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  • 1. UNIVERSIDAD FERMIN TORO FACULTAD DE INGENIERIA CATEDRA ESTRUCTURA DISCRETAS IPROPOSICIONES ALUMNA: Andrade Thalía C.I: 23.595.015 CABUDARE, NOVIEMBRE 2012
  • 2. Proposiciones Es un producto lógico del pensamiento que se expresa mediante el lenguaje, sea ésteun lenguaje común, cuando adopta la forma de oración gramatical, o simbólico, cuando seexpresa por medio de signos o símbolos. Los conectivos lógicos de una proposición Son elementos que sirven de enlace entre las proposiciones, para formar otra,denominada proposición molecular. 1. Conjunción (Se simboliza: " ∧ ", se lee: " y "). Se denota por: p∧q. P Q p∧q V V V V F F F F F F F F El valor de verdad para dos proposiciones p∧q , es verdadero un únicamente cuandoambas son verdaderas. En todos los demás casos son falsos. Ejemplo:Sean las proposiciones:p: 4 es menor que 7 (V)q: 4 es igual a 7 (F)La conjunción de ambas es:4 es menor que 7 y 4 es igual a 7Su valor de verdad según la tabla es V ∧ F = F
  • 3. 2. Disyunción inclusiva o débil (Se simboliza: “ v ”, se lee: “ O ” ). Se denota: p v q. P q pvq V V V V F V F F V F F F El valor de verdad para ambas proposiciones p v q, es falsa únicamente cuandoambas son falsas. En todos los demás casos es verdadero.Ejemplo:Sean las proposiciones:p: 5 es menor que 7 (V)q: 5 es igual a 7 (F)La disyunción de ambas son:5 es menor que 7 o 5 es igual a 7Su valor de verdad según la tabla es V v F= V 3. Disyunción exclusiva o fuerte (Se simboliza: “ ”, se lee: “ O...O... ” ). Se denota: p q. P q p q V V F V F V F F V F F F
  • 4. El valor de verdad para dos proposiciones p q, es falsa cuando ambas son falsaso ambas son verdaderas. En todos los demás casos es verdadero.Ejemplo:Sean las proposiciones:p: Me llevas al cine (V)q: Me llevas a bailar (F)La disyunción exclusiva es:O me llevas al cine o me llevas a bailarSu valor de verdad según la tabla es V F=V 4. Implicación o Condicional: (Se simboliza “ ” , se lee “si… entonces…”) P q p q V V V V F F F F V F F V El valor de verdad para dos proposiciones p q, es falso únicamente cuando elantecedente “p” es verdadero y el consecuente “q” es falso. En todos los demás casos esverdadero.Ejemplo:Sean las proposiciones:p: 2 es menor que 5 (V)q:2 es igual a 5 (F)La implicación es:Si 2 es menor que 5 entonces, 2 es igual a 5
  • 5. Su valor de verdad según la tabla es V F=F 5. Bicondicional ( Se simboliza: “ ”, se lee: “ Si y sólo si ” ). Se denota “ p q ” y se lee: “ p si y sólo si q ”. P Q p q V V V V F F F F F F F V El valor verdad para dos proposiciones p q, es verdad únicamente cuando “p” y“q” son ambas verdaderas o ambas falsas. En el resto de los casos es falsa.Ejemplo:Sean las proposiciones:p: 4 es menor que 7 (V)q: 4 es igual que 7 (F)La bicondicional es:Si 4 es menor que 7, si y solo si, 4 es igual a 7 Formas proposicionales Se denominan formas proposicionales a las estructuras constituidas por variablesproposicionales y los operadores lógicos que las relacionan.Estas formas proposicionales se representan con las letras mayúsculas del alfabeto españolA, B, C..Una de las propiedades de la forma de expresión matemática, es la de representar losobjetos, las imágenes mentales, los vínculos y las relaciones mediante símbolos (signos), ycombinarlos entre sí.-Una constante es un signo que tiene una determinada significación fija. Es decir; unaconstante tiene, en todo el desarrollo de una investigación o en la solución de una tarea,
  • 6. siempre la misma significación.-Una variable es un signo que representa cualquier elemento de un dominio básicopreviamente establecido. Esto quiere decir que una variable se puede sustituir por el signode cualquier elemento del dominio básico. Entonces se habla de la sustitución de lavariable, o de la interpretación de la variable.Por término entendemos las constantes, las variables y sus combinaciones mediante lossignos de operación y los signos técnicos. Los términos son, por tanto, las denominacionesde los objetos matemáticos o las combinaciones de signos donde se presentan variables,constantes y signos de operaciones, y que mediante la interpretación de las variables seomiten en las designaciones de los objetos matemáticos. El objeto matemático, identificadocomo un término, y en cuya denominación se omite este calificativo después de lainterpretación de las variables, se conoce como valor del término. Leyes de Algebra Las leyes de la algebra de proposiciones son equivalencias lógicas que se puedendemostrar con el desarrollo de las tablas de verdad del bicondicional. Las leyes del algebrade proposiciones son las siguientes:1. EQUIVALENCIAP⇔P2. INDEPOTENCIAP∧P ⇔PP∨ P ⇔P3. ASOCIATIVAP∨Q ∨R ⇔ (P∨Q) ∨R ⇔ P∨(Q∨R)P∧Q ∧R ⇔ (P∧Q) ∧R ⇔ P∧(Q∧R)4. CONMUTATIVAP∧Q⇔ Q∧PP∨Q⇔ Q∨P5. DISTRIBUTIVASP∧(Q∨R)⇔ (P∧Q)∨(P∧R)
  • 7. P∨(Q∧R)⇔(P∨Q)∧(P∨R)6. IDENTIDADP∧F ⇔ FP∧V⇔ PP∨F⇔ PP∨V⇔V7. COMPLEMENTOP∧¬P⇔FP∨¬P⇔V¬(¬P)⇔P¬F⇔V¬V⇔F8. DE MORGAN ¬(P∧Q)⇔ ¬P∨¬Q ¬(P∨Q)⇔¬P∧¬Q9. ABSORCIONP∧(P∨Q)⇔PP∨(P∧Q)⇔p Métodos de demostración en Matemática e IngenieríaUn método de demostración es un esquema argumentativo válido con fundamento lógicono perteneciente en si a la matemática sino como elemento propio de una metateoría. Lavalidez de la argumentación radica en la veracidad de las hipótesis consideradas paradeducir una conclusión.Método directo de demostraciónEn el método de demostración directa se tiene como hipótesis verdaderas las proposicionesH1 y H2 y… y Hn procediendo a la deducción de que la conclusión Q es verdadera a
  • 8. través de un proceso lógico deductivo, es decir como una cadena de implicaciones lógicas.El esquema de demostración en el método directo es de la forma: Si H1 y H2 y … y Hn entonces Qen forma simbólica:H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn → QEl método de demostración directo tiene como fundamento lógico la regla de inferenciaclásica o esquema argumentativo válido llamado: Modus Ponens [ P∧ (P→Q) ] →Q Modus Ponensque significa: si la hipótesis P es verdadera y la hipótesis P implica la conclusión Qentonces la conclusión Q es verdadera.Métodos de demostración indirectos:El método de demostración directa no siempre es aplicable debido a la naturaleza de lasproposiciones a demostrar, por lo que es necesario realizar una demostración indirecta lascuales son ampliamente usadas en matemáticas.Método de demostración por reducción al absurdoSe atribuye al filósofo griego Zenón de Elea, alrededor del siglo V a.C., la invención delmétodo de reducción al absurdo que utilizaba en sus argumentos y en sus famosasparadojas, desde entonces es un método ampliamente aplicado en matemáticas.El procedimiento general para demostrar indirectamente por reducción al absurdo unaproposición de la forma (H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn )↔ Q consiste en:1) Negar la conclusión Q utilizando las leyes de la lógica, la negación de Q es denota por¬Q que se lee “no Q” 2) El conjunto de hipótesis ahora es de la forma H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ∧¬Q, es decir que ¬Qse añade como una hipótesis 3) Del conjunto de hipótesis enunciadas en H1 ∧ H2 ∧ … ∧ Hn ∧ ¬¬¬Q →→→ C, esdecir que el conjunto de hipótesis 4) obtener una contradicción evidente, una contradicción es una proposición que siemprees falsa y es denotada por C, en forma simbólica:{H1, H2, … ,Hn,¬Q} es inconsistente o contradictorio.
  • 9. R4) entonces Q es verdadera por la obtención de una contradicción al suponer verdaderala negación de QAristóteles fundamento lógicamente la demostración por reducción al absurdo en dosprincipios: principio de no contradicción ¬(p∧ ¬q) considerada ley suprema de la lógicasegún Kant y Aristóteles, que significa que una proposición no es verdadera y falsasimultáneamente y el principio del tercero excluido (p∨ ¬p) que significa que unaproposición es verdadera o falsa. Si no son aceptados los principios anteriores, el métodode reducción al absurdo carece de fundamento lógico.El fundamento lógico del método de reducción al absurdo es la equivalencia lógicallamada precisamente reducción al absurdo:(P→Q)↔[(P ∧ ¬Q)→C]Método de demostración por el contrario positivaEl método de demostración por el contrario positiva es un método indirecto que tiene comofundamento la equivalencia lógica(P→Q)↔(¬Q→¬P)Para realizar una demostración por el contrario positiva se toma como hipótesis la negaciónde la conclusión escrita como ¬Q para obtener como conclusión la negación de la hipótesisescrita como ¬P. El esquema argumentativo de la deducción por el contrario positiva es dela forma: ¬Q _¬Q→¬P_ ¬P Circuitos lógicos Un circuito es un sistema físico compuesto por varios cables conductoresconectados entre si por conectores (o circuito lógico elemental o atómico) de diferente tipo.
  • 10. Conexión en serie, la cual se representa como p ∧ qConexión en paralelo se representa como p v q