ArgumentaceRozhodl jsem se vytvo°it text na téma Základy diferenciálního po£tu. Toto téma jsem sivybral kv·li tomu, ºe je ...
Základy diferenciálního po£tuDerivace a její geometrický významDenice: Bu¤ f          funkce a bod     x0 ∈ D(f ).      Ex...
Te£na a normála ke grafu funkceUvaºujme funkci      f = f (x). Vyuºijeme-li faktu, ºe geometrický význam derivace f ′ (x0 ...
Dosazením      t = t0 pak získáme       následující vztah pro derivaci k°ivky     x = φ(t), y = ψ(t)v jejím bod¥     [φ(t0...
Literatura   [1] DO’LÁ, Zuzana. Diferenciální po£et jedné prom¥nné. 1. vyd. Brno: Masary-      kova univerzita, 2003, 209 ...
Hodnocení literatury[1] DO’LÁ, Zuzana. Diferenciální po£et jedné prom¥nné. 1. vyd. Brno: Masarykova uni-verzita, 2003, 209...
My²lenková mapa_    _    _                  7
Upcoming SlideShare
Loading in...5
×

Základy diferenciálního počtu

224

Published on

Úkol do předmětu "Kurz práce s informacemi".

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total Views
224
On Slideshare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
0
Actions
Shares
0
Downloads
0
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Základy diferenciálního počtu

  1. 1. ArgumentaceRozhodl jsem se vytvo°it text na téma Základy diferenciálního po£tu. Toto téma jsem sivybral kv·li tomu, ºe je sou£ástí mé bakalá°ské práce na téma Geometrické úlohy vedoucína diferenciální rovnice (jedná se o mírn¥ dopln¥nou první kapitolu). Dal²ím d·vodemtohoto výb¥ru je fakt, ºe jde o základní téma, se kterým se setká prakticky kaºdý studentmatematiky a tudíº je mi velmi blízké.AnotaceTato práce pojednává o základech diferenciálního po£tu. V úvodu je uvedena denice deri-vace a její geometrický význam (v£etn¥ p°íslu²ného hodnocení). Text pokra£uje výpo£temdélky úsek· vy´atých te£nou a normálou k°ivky na sou°adných osách a vztahem pro výpo-£et derivaci funkce zadané parametricky. Záv¥re£ná pasẠtextu se týka derivace implicitn¥zadané funkce a p°íkladu.Klí£ová slovadiferenciální po£et, derivace, te£na, normála, implicitn¥ zadaná funkce 1
  2. 2. Základy diferenciálního po£tuDerivace a její geometrický významDenice: Bu¤ f funkce a bod x0 ∈ D(f ). Existuje-li f (x) − f (x0 ) lim , (1) x→x0 x − x0nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bod¥ x0 a zna£íme f ′ (x0 ). _Uvaºujme nyní sm¥rnici k obecné p°ímky y = kx + q , procházející body [x0 , y0 ] a [x1 , y1 ],x0 ̸= x1 . Platí y1 − y0 k= = tg φ, x1 − x0kde φ je úhel, který svírá p°ímka s kladným sm¥rem osy x. Rovnice této p°imky je y − y0 = k(x − x0 ).P°edpokládejme nyní, ºe tato p°ímka je se£nou grafu známé funkce f a je ur£ena bodem[x0 , f (x0 )] této funkce a dal²ím libovolným bodem grafu [x, f (x)]. Sm¥rnice této p°ímkyje f (x) − f (x0 ) k= = tg φ. x − x0Rozumíme-li te£nou s bodem dotyku T [x0 , f (x0 )] limitní polohu uvaºované se£ny, kdy sebod x blíºí bodu x0 , bude její sm¥rnice f (x) − f (x0 ) lim = tg φ, x→x0 x − x0coº se shoduje s denicí (1.1) derivace funkce f v jejím bod¥ x = x0 . Je vid¥t, ºe geometrickývýznam derivace funkce f v bod¥ [x0 , f (x0 )] je sm¥rnice te£ny ke grafu funkce f vedenétímto bodem. 2
  3. 3. Te£na a normála ke grafu funkceUvaºujme funkci f = f (x). Vyuºijeme-li faktu, ºe geometrický význam derivace f ′ (x0 )v bod¥ [x0 , f (x0 )] funkce f je sm¥rnice k te£ny y = kx + q vedené bodem x0 (p°esn¥jibodem [x0 , f (x0 )], pokud v²ak v dal²ím textu práce bude z°ejmé o jakou funkci f se jedná,budeme se odvolávat pouze na x-ovou sou°adnici bodu), získáme rovnici te£ny ke grafufunkce f v jejím bod¥ x0 : y − y0 = y ′ (x0 )(x − x0 ). (2)Uvaºujme dále normálu ke grafu funkce f vedenou bodem x0 . Jelikoº dv¥ p°ímky jsou kolmépráv¥ tehdy, kdyº sou£in jejich sm¥rnic je roven −1, musí totéº platit pro te£nu a normáluvedené spole£ným bodem x0 . Vyuºijeme-li tento fakt a nahradíme v rovnici (1.2) výrazy ′ výrazem − y′ , získáme rovnici normály ke grafu funkce f vedené jejím bodem [x0 , y0 ]: 1 1 y − y0 = − (x − x0 ). (3) y ′ (x0 )Ur£eme dále úseky, které vytíná te£na resp. normála na sou°adných osách. Nejprve uva-ºujme pr·se£íky te£ny (vedené bodem [x0 , y0 ] k°ivky y = f (x)) se sou°adnými osami.Dosadíme-li body [¯, 0] x a [0, y ] ¯ do rovnice (1.2) a vyjád°íme z t¥chto dosazení postupn¥x¯ a y, ¯ dostaneme: y0 x = x0 − ¯ , (4) y ′ (x0 ) y = y0 − x0 · y ′ (x0 ). ¯ (5)V takto získaných vyjád°eních je x (resp. y ) x-ová (resp. y -ová) sou°adnice pr·se£íku te£ny ¯ ¯a osy x (resp. osy y ). Dále |¯| (resp. |¯|) udává délku úseku vy´atého te£nou k°ivky na ose x yx (resp. ose y ). Podobn¥ pro normálu lze uvaºovat její pr·se£íky s osami, které ozna£íme[x, 0] a [0, y]. Dosazením t¥chto sou°adnic do rovnice (1.3) a vyjád°ením x a y dostaneme: x = x0 + y0 · y ′ (x0 ), (6) x0 y = y0 + ′ (x ) . (7) y 0 _V t¥chto vyjád°eních je x (resp. y ) x-ová (resp. y -ová) sou°adnice pr·se£íku normály k°ivkya osy x (resp. osy y ). Dále |x| (resp. |y|) udává délku úseku vy´atého touto normálou naose x (resp. ose y ). _Pro úplnost uvaºujme je²t¥ sm¥rnici te£ny k°ivky zadané parametricky. Je-li graf funkcef k°ivka zadaná parametricky rovnicemi x = φ(t), y = ψ(t), pak za p°edpokladu φ′ (t) ̸= 0 −1je tato funkce v okolí bodu t = t0 prostá. Tedy v bod¥ t0 existuje inverzní funkce φ . −1 −1V okolí bodu t0 dále platí t = φ (x), odkud y = ψ(t) = ψ (φ (x)). Derivováníma vyuºitím v¥ty o derivaci inverzní funkce získáme: ( ) ( )′ ( ) 1 ψ ′ (t) y ′ = ψ ′ φ−1 (x) · φ−1 (x) = ψ ′ φ−1 (x) · = . φ′ (φ−1 (x)) φ′ (t) 3
  4. 4. Dosazením t = t0 pak získáme následující vztah pro derivaci k°ivky x = φ(t), y = ψ(t)v jejím bod¥ [φ(t0 ), ψ(t0 )]: ′ ψ ′ (t0 ) y (t0 ) = ′ . (8) φ (t0 ) _Derivace implicitn¥ zadané funkce dvou prom¥nnýchUvaºujme rovinnou k°ivku, jejíº rovnici nelze upravit na tvar y = f (x). Pro výpo£et ′derivace y pak pouºijeme následující v¥tu: _V¥ta: Nech´ je dána funkce dvou prom¥nných F (x, y) = 0 a nech´ F má v n¥jakém okolí ′ ′ ′bodu [x0 , y0 ] spojité parciální derivace Fx a Fy a dále nech´ Fy (x0 , y0 ) ̸= 0. Pak existujeokolí Oδ (x0 ) ⊂ R a existuje práv¥ jedna funkce f denovaná na tomto okolí taková, ºef (x0 ) = y0 , F (x, f (x)) = 0 pro v²echna x ∈ Oδ (x0 ) a na Oδ (x0 ) má f spojitou derivaci,pro kterou platí ′ Fx (x, y) f ′ (x) = − ′ , (9) Fy (x, y)kde y = f (x). O funkci f stru£n¥ hovo°íme jako o implicitn¥ zadané funkci. _ _Funkci dvou prom¥nných lze derivovat také tak, ºe derivujeme rovnost bez vyjád°eníy a na y se díváme jako na sloºenou funkci, která je implicitním zadáním x. Z takto ′vzniklé rovnice pak vyjád°íme y . _ _P°íklad: Ur£ete derivaci y′ implicitn¥ zadané funkce x2 + xy − 2y3 = y2 . _e²ení. Rovnici zderivujeme a na y se díváme jako na implicitní funkci x: 2x + y + xy ′ − 6y 2 y ′ = 2yy ′ . xy jsme derivovali podle vzorce pro derivaci sou£inu.Za zvlá²tní zmínku stojí fakt, ºe výrazDerivování je v ur£itém ohledu formáln¥ podobné derivaci sloºené funkce prom¥nné x. Ze ′vzniklé rovnice nakonec vyjád°íme y : 2x + y y′ = . 6y 2+ 2y − xObdrºený výsledek odpovídá derivování podle vzorce (9). 4
  5. 5. Literatura [1] DO’LÁ, Zuzana. Diferenciální po£et jedné prom¥nné. 1. vyd. Brno: Masary- kova univerzita, 2003, 209 s. ISBN 80-210-3121-2. [2] M5858 Diferenciální rovnice a jejich uºití I: Zápisky z p°edná²ek. In: POSPÍ- ’IL, Zden¥k. IS MUNI: Informa£ní systém [online]. 2009 [cit. 2012-12-24]. Do- stupné z: https://is.muni.cz/el/1431/podzim2007/M5858/um/DifRovUzI.pdf [3] Petr Zemánek Homepage [online]. 2008, 2.12.2012 [cit. 2012-12-24]. Dostupné z: https://www.math.muni.cz/~zemanekp/ 5
  6. 6. Hodnocení literatury[1] DO’LÁ, Zuzana. Diferenciální po£et jedné prom¥nné. 1. vyd. Brno: Masarykova uni-verzita, 2003, 209 s. ISBN 80-210-3121-2._Pro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní: • Autorka má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti. • Publikace je za²tít¥na uznávanou v¥deckou organizací - Masarykovou univerzitou. • Publikace je s ohledem na uzav°ení vývoje daného tématu p°im¥°en¥ aktuální. • Publikace je psaná velmi p°ehledným a názorným zp·sobem. Je vhodn¥ strukturo- vaná pomocí nadpis· a odstavc·. • Text obsahuje odborné termíny. Téma je zde zpracováno dostate£n¥ podrobn¥.[2] M5858 Diferenciální rovnice a jejich uºití I: Zápisky z p°edná²ek. In: POSP͒IL, Zden¥k.IS MUNI: Informa£ní systém [online]. 2009 [cit. 2012-12-24].Dostupné z: https://is.muni.cz/el/1431/podzim2007/M5858/um/DifRovUzI.pdfPro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní: • Autor má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti. • Autor p·sobí na akademicky uznávané instituci (Masarykov¥ univerzit¥). • Text je s ohledem na uzav°ení vývoje daného tématu p°im¥°en¥ aktuální. • Text je psán velmi p°ehledným a názorným zp·sobem. Je pouºíván jako pomocný studijní text p°i výuce. • Text obsahuje odborné termíny. Téma je zde zpracováno dostate£n¥ podrobn¥.[3] Petr Zemánek Homepage [online]. 2008, 2.12.2012 [cit. 2012-12-24].Dostupné z: https://www.math.muni.cz/~zemanekp/Pro£ povaºuji zdroj za kvalitní a relevantní: • Autor má vysoké odborné vzd¥lání v dané oblasti. • Autor p·sobí na akademicky uznávané instituci (Masarykov¥ univerzit¥). • Poslední aktualizace stránky je velmi nedávná a tudíº je stránka aktuální. • Stránky obsahují velké mnoºství odkaz· vedoucích na matematicky relevantní stránky. • Odkazované materiály jsou dostate£n¥ podrobné. 6
  7. 7. My²lenková mapa_ _ _ 7

×