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Funciones De Transferencia

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Presentaciòn de F

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  • 1. Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniería UNAM La función de transferencia de sistemas lineales México D.F. a 21 de Agosto de 2006
  • 2. La función de transferencia L [ c(t )] c (t ) = salida Función de transferencia = L [ r (t )] r (t ) = entrada con condiciones iniciales cero La función de transferencia: La función de transferencia de un sistema se define como la transformada de Laplace de la variable de salida y la transformada de Laplace de la variable de entrada, suponiendo condiciones iniciales cero. •Solo es aplicable a sistemas descritos por ecuaciones diferenciales lineales invariantes en el tiempo. •Es una descripción entrada salida del comportamiento del sistema. •Depende de las características del sistema y no de la magnitud y tipo de entrada •No proporciona información acerca de la estructura interna del sistema
  • 3. La función de transferencia Ejemplos de funciones de transferencia: R 1.- Circuito RL i (t ) Utilizando ley de voltajes de Kirchhoff, se tiene: v (t ) L di v(t ) = Ri (t ) + L dt Figura 1. Circuito RL Aplicando la transformada de Laplace con condiciones iniciales cero: V ( s ) = RI ( s ) + LsI ( s ) la relación corriente voltaje en Laplace, queda: 1 I (s) R = V ( s) L s + 1 R
  • 4. La función de transferencia 2.- Sistema masa amortiguador resorte Utilizando las leyes de Newton, se obtiene: d2y dy k m 2 + b + ky (t ) = r (t ) dt dt donde m es la masa, b es el coeficiente de fricción viscosa, b k es la constante del resorte, y (t ) es el desplazamiento y r (t ) es la fuerza aplicada. Su transformada de Laplace es: m ( ) ( ) M s 2Y ( s ) − sy (0 + ) − y ' (0 + ) + b sY ( s ) − y (0 + ) + KY ( s ) = R( s ) y(t) y ' (0+ ) = 0, y (0+ ) = 0, r(t) considerando: Figura 1. Sistema masa Amortiguador resorte. Ms 2Y ( s ) + bsY ( s ) + KY ( s ) = R ( s ) Y ( s) 1 La función de transferencia es: = R ( s ) Ms 2 + bs + K
  • 5. La función de transferencia 2b.- Sistema masa amortiguador resorte con desplazamiento inicial Considérese ahora que existe un desplazamiento inicial y0 . Entonces para conservar la condición una entrada una salida se hace r (t ) = 0 ( ) ( ) M s 2Y ( s ) − sy (0 + ) − y ' (0 + ) + b sY ( s ) − y (0 + ) + KY ( s ) = R( s ) condiciones iniciales r (t ) = 0, y ' (0+ ) = 0, y (0+ ) = y0 , La función de transferencia es: Ahora el desplazamiento y0 ( Ms + b) solo depende de la Y (s) = posición inicial y los Ms 2 + bs + K parámetros del sistema.
  • 6. La función de transferencia Resumen de las leyes de elementos Tipo de Elemento Ecuación Símbolo elemento físico representativa I di i L Inductancia v21 = L n eléctrica dt v1 v2 d u Resorte 1 df c traslacional v21 = f f k dt t v1 v2 a n Resorte 1 dT ω1 c ω21 = ω2 rotacional i k dt T1 T2 a
  • 7. La función de transferencia Resumen de las leyes de elementos Capacitancia dv i i = C 21 eléctrica dt v1 v2 C C dv a f =m f m p Masa dt v a c i dω Tω Inercia T= j t dt j a n p2 c Capacitancia dp21 fluídica q21 = C f q1 p1 q2 i dt a Cf Capacitancia dT q térmica q = Ct T Ct dt
  • 8. La función de transferencia Resumen de las leyes de elementos Resistencia 1 i i = v21 eléctrica R v1 R v2 R f b e f s Amortiguador f = bv v21 i traslacional s T T t Amortiguador T = bω 21 e rotacional ω1 b ω2 n c i Resistencia 1 fluídica q= p21 q a Rf p1 Rf p2 1 q Resistencia q = T21 térmica T1 T2 Rt Rt
  • 9. Diagramas de bloques La relación causa y efecto de la función de transferencia, permite representar las relaciones de un sistema por medios diagramáticos. Diagrama a bloques Los diagramas de bloques de un sistema son bloques operacionales y unidireccionales que representan la función de transferencia de las variables de interés. Consideraciones: • Tiene la ventaja de representar en forma más gráfica el flujo de señales de un sistema. • Con los bloques es posible evaluar la contribución de cada componente al desempeño total del sistema. • No incluye información de la construcción física del sistema (Laplace). • El diagrama de bloques de un sistema determinado no es único.
  • 10. Diagramas de bloques Elementos de un diagrama a bloques Función de Variable Variable transferencia de entrada de salida G (s ) Flecha: Representa una y solo una variable. La punta de la flecha indica la dirección del flujo de señales. Bloque: Representa la operación matemática que sufre la señal de entrada para producir la señal de salida. Las funciones de transferencia se introducen en los bloques. A los bloques también se les llama ganancia.
  • 11. Diagramas de bloques Diagrama de bloques de un sistema en lazo cerrado R (s ) E (s ) C (s ) + G (s ) - punto de bifurcación punto de suma B (s ) H (s ) B( s) Función de transferencia en lazo abierto = G ( s) H ( s) E (s) C (s) Función de transferencia trayectoria directa = G( s) E (s) C (s) G ( s) Función de transferencia lazo cerrado = R( s) 1 + G ( s) H ( s)
  • 12. Diagramas de bloques Reducción de diagrama de bloques Por elementos en serie R (s ) D (s ) C (s ) R (s ) C (s ) G1 ( s ) G2 ( s ) G1 ( s )G2 ( s ) Por elementos en paralelo G1 ( s ) R (s ) C (s ) + R (s ) C (s ) + G1 ( s ) + G2 ( s ) G1 ( s )
  • 13. Diagramas de bloques Reducción de diagrama de bloques Por elementos en lazo cerrado R (s ) E (s ) C (s ) + G (s ) R (s ) C (s ) - G ( s) B (s ) 1 + G( s) H ( s) H (s ) La simplificación de un diagrama de bloques complicado se realiza mediante alguna combinación de las tres formas básicas para reducir bloques y el reordenamiento del diagrama de bloques utilizando reglas del álgebra de los diagramas de bloques.
  • 14. Diagramas de bloques Reducción de diagrama de bloques Reglas del álgebra de los diagramas de bloques Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente B A AG AG − B A A− AG − B G G G + + - - B B 1 B G G A AG A AG G G AG AG G
  • 15. Diagramas de bloques Reducción de diagrama de bloques Reglas del álgebra de los diagramas de bloques Diagrama de bloques original Diagrama de bloques equivalente A AG A AG G G A 1 A G A B A 1 B + G1 - + G2 G1 G2 - G2

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