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What's hot
What's hot (20)
tcolorboxによる装飾表現（TeXユーザの集い2015）
- 3. 佐藤 淳俊 （さとう あつとし） ! 鉄緑会物理科 高2/高3担当 3年目 ◦ 教材作成のために TeX を学ぶ。 ◦ とはいえまだ3年目であり，普段は鉄緑会独自の パッケージで TeX を使っているので，TeX に関 する一般的な知識はほぼ空っぽ。 ! 東京大学医学部医学科 3年 ◦ レポート作成で TeX を使用することもしばしば。 TeXユーザーの集い2015 3
- 5. なぜ tcolorbox か ! 高校生向けの教材を作成するにあたっ て，複数種類の枠で囲む環境が必要 だった。 ! ページまたぎもできると尚良い。 ! 生徒の書き込み用スペースを作成する ためのレイアウトを実現するのに苦労 していた。 TeXユーザーの集い2015 5
- 6. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 6 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体１を熱していきます。 ここで，気体２についてはピストン B があるので， 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン１についてはⅠ⑴が成り 立つので，気体２が定圧である以上，気体１も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが，見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体２に注目します。気体２は， 圧力が一定であるうえ，温度も一定であるため， であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので， 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体１の温度を求めます。気体１については，圧 力がⅡと等しく，体積変化が S0z であるため，状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より， V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので，定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は，Cp の定義より， Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh
- 7. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 7 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体１を熱していきます。 ここで，気体２についてはピストン B があるので， 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン１についてはⅠ⑴が成り 立つので，気体２が定圧である以上，気体１も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが，見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体２に注目します。気体２は， 圧力が一定であるうえ，温度も一定であるため， であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので， 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体１の温度を求めます。気体１については，圧 力がⅡと等しく，体積変化が S0z であるため，状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より， V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので，定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は，Cp の定義より， Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh ! 左側に装飾付きの線を 引きたい
- 8. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 8 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体１を熱していきます。 ここで，気体２についてはピストン B があるので， 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン１についてはⅠ⑴が成り 立つので，気体２が定圧である以上，気体１も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが，見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体２に注目します。気体２は， 圧力が一定であるうえ，温度も一定であるため， であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので， 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体１の温度を求めます。気体１については，圧 力がⅡと等しく，体積変化が S0z であるため，状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より， V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので，定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は，Cp の定義より， Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh ! 左側に装飾付きの線を 引きたい ! 広い書き込みスペース を作るときに，自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。
- 9. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 9 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体１を熱していきます。 ここで，気体２についてはピストン B があるので， 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン１についてはⅠ⑴が成り 立つので，気体２が定圧である以上，気体１も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが，見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体２に注目します。気体２は， 圧力が一定であるうえ，温度も一定であるため， であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので， 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体１の温度を求めます。気体１については，圧 力がⅡと等しく，体積変化が S0z であるため，状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より， V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので，定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は，Cp の定義より， Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh ! 左側に装飾付きの線を 引きたい ! 広い書き込みスペース を作るときに，自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。 ! 任意のスペースを残し て，ページ下端まで高 さを調整したい。
- 11. インストール ! TeX Live には標準でインストールさ れている。 ! 内部的に TikZ を呼び出して利用する。 TeXユーザーの集い2015 11
- 12. 使用準備 ! pLaTeX + dvipdfmx で利用する場合 の典型的プリアンブル TeXユーザーの集い2015 12 ! ドキュメントクラスオプションに dvipdfmx を付けておくと，dvipdfmx 用設定で graphicx, xcolor, tikz パッ ケージがロードされる。
- 13. tcolorbox の作成 ! options で様々な変更が可能。 ! minipage を利用して作成されており， width はデフォルトでは linewidth に なる。 TeXユーザーの集い2015 13 基本的な tcolorbox の作成 begin{tcolorbox}[⟨options⟩] ⟨environment content⟩ end{tcolorbox}
- 15. options でできること色々 ! box のサイズ変 更 ! 枠のデザイン ! 透過性の設定 ! ページまたぎ ! 表作成(tabular) ! 画像の貼り込み ! box のネストの 調整 ! 前後余白の調整 ! インラインでの利 用(tcbox) ! タイトルの独立， 場所変更 ! 高さ揃え（後述） ! 上下分割の調整 ! 影付き box など，あげたらきりがない TeXユーザーの集い2015 15
- 16. box のサイズ指定 TeXユーザーの集い2015 16 begin{tcolorbox}[height=3cm, width=5cm,title=My box] box contents end{tcolorbox} My box box contents
- 18. インラインでの利用(tcbox) TeXユーザーの集い2015 18 Testdotfill tcbox[tcbox raise base]{tcbox1}dotfill tcbox{tcbox2} Test . . . . . . . . . . tcbox1 . . . . . . . . . . tcbox2
- 19. 表作成（tabular との組み合わせ） TeXユーザーの集い2015 19 tcbox[left=0mm,right=0mm,top=0mm,bottom=0mm, boxsep=0mm,title=My table]{% begin{tabular}{r|c|l} One & Two & Three hline Four & Five & Six end{tabular}} My table One Two Three Four Five Six
- 21. 画像の貼り込み1 TeXユーザーの集い2015 21 begin{tcolorbox}[enhanced,title=My title,title style image=blueshade.png] upper part tcblower lower part end{tcolorbox} My title upper part lower part
- 22. TeXユーザーの集い2015 22 begin{tcolorbox}[enhanced,title=My title,interior style tile={width=2cm}{paper.png}] upper part tcblower lower part end{tcolorbox} My title upper part lower part 画像の貼り込み2
- 23. 上下パート分割，影付きの box TeXユーザーの集い2015 23 begin{tcolorbox}[enhanced, colframe=salmon,colback=salmon!20!white, coltitle=black,sharp corners, drop fuzzy shadow,title=My box] upper part tcblower lower part end{tcolorbox} My box upper part lower part
- 24. タイトルの独立・位置調整 TeXユーザーの集い2015 24 begin{tcolorbox}[enhanced,title=My title, attach boxed title to top center] This is a textbf{tcolorbox}. end{tcolorbox} My title This is a tcolorbox.
- 26. newtcolorbox, newtcbox ! newenvironment / newcommand と同様の振る舞い。 TeXユーザーの集い2015 26 tcolorbox の定義 newtcolorbox[⟨init options⟩] {⟨name⟩}[⟨number⟩][⟨default⟩]{⟨options⟩} tcbox の定義 newtcbox[⟨init options⟩] {⟨name⟩}[⟨number⟩][⟨default⟩]{⟨options⟩}
- 27. DeclareTColorBox ! DeclareDocumentEnvironment と 同様の振る舞い。xparse library を読 み込む必要あり（プリアンブルに tcbuselibrary{xparse} ）。 ! 引数を増やせる，*の有無による挙動 変化を設定できる。 TeXユーザーの集い2015 27 DeclareTColorBox による定義 DeclareTColorBox[⟨init options⟩] {⟨name⟩}{⟨supecification⟩}{⟨options⟩}
- 28. skin の変更 ― enhanced ! skin は枠の見た目を決める土台。 ! standard, enhanced, empty など。 ! enhanced skin を用いると，描画に tikz コマンドを利用できる。 ! 枠の見た目を劇的に変化させることが 可能（shadow も enhanced skin を 利用）。 ! 完全にイチから box を作成する際は， empty skin で全てを空っぽにする。 TeXユーザーの集い2015 28
- 29. options の活用 ― underlay ! TikZ コマンドを用いて，box に自由 に描画を上書きできる。 ! 各種枠（タイトル部，テキスト背景部 など）の座標を取得することが可能な ので，box の枠などを自由に創作で きる。 TeXユーザーの集い2015 29
- 31. 創作box例2 ! manual にある box-改 TeXユーザーの集い2015 31
- 32. 創作box例3 ! これも manual にある box-改 TeXユーザーの集い2015 32
- 33. 創作box例4 ! enhanced skin を利用して作成。 TeXユーザーの集い2015 33
- 40. 物理教材における 利用例1 TeXユーザーの集い2015 40 15 Priority:5 ▶ 位置エネルギー 物体がある位置に存在することによって得る，他の物体に仕事をすることが出来る能力を と定義する。 この定義から，仕事をした分位置エネルギーは減少してしまうため，位置エネルギー ・ の ・ 変 ・ 化 と保存力の間には以下の関係がある。 保存力の為す仕事 W保 を用いて，保存力の位置エネルギー U を以下の通りに定める。 ∆U = −W保 Priority:3 ▶ 重力の位置エネルギー 上記の位置エネルギーの定義と，（１次元の）仕事の定義式：W保 = Fx dx から得られる ∆U = − Fx dx といった式を用いることで，重力や弾性力の位置エネルギーを考えることができる。 【重力の位置エネルギー】 右のように，x 軸を鉛直上向きに取り，物体が位置 x0 から任意の位置 x まで移動した場合を考える。働く重力 は，鉛直下向きで，大きさが mg なので，向きも含める と，−mg と書くことができる（今は鉛直上向きを正方 向としているので，鉛直下向きに働く力は負の方向に働 いているとみなす）。 従って，この移動の際に重力がした仕事は， Wg = x x0 (−mg) dx = −mg(x − x0) と書くことができ，また，（５–１）式を用いることで， ∆Ug = − x x0 (−mg) dx = mg(x − x0) となる。ここで，基準の位置 x0 を 0（すなわち，地面を基準として考える）とすれば， Ug = mgx が得られる。 Column 実は，世の中に存在するあらゆる種類のエネルギーは「運動エネルギー」か「位置エネルギー」のいず れかであることが知られて ・ い ・ た。例えば，「熱エネルギー」は分子が持つ運動エネルギーであるし，「化 学エネルギー」は原子が持つ電子の位置エネルギーと考えられる。 しかし，アインシュタインが発見した E = mc2 という式によって，静止していて，かつ位置エネル ギーを持たないような物体でも「質量エネルギー」を持つことが明らかになった。
- 41. 物理教材における 利用例2 TeXユーザーの集い2015 41 22 2 断熱圧縮なので，温度は上昇，∆U > 0 となるは ずです。 ⑶ 続いて θ = 180◦ で加熱するわけですが，この加 熱の間，ピストンに働く力は常につり合うので，定 圧変化をすることが分かります。定圧変化に関して は，必ず以下の点を押さえておきましょう。 【定圧変化の特性】 定圧変化においては， Qin : ∆U : Wout = Cp : Cv : R が成り立つ。特に，単原子分子理想気体の 場合は Qin : ∆U : Wout = 5 : 3 : 2 となる。 今回であれば， Wout = 3 2 p0 · (H3 − H2) が直ぐに求まるので， Qin = Cp R Wout = 3(Cv + R) 2R p0 · (H3 − H2) ∆U = Cv R Wout = 3Cv 2R p0 · (H3 − H2) としてスムーズに計算することが出来ます。熱力学 第一法則から求めるより圧倒的に早いので，この方 法は使えるようにしておくべきです。ということで， を埋めてから を埋めることにな りますね。 ここまでの p − V グラフは以下の通りです。 ⑷ 再び断熱変化です。断熱変化に関しては，∆U + Wout = 0 が成り立つことを思い出したいところ です。p − V グラフの面積から Wout を求めるの は困難なので，∆U から間接的に求めることが圧 倒的に多いです。今回も，状態方程式を使って温 度を求めてから ∆U を計算することになりますね。 は猿でも出来ますから，必ず解きましょう。 飛ばしてしまうのはあまりにも勿体無いです。 この変化が断熱膨張であることを踏まえると， p − V グラフは以下の通りです。 ⑸ 最後は再び定圧変化です。やはり Wout = 1 2 p0 · (H1 − H4) が直ぐに求まるので，これを元に考えましょう。 Qin = Cv + R R Wout なので，−Qin を計算しましょう。 これでサイクル１周が終わりました。サイクル全 体の p − V グラフは以下の通りです。
- 42. 物理教材における 利用例3 TeXユーザーの集い2015 42 22 6 となること」の２つです。ベクトルの図で整理する と下図の通りです。 これより，求める台の移動は −x 方向に lM = m m + M 2l + h tan θ であることが分かりますね。 Ⅰ 回路を組み立てる問題です。何となく似た回路を 思い浮かべられないと厳しい内容かもしれません。 問題となるのは恐らく可変抵抗の扱いですが，メー トルブリッジの問題を解いたことがあるとイメージ しやすかったかもしれません。 参 考 メートルブリッジとは，未知の抵抗の抵 抗値を測定する以下のような回路です。 検流計が繋がれた導線をメートル部分に 接続する部分を徐々にずらし，検流計に電 流が流れない点を見つけます。このときの メートルブリッジにおいて，l1, l2 を上の 図のように定めると，ブリッジ回路の公式 より R0 : RX = l1 : l2 が成り立つので，RX を求めることが出来 ます。 初見であれば問題自体は解けなくても良いですが， 何となくで良いので答えの形を頭に入れておきたい ですね。 Ⅱ 念のためダイオードの順方向の確認。ダイオード の素子の電圧と電流の順方向は以下の図の通りです。 この V と I の関係が図で与えられています（た だし，I の単位が [mA] であることに注意）。特性 曲線からも分かる通り，ダイオードは順方向のみに 電流を流します。
- 43. 物理教材における 利用例4 TeXユーザーの集い2015 43 20 6 く解けます。これは運動方程式を立てる際に ay を 用いているからであり，ay を用いれば 1 2 ayt1 2 = h と立式できます。斜面上での動きを考えるのであれ ば，斜面上で（慣性力を含めて）運動方程式を立て， 斜面方向の加速度を求めてから等加速度運動の公式 を利用しましょう。 ⑺ 台の運動方程式から台の加速度を求め，t1 を使っ て V1 を求めます。この際，運動方程式から求まる b が “加速度” であり，符号付きであることに注意し ましょう。求めるのは台の速さなので， V1 = |bt1| を計算することになります。 ⑻ 運動量保存則とエネルギー保存則を連立させる非 常にオーソドクスな内容です。方針はすぐに立てら れないとマズいですね。また，「運動量保存則とエ ネルギー保存則を連立させる」という計算は非常に よく出るので，大体の計算の流れは頭に入れておく と良いでしょう。 相対運動と重心系から考えるとやはり計 算は楽になります。エネルギー保存則は，相 対速度の大きさ vr を用いて 1 2 µvr 2 = mgh となるので， vr = 2mgh µ = 2(m + M)gh M が直ぐに求まります。 重心系（今回は静止系）から見ると，２物 体の速度の大きさは速度の逆比になるので， v2 = M m + M vr = 2Mgh m + M V2 = m m + M vr = 2m2 gh M(m + M) として答えが求まります。 ⑼ 1 2 MV2 2 − 1 2 MV1 2 を計算すれば良いことは直 ぐに分かると思いますが，計算量がひどいですね…。 ここで先に⑽，⑾の問題を見て先に解いてしまって， 最後に時間と相談しながら⑼を計算するのが良いで しょう。 この問題，重心系から考えるととっても 大変です。重心速度も変化するので危ない 匂いはするのですが，考えなければいけな い「静止系から見た台の運動エネルギーの 変化」は重心速度とも相対速度とも結びつ けにくいからです。どうしても重心で考え たい，という場合であれば無理ではないで すが，非常に難しい考え方になるので実戦 的ではないでしょう。興味がある人のため， 問題の形式で以下に掲載しておきます。 参考問題 ⑴ A が Q を通過する直前の重心速度 vG を求めよ。 ⑵ A が Q を通過した直後の重心速度 vG ′ を求めよ。 ⑶ A が Q を通過する直前と直後の A と 台について，重心から見た速度を始点を そろえてそれぞれ書け。 ⑷ A が通過する直前の相対速度の大きさ vr および通過する直後の相対速度の大き さ vr ′ を用いて，⑶のそれぞれの速度ベ クトルの大きさを表せ。 ⑸ vr と vr ′ の間に成り立つ関係式を，vG を用いて表せ。 ⑹ vr を vG を用いて表せ。 ⑺ 求める台の運動エネルギーの変化 ∆K を，vr, vr ′ を用いて表せ。 ⑻ 以上の結果を用いて，∆K を vG を用 いて表せ。 【解答】 ⑴ 系は水平方向に外力を受けないので，重心速度が y 軸に平行であることに注意して， vG = m m + M vy ⑵ A，台の鉛直方向の速度が共に 0 なので， vG ′ = 0
- 44. 東大物理問題集 における利用例1 TeXユーザーの集い2015 44 2013 1 1 解答例 Ⅰ⑴ 小球１に関する力学的エネルギー保存則より，求める速さを v1 として， 1 2 ks2 = 1 2 mv1 2 + 1 2 kd2 v1 = k m (s2 − d2 ) ⑵ 等質量の２物体が弾性衝突するとき２物体の速度が交換されるので，衝突直後の２物体の速さは， 小球１ : 0, 小球２ : v1 = k m (s2 − d2 ) ⑶ 小球１，小球２それぞれの側のばねの縮みの最大値を A1, A2 とすると，力学的エネルギー保存則より， 小球１ : 1 2 kd2 = 1 2 kA1 2 , 小球２ : 1 2 mv1 2 = 1 2 kA2 2 よって， A1 = d, A2 = B s2 − d2 ⑷ s = B 2 d のとき，A1 = A2 = d となる。 衝突後の小球１，小球２の運動はともに振幅 d，周期 T = 2π m k の単振動であり，小球１は端点から，小球２は振動 中心から動き始めるので，それぞれの位置は図のような時間 変化をする。ただし，x 軸は小球１側のばねの自然長の位置を 原点とし，右向きが正である。 これより，２つの小球が再び衝突するまでの時間は， 3 4 T = 3π 2 m k Ⅱ⑴ ばねが s だけ縮んでいるときの小球１のつり合いを考えて，小球１が動き始める条件は， ks > µmg s > µmg k ⑵ 小球１が右向きに動いているときの運動方程式は， m d2 x dt2 = −kx − µ′ mg d2 x dt2 = − k m x + µ′ mg k よって，小球１は，x = − µ′ mg k を振動中心とする単振動をする。x = −s が振動の左端なので，右端の座 標 x1 は， x1 − s 2 = − µ′ mg k x1 = s − 2µ′ mg k 小球１が小球２に衝突する条件は，x1 >= d より， s >= d + 2µ′ mg k よって求める s の最小値は， s = d + 2µ′ mg k 配点 Ⅰ⑴ 3 点（☆） ⑵ 4 点（☆） ⑶ 3 点（☆） ⑷ 3 点（☆☆） Ⅱ⑴ 3 点（☆） ⑵ 4 点（☆☆） 採点基準 Ⅰ⑴ エネルギー保存則を立式して····························1 点 衝突直前の小球１の速さを求めて····················2 点 ⑵ 衝突後の小球の速さを求めて·······················各 2 点 ⑶ 左側のバネの最大の縮みを求めて····················1 点 右側のバネの最大の縮みを求めて····················2 点 ⑷ 求める時間が周期の 3 4 だと述べて·················1 点 衝突までの時間を求めて····································2 点 Ⅱ⑴ s の条件を求めて·················································3 点
- 45. 東大物理問題集 における利用例2 TeXユーザーの集い2015 45 2013 1 指針 Ⅰは，単振動と衝突を組み合わせた２体問題です。エ ネルギー保存則や速度交換の知識があれば，⑶までは迷 うことなく解き進められるはずです。一方で，⑷に関し ては単振動を踏まえた時間の考察を行うことになります。 「単振動の中途半端な時間を考えるときは，円運動を復 元して考える」という定石を踏まえて，グラフを描きな がら整理して考えれば答えに至るのは難しくはないで しょう。 一方でⅡの内容は，Ⅰとは完全に独立したものとなっ ています。解けない設問があっても，全ての問題に目を 通す，という習慣を付けられていれば，Ⅰが解けていな くてもⅡで得点できるはずです。⑴の内容は基本問題で すが，⑵は少々難しいでしょうか。単振動の運動方程式 から振動の範囲を考える方法，エネルギー保存則を使う 方法がありますが，どちらも自然な発想から至ることの できる解法といえるでしょう。 解説 以下では，小球１側のばねの自然長の位置を原点とす る x 軸を右向きに取るものとする。 Ⅰ⑴ 小球１に関する力学的エネルギー保存則より，求 値を v1 として， 1 2 ks2 = 1 2 mv1 2 + 1 2 kd2 が成り立つので，これを解いて v1 = k m (s2 − d2 ) を得る。 注 小球１が x = 0 を振動中心，x = s を右端とする 単振動を行うことから，小球１，２が衝突するため に必要な条件は s > d である。 これは，⑴で求まる v1 が正の実数として存在す る条件と一致する。 ⑵ 等質量の２物体が弾性衝突するとき，衝突前後で２ 物体の速度が交換される（速度交換）ので，衝突直後 の２物体の速さは， 小球１ : 0 小球２ : v1 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ として得られる。 別解 衝突直後の小球１，２の速度をそれぞれ v′ 1, v′ 2 と おくと，運動量保存則より， mv1 = mv′ 1 + mv′ 2 が成り立つ。はね返り係数の定義式 v1 v′ 2 − v′ 1 = 1 と連立して， v′ 1 = 0 v′ 2 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ を得る。 別解 系の重心速度は vG = 1 2 v1 であるから，重心系に おける衝突前の小球１，２の速度はそれぞれ v1G = 1 2 v1, v2G = − 1 2 v1 である。衝突により，各小球の速度は −1 倍されるの で，衝突後の重心系における衝突前の小球１，２の速 度はそれぞれ v′ 1G = − 1 2 v1, v′ 2G = 1 2 v1 である。よって，静止系から見た衝突後の各小球の速 度は， v′ 1 = vG + v′ 1G = 0 v′ 2 = vG + v′ 2G = v1 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ として求まる。 参考 一般に，質量がともに m の２物体が一次元的に 完全弾性衝突することを考える。衝突直前および 直後の２物体の速度を v1, v2 および v′ 1, v′ 2 とする と，運動量保存則，およびはね返り係数の定義式 より， mv1 + mv2 = mv′ 1 + mv′ 2 v′ 2 − v′ 1 v1 − v2 = 1 が成り立つ。よって， v′ 1 = v2, v′ 2 = v1 であることが分かる。 これより，等質量の２物体の一次元的な弾性衝突 では，衝突前後で速度が交換されることが示された。 ポイント 別解で示したように，一般に２物体の衝突後の速 度は，運動量保存則とはね返り係数の定義式を連立 することで求まる。完全弾性衝突の際には，はね返 り係数の定義式の代わりにエネルギー保存則を用 いることもできるが，速度についての２次方程式と なってしまうため，はね返り係数の定義式を用いる 方が賢明である。 ⑶ 小球１，小球２それぞれの側のばねの縮みの最大値 を A1, A2 とすると，力学的エネルギー保存則より，
- 46. 東大物理問題集 における利用例2 TeXユーザーの集い2015 46 2013 1 指針 Ⅰは，単振動と衝突を組み合わせた２体問題です。エ ネルギー保存則や速度交換の知識があれば，⑶までは迷 うことなく解き進められるはずです。一方で，⑷に関し ては単振動を踏まえた時間の考察を行うことになります。 「単振動の中途半端な時間を考えるときは，円運動を復 元して考える」という定石を踏まえて，グラフを描きな がら整理して考えれば答えに至るのは難しくはないで しょう。 一方でⅡの内容は，Ⅰとは完全に独立したものとなっ ています。解けない設問があっても，全ての問題に目を 通す，という習慣を付けられていれば，Ⅰが解けていな くてもⅡで得点できるはずです。⑴の内容は基本問題で すが，⑵は少々難しいでしょうか。単振動の運動方程式 から振動の範囲を考える方法，エネルギー保存則を使う 方法がありますが，どちらも自然な発想から至ることの できる解法といえるでしょう。 解説 以下では，小球１側のばねの自然長の位置を原点とす る x 軸を右向きに取るものとする。 Ⅰ⑴ 小球１に関する力学的エネルギー保存則より，求 値を v1 として， 1 2 ks2 = 1 2 mv1 2 + 1 2 kd2 が成り立つので，これを解いて v1 = k m (s2 − d2 ) を得る。 注 小球１が x = 0 を振動中心，x = s を右端とする 単振動を行うことから，小球１，２が衝突するため に必要な条件は s > d である。 これは，⑴で求まる v1 が正の実数として存在す る条件と一致する。 注 小球１が x = 0 単振動を行うこと に必要な条件は s ⑵ 等質量の２物体が弾性衝突するとき，衝突前後で２ 物体の速度が交換される（速度交換）ので，衝突直後 の２物体の速さは， 小球１ : 0 小球２ : v1 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ として得られる。 別解 衝突直後の小球１，２の速度をそれぞれ v′ 1, v′ 2 と おくと，運動量保存則より， mv1 = mv′ 1 + mv′ 2 が成り立つ。はね返り係数の定義式 v1 v′ 2 − v′ 1 = 1 と連立して， v′ 1 = 0 v′ 2 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ を得る。 別解 系の重心速度は vG = 1 2 v1 であるから，重心系に おける衝突前の小球１，２の速度はそれぞれ v1G = 1 2 v1, v2G = − 1 2 v1 である。衝突により，各小球の速度は −1 倍されるの で，衝突後の重心系における衝突前の小球１，２の速 度はそれぞれ v′ 1G = − 1 2 v1, v′ 2G = 1 2 v1 である。よって，静止系から見た衝突後の各小球の速 度は， v′ 1 = vG + v′ 1G = 0 v′ 2 = vG + v′ 2G = v1 = k m (s2 − d2 ) ⎫ ⎪⎬ ⎪⎭ として求まる。 参考 一般に，質量がともに m の２物体が一次元的に 完全弾性衝突することを考える。衝突直前および 直後の２物体の速度を v1, v2 および v′ 1, v′ 2 とする と，運動量保存則，およびはね返り係数の定義式 より， mv1 + mv2 = mv′ 1 + mv′ 2 v′ 2 − v′ 1 v1 − v2 = 1 が成り立つ。よって， v′ 1 = v2, v′ 2 = v1 であることが分かる。 これより，等質量の２物体の一次元的な弾性衝突 では，衝突前後で速度が交換されることが示された。 参考 一般に， 完全弾性衝 直後の２物 ポイント 別解で示したように，一般に２物体の衝突後の速 度は，運動量保存則とはね返り係数の定義式を連立 することで求まる。完全弾性衝突の際には，はね返 り係数の定義式の代わりにエネルギー保存則を用 いることもできるが，速度についての２次方程式と なってしまうため，はね返り係数の定義式を用いる 方が賢明である。 ポイ 別解で示 度は，運動 ⑶ 小球１，小球２それぞれの側のばねの縮みの最大値 を A1, A2 とすると，力学的エネルギー保存則より，
- 48. 物理教材における 利用例1 TeXユーザーの集い2015 48 ! 先ほどのスライドです。 ! まだ触れられていない tcolorbox が隠れてい ることにお気づきで しょうか…？ 15 Priority:5 ▶ 位置エネルギー 物体がある位置に存在することによって得る，他の物体に仕事をすることが出来る能力を と定義する。 この定義から，仕事をした分位置エネルギーは減少してしまうため，位置エネルギー ・ の ・ 変 ・ 化 と保存力の間には以下の関係がある。 保存力の為す仕事 W保 を用いて，保存力の位置エネルギー U を以下の通りに定める。 ∆U = −W保 Priority:3 ▶ 重力の位置エネルギー 上記の位置エネルギーの定義と，（１次元の）仕事の定義式：W保 = Fx dx から得られる ∆U = − Fx dx といった式を用いることで，重力や弾性力の位置エネルギーを考えることができる。 【重力の位置エネルギー】 右のように，x 軸を鉛直上向きに取り，物体が位置 x0 から任意の位置 x まで移動した場合を考える。働く重力 は，鉛直下向きで，大きさが mg なので，向きも含める と，−mg と書くことができる（今は鉛直上向きを正方 向としているので，鉛直下向きに働く力は負の方向に働 いているとみなす）。 従って，この移動の際に重力がした仕事は， Wg = x x0 (−mg) dx = −mg(x − x0) と書くことができ，また，（５–１）式を用いることで， ∆Ug = − x x0 (−mg) dx = mg(x − x0) となる。ここで，基準の位置 x0 を 0（すなわち，地面を基準として考える）とすれば， Ug = mgx が得られる。 Column 実は，世の中に存在するあらゆる種類のエネルギーは「運動エネルギー」か「位置エネルギー」のいず れかであることが知られて ・ い ・ た。例えば，「熱エネルギー」は分子が持つ運動エネルギーであるし，「化 学エネルギー」は原子が持つ電子の位置エネルギーと考えられる。 しかし，アインシュタインが発見した E = mc2 という式によって，静止していて，かつ位置エネル ギーを持たないような物体でも「質量エネルギー」を持つことが明らかになった。
- 49. 物理教材における 利用例1 TeXユーザーの集い2015 49 ! 先ほどのスライドです。 ! まだ触れられていない tcolorbox が隠れてい ることにお気づきで しょうか…？ 15 Priority:5 ▶ 位置エネルギー 物体がある位置に存在することによって得る，他の物体に仕事をすることが出来る能力を と定義する。 この定義から，仕事をした分位置エネルギーは減少してしまうため，位置エネルギー ・ の ・ 変 ・ 化 と保存力の間には以下の関係がある。 保存力の為す仕事 W保 を用いて，保存力の位置エネルギー U を以下の通りに定める。 ∆U = −W保 Priority:3 ▶ 重力の位置エネルギー 上記の位置エネルギーの定義と，（１次元の）仕事の定義式：W保 = Fx dx から得られる ∆U = − Fx dx といった式を用いることで，重力や弾性力の位置エネルギーを考えることができる。 【重力の位置エネルギー】 右のように，x 軸を鉛直上向きに取り，物体が位置 x0 から任意の位置 x まで移動した場合を考える。働く重力 は，鉛直下向きで，大きさが mg なので，向きも含める と，−mg と書くことができる（今は鉛直上向きを正方 向としているので，鉛直下向きに働く力は負の方向に働 いているとみなす）。 従って，この移動の際に重力がした仕事は， Wg = x x0 (−mg) dx = −mg(x − x0) と書くことができ，また，（５–１）式を用いることで， ∆Ug = − x x0 (−mg) dx = mg(x − x0) となる。ここで，基準の位置 x0 を 0（すなわち，地面を基準として考える）とすれば， Ug = mgx が得られる。 Column 実は，世の中に存在するあらゆる種類のエネルギーは「運動エネルギー」か「位置エネルギー」のいず れかであることが知られて ・ い ・ た。例えば，「熱エネルギー」は分子が持つ運動エネルギーであるし，「化 学エネルギー」は原子が持つ電子の位置エネルギーと考えられる。 しかし，アインシュタインが発見した E = mc2 という式によって，静止していて，かつ位置エネル ギーを持たないような物体でも「質量エネルギー」を持つことが明らかになった。
- 50. 物理教材における 利用例1 TeXユーザーの集い2015 50 ! 箱があるようには見え ないけれど，実際には 箱がある。 ! 右側のインデントを調 整（tcolorbox の width）。 ! インデントを調整する だけでなく，線も引け て枠のデザインも自由。 15 Priority:5 ▶ 位置エネルギー 物体がある位置に存在することによって得る，他の物体に仕事をすることが出来る能力を と定義する。 この定義から，仕事をした分位置エネルギーは減少してしまうため，位置エネルギー ・ の ・ 変 ・ 化 と保存力の間には以下の関係がある。 保存力の為す仕事 W保 を用いて，保存力の位置エネルギー U を以下の通りに定める。 ∆U = −W保 Priority:3 ▶ 重力の位置エネルギー 上記の位置エネルギーの定義と，（１次元の）仕事の定義式：W保 = Fx dx から得られる ∆U = − Fx dx といった式を用いることで，重力や弾性力の位置エネルギーを考えることができる。 【重力の位置エネルギー】 右のように，x 軸を鉛直上向きに取り，物体が位置 x0 から任意の位置 x まで移動した場合を考える。働く重力 は，鉛直下向きで，大きさが mg なので，向きも含める と，−mg と書くことができる（今は鉛直上向きを正方 向としているので，鉛直下向きに働く力は負の方向に働 いているとみなす）。 従って，この移動の際に重力がした仕事は， Wg = x x0 (−mg) dx = −mg(x − x0) と書くことができ，また，（５–１）式を用いることで， ∆Ug = − x x0 (−mg) dx = mg(x − x0) となる。ここで，基準の位置 x0 を 0（すなわち，地面を基準として考える）とすれば， Ug = mgx が得られる。 Column 実は，世の中に存在するあらゆる種類のエネルギーは「運動エネルギー」か「位置エネルギー」のいず れかであることが知られて ・ い ・ た。例えば，「熱エネルギー」は分子が持つ運動エネルギーであるし，「化 学エネルギー」は原子が持つ電子の位置エネルギーと考えられる。 しかし，アインシュタインが発見した E = mc2 という式によって，静止していて，かつ位置エネル ギーを持たないような物体でも「質量エネルギー」を持つことが明らかになった。
- 51. レイアウトへの応用 ! empty skin で box の装飾をなくす。 ! width や height で box のサイズを 調整することで，左右インデントや行 取りが実現できる。 ! 後から装飾を加えるのに都合が良い。 TeXユーザーの集い2015 51
- 52. レイアウトへの応用 ! empty skin で box の装飾をなくす。 ! width や height で box のサイズを 調整することで，左右インデントや行 取りが実現できる。 ! 後から装飾を加えるのに都合が良い。 TeXユーザーの集い2015 52 少し凝ったページのレイアウトを実現 する際に有用。
- 54. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 54 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体１を熱していきます。 ここで，気体２についてはピストン B があるので， 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン１についてはⅠ⑴が成り 立つので，気体２が定圧である以上，気体１も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが，見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体２に注目します。気体２は， 圧力が一定であるうえ，温度も一定であるため， であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので， 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体１の温度を求めます。気体１については，圧 力がⅡと等しく，体積変化が S0z であるため，状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より， V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので，定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は，Cp の定義より， Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh ! 左側に線を引きたい ! 広い書き込みスペース を作るときに，自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。 ! 任意のスペースを残し て，ページ下端まで高 さを調整したい。
- 55. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 55 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体１を熱していきます。 ここで，気体２についてはピストン B があるので， 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン１についてはⅠ⑴が成り 立つので，気体２が定圧である以上，気体１も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが，見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体２に注目します。気体２は， 圧力が一定であるうえ，温度も一定であるため， であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので， 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体１の温度を求めます。気体１については，圧 力がⅡと等しく，体積変化が S0z であるため，状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より， V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので，定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は，Cp の定義より， Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh ! 左側に線を引きたい → underlay で解決 ! 広い書き込みスペース を作るときに，自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。 ! 任意のスペースを残し て，ページ下端まで高 さを調整したい。
- 56. 目的のレイアウト TeXユーザーの集い2015 56 2 3 23 Ⅲ 最後は問Ⅱの状態から気体１を熱していきます。 ここで，気体２についてはピストン B があるので， 圧力が一定であることが分かります。ピストン B が大活躍ですね。ピストン１についてはⅠ⑴が成り 立つので，気体２が定圧である以上，気体１も定圧 になります。 この点に気づかなくても問題は解けますが，見通 しが良くなるのは間違いありません。 4 ⑴ z も h も関係する気体２に注目します。気体２は， 圧力が一定であるうえ，温度も一定であるため， であることが分かります。両ピストンの動 きによる体積変化に注目しましょう。 NoteSpace 斜線部の体積が等しいので， 2S0z = Sh ∴ z = S 2S0 h ⑵ 気体１の温度を求めます。気体１については，圧 力がⅡと等しく，体積変化が S0z であるため，状態 方程式を立てることが出来ます。 NoteSpace 加熱前後の EOS より， V ′ 1 + S0z T′ = V ′ 1 T 後はⅡとⅢ⑴で V ′ 1 と z を消去。 Answer: T ′ = T + mgh R ⑶ ⑵で T′ が求まるので，定圧変化であることを利 用して熱量を求めましょう。 NoteSpace 定圧変化の吸熱量は，Cp の定義より， Qin = nCp∆T = 5 2 R(T′ − T) Answer: Q = 5 2 mgh ! 左側に線を引きたい → underlay で解決 ! 広い書き込みスペース を作るときに，自動的 にページ下端までの高 さに調整したい。 → height fill で解決 ! 任意のスペースを残し て，ページ下端まで高 さを調整したい。
- 57. pdfsavepos の利用 ! 拡張プリミティブ pdfsavepos を利 用して版面下端までの残り高さを計算 し，それを box の height として定 めれば良い。 ! 残したい高さを任意に指定することが 可能。 TeXユーザーの集い2015 58
- 59. raster library ! プリアンブルに tcbuselibrary{raster}。 ! 複数の box の高さを揃えて一列に並 べられる。 TeXユーザーの集い2015 60
- 61. 講評における tcbraster の利用例 TeXユーザーの集い2015 63 ! 大問ごとに掲載する優 秀者人数が可変。 ! どの大問の掲載者が最 多になるか事前にわか らない。 ! 同じ高さの枠で囲みた い。
- 62. 講評における tcbraster の利用例 TeXユーザーの集い2015 64 ! 大問ごとに掲載する優 秀者人数が可変。 ! どの大問の掲載者が最 多になるか事前にわか らない。 ! 同じ高さの枠で囲みた い。 tcbraster が便利
- 63. 英単語集「鉄壁」 のレイアウトも TeXユーザーの集い2015 65 ! 左側が英語，右側が日 本語。 ! 英語は発音記号も含め て必ず2行。 ! 日本語は1行以上の任 意の行数。
- 64. 英単語集「鉄壁」 のレイアウトも TeXユーザーの集い2015 66 ! 左側が英語，右側が日 本語。 ! 英語は発音記号も含め て必ず2行。 ! 日本語は1行以上の任 意の行数。 見えない形(empty skin) で tcbraster を利用す れば解決。
- 65. 鉄壁の簡易版レイアウト ! 一見しただけでは tcolorbox の存在は全 く分からない。 TeXユーザーの集い2015 67
- 66. 鉄壁の簡易版レイアウト ! 実際には box による高さ調整が為されて いる。 TeXユーザーの集い2015 68 1. ［発音記号］ 日本語での説明 2. ［発音記号］ 日本語での説明 1 日本語での説明 2 日本語での説明 3
- 67. rasterとpdfsavepos の組み合わせ1 TeXユーザーの集い2015 69 ! ページを(2, 2)の領域 に分割する。 ! raster height を版面 下端までの残り高さに 定める。 ! 横に並べるボックスの 個数は raster column で指定。 ! 縦に並べるボックスの 個数は raster rows で指定。
- 68. rasterとpdfsavepos の組み合わせ2 TeXユーザーの集い2015 70 ! ページを(ｍ, n)の領域 に分割する。 ! raster height を版面 下端までの残り高さに 定める。 ! 横に並べるボックスの 個数は raster column で指定。 ! 縦に並べるボックスの 個数は raster rows で指定。
- 69. rasterとpdfsavepos の組み合わせ3 TeXユーザーの集い2015 71 ! foreach を使えば m と n の変更は容易。
- 71. 本日紹介した創作 box ! ウェブサイト上で公開予定。 ◦ http://www.geocities.jp/texmedicine/ ! 新たな box ができ次第更新。 TeXユーザーの集い2015 73
- 72. その他 tcolorbox について ! tcolorbox の詳細は公式マニュアル （英文400ページ程度）を参照。 ! 利用頻度の高い部分を抜粋してまとめ た日本語版簡易マニュアルを作成中 （近日公開予定）。 ! 新たな利用法やデザインに関して，発 見などがあれば随時ブログで公開予定。 ◦ http://texmedicine.hatenadiary.jp TeXユーザーの集い2015 74