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Probabilit´s          e                                                                         7   LOIS DE POISSON       ...
Probabilit´s          e                                                                      8   LOIS NORMALESProposition ...
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Probabilit´s          e             8   LOIS NORMALES               17   A. Fredet & J.-M. Gourdon
Probabilit´s          e             8   LOIS NORMALES               18   A. Fredet & J.-M. Gourdon
Probabilit´s          e                                                                    8   LOIS NORMALESExercice 8.1 S...
Probabilit´s          e                                                                        9   SOLUTIONS DES EXERCICES...
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  1. 1. e ´ Probabilit´s - Echantillonnage A. Fredet J.-M. GourdonTable des mati`res eI Probabilit´s e 21 D´finitions e 22 Combinaisons, Arrangements 33 Probabilit´s liant deux ´v´nements e e e 64 Probabilit´s et statistiques e 85 Variable al´atoire e 96 Lois binomiales 137 Lois de Poisson 148 Lois normales 159 Solutions des exercices 20II ´ Echantillonnage 30 ´1 Echantillons 302 Estimation 303 Test d’ajustement 334 Comparaison d’´chantillons e 375 Solutions des exercices 40III Tableur 45 1
  2. 2. Probabilit´s e 1 ´ DEFINITIONSPremi`re partie eProbabilit´s e1 D´finitions e La probabilit´ a priori, subjective, d’un ´v`nement est un nombre qui caract´rise la croyance que e e e el’on a que cet ´v`nement sera r´alis´ avec plus ou moins de certitude avant l’ex´cution de l’exp´rience : e e e e e el’´v`nement sera r´alis´ (probabilit´ 1) et l’´v`nement ne sera pas r´alis´ (probabilit´ 0). e e e e e e e e e eD´finition 1.1 Une ´preuve est dite al´atoire si r´p´t´e dans des conditions identiques, elle donne e e e e eedes r´sultats variables. eDes ´v`nements sont ´quiprobables s’ils ont la mˆme probabilit´ d’ˆtre r´alis´s. Dans ce cas, la proba- e e e e e e e e nombre de cas favorablesbilit´ d’un ´v´nement A est e e e . nombre de cas possiblesD´finition 1.2 L’ensemble de toutes les ´ventualit´s d’une exp´rience al´atoire s’appelle l’univers. En e e e e eg´n´ral, on le note Ω. e eExemple 1.1 On lance un d´ non truqu´ ` six faces num´rot´es de 1 a 6 et on note le nombre figurant e ea e e `sur la face sup´rieure du d´. Lancer ce d´ et noter le nombre figurant sur une des faces est une exp´rience e e e edont on ne peut pas pr´voir le r´sultat compris dans l’ensemble {1, 2, · · · , 6}. Les ´ventualit´s sont 1, e e e e2, 3, 4, 5 et 6 et Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.Si le d´ est non truqu´, chaque face a la mˆme probabilit´ de sortir, nous avons donc des ´venements e e e e e´quiprobables.ePar exemple, on peut consid´rer l’´v´nement A = obtenir un nombre pair . On a A = {2; 4; 6} et la e e eprobabilit´ que A se produise est 3 = 1 . e 6 2D´finition 1.3 Un ´v´nement est dit impossible s’il ne se r´alise jamais. e e e eUn ´v´nement est dit certain s’il se r´alise toujours. e e eUn ´v´nement est dit ´l´mentaire s’il se r´duit ` une seule ´ventualit´. e e ee e a e eProposition 1.1 Soient E, E1 , E2 des ´v´nements. e e 1. p(E) ≥ 0 pour tout ´v´nement E. e e 2. p(Ω) = 1 donc l’´v´nement est certain e e 3. p(∅) = 0 donc l’´v´nement est impossible e e p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ou E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ), 4. Si E1 ∩ E2 = ∅ alors E1 et E2 sont incompatibles et p(E1 ∩ E2 ) = p(E1 et E2 ) = 0On en d´duit les cons´quences suivantes : e e ¯ ¯ 1. Si E est l’´v´nement contraire de E alors p(E) = 1 − p(E). e e ¯ ¯ ¯ ¯ En effet E ∪ E = Ω et E ∩ E = ∅ donc p(E ∪ E) = p(E) + p(E) = 1. 2. Pour tout ´v´nement E, 0 ≤ p(E) ≤ 1. e e ¯ En effet, pour tout E, p(E) ≥ 0 et donc p(E) = 1 − p(E) ≥ 0 ce qui nous am`ne ` p(E) ≤ 1. e aExercice 1.1 On joue avec un d´ ` six faces non truqu´. On effectue un lancer, et on consid`re les ea e edeux ´v´nements suivants : E1 =le nombre est 3 ou 4 et E2 =le nombre est pair. Calculer p(E1 ), p(E2 ), e ep(E1 ∩ E2 ) et p(E1 ∪ E2 ).Exercice 1.2 On joue avec deux d´s a six faces non truqu´s. On lance les deux d´s et on effectue e ` e ela somme des nombres obtenus. On consid`re les ´v´nements suivants : E1 =la somme est 5, E2 =la e e esomme est 7 et E3 =la somme est paire. Calculer p(E1 ), p(E2 ), p(E3 ), p(E1 ∩E2 ), p(E1 ∩E3 ), p(E2 ∩E3 )et p(E1 ∪ E2 ), p(E1 ∪ E3 ) et p(E2 ∪ E3 ). 2 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  3. 3. Probabilit´s e 2 COMBINAISONS, ARRANGEMENTSLa probabilit´ de r´alisation d’un ´v´nement peut ˆtre consid´r´e comme le rapport du nombre de cas e e e e e eefavorables sur le nombre de cas possibles. Le calcul d’une probabilit´ peut donc souvent se ramener ` e aun probl`me de d´nombrement. e e2 Combinaisons, ArrangementsD´finition 2.1 Soit E un ensemble non vide de n ´l´ments. Une permutation de E est une liste e eeordonn´e des n ´l´ments de E. e eeExemple 2.1 Si E = {a, b, c, d, e} alors (a, b, d, c) et (a, c, d, b) sont deux permutations de E.Proposition 2.1 Le nombre de permutations d’un ensemble de n ´l´ments, n ≥ 1, est ´gal ` ee e a n! = n × (n − 1) × (n − 1) × · · · × 2 × 1D´finition 2.2 Une liste sans r´p´tition de p ´l´ments de E est une liste ordonn´e de p ´l´ments de e e e ee e eeE deux ` deux distincts aExercice 2.1 Une urne contient dix boules sur lesquelles ont ´t´ marqu´es les dix lettres de l’alphabet ee ede A ` J. On tire successivement quatre boules sans remise et l’on inscrit dans l’ordre les lettres port´es a epar les boules tir´es. Combien de mots de quatre lettres (ayant un sens ou non) peut-on former ? eExercice 2.2 Combien de mots de trois lettres peut-on former en utilisant les lettres du mot PARISet uniquement celles-l` ? aProposition 2.2 Si un ensemble E contient n ´l´ments, n ≥ 1, alors ee n! – il y a n × (n − 1) × · · · × (n − (p − 1)) = (n−p)! listes sans r´p´tition de p ´l´ments. e e ee p – il y a n liste avec r´p´tition de p ´l´ments. e e eeExercice 2.3 Lors d’une course de chevaux, il y a 8 partants. Combien de possibilit´s y-a-t-il pour le etierc´ final ? Pour le quart´ ? e eExercice 2.4 Combien de nombres de 4 chiffres puis-je ´crire en utilisant uniquement les chiffres e3,6,7 ?Exercice 2.5 Un facteur (employ´ de la poste) entre dans un immeuble avec 23 lettres qu’il va d´poser e edans les boites, au nombre de 40. Sachant qu’une boite peut ´videmment recevoir plusieurs lettres, de ecombien de fa¸on diff´rentes les 23 lettres peuvent-elles ˆtre d´pos´es dans les 40 boites ? c e e e eNous pouvons ´galement chercher ` s´lectionner k objets parmi n objets discernables, sans tenir compte e a ede l’ordre. Ces k objets peuvent ˆtre repr´sent´s par une partie ` k ´l´ments d’un ensemble ` n ´l´ments. e e e a ee a eeD´finition 2.3 Soit E un ensemble de n ´l´ments et p un entier tel que 0 ≤ p ≤ n. Une combinaison e eede p ´l´ments de E est un sous-ensemble de E qui contient p ´l´ments. ee ee n pLe nombre de combinaisons de p ´l´ments d’un ensemble de n ´l´ments est not´ ee ee e ou Cn . pProposition 2.3 p n! n × (n − 1) × · · · × (n − p + 1) Cn = = (n − p)!p! p! 3 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  4. 4. Probabilit´s e 2 COMBINAISONS, ARRANGEMENTSExercice 2.6 Un facteur (employ´ de la poste) entre dans un immeuble avec 23 lettres qu’il va d´poser e edans les boites, au nombre de 40. En supposant qu’une boite ne peut pas recevoir plusieurs lettres, decombien de fa¸on diff´rentes les 23 lettres peuvent-elles ˆtre d´pos´es dans les 40 boites ? c e e e eExercice 2.7 On appelle main toute combinaison de cinq cartes. Combien y a-t-il de mains de cinqcartes dans un jeu de 32 cartes ?Exercice 2.8 On appelle main toute combinaison de cinq cartes. Dans un jeu de 32 cartes, combieny a-t-il de mains de cinq cartes contenant exactement 2 coeurs ?Exercice 2.9 On appelle main toute combinaison de cinq cartes. Dans un jeu de 32 cartes, combieny a-t-il de mains de cinq cartes contenant au moins un roi ?Exercice 2.10 Lors d’un tirage du loto de 4 num´ros avec 10 boules, combien y-a-t-il de grilles pos- esibles ?Proposition 2.4 On a p n−p et p−1 p p Cn = Cn Cn−1 + Cn−1 = CnD´mo : e 1. Choisir les p ´l´ments que l’on veut dans un ensemble de n ´l´ments revient exactement ` choisir ee ee a les n − p ´l´ments que l’on ne veut pas, d’o` le r´sultat. ee u e Math´matiquement, on a e n−p n! n! p Cn = = = Cn (n − p)![n − (n − p)]! (n − p)!p! 2. Soit E une ensemble de n ´l´ment. Soit A l’un de ces ´l´ments. Pour choisir p ´l´ments de E, je ee ee ee p−1 peux soit prendre A et en choisir p−1 autres parmi les n−1 restants (j’ai alors Cn−1 possibilit´s), e p soit laisser A et en prendre p autres parmi les n − 1 restants (j’ai alors Cn−1 possibilit´s). D’o` e u le r´sultat. e Math´matiquement, on a e p−1 p (n − 1)! (n − 1)! Cn−1 + Cn−1 = + (p − 1)!(n − p)! p!(n − p − 1)! p(n − 1)! (n − p)(n − 1)! (p + n − p)(n − 1)! = + = p!(n − p)! p!(n − p)! p!(n − p)! n! p = = Cn p!(n − p)!Proposition 2.5 (Formule du binˆme) Soient a et b deux r´els et n un entier. Alors o e n (a + b)n = Cn ai bn−i i i=0D´mo : ePar it´ration sur n : e – Si n = 0, alors (a + b)n = (a + b)0 = 1 = Cn 0 – Si n = 1 alors (a + b) = a + b = C1 a b + C1 a0 b1 1 0 1 0 1 – Si n = 2 alors (a + b) = a + 2ab + b = C2 a b + C2 a1 b1 + C2 a0 b2 2 2 2 0 2 0 1 2 4 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  5. 5. Probabilit´s e 2 COMBINAISONS, ARRANGEMENTS – Si n = 3 alors (a + b)3 = a3 + 3ab2 + 3a2 b + b3 = C3 a3 + C3 a2 b1 + C3 a1 b2 + C3 b3 0 1 2 3 – On suppose maintenant que la formule est vraie pour (a + b)n−1 et donc que (a + b)n−1 = n−1 p i (n−1)−i i=0 Cn−1 a b . On a (a + b)n = (a + b)n−1 × (a + b) n−1 = Cn−1 ai b(n−1)−i i × (a + b) i=0 n−1 n−1 = Cn−1 ai+1 b(n−1)−i + i Cn−1 ai b(n−1)−i+1 i i=0 i=0 n−1 n−1 = i Cn−1 ai+1 bn−(1+i) + Cn−1 ai bn−i i i=0 i=0 n n−1 j−1 = Cn−1 aj bn−j + Cn−1 ai bn−i i j=1 i=0 n−1 n−1 j−1 = Cn−1 aj bn−j +Cn−1 an b0 + n−1 Cn−1 ai bn−i + C0 a0 bn i n−1 j=1 i=1 n−1 i−1 = Cn−1 + Cn−1 aj bn−j + an + bn i i=1 n−1 n = i Cn ai bn−i + an + bn = i Cn ai bn−i i=1 i=0 d’o` le r´sultat u e 2 Triangle de Pascal Pour calculer les coefficients du binˆme, on utilise le triangle de Pascal : Le principe est le suivant : o → ∗ + ∗ =↓ ∗ n=0 1 + n=1 1 → 1 (a + b) = a + b ↓= + n=2 1 2 → 1 (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 ↓= + n=3 1 → 3 3 1 (a + b)3 = a3 + 3a2 b + 3ab2 + b3 ↓= + + n=4 1 4 → 6 4 → 1 (a + b)4 = a4 + 4a3 b + 6a2 b2 + 4ab3 + b4 ↓= ↓= n=5 1 5 10 10 5 1 (a + b)5 = a5 + 5a4 b + 10a3 b2 + 10a2 b3 + 5ab4 + b5 . . . 5 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  6. 6. Probabilit´s e 3 ´ ´ ´ PROBABILITES LIANT DEUX EVENEMENTS3 Probabilit´s liant deux ´v´nements e e e On s’int´resse parfois ` une probabilit´ portant sur deux ´v´nements, qu’ils soient ind´pendants ou e a e e e enon.D´finition 3.1 Soient A et B deux ´v´nements. e e eLa probabilit´ que A ET B soient r´alis´s est p(A ∩ B). e e eLa probabilit´ que A OU B soient r´alis´s est p(A ∪ B). e e eProposition 3.1 Soient A et B deux ´v´nements. On a p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B). e eD´mo : e 1. Si A∪B = ∅ alors A et B sont incompatibles donc p(A∪B) = p(A)+p(B) et p(A∩B) = p(∅) = 0 ¯ ¯ 2. Si A ∩ B = ∅ alors A ∪ B = (A ∩ B) ∪ (A ∩ B) ∪ (A ∪ B) d’apr`s le tableau suivant : e A ¯ A B A∩B ¯ A∩B ¯ B ¯ A∩B ¯ ¯ A∩B ¯ ¯ ¯ ¯ Donc p(A ∪ B) = p(A ∩ B) + p(A ∩ B) + p(A ∪ B) car (A ∩ B) ∩ (A ∩ B) ∩ (A ∪ B) = ∅. Or ¯ car (A ∩ B) ∩ (A ∪ B) = ∅ et (A ∩ B) ∪ (A ∪ B) = A. De mˆme p(A) = p(A ∩ B) + p(A ∪ B) ¯ ¯ e ¯ p(B) = p(A ∩ B) + p(A ∪ B) d’o` p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B). uExercice 3.1 Dans un jeu de 32 cartes, on tire une carte. Quelle est la probabilit´ d’avoir soit un roi, esoit un tr`fle ? eExercice 3.2 Consid´rons un jeu de 32 cartes. Soit A l’´v´nement tirer deux coeurs et B l’´v´nement e e e e etirer deux figures. Quelles sont les probabilit´s de A, B, A ∪ B et A ∩ B ? eExercice 3.3 Deux candidats A et B passent, dans deux centres diff´rents, un examen avec des pro- ebabilit´s de r´ussites estim´es respectivement ` 4 et 2 . Calculer la probabilit´ e e e a 3 3 e 1. que les 2 candidats soient re¸us ? c 4. qu’un seul des deux candidats r´ussise ? e 2. que les 2 candidats ´chouent ? e 5. qu’au moins 1 des candidats soit re¸u ? c 3. que le candidat A soit seul re¸u ? cExercice 3.4 On dispose de deux urnes, d´sign´es respectivement par les lettres A et B. L’urne A e econtient 5 boules bleues et 4 boules rouges. L’urne B contient 6 boules bleues et 5 boules rouges. Ontire une boule dans chaque urne. Quelle est la probabilit´ e 1. de tirer deux boules rouges ? 3. de tirer deux boules de mˆme couleur ? e 2. de tirer deux boules bleues ? 4. de tirer deux boules de couleurs diff´rentes ? eExercice 3.5 On consid`re 3 d´s diff´rents, identifi´s par leur couleur. Le joueur A gagne la partie si e e e ele total des points est 11, le joueur B gagne si le total des points est 12. L’un des joueurs a-t-il plus dechance de gagner ? 6 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  7. 7. Probabilit´s e 3 ´ ´ ´ PROBABILITES LIANT DEUX EVENEMENTSExercice 3.6 Un concours de tir met aux prises deux ´quipes de deux joueurs. Chaque joueur de el’´quipe peut marquer 0,1 ou 2 points avec les probabilit´s suivantes : e e ´quipe jaune e ´quipe verte e 0 1 2 0 1 2 joueur A 0, 4 0, 4 0, 2 joueur C 0, 3 0, 5 0, 2 joueur B 0, 3 0, 4 0, 3 joueur D 0, 5 0, 3 0, 2Les r´sultats des diff´rents joueurs et des diff´rentes ´quipes sont ind´pendants entre eux. Soit X la e e e e evariable al´atoire ´gale au nombre de points marqu´s par l’´quipe jaune et Y la variable al´atoire ´gale e e e e e eau nombre de points marqu´s par l’´quipe verte. e e 1. D´terminer les distributions de probabilit´ de chacune des variables al´atoires X et Y . e e e 2. Calculer la probabilit´ de l’´v´nement “il y a match nul”. e e eD´finition 3.2 Soient A et B sont deux ´v´nements associ´s ` un univers tels que p(A) = 0 ; La e e e e aprobabilit´ de l’´v´nement B sachant que A est r´alis´ est : e e e e e p(A ∩ B) pA (B) = p(B/A) = p(A)Proposition 3.2 On a p(A ∪ B) = p(A) × p(B/A) = p(B) × p(A/B).D´finition 3.3 Deux ´v´nements sont ind´pendants si p(A/B) = p(A) ou p(B/A) = p(B), soit encore e e e esi p(A ∪ B) = p(A)p(B).Deux ´v´nements sont incompatibles si A∩B = ∅ et dans ce cas, p(A∩B) = 0 d’o` pA (B) = pB (A) = 0 e e uProposition 3.3 Si A est inclus dans B alors p(A ∩ B) = p(A) et pB (A) = 1.Exercice 3.7 Une urne contient 15 boules num´rot´es de 1 ` 15. On tire une boule au hasard. On sait e e aque le num´ro tir´ est impair. Quelle est la probabilit´ que ce num´ro soit aussi multiple de 3 ? e e e e `Exercice 3.8 A la fin de leur montage, on soumet des ampoules ´lectriques ` des tests de conformit´ e a equi ne sont pas fiables ` 100%. Si une ampoule est conforme, on le dit dans 96 % des cas (et donc dans a4 % des cas, une ampoule bonne est jet´e). Si une ampoule est d´fectueuse, le test le d´tecte dans 94% e e edes cas (et donc dans 6% des cas, on garde l’ampoule). On remarque que en moyenne 8% des ampoulessont d´fectueuses. On cherche ` estimer la fiabilit´ du test : e a e 1. Sachant que le test est positif, quelle est la probabilit´ que l’ampoule soit effectivement conforme ? e 2. Sachant que le test est n´gatif, quelle est la probabilit´ que l’ampoule soit effectivement d´fectueuse ? e e eExercice 3.9 Deux ateliers fabriquent les mˆmes pi`ces. La cadence du premier atelier est le double e ede celle du deuxi`me. Il y a 3% de pi`ces d´fectueuses dans l’atelier 1 et 4% dans l’atelier 2. On pr´l`ve e e e eeune pi`ce au hasard. Calculer la probabilit´ des ´v´nements suivants : e e e e 1. La pi`ce provient de l’atelier 1, e 2. La pi`ce est defectueuse, e 3. La pi`ce provient de l’atelier 1, sachant qu’elle est d´fectueuse. e e 7 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  8. 8. Probabilit´s e 4 ´ PROBABILITES ET STATISTIQUESExercice 3.10 Dans une population donn´e, 15 % des individus ont la maladie Ma . Parmi eux, 20% eont une maladie Mb . Parmi les personnes non atteintes par Ma , 4% ont la maladie Mb . On consid`re eun individu. Calculer la probabilit´ des ´v´nements suivants : e e e 1. Il a la maladie Ma 5. Il n’a pas la maladie Ma mais il a la maladie Mb 2. Il a la maladie Mb sachant qu’il a Ma 6. Il a la maladie Mb 3. Il a la maladie Mb sachant qu’il n’a pas Ma 7. Il a la maladie Ma sachant qu’il a Mb 4. Il a la maladie Ma et la maladie MbExercice 3.11 Trois ´tudiants A, B et C passent un examen le mˆme jour. Les trois examens sont e ediff´rents et se passe dans des lieux diff´rents. Les probabilit´s de succ`s sont estim´es ` 0,7 pour A, e e e e e a0,4 pour B et 0,6 pour C. Calculer la probabilit´ e 1. que les 3 soient re¸us c 5. que B soit le seul ` ´chouer ae 2. que les trois ´chouent e 6. qu’exactement deux soient re¸us c 3. que A seulement soit re¸u c 7. qu’au moins un soit re¸u c 4. qu’un seul r´ussise eExercice 3.12 Une urne contient x boules dont 3 sont blanches, les autres ´tant rouges. e ` 1. A l’occasion d’un tirage sans remise de deux boules, la probabilit´ d’obtenir une boule blanche e puis une boule rouge est 1 . Calculer le nombre de boules dans l’urne. 4 2. Mˆme question si le tirage est effectu´ avec remise e e4 Probabilit´s et statistiques e De nombreux probl`mes peuvent ˆtre regard´s sous un aspect statistique et sous un aspect proba- e e ebiliste :Exemple 4.1 Une population est compos´ de 47% d’hommes et de 53% de femmes. On suppose que e24 % des hommes et que 34 % des femmes ont les yeux verts. Les hommes aux yeux verts repr´sentent e 24 47 112824 % de 47 % de la population, soit 100 × 100 = 10000 = 0, 1128 = 11, 28%. On peut remplir le tableausuivant : homme femme yeux verts 0, 47 × 0, 24 = 0, 1128 0, 53 × 0, 34 = 0, 1802 0, 2930 yeux pas verts 0, 47 × 0, 76 = 0, 3572 0, 53 × 0, 66 = 0, 3498 0, 707 0, 47 0, 53 1On choisit une personne au hasard. 1. la probabilit´ qu’elle ait les yeux verts est p(yeux verts) = 0, 293 e 2. la probabilit´ qu’elle ait les yeux verts sachant que c’est un homme est e p( homme aux yeux verts) 0, 1128 p( yeux verts / homme ) = = = 0, 24 p(homme) 0, 47 3. la probabilit´ qu’elle soit une femme sachant qu’elle n’a pas les yeux verts est e p( femme aux yeux pas verts) 0, 3498 p( femme / pas yeux verts ) = = ≈ 0, 4947 p(pas yeux verts) 0, 707 8 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  9. 9. Probabilit´s e 5 ´ VARIABLE ALEATOIREJouons ` pile ou face, un grand nombre de fois, avec une pi`ce non truqu´e. Pile et face ont la mˆme a e e eprobabilit´, ´gale ` 1/2, d’apparaˆ ` chaque lancer. Comptabilisons les r´sultats au fur et ` mesure e e a ıtre a e aet supposons que, ` une ´tape, le nombre de tirages sur face soit sup´rieur de 100 ` celui des pile : a e e ale nombre de pile a-t-il ensuite tendance ` rattraper le nombre de face ? Ceux qui jouent ` pile ou a aface sans en connaˆ ıtre les arcanes math´matiques ´voquent parfois une loi des moyennes fond´e sur e e el’intuition que les nombres de pile et de face obtenus avec une pi`ce non truqu´e devraient devenir peu e ediff´rents apr`s un grand nombre de lancers. Pourtant les pi`ces n’ont pas de m´moire : la probabilit´ e e e e ed’obtenir pile ou face lors d’un lancer est toujours 1/2. Ne devrait-on pas penser plutˆt que les totaux on’ont pas de raison de devenir ´gaux ? e Les mˆmes questions se posent dans des contextes vari´s. Si un accident d’avion se produit en e emoyenne tous les quatre mois et si trois mois se sont pass´s sans accident, un accident est-il imminent ? e Dans tous les cas de ce type, la r´ponse est non : les processus al´atoires ou, plus exactement, les e emod`les math´matiques de ces processus n’ont pas de m´moire. e e e Il n’existe pas de loi des moyennes : les probabilit´s des ´v´nements futurs ne d´pendent pas des e e e er´sultats pass´s. e e5 Variable al´atoire eD´finition 5.1 Soient une ´preuve donn´e, Ω l’univers associ´ ` cette ´preuve et p une probabilit´ e e e e a e ed´finie sur Ω. On appelle variable al´atoire toute fonction X de Ω dans R qui, ` tout ´l´ment de Ω, e e a eefait correspondre un nombre r´el x. eOn notera X(Ω) l’ensemble des valeurs prises par la v.a. X.Une variable al´atoire est caract´ris´e par l’ensemble des valeurs qu’elle peut prendre et par l’expres- e e esion math´matique de la probabilit´ de ces valeurs. Cette expression s’appelle la loi de probabilit´ (ou e e edistribution de probabilit´) de la variable al´atoire. e eIl existe plusieurs types de valeurs que peut prendre une variable al´atoire : eVariable al´atoire discr`te e eD´finition 5.2 Une variable al´atoire est discr`te si elle ne prend que des valeurs discontinues dans un e e eintervalle donn´ (born´ ou non born´). L’ensemble des nombres entiers est discret. En r`gle g´n´rale, e e e e e etoutes les variables qui r´sultent d’un d´nombrement ou d’une num´ration sont discr`tes. e e e eExemples : – le nombre de petits par port´e pour une esp`ce animale donn´e (chat, marmotte, etc.), e e e – le nombre de bact´ries dans 100 ml de pr´paration, e e – le nombre de mutations dans une s´quence d’ADN de 10 kb, esont des variables al´atoires discr`tes. e eLa loi de probabilit´ d’une variable al´atoire discr`te est enti`rement d´termin´e par les probabilit´s e e e e e e epi des ´v`nements {X = xi }, xi parcourant l’univers image Ω. La loi de probabilit´ est donn´e par les e e e e(xi , pi )i .Exercice 5.1 Une urne contient quatre boules num´rot´es 10, 20, 30 et 40. On effectue trois tirages e esuccessifs avec remise, c’est-`-dire qu’apr`s chaque tirage on replace la boule tir´e dans l’urne. Le a e er´sultat d’une exp´rience peut alors ˆtre repr´sent´ par un triplet, une liste ordonn´e de trois ´l´ments e e e e e e eede l’ensemble E = {10, 20, 30, 40}. 1. Combien y a-t-il de r´sultats possibles ? e 2. Quelle est la probabilit´ d’obtenir les cas suivants : e 9 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  10. 10. Probabilit´s e 5 ´ VARIABLE ALEATOIRE (a) La premi`re boule tir´e porte le num´ro 10, la deuxi`me le num´ro 40, la troisi`me le num´ro e e e e e e e 20 ? (b) La premi`re boule tir´e porte le num´ro 30 et la deuxi`me le num´ro 20 ? e e e e e (c) La deuxi`me boule porte le num´ro 20 ? e eExercice 5.2 Une urne contient quatre boules num´rot´es 10, 20, 30 et 40. On effectue trois tirages e esuccessifs sans remise, c’est-`-dire qu’apr`s chaque tirage on ne replace pas la boule tir´e dans l’urne. Le a e er´sultat d’une exp´rience peut alors ˆtre repr´sent´ par un triplet, une liste ordonn´e de trois ´l´ments e e e e e e eede l’ensemble E = {10, 20, 30, 40} mais cette fois les ´l´ments du triplet sont 2 ` 2 distincts. ee a 1. Combien y a-t-il de r´sultats possibles ? e 2. Quelle est la probabilit´ d’obtenir les cas suivants : e (a) La premi`re boule tir´e porte le num´ro 10, la deuxi`me le num´ro 40, la troisi`me le num´ro e e e e e e e 20 ? (b) La premi`re boule tir´e porte le num´ro 30 et la deuxi`me le num´ro 20 ? e e e e e (c) La deuxi`me boule porte le num´ro 20 ? e eExercice 5.3 Une urne contient quatre boules num´rot´es 10, 20, 30 et 40. On tire simultan´ment e e etrois boules de l’urne. Le r´sultat d’une exp´rience peut alors ˆtre repr´sent´ par une partie ` trois e e e e e a´l´ments de l’ensemble E = {10, 20, 30, 40}.ee 1. Combien y a-t-il de r´sultats possibles ? e 2. Quelle est la probabilit´ d’avoir un r´sultat dans lequel figure le nombre 20 ? e e 3. Quelle est la probabilit´ d’avoir un r´sultat dans lequel figurent les nombres 30 et 40 ? e e ´D´finition 5.3 Etant donn´e une v.a. discr`te X prenant les valeurs x1 , x2 , · · · , xn avec les probabilit´s e e e erespectives p1 , p2 , · · · , pn .L’esp´rance math´matique de X est le nombre r´el not´ E(X) d´fini par : e e e e e E(X) = x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn .La variance de la v.a. X est le nombre r´el not´ V(X) et d´fini par : e e e V (X) = E(X 2 ) − [E(X)]2 .L’´cart type d’une v.a. X est le r´el positif not´ s(X) et d´fini par : e e e e σ(X) = V (X).Exercice 5.4 On joue avec deux d´s a quatre faces. Sur le premier d´, les faces portent les num´ros e ` e e1, 2, 3 et 3. Sur le deuxi`me d´, les faces portent les num´ros 1, 2, 2 et 2. Deux r`gles du jeu sont e e e epossibles : 1. La partie coˆte 1 euro. On lance les deux d´s. u e (a) Si la somme est 2, on gagne 6 euros (b) Si la somme est 3 ou 4, on gagne 2 euros (c) Si la somme est 5, on ne gagne rien 2. La partie coˆte 10 euros. On lance les deux d´s. u e (a) Si la somme est 2, on gagne 60 euros (b) Si la somme est 3 ou 4, on gagne 12 euros 10 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  11. 11. Probabilit´s e 5 ´ VARIABLE ALEATOIRE (c) Si la somme est 5, on ne gagne rienEn ´tudiant l’esp´rance et l’´cart-type de chacun de ces jeux, trouver lequel est le plus int´ressant. e e e eExercice 5.5 Un automibiliste rencontre sur son trajet 5 feux de circulation tricolores. Pour chacunde ces feux, le rouge dure 15 secondes, l’orange 5 secondes et le vert 40 secondes. Les 5 feux ne sontpas synchronis´s et l’on suppose que les al´a de la circulation sont tels que l’´tat d’un feu devant lequel e e ese pr´sente l’automobile ne d´pend pas de l’´tat des autres feux rencontr´s. e e e e 1. L’automibile se pr´sente devant un feux. Quelle est la probabilit´ que ce feu soit vert ? e e 2. Quelle est la probabilit´ que sur son trajet, l’automobile rencontre exactement 3 feux verts sur e les 5 feux rencontr´s ? e 3. Soit X la variable al´atoire correspondant au nombre de feux verts rencontr´s sur le trajet. Quelle e e est sa loi de probabilit´ et son esp´rance E(X) ? e eVariable al´atoire continue eD´finition 5.4 Une variable al´atoire est continue si elle peut prendre toutes les valeurs dans un e eintervalle donn´ (born´ ou non born´). En r`gle g´n´rale, toutes les variables qui r´sultent d’une mesure e e e e e e esont de type continu.Exemples : – le masse corporelle des individus pour une esp`ce animale donn´e, e e – le taux de glucose dans le sang,sont des variables al´atoires continues. eDans le cas d’une variable al´atoire continue, la loi de probabilit´ f (x) associe une probabilit´ ` chaque e e eaensemble de valeurs d´finies dans un intervalle donn´. En effet, pour une variable al´atoire continue, e e ela probabilit´ associ´e ` l’´v`nement X = a est nulle, car il est impossible d’observer exactement cette e e a e evaleur. On consid`re alors la probabilit´ P (x1 ≤ X ≤ x2 ) que la variable al´atoire X prenne des valeurs e e ecomprises dans un intervalle [x1 , x2 ].Si cette loi prend des valeurs comprises entre [a, b], la somme des probabilit´s attach´es aux valeurs e epossibles de la variable al´atoire est ´gale ` 1. e e aElle est represent´e par la surface sous la courbe y = f (x), ce qui revient ` consid´rer des int´grales : e a e e b a f (x) dx = 1. Si on s’int´resse aux valeurs comprises dans un intervalle [c, d], on a et donc p(c ≤ X ≤ e dd) = c f (x) dx. ´D´finition 5.5 Etant donn´e une v.a. continue X, de densit´ de probabilit´ f (x) prenant des valeurs e e e ecomprises dans l’intervalle [a, b] L’esp´rance math´matique de X est le nombre r´el not´ E(X) d´fini e e e e e 11 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  12. 12. Probabilit´s e 5 ´ VARIABLE ALEATOIREpar : b E(X) = xf (x) dx. aLa variance de la v.a. X est le nombre r´el not´ V(X) et d´fini par : e e e b b 2 2 V (X) = [x − E(X)] f (x) dx = x2 f (x) dx − [E(X)] . a aL’´cart type de cette v.a. X est le r´el positif not´ σ(X) et d´fini par : e e e e σ(X) = V (X).Exemple 5.1 On consid`re une variable al´atoire pouvant prendre toutes les valeurs comprises dans e el’intervalle [0, 2] et soit f (x) = x sa densit´ de probabilit´. 2 e eOn peut v´rifier que la somme des probabilit´s est ´gale ` 1 : e e e a 2 2 x x2 dx = =1 0 2 4 0Son esp´rance math´matique est e e 2 2 x x3 4 E(x) = x dx = = 0 2 6 0 3et sa variance est 2 2 2 2 2 4 x x3 4 x4 4 2 V (x) = (x − )2 dx = dx − = − = 0 3 2 0 2 3 8 0 3 0 9 2d’o` l’´cart-type σ = u e 9 ≈ 0, 471Exercice 5.6 Soit X une variable al´atoire continue ayant pour densit´ de probabilit´ f d´finie par e e e e – f (x) = 0 pour x ∈] − ∞; 0[∪]2; +∞[ – f (x) = x pour x ∈ [0; 1] – f (x) = −x + 2 pour [1; 2] 1. V´rifier que f est une densit´ de probabilit´ e e e 2. Calculer l’esp´rance et l’´cart-type de X e e 3. Calculer p(0, 5 < X < 1, 32)Exercice 5.7 Soit X une variable al´atoire continue ayant pour densit´ de probabilit´ f d´finie par e e e e – f (x) = 0 pour x ∈] − ∞; −2[∪]4; +∞[ – f (x) = k(4 − x) pour x ∈ [−2; 4] 1. Calculer k pour que f soit une densit´ de probabilit´ e e 2. Calculer l’esp´rance et l’´cart-type de X e e 3. Calculer p(−1 < X < 2) et p(X ≥ 3)D´finition 5.6 Soit X une variable al´atoire r´elle. e e e – Si E(X) = 0, X est dite centr´e. e – Si E(X) = 0 alors X − E(X) est appel´e variable al´atoire centr´e associ´e ` X. e e e e a – Si σ(X) = 1 alors X est dite r´duite e – Si σ(X) = 1 et E(X) = 0 alors X−E(X) est appel´e variable al´atoire centr´e r´duite associ´e ` σ(X) e e e e e a X 12 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  13. 13. Probabilit´s e 6 LOIS BINOMIALES6 Lois binomiales En probabilit´, une ´preuve de Bernoulli de param`tre p (r´el compris entre 0 et 1) est une e e e eexp´rience al´atoire (c’est-`-dire soumise au hasard) comportant deux issues : le succ`s ou l’´chec. e e a e eSur cet univers succ`s, ´chec, on peut d´finir une variable al´atoire X prenant la valeur 1 en cas de e e e esucc`s et 0 en cas d’´chec. Cette variable al´atoire suit une loi de Bernoulli ou loi binomiale : e e eD´finition 6.1 Etant donn´e une ´preuve d´finie sur un univers Ω. A l’issue de l’´preuve, on a deux e e e e epossibilit´s : soit succ´s S (p(S) = p avec 0 ≤ p ≤ 1) ; soit ´chec E (p(E) = q = 1 − p). On r´p`te e e e e en fois l’´preuve. On a une suite de n ´preuves ind´pendantes. Soit X la v.a. d´finie sur Ωn qui prend e e e epour valeur le nombre de r´alisations de S. La proba qque X = k (qu’il y ait k succ`s) est e e p(X = k) = Cn pk (1 − p)n−k avec k entier kX suit une loi binˆmiale B(n, p) de param`tres n et p. o eC’est une loi qui est souvent repr´sent´e sous la forme d’un arbre. On compte alors le nombre de e e e a kbranches ayant k succ`s (cela correspon ` Cn ) , et on le multiplie par la probabilit´ qu’une branche se e k n−kproduise (cela correspond ` p (1 − p) a ).Exemple 6.1 Quelle est la loi de probabilit´ d´finissant le nombre de gar¸ons dans une famille de 4 e e cenfants ? x 0 1 2 3 4 0 1 4 1 1 1 4 4 2 1 4 6 3 1 4 4 4 1 4 1 p C4 2 = 16 C4 2 = 16 C4 2 = 16 C4 2 = 16 C4 2 = 16Proposition 6.1 Si X suit une loi binˆmiale B(n, p) de param`tres n et p, alors o e E(X) = np V (X) = npq = np(1 − p)Exercice 6.1 Une entreprise a effectu´ une enqu`te sur ses salari´s. Elle a calcul´ que 6% des individus e e e esont retardataires. Sur 100 personnes, quelle est la probabilit´ de n’en avoir aucune en retard ? eExercice 6.2 Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de blanchesest p. Les tirages se font avec remise ainsi la proportion de boules blanches ne changent jamais. Soit Xl’´v´nement obtenir une boule blanche. Quelles sont l’esp´rance et la variance de cette variable ? e e eExercice 6.3 On lance 10 fois un d´. Quelle est la probabilit´ d’avoir 4 fois le 1 ? e eExercice 6.4 Un camp d’adolescents propose des stages d’activit´s nautiques pour d´butants avec au e echoix : Planche ` voile , plong´e ou ski nautique. Lors d’un stage donn´, ce camp accueille vingt jeunes a e edon sept seront initi´s ` la planche ` voile, huit ` la plong´e et cinq au ski nautique. Chaque stagiaire e a a a ene pratique qu’une seule des trois activit´s. e 1. On forme un groupe de 3 stagiaires choisis au hasard parmi les vingt. (a) Combien de groupes est-il possible de former ? (b) D´terminez la probabilit´ de chacun des ´v´nements suivants : e e e e A : les trois stagiaires pratiquent des activit´s diff´rentes e e B : Les trois stagiaires pratiquent la mˆme activit´ e e C : Au moins l’un des trois stagiaires pratique le ski nautique. 2. Parmi les trois stagiaires, un seul se pr´nomme Christian. Chaque jour, on choisit un groupe de e trois stagiaires charg´ du service au repas de midi. e 13 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  14. 14. Probabilit´s e 7 LOIS DE POISSON (a) Montrez que la probabilit´ que Christian soit choisi un jour donn´ pour le service de midi e e est ´gale ` 0,15. e a (b) La dur´e du stage est de cinq jours. Quelle est la probabilit´ de ne jamais choisir Christian e e pour le service de midi pendant le s´jour ? e (c) Quelle est la probabilit´ de le choisir exactement une fois ? e (d) Montrez que la probabilit´ de choisir Christian au moins deux fois est inf´rieur ` 0,2 . e e a La somme des probabilit´ fait 1 : eTh´oreme 6.1 On a e n p(X = k) = 1 k=0D´mo : e n n p(X = k) = Cn px q n−x = (p + q)n = 1 x k=0 k=07 Lois de Poisson Cette loi intervient dans des processus al´atoires dont les ´ventualit´s sont faiblement probables et e e esurvenant ind´pendamment les unes des autres : cas des ph´nom`nes accidentels, d’anomalies diverses, e e edes probl`mes d’encombrement (“files d’attente”), des ruptures de stocks, etc. eD´finition 7.1 On dit que la variable al´atoire X suit une loi de Poisson de param`tre m si e e e mk −m P (X = k) = e k! mRemarque 7.1 Dans ce cas, P (X = k + 1) = k+1 P (X = k).une loi de Poisson peut ˆtre repr´sent´e par un diagramme en bˆtons. Ci-dessous sont repr´sent´s les e e e a e ediagrammes en bˆtons des lois de Poisson de param`tres 1, 2 et 5 : a eExercice 7.1 Dans un atelier, le nombre d’accidents au cours d’une ann´e suit une loi de Poisson de eparam`tre 5. Calculer la probabilit´ des ´v´nements suivants : e e e e 1. Il n’y a pas d’accidents au cours d’une ann´e e 2. Il y a exactement 4 accidents au cours de l’ann´e e 3. Il y a plus de 6 accidents au cours de l’ann´e e 14 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  15. 15. Probabilit´s e 8 LOIS NORMALESProposition 7.1 Si X suit une loi de Poisson de param`tre m alors E(X) = V (X) = m. eLa loi de Poisson d´crit bien la loi binomiale pour n tendant vers l’infini et q tendant vers z´ro, avec e ele produit nq tendant vers une constante. Elle mod´lise donc les exp´riences de Bernoulli avec une e etr`s faible probabilit´ de succ`s, mais avec un grand nombre d’essais, du mˆme ordre de grandeur que e e e el’inverse de la probabilit´ de succ`s. e eProposition 7.2 On peut approcher une loi binomiale B(n, p) par la loi de Poisson P(np) avec unbon pourcentage de r´ussite si n ≥ 30, p ≤ 0, 1 et np < 15. eExercice 7.2 Suite ` une vaccination contre le paludisme, dans une population ` risque, on estime ` a a a2%, compte tenu du d´lai d’immunisation, la proportion de personnes qui seront pourtant atteintes de ela maladie. En utilisant la loi binomiale puis la loi de Poisson, quelle est la probabilit´ de constater, elors d’un contrˆle dans un petit village de 100 habitants tous r´cemment vaccin´s, plus d’une personne o e emalade ? (on supposera l’ind´pendance des ´ventualit´s). e e eExercice 7.3 Une entreprise poss`de un parc de 200 machines fonctionnant sans arrˆt pendant les e eheures de travail. On a observ´ que la probabilit´ pour chaque machine de tomber en panne au cours e ed’une journ´e est p = 1/1000. e 1. Calculer la probabilit´ pour une machine d´termin´e de tomber en panne au moins une fois au e e e cours des 25 jours ouvrables 2. Calculer la probabilit´ pour une machine d´termin´e de tomber en panne plus d’une fois au cours e e e des 25 jours ouvrables 3. En approximant par une loi de Poisson, calculer la probabilit´ qu’au cours des 25 jours ouvrables e 4 machines au plus tombent en panne puis qu’on observe au moins 6 pannes.Plutˆt que de refaire les calculs ` chaque fois, on peut utiliser des tables de Poisson qui, connaissant o ale param`tre m et la valeur k donne directement P (X = k) et P (X ≤ k). e8 Lois normales La loi normale (ou de Laplace-Gauss) est la loi de certains ph´nom`nes continus qui fluctuent autour e ed’une valeur moyenne m, de mani`re al´atoire, r´sultante d’un grand nombre de causes alg´briquement e e e eadditives et ind´pendantes. La dispersion des valeurs observ´es d’un mˆme caract`re gaussien est e e e erepr´sent´e par un ´cart type σ. e e eD´finition 8.1 On parle de loi normale ou loi de Gauss lorsque l’on a affaire ` une variable al´atoire e a econtinue d´pendant d’un grand nombre de causes ind´pendantes dont les effets s’additionnent et dont e eaucune n’est pr´pond´rante. e eLes lois normales sont repr´sent´es par des courbes en cloche : e e 15 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  16. 16. Probabilit´s e 8 LOIS NORMALESExemple 8.1 On fabrique des pi`ces dont les dimensions d´pendent du r´glage de l’appareil de fabrica- e e etion, des vibrations auxquelles il est soumis, de l’homog´n´it´ de la mati`re premi`re, de la temp´rature, e e e e e ede l’humidit´, ... eUne variable al´atoire continue X est distribu´e selon une loi normale si sa densit´ de probabilit´ est e e e e 1 −(x−m)2 m est la moyenne de X f (x) = √ e 2σ2 o` u 2π σ est l’´cart-type de X eLa loi de probabilit´ d´pend donc de deux param`tres m et σ et on l’´crit N(m,σ). e e e eOn effectue g´n´ralement le changement de variable T = X−m . La loi de distribution de t est alors e e σ 1 T2 f (T ) = √ e− 2 2πCette loi est not´e N(0,1) et dite normale, centr´e, r´duite. e e e +∞ − T 2 √ +∞Remarque 8.1 On admettra pour la suite que −∞ e 2 dT = 2π et donc que −inf ty f (T ) dT = 1.Proposition 8.1 L’esp´rance math´matique d’une variable al´atoire distribu´e selon la loi N(0,1) est e e e e0. La m´diane et la valeur modale sont ´gales ` l’esp`rance math´matiques c’est-`-dire sont ´gales ` 0. e e a e e a e aPour une loi N(m,σ), l’esp´rance math´matique, la m´diane et le mode sont ´gaux ` m et l’´cart-type e e e e a eest σ. X−mSi X suit une loi N(m,σ), on pose T = σ . T suit alors une loi N(0,1). On a E(X) = E(σT + m) = σE(T ) + m = m V (X) = V (σT + m) = V (σT ) = σ 2 V (T ) = σ 2 σ(X) = V (X) = σProposition 8.2 Si on consid`re une loi N(0,1) alors e p(−1, 96 < t < 1, 96) = 0, 95 p(−2, 58 < t < 2, 58) = 0, 99 2 t0 − t2De mani`re plus g´n´rale, p(t < t0 ) = e e e √1 e dt. 2π −∞ TOn pose −∞ f (t)dt = Φ(T ). Plutˆt que d’effectuer les calculs ` chaque fois, on utilise la table suivante : o aTable de Gauss T ,0 ,1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6 ,7 ,8 ,9 0 0, 5 0, 5398 0, 5793 0, 6179 0, 6554 0, 6915 0, 7257 0, 7580 0, 7881 0, 8159 1 0, 8413 0, 8643 0, 8849 0, 9032 0, 9192 0, 9332 0, 9452 0, 9554 0, 9641 0, 9713 2 0, 9772 0, 9821 0, 9861 0, 9893 0, 9918 0, 9938 0, 9953 0, 9965 0, 9974 0, 9981 3 0, 9987 0, 9990 0, 9993 0, 9995 0, 9997ExplicationsPour trouver la valeur correspondant ` T = 1, 3, on se place sur la deuxi`me ligne (correspondant ` 1) a e a 1,3et sur la quatri`me colonne (correspondant ` , 3) et on lit : P (T ≤ 1, 3) = 0, 9032. Donc −∞ f (t)dt = e a0, 9032. Ce tableau n’est utilisable que pour des valeurs de T positives et des probabilit´ de type einf´rieure ou ´gale `. Les r`gles suivantes permettent de r´soudre tous les probl`mes rencontr´s : e e a e e e e α +∞ +∞ α 1. −∞ f (t)dt+ α f (t)dt = 1 donc α f (t)dt = 1− −∞ f (t)dt, c’est-`dire P (T > α) = 1−P (T ≤ - α) = 1 − Φ(α) 2. Si α < 0 alors Φ(α) = 1 − Φ(α). On aura parfois besoin d’une table de Gauss plus compl`te : e 16 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  17. 17. Probabilit´s e 8 LOIS NORMALES 17 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  18. 18. Probabilit´s e 8 LOIS NORMALES 18 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  19. 19. Probabilit´s e 8 LOIS NORMALESExercice 8.1 Sachant que la r´partition des quotients intellectuels (QI), rapport entre l’ˆge mental e aet l’ˆge r´el, d’une personne est une loi normale de moyenne 0,90 et d’´cart-type 0,40, a e e 1. Calculer la probabilit´ ` 0,0001 pr`s, qu’une personne prise au hasard ea e (a) ait un QI inf´rieur ` 1 e a (c) ait un QI sup´rieur ` 1,4 e a (b) ait un QI inf´rieur ` 0,1 e a (d) ait un QI compris entre 0,8 et 1,3 2. En d´duire le nombre de personnes dans un village de 1000 habitants e (a) ayant un QI inf´rieur ` 1 e a (c) ayant un QI sup´rieur ` 1,4 e a (b) ayant un QI inf´rieur ` 0,1 e a (d) ayant un QI compris entre 0,8 et 1,3Exercice 8.2 On estime que le temps n´cessaire ` un ´tudiant pour terminer une ´preuve d’examen e a e eest une variable normale de moyenne 90 minutes et d’´cart-type 15 minutes. 240 candidats se pr´sentent e ea` cet examen 1. Combien d’´tudiants N termineront l’´preuve en moins de deux heures ? e e 2. Quelle devrait ˆtre la dur´e D de l’´preuve si l’on souhaite que 200 ´tudiants puissent terminer e e e e l’´preuve ? eExercice 8.3 Une entreprise fabrique, en grande quantit´, des tiges m´talliques cylindriques pour e el’industrie. Leur longueur et leur diam`tre sont exprim´s en millim`tres. Une tige de ce type est e e econsid´r´e comme conforme pour la longueur lorsque celle-ci appartient ` l’intervalle [99,45 ; 100,55]. ee aOn note X la variable al´atoire qui, ` chaque tige pr´lev´e au hasard dans la production, associe sa e a e elongueur. On suppose que X suit une loi normale de moyenne 100 et d’´cart-type 0,25. e 1. Calculer la probabilit´ qu’une tige pr´lev´e au hasard dans la production soit conforme pour la e e e longueur. 2. D´terminer le nombre r´el h positif tel que : P (100 − h < X < 100 + h) = 0, 95. e e 19 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  20. 20. Probabilit´s e 9 SOLUTIONS DES EXERCICES9 Solutions des exercicesSolution 1.1 On a 2 1 3 1 p(E1 ) = = p(E2 ) = = 6 3 6 2 1 p(E1 ∩ E2 ) = p((avoir 3 ou 4) ET (avoir un nombre pair)) = p(avoir un 4) = 6 1 1 1 4 2 p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ) − p(E1 ∩ E2 ) = + − = = 2 3 6 6 3 4 2 = p((avoir 3 ou 4) ou (avoir un nombre pair)) = p(avoir 2,3,4 ou 6) = = 6 3Solution 1.2 On consid`re le tableau suivant, nous donnant la somme des deux nombres : e d´ 2 e 1 2 3 4 5 6 d´ 1 e 1 2 3 4 5 6 7 2 3 4 5 6 7 8 3 4 5 6 7 8 9 4 5 6 7 8 9 10 5 6 7 8 9 10 11 6 7 8 9 10 11 12 e 5De ce tableau, on d´duit que p(E1 ) = 36 , p(E2 ) = 36 et p(E3 ) = 18 = 2 . 7 36 1Les ´v´nements E1 , E2 et E3 sont incompatibles (on ne peut pas avoir simultan´ment une somme de e e e5 et une somme de 7, ni une somme de 5 ou 7 et une somme paire). On a donc p(E1 ∩ E2 ) = 0 p(E1 ∩ E3 ) = 0 p(E2 ∩ E3 ) = 0 5 7 12 1 p(E1 ∪ E2 ) = p(E1 ) + p(E2 ) = + = = 36 36 36 3 5 1 23 p(E1 ∪ E3 ) = p(E1 ) + p(E3 ) = + = 36 2 36 7 1 25 p(E2 ∪ E3 ) = p(E2 ) + p(E3 ) = + = 36 2 36Solution 2.1 On peut former 10 × 9 × 8 × 7 = 5 040 mots diff´rents. eSolution 2.2 Il n’est pas interdit que les lettres puissent se r´p´ter donc il y a 53 = 125 mots possibles. e eSolution 2.3 Pour le tierc´, il y a 8 × 7 × 6 = 336 possibilit´s. Pour le tierc´, il y a 8 × 7 × 6 × 5 = 1680 e e epossibilit´s. eSolution 2.4 Pour chaque chiffres du nombre, j’ai 3 possibilit´s. Il y a donc 3 × 3 × 3 × 3 = 34 = 81 epossibilit´s. eSolution 2.5 Il y a 4023 possibilit´s. e 23 40! 40!Solution 2.6 Il y a C40 = 23!(40−23)! = 23!17! = 88 732 378 800 possibilit´s. e 5 32×31×30×29×28Solution 2.7 Il y a C32 = 5×4×3×2×1 = 201 376 possibilit´s. e 20 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  21. 21. Probabilit´s e 9 SOLUTIONS DES EXERCICES 2 3Solution 2.8 Il faut choisir 2 coeurs parmi 8, puis 3 cartes parmi les 24 restantes : il y a donc C8 ×C24 =56 672 possibilit´s. eSolution 2.9 Il est plus simple de calculer le nombre de mains de 5 cartes ne contenant aucun roi, 5cela revient ` prendre 5 cartes parmi les 28 restantes : il y a C28 possibilit´s. Le nombre total de a e 5mains de cinq cartes est C32 et donc le nombre de mains de cinq cartes contenant au moins un roi est 5 5C32 − C28 = 103 096.On peut ´galement calculer directement le nombre de mains de cinq cartes contenant au moins un roi : e 1 4 – nombre de mains de cinq cartes contenant exactement un roi : C4 × C28 = 81 900 2 3 – nombre de mains de cinq cartes contenant exactement deux rois : C4 × C28 = 19 656 3 2 – nombre de mains de cinq cartes contenant exactement trois rois : C4 × C28 = 1 512 4 1 – nombre de mains de cinq cartes contenant exactement quatre rois : C4 × C28 = 28donc le nombre de mains de cinq cartes contenant au moins un roi est 81900+19656+1512+28 = 103 096 4 10!Solution 2.10 Il y a C10 = 6!4! = 420 grilles possibles. 4 8 1 11Solution 3.1 p = 32 + 32 − 32 = 32 2 C8 28Solution 3.2 1. Il y a 8 coeurs dans le jeu donc p(A) = 2 C32 = 496 ≈ 0, 05645 2 C12 66 2. Il y a 12 figures dans le jeu donc p(B) = 2 C32 = 496 ≈ 0, 13307 2 C3 3 3. p(A ∩ B) = p(deux figures ` coeur) donc p(A ∩ B) = a 2 C32 = 496 ≈ 0, 00605. 91 4. p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) = 496 ≈ 0, 18347Solution 3.3 Soit A l’´v´nement “le candidat A r´ussit” et B l’´v´nement “le candidat B r´ussit”. e e e e e eCalculer la probabilit´ e 1. que les 2 candidats soient re¸us = p(A ∩ B) = P (A) × p(B) = 4 × 2 = c 3 3 1 2 ¯ ¯ ¯ ¯ 2. que les 2 candidats ´chouent = p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 1 × 1 = 1 e 4 3 12 c ¯ ¯ 3. que le candidat A soit seul re¸u = p(A ∩ B) = p(A) × p(B) = 4 × 1 = 4 3 1 3 ¯ ¯ ¯ ¯ 4. qu’un seul des deux candidats r´ussise = p(A ∩ B) + p(A ∩ B) = p(A) × p(B) + p(A) × p(B) = e 1 2 5 4 + 12 = 12 ¯ ¯ 5. qu’au moins 1 des candidats soit re¸u = 1 − p(A ∩ B) = 1 − 1 = 11 c 12 12Solution 3.4 Soient RA l’´v´nement tirer une boule rouge dans l’urne A, BA l’´v´nement tirer une e e e eboule bleue dans l’urne A, RB l’´v´nement tirer une boule rouge dans l’urne B, BB l’´v´nement tirer e e e eune boule bleue dans l’urne B. On a 4 5 20 1. Probabilit´ de tirer deux boules rouges = p(RA ∩ RB ) = e 9 × 11 = 99 5 6 30 2. Probabilit´ de tirer deux boules bleues = p(BA ∩ BB ) = e 9 × 11 = 99 4 5 5 6 50 3. Probabilit´ de tirer deux boules de mˆme couleur = p(RA ∩RB )+p(BA ∩BB ) = 9 × 11 + 9 × 11 = e e 99 4. Probabilit´ de tirer deux boules de couleurs diff´rentes : on peut le faire par le calcul direct : e e = p(BA ∩ RB ) + p(RA ∩ BB ) = 9 × 11 + 4 × 11 = 99 On peut ´galement le faire en remarquant 5 5 9 6 49 e que cet ´v´nement est l’oppos´ de l’´v´nement pr´c´dent et en d´duire que la probabilit´ est e e e e e e e e e 1 − (p(RA ∩ RB ) + p(BA ∩ BB )) = 49 99 21 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  22. 22. Probabilit´s e 9 SOLUTIONS DES EXERCICESSolution 3.5 Calculons le nombre de possibilit´s pour obtenir 11 et 12 : e total 11 nbr de cas total 12 nbr de cas 2 1−5−5 C3 = 3 1−5−6 6 1−4−6 6 2−5−5 3 2−4−5 6 2−4−6 6 2−3−6 6 3−3−6 3 3−4−4 3 3−4−5 6 3−3−5 3 4−4−4 1 27 25Le nombre 11 peut donc ˆtre obtenu de 27 fa¸ons diff´rentes, contre 25 pour le nombre 12. Le joueur e c eA est donc avantag´. eSolution 3.6 X(Ω) = {0; 1; 2; 3; 4} et Y (Ω) = {0; 1; 2; 3; 4}. Soient – Ai l’´v´nement “le joueur A marque i points” avec i ∈ {0; 1; 2} e e – Bi l’´v´nement “le joueur B marque i points” avec i ∈ {0; 1; 2} e e – Ci l’´v´nement “le joueur C marque i points” avec i ∈ {0; 1; 2} e e – Di l’´v´nement “le joueur D marque i points” avec i ∈ {0; 1; 2} e eLes r´sultats des joueurs sont ind´pendants entre eux donc p(X = k) = e e i+j=k p(Ai ∩ Bj ) = i+j=k p(Ai ) × p(Bj ). On a – P (X = 0) = 0, 4 × 0, 3 = 0, 12 – P (X = 1) = p(A1 ) × p(B0 ) + p(A0 ) × p(B1 ) = 0, 4 × 0, 3 + 0, 4 × 0, 4 = 0, 28 – P (X = 2) = p(A2 )×p(B0 )+p(A1 )×p(B1 )+p(A0 )×p(B2 ) = 0, 2×0, 3+0, 4×0, 4+0, 4×0, 3 = 0, 34 – P (X = 3) = p(A2 ) × p(B1 ) + p(A1 ) × p(B2 ) = 0, 2 × 0, 4 + 0, 4 × 0, 3 = 0, 2 – P (X = 4) = p(A2 ) × p(B2 ) = 0, 2 × 0, 3 = 0, 06et donc xi 0 1 2 3 4 p(X = xi ) 0, 12 0, 28 0, 34 0, 2 0, 06et yi 0 1 2 3 4 p(Y = yi ) 0, 15 0, 34 0, 31 0, 16 0, 04Soit p(N ) la probabilit´ que le match soit nul. On a e p(N ) = p((X = 0) ∩ (Y = 0)) + p((X = 1) ∩ (Y = 1)) + p((X = 2) ∩ (Y = 2)) +p((X = 3) ∩ (Y = 3)) + p((X = 4) ∩ (Y = 4)) = p(X = 0) × p(Y = 0) + p(X = 1) × p(Y = 1) + p(X = 2) × p(Y = 2) +p(X = 3) × p(Y = 3) + p(X = 4) × p(Y = 4) = 0, 12 × 0, 15 + 0, 28 × 0, 34 + 0, 34 × 0, 31 + 0, 2 × 0, 16 + 0, 06 × 0, 04 = 0, 253Solution 3.7 – raisonnement direct : {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} sont les num´ro impairs, {3, 9, 15} sont les multiples de 3 parmi les impairs e 3 donc le nombre de cas favorables est 3 et le nombre de cas possibles est 8 : p = 8 – Avec la formule : Soit A l’´v´nement la boule a un num´ro impair et B l’´v´nement la boule a un num´ro multiple e e e e e e de 3. On a pA (B) = p(A∩B) = 3/15 = 3 . p(A) 8/15 8 22 A. Fredet & J.-M. Gourdon
  23. 23. Probabilit´s e 9 SOLUTIONS DES EXERCICES e e ¯ e eSolution 3.8 Soit T l’´v´nement le test est positif (et donc T l’´v´nement le test est n´gatif) et soit e ¯ e eC l’´v´nement l’ampoule est conforme (et donc C l’´v´nement l’ampoule est non conforme). On a e e ¯p(C) = 0, 92 et p(C) = 0, 08, et le tableau suivant T T¯ C 0, 92 × 0, 96 = 0, 8832 0, 92 × 0, 04 = 0, 0368 0, 92 ¯ C 0, 08 × 0, 06 = 0, 0048 0, 08 × 0, 94 = 0, 0752 0, 08 0, 888 0, 112 1 p(T ∩C) ¯ ¯ p(T ∩C) ¯p(T ) = 0, 888 et p(T ) = 0, 112. On en d´duit que pT (C) = e = 0,8832 ¯ ¯ = 0, 99 et pT C = ¯ = p(T ) 0,888 p(T )0,07520,112 = 0, 67.Solution 3.9 Soit A1 l’´v´nement la pi`ce provient de l’atelier 1 et A2 l’´v´nement elle provient de e e e e el’atelier 2. Soit B l’´v´nement la pi`ce est defectueuse. e e e 1. La pi`ce provient de l’atelier 1 : e La cadence du 1 ´tant le double de celle de l’atelier 2, il fabrique deux fois plus de pi`ces donc e e p(A1 ) = 23 2. La pi`ce est d´fectueuse : p(B) = p(B ∩ A1 ) + p(B ∩ A2 ) = PA1 (B) × p(A1 ) + PA2 (B) × p(A2 ) = e e 0, 03 × 2 + 0, 04 × 1 = 0, 02 + 0, 013 = 0, 033. 3,3 % des pi`ces sont d´fectueuses. 3 3 e e p(B∩A1 ) 0,02 3. La pi`ce provient de l’atelier 1, sachant qu’elle est d´fectueuse : pB (A1 ) = e e p(B) = 0,033 = 0, 6%.Solution 3.10 Soit A l’´v´nement il a la maladie Ma et B l’´v´nement il a la maladie Mb . On a le e e e etableau suivant : A ¯ A B 0, 15 × 0, 2 = 0, 03 0, 85 × 0, 04 = 0, 034 0, 064 ¯ B 0, 15 × 0, 8 = 0, 12 0, 85 × 0, 96 = 0, 816 0, 936 0, 15 0, 85 1On cherche 1. Il a la maladie Ma : p(A) = 0, 15 p(A∩B) 0,03 2. Il a la maladie Mb sachant qu’il a Ma : pA (B) = p(A) = 0,15 = 0, 2 (on retrouve les 20 % de l’´nonc€

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