Problemas complementarios TE

1. Problemas
Complementarios
28-03-2014

2. Problema 1
 Si la estrella del Norte o Polaris se apagara hoy, ?en que
año desaparecería de nuestra visión? La distancia
desde la Tierra a Polaris es alrededor de 6.44 × 1018푚

3. Problema 1
Solución
 Datos: distancia = 6.44 × 1018푚; 푇 =?
 Sabemos que: 휆 ∙ 푓 = 푐 =
1
푇
=
푑
푇
 ⟹ 푇 =
푑
퐶
=
6.44×1018푚
3×108 푚/푠
×
1푎ñ표
365푑푖푎푠
×
1푑í푎
24ℎ
×
1ℎ
3600푠
 Por lo tanto: 푇 = 680푎ñ표푠
 En consecuencia: La estrella desaparecería de nuestra
visión en el 2680.

4. Problema 2
 La rapidez de una onda electromagnética que viaja en
una sustancia transparente no magnética es 푣 =
1
푘∙휖∙휇0
,
donde 푘 es la constante dieléctrica de la sustancia.
 Determine la rapidez de la luz en el agua, la cual tiene
una constante dieléctrica a frecuencias ópticas de 1.78.

5. Problema 2
 Solución
 Por dato 푣 =
1
푘∙휖∙휇0
(푝푎푟푎 푢푛푎 푠푢푠푡푎푛푐푖푎 푡푟푎푛푠푝푎푟푒푛푡푒)
 Nos piden: 푣푒푛 푒푙 푎푔푢푎 =? 푠푖 푘 = 1.78
 Sabemos que por condición se cumple
 푣 =
1
1.78 4휋×10−7 8.85×10−12

6. Problema 2
 Solución
 ∴ 푉푒푛 푒푙 푎푔푢푎 = 2.25 × 108 푚/푠

7. Problema 3
 Una onda electromagnética en el vacío tiene una
amplitud de campo eléctrico de 220 V/m. Calcule la
amplitud del campo magnético correspondiente.

8. Problema 3
 Solución
 Datos: 퐸푚á푥 =
220푉
푚
; 퐵푚á푥 =?
 Sabemos que en una onda electromagnética se
cumple que:
 퐸푚á푥
퐵푚á푥
= 푐

9. Problema 3
 Solución
 ⟹ 퐵푚á푥 =
퐸푚á푥
푐
=
220
3×108 ∴ 퐵푚á푥 = 733 × 10−9푇 = 733푛푇

10. Problema 4
 Calcule el valor máximo del campo magnético de una
onda electromagnética en un medio donde la rapidez
de la luz es de dos tercios de la rapidez de la luz en el
vacío, y donde la amplitud del campo eléctrico es de
7.60 mV/m

11. Problema 4
 Solución
 Datos: 퐸 푚á푥 = 7.60 ×
10−3푉
푚
; donde: 푐푚푒푑푖표 =
2
3
푐푣푎푐í표
 Sabemos que en una onda electromagnética se cumple que:
 퐸푚á푥
퐵푚á푥
= 푐푚푒푑푖표 =
2
3
푐푣푎푐푖표 ⟹ 퐵푚á푥 =
3퐸푚á푥
2푐푣푎푐í표
=
3× 7.6×10−3
2× 3×108
 퐵푚á푥 = 38 × 10−12푇 ≅ 38푝푇

12. Problema 5
 La figura muestra una onda sinusoidal electromagnética
plana que se propaga en lo que se eligió como la dirección
de 푥. Suponga que la longitud de onda es 50m y el campo
vibra en el plano 푥푦 con una amplitud de 22V/m. Calcule a)
la frecuencia de la onda y b) la magnitud y dirección de B
cuando el campo tiene su valor máximo en la dirección 푧
negativa. C) Escriba una expresión para B en la forma 퐵 =
퐵푚푎푥푐표푠 푘푥 − 휔푡

13. Problema 5
 Con valores numéricos para 퐵푚푎푥 , 푘 푦 휔
푧
푦
푥
퐸 =
22푉
푚
푗
휆 = 50m
퐵 =?

14. Problema 5
 Solución
 Inciso a
 Sabemos que: 휆 ∙ 푓 = 푐 ⇒ 퐹 =
푐
휆
=
3×108
50
 ∴ 푓 = 6 × 106퐻푧 = 6푀퐻푧

15. Problema 5
 Solución
 Inciso b
 Sabemos que:
퐸푚푎푥
퐵푚푎푥
= 푐 ⇒ 퐵푚푎푥 =
퐸푚푎푥
푐
=
22푉/푚
3×108
 ∴ 퐵푚푎푥 = 73.3 × 10−9푇 = 73.3푛푇 (−푘)

16. Problema 5
 Solución
 Inciso c
 Sabemos que: 휔 = 2휋 × 푓 = 2휋 × 106 = 12휋 × 106푟푎푑/푠
 휔 = 3.77 × 107푠−1
 Además:
휔
푘
= 푐 ⟹ 푘 =
3×108
12휋×106 = 0.126

17. Problema 5
 Solución
 Inciso c
 Entonces: 퐵 푥, 푡 = −73.3푁푇푐표푠 0.126 − 3.77 × 107푡 푘

18. Problema 6
 Escriba expresiones para los campos eléctrico y
magnético de una onda electromagnética plana
sinusoidal que tiene frecuencia de 3퐺퐻푧 y viaja en la
dirección 푥 positiva. La amplitud del campo eléctrico es
300 V/m

19. Problema 6
 Solución
 Datos: 푓 = 3 × 109퐻푧 퐸푚푎푥 = 300푉/푚
 Sabemos que las expresiones para una ecuación de
onda están dadas por:
 퐵 푥, 푡 = 퐵푚푎푥 ∙ 푐표푠 푘푥 − 휔푡
 퐸 푥, 푡 = 퐸푚푎푥 ∙ 푐표푠 푘푥 − 휔푡

20. Problema 6
 Solución
 Donde: 퐵푚푎푥 =
퐸푚푎푥
퐶
=
3×102
3×108 = 1 × 10−6푇
 휔 = 2휋푓 = 2 3.1416 3 × 109 = 18.85 × 10−9푠−1
 푘 =
휔
푐
=
18.85×109
3×108 = 62.8

21. Problema 6
 Solución
 퐵 푥, 푡 = 1휇푇 푐표푠 62.8푥 − 18.85 × 109푡
 퐸 푥, 푡 = 300푉/푚 푐표푠 62.8푥 − 18.85 × 109푡

22. Problema 7
 Verifique por sustitución que las siguientes ecuaciones
 Respectivamente
 퐸 = 퐸푚푎푥푐표푠 푘푥 − 휔푡
 퐵 = 퐵푚푎푥푐표푠 푘푥 − 휔푡
 son soluciones para las ecuaciones
 휕2퐸
휕푥2 = 휇표 ∙ 휖표
휕2퐸
휕푡2 푦
휕2퐵
휕푥2 = 휇표 ∙ 휖표
휕2퐸
휕푡2

23. Problema 7
 Solución
 Tenemos que
 ⟹
휕퐸
휕푥
= −퐸푚á푥푘푠푒푛 푘푥 − 휔푡
 ⇒
휕2퐸
휕푥2 = −퐸푚푎푥 ∙ 푘2푠푒푛 푘푥 − 휔푡
 Por lado
 ⟹
휕퐸
휕푡
= 퐸푚á푥휔푠푒푛 푘푥 − 휔푡
 ⇒
휕2퐸
휕푡2 = −퐸푚푎푥 ∙ 휔2푠푒푛 푘푥 − 휔푡

24. Problema 7
 Solución
 Entonces reemplazando tenemos
 −퐸푚푎푥 ∙ 푘2푠푒푛 푘푥 − 휔푡 = 휇0휖0 ∙ −퐸푚푎푥 ∙ 휔2푠푒푛 푘푥 − 휔푡
 ⟹
1
휇0휖0
=
휔2
푘2 ∴
휔
푘
=
1
휇0휖0
= 푐 (푞푢푒 푒푠 푐푖푒푟푡표)
 En consecuencia
 퐸 = 퐸푚푎푥푐표푠 푘푥 − 휔푡 si es solución de la ecuación

25. Problema 7
 Solución
 Por otro lado:
 Tenemos que
 ⟹
휕퐵
휕푥
= −퐵푚á푥푘푠푒푛 푘푥 − 휔푡
 ⇒
휕2퐵
휕푥2 = −퐵푚푎푥 ∙ 푘2푠푒푛 푘푥 − 휔푡
 Además
 ⟹
휕퐵
휕푡
= 퐵푚á푥휔푐표푠 푘푥 − 휔푡
 ⇒
휕2퐵
휕푡2 = −퐵푚푎푥 ∙ 휔2푐표푠 푘푥 − 휔푡

26. Problema 7
 Solución
 Entonces reemplazando tenemos
 −퐵푚푎푥 ∙ 푘2푐표푠 푘푥 − 휔푡 = 휇0휖0 ∙ −퐵푚푎푥 ∙ 휔2푐표푠 푘푥 − 휔푡
 ⟹
1
휇0휖0
=
휔2
푘2 ∴
휔
푘
=
1
휇0휖0
= 푐 (푞푢푒 푒푠 푐푖푒푟푡표)
 En consecuencia
 퐵 = 퐵푚푎푥푐표푠 푘푥 − 휔푡 si es solución de la ecuación