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ÍNDICE.Introducción. _____________________________________________________ 3El número Áureo o Proporción Áurea. __________...
Introducción.Los griegos pensaban que el Número Áureo Proporción Áurea era la proporciónideal en la debían estar los lados...
El número Áureo o Proporción Áurea.Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) queposee mu...
La solución positiva de la ecuación de segundo grado es:                     Que es el valor del número áureo, equivalente...
En el videojuego de Assassins Creed II, en uno de los acertijos de los glifos, sedebe usar la sucesión de Fibonacci para p...
Relación del número Áureo con la naturaleza y otras aplicaciones.La disposición de los pétalos de las flores (el papel del...
La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o     inflorescencias. Estos números son elementos d...
En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa)       se relaciona con el número áur...
El número áureo              es la unidad fundamental «ε» del cuerpoyla sección áurea         es su inversa, «   ». En est...
El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares yen los pentagramas. Cada intersección de partes...
Actividad: Hacer el trazo de el rectángulo o triángulo y dentro de este la espiral áurea.                                 ...
Conclusión.En mi opinión El Número Áureo o Proporción Áurea es muy interesante ya que enella se basaron nuestros antepasad...
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Número aureo. 3.12

  1. 1. Escuela Secundaria Técnica No. 118Alumna: Vianey Vignaud Buendía.Profesor: Luis Miguel Villarreal MatíasMateria: Matemáticas 3 “El Número Áureo o Proporción Áurea y La serie de Fibonacci”Grado y Grupo: 3 “C” Fecha de entrega: 25/10/2012 1
  2. 2. ÍNDICE.Introducción. _____________________________________________________ 3El número Áureo o Proporción Áurea. _________________________________ 4La Serie de Fibonacci. _____________________________________________ 5Relación del Número Áureo o Proporción Áurea con la Serie de Fibonacci.____ 6Relación del número Áureo con la naturaleza y otras aplicaciones. ___________ 7Actividad. _______________________________________________________ 11Actividad: Hacer el trazo de el rectángulo o triángulo y dentro de este la espiral áurea._ 12Conclusión. _____________________________________________________ 13Bibliografía. _____________________________________________________ 13 2
  3. 3. Introducción.Los griegos pensaban que el Número Áureo Proporción Áurea era la proporciónideal en la debían estar los lados de un rectángulo para que fuese más bello al ojohumano.El valor numérico de la razón dorada o proporción Áurea es:Este resultado es un número irracional.La Proporción Áurea aparece en muchas formas de la naturaleza, por ejemplo envarios tipos de conchas, en el acomodo de semillas de girasol o de los pinos.La Serie de Fibonacci fue descubierta por Leonardo de Pisa, italiano del siglo XlI,conocido como Fibonacci, la creo pensando en la reproducción de los conejos.La serie empieza con dos unos, y cualquier término de la serie se obtiene desumar los dos anteriores.1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ….Esta serie aparece a menudo en la naturaleza, en el crecimiento y la ramificaciónde muchas plantas. 3
  4. 4. El número Áureo o Proporción Áurea.Se trata de un número algebraico irracional (decimal infinito no periódico) queposee muchas propiedades interesantes y que fue descubierto en la antigüedad,no como “unidad” sino como relación o proporción entre segmentos de rectas.Esta proporción se encuentra tanto en algunas figuras geométricas como en lanaturaleza. Puede hallarse en elementos geométricos, en las nervaduras de lashojas de algunos árboles, en el grosor de las ramas, en el caparazón de uncaracol, en los flósculos de los girasoles, etc.El número áureo es el valor numérico de la proporción que guardan entre sídos segmentos de recta a y b que cumplen la siguiente relación: El segmento menor es b. El cociente es el valor del número áureo: φ. Surge al plantear el problema geométrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre el mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del mayor entre la del menor. Cálculo del valor del número áureo Dos números a y b están en proporción áurea si se cumple: Si al número menor (b) le asignamos el valor 1, la igualdad será: Multiplicando ambos miembros por a, obtenemos: Igualamos a cero: 4
  5. 5. La solución positiva de la ecuación de segundo grado es: Que es el valor del número áureo, equivalente a la relación .Euclides demostró que este número no puede ser descrito como la razón de dosnúmeros enteros, es decir, es un número irracional. La Serie de Fibonacci.En matemática, la sucesión de Fibonacci (a veces mal llamada serie de Fibonacci)es la siguiente sucesión infinita de números naturales: La sucesión inicia con 0, y a partir de ahí cada elemento, es la suma de los dos anteriores (0,1,1,2,3,5,8...) A cada elemento de esta sucesión se le llama número de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemáticas y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en la flora de la alcachofa y en el arreglo de un cono. Algunas aplicaciones de la Serie de Fibonacci.En el álbum Lateralus de la banda estadounidenseTool, los patrones de la batería(Danny Carey) de la canción "Lateralus" siguen la Sucesión de Fibonacci delnúmero 13 (número de pistas del disco): 1,1,2,3,5,8,13,1,1,2,3,5,8,13,1,1,... 5
  6. 6. En el videojuego de Assassins Creed II, en uno de los acertijos de los glifos, sedebe usar la sucesión de Fibonacci para poder resolverlo.En la miniserie Taken, la Sucesión de Fibonacci, como la Ecuación de Dios, esdescubierta en los planes de los extraterrestres, en ejemplos como que sus navestienen 5 tripulantes, sus manos 3 dedos y un pulgar, 1597 avistamientos ovnis enaño anterior, se siguieron a 55 parejas para descubrir la híbrida humano-extraterrestre Allie, y que finalmente el número de abducidos era de 46368.Incidentalmente se habla en de un hombre que fue abducido 13 veces. 1, 3, 5, 13,55, 1597, 46368, todos números Fibonacci. Relación del Número Áureo o Proporción Áurea con la Serie de Fibonacci.Si se denota el enésimo número de Fibonacci como Fn, y al siguiente número deFibonacci, como Fn + 1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razónoscila, y es alternativamente menor y mayor que la razón áurea. Podemos tambiénnotar que la fracción continua que describe al número áureo produce siemprenúmeros de Fibonacci a medida que aumenta el número de unos en la fracción.Por ejemplo: ; ;y , lo que se acercaconsiderablemente al número áureo. Entonces se tiene que: 6
  7. 7. Relación del número Áureo con la naturaleza y otras aplicaciones.La disposición de los pétalos de las flores (el papel del número áureo en la botánica recibe el nombre de Ley de Ludwig) 7
  8. 8. La cantidad de espirales de una piña (ocho y trece espirales), flores o inflorescencias. Estos números son elementos de la sucesión de Fibonacci y el cociente de dos elementos consecutivos tiende al número áureo.La relación entre la distancia entre las espiras del interior espiralado de cualquier caracol o de cefalópodos como el nautilus. Hay por lo menos tres espirales logarítmicas más o menos asimilables a proporciones aúreas. La primera de ellas se caracteriza por la relación constante igual al número áureo entre los radiovectores de puntos situados en dos evolutas consecutivas en una misma dirección y sentido. Las conchas del Fusus antiquus, del Murex, de Scalaria pretiosa, de Facelaria y de Solarium trochleare, entre otras, siguen este tipo de espiral de crecimiento.Relaciones en la forma de la Gran Pirámide de Gizeh. La afirmación de Heródoto de que el cuadrado de la altura es igual a la superficie de una cara es posible únicamente si la semi-sección meridiana de la pirámide es proporcional al triángulo rectángulo. 8
  9. 9. En los violines, la ubicación de las efes o eses (los “oídos” u orificios en la tapa) se relaciona con el número áureo. Otras aplicaciones.Ángulo de oro 9
  10. 10. El número áureo es la unidad fundamental «ε» del cuerpoyla sección áurea es su inversa, « ». En esta extensión el«Emblemático» número irracional cumple las siguientes igualdades: .En 1994 se obtuvieron las siguientes ecuaciones relacionando al número áureocon el número de la Bestia: Lo que puede combinarse en la expresión: Sin embargo, hay que notar que estas ecuaciones dependen de que se elijan los grados sexagesimales como unidad angular, ya que las ecuaciones no se mantienen para unidades diferentes.El número áureo y la sección áurea están presentes en todos los objetosgeométricos regulares o semiregulares en los que haya simetría pentagonal,que sean pentágonos o que aparezca de alguna manera la raíz cuadrada decinco. 10
  11. 11. El número áureo tiene un papel muy importante en los pentágonos regulares yen los pentagramas. Cada intersección de partes de un segmento intersecta aotro segmento en una razón áurea. Actividad. Relaciona las columnas.1. Sucesión en la cual cada Liber Abacitérmino es la suma de los dostérminos anteriores.2. Nombre real de Fibonacci Conejo3. Libro más importante de MercadotecniaFibonacci, fundamental en laformación de mercaderes ycomerciantes.4. ¿La serie de Fibonacci es Noinfinita?5. Animal que ejemplifica la serie Conchas, en el acomodo de semillas de floresde Fibonacci como el girasol, el pino, etc.6. ¿Qué sucede en la sucesión de Arte, arquitectura y en la naturalezaFibonacci?7. El rectángulo dorado es usado Positivahoy en día con fines de…8. Los patrones matemáticos Sucesión de Fibonaccicoinciden muchas veces, conpatrones que existen en el…9. Es la proporción ideal en la que Sideben estar los lados de unrectángulo para ser mas bello alojo humano10. ¿El valor numérico de la razón Suma de los 10 primeros términos de ladorada es aproximadamente sucesión será 11 veces el séptimo término1.6180339 y es un númeroracional?11. En la ecuación para el cálculo Leonardo de Pisade la proporción áurea la solución_____ es la correcta.12. La proporción áurea, el Proporción áurea ó razón doradarectángulo dorado y la espirallogarítmica aparecen en lasformas de la naturaleza comoen… 11
  12. 12. Actividad: Hacer el trazo de el rectángulo o triángulo y dentro de este la espiral áurea. 12
  13. 13. Conclusión.En mi opinión El Número Áureo o Proporción Áurea es muy interesante ya que enella se basaron nuestros antepasados y tambien nuestros arquitectos de hoy endia para hacer edificios artísticos que llaman la atención por su magníficaestructura como por ejemplo el Frontón del Partenón y es más interesante saberque este número también lo observamos en las cocnchas de mar en los caracoles,en las frutas como la piña y en las semillas de girasol.Tiene mucha relación con la naturaleza y es demasiado importante.En cuanto a la serie de Fibonacci sus términos consecutivos se van aproximando al valor delnúmero áureo. Osea que ambos estan relacionados entre si.Bibliografia. Kolman, Bernard; Hill, David R. (2006). Álgebra Lineal. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0696-9. Johnsonbaugh, Richard (2005). Matemáticas Discretas. México: PEARSON EDUCACIÓN. ISBN 970-26-0637-3. Brassard, G; Bratley, P. (1997). Fundamentos de Algoritmia. Madrid: PRETINCE HALL. ISBN 84-89660-00-X. Kenneth, H. Rosen (2003). Discrete mathematics and its applications. McGraw Hill. ISBN 0-07-123374-1. Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (1999). Handbook of discrete and combinatorial mathematics. CRC. ISBN 0-8493-0149-1. N. N. Vorobiov (1974). Números de Fibonacci. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega, catedrático de Matemáticas Superiores y candidato a doctor en ciencias físico- matemáticas. A. I. Markushevich (1974; 1981). Sucesiones recurrentes. Editorial Mir, Moscú, Colección Lecciones Populares de Matemáticas. Traducción al español de Carlos Vega. Luca Pacioli (1946). La Divina Proporción. Editorial Losada, Buenos Aires. 13
  14. 14. 14

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