1xy<br />3.19xy=xzyz;y,z≠0<br />3.20ab=cd⟹ad=bc;b,d≠0<br />3.211ab=ba;a,b≠04.1aman=am+n<br />4.2(am)n=amn4.3 (ab)m=ambm<br />4.4aman=am-n4.5a+bc=ac+bc;c≠0<br />MATEMÁTICAS II<br />Leyes de los radicales<br />nbn=bnab=(ab)1n=a1nb1n=nanb<br />nab=nanb;b≠0mna=mna<br />Mayor que a>b⟺a-b∈P<br />Menor quea<b⟺b-a∈P<br />Valor absolutox∈R, x=<br />x si x>0<br />-x si x<0<br />x si x=0<br />a,c∈R;c>0a=c⟺a=c ó a=-c<br />a>c⟺a>c ó a<-c<br />a<c⟺-c<a<c<br />ExponentesPara todo a∈R, a≠0,a0=1<br />Para todo a∈R,a≠0,a-n=1an<br />Raíz enésiman∈N y an=b⟹a es la raíz enésima de b<br />Raíz principalb∈P;existe a|an=b; se representa nb=a<br />Raíz principal enésima<br />n∈N y nb=a⟺an=b y (n es par⟹a, b∈P)<br />x∈R y x>0⟺x∈P<br />x∈R y x<0⟺-x∈P<br />Media aritméticaa, b∈D⟹a+b2∈D<br />x1n=nx, x∈R, n∈N y si n es par ⟹x≥0<br />xmn=nxm=xxm, x∈R, mn∈D y si n es par ⟹x≥0<br />Una cantidad es igual a la razón por la base tomadaC=R*B<br />f:x⟹y; x⟹y; fx=y; (x, fx)<br />x, y=z, w⟺x=z y y=w <br />5.1 Tricotomíax,y∈R⟹x>y ó x=y ó x<y<br />5.2 Transitivox,y,z∈R,x>y y y>z⟹x>z<br />5.3 Aditivox,y,z∈R, x>y⟹x+z>y+z<br />5.4 Multiplicativox,y,z∈R, z>0 y x>y⟹xz>yz<br />5.1 a>b⟺-a<-b<br />5.2 Definición de mayor que a>b⟺a-b∈P<br />5.3 Definición de menor quea<b⟺b-a∈P<br />5.4 a>b y c<0⟹ac<bc<br />5.5 a>b y c>d⟹a+c>b+d<br />5.6 a,b,c,d>0, a>b y c>d⟹ac>bd<br />5.71>0Cololario: si x∈N⟹x∈P<br />5.8x,y∈E, y≠0; xy=0⟺x=0<br />5.9 w,x,y,z∈R; y,z>0; xy>wz⟺xz>wy<br />6.1 Leyes de los exponentes son los teoremas 4.1 a 4.4 (en este caso aplicados a exponentes fraccionarios) y además: (ab)n=anbn<br />MATEMÁTICAS III<br />Símbolos para conjuntos numéricos a partir de Matemáticas III:<br />R = números realesQ = números racionales<br />Q’ = números irracionalesW = números enteros no negativos<br />I = números enterosN = números naturales<br />C = números complejos<br />Números complejosC = {z|z=a, b;a, b∈R}<br />Números complejosC = {a+bi|a,b∈R}<br />Números imaginarios o complejos puros0,b=0+bi=bi<br />Conjugado de un número complejoz=a-bi<br />Ecuación lineal o de primer grado Ax+By+C=0<br />Función linealfx=mx+b;x∈R<br />Función constantefx=b;x∈R<br />Si x2-x1=1 entonces m=f(x2)-f(x1)<br />z=a+bi=a2+b2<br />Función cuadrática definida por la ecuación de segundo grado<br />fx=ax2+bx+c<br />Vértice de una parábola[-b2a, 4ac-b24a]<br />Fórmula generalx=-b±b2-4ac2a Discriminante b2-4ac<br />r1+r2=-bar1∙r2=ca<br />Igualdad de números complejos z1=z2⟺a1=a2 y b1=b2<br />Suma de números complejosz1+z2=(a1+a2, b1+b2)<br />Propiedad conmutativa en Cz1+z2=z2+z1<br />Propiedad asociativa en Cz1+z2+z3=z1+z2+z3<br />Multiplicación… z1∙z2=a1,b1∙a2,b2=(a1a2-b1b2, a1b2+b1a2)<br />Propiedad conmutativa…z1∙z2=z2∙z1<br />Identidad multiplicativa…(1, 0)<br />Inverso multiplicativo…(aa2+b2, -ba2+b2)<br />Cerraduraz1, z2∈C; z1+z2∈C; z1∙z2∈C<br />Propiedad distributivaz1z2+z3=z1z2+z1z3<br />Igualdad de números complejos<br />a1+b1i=a2+b2i⟺a1=a2 y b1=b2<br />Suma…a1+b1i+a2+b2i=a1+a2+b1+b2i<br />Multiplicación… a1+b1ia2+b2i=a1a2-b1b2+(a1b2+b1a2)i<br />7.2 Resta…z1-z2=a1-a2+(b1-b2)i<br />7.3 División…a1+b1ia2+b2i=a1a2+b1b2a22+b22+b1a2-a1b2a22+b22i<br />z∙z=a2+b2<br />z1z2=a1a2+b1b2a22+b22+a2b1-a1b2a22+b22i<br />x2=-1, ⟹ x=i ó x=-i ⟹-1=i ó--1=-i<br />7.1 Forma rectangular…a, b=a+b0,1<br />0, 1=i<br />i2=-1<br />13.11 Algoritmo de la división de funciones polinominales a=b∙q+r<br />14.11 Del residuoSi un polinomio f(x) se divide por un binomio de la forma x-c entonces el residuo es f(c)<br />14.12 Del factorUn polinomio fx tiene un factor x-c si y sólo si fc=0<br />14.13 Fundamental del álgebra<br />Toda ecuación polinomial fx=0 de grado mayor que cero, tiene al menos una raíz real o compleja<br />Toda ecuación polinomial de la forma<br />fx=anxn+an-1xn-1+…+a0=0, an≠0 tiene exactamente n raíces<br />MATEMÁTICAS IV<br />Circunferencia unitaria C=x,yx2+y2=1}<br />C=2π<br />Seno Pα=x,y⇒y=sinα; α∈R; -1≤y≤1<br />CosenoPα=x,y⇒x=cosα; α∈R; -1≤x≤1<br />Tangente Pα=x,y⇒tanα=yx=sinαcosα;x,cosα≠0<br />Cotangentecotα=xy=cosαsinα;y, sinα≠0<br />Secantesecα=1x=1cosα;x,cosα≠0<br />Cosecantecscα=1y=1sinα;y, sinα≠0<br />Para toda θ∈R y k∈I<br />sinθ+k2π=sinθ sec[θ+k2π]=secθ<br />cos[θ+k2π]=cosθcscθ+k2π=cscθ<br />tan(θ+kπ)=tanθcotθ+kπ=cotθ<br />Gráfica de la función y=sinθ<br /> Gráfica de la función y=cosθ<br />Identidades<br />Pitagóricassen2α+cos2α≡1<br />tan2α+1≡sec2α<br />1+cot2α≡csc2α<br />De cocientestanα≡sinαcosα<br />cotα≡cosαsinα<br />De recíprocossinαcscα≡1<br />cosαsecα≡1<br />tanαcotα≡1<br />Es posible expresar las seis funciones circulares en términos de una sola; ejemplo: en términos de secante<br />sinα ≡±sec2α-1secαcotα≡±1sec2α-1<br />cosα≡1secαsecα≡secα<br />tanα≡±sec2α-1cscα≡secαsec2α-1<br />Coseno de la diferencia de dos números<br />cosα-β≡cosαcosβ+sinαsinβ<br />Confunciones: Una función circular de un número real β es igual a su<br />cofunción de π2 menos el número β, ejemplo:<br /> cos(π2-β)≡sinβ<br />Funciones de (-β) en términos de β:<br />sin-β≡-sinβcos(-β)≡cosβ<br />tan(-β)≡-tanβcot-β≡-cotβ<br />sec(-β)≡secβcsc-β≡-cscβ<br />Funciones circulares de la suma de números reales<br />sinα+β≡sinαcosβ+cosαsinβ<br />cos(α+β)≡cosαcosβ-sinαsinβ<br />tan(α+β)≡tanα+tanβ1-tanαtanβ<br />Fórmulas de reducción<br />Recordar sin2kπ2=0 y cos2kπ2=(-1)k; k∈I<br />0<β<π2;sin[2kπ2+β]≡(-1)ksinβ<br />cos[2kπ2+β]≡(-1)kcosβ<br />sin[2k+1π2+β]≡(-1)kcosβ<br />cos[2k+1π2+β]≡(-1)k+1sinβ<br />Funciones circulares del doble de un número<br />sin2α≡2sinαcosα<br />cos2α≡cos2α-sin2α≡2cos2α-1≡1-2sin2α<br />tan2α≡2tanα1-tan2α<br />Funciones circulares de la mitad de un número en términos del número<br />sinα2≡±1-cosα2sinα≡±1-cos2α2<br />cosα2≡±1+cosα2cosα≡±1+cos2α2<br />tanα2≡1-cosαsinαtanα2≡sinα1+cosα<br />Representación de la función exponencial<br />f:x->bx; b>0, b≠1f:x->bax<br />Progresiones geométricas<br />An=a1 rn-1<br />Sn=a1-r an1-r;r≠1<br />Progresiones geométricas infinitas<br />r<1;An->0Sn=a11-r<br />Función logarítmica<br />a∈P, a≠1 y y∈P; y=logax⟺ay=x<br />logaMN=logaM+logaN<br />logaMN=logaM-logaN<br />logaMk=k logaM;k∈R<br />Interés compuesto<br />A=P1+rnA=P(1+rs)ns<br />Crecimiento natural<br />A=Pern<br />e=2.718281828459…<br />loge=0.4342944819033…<br />Logaritmo de un número respecto a cualquier base<br />logaN=logbNlogba<br />Logaritmo natural<br />ln es expresión equivalente de loge<br />Ángulo: unión de dos semirrectas con el mismo punto extremo<br />A las dos semirrectas se les llama lados del ángulo<br />Al punto extremo se le llama vértice<br />Posición normal de un ángulo: cuando su vértice coincide con el origen y su lado inicial con el sentido positivo de x<br />Revolución: número de vueltas que necesita dar el lado inicial para generar el ángulo<br />Ángulo en revolucioness2πr donde s es la longitud del arco circular<br />En dos circunferencias concéntricas de radios r y r'<br />s2πr=s2πr'<br />Sistema sexagesimal: su unidad de medida es el grado<br />Ángulo en grados = (número de revoluciones)(360º)<br />1º=60';1'=60"<br />Radiánángulo en radianes = (número de revoluciones)(2π)<br />1 revolución =360º=2π radianes<br />s=rβr=1⟹s=β<br />Ver figura 14.2<br />x=rcosβy=rsinβ<br />cosβ=xrsinβ=yrr≠0<br />r=x2+y2<br />Teorema de los senos<br />asinα=bsinβ=csinγ<br />En todo triángulo rectángulo ABC con γ=90º<br />sinα=ac cosα=bc <br />tanα=ab cotα=ba<br />secα=cb cscα=ca<br />Teorema de los cosenos<br />a2=b2+c2-2bccosα<br />b2=a2+c2-2accosβ<br />c2=a2+b2-2abcosγ<br />Teoremas de las tangentes, ejemplos<br />tan12(α-β)tan12(α+β)=a-ba+btan12(γ-α)tan12(γ+α)=c-ac+a<br />

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