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Número aureo.3.12 Número aureo.3.12 Document Transcript

  • E.S.T. 118Investigación de…El Numero ÁureoY La Serie DeFibonacciAlumna: Mendoza Calixto Lucero AlineProf.: Luis Miguel Villareal MatíasGrupo: 3° CMATEMATICASCiclo Escolar: 2012-2013
  • ÍndiceIntroducción 3Número Áureo 4Serie de Fibonacci 12Relación entre el Número Áureo 15Y la Serie de FibonacciActividad 16Conclusión 17Fuente 17
  • IntroducciónA lo largo de los años se han descubierto diferentes números misteriosos, ya quecoinciden con diferentes cálculos; muchos artistas se han basado en estosnúmeros y cálculos para hacer sus obras de arte de una forma estupendaponiéndole más detalles aun de los que su obra ya tiene. Tambien algunos de estosnúmeros tienen relación entre sí, ya que al hacer su serie o procedimiento nosencontramos con otros números misteriosos tal y como es el caos del numeroáureo y la serie de Fibonacci.
  • Número ÁureoTambién conocido como proporción aurea el número áureo esEl número áureo es un numero con muchas propiedades la relación o proporciónque guardan entre sí dos segmentos de rectas, así como entre dos cuerpos. Fuedescubierto en la antigüedad, y puede encontrarse no solo en figuras geométricas,sino también en la naturaleza. En diversas ocasiones se le atribuye un carácterestético especial a los objetos que contienen este número, y es posible encontraresta relación en diversas obras de la arquitectura u el arte. Este número y/oproporción se utilizó mucho en el arte del Renacimiento, pues se consideraba unaproporción perfecta entre los lados de un rectánguloLeonardo Da Vinci dio por primera vez el nombre de sectio áurea.Así puesLeonardo, en su cuadro de la Gioconda utilizó rectángulos áureos para plasmar elrostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro,empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo Pitagoras La estrella pentagonal o pentágono estrellado era, según latradición, el símbolo de los seguidores de Pitágoras. Los pitagóricos pensaban queel mundo estaba configurado según un orden numérico, donde sólo tenían cabidalos números fraccionarios. La casualidad hizo que en su propio símbolo seencontrara un número raro: el número de oro.
  • Por ejemplo, la relación entre la diagonal del pentágono y sulado es el número de oro. También podemos comprobar que los segmentos QN, NP y QP están en proporción áurea.
  • El rectángulo áureo También existe rectángulo áureo para el cual primero se dibuja un cuadrado yse marca el punto medio de uno de sus lados, se unen con uno de los vértices dellado opuesto y se lleva esa instancia sobre el lado inicial y así se obtiene el ladomayor del. Si el lado del cuadrado vale 2 unidades, se ve que lado mayor del rectángulovale por lo que la proporción entre los dos lados es (nuestronúmero de oro). Obtenemos así un rectángulo en que los lados están en proporción áurea. Apartir de este rectángulo podemos construir otros semejantes que, se hanutilizando en arquitectura y diseño. Una propiedad importante de los triángulosáureos es que cuando se colocan dos iguales como indica la figura, la diagonal ABpasa por el vértice C.
  • El número de áureo en el arte, el diseño y la naturaleza El número áureo aparece, en edificios, esculturas, objetos, partes de nuestrocuerpo, ... Un ejemplo de rectángulo áureo en el arte es el alzado del Partenón griego. En la figura se puede comprobar que AB/CD= . Hay más cocientes entre susmedidas que dan el número áureo, por ejemplo: AC/AD= y CD/CA= . Hay un precedente a la culturagriega donde también apareció el número de oro. En La Gran Pirámide de Keops,el cociente entre la altura de uno de los tres triángulos que forman la pirámide yel lado es 2 .
  • Ejemplos de rectángulos áureos los podemos encontraren las tarjetas de crédito. Unas proporciones armoniosas para el cuerpo, que estudiaron antes los griegosy romanos, las plasmó en este dibujo Leonardo da Vinci. Sirvió para ilustrar ellibro La Divina Proporción de Luca Pacioli editado en 1509. Pacioli propone un hombre perfecto en el que las relaciones entre las distintaspartes de su cuerpo sean proporciones áureas. Estirando manos y pies y haciendocentro en el ombligo se dibuja la circunferencia. El cuadrado tiene por lado laaltura del cuerpo que coincide, en un cuerpo armonioso, con la longitud entre losextremos de los dedos de ambas manos cuando los brazos están extendidos yformando un ángulo de 90º con el tronco. Resulta que el cociente entre la alturadel hombre (lado del cuadrado) y la distancia del ombligo a la punta de la mano(radio de la circunferencia) es el número áureo.
  • Leonardo Da Vinci dio por primera vez el nombre de sectio áurea.Así puesLeonardo, en su cuadro de la Gioconda utilizó rectángulos áureos para plasmar elrostro de Mona Lisa. Se pueden localizar muchos detalles de su rostro,empezando porque el mismo rostro se encuadra en un rectángulo áureo La proporción áurea está muy presente en el mundo vegetal. La filotaxisestudia la disposición de las hojas de una planta sobre el tallo. Esta disposiciónnunca es arbitraria, sigue siempre un orden y unos patrones determinados paraque la planta aproveche al máximo el oxígeno, la luz y las sales minerales.
  • La espiral logarítmica Si tomamos un rectángulo áureo ABCD y le sustraemos el cuadrado AEFDcuyo lado es el lado menor AD del rectángulo, resulta que el rectángulo EBCF esáureo. Si después a éste le quitamos el cuadrado EBGH, el rectángulo resultanteHGCF también es áureo. Este proceso se puede reproducir indefinidamente,obteniéndose una sucesión de rectángulos áureos encajados que convergen haciael vértice O de una espiral logarítmica. Se le llama también espiral geométrica el radio vector crece en progresióngeométrica mientras el ángulo polar decrece en progresión aritmética.
  • Serie de FibonacciFibonacci , explicó el desarrollo de fenómenos naturales de crecimiento a travésde su conocida secuencia numérica.Esta secuencia es una ley que explica el desarrollo de fenómenos naturales decrecimiento, y se genera sumando dos números consecutivos para obtener elsiguiente.f1 = f2 = 1fn = fn - 1 + fn - 2 para n >= 3La serie Fibonacci resultante es: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,987, etc.…Fibonacci demostró que esa secuencia puede manifestarse en la evolución de unfenómeno de la Naturaleza, puesto que la solución a un problema matemáticobasado en el proceso de reproducción de una pareja de conejos así loconfirmaba.El problema consistía en determinar cuántos conejos se pueden obtener a partirde una pareja durante un año, sabiendo que:a) La pareja inicial puede procrear desde el primer mes, pero las parejas siguientessólo podrán hacerlo a partir del segundo mes.b) Cada parto es de dos conejos.Si se supone que ninguno de los conejos muere, el proceso sería el siguiente:1. El mes nacerían un par de conejos, con lo cual ya habría un par de parejas.2. Durante el segundo mes, el par de conejos inicial, produciría otra pareja, con loque ya sumarían tres pares.3. A lo largo del tercer mes, la pareja original y la primera pareja nacidaproducirían nuevas parejas, es decir ya existirían cinco parejas
  • Sin embargo, la utilidad que proporciona esta serie radica en sus propiedadesfundamentales, descubiertas en el siglo XVIII:1. Si se dividen los números que son consecutivos de la serie, es decir, 1/1, 1/2, 2/3,3/5, 5/8, 8/13, etc. Se verá que el resultado obtenido tiende al número 0.618.2. Si se dividen los números no consecutivos de la serie, es decir, ½, 1/3, 2/5, 3/8,5/13, 8/21, etc. Se observará que el resultado obtenido tiende al número 0.382.3. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente númeromás bajo, es decir, 21/13, 13/8, 8/5... el resultado tiende a 1.618, que es el inverso de0.618.4. Si se calcula ahora la razón de cualquier número de la serie al siguiente númeromás bajo no consecutivo, es decir, 21/8, 13/5, 8/3... el resultado tiende a 2.618, quees el inverso de 0.382.Por ej.; 144 / 233 = 0,618 144/89= 1.6179La divergencia entre el resultado de estos cocientes y 0,618 ó 1,618, es mayorcuanto más pequeño son los números de la serie utilizados.
  • Relación entre la serie de Fibonacci y el Numero ÁureoEn la serie de Fibonacci La proporción 1,618, ó su inversa 0,618, fuerondenominadas por los antiguos griegos “razón áurea” o “media áurea”, y serepresenta con la letra griega phi, que hace referencia al autor griego Phidias.Chirstopher Carolan, menciona que Phidias, autor de las estatuas de Atenas en elPartenón y de Zeus en Olimpia, considero determinante el papel del número phien el Arte y la Naturaleza.Este ratio cuyo inverso es él mismo más la unidad, caracteriza a todas lasprogresiones de este tipo, sea cual sea el número inicial.
  • ActividadRectángulo de la espiral aurea
  • ConclusiónLa serie de fibonacci como el número áureo tiene una relaciónextraordinariamente exacta, lo cual es increíble tanto como usar el numero áureoen las obras de arte y construcciones antiguas de artistas sumamente dedicados,pero también es un gran misterio como los egipcios ya utilizaban dicho numero. Fuente http://www.abc.es/20100415/ciencia-tecnologia-matematicas/numero-aureo-belleza-matematica-201004151848.html http://rt000z8y.eresmas.net/El%20numero%20de%20oro.htm http://www.google.com.mx/search?hl=es&q=numero+aureo+en+la+naturaleza+y+en+la+mona+lisa&bav=on.2,or.r_gc.r_pw.r_qf.&bpcl=35466521&biw=1366&bih=667&um=1&ie=UTF-8&tbm=isch&source=og&sa=N&tab=wi&ei=8_yFUJrmFpPo2gXb24H4Bw http://www.muchapasta.com/forex/forex,Indicadores%20marketiva%202.phphttp://www.neoteo.com/la-sucesion-de-fibonacci-en-la-naturaleza