Analisis de sensibilidad   2222222 (1)
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Analisis de sensibilidad 2222222 (1) Presentation Transcript

  • 1. Integrantes: Cedeño IreneRodriguez KeylaNoriega Rafael
  • 2. Análisis de SensibilidadEn todos los modelos de programación lineal los coeficientes de la función objetivo ylas restricciones se dan como datos de entrada o como parámetros fijos del modelo. Enlos problemas reales los valores de estos coeficientes no están, en general,perfectamente fijados, debido a que la mayora de ellos dependen de parámetros nocontrolables, por ejemplo, futuras demandas, coste de materias primas, costo deenergía, etc. y no pueden ser predichas con exactitud antes de que el problema searesuelto. También puede suceder que aunque conozcamos los parámetrosexactamente estemos interesados en estudiar como varia la solución optima sicambiamos algún parámetro intencionadamente, a efectos de tratamiento, ambassituaciones se resuelven de forma análoga. Cada variación en los valores de los datosdel problema generara un nuevo problema de programacion lineal. El análisis desensibilidad nos proporcionaran herramientas para el calculo de las soluciones optimasde los problemas obtenidos por la modificación de los parámetros originales delproblema.
  • 3. Análisis de SensibilidadLos tipos de cambios de Análisis de Sensibilidad son:
  • 4. Análisis de Sensibilidad1. Los coeficientes de la función objetivo o coeficientes objetivo.2. Los coeficientes tecnológicos: aquellos coeficientes que afectan a las variables delas restricciones, situados a la izquierda de la desigualdad. Se llaman así porquehabitualmente describen capacidades tecnológicas en problemas de optimizaciónlineal de costes de producción3. Los recursos disponibles o Right-Hand-Side: los términos independientes de cadarestricción, situados a la derecha de la desigualdad.
  • 5. Análisis de SensibilidadDado un problema de programación lineal tal que: Cuya tabla simplex final es:
  • 6. 1)Aplicando análisis de sensibilidad para los coeficientes de la función objetivo:Las variables estructurales son aquellas con las que se planteo originalmente el problemade programación lineal, como lo seria: X1, X2 y X3; pero, dentro de las variablesestructurales podemos distinguir variables básicas (X1 y X3) (aparecen en la primeracolumna de la tabla simplex final (antes descrita) y definen la solución óptima) yvariables no básicas ; entonces se concluye que el análisis de sensibilidad para loscoeficientes de la función objetivo depende de si las variables son básicas o no 1.1 Análisis de sensibilidad para los coeficientes de variables no básicasEste es el análisis más sencillo debido a que si la variable es no básica, entonces tiene uncoeficiente distinto de cero en la última fila de la tabla simplex final (antes descrita), estecoeficiente es el máximo valor que el coeficiente de la función objetivo de dicha variablepuede aumentar manteniendo la solución óptima
  • 7. Procedimiento para el Análisis de sensibilidad de los coeficientes de variables nobásicasa) Se lee de la tabla simplex final, el término que pertenece a la columna de la variableno básica en la última fila y se le resta una variable cualquierab) Se plantea la condición de optimalidad; es decir, que este nuevo término debe serpositivo (mayor que cero) para que la solución siga siendo óptimac) Se resuelve la desigualdadd) Se suma a ambos lados de la desigualdad el coeficiente de la función objetivo queacompaña a la variable y este resultado es el intervalo de sensibilidad del coeficienteAnálisis para la variable no básica X1:a)b)c)
  • 8. d) El valor del coeficiente de la variable X1 en el problema es: 3 por tanto Se sustituye Por lo tanto queda: e) Entonces el intervalo es el siguiente
  • 9. 1.2 Análisis de sensibilidad para los coeficientes de variables básicasCuando las variables son básicas, el procedimiento para el análisis de sensibilidad varía unpoco, pero conserva su lógica Procedimiento para el Análisis de sensibilidad de los coeficientes de variables básicasa) Se reemplaza el cero en la última fila de la columna de la variable por el negativo de laVariableb) Ahora la tabla ya no es óptima, pues existe un elemento negativo en la última fila, portanto normaliza la columna de la variable, es decir se debe generar un cero en la posicióndonde estac) Se plantea la condición de optimalidad; es decir, que todos los términos de la última filade la tabal simplex deben ser positivos (mayor que cero) para que la solución siga siendoóptimad) Se resuelven las desigualdades individualmente y se interceptan los conjuntossolucionese) Se suma a todos los lados de la desigualdad el coeficiente de la función objetivo queacompaña a la variable y este resultado es el intervalo de sensibilidad del coeficiente
  • 10. Análisis para la variable básica X2: a) b) Para optimizar la tabla de nuevo se efectuará la siguiente operación: .Obteniendo el siguiente resultado:
  • 11. c)d) Siempre verdadera Se interceptan los conjuntos soluciones para dar el siguiente resultadoe) El valor del coeficiente de la variable X2 en el problema es: 4 por tanto Se sustituye: Por lo tanto queda:f) Entonces el intervalo es el siguiente
  • 12. 2) Análisis de Sensibilidad para términos independientes de las restricciones:Las restricciones de un problema de programación lineal representan las limitantes derecursos que tiene una empresa. La primera pregunta que se puede hacer antes deaveriguar ¿cuántos recursos más puedo contratar para seguir con mi óptimo? (análisis desensibilidad de los términos independientes) es ¿cuánto es lo más que estoy dispuesto apagar por una unidad de recurso extra?La respuesta a esta pregunta es el Precio Sombra, este es el máximo incremento en elprecio normal de un recurso que estamos dispuestos a pagar sin que nuestras gananciasdisminuyan. Este es un dato que se puede leer directamente de la tabla simplex final en laúltima fila de la columna de la variable de holgura asociada a la restricción o recurso que sequiere investigar
  • 13. Ejemplo: Recordando problema PLEl precio sombra para la restricción uno se lee en la última fila de la columna de la variablede holgura de dicha restricción (S1) y su valor es: ½, lo cual significa que si actualmentepago $3 por cada unidad del recurso de la restricción uno, el mayor precio que estoydispuesto a pagar (sin que mis ganancias disminuyan) es $3 + ½ =$3.5 por unidad derecurso.
  • 14. De igual manera, el precio sombra para la restricción dos se lee en la última fila de la columna de la variable de holgura de dicha restricción (S2) y su valor es: 3/2 lo cual significa que si actualmente pago $3 por cada unidad del recurso de la restricción dos, el mayor precio que esta dispuesto a pagar (sin que mis ganancias disminuyan) es $3 + 3/2 =$4.5 por unidad de recurso. Ahora que ya sabemos ¿cuánto pagar? Concentrémonos en decidir ¿cuánto comprar?Procedimiento de Análisis de Sensibilidad para términos independientes de las restricciones: a) La sensibilidad del término independiente de una restricción se analiza con la columna de la variable de holgura asociada a dicha restricción; entonces, se realiza una operación entre columnas, de la siguiente manera: A la última columna de la tabla simplex final se le suma la columna de la variable de holgura de la restricción que analizamos multiplicada por la variable
  • 15. b) Recordemos que por las restricciones de no negatividad los valores en la última columnade la tabla simplex deben ser siempre positivos (mayores que cero); por tanto el resultadoanterior debe cumplir las restricciones de no negatividad. cada término de este resultado debe cumplir esta condición, la última fila no se toma en cuenta c) Se plantean las desigualdades de cada término y se resuelven individualmente. d) Se interceptan los conjuntos solución de las desigualdades e) Se le suma a todos los lados de la desigualdad el término independiente de la restricción que se analiza, dando como resultado el intervalo de sensibilidad de dicho término.
  • 16. Análisis para el termino independiente de la restricción b1:a) La variable de holgura asociada a la primera restricción es S1 ; entonces ,efectuamos: b) c) La última fila no se toma en cuenta
  • 17. d) Se interceptan los conjuntos soluciones para dar el siguiente resultado:e) El término independiente de la primera restricción b1 en el problema es: 10, por tanto:Se sustituye:Por lo tanto quedaf) Entonces el intervalo es el siguiente:
  • 18. 3) Análisis de Sensibilidad para los coeficientes tecnológicos de variables no básicas Dado el problema de programación lineal Con tabla simplex Inicial de: Lo cual tiene como solución optima:
  • 19. Aplicando Análisis de Sensibilidad para los coeficientes tecnológicos de variables nobásicasCambiando la segunda columna (tabla simplex inicial) de la matriz de coeficientestecnológicos, y ésta pasa a ser (5, 2, 2), con c2 = 43, la tabla inicial quedaría: Esto sólo originaría un cambio en la columna 2 de la tabla final, que quedaría como sigue Tabla final
  • 20. y en el coste reducido de esta columna sería:Por lo tanto la tabla simplex nos queda:
  • 21. En este caso cambia la base óptima, ya que hay un coste reducido negativo. Secontinua aplicando el método del Simplex, hasta obtener todos los costes reducidosno negativos.Si aplicamos el algoritmo del Simplex a la última tabla, obtenemos la solución óptimadel programa modificado, con los cambios en la columna de la segundavariable. Dicha solución óptima es:
  • 22. 4) Adición de una nueva variable de decisión. Método SimplexSe Considera el siguiente problema de programacion lineal en el que se planifica laproducción de tres tipos de cerveza en cantidades x1, x2 y x3 a partir de 30 unidades demalta y 45 de levadura, el beneficio de venta de cada unidad de cerveza elaborada asícomo sus requerimientos de malta y levadura se muestran en la tabla siguiente: El planteamiento del problema queda:
  • 23. y su tabla optima, con un valor de la función objetivo de 160, es: donde x4 y x5, variables de holgura, formaron la primera baseAhora supongamos que se quiere considerar la elaboración de un cuarto tipo decerveza, una cerveza sin alcohol, que requiere una unidad de malta y una unidad delevadura por unidad de cerveza, y cuyo beneficio de venta es de 5 unidadesmonetarias. Por lo cual se plantea la pregunta Merecerá la pena su elaboración? enque cantidad?
  • 24. Si se llama x6 a las unidades de este nuevo tipo de cerveza, su columna esy su beneficio c6 = 5. Calculamos la columna actualizada y el costo marginal Por tanto la tabla original, ahora nos queda de la siguiente manera:
  • 25. no es optima, entra la variable correspondiente al nuevo tipo de cerveza x6 y sale x1,obteniéndose. con un valor de la función objetivo de 180 unidades, se elaboran 15 unidades de la nueva cerveza tipo 4 y 15 de la cerveza de tipo 2.
  • 26. 5) Adición de una nueva restricción. Método SimplexCuando se considera la incorporación de una nueva restricción el primer paso escomprobar si la solución optima del problema original la verifica, en este caso lasolución también será optima para el problema modificado. Nos situamos ahora en quela solución optima del problema original no verifica la nueva restricción, veamos elproceso a seguir.Ahora se considera que existen problemas para el abastecimiento de un terceringrediente, el lúpulo. Se pueden conseguir 30 unidades de lúpulo y se necesitan 3, 1 y1 unidades de lúpulo para la cerveza de tipo 1, 2 y 3, respectivamente. Se trata pues deincluir la restricción. restricción que no es verificada por la solución optima del problema original ya que requerirá 35 unidades.
  • 27. En primer lugar nos fijamos en las variables que aparecen en la restricción y son básicasen la tabla optima del problema original. Después despejamos de la tabla optima dichasvariables y las sustituimos en la restricción. Sobre nuestro ejemplo, en la restricciónaparecen x1 y x2, las despejamos de la tabla tabla optima del problema original Sustituimos en la nueva restricción
  • 28. y operando obtenemosLa restricción anterior ya esta actualizada, basta con incluir una variable de holgura yla restricción esta lista.Si la restricción se deja en la forma con lo que la holgura entra sumando podremosaplicar a la tabla resultante el simplex dual. Si cambiamos el sentido de la restricciónpara que el coeficiente sea positivo entonces la holgura entrara con coeficiente -1 yposteriormente necesitaríamos una variable artificial para la construcción de la tabla.Tal y como hemos dejado la restricción se incluye directamente en la tabla, tomandocomo variable básica la variable de holgura x6, obsérvese que los costos marginales nohan cambiado como consecuencia de haber entrado en la base una variable de holgura.
  • 29. A partir de aquí se aplica el simplex dual, sale x6 entra x4 obteniéndose
  • 30. que ya contiene una solución optima del problema con la nueva restricción.La otra posibilidad es dejar la restricción con termino independiente positivo Con lo que al construir la tabla
  • 31. No tendríamos una variable básica candidata, deberíamos introducir una variableartificial a1 con coeficiente ca1 = -M y recalcular todos los costos marginalesA partir de esta tabla que no es optima habrá que aplicar el simplex con las consideracionesoportunas debidas a la utilización de variables artificiales, es decir, si al finalizar la variablebásica sigue en la base con valor no nulo el problema con la nueva restricción no es factible